 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35486
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Nie 22:36, 10 Maj 2020 Temat postu: AK4 Kubusiowa teoria zbiorów (2020-05-10) |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2020-05-10
Część IV
Kubusiowa teoria zbiorów
Jak czytać algebrę Kubusia?
Każda z siedmiu części zakłada prawie zerowy stan wiedzy początkowej.
Można wystartować z czytaniem od dowolnej części znając minimalnie algebrę Boole’a.
Szczególnie polecam część IV i V
Części:
AK1 Algebra Boole’a
AK2 Elementarz algebry Kubusia
AK3 Wstęp do Kubusiowej teorii zbiorów
AK4 Kubusiowa teoria zbiorów
AK5 Kubusiowa teoria zdarzeń
AK6 Obietnice i groźby
AK7 Teoria transformacji
AK8 Algebra Kubusia w dyskusji
Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu
Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.
Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?
Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2020
Algebra Kubusia w pdf
AK1 Algebra Boole’a.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK2 Elementarz algebry Kubusia.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK3 Wstęp do Kubusiowej Teorii zbiorów.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK4 Kubusiowa teoria zbiorów.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK5 Kubusiowa teoria zdarzeń.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK6 Obietnice i groźby.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK7 Prawo transformacji.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK8 Algebra Kubusia w dyskusji.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
Spis treści
1.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 3
1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 3
1.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 4
1.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów 5
1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 5
1.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 6
1.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 6
1.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 6
1.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 8
1.4 Prawa Prosiaczka 10
1.4.1 Prawa Prosiaczka - sterowanie żarówką 10
1.4.2 Prawa Prosiaczka - 3-latek w ZOO 11
2.0 Definicja tożsamości matematycznej 12
2.1 Tożsamość równoważnościowa 12
2.1.1 Tożsamość równoważnościowa dla zdarzeń 12
2.1.2 Tożsamość równoważnościowa dla zbiorów 15
2.2 Tożsamość implikacyjna 17
2.2.1 Tożsamość implikacyjna dla zdarzeń 17
2.2.2 Tożsamość implikacyjna w zbiorach 23
2.3 Definicja poprawności matematycznej definicji 26
Wstęp:
Algebra Kubusia to przede wszystkim matematyczna obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” bo to one decydują o logice matematycznej, spójniki „lub”(+) i „i”(*) z algebry Boole’a pełnią tu wyłącznie funkcję pomocniczą.
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń lub zbiorów p i q.
W teorii zbiorów, kluczowe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w algebrze Kubusia i aktualnej logice matematycznej ziemian są sprzeczne.
Matematykom którzy z definicji nie są w stanie zaakceptować nowych definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w zbiorach gorąco polecam zacząć przygodę z algebrą Kubusia od „AK5 Teoria zdarzeń”
W teorii zdarzeń sytuację mamy bajkową, bo tu po prostu nie sposób rozumieć definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na dwa sprzeczne ze sobą sposoby.
Poza tym w teorii zdarzeń wszystko jest na poziomie 5-cio latka, bo nie ma tu zbiorów nieskończonych, na których operuje matematyka klasyczna.
Zdecydowanie więc polecam wszystkim czytelnikom „AK4 Kubusiową teorię zdarzeń”, bowiem zrozumienie teorii zdarzeń w AK jest konieczne i wystarczające dla zrozumienia kompletnej logiki matematycznej.
1.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.
1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory nieskończone są rozłączne to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
1.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
1.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
1.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
1.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
1.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
| Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 0 1
D: 0 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
##
| Kod: |
T2
Definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 0 1
D: 0 1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
|
##
| Kod: |
T3
Definicja spójnika “lub”(+)
p q p+q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 0 0
D: 0 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego linie definiujące znaczki =>, ~> i „lub”(+) można dowolnie przestawiać, matematycznie to bez znaczenia.
Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Matematycznie zachodzi:
(A1: p=>q = ~p+q) <=> (B1: p~>q=p+~q) =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
(A1: p=>q = ~p+q) ## (B1: p~>q = p+~q)
Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki miedzy warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
| Kod: |
Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1
1 2 3 4 5
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Przy wypełnianiu tabeli zero-jedynkowej w rachunku zero-jedynkowym nie wolno nam zmieniać linii w sygnałach wejściowych p i q, bowiem wtedy i tylko wtedy o tym czy dane prawo zachodzi decyduje tożsamość kolumn wynikowych.
##
| Kod: |
Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0
1 2 3 4 5
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).
Weźmy prawo Kubusia odczytane z tabeli B.
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony.
1.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
| Kod: |
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
3.
Prawa kontrapozycji dla warunków wystarczających =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B4: q=>p = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
4.
Prawa kontrapozycji dla warunków koniecznych ~>:
A3: q~>p = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
1.4 Prawa Prosiaczka
Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo p) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p).
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
1.4.1 Prawa Prosiaczka - sterowanie żarówką
Rozważmy sterowanie żarówką jednym przyciskiem A
| Kod: |
Schemat 1
Przykład ilustracji praw Prosiaczka w fizyce:
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z naturalną logiką człowieka, gdzie symbol przeczenia (~) oznacza w języku potocznym słówko „NIE”.
Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co matematycznie oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)
Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co matematycznie oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)
Zauważmy, że prawa Prosiaczka wiążą ze sobą pojęcia prawdy i fałszu w języku potocznym.
1.4.2 Prawa Prosiaczka - 3-latek w ZOO
Dla zrozumienie praw Prosiaczka nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.
Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO
Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)
Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0
Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)
Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń
Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)
2.0 Definicja tożsamości matematycznej
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Matematycznie zachodzi:
(A1: p=>q = ~p+q) <=> (B1: p~>q=p+~q) =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
(A1: p=>q = ~p+q) ## (B1: p~>q = p+~q)
2.1 Tożsamość równoważnościowa
Rozróżniamy dwa rodzaje tożsamości równoważnościowych:
- tożsamość równoważnościowa dla zdarzeń
- tożsamość równoważnościowa dla zbiorów
2.1.1 Tożsamość równoważnościowa dla zdarzeń
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
| Kod: |
Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności p<=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Rozważmy poniższy schemat sterowania żarówką:
| Kod: |
S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja operatora równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Dowód iż schemat S3 jest fizyczną realizacją równoważności.
Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)
Dowodzimy prawdziwości zdania A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśniecie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
##
Dowodzimy prawdziwości zdania B1.
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% ~> żarówka świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby żarówka świeciła się, bo w układzie nie ma alternatywnego przycisku, który mógłby zaświecić żarówkę
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego a mimo to są to zdania różne na mocy definicji - taki przypadek możliwy jest wyłącznie w równoważności. O tym z jakim zdaniem mamy w rzeczywistości do czynienia informują nas wyłącznie znaczki => i ~> w zapisie słownym tych zdań.
Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
| Kod: |
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
I II III IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Zauważmy, że cztery rodzaje równoważności (I, II, III ,IV) dla wszystkich możliwych obiektów widać tu jak na dłoni. Skupmy się na I i II.
I.
Równoważność dla wciśniętego przycisku A (A=1):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość pojęć (zbiorów):
A=S
Pojęcie przycisk A jest wciśnięty (A=1) jest tożsame z pojęciem żarówka świeci (S=1)
II.
Równoważność dla nie wciśniętego przycisku A (~A=1):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość pojęć (zbiorów):
~A=~S
Pojęcie przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) jest tożsame z pojęciem żarówka nie świeci (~S=1)
Na mocy prawa rachunku zero-jedynkowego zachodzi tożsamość logiczna:
A<=>S = ~A<=>~S
Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Jak widać tożsamość logiczna to co innego niż tożsamość matematyczna.
Z faktu że zachodzi tożsamość logiczna:
A<=>S = ~A<=>~S
Nie wynika że przycisk wciśnięty (A=1) to jest to samo co przycisk nie wciśnięty (~A=1)=(A=0)
Podsumowanie:
| Kod: |
Równoważność: [=] Równoważność:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S) [=] ~A<=>~S=(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)
A=S # ~A=~S
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
|
Spełniona jest definicja dziedziny dla A i S:
A+~A =D =1 - zdarzenia uzupełniają się wzajemnie do dziedziny
A*~A =[] =0 - zdarzenia A i ~A są rozłączne
Matematycznie zachodzi:
S=A # ~S=~A - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Prawo podwójnego przeczenia:
Nie jest prawdą (~) że klawisz A nie jest wciśnięty (~A) = prawdą jest że klawisz A jest wciśnięty (A)
~(~A) =A
2.1.2 Tożsamość równoważnościowa dla zbiorów
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
| Kod: |
Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności p<=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z równoważnością potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)
Twierdzenie proste Pitagorasa TP=>SK i odwrotne SK=>TP udowodniono wieki temu, zatem ta równoważność jest prawdziwa
Podstawmy równoważność Pitagorasa do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla równoważności:
| Kod: |
Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności p<=>q
A: 1: TP=>SK = 2:~TP~>~SK [=] 3: SK~>TP = 4:~SK=>~TP =1
##
B: 1: TP~>SK = 2:~TP=>~SK [=] 3: SK=>TP = 4:~SK~>~TP =1
I II III IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Mamy tu sytuację identyczna jak w teorii zdarzeń.
Zauważmy, że cztery rodzaje równoważności (I, II, III ,IV) dla wszystkich możliwych obiektów widać tu jak na dłoni.
I.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP=1):
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
TP=SK
Zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK)
II.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych (~TP=1):
Trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
~TP=~SK
Zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP=1) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów w których nie jest spełniona suma kwadratów (~SK=1)
Na mocy prawa rachunku zero-jedynkowego zachodzi tożsamość logiczna:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK
Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Jak widać tożsamość logiczna to co innego niż tożsamość matematyczna.
Z faktu że zachodzi tożsamość logiczna:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK
Nie wynika iż zbiór TP jest tożsamy ze zbiorem ~TP
Podsumowanie:
| Kod: |
Równoważność dla | Równoważność dla
trójkątów prostokątnych | trójkątów nieprostokątnych
TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] ~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
definiująca tożsamość zbiorów: | definiująca tożsamość zbiorów:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej strony
| - rozdziela komentarz
|
Dziedzina minimalna:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Dla dziedziny minimalnej zachodzi:
TP+~TP =D =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny ZWT dla zbioru TP
TP*~TP =[] =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
Matematycznie zachodzi:
TP=SK # ~TP=~SK - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Prawo podwójnego przeczenia:
Zaprzeczeniem (~) zbioru trójkątów nieprostokątnych (~TP) jest zbiór trójkątów prostokątnych TP
~(~TP)=TP
Nie jest prawdą (~) że trójkąt x nie jest prostokątny (~TP) = prawdą jest że trójkąt x jest prostokątny (TP)
~(~TP) = TP
2.2 Tożsamość implikacyjna
Rozróżniamy dwa rodzaje tożsamości implikacyjnych:
- tożsamość implikacyjna dla zdarzeń
- tożsamość implikacyjna dla zbiorów
2.2.1 Tożsamość implikacyjna dla zdarzeń
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy:
| Kod: |
Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla p|~>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z implikacją odwrotną p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax
| Kod: |
Szablon operatora implikacji odwrotnej p|~>q
p|~>q = ~(A1: p=>q )*(B1: p~> q)
Operator implikacji odwrotnej p|~>q odpowiada na dwa pytania 1 i 2
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
B1: p~> q =1 - Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
zajście p jest konieczne ~> zajścia q
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego
A1: p=>q=0 musi być prawdą, stąd:
LUB
A1’: p~~>~q =1 - Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
B2: ~p=>~q =1 - Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
kontrprzykład B2’ dla prawdziwego B2 musi być fałszem
|
Rozważmy fizyczną realizację operatora implikacji odwrotnej A|~>S jak niżej:
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
S B A
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-----o o----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest zmienna wolna B
połączona szeregowo z przyciskiem A.
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej A|~>S dla naszego układu:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
Stąd:
A1: A=>S =0
B1: A~>S =1
Podstawiamy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
| Kod: |
Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla A|~>S
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =0
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Na początek musimy udowodnić, iż schemat S1 rzeczywiście jest fizyczną realizacją operatora implikacji odwrotnej A|~>S o definicji:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
stąd:
A1: A=>S =0
B1: A~>S =1
Dowodzimy fałszywości zdania A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => zaświecenia się żarówki S bowiem zmienna wolna B może być ustawiona na B=0, wtedy żarówka nie świeci się mimo włączonego przycisku A (A=1).
Dowodzimy prawdziwości zdania B1.
B1.
Jeśli przyciska A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie klawisza A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S.
Koniecznym dlatego, że dodatkowo zmienna wolna B musi być ustawiona na B=1.
Udowodniliśmy wyżej że warunek konieczny A~>S wchodzi w skład implikacji odwrotnej A|~>S.
Podstawmy nasz przykład do szablonu ogólnego implikacji odwrotnej:
| Kod: |
Szablon operatora implikacji odwrotnej A|~>S
A|~>S = ~(A1: A=>S )*(B1: A~> S)
Operator implikacji odwrotnej A|~>S odpowiada na dwa pytania 1 i 2
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie A?
B1: A~> S =1 - Jeśli zajdzie A to może ~> zajść S
zajście A jest konieczne ~> zajścia S
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego
A1: A=>S=0 musi być prawdą, stąd:
LUB
A1’: A~~>~S =1 - Jeśli zajdzie A to może ~~> zajść ~S
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~A?
Prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2:~A=>~S
B2: ~A=>~S =1 - Jeśli zajdzie ~A to na 100% => zajdzie ~S
zajście ~A jest wystarczające => dla zajścia ~S
B2’:~A~~>S =0 - Jeśli zajdzie ~A to może ~~> zajść S
kontrprzykład B2’ dla prawdziwego B2 musi być fałszem
|
Rozwińmy powyższy szablon w języku potocznym z bardziej szczegółowymi wyjaśnieniami dotyczącymi schematu S1.
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
S B A
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-----o o----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest zmienna wolna B
połączona szeregowo z przyciskiem A.
|
Implikacja odwrotna A|~>S w równaniu logicznym:
A|~>S = ~(A1: A=>S )*(B1: A~> S)
Operator implikacji odwrotnej A|~>S odpowiada na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co może się wydarzyć gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S.
Koniecznym ~> bo dodatkowo zmienna wolna B musi być ustawiona na B=1
LUB
A1’
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S=A*~S =1
Zdarzenie możliwe ~~> gdy dodatkowo zmienna wolna B ustawiona jest na B=0
2.
Co może się wydarzyć gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2:~A=>~S
stąd:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia się żarówki S (~S=1).
Stan zmiennej wolnej B jest tu bez znaczenia B=x gdzie: x={0,1}
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem
B2’
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Dla schematu S1 zdarzenie niemożliwe. Stan zmiennej wolnej B jest bez znaczenia B=x gdzie: x={0,1}.
Podsumowanie:
1.
Doskonale tu widać, że po stronie wciśniętego przycisku A (A=1) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w znaczeniu „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli klawisz A jest wciśnięty to żarówka może ~> się świecić (prawdziwe zdanie B1, fałszywe A1’) albo może ~~> się nie świecić (fałszywe zdanie B1, prawdziwe A1’)
2.
Po stronie nie wciśniętego klawisza A (~A=1) mamy gwarancje matematyczną => iż jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie świeci się.
Kluczowym zagadnieniem jest tu poprawne zrozumienie tożsamości logicznej w prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Lewa strona prawa Kubusia:
Zdanie B1 w prawie Kubusia mówi nam co może się wydarzyć gdy klawisz A nie jest wciśnięty:
B1: A~>S =1
LUB
A1’: A~~>~S=1
Po stronie wciśniętego przycisku A mamy „rzucanie monetą” RM tożsame z brakiem gwarancji matematycznej ~GM co zapisujemy:
RM=~GM
RM=1 - „rzucanie monetą”
(~GM=1)=(GM=0) - brak gwarancji matematycznej (prawo Prosiaczka)
Prawa strona prawa Kubusia:
Zdanie B2:
B2: ~A=>~S =1
Po stronie nie wciśniętego klawisza A (~A=1) mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka nie świeci się (~S=1)
Oczywistym jest, że spełniona gwarancja matematyczna GM=1 jest tożsama z brakiem „rzucania monetą” ~RM=1
GM = ~RM
GM=1 - gwarancja matematyczna
(~RM=1)=(RM=0) - brak „rzucania monetą” (prawo Prosiaczka)
Podsumujmy nasze rozważania w tabeli prawdy:
| Kod: |
Prawo Kubusia:
B1: A~> S =1 [=] B2: ~A=>~S=1
lub | Kontrprzykład B2’ musi być fałszem
A1’: A~~>~S=1 | B2’:~A~~>S=0
Rzucanie monetą RM # Brak „rzucania monetą” ~RM
Brak gwarancji ~GM # Gwarancja matematyczna GM
RM=~GM # GM=~RM
Gdzie:
RM - rzucanie monetą
GM - gwarancja matematyczna
[=] - tożsamość logiczna
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej strony
| - rozdziela istotne fragmenty analizy symbolicznej
|
Prawo Kubusia:
B1: A~>S = B2:~A=>~S
Znaczenie prawa Kubusia w implikacji odwrotnej A|~>S:
1.
Prawdziwość dowolnej strony prawa Kubusia wymusza prawdziwość drugiej strony
2.
W implikacji odwrotnej A|~>S po stronie opisanej warunkiem koniecznym ~> mamy „rzucanie monetą” (RM), natomiast po stronie opisanej warunkiem wystarczającym => mamy gwarancję matematyczną =>, czyli brak „rzucania monetą” (~RM)
| Kod: |
B1: A~>S = B2:~A=>~S
RM=~GM # ~RM=GM
|
Spełniona jest definicja dziedziny dla rzucania monetą RM:
RM+~RM =D =1 - ~RM jest uzupełnieniem do dziedziny dla RM
RM*~RM =[] =0 - pojęcia RM i ~RM są rozłączne
Z powyższego wynika że:
~RM=[D-RM]=[RM+~RM-RM]=~RM
Prawo podwójnego przeczenia też jest tu spełnione:
~(~RM) = RM - bo ~RM jest uzupełnieniem do dziedziny dla RM, zatem zaprzeczając ~RM otrzymamy RM.
Interpretacja w języku potocznym:
Nie jest prawdą (~) że nie rzucam monetą (~RM) = rzucam monetą (RM)
~(~RM)=RM
Analogicznie:
Spełniona jest definicja dziedziny dla gwarancji matematycznej GM:
GM+~GM =D =1 - ~GM jest uzupełnieniem do dziedziny dla GM
GM*~GM =[] =0 - pojęcia GM i ~GM są rozłączne
Z powyższego wynika że:
~GM=[D-GM]=[GM+~GM-GM]=~GM
Prawo podwójnego przeczenia też jest tu spełnione:
~(~GM) = GM - bo ~GM jest uzupełnieniem do dziedziny dla GM, zatem zaprzeczając ~GM otrzymamy GM.
Interpretacja w języku potocznym:
Nie jest prawdą (~) że nie mam gwarancji matematycznej (~GM) = mam gwarancję matematyczną (GM)
~(~GM)=GM
2.2.2 Tożsamość implikacyjna w zbiorach
Znaczenie tożsamości implikacyjnej w zbiorach jest analogiczne do znaczeni tożsamości implikacyjnej w zdarzeniach.
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy:
| Kod: |
Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla p|~>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z implikacją odwrotną p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax
Rozważmy warunek konieczny ~>:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Zdanie prawdzie bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Dodatkowo zbiory P2 i P8 nie są tożsame co jest wystarczającym dowodem iż warunek konieczny P2~>P8 wchodzi w skład implikacji odwrotnej P2|~>P8:
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) = ~(0)*1 =1*1 =1
Definicja podzbioru =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
inaczej:
p=>q =0
Definicja nadzbioru ~>:
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
inaczej:
p~>q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
inaczej:
p~~>q p p*q =[] =0 - zbiory rozłączne
Ponieważ będziemy badać relacje nadzbioru ~> i podzbioru => między zbiorami P2 i P8 wyznaczmy wszystkie możliwe przeczenia zbiorów.
Przyjmijmy dziedzinę LN:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Zbiory podstawowe:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
Podstawmy nasz przykład do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej P2|~>P8
| Kod: |
Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> dla p|~>q
A: 1: P2=>P8 = 2:~P2~>~P8 [=] 3: P8~>P2 = 4:~P8=>~P2 =0
##
B: 1: P2~>P8 = 2:~P2=>~P8 [=] 3: P8=>P2 = 4:~P8~>~P2 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Algebra Kubusia daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości wszystkich relacji w zbiorach w linii Bx oraz fałszywości wszystkich relacji w zbiorach w linii Ax.
Operator implikacji odwrotnej P2|~>P8 odpowiada na dwa pytania 1 i 2
1.
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2=1)?
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~> być podzielna przez 8 (P8=1)
P2~>P8 =1
Zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
LUB
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8=1)
P2~~>~P8=P2*~P8 =1
Zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] mają co najmniej jeden element wspólny (np.2)
2.
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2=1)?
Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2:~P2=>~P8
stąd:
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
~P2=>~P8 =1
Zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Tego faktu nie musimy dowodzić na mocy prawa Kubusia.
Warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to może ~~> podzielna przez 8 (P8=1)
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =[] =0 - zbiory rozłączne
Rozłączności zbiorów ~P2 i P8 nie musimy dowodzić bo wynika ona z prawa Kubusia.
Wnioski:
1.
Po stronie zbioru P2 mamy tu „rzucanie monetą” w znaczeniu „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli wylosujemy dowolną liczbę ze zbioru P2=[2,4,6,8..] to wylosowana liczba może ~> należeć do zbioru P8=[8,16,24..] (zdanie B1) albo może ~~> należeć do zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] (zdanie A1’). Trzeciej możliwości brak.
Zachodzi matematyczna tożsamość:
„Rzucanie monetą” RM=1 jest tożsame z brakiem „gwarancji matematycznej” ~GM=1
RM=~GM
Gdzie:
RM=1 - „rzucanie monetą”
(~GM=1)=(GM=0) - brak „gwarancji matematycznej” (prawo Prosiaczka)
2.
Po stronie zbioru ~P2 mamy gwarancję matematyczną =>, że jeśli wylosujemy dowolna liczbę ze zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..] to wylosowana liczba na 100% => będzie należała do zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Zachodzi matematyczna tożsamość:
„Gwarancja matematyczna” GM=1 jest tożsama z brakiem „rzucania monetą” ~RM=1
GM=~RM
Gdzie:
GM=1 - „gwarancja matematyczna”
(~RM=1)=(RM=0) - brak „rzucania monetą” (prawo Prosiaczka)
Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2:~P2=>~P8
Znaczenie tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony
Podsumujmy nasze rozważania w tabeli prawdy:
| Kod: |
Prawo Kubusia:
B1: P2~> P8 =1 [=] B2: ~P2=>~P8=1
lub | Kontrprzykład B2’ musi być fałszem
A1’: P2~~>~P8=1 | B2’:~P2~~>P8=0
Rzucanie monetą RM # Brak rzucania monetą ~RM
Brak gwarancji matematycznej ~GM # Gwarancja matematyczna GM
RM=~GM # GM=~RM
Gdzie:
RM - rzucanie monetą
GM - gwarancja matematyczna
[=] - tożsamość logiczna
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej strony
| - rozdziela istotne fragmenty analizy symbolicznej
|
Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2:~P2=>~P8
Znaczenie prawa Kubusia w implikacji odwrotnej P2|~>P8:
Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2:~P2=>~P8
1.
Prawdziwość dowolnej strony prawa Kubusia wymusza prawdziwość drugiej strony
2.
W implikacji odwrotnej P2|~>P8 po stronie opisanej warunkiem koniecznym ~> mamy „rzucanie monetą” (RM) tożsame z brakiem „gwarancji matematycznej” ~GM, natomiast po stronie opisanej warunkiem wystarczającym => mamy gwarancję matematyczną GM tożsamą z brakiem „rzucania monetą” (~RM)
Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2:~P2=>~P8
RM=~GM # ~RM=GM
Spełniona jest definicja dziedziny dla rzucania monetą RM:
RM+~RM =D =1 - ~RM jest uzupełnieniem do dziedziny dla RM
RM*~RM =[] =0 - pojęcia RM i ~RM są rozłączne
Prawo podwójnego przeczenia:
Nie jest prawdą (~) że nie rzucam moneta ~RM = prawdą jest że „rzucam monetą” RM
~(~RM) = RM
Spełniona jest definicja dziedziny dla gwarancji matematycznej GM:
GM+~GM =D =1 - ~GM jest uzupełnieniem do dziedziny dla GM
GM*~GM =[] =0 - pojęcia GM i ~GM są rozłączne
Prawo podwójnego przeczenia:
Nie jest prawdą (~) ze nie mam gwarancji matematycznej ~GM = prawdą jest że mam gwarancję matematyczną”
~(~GM) = GM
2.3 Definicja poprawności matematycznej definicji
Definicja poprawności matematycznej definicji:
Definicja jest matematycznie poprawna wtedy i tylko wtedy gdy opisuje ją relacja równoważności
Definicja równoważności <=>:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
„i”(*) - spójnik „i” z języka potocznego
Definicja 100% => pewności matematycznej:
p=>q =1 - gdy z p wynika 100% => pewność q
Inaczej:
p=>q =0
Przykład:
Pies to na 100% => zwierzę domowe
P=>D =1 - pies na 100% => jest zwierzęciem domowym
Jednak w drugą stronę z faktu, że jakieś zwierzę jest zwierzęciem domowym nie wynika => iż to musi być pies
D=>P =0
Stąd równoważność jest tu fałszywa:
P<=>D = (P=>D)*(D=>P) =1*0 =0
Poprawna definicja minimalna psa jest na przykład taka:
Pies to na 100% => zwierzę domowe, szczekające
P=>D*S =1
Relacja pewności matematycznej => w drugą stronę też tu zachodzi.
Zwierzę domowe, szczekające to na 100% => pies
D*S => P =1
Stąd mamy spełnioną relację równoważności:
Zwierzę jest psem wtedy i tylko wtedy gdy jest zwierzęciem domowym i szczeka
P<=>D*S = (P=>D*S)*(D*S=>P) =1*1 =1
Ponieważ każda równoważność to z definicji tożsamość matematyczna możemy zapisać:
P=D*S
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 15:42, 21 Cze 2022, w całości zmieniany 23 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35486
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 22:37, 10 Maj 2020 Temat postu: |
|
|
Spis treści
3.0 Definicja operatora implikacyjnego 1
3.1 Zasady tworzenia definicji symbolicznej 2
4.0 Prawda miękka i twarda, prawda absolutna 2
4.1 Prawda miękka i twarda 3
4.2 Prawda absolutna 4
4.2 Czy twarda prawda może przejść w fałsz absolutny? 6
3.0 Definicja operatora implikacyjnego
Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Matematycznie zachodzi:
(A1: p=>q = ~p+q) <=> (B1: p~>q=p+~q) =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
(A1: p=>q = ~p+q) ## (B1: p~>q = p+~q)
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
| Kod: |
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to seria czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, dająca odpowiedź na następujący zestaw pytań:
Dla zdania „Jeśli p to q” zadajemy dwa pytania na które logika matematyczna musi dać odpowiedź:
Tabela AB12:
1. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
2. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
W zdaniu „Jeśli p to q” zamieniamy p i q.
Dla zdania „Jeśli q to p” zadajemy kolejne dwa pytania na które logika matematyczna musi dać odpowiedź:
Tabela AB34:
3. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie q?
4. Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~q?
3.1 Zasady tworzenia definicji symbolicznej
Zasady tworzenia definicji symbolicznej:
1.
Zdanie warunkowe fałszywe zapisujemy wtedy i tylko wtedy gdy nie da się danego miejsca uzupełnić zdaniem prawdziwym.
2.
Jeśli na danej pozycji mamy do wyboru jednocześnie spełniony warunek wystarczający => i konieczny ~> co może się zdarzyć wyłącznie w równoważności definiującej tożsamość zbiorów (zdarzeń) p=q, to zawsze wybieramy warunek wystarczający =>.
Uzasadnienie:
Warunek wystarczający => daje nam gwarancję matematyczną =>, iż jeśli zajdzie p to na 100% zajdzie q w całym obszarze logiki matematycznej, natomiast warunek konieczny ~> daje identyczną gwarancję wyłącznie dla zbiorów (zdarzeń) tożsamych p=q.
Dokładnie z tego powodu spójnik warunku wystarczającego => jest w logice matematycznej spójnikiem domyślnym.
4.0 Prawda miękka i twarda, prawda absolutna
Rozważmy zdanie:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> dla deszczu
Badamy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padać
CH=>P =0
Istnienie chmur nie jest wystarczające => dla padania.
Nie zawsze gdy są chmury, pada.
Stąd mamy dowód, iż mamy tu do czynienia z implikacją odwrotną.
Definicja implikacji odwrotnej CH|=>P:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
CH|~>P = (A: CH~>P)*~(A1: CH=>P) =1*~(0) =1*1 =1
cnd
W tym momencie kompletną analizę zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia p i q wykona według szablonu implikacji odwrotnej p|~>q najgłupszy komputer. Dla celów edukacyjnych warto zabawić się przynajmniej raz w głupi komputer.
4.1 Prawda miękka i twarda
Analiza podstawowa zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
Operator implikacyjny to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2
1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> dla deszczu
LUB
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P=CH*~P =1 - możliwy jest przypadek „są chmury” i „nie pada”
Chwilą czasową jest w powyższym przypadku cały jutrzejszy dzień.
Zauważmy, że:
W dniu dzisiejszym w czasie przyszłym obie jedynki są miękkimi jedynkami pociągającymi za sobą miękkie zera.
Dopóki jesteśmy dzisiaj i nie znamy przyszłości w przypadku zdań A i B możemy mówić o miękkich prawdach pociągających za sobą miękkie fałsze.
Czyli:
A: Jeśli jutro zajdzie zdarzenie: są chmury i pada A: CH*P =1 to zdarzenie A będzie prawdą, natomiast zdarzenie B będzie fałszem B: CH*~P=0
i odwrotnie:
B: Jeśli jutro zajdzie zdarzenie: są chmury i nie pada B: CH*~P=1 to zdarzenie B będzie prawdą, natomiast zdarzenie A będzie fałszem A: CH*P =0
Stąd mamy:
Definicja miękkiej prawdy w logice matematycznej:
Miękka prawda to prawda która może zajść ale nie musi.
Istnienie miękkiej prawdy pociąga za sobą istnienie miękkiego fałszu
Kontynuujemy dalsze możliwe przypadki związane ze zdaniami A i B (miękkie jedynki)
2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1)?
.. a jeśli jutro nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
A: CH~>P = C: ~CH=>~P
stąd mamy:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1 - twarda jedynka
Brak chmur (~CH) jest warunkiem wystarczającym => do tego by nie padało (~P0
Brak chmur (~CH) daje nam gwarancję matematyczną => braku opadów (~P)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna
Prawdziwy warunek wystarczający C:~CH=>~P =1 wymusza fałszywy kontrprzykład D (i odwrotnie)
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P =~CH*P =0 - twarde zero
Zdarzenie wykluczone od minus do plus nieskończoności, nie ma najmniejszych szans aby zdarzenie D kiedykolwiek zaszło na planecie Ziemia w przedziale czasowym od minus do plus nieskończoności.
Definicja twardej prawdy:
Jeśli p to q
Z twardą prawdą mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Przykład to zdanie C wyżej.
Zapiszmy naszą analizę matematyczną w tabeli prawdy:
| Kod: |
A: CH~> P =1 - bo chmury są konieczne ~> dla padania
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - możliwe ~~> jest zdarzenie: są chmury i nie pada
… a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
A: CH~>P = C:~CH=>~P
C:~CH=>~P =1 - bo brak chmur jest wystarczający => dla nie padania
D:~CH~~>P=~CH* P =0 - niemożliwe ~~> jest zdarzenie: nie ma chmur i pada
|
4.2 Prawda absolutna
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Na mocy prawa Kobry powyższą analizę możemy rozpisać w zdarzeniach możliwych ~~>.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q = p*q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Stąd mamy tabelę zdarzeń możliwych które mogą zajść jutro:
| Kod: |
T1
A: CH~~> P= CH* P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „pada”
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „nie pada”
C:~CH~~>~P=~CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „nie pada”
D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada”
|
Zauważmy, że:
1.
Na planecie Ziemia zdarzenie D nie jest możliwe, nigdy nie zaszło i nigdy nie zajdzie.
2.
Zdarzenia ABC są wzajemnie rozłączne zarówno fizycznie jak i matematycznie.
Dowód matematycznej rozłączności zdarzeń ABC:
A*B = (CH*P)*(CH*~P) =[] =0
A*C = (CH*P)*(~CH*~P)=[] =0
B*C=(CH*~P)*(~CH*~P)=[] =0
3.
Z powyższego wynika, że:
Jeśli jutro zajdzie którekolwiek ze zdarzeń możliwych ABC (prawda absolutna) to pozostałe dwa zdarzenia będą fałszem absolutnym.
W tym momencie logika matematyczna kończy swoją działalność, bo znamy rozstrzygnięcie i nie jesteśmy w stanie zmienić zaistniałego faktu.
Żadna logika matematyczna nie ma prawa zmienić zaistniałego faktu.
Przykładowo:
Załóżmy, że jest pojutrze i zaszło znane nam zdarzenie w Warszawie:
CH*~P =1 - wczoraj było pochmurno i nie padało
W tym przypadku wyłącznie linia B będzie prawdą absolutną, pozostałe linie będą fałszem absolutnym.
Dowód:
Z założenia wiemy że:
CH~~>~P = CH*~P =1 - wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało
Na mocy tego założenia nasza tabela prawdy dla znanej i zdeterminowanej przeszłości wygląda tak:
| Kod: |
T2
A: CH~~> P= CH* P=0 - wczoraj były chmury i padało
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - wczoraj były chmury i nie padało
C:~CH~~>~P=~CH*~P=0 - wczoraj nie było chmur i nie padało
D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada”
|
Zdarzenie B miało miejsce w Warszawie.
Zauważmy, że nie wszyscy muszą wiedzieć jaka była pogoda w dniu wczorajszym w Warszawie.
Tylko i wyłącznie dla mieszkańców spoza Warszawy, którzy nie znają prawdy absolutnej o pogodzie w Warszawie logika matematyczna działa dalej i sensowna.
Innymi słowy:
Jeśli nie znamy rozstrzygnięcia to logika dalej działa w postaci identycznej serii zdań jak w naszej analizie podstawowej, tylko w zdaniach zapisanych w czasie przeszłym.
Definicja prawdy absolutnej:
Prawda absolutna to znany „fakt” który nie ma szans przejścia w fałsz.
Przykład:
Nasze zdarzenie które zaszło w Warszawie:
B: Wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało
B: CH~~>~P =CH*~P =1 - znamy zaistniały „fakt”, będący prawdą absolutną
Czasu nie da się cofnąć, zatem tego „faktu” (prawdy absolutnej) nie da się zmienić.
Definicja fałszu absolutnego:
Fałsz absolutny to znany „fakt” który nie ma szans stać się prawdą
W momencie zaistnienia powyższej prawdy absolutnej na terenie Warszawy wszystkie pozostałe, możliwe zdarzenia tj. A i C stają się fałszami absolutnymi. Znanych faktów nie jesteśmy w stanie zmienić bo czasu nie da się cofnąć.
4.2 Czy twarda prawda może przejść w fałsz absolutny?
Czy twarda prawda może przejść w fałsz absolutny?
Odpowiedź na to pytanie jest twierdząca.
Zauważmy, że w czasie przyszłym (lub przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu) zdanie C jest twardą prawdą.
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1 - twarda jedynka
To jest twarda prawda w czasie przyszłym lub przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu.
Innymi słowy:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało.
~CH=>~P =1 - twarda prawda
Brak chmur jest wystarczający => dla nie padania
To samo zdanie w czasie przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu:
C1.
Jeśli wczoraj nie było pochmurno to na 100% => nie padało
~CH=>~P=1
Brak chmur jest wystarczający => dla nie padania
Jak widzimy z naszego przykładu twarda prawda w czasie przyszłym może przejść w fałsz absolutny w czasie przeszłym gdy zajdzie jedna z miękkich jedynek, w naszym przykładzie gdy zajdzie zdarzenie B.
Jak powyższe rozważania udowodnić matematycznie?
Mamy naszą tabelę prawdy T1 opisująca naszą rzeczywistość w czasie przyszłym lub przeszłym gdy nie znamy faktów.
| Kod: |
T1
A: CH~~> P= CH* P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „pada”
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „nie pada”
C:~CH~~>~P=~CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „nie pada”
D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada”
|
Nasze zdarzenie które zaszło w Warszawie:
B: Wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało
B: CH~~>~P =CH*~P =1 - znamy zaistniały „fakt”, będący prawdą absolutną
Czasu nie da się cofnąć, zatem tego „faktu” (prawdy absolutnej) nie da się zmienić.
Dowód czysto matematyczny naszych rozważań to po prostu iloczyn logiczny zaistniałego faktu CH*~P w każdej z linii ABCD.
| Kod: |
T3
Tabela prawdy dla zaistniałego zdarzenia CH*~P
A: CH~~> P=( CH* P)*( CH*~P)=0 - fałsz absolutny
B: CH~~>~P=( CH*~P)*( CH*~P)=1 - prawda absolutna
C:~CH~~>~P=(~CH*~P)*( CH*~P)=0 - fałsz absolutny
D:~CH~~> P=(~CH* P)*( CH*~P)=0 - fałsz absolutny
|
Czytamy:
A.
Czy wczoraj w Warszawie było pochmurno i padało?
NIE - fałsz absolutny
B.
Czy wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało?
TAK - prawda absolutna
C.
Czy wczoraj w Warszawie nie było pochmurno i nie padało?
NIE - fałsz absolutny
D.
Czy wczoraj w Warszawie nie było pochmurno i padało?
NIE - fałsz absolutny fałsz
Tylko tu zachodzi matematyczna tożsamość:
twardy fałsz (gdy mówimy o nieznanej przyszłości) = fałsz absolutny (gdy znamy fakt który zaistniał np. CH*~P)
Podsumowując:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1 - twarda jedynka
To jest twarda prawda w czasie przyszłym lub przeszłym gdy nie znamy zaistniałego faktu.
Twarda prawda może przejść w fałsz absolutny w czasie przeszłym.
Kontrprzykład D dla prawdziwego warunku wystarczającego C musi być fałszem.
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0 - niemożliwe jest zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i pada (P)
Zauważmy że:
1.
Twarda prawda w czasie przyszłym (zdanie C) może przejść w fałsz absolutny w czasie przeszłym (tabela T3, zdanie C)
2.
Twardy fałsz w czasie przyszłym (zdanie D) nie może przejść w twardą prawdę w czasie przeszłym, bowiem niemożliwe jest zajście zdarzenia D (=0) w czasie od minus do plus nieskończoności.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 8:08, 13 Cze 2020, w całości zmieniany 14 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35486
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 9:11, 08 Cze 2020 Temat postu: |
|
|
Spis treści
5.0 Operator implikacji prostej p|=>q 1
5.1 Wstęp do analizy implikacji prostej p|=>q 3
5.1.1 Analiza implikacji prostej AB12: p|=>q 5
5.1.2 Analiza implikacji odwrotnej AB34: q|~>p 6
5.2 Definicja symboliczna implikacji prostej p|=>q do codziennego stosowania 7
5.3 Przykład implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach 8
5.3.1 Cechy charakterystyczne implikacji prostej P8|=>P2 11
5.3.2 Właściwości implikacji prostej P8|=>P2 12
5.3.3 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q 12
5.4 Warunek wystarczający => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 14
5.4.1 Od definicji warunku wystarczającego p=>q do operatora p|=>q 15
5.5 Prawo transformacji dla implikacji prostej p|=>q 20
5.0 Operator implikacji prostej p|=>q
Przypomnijmy definicje podstawowe z Kubusiowej teorii zbiorów:
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jego elementy wchodzą w skład zbioru q
p=>q =1 - gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
inaczej:
p=>q =0
Definicja nadzbioru ~>:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy p jest nadzbiorem ~> zbioru q
inaczej:
p~>q =0
Dla zbiorów tożsamych p=q zachodzi:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Wynika to bezpośrednio z definicji podzbioru => i nadzbioru ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.
Zastrzeżenie:
Dziedzina musi tu być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
To zastrzeżenie jest konieczne dla istnienia zbiorów niepustych ~p i ~q.
W algebrze Kubusia wszelkie argumenty muszą być zbiorami (pojęciami) niepustymi, musimy po prostu rozumieć co mówimy.
Innymi słowy:
By rozumieć co znaczy pojęcie „pies” musimy rozumieć pojęcie „nie pies”
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Matematycznie zachodzi:
(A1: p=>q = ~p+q) <=> (B1: p~>q=p+~q) =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
(A1: p=>q = ~p+q) ## (B1: p~>q = p+~q)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
T1.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
AB12 | AB34
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wnioski:
1.
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx
2.
W logice matematycznej mamy do dyspozycji 16 tożsamych definicji implikacji prostej p|=>q
5.1 Wstęp do analizy implikacji prostej p|=>q
Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w relacjach podzbioru =>.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
T1.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Uzupełnijmy naszą tabelę o relację elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
| Kod: |
T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: p=>q=1 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=0 - fałszywy kontrprzykład A1’ wymusza prawdziwy A1
B2:~p=>~p=0 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
| Kod: |
T3
-----------------------------------------------------------------
Analiza implikacji prostej AB12: p|=>q i odwrotnej AB34: q|~>p
-----------------------------------------------------------------
Implikacja prosta AB12: p|=>q | Implikacja odwrotna AB34: q|~>p
Implikacja p|=>q dla p i ~p | Implikacja q|~>p dla q i ~q
to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2 | to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2
AB12: | AB34:
1. | 1.
Co będzie jeśli zajdzie p? | Co będzie jeśli zajdzie q?
A1: p=>q =1 [=] A3: q~>p =1
| lub
| B3: q=>p =0
Na mocy definicji kontrprzykładu: | Na mocy definicji kontrprzykładu:
A1’: p~~>~q= p*~q=0 | B3’: q~~>~p= q*~p=1 ;##
|
2. | 2.
Co będzie jeśli zajdzie ~p? | Co będzie jeśli zajdzie ~q
.. a jeśli zajdzie ~p | .. a jeśli zajdzie ~q
Prawo Kubusia: | Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q [=] A3: q~>p = A4:~q=>~p
Stąd: | Stąd:
A2: ~p~>~q =1 [=] A4: ~q=>~p =1
lub |
B2: ~p=>~q =0 |
Na mocy definicji kontrprzykładu: | Na mocy definicji kontrprzykładu:
B2’:~p~~>q=~p*q =1 ;## | A4’:~q~~>p=~q* p=0
Gdzie: | Gdzie:
## - różne na mocy definicji | ## - różne na mocy definicji
w stosunku do pozostałych zdań | w stosunku do pozostałych zdań
B2’: p|=>q=~p*q | B3’: q|~>p=q*~p
|
Podsumowanie: | Podsumowanie:
p|=>q =(A1: p=>q )*~(B2:~p=>~q) [=] q|~>p =(A3: q~>p )*~(B3: q=>p)
~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) [=]~q|=>~p=(A4:~q=>~p)*~(B3: q=>p)
Prawo Kubusia: | Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A3: q~>p = A4:~q=>~p
Z czego wynika że: | Z czego wynika że:
p|=>q = ~p|~>~q = ~p*q | q|~>p = ~q|=>~p = q*~p
|
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
AB12:
Dowód alternatywny iż zachodzi matematyczna tożsamość:
1: p|=>q = 2: ~p|~>~q =~p*q
1.
p|=>q =(A1: p=>q )*~(B2:~p=>~q) = (~p+q)*~(p+~q)=(~p+q)*(~p*q) = ~p*q
2.
~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = (~p+q)*~(p+~q)=(~p+q)*(~p*q)=~p*q
cnd
AB34:
Dowód alternatywny iż zachodzi matematyczna tożsamość:
3: q|~>p = 4: ~q|=>~p =q*~p
3.
q|~>p =(A3: q~>p )*~(B3: q=>p) = (q+~p)*~(~q+p) = (q+~p)*(q*~p)=q*~p
4.
~q|=>~p=(A4:~q=>~p)*~(B3: q=>p)=(q+~p)*~(~q+p)=(q+~p)*(q*~p)=q*~p
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna na poziomie implikacji:
1: p|=>q = 2: ~p|~>~q =~p*q [=] 3: q|~>p = 4: ~q|=>~p =q*~p
bo iloczyn logiczny „i”(*) jest przemienny:
~p*q = q*~p
5.1.1 Analiza implikacji prostej AB12: p|=>q
| Kod: |
T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
AB12
Operator implikacji prostej p|=>q odpowiada na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co będzie jeśli zajdzie p?
A1.
Jeśli zajdzie p to na100% => zajdzie q
p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =p*~q =0 - zdarzenie niemożliwe
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem
2.
Co będzie jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
LUB
B2’_##:
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =~p*q =1 - możliwe ~~> jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Dowód:
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’: ~p~~>q=0 (i odwrotnie)
Gdzie:
B2’_## - zdanie różne na mocy definicji ## w stosunku do pozostałych zdań
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
p|=>q=~p*q - wskazuje jedyny kontrprzykład prawdziwy B2’ w całej analizie AB12
Wnioski:
1.
W zdaniu A1 mamy gwarancję matematyczną => że:
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
2.
Zdania A2 i B2’ realizują najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q (zdanie A2) lub Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q (zdanie B2’)
Trzeciej możliwości nie ma (tertium non datur)
5.1.2 Analiza implikacji odwrotnej AB34: q|~>p
| Kod: |
T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
AB34
Operator implikacji odwrotnej q|~>p odpowiada na dwa pytania:
1.
Co będzie jeśli zajdzie q?
A3.
Jeśli zajdzie q to może ~> zajść q
q~>p =1 - zajście q jest konieczne ~> dla zajścia p
LUB
B3’_##.
Jeśli zajdzie q to może ~~> zajść ~p
q~~>~p= q*~p =1 - możliwe ~~> jest jednoczesne zajście zdarzeń q i ~p
Dowód:
Fałszywy warunek wystarczający B3: q=>p=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B3’: q~~>~p=1 (i odwrotnie)
2.
Co będzie jeśli zajdzie ~q?
Prawo Kubusia:
A3: q~>p = A4: ~q=>~p
A4.
Jeśli zajdzie ~q to na 100% => zajdzie ~p
~q=>~p =1 - zajście ~q jest wystarczające => dla zajścia ~p
Spełniony warunek wystarczający A4 wymusza fałszywość kontrprzykładu A4’ (i odwrotnie)
A4’.
Jeśli zajdzie ~q to może ~~> zajść p
~q~~>p =~q*p =0 - zdarzenie niemożliwe, kontrprzykład dla A4 musi być fałszem
Gdzie:
B3’_## - zdanie różne na mocy definicji ## w stosunku do pozostałych zdań
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
p|=>q=~p*q - wskazuje jedyny kontrprzykład prawdziwy B3’ w całej analizie AB34
Wnioski:
1.
Zdania A3 i B3’ realizują najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie na dwoje babka wróżyła”:
A3: Jeśli zajdzie q to może ~> zajść p lub B3’: Jeśli zajdzie q to może ~~> zajść ~p
Trzeciej możliwości nie ma (tertium non datur)
2.
W zdaniu A4 mamy gwarancję matematyczną => że:
A4.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
5.2 Definicja symboliczna implikacji prostej p|=>q do codziennego stosowania
W codziennym stosowaniu istotna jest zawartość symbolicznych definicji implikacji prostej p|=>q a nie trudne do zapamiętania indeksy przy poszczególnych zdaniach.
Co więcej, kolejność wypowiadanych zdań wchodzących w skład implikacji prostej p|=>q nie ma żadnego znaczenia, bowiem każdemu z tych zdań da się przypisać indywidualną wartość logiczną prawda/fałsz niezależną od jakichkolwiek innych zdań.
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
| Kod: |
T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wnioski:
1.
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx
2.
W logice matematycznej mamy do dyspozycji 16 tożsamych definicji implikacji prostej p|=>q
| Kod: |
T3
Definicja implikacji prostej p|=>q do codziennego stosowania
AB12 | AB34
Implikacja p|=>q dla p i ~p | Implikacja q|~>p dla q i ~q
to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2 | to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2
1. | 1.
Co będzie jeśli zajdzie p? | Co będzie jeśli zajdzie q?
A: p=>q =1 [=] A: q~>p =1
B: p~~>~q= p*~q=0 | B: q~~>~p= q*~p=1 ;##
2. | 2.
Co będzie jeśli zajdzie ~p? | Co będzie jeśli zajdzie ~q?
.. a jeśli zajdzie ~p | .. a jeśli zajdzie ~q
Prawo Kubusia: | Prawo Kubusia:
A: p=>q = C:~p~>~q [=] A: q~>p = C:~q=>~p
; | ;
C:~p~>~q =1 [=] C:~q=>~p =1
D:~p~~>q=~p* q =1 ;## | D:~q~~>p=~q* p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji | ## - różne na mocy definicji
w stosunku do pozostałych zdań | w stosunku do pozostałych zdań
D: p|=>q=~p*q | B: q|~>p=q*~p
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
5.3 Przykład implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Rozważmy zdanie:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Innymi słowy:
Jeśli ze zbioru P8=[8,16,24..] wylosujemy dowolną liczbę to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie ona w zbiorze P2=[2,4,6,8..]
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Aby udowodnić iż zdanie A1 jest częścią operatora implikacji prostej P8|=>P2 musimy dodatkowo udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii B1234.
Wybieramy zdanie B3 bo mamy tu najprostszy warunek wystarczający =>, łatwy w dowodzeniu.
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Dopiero w tym momencie jesteśmy pewni, że nasze zdanie A1 jest częścią operatora implikacji prostej P8|=>P2. Szczegółową analizę implikacji prostej P8|=>P2 wykona w tym momencie każdy komputer w oparciu o szablon implikacji prostej P8|=>P2. Edukacyjnie musimy przynajmniej raz udawać komputer by zrozumieć o co chodzi w implikacji prostej P8|=>P2.
Analiza matematyczna - nie musimy tu trzymać się skomplikowanych indeksów zdań z tabeli T2.
Zdanie wypowiedziane:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Co w logice jedynek oznacza:
(P8=1)=>(P2=1)=1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => (=1) dla jej podzielności przez 2, bo zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2
Poprzednik mówi tu o zbiorze P8, zaś następnik o zbiorze P2.
Wyznaczmy na początek wszystkie zbiory potrzebne nam do analizy matematycznej:
P8=[8,16,24..]
P2=[2,4,6,8..]
Przyjmujemy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy przeczenia zbiorów rozumiane jako uzupełnienia do dziedziny LN:
~P8=[LN-P8] =[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
p=[]=0 - gdy zbiór pusty
p=[x]=1 - gdy zbiór niepusty
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza fałszywość kontrprzykładu B
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[]=0
Co w logice jedynek oznacza:
(P8=1)~~>(~P2=1) = (P8=1)*(~P2=1) =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i ~P2 nie jest spełniona (=1), bo każdy zbiór liczb parzystych (P8) jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych (~P2)
.. a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8?
Prawo Kubusia:
A: P8=>P2 = C: ~P8~>~P2
stąd:
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~>~P2 =1
Co w logice jedynek oznacza:
(~P8=1)~>(~P2=1) =1
Niepodzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem koniecznym ~> (=1) dla jej niepodzielności przez 2, bo jak liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przesz 2
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
C: ~P8~>~P2 = A: P8=>P2
Innymi słowy:
Warunek konieczny ~> w zdaniu C jest spełniony wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7,..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9 ..]
Pobieżnie widać, że relacja nadzbioru ~> jest tu spełniona.
Oczywiście nie musimy tego faktu dowodzić, bo prawdziwość zdania C gwarantuje nam matematyka ścisła, prawo Kubusia.
LUB
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Co w logice jedynek oznacza:
(~P8=1)~~>(P2=1) = (~P8=1)*(P2=1) =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1), bo Istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] (np.2), co kończy dowód prawdziwości zdania D.
Na mocy matematyki ścisłej, algebry Kubusia jesteśmy pewni, że w zdaniu D nie zachodzi ani warunek wystarczający =>, ani też konieczny ~>
1: ~P8=>P2 =0
2: ~P8~>P2 =0
Sprawdzić, czy AK jest poprawna zawsze możemy:
Ad.1
~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] =>P2=[2,4,6,8..] =0 - ~P8 nie jest podzbiorem => (=0) P2 bo kontrprzykład 3
cnd
Ad.2
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Stad dla zdania 2 mamy:
P2=>~P8
P2= [2,4,6,8..] => ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] =0 - P2 nie jest podzbiorem => (=0) ~P8 bo kontrprzykład 8
cnd
5.3.1 Cechy charakterystyczne implikacji prostej P8|=>P2
Cechy charakterystyczne implikacji prostej P8|=>P2:
P8=[8,16,24..]
P2=[2,4,6,8..]
~P8=[LN-P8] =[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
1.
Zauważmy, że jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbą podzielną przez 8 (P8) to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 (P2)
Mówi o tym warunek wystarczający A: P8=>P2 =1
Wynikowa jedynka w zdaniu A jest tu twardą jedynką od minus do plus nieskończoności, czyli:
Dla każdego losowania, jeśli wylosujemy liczbę podzielną przez 8 to na 100% => będzie ona podzielna przez 2. Twarda jedynka w zdaniu A wymusza twarde zero w zdaniu B.
2.
Zauważmy, że zdania C i D realizują najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczę niepodzielną przez 8 ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] to ta liczba może ~> nie być podzielna przez 2 (Zdanie C, np. 1) lub może ~~> być podzielna przez 2 (Zdanie D, np. 2)
Wylosowana liczba niepodzielna przez 8 może wylądować w pudełku C albo w pudełku D - trzeciej możliwości brak (tertium non datur).
Wniosek:
Wynikowe jedynki w zdaniach C i D są miękkimi jedynkami:
a)
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielna przez 8 ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] to ta liczba może ~> nie być podzielna przez 2 (np. 1) i trafić do pudełka C ~P2=[1,3,5,7,9..].
Dla tego losowania prawdziwe będzie zdanie C: ~P8~>~P2=1 i fałszywe zdanie D: ~P8~>P2=0
ALBO
b)
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielna przez 8 ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] to ta liczba może ~~> być podzielna przez 2 (np. 2) i trafić do pudełka D P2=[2,4,6,8..].
Dla tego losowania fałszywe będzie zdanie C: ~P8~>~P2=0 i prawdziwe zdanie D: ~P8~>P2=1
1=prawa
0=fałsz
Wynikowe jedynki w zdaniach C i D nazywamy miękkimi jedynkami, pociągającymi za sobą istnienie miękkich zer
Miękkie jedynki i miękkie zera mogą zajść ale nie muszą, wszystko zależy tu od konkretnej, wylosowanej liczby.
5.3.2 Właściwości implikacji prostej P8|=>P2
Właściwości operatora implikacji prostej P8|=>P2:
1.
Zbiory A, C i D są wzajemnie rozłączne.
Dowód:
Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
| Kod: |
Wyznaczamy zbiory w liniach A, C i D
A: P8=> P2 = P8* P2 = P8 - bo zbiór P8 jest podzbiorem => P2
C:~P8~>~P2 =~P8*~P2 =~P2 - bo zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> ~P2
D:~P8~~>P2 =~P8*P2
Dowody wzajemnej rozłączności zbiorów:
A*C = P8*~P2 = [] =0 - bo P8 jest rozłączny z ~P2
A*D = P8*(~P8*P2) =[] =0 - bo P8*~P8 =[]
C*D =~P2*(~P8*P2) =[] =0 - bo ~P2*P2 =[]
|
2.
Suma logiczna zbiorów C+D musi być tożsama ze zbiorem zapisanym w poprzedniku:
Y = C+D = ~P2 + (~P8*P2)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = P2*(P8+~P2)
~Y = P2*P8 + P2*~P2
~Y = P2*P8
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = C+D = ~P2+~P8 = ~P8 - bo zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2
cnd
5.3.3 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q
Z powyższej analizy symbolicznej wynika zero-jedynkowa warunku wystarczającego =>.
Dowód:
1.
Przejdźmy z naszą analizą na zapisy formalne (ogólne) podstawiając:
p=P8
q=P2
2.
Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Analiza |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
|
A: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 - bo p jest podzbiorem => q
B: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 - zbiory p i ~q są rozłączne
.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C:~p~>~q
;
C:~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 - bo ~p jest nadzbiorem ~> ~q
D:~p~~> q=1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 - zbiory ~p i q mają element wspólny ~~>
|
3.
Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek wystarczający:
A: p=>q
i zakodujmy tabelę T1 zero-jedynkową względem wybranego punktu odniesienia.
Dla wykonania zadania jest nam konieczne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
4.
Realizacja zadania kodowania zero-jedynkowego tabeli symbolicznej T1.
| Kod: |
T2
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla: |Kodowanie tożsame
symboliczna |jedynek oznacza |A: p=>q |w tabeli zero-jedynkowej
| | | p q p=>q
A: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=> 1 =1
B: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1~~>0 =0
C:~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0~> 0 =1
D:~p~~> q=1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0~~>1 =1
a b c d e f g h I 1 2 3
|
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej ABCD123 jest linia A: p=>q z naszej analizy symbolicznej ABCDabc.
Tabela ABCD123 to zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Matematyczne relacje zachodzące w implikacji prostej p|=>q są następujące:
I.
Operator implikacji prostej p|=>q odpowiada na dwa pytania:
1.
Co będzie jeśli zajdzie p?
A.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q = ~p+q
2.
Co będzie jeśli zajdzie ~p?
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =~p+q
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =1
##
II.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =~p+q
##
III.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
5.4 Warunek wystarczający => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Wyprowadziliśmy wyżej zero-jedynkową definicje warunku wystarczającego p=>q.
| Kod: |
T1
p q Y=(p=>q)
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
|
Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
2.
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
2B.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu logiką zer nie będziemy się zajmowali.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Zastosujmy logikę jedynek do naszej tabeli warunku wystarczającego:
Y=(p=>q)
| Kod: |
T2
Pełna definicja |Co w logice jedynek |Równania |Dokładnie to samo
zero-jedynkowa Y |oznacza |cząstkowe |w zdarzeniach
| | |możliwych ~~>
p q ~p ~q Y ~Y | | | Y ~Y
A: 1 1 0 0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i q=1 | Ya= p* q | p~~> q= p* q =1 0
B: 1 0 0 1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q | p~~>~q= p*~q =0 1
C: 0 0 1 1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q |~p~~>~q=~p*~q =1 0
D: 0 1 1 0 =1 =0 | Yd=1<=>~p=1 i q=1 | Yd=~p* q |~p~~> q=~p* q =1 0
1 2 3 4 5 6 a b c d e f g h i j k l
|
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1.
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Minimalizujemy funkcje logiczna Y:
Y = p*q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*q + ~p*(~q+q)
Y = ~p + (q*p)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y = p*(~q+~p)
~Y=p*~q + p*~p
~Y=p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
1’
Y = (p=>q) = ~p+q
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Y = ~p+q = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p=1 I q=1
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yb - bo jest tylko jedna zmienna cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Yx)
Po rozwinięciu mamy:
2.
~Y = ~(p=>q) = B: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1
Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych doskonale rozumianych przez człowieka, od 5-cio latka poczynając.
5.4.1 Od definicji warunku wystarczającego p=>q do operatora p|=>q
Warunek wystarczający => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) definiuje wszystkie możliwe relacje wyrażone elementem wspólnym zbiorów ~~> p i q pokazany w tabeli T2.
Z tabeli T2 w zdarzeniach możliwych odczytujemy:
| Kod: |
T3.
A: p~~>q = p* q=1 - istnieje (=1) element wspólny ~~> zbirów p i q
B: p~~>~q= p*~q=0 - nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q=1 - istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i ~q
D:~p~~>q =~p* q=1 - istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
|
Przełóżmy tą tabelę na nasz warunek konieczny P2~>P8 wyrażony spójniami „i”(*) i „lub”(+) podstawiając:
p=P8
q=P2
| Kod: |
T3
Zdjęcie układy P8~~>P2 to badanie układu elementem wspólnym zbiorów ~~>
A: P8~~> P2= P8* P2=1 - bo zbiory P8 i P2 mają element wspólny ~~> (np.8)
B: P8~~>~P2= P8*~P2=0 - bo zbiory P8 i ~P2 są rozłączne
C:~P8~~>~P2=~P8*~P2=1 - bo zbiory ~P8 i ~P2 mają element wspólny ~~> (np.1)
D:~P8~~> P2=~P8* P2=1 - bo zbiory ~P8 i P2 mają element wspólny ~~> (np.2)
|
Definicja zdjęcia układu:
Zdjęcie układu to analiza zdania warunkowego „Jeśli p to q” spójnikiem elementu wspólnego zbiorów ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w tym samym kierunku.
Dokładnie to opisuje tabela prawdy T3.
Z poprawnego zdjęcia dowolnego układu, którym zawsze jest seria czterech zdań ABCD przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w trywialny sposób dochodzimy do operatora implikacyjnego który opisuje ten układ.
Od strony czysto-teoretycznej problem jest banalny.
Jedyne potrzebne nam definicje to:
1.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
4.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Zacznijmy od przepisania tabeli prawdy T3 bez komentarzy:
| Kod: |
T3
Zdjęcie układy P8~~>P2 to badanie układu elementem wspólnym zbiorów ~~>
A: P8~~> P2= 1
B: P8~~>~P2= 0
C:~P8~~>~P2= 1
D:~P8~~> P2= 1
|
Wyznaczmy wszystkie możliwe przeczenia zbiorów (punktem odniesienia jest dla nas zdanie A):
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (parzystych)
Przyjmujemy dziadzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd obliczamy przeczenia zbiorów (~) rozumiane jako uzupełnienia do wspólnej dziedziny LN:
~P8=[LN-P8] = {1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
~P2=[LN-P2] = [1,3,5,7,9..] zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (nieparzystych)
Dalej mamy bułkę z masłem, czyli pikuś:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B: P8~~>~P2=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
2.
Prawo Kubusia:
A: P8=>P2 = C: ~P8~>~P2
Prawdziwość warunku wystarczającego A: P8=>P2=1 wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C: ~P8~>~P2 =1 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
3.
Prawdziwość kontrprzykładu D:~P8~~>P2=1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego => C1:
C1: ~P8=>~P2 =0 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest podzbiorem => zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
4.
Fałszywość warunku wystarczającego C1:~P8=>~P2=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu D1:
D1: ~P8~~>P2 =1 - bo istnieje wspólny element zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..]
5.
Fałszywość warunku wystarczającego C1:~P8=>~P2=0 wymusza fałszywość warunku koniecznego ~>:
A1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Nanieśmy naszą analizę do tabeli prawdy T3:
| Kod: |
T4
Zdjęcie układy P8~~>P2 to badanie układu elementem wspólnym zbiorów ~~>
A: P8=> P2= 1 ## A1: P8~> P2 =0
B: P8~~>~P2= 0 ## B1: P8~~>~P2=0
C:~P8~> ~P2= 1 ## C1:~P8=>~P2 =0
D:~P8~~> P2= 1## ## D1:~P8~~>P2 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Trzeba tu sobie zdawać sprawę z faktu, że zdanie D (D=D1) jest różne na mocy definicji ## w stosunku do pozostałych zdań A,B i C
Stąd mamy definicję symboliczną operatora implikacji prostej P8|=>P2 w postaci serii zdań ABCD.
Operator implikacji prostej P8|=>P2 odpowiada na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co się stanie:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8)?
Opowiadają o tym wyłącznie zdania A i B:
A.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielną przez 8 to na 100% => będzie ona podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Wylosowanie liczby podzielnej przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
W zdaniu A mamy twardą jedynkę od minus do plus nieskończoności bo nigdy nie zdarzy się że wylosujemy liczbę podzielną przez 8 i niepodzielną przez 2, o czym mówi zdanie B.
B.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielną przez 8 to może ~~> ona być niepodzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0 - bo zbiory P8=[8,16,24 ..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
Ze zbioru liczb naturalnych nigdy nie wylosujemy liczby podzielnej przez 8 i niepodzielnej przez 2, bo taka liczba nie istnieje
1.
Co się stanie:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8)?
Opowiadają o tym wyłącznie zdania C i D.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
C.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8) to ta liczba może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~>~P2 =1
Niepodzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej niepodzielności przez 2 bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Niepodzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem koniecznym ~> jej niepodzielności przez 2, bo jak liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
C:~P8~>~P2 = A: P8=>P2
LUB
D.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8) to ta liczba może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1 - bo istnieje element wspólny zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..]
Innymi słowy:
C
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8) to ta liczba może ~> nie być podzielną przez 2 (np. 8)
Dla tego losowania prawdziwe będzie zdanie C i fałszywe zdanie D
LUB
D.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8) to ta liczba może ~~> być podzielna przez 2 (np. 2)
Dla tego losowania fałszywe będzie zdanie C i prawdziwe zdanie D
Trzeciej możliwości nie ma (tertium non datur).
Dokładnie z tego powodu wynikowe jedynki w zdaniach C i D noszą nazwę miękkich jedynek - mogą zajść, ale nie muszą (w zależności od konkretnego losowania).
Oczywiście miękkie jedynki generują miękkie zera - również mogą zajść ale nie muszą (w zależności od konkretnego losowania)
Końcowa tabela prawdy dla naszej analizy to:
| Kod: |
T3
Operator implikacji prostej P8|=>P2 to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co się stanie jeśli liczba będzie podzielna przez 8?
A: P8=> P2= 1 - liczba podzielna przez 8 na 100% będzie podzielna przez 2
B: P8~~>~P2= 0 - zdarzenie niemożliwe bo zbiory ~P8 i P2 są rozłączne
2.
Co się stanie jeśli liczba będzie niepodzielna przez 8?
Prawo Kubusia:
A: P8=>P2 = C:~P8~>~P2
stąd:
C:~P8~> ~P2= 1 - ~P8 jest konieczne ~> dla ~P2
LUB
D:~P8~~> P2= 1 - ## liczba ~P8 może ~~> być podzielna przez 2 (np.2)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji w stosunku do pozostałych zdań
|
5.5 Prawo transformacji dla implikacji prostej p|=>q
Na implikację prostą p|=>q możemy spojrzeć poprzez funkcję czasu (nie musimy tego robić).
Definicja teraźniejszości:
Teraźniejszość to nieskończenie cienka linia oddzielająca przyszłość od przeszłości.
Jeśli znajdziemy się w przeszłości to nie mamy szans by wrócić do przyszłości - co się stało to się nie odstanie.
Prawo transformacji:
Implikacja prosta w czasie przyszłym p|=>q po zamianie p i q transformuje się do implikacji odwrotnej q|~>p w czasie przeszłym.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Przyszłość | Przeszłość
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
--------------------------------------------------------------> Czas
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Weźmy naszą implikację w czasie przyszłym:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1
Podstawmy nasz przykład do tabeli T2
| Kod: |
T2
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q
Przyszłość: p|=>q=~p*q | Przeszłość: q|~>p=q*~p
AB12 | AB34
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: P8=>P2 =1 = 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~>P8 =1 = 4:~P2=>~P8 =1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: P8~~>~P2=0 = [=] = 4:~P2~~>P8 =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: P8~>P2 =0 = 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=>P8 =0 = 4:~P2~>~P8 =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~P8~~>P2=1 [=] 3: P2~~>~P8=1
--------------------------------------------------------------> Czas
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Implikacja prosta p|=>q w czasie przyszłym odpowiada na pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie q
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Przypadek 1
Implikacja P8|=>P2 przyszłość:
1.
Co może się wydarzyć jeśli wylosujemy liczbę podzielną przez 8
A1.
Jeśli wylosujemy dowolną liczbę podzielną przez 8 to na 100% => będzie ona podzielna przez 2
P8=>P2 =1
p=>q =1
Wylosowanie liczby podzielnej przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’
Jeśli wylosujemy dowolną liczbę podzielną przez 8 to ta liczba może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~~>~P2 =P8*~P2 =[ ]=0 - nie mamy szans na wylosowanie takiej liczby
p~~>~q =0
2.
Co może się wydarzyć jeśli wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8
… a jeśli wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8?
Prawo Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2:~P8~>~P2
stąd:
A2.
Jeśli wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 to ta liczba może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2 =1
~p~>~q =1
Wylosowanie liczby niepodzielnej przez 8 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej niepodzielności przez 2, bo jak wylosujemy liczbą podzielną przez 8 to ta liczba na 100% => będzie podzielna przez 2
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
LUB
B2’.
Jeśli wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 to ta liczba może ~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
~p~~>q =1
Istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] np. 2
Prawo transformacji:
Implikacja prosta w czasie przyszłym p|=>q po zamianie p i q transformuje się do implikacji odwrotnej q|~>p w czasie przeszłym.
Ciut wyżej losowaliśmy kolejne liczby naturalne wkładając je do odpowiednich pudełek A1, A2, B2’.
Nieskończonego zbioru liczb naturalnych LN nie da się w rzeczywistości przeiterować, ale na poziomie abstrakcyjnym to jest możliwe.
Poza tym, zawsze możemy ograniczyć zbiór do skończonej ilości elementów.
Minimalny zbiór potrzebny i wystarczający dla zaprezentowania wszystkich cech dowolnej implikacji to zaledwie cztery elementy.
Implikacja odwrotna q|~>p w czasie przeszłym odpowiada na dwa pytania o q:
1.
Co mogło się wydarzyć jeśli zaszło q
2.
Co mogło się wydarzyć jeśli zaszło ~q
Oczywistym warunkiem działania logiki matematycznej w przeszłości jest nieznajomość wyników losowania.
Nasz przykład:
Przypadek II
Implikacja P2|~>P8 przeszłość:
1.
Co mogło się wydarzyć jeśli wylosowaliśmy liczbę podzielną przez 2?
A3.
Jeśli wylosowaliśmy liczbę podzielną przez 2 to ta liczba mogła ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
q~>p =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8
LUB
B3’
Jeśli wylosowaliśmy liczbę podzielna przez 2 to ta liczba mogła ~~> nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1 bo 2
q~~>~p =1
2.
Co mogło się wydarzyć jeśli wylosowaliśmy liczbę niepodzielną przez 2?
.. a jeśli wylosowaliśmy liczbę niepodzielną przez 2?
Prawo Kubusia:
A3: P2~>P8 = A4: ~P2=>~P8
stąd:
A4.
Jeśli wylosowaliśmy liczbę niepodzielną przez 2 to na 100% => ta liczba nie była podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
~q=>~p =1
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ta liczba nie była podzielna przez 8
Prawdziwość warunku wystarczającego => A4 wymusza fałszywość kontrprzykładu A4’
A4’
Jeśli wylosowaliśmy liczbę niepodzielną przez 2 to ta liczba mogła ~~> była podzielna przez 8
~P2~~>P8 = ~P2*P8=[] =0 - zbiory ~P2 i P8 są rozłączne
~q~~>p =0
Oczywiście, jeśli będziemy opowiadać o tym samym losowaniu w czasie przeszłym z pozycji implikacji prostej p|=>q to analiza matematyczna będzie jak w „przypadku I”, czyli zdania słowne będą identyczne lecz zapisane w czasie przeszłym.
Czym różni się losowanie w czasie przyszłym od losowania w czasie przeszłym?
W czasie przyszłym wszystko może się zdarzyć, nie ma trzeciego obserwatora zdolnego przewidzieć wynik kolejnego losowania.
W czasie przeszłym losowanie już się odbyło, tu istnieje trzeci obserwator który zna wyniki.
W tym przypadku sensowna jest logika matematyczna tylko w przypadku, gdy nie znamy wyników losowania.
Przykładowo jeśli gramy w totolotka i jesteśmy przed losowaniem, to wszystko może się zdarzyć.
Jeśli losowanie naszego totka już się odbyło to sensowna jest logika matematyczna której celem jest poznanie wyniku losowania którego nie znamy. Jeśli poznamy wynik losowania to oczywiście nie jest nam potrzebna logika mająca na celu poznanie znanego nam już wyniku.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 8:40, 12 Cze 2020, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35486
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 9:20, 08 Cze 2020 Temat postu: |
|
|
Spis treści
6.0 Operator implikacji odwrotnej p|~>q 1
6.1 Wstęp do analizy implikacji odwrotnej p|~>q 2
6.1.1 Analiza implikacji odwrotnej AB12: p|~>q 5
6.1.2 Analiza implikacji prostej AB34: q|=>p 6
6.2 Definicja symboliczna implikacji odwrotnej p|~>q do codziennego stosowania 7
6.3 Przykład implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach 8
6.3.1 Cechy charakterystyczne implikacji odwrotnej P2|~>P8 11
6.3.2 Właściwości implikacji odwrotnej P2|~>P8 11
6.3.3 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego p~>q 12
6.4 Warunek konieczny ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 14
6.4.1 Od definicji warunku koniecznego ~> do operatora p|~>q 15
6.5 Prawo transformacji dla implikacji odwrotnej p|~>q 19
6.6 Prawo transformacji p|=>q vs p|~>q 23
6.0 Operator implikacji odwrotnej p|~>q
Przypomnijmy definicje podstawowe z Kubusiowej teorii zbiorów:
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jego elementy wchodzą w skład zbioru q
p=>q =1 - gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
inaczej:
p=>q =0
Definicja nadzbioru ~>:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy p jest nadzbiorem ~> zbioru q
inaczej:
p~>q =0
Dla zbiorów tożsamych p=q zachodzi:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Wynika to bezpośrednio z definicji podzbioru => i nadzbioru ~>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.
Zastrzeżenie:
Dziedzina musi tu być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
To zastrzeżenie jest konieczne dla istnienia zbiorów niepustych ~p i ~q.
W algebrze Kubusia wszelkie argumenty muszą być zbiorami (pojęciami) niepustymi, musimy po prostu rozumieć co mówimy.
Innymi słowy:
By rozumieć co znaczy pojęcie „pies” musimy rozumieć pojęcie „nie pies”
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
T1.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
AB12 | AB34
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wnioski:
1.
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax
2.
W logice matematycznej mamy do dyspozycji 16 tożsamych definicji implikacji odwrotnej p|~>q
6.1 Wstęp do analizy implikacji odwrotnej p|~>q
Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w relacjach podzbioru =>.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
T1.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Uzupełnijmy naszą tabelę o relację elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q wnikającą z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
| Kod: |
T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
A1: p=>q=0 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q=p*~q=1 - prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywy A1
B2:~p=>~p=1 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’:~p~~>q =~p*q=0 - fałszywy kontrprzykład B2’ wymusza prawdziwy B2
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
| Kod: |
T3
-----------------------------------------------------------------
Analiza implikacji odwrotnej AB12: p|~>q i prostej AB34: q|=>p
-----------------------------------------------------------------
Implikacja odwrotna AB12: p|~>q | Implikacja prosta AB34: q|=>p
Implikacja p|~>q dla p i ~p | Implikacja q|=>p dla q i ~q
to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2 | to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2
AB12: | AB34:
1. | 1.
Co będzie jeśli zajdzie p? | Co będzie jeśli zajdzie q?
B1: p~>q =1 [=] B3: q=>p =1
lub |
A1: p=>q =0 |
Na mocy definicji kontrprzykładu | Na mocy definicji kontrprzykładu
A1’: p~~>~q=p*~q=1 ;## | B3’: q~~>~p =0
|
2. | 2.
Co będzie jeśli zajdzie ~p? | Co będzie jeśli zajdzie ~q?
.. a jeśli zajdzie ~p | .. a jeśli zajdzie ~q
Prawo Kubusia: | Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q [=] B3: q=>p = B4:~q~>~p
stąd: | stąd:
B2: ~p=>~q =1 [=] B4: ~q~>~p =1
| lub
| A4: ~q=>~p =0
Na mocy definicji kontrprzykładu | Na mocy definicji kontrprzykładu
B2’:~p~~>q =0 | A4’:~q~~>p=~q*p=1 ;##
Gdzie: | Gdzie:
## - różne na mocy definicji | ## - różne na mocy definicji
w stosunku do pozostałych zdań | w stosunku do pozostałych zdań
A1’: p|~>q=p*~q | A4’: q|=>p=~q*p
|
Podsumowanie: | Podsumowanie:
p|~>q =(B1: p~>q )*~(A1: p=>q) [=] q|=>p =(B3: q=>p )*~(A4:~q=>~p)
~p|=>~q=(B2:~p=>~q)*~(A1: p=>q) [=] ~q|~>~p=(B4:~q~>~p)*~(A4:~q=>~p)
Prawo Kubusia: | Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B3: q=>p = B4:~q~>~p
Z czego wynika że: | Z czego wynika że:
p|~>q = ~p|=>~q = p*~q | q|=>p = ~q|~>~p =~q*p
|
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
AB12:
Dowód alternatywny iż zachodzi matematyczna tożsamość:
1: p|~>q = 2: ~p|=>~q =p*~q
1.
p|~>q =(B1: p~>q )*~(A1: p=>q) = (p+~q)*~(~p+q) = (p+~q)*(p*~q) =p*~q
2.
~p|=>~q=(B2:~p=>~q)*~(A1: p=>q) = (p+~q)*~(~p+q) = (p+~q)*(p*~q) = p*~q
cnd
AB34:
Dowód alternatywny iż zachodzi matematyczna tożsamość:
3: q|=>p = 4: ~q|~>~p =~q*p
3.
q|=>p =(B3: q=>p )*~(A4:~q=>~p) = (~q+p)*~(q+~p) = (~q+p)*(~q*p) = ~q*p
4.
~q|~>~p=(B4:~q~>~p)*~(A4:~q=>~p) = (~q+p)*~(q+~p) = (~q+p)*(~q*p) = ~q*p
cnd
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna na poziomie implikacji:
1: p|~>q = 2: ~p|=>~q =p*~q [=] 3: q|=>p = 4: ~q|~>~p =~q*p
bo iloczyn logiczny „i”(*) jest przemienny:
p*~q = ~q*p
6.1.1 Analiza implikacji odwrotnej AB12: p|~>q
| Kod: |
T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
AB12
Operator implikacji odwrotnej p|~>q odpowiada na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co będzie jeśli zajdzie p?
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
LUB
A1’_##.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =p*~q =1 - możliwe ~~> jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
Dowód:
A1: p=> q =0
Na mocy definicji kontrprzykładu z fałszywości warunku wystarczającego A1: p=>q=0 wynika prawdziwość kontrprzykładu A1’: p~~>~q =p*~q =1 (i odwrotnie)
2.
Co będzie jeśli zajdzie ~p?
.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q ~p*q =0 - zdarzenie niemożliwe, kontrprzykład B2’ dla B2 musi być fałszem
Gdzie:
A1’_## - zdanie różne na mocy definicji ## w stosunku do pozostałych zdań
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
p|~>q=p*~q - wskazuje jedyny kontrprzykład prawdziwy A1’ w całej analizie AB12
Wnioski:
1.
Zdania B1 i A1’ realizują najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q (zdanie B1) lub Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q (zdanie A1’)
Trzeciej możliwości nie ma (tertium non datur)
2.
W zdaniu B2 mamy gwarancję matematyczną => że:
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
6.1.2 Analiza implikacji prostej AB34: q|=>p
| Kod: |
T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
AB34
Operator implikacji prostej q|=>p odpowiada na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co będzie jeśli zajdzie q?
B3.
Jeśli zajdzie q to na 100% => zajdzie p
q=>p =1 - zajście q jest wystarczające => dla zajścia p
Prawdziwy warunek wystarczający B3 wymusza fałszywość kontrprzykładu B3’ (i odwrotnie)
B3’
Jeśli zajdzie q to może ~~> zajść ~p
q~~>~p =q*~p =0 - zdarzenie niemożliwe, kontrprzykład B3’ dla B3 musi być fałszem
2.
Co będzie jeśli zajdzie ~q?
.. a jeśli zajdzie ~q?
Prawo Kubusia:
B3: q=>p = B4: ~q~>~p
B4.
Jeśli zajdzie ~q to może ~> zajść ~p
~q~>~p =1 - zajście ~q jest konieczne ~> dla zajścia ~p
LUB
A4’.
Jeśli zajdzie ~q to może ~~> zajść p
~q~~>p=~q*p =1 - możliwe ~~> jest jednoczesne zajście zdarzeń ~q i p
Fałszywy warunek wystarczający A4 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A4’ (i odwrotnie)
Dowód:
A4: ~q=>~p =0
Na mocy definicji kontrprzykładu z fałszywości warunku wystarczającego A4: ~q=>~p=0 wynika prawdziwość kontrprzykładu A4’: ~q~>p=~q*p =1 (i odwrotnie)
Wnioski:
1.
W zdaniu B3 mamy gwarancję matematyczną => że:
Jeśli zajdzie q to na 100% => zajdzie p
q=>p =1
2.
Zdania B4 i A4’ realizują najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli zajdzie ~q to może ~> zajść ~p (zdanie B4) lub Jeśli zajdzie ~q to może ~~> zajść p (zdanie A4’)
Trzeciej możliwości nie ma (tertium non datur)
6.2 Definicja symboliczna implikacji odwrotnej p|~>q do codziennego stosowania
W codziennym stosowaniu istotna jest zawartość symbolicznych definicji implikacji odwrotnej p|~>q a nie trudne do zapamiętania indeksy przy poszczególnych zdaniach.
Co więcej, kolejność wypowiadanych zdań wchodzących w skład implikacji odwrotnej p|~>q nie ma żadnego znaczenia, bowiem każdemu z tych zdań da się przypisać indywidualną wartość logiczną prawda/fałsz niezależną od jakichkolwiek innych zdań.
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
| Kod: |
T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wnioski:
1.
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax
2.
W logice matematycznej mamy do dyspozycji 16 tożsamych definicji implikacji odwrotnej p|~>q
| Kod: |
T3
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q do codziennego stosowania
AB12 | AB34
Implikacja p|~>q dla p i ~p [=] Implikacja q|=>p dla q i ~q
1. | 1.
Co będzie jeśli zajdzie p? | Co będzie jeśli zajdzie q?
A: p~>q =1 [=] A: q=>p =1
B: p~~>~q= p*~q=1 ;## | B: q~~>~p= p*~p=0
2. | 2.
Co będzie jeśli zajdzie ~p? | Co będzie jeśli zajdzie ~q?
.. a jeśli zajdzie ~p | .. a jeśli zajdzie ~q
Prawo Kubusia: | Prawo Kubusia:
A: p~>q = C:~p=>~q [=] A: q=>p = C:~q~>~p
stąd: | stąd:
C:~p=>~q =1 [=] C:~q~>~p =1
D:~p~~>q =0 | D:~q~~>p =1 ;##
; | ;
## - różne na mocy definicji | ## - różne na mocy definicji
w stosunku do pozostałych zdań | w stosunku do pozostałych zdań
B: p|~>q=p*~q | D: q|=>p=~q*p
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
6.3 Przykład implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
| Kod: |
T2
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
AB12: | AB34:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Rozważmy zdanie:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8
Jak udowodnić prawdziwość warunku koniecznego P2~>P8?
W tabeli T2 widzimy prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2
Matematycznie warunek wystarczający B3: P8=>P2 dowodzi się łatwiej niż warunek konieczny B1.
Stąd badamy czy zachodzi relacja podzbioru =>:
B3: P8=[8,16,24..] => P2=[2,4,6,8..] =1
Relacja podzbioru zachodzi (=1)
cnd
Aby udowodnić iż zdanie B1 jest częścią operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8 musimy dodatkowo udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii A1234.
Wybieramy zdanie A1 bo mamy tu najprostszy warunek wystarczający =>, łatwy w dowodzeniu.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Dopiero w tym momencie jesteśmy pewni, że nasze zdanie B1 jest częścią operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8. Szczegółową analizę implikacji odwrotnej P2|~>P8 wykona w tym momencie każdy komputer w oparciu o szablon implikacji odwrotnej p|~>q. Edukacyjnie musimy przynajmniej raz udawać komputer by zrozumieć o co chodzi w implikacji odwrotnej P2|~>P8.
Analiza matematyczna - nie musimy tu trzymać się skomplikowanych indeksów zdań z tabeli T2.
Zdanie wypowiedziane:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~> być podzielna przez 8 (P8=1)
P2~>P8 =1
Co w logice jedynek oznacza:
(P2=1)~>(P8=1)=1
Podzielność dowolnej liczny przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> jej podzielności przez 8 bo jak liczba nie jest podzielna przez 2 to na 100% => nie jest podzielna przez 8
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A: P2~>P8 = C:~P2=>~P8
Poprzednik mówi tu o zbiorze P2, zaś następnik o zbiorze P8.
Wyznaczmy na początek wszystkie zbiory potrzebne nam do analizy matematycznej:
P2=[2,4,6,8..]
P8=[8,16,24..]
Przyjmujemy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy przeczenia zbiorów rozumiane jako uzupełnienia do dziedziny LN:
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
~P8=[LN-P8] =[1,2,3,4,5,6,7..9..]
W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
p=[]=0 - gdy zbiór pusty
p=[x]=1 - gdy zbiór niepusty
LUB
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8=1)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1
Co w logice jedynek oznacza:
(P2=1)~~>(~P8=1) = (P2=1)*(~P8=1) =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1), bo Istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] (np.2), co kończy dowód prawdziwości zdania B.
Na mocy matematyki ścisłej, algebry Kubusia jesteśmy pewni, że w zdaniu B nie zachodzi ani warunek wystarczający =>, ani też konieczny ~>
1: P2=>~P8 =0
2: P2~>~P8 =0
Sprawdzić, czy AK jest poprawna zawsze możemy:
Ad.1
P2=[2,4,6,8..] => ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]=0 - P2 nie jest podzbiorem => (=0) ~P8 bo kontrprzykład 8
cnd
Ad.2
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Stąd dla zdania 2 mamy:
~P8=>P2
~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] => P2=[2,4,6,8..]=0 - ~P8 nie jest podzbiorem => P2 bo kontrprzykład 1
cnd
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2?
Prawo Kubusia:
A: P2~>P8 = C:~P2=>~P8
stąd:
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
~P2=>~P8 =1
Co w logice jedynek oznacza:
(~P2=1) =>(~P8=1)=1
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 8 bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Pobieżnie widać, że relacja podzbioru => jest spełniona (=1).
Faktu iż zbiór ~P2 jest podzbiorem => ~P8 nie musimy dowodzić bo wynika on z prawa Kubusia.
Z prawdziwości warunku wystarczającego C wynika fałszywość kontrprzykładu D (i odwrotnie)
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8=1)
~P2~~>P8=~P2*P8 =0
Co w logice jedynek oznacza:
(~P2=1)~~>(P8=1)=(~P2=1)*(P8=1)=0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona (=0) bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem P8=[8,16,24..]
6.3.1 Cechy charakterystyczne implikacji odwrotnej P2|~>P8
Cechy charakterystyczne implikacji odwrotnej P2|~>P8:
P2=[2,4,6,8..]
P8=[8,16,24..]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
~P8=[LN-P8] =[1,2,3,4,5,6,7..9..]
1.
Zauważmy, że zdania A i B realizują najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczę podzielną przez 2 P2=[2,4,6,8..] to ta liczba może ~> być podzielna przez 8 (Zdanie A, np.8) lub może ~~> nie być podzielna przez 8 (Zdanie B, np.2)
Wylosowana liczba podzielna przez 2 może wylądować w pudełku A albo w pudełku B - trzeciej możliwości brak (tertium non datur).
Wniosek:
Wynikowe jedynki w zdaniach A i B są miękkimi jedynkami:
a)
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 P2=[2,4,6,8..] to ta liczba może ~> być podzielna przez 8 (np. 8) i trafić do pudełka A P8=[8,16,24..]
Dla tego losowania prawdziwe będzie zdanie A: P2~>P8=1 i fałszywe zdanie B: P2~~>~P8=0
ALBO
b)
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielna przez 2 P2=[2,4,6,8..] to ta liczba może ~~> nie być podzielna przez 8 (np. 2) i trafić do pudełka B ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Dla tego losowania fałszywe będzie zdanie A: P2~>P8=0 i prawdziwe zdanie B: P2~~>~P8=1
1=prawa
0=fałsz
Stąd:
Wynikowe jedynki w zdaniach A i B nazywamy miękkimi jedynkami, pociągającymi za sobą istnienie miękkich zer
Miękkie jedynki i miękkie zera mogą zajść ale nie muszą, wszystko zależy tu od konkretnej, wylosowanej liczby.
2.
Zauważmy, że jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbą niepodzielną przez 2 (~P2) to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba nie będzie podzielna przez 8 (~P8)
Mówi o tym warunek wystarczający C: ~P2=>~P8 =1
Wynikowa jedynka w zdaniu C jest tu twardą jedynką od minus do plus nieskończoności, czyli:
Dla każdego losowania, jeśli wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 to na 100% => będzie ona niepodzielna przez 8 Twarda jedynka w zdaniu C wymusza twarde zero w zdaniu D (i odwrotnie).
6.3.2 Właściwości implikacji odwrotnej P2|~>P8
Właściwości operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8:
1.
Zbiory A, B i C są wzajemnie rozłączne.
Dowód:
Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
| Kod: |
Wyznaczamy zbiory w liniach A, B i C
A: P2~> P8 = P2* P8 = P8 - bo zbiór P2 jest nadzbiorem ~> zbioru P8
B: P2~~>~P8= P2*~P8
C:~P2=>~P8 =~P2*~P8 =~P2 - bo zbiór ~P2 jest podzbiorem => zbioru ~P8
D:~P2~~>P8 =~P2*P8 =[]
Dowody wzajemnej rozłączności zbiorów:
A*B = P8*(P2*~P8) =[] =0 - bo P8 jest rozłączny z ~P8
A*C = P8*(~P2) =[] =0 - P8 jest rozłączny z ~P2
B*C = (P2*~P8)*~P2=[] =0 - bo P2 jest rozłączny z ~P2
|
2.
Suma logiczna zbiorów A+B musi być tożsama ze zbiorem zapisanym w poprzedniku:
Y = A+B = P8 + (P2*~P8)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~P8*(~P2+P8)
~Y = ~P8*~P2 + ~P8*P8
~Y = ~P8*~P2
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = A+B = P8+P2 = P2 - bo zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2
cnd
6.3.3 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego p~>q
Z powyższej analizy symbolicznej wynika zero-jedynkowa warunku koniecznego ~>.
Dowód:
1.
Przejdźmy z naszą analizą na zapisy formalne (ogólne) podstawiając:
p=P2
q=P8
2.
Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Analiza |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
|
A: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 - bo p jest nadzbiorem ~> q
B: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 - zbiory p i ~q mają element wspólny ~~>
.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A: p~>q = C:~p=>~q
;
C:~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 - bo ~p jest podzbiorem => ~q
D:~p~~> q=0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne
|
3.
Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek konieczny ~>:
A: p~>q
i zakodujmy tabelę T1 zero-jedynkową względem wybranego punktu odniesienia.
Dla wykonania zadania jest nam konieczne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
4.
Realizacja zadania kodowania zero-jedynkowego tabeli symbolicznej T1.
| Kod: |
T2
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla: |Kodowanie tożsame
symboliczna |jedynek oznacza |A: p~>q |w tabeli zero-jedynkowej
| | | p q p~>q
A: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |( p=1)~> ( q=1)=1 | 1~> 1 =1
B: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~~>0 =1
C:~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0=> 0 =1
D:~p~~> q=0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~~>1 =0
a b c d e f g h I 1 2 3
|
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej ABCD123 jest linia A: p~>q z naszej analizy symbolicznej ABCDabc.
Tabela ABCD123 to zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego p~>q dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Matematyczne relacje zachodzące w implikacji odwrotnej p|~>q są następujące:
I.
Operator implikacji odwrotnej p|~>q odpowiada na dwa pytania:
1.
Co będzie jeśli zajdzie p?
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q =p+~q
lub
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =p*~q =1
2.
Co będzie jeśli zajdzie ~p?
C.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q = p+~q
##
II.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =~p+q
##
III.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
6.4 Warunek konieczny ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Wyprowadziliśmy wyżej zero-jedynkową definicje warunku koniecznego p~>q.
| Kod: |
T1
p q Y=(p~>q)
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0
|
Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p i q w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
2.
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2A.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
2B.
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu logiką zer nie będziemy się zajmowali.
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Zastosujmy logikę jedynek do naszej tabeli warunku koniecznego ~>:
Y=(p~>q)
| Kod: |
T2
Pełna definicja |Co w logice jedynek |Równania |Dokładnie to samo
zero-jedynkowa Y |oznacza |cząstkowe |w zdarzeniach
| | |możliwych ~~>
p q ~p ~q Y ~Y | | | Y ~Y
A: 1 1 0 0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i q=1 | Ya= p* q | p~~> q= p* q =1 0
B: 1 0 0 1 =1 =0 | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | Yb= p*~q | p~~>~q= p*~q =1 0
C: 0 0 1 1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q |~p~~>~q=~p*~q =1 0
D: 0 1 1 0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i q=1 |~Yd=~p* q |~p~~> q=~p* q =0 1
1 2 3 4 5 6 a b c d e f g h i j k l
|
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Minimalizujemy funkcje logiczna Y:
Y = p*q + p*~q + ~p*~q
Y = p*(q+~q) + ~p*~q
Y = p+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y = ~p*(p+q)
~Y=~p*p + ~p*q
~Y=~p*q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
1’
Y = (p~>q) = p+~q
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Y = p+~q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
Zrozumiałe dla człowieka jest wyłącznie równanie alternatywno-koniunkcyjne:
1.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yd - bo jest tylko jedna zmienna cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Yx)
Po rozwinięciu mamy:
2.
~Y = ~(p=>q) = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1
6.4.1 Od definicji warunku koniecznego ~> do operatora p|~>q
Warunek konieczny ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) definiuje wszystkie możliwe relacje wyrażone elementem wspólnym zbiorów ~~> p i q pokazany w tabeli T2.
Z tabeli T2 w zdarzeniach możliwych odczytujemy:
| Kod: |
T2.
A: p~~>q = p* q=1 - istnieje (=1) element wspólny ~~> zbirów p i q
B: p~~>~q= p*~q=1 - istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q=1 - istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i ~q
D:~p~~>q =~p* q=0 - nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
|
Przełóżmy tą tabelę na nasz warunek konieczny P2~>P8 wyrażony spójniami „i”(*) i „lub”(+) podstawiając:
p=P2
q=P8
| Kod: |
T3
Zdjęcie układy P2~~>P8 to badanie układu elementem wspólnym zbiorów ~~>
A: P2~~> P8= P2* P8=1 - bo zbiory P2 i P8 mają element wspólny ~~> (np.8)
B: P2~~>~P8= P2*~P8=1 - bo zbiory P2 i ~P8 mają element wspólny ~~> (np.2)
C:~P2~~>~P8=~P2*~P8=1 - bo zbiory ~P2 i ~P8 mają element wspólny ~~> (np.1)
D:~P2~~> P8=~P2* P8=0 - bo zbiory ~P2 i P8 są rozłączne
|
Definicja zdjęcia układu:
Zdjęcie układu to analiza zdania warunkowego „Jeśli p to q” spójnikiem elementu wspólnego zbiorów ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w tym samym kierunku.
Dokładnie to opisuje tabela prawdy T3.
Z poprawnego zdjęcia dowolnego układu, którym zawsze jest seria czterech zdań ABCD przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w trywialny sposób dochodzimy do operatora implikacyjnego który opisuje ten układ.
Od strony czysto-teoretycznej problem jest banalny.
Jedyne potrzebne nam definicje to:
1.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
4.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Zacznijmy od przepisania tabeli prawdy T3 bez komentarzy:
| Kod: |
T3
Zdjęcie układy P2~~>P8 to badanie układu elementem wspólnym zbiorów ~~>
A: P2~~> P8=1
B: P2~~>~P8=1
C:~P2~~>~P8=1
D:~P2~~> P8=0
|
Wyznaczmy wszystkie możliwe przeczenia zbiorów (punktem odniesienia jest dla nas zdanie A):
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (parzystych)
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Przyjmujemy dziadzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd obliczamy przeczenia zbiorów (~) rozumiane jako uzupełnienia do wspólnej dziedziny LN:
~P2=[LN-P2] = [1,3,5,7,9..] zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (nieparzystych)
~P8=[LN-P8] = {1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
Dalej mamy bułkę z masłem:
1.
Fałszywość kontrprzykładu D:~P2~~>P8=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C: ~P2=>~P8 =1 - bo zbiór ~P2=[1,3,5,7..] jest podzbiorem => ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
2.
Prawo Kubusia:
C: ~P2=>~P8 = A: P2~>P8
Prawdziwość warunku wystarczającego C:~P2=>~P8=1 wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B: P2~~>~P8=1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A1:
A1: P2=>P8=0 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => P8=[8,16,24..]
4.
Fałszywość warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B1:
B1: P2~~>~P8 =1 - bo istnieje wspólny element ~~> zbiorów P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
5.
Fałszywość warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 wymusza fałszywość warunku koniecznego ~>:
C1: ~P2~>~P8=0 - bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] nie jest nadzbiorem ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Nanieśmy naszą analizę do tabeli prawdy T3:
| Kod: |
T4
Zdjęcie układy P2~~>P8 to badanie układu elementem wspólnym zbiorów ~~>
A: P2~> P8= 1 ## A1: P2=> P8 =0
B: P2~~>~P8= 1## ## B1: P2~~>~P8=0
C:~P2=> ~P8= 1 ## C1:~P2~>~P8 =0
D:~P2~~> P8= 0 ## D1:~P2~~>P8 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Trzeba tu sobie zdawać sprawę z faktu, że zdanie B (B=B1) jest różne na mocy definicji ## w stosunku do pozostałych zdań A, C i D.
Stąd mamy definicję symboliczną operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8 w postaci serii zdań ABCD.
Operator implikacji odwrotnej P2|~>P8 odpowiada na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co się stanie:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2)?
Opowiadają o tym wyłącznie zdania A i B:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
A.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2) to ta liczba może ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> jej podzielności przez 8, bo jak liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A: P2~>P8 = C: ~P2=>~P8
LUB
B.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2) to ta liczba może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1 - bo istnieje wspólny element zbiorów P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Innymi słowy:
A.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2) to ta liczba może ~> być podzielną przez 8 (np. 8)
Dla tego losowania prawdziwe będzie zdanie A i fałszywe zdanie B
LUB
B.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2) to ta liczba może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8) (np.2)
Dla tego losowania fałszywe będzie zdanie A i prawdziwe zdanie B
Trzeciej możliwości nie ma (tertium non datur).
Dokładnie z tego powodu wynikowe jedynki w zdaniach A i B noszą nazwę miękkich jedynek - mogą zajść, ale nie muszą (w zależności od konkretnego losowania).
Oczywiście miękkie jedynki generują miękkie zera, które również mogą zajść ale nie muszą (w zależności od konkretnego losowania)
1.
Co się stanie:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2)?
.. a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2)?
Prawo Kubusia:
A: P2~>P8 = C: ~P2=>~P8
Stąd:
C.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2) to na 100% => nie będzie ona podzielna przez 8 (~P8)
~P2=>~P8 =1
Wylosowanie liczby niepodzielnej przez 2 jest warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 8 bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
W zdaniu C mamy twardą jedynkę od minus do plus nieskończoności bo nigdy nie zdarzy się że wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 i będzie ona podzielna przez 8 (P8), o czym mówi zdanie D
D.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2) to może ~~> ona być podzielna przez 8 (P8)
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =[] =0 - bo zbiory ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24 ..] są rozłączne
Ze zbioru liczb naturalnych nigdy nie wylosujemy liczby niepodzielnej przez 2 i podzielnej przez 8, bo taka liczba nie istnieje
Końcowa tabela prawdy dla naszej analizy to:
| Kod: |
T3
Operator implikacji odwrotnej P2|~>P8 to odpowiedź na dwa pytania 1 i 2:
1.
Co się stanie jeśli liczba będzie podzielna przez 2 (P2)?
A: P2~> P8 = 1
Podzielność przez 2 jest konieczna ~> dla podzielności przez 8
B: P2~~>~P8 =1 ##
Istnieje element wspólny zbiorów P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
2.
Co się stanie jeśli liczba będzie niepodzielna przez 2 (~P2)?
Prawo Kubusia:
A: P2~>P8 = C: ~P2~>~P8
stąd:
C:~P2=> ~P8= 1
Niepodzielność przez 2 jest wystarczająca => dla niepodzielności przez 8.
LUB
D:~P2~~> P8= 0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory ~P2 i P8 są rozłączne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji w stosunku do pozostałych zdań
|
6.5 Prawo transformacji dla implikacji odwrotnej p|~>q
Na implikację odwrotną p|~>q możemy spojrzeć poprzez funkcję czasu (nie musimy tego robić).
Definicja teraźniejszości:
Teraźniejszość to nieskończenie cienka linia oddzielająca przyszłość od przeszłości.
Jeśli znajdziemy się w przeszłości to nie mamy szans by wrócić do przyszłości - co się stało to się nie odstanie.
Prawo transformacji:
Implikacja odwrotna w czasie przyszłym p|~>q po zamianie p i q transformuje się do implikacji prostej q|=>p w czasie przeszłym.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
T2
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
## | ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Weźmy naszą implikację odwrotną w czasie przyszłym:
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) = ~(0)*1 =1*1 =1
Podstawmy nasz przykład do tabeli T2
| Kod: |
T2
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: P2=>P8 =0 = 2:~P2~>~P8=0 [=] 3: P8~>P2 =0 = 4:~P8=>~P2 =0
A’: 1: p~~>~q =1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: P2~~>~P8=1 = [=] = 4:~P8~~>P2 =1
## | ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: P2~>P8 =1 = 2:~P2=>~P8=1 [=] 3: P8=>P2 =1 = 4:~P8~>~P2 =1
B’: = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
B’: = 2:~P2~~>P8=0 [=] 3: P8~~>~P2=0
---------------------------------------------------------------> Czas
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Implikacja odwrotna p|~>q w czasie przyszłym odpowiada na pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Przypadek 1
Implikacja P2|~>P8 przyszłość:
1.
Co może się wydarzyć jeśli wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2)
B1.
Jeśli wylosujemy dowolną liczbę podzielną przez 2 to ta liczba może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
p~>q =1
Wylosowanie liczby podzielnej przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 musi być prawdą
A1’
Jeśli wylosujemy dowolną liczbę podzielną przez 2 to ta liczba może nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1
p~~>~q =1
Istnieje wspólny element zbiorów P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np.2
2.
Co może się wydarzyć jeśli wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2)
… a jeśli wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2?
Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2: ~P2=>~P8
stąd:
B2.
Jeśli wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 to ta liczba na 100% => nie będzie podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
~p=>~q =1
Wylosowanie liczby niepodzielnej przez 2 jest warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 8
Prawdziwy warunek wystarczający B2: ~P2=>~P8=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’: ~P2~~>P8=1 (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 to ta liczba może ~> być podzielna przez 8
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =0 - bo zbiory rozłączne
~p~~>q =0
Prawo transformacji:
Implikacja odwrotna p|~>q w czasie przyszłym po zamianie p i q transformuje się do implikacji prostej q|=>p w czasie przeszłym.
Ciut wyżej losowaliśmy kolejne liczby naturalne wkładając je do odpowiednich pudełek B1, A1’ i B2.
Nieskończonego zbioru liczb naturalnych nie da się w rzeczywistości przeiterować, ale na poziomie abstrakcyjnym to jest możliwe.
Poza tym, zawsze możemy ograniczyć zbiór do skończonej ilości elementów.
Minimalny zbiór potrzebny i wystarczający dla zaprezentowania wszystkich cech dowolnej implikacji to zaledwie cztery elementy.
Implikacja prosta q|=>p w czasie przeszłym odpowiada na dwa pytania o q:
1.
Co mogło się wydarzyć jeśli zaszło q
2.
Co mogło się wydarzyć jeśli zaszło ~q
Oczywistym warunkiem działania logiki matematycznej w przeszłości jest nieznajomość wyników losowania.
Przypadek II
Implikacja P8|=>P2 przeszłość:
1.
Co mogło się wydarzyć jeśli wylosowaliśmy liczbę podzielną przez 8 (P8)?
B3.
Jeśli wylosowaliśmy liczbę podzielną przez 8 to ta liczba na 100% => była podzielna przez 2
P8=>P2 =1
q=>p =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2
B3’
Jeśli wylosowaliśmy liczbę podzielna przez 8 to ta liczba mogła ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0 - bo zbiory rozłączne
q~~>~p =0
2.
Co mogło się wydarzyć jeśli wylosowaliśmy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8)?
.. a jeśli wylosowaliśmy liczbę niepodzielną przez 8?
Prawo Kubusia:
B3: P8=>P2 = B4: ~P8~>~P2
stąd:
B4.
Jeśli wylosowaliśmy liczbę niepodzielną przez 8 to ta liczba mogła ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2 =1
~q~>~p =1
Niepodzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby ta liczba nie była podzielna przez 2
Fałszywość warunku wystarczającego => A4: ~P8=>~P2=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A4’
A4’
Jeśli wylosowaliśmy liczbę niepodzielną przez 8 to ta liczba mogła ~~> była podzielna przez 2
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1 bo 2
~q~~>p =1
Oczywiście, jeśli będziemy opowiadać o tym samym losowaniu w czasie przeszłym z pozycji implikacji odwrotnej p|~>q to analiza matematyczna będzie jak w przypadku I, czyli zdania słowne będą identyczne lecz zapisane w czasie przeszłym.
Czym różni się losowanie w czasie przyszłym od rozszyfrowywania losowania w czasie przeszłym?
W czasie przyszłym wszystko może się zdarzyć, nie ma trzeciego obserwatora zdolnego przewidzieć wynik kolejnego losowania.
W czasie przeszłym losowanie już się odbyło, tu istnieje trzeci obserwator który zna wyniki.
W tym przypadku sensowna jest logika matematyczna tylko w przypadku, gdy nie znamy wyników losowania.
Przykładowo jeśli gramy w totolotka i jesteśmy przed losowaniem, to wszystko może się zdarzyć.
Jeśli losowanie naszego totka już się odbyło to sensowna jest logika matematyczna której celem jest poznanie wyniku losowania którego nie znamy. Jeśli poznamy wynik losowania to oczywiście nie jest nam potrzebna logika mająca na celu poznanie znanego nam już wyniku.
6.6 Prawo transformacji p|=>q vs p|~>q
Porównajmy prawo transformacji dla implikacji prostej p|=>q (punkt 5.5) z prawem transformacji dla implikacji odwrotnej p|~>q (punkt 6.5)
| Kod: |
T2IP
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)
Związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p|=>q
Przyszłość: p|=>q=~p*q [=] Przeszłość: q|~>p=q*~p
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: P8=>P2 =1 = 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~>P8 =1 = 4:~P2=>~P8 =1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: P8~~>~P2=0 = [=] = 4:~P2~~>P8 =0
## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: P8~>P2 =0 = 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=>P8 =0 = 4:~P2~>~P8 =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~P8~~>P2=1 [=] 3: P2~~>~P8=1
--------------------------------------------------------------> Czas
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
###
| Kod: |
T2IO
p|~>q = ~~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: P2=>P8 =0 = 2:~P2~>~P8=0 [=] 3: P8~>P2 =0 = 4:~P8=>~P2 =0
A’: 1: p~~>~q =1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: P2~~>~P8=1 = [=] = 4:~P8~~>P2 =1
## | ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: P2~>P8 =1 = 2:~P2=>~P8=1 [=] 3: P8=>P2 =1 = 4:~P8~>~P2 =1
B’: = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
B’: = 2:~P2~~>P8=0 [=] 3: P8~~>~P2=0
---------------------------------------------------------------> Czas
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
### - różne na mocy definicji operatorowych gdzie nie obowiązuje zasada iż p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q.
Podsumowanie:
1.
W obrębie każdego z operatorów, implikacji prostej p|=>q (T2IP) i implikacji odwrotnej p|~>q (T2IO) p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej popełniamy błąd podstawienia.
2.
Z diagramów T2IP i T2IO doskonale widać, że miedzy operatorami T2IP i T2IO zachodzi matematyczna relacja różne na mocy definicji operatorowych ### gdzie nie obowiązuje zasada iż p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q.
Dowód:
W zapisach formalnych (ogólnych) między operatorami T2IP i T2IO zachodzi relacja różne na mocy definicji operatorowych ###
T2IP:
p|=>q = ~p*q
###
T2IO:
p|~>q = p*~q
Gdzie:
### - różna na mocy definicji operatorowych
cnd
2.
W zapisach aktualnych, z naszego przykładu nie da się zauważyć różnicy między P8|=>P2 i P2|~>P8
Dowód:
T2IP:
p|=>q = ~p*q
P8|=>P2 = ~P8*P2
p=P8, q=P2
###
T2IO:
p|~>q = p*~q
P2|~>P8 = P2*~P8
p=P2, q=P8
Gdzie:
### - różne na mocy definicji
Zauważmy, ze miedzy operatorami T2IP i T2IO złamana jest zasada iż p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q.
3.
W konkretnym przykładzie matematycznie zachodzi:
| Kod: |
p|=>q = ~p* q ### p|~>q = p* ~q
P8|=>P2 = ~P8*P2 ### P2|~>P8 = P2*~P8
|
Zauważmy, że gdybyśmy nie wzięli pod uwagę relacji formalnych (ogólnych) gdzie zachodzi:
| Kod: |
p|=>q = ~p* q ### p|~>q = p* ~q
|
To wyjdzie nam matematyczna bzdura jakoby znaczek różne na mocy definicji operatorowych ### był matematycznie zbędny.
| Kod: |
P8|=>P2 = ~P8*P2 ### P2|~>P8 = P2*~P8
|
Bez zapisów formalnych (ogólnych) znaczek ### jest pozornie matematycznie zbędny bo prawe strony są pozornie identyczne.
Ta pozorna tożsamość jest matematycznie błędna bowiem dla lewej strony znaku ### obowiązuje:
p=P8, q=P2
Natomiast dla prawej strony mamy:
p=P2, q=P8
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 7:09, 17 Lip 2020, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35486
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 9:23, 08 Cze 2020 Temat postu: |
|
|
Spis treści
7.0 Operator równoważności p|<=>q 1
7.1 Definicja operatora równoważności |<=> 3
7.2 Równoważności Pitagorasa 4
7.3 Analiza symboliczna równoważności 7
7.3.1 Analiza symboliczna równoważności p|<=>q 9
7.3.2 Analiza symboliczna równoważności q|<=>p 10
7.4 Definicja równoważności p|<=>q do codziennego stosowania 11
7.5 Przykład operatora równoważności TP|<=>SK w zbiorach 12
7.6 Operator równoważności p|<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 16
7.6.1 Co definiuje równoważność wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 16
7.6.2 Przejście od tabeli zero-jedynkowej <=> do operatora |<=> 18
7.0 Operator równoważności p|<=>q
Przypomnijmy definicje podstawowe z Kubusiowej teorii zbiorów:
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jego elementy wchodzą w skład zbioru q
p=>q =1 - gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
inaczej:
p=>q =0
Definicja nadzbioru ~>:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy p jest nadzbiorem ~> zbioru q
inaczej:
p~>q =0
Dla zbiorów tożsamych p=q zachodzi:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Wynika to bezpośrednio z definicji podzbioru => i nadzbioru ~>
Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - zbiory (pojęcia) p i q są różne na mocy definicji ##
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> zbioru q, co oznacza, że zbiory p i q są ze sobą w relacji tożsamości matematycznej.
Zastrzeżenie:
Dziedzina musi tu być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
To zastrzeżenie jest konieczne dla istnienia zbiorów niepustych ~p i ~q.
W algebrze Kubusia wszelkie argumenty muszą być zbiorami (pojęciami) niepustymi, musimy po prostu rozumieć co mówimy.
Innymi słowy:
By rozumieć co znaczy pojęcie „pies” musimy rozumieć pojęcie „nie pies”
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Matematycznie zachodzi:
(A1: p=>q = ~p+q) <=> (B1: p~>q=p+~q) =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
(A1: p=>q = ~p+q) ## (B1: p~>q = p+~q)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
| Kod: |
T1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
I II III IV
C: 1: p=q # 2:~p=~q [=] 3: q=p # 4: ~q=~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wnioski:
1.
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
2.
W logice matematycznej mamy do dyspozycji 16 tożsamych definicji równoważności p<=>q
Dowolna równoważność definiuje tożsamość zbiorów, stąd dla naszej tabeli możemy zapisać cztery tożsamości zbiorów pokazane w linii C.
7.1 Definicja operatora równoważności |<=>
Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie p?
Definicja równoważności dla p:
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)
Każda równoważność to tożsamość zbiorów (pojęć), tu:
p=q
2.
Kiedy zajdzie ~p?
~p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
~p<=>~q = (B2:~p=>~q)*(A1: p=>q)
Każda równoważność to tożsamość zbiorów (pojęć), tu:
~p=~q
Zauważmy że:
Operator równoważności p|<=>q ## spójnik równoważności (krótko: równoważność) p<=>q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W rachunku zero-jedynkowym zachodzi tożsamość logiczna:
p<=>q = ~p<=>~q
Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony
Zapiszmy w tabeli prawdy znaczenie tej tożsamości logicznej:
| Kod: |
R1 | R2
Równoważność dla p | Równoważność dla ~p
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] ~p<=>~q=(A2: p~>q)*(B2:~p=>~q)
Definiowana tożsamość zbiorów: | Definiowana tożsamość zbiorów:
p=q # ~p=~q
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q # Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
|
Doskonale tu widać, że równoważność R1: p<=>q opisująca zbiór p to fundamentalnie co innego niż równoważność R2: ~p<=>~q opisująca zbiór ~p bo matematycznie zachodzi:
p # ~p
Zatem z faktu że w rachunku zero-jedynkowym zachodzi tożsamość logiczna:
p<=>q = ~p<=>~q
nie wolno wyciągać wniosku, że dowolna z tych równoważności jest zbędna.
Z definicji znaczka # wynika, iż dziedzina dla p i q musi być wspólna, bo inaczej nie policzymy przeczeń zbiorów rozumianych jako uzupełnienie do dziedziny.
Oznaczmy:
D - wspólna dziedzina dla p i q
Stąd mamy definicję dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p
p*~p=[]= 0 - zbiory p i ~p są rozłączne
Dla q mamy identycznie.
q+~q =D =1 - zbiór ~q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru q
q*~q=[]= 0 - zbiory q i ~q są rozłączne
Zauważmy, ze dopiero po wyborze wspólnej dziedziny mamy szanse na policzenie przeczeń zbiorów ~p i ~q:
~p=[D-p]
~q=[D-q]
Stąd mamy wyprowadzone prawo wspólnej dziedziny.
Prawo wspólnej dziedziny:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q”, jak również w równoważności, dziedzina musi być wspólna dla p i q.
7.2 Równoważności Pitagorasa
Jak wiemy, wystarczy udowodnić dowolną z 16 możliwych definicji równoważności by zdeterminować całą tabelę równoważności T1.
Zobaczmy to na przykładzie równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK i twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: SK=>TP zostały udowodnione wieki temu, stąd równoważność Pitagorasa jest prawdziwa.
Udowodnienie tej jednej, jedynej równoważności determinuje całą tabelę równoważności T1.
Podstawmy zatem twierdzenie Pitagorasa do tej tabeli.
| Kod: |
T1
A: 1: TP=>SK = 2:~TP~>~SK [=] 3: SK~>TP = 4:~SK=>~TP =1
##
B: 1: TP~>SK = 2:~TP=>~SK [=] 3: SK=>TP = 4:~SK~>~TP =1
I II III IV
C: 1: TP=SK # 2:~TP=~SK [=] 3: SK=TP # 4: ~SK=~TP
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej
|
Definicja operatora równoważności |<=> po stronie TP to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie TP?
I.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: ~TP=>~SK) =1*1 =1
Powyższa równoważność determinuje tożsamość zbiorów:
TP=SK
2.
Kiedy zajdzie ~TP?
II.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych:
Trójkąt nie jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Powyższa równoważność determinuje tożsamość zbiorów:
~TP=~SK
Matematycznie w rachunku zero-jedynkowym zachodzi tożsamość logiczna:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK
Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony
Zapiszmy w tabeli prawdy znaczenie tej tożsamości logicznej:
| Kod: |
R1 | R2
Równoważność Pitagorasa | Równoważność Pitagorasa
dla trójkątów prostokątnych | dla trójkątów nieprostokątnych
TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] ~TP<=>~SK=(A2: TP~>SK)*(B2:~TP=>~SK)
Definiowana tożsamość zbiorów: | Definiowana tożsamość zbiorów:
TP=SK # ~TP=~SK
Zbiór TP jest tożsamy ze zbiorem SK # Zbiór ~TP jest tożsamy ze zbiorem ~SK
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
|
Doskonale tu widać, że równoważność R1: TP<=>SK opisująca trójkąty prostokątne (TP) to fundamentalnie co innego niż równoważność R2: ~TP<=>~SK opisująca trójkąty nieprostokątne (~TP) bo matematycznie zachodzi:
TP # ~TP
Zatem z faktu że w rachunku zero-jedynkowym zachodzi tożsamość logiczna:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK
nie wolno wyciągać wniosku że dowolna z tych równoważności jest zbędna.
Dygresja:
W dawnych czasach, przed zaakceptowaniem algebry Kubusia przez ziemskich matematyków ziemianie nie rozumieli znaczenia równoważności.
Równoważność logiczną traktowali jak zwykłą tożsamość matematyczną typu:
2=2
Stąd w dawnych podręcznikach matematyki nie istniały takie podstawowe pojęcia matematyczne jak:
I.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: ~TP=>~SK) =1*1 =1
Powyższa równoważność determinuje tożsamość zbiorów:
TP=SK
II.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych:
Trójkąt nie jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Powyższa równoważność determinuje tożsamość zbiorów:
~TP=~SK
Wróćmy do naszych czasów:
Prawo wspólnej dziedziny:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q”, jak również w równoważności, dziedzina musi być wspólna dla p i q.
Równoważność Pitagorasa determinuje dwa zbiory uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny.
Minimalna, wspólna dziedzina dla twierdzenia Pitagorasa to:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Matematycznie spełniona jest tu definicja dziedziny:
TP+~TP = ZWT =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny ZWT dla zbioru TP
TP*~TP =ZWT =[] =0 - zbiory TP i ~TP są wzajemnie rozłączne
Ta sama dziedzina musi obowiązywać dla trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów:
SK+~SK =ZWT =1 - zbiór ~SK jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru SK
SK*~SK =[] =0 - zbiory SK i ~SK są rozłączne
Wniosek:
Z powyższego wynika znaczenie zbioru zanegowanego:
~TP=[ZWT-TP] - zbiór zanegowany ~TP to dziedzina ZWT pomniejszona o zbiór niezanegowany TP
Przykład z teorii liczb:
P2=[2,4,6,8,..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (parzystych)
Jest oczywistym, że aby mówić o zbiorze zanegowanym musimy uprzednio wybrać dziedzinę.
Wybieramy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór licz naturalnych
Dopiero w tym momencie możemy mówić o zbiorze zanegowanym ~P2:
~P2=[LN-P2] =[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (nieparzystych)
Dokładnie tak samo definiujemy operator równoważności |<=> po stronie SK (ćwiartki III i IV).
Definicja operatora równoważności |<=> po stronie SK to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie SK?
III.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów ze spełnioną suma kwadratów:
W trójkącie zachodzi suma kwadratów wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt ten jest prostokątny
SK<=>TP = (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Powyższa równoważność determinuje tożsamość zbiorów:
SK=TP
2.
Kiedy zajdzie ~SK?
II.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów w których nie zachodzi suma kwadratów:
W trójkącie nie zachodzi suma kwadratów wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt ten nie jest prostokątny
~SK<=>~TP = (A4: ~SK=>~TP)*(B4:~SK~>~TP) =1*1 =1
Powyższa równoważność determinuje tożsamość zbiorów:
~SK=~TP
7.3 Analiza symboliczna równoważności
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
| Kod: |
T1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
I II III IV
C: 1: p=q # 2:~p=~q [=] 3: q=p # 4: ~q=~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W poniższej tabeli wartościowanie relacji podzbioru => i nadzbioru ~>, jak również relacji elementu wspólnego zbiorów ~~> (same zera) zapisano tylko i włącznie na podstawie diagramów zbiorów p=q i ~p=~q widniejących w nagłówku tabeli.
| Kod: |
T2
---------- --------- --------- --------
| p=q | # |~p=~q | [=] | q=p | # |~q=~p |
---------- --------- --------- --------
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =0
##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =0
I II III IV
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej
p=>q=1 - gdy p jest podzbiorem => q
p~>q=1 - gdy p jest nadzbiorem ~> q
Linie A’ i B’ wypełniono w oparciu o zbiory rozdzielne znakiem #
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Podstawa matematyczna wypełniania linii podzbiorów => i nadzbiorów ~> (Ax i Bx):
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Wynika to bezpośrednio z definicji podzbioru => i nadzbioru ~>
Definicje symboliczne operatora równoważności |<=> dla powyższej tabeli są następujące:
| Kod: |
T2
---------- --------- --------- --------
| p=q | # |~p=~q | [=] | q=p | # |~q=~p |
---------- --------- --------- --------
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =0
##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =0
I II III IV
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej
p=>q=1 - gdy p jest podzbiorem => q
p~>q=1 - gdy p jest nadzbiorem ~> q
Linie A’ i B’ wypełniono w oparciu o zbiory rozdzielne znakiem #
-------------------------------------------------------------
Definicja operatora równoważności | Definicja operatora równoważności
p|<=>q to odpowiedź na dwa pytania | q|<=>p to odpowiedź na dwa pytania
1. | 1.
Kiedy zajdzie p? | Kiedy zajdzie q?
p<=>q=(A1: p=>q)*(B2:~p=>~q) [=] q<=>p=(B3: q=>p)*(A4:~q=>~p)
Definiuje: p=q [=] Definiuje q=p
A1: p=>q =1 [=] B3: q=>p =1
A1’: p~~>~q=0 [=] B3’: q~~>~p=0
2. | 2.
Kiedy zajdzie ~p? | Kiedy zajdzie ~q?
~p<=>~q=(B2:~p=>~q)*(A1: p=>q) [=]~q<=>~p=(A4:~q=>~p)*(B3: q=>p)
Definiuje: ~p=~q [=] Definiuje: ~q=~p
B2: ~p=>~q =1 [=] A4: ~q=>~p =1
B2’ ~p~~>q =0 [=] A4’:~q~~>P =0
Gdzie:
p=>q=1 - gdy p jest podzbiorem => q
p~~>~q=0 - gdy zbiory p i ~q są rozłączne
|
Podsumowanie:
W analizie symbolicznej równoważności preferujemy warunki wystarczające => bowiem tu zawsze mamy pewność, że:
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q
niezależnie od tego czy mamy do czynienia z równoważnością p<=>q czy też z implikacją. W implikacji prostej p|=>q lub odwrotnej p|~>q warunek konieczny ~> zawsze związany jest z „rzucaniem monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Poza tym banalnie prosta i kluczowa w logice matematycznej definicja kontrprzykładu obowiązuje tylko i wyłącznie dla relacji podzbioru =>.
Matematycznie w zbiorach zachodzi tożsamość:
Relacja podzbioru => = warunek wystarczający =>
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
7.3.1 Analiza symboliczna równoważności p|<=>q
W analizie symbolicznej równoważności p<=>q preferujemy warunki wystarczające => ze względu na obowiązującą tylko tu, kluczową dla logiki matematycznej definicję kontrprzykładu.
I.
Definicja równoważności p<=>q to tabela AB12
| Kod: |
T2
---------- --------- --------- --------
| p=q | # |~p=~q | [=] | q=p | # |~q=~p |
---------- --------- --------- --------
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =0
##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =0
I II III IV
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator równoważności p|<=>q odpowiada na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie p?
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)
Definiuje: p=q - tożsamość zbiorów (zdarzeń)
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q=0 - zdarzenie niemożliwe, kontrprzykład A1’ dla A1 musi być fałszem
2.
Kiedy zajdzie ~p?
~p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
~p<=>~q = (B2: ~p=>~q)*(A1: p=>q)
Definiuje: ~p=~q - tożsamość zbiorów (zdarzeń)
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystraczające => dla zajścia ~q
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =~p*q=0 - zdarzenie niemożliwe, kontrprzykład B2’ dla B2 musi być fałszem
7.3.2 Analiza symboliczna równoważności q|<=>p
W analizie symbolicznej równoważności p<=>q preferujemy warunki wystarczające => ze względu na obowiązującą tylko tu, kluczową dla logiki matematycznej definicję kontrprzykładu.
II.
Definicja równoważności q<=>p to tabela AB34
| Kod: |
T2
---------- --------- --------- --------
| p=q | # |~p=~q | [=] | q=p | # |~q=~p |
---------- --------- --------- --------
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =0
##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: 1: p~~>~q=0 = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0 = 4:~q~~>p =0
I II III IV
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator równoważności q|<=>p odpowiada na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie q?
q zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p
q<=>p = (B3: q=>p)*(A4: ~q=>~p)
Definiuje: q=p - tożsamość zbiorów (zdarzeń)
B3.
Jeśli zajdzie q to na100% => zajdzie p
q=>p =1 - zajście q jest wystarczające => dla zajścia p
Prawdziwy warunek wystarczający B3 wymusza fałszywość kontrprzykładu B3’ (i odwrotnie)
B3’
Jeśli zajdzie q to może ~~> zajść ~p
q~~>~p =q*~p =0 - zdarzenie niemożliwe, kontrprzykład B3’ dla B3 musi być fałszem
2.
Kiedy zajdzie ~q?
~q zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p
~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B3: q=>p)
Definiuje: ~q=~p - tożsamość zbiorów (zdarzeń)
A4.
Jeśli zajdzie ~q to na 100% => zajdzie ~p
~q=>~p =1 - zajście ~q jest wystraczające => dla zajścia ~p
Prawdziwy warunek wystarczający A4 wymusza fałszywość kontrprzykładu A4’ (i odwrotnie)
A4’.
Jeśli zajdzie ~q to może ~~> zajść p
~q~~>p=~q*p =0 - zdarzenie niemożliwe, kontrprzykład A4’ dla A4 musi być fałszem
7.4 Definicja równoważności p|<=>q do codziennego stosowania
W codziennym stosowaniu istotna jest zawartość symbolicznych definicji równoważności a nie trudne do zapamiętania indeksy przy poszczególnych zdaniach.
Co więcej, kolejność wypowiadanych zdań wchodzących w skład operatora równoważności p|<=>q nie ma żadnego znaczenia, bowiem każdemu z tych zdań da się przypisać indywidualną wartość logiczną prawda/fałsz niezależną od jakichkolwiek innych zdań.
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
| Kod: |
T1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
I II III IV
C: 1: p=q # 2:~p=~q [=] 3: q=p # 4: ~q=~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wnioski:
1.
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
2.
W logice matematycznej mamy do dyspozycji 16 tożsamych definicji równoważności p<=>q
3.
W analizie symbolicznej równoważności p<=>q preferujemy warunki wystarczające => ze względu na obowiązującą tylko tu, kluczową dla logiki matematycznej definicję kontrprzykładu.
| Kod: |
Symboliczne definicje operatora równoważności
p|<=>q i q|<=>p do codziennego stosowania
Definicja operatora równoważności | Definicja operatora równoważności
p|<=>q to odpowiedź na dwa pytania | q|<=>p to odpowiedź na dwa pytania
1. | 1.
Kiedy zajdzie p? | Kiedy zajdzie q?
p<=>q=(A: p=>q)*(C:~p=>~q) [=] q<=>p=(A: q=>p)*(C:~q=>~p)
Definiuje: p=q [=] Definiuje q=p
A: p=>q =1 [=] A: q=>p =1
B: p~~>~q=0 [=] B: q~~>~p=0
2. | 2.
Kiedy zajdzie ~p? | Kiedy zajdzie ~q?
~p<=>~q=(C:~p=>~q)*(A: p=>q) [=] ~q<=>~p=(C:~q=>~p)*(A: q=>p)
Definiuje: ~p=~q [=] Definiuje: ~q=~p
C: ~p=>~q =1 [=] C: ~q=>~p =1
D: ~p~~>q =0 [=] D: ~q~~>p =0
Gdzie:
p=>q=1 - gdy p jest podzbiorem => q
p~~>~q=0 - gdy zbiory p i ~q są rozłączne
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
7.5 Przykład operatora równoważności TP|<=>SK w zbiorach
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
| Kod: |
T1.
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wnioski:
1.
Aby udowodnić, iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
2.
W logice matematycznej mamy do dyspozycji 16 tożsamych definicji równoważności p<=>q
3.
W analizie symbolicznej równoważności p<=>q preferujemy warunki wystarczające => ze względu na obowiązującą tylko tu, kluczową dla logiki matematycznej definicję kontrprzykładu.
Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie p?
Definicja równoważności dla p:
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)
Każda równoważność to tożsamość zbiorów (pojęć), tu:
p=q
2.
Kiedy zajdzie ~p?
~p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
~p<=>~q = (B2:~p=>~q)*(A1: p=>q)
Każda równoważność to tożsamość zbiorów (pojęć), tu:
~p=~q
Zauważmy że:
Operator równoważności p|<=>q ## spójnik równoważności (krótko: równoważność) p<=>q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Weźmy matematykę na poziomie 8 klasy szkoły podstawowej, równoważności Pitagorasa.
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK i twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: SK=>TP zostały udowodnione wieki temu, stąd równoważność Pitagorasa jest prawdziwa.
Udowodnienie tej jednej, jedynej równoważności determinuje całą tabelę równoważności T1.
Podstawmy zatem twierdzenie Pitagorasa do tej tabeli.
| Kod: |
T1
A: 1: TP=>SK = 2:~TP~>~SK [=] 3: SK~>TP = 4:~SK=>~TP =1
##
B: 1: TP~>SK = 2:~TP=>~SK [=] 3: SK=>TP = 4:~SK~>~TP =1
I II III IV
C: 1: TP=SK # 2:~TP=~SK [=] 3: SK=TP # 4: ~SK=~TP
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
# - różne w znaczeniu że jedna strona jest negacją drugiej
|
Analiza matematyczna operatora równoważności TP|<=>SK przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Definicja operatora równoważności |<=> po stronie TP to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie TP?
RA: TP<=>SK
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A: TP=>SK)*(C: ~TP=>~SK) =1*1 =1
Powyższa równoważność determinuje tożsamość zbiorów:
TP=SK
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1), bo zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK.
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów TP=SK
Prawdziwy warunek wystarczający A: TP=>SK=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B: TP~~>~SK=0 (i odwrotnie)
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK=1)
TP~~>~SK = TP*~SK =[] =0
Definicja element wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory TP i ~SK są rozłączne.
2.
Kiedy zajdzie ~TP?
RC: ~TP<=>~SK
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych:
Trójkąt nie jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów
~TP<=>~SK = (C:~TP=>~SK)*( A: TP=>SK)
Powyższa równoważność determinuje tożsamość zbiorów:
~TP=~SK
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP=>~SK =1
Nie bycie trójkątem prostokątnym (~TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1), bo zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK.
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów ~TP=~SK.
Prawdziwy warunek wystarczający C:~TP=>~SK=1 wymusza fałszywy kontrprzykład D:~TP~~>SK=0 (i odwrotnie).
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK=1)
~TP~~>SK = ~TP*SK =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory ~TP i SK są rozłączne.
Z powyższej analizy symbolicznej wynika zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności TP<=>SK.
Dowód:
1.
Przejdźmy z naszą analizą na zapisy formalne (ogólne) podstawiając:
p=TP
q=SK
2.
Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Analiza |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
|
RA: p<=>q=(A: p=>q)*(C:~p=>~q)
A: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1
B: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
;
RC:~p<=>~q=(C:~p=>~q)*(A: p=>q)
C:~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1
D:~p~~> q=0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
|
3.
Przyjmijmy za punkt odniesienia równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
RA: p<=>q
i zakodujmy tabelę T1 zero-jedynkową względem wybranego punktu odniesienia.
Dla wykonania zadania jest nam konieczne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
4.
Realizacja zadania kodowania zero-jedynkowego tabeli symbolicznej T1.
| Kod: |
T2
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla: |Kodowanie tożsame
symboliczna |jedynek oznacza |RA: p<=>q |w tabeli zero-jedynkowej
| | | p<=>q=
| | | p q (p=>q)*(~p=>~q)
RA: p<=>q =(A: p=>q)*(C:~p=>~q)
A: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=> 1 =1
B: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1~~>0 =0
;
RC:~p<=>~q=(C:~p=>~q)*(A: p=>q)
C:~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0=> 0 =1
D:~p~~> q=0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~~>1 =0
a b c d e f g h I 1 2 3
|
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej ABCD123 jest linia RA: p<=>q z naszej analizy symbolicznej ABCDabc.
Tabela ABCD123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q zwanego krótko: równoważnością <=>.
Matematyczne relacje zachodzące w równoważności p<=>q są następujące:
I.
Operator równoważności p|<=>q odpowiada na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie p?
p<=>q = (A: p=>q)*(C: ~p=>~q) = p*q+~p*~q
2.
Kiedy zajdzie ~p?
~p<=>~q = (C: ~p=>~q)*(A: p=>q) =p*q+~p*~q
##
II.
Spójnik równoważności p<=>q:
p<=>q = (A: p=>q)*(C:~p=>~q) = p*q+~p*~q
##
III.
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
7.6 Operator równoważności p|<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
W analizie symbolicznej równoważności p<=>q preferujemy warunki wystarczające => ze względu na obowiązującą tylko tu, kluczową dla logiki matematycznej definicję kontrprzykładu.
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Operator równoważności p|<=>q dotyczący p to układ równań logicznych:
1.
Kiedy zajdzie p?
Równoważności w logice dodatniej (bo q) wyrażona spójniami „i”(*) i „lub”(*):
p<=>q = (A: p=>q)*(C: ~p=>~q) = (~p+q)*(p+~q) = p*~p+~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
p<=>q = (A: p=>q)*(C: ~p=>~q) = p*q+~p*~q
Równoważność p<=>q definiuje tożsamość zbiorów: p=q
2.
Kiedy zajdzie ~p?
Równoważność w logice ujemnej (bo ~q) wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
~p<=>~q = (C: ~p=>~q)*(A: p=>q) =p*q+~p*~q
Równoważność ~p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów: ~p=~q
Matematyczne relacje zachodzące w równoważności p<=>q są następujące:
I.
Operator równoważności p|<=>q odpowiada na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie p?
p<=>q = (A: p=>q)*(C:~p=>~q) = p*q+~p*~q
Determinuje tożsamość zbiorów: p=q
2.
Kiedy zajdzie ~p?
~p<=>~q = (C: ~p=>~q)*(A: p=>q) =p*q+~p*~q
Determinuje tożsamość zbiorów: ~p=~q
##
II.
Spójnik równoważności p<=>q:
p<=>q = (A: p=>q)*(C:~p=>~q) = p*q+~p*~q
Determinuje tożsamość zbiorów: p=q
##
III.
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
7.6.1 Co definiuje równoważność wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Co definiuje równoważność p<=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+)?
Podstawmy dla uproszczenia zapisów:
Y = p<=>q
Y = A: p*q + C: ~p*~q
Równoważność wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+) odpowiada na dwa pytania:
1.
Kiedy zbiory p i q mają elementy wspólne ~~> Y?
Y = A: p*q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
2.
Kiedy zbiory p i q nie mają elementów wspólnych ~~> ~Y?
~Y= B: p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Dowód dla 2:
Mamy funkcje logiczną 1:
Y = (p*q)+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y = (~p+~q)*(p+q)
Logika jedynek obowiązuje dla funkcji alternatywno-koniunkcyjnej, stąd musimy wymnożyć wielomian:
~Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q
~Y = B: p*~q + D: ~p*q
Stąd otrzymujemy tabelę równoważności p<=>q opisaną elementami wspólnymi zbiorów ~~>:
| Kod: |
Y
A: p~~> q= p* q=1 - istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i q
B: p~~>~q= p*~q=0 - nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q=1 - istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q=0 - nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
|
Wniosek:
Definicja równoważności p<=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+) definiuje zero-jedynkową definicję spójnika równoważności p<=>q.
Dowód:
1.
Przepiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Analiza |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
|
A: p~~> q=1 |( p=1)~~>( q=1)=1
B: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
C:~p~~>~q=1 |(~p=1)~~>(~q=1)=1
D:~p~~> q=0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
a b c d e f
|
2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia zdanie A bo szukamy zero-jedynkowej definicji spójnika p<=>q:
A: p~~>q =1
Zakodujmy tabelę T1 zero-jedynkową względem wybranego punktu odniesienia.
Dla wykonania zadania jest nam konieczne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
4.
Realizacja zadania kodowania zero-jedynkowego tabeli symbolicznej T1.
| Kod: |
T2
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla: |Kodowanie tożsame
symboliczna |jedynek oznacza |A: p~~>q |w tabeli zero-jedynkowej
| | | p q p<=>q=p*q+~p*~q
A: p~~> q=1 |( p=1)~~>( q=1)=1 |( p=1)~~>( q=1)=1 | 1~~>1 =1
B: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1~~>0 =0
C:~p~~>~q=1 |(~p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=0)~~>( q=0)=1 | 0~~>0 =1
D:~p~~> q=0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~~>1 =0
a b c d e f g h I 1 2 3
|
Tabela ABCD123 to oczywiście tabela zero-jedynkowa spójnika równoważności p<=>q, zwanego krótko: równoważnością.
7.6.2 Przejście od tabeli zero-jedynkowej <=> do operatora |<=>
Po pierwsze i najważniejsze, rozumując odwrotnie musimy dojść od tabeli zero-jedynkowej ABCD123 do tabeli symbolicznej w elementach wspólnych zbiorów ~~> ABCDabc
| Kod: |
T1
Analiza
symboliczna
A: p~~> q=1
B: p~~>~q=0
C:~p~~>~q=1
D:~p~~> q=0
a b c
|
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
W tym momencie dojście do definicji operatora równoważności |<=> to bułka z masłem, czyli pikuś.
Rozumujemy co najwyżej na poziomie ucznia 8 klasy szkoły podstawowej.
1.
Fałszywość kontrprzykładu B: p~~>~q=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego:
A: p=>q=1
2.
Fałszywość kontrprzykładu D:~p~~>q=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego:
C:~p=>~q=1
Stąd mamy definicję symboliczną operatora równoważności p|<=>q;
| Kod: |
T3
Analiza symboliczna operatora równoważności p|<=>q
RA: p<=>q=(A: p=>q)*(C:~p=>~q)
A: p=> q =1
B: p~~>~q=0
RC:~p<=>~q=(C:~p=>~q)*(A: p=>q)
C:~p=>~q =1
D:~p~~> q=0
a b c
|
Czytamy:
Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź na dwa pytania:
1.
Kiedy zajdzie p?
p<=>q = (A: p=>q)*(C: ~p=>~q)
2.
Kiedy zajdzie ~p?
~p<=>~q = (C:~p=>~q)*(A: p=>q)
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 8:43, 12 Cze 2020, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35486
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 8:44, 12 Cze 2020 Temat postu: |
|
|
Spis treści
8.0 Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach 1
8.1 Przykład operatora chaosu P8|~~>P3 w zbiorach 2
8.2 Operator chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 5
8.3 Zdanie zawsze prawdziwe = matematyczny bełkot 6
8.3.1 Zdanie zawsze prawdziwe w zdarzeniach zrozumiałe dla 5-cio latka 6
8.3.2 Zdanie zawsze prawdziwe w zbiorach = matematyczny bełkot 9
9.0 Wzajemne relacje między operatorami implikacyjnymi 12
8.0 Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach
Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach:
Zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q, jak również nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zastrzeżenie:
Dziedzina musi tu być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
To zastrzeżenie jest konieczne dla istnienia zbiorów niepustych ~p i ~q.
W algebrze Kubusia wszelkie argumenty muszą być zbiorami (pojęciami) niepustymi, musimy po prostu rozumieć co mówimy.
Innymi słowy:
By rozumieć co znaczy pojęcie „pies” musimy rozumieć pojęcie „nie pies”
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
Stąd mamy definicję operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja podzbioru => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja nadzbioru ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
stąd:
Definicja operatora chaosu p|~>q zdefiniowana wszystkimi możliwymi relacjami podzbiorów => i nadzbiorów ~> wynikającymi z rachunku zero-jedynkowego:
| Kod: |
Operator chaosu p|~>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p|~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0) =1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
8.1 Przykład operatora chaosu P8|~~>P3 w zbiorach
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
Stąd mamy definicję operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
Operator chaosu p|~>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p|~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0) =1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Weźmy zdanie:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
Na początek musimy udowodnić, iż zdanie A rzeczywiście wchodzi w skład operatora chaosu P8|~~>P3.
Przyjmijmy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd obliczamy początkowe wartości wszystkich możliwych przeczeń zbiorów:
P8=[8,16,24..]
P3=[3,6,9..]
~P8=[LN-P8] =[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P3=[LN-P3]=[1,2..4,5..7,8..]
Aby udowodnić iż mamy tu do czynienia z operatorem chaosu P8|~~>P3 wystarczy udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Tu wszystkie dowody są trywialne, wybierzmy zdania A1 i B3.
A1: P8=>P3
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=>P3 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 3, bo zbiór P8 nie jest podzbiorem => P3.
Dowód na kilku pierwszych elementach:
P8=[8,16,24..] => P3=[3,6,9..] =0
Liczba 8 należy do zbioru P8 i nie należy do zbioru P3
cnd
B3: P3=>P8
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 3 to na 100% => jest podzielna przez 8
P3=>P8 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 3 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8, bo zbiór P3 nie jest podzbiorem => P8.
Dowód na kilku pierwszych elementach:
P3=[3,6,9..] => P8=[8,16,24 ..] =0
Liczba 3 należy do zbioru P3 i nie należy do zbioru P8
cnd
Stąd mamy pewność że nasze zdanie A: P8~~>P3 wchodzi w skład operatora chaosu P8|~~>P3.
W tym momencie analizę symboliczną operatorach chaosu P8|~~>P3 według szablonu matematycznego może wykonać komputer.
Analiza matematyczna zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
P8~~>P3 =1 bo 24
Co w logice jedynek oznacza:
(P8=1)~~>(P3=1) =1
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
P8~~>~P3 =1 bo 8
Co w logice jedynek oznacza:
(P8=1)~~>(P3=1) =1
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
~P8~~>~P3 =1 bo 2
Co w logice jedynek oznacza:
(~P8=1)~~>(~P3=1) =1
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
~P8~~>P3 =1 bo 3
co w logice jedynek oznacza:
(~P8=1)~~>(P3=1)=1
Dowód iż mamy tu do czynienia z legalnym, matematycznym spójnikiem elementu wspólnego zbiorów ~~>
1.
Przejdźmy z naszą analizą na zapisy formalne (ogólne) podstawiając:
p=P8
q=P3
2.
Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Analiza |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
|
A: p~~> q=1 |( p=1)~~>( q=1)=1
B: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1
C:~p~~>~q=1 |(~p=1)~~>(~q=1)=1
D:~p~~> q=1 |(~p=1)~~>( q=1)=1
|
3.
Przyjmijmy za punkt odniesienia zdanie A:
A: p~~>q =1
i zakodujmy tabelę T1 zero-jedynkową względem wybranego punktu odniesienia.
Dla wykonania zadanie jest nam konieczne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
4.
Realizacja zadania kodowania zero-jedynkowego tabeli symbolicznej T1.
| Kod: |
T2
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla: |Kodowanie tożsame
symboliczna |jedynek oznacza |A: p~~>q |w tabeli zero-jedynkowej
| | | p q p~~>q
A: p~~> q=1 |( p=1)~~>( q=1)=1 |( p=1)~~>( q=1)=1 | 1~~>1 =1
B: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~~>0 =1
C:~p~~>~q=1 |(~p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=0)~~>( q=0)=1 | 0~~>0 =1
D:~p~~> q=1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0~~>1 =1
a b c d e f g h i 1 2 3
|
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej ABCD123 jest linia A: p~~>q z naszej analizy symbolicznej ABCDabc.
Tabela ABCD123 to zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>.
Operator chaosu p|~~>q to co innego niż zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>
Operator chaosu p|~~>q odpowiada na dwa pytania:
1.
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A: p~~>q =1
B: p~~>~q =1
2.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
C: ~p~~>~q =1
D:~p~~> q =1
Na mocy definicji zachodzi:
p|~~>q ## p~~>q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Na zakończenie poznajmy rzeczywistą definicję elementu wspólnego zbiorów ~~> niezwykle użyteczną i niezbędną w logice matematycznej.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy tu kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory nieskończone są rozłączne to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.
8.2 Operator chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
Stąd mamy definicję operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
Operator chaosu p|~>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p|~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0) =1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora chaosu p|~~>q wyrażona spójnikami „i’(*) i „lub”(+)
p|~~>q =0
Dowód:
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Stąd mamy definicję operatora chaosu p|~~>q wyrażoną spójniami „i”(*) i „lub”(*):
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(~p*q) =0
Co definiuje operator chaosu p|~~>q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+)?
p|~~>q =0
Operator chaosu p|~~>q wskazuje na zero kontrprzykładów prawdziwych w nim występujących.
Brak choćby jednego kontrprzykładu jest tożsamy z brakiem choćby jednego warunku wystarczającego => co na mocy praw Kubusia jest tożsame z brakiem choćby jednego warunku koniecznego ~>
Prawa Kubusia dla operatora chaosu p|~~>q:
p=>q = ~p~>~q =0 - bo nie ma warunku wystarczającego =>
p~>q = ~p=>~q =0 - bo nie ma warunku wystarczającego =>
8.3 Zdanie zawsze prawdziwe = matematyczny bełkot
Definicja zdania zawsze prawdziwego w zbiorach:
Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest zawsze prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe są wszystkie cztery zdania cząstkowe kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Definicja zdania zawsze prawdziwego w zdarzeniach:
Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest zawsze prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe są wszystkie cztery zdania cząstkowe kodowane zdarzeniem możliwym ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zdanie zawsze prawdziwe = matematyczny bełkot czyli brak gwarancji matematycznej => w jakimkolwiek z czterech możliwych zdań cząstkowych ABCD.
8.3.1 Zdanie zawsze prawdziwe w zdarzeniach zrozumiałe dla 5-cio latka
Koronny przykład matematycznego bełkotu zrozumiały do 5-cio latka.
Weźmy analizę zdania zawsze prawdziwego w zdarzeniach.
Pani w przedszkolu może wypowiedzieć dowolne ze zdań ABCD:
A.
Jutro może ~~> pójdziemy do kina
J~~>K =1 - zdarzenie możliwe
B.
Jutro może ~~> nie pójdziemy do kina
J~~>~K =1 - zdarzenie możliwe
C.
Nie jutro może ~~> nie pójdziemy do kina
~J~~>~K =1 - zdarzenie możliwe
D.
Nie jutro może ~~> pójdziemy do kina
~J~~>K =1 - zdarzenie możliwe
Oczywiście w praktyce żadna pani przedszkolanka nie wypowie ciurkiem zdań ABCD połączonych spójnikiem „lub”(+)
Sensowne zdania, pomimo matematycznego bełkotu (zdanie zawsze prawdziwe) mogą tu być takie.
Pani w przedszkolu:
1.
Jutro (J) może ~~> pójdziemy do kina (K)
Zdanie tożsame:
Możliwe ~~> że jutro pójdziemy do kina
J~~>K =1 - możliwe jest jednoczesne zdarzeń: jutro (J) i idziemy do kina (K)
Co w logice jedynek oznacza:
(J=1)~~>(K=1)
Zdarzenie możliwe, zatem zdanie 1 jest prawdziwe
Jaś lat 5:
… a nie jutro?
2.
Obliczamy ~J negując zmienne i wymieniając spójniki na przeciwne
~J~~>~K
Czytamy:
Nie jutro (~J) może ~~> nie pójdziemy do kina
~J~~>~K =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń: nie jutro (~J) i nie idziemy do kina (~K)
Co w logice jedynek oznacza:
(~J=1)~~>(~K=1) =1
Wspólna dziedzina dla zdań 1 i 2 to wszystkie dni od chwili wypowiedzenia zdania do nieskończoności.
W takiej dziedzinie na 100% => wydarzy się że dzieci pójdą do kina lub nie pójdą do kina
Zauważmy, że w zdaniu 1 intencją pani jest zasygnalizowanie dzieciom co może ~~> się wydarzyć jutro.
Pani sugeruje tu dzieciom, że rozważa możliwość jutrzejszego pójścia do kina ale nie jest tego w 100% pewna.
Zauważmy, że w odpowiedzi 2 pani równie dobrze może powiedzieć:
Jaś lat 5:
… a nie jutro?
Pani:
2’
Nie jutro (~J) również możemy ~~> pójść do kina
~J~~>K =1
Może się zdarzyć (=1) że nie jutro (~J) możemy ~~> pójść do kina
Zauważmy, że może zajść zdarzenie 2 lub 2’:
2: ~J~~>K =1
„lub”(+)
2’: ~J~~>~K=1
Chwilą czasową są tu wszystkie dni które mogą nadejść z wykluczeniem dnia jutrzejszego.
Zachodzi rozłączność zdarzeń K i ~K:
K*~K = [] =0 - nie możemy jednocześnie być w kinie i nie być w kinie
K+~K =D =1 - wszystkie możliwe zdarzenia związane z pójściem do kina
Z powyższego wynika, że:
A.
Jeśli „nie jutro” (w dniu A) pójdziemy do kina to prawdziwe będzie zdanie 2 i fałszywe 2’
B.
Jeśli natomiast „nie jutro” (w dniu B) nie pójdziemy do kina to prawdziwe będzie zdanie 2’ i fałszywe zdanie 2.
Oczywistym jest ze w tym przypadku A i B to dwa różne dni z palety dni dostępnych w przyszłości.
Powtórzmy:
W zdaniu 1 intencją pani jest powiedzenie dzieciom co może ~~> się wydarzyć jutro.
Pani sugeruje tu dzieciom, że rozważa możliwość jutrzejszego pójścia do kina ale nie jest tego w 100% pewna.
Ta wytłuszczona część zdania generuje nam zdanie 1A matematycznie tożsame do zdania 1.
Pani w przedszkolu:
1A.
Jutro (J) może ~~> pójdziemy do kina (K=1) lub może ~~> nie pójdziemy do kina (~K)
J~~>K+~K =1 - zdanie zawsze prawdziwe (matematyczny bełkot)
Zauważmy, że tu w następniku mamy twardą jedynkę zatem w tym przypadku zdanie jest jawnie zawsze prawdziwe w obrębie dnia jutrzejszego.
W zdaniu 1 pani powiedziała dokładnie to samo co w zdaniu 1A.
Jedyna różnica jest tu taka, że w zdaniu 1 nie widać zdania zawsze prawdziwego w sposób jawny.
Matematycznie zachodzi tożsamość zdań:
1=1A
Stąd mamy:
jutro może pójdziemy do kina = Jutro może pójdziemy do kina lub może nie pójdziemy do kina
Stąd mamy:
może = może lub nie może
X = X+~X
Oczywistym jest że takie „kwiatki” (sprzeczne z algebrą Boole’a) możliwe są wyłącznie w zdaniu zawsze prawdziwym jak zdania wypowiedziane przez panią przedszkolankę 1=1A.
Zdanie 1 już matematycznie analizowaliśmy, zajmijmy się teraz matematyczną analizą zdania 1A
1A.
Jutro może ~~> pójdziemy do kina lub może ~~> nie pójdziemy do kina
J~~>(K+~K) =1 - zdarzenie możliwe i jednocześnie w 100% pewne
Ta 100% pewność generuje nam tu prawdziwy warunek wystarczający =>.
1A’
Jutro na 100% => pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
J=>(K+~K) =1 - zdanie zawsze prawdziwe typu „matematyczny bełkot”
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo jutro na 100% => pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1)
Jas lat 5.
.. a nie jutro?
Pani:
2A.
Nie jutro (~J) również może ~~> pójdziemy do kina (K) lub może ~~> nie pójdziemy do kina
~J~~> K+~K =1 - zdarzenie możliwe i jednocześnie w 100% pewne
Ta 100% pewność generuje nam tu prawdziwy warunek wystarczający =>.
2A’
Nie jutro (~J) na 100% pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
~J=>K+~K =1 - zdanie zawsze prawdziwe typu „matematyczny bełkot”
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo „nie jutro” na 100% => pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1)
Zauważmy że zdania 1A’ i 2A’ są zawsze prawdziwe ale każde w swojej poddziedzinie.
Zdanie 1A’ jest zawsze prawdziwe dla „jutro” (J) natomiast zdanie 2A’ jest zawsze prawdziwe dla „nie jutro” (~J)
Definicja wspólnej dziedziny dla zdań 1A’ i 2A’
D = wspólna dziedzina to wszystkie dni od chwili wypowiedzenia zdania do nieskończoności
Matematycznie zachodzi tu definicja dziedziny:
J+~J =1 - dni „nie jutro” (~J) są uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla dnia jutrzejszego (J)
J*~J =[] =0 - zdarzenia które wystąpią „jutro” są rozłączne ze zdarzeniami które zajdą „nie jutro”
Zauważmy, że w świecie martwym i matematyce mamy tu identycznie.
Oczywiście pod warunkiem że uprzednio udowodnimy iż mamy do czynienia z operatorem chaosu p|~~>q czyli ze zdaniem zawsze prawdziwym.
8.3.2 Zdanie zawsze prawdziwe w zbiorach = matematyczny bełkot
Definicja zdania zawsze prawdziwego w świecie martwym (w tym w matematyce):
Zdanie warunkowej „Jeśli p to q” jest zawsze prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy jest częścią operatora chaosu p|~~>q
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
Stąd mamy definicję operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
Operator chaosu p|~>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p|~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0) =1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Weźmy zdanie:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
Na początek musimy udowodnić, iż zdanie A rzeczywiście wchodzi w skład operatora chaosu P8|~~>P3.
Przyjmijmy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd obliczamy początkowe wartości wszystkich możliwych przeczeń zbiorów:
P8=[8,16,24..]
P3=[3,6,9..]
~P8=[LN-P8] =[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P3=[LN-P3]=[1,2..4,5..7,8..]
Aby udowodnić iż mamy tu do czynienia z operatorem chaosu P8|~~>P3 wystarczy udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Tu wszystkie dowody są trywialne, wybierzmy zdania A1 i B3.
A1: P8=>P3
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=>P3 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 3, bo zbiór P8 nie jest podzbiorem => P3.
Dowód na kilku pierwszych elementach:
P8=[8,16,24..] => P3=[3,6,9..] =0
Liczba 8 należy do zbioru P8 i nie należy do zbioru P3
cnd
B3: P3=>P8
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 3 to na 100% => jest podzielna przez 8
P3=>P8 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 3 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8, bo zbiór P3 nie jest podzbiorem => P8.
Dowód na kilku pierwszych elementach:
P3=[3,6,9..] => P8=[8,16,24 ..] =0
Liczba 3 należy do zbioru P3 i nie należy do zbioru P8
cnd
Stąd mamy pewność że nasze zdanie A: P8~~>P3 wchodzi w skład operatora chaosu P8|~~>P3.
W tym momencie analizę symboliczną operatorach chaosu P8|~~>P3 według szablonu matematycznego może wykonać komputer.
Analiza matematyczna zdania A przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
P8~~>P3 =1 bo 24
Co w logice jedynek oznacza:
(P8=1)~~>(P3=1) =1
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
P8~~>~P3 =1 bo 8
Co w logice jedynek oznacza:
(P8=1)~~>(P3=1) =1
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
~P8~~>~P3 =1 bo 2
Co w logice jedynek oznacza:
(~P8=1)~~>(~P3=1) =1
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
~P8~~>P3 =1 bo 3
co w logice jedynek oznacza:
(~P8=1)~~>(P3=1)=1
Nawiązując do przykładu wyżej, po udowodnieniu iż mamy do czynienia z operatorem chaosu P8|~~>P3 co udowodniono wyżej możemy zapisać zdania zawsze prawdziwe AB i CD
AB.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
P8~~>P3 =1 bo 24
Możemy zapisać co następuje:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100%=> jest podzielna przez 3 (zdanie A) lub nie jest podzielna przez 3 (zdanie B)
P8=> (P3+~P3) =1 - zdanie zawsze prawdziwe (bełkot)
… a jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8?
Na mocy analizy w cytacie zapisujemy:
CD.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3 (zdanie C) lub nie jest podzielna przez 3 (zdanie D)
~P8 => (P3+~P3) =1 - zdanie zawsze prawdziwe (bełkot)
Identycznie jak w przedszkolu zdania AB i CD są zawsze prawdziwe, ale każde w swojej poddziedzinie.
Zdanie AB jest zawsze prawdziwe w zbiorze P8, natomiast zdanie CD jest zawsze prawdziwe w zbiorze ~P8.
Wspólna dziedzina to:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Spełniona jest tu definicja wspólnej dziedziny zarówno po stronie P8 jak i po stronie P3
P8+~P8 = LN =1
P8*~P8=[] =0
P3+~P3 = LN=1
P3*~P3 =[] =0
9.0 Wzajemne relacje między operatorami implikacyjnymi
Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Matematycznie zachodzi:
(A1: p=>q = ~p+q) <=> (B1: p~>q=p+~q) =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
(A1: p=>q = ~p+q) ## (B1: p~>q = p+~q)
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
| Kod: |
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wzajemne relacja między spójnikami między spójnikami i operatorami implikacyjnymi to relacja różne na mocy definicji ##:
I.
Definicja warunku wystarczającego => w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p+q
##
II.
Definicja warunku koniecznego ~> w rachunku zero-jedynkowym:
p~>q = ~p+q
##
III.
Operator równoważności p|<=>q to złożenie spójnika równoważności w logice dodatniej p<=>q (bo q) i ujemnej ~p<=>~q (bo ~q):
1.
Kiedy zajdzie p?
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*q + ~p*~q
Definiuje tożsamość zbiorów (pojęć): p=q
2.
Kiedy zajdzie ~p?
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = p*q+~p*~q
Definiuje tożsamość zbiorów (pojęć): p=q
##
IV.
Operator implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~p*q
##
V.
Operator implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*~q
##
VI.
Operator chaosu p|~~>q:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 6:52, 18 Cze 2020, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
