ŚFiNiA ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.    FAQ   Szukaj   Użytkownicy   Grupy   Galerie   Rejestracja   Profil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości   Zaloguj  Algebra Kubusia dla liceum          Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Wto 8:45, 08 Maj 2012    Temat postu: Algebra Kubusia dla liceum … wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie … Ewangelia Mateusza 7:12 Przyjaciele Kubusia to wszyscy interlokutorzy biorący udział w 6 letniej dyskusji. Kim jest Kubuś? Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata. Podręcznik w oryginale: Algebra Kubusia dla liceum Podręcznik rozszerzony: BIBLIA: Algebra Kubusia - matematyka języka mówionego Szczególne podziękowania dla: www.sfinia.fora.pl Wuja Zbója - znakomitego nauczyciela małego Kubusia, dzięki któremu Kubuś nauczył się poprawnie patrzeć na algebrę Boole’a od strony matematycznej. Volratha - za decydującą o wszystkim dyskusję Macajna - za ciekawą dyskusję podczas której jako jedyny Ziemianin podał poprawną, matematyczną definicję warunku wystarczającego. [link widoczny dla zalogowanych] Fizyka, Windziarza i Sogorsa - za długą i ciekawą dyskusję Quebaba - za fantastyczną, finałową dyskusję Wstęp Każdy człowiek, od 5-cio latka po profesora, doskonale zna algebrę Kubusia i posługuje się nią na co dzień w naturalnym języku mówionym. Algebra Kubusia obowiązuje w całym naszym Wszechświecie, zarówno martwym, jak i żywym, dlatego to jest matematyka naszego Wszechświata. Nie ma żadnych wyjątków, algebra Kubusia opisuje naturalny język mówiony człowieka i jego logikę, działa doskonale także w obszarze matematyki. W wersji dla liceum zrezygnowano z zaawansowanej algebry Boole’a np. minimalizacji funkcji logicznych. Algebra Kubusia dla liceum to wiedza fundamentalna z zakresu logiki. Zainteresowanym matematyką polecam rozszerzoną wersję algebry Kubusia, wcale nie tak trudną. BIBLIA: Algebra Kubusia - matematyka języka mówionego Przyjaciel Ziemian, Kubuś Spis treści: 1.0 Notacja 2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia 2.1 Podstawowe definicje algebry Kubusia 3.0 Nowa teoria zbiorów 3.1 Podstawowe działania na zbiorach 3.2 Nowa teoria zbiorów w operatorach logicznych 4.0 Warunki wystarczający i konieczny 5.0 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata 5.1 Równoważność 5.2 Implikacja prosta 5.3 Implikacja odwrotna 5.4 Operator chaosu 5.5 Operator śmierci 5.6 Wszystkie możliwe definicje równoważności i implikacji 6.0 Operatory OR i AND 6.1 Operator OR 6.2 Operator AND 7.0 Dowodzenie twierdzeń matematycznych 7.1 Schemat dowodzenia twierdzeń matematycznych 7.2 Dowodzenie warunku wystarczającego 7.3 Dowodzenie warunku koniecznego 8.0 Świat zdeterminowany 9.0 Obietnice i groźby 9.1 Obietnica 9.2 Groźba 1.0 Notacja ~ - symbol przeczenia NIE Prawo podwójnego przeczenia: p=~(~p) Zera i jedynki w dowolnym operatorze logicznym oznaczają: 1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe 0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe # - różne Prawda # Fałsz 1 # 0 ## - różne na mocy definicji Prawa de’Morgana: Prawa de’Morgana to pełne definicje operatorów OR i AND zapisane w równaniach algebry Boole’a. p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q) Definicja operatora OR ## Definicja operatora AND Prawa Kubusia: Prawa Kubusia to pełne definicje operatorów implikacji prostej i odwrotnej zapisane w równaniach algebry Boole’a. p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q Definicja operatora implikacji prostej ## Definicja operatora implikacji odwrotnej Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z izolowanymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. := - symbol redukcji do funkcji minimalnej Dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi: p*~q := p Spójniki logiczne w algebrze Kubusia W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych. Operatory OR i AND: * - spójnik „i” w mowie potocznej + - spójnik „lub” w mowie potocznej Operatory implikacji i równoważności: => - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki ~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji ~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy <=> - wtedy i tylko wtedy Kolejność wykonywania działań: nawiasy, „i”(*), „lub”(+), =>, ~>, ~~> W spójnikach =>, ~>, ~~> kolejność nie ma znaczenia bo są to operatory wyłącznie dwuargumentowe, czyli po lewej i prawej stronie tego znaku może być wyłącznie funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+) Zdanie: Zdanie w algebrze Kubusia to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne któremu można przypisać wartość fałsz lub prawda, zrozumiałe dla człowieka. Zdanie warunkowe: Jeśli p to q gdzie: p - poprzednik q - następnik W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>, wystarczy jedna prawda. Inaczej zdanie jest fałszywe. W BIBLII: Algebra Kubusia - matematyka języka mówionego w pkt.12.12.2 jest obalenie prawa KRZ: p=>q ## q~>p co jest równoważne obaleniu prawa kontrapozycji w implikacji: p=>q ## ~q=>~p bo prawo Kubusia: ~q=>~p = q~>p gdzie: ## - różne na mocy definicji To samo jest w pkt. 12.1, 12.6, 12.7 i 12.11 Znane matematykom prawo kontrapozycji jest poprawne wyłącznie w równoważności (pkt.12.12) 2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia Aksjomatyka algebry Kubusia to wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, znane ludziom od ponad 100 lat. 2.0.1 Fundament matematyczny: Iloczyn kartezjański dla dwóch zmiennych binarnych p i q [p,q] = (1,1), (1,0), (0,1), (0,0) Funkcja to jednoznaczne przyporządkowanie wyjścia Y dla wejścia p i q Kod: p q Y=pOPRATORq 1 1  =x 1 0  =x 0 1  =x 0 0  =x Dla czterech wartości x w pionie możliwe jest zdefiniowanie 16 różnych funkcji logicznych (operatorów logicznych). 2.0.2 Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych w algebrze Boole’a i algebrze Kubusia: Kod: p q  OR NOR AND NAND <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>) ~~> N(~~>) P NP  Q NQ 1 1  1   0   1   0    1   0   1    0   1    0    1   0     1 0   1 0 1 0  1   0   0   1    0   1   0    1   1    0    1   0     1 0   0 1 0 1  1   0   0   1    0   1   1    0   0    1    1   0     0 1   1 0 0 0  0   1   0   1    1   0   1    0   1    0    1   0     0 1   0 1 Równania algebry Boole’a to równoważny, lecz zdecydowanie lepszy opis operatorów logicznych bowiem jest on zgodny z naturalną logiką człowieka. Logika człowieka to równania algebry Boole’a, nigdy tabele zero-jedynkowe. Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równaniami algebry Boole’a i odwrotnie. 2.0.3 Techniczna definicja operatora logicznego: Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 na wejściach p i q 2.0.4 Fizyczny model operatora logicznego: Operator logiczny to czarna skrzynka z dwoma kabelkami wejściowymi p i q i jednym kabelkiem wyjściowym Y. Na wejścia p i q podajemy wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1. Czarna skrzynka odpowiada nam jednoznaczną sekwencją na wyjściu Y. Definicja operatora OR: Kod: p q Y=pORq 1 1  =1 1 0  =1 0 1  =1 0 0  =0 W technice cyfrowej TTL odpowiednikiem 0 i 1 są poziomy napięć: 0 = 0-0.4V 1 = 2.4-5.0V Aksjomatyczne, zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych to pełna teoria zbiorów w algebrze Kubusia, uwzględniająca wszystkie możliwe przypadki wzajemnego położenia zbiorów. 2.0.5 Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów: 1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe 0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe 2.0.6 W tabelach zero-jedynkowych po stronie wejścia p i q mamy: 1 - zmienna z nagłówka tabeli niezanegowana 0 - zmienna z nagłówka tabeli zanegowana Korzystając z prawa algebry Boole’a: Jeśli p=0 to ~p=1 Jeśli q=0 to ~q=1 zamieniamy wejścia p i q na postać symboliczną. 2.0.7 Kod: p q  SYMB OR NOR AND NAND <=> XOR  => N(=>) ~> N(~>) ~~> N(~~>) P NP  Q NQ 1 1  p* q 1   0   1   0    1   0   1    0   1    0    1   0     1 0   1 0 1 0  p*~q 1   0   0   1    0   1   0    1   1    0    1   0     1 0   0 1 0 1 ~p* q 1   0   0   1    0   1   1    0   0    1    1   0     0 1   1 0 0 0 ~p*~q 0   1   0   1    1   0   1    0   1    0    1   0     0 1   0 1 gdzie: * - iloczyn logiczny zbiorów p i q (wspólne elementy bez powtórzeń) 2.0.8 Po takim manewrze na wejściach p i q mamy iloczyny logiczne konkretnych zbiorów, które generują wynikowe 0 i 1 o znaczeniu: 1 - istnieje część wspólna zbiorów na wejściach p i q, co wymusza zbiór wynikowy niepusty (=1), zdanie prawdziwe 0 - zbiory na wejściach p i q są rozłączne, co wymusza zbiór wynikowy pusty (=0), zdanie fałszywe 2.0.9 Świętość algebry Boole’a: Wszelkie przekształcenia tabel zero-jedynkowych muszą mieć swoje 100% odbicie w równaniach algebry Boole’a. 2.0.10 Definicja logiki w algebrze Kubusia Logika to narzędzia do rozwiązywania problemów a nie rozwiązywanie konkretnego problemu. Przykładowo w dzisiejszej matematyce istnieje tylko jedna definicja równoważności: 1. p<=>q = (p=>q)*(q=>p) Podczas gdy w algebrze Kubusia mamy dodatkowe, równoważne definicje: 2. Definicja aksjomatyczna wynikła bezpośrednio z definicji zero-jedynkowej: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) Definicja 1 to odprysk definicji aksjomatycznej 2 na mocy prawa kontrapozycji: ~p=>~q = q=>p - obowiązuje wyłącznie w równoważności 3. Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między p i q p<=>q = (p=>q)*[p~>q] 4. Równoważność to dwie gwarancje matematyczne: p<=>q = [~(p*~q)]*[~(~p*q)] 5. Równoważność w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) p<=>q = p*q + ~p*~q 6. Równoważność to dwa i tylko dwa zbiory rozłączne: p<=>q = p*q + ~p*~q A: p*q=1 C: ~p*~q=1 Wynika to bezpośrednio z aksjomatycznej, zero-jedynkowej definicji równoważności Uwaga: W dzisiejszej Teorii Mnogości jest błąd czysto matematyczny bo wedle TM: Równoważność to jeden zbiór 2.1 Podstawowe definicje algebry Kubusia 2.1.1 Symboliczna definicja operatora logicznego: Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q 2.1.2 Przykład: Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów TP<=>SK =1 Definicja operatora równoważności. Kod: Definicja           |Definicja               |Przykład zero-jedynkowa      |symboliczna             | równoważności       |operatora równoważności | TP<=>SK    p q Y=p<=>q      |                        | A: 1 1  =1          | p* q =1                | TP* SK =1 B: 1 0  =0          | p*~q =0                | TP*~SK =0 C: 0 0  =1          |~p*~q =1                |~TP*~SK =1 D: 0 1  =0          |~p* q =0                |~TP* SK =0   gdzie: * - spójnik „i” z naturalnej logiki człowieka Definicję symboliczną utworzono korzystając z prawa algebry Boole’a: Jeśli p=0 to ~p=1 Jeśli q=0 to ~q=1 Kolumny wynikowe są identycznie zatem twierdzenie Pitagorasa jest bezdyskusyjną równoważnością. Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+): p<=>q = p*q + ~p*~q co matematycznie oznacza: p<=>q=1 <=> (p=1 i q=1) lub (~p=1 i ~q=1) Nasz przykład: TP<=>SK = (TP=1 i SK=1) lub (~TP=1 i ~SK=1) Oczywiście wszystkie te zbiory istnieją (nie są puste), dlatego ich wartość logiczna jest równa 1 TP = SK =1 - zbiory tożsame ~TP=~SK=1 - zbiory tożsame Oczywiście to jest algebra Boole’a, zatem w pozostałych możliwych przeczeniach musimy uzyskać 0. p*~q=0 i ~p*q=0 co doskonale widać w powyższej tabeli. 2.1.3 Analiza matematyczna: Linia A Interpretacja w naturalnej logice człowieka: Zadajemy sobie pytanie: A: TP*SK Czy istnieje trójkąt prostokątny (TP) w którym zachodzi suma kwadratów (SK)? Oczywista odpowiedź: TAK co wymusza w wyniku 1 Interpretacja w zbiorach: A: TP*SK = 1*1=1 Oba zbiory istnieją (TP=1 i SK=1) i maję część wspólną co wymusza w wyniku 1 Linia B Interpretacja w naturalnej logice człowieka: Zadajemy sobie pytanie: B: TP*~SK=0 Czy istnieje trójkąt prostokątny (TP) w którym suma kwadratów nie jest spełniona (~SK)? Oczywista odpowiedź: NIE co wymusza w wyniku 0 Interpretacja w zbiorach: B: TP*~SK=1*1=0 Oba zbiory istnieją (TP=1 i ~SK=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 Linia C Interpretacja w naturalnej logice człowieka: Zadajemy sobie pytanie: C: ~TP*~SK Czy istnieje trójkąt nie prostokątny (~TP) w którym nie zachodzi suma kwadratów (~SK)? Oczywista odpowiedź: TAK co wymusza w wyniku 1 Interpretacja w zbiorach: C: ~TP*~SK = 1*1=1 Oba zbiory istnieją (TP=1 i SK=1) i maję część wspólną co wymusza w wyniku 1 Linia D Interpretacja w naturalnej logice człowieka: Zadajemy sobie pytanie: D: ~TP*SK=0 Czy istnieje trójkąt nie prostokątny (~TP) w którym suma kwadratów jest spełniona (SK)? Oczywista odpowiedź: NIE co wymusza w wyniku 0 Interpretacja w zbiorach: D: ~TP*SK=1*1=0 Oba zbiory istnieją (~TP=1 i SK=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 Z powyższego wynika, że aby stwierdzić z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia musimy sprawdzić odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q. 2.1.4 Prawo Sowy: W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND. Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego. Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q. Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy. 2.1.5 Definicja algebry Kubusia: Algebra Kubusia to algebra równań logicznych zgodna z techniczną algebrą Boole’a o definicji operatora jak wyżej. 2.1.6 Zmienna binarna: Zmienna binarna (wejście cyfrowe w układzie logicznym) to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1. Przykłady zmiennych binarnych: p, q 2.1.7 Funkcja logiczna: Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych. Y - funkcja logiczna Przykład: Y=p*q+p*~q+~p*q 2.1.8 Prawo przejścia do logiki przeciwnej: Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne Przykład 1. Y=p+q ~Y=~p*~q Przykład 2. (p+q) => (r*s) (~p*~q)~>(~r+~s) 2.1.9 Fundament algebry Boole’a: p+~p=1 p*~p=0 Przykład: A. Jutro pójdę do kina lub nie pójdę do kina Y=p+~p=1 Zdanie zawsze prawdziwe (=1), cokolwiek nie zrobię to nie zostanę kłamcą B. Jutro pójdę do kina i nie pójdę do kina Y=K*~K=0 Sytuacja niemożliwa, zdanie fałszywe (=0) 2.1.10 Prawo algebry Boole’a z którego będziemy korzystać przy przechodzeniu z tabel zero-jedynkowych na postać symboliczną. Jeśli p=0 to ~p=1 Jeśli q=0 to ~q=1 3.0 Nowa teoria zbiorów Podstawowe działania na zbiorach są identyczne jak w klasycznej algebrze zbiorów. 3.0.1 Różnice w stosunku do klasycznej algebry zbiorów: 1. W algebrze Kubusia zbiór pusty nie jest częścią każdego zbioru. 2. W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną! Zera i jedynki w dowolnym operatorze logicznym oznaczają: 1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe 0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe Przykład. Słońce jest żółte 1 - zbiór niepusty, istnieje zbiór „słońce żółte”, zdanie prawdziwe Słońce nie jest żółte 0 - zbiór pusty, nie istnieje zbiór „słońc nie żółtych”, zdanie fałszywe 3.0.2 Definicja zbioru: Zbiór w sensie matematycznym musi spełniać fundament algebry Boole’a: p+~p=1 - definicja dziedziny Zbiór ~p jest dopełnieniem zbioru p do dziedziny p*~p=0 Żaden element zbioru ~p nie należy do zbioru p Przykład: Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy P=>4L Dziedzina po stronie p: P +~P=1 P*~P=0 P - zbiór wszystkich psów ~P - zbiór pozostałych zwierząt Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt Dziedzina po stronie q: 4L+~4L=1 4L*~4L=0 4L - zbiór zwierząt mających 4 łapy ~4L - zbiór zwierząt nie mających 4 łap Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt Doskonale widać, że wszystkie powyższe zbiory ulokowane są w tej samej dziedzinie. 3.0.3 Zbiór aktualny (bieżący): Zbiór aktualny (bieżący) to zbiór na którym aktualnie pracujemy, zdefiniowany szczegółowo w poprzedniku zdania „Jeśli p to q” Uwaga: W zdaniach najczęściej wypowiadanych zbiory p i q nie są rozłączne i należą do tej samej dziedziny jak to pokazano na przykładzie wyżej. 3.0.4 W ogólnym przypadku nie jest to wymagane, prawdziwe są takie zdania: A. Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest kotem Pies to nie kot P=>~K=1 P*~K = P - zbiór P zawiera się w całości w zbiorze ~K, zbiór niepusty = zdanie prawdziwe. Zbiór psów i zbiór kotów to zbiory rozłączne, należące do tej samej dziedziny: zbiór zwierząt B. Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest samochodem Pies to nie samochód P=>~S=1 P*~S = P - zbiór P zawiera się w całości w zbiorze ~S, zbiór niepusty = zdanie prawdziwe. Zbiór psów i zbiór samochodów to zbiory rozłączne, należące do różnych dziedzin. W tym przypadku zbiór: ~S - to uniwersum, wszelkie możliwe pojęcia 3.1 Podstawowe działania na zbiorach Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów: 1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe 0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe 3.1.1 Zbiory tożsame to zbiory identyczne Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach 3.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów bez powtórzeń Y=p*q gdzie: * - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka Przykład: p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6] Y=p*q=[1,2] 3.1.3 Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów bez powtórzeń Y=p+q gdzie: + - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka Przykład: p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6] Y=p+q = [1,2,3,4,5,6] 3.1.4 Różnica zbiorów: Różnica zbiorów p-q to elementy zbioru p pomniejszone o część wspólną zbiorów p i q Y=p-q p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6] Y= p-q = [3,4] Y= q-p = [5,6] 3.1.5 Zbiór pusty to zbiór zawierający zero elementów Stąd: Iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym Zbiór pusty to brak wspólnej części zbiorów w operacji iloczynu logicznego (koniunkcji). p=[1,2], q=[3,4] Y=p*q=1*1=0 Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty). 3.1.6 Zbiór pusty jest zbiorem rozłącznym z dowolnym zbiorem niepustym @ - zbiór pusty Prawa algebry Kubusia: p+@ = p+0 = p p*@ = p*0 = 0 W algebrze Kubusia zbiór pusty @ to po prostu logiczne zero. Nie jest nam potrzebny specjalny znaczek zbioru pustego @. 3.1.7 Przykład. Słońce jest żółte 1 - zbiór niepusty, istnieje zbiór „słońce żółte”, zdanie prawdziwe Słońce jest czarne 0 - zbiór pusty, nie istnieje zbiór „słońce czarne”, zdanie fałszywe 3.1.8 Przykład: A. Mickiewicz był polakiem lub napisał Pana Tadeusza Y=MP+PT Mamy tu świat totalnie zdeterminowany gdzie wartości logiczne p i q znamy z góry MP=1, ~MP=0 PT=1, ~PT=0 Definicja spójnika „lub”(+): p+q = p*q + p*~q + ~p*q stąd: MP+PT = (MP*PT=1*1=1) + (MP*~PT=1*0=0) + (~MP*PT=0*1=0) := MP*PT gdzie: := - symbol redukcji do funkcji minimalnej na mocy definicji spójnika „lub”(+) Na mocy prawa Sowy, jedynym zdaniem prawdziwym będzie tu zdanie: B. Mickiewicz był polakiem i napisał Pana Tadeusza Y=MP*PT Za każde inne zdanie różne od B, ekspert algebry Kubusia, ten straszny polonista, postawi pałę. Interpretacja: Mickiewicz był polakiem MP=1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe Mickiewicz nie był polakiem ~MP=0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe Mickiewicz napisał Pana Tadeusza PT=1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe Mickiewicz nie napisał Pana Tadeusza ~PT=0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe 3.2 Nowa teoria zbiorów w operatorach logicznych Każdy człowiek, od 5-cio latka po profesora operuje na zbiorach opisywalnych aksjomatycznymi operatorami logicznymi. Znaczenie 0 i 1 w nowej teorii zbiorów: 1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe 0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe 3.2.1 1. Definicja operatora OR w równaniach algebry Kubusia: Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q ~Y=~p*~q Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y): Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia Stąd definicja równoważna: Y = p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y): Zbiory p i q mają część wspólną (p*q) lecz żaden z nich nie zawiera się w drugim. W: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y): D: ~Y=~p*~q Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora OR. Kod: Definicja symboliczna    |Definicja zero-jedynkowa W: Y=p+q=p*q+p*~q+~p*q   |p q Y=p+q A: p* q= Y               |1 1 =1 B: p*~q= Y               |1 0 =1 C:~p* q= Y               |0 1 =1 ~Y=~p*~q                 | D:~p*~q=~Y               |0 0 =0 Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli:                          |p=1, ~p=0                          |q=1, ~q=0                          |Y=1, ~Y=0 Przykład: Jutro pójdę do kina lub do teatru: Y=K+T co matematycznie oznacza: Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K) lub pójdę do teatru (T) Zdanie matematycznie równoważne: Y = K*T + K*~T + ~K*T Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro: K*T - pójdę do kina (K) i pójdę do teatru (T) lub(+) K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T) lub(+) ~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T) ... a kiedy skłamię? Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników: ~Y=~K*~T Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T) 3.2.2 2. Definicja operatora AND w równaniach algebry Kubusia: Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y) Y=p*q ~Y = ~p+~q = ~p*~q + p*~q + ~p*q Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y): Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia Stąd definicja równoważna: Y = p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y): W: Y=p*q Definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y): Zbiory ~p i ~q mają część wspólną (~p*~q) lecz żaden z nich nie zawiera się w drugim U: ~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora AND. Kod: Definicja symboliczna       |Definicja zero-jedynkowa W: Y=p*q                    |p q Y=p*q A: p* q= Y                  |1 1 =1 U: ~Y =~p+~q=~p*~q+~p*q+p*~q| B:~p*~q=~Y                  |0 0 =0 C:~p* q=~Y                  |0 1 =0 D: p*~q=~Y                  |1 0 =0 Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli:                             |p=1, ~p=0                             |q=1, ~q=0                             |Y=1, ~Y=0 Przykład: Jutro pójdę do kina i do teatru: Y=K*T co matematycznie oznacza: Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K) i pójdę do teatru (T) ... a kiedy skłamię? Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników: ~Y=~K+~T Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T) Zdanie matematycznie równoważne: ~Y = ~K*~T + ~K*T + K*~T Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro: ~K*~T - nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T) lub(+) ~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T) lub(+) K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T) 3.2.3 3. Definicja operatora XOR w równaniu algebry Kubusia: p XOR q = p*~q + ~p*q Zbiory rozłączne. p XOR q = p*~q + ~p*q Podstawowe właściwości A. p+~q=~q ~p+q=~p B. p*q=1*1=0 Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty) p*~q=p Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze ~q, stąd iloczyn logiczny to zbiór p. ~p*q=q Zbiór q zawiera się w całości w zbiorze ~p, stąd iloczyn logiczny to zbiór q. stąd: p XOR q = p*~q + ~p*q := p+q gdzie: := - redukcja funkcji logicznej na mocy teorii zbiorów Definicja zero-jedynkowa: Kod: Definicja     |Definicja zero-jedynkowa Symboliczna   |p q pXORq A: p*~q=1     |1 0 =1 B:~p* q=1     |0 1 =1 C:~p*~q=0     |0 0 =0 D: p* q=0     |1 1 =0 Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli:               |p=1, ~p=0               |q=1, ~q=0 Przykład: Każdy człowiek jest mężczyzną albo kobietą Y = M XOR K = M*~K + ~M*K 3.2.4 4. Definicja operatora implikacji prostej: Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q) p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia gdzie: => - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w liniach A i B niżej ~> - warunek konieczny o definicji ogólnej: Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik ~p~>~q = p=>q Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q): Z wykresu odczytujemy: A. Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna Zbiory: p*q=1*1=1 Oba zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku jeden. stąd: B. Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A Zbiory: p*~q=1*1=0 Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty). Uwaga: p*~q=0 - ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q! W implikacji zbiór p nie jest tożsamy ze zbiorem q, natomiast w równoważności zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q. Implikacja to fundamentalnie co innego niż równoważność, nic co jest implikacją nie ma prawa być równoważnością i odwrotnie, to fizycznie niemożliwe na mocy definicji zero-jedynkowych. Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q): Kod: A. Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q p=>q=1 p* q=1*1=1 - istnieje część wspólna zbiorów p i q B. Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie ~q p=>~q=0 p* ~q=1*1=0 - zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne,               stąd ich iloczyn logiczny jest równy zeru p=>q Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q Z czego wynika że p jest wystarczające dla q Jak zajdzie p to q też musi. … a jeśli zajdzie ~p ? Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q Zobaczmy ten przypadek na diagramie. Z wykresu odczytujemy definicję warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q) C. Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q ~p~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D Zbiory: ~p*~q=1 Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i maja część wspólną, co wymusza w wyniku jeden lub D. Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q ~p~~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C Zbiory: ~p*q=1 Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) i maja część wspólną co wymusza w wyniku jeden W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone: D: ~p~>q = B: p=>~q =0 Zdanie B jest fałszywe zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>. Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy. Definicję zero-jedynkową operatora implikacji prostej otrzymujemy dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A. Kod: Definicja     |Definicja zero-jedynkowa Symboliczna   |p q p=>q A: p=> q=1    |1 1 =1 B: p=>~q=0    |1 0 =0 C:~p~>~q=1    |0 0 =1 D:~p~~>q=1    |0 1 =1 Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli:               |p=1, ~p=0               |q=1, ~q=0 Przykład: A. Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno P=>CH=1 Padanie deszczu jest wystarczające => dla istnienia chmur B. Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno P=>~CH=0 ... a jak nie będzie padało? Prawo Kubusia: P=>CH = ~P~>~CH C. Jeśli juro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno ~P~>~CH=1 Brak opadów jest warunkiem koniecznym aby jutro nie było pochmurno lub D. Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno ~P~~>CH=1 3.2.5 5. Definicja operatora implikacji odwrotnej: Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q) p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia gdzie: ~> - warunek konieczny o definicji ogólnej: Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik p~>q = ~p=>~q => - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji wyłącznie w liniach C i D niżej Warunek konieczny w zbiorach wygląda następująco: p~>q Z wykresu odczytujemy definicje symboliczną warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q): A. Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q p~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie B Zbiory: p*q=1*1=1 Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden. Zbiór p musi zawierać w całości zbiór q, wtedy i tylko wtedy p jest konieczne dla q, czyli zachodzi prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q LUB B. Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie A Zbiory: p*~q=1 Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden. … a jeśli zajdzie ~p ? Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q Zobaczmy to na diagramie logicznym: ~p=>~q Z diagramu odczytujemy: C. Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q ~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna, zachodzi zawsze, bez wyjątków Zbiory: ~p*~q=1*1=1 Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden. stąd: D. Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q ~p=>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C Zbiory: ~p*q=1*1=0 Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1), ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty). Uwaga: ~p*q=0 - ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zwieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q W implikacji zbiór ~p nie jest tożsamy ze zbiorem ~q, natomiast w równoważności zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q. Implikacja to fundamentalnie co innego niż równoważność, nic co jest implikacją nie ma prawa być równoważnością i odwrotnie, to fizycznie niemożliwe na mocy definicji zero-jedynkowych. Zauważmy, że w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia: B: p~>~q = D: ~p=>q=0 Zdanie D jest fałszywe, zatem w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny ~>. Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy. Definicja symboliczna warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q): Kod: C. Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q ~p=>~q=1 ~p* ~q=1*1=1 - istnieje część wspólna zbiorów ~p i ~q D. Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q ~p=>q=0 ~p* q=1*1=0 - zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne,               stąd ich iloczyn logiczny jest równy zeru ~p=>~q Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q Z czego wynika że zajście ~p wystarcza dla zajścia ~q Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w całości w zbiorze ~q Jeśli zajdzie ~p to ~q też musi. Definicję zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej otrzymujemy dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A. Kod: Definicja     |Definicja zero-jedynkowa Symboliczna   |p q p~>q A: p~> q =1   |1 1 =1 B: p~~>~q=1   |1 0 =1 C:~p=>~q =1   |0 0 =1 D:~p=> q =1   |0 1 =0 Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli:               |p=1, ~p=0               |q=1, ~q=0 Przykład: A. Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać CH~>P=1 Pochmurne niebo jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro padało lub B. Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać CH~~>~P=1 ... a jeśli nie będzie pochmurno? Prawo Kubusia: CH~>P = ~CH=>~P C. Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało ~CH=>~P=1 Brak chmur wystarcza aby jutro nie padało Stąd: D. Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padało ~CH=>P=0 3.2.6 6. Definicja równoważności: Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q) p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) W równoważności zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q, co wymusza tożsamość zbiorów ~p i ~q .. albo odwrotnie. W równoważności zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q i jest tożsamy ze zbiorem ~q, co wymusza tożsamość zbiorów p i q. Analiza ogólna równoważności: W: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w A i B p=>q A. Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna Zbiory: p*q=1*1=1 Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden B. Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A Zbiory: p*~q=1*1=0 Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty) p*~q=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q. … a jeśli zajdzie ~p? ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) Warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~q o definicji wyłącznie w B i C ~p=>~q C. Jeśli nie zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q ~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna Zbiory: ~p*~q=1*1=1 Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden D. Jeśli nie zajdzie p to na pewno => zajdzie q ~p=>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C Zbiory: ~p*q=1*1=0 Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty) ~p*q=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q. Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności. Kod: W: p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q) Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) p=>q                    |p  q  p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q) A: p=>q  =1             |1  1  =1 B: p=>~q =0             |1  0  =0 ~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q) Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) ~p=>~q C: ~p=>~q=1             |0  0  =1 D: ~p=>q =0             |0  1  =0 Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli:                         |p=1, ~p=0                         |q=1, ~q=0 Oczywiście matematycznie zachodzi: p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q) =1*1=1 stąd w równoważności (nigdy w implikacji): p=>q = ~p=>~q W równoważności (i tylko tu!) obowiązuje prawo kontrapozycji: ~p=>~q = q=>p Stąd równoważna definicja równoważności uwielbiana przez matematyków: p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1=1 Przykład: Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) Analiza matematyczna: W: TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK) TP=>SK - pierwszy człon po prawej stronie A. Jeśli trójkąt jest prostokątny, to pewno => zachodzi suma kwadratów TP=>SK=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna Zbiory: TP*SK=1*1=1 Zbiory TP i SK istnieją (TP=1 i SK=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden stąd: B. Jeśli trójkąt jest prostokątny, to pewno => nie zachodzi suma kwadratów TP=>~SK=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A Zbiory: TP*~SK=1*1=0 Zbiory TP i ~SK istnieją (TP=1 i ~SK=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty) TP*~SK=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru TP w zbiorze SK. … a jeśli zajdzie ~TP? ~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK) Warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~SK ~TP=>~SK - pierwszy człon po prawej stronie C. Jeśli trójkąt nie jest prostokątny, to pewno => nie zachodzi suma kwadratów ~TP=>~SK=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna Zbiory: ~TP*~SK=1*1=1 Zbiory ~TP i ~SK istnieją (~TP=1 i ~SK=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden stąd: D. Jeśli trójkąt nie jest prostokątny, to pewno => zachodzi suma kwadratów ~TP=>SK=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C Zbiory: ~TP*SK=1*1=0 Zbiory ~TP i SK istnieją (~TP=1 i SK=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty) ~TP*SK=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru ~TP w zbiorze ~SK. 4.0 Warunki wystarczający i konieczny 4.0.1 Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q): Kod: A: p=>q=1 B: p=>~q=0 p=>q Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q z czego wynika że zdanie B musi być fałszem z czego wynika że p musi być wystarczające dla q Przykład: A. Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno P=>CH=1 B. Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno P=>CH=0 Padanie jest warunkiem wystarczającym dla istnienia chmur cnd 4.0.2 Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q): Kod: C: ~p=>~q=1 D: ~p=> q=0 p=>q Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q bo zdanie B jest fałszem i nie ma prawa wystąpić z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q Przykład: C. Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało ~CH=>~P=1 D. Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padało ~CH=>P=0 Brak chmur wystarcza aby nie padało cnd 4.0.3 Definicja warunku koniecznego: Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzenika wynika => zanegowany następnik: p~>q = ~p=>~q ~p~>~q = p=>q Przykład 1: A. Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8 P2~>P8=1 bo 8 - wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy Na mocy definicji warunku koniecznego mamy: A: P2~>P8 = B: ~P2=>~P8 B. Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8 ~P2=>~P8 =1 Zdanie B jest prawdziwe, zatem w zdaniu A zachodzi warunek konieczny ~>. P2~>P8=1 Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest konieczna ~> aby była ona podzielna przez 8 Przykład 2: A. Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może ~~> być podzielna przez 8 P3~~>P8=1 bo 24 Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy. Warunek konieczny tu nie zachodzi bo: P3~>P8 = ~P3=>~P8 =0 bo 8 Prawa strona definicji jest fałszem, zatem w zdaniu P3~>P8 nie zachodzi warunek konieczny: P3~>P8=0 5.0 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata ... z przymrużeniem oka, czyli prosty sposób na zapamiętanie najważniejszych definicji operatorów logicznych. Na początku było: Kod: 1=1 i stał się cud: Kod: (p+~p)=(q+~q) p+~p=1 - prawo algebry Boole’a q+~q=1 - prawo algebry Boole’a czyli: Kod: A: p=>(q+~q) C: ~p=>(~q+q) stąd mamy … 5.1 Równoważność Operatorowa definicja równoważności: Kod:    p   q p<=>q A: p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) B: p=>~q =0    /o definicji w A i B C:~p=>~q =1    /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) D:~p=> q =0    /o definicji w C i D Definicja operatorowa równoważności: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - na podstawie definicji operatorowej W równoważności (i tylko tu) obowiązuje prawo kontrapozycji: ~p=>~q = q=>p Stąd równoważna definicja równoważności: p<=>q = (p=>q)*(q=>p) gdzie: => - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q Przykład: Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe TR<=>KR TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) = (TR=>KR)*(KR=>TR) = 1*1=1 Definicja zero jedynkowa równoważności dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Kod:    p q p<=>q A: 1 1 =1 B: 1 0 =0 C: 0 0 =1 D: 0 1 =0 5.2 Implikacja prosta W naszym Wszechświecie zdecydowanie przeważa implikacja powstała przez rozczepienie dwóch ostatnich linii w definicji równoważności. Możliwe jest rozczepienie linii A i B albo linii C i D. Implikacja prosta to rozczepienie linii C i D w definicji równoważności. 5.2.1 Operatorowa definicja implikacji prostej: Kod:    p   q p=>q A: p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) B: p=>~q =0    /o definicji w A i B … a jeśli zajdzie ~p ? Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q C:~p~>~q =1    /warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q) D:~p~~>q =1 p=>q Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q gdzie: => - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q o definicji wyłącznie w liniach A i B ~> - warunek konieczny, spójnik „może” między p i q o definicji: ~p~>~q = p=>q ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy 5.2.2 Pełna definicja implikacji prostej (opisująca wszystkie cztery linie) w równaniu algebry Boole’a: p=>q = ~p~>~q Dowód: Negujemy wszystkie zmienne i otrzymujemy definicję implikacji odwrotnej: ~p=>~q = p~>q ... o której za chwilę. 5.2.3 Zauważmy że znaczek „=>” nie jest operatorem logicznym, tzn nie opisuje wszystkich czterech linii tabeli zero-jedynkowej. Dowód: p=>q Negujemy zmienne wejściowe p i q i nie otrzymujemy definicji operatora implikacji odwrotnej: ~p=>~q To jest błąd czysto matematyczny współczesnej logiki matematycznej która błędnie myśli, iż znaczek „=>” opisuje wszystkie cztery linie tabeli zero-jedynkowej. 5.2.4 Jak widzimy zdanie A spełnia definicję implikacji prostej wtedy i tylko wtedy gdy udowodnimy warunek wystarczający (linie A i B) oraz dodatkowo udowodnimy prawdziwość zdań C i D, czyli znajdziemy jeden przypadek spełniający C i jeden przypadek spełniający D. Przykład: A. Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2 P8=>P2=1 Podzielność liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym, aby była ona podzielna przez 2 Definicja implikacji prostej spełniona bo: P8=>P2= ~P8~>~P2=1 C: ~P8~>~P2=1 bo 3 D: ~P8~~>P2=1 bo 2 Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Kod:    p q p=>q A: 1 1 =1 B: 1 0 =0 C: 0 0 =1 D: 0 1 =1 5.3 Implikacja odwrotna Implikacja odwrotna to rozczepienie linii A i B w definicji równoważności. 5.3.1 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej: Kod:    p    q p~>q A: p~>  q =1    /warunek konieczny w logice dodatniej (bo q) B: p~~>~q =1 … a jeśli zajdzie ~p ? Prawo Kubusia: p~>q = ~p=>~q C:~p=> ~q =1    /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) D:~p=>  q =0    /o definicji w C i D p~>q Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q Wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, plus musi być spełniona definicja warunku koniecznego ~>. gdzie: => - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q o definicji wyłącznie w liniach A i B ~> - warunek konieczny, spójnik „może” między p i q o definicji: p~>q = ~p=>~q ~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy 5.3.2 Pełna definicja implikacji odwrotnej (opisująca wszystkie cztery linie) w równaniu algebry Boole’a: p~>q = ~p=>~q Dowód: Negujemy wszystkie zmienne i otrzymujemy definicję implikacji prostej: ~p~>~q = p=>q ... o której wyżej. 5.3.3 Jak widzimy zdanie A spełnia definicję implikacji odwrotnej wtedy i tylko wtedy gdy udowodnimy warunek wystarczający (linie C i D) oraz dodatkowo udowodnimy prawdziwość zdań A i B, czyli znajdziemy jeden przypadek spełniający A i jeden przypadek spełniający B. Przykład: A. Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8 P2~>P8=1 bo 8 P2~~>~P8=1 bo 2 P2 jest konieczne dla P8 bo: P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1 - definicja warunku koniecznego ~> spełniona C. Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8 ~P2=>~P8=1 Definicja implikacji odwrotnej spełniona: P2~>P8 = ~P2=>~P8 =1 Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Kod:    p q p~>q A: 1 1 =1 B: 1 0 =1 C: 0 0 =1 D: 0 1 =0 5.4 Operator chaosu Możliwe jest totalne rozczepienie definicji równoważności, zarówno po stronie p jak i ~p. Nie ma wtedy żadnej gwarancji, mamy pełną przypadkowość. Operator chaosu, czyli definicja naturalnego spójnika „może” ~~> Kod:    p    q p~~>q A: p~~> q =1    /Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q B: p~~>~q =1    /Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q C:~p~~>~q =1    /Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q D:~p~~> q =1    /Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q p~~>q=1 Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q W każdym przypadku (A,B,C,D) wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy. Przykład: Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może ~~> być podzielna przez 8 P3~~>P8=1 bo 24 P3~~>~P8=1 bo 3 ~P3~~>~P8=1 bo 2 ~P3~~>P8=1 bo 8 Definicja zero-jedynkowa operatora chaosu ~~> dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Kod:    p q p~~>q A: 1 1 =1 B: 1 0 =1 C: 0 0 =1 D: 0 1 =1 5.5 Operator śmierci Operator śmierci to stan naszego Wszechświata przed jego stworzeniem. Wszystkie przeczenia p i q są zbiorami pustymi: p=0 ~p=0 q=0 ~q=0 Nie istnieje totalnie NIC, nie ma zdefiniowanego ani jednego pojęcia. Operator śmierci, wszystkie przeczenia p i q są zbiorami pustymi. Kod:    p    q p~~>q A: p~~> q =0    /zbiór pusty B: p~~>~q =0    /zbiór pusty C:~p~~>~q =0    /zbiór pusty D:~p~~> q =0    /zbiór pusty Definicja zero-jedynkowa operatora śmierci dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Kod:    p q p~~>q A: 1 1 =0 B: 1 0 =0 C: 0 0 =0 D: 0 1 =0 5.6 Wszystkie możliwe definicje równoważności i implikacji Komplet definicji równoważności i implikacji wyprowadzonych w rozszerzonej algebrze Kubusia. BIBLIA: Algebra Kubusia - matematyka języka mówionego Równoważność W dzisiejszej matematyce mamy zaledwie jedną definicję równoważności: 1. p<=>q = (p=>q)*(q=>p) Podczas gdy w algebrze Kubusia mamy dodatkowe, równoważne definicje: 2. Definicja aksjomatyczna wynikła bezpośrednio z definicji zero-jedynkowej: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) Definicja 1 to odprysk definicji aksjomatycznej 2 na mocy prawa kontrapozycji: ~p=>~q = q=>p - obowiązuje wyłącznie w równoważności 3. Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między p i q p<=>q = (p=>q)*[p~>q] 4. Równoważność to dwie gwarancje matematyczne: p<=>q = [~(p*~q)]*[~(~p*q)] 5. Równoważność w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) p<=>q = p*q + ~p*~q 6. Równoważność to dwa i tylko dwa zbiory rozłączne: p<=>q = p*q + ~p*~q A: p*q=1 C: ~p*~q=1 Wynika to bezpośrednio z aksjomatycznej, zero-jedynkowej definicji równoważności Uwaga: W dzisiejszej Teorii Mnogości jest błąd czysto matematyczny bo wedle TM: Równoważność to jeden zbiór Implikacja prosta 1. Definicja podstawowa implikacji prostej p=>q = ~p~>~q 2. Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego w kierunku p=>q p=>q=1 p~>q=0 Definicja warunku koniecznego: p~>q = ~p=>~q 3. Implikacja prosta to wyłącznie jedna gwarancja matematyczna p=>q = ~(p*~q) 4. Implikacja prosta w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) p=>q = ~p+q = ~(p*~q) 5. Implikacja prosta to trzy rozłączne zbiory, ani jednego mniej, ani jednego więcej: p=>q = ~p~>~q = p*q + ~p*~q + ~p*q A: p*q=1 C: ~p*~q=1 D: ~p*q=1 Wynika to bezpośrednio z aksjomatycznej, zero-jedynkowej definicji implikacji prostej. Implikacja odwrotna 1. Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p~>q = ~p=>~q 2. Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego w kierunku p~>q: p~>q=1 p=>q=0 Definicja warunku koniecznego: p~>q = ~p=>~q 3. Implikacja odwrotna to wyłącznie jedna gwarancja matematyczna p~>q = ~p=>~q = ~(~p*q) 4. Implikacja odwrotna w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q) 5. Implikacja odwrotna to trzy rozłączne zbiory, ani jednego mniej, ani jednego więcej p~>q = ~p=>~q = p*q + p*~q + ~p*~q A: p*q=1 C: p*~q=1 D: ~p*~q=1 Wynika to bezpośrednio z aksjomatycznej, zero-jedynkowej definicji implikacji prostej. Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 16:30, 16 Maj 2012, w całości zmieniany 39 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Wto 8:50, 08 Maj 2012    Temat postu: 6.0 Operatory OR i AND Definicje zero-jedynkowe operatorów OR i AND najłatwiej zapamiętać odwracając kota ogonem, czyli zaczynamy od definicji zero-jedynkowych. Na pamięć trzeba znać definicje zaledwie dwóch spójników z naturalnej logiki człowieka „lub”(+) oraz „i”(*). Reszta to logiczne myślenie. 6.0.1 Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy: Suma logiczna (spójnik „lub”(+)) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1. A1+A2+...An=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1 Dla dwóch zmiennych binarnych p i q: Y=p+q Y=1 <=> p=1 lub q=1 6.0.2 Definicja spójnika „i”(*) - koniunkcji: Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) n zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1. A1*A2*...An=1 <=> A1=1 i A2=1 i ... An=1 Dla dwóch zmiennych binarnych p I q: Y=p*q Y=1 <=> p=1 i q=1 To jest algebra Boole’a, zatem pozostałe przypadki musimy uzupełnić zerami w wyniku. 6.1 Operator OR 6.1.1 Definicja zero-jedynkowa operatora OR: Kod:    p q Y=p+q A: 1 1  =1 B: 1 0  =1 C: 0 1  =1 D: 0 0  =0 Korzystając z prawa algebry Boole’a: Jeśli p=0 to ~p=1 6.1.2 Zamieniamy tabelę zero-jedynkowa na postać symboliczną: Kod:    p q Y=p+q | p  q= Y=p+q W:           |Y=p+q              |Y=p+q=p*q+p*~q+~p*q A: 1 1  =1   | p* q= Y B: 1 0  =1   | p*~q= Y C: 0 1  =1   |~p* q= Y X:           |~Y=~p*~q D: 0 0  =0   |~p*~q=~Y    1 2   3   | 4  5  6 6.1.3 Elementarne równania logiczne opisujące powyższą tabelę są następujące. Obszar ABC123: Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y): Y= p+q = p*q+p*~q+~p*q co matematycznie oznacza: Y=1 <=> (p=1 lub q=1) = [(p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) bo wszystkie zmienne zostały sprowadzone do jedynek! Linia D123: Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y): ~Y=~p*~q co matematycznie oznacza: ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1 bo wszystkie zmienne zostały sprowadzone do jedynek! 6.1.4 Prawo przejścia do logiki przeciwnej: Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne Dla definicji operatora OR mamy: W: Y=p+q - logika dodatnia bo Y, obszar ABC123 negujemy zmienne i wymieniamy spójnik „lub”(+) na spójnik „i”(*): X: ~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y, linia D123 6.1.5 Definicja operatora OR: Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej, ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej. W: Y=p+q X: ~Y=~p*~q Wniosek: Spójnik logiczny to fundamentalnie co innego niż operator logiczny. 6.1.6 Związek logiki dodatniej i ujemnej: Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia Po podstawieniu W i X mamy prawo de’Morgana: Y = p+q = ~(~p*~q) 6.1.7 Z prawa de’Morgana wynika, że negując wszystkie zmienne p, q, Y musimy otrzymać definicję operatora AND. Prawo de’Morgana: Y = p+q = ~(~p*~q) Negujemy wejścia p i q y = ~p+~q = ~(p*q) Negujemy wyjście Y: ~y = ~(~p+~q) = p*q Ostatnie równanie to piękna definicja operatora AND, o którym za chwilę. stąd: 6.1.8 Równanie ogólne dla operatorów OR i AND: Y = p+q = ~(~p*~q) ## ~y = p*q = ~(~p+~q) gdzie: ## - rożne na mocy definicji Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. 6.1.9 Zauważmy, że układ równań w definicji operatora OR również jest poprawnym matematycznie, pełnym opisem tego operatora, bo negujemy wszystkie zmienne i otrzymujemy operator AND Definicja operatora OR: Y = p+q ~Y=~p*~q Negujemy wszystkie zmienne i mamy: Definicja operatora AND: ~Y=~p+~q Y=p*q 6.1.10 Zauważmy że samo równanie: Y=p+q nie jest pełnym opisem operatora OR bo negujemy zmienne: ~Y=~p+~q i nie otrzymujemy operatora OR! 6.1.11 Wnioski: 1. Znaczek alternatywy „+” nie jest kompletnym operatorem OR tzn. nie opisuje wszystkich czterech linii tabeli zero-jedynkowej, 2. We współczesnej logice alternatywa „+” to kompletny operator logiczny, wszystkie cztery linie. To jest oczywiście błąd czysto matematyczny, to jest fizycznie niemożliwe! Opis tabeli zero jedynkowej operatora OR równaniem: Y=p+q Jest poprawny, bo jest jednoznaczny. Trzeba jednak rozumieć że znaczek „+” w tym zapisie to nie kompletny operator OR (wszystkie cztery linie) a wyłącznie spójnik logiczny „lub”(+), czyli zaledwie połówka operatora OR (trzy linie tabeli zero-jedynkowej). Dysponując wyłącznie powyższym równaniem łatwo odtworzymy tabele zero-jedynkową i wygenerujemy wszystkie możliwe równania logiczne dla operatora OR w ilości sztuk 8. Każde z tych równań jest jednoznacznym opisem operatora OR, ale równanie minimalne to: Y=p+q 6.1.12 Przykład: A. Jutro pójdę do kina lub do teatru Y=K+T co matematycznie oznacza: Y=1 <=> K=1 lub T=1 Dotrzymam słowa (Y=1) , wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1) Y = K+T ... a kiedy skłamię? Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne: ~Y=~K*~T B. Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1) ~Y=~K*~T co matematycznie oznacza: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1 czytamy: Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y), gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1) Zdanie równoważne do A otrzymujemy korzystając z pełnej definicji spójnika „lub”(+): Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q Nasz przykład: Y = K+T = K*T + K*~T + ~K*T Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro: K*T = 1*1=1 - pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1) lub K*~T=1*1=1 - pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1) lub ~K*T=1*1=1 - nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1) 6.2 Operator AND 6.2.1 Definicja zero-jedynkowa operatora AND: Kod:    p q Y=p*q A: 1 1  =1 B: 0 0  =0 C: 0 1  =0 D: 1 0  =0 Korzystając z prawa algebry Boole’a: Jeśli p=0 to ~p=1 6.2.2 Zamieniamy tabelę zero-jedynkowa na postać symboliczną: Kod:    p q Y=p*q | p  q= Y=p*q W:           |Y=p*q A: 1 1  =1   | p* q= Y X:           |~Y=~p+~q Y:           |~Y=~p+~q=~p*~q+~p*q+p*~q B: 0 0  =0   |~p*~q=~Y C: 0 1  =0   |~p* q=~Y D: 1 0  =0   | p*~q=~Y    1 2   3   | 4  5  6 6.2.3 Elementarne równania logiczne opisujące powyższą tabelę są następujące. Linia D123: Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y): Y=p*q co matematycznie oznacza: Y=1 <=> p=1 i q=1 bo wszystkie zmienne zostały sprowadzone do jedynek! Obszar BCD123: Definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y): ~Y= ~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q co matematycznie oznacza: ~Y=1 <=> (~p=1 lub ~q=1) = [(~p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) bo wszystkie zmienne zostały sprowadzone do jedynek! 6.2.4 Prawo przejścia do logiki przeciwnej: Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne Dla definicji operatora AND mamy: W: Y=p*q - logika dodatnia bo Y, linia A123 negujemy zmienne i wymieniamy spójnik „i”(*) na spójnik „lub”(+): X: ~Y=~p+~q - logika ujemna bo ~Y, obszar BCD123 6.2.5 Definicja operatora AND: Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej, ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej. W: Y=p*q X: ~Y=~p+~q Wniosek: Spójnik logiczny to fundamentalnie co innego niż operator logiczny. 6.2.6 Związek logiki dodatniej i ujemnej: Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia Po podstawieniu W i X mamy prawo de’Morgana: Y = p*q = ~(~p+~q) 6.2.7 Z prawa de’Morgana wynika, że negując wszystkie zmienne p, q, Y musimy otrzymać definicję operatora AND. Prawo de’Morgana: Y = p*q = ~(~p+~q) Negujemy wejścia p i q y = ~p*~q = ~(p+q) Negujemy wyjście Y: ~y = ~(~p*~q) = p+q Ostatnie równanie to piękna definicja operatora OR, który już znamy stąd: 6.2.8 Równanie ogólne dla operatorów AND i OR: Y = p*q = ~(~p+~q) ## ~y = p+q = ~(~p*~q) gdzie: ## - rożne na mocy definicji Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. 6.2.9 Zauważmy, że układ równań w definicji operatora AND również jest poprawnym matematycznie, pełnym opisem tego operatora, bo negujemy wszystkie zmienne i otrzymujemy operator OR. Definicja operatora AND: Y = p*q ~Y=~p+~q Negujemy wszystkie zmienne i mamy: Definicja operatora OR: ~Y=~p*~q Y=p+q 6.2.10 Zauważmy że samo równanie: Y=p*q nie jest pełnym opisem operatora AND bo negujemy zmienne: ~Y=~p*~q i nie otrzymujemy operatora OR! 6.2.11 Wnioski: 1. Znaczek koniunkcji „*” nie jest kompletnym operatorem AND tzn. nie opisuje wszystkich czterech linii tabeli zero-jedynkowej, 2. We współczesnej logice koniunkcja „*” to kompletny operator logiczny, wszystkie cztery linie. To jest oczywiście błąd czysto matematyczny, to jest fizycznie niemożliwe! Opis tabeli zero jedynkowej operatora AND równaniem: Y=p*q Jest poprawny, bo jest jednoznaczny. Trzeba jednak rozumieć że znaczek „*” w tym zapisie to nie kompletny operator OR (wszystkie cztery linie) a wyłącznie spójnik logiczny „i”(*), czyli zaledwie połówka operatora OR (A123 - jedna linia tabeli zero-jedynkowej). Dysponując wyłącznie powyższym równaniem łatwo odtworzymy tabelę zero-jedynkową i wygenerujemy wszystkie możliwe równania logiczne dla operatora AND w ilości sztuk 8. Każde z tych równań jest jednoznacznym opisem operatora AND, ale równanie minimalne to: Y=p*q 6.2.12 Przykład: A. Jutro pójdę do kina i do teatru Y=K*T co matematycznie oznacza: Y=1 <=> K=1 i T=1 Dotrzymam słowa (Y=1) , wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1) Y = K*T ... a kiedy skłamię? Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne: ~Y=~K+~T B. Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1) ~Y=~K+~T co matematycznie oznacza: ~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1 czytamy: Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y), gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1) Zdanie równoważne do B otrzymujemy korzystając z pełnej definicji spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y): ~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q Nasz przykład: ~Y = ~K+~T = ~K*~T + ~K*T + K*~T Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro: ~K*~T = 1*1=1 - nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1) lub ~K*T=1*1=1 - nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1) lub K*~T=1*1=1 - pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1) 7.0 Dowodzenie twierdzeń matematycznych 7.0.1 Operatorowa definicja równoważności: Kod:    p   q p<=>q A: p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) B: p=>~q =0    /o definicji w A i B C:~p=>~q =1    /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) D:~p=> q =0    /o definicji w C i D Definicja operatorowe równoważności: I. p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - na podstawie definicji operatorowej Stąd definicja zero jedynkowa równoważności dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli: p=1, ~p=0 q=1, ~q=0 Kod:    p q p<=>q A: 1 1 =1 B: 1 0 =0 C: 0 0 =1 D: 0 1 =0 7.0.2 II. W równoważności (i tylko tu) obowiązuje prawo kontrapozycji: ~p=>~q = q=>p Stąd równoważna definicja równoważności: p<=>q = (p=>q)*(q=>p) 7.0.3 Inna równoważna definicja równoważności: III. Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w kierunku p=>q A: p=>q =1 B: p~>q = ~p=>~q =1 Dla zajścia q potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło p p<=>q = (p=>q)*[p~>q] = (p=>q)*(~p=>~q) gdzie: [p~>q] - wirtualny warunek konieczny, (niedostępny w świecie rzeczywistym) o definicji: [p~>q] = ~p=>~q Jak widzimy koniec końców i tak wszystko sprowadza się do badania warunku wystarczającego =>. Przykład: Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe TR<=>KR = (TR=>KR)*(TR~>KR) = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) Do tego aby trójkąt był równoboczny potrzeba ~> i wystarcza => aby miał kąty równe. 7.0.4 Przykład: Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) Analiza matematyczna: A. Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe TR=>KR=1 B. Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => nie ma katów równych TR=>~KR=0 stąd w zdaniu A zachodzi warunek wystarczający: Bycie trójkątem równobocznym wystarcza, aby miał kąty równe Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo KR) spełniony. Z definicji równoważności: TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) =1*? =? Badamy warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~KR) C. Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych ~TR=>~KR=1 D. Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe ~TR=>KR=0 stąd w zdaniu C zachodzi warunek wystarczający: Bycie trójkątem nierównobocznym wystarcza, aby nie miał on katów równych. Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~KR) spełniony. Na mocy powyższego spełniona jest definicja równoważności: TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) = 1*1 =1 Nasza analiza w tabeli zero-jedynkowej: Kod:   TR KR TR<=>KR=(TR=>KR)*(~TR=>~KR) A: 1  1   =1  | TR=> KR =1 B: 1  0   =0  | TR=>~KR =0 C: 0  0   =1  |~TR=>~KR =1 D: 0  1   =0  |~TR=> KR =0 Punktem odniesienia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli. TR<=>KR Stąd: TR=1, ~TR=0 KR=1, ~KR=0 Doskonale widać tabelę zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym: TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)=1*1=1 Oczywiście zdania po prawej stronie to tylko i wyłącznie warunki wystarczające: TR=>KR=1 - warunek wystarczający o definicji wyłącznie w liniach A i B ~TR=>~KR=1 - warunek wystarczający o definicji wyłącznie w liniach C i D To nie są implikacje proste! 7.0.5 Twierdzenie: Jeśli cokolwiek jest równoważnością prawdziwą to nie ma prawa być implikacją prawdziwą i odwrotnie. Dowód: Wynika to bezpośrednio z aksjomatycznych, zero-jedynkowych definicji równoważności i implikacji. 7.0.6 Alternatywnie w punktach C i D możemy skorzystać z równoważnej definicji równoważności i badać prawdziwość twierdzenia odwrotnego q=>p: p<=>q = (p=>q)*(q=>p) TR<=>KR = (TR=>KR)*(KR=>TR)=1*1=1 W naszym Wszechświecie zdecydowanie przeważa implikacja powstała przez rozczepienie dwóch ostatnich linii w definicji równoważności. 7.0.7 Operatorowa definicja implikacji prostej: Kod:    p   q p=>q A: p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) B: p=>~q =0    /o definicji w A i B … a jeśli zajdzie ~p ? Prawo Kubusia: p=>q = ~p~>~q C:~p~>~q =1    /warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q) D:~p~~>q =1 Warunek wystarczający o definicji wyłącznie w liniach A i B: p=>q Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q Jak widzimy zdanie A spełnia definicję implikacji prostej wtedy i tylko wtedy gdy dodatkowo udowodnimy zachodzenie C i D, czyli znajdziemy jeden przypadek spełniający C i jeden przypadek spełniający D. 7.1 Schemat dowodzenia twierdzeń matematycznych Schemat dowodzenia twierdzeń matematycznych: I. Dowodzimy warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) p=>q II. Dowodzimy warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q) ~p=>~q Jeśli oba warunki są spełnione to mamy do czynienia z równoważnością: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) =1*1=1 Jeśli jeden warunek (dowolny) jest spełniony a drugi nie jest spełniony to mamy do czynienia z implikacją. p=>q = ~p~>~q - definicja implikacji prostej ~p=>~q = p~>q - definicja implikacji odwrotnej Jeśli oba warunki wystarczające => są niespełnione to mamy do czynienia z operatorem chaosu ~~>, gdzie wszystkie zdania z dowolnymi przeczeniami p i q są prawdziwe. Przykład: Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3 P8~~>P3=1 bo 24 P8~~>~P3=1 bo 8 ~P8~~>~P3=1 bo 1 ~P8~~>P3=1 bo 3 gdzie: ~~> - naturalny spójnik może, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy 7.2 Dowodzenie warunku wystarczającego 7.2.1 Twierdzenie: Dowolne twierdzenie matematyczne wyrażone w spójniku „Jeśli p to q” to tylko i wyłącznie warunek wystarczający. Dla rozstrzygnięcia czy dane twierdzenie jest równoważnością czy też czymś fundamentalnie innym, implikacją, konieczny jest dodatkowy dowód, o czym za chwilę. 7.2.2 W całym obszarze logiki zdanie: Jeśli p to q Jest równoważne zdaniu: Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q p=>q Wynika z tego że w logice spójnik „na pewno” => jest domyślny i nie musi być wypowiadany Przykład zdań tożsamych: Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2 P8=>P2=1 Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2 P8=>P2=1 7.2.3 Sposób I Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) Kod:    p   q p=>q A: p=> q =1    /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) B: p=>~q =0    /o definicji w A i B p=>q Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q z czego wynika że linia B musi być twardym fałszem czyli: Bierzemy kolejno wszystkie obiekty spełniające warunek p i badamy czy dla każdego z nich zachodzi q Obiektów spełniających warunek ~p nie rozpatrujemy, bowiem w poprzedniku warunku wystarczającego mamy filtr „Jeśli zajdzie p” 7.2.4 Twierdzenie: Prawdziwość dowolnego zdania: Jeśli zajdzie p to zajdzie q dowodzimy rozpatrując wyłącznie obiekty precyzyjnie zdefiniowane w poprzedniku p. Dowód wyżej. Przykład: Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe TR=>KR Rozpatrujemy wyłącznie trójkąty równoboczne badając czy każdy z nich ma kąty równe. Trójkątów nierównobocznych nie rozpatrujemy, bowiem w poprzedniku warunku wystarczającego mamy filtr „Jeśli trójkąt jest równoboczny” 7.2.5 Sposób II Drugi, bardzo ważny sposób dowodzenia warunku wystarczającego => to szukanie kontrprzykładu. Definicja kontrprzykładu: Kod: A: p~~> q=1 B: p~~>~q=1 p~~>q Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q gdzie: ~~> - naturalny spójnik może, wystarczy znaleźć jeden przypadek prawdziwy Jeśli zdania A i B są prawdziwe, to warunek wystarczający nie zachodzi: p=>q =0 Jeśli zdanie A jest prawdziwe i wykluczymy B to warunek wystarczający zachodzi: p=>q =1 Nasz przykład: Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe A: TR~~>KR=1 - wystarczy pokazać jeden taki trójkąt B: TR~~>~KR=0 Oczywiście tu kontrprzykładu B nie znajdziemy, co jest dowodem iż zdanie A spełnia definicję warunku wystarczającego =>. TR=>KR=1 7.2.6 ... ale weźmy takie zdanie. A. Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 3 P8=>P3=0 bo kontrprzykład: 8 Na mocy definicji kontrprzykładu: Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3 P8~~>~P3=1 bo 8 ~~> - naturalny spójnik może, wystarczy znaleźć jeden przypadek prawdziwy Wniosek: Zdanie A nie spełnia definicji warunku wystarczającego =>. P8=>P3=0 bo 8 7.2.7 Warunek wystarczający w zapisie kwantyfikatorowym: /\x p(x) => q(x) Dla każdego x jeśli zajdzie p(x) to na pewno => zajdzie q(x) W definicji kwantyfikatora wyrażenie „Jeśli zajdzie p(x)” jest filtrem na mocy którego rozpatrujemy wyłącznie obiekty zgodne z p(x) Przykład: A. Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno ma kąty równe TR=>KR Zdanie A w zapisie kwantyfikatorowym: /\TR TR(x)=>KR(x) czyli: Dla każdego wylosowanego trójkąta x, jeśli trójkąt x jest równoboczny, to na pewno => trójkąt x ma kąty równe. Wytłuszczono filtr na mocy którego mamy zakaz rozpatrywania trójkątów nierównobocznych. 7.3 Dowodzenie warunku koniecznego 7.3.1 Definicja warunku koniecznego: Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik: p~>q = ~p=>~q ~p~>~q = p=>q gdzie: => - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki ~> - warunek konieczny, spójnik „może” między p i q o definicji wyżej 7.3.2 Zdanie: Jeśli zajdzie p to może zajść q może być: 1. Zdaniem prawdziwym, jeśli istnieje część wspólna zbiorów p i q 2. Zdaniem fałszywym, gdy zbiory p i q są rozłączne 7.3.3 Przykład 1. A. Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem 4L~>P=1 bo pies Prawo Kubusia: 4L~>P = ~4L=>~P=1 Prawa strona jest prawdą zatem w zdaniu A zachodzi warunek konieczny ~> B. Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem ~4L=>~P=1 bo kura, mrówka, wąż 7.3.4 Przykład 2. A. Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap ~P~>~4l=1 bo kura, mrówka, wąż Prawo Kubusia: ~P~>~4L = P=>4L=1 Prawa strona jest prawdą zatem w zdaniu A zachodzi warunek konieczny ~> B. Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma cztery łapy P=>4L=1 bo pies 7.3.5 Przykład 3. Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3 P8~~>P3=1 bo 24 Prawo Kubusia: P8~>P3 = ~P8=>~P3=0 bo 2 Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu A nie zachodzi warunek konieczny ~> Zdanie A jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy. 7.3.6 Przykład 4. A. Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2 P8~~>P2=1 bo 8 Zbiory P8 i P2 mają cześć wspólną, zatem to zdanie jest prawdziwe Na mocy definicji naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy znaleźć jeden przypadek. To zdanie jest zaczynem szukania czegoś większego, czyli implikacji lub równoważności. Zauważamy bowiem, że powyższe zdanie jest prawdziwe także dla liczb: 16, 24 ... W tym momencie zadajemy sobie pytanie czy powyższe zdanie jest prawdziwe dla dowolnej liczby podzielnej przez 8. 7.3.7 Formułujemy twierdzenie matematyczne: Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2 P8=>P2 Pozostaje „drobiazg”, udowodnić to twierdzenie. 7.3.8 Przykład 5. Jeśli pies ma cztery łapy to kura ma dwie nogi P4L=>K2N =0 Zbiór psów jest rozłączny ze zbiorem kur, zatem to zdanie jest fałszywe 8.0 Świat zdeterminowany 8.0.1 Symboliczna definicja operatora logicznego: Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q 8.0.2 Prawo Sowy: W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND. Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego. 8.0.3 Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q. Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy. 8.0.4 Przykład 1: A. Mickiewicz był polakiem lub napisał Pana Tadeusza Y=MP+PT Mamy tu świat totalnie zdeterminowany gdzie wartości logiczne p i q znamy z góry MP=1, ~MP=0 PT=1, ~PT=0 Definicja spójnika „lub”(+): p+q = p*q + p*~q + ~p*q stąd: MP+PT = (MP*PT=1*1=1) + (MP*~PT=1*0=0) + (~MP*PT=0*1=0) := MP*PT gdzie: := - symbol redukcji do funkcji minimalnej na mocy definicji spójnika „lub”(+) Na mocy prawa Sowy, jedynym zdaniem prawdziwym będzie tu zdanie: B. Mickiewicz był polakiem i napisał Pana Tadeusza Y=MP*PT Za każde inne zdanie różne od B, ekspert algebry Kubusia, ten straszny polonista, postawi pałę. Interpretacja: Mickiewicz był polakiem MP=1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe Mickiewicz nie był polakiem ~MP=0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe Mickiewicz napisał Pana Tadeusza PT=1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe Mickiewicz nie napisał Pana Tadeusza ~PT=0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe Mamy zatem 100% determinizm: MP=1, ~MP=0 PT=1, ~PT=0 Tabela prawdy dla naszego przykładu: Kod:  MP* PT =1*1=1  MP*~PT =1*0=0 ~MP*~PT =0*0=0 ~MP* PT =0*1=0 Doskonale widać definicję operatora AND 8.0.4 Przykład 2. Morderstwa dokonano w Warszawie. Podejrzany: Kowalski Śledczy: A. Jeśli Kowalski był w Warszawie to mógł zabić KW~>KZ ... a jeśli nie był w Warszawie? Prawo Kubusia: KW~>KZ = ~KW=>~KZ B. Jeśli Kowalski nie był w Warszawie to na pewno nie zabił ~KW=>~KZ Zauważmy, że taka analiza ma sens gdy nie wiemy czy Kowalski jest mordercą. Śledczy: Sprawdziłem, Kowalski nie był w Warszawie zatem nie mógł zamordować Y = ~KW*~KZ =1*1=1 Oczywiście: zatem = spójnik „i”(*). Zauważmy że w tym momencie implikacje A i B wyżej są bez sensu, bo robią ze śledczego idiotę. Idiota śledczy: Sprawdziłem, jeśli Kowalski nie był w warszawie to na pewno => nie zabił ~KW=>~KZ W przypadku znajomości rozwiązania mamy determinizm: KW=0, ~KW=1 KZ=0, ~KZ=1 Budujemy tabelę prawdy: Kod:  KW* KZ =0*0=0  KW*~KZ =0*1=0 ~KW*~KZ =1*1=1 ~KW* KZ =1*0=0 Doskonale widać definicję operatora AND. Oczywiście: Przeszłość = 100% determinizm Jeśli jednak nie wiemy co się stało w przeszłości to możemy używać implikacji, aby dojść do prawdy (nie zawsze to jest możliwe) 8.0.5 Przykład 3: A. Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2 P8=>P2=1 bo 8,16… - twarda prawda, gwarancja matematyczna, zachodzi zawsze bez wyjątków Zbiory: P8=[8,16…] P2=[2,4,8,16..] P8*P2=1*1=1 bo 8,16… Zbiory P8 i P2 istnieją (P8=1 i P2=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden B. Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2 P8=>~P2=0 – twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A Zbiory: P8=[8,16..] ~P2=[1,3,5…] P8*~P2=1*1=0 Zbiory P8 i ~P2 istnieją, ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty) … a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 ? Prawo Kubusia: P8=>P2 = ~P8~>~P2 C. Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2 ~P8~>~P2=1 bo 3,5.. – miękka prawda, może zajść ale nie musi bo D Zbiory: ~P8=[2,3,5…] ~P2=[3,5,7…] ~P8*~P2=1 bo 3,5… Zbiory ~P8 i ~P2 istnieją (~P8=1 i ~P2=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden LUB D. Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2 ~P8~~>P2=1 bo 2,4… - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo C Zbiory: ~P8=[2,4,5…] P2=[2,4,6…] ~P8*P2=1 bo 2,4… Zbiory ~P8 i P2 istnieją (~P8=1 i P2=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia: D: ~P8~>P2 = B: P8=>~P2=0 bo 8 Prawa strona jest fałszem zatem w zdaniu D nie ma prawa zachodzić warunek konieczny. Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy. Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A: P8=1, ~P8=0 P2=1, ~P2=0 Kod:                    |P8 P2 P8=>P2 A: P8=>P2=1 bo 8   | 1  1  =1 B: P8=>~P2=0       | 1  0  =0 C: ~P8~>~P2=1 bo 3 | 0  0  =1 D: ~P8~~>P2=1 bo 2 | 0  1  =1 Punktem odniesienia jest zawsze nagłówek tabeli zero-jedynkowej                    |P8=1, ~P8=0                    |P2=1, ~P2=0 8.0.6 Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko B, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek. 8.0.7 Prawo Sowy: W świecie zdeterminowanym (gdy znamy rozwiązanie) dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND. 8.0.8 Definicja implikacji w zbiorach: Kod: A: P8=>P2     | P8* P2 B: P8=>~P2    | P8*~P2 C: ~P8~>~P2   |~P8*~P2 D: ~P8~~>P2   |~P8* P2 8.0.9 Przykład: Wylosowana liczba: 8 Dla tego losowania zdanie A będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe Jeśli wylosowano liczbę 8 (L8=1) to jest ona podzielna przez 8 (P8=1) i jest podzielna przez 2 (P2=1) L3=>P8*P2 Co matematycznie oznacza: L8=1 => P8=1 i P2=1 stąd dla liczby 8 mamy: ~P8=0, ~P2=0 stąd definicja zero-jedynkowa w zbiorach: Kod: A: P8=>P2     | P8* P2 =1*1=1 B: P8=>~P2    | P8*~P2 =1*0=0 C: ~P8~>~P2   |~P8*~P2 =0*0=0 D: ~P8~~>P2   |~P8* P2 =0*1=0 Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND 8.0.10 Wylosowana liczba: 3 Dla tego losowania zdanie C będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe Jeśli wylosowano liczbę 3 (L3=1) to nie jest ona podzielna przez 8 (~P8=1) i nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) L3=>~P8*~P2 Co matematycznie oznacza: L3=1 => ~P8=1 i ~P2=1 stąd dla liczby 3 mamy: P8=0, P2=0 stąd definicja zero-jedynkowa w zbiorach: Kod: A: P8=>P2     | P8* P2 =0*0=0 B: P8=>~P2    | P8*~P2 =0*1=0 C: ~P8~>~P2   |~P8*~P2 =1*1=1 D: ~P8~~>P2   |~P8* P2 =1*0=0 Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND 8.0.11 Wylosowana liczba: 2 Dla tego losowania zdanie D będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe Jeśli wylosowano liczbę 2 (L2=1) to nie jest ona podzielna przez 8 (~P8=1) i jest podzielna przez 2 (P2=1) L2=>~P8*P2 co matematycznie oznacza: L2=1 => ~P8=1 i P2=1 Stąd dla liczby 2 mamy: P8=0, ~P2=0 stąd definicja zero-jedynkowa w zbiorach: Kod: A: P8=>P2     | P8* P2 =0*1=0 B: P8=>~P2    | P8*~P2 =0*0=0 C: ~P8~>~P2   |~P8*~P2 =1*0=0 D: ~P8~~>P2   |~P8* P2 =1*1=1 Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko B, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek. 9.0 Obietnice i groźby Żaden matematyk nie zakwestionuje poniższej definicji obietnicy: Obietnica = implikacja prosta (p=>q = ~p~>~q) To jest w każdym podręczniku matematyki do I klasy LO To wystarczy, dalej w banalny sposób można udowodnić że: Groźba = implikacji odwrotna (p~>q = ~p=>~q) Dowód na przykładzie … 9.1 Obietnica Typowa obietnica: A. Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę G=>C =1 - gwarancja matematyczna Bycie grzecznym jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania czekolady. Obietnica, zatem implikacja prosta (p=>q = ~p~>~q), tu wszyscy się zgadzamy gdzie: => - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” miedzy p i q w całym obszarze logiki Skoro to warunek wystarczający => to na mocy definicji: B. Jeśli będziesz grzeczny to na pewno => nie dostaniesz czekolady G=>~C =0 … a jak będę niegrzeczny ? Prawo Kubusia: G=>C = ~G~>~C Mama: C. Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady ~G~>~C W groźbach (zdanie C) spójnik „może” ~> jest z reguły pomijany. Nie ma to znaczenia gdyż spójnik ten jest gwarantowany przez absolutna świętość algebry Boole’a, prawo Kubusia. Z prawa Kubusia wynika tu coś fundamentalnego: Wszelkie groźby (zdanie C) musimy kodować operatorem implikacji odwrotnej, inaczej algebra Kubusia (i Boole’a!) leży w gruzach. Matematyczne znaczenie zdania C jest oczywiście takie: C. Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~> nie dostać czekolady ~G~>~C =1 Bycie niegrzecznym jest warunkiem koniecznym, aby nie dostać czekolady. LUB D. Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę ~G~~>C =1 - akt miłości! To jest święte prawo nadawcy do darowania dowolnej kary, oczywiście może ~~> darować, ale nie musi => darować! gdzie: ~> - warunek konieczny ~~> - naturalny spójnik "może", jest taka możliwość. Z powyższej analizy matematycznej wynika, że wszelkie groźby muszą być kodowane implikacją odwrotną! Jedyne możliwe definicje obietnicy i groźby są zatem takie. Definicja obietnicy: Jeśli dowolny warunek to nagroda W=>N = ~W~>~N Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody Prawo Kubusia: W=>N = ~W~>~N Gwarancją w implikacji jest zawsze warunek wystarczający =>. W=>N Jeśli spełnię warunek nagrody to na pewno => dostanę nagrodę z powodu że spełniłem warunek nagrody … poza tym wszystko może się zdarzyć. W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie dać, zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą. Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych. 9.2 Groźba Definicja groźby: Jeśli dowolny warunek to kara W~>K = ~W=>~K Implikacja odwrotna na mocy definicji! Nadawca może ukarać, ale nie musi. Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca. Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia: W~>K = ~W => ~K Stąd gwarancja: ~W => ~K Jeśli nie spełnię warunku kary to na pewno => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć. W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą. Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia. Przykład: Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie B~>L = ~B=>~L - implikacja odwrotna bo groźba Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania z powodu brudnych spodni. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca. W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne. Analiza: A: Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie B~>L =1 Brudne spodnie są warunkiem koniecznym dla dostania lania z powodu brudnych spodni! LUB B: Jeśli ubrudzisz spodnie to nie dostaniesz lania B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski) Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>. Nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski) zależnej od niego! Przykład: JPII i Ali Agca … a jeśli nie ubrudzę spodni ? B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia czyli: C: Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania (z powodu że nie ubrudziłeś spodni!) ~B => ~L =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna Z punktu odniesienia zdania C mamy do czynienia z implikacją prostą. Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej. stąd: D: Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => dostaniesz lanie ~B => L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego z powodu czystych spodni Raj 2012-05-08 Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 6:23, 09 Maj 2012, w całości zmieniany 5 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Wto 9:00, 08 Maj 2012    Temat postu: ... Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Wto 16:07, 08 Maj 2012    Temat postu: Pierwszy komentarz zawodowego logika: – pojawiający się w 2.1.2 po raz pierwszy zapis definicji symbolicznej jest mylący, bo używa tego samego symbolu, co operator AND; miałby możne on większy sens, gdyby nie używał znaku =. Jak czytam o równoważności i nagle mam p*q=1, a zaraz potem ~p*~q=1, to nie wiem, czy to znaczy, że oba p i q są prawdziwe, czy żadne nie jest Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+): p<=>q = p*q + ~p*~q co matematycznie oznacza: p<=>q=1 <=> (p=1 i q=1) lub (~p=1 i ~q=1) Nasz przykład: TP<=>SK = (TP=1 i SK=1) lub (~TP=1 i ~SK=1) Oczywiście wszystkie te zbiory istnieją (nie są puste), dlatego ich wartość logiczna jest równa 1 TP = SK =1 - zbiory tożsame ~TP=~SK=1 - zbiory tożsame Oczywiście to jest algebra Boole’a, zatem w pozostałych możliwych przeczeniach musimy uzyskać 0. p*~q=0 i ~p*q=0 co doskonale widać w powyższej tabeli. To są banały które musisz zaakceptować. W algebrze Kubusia i algebrze Boole’a znaczek „*” to nie jest operator AND! To tylko spójnik „i”(*) o jednolinijkowej definicji: Kod: p q Y=p*q 1 1  =1 2.1.2 Rozstrzyganie czym jest wypowiedziane zdanie przy pomocy zbiorów i spójnika „i”(*) to najprymitywniejsza metoda, która tylko zasygnalizowałem. Prymitywna dlatego że bez związku z językiem mówionym. W równoważności i implikacji używa się zaledwie trzech spójników (nie operatorów!) z naturalnej logiki człowieka: =>, ~>, ~~> KONIEC Dowód iż znaczek alternatywy „+” nie może być operatorem jest w pkt.6.2. – cały punkt 7.1–7.3 jest nieproduktywny; niczego ciekawego tymi metodami się nie da udowodnić Nie zgadzam się. Wedle moderatora Rogala z matematyki.pl matematyka działa tak: Dowodzę twierdzenia: p=>q Odwracam i szukam kontrprzykładu. Jest: wykluczona równoważność Matematyka działa dobrze bo prawidłowo rozpoznaje warunek wystarczający = kwantyfikator duży. ... ale kwantyfikator duży w KRZiP jest błędny matematycznie bo w implikacji po stronie ~p masz: Kod: 0 0 =1  /~p~>~q=1 0 1 =1  /~p~~>q=1 Natomiast w równoważności po stronie ~p masz: Kod: 0 0 =1  /~p=>~q=1 0 1 =0  /~p=>q=0 KRZiP zakłada bezpodstawnie ze każde zdanie p=>q jest implikacją prostą - i tu jest ten błąd czysto matematyczny. W implikacji i równoważności po stronie p masz identyczny warunek wystarczający = konkretne zdanie: Kod: p=>q=1  /1 1 =1 p=>~q=0 /1 0 =0 Każde dziecko, nawet w gimnazjum powinno wiedzieć że A i B to: A. P8=>P2=1 - to jest implikacja prosta Definicja szczegółowa: P8=>P2 = ~P8~>~P2=1 - całość to implikacja prosta B. TP=>SK=1 - to nie jest implikacja prosta! bo nie spełnia definicji zero-jedynkowej implikacji prostej. TP=>SK=1 to tylko warunek wystarczających o definicji w dwóch linijkach tabelli zero-jedynkowej. Kod: TP=>SK=1    /1 1 =1 TP=>~SK=0   /1 0 =0 Definicja szczegółowa: TP=>SK = ~TP=>~SK=1 Całość to równowazność: TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) Mamy różne definicje logiki. 2.0.4 Definicja logiki w algebrze Kubusia Logika to narzędzia do rozwiązywania problemów a nie rozwiązywanie konkretnego problemu. Przykładowo w dzisiejszej matematyce istnieje tylko jedna definicja równoważności: 1. p<=>q = (p=>q)*(q=>p) Podczas gdy w algebrze Kubusia mamy dodatkowe, równoważne definicje: 2. Definicja aksjomatyczna wynikła bezpośrednio z definicji zero-jedynkowej: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) Definicja 1 to odprysk definicji aksjomatycznej 2 na mocy prawa kontrapozycji: ~p=>~q = q=>p - obowiązuje wyłącznie w równoważności 3. Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między p i q p<=>q = (p=>q)*[p~>q] 4. Równoważność to dwie gwarancje matematyczne: p<=>q = [~(p*~q)]*[~(~p*q)] 5. Równoważność w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) p<=>q = p*q + ~p*~q 6. Równoważność to dwa i tylko dwa zbiory rozłączne: A: p*q=1 C: ~p*~q=1 Wynika to bezpośrednio z aksjomatycznej, zero-jedynkowej definicji równoważności Uwaga: W dzisiejszej Teorii Mnogości jest błąd czysto matematyczny bo wedle TM: Równoważność to jeden zbiór – nadal nie ma uzasadnienia, czym się różni groźba od obietnicy i czemu „akt miłości” jest dozwolony, a „akt chamstwa” nie Obietnica = implikacja prosta: Musisz dotrzymać obietnicy Groźba = implikacja odwrotna: Możesz wykonać groźbę, ale nie musisz Czy widzisz różnicę? Oczywiście jak ktoś ci obieca nagrodę (obietnica) i nie dotrzyma słowa to jest chamem, ale ty dzięki matematyce wiesz że jest chamem i wszyscy to wiedzą. Co do elektroniki: to fajne hobby, mam paru znajomych, którzy w tym siedzą. Ja sam nigdy się tym nie zajmowałem. Mimo wszystko nadal uważam, że elektronika nie jest dziedziną, która jest w jakiś znaczący sposób powiązana z logiką; to, że tu i tu są jakieś negacje i koniunkcje nie znaczy jeszcze nic. Mylisz się. Nie zaprojektujesz złożonego automatu cyfrowego w zerach i jedynkach - to fizycznie niemożliwe. Projektanci myślą w naturalnej logice człowieka, czyli: równaniami algebry Boole’a = naturalna logika człowieka. Mamy inne definicje logiki. W algebrze Kubusia jest taka: Logika powinna dostarczać jak najwięcej narzędzi do rozwiązywania problemów a nie rozwiązywać problem W algebrze Kubusia rozstrzygać czy cokolwiek jest implikacją albo równoważnością możesz na wieeele sposobów. ... a matematycy mają zaledwie jedną prymitywną definicję równoważności: p<=>q = (p=>q)*(q=>p) – „Operator chaosu”, „Operator śmierci” – fajne nazwy Też mi się podobają Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 3:45, 09 Maj 2012, w całości zmieniany 7 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Śro 8:36, 09 Maj 2012    Temat postu: [link widoczny dla zalogowanych] Duch napisał: rafal3006 napisał: Język człowieka i jego logika musi podlegać pod matematykę ścisłą, algebrę Kubusia, inaczej byłby TOTALNY chaos - nikt z nikim by sie nie dogadał. Język człowieka i jego logika musi podlegać pod matematykę ścisłę, KRZ, inaczej byłby TOTALNY chaos - nikt z nikim by sie nie dogadał. KRZ??? Walnąłeś dowcip 1000-lecia. Idź do przedszkola i dogaduj się takimi zdaniami prawdziwymi: 2+2=4 wtedy i tylko wtedy wszyscy murzyni są czarni - autentyczne z matematyki.pl Jesli pies jest rózowy to krowa śpiewa w operze Zdania to pryszcz. Przede wszystkim gdyby KRZ sterował życiem na Ziemi to wszelkie życie natychmiast by wyginęlo. Definicja obietnicy: Jesli dowony warunek to nagroda W=>N - implikacja prosta w algebrze Kubusia i KRZ Poprawne rozumienie potoczne: => Ja tego chcę, biegne do nagrody Definicja groźby o czym KRZ nie ma bladego pojęcia: Jeśli dowolny warunek to kara W~>K - implikacja odwrotna na mocy definicji w algebrze kubusia Poprawne rozumienie potoczne: ~> - ja tego nie chcę uciekam od kary KRZ nie odróznia obietnicy od groźby! Do wszystkiego leci jak głupi, wszystkiego pragnie, zarówno nagrody jak i kary. W przyrodzie KRZ działa tak: Rybka widzi rekina i mówi! Ja tego chcę to musi być mój przyjaciel i zawzięcie płynie do niego. Natomiast algebra Kubusia dziala tak: Rybka widząc rekina bierze nogi za pas i mówi. To mój smiertelny wróg! ... spieprzem stąd Podsumowując: Zwierzątka które nie odrożniały kary od nagrody dawno wyginęły Najważniejsze! W dzisiejszej logice jest nieprawdowpodobna ilość buraków czysto matematycznych co łatwo można udowodnić i co zostało udowodnione - patrz podpis. Błedny jest chociażby fundament teorii mnogości twierdzącej iż: Równoważność to jeden zbiór To jest idiotyzm czysto matematyczny banalny do udowodnienia bo w rzeczywistości równowazność to dwa rozłączne zbiory: A: p*q=1 C: ~p*~q=1 na mocy aksjomatycznej definicji zero-jedynkwej! Wystarczy? Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 8:40, 09 Maj 2012, w całości zmieniany 3 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość Forged Dołączył: 28 Kwi 2010 Posty: 619 Przeczytał: 0 tematów Skąd: Londyn Płeć: Mężczyzna Wysłany: Śro 10:46, 09 Maj 2012    Temat postu: Panie Kubusiu. Powoływał się Pan często-gęsto na "Lavuasiere" który "zniszczył" flogiston i z dużym trudem wniósł był do nauki proces spalania poprzez utlenianie. Zgoda. To była Rewolucja. To odkrycie zmieniło wiele. A co takiego ZMIENIA Pana Kubusiowa Algebra? Czy dzięki niej można udowodnić, że nie ma "ciemnej energii i materii" i innych gluonów? Czy Pana Kubusiowa Algebra umożliwi nowe odkrycia, zrewolucjonizuje skostniałą naukę, i dzięki owemu Pańskiemu odkryciu wykorzystamy siły grawitacji, czy też może nawet antygrawitacji? Co daje światu Pańskie odkrycie? Poza koniecznością przepisania podręczników? Pan łaskawie wytłumaczy głupiemu Forgedowi jak (nomen omen) krowie na rowie... Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Śro 12:39, 09 Maj 2012    Temat postu: [link widoczny dla zalogowanych] Duch napisał: Cytat: KRZ??? Walnąłeś dowcip 1000-lecia. No właśnie. Ile razy słyszałeś coś podobnego? Bez dowodów zdanie tyle samo warte, co i twoje. Do tej pory nie udowodniłeś, że twoja logika ma zastosowanie do każdego człowieka i każdego języka na Ziemi. Jeżeli znowu masz zamiar tylko odpisać: "logika Kubusia MA zastosowanie... blabla", to sobie daruj. To żaden dowód. Daruj sobie też wszelkie przykłady podobne do tych, które już prezentowałeś. Odnosisz się tylko do języka polskiego. Ludzie się posługują bez liczb i bez abstrakcyjności czasu, czemu nie mieliby posługiwać się bez spójników lub inaczej je rozumiejąc? To, że ty nie potrafisz sobie tego wyobrazić, to niczego nie dowodzi. Czekam na jakieś uzasadnienie w końcu. NIE! Spójniki logiczne, te z operatorów logicznych, ludzie muszą rozumieć IDENTYCZNIE, co najwyżej mogą mieć odwróconą logikę ale to z punktu widzenia logiki totalnie bez znaczenia. Przykładowo Bułgarzy kiwają głową na TAK/NIE odwrotnie jak reszta świata, w j.polskim jest konstrukcja nigdy-nie której nie ma w j.angielskim, Anglicy jeżdżą lewą stroną zamiast prawą etc. Nie jest możliwe w dowolnym języku świata inne rozumienie spójników „lub”(+), „i”(*), =>, ~>, ~~>. To ty szukaj dowodów, jak obalisz jednym przypadkiem to kasuję NTI. Masz w podpisie czysto matematyczne dowody że w KRZ są błędy czysto matematyczne, to jest totalnie chora matematyka. W poście wyżej masz fundamentalny, czysto matematyczny błąd w Teorii Mnogości, jak obalisz kasuję NTI. Wyjaśnienie dlaczego mimo ewidentnych błędów czysto matematycznych matematyka działa masz w tym poście: [link widoczny dla zalogowanych] Wszyscy wiedzą że KRZiP jest do bani, ale z używają to badziewie z braku alternatywy - ale to już historia, bo podpis. Najważniejsze są banały: Przykładowo, rozpracowaliśmy na ateiście.pl iż dowolną tabele zero-jedynkową można opisać ośmioma i tylko ośmioma równaniami algebry Boole’a. To jest banał którego nawet małpę można nauczyć. ... tylko dlaczego Windziarz podsumował to „nikomu niepotrzebne głupoty”? Te „głupoty’ są twardym dowodem istnienia w logice logiki dodatniej i ujemnej! Te „głupoty” są twardym dowodem iż wszelkie znaczki operatorów logicznych, co do jednego!, są źle rozumiane w KRZiP (i KRZ!) jakoby opisywały wszystkie cztery linie operatora logicznego. Dowolny spójnik logiczny z naturalnego języka mówionego to wyłącznie połówka operatora a nigdy cały operator, nigdy wszystkie cztery linie. To są banały matematyczne które bardzo łatwo można udowodnić ściśle fizycznie, w laboratorium techniki cyfrowej! Dowód kilkulinijkowy: Y=p+q Znaczek „+” opisuje wedle KRZ wszystkie cztery lnie, czyli kompletny operator OR Na mocy prawa de’Morgana neguję wszystkie sygnały i muszę otrzymać operator AND. ~Y=~p+~q Oczywiście to jest gówno a nie operator AND. W tym momencie cała KRZiP leży i kwiczy do góry nogami bo to, iż jest to IDIOTYZM można udowodnić w laboratorium układów cyfrowych, co właśnie wyżej w kilku linijkach uczyniłem. W algebrze Kubusia kompletny operator OR opisuje układ równań logicznych, to jest rzeczywista budowa operatora OR! Y=p+q - logika dodatnia bo Y ~Y=~p*q - logika ujemna bo ~Y Negujemy wszystkie zmienne i mamy piękny operator AND! ~Y=~p+~q - logika ujemna bo ~Y Y=p*q - logika dodatnia bo Y Dokładnie to samo jest z operatorami implikacji prostej i odwrotnej. To jest pełna definicja implikacji prostej: p=>q = ~p~>~q bo neguje wszystkie zmienne i otrzymuje operator przeciwny, operator implikacji odwrotnej! ~p=>~q = p~>q To co wyżej też jest do zademonstrowania w laboratorium techniki cyfrowej. To co wyżej też jest dowodem istnienia logiki dodatniej i ujemnej w logice. q - logika dodatnia bo wyjście q niezanegowane ~q - logika ujemna bo wyjście q zanegowane cnd Ciekawe jak długo jeszcze ludzie będą się bronić przed ewidentnymi, twardymi dowodami ze świata FIZYKI, jak wyżej! Gdyby KRZiP była matematyką czysto abstrakcyjną to można by jej naskoczyć. Na szczęście nie jest, co dowiedziono wyżej. KRZiP jest TOTALNIE sprzeczna z naturalną logika człowieka o czym wszyscy doskonale wiedzą, wynikają z niej same głupoty z których śmieją wszystkie dzieci w przedszkolu. Jeśli pszczółka Maja jest niedźwiedziem to Kubuś Puchatek jest słoniem ... zdanie prawdziwe w wariatkowie. Nikt nie ma prawa robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka (KRZiP)! Pozdrawiam, Kubuś P.S. Sorry za cięty język. Forged, czy odpowiedź wyżej cie zadowala? Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 7:39, 11 Maj 2012, w całości zmieniany 5 razy Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość Forged Dołączył: 28 Kwi 2010 Posty: 619 Przeczytał: 0 tematów Skąd: Londyn Płeć: Mężczyzna Wysłany: Śro 14:05, 09 Maj 2012    Temat postu: Kubuś napisał: Forged, czy odpowiedź wyżej cie zadowala? NIE! Za trudne! Proszę beletrystycznie i opisowo bardziej, może być z przypowieściami, i konkretnymi przykładami - czemu służy Kubusiowa Algebra. I jak się przysłuży światu? Jak idiocie, proszę... Powrót do góry Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat   Autor Wiadomość rafal3006 Opiekun Forum Kubusia Dołączył: 30 Kwi 2006 Posty: 35576 Przeczytał: 15 tematów Skąd: z innego Wszechświata Płeć: Mężczyzna Wysłany: Czw 8:09, 10 Maj 2012    Temat postu: http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/algebra-kubusia-dla-liceum,6256.html#174049 Forged napisał: Kubuś napisał: Forged, czy odpowiedź wyżej cie zadowala? NIE! Za trudne! Proszę beletrystycznie i opisowo bardziej, może być z przypowieściami, i konkretnymi przykładami - czemu służy Kubusiowa Algebra. I jak się przysłuży światu? Jak idiocie, proszę... Forged, bajek nie będzie, to jest metodologia. Ludzkość od 2500 poszukuje matematyki opisującej logikę człowieka, przede wszystkim tą wersję implikacji którą człowiek się posługuje. My to znaleźliśmy, dzięki dyskusjom na forach śfinia i ateista.pl. Jesteś ekspertem algebry Kubusia, podlegasz pod matematykę ścisłą, algebrę Kubusia, tylko o tym nie wiesz. Odkrycie algebry Kubusia nie spowoduje zatem, że będziesz inaczej myślał, to tylko podkład matematyczny pod twoją naturalną logikę. Matematyce klasycznej, tej mającej związek ze światem fizycznym nic się nie stanie, tu wszystko jest dobrze. Legnie w gruzach matematyka abstrakcyjna zbudowana na idiotyzmie zwanym „implikacja materialna”. Korzyści materialnych z algebry Kubusia raczej nie będzie, rewolucja będzie w obszarze filozofii i w wizji naszego Wszechświata. Pytanie po co nam algebra Kubusia jeśli korzyści materialnych z tego (raczej) nie będzie, jest pytaniem po co nam znajomość gwiazd i galaktyk skoro korzyści materialnych z tej wiedzy też nie będzie. Kontynuujemy czysto matematyczne rozwalanie KRZiP, na jej gruzach zabłyśnie algebra Kubusia. W BIBLII: Algebra Kubusia - matematyka języka mówionego w pkt.12.1 jest obalenie prawa KRZ: p=>q ## q~>p co jest równoważne obaleniu prawa kontrapozycji w implikacji: p=>q ## ~q=>~p bo prawo Kubusia: ~q=>~p = q~>p gdzie: ## - różne na mocy definicji To samo jest w pkt. 12.6, 12.7 i 12.11 Znane matematykom prawo kontrapozycji jest poprawne wyłącznie w równoważności (polecam pkt.12.11). 12.11 Definicje równoważności i implikacji w zbiorach Definicja równoważności: Kod:                |Definicja                |symboliczna     p q p<=>q   |w zbiorach  |Zdania A: 1 1  =1     | p* q=1     | p=> q=1 B: 1 0  =0     | p*~p=0     | p=>~q=0 C: 0 0  =1     |~p*~q=1     |~p=>~q=1 D: 0 1  =0     |~p* q=0     |~p=> q=0 Równanie algebry Boole’a w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) opisujące powyższą tabelę tworzymy dla samych jedynek w wyniku. p<=>q = p*q + ~p*~q co matematycznie oznacza: (p<=>q=1)<=> (p=1 i q=1) lub (~p=1 i ~q=1) Wszystkie zbiory istnieją i są niepuste. Definicja równoważności w zbiorach Równoważność to dwa i tylko dwa zbiory rozłączne: A: p*q=1 C: ~p*~q=1 Przykład: Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) p=TR q=KR A: TR=>KR=1 - gwarancja matematyczna I w równoważności C: ~TR=>~KR=1 - gwarancja matematyczna II w równoważności Dziedzina: zbiór wszystkich trójkątów To samo w zbiorach: TR<=>KR = TR*KR + ~TR*~KR Równoważność to dwa zbiory: TR=KR=1 - zbiory tożsame, oba zbiory istnieją TR=1 i KR=1 ~TR=~KR=1 - zbiory tożsame, oba zbiory istnieją ~TR=1 i ~KR=1 W równoważności zbiór ~TR=~KR jest dopełnieniem do dziedziny zbioru TR=KR. Stąd w równoważności zachodzi: TR=>KR = ~TR=>~KR=1 W równoważności zachodzi przemienność argumentów, stąd: TR=>KR = ~KR=>~TR=1 stąd w równoważności poprawne jest prawo kontrapozycji: p=>q = ~q=>~p ... ale tylko i wyłącznie w równoważności, nigdy w implikacji! Definicja implikacji prostej: Kod:                |Definicja                |symboliczna     p q p=>q    |w zbiorach  |Zdania A: 1 1  =1     | p* q=1     | p=> q=1 B: 1 0  =0     | p*~p=0     | p=>~q=0 C: 0 0  =1     |~p*~q=1     |~p~>~q=1 D: 0 1  =1     |~p* q=1     |~p~~>q=1 Tworzymy równanie algebry Boole’a w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) dla samych jedynek w wyniku: p=>q = p*q+~p*~q+~p*q co matematycznie oznacza: (p=>q=1) <=> (p=1 i q=1) lub (~p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) Wszystkie zbiory istnieją i są niepuste. Definicja implikacji prostej w zbiorach: Implikacja prosta to trzy zbiory rozłączne, ani jednego mniej, ani jednego więcej: A: p*q=1 C: ~p*~q=1 D: ~p*q=1 Przykład: Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2 P8=>P2 p=P8 q=P2 P8=>P2 = ~P8~>~P2=1 - gwarancja matematyczna Dziedzina: zbiór liczb naturalnych Zbiory: A: P8*P2=1 bo [8,16,24...] - gwarancja matematyczna w implikacji prostej: P8=>P2=~P8~>~P2) C: ~P8*~P2=1 bo [1,3,5,7...] - (gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej: P2~>P8=~P2=>~P8) D: ~P8*P2=1 bo [2,4,6,10...] Zauważmy, że zbiór gwarantowany przez implikację odwrotną ~P8*~P2=[1,3,5,7 ..] nie jest dopełnieniem do dziedziny zbioru gwarantowanego przez implikacje prostą P8*P2=[8,16,24...]. Stąd matematycznie zachodzi równanie ogólne dla implikacji: P8=>P2 = ~P8~>~P2 ## P2~>P8 = ~P2=>~P8 gdzie: ## - różne na mocy definicji Z powyższego wynika, że znane matematykom prawo kontrapozycji dla implikacji w postaci: P8=>P2 = ~P2=>~P8 p=>q = ~q=>~p jest błędne matematycznie! cnd Prawo kontrapozycji jest poprawne wyłącznie w równoważności, co dowiedziono wyżej. Definicja implikacji odwrotnej: Kod:                |Definicja                |symboliczna     p q p~>q    |w zbiorach  |Zdania A: 1 1  =1     | p* q=1     | p~> q=1 B: 1 0  =1     | p*~p=1     | p~~>~q=1 C: 0 0  =1     |~p*~q=1     |~p=>~q=1 D: 0 1  =0     |~p* q=0     |~p=>q =0 Tworzymy równanie algebry Boole’a w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) dla samych jedynek w wyniku: p~>q = p*q+p*~q+~p*~q co matematycznie oznacza: (p=>q=1) <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i ~q=1) Wszystkie zbiory istnieją i są niepuste. Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach: Implikacja odwrotna to trzy zbiory rozłączne, ani jednego mniej, ani jednego więcej: A: p*q=1 B: p*~q=1 C: ~p*~q=1 Przykład: Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8 P2~>P8 p=P2 q=P8 P2~>P8 = ~P2=>~P8=1 - gwarancja matematyczna Dziedzina: zbiór liczb naturalnych Zbiory: A: P2*P8=1 bo [8,16,24...] - (gwarancja matematyczna w implikacji prostej: P8=>P2 = ~P8~>~P2) B: P2*~P8=1 bo [2,4,6,10...] C: ~P2*~P8=1 bo [1,3,5,7...] - gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej: P2~>P8 = ~P2=>~P8 Zauważmy, że zbiór gwarantowany przez implikację prostą P2*P8=[8,16,24 ...] nie jest dopełnieniem do dziedziny zbioru gwarantowanego przez implikacje odwrotną ~P2*~P8=[1,3,5,7 ...]. Stąd matematycznie zachodzi równanie ogólne dla implikacji: P2~>P8 = ~P2=>~P8 ## P8=>P2 = ~P8~>~P2 gdzie: ## - różne na mocy definicji Z powyższego wynika, że znane matematykom prawo kontrapozycji dla implikacji w postaci: ~P2=>~P8 = P8=>P2 ~p=>~q = q=>p jest błędne matematycznie! cnd Prawo kontrapozycji jest poprawne wyłącznie w równoważności, co dowiedziono wyżej. Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 10:47, 10 Maj 2012, w całości zmieniany 6 razy Powrót do góry Wyświetl posty z ostatnich: Wszystkie Posty1 Dzień7 Dni2 Tygodnie1 Miesiąc3 Miesiące6 Miesięcy1 Rok Najpierw StarszeNajpierw Nowsze         Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa) Strona 1 z 1   Skocz do: Wybierz forum Biuro----------------RegulaminFAQSamoocena - jak śfinie widzą ŚfinięPubliczne testowanie skryptówTest skryptu do KretowiskaKosmosZgłoszenia naruszeń RegulaminuJak zakończyć wojnę CDLM? Komentarze do artykułów----------------ArtykułyNotatkiFelietonyFilipikiKomentarze: Otwarte Referarium Filozoficzne (ORF)Komentarze: Anty(k)wariat WujauserDummyBlog: Biuro KretowiskagetblogKomentarze: Kretowisko (blogosfera)Blog: wujzbojBlog: Michał DyszyńskiBlog: Mirosław GalczakBlog: luzikBlog: KoriBlog: malaaviBlog: hushekBlog: IroBBlog: skrobipiórekBlog: v2Blog: SemeleBlog: bronmus45Blog: JanelleLBlog: Piotr RokubungiBlog: MimozaBlog: MMMEmulacja Działu Regulaminowego - niczego tu nie przenosimy!Blog: jesterPogaduchy luźne u MMMŻURNAL JanelleLNotatnik szkolny 18 JanelleLBlog: evaj23Blog: ApoloniaBlog: towarzyski.pelikanBlog: NetlisBlog: Kruchy04Blog: chryzjanBlog: Czytanki starożytneBlog: AnboBlog: Andy72 Światopogląd----------------FilozofiaRozbieranie irracjonalizmuApologia kontra krytyka teizmuŚwięte KsięgiKatolicyzmReligie i wyznaniaGenesisNauka a światopoglądSztuka a światopogląd Nauka----------------Świat nieożywionyŚwiat ożywionyŚwiat skomputeryzowanyMetodologiaNauki społeczne3: Sprawy ostateczne2: Genesis1: Wiara a wiedzaSprawy techniczneForum Kubusia Sztuka----------------WydarzeniaGaleria twórczościSeriale - utwory w odcinkach Towarzystwo----------------PowitaniaKretowiskoKawiarniaAktualnościLinkowniaGwiezdne WojnyWięzienieKrzyknikŚmietnikMagiel więzienny Stopka----------------Statystyka strony głównej - zliczenia od 1 lutego 2006Zaprzyjaźnione portale  Nie możesz pisać nowych tematów Nie możesz odpowiadać w tematach Nie możesz zmieniać swoich postów Nie możesz usuwać swoich postów Nie możesz głosować w ankietach fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group Regulamin Na skróty:BiuroKomentarze do artykułówŚwiatopoglądNaukaSztukaTowarzystwoStopkaFilozofiaWięzienieKretowiskoKawiarniaApologia kontra krytyka teizmuMetodologiaForum KubusiaRozbieranie irracjonalizmuBlog: hushekKatolicyzmGwiezdne WojnyNauki społeczneBlog: Michał DyszyńskiReligie i wyznaniaŚwięte KsięgiBlog: IroBKosmosGenesisBlog: MMMPowitaniaNauka a światopoglądŚmietnikRegulamin