ŚFiNiA

rafal3006

AK2 Algebra Kubusia - zdania warunkowe

Uwaga 1:
Brakujące części: implikacja, operator chaosu, obietnice i groźby
Zostaną dopisane wkrótce

Uwaga 2
Rozumiem już w 100% co oznacza ta definicja implikacji prostej |=>:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = ~p*q
Wyprowadzenie:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
cnd

Powyższe odkrycie uważam za najważniejsze w całej historii rozszyfrowywania algebra Kubusia bo jest ostatnim z niezliczonej liczby wielkich odkryć.
Szczegóły wkrótce jak znajdę czas na dokończenie AK - na razie muszę w firmie harować jak wół.

Autor rzeczywisty:
Kubuś - stwórca naszego Wszechświata

Zachodzi matematyczna tożsamość:
Kubuś, stwórca naszego Wszechświata = algebra Kubusia pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

W skład algebry Kubusia wchodzą części:
AK1 Algebra Kubusia - rachunek zero-jedynkowy
AK2 Algebra Kubusia - zdania warunkowe

Podręczniki AK1 i AK2 napisane są w ten sposób, że dla zrozumienia dowolnego z nich w zasadzie nie jest wymagana znajomość drugiego, choć oczywiście, pożądana kolejność czytania to AK1, AK2.

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.

Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuje w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006 - medium
2.
Wuj Zbój
W dyskusji z Wujem zapisałem po raz pierwszy prawa Kubusia mówiące o matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> których nie ma ani na studiach technicznych, ani też na studiach matematycznych.
3.
Fiklit, który poświęcił 7 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat w krzywym zwierciadle zwanym Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol, końcowy tester algebry Kubusia próbujący udowodnić, że algebra Kubusia to gówno a Rafal3006 to debil - lepszego testera nie można sobie wymarzyć.
Rzeczywistość jest dokładnie odwrotna - to Klasyczny Rachunek Zdań jest gównem, a ludzie się nim posługujący to (niedomówienie).

Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2020

Spis treści
1.0 Fundamenty algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych 2
1.1 Kubusiowa teoria zbiorów w pigułce 2
1.1.1 Definicje podzbioru => i nadzbioru ~> 3
1.1.2 Prawa Pustułki 3
1.1.3 Definicja tożsamości zbiorów 4
1.1.4 Równoważność Kukułki 4
1.1.5 Równoważność „albo”($) 5
1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 6
1.2.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 7
1.2.2 Prawo Kobry dla zbiorów 7
1.3 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 7
1.3.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 8
1.3.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 8
1.4 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 8
1.4.1 Prawa Kubusia 11
1.4.2 Prawa Tygryska 11
1.4.3 Prawa kontrapozycji 11
1.5 Operatory implikacyjne 11
1.6 Matematyczne relacje między spójnikami i operatorami implikacyjnymi 15

2.0 Równoważność
2.4 Fizyczna realizacja równoważności w zdarzeniach
2.5 Fizyczna realizacja równoważności z zbiorach

1.0 Fundamenty algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to dowodzenie prawdziwości/fałszywości zdań wypowiadanych przez człowieka.

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>

Definicje elementarne w algebrze Kubusia to:
p~~>q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> (zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach)
p=>q - definicja warunku wystarczającego
p~>q - definicja warunku koniecznego

Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” to podstawowe definicje znaczków ~~>, =>, ~> plus definicja kontrprzykładu.

1.1 Kubusiowa teoria zbiorów w pigułce

Matematyka klasyczna operuje wyłącznie na zbiorach nieskończonych gdzie logika matematyczna to zdania warunkowe „Jeśli p to q” opisujące wzajemne relacje zbiorów p i q.
Dokładnie dlatego musimy znać podstawowe pojęcia dotyczące teorii zbiorów wykorzystywane w logice matematycznej.

1.1.1 Definicje podzbioru => i nadzbioru ~>

Definicja podzbioru =>:
p=>q =1
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q
Innymi słowy:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
inaczej:
p=>q =0 - zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Relacja podzbioru => = warunek wystarczający =>

Definicja warunku wystarczającego => w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p+q

Przykład:
p=[pies, kot] => q=[pies, kot, kura] =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Losuję dowolny element ze zbioru p i mam 100% pewność =>, że ten element będzie w zbiorze q

Definicja nadzbioru ~>
p~>q =1
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
Zajście p jest konieczne ~> do tego aby zaszło q
Zabieram zbiór p i znika mi zbiór q
Inaczej:
p~>q =0
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Relacja nadzbioru ~> = warunek konieczny ~>

Definicja nadzbioru ~> w rachunku zero-jedynkowym:
p~>q = p+~q

Przykład:
p~>q =1
p=[pies, kot, kura] ~> q=[pies, kot] =1 - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zbiór p jest konieczny ~> dla zbudowania zbioru q

1.1.2 Prawa Kukułki

Prawa Kukułki:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego

Prawa Kukułki wynikają bezpośrednio z definicji podzbioru => i nadzbioru ~>
Dowód na przykładzie:
Zdefiniujmy zbiór p
p=[pies, kot]
W oczywisty sposób spełniony tu jest zarówno podzbiór => siebie samego:
p=[pies, kot] => p=[pies, kot] =1 - definicja podzbioru => jest spełniona (=1)
jak i spełniona jest definicja nadzbioru ~> siebie samego:
p=[pies, kot] ~> p=[pies, kot] =1 - definicja nadzbioru ~> jest spełniona (=1)

1.1.3 Definicja tożsamości zbiorów

Definicja tożsamości zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame (=) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i odwrotnie.
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)

Przykład:
p=[pies,kot]
q=[pies,kot]
p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
q=>p =1 - zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
cnd

Bezpośrednio z powyższej definicji wynikają równoważności Kukułki.

1.1.4 Równoważność Kukułki

Matematyczna definicja równoważności w zbiorach (używana w matematyce):
Dwa zbiory są równoważne <=> wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i odwrotnie
p<=>q = (p=>q)(q=>p)

Twierdzenie proste Kukułki:
TPK:
Jeśli zachodzi równoważność p<=>q to na 100% => zachodzi tożsamość zbiorów p=q
p<=>q => p=q =1
Zachodzenie równoważności p<=>q jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła tożsamość zbiorów p=q
Innymi słowy:
Każda równoważność p<=>q prawdziwa wymusza => tożsamość zbiorów p=q

Dowód w zapisach ogólnych:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Dla p=q mamy:
p=>p = ~p+p =1
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
cnd

Twierdzenie odwrotne Kukułki:
TOK:
Jeśli zachodzi tożsamość zbiorów p=q to na 100% => zachodzi równoważność p<=>q
p=q => p<=>q =1
Zachodzenie tożsamości zbiorów p=q jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła równoważność p<=>q
Innymi słowy:
Każda tożsamość zbiorów p=q wymusza => równoważność p<=>q

Dowód:
Dla p=q mamy:
p=p => p<=>p =1
cnd

Stąd mamy:
Równoważność Kukułki dla równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi tożsamość zbiorów p=q
(p<=>q)<=>(p=q) = [TPK: p<=>q => (p=q)]*[TOK: (p=q)=>p<=>q)]
oraz:
Równoważność Kukułki dla zbiorów tożsamych p=q:
Dwa zbiory są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi równoważność p<=>q
(p=q) <=> (p<=>q) = [TOK: (p=q)=>(p<=>q)]*[TPK: p<=>q=>(p=q)]

1.1.5 Równoważność „albo”($)

Równoważność „albo”($) nazywana jest przez ziemian „alternatywą wykluczającą” (XOR) lub sumą „modulo 2”
Zachodzi matematyczna tożsamość:
p$q = ~(p<=>q)
Spójnik „albo”($) jest zatem szczególnym przypadkiem równoważności.
Dowód:
Definicja równoważności <=> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = (p*q)+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~(p<=>q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q = p$q
cnd

Definicja równoważności „albo”($):
Z równoważnością „albo”($) mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy mamy do czynienia z dwoma stanami p i ~p wzajemnie się wykluczającymi lub dwoma zbiorami p i q uzupełniającymi się wzajemnie do dziedziny
p$q = (p=>~q)*(~p=>q)
Gdzie:
$ - symbol spójnika „albo”($)

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Stąd mamy równoważność „albo”($) wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
p$q = (p=>~q)*(~p=>q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
p$q = (p=>~q)*(~p=>q) = p*~q + ~p*q

Przykład w zbiorach:
A.
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) albo ($) kobietą (K=1)
M$K = (A: M=>~K)*(C: ~M=>K)
Mamy tu do czynienia z dwoma zbiorami M i K uzupełniającymi się wzajemnie do dziedziny C (człowiek):
M+K = C - zbiór K jest uzupełnieniem do dziedziny C dla zbioru M (i odwrotnie)
M*K =[] - zbiory M i K są rozłączne
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny:
~M=[C-M] = [M+K-M] = K
Podobnie:
~K=[C-K] = [M+K-K] = M

Stąd mamy:
M$K = (A: M=>M)*(C: K=>K) = 1*1 =1
Bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego:
M=>M =1
K=>K =1

Skorzystajmy z definicji spójnika „albo”($):
M$K = M*~K + ~M*K
Odczytajmy prawą stronę tożsamości:
M$K
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) i nie jest kobietą (~K=1) lub nie jest mężczyzną (~M=1) i jest kobietą (K=1)
M$K = M*~K +~M*K
Powyższe zdanie rozumie każdy 5-cio latek.
Doskonale tu widać 100% zgodność matematyki z językiem potocznym.

W języku potocznym zamiast spójnika „albo”($) najczęściej używamy spójnika „lub”(+).
Dla naszego mózgu jest to bez znaczenia bowiem pełna definicja spójnika „lub”(+) jest następująca:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Podstawiając nasz przykład mamy:
M+K = M*K + M*~K + ~M*K := M*~K + ~M*K = M$K
Gdzie:
:= - minimalizacja równania na mocy teorii zbiorów
M*K =[] =0 - bo żaden człowiek nie jest równocześnie mężczyzną i kobietą (zbiory M i K są rozłączne)

1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q=p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

1.2.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Inaczej:
p~~>~q = p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

1.2.2 Prawo Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.

1.3 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

1.3.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

1.3.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.

1.4 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Dowolne definicje mamy prawo przyjmować wedle swego „widzi mi się” - ważne jest jak to moje „widzi mi się” pasuje do otaczającej nas rzeczywistości.
Przyjęte niżej zero-jedynkowe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> pasują perfekcyjnie do otaczającej nas rzeczywistości co oznacza, że nikt nie znajdzie kontrprzykładu, gdzie definicje te się załamują (źle działają). Prawda jest taka, że kluczowe definicje spójników => i ~> wyprowadziłem z ich definicji zero-jedynkowych, co wkrótce zobaczymy.
Póki co przyjmijmy poniższe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na zasadzie mojego „widzi mi się”

rafal3006

Spis treści
2.0 Równoważność p<=>q 1
2.1 Definicja symboliczna równoważności p<=>q 4
2.2 Definicja zero-jedynkowa równoważności p<=>q 6
2.3 Definicja równoważności <=> w zdarzeniach 7
2.3.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 7
2.3.2 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 8
2.3.4 Ogólna definicja równoważności 9

2.0 Równoważność p<=>q

Cała logika matematyczna stoi na zaledwie trzech znaczkach ~~>, =>, ~> plus definicja kontrprzykładu.

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q=p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Inaczej:
p~~>~q = p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A12: p=>q = ~p~>q
B12: p~>q = ~p=>~q
2.
Prawa Tygryska:
A13: p=>q = q~>p
B13: p~>q = q=>p
3.
Prawa kontrapozycji:
A14: p=>q = ~q=>~p
B14: p~>q = ~q~>~p

Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
RA1B1:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego definiujące równoważność p<=>q to:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Doskonale widać, że aby udowodnić iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
W miejsce A1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Ax zaś w miejsce B1 dowolne zdanie serii Bx.
Wynika z tego, że matematycznie mamy dostępnych 16 tożsamych definicji równoważności z których najpopularniejsze to:

RA1B1:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1
Stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Zajdzie q wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p
Innymi słowy:
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło p

RA1B3:
Matematyczna definicja równoważności p<=>q (używana w matematyce):
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
A1: p=>q =1
B3: q=>p =1
Stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*( B3: q=>p) =1*1 =1
Zajdzie q wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p

RA1B2:
Aksjomatyczna definicja równoważności z której wynika tabela zero-jedynkowa równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) i ujemnej (bo ~q) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1
B2: ~p=>~q =1
Stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1
Zajdzie q wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p

Uwaga na notację:
Jak widzimy, możliwych jest 16 tożsamych definicji równoważności p<=>q.
Matematyczna precyzyjność wymaga od nas by w nazwie równoważności zawarta była informacja z której definicji równoważności aktualnie korzystamy.
Przykładowo, jeśli mówimy o równoważności podstawowej to mamy:
Równoważność podstawowa p<=>q to równoważność zbudowana z członów A1 i B1, co w nazwie równoważności zaznaczamy w ten sposób:
RA1B1 - Równoważność A1 i B1
RA1B1:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
etc

2.1 Definicja symboliczna równoważności p<=>q

RA1B1:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1
Stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Zajdzie q wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p
Innymi słowy:
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło p

Na mocy matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy pełną definicję równoważności:
A 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Ogólna analiza równoważności p<=>q:

rafal3006

Spis treści
2.4 Fizyczna realizacja równoważności <=> w zdarzeniach 1
2.4.1 Równoważność definiująca tożsamość pojeć 3
2.4.2 Prawa Kukułki 7
2.4.3 Definicja znaczka różne # 9
2.4.4 Analiza równoważności aksjomatycznej w zdarzeniach 9
2.4.5 Równoważność typu „albo”(S) w zdarzeniach 12

2.4 Fizyczna realizacja równoważności <=> w zdarzeniach

rafal3006

Spis treści
2.5 Fizyczna interpretacja równoważności p<=>q w zbiorach 1
2.5.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
2.5.2 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 1
2.5.3 Prawo Kobry dla zbiorów 2
2.5.6 Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 7

2.5 Fizyczna interpretacja równoważności p<=>q w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q

2.5.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q=p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

2.5.2 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Inaczej:
p~~>~q = p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

2.5.3 Prawo Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.

2.5.4 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A12: p=>q = ~p~>q
B12: p~>q = ~p=>~q
2.
Prawa Tygryska:
A13: p=>q = q~>p
B13: p~>q = q=>p
3.
Prawa kontrapozycji:
A14: p=>q = ~q=>~p
B14: p~>q = ~q~>~p

2.5.5 Przykład równoważności w zbiorach

Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
RA1B1: p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1

Na mocy matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy pełną definicję równoważności:
A 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Doskonale widać, że aby udowodnić iż mamy do czynienia z równoważnością potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.

Rozważmy twierdzenie proste Pitagorasa TP=>SK:
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Twierdzenie proste Pitagorasa zostało udowodnione wieki temu co oznacza, że zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK=1)
Czyli na mocy definicji znaczka => w zbiorach:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK+1)
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => gwarancja matematyczna =>
Innymi słowy:
W czasie nieskończenie długim, od minus do plus nieskończoności, jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt prostokątny (TP=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż w tym trójkącie będzie zachodziła suma kwadratów (SK=1)
To jest twardy dowód iż nie mamy tu do czynienia z „rzucaniem monetą”, bowiem zawsze, od minus do plus nieskończoności mamy 100% pewność.

Rozważmy twierdzenie odwrotne Pitagorasa SK=>TP:
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
SK=>TP =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa zostało udowodnione wieki temu co oznacza, że zbiór trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP=1)
Czyli na mocy definicji znaczka => w zbiorach:
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1)
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => gwarancja matematyczna =>
Innymi słowy:
W czasie nieskończenie długim, od minus do plus nieskończoności, jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt w którym spełniona jest suma kwadratów (SK=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
To jest twardy dowód iż nie mamy tu do czynienia z „rzucaniem monetą”, bowiem zawsze, od minus do plus nieskończoności mamy 100% pewność.

Stad mamy dowód iż mamy tu do czynienia z równoważnością TP<=>SK.

Matematyczna definicja równoważności (używana w matematyce):
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
RA1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1

Powyższa równoważność definiuje nam tożsamość zbiorów TP=SK:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK
Innymi słowy:
Każdy trójkąt prostokątny (TP=1) jest trójkątem w którym spełniona jest suma kwadratów (SK=1) i odwrotnie.
Czyli:
Zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK=1)
TP=SK

Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony (i odwrotnie)
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony (i odwrotnie)

Przykład:
TP=SK
co matematycznie oznacza:
(TP=1) = (SK=1)
Czytamy:
Trójkąt prostokątny (TP=1) jest tożsamy z trójkątem w którym zachodzi suma kwadratów (SK=1)

Na mocy matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności mamy:
A 1: TP=>SK = 2: ~TP~>~SK [=] 3: SK~>TP = 4: ~SK=>~TP =1
##
B 1: TP~>SK = 2:~TP=>~SK [=] 3: SK=>TP = 4: ~SK~>~TP =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
Podstawowa definicja równoważności TP<=>SK dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
Innymi słowy:
Do tego aby w trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK=1) potrzeba ~> i wystarcza => aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1)
RA1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1

Zauważmy, że w teorii zdarzeń nie mieliśmy żadnych problemów z bezpośrednim dowodem dowolnego zdania warunkowego serii Ax i Bx.
W matematyce, operującej na zbiorach nieskończonych już tak nie jest.
Dowód:
Wypowiedzmy twierdzenie odwrotne Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych B2.
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP=>~SK =1
Dlaczego to jest twierdzenie odwrotne Pitagorasa?
Bo to twierdzenie jest jednym z twierdzeń tożsamości Bx w której jest twierdzenie odwrotne Pitagorasa (B3: SK=>TP)
cnd
Zauważmy, że w tym przypadku dowód wprost, czyli udowodnienie iż w każdym trójkącie nieprostokątnym (~TP=1) nie zachodzi suma kwadratów nie jest tak trywialny jak dowód twierdzenia prostego Pitagorasa (A1: TP=>SK).
Na szczęście nie musimy dowodzić bezpośrednio prawdziwości twierdzenia B2, bowiem po udowodnieniu twierdzenie odwrotnego Pitagorasa (B3: SK=>TP=1) prawdziwość twierdzenia B2 mamy gwarantowaną bo z matematyką się nie dyskutuje, tożsamość logiczna wszystkich zdań serii Bx to rzecz święta.

I.
Analiza możliwych przypadków dla trójkąta prostokątnego (TP=1):

Na mocy matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności mamy:
A 1: TP=>SK = 2: ~TP~>~SK [=] 3: SK~>TP = 4: ~SK=>~TP =1
##
B 1: TP~>SK = 2:~TP=>~SK [=] 3: SK=>TP = 4: ~SK~>~TP =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Mamy:
Matematyczna równoważność dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
RA1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Dla B3 stosujemy prawo Tygryska:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK

Stąd mamy:
Podstawowa definicja równoważności TP<=>SK dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
Innymi słowy:
Do tego aby w trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK=1) potrzeba ~> i wystarcza => aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1)
RA1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1

Równoważność jest przemienna.
Dowód:
RA1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = (B3: SK=>TP)*(A1: TP=>SK) = BB3A1: SK<=>TP
bo spójnik „I”(*) jest przemienny.
cnd

Stąd mamy:
Równoważność dla trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów:
W trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK=1) wtedy i tylko wtedy gdy ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
RB3A1: SK<=>TP = (B3: SK=>TP)*(A1: TP=>SK)
Dla A1 stosujemy prawo Tygryska:
A1: TP=>SK = A3: SK~>TP
Stąd mamy:
RB3A3: SK<=>TP = (B3: SK=>TP)*(A3: SK~>TP)

Podstawowa definicja równoważności SK<=>TP dla trójkątów SK:
W trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) wtedy i tylko wtedy gdy ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
Innymi słowy:
Do tego aby trójkąt był prostokątny (TP=1) potrzeba ~> i wystarcza => aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
RB2A3: SK<=>TP = (B3: SK=>TP)*(A3: SK~>TP)

II.
Analiza możliwych przypadków dla trójkątów nieprostokątnych (~TP=1):

Na mocy matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności mamy:
A 1: TP=>SK = 2: ~TP~>~SK [=] 3: SK~>TP = 4: ~SK=>~TP =1
##
B 1: TP~>SK = 2:~TP=>~SK [=] 3: SK=>TP = 4: ~SK~>~TP =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wystartujmy od naszej udowodnionej równoważności dla trójkątów prostokątnych (TP=1).

Matematyczna równoważność dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
RA1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Zastosujmy prawa kontrapozycji:
A1: TP=>SK = A4: ~SK=>~TP
B3: SK=>TP = B2: ~TP=>~SK
stąd mamy:
RA1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = (A4: ~SK=>~TP)*(B2: ~TP=>~SK) = RB2A4: ~TP<=>~SK

Stąd mamy:
Matematyczna równoważność dla trójkątów nieprostokątnych:
Trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
RB2A4: ~TP<=>~SK = (B2:~TP=>~SK)*(A4:~SK=>~TP) =1*1 =1

Równoważność matematyczna definiuje nam tożsamość zbiorów ~TP=~SK:
~TP=~SK = (B2:~TP=>~SK)*(A4:~SK=>~TP) = RB2A4: ~TP<=>~SK

Dla A4 stosujemy prawo Tygryska:
A4:~SK=>~TP = A2: ~TP~>~SK
Stąd mamy:
RB2A2: ~TP<=>~SK = (B2:~TP=>~SK)*(A2: ~TP~>~SK)

Podstawowa definicja równoważności dla trójkątów nieprostokątnych:
Trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
Innymi słowy:
Do tego aby w trójkącie nie zachodziła suma kwadratów (~SK=1) potrzeba ~> i wystarcza => aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1)
RB2A2: ~TP<=>~SK = (B2:~TP=>~SK)*(A2: ~TP~>~SK)

Równoważność jest przemienna.
Dowód:
RB2A4: ~TP<=>~SK = (B2:~TP=>~SK)*(A4:~SK=>~TP) = (A4: ~SK=>~TP)*(B2:~TP=>~SK) = RA4B2: ~SK<=>~TP
bo spójnik „I”(*) jest przemienny.
cnd
Stąd mamy:
RA4B2: ~SK<=>~TP = (A4:~SK=>~TP)*(B2:~TP=>~SK)

Równoważność matematyczna dla trójkątów w których nie zachodzi suma kwadratów:
W trójkącie nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1) wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt ten nie jest prostokątny (~TP=1)
RA4B2: ~SK<=>~TP = (A4:~SK=>~TP)*(B2:~TP=>~SK)=1*1 =1
Dla B2 stosujemy prawo Tygryska:
B2:~TP=>~SK = B4: ~SK~>~TP
Stąd mamy:
RA4B4: ~SK<=>~TP = (A4:~SK=>~TP)*(B4:~SK~>~TP)

Podstawowa definicja równoważności dla trójkątów w których nie zachodzi suma kwadratów:
W trójkącie nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1) wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt ten nie jest prostokątny (~TP=1)
Innymi słowy:
Do tego aby trójkąt nie był prostokątny (~TP=1) potrzeba ~> i wystarcza => aby w tym trójkącie nie zachodziła suma kwadratów (~SK=1)
RA4B4: ~SK<=>~TP = (A4:~SK=>~TP)*(B4:~SK~>~TP)

2.5.6 Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicję spójnika „wtedy i tylko wtedy” wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+) można łatwo wyprowadzić korzystając z definicji znaczków => i ~>.
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = ~p=>~q = p+~q
Stąd mamy:
Y = p<=>q =(A1: p=>q)*( B2: ~p=>~q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q=p*q+~p*~q
1.
Y = p<=>q = p*q+~p*~q
co w logice jedynek (logice człowieka) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Funkcję logiczną ~Y generujemy przechodząc do logiki ujemnej metodą Wuja Zbója:
a)
Uzupełniamy brakujące nawiasy
Y = p<=>q = (p*q)+(~p*~q)
b)
Przechodzimy do logiki ujemnej (bo ~Y) negując zmienne i wymieniając spójniki na przeciwne:
~Y = ~(p<=>q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q+~p*q
2.
~Y = ~(p<=>q) = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek (logice człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

W języku potocznym definicja spójnika „wtedy i tylko wtedy” wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+) mówi nam kiedy ktoś wypowiadający spójnik „wtedy i tylko wtedy” dotrzyma słowa (Y=1) a kiedy skłamie (~Y=1)

Przykład:
Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru (T=1)
Y = K<=>T = K*T + ~K*~T
co w logice jedynek (logice człowieka) oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1 lub ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*T =1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
„lub”(+)
~K*~T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

… a kiedy panie skłamie (~Y=1)?
2.
~Y=~(K<=>T) = K*~T + ~K*T
co w logice jedynek (logice człowieka) oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
„lub”(+)
~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Zauważmy, że obie odpowiedzi Y i ~Y wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) są doskonale rozumiane przez człowieka.