ŚFiNiA

rafal3006

Czy matematycy potrafią żartować?
... za chwilę się przekonamy

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

Fundamenty algebry Kubusia - operatory implikacyjne

Fragment podpisu:

1.2 Operatory implikacyjne |=>, |~>, <=>, |~~> w spójnikach implikacyjnych =>, ~>, ~~>

Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące we wspólnej dziedzinie

1.
p~~>q = p*q - kwantyfikator mały ~~>
Zdarzenia:
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Zbiory:
Istnieje wspólny element zbiorów p i q
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P = 1*1 =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo możliwa jest sytuacja „są chmury” (CH=1) i „nie pada” (~P=1)

2.
p=>q - warunek wystarczający =>
Zdarzenia:
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Zbiory:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH = 1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zawsze gdy pada, są chmury

3.
p~>q - warunek konieczny ~>
Zdarzenia:
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Zbiory:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zabieram chmury, wykluczając padanie.

Matematycznie zachodzi:
p=>q ## p~>q ## p~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:

I prawo Kubusia:
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice dodatniej (bo q)
~p~>~q = p=>q

II prawo Kubusia:
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy w warunkiem koniecznym ~> w logice dodatniej (bo q)
~p=>~q = p~>q

Interpretacja praw Kubusia:
Zdanie prawdziwe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie prawdziwe po drugiej stronie.
Zdanie fałszywe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie fałszywe po drugiej stronie

Definicje operatorów implikacyjnych w spójnikach implikacyjnych:

O przynależności zdania warunkowego „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym p=>q lub koniecznym p~>q do konkretnego operatora decyduje zdanie wypowiedziane w logice dodatniej (bo q). Jeśli ktokolwiek wypowie jako pierwsze zdanie „Jeśli p to q” w logice ujemnej (~p=>~q lub ~p~>~q) to musimy to zdanie sprowadzić do logiki dodatniej korzystając z praw Kubusia, bowiem poniższe definicje operują wyłącznie na zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” w logice dodatniej, z niezanegowanym następnikiem q.

Operator implikacji prostej p|=>q
Operator implikacji prostej p|=>q to spełniony warunek wystarczający => i niespełniony warunek konieczny ~>
p=>q=1
p~>q=0
p|=>q=(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Operator implikacji odwrotnej p|~>q
Operator implikacji odwrotnej p|~>q to spełniony warunek konieczny ~> i niespełniony warunek wystarczający =>
p~>q =1
p=>q =0
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Operator równoważności p<=>q
Operator równoważności p<=>q to jednocześnie spełniony warunek wystarczający => i konieczny ~>
p=>q =1
p~>q =1
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Operator chaosu p|~~>q
Operator chaosu p|~~>q to spełniony kwantyfikator mały ~~> oraz niespełniony warunek wystarczający => i konieczny ~>
p~~>q =1
p=>q =0
p~>q =0
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1

Matematycznie zachodzi:
p|=>q ## p|~>q ## p<=>q ## p|~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Przykład 1.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Warunek konieczny ~> nie jest spełniony bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Definicja operatora implikacji prostej p|=>q:
p=>q =1
p~>q =0
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Wniosek:
Warunek wystarczający A wchodzi w skład operatora implikacji prostej p|=>q o definicji:
P8=>P2 =1
P8~>P2 =0
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~(P8~>P2) = 1*~(0) = 1*1 =1

Przykład 2.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie:
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
Zauważmy, że wszystkie operatory logiczne mamy zdefiniowane dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” w logice dodatniej (bo q).
Dla naszego zdania A musimy skorzystać z prawa Kubusia, aby uzyskać zdanie tożsame w logice dodatniej (bez zanegowanego następnika).

Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Nasz przykład:
~P2=>~P8 = P2~>P8

Stąd zdanie tożsame do A.
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Badamy warunek wystarczający => zachodzący między punktami P2 i P8:
C.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Warunek wystarczający => nie jest spełniony bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q:
p~>q =1
p=>q =0
Definicja:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Wniosek:
Warunek konieczny B: P2~>P8 (wraz z tożsamym zdaniem A:~P2=>~P8) jest częścią operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8 o definicji:
P2~>P8 =1
P2=>P8 =0
P2|~>P8 = (P2~>P8)*~(P2=>P8) = 1*~(0) = 1*1 =1

Na mocy definicji zachodzi:
1: P8|=>P2 = (P8=>P2)*~(P8~>P2) ## 2: P2|~>P8 = (P2~>P8)*~(P2=>P8)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
obowiązują zawsze i wszędzie, stąd w implikacji zachodzi:
1: P8|=>P2 = (P8=>P2=~P8~>~P2)*~(P8~>P2) ## 2: P2|~>P8 = (P2~>P8=~P2=>~P8)*~(P2=>P8)
stąd:
1: P8=>P2 ## 2: ~P2=>~P8
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć.
Alfred Hitchcock

rafal3006

Algebra Kubusia - Boska logika matematyczna!

Ciąg dalszy powyższej dyskusji przenoszę na sfinię.
… jeśli będzie to monolog, trudno, przeżyję - liczę na Fiklita.

[link widoczny dla zalogowanych]