ŚFiNiA

konrado5

Proszę udowodnić, że 2+2=4.

macjan

Haha, dobre :rotfl:

To wynika z definicji dodawania oraz z definicji symboli 2 i 4.

Definicje cyfr: 0 := ∅, 1 := S(0), 2 := S(1), 3 := S(2), 4 := S(3)
S(x) := x + {x} - definicja następnika; "+" to tutaj suma zbiorów
Można udowodnić, że wszystkie wygenerowane w ten sposób liczby są parami różne, oraz że mniejsza liczba zawiera się w większej.

Dodawanie definiuje się przez aksjomat dodawania:
a + S(b) = S(a) + b
oraz element neutralny: a + 0 = a

Teraz możemy przystąpić do dzieła:

2+2 = 2 + S(1) = S(2) + 1 = 3 + 1 = 3 + S(0) = S(3) + 0 = 4 + 0 = 4
Najpierw korzystamy wielokrotnie z aksjomatu dodawania, a na samym końcu z aksjomatu o elemencie neutralnym.

Czy to cię satysfakcjonuje?

konrado5

Ja słyszałem, że Russell podał jakiś dowód na to, że "2+2=4", który zajmował 200 stron i zawierał jeden błąd. Na czym ten dowód polegał?

wujzboj

Ja nie słyszałem. To było chyba inaczej: Fredge starał się udowodnić, że matematykę można zredukować do logiki. Tuż przed wydaniem drugiego tomu swoich rozważań, otrzymał list od Russella, dotyczący właśnie paradoksu Russella; obecność tego paradoksu dostrzegł Russel w systemie, nad którym pracował Fredge. Ostatecznym skutkiem było to, że Fredge zrezygnował ze swojego projektu zredukowania matematyki do logiki.

konrado5

A twoim zdaniem matematykę można zredukować do logiki? Jakie jest twoje stanowisko w filozofii matematyki?

wujzboj

Moim zdaniem to przede wszystkim nie jest pytanie z zakresu filozofii matematyki, ile z zakresu formalnych podstaw matematyki.

Przypuszczam, że matematyki nie da się zredukować do logiki, a to ze względu na twierdzenia Goedla. Ale w sumie jest mi obojętne, czy się da, czy nie. Bo moim zdaniem z żadnego z tych obu przypadków nie wynika nic specjalnie ciekawego ani dla matematyki, ani tym bardziej dla filozofii.

Moim skromnym zdaniem, matematyka jest formalnym przedstawieniem sposobu ludzkiego myślenia i postrzegania świata. Dlatego niewątpliwie istnieje związek epistemologii z matematyką - ale związek ten jest trywialny, podobnie jak związek fizyki z epistemologią.

rafal3006

macjan

Na litość, człowieku, czy ponad 70 tematów ci nie wystarczy?!

rafal3006

Pali ci się pod nogami czy co ? ....

Jak masz coś przeciwko mojemu postowi w tym temacie to obalaj merytorycznie, w szczególności obalaj sobie prawa Kubusia.

p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Masz czas do końca świata ...

Nie wiem jak można tego nie docenić ? Życie bez praw Kubusia w implikacji to znacznie gorzej niż życie bez praw de'Morgana w operatorach AND i OR.

Czy kwestionujesz prawa de'Morgana ?

Na pewno nie bo są fenomenalne.

Dlaczego kwestionujesz prawa Kubusia ?

Może byś je obalił zamiast wykrzykiwać tu o 70 tematach, to krystalicznie czysta matematyka więc w czym masz problem ? .... matematykiem chyba jesteś - warto założyć 1000 tematów by dokonać przełomu w logice, zgadza się ?

Superstar

I po coś macjan pisał, nie drażnij lwa,tj. niedźwiedzia ;P

idiota

tak.
nie drażnić mentalnie przesuniętych!

rafal3006

konrado5

rafal3006: co ma wspólnego problem dowodu na to, że 2+2=4 z tym co ty myślisz o implikacji? Coś ty się tak uczepił tej implikacji? Czy nie ma ciekawszych problemów?

rafal3006

W pierwszym moim poście w tym temacie odniosłem się do Wuja i jego zacytowałem. Mam chyba prawo do komentowania czyichkolwiek poglądów niezależnie od tematu.

Aktualnie nie ma nic ciekawszego w matematyce niż implikacja bo w Wikipedii pisze:

Implikacja to najbardziej kontrowersyjny spójnik w logice

Dlaczego kontrowersyjny ?

To najciekawszy problem, zgadza się ?

Konrado, Twoje problemy typu czy nasz Wszechświat jest zdeterminowany czy nie są bez znaczenia bo nikt nigdy tego nie udowodni, ani w jedną stronę, ani w drugą. Jest to więc tylko i wyłącznie filozoficzne lanie wody.

Rozstrzygnąć problem implikacji człowiek może, niezależnie od tego czy Bóg istnieje czy nie ... i tego właśnie od 3 lat próbuję. Jestem pewien że mi się udało ... trzeba tylko do tego przekonać Macjana :grin:

vpprof

Wszystkie dowody opierają się na przesłankach, aksjomatach, tak w logice jak i w matematyce. Jeśli to a to, to jest tak a tak. Przykładowo, macjan korzysta z kilku twierdzeń przyjmowanych za prawdziwe bez dowodu (ot choćby to, że a+0=a).

Można prosić o udowodnienie, że 2+2=4, lecz to będzie nas sprowadzało jedynie do szczegółowych operacji logicznych, które same również będą "wymagały" dowodu (w każdym razie, żeby zaspokoić naszą ciekawość, będą musiały być udowodnione). Ostatecznie dochodzi się zawsze do twierdzeń, które po prostu trzeba przyjąć za prawdziwe.

Jak mniemam, pytanie konrado wzięło się z dyskusji o kryteriach sensowności wyrażeń językowych, czy tak?

konrado5

Powime inaczej to, że a+0=a jest prawdziwe dlatego, że ktoś to uznał za prawdziwe. Nie jest to więc kwestia wiary w prawdziwość. Nie jest tak, że w rzeczywistości istnieje wartość logiczna zdania a+0=a, której nie mogę sprawdzić. Zgodzicie się z tym? No i pytanie o dowód na to, że 2+2=4 nie wzięło się z dyskusji o sensowności wyrażeń.

Sdx

a+0=a nie jest zadnym twierdzeniem przyjmowanym bez dowodu, a wynika to bezposrednio z definicji pierscienia liczb calkowitych.

wujzboj

Dokładnie. Innymi słowy: jest to definicja elementu 0 jako elementu neutralnego operacji dodawania.

idiota

Sdx

idiota

a jak wygląda taka definicja pierścienia?
serio nie wiem bo nigdy nie bawiłem się algebrą w liczby...
czy jest w niej mowa o tym elemencie neutralnym?
bo jak jest to jest, a jak nie ma to z czegoś musi wynikać...

Sdx

idiota

no to wylazło co pisałem.

człek ma czasem satysfakcję jak w dziedzinie której nie zna zbyt dobrze (właściwie pobieżnie) słowo prawdy powie. ;)

Sdx

No chyba nie do konca(o ile dobrze rozumiem o co Ci chodzi), poniewaz a+0=a to nie jest aksjomat(jak pisales w jednym z Twoich poprzednich postow) :wink:

vpprof

Liczby to model opisu rzeczywistości; w ramach tego modelu ustala się, co jest dozwolone (prawdziwe) a co nie. W tym sensie a+0=a nie jest aksjomatem tylko definicją elementu neutralnego. Ale definicja ta sensowną jest wtedy, kiedy przyjmiemy na wiarę szereg aksjomatów – bo przecież matematyka to nie par excellence manipulowanie znaczkami! Na końcu każdej manipulacji musi zawsze stać jakiś rzeczywisty, praktyczny wniosek, czyli interpretacja modelu matematycznego.