ŚFiNiA

rafal3006

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2020-05-10

Część VII
Teoria transformacji

Jak czytać algebrę Kubusia?
Każda z siedmiu części zakłada prawie zerowy stan wiedzy początkowej.
Można wystartować z czytaniem od dowolnej części znając minimalnie algebrę Boole’a.
Szczególnie polecam część IV i V

Części:
AK1 Algebra Boole’a
AK2 Elementarz algebry Kubusia
AK3 Wstęp do Kubusiowej teorii zbiorów
AK4 Kubusiowa teoria zbiorów
AK5 Kubusiowa teoria zdarzeń
AK6 Obietnice i groźby
AK7 Teoria transformacji
AK8 Algebra Kubusia w dyskusji

Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.

Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?

Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2020

Algebra Kubusia w pdf

AK1 Algebra Boole’a.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK2 Elementarz algebry Kubusia.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK3 Wstęp do Kubusiowej Teorii zbiorów.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK4 Kubusiowa teoria zbiorów.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK5 Kubusiowa teoria zdarzeń.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK6 Obietnice i groźby.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK7 Prawo transformacji.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK8 Algebra Kubusia w dyskusji.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]

Spis treści
1.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 3
1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 3
1.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 4
1.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów 4
1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 5
1.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 5
1.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 5
1.3 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 6
2.0 Obietnice i groźby 7
2.1 Definicja obietnicy 7
2.1.1 Obietnica w praktyce 8
2.2 Definicja groźby 9
2.2.1 Groźba w praktyce 10
3.0 Prawo transformacji 12
3.1 Prawo transformacji dla obietnic i gróźb: 13
3.2 Obietnica po zamianie poprzednika z następnikiem 14
3.2.1 Przyszłość vs przeszłość w obietnicy 16
3.3 Groźba po zamianie poprzednika z następnikiem 19
3.3.1 Przyszłość vs przeszłość w groźbie 21

Wstęp:
Teoria transformacji to logika matematyczna z uwzględnieniem czasu przyszłego i przeszłego. Teoria transformacji jest odpowiednikiem teorii względności Alberta Einsteina, czyli nie burzy klasycznej logiki matematycznej (gdzie nie uwzględniamy czasu), a tyko ją rozszerza uwzględniając czas.
Sztandarowym przykładem są tu obietnice i groźby wchodzące w skład implikacji czasowych (temporalnych) , których nie da się poprawnie obsłużyć w czasie przyszłym po zamianie p i q bez wprowadzenia do logiki matematycznej osi czasu, bowiem wychodzą wówczas brednie typu.

Jeśli jutro będzie padało to otworzę parasolkę
A1: P=>OP =1
Prawo kontrapozycji:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P
Czytamy:
Jeśli jutro nie otworzę parasolki to na 100% => nie będzie padało
~OP=>~P =1

1.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.

1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy tu kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory nieskończone są rozłączne to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

1.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

1.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.

Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

1.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

1.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.

Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

1.3 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Matematycznie zachodzi:
(A1: p=>q = ~p+q) <=> (B1: p~>q=p+~q) =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
(A1: p=>q = ~p+q) ## (B1: p~>q = p+~q)

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:

rafal3006

Spis treści
4.0 Ogólne prawo transformacji 1
4.2 Warunek wystarczający => po zamianie poprzednika z następnikiem 3
4.2.1 Przyszłość vs przeszłość w warunku wystarczającym => 5
4.3 Obsługa warunku koniecznego ~> w funkcji czasu 7
4.3.1 Warunek konieczny ~> po zamianie poprzednika z następnikiem 9
4.3.2 Przyszłość vs przeszłość w warunku koniecznym ~> 11

4.0 Ogólne prawo transformacji

Naszą teorię transformacji obietnic i gróźb można uogólnić na absolutnie wszystkie zdania warunkowe „jeśli p to q”.

Jak to zrobić?
Bardzo prosto, wystarczy podstawić:
1.
Obietnica p=>q = Warunek wystarczający p=>q
Gdzie:
p=>q - warunek wystarczający wchodzący w skład implikacji prostej p|=>q
2.
Groźba p~>q = Warunek konieczny p~>q
Gdzie:
p~>q - warunek konieczny ~> wchodzący w skład implikacji odwrotnej p|~>q

… i po bólu.

Definicja teraźniejszości:
Teraźniejszość to nieskończenie cienka linia oddzielająca przyszłość od przeszłości

Prawo transformacji dla warunku wystarczającego => (obietnica) i koniecznego ~> (groźba):
1.
Warunek wystarczający => i konieczny ~> w czasie przyszłym po minięciu nieskończenie cienkiej linii zwanej teraźniejszością transformują się -> do czasu przeszłego.

Kod:

Przyszłość -> Przeszłość
Warunek wystarczający =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q -> A3: q~>p = A4:~q=>~p =1
##
B1: p~>q = B2:~p=>~q -> B3: q=>p = B4:~q~>~p =0
###
Warunek konieczny ~>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q -> A3: q~>p = A4:~q=>~p =0
##
B1: p~>q = B2:~p=>~q -> B3: q=>p = B4:~q~>~p =1
Gdzie:
-> - znak transformacji
## - różne na mocy definicji spójnikowej => i ~>:
A1: p=>q =~p+q ## B1: p~>q =p+~q
### - różne na mocy definicji operatorowej |=> i |~>:
Implikacja prosta: p|=>q =~p*q ### Implikacja odwrotna: p|~>q=p*~q
Uwagi:
1: W liniach powiązanych znaczkiem ## p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q
2: W obszarach powiązanych znaczkiem ### p i q nie muszą być wszędzie tymi samymi p i q

Odwrotnie nie zachodzi bo czasu nie da się cofnąć.
2.
Warunek wystarczający => i konieczny ~> w czasie przeszłym wiążą prawa Kubusia w czasie przeszłym i nie zależą od czasu.

Kod:

Przeszłość [=] Przeszłość
Warunek wystarczający =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q [=] A3: q~>p = A4:~q=>~p =1
##
B1: p~>q = B2:~p=>~q [=] B3: q=>p = B4:~q~>~p =0
###
Warunek konieczny ~>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q [=] A3: q~>p = A4:~q=>~p =0
##
B1: p~>q = B2:~p=>~q [=] B3: q=>p = B4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji spójnikowej => i ~>:
A1: p=>q =~p+q ## B1: p~>q =p+~q
### - różne na mocy definicji operatorowej |=> i |~>:
Implikacja prosta: p|=>q =~p*q ### Implikacja odwrotna: p|~>q=p*~q

Nie da się zrobić transformacji przeszłości do przyszłości bo czasu nie da się cofnąć, stąd mamy tu zwykły znak tożsamości logicznej [=].

[b]4.1 Obsługa warunku wystarczającego => w funkcji czasu

Prawo transformacji dla warunku wystarczającego =>:
Warunek wystarczający => w czasie przyszłym po minięciu nieskończenie cienkiej linii zwanej teraźniejszością transformują się -> do czasu przeszłego.

Kod:

Przyszłość -> Przeszłość
Warunek wystarczający =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q -> A3: q~>p = A4:~q=>~p =1
##
B1: p~>q = B2:~p=>~q -> B3: q=>p = B4:~q~>~p =0
Gdzie:
-> - znak transformacji
## - różne na mocy definicji spójnikowej => i ~>:
A1: p=>q =~p+q ## B1: p~>q =p+~q

Rozważmy warunek wystarczający:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
Zawsze gdy pada są chmury
cnd

Najprostszym dowodem, iż warunek wystarczający A1 jest częścią implikacji prostej P|=>CH jest udowodnienie fałszywości zdania:
B3: CH=>P =?
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padało
CH=>P =0
Bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd

Stąd mamy dowód iż warunek wystarczający A1 jest częścią implikacji prostej P|=>CH o definicji podstawowej:
P=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy:
A1: P=>CH =1
B1: P~>CH =0
Podstawmy to do prawa transformacji otrzymując:

Kod:

Prawo transformacji dla implikacji prostej P|=>CH
Przyszłość -> Przeszłość
Warunek wystarczający =>:
A1: P=>CH = A2:~P~>~CH -> A3: CH~>P = A4:~CH=>~P =1
##
B1: P~>CH = B2:~P=>~CH -> B3: CH=>P = B4:~CH~>~P =0
Gdzie:
-> - znak transformacji
## - różne na mocy definicji spójnikowej => i ~>:
A1: P=>CH =~P+CH ## B1: P~>CH =P+~CH

[b]4.2 Warunek wystarczający => po zamianie poprzednika z następnikiem

Nasz warunek wystarczający => w czasie przyszłym:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur

Prawo transformacji dla warunku wystarczającego =>:
Warunek wystarczający => w czasie przyszłym po minięciu nieskończenie cienkiej linii zwanej teraźniejszością transformują się -> do czasu przeszłego.

Kod:

Prawo transformacji dla implikacji prostej P|=>CH
Przyszłość -> Przeszłość
Warunek wystarczający =>:
A1: P=>CH = A2:~P~>~CH -> A3: CH~>P = A4:~CH=>~P =1
##
B1: P~>CH = B2:~P=>~CH -> B3: CH=>P = B4:~CH~>~P =0
Gdzie:
-> - znak transformacji
## - różne na mocy definicji spójnikowej => i ~>:
A1: P=>CH =~P+CH ## B1: P~>CH =P+~CH

Zobaczmy jak zachowuje się symboliczna definicja implikacji prostej P|=>CH po zamianie argumentów p i q na przykładzie naszej obietnicy.

Kod:

T1. -> T2.
Nieznana przyszłość -> Nieznana przeszłość
Definicja symboliczna -> Definicja symboliczna
implikacji prostej -> implikacji odwrotnej
p|=>q czas przyszły -> q|~>p czas przeszły
A1: p=> q =1 -> A3: q~> p =1
A1: P=> CH =1 -> A3: CH~> P =1
-> LUB
A1’: p~~>~q= p*~q =0 -> B3’: q~~>~p =q*~p =1
A1’: P~~>~CH=P*~CH=0 -> B3’: CH~~>~P=CH*~P=1
.. a jak nie pada? -> .. a jak nie ma chmur?
Prawo Kubusia: -> Prawo Kubusia:
A1: P=>CH =A2:~P~>~CH -> A3: q~>p =A4:~q=>~p
A2: ~p~>~q =1 -> A4: ~q=>~p =1
A2: ~P~>~CH =1 -> A4: ~CH=>~P =1
LUB ->
B2’:~p~~>q =~p* q =1 -> A4’:~q~~>p= ~q* p =0
B2’:~P~~>CH=~P*CH =1 -> A4’:~CH~~>P= ~CH*P=0
a b c d e f
----------------------------------------------------------> Czas

Implikacja prosta p|=>q to kompletna tabela T1, czyli seria zdań: A1, A1’, A2, B2’
Zdanie A1: p=>q to warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji prostej p|=>q.
Z powyższego wynika, że nie da się wypowiedzieć zdania warunkowego „Jeśli p to q” będącego implikacją prostą p|=>q, możemy co najwyżej wypowiedzieć zdanie warunkowe „Jeśli p to q” będące warunkiem wystarczającym A1: p=>q wchodzącym w skład definicji implikacji prostej p|=>q.

[b]Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Dokładnie ta sama seria zdań A1, A1’, A2, B2’ w tabeli T1 to również implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q).
Zdanie A2: ~p~>~q to warunek konieczny ~> wchodzący w skład implikacji odwrotnej ~p|~>~q
Z powyższego wynika, że nie da się wypowiedzieć zdania warunkowego „Jeśli p to q” będącego implikacją odwrotną ~p|~>~q , możemy co najwyżej wypowiedzieć zdanie warunkowe „Jeśli p to q” będące warunkiem koniecznym A2: ~p~>~q wchodzącym w skład definicji implikacji odwrotnej ~p|~>~q.

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Implikacja odwrotna w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Matematycznie zachodzi:
p|=>q = ~p|~>~q =~p*q
bo to jest dokładnie ta sama seria zdań z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.

W naszym przykładzie warunek wystarczający P=>CH w czasie przyszłym:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH - prawo Kubusia poprawne w czasie przyszłym
transformuje się do warunku koniecznego CH~>P w czasie przeszłym:
A3: CH~>P = A4: ~CH=>~P - prawo Kubusia w czasie przeszłym

4.2.1 Przyszłość vs przeszłość w warunku wystarczającym =>

Definicja teraźniejszości:
Teraźniejszość to nieskończenie cienka linia oddzielająca przyszłość od przeszłości

Prawo transformacji dla warunku wystarczającego =>:
Warunek wystarczający => w czasie przyszłym po minięciu nieskończenie cienkiej linii zwanej teraźniejszością transformują się -> do czasu przeszłego.

Kod:

Prawo transformacji dla implikacji prostej P|=>CH
Przyszłość -> Przeszłość
Warunek wystarczający =>:
A1: P=>CH = A2:~P~>~CH -> A3: CH~>P = A4:~CH=>~P =1
##
B1: P~>CH = B2:~P=>~CH -> B3: CH=>P = B4:~CH~>~P =0
Gdzie:
-> - znak transformacji
## - różne na mocy definicji spójnikowej => i ~>:
A1: P=>CH =~P+CH ## B1: P~>CH =P+~CH

Zobaczmy na naszym sztandarowym przykładzie wszystkie możliwe przypadki jakie mogą zajść w przyszłości i w przeszłości względem naszego warunku wystarczającego A1: P=>CH.

[b]T1.
Warunek wystarczający A1, analiza w czasie przyszłym:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest wystarczające => dla istnienia chmur
Kontrprzykład A1’ musi być fałszem
A1’
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być chmur
P~~>~CH = P*~CH =0 - zdarzenie niemożliwe

.. a jeśli nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2:~P=>~CH
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur, bo jak są chmury to na 100%=> pada
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
LUB
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =1 - zdarzenie możliwe

T2.
Po transformacji do przeszłości -> z zamianą p i q mamy analizę w czasie przeszłym:
A3: CH~>P = A4: ~CH=>~P =1 - analiza w czasie przeszłym
A3.
Jeśli wczoraj było pochmurno to mogło ~> padać
CH~>P =1
lub
B3’.
Jeśli wczoraj było pochurno to mogło ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1 - zdarzenie możliwe

.. a jeśli wczoraj nie było pochmurno?
Prawo Kubusia:
A3: CH~>P = A4: ~CH=>~P
A4.
Jeśli wczoraj nie było pochmurno to na 100% => nie padało
~CH=>~P =1
A4’.
Jeśli wczoraj nie było pochmurno to mogło ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0 - zdarzenie niemożliwe

Uwaga:
Sensowna jest analiza w czasie przeszłym wtedy i tylko wtedy gdy nie znamy rozstrzygnięcia.
… a co robić jeśli znamy rozstrzygniecie a chcemy się matematycznie pobawić?
Zawsze możemy założyć, że nie znamy rozstrzygnięcia i mamy dostęp do zabawki w postaci analizy matematyczne obietnicy w czasie przeszłym.
Oczywistym jest, że jeśli już jesteśmy w czasie przeszłym to sensowna i matematycznie poprawna będzie również analiza T1 w czasie przeszłym, co pokazano niżej w tabeli T3

T3.
Analiza warunku wystarczającego => A1 w czasie przeszłym bez zamiany p i q
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH =1 - analiza w czasie przeszłym
A1.
Jeśli wczoraj padało to na 100% => było pochmurno
P=>CH =1
A1’
Jeśli wczoraj padało to mogło ~~> nie być chmur
P~~>~CH = P*~CH =0 - zdarzenie niemożliwe

.. a jeśli nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2:~P=>~CH
A2.
Jeśli wczoraj nie padało to mogło ~> nie być pochmurno
~P~>~CH =1
LUB
B2’.
Jeśli wczoraj nie padało to mogło ~~> być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =1 - zdarzenie możliwe

Podsumowanie:
Różnica między nieznaną przyszłością a nieznaną przeszłością jest fundamentalna, co widać na powyższym przykładzie.
W opisie nieznanej przyszłości w zdaniach T1: A2 i B2’ mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w znaczeniu „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli jutro nie będzie padać to może ~> nie być pochmurno (zdanie A2) lub może ~~> być pochmurno (zdanie B2’).
Oczywistym jest że pojutrze w czasie przeszłym o żadnym „rzucaniu moneta” w sensie „na dwoje babka wróżyła” nie ma już mowy - wczoraj było pochmurno albo nie było pochmurno, co się stało to się nie odstanie.

W naszym przykładzie tabela T1 (nieznana przyszłość) przeszła w tabelę T2 albo T3 (nieznana przeszłość).

Co wymusza matematyka ścisła?
Matematyka ścisła wymusza przejście z nieznanej przyszłości T1 do nieznanej przeszłości T2 albo T3.

4.3 Obsługa warunku koniecznego ~> w funkcji czasu

Definicja teraźniejszości:
Teraźniejszość to nieskończenie cienka linia oddzielająca przyszłość od przeszłości

Prawo transformacji dla warunku wystarczającego => (obietnica) i koniecznego ~> (groźba):
1.
Warunek wystarczający => i konieczny ~> w czasie przyszłym po minięciu nieskończenie cienkiej linii zwanej teraźniejszością transformują się -> do czasu przeszłego.

Kod:

Przyszłość -> Przeszłość
Warunek wystarczający =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q -> A3: q~>p = A4:~q=>~p =1
##
B1: p~>q = B2:~p=>~q -> B3: q=>p = B4:~q~>~p =0
###
Warunek konieczny ~>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q -> A3: q~>p = A4:~q=>~p =0
##
B1: p~>q = B2:~p=>~q -> B3: q=>p = B4:~q~>~p =1
Gdzie:
-> - znak transformacji
## - różne na mocy definicji spójnikowej => i ~>:
A1: p=>q =~p+q ## B1: p~>q =p+~q
### - różne na mocy definicji operatorowej |=> i |~>:
Implikacja prosta: p|=>q =~p*q ### Implikacja odwrotna: p|~>q=p*~q
Uwagi:
1: W liniach powiązanych znaczkiem ## p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q
2: W obszarach powiązanych znaczkiem ### p i q nie muszą być wszędzie tymi samymi p i q

Odwrotnie nie zachodzi bo czasu nie da się cofnąć.
2.
warunek wystarczający => i konieczny ~> w czasie przeszłym wiążą prawa Kubusia w czasie przeszłym i nie zależą od czasu.

Kod:

Przeszłość [=] Przeszłość
Warunek wystarczający =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q [=] A3: q~>p = A4:~q=>~p =1
##
B1: p~>q = B2:~p=>~q [=] B3: q=>p = B4:~q~>~p =0
###
Warunek konieczny ~>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q [=] A3: q~>p = A4:~q=>~p =0
##
B1: p~>q = B2:~p=>~q [=] B3: q=>p = B4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji spójnikowej => i ~>:
A1: p=>q =~p+q ## B1: p~>q =p+~q
### - różne na mocy definicji operatorowej |=> i |~>:
Implikacja prosta: p|=>q =~p*q ### Implikacja odwrotna: p|~>q=p*~q

Nie da się zrobić transformacji przeszłości do przyszłości bo czasu nie da się cofnąć, stąd mamy tu zwykły znak tożsamości logicznej [=].

[b]Prawo transformacji dla warunku koniecznego ~>:
Warunek konieczny ~> w czasie przyszłym po minięciu nieskończenie cienkiej linii zwanej teraźniejszością transformuje się -> do czasu przeszłego.

Kod:

Przyszłość -> Przeszłość
Warunek konieczny ~>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q -> A3: q~>p = A4:~q=>~p =0
##
B1: p~>q = B2:~p=>~q -> B3: q=>p = B4:~q~>~p =1
Gdzie:
-> - znak transformacji
## - różne na mocy definicji spójnikowej => i ~>:
A1: p=>q =~p+q ## B1: p~>q =p+~q

Rozważmy warunek konieczny ~>:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są konieczne ~> aby padało
cnd

Najprostszym dowodem iż warunek konieczny B1 jest częścią implikacji odwrotnej CH|~>P jest udowodnienie fałszywości zdania:
A1: CH=>P =?
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padało
CH=>P =0
Bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd

Stąd mamy dowód iż warunek wystarczający A1 jest częścią implikacji odwrotnej CH|~>P o definicji podstawowej:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1 =1*1 =1
Stąd mamy:
A1: CH=>P =0
B1: CH~>P =1
Podstawmy to do prawa transformacji otrzymując:

Kod:

Prawo transformacji dla implikacji odwrotnej CH|~>P
Przyszłość -> Przeszłość
Warunek konieczny ~>:
A1: CH=>P = A2:~CH~>~P -> A3: P~>CH = A4:~P=>~CH =0
##
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P -> B3: P=>CH = B4:~P~>~CH =1
Gdzie:
-> - znak transformacji
## - różne na mocy definicji spójnikowej => i ~>:
A1: CH=>P =~CH+P ## B1: CH~>P =CH+~P

[b]4.3.1 Warunek konieczny ~> po zamianie poprzednika z następnikiem

Nasz warunek konieczny ~> w czasie przyszłym:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są konieczne ~> aby padało

rafal3006