 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35367
Przeczytał: 21 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Nie 20:24, 23 Cze 2019 Temat postu: AK III Kubusiowa teoria zdarzeń |
|
|
Algebra Kubusia
Część III
Kubusiowa teoria zdarzeń
Autor rzeczywisty:
Kubuś - stwórca naszego Wszechświata
Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele
Krasnoludki rysował:
Krzysztof Ducki
W skład algebry Kubusia wchodzi pięć części:
Część I
Algebra Kubusia - Kubusiowy rachunek zero-jedynkowy
Część II
Algebra Kubusia - Kubusiowa teoria zbiorów
Część III
Algebra Kubusia - Kubusiowa teoria zdarzeń
Część IV
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego człowieka
Część V
Algebra Kubusia w pigułce
Podręczniki I-V napisane są w ten sposób, że dla zrozumienia dowolnego z nich w zasadzie nie jest wymagana znajomość pozostałych, choć oczywiście, pożądana kolejność czytania to I, II, III, IV, V
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.
Szczególnie dziękuję cierpliwemu Fiklitowi za 7 letnią dyskusję, bez niego o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć.
Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2019
Część III
Kubusiowa teoria zdarzeń
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
Rozdziały części III algebry Kubusia:
1.0 Notacja
2.0 Teoria zdarzeń
3.0 Operator chaosu p|~~> w zdarzeniach
4.0 Implikacja proste p|=>q w zdarzeniach
5.0 Implikacja odwrotna p|~>q w zdarzeniach
6.0 Równoważność p<=>q w zdarzeniach
7.0 Matematyczne definicje operatorów logicznych w zdarzeniach
Spis treści
1.0 Notacja 4
1.1 Fundamenty teorii zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach 5
1.1.1 Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów 6
1.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 6
1.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 6
1.2 Fundamenty teorii zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach 7
1.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 7
1.2.2 Definicja warunku wystarczającego => zdarzeniach 7
1.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 7
Wstęp:
Kubusiowa teoria zdarzeń jest odpowiednikiem Kubusiowej teorii zbiorów.
W Kubusiowej teorii zbiorów jest tak:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na 100% jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Jest fizycznie niemożliwym aby wykonać dowód tego twierdzenia przez iterowanie, czyli pobierać kolejne elementy ze zbioru P8 (których jest nieskończenie wiele) i sprawdzać czy każdy z nich jest także w zbiorze P2.
Fundamentalnie prostszy jest dowód zachodzącego warunku wystarczającego => w teorii zdarzeń.
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach
[link widoczny dla zalogowanych]
Fizyczna realizacji operatora implikacji prostej p|=>q w teorii zdarzeń:
W laboratorium fizyki człowiek widzi banalny układ elektryczny z diodą świecącą q i swoim przyciskiem p włączającym/wyłączającym świecenie diody LED.
Z implikacją prostą p|=>q mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy równolegle do przycisku p podłączony jest przycisk krasnoludka prostego KP który mając wolną wolę może sobie przycisk KP włączać i wyłączać do woli.
W laboratorium człowiek nie widzi ani krasnoludka, ani jego przycisku KP.
W praktyce za krasnoludka może tu robić oddział 3 latków które w sąsiednim pokoju zabawiają się przyciskiem KP niewidocznym dla człowieka, widząc tą samą diodę q co widzi człowiek w laboratorium.
Doskonale tu widać, że jeśli człowiek wciśnie swój przycisk p to dioda q na 100% się zaświeci niezależnie od przycisku krasnoludka prostego KP.
Opisuje to zdanie warunkowe „Jeśli p to q”:
A.
Jeśli wcisnę przycisk p to mam gwarancję matematyczną => zaświecenia się diody q
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku p przez człowieka jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby dioda q się zaświeciła.
Zauważmy, że implementacja i zrozumienie warunku wystarczającego => w laboratorium fizycznym z użyciem krasnoludka prostego jest niebotycznie prostsze niż w matematyce klasycznej gdzie musimy operować na zbiorach nieskończonych z definicji.
Matematyczna, Kubusiowa teoria zbiorów operuje na zbiorach nieskończonych, zatem fizycznie niemożliwym jest udowodnienie warunku wystarczającego => przez iterowanie, czyli sprawdzenie czy każdy element zbioru p należy do zbioru q.
Dokładnie z tego powodu wykłady logiki matematycznej w I klasie LO powinny zaczynać się od Kubusiowej teorii zdarzeń, a nie od Kubusiowej teorii zbiorów.
Aktualna logika matematyczna ziemian jest do bani co trafnie zauważył dr. Marek Kordos w miesięczniku „Delta”:
„Czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat?”
[link widoczny dla zalogowanych]
1.0 Notacja
Definicja aksjomatyki w algebrze Kubusia:
Aksjomatyka to zbiór definicji startowych w obrębie danej teorii.
Aksjomatyka nie musi być minimalna - musi natomiast poprawnie opisywać otaczającą nas rzeczywistość w obrębie danej teorii. Przykładowo, studentowi informatyki nie są potrzebne wiadomości w temacie „technologia wykonania mikroprocesora” mimo że programy pisze na komputerze którego sercem jest mikroprocesor. Co więcej, aksjomatyka może być na poziomie abstrakcyjnym jeśli takie podejście ułatwia zrozumienie teorii. Przykładowo w „Teorii zdarzeń” sięgnąłem po krasnoludki znakomicie ułatwiające zrozumienie teorii młodemu człowiekowi. Zauważmy, że minimalizacja aksjomatyki w sensie bezwzględnym (wszystko ma swoją przyczynę) niechybnie zaprowadzi nas do Wielkiego Wybuchu.
Aksjomatyka algebry Kubusia:
Aksjomatyka algebry Kubusia to teoria zbiorów wyłożona w części II algebry Kubusia:
„Algebra Kubusia - Kubusiowa teoria zbiorów”
Za aksjomatykę algebry Kubusia można też uznać zero-jedynkową tabelę szesnastu możliwych definicji spójników logicznych używanych w języku potocznym człowieka plus banalne zasady rachunku zero-jedynkowego z którego wynikają prawa logiki matematycznej.
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.
Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja
Definicja funkcji logicznej dwóch zmiennych binarnych:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q to:
| Kod: |
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
p q Y
A: 1 1 x
B: 1 0 x
C: 0 1 x
D: 0 0 x
Gdzie:
x=[0,1]
|
Z definicji funkcji logicznej wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
| Kod: |
T1
Wszystkie możliwe dwuargumentowe funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y)
|Grupa I |Grupa II |Grupa III | Grupa IV
|Spójniki |Spójniki typu |Spójniki przeciwne | Wejścia
|„i”(*) i „lub” |Jeśli p to q |do grupy II | p i q
| Y Y | Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y
p q | * + | ~* ~+ | => ~> <=> ~~>| ~=> ~(~>) $ ~(~~>)| p q ~p ~q
A: 1 1 | 1 1 | 0 0 | 1 1 1 1 | 0 0 0 0 | 1 1 0 0
B: 1 0 | 0 1 | 1 0 | 0 1 0 1 | 1 0 1 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 | 0 1 | 1 0 | 1 0 0 1 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0
D: 0 0 | 0 0 | 1 1 | 1 1 1 1 | 0 0 0 0 | 0 0 1 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
|
W tabeli T1 po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
Algebra Kubusia to dwa wyróżnione elementy [0,1] plus elementarne znaczki logiki matematycznej.
Elementarne znaczki logiki matematycznej to:
1: (~) - negacja
2: (*) - spójnik „i”(*)
3: (+) - spójnik „lub”(+)
4: (~~>) - zdarzenie możliwe ~~> (w zbiorach element wspólny zbiorów)
5: (=>) - warunek wystarczający =>
6: (~>) - warunek konieczny ~>
7: (<=>) - równoważność <=>
8: ($) - spójnik „albo”($)
Interpretacja elementarnych znaczków logiki matematycznej w języku potocznym człowieka:
1: (~) - przedrostek „NIE” w języku potocznym człowieka, negacja zmiennej binarnej, ~p
2: (*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym człowieka. p*q
3: (+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym człowieka, p+q
4: (~~>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnioną definicją elementu wspólnego zbiorów p~~>q lub zdarzenie możliwe p~~>q
5: (=>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym p=>q
6: (~>) - spójnik „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem koniecznym p~>q
7: (<=>) - spójnik „wtedy i tylko wtedy” (wtw) w języku potocznym człowieka, równoważność p<=>q
8: ($) - spójnik „albo”($) w języku potocznym człowieka. p$q
KONIEC!
W algebrze Kubusia elementarnych znaczków w logice matematycznej jest osiem i tylko osiem.
1.1 Fundamenty teorii zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach
Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to dowodzenie prawdziwości/fałszywości zdań wypowiadanych przez człowieka.
Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>
Definicje elementarne w algebrze Kubusia to:
p~~>q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> (zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach)
p=>q - definicja warunku wystarczającego
p~>q - definicja warunku koniecznego
1.1.1 Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q=p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3=P8*P3 =1 bo 24
Definicja elementu wspólnego zborów ~~> spełniona (=1) bo zbiory P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9,12,15,18,21,24..] mają element wspólny
1.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna prze 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24…] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
1.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
1.2 Fundamenty teorii zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach
1.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P = CH*P =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) bo możliwy jest przypadek „są chmury” (CH=1) i „pada” (P=1)
1.2.2 Definicja warunku wystarczającego => zdarzeniach
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% będzie pochmurno
P=>CH =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zawsze gdy pada, są chmury
1.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są konieczne ~> aby jutro padało bo jak nie ma chmur to na 100% => nie pada
Prawo Kubusia wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym => samo nam tu wyskoczyło.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 7:47, 01 Kwi 2020, w całości zmieniany 8 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35367
Przeczytał: 21 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 20:26, 23 Cze 2019 Temat postu: |
|
|
Spis treści
2.0 Teoria zdarzeń 1
2.1 Definicje elementarne znaczków =>, ~> i ~~> 1
2.1.1 Zdjęcie układu w zdarzeniach 2
2.1.2 Warunki wystarczające => i konieczne ~> w rachunku zero-jedynkowym 2
2.1.3 Definicje operatorów implikacyjnych 5
2.0 Teoria zdarzeń
Czyli:
Fizyczna realizacja operatorów logicznych w zdarzeniach
Na przykładzie sterowania diodą świecącą LED
2.1 Definicje elementarne znaczków =>, ~> i ~~>
Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli p to q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli p to q
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
2.1.1 Zdjęcie układu w zdarzeniach
Zdjęcie układu w zdarzeniach:
Zdjęciem układu w zdarzeniach nazywamy analizę zdania warunkowego „Jeśli p to q” definicją zdarzenia możliwego ~~>
A.
Jeśli p to q
p~~>q = p*q =?
Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q?
p~~>q =p*q =1 - TAK
Inaczej:
p~~>q=p*q =0 - NIE
| Kod: |
Zdjęcie układu w zdarzeniach
A: p~~> q= p* q =?
B: p~~>~q= p*~q =?
C:~p~~>~q=~p*~q =?
D:~p~~> q=~p* q =?
p~~>q=p*q=1 - gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q=0
|
2.1.2 Warunki wystarczające => i konieczne ~> w rachunku zero-jedynkowym
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wynikają z rachunku zero-jedynkowego gdzie warunki te zdefiniowane są następująco.
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 0 1
D: 0 1 1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 0 1
D: 0 1 0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
|
W obu definicjach p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Kolumny wynikowe są różne, z czego wynika różność powyższych tabel na mocy definicji:
p=>q ## p~>q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki miedzy warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
| Kod: |
Tabela A
Matematyczne związki znaczków => i ~>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1
1 2 3 4 5
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
| Kod: |
Tabela B
Matematyczne związki znaczków ~> i =>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0
1 2 3 4 5
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame)
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Podsumowanie:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Matematycznie zachodzi:
A: p=>q = ~p+q ## B: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Czyli:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej przy pomocy którego jakiś człon z tożsamości A stałby się tożsamy z którymkolwiek członem w tożsamości B. Gdyby tak się stało to logika matematyczna leży w gruzach.
Z powyższego układu równań mamy podstawowe prawa logiki matematycznej do codziennego stosowania.
Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne
Interpretacja dowolnego prawa logicznego
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Prawa Tygryska:
Prawa Tygryska wiążą warunek wystarczający => i konieczny ~> z zamianą p i q
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne
Prawa kontrapozycji:
W prawach kontrapozycji negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami.
Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~q=>~q
q=>p = ~p=>~q
Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
p~>q = ~q~>~p
q~>p = ~p~>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego => lub ~>.
2.1.3 Definicje operatorów implikacyjnych
Do operatorów implikacyjnych obsługujących zdania warunkowe „Jeśli p to q” zaliczamy:
I.
Operator chaosu p|~~>q:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1=1
II.
Operator implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
III.
Operator implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
IV.
Operator równoważności p<=>q:
p<=>q = (p~>q)*(p=>q) = 1*1 =1
I.
Definicja operatora chaosu p|~~>q
Operator chaosu p|~~>q to pokazanie jednego zdarzenia możliwego p~~>q oraz nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
p~~>q =p*q=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów (lub zdarzenie możliwe)
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = (p~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
Na mocy definicji operatora chaosu p|~~>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią operatora chaosu p|~~> potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość zdania p~~>q oraz udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii A1234 i fałszywość dowolnego zdania serii B1234
II.
Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii B1234
III.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
Na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii A1234
IV.
Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
Na mocy definicji równoważności p<=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35367
Przeczytał: 21 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 20:27, 23 Cze 2019 Temat postu: |
|
|
3.0 Operator chaosu p|~~>q w zdarzeniach
Spis treści
3.0 Operator chaosu p|~~>q 1
3.1 Zdjęcie operatora chaosu p|~~>q 3
3.2 Komputerowa symulacja operatora chaosu p|~~>q 4
3.3 Analiza operatora chaosu spójnikiem ~~> 6
3.4 Matematyczna definicja operatora chaosu p|~~>q 7
3.5 Operator chaosu p|~~>q w języku potocznym 8
3.0 Operator chaosu p|~~>q
Stworzenie naszego Wszechświata - dzień pierwszy.
Na początku było: NIC
Kubuś, stwórca naszego Wszechświata rzekł:
Niech stanie się chaos.
.. i stał się chaos p|~~>q
Definicja operatora chaosu p|~~>q
Operator chaosu p|~~>q to pokazanie jednego zdarzenia możliwego p~~>q oraz nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
p~~>q =p*q=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów (lub zdarzenie możliwe)
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = (p~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
Na mocy definicji operatora chaosu p|~~>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią operatora chaosu p|~~> potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość zdania p~~>q oraz udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii A1234 i fałszywość dowolnego zdania serii B1234
Fizyczna realizacja operatora chaosu p|~~>q w zdarzeniach:
[link widoczny dla zalogowanych]
Prąd płynący przez diodę LED (dioda świeci) to:
Id = (E-Uf)/R
Gdzie:
KP=1 - przycisk KP wciśnięty
KO=0 - przycisk KO nie wciśnięty
E=6V - napięcie zasilania
Uf=2V - spadek napięcia na diodzie LED
R=1K - rezystor ograniczający prąd płynący w obwodzie
Id=(E-Uf)/R
Id = (6V-2V)/0,4K = 10mA
Zwarcie diody LED przyciskiem KO (dioda LED zgaszona) zwiększy prąd Id do:
Id=6V-0V/0,4k = 15mA
co jest bez znaczenia dla przycisku KO bowiem z reguły Imax=2500mA.
Jak zrealizować powyższy układ w praktyce?
Należy kupić w sklepie z częściami elektronicznymi:
- koszyczek na cztery baterie paluszki AA
- cztery paluszki AA
- rezystor 390R (0,4k nie są produkowane)
- diodę LED
- trzy dowolne przyciski zwierne (p, KO ,KP)
… i już możemy się bawić, czyli sprawdzać zgodność teorii matematycznej z rzeczywistością.
Zapewne wielu ziemskich matematyków (i nie tylko) na widok dwóch krasnoludków na powyższym schemacie ideowym o imionach Prosty (przycisk KP) i Odwrotny (przycisk KO) przeżyje szok podobny do tego, jaki przeżyła większość księgowych, kiedy to zabrano im liczydła dając w zamian komputery.
Dlaczego Krasnoludki?
Spójrzmy na powyższy schemat ideowy.
Bez krasnoludków byłby tak:
Jeśli niewidoczny dla człowieka przycisk KP zostanie wciśnięty to żarówka na 100% => zaświeci się.
To zdanie rodzi w człowieku niepotrzebną ciekawość.
Kto wciska przycisk KP?
Z krasnoludkami jest tak:
Wiadomym jest, że sam przycisk nie może się wcisnąć. Wcisnąć KP może wyłącznie istota żywa, na przykład krasnoludek. Algebra Kubusia z krasnoludkami w tle jest banalna i zrozumiała dla każdego 5-cio latka.
Fizyczna symulacja istnienia krasnoludków jest bardzo prosta, należy zmontować powyższy układ z jedną dioda LED (q) i trzema przyciskami (p, KO, KP) i dostarczyć tą zabawkę do przedszkola na odział maluchów do lat 3, niech sobie naciskają wszystkie trzy przyciski jak im się podoba. Zadaniem niezależnego obserwatora, matematyka, jest analiza matematyczna faktów które obserwuje.
3.1 Zdjęcie operatora chaosu p|~~>q
Fizyczna realizacja operatora chaosu p|~~>q w zdarzeniach:
[link widoczny dla zalogowanych]
Zróbmy zdjęcie układowi operatora chaosu p|~~>q, czyli potraktujmy układ zdarzeniami możliwymi ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q
| Kod: |
T1
Symboliczna definicja operatora chaosu p|~~>q
to seria czterech zdań A,B,C,D.
Yx=1 - zdanie prawdziwe, sytuacja możliwa (=1)
Yx=0 - zdanie fałszywe, sytuacja niemożliwa (=0)
A: p~~> q= p* q = Ya=1 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED świeci (q=1)
gdy KO=0 i KP=x. Sytuacja możliwa (Ya=1).
LUB
B: p~~>~q= p*~q = Yb=1 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED nie świeci (~q=1)
gdy KO=1 i KP=x. Sytuacja możliwa (Yb=1)
.. a jeśli przycisk p nie jest włączony (~p=1)?
W tym przypadku możliwe są dwie sytuacje:
C:~p~~>~q=~p*~q = Yc=1 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED nie świeci (~q=1)
gdy KO=x i KP=0. Sytuacja możliwa (Yc=1)
LUB
D:~p~~> q=~p* q = Yd=1 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED świeci (q=1)
gdy KO=0 i KP=1. Sytuacja możliwa (Yd=1)
|
Notacja:
p=1 - przycisk p wciśnięty (=1)
p=0 - przycisk p nie wciśnięty (=0)
q=1 - dioda LED świeci (=1)
q=0 - dioda LED nie świeci (=0)
Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(p=0)=(~p=1)
3.2 Komputerowa symulacja operatora chaosu p|~~>q
Algorytm komputerowej symulacji operatora chaosu p|~~>q
| Kod: |
;Po znaku średnika mamy komentarz
;I.
;Program główny.
START:
CALL CHAOS ;Wywołanie procedury operatora chaosu p|~~>q
CALL DELAY200 ;Opóźnienie 200ms dla lepszej obserwacji
JMP START ;Zapętlenie programu głównego
;II.
;Algorytm procedury symulującej operator chaosu p|~~>q:
CHAOS:
CALL STAN_P ;Pobierz stan klawisza p
Jeśli p=0 to skocz do ET1
;Inaczej wykonaj poniższy ciąg rozkazów
;Procedura obsługująca przypadek:
;p=1 - klawisz p wciśnięty
;W tym przypadku stan klawisza Prostego KP jest nieistotny KP=x
CALL GEN(KO) ;Wywołanie generatora liczb losowych dla zmiennej KO
;Wyjście z GEN(KO)
;KO=1 - klawisz Odwrotnego wciśnięty
;KO=0 - klawisz Odwrotnego nie wciśnięty
Jeśli KO=1 to skocz do WYG_LED ;Wygaszenie diody LED (q=0)
;Inaczej wykonaj poniższy ciąg rozkazów
ZAS_LED:
q=1 ;Zaświeć LED
RETURN
WYG_LED:
q=0 ;Wygaś LED
RETURN
;
;Procedura obsługująca przypadek: p=0 - klawisz p nie wciśnięty
ET1:
CALL GEN(KP) ;Wywołanie generatora liczb losowych dla zmiennej KP
;Wyjście z GEN(KP)
;KP=1 - klawisz Prostego wciśnięty
;KP=0 - klawisz Prostego nie wciśnięty
Jeśli KP=0 to skocz do WYG_LED (wygaś diodę LED)
;Inaczej wykonaj poniższy ciąg rozkazów
;KP=1
CALL GEN(KO) ;Wywołanie generatora liczb losowych dla zmiennej KO
;Wyjście z GEN(KO)
;KO=1 - klawisz Odwrotnego wciśnięty
;KO=0 - klawisz Odwrotnego nie wciśnięty
Jeśli KO=0 to skocz do ZAS_LED ;Zaświecenie diody LED (q=1)
;Inaczej wykonaj poniższy ciąg rozkazów
;KO=1 - przycisk KO wciśnięty
JMP WYG_LED ;Wygaszenie diody LED (q=0)
|
| Kod: |
Działanie rozkazów mikroprocesora:
1.
JMP WYG_LED ; Skok bezwarunkowy do adresu WYG_LEG
2.
CALL GEN(KO) ;Wywołanie generatora liczb losowych ustawiającego KO=x
-------
-------
GEN(KO):
Procedura ustawiająca zmienną binarną KO na losowa wartość logiczną:
KO=x
Gdzie:
x=[0,1]
RETURN ;Powrót do pierwszego rozkazu po wywołującym rozkazie CALL
|
3.3 Analiza operatora chaosu spójnikiem ~~>
Zróbmy zdjęcie układu operatora chaosu p|~~>q w postaci serii zdań warunkowych „Jeśli p to q” kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>:
A.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to możliwe ~~> jest świecenie LED q (q=1)
p~~>q = p*q =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Wymagane położenie przycisków KO i KP:
KO=0
KP=x
LUB
B.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to możliwe ~~> jest nie świecenie LED q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Wymagane położenie przycisków KO i KP:
KO=1
KP=x
… a jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1)
(~p=1)=(p=0) - prawo Prosiaczka
C.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> nie świecić LED q (~q=1)
~p~~>~q = ~p*~q =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Wymagane położenie przycisków KO i KP:
KO=x
KP=0
LUB
D.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> świecić LED q (q=1)
~A~~>Z = ~A*Z =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Wymagane położenie przycisków KO i KP:
KO=0
KP=1
| Kod: |
Zdjęcie układu operatora chaosu
Tabela prawdy operatora chaosu p|~~>q w zdarzeniach możliwych ~~>
wraz z kodowaniem zero-jedynkowym
|co w logice |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
|jedynek oznacza |A: p~~>q |
Y | Y | Y | p q p~~>q
A: p~~> q= p* q =1 |( p=1)~~>( q=1) =1 |( p=1)~~>( q=1)=1 | 1~~>1 =1
B: p~~>~q= p*~q =1 |( p=1)~~>(~q=1) =1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~~>0 =1
C:~p~~>~q=~p*~q =1 |(~p=1)~~>(~q=1) =1 |( p=0)~~>( q=0)=1 | 0~~>0 =1
D:~p~~> q=~p* q =1 |(~p=1)~~>( q=1) =1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0~~>1 =1
a b c d e Prawa Prosiaczka 1 2 3
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
|
Tabela ABCD123 to zero-jedynkowa definicja zdarzenia możliwego ~~>.
Nagłówek w tej tabeli pokazuje linię w tabeli symbolicznej ABCDabe względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego, tu względem linii:
A: p~~>q
Operator chaosu p|~~>q to wszystkie cztery linie ABCD:
Zauważmy, że w tabeli ABCDabcde nie ma kontrprzykładu, czyli zdania fałszywego kodowanego zdarzeniem możliwym ~~>
Wyklucza to w operatorze chaosu p|~`>q zarówno warunek wystarczający => jak i warunek konieczny ~>.
p=>q =0
p~>q =0
Stąd spełniona jest definicja operatora chaosu p|~~>q.
Definicja operatora chaosu p|~~>q w zdarzeniach
Operator chaosu p|~~>q to pokazanie jednego zdarzenia możliwego p~~>q oraz nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
p~~>q =p*q=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów (lub zdarzenie możliwe)
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = (p~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
| Kod: |
Tabela prawdy zdarzenia zawsze możliwego ~~>
A: p~~> q= p* q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia p i q
B: p~~>~q= p*~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesna zajście zdarzenia p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia ~p i q
|
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja zdarzenia możliwego ~~>
Wszystko może się ~~> zdarzyć
p q Y=(p~~>q)
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
|
Operator chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q =1
2.
~Y = ~( A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q)=0
Na wyjściu bramki Y mamy twardą jedynkę niezależną wartości logicznych sygnałów p i q.
Dowód:
Y = p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q=~q)
Y = p+~p =1
cnd
Na wyjściu bramki ~Y mamy oczywiście twarde zero niezależnie od wartości logicznych p i q.
3.4 Matematyczna definicja operatora chaosu p|~~>q
Definicja operatora chaosu p|~~>q w zdarzeniach
Operator chaosu p|~~>q to pokazanie jednego zdarzenia możliwego p~~>q oraz nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
p~~>q =p*q=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów (lub zdarzenie możliwe)
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = (p~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
| Kod: |
Tabela prawdy zdarzenia zawsze możliwego ~~>
A: p~~> q= p* q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia p i q
B: p~~>~q= p*~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesna zajście zdarzenia p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia ~p i q
|
Operator chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q =1
2.
~Y = ~( A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q)=0
3.5 Operator chaosu p|~~>q w języku potocznym
Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru lub nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru
Y= K+T + ~K*~T
Domyślna kolejność wykonywania działań w logice matematycznej:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
Sposób I
Udowodnienia iż mamy tu do czynienia z operatorem chaosu K|~~>T:
1.
Y = (K+T) + ~K*~T
Prawo De Morgana:
K+T = ~(~K*~T)
Podstawiając do 1 mamy:
1.
Y = ~(~K*~T) + (~K*~T) =1
cnd
Sposób II
1.
Y = (K+T)+~K*~T
Rozwijamy spójnik „lub”(+) w wyrażeniu (K+T) na równania cząstkowe:
K+T = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
Podstawiając do 1 mamy:
1.
Y = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T + D: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kima (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru
lub
D: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Wszystkie cztery zdarzenia ABCD są wzajemnie rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dowód iż zdarzenia ABCD są wzajemnie rozłączne:
Nie istnieje iloczyn logiczny dowolnych dwóch zdarzeń spośród ABCD który nie byłby zbiorem pustym.
Weźmy przykładowo:
A*B = (K*T)*(K*~T) =[] =0
Bo prawo rachunku zero-jedynkowego:
T*~T =0
Dowód iż zdarzenia ABCD uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
Y = K*T + K*~T + ~K*T + ~K*~T
Y = K*(T+~T) + ~K*(T+~T)
Y = K+~K=1
cnd
Oznacza to, że cokolwiek jutro pani nie zrobi to dotrzyma słowa Y=1.
Nie ma tu żadnych szans na kłamstwo.
Wniosek:
W języku potocznym zdanie zawsze prawdzie typu:
Jutro pójdę do kina lub nie pójdę do kina
Y=K+~K =1
To bełkot którego zdrowy na umyśle człowiek nie używa.
Podobny bełkot:
Jutro pójdę piechotą na Księżyc lub nie pójdę piechotą na Księżyc
Y = PK+~PK =1
To też jest zdanie zawsze prawdziwe.
Identyczny bełkot:
Dowolna liczba jest podzielna przez 2 lub nie jest podzielna przez 2
Y=P2+~P2 =1
To jest twierdzenie matematyczne zawsze prawdziwe.
Jaka jest wartość użyteczna takiego twierdzenia w matematyce?
Wniosek:
Wartość komunikacyjna zdania zawsze prawdziwego jest równa zeru.
Dokładnie dlatego żaden człowiek przy zdrowych zmysłach nie wypowiada zdań zawsze prawdziwych.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 9:27, 28 Wrz 2019, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35367
Przeczytał: 21 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 20:29, 23 Cze 2019 Temat postu: |
|
|
4.0 Implikacja prosta p|=>q w zdarzeniach
Spis treści
4.0 Operator implikacji prostej p|=>q 1
4.1 Zdjęcie operatora implikacji prostej p|=>q 1
4.2 Komputerowa symulacja implikacji prostej p|=>q 3
4.3 Analiza zdjęcia implikacji prostej p|=>q 3
4.4 Zgodność układu fizycznego p|=>q z teorią matematyczną 8
4.5 Dowód istnienia krasnoludków w logice matematycznej 9
4.6 Analiza implikacji prostej p|=>q w spójnikach =>, ~> i ~~> 14
4.7 Matematyczna definicja implikacji prostej p|=>q 16
4.0 Operator implikacji prostej p|=>q
Stworzenie naszego Wszechświata - dzień drugi.
Spojrzał Kubuś na operator chaosu p|~~>q i rzekł:
Nie podoba mi się ten totalny chaos zarówno po stronie p jak i po stronie ~p.
Zabieram Odwrotnemu przycisk KO.
Tak powstał operator implikacji prostej p|=>q z jedną gwarancją matematyczną => po stronie p.
Po stronie ~p dalej będziemy mieć „rzucanie monetą” bo tu Prosty ma przycisk KP i ma wolną wolę, czyli może naciskać ten przycisk jak mu się podoba.
Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii B1234
4.1 Zdjęcie operatora implikacji prostej p|=>q
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach
[link widoczny dla zalogowanych]
Zróbmy zdjęcie układowi implikacji prostej p|=>q, czyli potraktujmy układ zdarzeniami możliwymi ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q
| Kod: |
Zdjęcie układu implikacji prostej p|=>q
to seria czterech zdań A,B,C,D kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>
Yx=1 - zdanie prawdziwe, sytuacja możliwa (=1)
Yx=0 - zdanie fałszywe, sytuacja niemożliwa (=0)
A: p~~> q= p* q = Ya=1 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED świeci (q=1)
Sytuacja możliwa (Ya=1).
B: p~~>~q= p*~q = Yb=0 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED nie świeci (~q=1)
Sytuacja niemożliwa (Yb=0)=(~Yb=1)
.. a jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)?
W tym przypadku możliwe są dwie sytuacje:
C:~p~~>~q=~p*~q = Yc=1 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED nie świeci (~q=1)
gdy Prosty ustawi KP=0. Sytuacja możliwa (Yc=1)
LUB
D:~p~~> q=~p* q = Yd=1 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED świeci (q=1)
gdy Prosty ustawi KP=1. Sytuacja możliwa (Yd=1)
|
Notacja:
p=1 - przycisk p wciśnięty (=1)
p=0 - przycisk p nie wciśnięty (=0)
q=1 - dioda LED świeci (=1)
q=0 - dioda LED nie świeci (=0)
Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(p=0)=(~p=1)
4.2 Komputerowa symulacja implikacji prostej p|=>q
Algorytm komputerowej symulacji implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
; - po znaku średnika mamy komentarz
;I.
;Program główny.
START:
CALL IMP_PROSTA ;Wywołanie procedury operatora implikacji prostej p|=>q
CALL DELAY200 ;Opóźnienie 200ms dla lepszej obserwacji
JMP START ;Zapętlenie programu głównego
;II.
;Algorytm procedury symulującej operator implikacji prostej p|=>q:
IMP_PROSTA:
CALL STAN_P ;Pobierz stan przycisku p
Jeśli p=0 to skocz do ET1
;Inaczej wykonaj poniższy ciąg rozkazów
;Procedura obsługująca przypadek: p=1 - klawisz p wciśnięty
;W tym przypadku stan klawisza Prostego KP jest nieistotny KP=x
ZAS_LED:
q=1 ;Zaświeć LED
RETURN
WYG_LED:
q=0 ;Wygaś LED
RETURN
;
;Procedura obsługująca przypadek: p=0 - klawisz p nie wciśnięty
ET1:
CALL GEN(KP) ;Wywołanie generatora liczb losowych dla zmiennej KP
;Wyjście z GEN(KP)
;KP=1 - klawisz Prostego wciśnięty
;KP=0 - klawisz Prostego nie wciśnięty
Jeśli KP=0 to skocz do WYG_LED (wygaś diodę LED)
;Inaczej wykonaj poniższy ciąg rozkazów
;KP=1
JMP ZAS_LED ;Zaświecenie diody LED (q=1)
|
4.3 Analiza zdjęcia implikacji prostej p|=>q
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach
[link widoczny dla zalogowanych]
Zapiszmy powyższą serię zdań ABCD w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>
A.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to może ~~> świeci się dioda LED q (q=1)
p~~>q =p*q =1 - zdarzenie możliwe
Dowód: patrz schemat ideowy
B.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to możliwe ~~> jest nie świecenie LED q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0 - zdarzenie niemożliwe (=0)
Nie jest możliwe ~~> (=0), że wciśnięty jest przycisk p (p=1) i nie świeci się dioda LED (~q=1)
(~q=1)=(q=0) - prawo Prosiaczka
Dowód: patrz schemat ideowy
Zauważmy, że w przypadku wciśniętego klawisza p (p=1) przycisk krasnoludka Prostego jest blokowany (KP=x), czyli może go sobie włączać i wyłączać bez jakiegokolwiek wpływu na świecenie diody LED.
… a jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1)
(~p=1)=(p=0) - prawo Prosiaczka
C.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> nie świecić LED q (~q=1)
~p~~>~q = ~p*~q =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Wymagane położenie przycisku krasnoludka Prostego KP:
KP=0 - nie wciśnięty (=0)
Dowód: patrz schemat ideowy
Prawa Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
LUB
D.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> świecić LED q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Wymagane położenie przycisku krasnoludka Prostego KP:
KP=1 - wciśnięty (=1)
Dowód: patrz schemat ideowy
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
Zapiszmy serię zdań ABCD w postaci tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
A: p~~> q=1
B: p~~>~q=0
C:~p~~>~q=1
D:~p~~> q=1
|
Matematyczna analiza zdjęcia:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B:
B: p~~>~q=0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: p=> q =1
2.
Prawdziwość warunku wystarczającego => A na mocy prawa Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =1
Nanieśmy to do tabeli T1:
| Kod: |
T1-T2
T1 |T2
A: p~~> q=1 | p=> q =1
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=0
C:~p~~>~q=1 |~p~>~q =1
D:~p~~> q=1 |~p~~>q =1
|
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Nie rozstrzyga czy mamy do czynienie z operatorem implikacji prostej p|=>q o definicji:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q)
czy też z operatorem równoważności p<=>q o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Stąd konieczna jest dalsza analiza matematyczna, bowiem musimy zbadać czy zachodzi warunek konieczny p~>q =?
Z tabeli T2 odczytujemy:
3.
Prawdziwość kontrprzykładu D:
D: ~p~~>q=1
Wymusza fałszywość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie):
C: ~p=>~q =0
4.
Fałszywość warunku wystarczającego => C na mocy prawa Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =0
Nanieśmy to do tabeli:
T1-T2
| Kod: |
T1-T3
T1 |T2 |T3
A: p~~> q=1 | p=> q =1 | p~> q =0
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=0 | p~~>~q=0
C:~p~~>~q=1 |~p~>~q =1 |~p=>~q =0
D:~p~~> q=1 |~p~~>q =1 |~p~~>q =1
|
Dopiero w tym momencie mamy jednoznaczne rozstrzygnięcie iż seria zdań ABCD tworzy definicję implikacji prostej p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Dokładnie tą definicję widać w T2-T3 w linii A.
Tabelę T1-T3 możemy analizować dalej korzystając z praw Tygryska:
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p
Analiza tabeli T2 z wykorzystaniem praw Tygryska:
5.
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego q~>p
A: p=>q = A: q~>p =1
6.
Z prawdziwości warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =1
wynika prawdziwość warunku wystarczającego ~q=>~p:
C: ~p~>~q = C: ~q=>~p =1
Nanieśmy to do naszej tabeli T1-T3
| Kod: |
T1-T4
T1 |T2 |T3 ||T4
A: p~~> q=1 | p=> q =1 | p~> q =0 || q~> p =1
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=0 | p~~>~q=0 ||~q~~>p =0
C:~p~~>~q=1 |~p~>~q =1 |~p=>~q =0 ||~q=>~p =1
D:~p~~> q=1 |~p~~>q =1 |~p~~>q =1 || q~~>~p=1
|
W tabeli T4 prawo Kubusia:
A: q~>p = C: ~q=>~p
nie rozstrzyga czy mamy do czynienia z implikacją odwrotną:
q|~>p = (q~>p)*~(q=>p)
Czy też z równoważnością:
q<~~>p = (q~>p)*(q=>p) = q<=>p
Analizujemy zatem dalej tabelę T4 w kierunku jednoznacznego rozstrzygnięcia prawdziwości/fałszywości warunku wystarczającego:
q=>p=?
7.
Z prawdziwości kontrprzykładu D:
D: q~~>~p =1
Wynika fałszywość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: q=>p =0
8.
Prawo Kubusia:
A: q=>p = C: ~q~>~p
Z fałszywości warunku wystarczającego => A wynika fałszywość warunku koniecznego ~> C
A: q=>p = C: ~q~>~p =0
Nanieśmy to do tabeli T1-T4:
| Kod: |
T1-T5
T1 |T2 |T3 ||T4 |T5
A: p~~> q=1 | p=> q =1 | p~> q =0 || q~> p =1 | q=> p =0
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=0 | p~~>~q=0 ||~q~~>p =0 |~q~~>p =0
C:~p~~>~q=1 |~p~>~q =1 |~p=>~q =0 ||~q=>~p =1 |~q~>~p =0
D:~p~~> q=1 |~p~~>q =1 |~p~~>q =1 || q~~>~p=1 | q~~>~p=1
|
Dopiero w tym momencie w tabelach T4-T5 mamy jednoznaczne rozstrzygnie iż seria zdań ABCD wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej q|~>p
Definicja implikacji odwrotnej q|~>p
Implikacja odwrotna q|~>p to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
q~>p =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
q=>p =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej q|~>p w równaniu logicznym:
q|~>p = (q~>p)*~(q=>p) = 1*~(0) = 1*1 =1
Dokładnie to widać w linii A w tabelach T4-T5.
Doskonale tu widać, że prawo Tygryska spełnione jest także na poziomie operatorów logicznych:
p|=>q = q|~>p
cnd
Podsumowanie:
Na mocy naszej tabeli T1-T5 zapisujemy:
T2: p=>q = ~p~>~q [=] T4: q~>p = ~q=>~p =1
##
T3: p~>q = ~p=>~q [=] T5: q=>p = ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Doskonale widać że w równaniach T2-T4 i T3-T5 zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.
4.4 Zgodność układu fizycznego p|=>q z teorią matematyczną
Doskonale tu widać 100% zgodność naszego układu implikacji prostej p|=>q z teorią ogólną zdań warunkowych „Jeśli p to q”, wynikającą z rachunku zero-jedynkowego.
Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 0 1
D: 0 1 1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
|
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 0 1
D: 0 1 0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
|
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy układ równań A i B wiążący warunki wystarczające => i konieczne ~>:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Matematycznie zachodzi:
A: p=>q = ~p+q ## B: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Czyli:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej przy pomocy którego jakiś człon z tożsamości A stałby się tożsamy z którymkolwiek członem w tożsamości B - gdyby tak się stało to logika matematyczna leży w gruzach.
Doskonale tu widać, że aby udowodnić iż seria zdań ABCD wchodzi w skład implikacji prostej:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q)
potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A oraz fałszywość dowolnego zdania serii B.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
A1: p=>q ## B1: p~>q
## - różne na mocy definicji
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
4.5 Dowód istnienia krasnoludków w logice matematycznej
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
Interpretacja tej definicji w odniesieniu do naszego schematu ideowego:
1.
Jeśli wciśniemy przycisk p (p=1) to zaświeci się dioda LED (q=1)
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku p jest warunkiem wystarczającym => dla zaświecenia się diody LED
Dowód: patrz schemat
2.
Jeśli wciśniemy przycisk p (p=1) to zaświeci się dioda LED (q=1)
p~>q =0
Wciśnięcie przycisku p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenia się diody LED
Dowód:
Dioda LED może się zaświecić mimo nie wciśniętego przycisku p.
Może to zrobić poza naszą świadomością krasnoludek Prosty swoim przyciskiem KP.
Zauważmy, że zdania 1 i 2 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo wszystko matematycznie zachodzi:
1: p=>q ## 2: p~>q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zdanie 2 to twardy dowód na istnienie krasnoludków w logice matematycznej.
Zauważmy, że gdyby na powyższym schemacie nie było krasnoludka Prostego ze swoim przyciskiem KP to wciśnięcie przypisku p byłoby jednocześnie warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> zaświecenia się diody LED.
Byłoby wtedy tak:
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony
p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony
co by oznaczało że mielibyśmy do czynienia z operatorem równoważności p<=>q o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1
a nie z operatorem implikacji prostej p|=>q o definicji:
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Zauważmy, że gdyby przycisk KP istniał w świecie dostępnym człowiekowi to wtedy w zadaniu matematyczno-fizycznym mielibyśmy do czynienia z równoważnością, o implikacji moglibyśmy co najwyżej pomarzyć.
Dowód.
Zadanie matematyczno-fizyczne na maturze z fizyki.
Dany jest schemat układu elektrycznego:
[link widoczny dla zalogowanych]
Dla uproszczenia zapisów dokonano podstawienia:
r=KP
Polecenie:
Zapisz kiedy dioda świeci się (q=1) a kiedy nie świeci się (~q=1)
Rozwiązanie Jasia:
A.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p lub r to na 100% => dioda q się świeci
(p+r)=>q =1
Wciśniecie przycisku p lub r jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby dioda q się świeciła
B.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p lub r to na 100% => dioda q się świeci
(p+r)~>q =1
Wciśniecie przycisku p lub r jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby dioda LED się świeciła
Warunek konieczny ~> jest tu spełniony, bowiem z żadnego innego powodu dioda LED nie ma prawa się świecić.
Zauważmy, że zdania A i B są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo wszystko zachodzi:
A: (p+r)=>q ## B: (p+r)~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd spełniona jest definicja równoważności.
Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
Nasz przykład:
1.
Do tego aby dioda q się świeciła (q=1) potrzeba => i wystarcza ~> aby wciśnięty był przycisk p (p=1) lub przycisk r (r=1)
(p+r)<=>q = [(p+r)~>q]*[(p+r)=>q)] = 1*1 =1
Innymi słowy:
Dioda q świeci się (q=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk p (p=1) lub wciśnięty jest przycisk r (r=1)
q<=>(p+r) = (q~>(p+r)]*[q=>(p+r)]
Zauważmy, że ziemscy matematycy znają tą definicję równoważności:
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)
tylko nie mają pojęcia jak ją zapisać na gruncie rachunku zero-jedynkowego, bowiem nie znają zero-jedynkowych definicji ani warunku wystarczającego =>, ani też warunku koniecznego ~> (patrz poprzedni punkt)
[link widoczny dla zalogowanych]ównoważność
| Wikipedia napisał: |
Równoważność (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym teza jest warunkiem koniecznym ~>, jak i dostatecznym => przesłanki. To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy (wtw), gdy... |
Dowód:
Klikamy na googlach:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 12 600
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 11 800
Klikamy na googlach:
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 9 050
Klikamy na googlach:
„koniecznym i dostatecznym”
Wyników: 2 130
Klikamy na googlach:
„potrzebne i wystarczające”
Wyników: 1 130
Klikamy na googlach:
„wystarczające i konieczne”
Wyników: 2 320
„wystarczającym i koniecznym”
Wyników: 494
Przykład:
[link widoczny dla zalogowanych]
Warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> do opisania okręgu na czworokącie jest to, czy naprzeciwległe kąty sumują się do 180 stopni.
Twierdzenie tożsame:
Opisać okrąg na czworokącie można wtedy i tylko wtedy gdy naprzeciwległe kąty sumują się do 180 stopni.
… a kiedy dioda q nie świeci (~q=1)?
2.
Do tego aby nie świeciła się dioda q (~q=1) potrzeba ~> i wystarcza => by nie był wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie był wciśnięty przycisk r (~r=1)
~p*~r<=>~q = [(~p*~r)=>~q]*[(~p*~r)=>~q)]
Innymi słowy:
Dioda q nie świeci (~q=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie jest wciśnięty przycisk r (~r=1)
~q<=>(~p*~r) = [~q=>(~p*~r)]*[~q~>(~p*~r)]
Podsumowując:
Twardy dowód istnienia krasnoludków w logice matematycznej został właśnie w sposób czysto matematyczny udowodniony.
4.6 Analiza implikacji prostej p|=>q w spójnikach =>, ~> i ~~>
Weźmy jeszcze raz nasz nieśmiertelny schemat ideowy implikacji prostej p|=>q:
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
Tabelę prawdy naszego układu w spójnikach =>, ~> i ~~> wyprowadziliśmy wyżej, to tabela T2.
| Kod: |
T2
Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q
to seria czterech zdań A,B,C,D.
A: p=> q =1 -wciśnięcie p (p=1) jest wystarczające => dla świecenie q (q=1)
B: p~~>~q=0 - wciśnięty p (p=1) i LED nie świeci (~q=1)
sytuacja niemożliwa (Yb=0)
Krasnoludek prosty ze swoim KP jest tu zablokowany (KP=x)
.. a jeśli nie jest wciśnięty p (~p=1)?
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
W tym przypadku możliwe są dwie sytuacje:
C:~p~>~q =1 - nie wciśnięcie p jest konieczne ~> dla nie świecenia LED
tu krasnoludek Prosty na 100% => ustawił KP=0 (rozwarty)
LUB
D:~p~~> q=1 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED świeci (q=1)
tu krasnoludek Prosty na 100% => ustawił KP=1 (zwarty)
|
Zapiszmy powyższą analizę układu implikacji prostej p|=>q w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
A.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to na 100% => świeci się dioda LED (q=1)
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku p (p=1) jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia diody LED (q=1)
Wciśnięcie przycisku p (p=1) daje nam gwarancję matematyczną => świecenia diody LED (q=1)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% => etc,
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A wynika fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
Nie musimy tego sprawdzać, ale możemy.
B.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to może ~~> nie świecić dioda LED (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Ze schematu ideowego widać, że to jest fizycznie niemożliwe, stąd fałszywość zdania B
… a jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1)?
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
stąd:
C.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~> nie świecić dioda LED (~q=1)
~p~>~q =1
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia diody LED (~q=1) bowiem jak wciśnięty jest przycisk p (p=1) to na 100% => świeci się dioda LED (q=1)
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
C: ~p~>~q = A: p=>q =1
Zauważmy, że warunkiem prawdziwości zdania C jest ustawienie przez krasnoludka Prostego przycisku KP w stan:
KP=0 - nie jest (=0) wciśnięty przycisk KP
Dowód: patrz schemat ideowy
LUB
D.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> świecić się dioda LED (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenie możliwe (=1) gdy krasnoludek Prosty ustawi swój przycisk KP w pozycję:
KP=1 - jest (=1) wciśnięty przycisk KP
Dowód: patrz schemat ideowy
Zauważmy że:
1.
Jeśli wciśnięty jest klawisz p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż świeci się dioda LED (q=1)
Mówi o tym zdanie A: p=>q =1
2.
Jeśli nie jest wciśnięty klawisz p (~p=1) to wszystko może się zdarzyć, czyli może ~> nie świecić dioda LED (~q=1) o czym mówi zdanie C lub może ~~> świecić dioda LED (q=1) o czym mówi zdanie D.
Ewidentne „rzucanie monetą” widać tu jak na dłoni.
| Kod: |
Tabela prawdy operatora implikacji prostej p|=>q w spójnikach =>, ~> i ~~> wraz z kodowaniem zero-jedynkowym
|co w logice |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
|jedynek oznacza |A: p=>q |
| | | p q p=>q
A: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1) =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=> 1 =1
B: p~~>~q= p*~q =0 |( p=1)~~>(~q=1) =0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1~~>0 =0
C:~p~> ~q =1 |(~p=1)~> (~q=1) =1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0~> 0 =1
D:~p~~> q=~p* q =1 |(~p=1)~~>( q=1) =1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0~~>1 =1
a b c d e Prawa Prosiaczka 1 2 3
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
|
Tabela ABCD123 to zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>.
Nagłówek w tej tabeli pokazuje linię w tabeli symbolicznej ABCDabe względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego:
A: p=>q
Operator implikacji prostej p|=>q to wszystkie cztery linie ABCD a nie jedna linia A (warunek wystarczający =>)
Nasza tabela spełnia zatem definicję implikacji prostej p|=>q:
4.7 Matematyczna definicja implikacji prostej p|=>q
Do operatorów implikacyjnych obsługujących zdania warunkowe „Jeśli p to q” zaliczamy:
I.
Operator chaosu p|~~>q:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1=1
Operator chaosu p|~~>q omówiony w punkcie 5.2 pomijamy ze względu na brak gwarancji matematycznej => w jego definicji, co czyni go bezużytecznym w jakimkolwiek wnioskowaniu matematycznym.
II.
Operator implikacji prostej p|=>q:
p=>q =1 - definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1)
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie spełniona (=0)
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*`(0) = 1*1 =1
III.
Operator implikacji odwrotnej p|~>q:
p~>q =1 - definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1)
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie spełniona (=0)
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
IV.
Operator równoważności p<=>q:
p~>q =1 - definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1)
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1)
p<=>q = (p~>q)*(p=>q) = 1*1 =1
Co trzeba zapamiętać z naszych rozważań na temat implikacji prostej p|=>q?
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii B1234
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q
| Kod: |
T1
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach możliwych ~~>
A: p~~> q= p* q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
1 2 3
|
Definicję układu fizycznego w zdarzeniach możliwych potrafi wygenerować uczeń I klasy LO, czego dowodem jest nasz schemat elektryczny implikacji prostej p|=>q.
Dalej korzystamy z kluczowej w logice matematycznej definicji kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
| Kod: |
T2.
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach =>, ~> i ~~>
A: p=> q =1 - zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla q
B: p~~>~q= p*~q =0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~> ~q =1 - zajście zdarzenia ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
1 2 3
|
Rozumowanie do zapamiętania:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =1
2.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C
3.
Prawdziwość kontrprzykładu D wymusza fałszywość warunku wystarczającego => C:
C: ~p~>~q =0
4.
Prawo Kubusia:
C: ~p~>~q = A: p=>q
Fałszywość warunku wystarczającego C wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =0
Stąd mamy spełnioną definicję implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A: p=>q)*~(A: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 7:22, 27 Wrz 2019, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35367
Przeczytał: 21 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 20:30, 23 Cze 2019 Temat postu: |
|
|
5.0 Implikacja odwrotna p|~>q w zdarzeniach
Spis treści
5.0 Operator implikacji odwrotnej p|~>q 1
5.1 Zdjęcie operatora implikacji odwrotnej p|~>q 1
5.2 Komputerowa symulacja implikacji odwrotnej p|~>q 3
5.3 Analiza implikacji odwrotnej p|~>q w spójniku ~~> 3
5.4 Zgodność układu fizycznego p|~>q z teorią matematyczną 8
5.5 Analiza implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach ~>, => i ~~> 9
5.6 Matematyczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q 12
5.0 Operator implikacji odwrotnej p|~>q
Stworzenie naszego Wszechświata - dzień trzeci.
Spojrzał Kubuś na powyższą tabelę implikacji prostej p|=>q i rzekł:
W implikacji prostej p|=>q mamy warunek wystarczający => po stronie p i chaos po stronie ~p
Zróbmy odwrotnie, czyli w operatorze chaosu p|~~>q zostawmy krasnoludkowi Odwrotnemu przycisk KO i zabierzmy Prostemu przycisk KP.
Tak powstał operator implikacji odwrotnej p|~>q z chaosem po stronie p, ale z gwarancją matematyczną => po stronie ~p.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
Na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii A1234
5.1 Zdjęcie operatora implikacji odwrotnej p|~>q
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach
[link widoczny dla zalogowanych]
Zróbmy zdjęcie układu implikacji odwrotnej p|~>q, czyli potraktujmy układ zdarzeniami możliwymi ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q
| Kod: |
Zdjęcie układu implikacji odwrotnej p|~>q
to seria czterech zdań A,B,C,D kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>
Yx=1 - zdanie prawdziwe, sytuacja możliwa (=1)
Yx=0 - zdanie fałszywe, sytuacja niemożliwa (=0)
A: p~~> q= p* q = Ya=1 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED świeci (q=1)
Sytuacja możliwa (Ya=1) gdy nie wciśnięty KO=0
B: p~~>~q= p*~q = Yb=1 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED nie świeci (~q=1)
Sytuacja możliwa gdy wciśnięty KO=1
.. a jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)?
W tym przypadku możliwe są dwie sytuacje:
C:~p~~>~q=~p*~q = Yc=1 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED nie świeci (~q=1)
Sytuacja możliwa (Yc=1), stan przycisku KO=x
LUB
D:~p~~> q=~p* q = Yd=0 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED świeci (q=1)
Sytuacja niemożliwa (Yd=0), stan przycisku KO=x
KO=x - stan przycisku KO dowolny 1 albo 0.
|
Notacja:
p=1 - przycisk p włączony (=1)
p=0 - przycisk p nie włączony (=0)
q=1 - dioda LED świeci (=1)
q=0 - dioda LED nie świeci (=0)
Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(p=0)=(~p=1)
5.2 Komputerowa symulacja implikacji odwrotnej p|~>q
Algorytm komputerowej symulacji implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
;Po znaku średnika mamy komentarz
;I.
;Program główny.
START:
CALL IMP_ODWR ;Wywołanie procedury implikacji odwrotnej p|~>q
CALL DELAY200 ;Opóźnienie 200ms dla lepszej obserwacji
JMP START ;Zapętlenie programu głównego
;II.
;Algorytm procedury symulującej operator implikacji odwrotnej p|~>q:
IMP_ODWR:
CALL STAN_P ;Pobierz stan klawisza p
Jeśli p=0 to skocz do ET1
;Inaczej wykonaj poniższy ciąg rozkazów
;Procedura obsługująca przypadek:
;p=1 - klawisz p wciśnięty
CALL GEN(KO) ;Wywołanie generatora liczb losowych dla zmiennej KO
;Wyjście z GEN(KO)
;KO=1 - klawisz Odwrotnego wciśnięty
;KO=0 - klawisz Odwrotnego nie wciśnięty
Jeśli KO=1 to skocz do WYG_LED ;Wygaszenie diody LED (q=0)
;Inaczej wykonaj poniższy ciąg rozkazów
ZAS_LED:
q=1 ;Zaświeć LED
RETURN
WYG_LED:
q=0 ;Wygaś LED
RETURN
;
;Procedura obsługująca przypadek: p=0 - klawisz p nie wciśnięty
ET1:
JMP WYG_LED ;Wygaszenie diody LED (q=0)
;Stan przycisku KO jest nieistotny KO=x
|
5.3 Analiza implikacji odwrotnej p|~>q w spójniku ~~>
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej p|~>q
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Zapiszmy serię zdań ABCD w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>
A.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to może ~~> świeci się dioda LED q (q=1)
p~~>q =p*q =1 - zdarzenie możliwe
Wymagane:
KO=0 - przycisk krasnoludka Odwrotnego nie jest wciśnięty
Dowód: patrz schemat ideowy
LUB
B.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to możliwe ~~> jest nie świecenie LED q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Wymagane:
KO=1 - przycisk krasnoludka Odwrotnego jest wciśnięty (zwiera diodę LED)
Dowód: patrz schemat ideowy
… a jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1)
(~p=1)=(p=0) - prawo Prosiaczka
C.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> nie świecić LED q (~q=1)
~p~~>~q = ~p*~q =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Stan przycisku krasnoludka Odwrotnego jest bez znaczenia:
KO=x
x=0 albo 1
Dowód: patrz schemat ideowy
D.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> świecić LED q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0 - zdarzenie niemożliwe (=0)
KO=x - bez znaczenia
Nie jest możliwe ~~> (=0), że nie jest wciśnięty przycisk p (p=1) i świeci się dioda LED (q=1)
(~q=1)=(q=0) - prawo Prosiaczka
Dowód: patrz schemat ideowy
Zauważmy, że w przypadku nie wciśniętego klawisza p (p=0) przycisk krasnoludka Odwrotnego jest blokowany (KO=x), czyli może go sobie włączać i wyłączać bez jakiegokolwiek wpływu na świecenie diody LED.
Zapiszmy serię zdań ABCD w postaci tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Zdjęcie układu ze schematu R3
A: p~~> q=1
B: p~~>~q=1
C:~p~~>~q=1
D:~p~~> q=0
|
Matematyczna analiza zdjęcia:
1.
Fałszywość kontrprzykładu D:
D: ~p~~>q =0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie):
C: ~p=>~q =1
2.
Prawdziwość warunku wystarczającego => C na mocy prawa Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =1
Nanieśmy to do tabeli T1:
| Kod: |
T1-T2
T1 |T2
A: p~~> q=1 | p~> q =1
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=1
C:~p~~>~q=1 |~p=>~q =1
D:~p~~> q=1 |~p~~>q =0
|
Prawo Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Nie rozstrzyga czy mamy do czynienie z operatorem implikacji odwrotnej p|~>q o definicji:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q)
czy też z operatorem równoważności p<=>q o definicji:
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)
Stąd konieczna jest dalsza analiza matematyczna, bowiem musimy zbadać czy zachodzi warunek wystarczający p=>q=?
Z tabeli T2 odczytujemy:
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B:
B: ~p~~>q=1
Wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: p=>q =0
4.
Fałszywość warunku wystarczającego => A na mocy prawa Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =0
Nanieśmy to do tabeli:
T1-T2
| Kod: |
T1-T3
T1 |T2 |T3
A: p~~> q=1 | p~> q =1 | p=> q =0
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=1 | p~~>~q=1
C:~p~~>~q=1 |~p=>~q =1 |~p~>~q =0
D:~p~~> q=1 |~p~~>q =0 |~p~~>q =0
|
Dopiero w tym momencie mamy jednoznaczne rozstrzygnięcie iż seria zdań ABCD tworzy definicję implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Dokładnie tą definicję widać w T2-T3 w linii A.
Tabelę T1-T3 możemy analizować dalej korzystając z praw Tygryska:
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p
Analiza tabeli T2 z wykorzystaniem praw Tygryska:
5.
Z prawdziwości warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =1
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: p~>q = A: q=>p =1
6.
Z prawdziwości warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q
wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C:~p=>~q = C: ~q~>~p =1
Nanieśmy to do naszej tabeli T1-T3
| Kod: |
T1-T4
T1 |T2 |T3 ||T4
A: p~~> q=1 | p~> q =1 | p=> q =0 || q=> p =1
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=1 | p~~>~q=1 ||~q~~>p =1
C:~p~~>~q=1 |~p=>~q =1 |~p~>~q =0 ||~q~>~p =1
D:~p~~> q=1 |~p~~>q =0 |~p~~>q =0 || q~~>~p=0
|
W tabeli T4 prawo Kubusia:
A: q=>p = C: ~q~>~p
nie rozstrzyga czy mamy do czynienia z implikacją prostą:
q|=>p = (q=>p)*~(q~>p)
Czy też z równoważnością:
q<=>p = (q=>p)*(q~>p)
Analizujemy zatem dalej tabelę T4 w kierunku jednoznacznego rozstrzygnięcia czy spełniony jest warunek konieczny:
q~>p =?
7.
Z prawdziwości kontrprzykładu B:
B: ~q~~>p =1
Wynika fałszywość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie):
C: ~q=>~p =0
8.
Prawo Kubusia:
C: ~q=>~p = A: q~>p
Z fałszywości warunku wystarczającego => C wynika fałszywość warunku koniecznego ~> A
C: ~q=>~p = A: q~>p =0
| Kod: |
T1-T5
T1 |T2 |T3 ||T4 |T5
A: p~~> q=1 | p~> q =1 | p=> q =0 || q=> p =1 | q~> p =0
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=1 | p~~>~q=1 ||~q~~>p =1 |~q~~>p =1
C:~p~~>~q=1 |~p=>~q =1 |~p~>~q =0 ||~q~>~p =1 |~q=>~p =0
D:~p~~> q=1 |~p~~>q =0 |~p~~>q =0 || q~~>~p=0 |q~~>~p =0
|
Dopiero w tym momencie w tabelach T4-T5 mamy jednoznaczne rozstrzygnie iż seria zdań ABCD wchodzi w skład operatora implikacji prostej q|=>p która to definicję odczytujemy z linii A
Definicja implikacji prostej q|=>p
Implikacja prosta q|=>p to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
q=>p =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
q~>p =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej q|=>p w równaniu logicznym:
q|=>p = (q=>p)*~(q~>p) = 1*~(0) = 1*1 =1
Dokładnie to widać w linii A w tabelach T4-T5.
Doskonale tu widać, że prawo Tygryska spełnione jest także na poziomie operatorów logicznych:
p|~>q = q|=>p
cnd
Podsumowanie:
Na mocy naszej tabeli T2-T5 zapisujemy:
T2: p~>q = ~p=>~q [=] T4: q=>p = ~q~>~p =1
##
T3: p=>q = ~p~>~q [=] T5: q~>p = ~q=>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Doskonale widać że w równaniach T2-T4 i T3-T5 zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.
5.4 Zgodność układu fizycznego p|~>q z teorią matematyczną
Doskonale tu widać 100% zgodność naszego układu implikacji odwrotnej p|~>q z teorią ogólną zdań warunkowych „Jeśli p to q”, wynikającą z rachunku zero-jedynkowego.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 0 1
D: 0 1 1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
|
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 0 1
D: 0 1 0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
|
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy układ równań A i B wiążący warunki wystarczające => i konieczne ~>:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Matematycznie zachodzi:
A: p=>q = ~p+q ## B: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Czyli:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej przy pomocy którego jakiś człon z tożsamości A stałby się tożsamy z którymkolwiek członem w tożsamości B - gdyby tak się stało to logika matematyczna leży w gruzach.
Doskonale tu widać, że aby udowodnić iż seria zdań ABCD wchodzi w skład implikacji odwrotnej:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q)
potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B oraz fałszywość dowolnego zdania serii A.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
A1: p=>q ## B1: p~>q
## - różne na mocy definicji
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
5.5 Analiza implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach ~>, => i ~~>
Weźmy jeszcze raz nasz nieśmiertelny schemat ideowy implikacji odwrotnej p|~>q
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej p|~>q
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Tabelę prawdy naszego układu w spójnikach =>, ~> i ~~> wyprowadziliśmy wyżej, to tabela T2.
| Kod: |
T2
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q
to seria czterech zdań A,B,C,D.
A: p~> q =1 - wciśnięcie p (p=1) jest konieczne ~> dla świecenia q (q=1)
Krasnoludek Odwrotny musi tu ustawić KO=0 (rozwarty)
LUB
B: p~~>~q=1 - wciśnięty p (p=1) i LED nie świeci (~q=1)
sytuacja możliwa (=1) gdy Odwrotny ustawi KO=1 (wciśnięty)
.. a jeśli nie jest wciśnięty p (~p=1)?
Prawo Kubusia:
A: p~>q = C: ~p=>~q
Stąd:
C:~p=>~q =1 - nie wciśnięcie p jest wystarczające => dla nie świecenia LED
Stan przycisku krasnoludka Odwrotnego jest bez znaczenia KO=x
D:~p~~> q=0 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED świeci (q=1)
Sytuacja niemożliwa.
Stan przycisku Odwrotnego jest bez znaczenia KO=x
|
Zapiszmy powyższą analizę układu implikacji prostej p|=>q w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
A.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to może ~> świeci się dioda LED (q=1)
p~>q =1
Wciśnięcie przycisku p (p=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia diody LED (q=1) bowiem jak nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to na 100% => nie świeci się dioda LED (~q=1)
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A: p~>q = C: ~p=>~q
Zauważmy, że warunkiem koniecznym ~> prawdziwości zdania A jest ustawienie przez krasnoludka Odwrotnego przycisku KO w stan:
KO=0 - nie jest (=0) wciśnięty przycisk KO
Dowód: patrz schemat ideowy
LUB
B.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to może ~~> nie świecić dioda LED (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Ze schematu ideowego widać, że to jest fizycznie możliwe (=1) gdy Odwrotny wciśnie przycisk KO (KO=1)
… a jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1)?
Prawo Kubusia:
A: p~>q = C: ~p=>~q
stąd:
C.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to na 100% => nie świeci dioda LED (~q=1)
~p=>~q =1
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia diody LED (~q=1)
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) daje nam gwarancję matematyczną => nie świecenia diody LED (~q=1)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% => etc.
Stan przycisku krasnoludka Odwrotnego jest tu bez znaczenia KO=x
Z prawdziwości warunku wystarczającego => C wynika fałszywość kontrprzykładu D (i odwrotnie)
Nie musimy tego sprawdzać, ale możemy.
D.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> świecić się dioda LED (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenie niemożliwe (=0).
Stan przycisku KO jest bez znaczenia KO=x
Dowód: patrz schemat ideowy
Zauważmy że:
1.
Jeśli nie jest wciśnięty klawisz p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie świeci się dioda LED (~q=1)
Mówi o tym zdanie C: ~p=>~q =1
2.
Jeśli wciśnięty jest klawisz p (p=1) to wszystko może się zdarzyć, czyli może ~> świecić dioda LED (q=1) o czym mówi zdanie A lub może ~~> nie świecić dioda LED (~q=1) o czym mówi zdanie B.
Ewidentne „rzucanie monetą” widać tu jak na dłoni.
| Kod: |
Tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p|~>q
w spójnikach ~>, => i ~~> wraz z kodowaniem zero-jedynkowym
|co w logice |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
|jedynek oznacza |A: p~>q |
| | | p q p~>q
A: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1) =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 | 1~> 1 =1
B: p~~>~q= p*~q =1 |( p=1)~~>(~q=1) =1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~~>0 =1
C:~p=> ~q =1 |(~p=1)=> (~q=1) =1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0=> 0 =1
D:~p~~> q=~p* q =0 |(~p=1)~~>( q=1) =0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~~>1 =0
a b c d e Prawa Prosiaczka 1 2 3
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
|
Tabela ABCD123 to zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>.
Nagłówek w tej tabeli pokazuje linię w tabeli symbolicznej ABCDabe względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego:
A: p~>q
Operator implikacji odwrotnej p|~>q to wszystkie cztery linie ABCD a nie jedna linia A (warunek konieczny ~>)
Nasza tabela spełnia zatem definicję implikacji odwrotnej p|~>q.
5.6 Matematyczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Do operatorów implikacyjnych obsługujących zdania warunkowe „Jeśli p to q” zaliczamy:
I.
Operator chaosu p|~~>q:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1=1
Operator chaosu p|~~>q omówiony w punkcie 5.2 pomijamy ze względu na brak gwarancji matematycznej => w jego definicji, co czyni go bezużytecznym w jakimkolwiek wnioskowaniu matematycznym.
II.
Operator implikacji prostej p|=>q:
p=>q =1 - definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1)
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie spełniona (=0)
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*`(0) = 1*1 =1
III.
Operator implikacji odwrotnej p|~>q:
p~>q =1 - definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1)
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie spełniona (=0)
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
IV.
Operator równoważności p<=>q:
p~>q =1 - definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1)
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1)
p<=>q = (p~>q)*(p=>q) = 1*1 =1
Co trzeba zapamiętać z naszych rozważań na temat implikacji odwrotnej?
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
Na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii A1234
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q
| Kod: |
T1
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach możliwych ~~>
A: p~~> q= p* q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
1 2 3
|
Definicję układu fizycznego w zdarzeniach możliwych potrafi wygenerować uczeń I klasy LO, czego dowodem jest nasz schemat elektryczny implikacji odwrotnej p|~>q.
Dalej korzystamy z kluczowej w logice matematycznej definicji kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
| Kod: |
T2.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach =>, ~> i ~~>
A: p~> q =1 - zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla q
B: p~~>~q= p*~q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p=> ~q =1 - zajście zdarzenia ~p jest wystarczające => dla ~q
D:~p~~> q=~p* q =0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
1 2 3
|
Rozumowanie do zapamiętania:
1.
Fałszywość kontrprzykładu D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q =1
2.
Prawo Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =0
4.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Fałszywość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =0
Stąd mamy spełnioną definicję implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (A: p~>q)*~(A: p=>q) =1*~(0) =1*1 =1
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 10:32, 28 Wrz 2019, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35367
Przeczytał: 21 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 20:31, 23 Cze 2019 Temat postu: |
|
|
6.0 Równoważność p<=>q w zdarzeniach
Spis treści
6.0 Operator równoważności p<=>q 1
6.1 Zdjęcie operatora równoważności <=> 2
6.2 Komputerowa symulacja równoważności <=> 3
6.3 Analiza równoważności w spójniku ~~> 3
6.4 Zgodność układu fizycznego p<=>q z teorią matematyczną 7
6.5 Analiza równoważności w spójnikach => i ~~> 9
6.6 Matematyczna definicja równoważności <=> 15
6.0 Operator równoważności p<=>q
Stworzenie naszego Wszechświata - dzień czwarty.
Rozmyślania Kubusia:
W implikacji prostej p|=>q mamy warunek wystarczający => po stronie p i chaos po stronie ~p
W implikacji odwrotnej p|~>q mamy chaos po stronie p i warunek wystarczający => po stronie ~p
Rzekł Kubuś:
Niech stanie się równoważność p<=>q czyli zabieram krasnoludkom oba przyciski KP i KO z operatora chaosu p|~~>q.
Tak powstał operator równoważności p<=>q gdzie nie ma krasnoludka z jego wolną wolą, wszystko jest totalnie zdeterminowane, mamy warunek wystarczający => zarówno po stronie p jak i po stronie ~p.
Nie ma tu śladu „rzucania monetą” zarówno po stronie p, jak i po stronie ~p
Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
Na mocy definicji równoważności p<=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234
6.1 Zdjęcie operatora równoważności <=>
Fizyczna realizacja operatora równoważności p<=>q w zdarzeniach
[link widoczny dla zalogowanych]
Zróbmy zdjęcie układu równoważności p<=>q, czyli potraktujmy układ zdarzeniami możliwymi ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q
| Kod: |
Zdjęcie układu równoważności p<=>q.
to seria czterech zdań A,B,C,D kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>
Yx=1 - zdanie prawdziwe, sytuacja możliwa (=1)
Yx=0 - zdanie fałszywe, sytuacja niemożliwa (=0)
A: p~~> q= p* q = Ya=1 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED świeci (q=1)
Sytuacja możliwa (Ya=1)
B: p~~>~q= p*~q = Yb=0 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED nie świeci (~q=1)
Sytuacja niemożliwa (Yb=0)
.. a jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)?
W tym przypadku możliwe są dwie sytuacje:
C:~p~~>~q=~p*~q = Yc=1 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED nie świeci (~q=1)
Sytuacja możliwa (Yc=1).
D:~p~~> q=~p* q = Yd=0 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED świeci (q=1)
Sytuacja niemożliwa (Yd=0).
|
Notacja:
p=1 - przycisk p włączony (=1)
p=0 - przycisk p nie włączony (=0)
q=1 - dioda LED świeci (=1)
q=0 - dioda LED nie świeci (=0)
Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(p=0)=(~p=1)
6.2 Komputerowa symulacja równoważności <=>
Algorytm komputerowej symulacji równoważności <=>:
| Kod: |
;Po znaku średnika mamy komentarz
;I.
;Program główny.
START:
CALL ROWN ;Wywołanie procedury równoważności p<=>q
CALL DELAY200 ;Opóźnienie 200ms dla lepszej obserwacji
JMP START ;Zapętlenie programu głównego
;II.
;Algorytm procedury symulującej operator implikacji odwrotnej p|~>q:
ROWN:
CALL STAN_P ;Pobierz stan klawisza p
Jeśli p=0 to skocz do WYG_LED
;Inaczej wykonaj poniższy ciąg rozkazów
;Procedura obsługująca przypadek:
;p=1 - klawisz p wciśnięty
ZAS_LED:
q=1 ;Zaświeć LED
RETURN
WYG_LED:
q=0 ;Wygaś LED
RETURN
|
6.3 Analiza równoważności w spójniku ~~>
Fizyczna realizacja operatora równoważności p<=>q
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Zapiszmy serię zdań ABCD w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>
A.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to może ~~> świeci się dioda LED q (q=1)
p~~>q =p*q =1 - zdarzenie możliwe
Dowód: patrz schemat ideowy
LUB
B.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to możliwe ~~> jest nie świecenie LED q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0 - zdarzenie niemożliwe (=0)
Dowód: patrz schemat ideowy
… a jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1)
(~p=1)=(p=0) - prawo Prosiaczka
C.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> nie świecić LED q (~q=1)
~p~~>~q = ~p*~q =1 - zdarzenie możliwe (=1)
Dowód: patrz schemat ideowy
D.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> świecić LED q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0 - zdarzenie niemożliwe (=0)
Dowód: patrz schemat ideowy.
Zapiszmy serię zdań ABCD w postaci tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Zdjęcie układu ze schematu R4
A: p~~> q=1
B: p~~>~q=0
C:~p~~>~q=1
D:~p~~> q=0
|
Matematyczna analiza zdjęcia:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B:
B: p~~>~q=0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: p=>q =1
2.
Prawdziwość warunku wystarczającego => A na mocy prawa Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =1
Nanieśmy to do tabeli T1:
| Kod: |
T1-T2
T1 |T2
A: p~~> q=1 | p=> q =1
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=0
C:~p~~>~q=1 |~p~>~q =1
D:~p~~> q=0 |~p~~>q =0
|
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Nie rozstrzyga czy mamy do czynienie z operatorem implikacji prostej p|=>q o definicji:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q)
czy też z operatorem równoważności p<=>q o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Stąd konieczna jest dalsza analiza matematyczna, bowiem musimy zbadać czy zachodzi warunek konieczny p~>q=?
Z tabeli T2 odczytujemy:
3.
Fałszywość kontrprzykładu D:
D: ~p~~>q=0
Wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie):
C: ~p=>~q =1
4.
Prawdziwość warunku wystarczającego => C na mocy prawa Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =1
Nanieśmy to do tabeli:
T1-T2
| Kod: |
T1-T3
T1 |T2 |T3
A: p~~> q=1 | p=> q =1 | p~> q =1
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=0 | p~~>~q=0
C:~p~~>~q=1 |~p~>~q =1 |~p=>~q =1
D:~p~~> q=0 |~p~~>q =0 |~p~~>q =0
|
Dopiero w tym momencie mamy jednoznaczne rozstrzygnięcie iż seria zdań ABCD tworzy definicję równoważności p<=>q
Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
Dokładnie tą definicję widać w T2-T3 w linii A.
Tabelę T1-T3 możemy analizować dalej korzystając z praw Tygryska:
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p
Analiza tabeli T2 z wykorzystaniem praw Tygryska:
5.
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: p=>q = A: q~>p =1
6.
Z prawdziwości warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =1
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C:~p~>~q = C: ~q=>~p =1
Nanieśmy to do naszej tabeli T1-T3
| Kod: |
T1-T4
T1 |T2 |T3 ||T4
A: p~~> q=1 | p=> q =1 | p~> q =1 || q~> p =1
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=0 | p~~>~q=0 ||~q~~>p =0
C:~p~~>~q=1 |~p~>~q =1 |~p=>~q =1 ||~q=>~p =1
D:~p~~> q=0 |~p~~>q =0 |~p~~>q =0 || q~~>~p=0
|
W tabeli T4 prawo Kubusia:
A: q~>p = C: ~q=>~p
nie rozstrzyga czy mamy do czynienia z implikacją odwrotną:
q|~>p = (q~>p)*~(q=>p)
Czy też z równoważnością:
q<=>p = (q~>p)*(q=>p)
Analizujemy zatem dalej tabelę T4 w kierunku jednoznacznego rozstrzygnięcia czy spełniony jest warunek wystarczający:
A: q=>p =?
7.
Z fałszywości kontrprzykładu B:
B: ~q~~>p =0
Wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: q=>p =1
8.
Prawo Kubusia:
A: q=>p = C: ~q~>~q
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> C
C: ~q~>~p =1
| Kod: |
T1-T5
T1 |T2 |T3 ||T4 |T5
A: p~~> q=1 | p=> q =1 | p~> q =1 || q~> p =1 | q=> p =1
B: p~~>~q=0 | p~~>~q=0 | p~~>~q=0 ||~q~~>p =0 |~q~~>p =0
C:~p~~>~q=1 |~p~>~q =1 |~p=>~q =1 ||~q=>~p =1 |~q~>~p =1
D:~p~~> q=0 |~p~~>q =0 |~p~~>q =0 || q~~>~p=0 | q~~>~p=0
|
Dopiero w tym momencie w tabelach T4-T5 mamy jednoznaczne rozstrzygnie iż seria zdań ABCD wchodzi w skład operatora równoważności którą to definicję odczytujemy z linii A
Definicja równoważności q<=>p
Równoważność q<=>p to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
q=>p =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
q~>p =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
q<=>p = (q=>p)*(q~>p) = 1*1 =1
Dokładnie to widać w linii A w tabelach T4-T5.
Podsumowanie:
Na mocy naszej tabeli T2-T5 zapisujemy:
T2: p=>q = ~p~>~q [=] T4: q~>p = ~q=>~p =1
##
T3: p~>q = ~p=>~q [=] T5: q=>p = ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Doskonale widać że w równaniach T2-T4 i T3-T5 zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.
6.4 Zgodność układu fizycznego p<=>q z teorią matematyczną
Doskonale tu widać 100% zgodność naszego układu równoważności p<=>q z teorią ogólną zdań warunkowych „Jeśli p to q”, wynikającą z rachunku zero-jedynkowego.
Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 0 1
D: 0 1 1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
|
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 0 1
D: 0 1 0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
|
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy układ równań A i B wiążący warunki wystarczające => i konieczne ~>:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Matematycznie zachodzi:
A: p=>q = ~p+q ## B: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Czyli:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej przy pomocy którego jakiś człon z tożsamości A stałby się tożsamy z którymkolwiek członem w tożsamości B - gdyby tak się stało to logika matematyczna leży w gruzach.
Doskonale tu widać, że aby udowodnić iż seria zdań ABCD wchodzi w skład równoważności:
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)
potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B oraz prawdziwość dowolnego zdania serii A.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
A1: p=>q ## B1: p~>q
## - różne na mocy definicji
Definicja równoważności p<=>q:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1
p<=>q = (B1: p~>q)*(A1: p=>q) = 1*1 =1
6.5 Analiza równoważności w spójnikach => i ~~>
Fizyczna realizacja operatora równoważności <=> w zdarzeniach
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q
| Kod: |
T6
Zdjęcie układu równoważności p<=>q.
to seria czterech zdań A,B,C,D kodowanych zdarzeniem możliwym ~~>
Yx=1 - zdanie prawdziwe, sytuacja możliwa (=1)
Yx=0 - zdanie fałszywe, sytuacja niemożliwa (=0)
A: p~~> q= p* q = Ya=1 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED świeci (q=1)
Sytuacja możliwa (Ya=1)
B: p~~>~q= p*~q = Yb=0 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED nie świeci (~q=1)
Sytuacja niemożliwa (Yb=0)
.. a jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)?
W tym przypadku możliwe są dwie sytuacje:
C:~p~~>~q=~p*~q = Yc=1 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED nie świeci (~q=1)
Sytuacja możliwa (Yc=1).
D:~p~~> q=~p* q = Yd=0 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED świeci (q=1)
Sytuacja niemożliwa (Yd=0).
|
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza warunek wystarczający => A (i odwrotnie):
A: p=>q =1
Fałszywość kontrprzykładu D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie)
C: ~p=>~q =1
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności w spójnikach => i ~~>:
| Kod: |
T7
Tabela prawdy równoważności <=> w spójnikach => i ~~>
A: p=> q =1 - wciśnięcie p jest wystarczające => dla zaświecenia q
B: p~~>~q= p*~q=0 - wciśnięty przycisk p (p=1) i LED nie świeci (~q=1)
Sytuacja niemożliwa (=0)
.. a jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)?
C:~p=>~q =1 - nie wciśnięcie p jest wystarczające dla nie świecenia q
D:~p~~> q=~p* q=0 - nie wciśnięty p (~p=1) i LED świeci (q=1)
Sytuacja niemożliwa (=0).
|
Doskonale tu widać 100% zgodność ze schematem ideowym.
Zapiszmy powyższą analizę układu implikacji prostej p|=>q w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
A.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to na 100% => świeci się dioda LED (q=1)
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku p (p=1) jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia diody LED (q=1)
Wciśnięcie przycisku p (p=1) daje nam gwarancję matematyczną => świecenia diody LED (q=1)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% => etc,
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A wynika fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
Nie musimy tego sprawdzać, ale możemy.
B.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to może ~~> nie świecić dioda LED (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Ze schematu ideowego widać, że to jest fizycznie niemożliwe, stąd fałszywość zdania B
… a jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1)?
Jak widać z tabeli prawdy równoważności w spójnikach => i ~~> po stronie ~p mamy kolejny warunek wystarczający.
C.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to na 100% => nie świeci się dioda LED (~q=1)
~p=>~q =1
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia diody LED (~q=1)
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) daje nam gwarancję matematyczną => nie świecenia diody LED (~q=1)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% => etc,
Z prawdziwości warunku wystarczającego => C wynika fałszywość kontrprzykładu D (i odwrotnie)
Nie musimy tego sprawdzać, ale możemy.
D.
Jeśli nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) to może ~~> świecić się dioda LED (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Ze schematu ideowego widać, że to jest fizycznie niemożliwe, stąd fałszywość zdania D
Zauważmy że:
1.
Jeśli wciśnięty jest klawisz p (p=1) to mamy gwarancje matematyczną => że świeci się dioda LED (q=1)
Mówi o tym zdanie A: p=>q =1
2
Jeśli nie jest wciśnięty klawisz p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie świeci się dioda LED (~q=1)
Mówi o tym zdanie C: ~p=>~q =1
Doskonale widać, że nie ma tu „rzucania monetą” ani po stronie p, ani też po stronie ~p.
| Kod: |
T7
Tabela prawdy operatora równoważności p<=>q
w spójnikach => i ~~> wraz z kodowaniem zero-jedynkowym
|co w logice |Punkt odniesienia| Tabela
|jedynek oznacza |RA: p<=>q |tożsama
RA | | |
p<=>q=(p=>q)*~(p=>q) | | | p q p<=>q
A: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1) =1 |(p=1)=> (q=1)=1 | 1=> 1 =1
B: p~~>~q= p*~q=0 |( p=1)~~>(~q=1) =0 |(p=1)~~>(q=0)=0 | 1~~>0 =0
RC | | |
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)| | |
C:~p=> ~q =1 |(~p=1)=> (~q=1) =1 |(p=0)=> (q=0)=1 | 0=> 0 =1
D:~p~~> q=~p* q=0 |(~p=1)~~>( q=1) =0 |(p=0)~~>(q=1)=0 | 0~~>1 =0
a b c d e Prawa Prosiaczka 1 2 3
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
|
Tabela ABCD123 to zero-jedynkowa definicja równoważności.
Nagłówek w tej tabeli pokazuje linię w tabeli symbolicznej ABCDabe względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego:
RA: p<=>q
Z tabeli symbolicznej odczytujemy dwie kluczowe równoważności dla naszego układu z przyciskiem p i diodą LED.
Równoważność dotycząca wciśniętego przycisku p (p=1):
RA
Przycisk p jest wciśnięty (p=1) wtedy i tylko wtedy gdy świeci dioda LED (q=1)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność dotycząca nie wciśniętego przycisku p (~p=1):
RC
Przycisk p jest nie wciśnięty (~p=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie świeci dioda LED (~q=1)
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Oczywiście stan:
p=1 - przycisk wciśnięty
jest rozłączny ze stanem:
~p=1 - przycisk nie wciśnięty
Dowód:
p*~p=0 - prawo rachunku zero-jedynkowego
cnd
Zastosujmy do równoważności RA prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
stąd:
p<=>q = A1: (p=>q)* B1: (p~>q)
Zdanie A1 czytamy:
A1.
Jeśli przycisk p jest wciśnięty (p=1) to na 100% świeci się dioda LED (q=1)
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku p (p=1) jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia diody LED (q=1)
Zdanie B1 czytamy:
B1.
Jeśli przycisk p jest wciśnięty (p=1) to na 100% świeci się dioda LED (q=1)
p~>q =1
Wciśnięcie przycisku p (p=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia diody LED (q=1)
To jest warunek konieczny ~> bowiem w równoważności nie ma krasnoludków, w szczególności nie ma krasnoludka Prostego ze swoim przyciskiem KP który mógłby zaświecić diodę LED poza naszą świadomością.
Armagedon ziemskiej logiki matematycznej:
Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, dodatkowo oba te zdanie są prawdziwe … a mimo wszystko są to zdania różne na mocy definicji ##.
To jest czysto matematyczny to gwóźdź do trumny z napisem „Logika matematyczna ziemian” gdzie dwa zdania identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame.
Ziemscy matematycy oczywiście są w błędzie bowiem różność na mocy definicji ## wynika z definicji równoważności!
Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
Na mocy definicji równoważności p<=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
A1: p=>q=1 ## B1: p~>q =1
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234
Powyższa definicja równoważności:
p<=>q=(p~>q)*(p=>q)
znana jest ziemianom w praktyce, ale nie potrafią jej matematycznie zapisać bowiem nie znają zero-jedynkowych definicji zarówno warunku wystarczającego => jak i warunku koniecznego ~>.
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 0 1
D: 0 1 1
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q=~p+q
|
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 0 1
D: 0 1 0
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q=p+~q
|
Dowód iż ziemianie znają w praktyce tą definicję równoważności:
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)
[link widoczny dla zalogowanych]ównoważność
| Wikipedia napisał: |
Równoważność (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym teza jest warunkiem koniecznym ~>, jak i dostatecznym => przesłanki. To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy (wtw), gdy... |
Tej definicji równoważności ziemscy matematycy nie potrafią zapisać matematycznie bowiem nie znają kluczowych, zero-jedynkowych definicji zarówno warunku koniecznego ~> jak i warunku wystarczającego =>
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = warunek dostateczny => = wystarcza =>
warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~> = potrzeba ~>
Faktem jest, że powyższa definicja równoważności jest w powszechnym użyciu zarówno w matematyce jak i w innych naukach.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 12 600
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 11 800
Klikamy na googlach:
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 9 050
Klikamy na googlach:
„koniecznym i dostatecznym”
Wyników: 2 130
Klikamy na googlach:
„potrzebne i wystarczające”
Wyników: 1 130
Klikamy na googlach:
„wystarczające i konieczne”
Wyników: 2 320
Klikamy na googlach:
„wystarczającym i koniecznym”
Wyników: 494
Przykład:
[link widoczny dla zalogowanych]
Warunkiem wystarczającym i koniecznym do opisania okręgu na czworokącie jest to, czy naprzeciwległe kąty sumują się do 180 stopni.
Twierdzenie tożsame:
Opisać okrąg na czworokącie można wtedy i tylko wtedy gdy naprzeciwległe kąty sumują się do 180 stopni.
6.6 Matematyczna definicja równoważności <=>
Do operatorów implikacyjnych obsługujących zdania warunkowe „Jeśli p to q” zaliczamy:
I.
Operator implikacji prostej p|=>q:
p=>q =1 - definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1)
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie spełniona (=0)
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*`(0) = 1*1 =1
II.
Operator implikacji odwrotnej p|~>q:
p~>q =1 - definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1)
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie spełniona (=0)
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
III.
Operator równoważności p<=>q:
p~>q =1 - definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1)
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => spełniona (=1)
p<=>q = (p~>q)*(p=>q) = 1*1 =1
IV.
Operator chaosu p|~~>q:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1=1
Operator chaosu p|~~>q omówiony w punkcie 5.2 pomijamy ze względu na brak gwarancji matematycznej => w jego definicji, co czyni go bezużytecznym w jakimkolwiek wnioskowaniu matematycznym.
Co trzeba zapamiętać z naszych rozważań na temat równoważności p<=>q?
Fizyczna realizacja operatora równoważności <=> w zdarzeniach
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
Na mocy definicji równoważności p<=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q
| Kod: |
T1
Definicja równoważności w zdarzeniach możliwych ~~>
A: p~~> q= p* q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
1 2 3
|
Definicję układu fizycznego w zdarzeniach możliwych potrafi wygenerować uczeń I klasy LO, czego dowodem jest nasz schemat elektryczny równoważności p<=>q.
Dalej korzystamy z kluczowej w logice matematycznej definicji kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
Rozumowanie do zapamiętania:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: p=>q =1
2.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =1
3.
Fałszywość kontrprzykładu D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie)
C: ~p=>~q =1
4.
Prawo Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =1
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności w spójnikach => i ~~>:
| Kod: |
T2
Tabela prawdy równoważności <=> w spójnikach => i ~~>
A: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B: p~~>~q= p*~q=0 - niemożliwa jest (=0) sytuacja zajdzie p i ~q
.. a jeśli nie zajdzie p (~p=1)?
C:~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
D:~p~~> q=~p* q=0 - niemożliwa jest (=0) sytuacja zajdzie ~p i q
|
Z tabeli T2 odczytujemy definicję równoważności obowiązującą dla p:
RA.
p<=>q =(p=>q)*(~p=>~q) =1*1 =1
Prawo Kubusia zastosowane do RA:
~p=>~q = p~>q)
Stąd definicja tożsama:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1
Prawo kontrapozycji zastosowane do RA:
~p=>~q = q=>p
Stąd definicja tożsama:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Ostatnia definicja w zdarzeniach jest po prostu definicją tożsamości p=q:
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
czyli:
Wciśnięcie przycisku p (p=1) jest tożsame [=] z zaświeceniem się diody LED (q=1)
Z tabeli T2 odczytujemy definicję równoważności obowiązującą dla ~p:
RC
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) =1*1 =1
Prawo Kubusia zastosowane do RC:
p=>q = ~p~>~q
Stąd definicja tożsama:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~p~>~q) =1*1 =1
Prawo kontrapozycji zastosowane do RC:
p=>q = ~q=>~p
Stąd definicja tożsama:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p) =1*1 =1
Ostatnia definicja w zdarzeniach jest po prostu definicją tożsamości ~p=~q:
~p=~q <=> (~p=>~q)*(~q=>~p) =1*1 =1
czyli:
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) jest tożsame [=] z nie zaświeceniem się diody LED (~q=1)
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 10:35, 28 Wrz 2019, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35367
Przeczytał: 21 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 20:33, 23 Cze 2019 Temat postu: |
|
|
7.0 Matematyczne definicje operatorów logicznych w zdarzeniach
Spis treści
7.0 Matematyczne definicje operatorów logicznych w zdarzeniach 1
7.1 Definicja operatora chaosu p|~~>q 1
7.2 Definicja implikacji prostej p|=>q 2
7.3 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q 3
7.4 Definicja równoważności p<=>q 4
7.0 Matematyczne definicje operatorów logicznych w zdarzeniach
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
7.1 Definicja operatora chaosu p|~~>q
Definicja operatora chaosu p|~~>q w zdarzeniach
Operator chaosu p|~~>q to pokazanie jednego zdarzenia możliwego p~~>q oraz nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
p~~>q =p*q=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów (lub zdarzenie możliwe)
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = (p~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
| Kod: |
Tabela prawdy zdarzenia zawsze możliwego ~~>
A: p~~> q= p* q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia p i q
B: p~~>~q= p*~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesna zajście zdarzenia p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzenia ~p i q
|
Operator chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q =1
2.
~Y = ~( A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q)=0
7.2 Definicja implikacji prostej p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie spełniony (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii B1234
| Kod: |
T1
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach możliwych ~~>
A: p~~> q= p* q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
1 2 3
|
| Kod: |
T2.
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach =>, ~> i ~~>
A: p=> q =1 - zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla q
B: p~~>~q= p*~q =0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~> ~q =1 - zajście zdarzenia ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
1 2 3
|
Rozumowanie do zapamiętania:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =1
2.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C
3.
Prawdziwość kontrprzykładu D wymusza fałszywość warunku wystarczającego => C:
C: ~p~>~q =0
4.
Prawo Kubusia:
C: ~p~>~q = A: p=>q
Fałszywość warunku wystarczającego C wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =0
Stąd mamy spełnioną definicję implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A: p=>q)*~(A: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
7.3 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
Na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii A1234
| Kod: |
T1
Definicja implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach możliwych ~~>
A: p~~> q= p* q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 ;możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
1 2 3
|
| Kod: |
T2.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach =>, ~> i ~~>
A: p~> q =1 - zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla q
B: p~~>~q= p*~q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p=> ~q =1 - zajście zdarzenia ~p jest wystarczające => dla ~q
D:~p~~> q=~p* q =0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
1 2 3
|
Rozumowanie do zapamiętania:
1.
Fałszywość kontrprzykładu D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q =1
2.
Prawo Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A:
A: p=>q =0
4.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Fałszywość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =0
Stąd mamy spełnioną definicję implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (A: p~>q)*~(A: p=>q) =1*~(0) =1*1 =1
7.4 Definicja równoważności p<=>q
Definicja równoważności p<=>q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - spełniony (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
Na mocy definicji równoważności p<=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234
| Kod: |
T1
Definicja równoważności w zdarzeniach możliwych ~~>
A: p~~> q= p* q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 ;możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =0 ;niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
1 2 3
|
Rozumowanie do zapamiętania:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A (i odwrotnie):
A: p=>q =1
2.
Prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C:
C: ~p~>~q =1
3.
Fałszywość kontrprzykładu D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C (i odwrotnie)
C: ~p=>~q =1
4.
Prawo Kubusia:
C: ~p=>~q = A: p~>q
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A:
A: p~>q =1
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności w spójnikach => i ~~>:
| Kod: |
T2
Tabela prawdy równoważności <=> w spójnikach => i ~~>
A: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B: p~~>~q= p*~q=0 - niemożliwa jest (=0) sytuacja zajdzie p i ~q
.. a jeśli nie zajdzie p (~p=1)?
C:~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
D:~p~~> q=~p* q=0 - niemożliwa jest (=0) sytuacja zajdzie ~p i q
|
Z tabeli T2 odczytujemy definicję równoważności obowiązującą dla p:
RA.
p<=>q =(p=>q)*(~p=>~q) =1*1 =1
Prawo Kubusia zastosowane do RA:
~p=>~q = p~>q)
Stąd definicja tożsama:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1
Prawo kontrapozycji zastosowane do RA:
~p=>~q = q=>p
Stąd definicja tożsama:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Ostatnia definicja w zdarzeniach jest po prostu definicją tożsamości p=q:
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
czyli:
Wciśnięcie przycisku p (p=1) jest tożsame [=] z zaświeceniem się diody LED (q=1)
Z tabeli T2 odczytujemy definicję równoważności obowiązującą dla ~p:
RC
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) =1*1 =1
Prawo Kubusia zastosowane do RC:
p=>q = ~p~>~q
Stąd definicja tożsama:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~p~>~q) =1*1 =1
Prawo kontrapozycji zastosowane do RC:
p=>q = ~q=>~p
Stąd definicja tożsama:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p) =1*1 =1
Ostatnia definicja w zdarzeniach jest po prostu definicją tożsamości ~p=~q:
~p=~q <=> (~p=>~q)*(~q=>~p) =1*1 =1
czyli:
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) jest tożsame [=] z nie zaświeceniem się diody LED (~q=1)
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
