Twierdzenie Śfini (wersja kompletnie zmieniona!)

ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.

FAQ

Szukaj

Użytkownicy

Grupy

Galerie

Rejestracja

Profil

Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości

Zaloguj

Twierdzenie Śfini (wersja kompletnie zmieniona!)

Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Kawiarnia

Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat

Autor

Wiadomość

rafal3006
Opiekun Forum Kubusia

Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 17 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

Wysłany: Nie 10:46, 30 Cze 2013 Temat postu: Twierdzenie Śfini (wersja kompletnie zmieniona!)

Postanowiłem uczcić naszą śfinię po wsze czasy, część I podpisu jest najważniejsza i ciągle się doskonali ale wersja prawie skończona już jest.
Fragment ...

4.3 Twierdzenie Śfini

Śfinia to forum Wujazboja dzięki któremu algebra Kubusia w ogóle mogła powstać.
Twierdzenie Śfini to jedno z najważniejszych twierdzeń w logice matematycznej.

Twierdzenie Śfini:
Dla dowolnej funkcji logicznej, równanie logiczne z nagłówka tabeli zero-jedynkowej jest tożsame z układem równań poziomych opisujących wynikowe jedynki.

Rozważmy nasz sztandarowy przykład:
A1: Y = p+q*r

Zbudujmy tabelę zero-jedynkową dla naszej funkcji logicznej w naturalnej logice człowieka:
A1: Y = p+q*r

Kod:

Tabela 1
p q r q*r Y=p+q*r
A: 1 1 1 1 1 / Ya= p* q* r
B: 1 1 0 0 1 / Yb= p* q*~r
C: 1 0 1 0 1 / Yc= p*~q* r
D: 1 0 0 0 1 / Yd= p*~q*~r
E: 0 1 1 1 1 / Ye=~p* q* r
F: 0 1 0 0 0 /~Yf=~p* q*~r
G: 0 0 1 0 0 /~Yg=~p*~q* r
H: 0 0 0 0 0 /~Yh=~p*~q*~r
1 2 3 4 5

Algorytm tworzenia równań cząstkowych w naturalnej logice człowieka:
1.
Korzystając z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
Dokładniej korzystamy z tego:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
2.
Funkcje cząstkowe w wierszach łączymy spójnikiem „i”(*), natomiast odpowiednie funkcje cząstkowe w pionach łączmy spójnikiem „lub”(+).

Naszą tabelę w naturalnej logice człowieka opisuje układ równań logicznych:
ABCDE123:
Y=Ya+Yb+Yc+Yd+Ye
Y = p*q*r + p*q*~r + p*~q*r + p*~q*~r + ~p*q*r
FGH123:
~Y = ~Yf+~Yg+~Yh
~Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r

Nasze równanie z nagłówka tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie obszar ABCDE123.
A1: Y=p+q*r
Na mocy twierdzenia Śfini równanie tożsame to:
ABCDE123:
Y = p*q*r + p*q*~r + p*~q*r + p*~q*~r + ~p*q*r
Dowód:
Y = p*q*r + p*q*~r + p*~q*r + p*~q*~r + ~p*q*r
Y=p*q*(r+~r) + p*~q(r+~r) + ~p*q*r
Y = p*q + p*~q + ~p*q*r
Y = p*(q+~q) + ~p*q*r
Y = p+~p*q*r
~Y = ~p*(p+~q+~r)
~Y = ~p*p+~p*~q + ~p*~r
~Y = ~p*~q + ~p*~r
~Y = ~p*(~q+~r)
Przejście do logiki przeciwnej:
A11: Y = p+q*r
Doskonale widać że zachodzi:
A1: Y=p+q*r = A11: Y=p+q*r
Co jest dowodem poprawności twierdzenia Śfini.

Mamy nasze równanie:
Y = p+q*r
W spójnikach „i”(*) i „lub”(+) argumenty są przemienne.
Na wejściach p, q i r zera i jedynki możemy generować losowo, byleby wszystkie kombinacje zostały uwzględnione, w sumie przy trzech zmiennych wejściowych musimy mieć osiem linii.

W naszym równaniu zamiana kolumn zero-jedynkowych q i r jest bez znaczenia, bowiem w spójniku „i”(*) argumenty są przemienne.
Zamieńmy kolumny zero-jedynkowe najpierw p i q, a następnie p i r sprawdzając czy twierdzenie Śfini działa.

Sprawdzenie twierdzenia Śfini dla zamienionych kolumn zero-jedynkowych p i q.

Zamieńmy zero-jedynkowe kolumny p i q (w obszarze ABCDEFGH12) pozostawiając wszystkie symbole bez żadnych zmian, przecież zera i jedynki na wejściach p, q, r (obszar ABCDEFGH123) możemy sobie generować losowo byleby wszystkie osiem kombinacji zer i jedynek zostało uwzględnione.

Nasza tabela przybierze teraz postać.
A: Y = p+q*r

Kod:

Tabela 2
p q r q*r Y=p+q*r
A: 1 1 1 1 1 / Ya= p* q* r
B: 1 1 0 0 1 / Yb= p* q*~r
C: 0 1 1 1 1 / Yc=~p* q* r
D: 0 1 0 0 0 /~Yd=~p* q*~r
E: 1 0 1 0 1 / Ye= p*~q* r
F: 1 0 0 0 1 / Yf= p*~q*~r
G: 0 0 1 0 0 /~Yg=~p*~q* r
H: 0 0 0 0 0 /~Yh=~p*~q*~r
1 2 3 4 5

Kod:

Tabela 3
p q r q*r Y=p+q*r
A: 1 1 1 1 1 / Ya= p* q* r
B: 0 1 1 1 1 / Yb=~p* q* r
C: 1 0 1 0 1 / Yc= p*~q* r
D: 0 0 1 0 0 /~Yd=~p*~q* r
E: 1 1 0 0 1 / Ye= p* q*~r
F: 0 1 0 0 0 /~Yf=~p* q*~r
G: 1 0 0 0 1 / Yg= p*~q*~r
H: 0 0 0 0 0 /~Yh=~p*~q*~r
1 2 3 4 5

Algorytm tworzenia równań cząstkowych w naturalnej logice człowieka:
1.
Korzystając z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
Dokładniej korzystamy z tego:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
2.
Funkcje cząstkowe w wierszach łączymy spójnikiem „i”(*), natomiast odpowiednie funkcje cząstkowe w pionach łączmy spójnikiem „lub”(+).

Naszą tabelę w naturalnej logice człowieka opisuje układ równań logicznych:
ABCEG123:
Y=Ya+Yb+Yc+Ye+Yg
Y = p*q*r + ~p*q*r + p*~q*r + p*q*~r + p*~q*~r
DFH123:
~Y = ~Yd+~Yf+~Yh
~Y = ~p*~q*r + ~p*q*~r + ~p*~q*~r

Nasze równanie z nagłówka tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie obszar ABCEF123.
A3: Y=p+q*r
Dowód:
A31: Y = p*q*r + ~p*q*r + p*~q*r + p*q*~r + p*~q*~r
Y = p*q*(r+~r) + p*~q*(r+~r) + ~p*q*r
A4: Y = p*q + p*~q + ~p*q*r
Y = p*(q+~q) + ~p*q*r
Y = p+~p*(q*r)
~Y = ~p*[p+~(q*r)]
~Y = ~p*p + ~p*~(q*r)
~Y = ~p*~(q*r)
A31: Y = p+q*r
Doskonale widać że zachodzi:
A3: Y=p+q*r = A31: Y=p+q*r
Co jest dowodem poprawności twierdzenia Śfini.

Nasze równanie wyjściowe minimalne było takie:
A1: Y = p+q*r
Potwierdziły się nasze rozważania wyżej iż wszystko jedno czy zamienimy miejscami kolumny zero-jedynkowe p i q czy też p i r, bowiem wyrażenie q*r jest przemienne. Jedno z najważniejszych twierdzeń w logice matematycznej, twierdzenie Śfini możemy uznać za udowodnione.

Oczywiście w równaniu A1 nie wolno zamieniać symboli p i q:
A12: Y=q+p*r
W tym przypadku zachodzi:
A1: Y=p+q*r ## A12: Y=q+p*r
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przykład:
A1:
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y = K+B*P
A12:
Jutro pójdę na basen lub do kina i do parku
Y = B+K*P
Doskonale widać że:
A1: Y = K+B*P ## A12: Y=B+K*P
gdzie:
## - różne na mocy definicji

W powyższych przykładach udowadnialiśmy twierdzenie Śfinii poprzez minimalizację do funkcji minimalnej. W ogólnym przypadku funkcji logicznej w ogóle nie musimy minimalizować. Możemy zapisać tabelę zero-jedynkową dla oryginalnej funkcji wejściowej i na mocy twierdzenia śfinii zapisać odpowiednią tożsamość.

Przykład:
Załóżmy że naszą funkcją wejściową jest funkcja A4 z powyższego przykładu.

Tworzenie tabeli zero-jedynkowej dla funkcji A4:
A4: Y = p*q + p*~q + ~p*q*r

Kod:

Tabela 4
p q r ~p ~q p*q+ p*~q+ ~p*q*r Y=p*q+p*~q+~p*q*r
A: 1 1 1 0 0 1 0 0 1 / Ya= p* q* r
B: 1 1 0 0 0 1 0 0 1 / Yb= p* q*~r
C: 0 1 1 1 0 0 0 1 1 / Yc=~p* q* r
D: 0 1 0 1 0 0 0 0 0 /~Yd=~p* q*~r
E: 1 0 1 0 1 0 1 0 1 / Ye= p*~q* r
F: 1 0 0 0 1 0 1 0 1 / Yf= p*~q*~r
G: 0 0 1 1 1 0 0 0 0 /~Yg=~p*~q* r
H: 0 0 0 1 1 0 0 0 0 /~Yh=~p*~q*~r
1 2 3 4 5 6 7 8 9

Algorytm tworzenia równań cząstkowych w naturalnej logice człowieka:
1.
Korzystając z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
Dokładniej korzystamy z tego:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
2.
Funkcje cząstkowe w wierszach łączymy spójnikiem „i”(*), natomiast odpowiednie funkcje cząstkowe w pionach łączmy spójnikiem „lub”(+).

Naszą tabelę w naturalnej logice człowieka opisuje układ równań logicznych:
ABCEF123:
Y=Ya+Yb+Yc+Ye+Yf
A41: Y = p*q*r + p*q*~r + ~p*q*r + p*~q*r + p*~q*~r
DGH123:
~Y = ~Yd+~Yg+~Yh
~Y= ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r

Na mocy twierdzenia Śfini zapisujemy:
A4: Y = p*q + p*~q + ~p*q*r = A41: Y = p*q*r + p*q*~r + ~p*q*r + p*~q*r + p*~q*~r
Nie musimy minimalizować funkcji wejściowej. Oczywiście podobnych funkcji wejściowych dających identyczne równanie A41 może być nieskończenie wiele, chociażby na podstawie tego prawa algebry Boole’a.
p*(p+x) = p
gdzie:
x - dowolnie długa funkcja logiczna z dowolną ilością zmiennych.

Podsumowując wszystkie nasze przykłady możemy zapisać tożsamość:
A11 = A21 = A31 = A41
ponieważ wszystkie te funkcje są tożsame z funkcją minimalną:
Y = p+q*r

Na deser wypowiedzmy sobie takie zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do parku lub pójdę na basen i do parku ale nie pójdę do kina
Y = K*~P + B*P*~K
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>(K*~P)=1 lub (B*P*~K)=1
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej strony zostanie ustawiony na 1 i już dotrzymałem słowa, drugiego członu nie muszę sprawdzać.

W przełożeniu na język formalny mamy:
p = kino
q = basen
r = park
A.
Y = p*~r + q*r*~p
co matematycznie oznacza:
Y=1<=>(p*~r)=1 lub (q*r*~p)=1

Tworzymy tabelę zero-jedynkową dla równania:
A5: Y = p*~r + q*r*~p

Kod:

Tabela 5
p q r ~p ~r p*~r q*r*~p Y=p*~r+q*r*~p
A: 1 1 1 0 0 0 0 0 /~Ya= p* q* r
B: 1 1 0 0 1 1 0 1 / Yb= p* q*~r
C: 1 0 1 0 0 0 0 0 /~Yc= p*~q* r
D: 1 0 0 0 1 1 0 1 / Yd= p*~q*~r
E: 0 1 1 1 0 0 1 1 / Ye=~p* q* r
F: 0 1 0 1 1 0 0 0 /~Yf=~p* q*~r
G: 0 0 1 1 0 0 0 0 /~Yg=~p*~q* r
H: 0 0 0 1 1 0 0 0 /~Yh=~p*~q*~r
1 2 3 4 5 6 7 8

Powrót do góry

Wyświetl posty z ostatnich:

	Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Kawiarnia	Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

Skocz do:

Możesz pisać nowe tematy
Możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

Regulamin