ŚFiNiA

rafal3006

Algebra Kubusia

Spis treści
1.0 Notacja 1
2.0 Nowa Teoria Zbiorów 1
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach 2
2.2 Fundamenty Nowej Teorii Zbiorów 3
2.3 Relacje między zbiorami 7
2.3.1 Właściwości podzbioru => i nadzbioru ~> 7
2.4 Prawa Prosiaczka 9
2.5 Prawo rozpoznawalności pojęcia 10
3.0 Zbiory jednoargumentowe 10
3.1 Aksjomatyka Nowej Teorii Zbiorów 10
3.2 Definicje jednoargumentowych operatorów logicznych w zbiorach 12
3.2.1 Operator transmisji 13
3.2.2 Operator negacji 14
3.2.3 Operator chaosu 15
3.2.4 Operator śmierci 16
3.3 Zestawienie jednoargumentowych operatorów logicznych 16
4.0 Operatory dwuargumentowe 17
4.1 Aksjomatyka zdań warunkowych „Jeśli p to q” 17

1.0 Notacja

2.0 Nowa Teoria Zbiorów

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych przez człowieka

Zwrot „dowolnych pojęć” oznacza, że przy doborze elementów zbioru człowiek ma 100% wolnej woli, może do zbioru wrzucać mydło i powidło jak niżej:
p=[LN, pies, miłość, krasnoludek]
gdzie:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9...] - zbiór liczb naturalnych

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Szczególne przypadki zbioru to:
- uniwersum
- podzbiór
- nadzbiór

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka
Człowiek nie jest w stanie zdefiniować zbioru wykraczającego z przyjętą wyżej definicję Uniwersum.
Każdy zbiór zdefiniowany przez człowieka będzie podzbiorem Uniwersum.

Definicja podzbioru =>:
Jeśli wszystkie elementy zbioru A należą do zbioru B to mówimy, że zbiór A jest podzbiorem => zbioru B i zapisujemy
A=>B

Definicja nadzbioru ~>:
Jeśli zbiór A zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru B to mówimy, że zbiór A jest nadzbiorem ~> zbioru B i zapisujemy
A~>B

Pojęcia podstawowe Nowej Teorii Zbiorów:
Budowa zbioru:
p = [LN, pies, miłość, krasnoludek]
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9...] - zbiór liczb naturalnych
Legenda:
p - nazwa zbioru
[x] - zawartość zbioru, elementy zbioru rozdzielamy przecinkami
Element zbioru to dowolne pojęcie z obszaru Uniwersum
Uniwersum to zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych przez człowieka
Elementy zbioru mogą być zbiorami np. LN

Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
[] =0 - zbiór pusty, zawierający zero elementów

Wnioski:
Każdy element niepusty ma wartość logiczną 1
Element niepusty w dowolnym zbiorze czyni ten zbiór niepustym którego wartość logiczna to 1.
p=[miłość] =1 - zbiór niepusty o wartości logicznej 1

2.1 Podstawowe operacje na zbiorach

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór utworzony przez człowieka na którym operujemy
Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia.
Właściwości dziedziny:
D+~D = D+[] =D =1 - bo zbiór niepusty
D*~D = D*[] =[] =0 - bo zbiór pusty

Definicja elementu podstawowego zbioru:
Elementami podstawowymi zbioru są wszystkie elementy wchodzące w skład zadeklarowanej dziedziny.

Zaprzeczenie zbioru (~):
Zaprzeczeniem zbioru nazywamy uzupełnienie zbioru do dziedziny
Przykład:
p=[1,2] - definiujemy zbiór
D=[1,2,3,4] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[3,4]

Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Zbiór wynikowy pusty oznacza rozłączność zbiorów p i q
Y =[] =0 - w przypadku zbiorów rozłącznych
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]*[3,4,5,6]=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty

Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]+[3,4,5,6]=[1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty

Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p-q = [1,2,3,4]-[3,4] =[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
Y=q-p =[3,4]-[1,2,3,4]=[] =0 - bo zbiór pusty

2.2 Fundamenty Nowej Teorii Zbiorów

Przyjmijmy do naszych rozważań dziedzinę:
D=[1,2,3]
Legenda:
D - nazwa zbioru (dziedzina)
[1,2,3] - elementy dziedziny umieszczamy w nawiasach i rozdzielamy je przecinkami

W NTZ zachodzi tożsamość:
(,) przecinek = (+) suma logiczna zbiorów

Używamy przecinków tylko i wyłącznie po to, by zapis był czytelniejszy.
Stąd zapisy tożsame:
B=[1,2,3] = [1+2+3]
gdzie:
1,2,3 - elementy podstawowe zbioru B

Definicja elementu podstawowego zbioru:
Element podstawowy zbioru to pojedynczy element bez powtórzeń należący do zadeklarowanej dziedziny.

Definicja:
Logika matematyczna zajmuje się rozpoznawalnością elementów w zbiorze a nie liczeniem elementów w zbiorze.
Stąd:
p=[2] - zbiór jednoelementowy zawierający liczbę 2
q=[2+2+2..] - zbiór z nieskończenie wieloma elementami 2
Zbiory p i q są tożsame bo zawierają ten sam element podstawowy zbioru, liczbę 2
p=q

Prawo powielania/redukcji elementów w zbiorze:
p=p+p
Na mocy tego prawa elementy zbioru możemy dowolnie powielać/redukować i dalej będzie to ten sam zbiór.
Przykład:
B=[1+2+3] = [1+1+…2+2+…3+3+…]
W szczególnym przypadku w zbiorze B=[1+2+3] może być nieskończenie wiele elementów i dalej będzie on tym samym zbiorem.

Z elementów podstawowych zbioru (należących do dziedziny) możemy budować dowolne podzbiory:
B =[1+2+3] = [1+2+1+3+2+3+1+2+3]
B =[[1+2]+[1+3]+[2+3]+[1+2+3]]
To są wszystkie możliwe, różne podzbiory jakie możemy zbudować z elementów podstawowych 1,2,3 zbioru B.
Wyróżnionym podzbiorom możemy nadać dowolne nazwy symboliczne je opisujące.
B =[[1+2]+[1+3]+[2+3]+[1+2+3]] = [C+D+E+F]
Kompletny zbiór B zawierający elementy podstawowe i wszystkie możliwe podzbiory wygląda tak.
B = [1+2+3] = [1+2+3+[1+2]+[1+3]+[2+3]+[1+2+3]]
B = [1+2+3+C+D+E+F]
Zapis tożsamy:
B = [1,2,3,C,D,E,F]
Legenda:
1,2,3 - elementy podstawowe zbioru
Podzbiory zbudowane z elementów podstawowych zbioru B to:
C=[1+2]
D=[1+3]
E=[2+3]
F=[1+2+3]
Zauważmy, że podzbiór F jest elementem zbioru B i jednocześnie jest tożsamy ze zbiorem podstawowym B:
F=B
stąd mamy prawo NTZ:
Każdy zbiór jest elementem dla samego siebie

Na mocy definicji zachodzi:
1 ## 2 ## 3 ## C ## D ## E ## F
gdzie:
## - różne na mocy definicji
B = [1,2,3,C,D,E,F]
Zbiór B zawiera wszystkie elementy podstawowe [1,2,3] plus wszystkie możliwe podzbiory [C,D,E,F] zbudowane z elementów podstawowych

Definicja podzbioru:
Jeśli każdy element zbioru A należy do zbioru B to mówimy, iż zbiór A jest podzbiorem => zbioru B i zapisujemy:
A=>B

Zdefiniujmy zbiór A:
A=[1+2]
Zapiszmy relację podzbioru => zachodzącą między zbiorami A i B:
A=[1+2] => B= [1+2+3+C+D+E+F]
Zauważmy że:
A = C = [1+2]
stąd naszą relację możemy zapisać w postaci:
A=[1+2] => B= [1+2+3+A+D+E+F]
Elementy zbioru B to:
1,2,3,A,D,E,F
Doskonale widać, że zbiór A jest podzbiorem => zbioru B zarówno w elementach podstawowych [1,2] jak również w podzbiorach bo A=A.

Zauważmy że jeśli po naszych przekształceniach będziemy badać czy dalej zbiór A jest elementem zbioru B:
A=[1+2] => B= [1+2+3+A+D+E+F]
to mamy dwie możliwości:
1.
Odtworzyć podstawienie które zrobiliśmy, stąd:
A=[1+2] => B= [1+2+3+[1+2]+D+E+F]
2.
Powtórzyć całe rozumowanie od początku korzystając wyłącznie z elementów podstawowych dostępnych w oryginalnej dziedzinie.

Prawo Baranka:
Jeśli zbiór A jest podzbiorem => B to zbiór A jest częścią zbioru B, jak również zbiór A jest elementem zbioru B

Zapiszmy jeszcze raz dziedzinę D wraz ze wszystkimi możliwymi podzbiorami:
D=[1+2+3+[1+2]+[1+3]+[2+3]+[1+2+3]]
Przyjętą dziedzinę [1+2+3] mamy prawo modyfikować, rozszerzać lub zawężać.
Usunięcie dowolnego elementu z dziedziny sprawia iż ten element staje się dla nas nierozpoznawalny, bowiem wszystko co jest poza dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Wniosek:
Usuwając dowolny element z dziedziny, musimy go także usunąć ze wszystkich podzbiorów.
Usuńmy z naszej dziedziny element 3.
D=[1+2] - nowa dziedzina
Konieczna modyfikacja starej dziedziny [1+2+3]:
D=[1+2+[]+[1+2]+[1+[]]+[2+[]]+[1+2+[]]
stąd:
D=[1+2+[1]+[2]+[1+2]]
D=[1+2+[1+2]]
W naszej nowej dziedzinie dostępny jest tylko jeden możliwy podzbiór [1+2]

Przykład 1.
Dziedzinę możemy definiować dowolnie.
Zdefiniujmy dziedzinę.
ZS - zbiór wszystkich ssaków
ZS=[K+M+PS]
K - kobieta
M - mężczyzna
PS - pozostałe ssaki
W naszej dziedzinie sensowny podzbiór to:
C=[K+M] - człowiek
Elementy dziedziny możemy powielać do woli tworząc z nich podzbiory.
ZS=[K+M+PS+[K+M]]
ZS=[K+M+PS+C]
Zbadajmy przykładową relację podzbioru =>:
C=[K+M]=>ZS=[K+M+PS+C]
Doskonale widać, że prawo Baranka działa tu znakomicie.
Zbiór C jest podzbiorem => zbioru ZS.
Zbiór C jest częścią zbioru ZS, jak również zbiór C jest elementem zbioru ZS.

Przykład 2.
Dziedzinę możemy definiować dowolnie.
Dla celów edukacyjnych przyjmijmy zaledwie trzy elementy podstawowe zbioru czworokątów.
TP - trapez prostokątny
TR - trapez równoramienny
KW - kwadrat
Zapiszmy naszą dziedzinę, zbiór czworokątów:
CZW = [TP+TR+KW]
Elementy podstawowe zbioru CZW to:
TP, TR, KW
Utwórzmy sensowny podzbiór w zbiorze CZW:
CZW = [[TP+TR]+KW]
Nadajmy utworzonemu podzbiorowi nazwę:
TRAPEZ
TRAPEZ=[TP+TR]
Stąd zapis tożsamy zbioru CZW:
CZW = [TRAPEZ+KW]
Elementy zbioru CZW to:
TRAPEZ, KW
Matematycznie zachodzi tu relacja podzbioru:
TRAPEZ=[TP+TR] => CZW=[[TP+TR]+KW] = [TRAPEZ+KW]
Zauważmy że elementami zbioru CZW są zarówno elementy podstawowe:
TP, TR, KW
jak również elementem zbioru CZW jest podzbiór TRAPEZ!

Matematycznie zachodzi:
TP ## TR ## KW ## TRAPEZ
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Doskonale tu widać poprawność prawa Baranka w naszym Wszechświecie.

2.3 Relacje między zbiorami

Definicja podzbioru =>
p=>q
Zbiór p jest podzbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q
Przykład:
p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
p=>q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
q=>p =0 - bo zbiór q nie jest podzbiorem => zbioru p

Definicja nadzbioru ~>
p~>q
Zbiór p jest nadzbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
p~>q =1 - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru p
q~>p =0 - bo zbiór q nie jest nadzbiorem ~> zbioru p

Tożsamość zbiorów p=q
Zbiory p i q są tożsame gdy każdy element zbioru p należy => do zbioru q i odwrotnie
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
Przykład:
p=[1,2]
q=[1,2]
[1,2]=[1,2] <=> ([1,2]=>[1,2])*([1,2]=>[1,2]) = 1*1 =1 - zbiory p i q są tożsame

2.3.1 Właściwości podzbioru => i nadzbioru ~>

I prawo Smoka
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy p
p=>q <=> p*q=p

Przykład:
p=[1,2]
q=[1,2,3]
p=[1,2]=>q=[1,2,3] <=> [1,2]*[1,2,3] = [1,2] =p

Zauważmy, że I prawo Smoka to w istocie tożsama definicja podzbioru =>

Wniosek
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q to zbiór p jest elementem zarówno zbioru p jak i do zbioru q.

Wynika to z definicji iloczynu logicznego (*) występującego w I prawie Smoka.
Zbiór q można wówczas zapisać w postaci:
q=[p, reszta]
Stąd mamy:
p=>q
p=>[p, reszta]
Nasz przykład:
p=>q
[1,2] => [1,2,3]
p=[1,2]
stąd:
p=>[p,3]
[reszta]=[3] =1 - zbiór niepusty

II prawo Smoka
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy q
p~>q <=> p*q=q

Przykład:
p=[1,2,3]
q=[1,2]
p=[1,2,3]~>q=[1,2] <=> [1,2,3]*[1,2] =[1,2] =q

Zauważmy, że II prawo Smoka to w istocie tożsama definicja nadzbioru ~>

Wniosek
Jeśli zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q to zbiór q jest elementem zarówno zbioru p jak i do zbioru q.

Wynika to z definicji iloczynu logicznego (*) występującego w II prawie Smoka.
Zbiór p można wówczas zapisać w postaci:
p=[q, reszta]
Stąd:
p~>q
[q, reszta] ~> q
Nasz przykład:
p~>q
[1,2,3] => [1,2]
q=[1,2]
stąd:
[q,3] ~>q
[reszta] = [3] =1 - bo zbiór niepusty

I prawo Smoka Wawelskiego
Zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy [reszta] wynikająca z I prawa Smoka jest zbiorem pustym [].
Wniosek z I prawo Smoka:
p=>[p, reszta]
p=q <=> [reszta]=[]

Zauważmy, że I prawo Smoka Wawelskiego to w istocie tożsama definicja równoważności, bowiem każda tożsamość matematyczna jest automatycznie równoważnością.

II prawo Smoka Wawelskiego
Zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy [reszta] wynikająca z II prawa Smoka jest zbiorem pustym [].
Wniosek z II prawo Smoka:
[q, reszta] ~>q
p=q <=> [reszta]=[]

Zauważmy, że II prawo Smoka Wawelskiego to w istocie tożsama definicja równoważności, bowiem każda tożsamość matematyczna jest automatycznie równoważnością.

2.4 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z definicji symbolicznych operatorów logicznych do ich definicji zero-jedynkowych i odwrotnie, są więc bardzo ważne, z punktu widzenia logiki matematycznej. Dla zrozumienie tych praw nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.

I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)

II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)

2.5 Prawo rozpoznawalności pojęcia

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)

Dowód abstrakcyjny:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie o idealnej temperaturze:
t = const
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło/zimno nie istnieją bo niemożliwe jest zmierzenie choćby najmniejszej różnicy temperatur

Prawo rozpoznawalności pojęcia w przełożeniu na funkcje logiczne:
Znam funkcję logiczną Y wtedy i tylko wtedy gdy znam funkcję logiczną ~Y
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Przykład:
1: Y=p+q
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2: ~Y=~(p+q) = ~p*~q - prawo De Morgana

3.0 Zbiory jednoargumentowe

Definicja zbioru jednoargumentowego:
Zbiór jednoargumentowy po pojedynczy zbiór niepusty o dowolnej nazwie
p=[1,2]

3.1 Aksjomatyka Nowej Teorii Zbiorów

Rozważmy zbiór jednoargumentowy p

Aksjomatyka Nowej Teorii Zbiorów:

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny ustalony przez człowieka zbiór niepusty
Wszystko co jest poza zdefiniowaną dziedziną jest zbiorem pustym z definicji
Najszerszą możliwą dziedziną jest Uniwersum
Uniwersum to zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

I.
Zbiór jednoargumentowy p
1.
Zbiór p musi być niepusty
Uzasadnienie:
Nie możemy operować na zbiorze pustym, nie zawierającym ani jednego elementu
2.
Zbiór p musi posiadać swoje niepuste dopełnienie do dziedziny ~p (negację)
Uzasadnienie:
Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)
3.
Zbiory mają wartości logiczne:
1 - prawda
0 - fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty, zawiera co najmniej jeden element
[] =0 - zbiór pusty, zawiera zero elementów
4.
Zaprzeczenie zbioru to uzupełnienie zbioru do dziedziny
Zbiór ~p jest zaprzeczeniem zbioru p
~p = ~(p)
Zbiór p jest zaprzeczeniem zbioru ~p
p = ~(~p)
5.
Właściwości dziedziny:
Zbiory p i ~p są rozłączne, wzajemnie uzupełniające się do dziedziny
D = p+~p =1
Zaprzeczeniem dziedziny D jest zbiór pusty []:
~D = ~(p+~p) = [] =0 - tu jesteśmy poza dziedziną z definicji pustą
p*~p =[] =0 - bo zbiory p i ~p są rozłączne
Stąd mamy:
~(p+~p)=p*~p =[] =0
Prawo symetryczne:
~(p*~p) = p+~p = D =1
6.
Dziedzina i zbiór pusty
D = p+~p = ~(p*~p) =1
[] = p*~p = ~(p+~p) =0
7.
Suma i iloczyn logiczny zbiorów tożsamych:
p+p =p
p*p =p
8.
Iloczyn i suma logiczna zbioru p z dziedziną D i zbiorem pustym []:
p*D = p*1 =p
p*[] = p*0 =0
p+D = p+1 =1
p+[] = p+0 =p
9.
Zero-jedynkowa definicja iloczynu logicznego dziedziny D i zbioru pustego []:
D*D = 1*1 =1
D*[] = 1*0 =0
[]*D = 0*1 =0
[]*[] = 0*0 =0
10.
Zero-jedynkowa definicja sumy logicznej dziedziny D i zbioru pustego[]:
D+D = 1+1 =1
D+[] = 1+0 =1
[]+D = 0+1 =1
[]+[] = 0+0 =0

3.2 Definicje jednoargumentowych operatorów logicznych w zbiorach

Definicja funkcji logicznej Y:
Przypisanie dowolnej części dziedziny do symbolu Y nazywamy funkcją logiczną w logice dodatniej (bo Y).
Pozostałą część dziedziny opisuje dopełnienie funkcji logicznej Y do dziedziny, czyli funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)

Właściwości funkcji logicznej Y:
D = Y+~Y =1
[] = Y*~Y =0

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to układ równań logicznych opisujących funkcje logiczną w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)

W zbiorach jednoargumentowych możemy utworzyć cztery różne operatory logiczne:
- operator transmisji
- operator negacji
- operator chaosu
- operator śmierci

3.2.1 Operator transmisji

Definicja operatora transmisji:
Transmisja to przypisanie funkcji logicznej Y obszarowi p
Y=p
Pozostałą część dziedziny opisuje dopełnienie funkcji logicznej Y do dziedziny, czyli funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~p
Stąd definicja operatora logicznego transmisji to układ równań logicznych:
Y=p
~Y=~p

Irbisol

Może wykażesz najistotniejsze różnice pomiędzy twoją - nową teorią zbiorów - a starą?

Karol Ustaw · Dołączył: 05 Mar 2017 Posty: 160 Przeczytał: 0 tematów

"-Wiesz na czym opiera się matematyka? - mówię. - Matematyka opiera się na liczbach. Gdyby ktoś mnie zapytał, co mnie naprawdę uszczęśliwia, odpowiedziałabym: liczby. Śnieg, lód i liczby. A wiesz dlaczego? (...) - Bo system liczbowy jest podobny do ludzkiego życia. Na początku mamy liczby naturalne. To te całkowite i dodatnie. To liczby małego dziecka. Ale ludzka świadomość rośnie, eksploduje. Dziecko odkrywa tęsknotę, a wiesz, co jest matematycznym wyrazem tęsknoty? (...) - Liczby ujemne. Nadanie formy poczuciu, że czegoś brakuje. Świadomość ciągle się rozszerza, rośnie i dziecko odkrywa przestrzenie. Między kamieniami, między kępkami mchu na kamieniu, między ludmi. I między liczbami. Wiesz, do czego to prowadzi? To prowadzi do ułamków. Liczby całkowite plus ułamki dają liczby wymierne. Ale świadomość nie zatrzymuje się tutaj. Pragnie przekroczyć rozum. Dodaje operację tak absurdalną jak pierwiastkowanie. I osiąga liczby niewymierne. (...) - To swoiste szaleństwo. Bo liczby niewymierne są nieskończone. Nie można ich zapisać. Zmuszają świadomość do wejścia w obszar bez granic. Liczby niewymierne wraz z liczbami wymiernymi tworzą liczby rzeczywiste. (...) - To jeszcze nie koniec. To się nigdy nie kończy. Bo teraz od razu rozszerzamy liczby rzeczywiste o urojone, pierwiastki kwadratowe liczb ujemnych. To są liczby, których nie potrafimy sobie wyobrazić, liczby, których normalna świadomość nie jest w stanie objąć. A kiedy dodamy liczby urojone do liczb rzeczywistych, mamy liczby zespolone. Pierwszy system liczbowy, w którego obrębie możliwe jest zadowalające opisanie kryształów lodu. To jak wielka otwarta przestrzeń. Horyzonty. Człowiek podąża ku nim, a one stale się oddalają." (Peter Hoeg - Smilla w labiryntach śniegu, fragm.)

Tak mi się to skojarzyło z Algebrą Kubusia.