ŚFiNiA

rafal3006

Kubuś postanowił pobawić się trochę na metematyce.pl i pokazać matematykom jak prosta jest algebra Boole'a.

Na pamięć to wystarczy znać definicje sumy logicznej i iloczynu logicznego pus prawa de'Morgana oraz definicje implikacji prostej i implikacji odwrotnej plus prawa Kubusia.

... reszta to logiczne myślenie !

1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda - prawda zachodząca zawsze, bez żadnych wyjątków
Twardy fałsz - fałsz zachodzący zawsze, bez żadnych wyjątków
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia

=> - operator implikacji prostej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "musi" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to "musi" być podzielna przez 2
P8=>P2
Zajście P8 wystarcza, aby zaszło P2
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q

~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "może" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to "może" być podzielna przez 8
P2~>P8
Zajście P2 jest konieczne, aby zaszło P8
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q

W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna. Spójniki te ujęto w cudzysłów, aby ten fakt uwypuklić.

1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

Fundament algebry Boole’a:
1 = ~0
0 = ~1
Przyjmijmy:
1=prawda
0=fałsz
Stąd mamy aksjomat znany ludziom od tysiącleci:
prawda = nie fałsz
fałsz = nie prawda
czyli:
Jeśli cokolwiek JA uznam za prawdę to negacja tego faktu będzie dla mnie fałszem i odwrotnie.

A,B,C… - zmienne binarne mogące przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1.
Y - funkcja logiczna mogąca przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1 w zależności od wartości zmiennych binarnych
Y=A+B*C - przykładowa funkcja logiczna

Definicja negacji:
Y=~A
Jeśli A=0 to Y=1 i jeśli A=1 to Y=0

Prawo podwójnego przeczenia:
A=~(~A)
Dowód językowy:
A = jestem uczciwy
~A = nie jestem uczciwy
~(~A) = nieprawdą jest, że nie jestem uczciwy

Definicja sumy logicznej OR(+):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy dowolna zmienna jest równa 1.
LUB
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 0 gdy wszystkie zmienne są równe 0

Definicja iloczynu logicznego AND(*):
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy wszystkie zmienne są równe 1
LUB
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych równa jest 0 gdy którakolwiek zmienna jest równa 0

Prawa algebry Boole’a wynikające bezpośrednio z definicji:
A+1=1
A+0=A
A*0=0
A*1=A
A+A=A
A*A=A
A+~A=1
A*~A=0

Prawa de’Morgana

Prawa de’Morgana wiążą matematycznie operatory OR(+) i AND(*)

A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
A*B = ~(~A+~B) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

Dowód:
Y=A+B
Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.
~Y = ~A*~B
Oczywiście zachodzi:
Y=~(~Y)
Stąd:
A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej

Definicje implikacji prostej i odwrotnej

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
p=>q
Jeśli zajdzie p to "musi" => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+ ~q
p~>q
Jeśli zajdzie p to "może" ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

Prawa Kubusia

Prawa Kubusia wiążą matematycznie operatory „musi” => (implikacja prosta) i „może” ~> (implikacja odwrotna). Prawa Kubusia są ścisłym odpowiednikiem praw de’Morgana w zakresie implikacji. Identycznie jak w prawach de’Morgana negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.

=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

rafal3006

Cytat z:
[link widoczny dla zalogowanych]
Nad tym postem można sobie obejrzeć jak biedni matematycy walczą z trywiałem. Tabela zero-jedynkowa jest OK, tylko po co się męczyć ? Zawiłe wywody pod tą tabelą też są poprawne ... tylko co to za matematyka ? :shock:

To co niżej to algebra Boole'a praktyków, czyli Kubusia :grin:

rafal3006

Cytat z:
[link widoczny dla zalogowanych]
Powyżej tego postu z kolei można zobaczyć przykład, jak matematyk ma zapisany w mózgu zestaw jakichś praw i poza nie, nie jest w stanie się wychylić czyli ... dowód trywiału okrężną drogą.

... a Kubuś nie zna żadnych praw poza definicjami sumy logicznej i iloczynu logicznego plus prawa de'Morgana i prawa Kubusia

rafal3006

To co niżej to absolutna perełka z matematyki.pl
[link widoczny dla zalogowanych]

Pytanie do wszystkich normalnych.
Jak taki debilizm matematyczny może funkcjonować w matematyce ? :grin:

rafal3006

Cytat z:
[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

Cytat z:
[link widoczny dla zalogowanych]