 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
wujzboj
Bloger na Kretowisku
Dołączył: 29 Lis 2005
Posty: 23951
Przeczytał: 0 tematów
Skąd: znad Odry
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pią 23:02, 23 Paź 2009 Temat postu: |
|
|
| wuj napisał: | | Definicja określa znaczenie użytych pojęć. Aksjomat określa te relacje zachodzące pomiędzy tymi pojęciami, które nie są konsekwencjami definicji. |
| macjan napisał: | | Tak mi przyszło do głowy, że w takim wypadku dałoby się skonstruować teorię, która nie zawiera żadnych aksjomatów. Ale to nie jest możliwe, choćby dlatego, że w każdej teorii potrzeba pojęć pierwotnych, a wtedy do określenia relacji zachodzących pomiędzy nimi potrzeba aksjomatów. |
Nie dałoby się. Bo żeby zbudować teorię, potrzebne są właśnie relacje.
Naturalnie, w praktyce definicje też mają w sobie poukrywane relacje. Bo mało kto posługuje się pojęciami rzeczywiście pierwotnymi; to byłoby wysoce niepraktyczne. Ale aksjomaty ukryte w definicjach są mało krytyczne, gdyż w gruncie rzeczy określają one tylko zakres zainteresowania teorii. Natomiast aksjomaty określające relacje pomiędzy obiektami określonymi przez definicje są krytyczne, gdyż dopiero one precyzują, jakiego zachowania należy oczekiwać od tych obiektów.
| wuj napisał: | | Innymi słowy: jest to definicja elementu 0 jako elementu neutralnego operacji dodawania. |
| macjan napisał: | | A jak w takim razie zdefiniujesz operację dodawania? |
W najprostszym przypadku, poprzez wypisanie tabelki dodawania.
| macjan napisał: | | Żeby zdefiniować dodawanie, potrzebne jest pojęcie liczby i następnika. Do tego z kolei potrzebne jest wyrażenie liczb jako zbiorów, a wtedy definicją 0 jest, że jest to zbiór pusty. |
Niekoniecznie. Dla grupy skończonej wystarczy tabelka wypisana na kartce. Dopiero dla grupy nieskończonej mamy pewien problem, biorący się stąd, że dokąd nie uporządkujemy jakoś wszystkich elementów grupy, dotąd nie umiemy podać rekurencyjnej procedury generującen naszą tabelkę. W gruncie rzeczy potrzebujemy więc jedynie systemu porządkującego. Jak go sobie określimy, to już nasza sprawa.
| macjan napisał: | Dodawaniem nazywamy działanie dwuargumentowe, które spełnia powyższe własności:
a + 0 = 0
a + S(b) = S(a) + b |
Zamieniając symbol "+" symbolem "*", a symbol "0" symbolem "1", uzyskujesz definicję mnożenia (przemiennego). Nie jest to więc czysta definicja dodawania, gdyż tkwi w niej już informacja o znaczeniu symbolu "0". Jeśli masz określoną tylko jedną operację, wtedy w gruncie rzeczy możesz ją sobie nazwać, jak dusza zapragnie. Elementy nie tyle dodajesz czy odejmujesz, lecz ze sobą składasz, uzyskując w efekcie inny element grupy. Masz nie tyle zero czy jedynkę, lecz element neutralny: złożenie z nim dowolnego elementu x produkuje na powrót element x. Aby mówić o zerze i o jedynce, musisz zbudować bogatszą strukturę algebraiczną. Najlepiej pierścień nad tym samym zbiorem: przemienna grupa z operacją, którą nazwiemy dodawaniem, oraz półgrupa z operacją, którą nazwiemy mnożeniem (dla półgrupy nie obowiązuje istnienie elementu odwrotnego do dowolnego elementu; w naszym przypadku, element neutralny grupy abelowej nie będzie miał elementu neutralnego w półgrupie). Dodajemy do tego prawa rozłączności i mamy pierścień. A jak jeszcze dodamy warunek istnienia elementu odwrotnego względem mnożenia dla każdego elementu poza zerem, będziemy mieli piękne ciało nad naszym zbiorem.
Ale to tylko taka sobie wujowa powtórka z algebry z pierwszego roku  . Było tak dawno, że prawie nieprawda; miło jednak sobie czasem przypomnieć.
| macjan napisał: | | Taki typ definicji (XXX nazywamy coś, co spełnia następujące warunki, których jest więcej niz 1) nazywamy czasem definicją przez aksjomaty, stąd też te fakty nazwałem aksjomatami, choć może rzeczywiście są to raczej elementy definicji. Żeby definicja była porządna, należałoby jeszcze udowodnić, że takie działanie istnieje i że jest jednoznacznie wyznaczone. |
OK.
W tym sensie, teoria składa się z symboli i aksjomatów określających, jak się te symbole mają do siebie. Co da się zrobić jedynie wtedy, jeśli jesteśmy w stanie odczytać zapis określający te relacje pomiędzy symbolami. To znaczy, jeśli jesteśmy w stanie skorzystać z tego zapisu jak z recepty mówiącej, w jaki sposób jedne symbole przekształca się w inne symbole. Takie recepty możemy podać i zrozumieć właśnie dzięki temu, że odnosimy się do pewnych pojęć pierwotnych - do tego, z czy umiemy sobie radzić, bo znamy to z doświadczenia.
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
