ŚFiNiA

rafal3006

Algebra Kubusia

Część II
Kubusiowa teoria zbiorów

Autor:
Kubuś - stwórca naszego Wszechświata

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

W skład algebry Kubusia wchodzi pięć części:
Część I
Algebra Kubusia - Kubusiowy rachunek zero-jedynkowy
Część II
Algebra Kubusia - Kubusiowa teoria zbiorów
Część III
Algebra Kubusia - Kubusiowa teoria zdarzeń
Część IV
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego człowieka
Część V
Algebra Kubusia w pigułce

Podręczniki I-V napisane są w ten sposób, że dla zrozumienia dowolnego z nich w zasadzie nie jest wymagana znajomość pozostałych, choć oczywiście, pożądana kolejność czytania to I, II, III, IV i V

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.
Szczególnie dziękuję cierpliwemu Fiklitowi za 7 letnią dyskusję, bez niego o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć.

Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2019

Część II
Kubusiowa teoria zbiorów

[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]

Rozdziały części II algebry Kubusia:

1.0 Notacja
2.0 Kubusiowa teoria zbiorów
5.0 Teoria zdań warunkowych w zbiorach
8.0 Definicje operatorów logicznych w zbiorach
8.2 Definicja operatora implikacji prostej p|=>q
8.3 Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q
8.4 Rodzaje równoważności
9.0 Zakamarki Kubusiowej teorii zbiorów

Spis treści
1.0 Notacja 3
1.1 Fundamenty teorii zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach 4
1.1.1 Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów 5
1.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 5
1.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 5
1.2 Fundamenty teorii zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach 6
1.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 6
1.2.2 Definicja warunku wystarczającego => zdarzeniach 6
1.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 7

Wstęp:

Kubusiowa Teoria Zbiorów (KTZ) jest wspólna z teorią zbiorów ziemian w zakresie zaledwie kilku definicji: definicji iloczynu logicznego zbiorów p*q, sumy logicznej zbiorów p+q, różnicy zbiorów p-q oraz definicji podzbioru => i nadzbioru ~>, poza tym wszystko jest różne, poczynając od kluczowych definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> które u ziemian są inne, zatem są sprzeczne z KTZ.
Definicje z Kubusiowej Teorii Zbiorów:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Życzę wszystkim przyjemnej lektury, mam nadzieję, że będzie to uczta dla ludzkiego rozumowania.

Uwaga:
Nie jest wykluczone, iż w Kubusiowej Teorii Zbiorów są jakieś drobne pluskwy (błędy) identycznie jak w dużym programie komputerowym. Przykładowo w WIN10 pełno jest drobnych pluskiew (każda aktualizacja to potencjalne źródło nowych pluskiew) co nie oznacza, że WIN10 nadaje się do kosza na śmieci - z małymi pluskwami można żyć. Usuwajmy je razem, póki żyw jestem.

Aktualna logika matematyczna ziemian jest do bani co trafnie zauważył dr. Marek Kordos w miesięczniku „Delta”:
„Czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat?”
[link widoczny dla zalogowanych]

1.0 Notacja

Definicja aksjomatyki w algebrze Kubusia:
Aksjomatyka to zbiór definicji startowych w obrębie danej teorii.

Aksjomatyka nie musi być minimalna - musi natomiast poprawnie opisywać otaczającą nas rzeczywistość w obrębie danej teorii. Przykładowo, studentowi informatyki nie są potrzebne wiadomości w temacie „technologia wykonania mikroprocesora” mimo że programy pisze na komputerze którego sercem jest mikroprocesor. Co więcej, aksjomatyka może być na poziomie abstrakcyjnym jeśli takie podejście ułatwia zrozumienie teorii. Przykładowo w „Teorii zdarzeń” sięgnąłem po krasnoludki znakomicie ułatwiające zrozumienie teorii młodemu człowiekowi. Zauważmy, że minimalizacja aksjomatyki w sensie bezwzględnym (wszystko ma swoją przyczynę) niechybnie zaprowadzi nas do Wielkiego Wybuchu.

Aksjomatyka algebry Kubusia:
Aksjomatyka algebry Kubusia to teoria zbiorów wyłożona w części II algebry Kubusia:
„Algebra Kubusia - Kubusiowa teoria zbiorów”
Za aksjomatykę algebry Kubusia można też uznać zero-jedynkową tabelę szesnastu możliwych definicji spójników logicznych używanych w języku potocznym człowieka plus banalne zasady rachunku zero-jedynkowego z którego wynikają prawa logiki matematycznej.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja funkcji logicznej dwóch zmiennych binarnych:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q to:

rafal3006

2.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Spis treści
2.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
2.1 Zabawa definicjami z Kubusiowej Teorii Zbiorów 2
2.2 Podstawowe operacje na zbiorach 3
2.3 Znaczenie przecinka w teorii zbiorów 4
2.4 Dziedzina i zaprzeczenie zbioru 5
2.5 Zbiór wszystkich zbiorów 6
2.6 Zbiory właściwe i niewłaściwe 6
2.7 Definicja logiki matematycznej i twierdzenia matematycznego 7
2.8 Twierdzenie minimalne i nieminimalne 7
2.9 Prawo Jeża 8
2.9.1 Prawo Jeżozwierza 9

2.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
Pies, miłość, krasnoludek, zbiór liczb naturalnych, zbiór wszystkich zwierząt ...
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
agstd, sdked, skdjatxz …

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum.
Zauważmy, że zaledwie 50 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane dosłownie każdemu człowiekowi na ziemi.

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć należących do Uniwersum

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być zbiór.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka

W definicji zboru pustego wyraźnie chodzi o zawartość worka z napisem „zbiór pusty”, a nie o sam worek.

Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty (=1), zawierający przynajmniej jedno pojęcie zrozumiałe dla człowieka
[] =0 - zbiór pusty (=0), zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.

2.1 Zabawa definicjami z Kubusiowej Teorii Zbiorów

Definicja podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie pojęcia zbioru p należą do zbioru q
Rozstrzygnięcia:
p=>q =1 - gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka

Na mocy definicji zbioru pustego zbiorem pustym jest zbiór:
[] = [asdkyw, ksgdtald, idtahcker]
Dlaczego jest zbiorem pustym?
Bo żaden człowiek nie rozumie znaczenia pojęć zawartych w tym zbiorze, to są śmieci z kosmosu, poza Uniwersum ludzkości.

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć należących do Uniwersum

Na mocy tej definicji mamy przykładowy zbiór:
p=[pies, krasnoludek, miłość, 5, LN]
Gdzie:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Na mocy tej definicji nasz zbiór:
p=[pies, krasnoludek, miłość, 5, LN]
jest zbiorem 5-elementowym
Elementy zbioru p to pojęcia zrozumiałe dla człowieka rozdzielone przecinkami.

Poprawne są następujące stwierdzenia:
1.
Element „5” jest podzbiorem => zbioru p
Innymi słowy:
Element zbioru p o nazwie „5” jest podzbiorem => zbioru p
Pojęcie „5” jest podzbiorem => zbioru p
„5” jest podzbiorem => zbioru p
„5” zawarte jest => w zbiorze p
Dowód:
[5] => p=[pies, krasnoludek, miłość, 5, LN] =1
cnd
2.
Element zbioru p o nazwie LN jest podzbiorem => zbioru p
Innymi słowy:
LN jest podzbiorem => zbioru p
LN zawiera się => w zbiorze p
Dowód:
[LN] => p=[zbiór pusty, pies, krasnoludek, 5, LN] =1
cnd
3.
Elementy 5 i LN są podzbiorem => zbioru p
Innymi słowy:
5 i LN są częścią => zbioru p
Elementy 5 i LN są podzbiorem => zbioru p
Fragment zbioru p [5,LN] jest podzbiorem => zbioru p
Dowód:
[5,LN] => p=[zbiór pusty, pies, krasnoludek, 5, LN] =1
cnd

Synonimy:
„jest podzbiorem” => = „zawiera się w” => = „jest częścią” =>
itp.

2.2 Podstawowe operacje na zbiorach

I.
Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[1,2,3,4]+[3,4,5,6]=[1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty

II.
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Zbiór wynikowy pusty oznacza rozłączność zbiorów p i q
Y =p*q=[] =0 - w przypadku zbiorów rozłącznych p i q
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
r=[5,6,7,8] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]*[3,4,5,6]=[3,4] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=p*r=[1,2,3,4]*[5,6,7,8] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty

III.
Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p-q = [1,2,3,4]-[3,4] =[1,2] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[3,4]-[1,2,3,4]=[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty

2.3 Znaczenie przecinka w teorii zbiorów

Definicja:
Przecinek rozdzielający elementy w dowolnym zbiorze to spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka, będący matematycznie sumą logiczną zbiorów (+).

Matematycznie zachodzi tożsamość:
„przecinek”(,) = „lub”(+)

Zobaczmy to na podstawowych operacjach na zbiorach:

I.
Suma logiczna
[1+2]+[1+3] = [1+2+1+3] = [1+2+3] - to jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Prawo powielania/redukcji elementów w zbiorze
p=p+p
stąd:
1+1=1

II.
Iloczyn logiczny
[1+2]*[1+3] = 1*1 + 1*3 + 2*1 + 2*3 = 1+[]+[]+[] =1 - to też jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Identycznie jak w matematyce klasycznej mnożymy każdy element z każdym po czym korzystamy w praw rachunku zbiorów (rachunku zero-jedynkowego):
p=p*p
stąd:
1*1=1
Przykładowe pojęcia (zbiory jednoelementowe) 1 i 3 są rozłączne, stąd:
1*3=[]

III.
Różnica logiczna
[1+2+3]-[2+3] = 1+2+3-2-3 =1+[2-2]+[3-3] = 1+[]+[] = 1
[2+3]-[1+2+3] = 2+3-1-2-3 = []+2+3-1-2-3 = ([]-1) +[2-2]+[3-3] = []+[]+[] =[]
W różnicy logicznej jeśli przed nawiasem jest znak minus (-) to zapisujemy ten znak przed każdym elementem zbioru widniejącym w nawiasie.
W ostatnim równaniu skorzystaliśmy z neutralności zbioru pustego [] w sumie logicznej dokładając zbiór pusty [].
Wyjaśnienie:
[]-1 =[] - jeśli ze zbioru pustego usuniemy nieistniejący element to zbiór pusty dalej pozostanie pusty.
Alternatywa:
Wszelkie elementy ze znakiem minus które pozostaną po wykonaniu operacji odejmowania z definicji zamieniamy na zbiór posty [].
[2+3]-[1+2+3] = 2+3 -1-2-3 = 2+3-1-2-3 = -1 +[2-2]+[3-3] = -1+[]+[] =[]+[]+[] =[]

2.4 Dziedzina i zaprzeczenie zbioru

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy

Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia. Ograniczeniem dolnym w definiowaniu dziedziny jest zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum.

Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)

Przykład 1
p=[1,2] - definiujemy zbiór p
D=[1,2,3,4] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[3,4]

Przykład 2
C=[M, K]
C- zbiór człowiek (nazwa zbioru)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek
Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
1.
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% => będzie to kobieta (K=1)
~M=>K =1
2.
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% => będzie to mężczyzna (M=1)
~K=>M =1

2.5 Zbiór wszystkich zbiorów

Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z Uniwersum na mocy definicji Uniwersum.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Wszystkie pojęcia poza (~) Uniwersum są zbiorem pustym.
~U= [] =0
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
D = U
Na mocy definicji:
Zaprzeczenie zbioru (~) to jego uzupełnienie do dziedziny
Stąd:
~U=[D-U]=[U-U]=[] =0
Wynika z tego, że zbiór Uniwersum i zbiór pusty to zbiory rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny U
U+~U = U+[] =U =1 - zbiór ~U=[] jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru U
U*~U = U*[] =[] =0 - zbiory U i ~U=[] są rozłączne

2.6 Zbiory właściwe i niewłaściwe

Definicja zbioru właściwego:
Zbiór właściwy to zbiór mający nazwę własną należącą do Uniwersum (zrozumiałą dla człowieka)

Przykład:
C = [M, K] - zbiór C jest zbiorem 2-elementowym
C - zbiór człowiek (nazwa zbioru)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
[x] - zawartość zbioru, elementy zbioru rozdzielamy przecinkami
Nazwa zbioru „człowiek” jest zrozumiała przez każdego człowieka, dlatego ten zbiór należy do Uniwersum

Definicja zbioru niewłaściwego:
Zbiór niewłaściwy to zbiór którego nazwa własna nie należy do Uniwersum.

Przykłady zbiorów niewłaściwych p i q (typu mydło i powidło):
p=[pies, samochód, LN] - zbiór 3-elemetowy
q = [pies, samochód, LN, miłość] - zbiór 4-elementowy
Gdzie:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych

W Kubusiowej Teorii Zbiorów zbiór p to zbiór niewłaściwy 3-elementowy, zaś zbiór q to zbiór niewłaściwy 4-elementowy. Matematycznie zbiór p jest podzbiorem => zbioru q jednak oba te zbiory nie mają nazw własnych zrozumiałych dla człowieka, zatem oba te zbiory to zbiory niewłaściwe.
Żadne rozumowanie człowieka nie opiera się na zbiorach niewłaściwych (typu mydło i powidło) co nie oznacza, że zbiory te nie mogą być użyteczne w tłumaczeniu logiki matematycznej na poziomie matematycznego przedszkola.
Dowód:
p=>q =1 - bo zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
p~>q =0 - bo zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
;
q~>p =1 - bo zbiór q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru p
q=>p =0 - bo zbiór q nie jest (=0) podzbiorem => zbioru p
Gdzie:
p ## q
## - różne na mocy definicji
To są oczywiście cenne wyjaśnienia, zrozumiałe dla każdego 5-cio latka

2.7 Definicja logiki matematycznej i twierdzenia matematycznego

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to dowodzenie prawdziwości/fałszywości zdań wypowiadanych przez człowieka.

Definicja twierdzenia matematycznego:
Twierdzenie matematyczne to dowolne zdanie którego prawdziwości/fałszywości dowodzimy

2.8 Twierdzenie minimalne i nieminimalne

Rozważmy twierdzenie matematyczne.

Twierdzenie 1.
Zbiór wszystkich zwierząt jest sumą logiczną zbioru zwierząt z czterema łapami 4L oraz zbioru zwierząt nie mających czterech łap ~4L
ZWZ=[4L,~4L]
Zapis matematycznie tożsamy:
ZWZ=4L+~4L
Gdzie:
ZWZ=[pies, słoń, kura, wąż …] - zbiór wszystkich zwierząt (dziedzina)
4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt mających cztery łapy
~4L=[ZWZ-4L]=[kura, wąż …] - zbiór zwierząt nie mających czterech łap
Stąd:
ZWZ=4L+~4L
Twierdzenie 1 to twierdzenie minimalne.

Jednak 5-cio latek Jaś może powiedzieć tak:
Twierdzenie 2.
Zbiór wszystkich zwierząt to:
4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt mających cztery łapy
oraz:
~4L=[ZWZ-4L]=[kura, wąż …] - zbiór zwierząt nie mających czterech łap
jak również mój piesek Reksio oraz moja papuga Ara.
ZWZ=[4L+~4L + Reksio + Ara]

Oba twierdzenia 1 i 2 są prawdziwe i tożsame, jednak twierdzenie 2 nie jest minimalne.
Zauważmy, że Reksio jest już w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L), zaś papuga Ara w zbiorze zwierząt nie mających czterech łap (~4L).
Jaś podświadomie skorzystał tu z prawa powielania elementów w dowolnym zbiorze:
p=p+p
oraz prawa wyciągnięcia Reksia i Arę poza podzbiory 4L i ~4L.
Matematycznie zachodzą tu tożsamości:
4L=4L+Reksio
~4L=~4L+Ara
Stąd mamy:
ZWZ = [4L+~4L] = [4L+Reksio + ~4L+Ara] =[ 4L+~4L+Reksio+Ara]

Definicja twierdzenia minimalnego:
Twierdzenie minimalne to twierdzenie operujące na zbiorach właściwych bez wyciągania poszczególnych elementów z tych zbiorów na zewnątrz.
Przykład wyżej doskonale to obrazuje.
W matematyce operujemy wyłącznie twierdzeniami minimalnymi, na dodatek nieskończonymi.

2.9 Prawo Jeża

Przypomnijmy sobie podstawowe definicje Kubusiowej Teorii Zbiorów

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć należących do Uniwersum

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka

Prawo Jeża:
Dowolne pojęcie które człowiek rozumie należy do Uniwersum, ale nie należy do zbioru pustego na mocy definicji Uniwersum i definicji zbioru pustego []

Prawo Jeża wynika bezpośrednio z definicji Uniwersum i definicji zbioru pustego:

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Stąd pojęcie które człowiek rozumie musi należeć do zbioru Uniwersum.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
W tej definicji wyraźnie chodzi o zawartość worka z napisem „zbiór pusty” a nie o sam worek.
Stąd pojęcie które człowiek rozumie nie może należeć do zbioru pustego
cnd

Komentarz:
Każdy zbiór jest tożsamy z samym sobą zatem zbiór pusty [] też jest tożsamy z samym sobą.
Dla nas, ziemian, zbiór pusty to wszelkie pojęcia których na dzień dzisiejszy nie znamy.
W dowolnych rozważaniach mamy prawo, a nawet obowiązek, zawęzić dziedzinę do konkretnego zbioru na którym pracujemy.
Przykładowo, dowodząc twierdzenia Pitagorasa świadomie zawężamy dziedzinę do zbioru wszystkich trójkątów traktując wszystko co jest poza tą dziedziną jako zbiór pusty, zupełnie nas nie interesujący.

W badaniach naukowych takie świadome zawężenie dziedziny poszukiwań może być niekiedy błędne.
Przykładowo z czterdzieści lat temu największe laboratoria świata pracowały nad wynalezieniem niebieskiej diody LED, kluczowej dla sygnału RGB (TV kolorowa). Wszyscy świadomie operowali w grupie pierwiastków X gdzie co prawda odkryto niebieską LED, ale żywotność i jasność świecenia liche były.
… no i zjawił się nikomu nieznany Japończyk Nakamura, specjalista od świetlówek, który zaczął szukać niebieskiej diody LED w grupie pierwiastków Y.
[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

5.0 Teoria zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach

Spis treści
5.0 Teoria zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach 1
5.1 Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów 1
5.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 1
5.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 1
5.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 2
5.5 Zdjęcie układu w zbiorach 2
6.0 Warunki wystarczające => i konieczne ~> w rachunku zero-jedynkowym 3
6.1 Zero-jedynkowe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 3
6.2 Brak przemienności argumentów w => i ~> 4
7.0 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 4
7.1 Prawa Kubusia 6
7.2 Prawa Tygryska 7
7.3 Prawa kontrapozycji 7

5.0 Teoria zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to dowodzenie prawdziwości/fałszywości zdań wypowiadanych przez człowieka.

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>

Definicje elementarne w algebrze Kubusia to:
p~~>q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> (zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach)
p=>q - definicja warunku wystarczającego
p~>q - definicja warunku koniecznego

5.1 Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q=p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

5.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

5.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

5.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Inaczej:
p~~>~q = p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli p to q
p=>q =1 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0

Uproszczona definicja kontrprzykładu w zbiorach:
p~~>~q=p*~q =1
Kontrprzykład istnieje (=1) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p*~q
Inaczej:
p~~>q = p*~q =0
Rozstrzygnięcia jak wyżej.

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0 bo kontrprzykład 2
Uproszczona definicja kontrprzykładu:
Istnieje liczba podzielna przez 2 i niepodzielna przez 8
P2*~P8 =1 bo 2
Prawdziwość kontrprzykładu wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A.

5.5 Zdjęcie układu w zbiorach

Zdjęcie układu w zbiorach:
Zdjęciem układu w zbiorach nazywamy analizę zdania warunkowego „Jeśli p to q” definicją elementu wspólnego zbiorów ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Jeśli p to q
p~~>q = p*q =?
p, q - zbiory definiowane przez zdanie „Jeśli p to q”
Czy istnieje element wspólny zbiorów p i q?
p~~>q =p*q =1 - TAK
Inaczej:
p~~>q=p*q =0 - NIE

Definicja negacji zbioru:
Negacją (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D
Zachodzi tożsamość pojęć:
Negacja zbioru (~) p = Zaprzeczenie (~) zbioru p

Przyjmujemy dziedzinę D.
Stąd mamy:
~p=[D-p]
~q=[D-q]

Zdjęcie układu opisywanego zdaniem „Jeśli p to q” definiuje tabela prawdy zdjęcia:

rafal3006

8.0 Definicje operatorów logicznych w zbiorach

Spis treści
8.0 Definicje operatorów logicznych w zbiorach 1
8.1 Definicja operatora chaosu p|~~>q 2
8.1.2 Operator chaosu p|~~>q w praktyce 6
8.1.3 Właściwości operatora chaosu p|~~>q 7
8.1.4 Kodowanie zero-jedynkowe operatora chaosu p|~~>q 8

8.0 Definicje operatorów logicznych w zbiorach

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to dowodzenie prawdziwości/fałszywości zdań wypowiadanych przez człowieka.

Definicja twierdzenia matematycznego:
Twierdzenie matematyczne to dowolne zdanie którego prawdziwości/fałszywości dowodzimy

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>

Definicje elementarne w algebrze Kubusia to:
p~~>q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> (zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach)
p=>q - definicja warunku wystarczającego
p~>q - definicja warunku koniecznego

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q=p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Inaczej:
p~~>~q = p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Zdjęcie układu w zbiorach:
Zdjęciem układu w zbiorach nazywamy analizę zdania warunkowego „Jeśli p to q” definicją elementu wspólnego zbiorów ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Jeśli p to q
p~~>q = p*q =?
p, q - zbiory definiowane przez zdanie „Jeśli p to q”
Czy istnieje element wspólny zbiorów p i q?
p~~>q =p*q =1 - TAK
Inaczej:
p~~>q=p*q =0 - NIE

8.1 Definicja operatora chaosu p|~~>q

Definicja operatora chaosu p|~~>q
Operator chaosu p|~~>q to istnienie elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q oraz nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
p~~>q=p*q =1 - istnieje element wspólny zbiorów p i q
p=>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek konieczny ~>
Definicja operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = (p~~>q)* ~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) =1*1*1 =1
Gdzie:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Przy omawianiu definicji operatora chaosu p|~~>q posłużymy się zdaniem warunkowym „Jeśli p to q” wchodzącym w skład definicji operatora chaosu.

Rozważmy twierdzenie matematyczne:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9,12,15,18,21,24..] jest spełniona (=1) bo istnieje co najmniej jeden wspólny element tych zbiorów (np. 24)

Badamy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
P8=>P3 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9,12,15,18,21,24..]

Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
P8~>P3 =0
Definicja warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku nie jest spełniona (=0) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9,12,15,18,21,24..]

Rozstrzygnięcie:
Zdanie A wchodzi w skład definicji operatora chaosu P8|~~>P3 =1
P8|~~>P3 = (P8~~>P3)*~(P8=>P3)*~(P8~>P3) = 1*~(0)*~(0) =1*1*1 =1

Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach:
Zbiory p i q mają element wspólny i żaden z nich nie zawiera się w drugim.

Powyższa definicja w zbiorach wynika z definicji ogólnej definicji operatora chaosu p|~~>q w zbiorach bowiem tylko i wyłącznie w takim układzie zbiorów zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q i nie jest jednocześnie nadzbiorem ~> zbioru q.

Stąd mamy diagram operatora chaosu p|~~>q w zbiorach:
[link widoczny dla zalogowanych]

Definicja operatora chaosu p|~~>q
Operator chaosu p|~~>q to istnienie elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q oraz nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
p~~>q=p*q =1 - istnieje element wspólny zbiorów p i q
p=>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek konieczny ~>
Definicja operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
p|~~>q = (p~~>q)* ~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) =1*1*1 =1
Gdzie:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Prawa rachunku zero-jedynkowego wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5:~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Powyższe prawa wyprowadzono w punkcie 6.0

Na mocy definicji operatora chaosu p|~~>q mamy:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =0
stąd:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią operatora chaosu p|~~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić istnienie elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q oraz udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii A1234 i fałszywość dowolnego zdania serii B1234

Symboliczna definicja operatora chaosu p|~~>q to analiza układu przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Symboliczną definicję operatora chaosu p|~~>q odczytujemy z diagramu R1.

rafal3006

8.2 Definicja operatora implikacji prostej p|=>q

Spis treści
8.2 Definicja operatora implikacji prostej p|=>q 1
8.2.1 Operator implikacji prostej p|=>q w praktyce 6
8.2.2 Implikacja prosta p|=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> 9
8.2.3 Zdjęcie układu implikacji prostej p|=>q 10
8.2.4 Wnioskowanie ze zdjęcia układu implikacji prostej p|=>q 12

8.2 Definicja operatora implikacji prostej p|=>q

Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - zachodzi (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Przy omawianiu definicji implikacji prostej p|=>q posłużymy się zdaniem warunkowym „Jeśli p to q” wchodzącym w skład definicji implikacji prostej p|=>q.

Rozważmy twierdzenie matematyczne:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2.
Wymuszam dowolną liczbą podzielną przez 8 i mam gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% =>

Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Przyjmujemy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Zbiory P8 i P2 oraz ich zaprzeczenia do dziedziny to:
P8=[8,16,24..]
P2=[2,4,6,8…]
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9…]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]

Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku nie jest spełniona (=0) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Rozstrzygniecie:
Zdanie A wchodzi w skład definicji operatora implikacji prostej P8|=>P2:
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~(P8~>P2) = 1*~(0) = 1*1 =1

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Powyższa definicja w zbiorach wynika z definicji ogólnej implikacji prostej p|=>q bowiem tylko i wyłącznie w takim układzie zbiorów zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest jednocześnie nadzbiorem ~> zbioru q.

Stąd mamy diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach.
[link widoczny dla zalogowanych]

Zauważmy, że definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach jest w 100% zgodna z prawami rachunku zero-jedynkowego wiążącymi warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>.

Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =1 - zachodzi (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w rachunku zero-jedynkowym:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5:~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa te wyprowadzono w punkcie 7.0

Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach (rys. R2) mamy:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
Stąd:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii B1234

Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q to analiza układu przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Symboliczną definicję implikacji prostej p|=>q odczytujemy z diagramu R2.

rafal3006

8.3 Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q

Spis treści
8.3 Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q 1
8.3.1 Operator implikacji odwrotnej p|~>q w praktyce 5
8.3.2 Implikacja odwrotne p|~>q w warunkach koniecznych ~> i wystarczających => 8
8.3.3 Zdjęcie układu implikacji odwrotnej p|~>q 9
8.3.4 Wnioskowanie ze zdjęcia układu implikacji odwrotnej p|~>q 11

8.3 Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - zachodzi (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Przy omawianiu definicji implikacji odwrotnej p|~>q posłużymy się zdaniem warunkowym „Jeśli p to q” wchodzącym w skład definicji implikacji odwrotnej p|~>q.

Twierdzenie matematyczne:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Zabieram zbiór P2 i znika mi zbiór P8
Zbiór P2 jest konieczny ~> dla zbudowania zbioru P8
Przyjmujemy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Zbiory P2 i P8 oraz ich zaprzeczenia do dziedziny to:
P2=[2,4,6,8…]
P8=[8,16,24..]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9…]

Badamy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku nie jest spełniona (=0) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

Rozstrzygnięcie:
Zdanie A wchodzi w skład definicji operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8:
P2|~>P8 = (P2~>P8)*~(P2=>P8) = 1*~(0) =1*1 =1
cnd

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Powyższa definicja w zbiorach wynika z definicji ogólnej implikacji odwrotnej p|~>q bowiem tylko i wyłącznie w takim układzie zbiorów zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest jednocześnie podzbiorem => zbioru q.

Stąd mamy diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
[link widoczny dla zalogowanych]

Zauważmy, że definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach jest w 100% zgodna z prawami rachunku zero-jedynkowego wiążących warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>.

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - zachodzi (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5:~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa te wyprowadzono w punkcie 7.0

Na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q mamy:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
Stąd:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii A123.

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q to analiza układu przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Symboliczną definicję implikacji odwrotnej p|~>q odczytujemy z diagramu R3

rafal3006

8.4 Rodzaje równoważności

Spis treści
8.4 Rodzaje równoważności 1
8.4.1 Równoważność definiująca tożsamość zbiorów p=q 1
8.4.2 Prawo rozpoznawalności pojęcia p 1
8.5 Równoważność definiująca tożsamość zbiorów (pojęć) p=q 3
8.5.1 Równoważność p<=>q w praktyce 10
8.5.2 Równoważność w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> 14
8.5.3 Zdjęcie układu równoważności p<=>q 15
8.5.4 Wnioskowanie ze zdjęcia równoważności p<=>q 17

8.4 Rodzaje równoważności

Rozróżniamy dwa rodzaje równoważności:

8.4.1 Równoważność definiująca tożsamość zbiorów p=q

1.
Równoważność definiująca tożsamość zbiorów (pojęć) p=q

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (p=>q)*(p~>q)

Twierdzenie proste sfinii:
Jeśli zachodzi tożsamość zbiorów (pojęć) p=q to na 100% => zachodzi równoważność p<=>q
p=q => p<=>q = (p=>q)*p~>q)
Każda tożsamość pojęć (zbiorów) to równoważność p<=>q
Twierdzenie odwrotne śfinii jest fałszem bo równoważność definiująca tożsamość wiedzy p<==>~p

8.4.2 Prawo rozpoznawalności pojęcia p

2.
Równoważność definiująca tożsamość wiedzy p<==>~p

Równoważność definiująca tożsamość wiedzy p<==>~p to prawo rozpoznawalności pojęcia p.

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
Wiem co znaczy pojęcie p wtedy i tylko wtedy <==> gdy wiem co znaczy pojęcie ~p
p<==>~p = (A: p==>~p)*(B: p~~>~p) =1*1 =1
Prawo rozpoznawalności pojęcia p definiuje tożsamość wiedzy.
A.
Jeśli znam pojęcie p to na 100% ==> znam pojęcie ~p
p==>~p =1
Znajomość p jest wystarczająca ==> dla znajomości ~p
B.
Jeśli znam pojęcie ~p to na 100% ==> znam pojęcie p
~p==>p =1
Znajomość ~p jest wystarczająca ==> dla znajomości p

Stąd mamy równoważność wiedzy:
p<==>~p = (p==>~p)*(~p==>p)
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia w przełożeniu na znaczki ==> i ~~>:
~p==>p = p~~>~p
Stąd tożsama definicja równoważność wiedzy:
p<==>~p = (p==>~p)*(p~~>~p) =1*1 =1

Dowód prawa rozpoznawalności pojęcia p na poziomie abstrakcyjnym:
Wyobraźmy sobie że żyjemy we Wszechświecie o idealnej temperaturze:
t = constans
W takim Wszechświecie pojęcia ciepło (C=1) i nie ciepło (~C=1) nie istnieją bo niemożliwe jest zmierzenie choćby najmniejszej różnicy temperatur

Zauważmy że tożsamość wiedzy p<==>~p:
p<==>~p = (p==>~p)*(p~~>~q)
to fundamentalnie co innego niż tożsamość zbiorów (pojęć) p=p:
p=p <=> (p=>p)*(p~>p)
Z tego powodu znaczki definiujące tożsamość wiedzy p<==>~p muszą być różne od znaczków definiujących tożsamość zbiorów (pojęć):
p=q => p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Proponowana notacja to podwojenie znaczków (=) i (~)

Znaczek tożsamości wiedzy <==> jest tożsamy ze znaczkiem różne #.
p<==>~p = p#~p
Z tego powodu równoważność wiedzy p<==>~p różna od klasycznej tożsamości zbiorów p=p nie jest w praktyce logiki matematycznej używana, co nie oznacza iż nie wolno jej używać.

Definicja znaczka #:
p#~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu
Dowolna strona znaku # jest zaprzeczeniem drugiej strony
Matematycznie zachodzi:
Pojęcie p to zaprzeczone (~) pojęcie ~p
p=~(~p)
Pojęcie ~p to zaprzeczone (~) pojęcie p
~p = ~(p)

Zadanie matematyczne ze 100-miloego lasu:

Dana jest funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y):
Y=p+q
Wyznacz funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y) oraz zapisz matematyczne związki miedzy tymi funkcjami.

Rozwiązanie:
1.
Mamy:
Y=p+q
Negujemy stronami:
~Y=~(p+q) = ~p*~q
2.
~Y=~p*~q
Matematyczne związki między Y i ~Y to:
A.
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y)
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = ~(~p*~q)
B.
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logia dodatnia (bo Y):
~Y = ~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p*~q = ~(p+q)

Matematyczne związki Y i ~Y to:
A: Y=p+q = ~(~p*~q) # B: ~Y=~p*~q = ~(p+q)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu
Dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Podsumowanie:
Doskonale tu widać dlaczego w praktyce logiki matematycznej prawo tożsamości wiedzy p<==>~p nie jest używane.
Zachodzi po prostu tożsamość znaczków:
p<==>~p = p # ~p

8.5 Równoważność definiująca tożsamość zbiorów (pojęć) p=q

Definicja tożsamości zbiorów:
Zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy <=> gdy zbiór p jest podzbiorem => q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (p=>q)*(p~>q)

Twierdzenie proste sfinii:
Jeśli zachodzi tożsamość zbiorów (pojęć) p=q to na 100% => zachodzi równoważność p<=>q
p=q => p<=>q = (p=>q)*p~>q)
Każda tożsamość zbiorów (pojęć) to równoważność
Twierdzenie odwrotne śfinii jest fałszem bo prawo rozpoznawalności pojęcia p

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy <==> gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
Wiem co znaczy pojęcie p wtedy i tylko wtedy <==> gdy wiem co znaczy pojęcie ~p
p<==>~p = (p==>~p)*(p~~>~p)
Prawo rozpoznawalności pojęcia p definiuje tożsamość wiedzy.

Twierdzenie śfinii:
Jeśli zachodzi tożsamość zbiorów (pojęć) p=q to na 100% => zachodzi równoważność p<=>q
p=q => p<=>q = (p=>q)*(p~>q)

Stąd:
Definicja równoważności związana z tożsamością pojęć p=q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - zachodzi (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - zachodzi (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Na mocy definicji równoważności p<=>q mamy:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1
Stąd:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wyprowadzono w punkcie 7.0
Aby udowodnić iż dowolne zdanie „Jeśli p to q” wchodzi w skład definicji równoważności potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234

Podstawowa definicja równoważności:
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> i wystarcza => by zaszło p
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy <==> gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
Wiem co znaczy pojęcie p wtedy i tylko wtedy <==> gdy wiem co znaczy pojęcie ~p
p<==>~p = (p==>~p)*(p~~>~p)

Na mocy prawa rozpoznawalności pojęcia p tożsamość zbiorów p=q wymusza ==> tożsamość zbiorów ~p=~q i odwrotnie:
p=q <==> ~p=~q = (p=q ==> ~p=~q)*(~p=~q ==> p=q)
Zapis matematycznie tożsamy:
p=q # ~p=~q

Definicja znaczka #:
Pojęcie po dowolnej stronie znaczka # jest zaprzeczeniem pojęcia po drugiej stronie
p=q # ~p=~q
Matematycznie zachodzą tożsamości zbiorów (pojęć):
(p=q) =~(~p=~q)
(~p=~q) = ~(p=q)

Stąd mamy:
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
#
Definicja tożsamości zbiorów ~p=~q:
Zbiory ~p i ~q są tożsame (~p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q i jednocześnie zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
~p=~q <=> (B2: ~p=>~q)*(A2: ~p~>~q)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu
p=q # ~p=~q
Dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Stąd mamy:
A.
Definicja równoważności dla zbiorów tożsamych p=q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - zachodzi (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - zachodzi (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
#
B.
Definicja równoważności dla zbiorów tożsamych ~p=~q:
Równoważność ~p<=>~q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
~p=>~q =1 - zachodzi (=1) warunek wystarczający =>
~p~>~q =1 - zachodzi (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~p~>~q) = 1*1 =1
Gdzie:
p=q => p<=>q # ~p=~q => ~p<=>~q
Znaczenie znaczka #:
Dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Wniosek:
Równoważność definiująca zbiory tożsame p=q nie jest tożsama z równoważnością definiującą zbiory tożsame ~p=~q

Przy omawianiu równoważności, dla lepszego zrozumienia, posiłkować się będziemy równoważnością Pitagorasa.
Diagram równoważności na mocy równań A i B jest następujący.
[link widoczny dla zalogowanych]

Definicja równoważności p<=>q dla zbiorów tożsamych p=q
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p=>q =1 - zachodzi (=1) warunek wystarczający =>
p~>q =1 - zachodzi (=1) warunek konieczny ~>
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Prawa rachunku zero-jedynkowego wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5:~p+q
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa te wyprowadzono w punkcie 7.0

Stąd na mocy definicji równoważności p<=>q w zbiorach (Rys. R4) mamy:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1
stąd:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii B1234

Z powyższego wynika 16 tożsamych definicji równoważności bo:

Podstawowa definicja równoważności:
p<=>q = A1: (p=>q)* B1: (p~>q)
Rozwijając A1 i B1 mamy:
p<=>q = A: (p=>q = ~p~>~q = q~>p = ~q=>~p)* B: (p~>q = ~p=>~q + q=>p = ~q~>~p) =1*1 =1

Najważniejsze z 16 tożsamych definicji równoważności to:

1.
Podstawowa definicja równoważności:
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło p
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)=1*1=1

Zastosujmy do 1 ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
p~>q = q=>p
Stad mamy:
2.
Klasyczna definicja równoważności:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1 =1

Zastosujmy do 1 ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
p~>q = ~p=>~q
Stąd mamy:
3.
Definicja równoważności wynikająca z tabeli zero-jedynkowej:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) =1*1 =1

Symboliczna definicja równoważności p<=>q odczytana z diagramu R4 to analiza układu przez wszystkie możliwe przeczenia p i q wyłącznie w warunkach wystarczających =>:
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)

rafal3006

9.0 Zakamarki Kubusiowej Teorii Zbiorów

Spis treści
9.0 Zakamarki Kubusiowej Teorii Zbiorów 1
9.1 Prawa przechodniości 1
9.1.1 Dowód prawa przechodniości na przykładzie 1
9.1.2 Dowód formalny prawa przechodniości 3
9.2 Spójniki „lub”(+), „albo($) oraz „i”(*) w poprzedniku warunku wystarczającego 5
9.2.1 Spójnik „lub”(+) i „albo($) w poprzedniku warunku wystarczającego 5
9.2.2 Spójnik „i”(*) w poprzedniku warunku wystarczającego 7
10.0 Algebra Kubusia vs Klasyczny Rachunek Zdań 8
10.1 Algebra Kubusia w akcji 10
10.2 Klasyczny Rachunek Zdań w akcji 12

9.0 Zakamarki Kubusiowej Teorii Zbiorów

9.1 Prawa przechodniości

Matematyczne tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Prawo przechodniości warunku wystarczającego =>:
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru r to na 100% => zbiór p jest podzbiorem => zbioru r
(p=>q)*(q=>r) => (p=>r)

Prawo przechodniości warunku koniecznego ~>
Jeśli zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i zbiór q jest nadzbiorem ~> zbioru r to na 100% => zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru r
(p~>q)*(q~>r) => (p~>r)

9.1.1 Dowód prawa przechodniości na przykładzie

Prawo przechodniości warunku wystarczającego =>:
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru r to na 100% => zbiór p jest podzbiorem => zbioru r
(p=>q)*(q=>r) => (p=>r)

Dowód poprawności prawa przechodniości na zbiorach minimalnych.
Zdefiniujmy zbiory minimalne spełniające prawo przechodniości:
p=[1]
q=[1,2]
r=[1,2,3]
Przyjmijmy dziedzinę minimalną szerszą od sumy zbiorów p+q+r
D=[1,2,3,4]
Obliczenia przeceń zbiorów:
~p=[D-p] =[2,3,4]
~q=[D-q]=[3,4]
~r=[D-r]=[4]
Podsumowując:
~p=[2,3,4]
~q=[3,4]
~r=[4]

Prawo przechodniości jest tu spełnione w sposób oczywisty:
1.
(p=>q)*(q=>r) => (p=>r)

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Zastosujmy prawo Kubusia do 1.
(~p~>~q)*(~q~>~r) => (~p~>~r)
Czytamy:
Z faktu iż:
A: zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
„i”(*)
B: Zbiór ~q jest nadzbiorem ~> zbioru ~r
WYNIKA => iż:
C: zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~r

Uwaga:
Sprawdzamy czy tak jest w istocie - jeśli nie jest to matematyka ścisła, Algebra Kubusia, leży w gruzach.
Mamy:
~p=[2,3,4]
~q=[3,4]
~r=[4]

A.
~p~>~q
[2,3,4] ~> [3,4] =1 - bo definicja nadzbioru ~> spełniona (=1)
ok
B.
~q~>~r
[3,4]~>[4] =1 - bo definicja nadzbioru ~> spełniona (=1)
ok

Z A*B =1*1 wynika =>:
C.
~p~>~r
[2,3,4]~>[4] =1 - bo definicja nadzbioru ~> spełniona (=1)
ok

Jak widzimy, w Kubusiowej Teorii Zbiorów prawo przechodniości działa doskonale respektując fundamentalne prawa logiki matematycznej: prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji.

9.1.2 Dowód formalny prawa przechodniości

Matematyczne tożsamości w zbiorach:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Prawo przechodniości warunku wystarczającego =>:
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru r to na 100% => zbiór p jest podzbiorem => zbioru r
1.
(p=>q)*(q=>r) => (p=>r)

Dowód:
Zastosujmy prawo De Morgana:
a*b = ~(~a+~b)
dla lewej strony prawa przechodniości:
2.
~[~(p=>q) + ~(q=>r)] => (p=>r)

Zastosujmy ogólne prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki => i ~> na przeciwne
3.
~(p=>q) + ~(q=>r) ~> ~(p=>r)
Uwaga:
Z lewej strony 2 likwidujemy tylko negację sprzed nawiasu kwadratowego nie dotykając zawartości nawiasu kwadratowego.

Definicja znaczka =>:
p=>q = ~p+q
Po zastosowaniu definicji znaczka => mamy:
4.
~(~p+q) + ~(~q+r) ~> ~(~p+r)

Prawo De Morgana:
~p+q = ~(p*~q)
stąd mamy:
5.
p*~q + q*~r ~> ~(~p+r)
Domyślna kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), => albo ~>

Definicja znaczka ~>:
p~>q = p+~q

stąd:
6.
p*~q + q*~r + ~p+r
Uporządkujmy to wyrażenie logiczne grupując wspólne symbole (p i r):
7.
(p*~q + ~p) + (q*~r+r)

Podstawmy:
w=(p*~q)+~p
Przejście do logiki ujemnej (bo ~w) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~w = (~p+q)*p = p*~p + p*q
~w=p*q
Powrót do logiki dodatniej:
w=~p+~q

Podobnie podstawmy:
z=(q*~r) + r
Przejście do logiki ujemnej (bo ~z) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~z = (~q+r)*~r = ~q*~r + r*~r
~z = ~q*~r
Powrót do logiki dodatniej:
z = q+r

Stąd:
8.
(p*~q + ~p) + (q*~r+r) = ~p+~q+q+r = ~p+1+r =1
bo:
~q+q=1
1+x =1
cnd

Dowód tożsamy otrzymamy na gruncie rachunku zero-jedynkowego, gdzie zero-jedynkowe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> są następujące.