rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Nie 12:54, 22 Wrz 2019 Temat postu: Algebra Kubusia dla matematyków - teoria zbiorów Część I |
|
|
Algebra Kubusia dla matematyków - teoria zbiorów
Część I
Autor rzeczywisty:
Kubuś - stwórca naszego Wszechświata
Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.
Szczególnie dziękuję cierpliwemu Fiklitowi za 7 letnią dyskusję, bez niego o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć.
Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2019
Wstęp:
Warunkiem koniecznym zaistnienia algebry Kubusia w naszym Wszechświecie jest jej akceptacja przez ziemskich matematyków.
Bez znaczenia jest tu fakt, że naturalnymi ekspertami tej algebry są 5-cio latki i gospodynie domowe.
Niniejszy podręcznik algebry Kubusia dla matematyków zakłada znajomość wszystkich 16 zero-jedynkowych definicji spójników logicznych oraz rachunku zero-jedynkowego.
Podręcznik zakłada również znajomość podstawowych pojęć z teorii zbiorów, czyli znajomość definicji podzbioru (p=>q) i nadzbioru (p~>q) oraz elementarnych operacji na zbiorach:
p*q - iloczyn logiczny zbiorów (*)
p+q - suma logiczna zbiorów (+)
p-q - różnica zbiorów (-)
Powyższe pojęcia są w 100% wspólne w algebrze Kubusia i matematyce ziemian.
Celem niniejszego podręcznika jest:
Po pierwsze:
Udowodnienie, iż w Wikipedii, między wierszami, można znaleźć kluczowe w logice matematycznej definicje znaczków =>, ~> oraz ~~> rodem z algebry Kubusia!
Po drugie:
W rachunku zero-jedynkowym wykażemy zgodność zero-jedynkowych definicji znaczków => i ~> z elementarną teorią zbiorów
Po trzecie:
Konsekwencją punktu wyżej będzie podanie poprawnych definicji implikacji prostej p|=>q, implikacji odwrotnej p|~>q, równoważności p<=>q i operatora chaosu p|~~>q.
Spis treści
1.0 Tragedia biednego Irbisola 2
2.0 Wyprowadzenie definicji kluczowych znaczków =>, ~> i ~~> 6
3.0 Definicja logiki matematycznej 10
3.1 Definicje elementarne w zbiorach 10
3.1.1 Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów 10
3.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 11
3.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 11
3.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 12
3.2 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 13
3.2.1 Prawa Kubusia 16
3.2.2 Prawa Tygryska 16
3.2.3 Prawa kontrapozycji 16
4.0 Rachunek zero-jedynkowy dla warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 17
4.1 Punkt odniesienia w rachunku zero-jedynkowym 19
4.1.1 I i II Punkt odniesienia w rachunku zero-jedynkowym 22
4.1.2 III i IV Punkt odniesienia w rachunku zero-jedynkowym 24
1.0 Tragedia biednego Irbisola
Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć.
Alfred Hitchcock
Poniższy cytat, zaczerpnięty z dyskusji na forum śfinia doskonale obrazuje aktualną tragedię ziemskich matematyków, kompletnie nie rozumiejących algebry Kubusia, logiki matematycznej której ekspertami są wszystkie 5-cio latki … że o gospodyniach domowych nie wspomnę.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/skarpetki,14281-50.html#474597
Tragedia biednego Irbisola!
Jakość programisty jest odwrotnie proporcjonalna do ilości skoków warunkowych użytych w jego programie
Autor: chyba Dijkstra to napisał
Na czym polega tragedia Irbisola?
Po pierwsze:
W ziemskich szkółkach tak szczelnie zabetonowali mu mózg gównem zwanym Klasyczny Rachunek Zdań, że mimo iż się dwoję i troję, co wszyscy widzą, nie mogę do niego dotrzeć z algebrą Kubusia której ekspertami są wszystkie 5-cio latki … że o gospodyniach domowych nie wspomnę.
Po drugie:
Biedny irbisol naukę programowania zdobywał w jakiejś szkole idiotów, co za chwilkę udowodnię.
| Irbisol napisał: | I znowu pierdoli nie na temat.
Podaj numer linii, gdzie jest losowanie.
Dla przypomnienia algorytm:
| Kod: |
1. if (wlaczony(A)) {
2. zarowka = true;
3. } else {
4. if (wlaczony(B))
5. zarowka = true;
6. else
7. zarowka = false;
8. }
|
|
Irbisolu:
Konia z rzędem temu kto w twoim programie, bez trudu, zobaczy banalną żarówkę sterowaną dwoma wyłącznikami połączonymi równolegle.
| Kod: |
A
______
----o o----
| |
| B |
| ______ | -----------
----o o---------| żarówka |----
| ----------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
----------------------------------
|
Układ który opisujesz jest banalny, a ty zrobiłeś z niego jakiegoś programowego potwora, czyli wyprodukowałeś gówno-program, za który w 100-milowym lesie dostałbyś pałę, nie dlatego że nie działa, ale dlatego że jest napisany przez wybitnego idiotę, nie rozumiejącego logiki matematycznej.
Powyższy układ to układ równoważnościowy mający zero wspólnego (powtórzę: ZERO) z układem implikacyjnym, dokładnie dlatego że nie ma tu „rzucania monetą” będącego jednym z FUNDAMENTÓW absolutnie każdej implikacji.
Póki co nie narysuję ci układu implikacyjnego z żarówką i wyłącznikami, zrobiłem to kiedyś przy pomocy krasnoludków Prostego i Odwrotnego - pamiętasz?
Wątpię, bo olałeś wtedy nawet Fiklita, który grzecznie tłumaczył ci że powyższy układ jest układem równoważnościowym!
Twoja wrogość do poprawnej logiki matematycznej, algebry Kubusia, zbiera swoje żniwo, stajesz się pośmiewiskiem wszystkich nauczycieli fizyki uczących w LO, myślących oczywiście algebrą Kubusia jak niżej.
Popatrz jak powyższy układ opisuje się w algebrze Kubusia:
A.
Jeśli włączony jest przycisk A lub B to żarówka na 100% => się świeci
(A+B) => S
Oczywista oczywistość nawet dla 10-cio latka
C.
Jeśli nie jest włączony ani przycisk A, ani też B to żarówka na 100% => nie świeci
~A*~B => ~S
Oczywista oczywistość nawet dla 10-cio latka.
Spełniona jest tu oczywiście definicja równoważności:
p<=>q + (p=>q)*(q=>p) = (p=>q)*(~p=>~q)
bo prawo kontrapozycji:
q=>p = ~p=>~q
Doskonale widać, że zdania A i C wchodzą w skład definicji równoważności dla żarówki świecącej:
RA.
Przyciska A lub B jest włączony wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci sią
(A+B) <=> A: [(A+B)=>S] * C: [~A*~B =>~S] =1*1 =1
cnd
Te same zdania A i C wchodzą też w skład definicji równoważności dla żarówki nieświecącej:
RC.
Nie jest włączony ani przycisk A, ani też B wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się
(~A*~B) <=> ~S = C: [~A*~B => ~S] * A: [(A+B)=>S] =1*1 =1
Pan od fizyki w I klasie LO:
Jasiu, napisz proszę program sterujący żarówką.
Jaś:
IF (A+B) then S else ~S
Co matematycznie oznacza:
IF (A=1 OR B=1) then (S=1) else (~S=1)
Na mocy prawa Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
Wszystkie zmienne możemy sprowadzić do logiki dodatniej (bez przeczeń).
Stąd mamy wersję tożsamą:
IF (A=1 OR B=1) then S=1 else S=0
Prawa Prosiaczka to jedne z najważniejszych praw logiki matematycznej, kompletnie ziemskim matematykom nieznane.
I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1)=(~p=0)
II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Pan od fizyki:
Napisałeś program dobrze, z punktu odniesienia zdania A.
Czy możesz napisać program tożsamy z punktu odniesienia zdania C?
Jaś:
Bardzo proszę,
IF (~A*~B) then ~S else S
Co matematycznie oznacza:
IF (~A=1 AND ~B=1) then ~S=1 else S=1
Na mocy prawa Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
Wszystkie zmienne możemy sprowadzić do logiki dodatniej (bez przeczeń).
Stąd mamy wersję tożsamą:
IF (A=0 AND B=0) then S=0 else S=1
Na zakończenie zadanie na maturze z fizyki w 100-milowym lesie.
Polecenie:
Napisz program komputerowy, który zapala żarówkę wtedy i tylko wtedy gdy wyłączniki A i B są włączone oraz wyłączniki C i D są wyłączone.
Uważaj Irbisolu!
W algebrze Kubusia takie zadanko przekłada się na program komputerowy w przełożeniu 1:1.
Rozwiązanie Jasia:
Sposób I
Przekładamy zadanie żywcem w skali 1:1 na program komputerowy:
IF (A*B*~C*~D) then S else ~S
co matematycznie oznacza:
IF (A=1 AND B=1 AND ~C=1 AND ~D=1) then S=1 else ~S=1
Na mocy prawa Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
Wszystkie zmienne możemy sprowadzić do logiki dodatniej (bez przeczeń).
Stąd mamy wersję tożsamą:
IF (A=1 AND B=1 AND C=0 AND D=0) then S=1 else S=0
Sposób II
Mamy tożsamość matematyczną!
A*B*~C*~D =S
Negujemy stronami!
Metoda skrócona:
Przejście do logiki ujemnej (bo ~S) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
~A + ~B + C + D =~S
Stąd mamy drugą, tożsamą matematycznie wersję programu:
IF (~A+~B+C+D) then ~S else S
co matematycznie oznacza:
IF (~A=1 OR ~B=1 OR C=1 OR D=1) then ~S=1 else S=1
Na mocy prawa Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
Wszystkie zmienne możemy sprowadzić do logiki dodatniej (bez przeczeń).
Stąd mamy wersję tożsamą:
IF (A=0 OR B=0 OR C=1 OR D=1) then S=0 else S=1
KONIEC!
Pytania do Irbisola:
1.
Czy widzisz znakomitą czytelność programów ze 100-milowego lasu, zgodnych z naturalną logiką matematyczną 10-cio latka
2.
Czy masz świadomość, że użyte w twoim gówno-programie skoki warunkowe to:
Po pierwsze:
Horror w zrozumieniu o co ci chodzi
Po drugie:
Skoki warunkowe to najwolniejsze rozkazy każdego mikroprocesora w przeciwieństwie do rozkazów logicznych typu OR i AND które w każdym procesorze należą do najszybciej wykonywanych, na dodatek OR i AND zajmują zdecydowanie mniej miejsca w pamięci niż rozkazy skoków warunkowych.
Podsumowanie:
Irbisolu,
Czy możesz zdradzić jaką szkołę programowania kończyłeś?
Pytam z ciekawości bo pewne jest, że jest to szkoła wypuszczająca na rynek programistów-idiotów, nie rozumiejących algebry Kubusia, logiki matematycznej wszystkich 5-cio latków.
Kluczowe pytanie:
Irbisolu, kiedy zrozumiesz, że algebra Kubusia to jedyna poprawna logika matematyczna w naszym Wszechświecie?
2.0 Wyprowadzenie definicji kluczowych znaczków =>, ~> i ~~>
AK = Algebra Kubusia
Zajrzyjmy do „Słownika języka Polskiego”
[link widoczny dla zalogowanych]ór
| sjp napisał: |
podzbiór - część danego zbioru |
Definicja podzbioru => w AK:
p=>q
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
Przykład:
P8=[8,16,24..] => P2=[2,4,6,8..] =1 - definicja podzbioru => jest spełniona (=1)
[link widoczny dla zalogowanych]ór
| sjp napisał: |
nadzbiór - w matematyce, dla danego zbioru: każdy zbiór zawierający wszystkie jego elementy |
Definicja nadzbioru ~> w AK:
p~>q
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
Przykład:
P2=[2,4,6,8..] ~> P8=[8,16,24..] =1 - definicja nadzbioru ~> jest spełniona (=1)
Zajrzyjmy teraz do Wikipedii:
[link widoczny dla zalogowanych]
| mathedu napisał: |
Zbiory rozłączne
Zbiory, których iloczyn jest zbiorem pustym, nazywamy rozłącznymi. |
Definicja zbiorów rozłącznych w AK:
Dwa zbiory p i q są rozłączne wtedy i tylko wtedy gdy ich iloczyn logiczny jest zbiorem pustym []
p*q=[]
Bezpośrednio z powyższej definicji wynika.
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
Dwa zbiory p i q maja element wspólny ~~> wtedy i tylko wtedy ich iloczyn logiczny nie jest zbiorem pustym tzn. gdy mają co najmniej jeden element wspólny.
p~~>q = p*q
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny to kończymy algorytm logicznego mnożenia zbiorów po napotkaniu pierwszego wspólnego elementu, inaczej musimy wykonać pełną procedurę mnożenia, co jest kluczowym problemem w przypadku zbiorów nieskończonych na których operuje matematyka, gdzie fizycznie niemożliwym jest przeiterowanie zbioru nieskończonego.
Przykład:
P8=[8,16,24..] ~~> P2=[2,4,6,8..] = [8,16,24..]*[2,4,6,8] =1 bo 8
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów P8 i P2 jest spełniona (=1).
Wystarczy tu pokazać jeden element wspólny np. 8
ALE!
P2=[2,4,6,8..]~~>~P2=[1,3,5,7,9..] =[2,4,6,8..]*[1,3,5,7,9..] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P2 i ~P2 nie jest spełniona (=0)
Tu niestety musimy wykonać pełną procedurę mnożenia logicznego zbiorów co jest fizycznie niewykonalne bo zbiory P2 i ~P2 są nieskończone.
Zobaczmy na czym polega procedura mnożenia przykładowych zbiorów rozłącznych ograniczając sztucznie ilość elementów w zbiorach P2 i ~P2 do dwóch elementów;
P2=[2,4]
~P2=[1,3]
P2~~>~P2 = P2*~P2 =[2,4]*[1,3] =[2+4]*[1+3] = 2*1 + 2*3 +4*1 +4*3 = []+[]+[]+[] =[] =0
Gdzie:
(+) - spójnik „lub”(+)
(*) - spójnik „i”(*)
W algebrze Kubusia przecinek rozdzielający elementy zbioru [2,4] jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+):
[2,4]*[1,3] =[2+4]*[1+3]
Doskonale widać, że mnożymy tu każdy element z każdym identycznie jak w znanych matematykom wielomianach, jednak znaczki „lub”(+) i „i”(*) to fundamentalnie co innego niż znane matematykom znaczki mnożenia liczb (*) i sumy liczb (+).
Skąd wyżej wzięły się zbiory puste np.
2*1 =[] =0
Zbiór jednoelementowy [2] jest rozłączny ze zbiorem jednoelementowym [1] stąd w wyniku iloczynu tych zbiorów mamy zbiór pusty [] tożsamy z logicznym zerem.
Weźmy inny przykład:
p=[2,4]
q=[1,4]
Badamy element wspólny zbiorów p i q
p~~>q = p*q = [2+4]*[1+4] = 2*1 + 2*4 + 4*1 + 4*4 = []+[]+[]+[4] = [4] =1
Stąd mamy rozstrzygnięcie:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów p i q w postaci liczby [4]
Podsumowanie:
Doskonale widać że definicje podzbioru => i nadzbioru ~> oraz definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów są wspólne w algebrze Kubusia i teorii zbiorów ziemian.
Cała sprawa rozbija się dwie kolejne, kluczowe dla logiki matematycznej definicje.
Definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w zbiorach:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Zauważmy, że powyższe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> można znaleźć w Wikipedii, pod warunkiem, że potrafi się logicznie myśleć.
Klikamy na googlach:
„warunek wystarczający”
Czytamy:
| Wikipedia napisał: |
Warunek wystarczający (inaczej warunek dostateczny) – każdy warunek, z którego dany fakt wynika. Jeżeli warunek wystarczający zachodzi (wystarczy, by zachodził), wówczas zachodzi dany fakt.
Na przykład, jeżeli liczba jest podzielna przez 8, to jest podzielna przez 2.
Fakt podzielności przez 8 jest warunkiem wystarczającym dla podzielności przez 2
natomiast
Fakt podzielności przez 2 jest warunkiem koniecznym dla podzielności przez 8.
Warunek wystarczający nie musi być warunkiem koniecznym - liczba nie musi wcale być podzielna przez 8, by była podzielna przez 2. |
Mamy tu jak na dłoni definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> rodem z algebry Kubusia o których niżej.
Dowód poprawności powyższych definicji na przykładach:
A1.
Twierdzenie proste z warunkiem wystarczającym =>:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Poprzednik definiuje zbiór:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Następnik definiuje zbiór:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2
Podzielność dowolnej liczby przez 8 daje nam gwarancję matematyczną => (=1) jej podzielności przez 2
Podzielność dowolnej liczby przez 8 wymusza => jej podzielność przez 2
[link widoczny dla zalogowanych]ący
| Wikipedia napisał: |
Fakt podzielności przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla podzielności przez 2 |
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = gwarancja matematyczna => = p wymusza => q
B3.
Twierdzenie odwrotne z warunkiem wystarczającym =>:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0 bo kontrprzykład: 2
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=0) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest warunkiem wystarczającym => jej podzielności przez 8
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie daje nam gwarancji matematycznej => iż ta liczba jest podzielna przez 8
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie wymusza => jej podzielności przez 8
B1.
Twierdzenie proste z warunkiem koniecznym ~>:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona (=0) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Zbiór P8 nie jest konieczny ~> (=0) dla zbudowania zbioru P2
Zabieram zbiór P8 i nie znika mi zbiór P2
Dowolna liczba nie musi być podzielna przez 8 by była podzielna przez 2
Na przykład 4 nie jest podzielne przez 8 a jest podzielne przez 2
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest warunkiem koniecznym ~> (=0) jej podzielności przez 2
| Wikipedia napisał: |
Warunek wystarczający nie musi być warunkiem koniecznym - liczba nie musi wcale być podzielna przez 8, by była podzielna przez 2. |
Precyzyjnie matematycznie powinno tu być:
Spełnienie warunku wystarczającego między dwoma punktami i w tym samym kierunku nie musi oznaczać spełnienia warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Dowód:
P8=>P2 =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
P8~>P2 =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniony (=0) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
A3.
Twierdzenie odwrotne z warunkiem koniecznym ~>:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Istnienie zbioru P2=[2,4,6,8..] jest konieczne ~> (=1) dla zbudowania zbioru P8=[8,16,24..]
Zabieram zbiór P2=[2,4,6,8..] i znika mi zbiór P8=[8,16,24..]
Fakt podzielności dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8
| Wikipedia napisał: |
Fakt podzielności przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla podzielności przez 8. |
W naszych przykładach doskonale widać poprawność definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w otaczającym nas świecie.
3.0 Definicja logiki matematycznej
Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to dowodzenie prawdziwości/fałszywości zdań wypowiadanych przez człowieka.
Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>
Definicje elementarne w algebrze Kubusia to:
p=>q - definicja warunku wystarczającego
p~>q - definicja warunku koniecznego
p~~>q= p*q - definicja elementu wspólnego zbiorów (zdarzenie możliwe w zdarzeniach)
p~~>~q= p*~q - definicja kontrprzykładu
3.1 Definicje elementarne w zbiorach
Definicja zaprzeczenia zbioru p:
Zbiór ~p jest zaprzeczeniem zbioru p wtedy i tylko wtedy gdy jest z nim rozłączny i stanowi jego uzupełnienie do dziedziny
Matematycznie zachodzi tu:
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne
p+~p = D =1 - zbiór ~p stanowi uzupełnienie do dziedziny D dla zbioru p
Na mocy definicji zaprzeczenia zbioru zachodzi:
~p = [D-p]
Dla ilustracji prezentowanych niżej definicji będziemy posługiwać się dwoma zbiorami:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Przyjmujemy dziedzinę:
D = LN = [1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny LN:
~P8=[LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2=[LN-P2} = [1,3,5,7,9..]
3.1.1 Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q =p*q =0
Przykład pozytywny:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 = P8*P2 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) bo istnieje element wspólny zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..] np. 8
Przykład negatywny:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P2~~>~P2 = P2*~P2 =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona (=0) bo zbiór liczb parzystych P2=[2,4,6,8..] jest rozłączny ze zbiorem liczb nieparzystych ~P2=[LN-P2] = [1,3,5,7,9..]
3.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Wylosowanie dowolnej liczby naturalnej ze zbioru p daje nam gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie w zbiorze q
Inaczej:
p=>q =0
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = gwarancja matematyczna =>
Przykład pozytywny:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Przykład negatywny:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0 bo kontrprzykład: 2
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=0) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
3.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zbiór p jest konieczny ~> dla zbudowania zbioru q
Zabieram zbiór p i znika mi zbiór q
Inaczej:
p~>q =0
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Przykład pozytywny:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Przykład negatywny:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona (=0) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
3.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>~q =p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
Przykład pozytywny:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =?
B.
Kontrprzykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona (=0) bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
Fałszywość kontrprzykładu:
B: P8~~>~P2=P8*~P2=0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego =>:
A: P8=>P2 =1
Tu nic a nic więcej nie musimy więcej udowadniać, ale zawsze możemy to sprawdzić:
A: P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Przykład negatywny:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => nie jest podzielna przez 2
P8=>~P2 =?
B.
Kontrprzykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 = P8*P2 =1 bo 8
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) bo zbiory P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..] mają co najmniej jeden element wspólny (np. 8)
Prawdziwość kontrprzykładu:
B: P8~~>P2 = P8*P2 =1
wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
A: P8=>~P2 =0
Tu nic a nic więcej nie musimy więcej udowadniać, ale zawsze możemy to sprawdzić:
A: P8=>~P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=0) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest podzbiorem => zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
3.2 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Wylosowanie dowolnej liczby naturalnej ze zbioru p daje nam gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie w zbiorze q
Inaczej:
p=>q =0
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = gwarancja matematyczna =>
Przykład pozytywny:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Przykład negatywny:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0 bo kontrprzykład: 2
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=0) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zbiór p jest konieczny ~> dla zbudowania zbioru q
Zabieram zbiór p i znika mi zbiór q
Inaczej:
p~>q =0
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Przykład pozytywny:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Przykład negatywny:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona (=0) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Uwaga!
Teraz robimy kluczowy w logice matematycznej manewr, czyli przypisujemy znaczkom => i ~> definicje zero-jedynkowe jak niżej.
Oczywistym jest, że wolno nam to zrobić!
Kluczowym pytaniem jest jak to się będzie miało do otaczającej nas rzeczywistości?
Odpowiedź jest szokująca (dla laika):
Nasze przyporządkowanie pasuje w 100% do teorii zbiorów poznanej wyżej.
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 0 1
D: 0 1 1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 0 1
D: 0 1 0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
|
Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki miedzy warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
| Kod: |
Tabela A
Matematyczne związki znaczków => i ~>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1
1 2 3 4 5
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
| Kod: |
Tabela B
Matematyczne związki znaczków ~> i =>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0
1 2 3 4 5
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame)
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Podsumowanie:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Powyższe prawa logiki matematycznej zbudowane zostały dla punktów odniesienia:
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różna na mocy definicji
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w rachunku zero-jedynkowym:
Dla tego samego punktu odniesienia (w tabelach wyżej matryce ABCD(p,q)) dwie kolumny są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
W obu równaniach Ax i Bx zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, czyli matryce zero-jedynkowe ABCD(p,q) muszą być identyczne, inaczej popełniamy trywialny błąd podstawienia.
Matematycznie zachodzi:
A: p=>q = ~p+q ## B: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej przy pomocy którego jakiś człon z tożsamości Ax stałby się tożsamy z którymkolwiek członem w tożsamości Bx. Gdyby tak się stało to logika matematyczna leży w gruzach.
Z powyższego układu równań mamy podstawowe prawa logiki matematycznej do codziennego stosowania.
3.2.1 Prawa Kubusia
Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne
Interpretacja dowolnego prawa logicznego
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
3.2.2 Prawa Tygryska
Prawa Tygryska:
Prawa Tygryska wiążą warunek wystarczający => i konieczny ~> z zamianą p i q
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne
3.2.3 Prawa kontrapozycji
Prawa kontrapozycji:
W prawach kontrapozycji negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami.
Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~q=>~p
q=>p = ~p=>~q
Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
p~>q = ~q~>~p
q~>p = ~p~>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego => lub ~>.
4.0 Rachunek zero-jedynkowy dla warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Przyjrzyjmy się bliżej prawom rachunku zero-jedynkowego wyprowadzonym w poprzednim rozdziale.
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 0 1
D: 0 1 1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 0 1
D: 0 1 0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
|
Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki miedzy warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
| Kod: |
Tabela A
Matematyczne związki znaczków => i ~>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1
1 2 3 4 5
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
| Kod: |
Tabela B
Matematyczne związki znaczków ~> i =>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0
1 2 3 4 5
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame)
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Podsumowanie:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Powyższe prawa logiki matematycznej zbudowane zostały dla punktów odniesienia:
A1: p=>q =~p+q
##
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w rachunku zero-jedynkowym:
Dla tego samego punktu odniesienia (w tabelach wyżej matryce ABCD(p,q)) dwie kolumny są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, czyli matryce zero-jedynkowe ABCD(p,q) muszą być identyczne, inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Matematycznie zachodzi:
A: p=>q = ~p+q ## B: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej przy pomocy którego jakiś człon z tożsamości A stałby się tożsamy z którymkolwiek członem w tożsamości B. Gdyby tak się stało to logika matematyczna leży w gruzach.
4.1 Punkt odniesienia w rachunku zero-jedynkowym
Uwaga!
Punkt odniesienia to kluczowe pojęcie w rachunku zero-jedynkowym.
Dowód w niniejszym punkcie.
Przypomnijmy wyprowadzone wyżej równania w rachunku zero-jedynkowym.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zauważmy że:
Równania Ax i Bx obowiązują dla tego samego punktu odniesienia:
A1: p=>q =~p+q
##
B1: p~>q = p=~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dla dwóch zmiennych p i q możliwe jest przyjęcie czterech różnych punktów odniesienia, polegających na negacjach zmiennych p i q.
Pierwszy, podstawowy punkt odniesienia:
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W II punkcie odniesienia negujemy zmienne p i q z I punktu odniesienia:
A1: ~p=>~q = p+~q
##
B1: ~p~>~q = ~p+q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
W matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> negujemy wszędzie zmienne p i q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: ~p=>~q = 2: p~>q [=] 3: ~q~>~p = 4: q=>p [=] 5: p+~q
##
B: 1: ~p~>~q = 2: p=>q [=] 3: ~q=>~p = 4: q~>p [=] 5: ~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Doskonale widać matematyczną tożsamość punktów odniesienia I i II, bowiem znaczek różne na mocy definicji ## jest przemienny, a poza zamianą wierszy Ax z Bx nic się nie zmieniło.
I punkt odniesienia = II punkt odniesienia
Stąd:
| Kod: |
I punkt [=] II punkt ## II punkt [=] I punkt
A1: p=>q=~p~>~q [=] B1:~p~>~q=p=>q ## A1:~p=>~q=p~>q [=] B1: p~>q=~p=>~q
Prawo Kubusia [=] Prawo Kubusia ## Prawo Kubusia [=] Prawo Kubusia
A1: p=>q=~p~>~q [=]~p+q ## A1:~p=>~q=p~>q [=] p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Uwaga!
Zauważmy, że błędem czysto matematycznym jest zmiana punktu odniesienia wyłącznie w równaniach Ax albo Bx
Dowód:
Zmieńmy punkt odniesienia wyłącznie w linii Bx, czyli:
A1: p=>q
##
B1: ~p~>~q
stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: ~p~>~q = 2: p=>q [=] 3: ~q=>~p = 4: q~>p [=] 5: ~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Doskonale widać, że w tym momencie matematykę ścisłą szlag trafił bo ewidentnie zachodzi tożsamość:
A1: p=>q = B1: ~p~>~q
Innymi słowy:
Szlag trafił kluczowy tu znaczek różne na mocy definicji ##
cnd
W III punkcie odniesienia negujemy wyłącznie zmienną p w punkcie odniesienia I:
A1: ~p=>q = p+q
##
B1: ~p~>q = ~p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
W tym przypadku negujemy wyłącznie zmienną p w I punkcie odniesienia.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: ~p=>q = 2: p~>~q [=] 3: q~>~p = 4: ~q=>p [=] 5: p+q
##
B: 1: ~p~>q = 2: p=>~q [=] 3: q=>~p = 4: ~q~>p [=] 5: ~p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W IV punkcie odniesienia negujemy wyłącznie zmienną q w punkcie odniesienia I:
A1: p=>~q = ~p+~q
##
B1: p~>~q = p+q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
W tym przypadku negujemy wyłącznie zmienną q w I punkcie odniesienia.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>~q = 2: ~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p [=] 5: ~p+~q
##
B: 1: p~>~q = 2: ~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p [=] 5: p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Doskonale widać matematyczną tożsamość punktów odniesienia III i IV, bowiem znaczek różne na mocy definicji ## jest przemienny, a poza zamianą wierszy Ax z Bx nic się nie zmieniło.
III punkt odniesienia = IV punkt odniesienia
Stąd:
| Kod: |
III punkt [=] IV punkt ## IV punkt [=] III punkt
A1:~p=>q=p~>~q [=] B1: p~>~q=~p=>q ## A1: p=>~q=~p~>q [=] B1:~p~>q=p=>~q
Prawo Kubusia [=] Prawo Kubusia ## Prawo Kubusia [=] Prawo Kubusia
A1:~p=>q=p~>~q [=] p+q ## A1: p=>~q=~p~>q [=] ~p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie wszystkich czterech punktów odniesienia:
I i II Punkt odniesienia:
| Kod: |
I punkt [=] II punkt ## II punkt [=] I punkt
A1: p=>q=~p~>~q [=] B1:~p~>~q=p=>q ## A1:~p=>~q=p~>q [=] B1: p~>q=~p=>~q
Prawo Kubusia [=] Prawo Kubusia ## Prawo Kubusia [=] Prawo Kubusia
A1: p=>q=~p~>~q [=]~p+q ## A1:~p=>~q=p~>q [=] p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
##
III i IV Punkt odniesienia:
| Kod: |
III punkt [=] IV punkt ## IV punkt [=] III punkt
A1:~p=>q=p~>~q [=] B1: p~>~q=~p=>q ## A1: p=>~q=~p~>q [=] B1:~p~>q=p=>~q
Prawo Kubusia [=] Prawo Kubusia ## Prawo Kubusia [=] Prawo Kubusia
A1:~p=>q=p~>~q [=] p+q ## A1: p=>~q=~p~>q [=] ~p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Poprawność powyższych równań łatwo sprawdzić w rachunku zero-jedynkowym.
4.1.1 I i II Punkt odniesienia w rachunku zero-jedynkowym
Pierwszy, podstawowy punkt odniesienia:
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
| Kod: |
Tabela IA
I Punkt odniesienia:
A1: p=>q
Matematyczne związki znaczków => i ~>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1
1 2 3 4 5
|
##
| Kod: |
Tabela IB
I punkt odniesienia:
B1: p~>q
Matematyczne związki znaczków ~> i =>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0
1 2 3 4 5
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy układ równań logicznych:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W II punkcie odniesienia negujemy zmienne p i q z I punktu odniesienia:
A1: ~p=>~q = p+~q
##
B1: ~p~>~q = ~p+q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
| Kod: |
Tabela IIA
II Punkt odniesienia:
A1: ~p=>~q
Matematyczne związki znaczków => i ~>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q ~p=>~q p~>q [=] ~q~>~p q=>p [=] ~p=>~q=p+~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0
1 2 3 4 5
|
##
| Kod: |
Tabela IIB
II Punkt odniesienia:
B1: ~p~>~q
Matematyczne związki znaczków => i ~>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q ~p~>~q p=>q [=] ~q=>~p q~>p [=] ~p~>~q=~p+q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1
1 2 3 4 5
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy układ równań logicznych:
A: 1: ~p=>~q = 2: p~>q [=] 3: ~q~>~p = 4: q=>p [=] 5: p+~q
##
B: 1: ~p~>~q = 2: p=>q [=] 3: ~q=>~p = 4: q~>p [=] 5: ~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Doskonale widać matematyczną tożsamość punktów odniesienia I i II, bowiem znaczek różne na mocy definicji ## jest przemienny, a poza zamianą wierszy Ax z Bx nic się nie zmieniło.
I punkt odniesienia = II punkt odniesienia
Stąd:
| Kod: |
I punkt [=] II punkt ## II punkt [=] I punkt
A1: p=>q=~p~>~q [=] B1:~p~>~q=p=>q ## A1:~p=>~q=p~>q [=] B1: p~>q=~p=>~q
Prawo Kubusia [=] Prawo Kubusia ## Prawo Kubusia [=] Prawo Kubusia
A1: p=>q=~p~>~q [=]~p+q ## A1:~p=>~q=p~>q [=] p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
4.1.2 III i IV Punkt odniesienia w rachunku zero-jedynkowym
W III punkcie odniesienia negujemy wyłącznie zmienną p w punkcie odniesienia I:
A1: ~p=>q = p+q
##
B1: ~p~>q = ~p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
| Kod: |
Tabela IIIA
III Punkt odniesienia:
A1: ~p=>q
Matematyczne związki znaczków => i ~>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q ~p=>q p~>~q [=] q~>~p ~q=>p [=] ~p=>q=p+q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1
C: 0 0 1 1 =0 =0 =0 =0 =0
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1
1 2 3 4 5
|
##
| Kod: |
Tabela IIIB
III punkt odniesienia:
B1: ~p~>q
Matematyczne związki znaczków ~> i =>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q ~p~>q p=>~q [=] q=>~p ~q~>~p [=] ~p~>q=~p+~q
A: 1 1 0 0 =0 =0 =0 =0 =0
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1
1 2 3 4 5
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy układ równań logicznych:
A: 1: ~p=>q = 2: p~>~q [=] 3: q~>~p = 4: ~q=>p [=] 5: p+q
##
B: 1: ~p~>q = 2: p=>~q [=] 3: q=>~p = 4: ~q~>p [=] 5: ~p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W IV punkcie odniesienia negujemy wyłącznie zmienną q w punkcie odniesienia I:
A1: p=>~q = ~p+~q
##
B1: p~>~q = p+q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
| Kod: |
Tabela IVA
IV Punkt odniesienia:
A1: p=>~q
Matematyczne związki znaczków => i ~>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p=>~q ~p~>q [=] ~q~>p q=>~p [=] p=>~q=~p+~q
A: 1 1 0 0 =0 =0 =0 =0 =0
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1
1 2 3 4 5
|
##
| Kod: |
Tabela IVB
IV punkt odniesienia:
B1: p~>~q
Matematyczne związki znaczków ~> i =>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p~>~q ~p=>q [=] ~q=>p q~>~p [=] p~>~q=p+q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1
C: 0 0 1 1 =0 =0 =0 =0 =0
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1
1 2 3 4 5
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy układ równań logicznych:
A: 1: p=>~q = 2: ~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p [=] 5: ~p+~q
##
B: 1: p~>~q = 2: ~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p [=] 5: p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Doskonale widać matematyczną tożsamość punktów odniesienia III i IV, bowiem znaczek różne na mocy definicji ## jest przemienny, a poza zamianą wierszy Ax z Bx nic się nie zmieniło.
III punkt odniesienia = IV punkt odniesienia
Stąd:
| Kod: |
III punkt [=] IV punkt ## IV punkt [=] III punkt
A1:~p=>q=p~>~q [=] B1: p~>~q=~p=>q ## A1: p=>~q=~p~>q [=] B1:~p~>q=p=>~q
Prawo Kubusia [=] Prawo Kubusia ## Prawo Kubusia [=] Prawo Kubusia
A1:~p=>q=p~>~q [=] p+q ## A1: p=>~q=~p~>q [=] ~p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie wszystkich czterech punktów odniesienia:
I i II Punkt odniesienia:
| Kod: |
I punkt [=] II punkt ## II punkt [=] I punkt
A1: p=>q=~p~>~q [=] B1:~p~>~q=p=>q ## A1:~p=>~q=p~>q [=] B1: p~>q=~p=>~q
Prawo Kubusia [=] Prawo Kubusia ## Prawo Kubusia [=] Prawo Kubusia
A1: p=>q=~p~>~q [=]~p+q ## A1:~p=>~q=p~>q [=] p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
##
III i IV Punkt odniesienia:
| Kod: |
III punkt [=] IV punkt ## IV punkt [=] III punkt
A1:~p=>q=p~>~q [=] B1: p~>~q=~p=>q ## A1: p=>~q=~p~>q [=] B1:~p~>q=p=>~q
Prawo Kubusia [=] Prawo Kubusia ## Prawo Kubusia [=] Prawo Kubusia
A1:~p=>q=p~>~q [=] p+q ## A1: p=>~q=~p~>q [=] ~p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 19:01, 17 Gru 2019, w całości zmieniany 12 razy
|
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
