 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Czw 8:55, 03 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Definicja kontrprzykładu w logice „matematycznej” ziemskich matematyków to twardy dowód jak potwornie można spieprzyć matematykę!
Definicja kontrprzykładu w zbiorach w algebrze Kubusia:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Fragment niniejszego postu:
7a.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0 - bo kontrprzykład: 2
Ten dowód znany jest ziemskim matematykom, mimo że nie znają poprawnej, matematycznej definicji kontrprzykładu.
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Kontrprzykład to zdanie falsyfikujące, z którego wynika negacja pewnego zdania ogólnego. Kontrprzykład jest koniunkcją dwóch zdań elementarnych (tzn. takich, że jest to zdanie atomowe lub negacja zdania atomowego).
Jeżeli uda nam się znaleźć kontrprzykład to wyrażenie nie jest tautologią, ponieważ istnieje takie podstawienie wartości logicznych za konkretne zmienne w wyrażeniu, dla którego schemat jest fałszywy.
Kontrprzykładu używa się najczęściej do obalania fałszywych twierdzeń zawierających kwantyfikator ogólny ("dla każdego"). |
Definicja kontrprzykładu w logice „matematycznej” ziemskich matematyków to twardy dowód jak potwornie można spieprzyć matematykę!
Zauważmy, że definicja kontrprzykładu w algebrze Kubusia jest zrozumiała dla każdego 5-cio latka, oczywiście na przykładach stosownych do jego wieku … a który uczeń I klasy LO, czy nawet inżynier zrozumie jakieś brednie o zdaniu atomowym czy też o negacji zdania atomowego etc.
Kolejna tragedia ziemskiej logiki „matematycznej”:
Definicja kwantyfikatora dużego /\ ziemskich matematyków to potworny błąd czysto matematyczny!
Dowód:
W algebrze Kubusia mamy tak:
A1.
Jeśli dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Matematycznie byłoby wszystko w porządku, gdyby matematycy kwantyfikator duży rozumieli identycznie jak w algebrze Kubusia:
Dla każdego x, jeśli liczba x należy do zbioru P8(x) to na 100% => należy do zbioru P2(x)
/\x P8(x) => P2(x)
Przy takim rozumieniu kwantyfikatora dużego mamy tu gwarancję matematyczną => iż jeśli dowolna liczba należy do zbioru P8=[8,16,24..] to na 100% => należy do zbioru P2=[2,4,6,8…]
Sęk w tym, że poprawne rozumienie kwantyfikatora dużego jak w algebrze Kubusia wymusza relację podzbioru => w zdaniu warunkowym A1 co jest Armagedonem zarówno dla ziemskiego gówna zwanego „implikacją materialną” jak i absolutnie wszystkich ziemskich logik formalnych, gdzie w zdaniu warunkowych „Jeśli p to q” o żadnej relacji w zbiorach między p i q z definicji mowy być nie może.
Kolejny fragment algebry Kubusia po korekcie.
Algebra Kubusia
4.11 Zdania bazowe w operatorze implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach
Spis treści
4.10 Zdania bazowe w operatorze implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 1
4.10.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q” 2
4.10.2 Operator implikacji prostej p||=>q 4
4.11 Zdania bazowe w operatorze implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 5
4.11.1 Zdanie bazowe P8~~>P2 6
4.10.2 Zdanie bazowe P8~~>~P2 11
4.10.3 Zdanie bazowe ~P8~~>~P2 13
4.10.4 Zdanie bazowe ~P8~~>P2 15
4.11 Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2 17
4.11.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 19
4.10 Zdania bazowe w operatorze implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach
Definicja zdania bazowego:
Zdanie bazowe to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia) spełniające poniższe warunki:
1.
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” żadne z pojęć p, q, ~p i ~q nie może być zbiorem pustym (zdarzeniem niemożliwym), co gwarantuje rozpoznawalność tych pojęć.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą należeć do wspólnej dziedziny.
Algorytm analizy zdania bazowego:
Algorytm analizy dowolnego zdania bazowego „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q pozwala na jednoznaczne rozstrzygnięcie w skład jakiego operatora logicznego wchodzi badane zdanie bazowe bez względu na jego prawdziwość/fałszywość.
Dowolne zdanie bazowe „Jeśli p to q” może wchodzić tylko i wyłącznie w skład jednego z pięciu rozłącznych operatorów logicznych.
1. p||=>q - operator implikacji prostej
2. p||~>q - operator implikacji odwrotnej
3. p|<=>q - operator równoważności
4. p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja równoważności p<=>q:
5. p|$q - operator „albo”($)
Z faktu iż powyższe operatory są rozłączne wynika, że dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” nie może należeć jednocześnie do dwóch, jakichkolwiek operatorów.
| Kod: |
T1
Definicje operatorów implikacyjnych które niebawem poznamy:
1: Y=(p||=>q) =(p|=>q) = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)= ~p*q # ~Y=p+~q
##
2: Y=(p||~>q) =(p|~>q) =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*~q # ~Y=~p+q
##
3: Y=(p|<=>q) =(p<=>q) = (A1:p=>q)* (B1: p~>q) =p*q+~p*~q # ~Y=p*~q+~p*q
##
4: Y=(p||~~>q)=(p|~~>q) =~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =0 # ~Y=1
##
5: Y=(p|$q) = (p$q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p*~q+~p*q # ~Y=p*q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawo Kubusia:
p=>q [=] ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczna są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
W tabeli T1 doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Kluczowe dla poprawnego działania algorytmu analizy zdania bazowego jest prawo śfinii.
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
4.10.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q”
Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q”
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie bazowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Punkt 2
Zbiory:
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia p i q poszukując zbioru pustego (=0)
p~~>q=p*q =0
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia p i q poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)
p~~>q=p*q =0
RETURN
Punkt 3
Zbiory:
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Zdarzenia:
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe ~~> idź do punktu 5
Inaczej:
Punkt 4
Zbiory:
Nie znaleziono zbioru pustego []
Zdarzenia:
Nie znaleziono zdarzenia niemożliwego ~~>
Operator logiczny zlokalizowany, to operator chaosu p||~~>q
Idź do operatora chaosu p||~~>q
STOP
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
(~)p=>(~)q =1
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p (~> albo =>) q =?
Punkt 8
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowaną kolumnę A1B1: p|?q będącą częścią operatora logicznego p||?q
Idź do tabeli prawdy zlokalizowanego operatora logicznego
STOP
Przedstawiony wyżej algorytm to algorytm podstawowy.
Uwaga:
Matematycznie możliwy jest alternatywny algorytm przeciwny gdzie w prawie śfinii po „Jeśli ..” zapisujemy q zaś po „to…” zapisujemy p, jednak aby matematyk A dogadał się z matematykiem B obaj muszą stosować identyczny, uzgodniony wzajemnie algorytm: podstawowy albo przeciwny.
W logice matematycznej za domyślny przyjmujemy algorytm podstawowy dzięki czemu nie musimy sygnalizować światu zewnętrznemu który algorytm stosujemy.
Ponieważ algorytm podstawowy jest z definicji algorytmem domyślnym, możemy pominąć słówko „podstawowy” w „algorytmie podstawowym”.
4.10.2 Operator implikacji prostej p||=>q
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1: A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja symboliczna operatora implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na pytania A1B1 i A2B2 o p i ~p:
| Kod: |
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p=> q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~> q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Stąd:
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
A1’: p~~>~q=0 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’
Kolumna A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
Stąd:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =1 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’
|
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Na mocy prawa Kobry definicja implikacji prostej p||=>q wyrażona zdaniami bazowymi przyjmuje postać:
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w zdaniach bazowych:
| Kod: |
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p~~>q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
A1’: p~~>~q=0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesna zajście zdarzeń p i ~q
A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~~>~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
B2’:~p~~>q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesna zajście zdarzeń ~p i q
|
4.11 Zdania bazowe w operatorze implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach
W sprawdzaniu poprawności algorytmu analizy dowolnego zdania bazowego postępujemy identycznie jak w sprawdzaniu programu komputerowego. Na wejściu podajemy dane co do których jesteśmy pewni do jakiego operatora logicznego powinien nas algorytm zaprowadzić sprawdzając czy rzeczywiście tak się stanie.
Operator implikacji prostej P8||=>P2 omówiony został w punkcie 4.4.1
Sprawdzenia poprawności działania algorytmu analizy dowolnego zdania bazowego w operatorze implikacji prostej P8||=>P2 wykonamy na konkretnym przykładzie, by łatwiej było zrozumieć.
p = P8 = [8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q = P2 = [2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Definicja operatora implikacji prostej P8||=>P2 w zdaniach bazowych to odpowiedź na pytania o P8 i ~P8:
| Kod: |
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli liczba będzie podzielna przez 8 (P8=1)?
A1: P8~~>P2 =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów P8 i P2 np. 8
A1’: P8~~>~P2=0 - nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów P8 i ~P2
A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli liczba nie będzie podzielna przez 8 (~P8=1)?
A2: ~P8~~>~P2=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~P8 i ~P2 np. 1
B2’:~P8~~>P2 =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~P8 i P2 np. 2
|
4.11.1 Zdanie bazowe P8~~>P2
Zadanie 4.11.1
Dane jest zdanie bazowe:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może być podzielna przez 2 (P2=1)
P8~~>P2 = P8*P2 =?
Na mocy prawa śfinii mamy punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zapis zdania W1 w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =?
Poprzednik p mówi tu o zbiorze liczb podzielnych przez 8, natomiast następnik q o zbiorze liczb podzielnych przez 2.
Na potrzeb przyszłych analiz musimy obliczyć wszystkie możliwe przeczenia zbiorów P8 i P2.
W zdaniu A1 poprzednik p definiuje nam zbiór liczb podzielnych przez 8:
p = P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Zaś następnik q definiuje nam zbiór licz podzielnych przez 2:
q = P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (zbiór liczb parzystych)
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny LN:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór liczb nieparzystych)
Matematycznie zachodzi definicja wspólnej dziedziny LN zarówno dla P8 jak i dla P2.
Definicja dziedziny dla P8:
P8+~P8 = LN =1 - zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P8
P8*~P8 =[] =0 - zbiory P8 i ~P8 są rozłączne
Definicja dziedziny dla P2:
P2+~P2 = LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne
Definicja zdania bazowego:
Zdanie bazowe to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia) spełniające poniższe warunki:
1.
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” żadne z pojęć p, q, ~p i ~q nie może być zbiorem pustym (zdarzeniem niemożliwym), co gwarantuje rozpoznawalność tych pojęć.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą należeć do wspólnej dziedziny.
Doskonale widać, że zdanie A1: P8~~>P2 spełnia definicję zdania bazowego bowiem zbiory P8, P2, ~P2 i ~P8 nie są puste oraz spełniona jest definicja wspólnej dziedziny dla P8 i P2.
Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: P8~~>P2 =1 - bo istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..24..] np.8
2: P8~~>~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
RETURN
Niezbędny komentarz:
Fałszywość punktu 2 musimy udowodnić
Najprostszy dowód to:
Dowolny zbiór liczb parzystych (tu P8) jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych (tu ~P2)
Nie zawsze w tak prosty sposób daje się udowodnić rozłączność zbiorów nieskończonych.
Co robić gdy nie jest tak prosto?
Prawami logiki matematycznej należy poszukać najprostszego warunku wystarczającego => bo taki warunek zawsze dowodzi się najprościej.
a)
Na początek zakładamy fałszywość kontrprzykładu 2:
2: P8~~>~P2 =0
z czego wynika prawdziwość warunku wystarczającego => który musimy udowodnić tu:
2a: P8=>P2 =?
2a.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
Definicja podzbioru P8=>P2 jest tu spełniona (=1), dlatego spełniona jest definicja warunku wystarczającego =>.
cnd
Twierdzenie matematyczne 2a każdy matematyk klasyczny bez problemu udowodni, ja nie muszę bo nie jestem matematykiem klasycznym.
Moja matematyka, algebra Kubusia, to fundamentalnie co innego niż matematyka klasyczna.
Dowód:
W algebrze Kubusia mamy spójniki logiczne z języka potocznego „i”(*) oraz „lub”(+).
Znaczki „*” i „+” są tu identyczne jak w matematyce klasycznej ale znaczą fundamentalnie co innego, o czym mam nadzieję, każdy matematyk wie.
Zauważmy przykładowo, że nie da się wykonać operacji mnożenia 2*3=6 znaczkiem „i”(*) z logiki matematycznej.
Ta sama operacja w znaczku „i”(*) będzie znaczyła zupełnie co innego:
[2]*[3] =[] =0 - bo zbiory jednoelementowe [2] i [3] są rozłączne.
cnd
Udowodniona prawdziwość warunku wystarczającego:
2a: P8=>P2 =1
wymusza fałszywość kontrprzykładu 2a’:
2a’: P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
cnd
Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
3: P8~~>~P2 =[] =0
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
cnd
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice dodatniej (bo P2) zatem je tylko przepisujemy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% ~> jest podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Dowód tożsamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2, bo liczba może nie być podzielna przez 8 (np. 2) a mimo to być podzielna przez 2.
Matematycznie warunek wystarczający => dowodzi się prościej, dlatego prawami logiki matematycznej można przejść do najprostszego warunku wystarczającego
7: P8~>P2 = 7a: P2=>P8 - prawo Tygryska w zapisie aktualnym
7: p~>q = 7a: q=>p - prawo Tygryska w zapisie formalnym
Zauważmy, że fałszywość zdania 7a dowodzi się prościej:
7a.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0 - bo kontrprzykład: 2
Ten dowód znany jest ziemskim matematykom, mimo że nie znają poprawnej, matematycznej definicji kontrprzykładu.
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Kontrprzykład to zdanie falsyfikujące, z którego wynika negacja pewnego zdania ogólnego. Kontrprzykład jest koniunkcją dwóch zdań elementarnych (tzn. takich, że jest to zdanie atomowe lub negacja zdania atomowego).
Jeżeli uda nam się znaleźć kontrprzykład to wyrażenie nie jest tautologią, ponieważ istnieje takie podstawienie wartości logicznych za konkretne zmienne w wyrażeniu, dla którego schemat jest fałszywy.
Kontrprzykładu używa się najczęściej do obalania fałszywych twierdzeń zawierających kwantyfikator ogólny ("dla każdego"). |
Definicja kontrprzykładu w logice „matematycznej” ziemskich matematyków to twardy dowód jak potwornie można spieprzyć matematykę!
Zauważmy, że definicja kontrprzykładu w algebrze Kubusia jest zrozumiała dla każdego 5-cio latka, oczywiście na przykładach stosownych do jego wieku … a który uczeń I klasy LO, czy nawet inżynier zrozumie jakieś brednie o zdaniu atomowym czy też o negacji zdania atomowego etc.
Kolejna tragedia ziemskiej logiki „matematycznej”:
Definicja kwantyfikatora dużego /\ ziemskich matematyków to potworny błąd czysto matematyczny!
Dowód:
W algebrze Kubusia mamy tak:
A1.
Jeśli dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Matematycznie byłoby wszystko w porządku, gdyby matematycy kwantyfikator duży rozumieli identycznie jak w algebrze Kubusia:
Dla każdego x, jeśli liczba x należy do zbioru P8(x) to na 100% => należy do zbioru P2(x)
/\x P8(x) => P2(x)
Przy takim rozumieniu kwantyfikatora dużego mamy tu gwarancję matematyczną => iż jeśli dowolna liczba należy do zbioru P8=[8,16,24..] to na 100% => należy do zbioru P2=[2,4,6,8…]
Sęk w tym, że poprawne rozumienie kwantyfikatora dużego jak w algebrze Kubusia wymusza relację podzbioru => w zdaniu warunkowym A1 co jest Armagedonem zarówno dla ziemskiego gówna zwanego „implikacją materialną” jak i absolutnie wszystkich ziemskich logik formalnych, gdzie w zdaniu warunkowych „Jeśli p to q” o żadnej relacji w zbiorach między p i q z definicji mowy być nie może.
Zauważmy na koniec iż zdania 6 i 7 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to są to zdania różna na mocy definicji ##.
Porównajmy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
##
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% ~> jest podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Stąd mamy tabelę T1.
| Kod: |
T1
Y= (p=>q)=~p+q ## Y= (p~>q)= p+~q
# #
~Y=~(p=>q)= p*~q ## ~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Doskonale widać, że w tabeli T1 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Stąd mamy:
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowodem są tu nasze zdania 6 i 7 które rozróżniamy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0) =1*1 =1
Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P8|=>P2 zapisanej w punkcie 4.11
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
P8~~>P2 = P8*P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] ma element wspólny ~~> ze zbiorem P2=[2,4,6,8..]
W punkcie 4.11.1 zlokalizowane zdanie W1 jako zdanie A1 będące częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W1 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku wystarczającego A1: P8=>P2 będącego częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
cnd
4.10.2 Zdanie bazowe P8~~>~P2
Zadanie 4102
Dane jest zdanie bazowe:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 2
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =?
Na mocy prawa śfinii mamy punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zapis zdania W2 w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =?
Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: P8~~>~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
RETURN
Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
3: P8~~>~P2 =[] =0
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
cnd
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice dodatniej (bo P2) zatem je tylko przepisujemy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P8=1)
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
P8|=>P1 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0) =1*1 =1
Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P8|=>P2 zapisanej w punkcie 4.11
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
W punkcie 4.11.1 zlokalizowane zdanie W1 jako zdanie A1’ będące częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2=P8*~P2 =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
cnd
4.10.3 Zdanie bazowe ~P8~~>~P2
Zadanie 4103
Dane jest zdanie bazowe:
W3.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 2
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W3.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~~>~P2 = ~P8*~P2 =?
Na mocy prawa śfinii mamy punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zapis zdania W3 w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =?
Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: ~P8~~>~P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] mają element wspólny np. 1
2: ~P8~~>P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] mają element wspólny np. 2
3: P8~~>P2 =1 - bo zbiory P8=[8,16,24 ..] i P2=[2,4,6,8..24..] mają element wspólny np. 24
4: P8~~>~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
RETURN
Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
3: P8~~>~P2 =[] =0
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
cnd
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice dodatniej (bo P2) zatem je tylko przepisujemy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P8=1)
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
P8|=>P1 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0) =1*1 =1
Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P8|=>P2 zapisanej w punkcie 4.11
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W3.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~~>~P2 = ~P8*~P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] mają element wspólny
W punkcie 4.11.1 zlokalizowane zdanie W1 jako A2 będące częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~>~P2=1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
cnd
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W3 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku koniecznego A2: ~P8~>~P2 będącego częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
cnd
4.10.4 Zdanie bazowe ~P8~~>P2
Zadanie 4104
Dane jest zdanie bazowe:
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Sprawdzenie algorytmu analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w zbiorach:
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =?
Na mocy prawa śfinii mamy punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zapis zdania W4 w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =?
Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: ~P8~~>P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] mają element wspólny np. 2
2: P8~~>P2 =1 - bo zbiory P8=[8,16,24 ..] i P2=[2,4,6,8..24..] mają element wspólny np. 8
3: P8~~>~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
RETURN
Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
3: P8~~>~P2 =[] =0
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
cnd
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice dodatniej (bo P2) zatem je tylko przepisujemy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P8=1)
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
P8|=>P1 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0) =1*1 =1
Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P8|=>P2 zapisanej w punkcie 4.11
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] mają element wspólny np. 2
W punkcie 4.11.1 zlokalizowane zdanie W4 jako zdanie B2’ będące częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] jest spełniona bo np. 2
cnd
4.11 Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2
IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Nasz przykład:
Definicja implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1
Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2 w zapisie aktualnym
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => P2
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: P8=>P2 =1 = 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~>P8 =1 = 4:~P2=>~P8 =1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: P8~~>~P2=0 = [=] = 4:~P2~~>P8 =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: P8~>P2 =0 = 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=>P8 =0 = 4:~P2~>~P8 =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~P8~~>P2=1 [=] 3: P2~~>~P8=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1: A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Okład równań logicznych jest przemienny, stąd:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
4.11.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach
Operator implikacji prostej P8||=>q w logice dodatniej (bo P8) to układ równań logicznych:
A1B1: P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) - jeśli wylosujemy liczbę podzielną przez 8 to ..
A2B2: ~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) - jeśli wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 to ..
Innymi słowy:
Operator implikacji prostej P8||=>P2 to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2 o P8 i ~P8:
A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) - zapis aktualny
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbą podzielną przez 8 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 - mówi o tym zdanie A1.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2=P8*~P2 =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
Tego faktu nie musimy udowadniać, bo wymusza go prawdziwość warunku wystarczającego A1.
A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P8~>~P2 =1 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest (=1) nadzbiorem ~> ~P2=[1,3,5,7,9..]
B2: ~P8=>~P2 =0 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest (=0) podzbiorem => ~P2=[1,3,5,7,9..]
~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) - zapis aktualny
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielna przez 8 to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe A2 i B2’
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~>~P2=1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Tego faktu nie musimy udowadniać, gwarantuje nam to prawo Kubusia:
A2:~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
Prawdziwość zdania A1 udowodniliśmy na samym początku.
LUB
Z fałszywości warunku wystarczającego B2 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] jest spełniona bo np. 2
Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P8||=>P2 jest gwarancja matematyczna => po stronie P8 (zdanie A1) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P8 (zdania A2 i B2’)
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Kolejność zdań tworzących operator implikacji prostej p||=>q również jest bez znaczenia, tak więc zdania A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w dowolnej kolejności.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 17:41, 06 Cze 2021, w całości zmieniany 4 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 16:13, 07 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - ostatnie czytanie!
Część I
Przed chwilką skończyłem pisać algebrę Kubusia, dochodząc do wersji której normalny matematyk nie ma prawa nie zrozumieć!
Teraz czytam po raz ostatni od początku nanosząc ostatnie korekty mające na celu uproszczenie przekazu.
Najciekawszy fragment to punkt 1.3.5.
Prawo zagłady ziemskiej logiki matematycznej:
Dowolna równoważność p<=>q prawdziwa definiuje tożsamość zbiorów/pojęć p=q i odwrotnie.
Matematyka ziemian powyższego prawa nie zaakceptuje dopóty, dopóki jej bogiem będzie potwornie śmierdzące gówno zwane „implikacją materialną” gdzie o żadnym związku matematycznym między p i q mowy być nie może.
Ciekawe czy i kiedy ziemscy matematycy poślą „implikację materialną” tam gdzie jej miejsce - do piekła na wieczne piekielne męki, bez prawa powrotu na ziemię do końca naszego Wszechświata.
Ziemscy logicy matematyczni popełniają seppuku logiki matematycznej już w pierwszym zdaniu każdego ziemskiego podręcznika do nauki logiki „matematycznej”
Dowód:
Jedno z pierwszych zdań podręcznika dr hab. Krzysztofa A. Wieczorka „Logika dla opornych”
[link widoczny dla zalogowanych]
| K.A Wieczorek napisał: |
Termin „zdanie” oznacza w logice tylko i wyłącznie zdanie oznajmujące i schematy tylko takich zdań będziemy budować |
Na mocy powyższego dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w logice „matematycznej” ziemian przyjmuje postać.
Jeśli "zdanie twierdzące p" to "zdane twierdzące q"
Przykład:
Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
etc
To jest zdecydowanie gorzej niż szpital psychiatryczny, bo tylko najciężej chorzy mogą pleść tego typu brednie. To jest samobójstwo dla całej dalszej treści tego podręcznika, zatem w tym momencie możemy zakończyć jego czytanie i wrzucić do kosza na śmieci, bo:
Fundamentem jedynej poprawnej logiki matematycznej, algebry Kubusia, są zdania warunkowe „Jeśli p to q” gdzie p jest w ścisłym matematycznym związku z q, co za chwilkę zobaczymy (pkt.2.0)
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w logice matematycznej wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).
W świecie komputerów „implikacja materialna” to zabranie programistom wszelkich rozkazów skoków warunkowych, to uśmiercenie każdego programu komputerowego gdzie logika matematyczna zaszyta jest w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593745
Algebra Kubusia
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów
Spis treści
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
1.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach 2
1.1.1 Suma logiczna zbiorów 3
1.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów 3
1.1.3 Różnica (-) zbiorów 4
1.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów 4
1.2.2 Definicja podzbioru => i nadzbioru ~> 6
1.3 Dziedzina 7
1.3.1 Zaprzeczenie zbioru 7
1.3.2 Nazwa własna zbioru 8
1.3.3 Dziedzina użyteczna w języku potocznym 8
1.3.4 Dlaczego Uniwersum nie jest dziedziną użyteczną? 11
1.3.5 Armagedon ziemskiej matematyki 13
1.4 Kryteria ustalania dziedziny dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” 14
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów
Kubusiowa teoria zbiorów to nieznana ziemianom teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej, algebry Kubusia.
Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, koło, miłość, krasnoludek, zbór wszystkich zwierząt ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]
Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)
Prawa Prosiaczka
Prawa Prosiaczka omówiono szczegółowo w „Nowej algebrze Boole’a” pkt. 1.3
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przykład 1.
[pies]=1 - bo prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie pies
Prawo Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
Nasz przykład:
([pies]=1) = (~[pies]=0) - na mocy prawa Prosiaczka
stąd zdanie tożsame do 1:
~[pies]=0 - fałszem jest (=0), że nie wiem (~) co znaczy pojęcie [pies]
Przykład 2.
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=1 - prawdą jest (=1), iż wiem co znaczy pojęcie „zbiór wszystkich zwierząt”
Prawo Prosiaczka:
(ZWZ=1) = (~ZWZ=0)
Stąd zdanie tożsame do 2:
~ZWZ=0 - fałszem jest (=0) że nie wiem (~) co znaczy pojęcie ZWZ (zbiór wszystkich zwierząt)
Przykład 3.
agstd=0 - bo fałszem jest (=0) iż wiem co znaczy pojęcie „agstd”
Prawo Prosiaczka:
(agstd=0) = (~agstd=1)
stąd zdanie tożsame do 3:
~agstd=1 - prawdą jest (=1), że nie wiem (~) co znaczy pojęcie agstd
Prawo Kłapouchego:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie
Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka
Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.
1.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach
Elementarne działania na zbiorach to:
(+) - suma logiczna zbiorów
(*) - iloczyn logiczny zbiorów
(-) - różnica logiczna zbiorów
1.1.1 Suma logiczna zbiorów
Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zdefiniujmy dwa zbiory p i q:
p=[K, T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T, P] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[K,T]+[T,P]=[K,T,T,P] = [K+T+T+P] = [K+T+P] = [K,T,P] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Bo prawo Algebry Boole’a:
p+p =p
Uwaga:
Przecinek przy wyliczaniu elementów zbioru jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) z algebry Boole’a co pokazano i udowodniono wyżej.
1.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny (zbiór wynikowy jest niepusty)
Y = p*q =0 - gdy zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego (są rozłączne)
Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
S - Słoń
Zdefiniujmy zbiory p, q, r:
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T,P] =1 - bo zbiór niepusty
r=[P,S] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[K,T]*[T,P]=[T] =1 - zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny
Y=p*r=[K,T]*[P,S] =[] =0 - zbiory p i r nie mają (=0) elementu wspólnego
Powyższe wyniki można uzyskać poprzez wymnażanie logiczne zbiorów.
Przykład:
p*q = [K+T]*[T+P] = K*T + K*P + T*T + T*P =[] + [] + T + [] = T
bo:
K*T+ K*P + T*P =[]+[]+[] =0+0+0 =0 - iloczyn logiczny „*” zbiorów (pojęć) rozłącznych jest zbiorem pustym
T*T =T
bo prawo algebry Boole’a:
p*p =p
Jak widzimy, przy wyliczaniu elementów zbioru przecinek jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) rodem z algebry Boole’a.
1.1.3 Różnica (-) zbiorów
Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Oznaczmy:
K - Kubuś
T - Tygrysek
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T] =1 - bo zbiór niepusty
Stąd:
Y=p-q = [K,T]-[T] =[K+T-T] =[K] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[K]-[K,T]=[K-(K+T]=[K-K-T]= [-T] =[-T] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty
Prawo odejmowania zbiorów:
Jeśli w operacji odejmowania zbiorów wynikowy zbiór jest z minusem {-} to taki zbiór zamieniamy na zbiór pusty [].
1.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów
Przypomnijmy znane już definicje podstawowe.
Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek, ZWZ, LN ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]
Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)
Prawo Kłapouchego:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie
Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka
Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)
Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum.
Zauważmy, że zaledwie 40 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na Ziemi.
Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z Uniwersum na mocy definicji Uniwersum.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)
Definicja dziedziny absolutnej DA:
Dziedzina absolutna DA to zbiór wszelkich pojęć możliwych do zdefiniowania w naszym Wszechświecie.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum U to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Zbiór pusty zawiera nieskończenie wiele pojęć niezrozumiałych dla człowieka, jeszcze nie zdefiniowanych. Definiować elementy w naszym Wszechświecie może wyłącznie człowiek, świat martwy sam sobie nic nie definiuje.
Przed pojawieniem się człowieka na ziemi zawartość zbioru pustego była taka:
[] - wszystkie elementy naszego Wszechświata w sensie absolutnym, nie ma jeszcze człowieka który by cokolwiek definiował.
W dniu dzisiejszym sytuacja jest inna, taka:
| Kod: |
T1
Algebra Kubusia:
-------------------------------------------------------------------
| Zbiór pusty [] | Uniwersum U |
| Pojęcia jeszcze przez człowieka | Pojęcia przez człowieka już |
| niezdefiniowane | zdefiniowane |
| Niezrozumiałe dla człowieka | Zrozumiałe dla człowieka |
| | |
-------------------------------------------------------------------
| DA - dziedzina absolutna |
-------------------------------------------------------------------
|
Na mocy powyższego zachodzi:
[] = ~U - zbiór pusty [] to zaprzeczenie Uniwersum U w dziedzinie absolutnej DA
U = ~[] - zbiór Uniwersum U to zaprzeczenie zbioru pustego [] w dziedzinie absolutnej DA
Na mocy definicji dziedziny absolutnej mamy:
1: U+~U = U+[] =U =1
2: U*~U = U*[] =[] =0
Komentarz:
1.
Do zbioru Uniwersum (pojęcia zrozumiałe dla człowieka) możemy dodać elementy ze zbioru ~U (pojęcia niezrozumiałe dla człowieka), ale na mocy definicji Uniwersum wszelkie elementy ze zbioru ~U=[] musimy natychmiast usunąć, inaczej gwałcimy definicję Uniwersum.
2.
U*~U=[] =0
Iloczyn logiczny elementów ze zbioru U (pojęcia zrozumiałe dla człowieka) i ~U (pojęcia niezrozumiałe dla człowieka) jest zbiorem pustym tzn. nie ma ani jednego elementu wspólnego w zbiorach U i ~U=[].
Prawo Owieczki:
Prawdziwe jest zdanie ziemskich matematyków iż „ze zbioru pustego [] wynika wszystko” wtedy i tylko wtedy gdy definicje zbioru pustego [] i Uniwersum U będą zgodne z definicjami obowiązującymi w algebrze Kubusia.
1.2.2 Definicja podzbioru => i nadzbioru ~>
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - gdy definicja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - definicja podzbioru nie jest (=0) spełniona
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy definicja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - definicja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
Powyższe definicje tylko pozornie są zgodne z matematyką ziemskich matematyków.
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
| sjp napisał: |
Podzbiór - w matematyce: zbiór będący częścią jakiegoś zbioru
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| sjp napisał: |
Nadzbiór - w matematyce: dowolny zbiór zawierający dany zbiór
|
Dlaczego powyższe definicje są tylko pozornie zgodne z algebrą Kubusia?
Odpowiedź:
W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Z punktu widzenia logiki matematycznej istotą podzbioru => i nadzbioru ~> są relacje podzbioru => i nadzbioru ~> a nie gołe zbiory jak to jest w „matematyce” ziemian.
Algebra Kubusia:
I.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
II.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
1.3 Dziedzina
Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy
Ograniczeniem górnym w definiowaniu dziedziny jest Uniwersum (zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka)
Zbiór pusty [] to zero pojęć zrozumiałych dla człowieka, zatem na tym zbiorze nie możemy operować
Innymi słowy:
Z definicji nie możemy przyjąć zbioru pustego za dziedzinę.
1.3.1 Zaprzeczenie zbioru
Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p (~p) nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)
Uwaga:
Aby zapisać zbiór ~p będący negacją zbioru p musimy określić wspólną dziedzinę dla zbiorów p i ~p
Definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem pustym []
Przykład:
K = Kubuś
T = Tygrysek
p=[K] - definiujemy zbiór p
D=[K,T] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[T]
1.3.2 Nazwa własna zbioru
Rozróżniamy dwa rodzaje zbiorów ze względu na nazwę:
- zbiory mające nazwę własną
- zbiory nie mające nazwy własnej
Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi
Przykład zbioru mającego nazwę własną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Przykład zbioru nie mającego nazwy własnej:
p = [ZWZ, miłość, samolot]
W praktycznej logice matematycznej z oczywistych względów użyteczne są wyłącznie dziedziny mające nazwy własne, zrozumiałe dla wszystkich, gdzie nie trzeba wypisywać wszystkich pojęć zawartych w dziedzinie.
1.3.3 Dziedzina użyteczna w języku potocznym
Definicja dziedziny użytecznej w języku potocznym:
Dziedzina użyteczna w języku potocznym do dowolny zbiór na którym operujemy mający nazwę własną, nie będący Uniwersum.
Rozważmy poniższe dziedziny (ZWZ, ZWS, U) mające nazwy własne:
Przykład:
Weźmy zbiór jednoelementowy:
P=[pies] - zbiór P zawiera tylko jeden element [pies].
Uwaga:
Nie jest tu istotne że różnych psów jest bardzo dużo bo:
pies Jasia = pies Zuzi = po prostu [pies]
[pies]+[pies] = [pies] - prawo algebry Boole’a (p+p=p)
Pojęcia [pies] są tożsame, nieistotne jest że jeden pies należy do Jasia a drugi do Zuzi.
[pies]*[pies] = [pies] - prawo algebry Boole’a (p*p=p)
Pojęcia [pies] są tożsame, nieistotnej jest że jeden pies należy do Jasia a drugi do Zuzi.
A.
Dla dziedziny:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt minus jeden element P=[pies]
B.
Dla dziedziny:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków:
otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWS-P] - zbiór wszystkich ssaków minus jeden element P=[pies]
C.
Dla dziedziny Uniwersum (zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka) otrzymamy ~P:
~P=[U-P] - zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka minus jeden element P=[pies]
Wnioski:
a)
Przyjęte dziedziny A i B mają poprawne nazwy własne należące do Uniwersum i nie są tożsame z Uniwersum, zatem te dziedziny są poprawne matematycznie i są to dziedziny użyteczne.
b)
Dziedzina A (ZWZ) wskazuje nam, że interesuje nas wyłącznie zbiór wszystkich zwierząt, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWZ są dla nas puste z definicji.
c)
Dziedzina B (ZWS) mówi nam że operujemy na zbiorze wszystkich ssaków, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWS są dla nas puste z definicji.
Dowód na przykładzie:
W twierdzeniu Pitagorasa dziedziną użyteczną jest:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Nie interesują nas tu żadne pojęcia spoza dziedziny ZWT, o czym w praktyce każdy matematyk intuicyjnie wie.
Dowód czysto matematyczny tego faktu jest następujący:
TP
Twierdzenie proste Pitagorasa:
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów.
Poprzednik definiuje tu dziedzinę:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Przyjmijmy dyletancko za dziedzinę Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka
Wtedy nasze twierdzenie proste Pitagorasa będzie brzmiało:
Jeśli coś (x) jest trójkątem prostokątnym to na 100% => w tym cosiu będzie zachodziła suma kwadratów
x*TP => SK =?
Losujemy:
x=koło
Wtedy mamy:
Jeśli koło jest trójkątem prostokątnym to …. (treść następnika jest tu kompletnie bez znaczenia)
Dowód:
[koło]*TP =[] =0 - bo pojęcie koło i TP są rozłączne
W identyczny sposób dowodzimy fałszywość twierdzenia prostego Pitagorasa dla dowolnego cosia spoza ZWT (zbioru wszystkich trójkątów) np. kwadrat, koło, miłość, pies, mydło, powidło etc.
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Wniosek z prawa Kobry:
Dla x=[koło] twierdzenie proste Pitagorasa jest fałszywe
Z punktu odniesienia prawa Kobry twierdzenie Pitagorasa dla [koła] przyjmie brzmienie:
Jeśli koło jest trójkątem prostokątnym to może ~~> w nim zachodzić suma kwadratów
[koło]*[TP] ~~>SK = [koło]*[TP]*[SK] = [] =0
Fałsz (=0) - bo pojęcie „koło” jest rozłączne ze zbiorem wszystkich trójkątów „ZWT”
Pani matematyczka w I klasie LO:
Jasiu narysuj koło będące trójkątem prostokątnym:
[koło]*[TP] =?
Jaś:
Ja nie potrafię, nie wiem jak wygląda „koło” będące „trójkątem prostokątnym”.
… a pani potrafi narysować ten twór?
Pani.
Hmmm … też nie potrafię Jasiu.
Jak sam widzisz dla każdego człowieka pojęcie „koło będące trójkątem prostokątnym” jest zbiorem pustym z definicji, nikt nie potrafi takiego tworu narysować.
Podsumowując:
Z punktu odniesienia twierdzenia Pitagorasa dowolne pojęcia spoza zbioru wszystkich trójkątów ZWT są dla nas zbiorem pustym tzn. z definicji pojęcia te umieszczamy w zbiorze pojęć niezrozumiałych.
Definicja zbioru pustego [] w algebrze Kubusia:
Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka tzn. nie należących do jego Uniwersum.
Przykład:
[] = [sdhrge=[], [koło]*TP=[], [kwadrat]*TP =[], [miłość]*TP=[] … etc.]
Zauważmy, że zbiór pusty [] z definicji jest podzbiorem => siebie samego.
[]=>[] =1
Nieistotna jest tu nieskończona ilość pojęć niezrozumiałych dla człowieka występująca w tym zbiorze.
W czasach gdy człowiek „żył jeszcze na drzewie” nawet koło było dla niego pojęciem pustym - jeszcze nie zdefiniowanym.
W tym sensie dogmat wiary współczesnych matematyków iż „ze zbioru pustego wynika wszystko” jest dogmatem prawdziwym, ale tylko i wyłącznie przy definicji zbioru pustego [] jak w algebrze Kubusia.
1.3.4 Dlaczego Uniwersum nie jest dziedziną użyteczną?
Definicja dziedziny użytecznej:
Dziedzina użyteczna do dowolny zbiór na którym operujemy mający nazwę własną, nie będący Uniwersum.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka
Dlaczego za dziedzinę użyteczną nie możemy przyjąć Uniwersum?
Prawo Kłapouchego
Jeśli za dziedzinę przyjmiemy U(Uniwersum) to jedyną równoważnością jaką będziemy w stanie rozpoznać będzie równoważność:
U<=>U = (A1: U=>U)*(B1: U~>U) =1*1 =1
Definiująca tożsamość zbiorów U=U.
Żadnej innej równoważności w naszym Wszechświecie nie rozpoznamy!
Dowód:
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - gdy definicja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - definicja podzbioru nie jest (=0) spełniona
Definicja nadzbioru ~>:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy definicja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - definicja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
Definicja matematyczna równoważności p<=>q w zbiorach:
Równoważność p<=>q to definicja podzbioru => zachodząca w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q - definicja formalna (ogólna)
To jest definicja znana każdemu ziemskiemu matematykowi.
Prawo Tygryska (prawo rachunku zero-jedynkowego):
B3: q=>p = B1: p~>q
Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q:
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q.
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q - definicja formalna (ogólna)
W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Weźmy równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK i twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: SK=>TP zostały udowodnione wieki temu, co jest dowodem prawdziwości równoważności Pitagorasa.
Zastosujmy dla B3 prawo Tygryska:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK
Stąd mamy tożsamą definicję równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => aby zachodziła w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
To jest najpopularniejsza definicja równoważności znana wszystkim ludziom (nie tylko matematykom).
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 6740
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 17 200
Zachodzi tożsamość pojęć:
Konieczne ~> = potrzebne ~>
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych definiuje tożsamość zbiorów TP=SK.
Definicja tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK i jednocześnie zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK.
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK
Dziedzina minimalna w twierdzeniu Pitagorasa to:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
1.3.5 Armagedon ziemskiej matematyki
Armagedon ziemskiej matematyki po raz pierwszy:
Zobaczmy co się stanie jak dla twierdzenia Pitagorasa przyjmiemy dziedzinę U (Uniwersum):
Dla dziedziny U (Uniwersum) twierdzenie proste Pitagorasa nie będzie częścią równoważności:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: TP~>SK) =1*1 =1
lecz częścią implikacji prostej TP|=>U o definicji:
Implikacja prosta TP|=>U to zachodząca wyłącznie relacja podzbioru => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>U =1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => U (Uniwersum)
B1: TP~>U =0 - zbiór TP nie jest (=0) nadzbiorem ~> U (Uniwersum)
stąd:
TP|=>U = (A1: TP=>U)*~(B1: TP~>U) = 1*~(0) =1*1 =1
Innymi słowy dostajemy Armagedon ziemskiej matematyki bo:
Jeśli w dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” za dziedzinę przyjmiemy U (Uniwersum) to żegnajcie absolutnie wszystkie równoważności udowodnione przez ziemskich matematyków np. równoważność Pitagorasa TP<=>SK
Dlaczego?
Ostatni wytłuszczony zapis to definicja implikacji prostej TP|=>U z definicji mająca zero wspólnego z równoważnością TP<=>SK
Szczegóły w temacie implikacji prostej p|=>q i równoważności p<=>q poznamy w kolejnych rozdziałach algebry Kubusia.
Armagedon ziemskiej matematyki po raz drugi:
Ten Armagedon jest kluczowy i najważniejszy.
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Równoważność p<=>q to definicja podzbioru => zachodząca w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q - definicja formalna (ogólna)
Ta definicja tożsamości zbiorów p=q znana jest każdemu ziemskiemu matematykowi, z wyjątkiem fanatyków gówna zwanego „implikacją materialną”
Wniosek z powyższej definicji tożsamości zbiorów p=q to prawo zagłady ziemskiej logiki „matematycznej”.
Prawo zagłady ziemskiej logiki matematycznej:
Dowolna równoważność p<=>q prawdziwa definiuje tożsamość zbiorów/pojęć p=q i odwrotnie.
Matematyka ziemian powyższego prawa nie zaakceptuje dopóty, dopóki jej bogiem będzie potwornie śmierdzące gówno zwane „implikacją materialną” gdzie o żadnym związku matematycznym między p i q mowy być nie może.
Ciekawe czy i kiedy ziemscy matematycy poślą „implikację materialną” tam gdzie jej miejsce - do piekła na wieczne piekielne męki, bez prawa powrotu na ziemię do końca naszego Wszechświata.
Ziemscy logicy matematyczni popełniają seppuku logiki matematycznej już w pierwszym zdaniu każdego ziemskiego podręcznika do nauki logiki „matematycznej”
Dowód:
Jedno z pierwszych zdań podręcznika dr hab. Krzysztofa A. Wieczorka „Logika dla opornych”
[link widoczny dla zalogowanych]
| K.A Wieczorek napisał: |
Termin „zdanie” oznacza w logice tylko i wyłącznie zdanie oznajmujące i schematy tylko takich zdań będziemy budować |
Na mocy powyższego dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w logice „matematycznej” ziemian przyjmuje postać.
Jeśli zdanie twierdzące p to zdane twierdzące q
Przykład:
Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
etc
To jest zdecydowanie gorzej niż szpital psychiatryczny, bo tylko najciężej chorzy mogą pleść tego typu brednie. To jest samobójstwo dla całej dalszej treści tego podręcznika, zatem w tym momencie możemy zakończyć jego czytanie i wrzucić do kosza na śmieci, bo:
Fundamentem jedynej poprawnej logiki matematycznej, algebry Kubusia, są zdania warunkowe „Jeśli p to q” gdzie p jest w ścisłym matematycznym związku z q, co za chwilkę zobaczymy (pkt.2.0)
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w logice matematycznej wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).
1.4 Kryteria ustalania dziedziny dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Kryteria ustalania dziedziny dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” w języku potocznym.
1.
Dziedzina musi mieć nazwę własną
Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi
Przykłady poprawnych dziedzin mających nazwy własne:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWS - zbiór wszystkich ssaków
etc
2.
Dziedzina musi być wspólna dla p i q
3.
Dziedzinę w dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” definiuje treść zdania „Jeśli p to q”
Każdy z powyższych warunków to Armagedon dla wszelkich ziemskich logik formalnych!
Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
P2~~>P8 = P2*P8 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory P2=[2,4,6,8..24..] i P8=[8,16,24..] mają co najmniej jeden element wspólny np. 24
Zauważmy, że dziedziną dla zdania B1 może być dowolny zbiór liczb np. naturalnych, całkowitych czy rzeczywistych - to bez znaczenia.
Nie jest dziedziną dla zdania B1 zbiór Uniwersum (U) mimo ze dowolny zbiór liczb jest podzbiorem Uniwersum (U) dowód tego faktu poznaliśmy wyżej.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 0:40, 09 Cze 2021, w całości zmieniany 6 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 0:23, 09 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - ostatnie czytanie!
Część II
Po raz ostatni przed premierą czytam od początku algebrę Kubusia likwidując literówki i udoskonalając przekaz.
Twierdzenie Smoka Wawelskiego:
Matematyk który nie zrozumie niniejszego postu powinien skreślić słówko matematyk sprzed swego nazwiska.
Najciekawszy fragment niniejszego postu to punkt 2.5
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593747
Algebra Kubusia
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
Spis treści
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
2.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
2.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 2
2.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów 3
2.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
2.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 4
2.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 4
2.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 4
2.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 8
2.5 Tajemnice logiki matematycznej 10
2.5.1 Prawo Kameleona 11
2.5.2 Prawo Śfinii 15
2.6 Zdanie bazowe 22
2.6.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q” 23
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
2.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q.
I.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory p i q są rozłączne i nieskończone to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.
II.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
2.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
2.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie:
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].
Zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dowolnego zbioru niepustego.
Wynika to z definicji zbioru pustego [] w algebrze Kubusia (pkt. 1.2).
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
2.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q
I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
2.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
2.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
2.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Definicja znaczka różne # dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem (~) drugiej
Przykład:
A1: Y=(p=>q)=~p+q # A1N: ~Y=~(p=>q)=p*~q
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Weźmy nasze funkcje logiczne A1 i B1:
| Kod: |
A1: Y= (p=>q)=~p+q ## B1: Y= (p~>q)=p+~q
# #
A1N:~Y=~(p=>q)=p*~q ## B1N:~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
A1: Y= (p=>q)=~p+q - funkcja logiczna A1 w logice dodatniej (bo Y)
A1N:~Y=~(p=>q)=p*~q - funkcja logiczna A1 w logice ujemnej (bo ~Y)
|
Doskonale widać, że definicje znaczków # i ## są tu spełnione.
| Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego =>
Y=
p q p=>q=~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
##
| Kod: |
T2
Definicja warunku koniecznego ~>
Y=
p q p~>q=p+~q
A: 1~>1 1
B: 1~>0 1
C: 0~>0 1
D: 0~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
|
##
| Kod: |
T3
Definicja spójnika “lub”(+)
Y=
p q p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 0 0
D: 0+ 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
|
##
| Kod: |
T4
Definicja spójnika “i”(*)
Y=
p q p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 0 0
D: 0* 1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Dowód iż funkcje logiczne z tabel T1, T2, T3 i T4 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
| Kod: |
T1: Y= (p=>q)=~p+q ## T2: Y =(p~>q)=p+~q ## T3: Y= p+q ## T4: Y=p*q
# # # #
T1N:~Y=~(p=>q)= p*~q ## T2N:~Y=~(p~>q)=~p*q ## T3N:~Y=~p*~q ## T4N:~Y=~p+~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
T1: Y= (p=>q)=~p+q - funkcja logiczna T1 w logice dodatniej (bo Y)
T1N:~Y=~(p=>q)=p*~q - funkcja logiczna T1 w logice ujemnej (bo ~Y)
|
Doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.
Wyprowadźmy w rachunku zero-jedynkowym matematyczne związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
| Kod: |
Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
| Kod: |
Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
1 2 3 4 5
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony |
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Y = (p=>q) = ~p+q ## Y=(p~>q) =p+~q
Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Innymi słowy:
Udowodnienie iż w zdaniu A1 spełniony jest warunek wystarczający =>:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
jest tożsame z udowodnieniem iż w zdaniu A2 spełniony jest warunek konieczny ~>:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
(albo odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH), bo zawsze gdy pada (P), jest pochmurno (CH)
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
Prawdziwość zdania A1 wymusza prawdziwość zdania A2, z czego wynika, że prawdziwości zdania A2 nie musimy dowodzić.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH), bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
2.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
| Kod: |
T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:
Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.
Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q - pod q podstaw := ~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q
Podsumowanie:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
2.5 Tajemnice logiki matematycznej
Fundamentem jedynej poprawnej logiki matematycznej, algebry Kubusia, są zdania warunkowe „Jeśli p to q” gdzie między p i q występuje ścisły związek matematyczny w postaci:
1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).
2.5.1 Prawo Kameleona
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Rozważmy najprostszy schemat elektryczny:
| Kod: |
S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Lekcja fizyki w I klasie LO w roku 2031 (przenosimy się do przyszłości):
Pan od fizyki:
Czy wciśnięcie przycisku A na schemacie S3 jest wystarczające => dla świecenia się żarówki S?
Jaś:
Tak.
Pan:
Jasiu wypowiedz zdanie warunkowe „Jeśli p to q” opisujące ten przypadek.
Jaś:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => będzie się świecić (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie klawisza A jest warunkiem wystarczającym => do tego aby żarówka świeciła się bo zawsze gdy wciśniemy A, żarówka świeci się
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Nasz schemat S3:
A=>S = ~A+S =1
Pan od fizyki:
Czy wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby żarówka świeciła się?
Zuzia:
Tak.
Pan
Zuziu, wypowiedz zdanie warunkowe „Jeśli p to q” opisujące ten przypadek.
Zuzia:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> będzie się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie klawisza A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S, bo w układzie S3 nie ma przycisku W (zmienna wolna) połączonego równolegle do A, który mógłby zaświecić żarówkę niezależnie od stanu przycisku A.
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Nasz schemat S3:
A~>S = A+~S =1
Pan od fizyki:
Jaki jest wniosek z prawdziwości zdań A1 i B1?
Jaś:
Wniosek jest taki, iż zdania te wchodzą w skład definicji równoważności A<=>S.
Definicja równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne spełnienie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie klawisza A (A=1) jest wystarczające => dla świecenia się żarówki S (S=1)
B1: A~>S =1 - wciśnięcie klawisza A (A=1) jest konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1)
stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka S świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Wciśnięcie klawisza A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1=1
Pan od fizyki:
Zauważcie drogie dzieci, że 10 lat temu ziemscy matematycy doskonale o tym wiedzieli, a mimo to nie odkryli banalnego prawa Kameleona.
Dowodem jest tu Wikipedia w tym temacie identyczna jak ta sprzed 10 lat.
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 6190
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 10700
Zachodzi oczywiście tożsamość pojęć:
konieczne ~> = potrzebne ~>
Pan od fizyki:
Pokazuje i objaśniam o co chodzi w prawie Kameleona.
Zapiszmy jeszcze raz treść zdań A1 i B1.
A1.
Jeśli przyciska A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => będzie się świecić (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie klawisza A jest warunkiem wystarczającym => do tego aby żarówka świeciła się bo zawsze gdy wciśniemy A, żarówka świeci się
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Nasz schemat S3:
A=>S = ~A+S =1
##
B1.
Jeśli przyciska A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> będzie się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie klawisza A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S, bo w układzie S3 nie ma przycisku W (zmienna wolna) połączonego równolegle do A, który mógłby zaświecić żarówkę niezależnie od stanu przycisku A.
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Nasz schemat S3:
A~>S = A+~S =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Dowód:
| Kod: |
T1
Definicja: ## Definicja:
Warunek wystarczający => ## Warunek konieczny ~>
Y = (p=>q) =~p+q ## Y= (p~>q) = p+~q
# ## #
~Y =~(p=>q) = p*~q ## ~Y=~(p~>q) =~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Stąd mamy:
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
W tabeli prawdy T1 widzimy, że definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w sposób perfekcyjny spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
cnd
Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie musza być matematycznie tożsame.
Dowodem są tu dwa nasze zdania A1 i B1.
Niniejszy wykład jest bezpośrednim uderzeniem w dogmat ziemskich matematyków.
Dogmat ziemskich matematyków:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame.
Powyższy dogmat jest fałszem, czego dowodem są zdania A1 i B1 (kontrprzykład) wyżej.
cnd
2.5.2 Prawo Śfinii
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Uwaga:
Matematycznie możliwy jest alternatywny algorytm przeciwny gdzie w prawie śfinii po „Jeśli ..” zapisujemy q zaś po „to…” zapisujemy p, jednak aby matematyk A dogadał się z matematykiem B obaj muszą stosować identyczny, uzgodniony wzajemnie algorytm: podstawowy albo przeciwny.
W logice matematycznej za domyślny przyjmujemy algorytm podstawowy dzięki czemu nie musimy sygnalizować światu zewnętrznemu który algorytm stosujemy.
Ponieważ algorytm podstawowy jest z definicji algorytmem domyślnym, możemy pominąć słówko „podstawowy” w „algorytmie podstawowym”.
Lekcja logiki matematycznej w I klasie LO w roku 2031 (przenosimy się 10 lat do przodu).
Zobaczmy jak będzie wyglądała logika matematyczna za 10 lat w każdej pierwszej klasie ziemskiego LO.
Rozpatrzmy w tym celu dwa kluczowe zadanka A i B.
Zadnie A
Dane jest zdanie:
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Polecenie:
Zapisz kompletną tabelę prawdy matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> mających związek z tym zdaniem.
Rozwiązanie Jasia:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
A1: P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury.
cnd
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Na mocy prawa śfinii domyślny punkt odniesienia to:
p= P (pada)
q= CH (chmury)
Stąd zdania A1 w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
W tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> mamy w tym momencie taką sytuację:
| Kod: |
T1A
Tabela prawdy Jasia dla zdania A1: P=>CH
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
dla punktu odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
A: 1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P [=] 5: ~P+CH =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
„=” = [=] - tożsamość logiczna (symbole tożsame)
|
Jak widzimy, udowadniając prawdziwość zaledwie jednego zdania warunkowego A1: P=>CH =1 automatycznie udowodniliśmy prawdziwość kolejnych trzech zdań warunkowych: A2, A3 i A4
Nie musimy tego sprawdzać … ale możemy sprawdzić.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
A2: ~P~>~CH =1
to samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro nie było pochmurno (~CH=1) bo jak będzie padać (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
to samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
Definicja dowolnego prawa logiki matematycznej:
A2: ~P~>~CH [=] A1: P=>CH
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Jak widzimy, w zdaniach A2 i A1 prawo Kubusia działa perfekcyjnie, bo musi działać perfekcyjnie.
Sprawdźmy dalszą część tożsamości logicznych w linii Ax:
A3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
A3: CH~>P =1
to samo w zapisie formalnym:
A3: q~>p =1
Chmury (CH=1) są konieczne ~> aby padało (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Jak widzimy prawo Kubusia znów samo nam tu wyskoczyło:
A3: CH~>P = A4: ~CH=>~P
To samo w zapisie formalnym:
A3: q~>p = A4: ~q=>~p
Ostatnie zdanie prawdziwe A4 brzmi:
A4.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padać (~P=1)
~CH=>~P =1
To samo w zapisie formalnym:
~q=>~p =1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P=1), bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada
Zauważmy teraz że:
1.
Potwierdziliśmy perfekcyjne działanie algebry Kubusia dla linii Ax w tabeli T1A.
2.
Prawo śfinii wymusza w zdaniu A1 następujący punkt odniesienia:
p = P (pada)
q = CH (chmury)
i ten punkt odniesienia musimy utrzymać w linii Bx inaczej popełniamy błąd podstawienia!
3.
Aby zapisać kompletna tabelę prawdy dla zdania A1: P=>CH musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx
4.
Prawdziwość/fałszywość najprostszego warunku wystarczającego => zawsze dowodzi się najprościej.
Do udowodnienia wybieramy zatem zdanie:
B3: q=>p
dla naszego punktu odniesienia będzie to zdanie:
B3: CH=>P =?
Dowodzimy:
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padało (P=1)
CH=>P =0
Chmury (CH=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P=1) bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
cnd.
5.
Fałszywość zdania B3 wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx.
Stąd otrzymujemy kompletną tabelę prawdy T2A dla badanego zdania:
A1: P=>CH =1
| Kod: |
T2A
Tabela prawdy Jasia dla zdania A1: P=>CH
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
dla punktu odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
A: 1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P [=] 5: ~P+CH =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =0
A: 1: P~>CH = 2:~P=>~CH [=] 3: CH=>P = 4:~CH~>~P [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
„=” = [=] - tożsamość logiczna (symbole tożsame)
|
Zadnie B
Dane jest zdanie:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
Polecenie:
Zapisz kompletną tabelę prawdy matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> mających związek z tym zdaniem.
Rozwiązanie Zuzi:
B1.
Jeśli jutro będzie będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
B1: CH~>P
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> do tego by padało (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
cnd
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Na mocy prawa śfinii domyślny punkt odniesienia to:
p= CH (chmury)
q= P (pada)
Stąd zdania B1 w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
W tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> mamy w tym momencie taką sytuację:
| Kod: |
T1B
Tabela prawdy Zuzi dla zdania B1: CH~>P
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
dla punktu odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =?
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
B: 1: CH~>P = 2:~CH=>~P [=] 3: P=>CH = 4:~P=>~CH [=] 5: CH+~P =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
„=” = [=] - tożsamość logiczna (symbole tożsame)
|
Jak widzimy, udowadniając prawdziwość zaledwie jednego zdania warunkowego B1: CH~>P =1 automatycznie udowodniliśmy prawdziwość kolejnych trzech zdań warunkowych: B2, B3, B4
Niedowiarków odsyłam do rozwiązania Jasia, bowiem w zapisach aktualnych zdania Jasia A1, A2, A3 i A4 są identyczne jak zdania Zuzi.
Dla zapisania kompletnej tabeli prawdy związanej ze zdaniem warunkowym B1: CH~>P konieczne jest udowodnienie prawdziwości/fałszywości dowolnego zdania serii Ax.
Punkt odniesienia w tabeli Zuzi to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
W linii Ax bezwzględnie musimy ten punkt odniesienia utrzymać, inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Do udowodnienie wybieramy zdanie A1: p=>q bo tu mamy najłatwiejszy do udowodnienia, najprostszy warunek wystarczający =>.
Dla punktu odniesienia Zuzi zdanie A1 przyjmuje brzmienie:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padać (P=1)
CH=>P =0
Chmury nie są warunkiem wystarczającym => do tego by padało, bo nie zawsze gdy jest pochmurno, pada
cnd
Fałszywość zdania A1 wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax.
Stąd końcowa tabela Zuzi jest następująca:
| Kod: |
T2B
Tabela prawdy Zuzi dla zdania B1: CH~>P
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
dla punktu odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =0
A: 1: CH=>P = 2:~CH~>~P [=] 3: P~>CH = 4:~P=>~CH [=] 5:~CH+P =0
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
B: 1: CH~>P = 2:~CH=>~P [=] 3: P=>CH = 4:~P=>~CH [=] 5: CH+~P =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
„=” = [=] - tożsamość logiczna (symbole tożsame)
|
Pozostaje kluczowe do rozstrzygnięcia pytanie:
W jakiej relacji matematycznej są ze sobą tabele prawdy Jasia i Zuzi?
Zapiszmy w tym celu te tabele jedna pod drugą:
| Kod: |
T2A
Tabela prawdy Jasia dla zdania A1: P=>CH
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
dla punktu odniesienia:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
A: 1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P [=] 5: ~P+CH =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =0
A: 1: P~>CH = 2:~P=>~CH [=] 3: CH=>P = 4:~CH~>~P [=] 5: P+~CH=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
„=” = [=] - tożsamość logiczna (symbole tożsame)
|
##
| Kod: |
T2B
Tabela prawdy Zuzi dla zdania B1: CH~>P
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
dla punktu odniesienia:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =0
A: 1: CH=>P = 2:~CH~>~P [=] 3: P~>CH = 4:~P=>~CH [=] 5:~CH+P =0
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
B: 1: CH~>P = 2:~CH=>~P [=] 3: P=>CH = 4:~P=>~CH [=] 5: CH+~P =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
„=” = [=] - tożsamość logiczna (symbole tożsame)
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zauważmy że:
1.
W zapisach formalnych {p,q} między tabelami T2A i T2B zachodzi relacja rożne na mocy definicji ##.
Dowód:
| Kod: |
T2AB:
Tabela T2A (Jaś) ## Tabela T2B (Zuzia)
Definicja warunku wystarczającego => ## Definicja warunku koniecznego ~>
A1: Y= (p=>q)=~p+q ## B1: Y= (p~>q)=p+~q
# ## #
~Y=~(p=>q)= p*~q ## ~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Stąd mamy:
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
W tabeli prawdy T2AB widzimy, że definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w sposób perfekcyjny spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
cnd
Nanieśmy teraz do tabeli T2AB zdania Jasia i Zuzi w zapisach aktualnych {P,CH}.
| Kod: |
T2AB:
Tabela T2A (Jaś) ## Tabela T2B (Zuzia)
Punkt odniesienia Jasia: ## Punkt odniesienia Zuzi:
p=P (pada) ## p=CH (chmury)
q=CH (chmury) ## q=P (pada)
Definicja warunku wystarczającego => ## Definicja warunku koniecznego ~>
A1: Y= (p=>q) =~p+q ## B1: Y= (p~>q)=p+~q
A1: Y= (P=>CH)=~P+CH ## B1: Y= (CH~>P)=CH+~P
# ## #
~Y=~(p=>q)= p*~q ## ~Y=~(p~>q)=~p*q
~Y=~(P=>CH)=P*~CH ## ~Y=~(CH~>P)=~CH*P
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Najbardziej sensacyjne podsumowanie w historii logiki matematycznej:
Zauważmy, że w zapisach aktualnych {P,CH} całą logikę formalną {p,q} szlag trafił bowiem suma logiczna jest przemienna, zatem w zapisach aktualnych ewidentnie zachodzi tożsamość logiczna [=] między A1 i B1.
| Kod: |
T2AB’:
Gówno-tożsamość logiczna:
A1: Y= (P=>CH)=~P+CH [=] B1: Y= (CH~>P)=CH+~P
|
Wniosek:
Coś tu jest do bani - nie może być bowiem tak, by logika w zapisach aktualnych {P,CH} gwałciła logikę w zapisach formalnych {p,q}
Odpowiedź:
Gówno-tożsamość w tabeli T2AB’ nie zachodzi, bowiem jeśli zapiszemy taką tożsamość to popełnimy błąd czysto matematyczny, błąd podstawienia.
Punkt odniesienia Jasia w zapisie formalnym (p, q} to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Punkt odniesienia Zuzi w zapisie formalnym (p, q} to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Mam nadzieję, że wszyscy bez problemu widzą ten banał nad banałami - błąd podstawienia.
Zauważmy, że aby zauważyć ten błąd Jaś i Zuzia muszą oglądać otaczającą ich rzeczywistość aktualną {P,CH} z tego samego formalnego punktu odniesienia {p,q}
Dokładnie temu służy prawo Śfinii, wymusza na wszystkich matematykach wspólny punkt odniesienia.
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Sytuacja jest tu podobna jak z jeżdżeniem po Anglii i Polsce samochodem:
Anglik będzie twierdził że samochodem musimy jeździć lewą stroną
Polak będzie twierdził że samochodem musimy jeździć prawą stroną
W rzeczywistości zależy to od punktu odniesienia:
Jeżdżąc po Anglii musimy jeździć lewą stroną, zaś jeżdżąc po Polsce prawą.
Jeśli Anglik powie, że on ma punkt odniesienia w logice matematycznej w dupie i będzie jeździł po Polsce lewą stroną … to długo nie pojeździ, co mam nadzieję wszyscy rozumieją.
2.6 Zdanie bazowe
Definicja zdania bazowego:
Zdanie bazowe to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia) spełniające poniższe warunki:
1.
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” żadne z pojęć p, q, ~p i ~q nie może być zbiorem pustym, co gwarantuje rozpoznawalność tych pojęć.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą należeć do wspólnej dziedziny.
Algorytm analizy zdania bazowego:
Algorytm analizy dowolnego zdania bazowego „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q pozwala na jednoznaczne rozstrzygnięcie w skład jakiego operatora logicznego wchodzi badane zdanie bazowe bez względu na jego prawdziwość/fałszywość.
Dowolne zdanie bazowe „Jeśli p to q” może wchodzić tylko i wyłącznie w skład jednego z pięciu rozłącznych operatorów logicznych.
1. p||=>q - operator implikacji prostej
2. p||~>q - operator implikacji odwrotnej
3. p|<=>q - operator równoważności
4. p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja równoważności p<=>q:
5. p|$q - operator „albo”($)
Z faktu iż powyższe operatory są rozłączne wynika, że dowolne zdanie bazowe „Jeśli p to q” nie może należeć jednocześnie do dwóch, jakichkolwiek operatorów.
| Kod: |
T1
Definicje operatorów implikacyjnych które niebawem poznamy:
1: Y=(p||=>q) =(p|=>q) = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)= ~p*q # ~Y=p+~q
##
2: Y=(p||~>q) =(p|~>q) =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*~q # ~Y=~p+q
##
3: Y=(p|<=>q) =(p<=>q) = (A1:p=>q)* (B1: p~>q) =p*q+~p*~q # ~Y=p*~q+~p*q
##
4: Y=(p||~~>q)=(p|~~>q) =~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =0 # ~Y=1
##
5: Y=(p|$q) = (p$q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p*~q+~p*q # ~Y=p*q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawo Kubusia:
p=>q [=] ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczna są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
W tabeli T1 doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Kluczowe dla poprawnego działania algorytmu jest prawo śfinii.
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
2.6.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q”
Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q”
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie bazowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Punkt 2
Zbiory:
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia p i q poszukując zbioru pustego (=0)
p~~>q=p*q =0
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia p i q poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)
p~~>q=p*q =0
RETURN
Punkt 3
Zbiory:
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Zdarzenia:
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe ~~> idź do punktu 5
Inaczej:
Punkt 4
Zbiory:
Nie znaleziono zbioru pustego []
Zdarzenia:
Nie znaleziono zdarzenia niemożliwego ~~>
Operator logiczny zlokalizowany, to operator chaosu p||~~>q
Idź do operatora chaosu p||~~>q
STOP
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
(~)p=>(~)q =1
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p (~> albo =>) q =?
Punkt 8
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowaną kolumnę A1B1: p|?q będącą częścią operatora logicznego p||?q
Idź do tabeli prawdy zlokalizowanego operatora logicznego
STOP
Przedstawiony wyżej algorytm to algorytm podstawowy.
Uwaga:
Matematycznie możliwy jest alternatywny algorytm przeciwny gdzie w prawie śfinii po „Jeśli ..” zapisujemy q zaś po „to…” zapisujemy p, jednak aby matematyk A dogadał się z matematykiem B obaj muszą stosować identyczny, uzgodniony wzajemnie algorytm: podstawowy albo przeciwny.
W logice matematycznej za domyślny przyjmujemy algorytm podstawowy dzięki czemu nie musimy sygnalizować światu zewnętrznemu który algorytm stosujemy.
Ponieważ algorytm podstawowy jest z definicji algorytmem domyślnym, możemy pominąć słówko „podstawowy” w „algorytmie podstawowym”.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 18:25, 09 Cze 2021, w całości zmieniany 4 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 5:34, 10 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - ostatnie czytanie!
Część III
Po raz ostatni przed premierą czytam od początku algebrę Kubusia likwidując literówki i udoskonalając przekaz.
Przytoczone w niniejszym poście przykłady operatora implikacji prostej P||=>CH i odwrotnej CH||~>P o chmurce i deszczu to matematyczny poziom 5-cio latka, eksperta algebry Kubusia, czego twardym dowodem jest rozumienie przez niego wszystkich zdań warunkowych "Jeśli p to q" wchodzących w skład definicji operatorów P||=>CH i CH||~>P.
Nigdy nie uwierzę, iż niniejszego postu nie jest w stanie zrozumieć normalny ziemski matematyk.
Twardogłowi matematycy typu Irbisol i Idiota, fanatycy gówna zwanego "implikacja materialna" z definicji nie będą w stanie pojąć nic a nic z niniejszego postu - dla nich nie ma ratunku, pozwólmy im umrzeć w spokoju w przekonaniu i iż "implikacja materialna" jest bogiem, zaś algebra Kubusia, gównem.
Algebra Kubusia to logika matematyczna przyszłych pokoleń matematyków!
Zdanie twardogłowych matematyków pokroju Irbisola i Idioty o algebrze Kubusia będzie do końca ich życia, niezmienne, jak niżej.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/czysto-matematyczne-obalenie-logiki-matematycznej-ziemian,9269-225.html#310261
| idiota napisał: | | Chyba ostatecznie przegrzaliśmy rafałowi pozostałości mózgu. |
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/prawo-subalternacji,8368-2000.html#299283
| idiota napisał: | Boże, co za bzdury...
To niesamowite jak rafał swoim nierozumieniem niczego potrafi sobie w głowie posklejać co się da i zrobić to jakoś odnoszące się do jego idee fixe...
Przecież tego nie ma sensu nawet wyjaśniać, bo widać tu raczej symptomy choroby, a nie rozumowanie. |
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/p-1-i-q-1-ale-p-q-0,10575-450.html#369345
| Irbisol napisał: | | Ty jesteś naprawdę ograniczony - nie ma z tobą podstawowego kontaktu ... Nie wiem, jak do ciebie przemówić, bo twoja głupota przerasta wszystko, co do tej pory spotkałem na wielu forach |
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1050.html#415439
| Irbisol napisał: | | Po prostu nie mam już słów na wyrażenie stopnia twojego upośledzenia, które nie pozwala ci tego pojąć. |
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1150.html#418651
| Irbisol napisał: | | Debil by zrozumiał, dlatego nie nazywam cię debilem, żeby debili nie obrażać. |
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/dowod-debila-oparty-na-dwoch-sprzecznych-zalozeniach,14695.html#484965
| Irbisol napisał: | Znajdźcie mi takiego drugiego debila.
Płaskoziemcy to profesorzy przy nim. |
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-2400.html#526961
| Irbisol napisał: | | Jestem tu tylko dlatego, żeby zobaczyć, jakiego jeszcze większego debila będziesz z siebie robił. Zawsze mam wrażenie, że sięgnąłeś dna - i zawsze się mylę - tam niżej jeszcze coś jest i ty to odkrywasz. |
... a może się mylę (chciałbym)?
Co wy na to Irbisolu i Idioto?
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593821
Algebra Kubusia
3.0 Definicje podstawowe - implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q
Spis treści
3.0 Operatory implikacyjne - definicje podstawowe 1
3.1 Implikacja prosta p|=>q 1
3.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q 6
3.1.2 Przykład implikacji prostej P|=>CH 8
3.1.3 Operator implikacji prostej P||=>CH 10
3.2 Implikacja odwrotna p|~>q 12
3.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 17
3.2.2 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P 19
3.2.3 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P 20
3.0 Operatory implikacyjne - definicje podstawowe
Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”
W logice matematycznej rozróżniamy cztery podstawowe operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja operatora równoważności:
p|$q - operator „albo”(|$)
Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>
3.1 Implikacja prosta p|=>q
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór => = relacja nadzbioru =>
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Zauważmy że w zdaniu warunkowym A1: „Jeśli p to q” poprzednik p definiuje nam zbiór P8:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
zaś następnik q definiuje nam zbiór P2:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zdanie A1 jest prawdziwe bo:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja podzbioru =>:
P8=>P2 =1 - zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Powyższa relacja podzbioru P8=>P2 jest spełniona (=1) co każdy ziemski matematyk łatwo udowodni.
Zauważmy, że nie wolno nam upraszczać powyższej relacji do samego zbioru P8 mówiąc:
„Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem”
jak to czynią ziemscy pseudo-matematycy, fanatycy gówna zwanego „implikacją materialną”, gdzie w dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” o żadnej relacji w zbiorach między p i q z definicji mowy być nie może.
To jest błąd czysto matematyczny bo nie wiadomo w stosunku do jakiego zbioru zbiór P8 jest podzbiorem =>.
Zauważmy że:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
… ale równie dobrze:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P4=[4,8,12,16..]
etc
Oczywistym jest, że zbiór P2=[2,4,6,8..] jest różny na mocy definicji ## od zbioru P4=[4,8,12,16..]
cnd
W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> lub element wspólny zbiorów ~~>
Zdarzenia:
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
Zbiory:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>:
| Kod: |
T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1: A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):[/b]
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Definicja definicji podstawowej dowolnego spójnika implikacyjnego:
Definicja podstawowa dowolnego spójnika implikacyjnego to definicja tego spójnika w logice dodatniej (bo q). Jeśli w definicji dowolnego spójnika implikacyjnego nie zaznaczamy w jakiej jest logice to domyślnie chodzi nam o definicję podstawową tego spójnika.
Mówiąc o definicji podstawowej możemy zatem pominąć sygnalizację w jakiej logice ta definicja jest wyrażona.
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0) =1*1=1
Definicja dowolnego operatora implikacyjnego p||?q:
Operator implikacyjny p||?q to odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
| Kod: |
T2:
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1: A2B2
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
|
Dlaczego to jest równanie operatora implikacji prostej p||=>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p
stąd mamy:
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Z tabeli T2 odczytujemy tożsamość logiczną:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Innymi słowy
1.
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q
Na mocy definicji operatorów logicznych p||=>q i ~p||~>~q widzimy, że udowodnienie prawdziwości 1 pociąga za sobą prawdziwość 2:
2.
p||=>q = ~p||~>~q
cnd
3.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1) - mówi o tym zdanie A1
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
Kolumna A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
LUB
Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
3.1.2 Przykład implikacji prostej P|=>CH
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Zadanie w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Rozwiązanie:
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie (P=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienie chmur (CH=1), bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie (P=1) daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur (CH), bo zawsze gdy pada, są chmury
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Na mocy prawa śfinii nasz punkt odniesienia to:
p = P (pada)
q = CH (chmury)
Stąd:
Zdanie A1 w zapisie formalnym to:
p=>q =1
W tym momencie zdanie A1 może być już tylko częścią implikacji prostej P|=>CH, albo równoważności P<=>CH. Rozstrzygamy to badając warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Padanie (P=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH=1), bo może nie padać (~P=1), a chmury mogą istnieć (CH=1).
cnd
Dowód alternatywny to skorzystanie z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska w zapisie formalnym {p, q}:
B1: p~>q = B3: q=>p
Prawo Tygryska w zapisie aktualnym {P, CH):
B1: P~>CH = B3: CH=>P
stąd:
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padało (P=1)
CH=>P =0
Chmury nie są warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
Fałszywość warunku wystarczającego => B3 na mocy prawa Tygryska gwarantuje nam fałszywość warunku koniecznego ~> B1.
Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdania te nie są tożsame:
A1: P=>CH = ~P+CH ## B1: P~>CH =P+~CH
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Stąd zapisujemy.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Jak widzimy, nasz przykład spełnia podstawową definicję implikacji prostej P|=>CH.
IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) =1*~(0)=1*1 =1
Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji prostej IP
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Definicja implikacji prostej P|=>CH w zapisie aktualnym:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) =1*~(0)=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: P=>CH =1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P =1 = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: P~~>~CH=0 = [=] = 4:~CH~~>P =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: P~>CH =0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P =0 = 4:~CH~>~P =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~P~~>CH=1 [=] 3: CH~~>~P=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1: A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
3.1.3 Operator implikacji prostej P||=>CH
Operator implikacji prostej P||=>CH w logice dodatniej (bo CH) to układ równań logicznych:
A1B1: P|=>CH =(A1: P=>CH)* ~(B1: P~>CH) - co się może się wydarzyć jeśli będzie padało?
A2B2: ~P|~>~CH =(A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) - co się może się wydarzyć jeśli nie będzie padało?
Innymi słowy:
Operator implikacji prostej P||=>CH to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2 o P i ~P:
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno (CH=1) - mówi o tym zdanie A1
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Czytamy:
P=1 - prawdą jest (=1) że pada (P)
~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH)
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
Czytamy:
1: CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH)
Prawo Prosiaczka:
(~CH=1) = (CH=0)
Stąd zdanie tożsame do 2 brzmi:
2’: CH=0 - fałszem jest (=0) iż są chmury (CH)
Jak widzimy wyłącznie sprowadzenie zmiennych do jedynek na mocy prawa Prosiaczka, czyni język potoczny przekładalny w skali 1:1 na logikę matematyczną.
Dowód:
W zdaniu 2 z języka potocznego mamy frazę:
„nie ma chmur” i tą frazę kodujemy matematycznie (~CH)
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym uwzględniamy przeczenie „nie” w postaci symbolu przeczenia (~).
LUB
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)
Czytamy:
~P=1 - prawdą jest (=1) że nie pada (~P)
CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)
Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P||=>CH jest gwarancja matematyczna po stronie P (pada) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (nie pada), co widać w powyższej analizie.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Uwaga:
Więcej prostych przykładów w temacie implikacja prosta p||=>q zarówno w zdarzeniach, jak i w zbiorach, znajdziemy w punkcie 4.3
3.2 Implikacja odwrotna p|~>q
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór => = relacja nadzbioru =>
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Zauważmy, że w zdaniu warunkowym B1: „Jeśli p to q” poprzednik p definiuje nam zbiór P2:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
zaś następnik q definiuje nam zbiór P8:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Zdanie B1 jest prawdziwe bo:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja nadzbioru ~>:
P2~>P8 =1 - zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Powyższa relacja nadzbioru ~> jest spełniona (=1) co każdy ziemski matematyk łatwo udowodni korzystając z prawa Tygryska:
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2
Zauważmy, że nie wolno nam upraszczać powyższej relacji do samego zbioru P2 mówiąc:
„Zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem”
jak to czynią ziemscy pseudo-matematycy, fanatycy gówna zwanego „implikacją materialną”, gdzie w dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” o żadnej relacji w zbiorach między p i q z definicji mowy być nie może.
To jest błąd czysto matematyczny bo nie wiadomo w stosunku do jakiego zbioru zbiór P2 jest nadzbiorem ~>.
Zauważmy że:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
… ale równie dobrze:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P4=[4,8,12,16..]
etc
Oczywistym jest, że zbiór P8=[8,16,24..] jest różny na mocy definicji ## od zbioru P4=[4,8,12,16..]
cnd
W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> lub element wspólny zbiorów ~~>
Zdarzenia:
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
Zbiory:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
IO.
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1: A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Definicja definicji podstawowej dowolnego spójnika implikacyjnego:
Definicja podstawowa dowolnego spójnika implikacyjnego to definicja tego spójnika w logice dodatniej (bo q). Jeśli w definicji dowolnego spójnika implikacyjnego nie zaznaczamy w jakiej jest logice to domyślnie chodzi nam o definicję podstawową tego spójnika.
Mówiąc o definicji podstawowej możemy zatem pominąć sygnalizację w jakiej logice ta definicja jest wyrażona.
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja proste ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1 =1*1=1
Definicja dowolnego operatora implikacyjnego p||?q:
Operator implikacyjny p||?q to odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
| Kod: |
T2:
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1: A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
|
Dlaczego to jest równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p
stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i `p:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Z tabeli T2 odczytujemy tożsamość logiczną:
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Innymi słowy
1.
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q
Na mocy definicji operatorów logicznych p||~>q i ~p||=>~q widzimy, że udowodnienie prawdziwości 1 pociąga za sobą prawdziwość 2:
2.
p||~>q = ~p||=>~q
cnd
3.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
Kolumna A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q, bo jak zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
LUB
Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (~q=1) - mówi o tym zdanie B2
Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie na dwoje babka wróżyła” po stronie p (zdania B1 i A1’) , oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).
Zauważmy że:
a)
Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
3.2.2 Przykład implikacji odwrotnej CH|~>P
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Zadanie w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
Rozwiązanie:
Sprawdzamy czy spełniony jest warunek konieczny ~>:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
cnd
Na mocy prawa śfinii nasz punkt odniesienia to:
p = CH (chmury)
q = P (pada)
stąd zdanie B1 w zapisie formalnym:
p~>q =1
Sprawdzamy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padać (P+1)
CH=>P =0
to samo w zapisie formalnym {p,q}:
p=>q =0
Chmury (CH=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P=1) bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
Jak widzimy nasz przykład spełnia definicję implikacji odwrotnej CH|~>P.
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P
Implikacja odwrotna CH|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1
Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji odwrotnej IO.
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P w zapisie aktualnym:
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: CH=>P =0 = 2:~CH~>~P =0 [=] 3: P~>CH =0 = 4:~P=>~CH =0
A’: 1: p~~>~q =1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: CH~~>~P=1 = [=] = 4:~P~~>CH =1
## ## | ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: CH~>P =1 = 2:~CH=>~P =1 [=] 3: P=>CH =1 = 4:~P~>~CH =1
B’: = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
B’: = 2:~CH~~>P =0 [=] 3: P~~>~CH=0
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1: A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
3.2.3 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P) to układ równań logicznych:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) - co może się wydarzyć jeśli będzie pochmurno (CH=1)?
A2B2: ~CH|~>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) - co się stanie jeśli nie będzie pochmurno (~CH=1)?
Innymi słowy:
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2 o CH i ~CH:
A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (CH=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
Kolumna A1B1:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są konieczne ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)
Czytamy:
CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)
~P=1 - prawdą jest (=1) że nie pada (~P)
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~CH~>~P =0 - brak chmur nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla nie padania
B2: ~CH=>~P =1 - brak chmur jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania
A2B2: ~CH|=>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) =~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padało (~P=1) - mówi o tym zdanie B2.
Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P=1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby jutro nie padało (~P=1) bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
Brak chmur (~CH=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
Czytamy:
~CH=1 - prawdą jest (=1), że nie ma chmur (~CH)
P=1 - prawdą jest (=1), że pada
Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej CH||~>P jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie CH (zdania B1 i A1’) i gwarancja matematyczna po stronie ~CH (zdanie B2)
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~CH||=>~P w logice ujemnej (bo ~P) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Uwaga:
Więcej prostych przykładów w temacie implikacja odwrotna p||~>q zarówno w zdarzeniach, jak i w zbiorach, znajdziemy w punkcie 5.3
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 11:44, 10 Cze 2021, w całości zmieniany 10 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 11:50, 10 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Masakra ziemskiej definicji "implikacji materialnej"!
Dosłownie prze chwilką skorygowałem post wyżej i wyszła mi tytułowa masakra - tekst niżej wyróżniony na niebiesko.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593821
3.0 Operatory implikacyjne - definicje podstawowe
Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”
W logice matematycznej rozróżniamy cztery podstawowe operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja operatora równoważności:
p|$q - operator „albo”(|$)
Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>
3.1 Implikacja prosta p|=>q
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór => = relacja nadzbioru =>
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Zauważmy że w zdaniu warunkowym A1: „Jeśli p to q” poprzednik p definiuje nam zbiór P8:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
zaś następnik q definiuje nam zbiór P2:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zdanie A1 jest prawdziwe bo:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja podzbioru =>:
P8=>P2 =1 - zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Powyższa relacja podzbioru P8=>P2 jest spełniona (=1) co każdy ziemski matematyk łatwo udowodni.
Zauważmy, że nie wolno nam upraszczać powyższej relacji do samego zbioru P8 mówiąc:
„Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem”
jak to czynią ziemscy pseudo-matematycy, fanatycy gówna zwanego „implikacją materialną”, gdzie w dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” o żadnej relacji w zbiorach między p i q z definicji mowy być nie może.
To jest błąd czysto matematyczny bo nie wiadomo w stosunku do jakiego zbioru zbiór P8 jest podzbiorem =>.
Zauważmy że:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
… ale równie dobrze:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P4=[4,8,12,16..]
etc
Oczywistym jest, że zbiór P2=[2,4,6,8..] jest różny na mocy definicji ## od zbioru P4=[4,8,12,16..]
cnd
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 21:23, 10 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - ostatnie czytanie!
Część IV
Po raz ostatni przed premierą czytam od początku algebrę Kubusia likwidując literówki i udoskonalając przekaz.
Twierdzenie Smoka Wawelskiego:
Dowolny ziemski matematyk, który twierdzi iż definicja „implikacji materialnej” jest matematycznie poprawna w naszym Wszechświecie żywym i martwym (w tym w matematyce) jest pacjentem zakładu zamkniętego bez klamek.
Innymi słowy:
Ziemska interpretacja równoważności p<=>q z Wikipedii to straszliwie ciężki przypadek schizofrenii.
Dowód:
Początek punktu 3.3.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593837
Algebra Kubusia
3.3 Definicje podstawowe - równoważność <=>
Spis treści
3.3 Definicja podstawowa równoważności p<=>q 1
3.3.1 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć 9
3.3.2 Diagram równoważności w zbiorach 10
3.3.3 Definicja operatora równoważności p|<=>q 12
3.3.4 Równoważność Pitagorasa TP<=>SK 15
3.3.5 Operator równoważności Pitagorasa TP|<=>SK 18
3.3.6 Diagram równoważności Pitagorasa TP<=>SK i ~TP<=>~SK 21
3.3 Definicja podstawowa równoważności p<=>q
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór => = relacja nadzbioru =>
Definicja podstawowa równoważności p<=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd mamy:
Definicja tożsama równoważności p<=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno relacji podzbioru =>, jak i relacji nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> mamy:
Każdy zbiór jest (=1) podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest (=1) nadzbiorem ~> siebie samego
Na mocy powyższego mamy:
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (i odwrotnie)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Innymi słowy:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwa jest równoważność p<=>q (i odwrotnie)
Dowód iż dla p=q każda równoważność p<=>q jest prawdziwa:
Definicja równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
stąd dla p=q mamy:
p<=>p = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) = 1*1 =1
bo:
A1: p=>p =1 - każdy zbiór jest (=1) podzbiorem => siebie samego
B1: p~>p =1 - każdy zbiór jest (=1) nadzbiorem ~> siebie samego
cnd
Przykład:
Definicja równoważności w zapisie formalnym {p, q}:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Podstawmy następujące p=q:
p = P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q = P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Stąd mamy równoważność <=> prawdziwą w zapisie aktualnym {P8, P8}:
RA1B1:
Dowolna liczba jest podzielna przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy jest podzielna przez 2
P2<=>P2 = (A1: P2=>P2)*(B1: P2~>P2) =1*1 =1
bo:
A1: P2=>P2 =1 - każdy zbiór jest (=1) podzbiorem => siebie samego
B1: P2~>P2 =1 - każdy zbiór jest (=1) nadzbiorem ~> siebie samego
cnd
Prawą stronę czytamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla jej podzielności przez 2
P2<=>P2 = (A1: P2=>P2)*(B1: P2~>P2) =1*1 =1
Podsumowując do zapamiętania!
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (i odwrotnie)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Innymi słowy:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwa jest równoważność p<=>q (i odwrotnie)
Zauważmy, że powyższa definicja tożsamości zbiorów p=q to Armagedon ziemskiej logiki „matematycznej”!
Twierdzenie Smoka Wawelskiego:
Dowolny ziemski matematyk, który twierdzi iż definicja „implikacji materialnej” jest matematycznie poprawna w naszym Wszechświecie żywym i martwym (w tym w matematyce) jest pacjentem zakładu zamkniętego bez klamek.
Innymi słowy:
Ziemska interpretacja równoważności p<=>q z Wikipedii to straszliwie ciężki przypadek schizofrenii.
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Równoważność p<=>q (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym poprzednik p jest zarówno warunkiem koniecznym ~>, jak i wystarczającym => dla następnika q.
To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy (wtw), gdy...
Przykłady równoważności prawdziwych:
Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy gdy 2 + 2 = 4
2+2=4 wtedy i tylko wtedy gdy Płock leży nad Wisłą
etc
|
Zauważmy, że wytłuszczona część definicji równoważności p<=>q z Wikipedii jest poprawna i identyczna jak w algebrze Kubusia … ale przykłady równoważności prawdziwych z Wikipedii to jedno wielkie, potwornie śmierdzące gówno.
Puenta ziemskiej definicji równoważności p<=>q z Wikipedii:
Ziemska definicja równoważności p<=>q to straszliwie ciężki przypadek schizofrenii - zdradzają to przykłady z Wikipedii.
Rozważmy pierwszy przykład:
Na mocy wytłuszczonej, poprawnej definicji równoważności z Wikipedii ziemscy twardogłowi „matematycy” zapisują:
RA1B1:
Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy, gdy 2 + 2 = 4
TZ<=>224 <=> (A1: TZ=>224)*(B1: TZ~>224) = 1*1 =1
Jak widzimy, ziemski „matematyk” twierdząc, że powyższa równoważność RA1B1 jest prawdziwa musi udowodnić prawdziwość zdań składowych A1 i B1.
Dowód prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1.
Jeśli trawa jest zielona to na 100% => 2+2=4
TZ=>224 =1
Z faktu iż trawa jest zielona wynika => że 2+2=4
Innymi słowy:
Zieloność trawy jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby 2+2=4
Jak prawdziwość warunku wystarczającego => A1 dowodzą ziemscy „matematycy”?
Oczywiście: nie wiem!
Po odpowiedź należy się udać do zakładu zamkniętego bez klamek, będącego domem dla absolutnie wszystkich fanatyków „implikacji materialnej”, czyli ziemskich twardogłowych matematyków.
Dowód prawdziwości warunku koniecznego ~> B1:
B1.
Jeśli trawa jest zielona to na 100% ~> 2+2=4
TZ~>224 =1
Zieloność trawy jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby 2+2=4
Jak prawdziwość warunku koniecznego ~> B1 dowodzą ziemscy „matematycy”?
Oczywiście: nie wiem!
Po odpowiedź należy się udać do zakładu zamkniętego bez klamek, będącego domem dla absolutnie wszystkich fanatyków „implikacji materialnej”, czyli ziemskich twardogłowych matematyków.
Wróćmy ze szpitala psychiatrycznego, którym jest schizofreniczne rozumienie poprawnej definicji równoważności p<=>q w Wikipedii do algebry Kubusia, czyli do świata zdrowych na umyśle, normalnych matematyków.
W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> lub element wspólny zbiorów ~~>
Zdarzenia:
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
Zbiory:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
TR.
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zadzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest potrzebne ~> i wystarczające => do tego, aby zaszło q
Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład równoważności p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji równoważności p<=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
| Kod: |
TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja podstawowa równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Innymi słowy:
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Definicja podstawowa równoważności p<=>q jest w praktyce doskonale znana każdemu człowiekowi.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 14 500
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 12 500
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 9890
Definicja definicji podstawowej dowolnego spójnika implikacyjnego:
Definicja podstawowa dowolnego spójnika implikacyjnego to definicja tego spójnika w logice dodatniej (bo q). Jeśli w definicji dowolnego spójnika implikacyjnego nie zaznaczamy w jakiej jest logice to domyślnie chodzi nam o definicję podstawową tego spójnika.
Mówiąc o definicji podstawowej możemy zatem pominąć sygnalizację w jakiej logice ta definicja jest wyrażona.
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Innymi słowy:
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Definicja dowolnego operatora implikacyjnego p||?q:
Operator implikacyjny p||?q to odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p
Równanie operatora równoważności p|<=>q:
| Kod: |
T2.
Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: A2B2
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd
|
Dlaczego to jest równanie operatora równoważności p|<=>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p
Stąd mamy:
Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Z tabeli T2 odczytujemy tożsamość logiczną:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Innymi słowy
1.
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q
Na mocy definicji operatorów logicznych p|<=>q i ~p|<=>~q widzimy, że udowodnienie prawdziwości 1 pociąga za sobą prawdziwość 2:
2.
p|<=>q = ~p|<=>~>q
cnd
3.3.1 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć
TR
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
| Kod: |
TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja dowolnego ziemskiego twierdzenia matematycznego TM:
Dowolne ziemskie twierdzenie matematyczne TM jest tożsame z warunkiem wystarczającym p=>q.
Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
Matematyczna definicja równoważności to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q, czyli zbiór p jest podzbiorem => q
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p, czyli zbiór q jest podzbiorem => p
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Stąd mamy wyprowadzoną definicję tożsamości zbiorów p=q znaną absolutnie każdemu ziemskiemu matematykowi!
A1B3:
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Dla B3 skorzystajmy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q zdefiniowaną kolumną A1B1.
A1B1: Zbiory
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q
Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.
Stąd dla kolumny A2B2 mamy.
A2B2: Zbiory
Definicja tożsamości zbiorów ~p=~q:
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q i jednocześnie zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q
3.3.2 Diagram równoważności w zbiorach
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q
Znaczenie powyższej tożsamości logicznej w przełożeniu na zbiory.
Tożsamość zbiorów p=q definiowana przez:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q definiowaną przez:
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q
(i odwrotnie)
Na tej podstawie łatwo rysujemy diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
| Kod: |
DR:
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
-------------------------------------------------------------------------
| D - wspólna dziedzina dla p i q |
| p+~p =D =1 | q+~q =D =1 |
| p*~p =[]=0 | q*~q =[]=0 |
-------------------------------------------------------------------------
| Zbiór: p=q # Zbiór: ~p=~q
| A1B1: Równoważność dla p: | A2B2: Równoważność dla ~p |
| p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
| Definiuje tożsamość zbiorów: | Definiuje tożsamość zbiorów: |
| p=q # ~p=~q |
-------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna
|
Z diagramu widzimy że:
~p=~(p) - zbiór ~p jest zaprzeczeniem zbioru p
~q=~(q) - zbiór ~q jest zaprzeczeniem zbioru q
Prawa podwójnego przeczenia:
p = ~(~p) - zbiór p jest zaprzeczeniem zbioru ~p (prawo podwójnego przeczenia)
q = ~(~q) - zbiór q jest zaprzeczeniem zbioru ~q (prawo podwójnego przeczenia)
Dziedzina D dla zbiorów p i q musi być wspólna, bowiem wtedy i tylko wtedy między zbiorami p i q mogą zachodzić podstawowe relacje (=>, ~> i ~~>) w zbiorach.
Relacja podzbioru =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
inaczej:
p=>q =0
Relacja nadzbioru ~>:
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0
Relacja elementu wspólnego ~~>:
p~~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają element wspólny
Inaczej:
p~~>q =0
Definicja wspólnej dziedziny D dla p:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne
Definicja wspólnej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1 - zbiór ~q jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru q
q*~q =[] =0 - zbiory q i ~q są rozłączne
Stąd mamy:
~p=[D-p] = [p+~p -p] = ~p
~q=[D-q] = [q+~q -q] = ~q
3.3.3 Definicja operatora równoważności p|<=>q
TR
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
| Kod: |
TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p :
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Stąd:
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p (p=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q (q=1)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
Zbiory:
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Zdarzenia:
Zdarzenie p jest tożsame ze zdarzeniem q p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Tożsamość zbiorów/pojęć p=q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q (albo odwrotnie)
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie p w rozpisce na warunek wystarczający =>.
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć p=q która wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
stąd:
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
Zbiory:
Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
~p=~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Zdarzenia:
Zdarzenie ~p jest tożsame ze zdarzeniem ~q ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
~p=~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć p=q (albo odwrotnie)
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie ~p w rozpisce na warunek wystarczający =>.
Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć ~p=~q która wymusza tożsamość zbiorów p=q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
~p=~q # p=q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
3.3.4 Równoważność Pitagorasa TP<=>SK
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Weźmy twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK=1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Ten dowód oznacza, że zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1)
Na mocy prawa śfinii zdanie A1 przyjmujemy za punkt odniesienia:
p=TP
q=SK
stąd zdanie A1 w zapisie formalnym {p, q}
A1: p=>q =1
W tym momencie twierdzenie proste Pitagorasa może być już tylko częścią implikacji prostej TP|=>SK albo częścią równoważności TP<=>SK. Aby to rozstrzygnąć musimy zbadać warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP~>SK =?
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =?
Definicja twierdzenia matematycznego:
Dowolne twierdzenie matematyczne jest tożsame z warunkiem wystarczającym =>.
W zdaniu B1 nie mamy warunku wystarczającego => ale to nie problem, bo możemy skorzystać z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska w zapisie formalnym:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
A1: TP~>SK = B3: SK=>TP
Wniosek:
Aby udowodnić prawdziwość warunku koniecznego ~> w zdaniu B1: TP~>SK potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić twierdzenie odwrotne Pitagorasa: B3: SK=>TP
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
SK=>TP =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Ten dowód oznacza, że zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP.
Oba twierdzenia łącznie (A1 i B3) definiują znaną każdemu matematykowi tożsamości zbiorów.
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Nasz przykład:
Definicja tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (twierdzenie proste) i zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (twierdzenie odwrotne)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK
Dla B3 korzystamy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q - prawo Tygryska w zapisie formalnym {p, q}
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK - prawo Tygryska w zapisie aktualnym {p=TP, q=SK}
Stąd mamy tożsamą definicje tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK i jednocześnie zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK.
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK
Stąd mamy dowód iż twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK jest częścią równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP.
Równoważność Pitagorasa TP<=>SK dla trójkątów prostokątnych:
RA1B1:
Równoważność TP<=>SK to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
RA1B1: TP<=>SK = RA2B2: ~TP<=>~SK
Dowód:
| Kod: |
RA1B1: RA2B2:
TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)[=](A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)=~TP<=>~SK
bo prawa Kubusia:
A1: TP=>SK = A2:~TP=>~SK
B1: TP~>SK = B2:~TP=>~SK
|
Stąd mamy udowodnioną tożsamość zbiorów ~TP=~SK:
Kolumna A2B2:
Zbiory ~TP i ~SK są tożsame ~TP=~SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK i jednocześnie zbiór ~TP jest nadzbiorem ~> zbioru ~SK
~TP=~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) = ~TP<=>~SK
Z powyższego wynika, że po udowodnieniu równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych definiującej tożsamość zbiorów TP=SK:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
nie musimy dowodzić równoważności Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych definiującej tożsamość zbiorów ~TP=~SK:
~TP=~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~S) = ~TP<=>~SK
bowiem gwarantuje nam to prawo rachunku zero-jedynkowego:
RA1B1: TP<=>SK = RA2B2: ~TP<=>~SK
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = ~p<=>~q
cnd
Podstawmy naszą równoważność TP<=>SK do tabeli prawdy równoważności TR.
| Kod: |
TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Aktualny punkt odniesienia na mocy prawa śfinii:
p=TP
q=SK
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym {TP,SK}:
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: TP=>SK =1 = 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~>TP =1 = 4:~SK=>~TP =1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: TP~~>~SK=0 = [=] = 4:~SK~~>TP =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: TP~>SK =1 = 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=>TP =1 = 4:~SK~>~TP =1
B’: = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
B’: = 2:~TP~~>SK=0 [=] 3: SK~~>~TP=0
Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne (TR i SK) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych wchodzących w skład operatora równoważności p|<=>q.
3.3.5 Operator równoważności Pitagorasa TP|<=>SK
Operator równoważności Pitagorasa TP|<=>SK to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o TP i ~TP:
A1B1: TP<=>SK =(A1: TP=>SK)* (B1: TP~>SK) - co się stanie jeśli zajdzie TP
A2B2:~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK) - co się stanie jeśli zajdzie ~TP
Innymi słowy:
Operator równoważności TP|<=>SK to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o TP i ~TP:
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt prostokątny (TP=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, by zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK
Tożsamość zbiorów TP=SK wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Kolumna A1B1:
W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokąty (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż będzie zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK=1)
TP~~>~SK = TP*~SK =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> TP i ~SK nie jest spełniona bo zbiory TP i ~SK są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów TP=SK która wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt nieprostokątny (~TP=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~TP~>~SK =1 - zajście ~TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~SK
B2: ~TP=>~SK =1 - zajście ~TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~SK
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
~TP=~SK <=> (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =~TP<=>~SK
Tożsamość zbiorów ~TP=~SK wymusza tożsamość zbiorów TP=SK (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
~TP=~SK # TP=SK
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Kolumna A2B2:
W rozpisce na warunek wystarczający => mamy:
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP=>~SK =1
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie będzie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może ~~> zachodzić w nim w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP~~>~SK=~TP*SK =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~TP i SK nie jest spełniona bo zbiory ~TP i SK są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów ~TP=~SK która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów TP=SK (albo odwrotnie)
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności TP|<=>SK jest gwarancja matematyczna => po stronie TP (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~TP (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności ~TP|<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
3.3.6 Diagram równoważności Pitagorasa TP<=>SK i ~TP<=>~SK
Graficznie równoważności Pitagorasa możemy przedstawić tak
| Kod: |
T1:
Zbiór trójkątów prostokątnych: |Zbiór trójkątów nieprostokątnych:
TP=SK |~TP=~SK
Równoważność Pitagorasa | Równoważność Pitagorasa
dla trójkątów prostokątnych (TP) | dla trójkątów nieprostokątnych (~TP)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Definiuje tożsamość zbiorów: | Definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK # ~TP=~SK
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna
|
Przyjmijmy dziedzinę minimalną dla równoważności Pitagorasa:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Definicja wspólnej dziedziny ZWT dla TP:
TP+~TP =D =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny ZWT dla zbioru TP
TP*~TP =[] =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
Definicja wspólnej dziedziny ZWT dla SK:
SK+~SK =D =1 - zbiór ~SK jest uzupełnieniem do dziedziny ZWT dla zbioru SK
SK*~SK =[] =0 - zbiory SK i ~SK są rozłączne
Stąd mamy:
~TP=[D-TP] = [TP+~TP -TP] =~TP
~SK=[D-SK] = [SK+~SK -SK] =~SK
Zachodzi również:
TP = ~(~TP) - zbiór TP jest zaprzeczeniem zbioru ~TP (prawo podwójnego przeczenia)
SK = ~(~SK) - zbiór SK jest zaprzeczeniem zbioru ~SK (prawo podwójnego przeczenia)
oraz:
~TP=~(TP) - zbiór ~TP jest zaprzeczeniem zbioru TP
~SK=~(SK) - zbiór ~SK jest zaprzeczeniem zbioru SK
Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Innymi słowy:
Na poziomie spójnika równoważności <=> mamy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.
Nasz przykład:
Udowodnienie równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1B1: TP<=>SK - ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów TP=SK
jest tożsame z udowodnieniem równoważności Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych:
A2B2: ~TP<=>~SK - ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów ~TP=~SK
Wniosek z zachodzącej tożsamości logicznej:
A1B1: TP<=>SK = A2B2:~TP<=>~SK
Udowodnienie tożsamości zbiorów TP=SK jest tożsame z udowodnieniem tożsamości zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)
Objaśnienia:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP=1):
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Prawo Tygryska:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP
stąd tożsama równoważność Pitagorasa znana każdemu matematykowi:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Gdzie:
A1: TP=>SK - twierdzenie proste Pitagorasa
A1: p=>q =1 - twierdzenie proste Pitagorasa w zapisie formalnym
B3: SK=>TP - twierdzenie odwrotne Pitagorasa
B3: q=>p =1 - twierdzenie odwrotne Pitagorasa w zapisie formalnym
Uwaga:
Więcej prostych przykładów operatora równoważności p|<=>q zarówno w zbiorach, jak i w zdarzeniach znaleźć można w punkcie 6.5
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 9:26, 11 Cze 2021, w całości zmieniany 6 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 17:07, 11 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - ostatnie czytanie!
Część V
Po raz ostatni przed premierą czytam od początku algebrę Kubusia likwidując literówki i udoskonalając przekaz.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593841
Algebra Kubusia
3.4 Definicje podstawowe - „albo” p$q i chaos p|~~>q
„Łatwiej jest wielbłądowi przejść przez ucho igielne, niż bogatemu wejść do królestwa niebieskiego” (Mt 19,24; por. Łk 18,25)
Twierdzenie Smoka Wawelskiego:
Łatwiej nauczyć algebry Kubusia ucznia I klasy LO który nie wie nic a nic w temacie logiki matematycznej, w szczególności nie zna potwornie śmierdzącego gówna zwanego „implikacją materialną” niż przestawić mózg twardogłowego matematyka dla którego „implikacja materialna” jest bogiem, na myślenie w algebrze Kubusia.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/p-1-i-q-1-ale-p-q-0,10575-450.html#369345
| Irbisol napisał: | | Ty jesteś naprawdę ograniczony - nie ma z tobą podstawowego kontaktu ... Nie wiem, jak do ciebie przemówić, bo twoja głupota przerasta wszystko, co do tej pory spotkałem na wielu forach |
Spis treści
3.4 Spójnik „albo”($) 1
3.4.1 Operator „albo” p|$q w rozpisce na zdania warunkowe „Jeśli p to q” 7
3.4.2 Spójnik „albo” M$K 10
3.4.3 Operator „albo” M|$K 13
3.5 Chaos p|~~>q 15
3.5.1 Operator chaosu p||~~>q 19
3.5.2 Chaos P8|~~>P3 20
3.5.3 Operator chaosu P8||~~>P3 23
3.4 Spójnik „albo”($)
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W wyjaśnianiu definicji spójnika „albo” p$q i operatora „albo” p|$q wspomożemy się konkretnym przykładem z teorii zbiorów {M$K), mającym przełożenie 1:1 na logikę formalną {p$q} pozwalającym łatwo zrozumieć o co tu chodzi.
Rozważmy zdanie:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
Stąd mamy definicję dziedziny:
M+K = C =1 - bo zbiór kobiet (K) jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru mężczyzn (M)
M*K =[] =0 - bo zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K)
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny:
~M = [C-M] = [M+K-M] =K
~K = [C-K] = [M+K-K]=M
to samo po zamianie argumentów w tożsamości zbiorów:
M = ~K - człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K=1)
K=~M - człowiek jest kobietą (K=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest mężczyzną (~M=1)
Narysujmy diagram w zbiorach pasujący do tego zdania.
Diagram operatora „albo” p|$q wspomagany przykładem o mężczyźnie (M) i kobiecie (K)
| Kod: |
DA:
Diagram operatora „albo” p|$q w zbiorach/zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D (dziedzina) |
| p+q =D =1 - zbiór q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p |
| p*q =[]=0 - zbiory p i q są rozłączne |
| Dla zmiennych aktualnych M (mężczyzna) i K (kobieta) mamy: |
| C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi |
| K+M =C =1 - zbiór M jest uzupełnieniem do dziedziny C dla K |
| K*M =[]=0 - zbiór M jest rozłączny ze zbiorem K w dziedzinie C |
--------------------------------------------------------------------------
: Zbiór: p=M (mężczyzna) # Zbiór: q=K (kobieta) |
| A1B1: Spójnik „albo”($) dla p: | A2B2: Spójnik „albo”($) dla ~p |
| p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) [=] ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) [=] ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) |
| Stąd mamy: | Stąd mamy: |
| p=~q - p jest negacją (~)q w D # q=~p - q jest negacją (~)p w D |
| M=~K - M jest negacją (~)K w C # K=~M - K jest negacją (~)M w C |
--------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna
|
Dla naszego przykładu mamy:
Definicja podstawowa spójnika „albo” M$K w logice dodatniej (bo K):
Spójnik „albo” M$K w logice dodatniej (bo K) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od M do ~K
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) wystarczające => by nie być kobietą (~K=1)
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) konieczne ~> by nie być kobietą (~K=1)
stąd:
A1B1: p$q = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1
Dowody formalne (patrz diagram DA):
Dla ~K=M mamy:
A1: M=>~K = M=>M =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
B1: M~>~K = M~>M =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd
To samo w zapisie formalnym po podstawieniu:
M=p
K=q
Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Spójnik „albo” p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Dowody formalne (patrz diagram DA):
Dla ~q=p mamy:
A1: p=>~q = p=>p =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>~q = p~>p =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd
Podstawmy definicję spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q) do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo” p$q w logice dodatniej (bo q)
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p =1 [=] 5: ~p+~q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p =1 [=] 5: p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład spójnika „albo” p$q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji spójnika „albo” p$q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>~q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>q=p*q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>~q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>q=p*q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>~q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>q=p*q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>~q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>q=p*q=1 (i odwrotnie)
Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
| Kod: |
TA:
Tabela prawdy spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q =1 [=] 3: ~q~>p =1 = 4: q=>~p =1
A’: 1: p~~>q=0 = [=] = 4: q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q =1 [=] 3: ~q=>p =1 = 4: q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>~q=0 [=] 3: ~q~~>~p=0
Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1: A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Spójnik „albo” p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Trzeciej możliwości brak
Nasz przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) albo($) kobietą (K)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1
Trzeciej możliwości brak
Prawą stronę czytamy:
Do tego aby zaszło p potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Zdanie matematycznie tożsame:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p$q
Nasz przykład:
Aby dowolny człowiek był mężczyzną (M) potrzeba ~> i wystarcza => aby nie był kobietą (~K)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1
Zdanie matematycznie tożsame:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M$K
Definicja definicji podstawowej dowolnego spójnika implikacyjnego:
Definicja podstawowa dowolnego spójnika implikacyjnego to definicja tego spójnika w logice dodatniej (bo q). Jeśli w definicji dowolnego spójnika implikacyjnego nie zaznaczamy w jakiej jest logice to domyślnie chodzi nam o definicję podstawową tego spójnika.
Mówiąc o definicji podstawowej możemy zatem pominąć sygnalizację w jakiej logice ta definicja jest wyrażona.
Definicja spójnika „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Spójnik „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od ~p do q
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p albo ($) zajdzie ~q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1 =1
Trzeciej możliwości brak
Nasz przykład:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) albo ($) nie jest kobietą (~K)
A2B2: ~M$~K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) =1*1 =1
Trzeciej możliwości brak.
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest potrzebne ~> i wystarczające => do tego, aby zaszło q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1 =1
Zdanie matematycznie tożsame:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) = ~p$~q
Nasz przykład:
Aby nie być mężczyzną (~M) potrzeba ~> i wystarcza => być kobietą (K)
A2B2: ~M$~K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) =1*1 =1
Zdanie matematycznie tożsame:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K)
~M<=>K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) = ~M$~K
Definicja dowolnego operatora implikacyjnego p||?q:
Operator implikacyjny p||?q to odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p
| Kod: |
T2.
Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1: A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>~q = A2: ~p~>q
B1: p~>~q = B2: ~p=>q
cnd
|
Dlaczego to jest równanie operatora „albo” p|$q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p
Stąd mamy:
Operator „albo” p|$q w logice dodatniej (bo p) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dających odpowiedź na pytanie o p i ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~p) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Z tabeli T2 odczytujemy tożsamość logiczną:
A1B1: p$q = A2B2:~p$~q
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Innymi słowy
1.
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję spójnika „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.
A1B1: p$q = A2B2:~p$~q
Na mocy definicji operatorów logicznych p|$q i ~p|$~q widzimy, że udowodnienie prawdziwości 1 pociąga za sobą prawdziwość 2:
2.
p|$q = ~p|$~>~q
cnd
3.4.1 Operator „albo” p|$q w rozpisce na zdania warunkowe „Jeśli p to q”
| Kod: |
DA:
Diagram operatora „albo” p|$q w zbiorach/zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D (dziedzina) |
| p+q =D =1 - zbiór q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p |
| p*q =[]=0 - zbiory p i q są rozłączne |
| Dla zmiennych aktualnych M (mężczyzna) i K (kobieta) mamy: |
| C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi |
| K+M =C =1 - zbiór M jest uzupełnieniem do dziedziny C dla K |
| K*M =[]=0 - zbiór M jest rozłączny ze zbiorem K w dziedzinie C |
--------------------------------------------------------------------------
: Zbiór: p=M (mężczyzna) # Zbiór: q=K (kobieta) |
| A1B1: Spójnik „albo”($) dla p: | A2B2: Spójnik „albo”($) dla ~p |
| p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) [=] ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) [=] ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) |
| Stąd mamy: | Stąd mamy: |
| p=~q - p jest negacją (~)q w D # q=~p - q jest negacją (~)p w D |
| M=~K - M jest negacją (~)K w C # K=~M - K jest negacją (~)M w C |
--------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna
|
Operator „albo” p|$q w logice dodatniej (bo p) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dających odpowiedź na pytanie o p i ~p
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) =1*1=1
Dowody formalne (patrz diagram DA):
Dla ~q=p mamy:
A1: p=>~q = p=>p =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>~q = p~>p =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie p w rozpisce na warunek wystarczający =>.
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
p=>~q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zdarzenia:
Zajście zdarzenia p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia ~q
p=>~q =1
Zbiory:
Jeśli dowolny element zbioru należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru ~q
p=>~q =1
Przykład:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
M=>~K =1
Bycie mężczyzną (M=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie jesteśmy kobietą (~K=1)
Matematycznie zachodzi (patrz diagram DA):
~K=M
stąd:
A1: M=>~K = M=>M =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
p~~>q = p*q =[] =0 - bo zbiory/zdarzenia p i q są rozłączne
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i q
Przykład:
A1’
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to może ~~> być kobietą (K=1)
M~~>K = M*K =[] =0
Nie istnieje wspólny element zbioru mężczyzna (M=1) i kobieta K (K=1)
Dowód:
K=~M - patrz diagram DA, stąd:
A1’: M~~>K = M~~>~M = M*~M =[] =0
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1=1
Dowody formalne (patrz diagram DA):
Dla q=~p mamy:
A2: ~p~>q = ~p~>~p =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
B2: ~p=>q = ~p=>~p =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie ~p w rozpisce na warunek wystarczający =>:
Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
~p=>q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zdarzenia:
Jeśli zajdzie zdarzenie ~p to na 100% => zajdzie zdarzenie q
~p=>q =1
Zbiory:
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p to na 100% => należy do zbioru q
~p=>q =1 - przynależność do ~p jest wystarczająca => dla przynależności do q
Przykład:
B2.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to na 100% => jest kobietą (K=1)
~M=>K=1
Nie bycie mężczyzną (~M=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jesteśmy kobietą (K=1)
Matematycznie zachodzi tożsamość (patrz diagram DA)
~M=K
stąd:
B2: ~M=>K = K=>K =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
~p~~>~q = ~p*~q =[] =0 - bo zbiory/zdarzenia ~p i ~q są rozłączne
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i ~q
~p~~>~q = ~p*~q =[] =0
Dowód:
Matematycznie zachodzi tożsamość (patrz diagram DA):
~q=p
stąd mamy:
B2’: ~p~~>~q = ~p~~>p = ~p*p =[] =0
cnd
Zbiory:
B2’.
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p to może ~~> należeć do zbioru ~q
~p~~>~q = ~p*~q =[] =0 - bo zbiory/zdarzenia ~p i ~q są rozłączne
Przykład:
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to może ~~> nie być kobietą (~K=1)
~M~~>~K = ~K*~K =[] =0
Nie istnieje wspólny element zbioru nie mężczyzna ~M i nie kobieta ~K
Dowód:
Matematycznie zachodzi tożsamość (patrz diagram DA):
~K=M
stąd mamy:
B2’: ~M~~>~K = ~M~~>M = ~M*M =[] =0
cnd
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora „albo” p|$q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora „albo” ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~p) będzie identyczna jak operatora „albo” p|$q w logice dodatniej (bo p) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
3.4.2 Spójnik „albo” M$K
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Rozważmy zdanie:
$A1B1:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=M
q=K
stąd zdanie $A1B1 w zapisie formalnym {p, q} przyjmuje postać:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
Stąd mamy definicję dziedziny:
M+K = C =1 - bo zbiór kobiet (K) jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru mężczyzn (M)
M*K =[] =0 - bo zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K)
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny:
~M = [C-M] = [M+K-M] =K
~K = [C-K] = [M+K-K]=M
to samo po zamianie argumentów w tożsamości zbiorów:
M = ~K
K=~M
Narysujmy diagram w zbiorach pasujący do tego zdania.
Diagram operatora „albo” p|$q wspomagany przykładem o mężczyźnie (M) i kobiecie (K)
| Kod: |
DA:
Diagram operatora „albo” p|$q w zbiorach/zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D (dziedzina) |
| p+q =D =1 - zbiór q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p |
| p*q =[]=0 - zbiory p i q są rozłączne |
| Dla zmiennych aktualnych M (mężczyzna) i K (kobieta) mamy: |
| C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi |
| K+M =C =1 - zbiór M jest uzupełnieniem do dziedziny C dla K |
| K*M =[]=0 - zbiór M jest rozłączny ze zbiorem K w dziedzinie C |
--------------------------------------------------------------------------
: Zbiór: p=M (mężczyzna) # Zbiór: q=K (kobieta) |
| A1B1: Spójnik „albo”($) dla p: | A2B2: Spójnik „albo”($) dla ~p |
| p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) [=] ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) [=] ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) |
| Stąd mamy: | Stąd mamy: |
| p=~q - p jest negacją (~)q w D # q=~p - q jest negacją (~)p w D |
| M=~K - M jest negacją (~)K w C # K=~M - K jest negacją (~)M w C |
--------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna
|
Dla naszego przykładu mamy:
Definicja podstawowa spójnika „albo” M$K w logice dodatniej (bo K):
Spójnik „albo” M$K w logice dodatniej (bo K) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od M do ~K
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) wystarczające => by nie być kobietą (~K=1)
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) konieczne ~> by nie być kobietą (~K=1)
stąd:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1
Dowody formalne (patrz diagram DA):
Dla ~K=M mamy:
A1: M=>~K = M=>M =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
B1: M~>~K = M~>M =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd
To samo w zapisie formalnym po podstawieniu:
M=p
K=q
Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Spójnik „albo” p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Dowody formalne (patrz diagram DA):
Dla ~q=p mamy:
A1: p=>~q = p=>p =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>~q = p~>p =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd
Podstawmy to do tabeli prawdy spójnika „albo” M$K:
| Kod: |
TA:
Tabela prawdy spójnika „albo”($)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Dla naszego przykładu mamy punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {M,K}:
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną jest wystarczające => by nie być kobietą
B1: M~>~K=1 - bycie mężczyzną jest konieczne ~> by nie być kobietą
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q =1 [=] 3: ~q~>p =1 = 4: q=>~p =1
A: 1: M=>~K=1 = 2:~M~>K =1 [=] 3: ~K~>M =1 = 4: K=>~M =1
A’: 1: p~~>q=0 = [=] = 4: q~~>p =0
A’: 1: M~~>K=0 = [=] = 4: K~~>M =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q =1 [=] 3: ~q=>p =1 = 4: q~>~p =1
B: 1: M~>~K=1 = 2:~M=>K =1 [=] 3: ~K=>M =1 = 4: K~>~M =1
B’: = 2:~p~~>~q=0 [=] 3: ~q~~>~p=0
B’: = 2:~M~~>~K=0 [=] 3: ~K~~>~M=0
Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1: A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności powyższej tabeli zmienne aktualne M i K podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”
3.4.3 Operator „albo” M|$K
Definicja dowolnego operatora implikacyjnego p||?q:
Operator implikacyjny p||?q to odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p
Innymi słowy:
Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie po ~p i p:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Innymi słowy w przełożeniu na nasz przykład:
Operator „albo” M|$K to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o M i ~M:
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli człowiek jest mężczyzną (M=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest wystarczające => by nie być kobietą (~K=1)
B1: M~>~K=1 - bycie mężczyzną (M=1) jest konieczne ~> by nie być kobietą (~K=1)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K) = (B1: M~>~K)
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli ktoś jest mężczyzną (M=1) w rozpisce na warunek wystarczający =>.
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli ktoś jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
M=>~K =1
Bycie mężczyzną (M=1) jest warunkiem wystarczającym => by nie być kobietą (~K=1)
Bycie mężczyzną (M=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie jesteśmy kobietą (~K=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Matematycznie zachodzi tożsamość (patrz diagram DA):
~K=M
stąd:
A1: M=>~K = M=>M =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli ktoś jest mężczyzną (M=1) to może ~~> to być kobietą (K=1)
M~~>K = M*K =[] =0
Nie jest możliwe (=0) aby jakiś człowiek był jednocześnie mężczyzną (M) i kobietą (K)
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona (=0) bo zbiór mężczyzn (M=1) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K=1)
Dowód:
Matematycznie zachodzi tożsamość K=~M (patrz diagram DA), stąd:
A1’: M~~>K = M~~>~M = M*~M =[] =0
cnd
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~M~>K =1 - nie bycie mężczyzną (~M=1) jest warunkiem koniecznym ~> aby być kobietą (K=1)
B2: ~M=>K =1 - nie bycie mężczyzną (~M=1) jest warunkiem wystarczającym => by nie być kobietą
A2B2: ~M$~K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K)
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli ktoś nie jest mężczyzną (~M=1) w rozpisce na warunek wystarczający =>.
Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli ktoś nie jest mężczyzną (~M=1) to na 100% => jest kobietą (K=1)
~M=>K =1
Nie bycie mężczyzną (~M=1) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K=1)
Nie bycie mężczyzną (~M=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jesteśmy kobietą (K=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~M=K
stąd:
B2: ~M=>K = K=>K =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli ktoś nie jest mężczyzną (~M=1) to może ~~> nie być kobietą (~K=1)
~M~~>~K = ~M*~K =[] =0
Nie jest możliwe ~~> aby ktokolwiek nie był mężczyzną (~M=1) i nie był kobietą (~K=1)
Dowód:
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć (patrz diagram DA):
~K =M
B2’: ~M~~>~K = ~M*M =[] =0
cnd
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora „albo”($) M|$K jest gwarancja matematyczna => po stronie M (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~M (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora „albo” ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~p) będzie identyczna jak operatora „albo” p|$q w logice dodatniej (bo p) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Uwaga:
Więcej prostych przykładów operatora „albo” p|$q znajdziemy w punkcie 7.5
Gorąco polecam.
3.5 Chaos p|~~>q
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
CH.
Definicja podstawowa chaosu p|~~>q:
Kolumna A1B1:
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w chaosie p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład chaosu p|~~>q potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji chaosu p|~~>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
| Kod: |
CH
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
B”: 2:~p~~>~q=1 [=] 3: q~~>p =1
Równanie operatora chaosu p||~~>q:
A1B1: A2B2:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~~>~q
Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~p||~~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Uwaga:
Zdania A1” i B2” kodowane zdarzeniem możliwym ~~> muszą być prawdziwe, bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z chaosem p|~~>q.
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1S: p=>~q =1
co prowadzi do sprzeczności z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdania prawdziwego B2” oraz do zdań B3” i A4”.
CH.
Definicja podstawowa chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Definicja definicji podstawowej dowolnego spójnika implikacyjnego:
Definicja podstawowa dowolnego spójnika implikacyjnego to definicja tego spójnika w logice dodatniej (bo q). Jeśli w definicji dowolnego spójnika implikacyjnego nie zaznaczamy w jakiej jest logice to domyślnie chodzi nam o definicję podstawową tego spójnika.
Mówiąc o definicji podstawowej możemy zatem pominąć sygnalizację w jakiej logice ta definicja jest wyrażona.
CH.
Definicja chaosu ~p|~~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Chaos ~p|~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~~>~q = ~(A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Definicja dowolnego operatora implikacyjnego p||?q:
Operator implikacyjny p||?q to odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p
| Kod: |
T2.
Równanie operatora chaosu p||~~>q:
A1B1: A2B2:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~~>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
B1: p~>q = B2:~p=>~q
cnd
|
Dlaczego to jest równanie operatora chaosu p||~~>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p
Operator chaosu p||~~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~p||~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Z tabeli T2 odczytujemy tożsamość logiczną:
A1B1: p|~~>q = A2B2: ~p|~~>~q
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Innymi słowy
1.
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję chaosu ~p|~~>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.
A1B1: p|~~>q = A2B2: ~p|~~>~q
Na mocy definicji operatorów logicznych p||~~>q i ~p||~~>~q widzimy, że udowodnienie prawdziwości 1 pociąga za sobą prawdziwość 2:
2.
p||~~>q = ~p||~~>~q
cnd
3.5.1 Operator chaosu p||~~>q
Definicja operatora chaosu p||~~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Kolumna A1B1:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej bo (q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Kolumna A1B1:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla spełnionego p:
A’’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
LUB
A’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Kolumna A2B2:
Definicja chaosu ~p|~~>~q w logice ujemnej bo (~q):
Chaos ~p|~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~~>~q = ~(A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Kolumna A2B2:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla nie spełnionego p (~p):
B’’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i ~q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
LUB
B’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Podsumowanie:
Doskonale widać, że zarówno po stronie p jak i po stronie ~p mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Zauważmy że:
a)
Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator chaosu ~p||~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora chaosu ~p||~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora chaosu p||~~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A’’, A’, B’’, B’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
3.5.2 Chaos P8|~~>P3
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Zadanie w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
Rozwiązanie:
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Na początek korzystając z prawa Kobry badamy, czy zdanie które mamy analizować ma szansę być prawdziwym, kodując to zdanie elementem wspólnym zbiorów ~~>.
W.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Na mocy prawa śfinii mamy:
p = P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q = P3=[3,6,9..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Przyjmujemy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy przeczenia zbiorów rozumiane jako uzupełnienia do dziedziny LN:
~P8 = [LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P3 = [LN-P3] = [1,2..4,5..7,8..]
Krok 1
Badamy warunek wystarczający =>:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=>P3 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=0) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..]
cnd
Krok 2
Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8~>P3 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona (=0) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..]
Stąd mamy dowód iż mamy tu do czynienia z chaosem.
Definicja chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu p|~~>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest wystarczające => dla q i jednocześnie zajście p nie jest konieczne ~> dla q
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Nasz przykład:
Definicja chaosu P8|~~>P3:
A1: P8=>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
B1: P8~>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
A1B1: P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)=~(0)*~(0)=1*1 =1
Podstawmy nasz przykład do szablonu chaosu:
| Kod: |
CH
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Aktualny punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P3=[3,6,9..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Kolumna A1B1 to również punkt odniesienia w zapisie aktualnym {P8,P3}:
A1: P8=>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
B1: P8~>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
A1B1: P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)=~(0)*~(0)=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: P8~~>~P3=1 = [=] = 4:~P3~~>P8 =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p =1
A”: 1: P8~~>P3 =1 [=] 4:~P3~~>~P8=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~P8~~>P3 =1 [=] 3: P3~~>~P8=1
B”: 2:~p~~>~q =1 [=] 3: q~~>p =1
B”: 2:~P8~~>~P3=1 [=] 3: P3~~>P8 =1
Równanie operatora chaosu p||~~>q:
A1B1: A2B2:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~~>~q
Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~p||~~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator chaosu p||~~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
3.5.3 Operator chaosu P8||~~>P3
Nasz przykład:
Operator chaosu P8||~~>P3 to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytanie o P8 i ~P8:
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba będzie podzielna przez 8 (P8=1)?
Kolumna A1B1:
A1: P8=>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
B1: P8~>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
A1B1: P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)=~(0)*~(0)=1*1 =1
Z kolumny A1B1 odczytujemy:
A1”.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo istnieje (=1) element wspólny ~~> np. 24
Zbiory P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] mają element wspólny ~~> np. 24
LUB
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo istnieje (=1) element wspólny ~~> np. 8
Zbiory P8=[8,16,24..] i ~P3=[1,2..4.5..7,8..] mają element wspólny ~~> np. 8
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez z 8 (~P8=1)?
Kolumna A2B2:
A2: ~P8~>~P3 =0 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~P3=[1,2..4,5..7,8..]
B2: ~P8=>~P3=0 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest (=0) podzbiorem => ~P3=[1,2..4,5..7,8..]
~P8|~~>~P3=~(A2: ~P8~>~P3)*~(B2: ~P8=>~P3) =~(0)*~(0) =1*1 =1
Z kolumny A2B2 odczytujemy:
B2”.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 - bo istnieje (=1) element wspólny ~~> np. 2
Zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P3=[1,2..4,5..7,8..] mają element wspólny ~~> np. 2
LUB
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 - bo istnieje (=1) element wspólny ~~> np. 3
Zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P3=[3,6,9..24..] mają element wspólny ~~> np. 3
Podsumowanie:
Istotą operatorach chaosu P8|~~>P3 jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” zarówno po stronie P8 (zdania A1’’, A1’) jak i po stronie ~P8 (zdania B2’’ i B2’)
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~p||~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora chaosu ~p||~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora chaosu p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1’’, A1’, B2’’, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Uwaga:
Więcej prostych przykładów operatora chaosu p||~~>q znajdziemy w punkcie 8.3
Gorąco polecam.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 6:54, 12 Cze 2021, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 11:16, 12 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - ostatnie czytanie!
Część VI
Po raz ostatni przed premierą czytam od początku algebrę Kubusia likwidując literówki i udoskonalając przekaz.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593843
Algebra Kubusia - wersja rozszerzona
3.6 Dziedzina matematyczna i fizyczna, zdjęcia układów
Dlaczego ten rozdział jest wersją rozszerzoną algebry Kubusia?
Algebra Kubusia to matematyka języka potocznego, gdzie nikt nie bada matematycznych związków operatora równoważności p|<=>q ze spójnikami „i”(*) i „lub”(+) bowiem w języku potocznym ta wiedza jest zbędna, nie występuje.
Matematycznie jest jednak możliwe wyrażenie równoważności p|<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) i o tym jest niniejszy rozdział. Nie jest to wiedza jakaś nadmiernie skomplikowana, jednak moim zdaniem w I klasie LO można tego wymagać w profilu matematycznym rozszerzonym tzn. tego typu wiedzy można nie wymagać od młodych ludzi uzdolnionych humanistycznie gdzie obowiązuje matematyka podstawowa, dla których matematyka jest „kulą u nogi”.
Spis treści
3.6 Dziedzina matematyczna i fizyczna 1
3.7 Zdjęcie układu A<=>S w zdarzeniach 2
3.7.1 Odtworzenie równoważności A<=>S ze zdjęcia układu 5
3.7.2 Tabela prawdy równoważności A<=>S 8
3.7.3 Analiza operatora równoważności A|<=>S 9
3.8 Zdjęcie twierdzenia Pitagorasa w zbiorach 11
3.8.1 Odtworzenie równoważności Pitagorasa TP<=>SK ze zdjęcia układu 15
3.8.2 Tabela prawdy równoważności Pitagorasa TP<=>SK 17
3.8.3 Operator równoważności Pitagorasa TP|<=>SK 18
3.6 Dziedzina matematyczna i fizyczna
Definicja dziedziny matematycznej DM:
Dziedzina matematyczna to suma logiczna funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y)
Y+~Y =DM =1 - funkcje logiczna Y i ~Y uzupełniają się wzajemnie do dziedziny matematycznej DM
Oczywiście:
Y*~Y =[] =0 - funkcje logiczne Y i ~Y są rozłączne
Zauważmy, że z punktu widzenia dziedziny matematycznej DM funkcja logiczna Y może być dowolnie skomplikowana, byleby była w 100% znana, bo tylko i wyłącznie ten fakt umożliwia policzenie funkcji logicznej ~Y.
1: Y = f(x) - dowolna funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y)
Funkcję logiczną ~Y obliczamy negując dwustronnie funkcję logiczną 1:
2: ~Y=~f(x)
Definicja dziedziny fizycznej D:
Dziedzina fizyczna D to wyłącznie funkcja logiczna Y (w logice dodatniej bo Y) z dziedziny matematycznej DM.
Interpretacja dziedziny fizycznej w Y świecie martwym (także w fizyce i matematyce) jest następująca.
Teoria zdarzeń:
Funkcja logiczna Y (w logice dodatniej bo Y) pokazuje wszystkie możliwe kombinacje zdarzeń w których spełniona jest definicja zdarzenia możliwego ~~>.
Teoria zbiorów:
Funkcja logiczna Y (w logice dodatniej bo Y) pokazuje wszystkie możliwe kombinacje zbiorów między którymi spełniona jest definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>
Definicja świata martwego:
Świat martwy to świat w którym prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania nie zależy od wolnej woli istoty żywej.
Definicja wolnej woli:
Wolna wola istoty żywej to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w szczególności przez fizykę i matematykę).
Jeśli istota żywa zgwałci jakiekolwiek prawo logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy to zostanie matematycznym kłamcą - tylko tyle i aż tyle rozstrzyga logika matematyczna w obszarze świata żywego.
Zobaczmy na przykładach istotę dziedziny matematycznej DM i fizycznej D.
3.7 Zdjęcie układu A<=>S w zdarzeniach
Rozważmy najprostszy schemat elektryczny:
| Kod: |
S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja zdjęcia układu w zdarzeniach:
Zdjęcie układu w zdarzeniach to analiza układu zdarzeniami możliwymi ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Zdjęcie układu S3 wygląda następująco:
A.
Jeśli przyciska A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
A~~>S = A*S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przyciska A wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Na mocy prawa śfinii przyjmujemy punkt odniesienia:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Stąd zdanie A w zapisie formalnym {p, q} przyjmuje postać:
A: p~~>q = p*q =1
B.
Jeśli przyciska A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
C.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
~A~~>~S = ~A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
D.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
A~~>~S = A*~S =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Zapiszmy zrobione zdjęcie układu S3 w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Zdjęcie układu S3
Znaczenie symbolu Y:
Y - zdarzenie Y jest możliwe (Y=1)
~Y - zdarzenie Y nie jest możliwe (~Y=1)
Y ~Y Y - analiza z punktem odniesienia ustawionym na Y
A: A~~> S= A* S =1 =0 - Ya=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: A*S
B: A~~>~S= A*~S =0 =1 - Yb=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: A*~S
C:~A~~>~S=~A*~S =1 =0 - Yc=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: ~A*~S
D:~A~~> S=~A* S =0 =1 - Yd=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: ~A*S
|
Z tabeli T1 mamy odpowiedź na dwa kluczowe w logice matematycznej pytania o Y i ~Y:
1.
Które zdarzenia w układzie S3 są możliwe (Y=1)?
2.
Które zdarzenie w układzie S3 nie są możliwe (~Y=1)?
Odpowiedź na pytanie 1 brzmi:
1.
Które zdarzenia w układzie S3 są możliwe (Y=1)?
Zdarzenia możliwe (Y=1) w układzie S3 to suma logiczna funkcji cząstkowych z jedynką w kolumnie opisującej funkcję logiczną Y w logice dodatniej (bo Y):
Y = Ya+Yb
po rozwinięciu mamy:
Y = A: A*S + C: ~A*~S
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> A: A=1 i S=1 lub C: ~A=1 i ~S=1
Czytamy:
Prawą jest (=1) że zdarzenia możliwe (Y) w układzie S3 to:
A: Ya= A*S = 1*1 =1 - Ya=1 wciśnięty jest przycisk A (A=1) i żarówka świeci się (S=1)
lub
C: Yc=~A*~S=1*1 =1 - Yc=1 nie jest wciśnięty przyciska A (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Odpowiedź na pytanie 2 brzmi:
2.
Które zdarzenia w układzie S3 nie są możliwe (~Y=1)?
Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) w układzie S3 to suma logiczna funkcji cząstkowych z jedynką w kolumnie opisującej funkcję logiczną ~Y w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~Yb+~Yd
po rozwinięciu mamy:
~Y = B: A*~S + D: ~A*S
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> B: A=1 i ~S=1 lub D: ~A=1 i S=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że zdarzenia niemożliwe (~Y) w układzie S3 to:
B: ~Yb=A*~S =1*1 =1 - ~Yb=1 wciśnięty jest przycisk A (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
lub
D: ~Yd=~A*S =1*1 =1 - ~Yb=1 nie jest wciśnięty przycisk A (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Uwaga - bardzo ważne:
Notacja stosowana w algebrze Kubusia jest tu następująca:
B: ~Yb=A*~S =1*1 =1
Co rozpisce szczegółowej oznacza:
B: ~Yb=1 <=> A=1 i ~S=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że nie jest możliwe (~) zdarzenie Yb (~Yb=1):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Dla zapisu ~Yb=1 zastosujmy prawo Prosiaczka, które możemy stosować wybiórczo do dowolnego zapisu binarnego.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1) = (p=0)
stąd tożsamy opis linii B to:
B: Yb=0 <=> A=1 i ~S=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że możliwe jest zdarzenie Yb:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Doskonale tu widać fenomenalne działania prawa Prosiaczka - szczegóły punkt 1.3 w „Nowej algebrze Boole’a”
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/nowa-algebra-boole-a-w-finalna,18893.html#593677
Zapiszmy na zakończenie dziedzinę matematyczną DM dla układu S3:
a)
DM=Y+~Y =1 - funkcja logiczna ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny DM dla funkcji Y
po rozwinięciu mamy:
DM = A: A*S + C:~A*~S + B: A*~S + D: ~A*S
Minimalizujemy:
DM = A: A*S + B: A*~S + C: ~A*~S + D: ~A*S = A*(S+~S) + ~A*(~S+S) = A+~A =1
Oczywistym jest że dla dowolnej funkcji logicznej Y musi zachodzić definicja dziedziny matematycznej DM:
DM = Y+~Y =1 - funkcja ~Y jest dopełnieniem do dziedziny DM dla funkcji Y
co dowiedziono na przykładzie schematu S3.
Oczywistym jest również, że funkcje Y i ~Y muszą być rozłączne:
b)
Y*~Y =[] =0
Nasz przykład:
Y = A*S + ~A*~S
~Y = A*~S + ~A*S
stąd mamy:
Y*~Y =[] =0 - bo funkcje Y i ~Y są matematycznie rozłączne
Widać to bezpośrednio w tabeli T1:
a) suma logiczna kolumn Y i ~Y da w wyniku same jedynki
b) wymnożenie kolumn Y i ~Y da w wyniku same zera
cnd
Dowód alternatywny to operacje dodawania i mnożenia wielomianów Y i ~Y:
Y = p*q+~p*~q
~Y = p*~q + ~p*q
a)
Y+~Y = (p*q+~p*~q)+(p*~q+~p*q)
Y+~Y = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q
Y+~Y = p*(q+~q) + ~p*(~q+q)
Y+~Y = p+~p =1
cnd
b)
Y*~Y = (p*q+~p*~q)*(p*~q+~p*q)
Y*~Y = (p*q)*(p*~q) + (p*q)*(~p*q) + (~p*~q)*(p*~q) + (~p*~q)*(~p*q) =[] +[] +[] +[] =[] =0
cnd
3.7.1 Odtworzenie równoważności A<=>S ze zdjęcia układu
Jeśli uda nam się zrobić zdjęcie układu jak wyżej (nie zawsze to jest takie proste, szczególnie w zbiorach nieskończonych), to odtworzenie operatora logicznego w skład którego wchodzą wszystkie zdania A, B, C i D ze zdjęcia to bułka z masłem.
Przypomnijmy sobie fundament algebry Kubusia:
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Do rozszyfrowania w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzą zdania ze zdjęcia T1 kluczowa jest definicja kontrprzykładu w zdarzeniach.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
| Kod: |
S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Zapiszmy tabelę prawdy zdjęcia układu S3 wykonanego wyżej.
Zmiana indeksowania linii na zgodną ze standardem stosowanym w algebrze Kubusia jest matematycznie bez znaczenia.
| Kod: |
T1
Zdjęcie układu S3
Y Y - analiza z punktem odniesienia ustawionym na Y
A1: A~~> S =1 - Ya=1 - możliwe jest (=1): wciśnięty A i świeci S
A1’: A~~>~S =0 - Yb=0 - niemożliwe jest (=0): wciśnięty A i nie świeci S
B2: ~A~~>~S =1 - Yc=1 - możliwe jest (=1): nie wciśnięty A i nie świeci S
B2’:~A~~> S =0 - Yd=0 - niemożliwe jest (=0): nie wciśnięty A i świeci S
|
Analiza matematyczna zdjęcia T1
1.
Z fałszywości kontrprzykładu A1’:
A1’: A~~>~S =0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A1:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest wystarczające => dla świecenia S (S=1)
2.
Z fałszywości kontrprzykładu B2’:
B2’: ~A~~>S =0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => B2:
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia S (~S=1)
Stąd mamy tabelę T2 w warunkach wystarczających => A1 i B2:
| Kod: |
T2
A1: A=> S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
A1’: A~~>~S =0 - prawdziwy => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A jest wystarczające => dla nie świecenia S
B2’:~A~~> S =0 - prawdziwy => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’
|
Analiza matematyczna tabeli T2
3.
Prawo Kubusia:
A1: A=>S = A2: ~A~>~S
Na mocy prawa Kubusia prawdziwy warunek wystarczający w linii A1:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest wystarczające => dla świecenia S (S=1)
wymusza prawdziwy warunek konieczny w linii A2:
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest konieczne ~> dla nie świecenia S (~S=1)
4.
Prawo Kubusia:
B2: ~A=>~S = B1: A~>S
Na mocy prawa Kubusia prawdziwy warunek wystarczający w linii B2:
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest wystarczające => dla nie świecenia S (~S=1)
wymusza prawdziwy warunek konieczny w linii B1:
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest konieczne ~> dla świecenia S (S=1)
Stąd mamy końcową tabelę T3 ze zlokalizowaną równoważnością podstawową A<=>S:
T2
A1: A=> S =1 | B1: A~>S =1
A1’: A~~>~S =0 |
B2: ~A=>~S =1 | A2:~A~>~S =1
B2’:~A~~> S =0 |
[/code]
W linii A1 mamy zlokalizowaną równoważność A<=>S w logice dodatniej (bo S):
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest wystarczające => dla świecenia S (S=1)
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest konieczne ~> dla świecenia S (S=1)
Stąd mamy:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
W linii B2 mamy zlokalizowaną logicznie tożsamą równoważność ~A<=>~S w logice ujemnej (bo ~S):
Równoważność ~A<=>~S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest konieczne ~> dla nie świecenia S (~S=1)
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest wystarczające => dla nie świecenia S (~S=1)
Stąd mamy:
A2B2: ~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1=1
Oczywiście wystarczyło nam zapisać równoważność A<=>S aby skorzystać z gotowego szablony spójnika równoważności p<=>q
3.7.2 Tabela prawdy równoważności A<=>S
| Kod: |
TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym {A,S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Dla punktu odniesienia A1B1 mamy:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S=1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: A~~>~S=0 = [=] = 4:~S~~>A =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S=1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
B’: = 2:~A~~>S=0 [=] 3: S~~>~A=0
Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne {A i S} podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych „Jeśli p to q” wchodzących w skład operatora równoważności A|<=>S.
3.7.3 Analiza operatora równoważności A|<=>S
| Kod: |
S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to złożenie równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.
Innymi słowy:
Operator równoważności A|<=>S to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o A i ~A:
A1B1:
Kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1.
RA1B1:
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, by żarówka świeciła się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Równoważność A<=>S definiuje tożsamość pojęć A=S:
A=S <=> (A1: A=>S)*(B1: A~>S) = A<=>S
Tożsamość pojęć A=S wymusza tożsamość pojęć ~A=~S (i odwrotnie)
Matematycznie zachodzi tu relacja:
A=S # ~A=~S
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Odpowiedź na pytanie A1B1 w warunku wystarczającym => jest następująca:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zawsze gdy wciśniemy przycisk A zaświeci się żarówka S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego => A musi być fałszem
A1’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
A2B2:
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2.
RA2B2:
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla braku świecenia się żarówki S (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Równoważność ~A<=>~S definiuje tożsamość pojęć ~A=~S:
~A=~S <=> (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) = ~A<=>~S
Tożsamość pojęć ~A=~S wymusza tożsamość pojęć A=S (i odwrotnie)
Matematycznie zachodzi tu relacja:
~A=~S # A=S
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Odpowiedź na pytanie A2B2 w warunku wystarczającym => to:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla braku świecenia żarówki S (~S=1)
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => braku świecenia się żarówki S (~S=1)
Zawsze, gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), żarówka nie świeci się (~S=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Niemożliwe jest zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka S świeci się (S=1)
Podsumowanie:
1.
Istotą operatora równoważności A|<=>S jest gwarancja matematyczna => zarówno po stronie wciśniętego przycisku A (A=1) - zdanie A1, jak i po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1) - zdanie B2.
2.
W dowolnym operatorze równoważności p|<=>q nie ma miejsca na jakiekolwiek „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” które miało miejsce zarówno w operatorze implikacji prostej p||=>q jak i w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.
3.8 Zdjęcie twierdzenia Pitagorasa w zbiorach
Teoria niezbędna dla zrobienie zdjęcia dowolnego układu w zbiorach:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Definicja zdjęcia układu w zbiorach:
Zdjęcie układu w zbiorach to analiza układu elementem wspólnym zbiorów ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Weźmy znane każdemu uczniowi 7 klasy szkoły podstawowej twierdzenie Pitagorasa.
Twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym jest wystarczające => do tego aby zachodziła suma kwadratów wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Twierdzenie to ludzkość udowodniła wieki temu stąd mamy pewność absolutną, że zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK.
Na mocy prawa śfinii zdanie A1 przyjmujemy za punkt odniesienia:
p=TP - zbiór trójkątów prostokątnych
q=SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
Stąd zdanie A1 w zapisie formalnym {p, q}:
p=>q =1
Generujemy zdjęcie dla twierdzenia Pitagorasa:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to może ~~> w nim zachodzić suma kwadratów (SK=1)
TP~~>SK = TP*SK =1
Dla udowodnienia istnienia wspólnego elementu zbiorów ~~> TP i SK wystarczy pokazać jeden trójkąt prostokątny TP w którym spełniona jest suma kwadratów SK np. [3,4,5]
cnd
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK=1)
TP~~>~SK = TP*~SK =[] =0
Tu mamy problem, bowiem nie jest możliwe przeiterowanie po nieskończonym zbiorze trójkątów prostokątnych (TP=1) i sprawdzanie, iż nie ma tego trójkąta w zbiorze trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów (~SK=1)
ALE!
Wolno nam założyć, że zbiory TP i ~SK są rozłączne.
Wtedy zdanie B będzie kontrprzykładem dla twierdzenia prostego Pitagorasa w punkcie A
A: TP=>SK =1
Na mocy definicji warunku wystarczającego => w zbiorach mamy:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Twierdzenie proste Pitagorasa A: TP=>SK zostało udowodnione wieki temu z czego wynika fałszywość kontrprzykładu B, z czego wynika iż zbiory TP i ~SK w zdaniu B są rozłączne.
cnd
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP~~>~SK = ~TP*~SK =1
Udowodnienia istnienia wspólnego elementu zbiorów ~~> ~TP i ~SK wystarczy pokazać jeden trójkąt nieprostokątny ~TP w którym nie jest spełniona suma kwadratów ~SK np. [3,4,6]
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK=1)
~TP~~>SK = ~TP*SK =[] =0
Tu mamy identyczny problem jak wyżej, bowiem nie jest możliwe przeiterowanie po nieskończonym zbiorze trójkątów nieprostokątnych (~TP=1) i sprawdzanie, iż nie ma tego trójkąta w zbiorze trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1)
ALE!
Wolno nam założyć, że zbiory ~TP i SK są rozłączne.
Wtedy zdanie D będzie kontrprzykładem dla prawdziwości zdania C kodowanego warunkiem wystarczającym =>
C: ~TP=>~SK =1
Jak udowodnić prawdziwość zdania C?
Bardzo prosto:
Korzystamy z prawa kontrapozycji:
C: ~TP=>~SK = TOP: SK=>TP
Jak widzimy, dla udowodnienia prawdziwości zdania C potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić twierdzenie odwrotne Pitagorasa.
TOP:
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to ten trójkąt na 100% => jest trójkątem prostokątnym (TP=1)
SK=>TP =1
Na mocy definicji warunku wystarczającego => w zbiorach mamy:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa TOP: SK=>TP zostało udowodnione wieki temu z czego wynika prawdziwość warunku wystarczającego => C:
C: ~TP=>~SK =1
Z kolei z prawdziwości warunku wystarczającego C wynika fałszywość kontrprzykładu D:
D: ~TP~~>SK = ~TP*SK =[] =0
Z fałszywości kontrprzykładu D wynika rozłączność zbiorów ~TP i SK
cnd
Zapiszmy zrobione zdjęcie twierdzenia Pitagorasa w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Zdjęcie twierdzenia Pitagorasa
Znaczenie symbolu Y:
Y - istnieje element wspólny zbiorów ~~> (Y=1)
~Y - nie istnieje (~) element wspólny zbiorów ~~> (~Y=1)
Y ~Y Y - analiza dla punktu odniesienia Y
A: TP~~> SK= TP* SK =1 =0 - Ya=1 - istnieje element wspólny TP i SK
B: TP~~>~SK= TP*~SK =0 =1 - Yb=0 - nie istnieje element wspólny TP i ~SK
C:~TP~~>~SK=~TP*~SK =1 =0 - Yc=1 - istnieje element wspólny ~TP i ~SK
D:~TP~~> SK=~TP* SK =0 =1 - Yd=0 - nie istnieje element wspólny ~TP i SK
|
Z tabeli T1 mamy odpowiedź na dwa kluczowe w logice matematycznej pytania o Y i ~Y:
1.
W których przypadkach istnieje element wspólny zbiorów ~~> (Y=1)?
2.
W których przypadkach nie istnieje element wspólny zbiorów ~~> (~Y=1)?
Odpowiedź na pytanie 1 brzmi:
1.
W których przypadkach istnieje element wspólny zbiorów ~~> (Y=1)?
Przypadki w których istnieje element wspólny zbiorów ~~> to suma logiczna funkcji cząstkowych z jedynką w kolumnie opisującej funkcję logiczną Y w logice dodatniej (bo Y):
Y = Ya+Yb
po rozwinięciu mamy:
Y = A: TP*SK + C: ~TP*~SK
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> A: TP=1 i SK=1 lub C: ~TP=1 i ~SK=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że przypadki w których element wspólny zbiorów ~~> istnieje (Y=1) to:
A: Ya= TP*SK = 1*1 =1 - Ya=1 - istnieje element wspólny zbiorów TP (TP=1) i SK (SK=1)
lub
C: Yc=~TP*~SK=1*1 =1 - Yc=1 - istnieje element wspólny zbiorów ~TP (~TP=1) i ~SK (~SK=1)
Odpowiedź na pytanie 2 brzmi:
2.
W których przypadkach element wspólny zbiorów ~~> nie istnieje (~Y=1)?
Przypadki w których nie istnieje element wspólny zbiorów ~~> to suma logiczna funkcji cząstkowych z jedynką w kolumnie opisującej funkcję logiczną ~Y w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~Yb+~Yd
po rozwinięciu mamy:
~Y = B: TP*~SK + D: ~TP*SK
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> B: TP=1 i ~SK=1 lub D: ~TP=1 i SK=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że przypadki w których element wspólny zbiorów ~~> nie istnieje (~Y=1) to:
B: ~Yb=TP*~SK =1*1 =1 - ~Yb=1 nie istnieje element wspólny zbiorów TP (TP=1) i ~SK (~SK=1)
lub
D: ~Yd=~TP*SK =1*1 =1 - ~Yb=1 nie istnieje element wspólny zbiorów ~TP (~TP=1) i SK (SK=1)
Uwaga - bardzo ważne:
Notacja stosowana w algebrze Kubusia jest tu następująca:
B: ~Yb=TP*~SK =1*1 =1
Co rozpisce szczegółowej oznacza:
B: ~Yb=1 <=> TP=1 i ~SK=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że nie jest możliwy (~) przypadek Yb (~Yb=1):
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) i nie zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
Dla zapisu ~Yb=1 zastosujmy prawo Prosiaczka, które możemy stosować wybiórczo do dowolnego zapisu binarnego.
Prawo Prosiaczka:
(~p=1) = (p=0)
stąd tożsamy opis linii B to:
B: Yb=0 <=> TP=1 i ~SK=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że możliwy jest przypadek Yb:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) i nie zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
Doskonale tu widać fenomenalne działania prawa Prosiaczka - szczegóły punkt 1.3 w „Nowej algebrze Boole’a”
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/nowa-algebra-boole-a-w-finalna,18893.html#593677
Zapiszmy na zakończenie dziedzinę matematyczną DM dla tabeli T1:
a)
DM=Y+~Y
po rozwinięciu mamy:
DM = A: TP*SK + C:~TP*~SK + B: TP*~SK + D: ~TP*SK
Minimalizujemy:
DM = A: TP*SK + B: TP*~SK + C: ~TP*~SK + D: ~TP*SK = TP*(SK+~SK) + ~TP*(~SK+SK) = TP+~TP =1
Oczywistym jest że dla dowolnej funkcji logicznej Y musi zachodzić definicja dziedziny matematycznej DM:
DM = Y+~Y =1 - funkcja ~Y jest dopełnieniem do dziedziny DM dla funkcji Y
co dowiedziono wyżej.
Oczywistym jest również, że funkcje Y i ~Y muszą być rozłączne:
b)
Y*~Y =[] =0
Nasz przykład:
Y = TP*SK + ~TP*~SK
~Y = TP*~SK + ~TP*SK
stąd mamy:
Y*~Y =[] =0 - bo funkcje Y i ~Y są matematycznie rozłączne
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.
Podpowiedź:
Widać to bezpośrednio w tabeli T1:
a) suma logiczna kolumn Y i ~Y da w wyniku same jedynki
b) iloczyn logiczny Y i ~Y da w wyniku same zera
cnd
3.8.1 Odtworzenie równoważności Pitagorasa TP<=>SK ze zdjęcia układu
Jeśli uda nam się zrobić zdjęcie układu jak wyżej (nie zawsze to jest takie proste, szczególnie w zbiorach nieskończonych), to odtworzenie operatora logicznego w skład którego wchodzą wszystkie zdania A, B, C i D ze zdjęcia to bułka z masłem.
Przypomnijmy sobie fundament algebry Kubusia:
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Do rozszyfrowania w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzą zdania ze zdjęcia T1 kluczowa jest definicja kontrprzykładu w zdarzeniach.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Zapiszmy tabelę prawdy zdjęcia twierdzenia Pitagorasa TP=>SK wykonanego wyżej.
Zmiana indeksowania linii na zgodną ze standardem stosowanym w algebrze Kubusia jest matematycznie bez znaczenia.
| Kod: |
T1
Zdjęcie twierdzenia Pitagorasa TP=>SK
Y Y - analiza z punktem odniesienia ustawionym na Y
A1: TP~~> SK =1 - Ya=1 - istnieje element wspólny ~~> zbiorów TP i SK
A1’: TP~~>~SK =0 - Yb=0 - nie istnieje element wspólny ~~> zbiorów TP i ~SK
B2: ~TP~~>~SK =1 - Yc=1 - istnieje element wspólny ~~> zbiorów ~TP i ~SK
B2’:~TP~~> SK =0 - Yd=0 - nie istnieje element wspólny ~~> zbiorów TP i ~SK
|
Analiza matematyczna zdjęcia T1
1.
Z fałszywości kontrprzykładu A1’:
A1’: TP~~>~SK =0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A1:
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => SK, w każdym TP spełniona jest suma kwadratów SK
2.
Z fałszywości kontrprzykładu B2’:
B2’: ~TP~~>SK =0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => B2:
B2: ~TP=>~SK =1 - zbiór ~TP jest podzbiorem => ~SK
W każdym trójkącie nieprostokątnym (~TP=1) nie jest spełniona suma kwadratów (~SK=1)
Stąd mamy tabelę T2 w warunkach wystarczających => A1 i B2:
| Kod: |
T2
A1: TP=> SK =1 - zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
A1’: TP~~>~SK =0 - prawdziwy => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’
B2: ~TP=>~SK =1 - zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK
B2’:~A~~> SK =0 - prawdziwy => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’
|
Analiza matematyczna tabeli T2
3.
Prawo Kubusia:
A1: TP=>SK = A2: ~TP~>~SK
Na mocy prawa Kubusia prawdziwy warunek wystarczający w linii A1:
A1: TP=>SK =1 - TP jest wystarczające => dla SK, TP jest podzbiorem => SK
wymusza prawdziwy warunek konieczny w linii A2 (i odwrotnie):
A2: ~TP~>~SK =1 - ~TP jest konieczne ~> dla ~SK, ~TP jest nadzbiorem ~> ~SK
4.
Prawo Kubusia:
B2: ~TP=>~SK = B1: TP~>SK
Na mocy prawa Kubusia prawdziwy warunek wystarczający w linii B2:
B2: ~TP=>~SK =1 - ~TP jest wystarczające => dla ~SK, ~TP jest podzbiorem => ~SK
wymusza prawdziwy warunek konieczny ~> w linii B1 (i odwrotnie):
B1: TP~>SK =1 - TP jest konieczne ~> dla SK, TP jest nadzbiorem ~> SK
Stąd mamy końcową tabelę T3 ze zlokalizowanym operatorem równoważności TP|<=>SK:
T2
A1: TP=> SK =1 | B1: TP~>SK =1
A1’: TP~~>~SK =0 |
B2: ~TP=>~SK =1 | A2:~TP~>~SK =1
B2’:~TP~~> SK =0 |
[/code]
W linii A1 mamy zlokalizowaną równoważność TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK):
Równoważność TP<=>SK to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>SK =1 - TP jest wystarczające => dla SK, TP jest podzbiorem => SK
B1: TP~>SK =1 - TP jest konieczne ~> dla SK, TP jest nadzbiorem ~> SK
Stąd mamy:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
W linii B2 mamy zlokalizowaną tożsamą równoważność ~TP<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK):
Równoważność ~TP<=>~SK to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~TP~>~SK =1 - ~TP jest konieczne ~> dla ~SK, ~TP jest nadzbiorem ~> ~SK
B2: ~TP=>~SK =1 - ~TP jest wystarczające => dla ~SK, ~TP jest podzbiorem => ~SK
Stąd mamy:
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1=1
Oczywiście wystarczyło nam zapisać równoważność TP<=>SK aby skorzystać z gotowej tabeli prawdy równoważności p<=>q.
3.8.2 Tabela prawdy równoważności Pitagorasa TP<=>SK
| Kod: |
TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Aktualny punkt odniesienia na mocy prawa śfinii:
p=TP
q=SK
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym {TP,SK}:
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: TP=>SK =1 = 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~>TP =1 = 4:~SK=>~TP =1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: TP~~>~SK=0 = [=] = 4:~SK~~>TP =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: TP~>SK =1 = 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=>TP =1 = 4:~SK~>~TP =1
B’: = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
B’: = 2:~TP~~>SK=0 [=] 3: SK~~>~TP=0
Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne (TR i SK) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych wchodzących w skład operatora równoważności p|<=>q.
3.8.3 Operator równoważności Pitagorasa TP|<=>SK
Operator równoważności TP|<=>SK to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o TP i ~TP:
A1B1: TP<=>SK =(A1: TP=>SK)* (B1: TP~>SK) - co się stanie jeśli zajdzie TP
A2B2:~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK) - co się stanie jeśli zajdzie ~TP
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt prostokątny (TP=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, by zachodziła w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK
Tożsamość zbiorów TP=SK wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
W rozpisce na warunek wystarczający => mamy.
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokąty (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż będzie zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK=1)
TP~~>~SK = TP*~SK =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> TP i ~SK nie jest spełniona bo zbiory TP i ~SK są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów TP=SK która wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt nieprostokątny (~TP=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~TP~>~SK =1 - zajście ~TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~SK
B2: ~TP=>~SK =1 - zajście ~TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~SK
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
~TP=~SK <=> (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =~TP<=>~SK
Tożsamość zbiorów ~TP=~SK wymusza tożsamość zbiorów TP=SK (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
~TP=~SK # TP=SK
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
W rozpisce na warunek wystarczający => mamy.
Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP=>~SK =1
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie będzie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może ~~> zachodzić w nim w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP~~>~SK=~TP*SK =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~TP i SK nie jest spełniona bo zbiory ~TP i SK są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów ~TP=~SK która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów TP=SK (albo odwrotnie)
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności TP|<=>SK jest gwarancja matematyczna => po stronie TP (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~TP (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 11:17, 12 Cze 2021, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 17:13, 12 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - ostatnie czytanie!
Część VII
Po raz ostatni przed premierą czytam od początku algebrę Kubusia likwidując literówki i udoskonalając przekaz.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593983
Algebra Kubusia - wykład rozszerzony
4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q
Spis treści
4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q 1
4.1. Implikacji prostej p|=>q 2
4.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q 9
4.1.2 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => 11
4.2 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach 14
4.2.1 Odtworzenie definicji operatora implikacji prostej p||=>q z definicji ~~> 18
4.2.2 Najmniejsza możliwa liczba elementów w operatorze p||=>q 22
Dlaczego to jest wykład rozszerzony?
Wiedza podstawowa w niniejszym rozdziale w temacie operatora implikacji prostej p||=>q jest kopią rozdziału 3.1 który już przerobiliśmy. Jedyna różnica polega na wzbogaceniu znanego nam już operatora implikacji prostej p||=>q o jego związki ze spójnikami „i”(*) i „lub”(+).
W języku potocznym każdego człowieka, od 5-cio latka poczynając, ta ściśle matematyczna wiedza jest psu na budę potrzebna, czyli nie jest przez nikogo używana w praktyce. Nie oznacza to jednak, że 5-cio latek, umiejętnie prowadzony przez panią przedszkolankę nie dałby sobie z tą wiedzą rady.
Także opisana w niniejszym rozdziale wiedza w temacie skąd biorą się definicje zero-jedynkowe warunku wystarczającego => i koniecznego ~> ( punkt 4.1.2) jest zbędna, bo nie jest w języku potocznym wykorzystywana.
Opisany w punkcie 4.2 diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach to tylko ciekawostka matematyczna w języku potocznym nie używana, ale pozwalająca lepiej zrozumieć problem od strony czysto matematycznej. Także pozostałe punkty 4.2.1 i 4.2.2 to też tylko proste ciekawostki matematyczne w języku potocznym nie używane.
Z opisanych wyżej powodów niniejszy rozdział trafia do rozszerzonej algebry Kubusia która może być wykładana w I klasie LO w profilu matematyki rozszerzonej tzn. nie wymagajmy tej wiedzy od humanistów dla których matematyka jest „kulą u nogi”
4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q
Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”
W logice matematycznej rozróżniamy cztery podstawowe operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja operatora równoważności:
p|$q - operator „albo”($)
Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>
4.1. Implikacji prostej p|=>q
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór => = relacja nadzbioru =>
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Zauważmy że w zdaniu warunkowym A1: „Jeśli p to q” poprzednik p definiuje nam zbiór P8:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
zaś następnik q definiuje nam zbiór P2:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zdanie A1 jest prawdziwe bo:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja podzbioru =>:
P8=>P2 =1 - zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Powyższa relacja podzbioru P8=>P2 jest spełniona (=1) co każdy ziemski matematyk łatwo udowodni.
Zauważmy, że nie wolno nam upraszczać powyższej relacji do samego zbioru P8 mówiąc:
„Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem”
jak to czynią ziemscy pseudo-matematycy, fanatycy gówna zwanego „implikacją materialną”, gdzie w dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” o żadnej relacji w zbiorach między p i q z definicji mowy być nie może.
To jest błąd czysto matematyczny bo nie wiadomo w stosunku do jakiego zbioru zbiór P8 jest podzbiorem =>.
Zauważmy że:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
… ale równie dobrze:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P4=[4,8,12,16..]
etc
Oczywistym jest, że zbiór P2=[2,4,6,8..] jest różny na mocy definicji ## od zbioru P4=[4,8,12,16..]
cnd
W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> lub element wspólny zbiorów ~~>
Zdarzenia:
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
Zbiory:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
p|=>q - implikacja prosta |=> w logice dodatniej (bo q)
Prawą stronę czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q i nigdy nie zdarzy się ~(..), że zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1: A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
p|=>q = ~p*q
Definicja definicji podstawowej dowolnego spójnika implikacyjnego:
Definicja podstawowa dowolnego spójnika implikacyjnego to definicja tego spójnika w logice dodatniej (bo q).
Jeśli w definicji dowolnego spójnika implikacyjnego nie zaznaczamy w jakiej jest logice to domyślnie chodzi nam o definicję podstawową tego spójnika.
Mówiąc o definicji podstawowej możemy zatem pominąć sygnalizację w jakiej logice ta definicja jest wyrażona.
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd:
~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)= (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
~p|~>~q = ~p*q
Zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p|=>q =~p*q [=] A2B2: ~p|~>~q = ~p*q
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Definicja dowolnego operatora implikacyjnego p||?q:
Operator implikacyjny p||?q to odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
| Kod: |
T2:
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1: A2B2
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
|
Dlaczego to jest równanie operatora implikacji prostej p||=>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p
stąd mamy:
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Z tabeli T2 odczytujemy tożsamość logiczną:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Wnioski:
1.
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q
Na mocy definicji operatorów logicznych p||=>q i ~p||~>~q widzimy, że udowodnienie prawdziwości 1 pociąga za sobą prawdziwość 2:
2.
p||=>q = ~p||~>~q
cnd
Innymi słowy:
Wystarczy udowodnić, iż dany układ spełnia kolumnę A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
aby mieć pewność absolutną prawdziwości wszystkich pozostałych członów w tabeli T2
Warto zapamiętać różnicę:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~p*q
##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Weźmy nasze funkcje logiczne A1, A1B1 i B1:
| Kod: |
TA1B1:
A1: Y= (p=>q)=~p+q ## A1B1: Y=(p|=>q)=~p*q ## B1: Y=(p~>q) =p+~q
# # #
A1N: ~Y=~(p=>q)= p*~q ## A1B1N:~Y=~(p|=>q)=p+~q ## B1N:~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że dowolna funkcja logiczna z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.
Katastrofalny błąd ziemskich matematyków w rachunku zero-jedynkowym
Ziemscy matematycy nie znają poprawnego rachunku zero-jedynkowego, ponieważ nigdy w tym rachunku nie uwzględniają funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).
Tabela prawdy TA1B1 bez funkcji logicznych Y i ~Y przybierze postać:
| Kod: |
TA1B1’:
A1: ~p+q ## A1B1: ~p*q ## B1: p+~q
# # #
A1N: p*~q ## A1B1N: p+~q ## B1N: ~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Doskonale widać, że w tabeli TA1B1’ definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ## legła w gruzach, bo ewidentnie zachodzą tożsamości logiczne [=] po przekątnych.
A1B1: ~p*q [=] B1N: ~p*q
oraz
B1: p+~q [=] A1B1N: p+~q
cnd
Wniosek:
Miejsce ziemskiego rachunku zero-jedynkowego, który w kolumnach wynikowych nie uwzględnia funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest w piekle, na wiecznych piekielnych mękach.
Innymi słowy:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy jest wewnętrznie sprzeczny - dowód wyżej.
4.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1: A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o p i ~p:
A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1) - mówi o tym zdanie A1
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
Kolumna A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
LUB
Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
4.1.2 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q przedstawioną wyżej:
| Kod: |
T1:
Analiza symboliczna |Co w logice
operatora implikacji prostej p||=>q |jedynek oznacza
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A1: p=> q =1 - zajście p wystarcza => dla q |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być 0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
Kolumna A2B2:
A2:~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest konieczne ~> dla ~q |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład dla B2 musi być 1 |(~p=1)~~>( q=1)=1
a b c d e f
|
Z tabeli T1 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego A1: p=>q kodując analizę symboliczną względem linii A1, albo zero-jedynkową definicję warunku koniecznego A2:~p~>~q kodując analizę symboliczną względem linii A2
Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek wystarczający => widoczny w linii A1:
A1: p=>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
| Kod: |
T2:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego A1: p=>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla |Zero-jedynkowa
symboliczna |jedynek oznacza |A1: p=>q =1 |definicja =>
| | | p q A1: p=>q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=>1 =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1=>0 =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0=>0 =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0=>1 =1
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|(~p=1)=( p=0) |
|(~q=1)=( q=0) |
|
Nagłówek A1: p=>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A1: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Zauważmy, że w tabeli T1 mamy również warunek konieczny ~> widniejący w linii A2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię A2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego ~>:
A2:~p~>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
| Kod: |
T3:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego A2:~p~>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla |Zero-jedynkowa
symboliczna |jedynek oznacza |A2:~p~>~q =1 |definicja ~>
| | |~p ~q A2:~p~>~q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0~>0 =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~>1 =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~>1 =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~>0 =1
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|( p=1)=(~p=0) |
|( q=1)=(~q=0) |
|
Nagłówek A2:~p~>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A2: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T2 i T3 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T2 i T3 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T2: p=>q = T3: ~p~>~q
Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => (T2: 123) i koniecznego ~> (T3: 123).
Oto on:
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q
A: 1=>1 =1
B: 1=>0 =0
C: 0=>0 =1
D: 0=>1 =1
|
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q
A: 1~>1 =1
B: 1~>0 =1
C: 0~>0 =1
D: 0~>1 =0
|
Stąd mamy:
| Kod: |
T4
Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p~>~q
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
A1: 1=>1 =1 0~>0 =1
A1’: 1=>0 =0 0~>1 =0
A2: 0=>0 =1 1~>1 =1
B2’: 0=>1 =1 1~>0 =1
1 2 3 4 5 6
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Uwaga:
Warunkiem koniecznym wnioskowania o tożsamości kolumn wynikowych 3=6 jest identyczna matryca zero-jedynkowa na wejściach p i q.
Matematycznie wiersze 456 można dowolnie przestawiać względem wierszy 123, ale wtedy wnioskowanie o zachodzącym prawie Kubusia będzie dużo trudniejsze - udowodnił to Makaron Czterojajeczny w początkach rozszyfrowywania algebry Kubusia.
Problem można tu porównać do tabliczki mnożenia do 100. Porządna tablica spotykana w literaturze jest zawsze ładnie uporządkowana. Dowcipny uczeń może jednak zapisać poprawną tabliczkę mnożenia do 100 w sposób losowy, byleby zawierała wszystkie przypadki. Pani matematyczka, od strony czysto matematycznej nie ma prawa zarzucić uczniowi iż nie zna się na matematyce, wręcz przeciwnie, doskonale wie o co tu chodzi a dowodem tego jest jego bałaganiarski dowcip.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = p=>q
cnd
Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p=>q = ~p~>~q
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>
Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
| Kod: |
Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q (p=>q)<=>(~p~>~q)
A1: 1=>1 =1 0~>0 =1 =1
A1’: 1=>0 =0 0~>1 =0 =1
A2: 0=>0 =1 1~>1 =1 =1
B2’: 0=>1 =1 1~>0 =1 =1
1 2 3 4 5 6 7
|
Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
4.2 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Przedstawione wyżej zastrzeżenia dowodzimy w dwóch krokach.
Krok 1.
Dlaczego dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p i q?
Dla zbiorów tożsamych p=q mielibyśmy:
A1: p=>q =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>q =1 - bo każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Otrzymana sprzeczność z definicją implikacji prostej p|=>q w zbiorach jest dowodem, iż zbiory p i q nie mogą być tożsame.
Stąd mamy pierwszą część definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
Krok 2.
Dlaczego przyjęta dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q?
Przyjmijmy za dziedzinę sumę logiczną zbiorów p+q
D = p+q =q - bo na mocy definicji p|=>q zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Wtedy mamy:
~q=[D-q] = [q-q] =[] =0
Oznacza to że pojęcie ~q jest dla nas zbiorem pustym.
Definicja zbioru pustego [] w algebrze Kubusia:
Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka
[] =[asegft, uaytfds…]
Oczywistym jest, że nie możemy operować na pojęciach dla nas niezrozumiałych, stąd zastrzeżenie w definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1: A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach.
| Kod: |
D1
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|---------------------------|----------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| |~p~~>q = ~p*q | p~~>~q = p*~q =[] |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
|--------------------------------------------------------------------|
Diagram implikacji prostej p|=>q
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: q~>p =1 - zbiór q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru p
B3: q=>p =0 - zbiór q nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~q=>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~p
A4B4: ~q|=>~p = (A4:~q=>~p)*~(~q~>~p) =1*~(0)=1*1 =1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q - mówi o tym zdanie A1
Z diagramu D1 odczytujemy:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Doskonale to widać na diagramie D1
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q = [] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory p i ~q są rozłączne, co również widać na diagramie D1
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania A2 i B2’
Z diagramu D1 odczytujemy:
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Wyśmienicie to widać na diagramie D1
LUB
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2:~p=>~q=0 musi być prawdą.
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~p i q jest spełniona, co doskonale widać na diagramie D1.
4.2.1 Odtworzenie definicji operatora implikacji prostej p||=>q z definicji ~~>
Weźmy diagram implikacji prostej w zbiorach p|=>q wyżej zapisany wyrażony definicją elementu wspólnego zbiorów ~~>.
| Kod: |
D1
Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|---------------------------|----------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| |~p~~>q = ~p*q | p~~>~q = p*~q =[] |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
|--------------------------------------------------------------------|
| |
|Operator implikacji prostej p||=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) |
----------------------------------------------------------------------
| Ya=p~~>q=p*q | Yd=~p~~>q=~p*q | Yc=~p~~>~q=~p*~q |
----------------------------------------------------------------------
| ~Yb=p~~>~q=p*~q (zbiór pusty!) |
----------------------------------------------------------------------
|
Spójniki iloczynu logicznego zbiorów „i”(*) oraz sumy logicznej zbiorów „lub”(+) z definicji nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~> między dowolnymi dwoma zbiorami p i q.
Wniosek:
W opisie dowolnego diagramu w zbiorach wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi tylko i wyłącznie o spełnienie lub nie spełnienie definicji elementu wspólnego zbiorów ~~>.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Stąd mamy tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q definiowaną elementami wspólnymi zbiorów ~~>:
| Kod: |
T0.
Operator p||=>q |
w spójnikach |Co w logice
elementu wspólnego ~~>|jedynek oznacza
Y ~Y | Y Z diagramu D1 odczytujemy:
A: p~~>q = p* q =1 0 |( p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i q
B: p~~>~q= p*~q =0 1 |( p=1)~~>(~q=1) =0 - nie istnieje el. wspólny p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 0 |(~p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1 0 |(~p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i q
|
Między funkcjami logicznymi Y i ~Y zachodzi relacja spójnika „albo”($).
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($)
p$q =p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y$~Y = Y*~(~Y) + ~Y*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y =Y+~Y =1
Oczywiście relacja równoważności p<=>q definiująca tożsamość zbiorów/pojęć p=q musi tu być fałszem.
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y<=>~Y = Y*(~Y) + ~Y*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = []+[] =0
cnd
Zapiszmy powyższą tabelę wyłącznie w spójnikach elementu wspólnego zbiorów ~~> zmieniając indeksowanie linii do postaci zgodnej z teorią wykładaną w algebrze Kubusia - matematycznie ten ruch jest bez znaczenia.
| Kod: |
T1.
Operator implikacji prostej p||=>q
definiowany elementem wspólnym zbiorów ~~>
Y Analiza dla punktu odniesienia Y
A1: p~~>q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów p i q
A1’: p~~>~q =0 - nie istnieje (=0) el. wspólny zbiorów p i ~q
A2: ~p~~>~q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i ~q
B2’:~p~~> q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i q
|
Kluczowym punktem zaczepienia do przejścia z tabelą T1 do tabeli tożsamej T2 opisującej operator implikacji prostej p||=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach działająca wyłącznie w obszarze warunku wystarczającego =>.
Dodatkowo potrzebne nam będą prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Definicja tożsamości logicznej „=” na przykładzie prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony.
Z powyższego wynika, że mając udowodnioną prawdziwość warunku wystarczającego => A1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
nie musimy udowadniać prawdziwości warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne dla zajścia ~q
bowiem gwarantuje nam to prawo Kubusia, prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Analiza tabeli prawdy T1 - część I
1.
Fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q =0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
2.
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Stąd:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1:
A1: p=>q =1
wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~p~>~q =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2.
| Kod: |
T2.
Operator implikacji prostej p||=>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
Y Analiza dla punktu odniesienia Y
A1: p=> q =1 - zbiór p jest podzbiorem => q
A1’: p~~>~q =0 - kontrprzykład dla A1 musi być fałszem
A2: ~p~>~q =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> ~q
B2’:~p~~> q =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~p i q
|
Analiza tabeli prawdy T1 - część II
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q =1
wymusza fałszywość warunku wystarczającego B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =0
4.
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
stąd:
Fałszywość warunku wystarczającego B2:
B2: ~p=>~q =0
wymusza fałszywość warunku koniecznego B1 (i odwrotnie):
B1: p~>q =0
Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2
| Kod: |
T3.
Operator implikacji prostej p||=>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
A1: p=> q =1 | B1: p~>q=0
A1’: p~~>~q =0
A2: ~p~>~q =1 | B2:~p=>~q=0
B2’:~p~~> q =1
|
Stąd mamy:
Linia A1B1:
Podstawowa definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
Zdefiniowawszy implikację prostą p|=>q w zbiorach jako:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
możemy ją podstawić do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q.
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1: A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Stąd mamy to, co już doskonale znamy.
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2:
Szczegółową analizę operatora implikacji prostej p||=>q znajdziemy w punkcie 4.1.1
4.2.2 Najmniejsza możliwa liczba elementów w operatorze p||=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Z definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach wynika, że najmniejsza liczba elementów potrzebnych do zbudowania operatora implikacji prostej p||=>q to trzy elementy.
Zdefiniujmy trzy, różne na mocy definicji elementy których będziemy używać.
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zbudujmy zbiory p i q spełniające definicję implikacji prostej w zbiorach:
p=[K]
q=[K+T]
Dziedzina:
D=[K+T+P]
stąd mamy niepuste przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do wspólnej dziedziny D:
~p=[D-p]=[K+T+P-K]=[T+P]
~q=[D-q]=[K+T+P-[K+T]=[P]
Podsumujmy:
p=[K], ~p=[T+P]
q=[K+T], ~q=[P]
Zapiszmy diagram operatora implikacji p||=>q dla powyższych elementów.
| Kod: |
D2
Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach
-----------------------------------------------------------------------
| p=[K], ~p=[T+P] |
| q=[K+T], ~q=[P] |
-----------------------------------------------------------------------
| p=[K] | ~p=[T+P] |
|---------------------------|-----------------------------------------|
| q=[K+T] -| ~q=[P] |
|---------------------------------------------|-----------------------|
| |~p~~>q=~p*q=[T] | p~~>~q = p*~q =[] |
-----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina fizyczna: DF =p*q+~p*~q+~p*q (suma zbiorów niepustych) |
-----------------------------------------------------------------------
|
Doskonale widać, że w diagramie D2 spełniona jest definicji implikacji prostej p|=>q, a tym samym definicja operatora implikacji prostej p||=>q.
Zapiszmy pełny diagram implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1: A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Nasze zbiory na których operujemy to:
p=[K], ~p=[T+P]
q=[K+T], ~q=[P]
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q, bo p jest podzbiorem => q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q, bo p nie jest nadzbiorem ~> q
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1) - mówi o tym zdanie A1
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Sprawdzamy:
p=[K] => q=[K+T]
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K+T}
cnd
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
Sprawdzamy:
p=[K] ~~> ~q=[P] = [K]*[P] =[] =0
Zbiory jednoelementowe Kubuś (K) i Prosiaczek (P) są rozłączne
cnd
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Sprawdzenie:
~p=[T+P] ~> ~q=[P] =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona bo zbiór ~p=[T+P] jest nadzbiorem ~> zbioru ~q=[P]
LUB
Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
Sprawdzenie:
~p=[T+P]~~>q=[K+T] = [T+K]*[K+T] =[T] =1
Istnieje element wspólny zbiorów ~p=[T+P] i q=[K+T] - to Tygrysek (T)
Doskonale tu widać, że w zdaniu B2’ nie jest spełniony ani warunek wystarczający => ani też konieczny ~>.
Dowód:
~p=[T+P] => q=[K+T] =0 - bo zbiór ~p=[T+P] nie jest (=0) podzbiorem => q=[K+T]
~p=[T+P} ~> q=[K+T] =0 - bo zbiór ~p=[T+P] nie jest (=0) nadzbiorem ~> q=[K+T]
Jak widzimy wszystko tu pięknie gra i buczy, a zabawę z implikacją prostą p|=>q można zacząć w przedszkolu dysponując trzema pluszowymi zabawkami:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 17:14, 12 Cze 2021, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 6:57, 13 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - ostatnie czytanie!
Część VIII
Po raz ostatni przed premierą czytam od początku algebrę Kubusia likwidując literówki i udoskonalając przekaz.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593993
Algebra Kubusia
4.3 Przykłady operatorów implikacji prostej p||=>q
Spis treści
4.3 Implikacja prosta A|=>S w zdarzeniach 1
4.3.1 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach 4
4.3.2 Wisienka na torcie w operatorze implikacji prostej A||=>S 6
4.4 Implikacja prosta P8|=>P2 w zbiorach 8
4.4.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 12
4.5 Implikacja prosta P|=>4L w zbiorach w przedszkolu 13
4.5.1 Operator implikacji prostej P||=>4L w zbiorach w przedszkolu 17
4.6 Alternatywne dojście do operatora implikacji prostej P||=>4L w zbiorach 19
4.6.1 Implikacja prosta P|=>4L w zbiorach 21
4.6.2 Operator implikacji prostej P||=>4L w zbiorach 22
Przykłady zawarte w niniejszym punkcie to poziom 5-cio latka:
P||=>4L
oraz poziom ucznia I lasy LO:
A||=>S i P8||=>P2
4.3 Implikacja prosta A|=>S w zdarzeniach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.
Niech będzie dany schemat elektryczny:
| Kod: |
S1 Schemat 1
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Tak, stan przycisku W jest tu nieistotny, może być W=x gdzie x=[1,0]
Zauważmy, że pytanie A1 nie dotyczy przycisku W.
Przycisk W tu jest zmienną wolną którą możemy zastać w dowolnej pozycji W=x gdzie x=[1,0]
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Przyjmijmy zdanie A1 za punkt odniesienia:
p=>q =1 - na mocy prawa śfinii
Nasz punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że stan przycisku W jest bez znaczenia W=x gdzie x={0,1}
B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Nie.
Przycisk A może nie być wciśnięty (A=0), a mimo to żarówka może się świecić, gdy zmienna wolna W będzie ustawiona na W=1.
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =0
Wciśnięcie przycisku A (A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), bowiem może być sytuacja A=0 i W=1 i żarówka będzie się świecić
cnd
Jak widzimy na dzień dobry wyskoczyło nam prawo Kameleona.
Popatrzmy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
##
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1).
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Zapiszmy zdania A1 i B1 w tabeli prawdy:
| Kod: |
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q - zapis formalny {p,q}
A1: A=>S = ~A+S ## B1: A~>S = A+~S - zapis aktualny {A,S}
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to nie są to zdania tożsame. Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.
Prawa Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdania A1 i B1 tworzą definicję implikacji prostej A|=>S.
Definicja podstawowa implikacji prostej A|=>S:
Implikacja prosta A|=>S to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie klawisza A jest wystarczające => dla świecenia się żarówki S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie klawisza A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S
bo żarówkę S może zaświecić zmienna wolna W (W=1)
Stąd mamy:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =1*~(0)=1*1=1
Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=A (przycisk A wciśnięty)
q=S (żarówka S świeci się)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {A,S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S =1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: A~~>~S =0 = [=] = 4:~S~~>A =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: A~>S =0 = 2:~A=>~S =0 [=] 3: S=>A =0 = 4:~S~>~A =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~A~~>S =1 [=] 3: S~~>~A =1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1: A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W tabeli prawdy implikacji prostej A|=>S, dla poprawienia czytelności zapisu zmienne aktualne (A, S) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o brzmieniu zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 odpowiadający na pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 odpowiadający na pytania o ~p i p:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
4.3.1 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach
| Kod: |
S1 Schemat 1
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Operator implikacji prostej A||=>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 odpowiadający na pytania o A i ~A:
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka będzie się świecić (S=1) - mówi o tym zdanie A1
Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że stan przycisku W jest bez znaczenia W=x gdzie x={0,1}
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S=A*~S=0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1).
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia się S (~S=1)
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) wystarczające => dla nie świecenia się S (~S=1)
A2B2:~A|~>~S=(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) =`*~(0)=1*1=1
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki S (~S=1) bo jak przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2:~A~>~S = A1: A=>S
LUB
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=1.
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej A||=>S jest gwarancja matematyczna => po stronie A (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~A (zdania A2 i B2’) .
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~P||~>~4L w logice ujemnej (bo ~4L) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej P||=>4L w logice dodatniej (bo 4L) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
4.3.2 Wisienka na torcie w operatorze implikacji prostej A||=>S
Wisienką na torcie w operatorze implikacji prostej A||=>S jest podstawowy schemat układu realizującego implikację prostą A|=>S w zdarzeniach zrealizowany przy pomocy zespołu przycisków (wejście) i żarówki (wyjście).
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A1B1: A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1 - zapis aktualny
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 - zapis formalny
Punkt odniesienia:
p=A - przycisk A (wejście)
q=S - żarówka S (wyjście)
W
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Punkt odniesienia: A1B1: p|=>q = A|=>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S1, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S1, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna). Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Punktem odniesienia na schemacie S1 jest Jaś siedzący w pokoju A, bowiem w równaniu opisującym układ występuje wyłącznie przycisk A - Jaś nie widzi przycisku W.
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty
Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte
Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S1 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S.
4.4 Implikacja prosta P8|=>P2 w zbiorach
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Twierdzenia matematyczne operują wyłącznie na zbiorach nieskończonych, logika matematyczna jest tu identyczna jak opisana wyżej banalna logika zdarzeń, jednak zbiory nieskończone z oczywistych powodów są trudniejsze do analizy.
Niemniej jednak możliwe są operacje na zbiorach nieskończonych zrozumiałe dla ucznia I klasy LO i do takich zbiorów ograniczymy się w wykładzie.
Definicja twierdzenia matematycznego:
Dowolne twierdzenie matematyczne prawdziwe to spełniony warunek wystarczający =>:
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
inaczej:
p=>q =0 - twierdzenie matematyczne jest fałszywe.
Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Weźmy następujące twierdzenie matematyczne:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Zapis formalny na mocy prawa śfinii to:
p=>q =1
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
Przyjmijmy dziedzinę LN:
LN=[2,4,6,8..] - zbiór liczb naturalnych
Poprzednik p mówi o zbirze P8, zaś następnik q o zbiorze P2:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Obliczenie przeczeń zbiorów rozumianych jako ich uzupełnienie do dziedziny:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
Dla powyższych zbiorów musi być spełniona definicja wspólnej dziedziny LN.
Definicja dziedziny dla P8:
P8+~P8 =LN =1 - zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P8
P8*~P8 =[] =0 - zbiory P8 i ~P8 są rozłączne
Definicja dziedziny dla P2:
P2+~P2 =LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne
Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie A1 musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość zdania A1 kodowanego warunkiem koniecznym ~>:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8~>P2 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
Zauważmy, że znów kłania się nam prawo Kameleona.
Porównajmy zdania A1 i B1 wyżej:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona, bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona, bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Zapiszmy zdania A1 i B1 w tabeli prawdy:
| Kod: |
A1: p=> q = ~p+q ## B1: p~> q = p+~q - zapis formalny {p,q}
A1: P8=>P2 = ~P8+P2 ## B1: P8~>P2 = P8+~P2 - zapis aktualny {P8,P2}
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
|
Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to nie są to zdania tożsame. Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.
Prawa Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdania A1 i B1 tworzą definicję implikacji prostej P8|=>P2.
Definicja implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1
Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym {p,q}
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2 w zapisie aktualnym {P8,P2}
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {P8,P2}:
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => P2
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: P8=>P2 =1 = 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~>P8 =1 = 4:~P2=>~P8 =1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: P8~~>~P2=0 = [=] = 4:~P2~~>P8 =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: P8~>P2 =0 = 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=>P8 =0 = 4:~P2~>~P8 =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~P8~~>P2=1 [=] 3: P2~~>~P8=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1: A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Okład równań logicznych jest przemienny, stąd:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
4.4.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach
Operator implikacji prostej P8||=>P2 w logice dodatniej (bo P2) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o P8 i ~P8:
A1B1: P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) - Jeśli liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to…
A2B2: ~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) - Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to..
A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbą podzielną przez 8 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 - mówi o tym zdanie A1.
Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2=P8*~P2 =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
Tego faktu nie musimy udowadniać, bo wymusza go prawdziwość warunku wystarczającego A1.
A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P8~>~P2 =1 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest (=1) nadzbiorem ~> ~P2=[1,3,5,7,9..]
B2: ~P8=>~P2 =0 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest (=0) podzbiorem => ~P2=[1,3,5,7,9..]
~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2)=1*~(0)=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielna przez 8 to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe A2 i B2’
Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~>~P2=1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Tego faktu nie musimy udowadniać, gwarantuje nam to prawo Kubusia:
A2:~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
Prawdziwość zdania A1 udowodniliśmy na samym początku.
LUB
Z fałszywości warunku wystarczającego B2 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] jest spełniona bo np. 2
Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P8||=>P2 jest gwarancja matematyczna => po stronie P8 (zdanie A1) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P8 (zdania A2 i B2’)
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Kolejność zdań tworzących operator implikacji prostej p||=>q również jest bez znaczenia, tak więc zdania A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w dowolnej kolejności.
4.5 Implikacja prosta P|=>4L w zbiorach w przedszkolu
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zadanie matematyczne w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Każdy pies ma cztery łapy
Dokonaj analizy matematycznej tego operatora
Zdanie matematycznie tożsame brzmi:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona (=1) bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => do tego aby mieć cztery łapy
Bycie psem daje nam gwarancję matematyczną => posiadania czterech łap
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Uwaga:
W logice matematycznej za psa przyjmujemy zwierzę zdrowe z czterema łapami.
Pies z trzema łapami to też pies, jednak z logiki matematycznej musimy usunąć psy kalekie bowiem wówczas warunek wystarczający A1 leży w gruzach, gdyż będzie tu istniał kontrprzykład w postaci psa z trzema łapami. Jeśli uwzględnimy psy kalekie to wylądujemy w operatorze chaosu P|~~>4L bez żadnej gwarancji matematycznej =>.
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Na mocy prawa śfinii zapis formalny zdania A1 to:
A1: p=>q =1
p=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
A1: P=>4L =1
Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi warunek wystarczający A1: P=>4L musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> B1: P~>4L między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Warunek wystarczający A1 definiuje nam dwa zbiory:
Poprzednik p:
p=P=[pies] - zbiór jednoelementowy pies
Następnik q:
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnia do wspólnej dziedziny ZWZ:
~P=[ZWZ-P] =[słoń, kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
~4L=[ZWZ-4L] = [kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt z czterema łapami
Gdzie:
[słoń] - jest przedstawicielem zwierząt nie będących psami które mają cztery łapy
[kura] - jest przedstawicielem zwierząt nie mających czterech łap
Badamy teraz czy spełniony jest warunek konieczny P~>4L=?
B1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% ~> ma cztery łapy (4L=1)
P~>4L =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona (=0) bo zbiór P=[pies] nie jest nadzbiorem ~> zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to nie są to zdania tożsame:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona (=1) bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
##
B1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% ~> ma cztery łapy (4L=1)
P~>4L =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P=[pies] nie jest nadzbiorem ~> zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Podsumowując:
W zapisie aktualnym mamy:
A1: P=>4L=~P+4L ## B1: P~>4L = P+~4L
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
p i q muszą być tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Stąd mamy:
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdanie A1: P=>4L jest częścią operatora implikacji prostej P||=>4L.
Definicja implikacji prostej P|=>4L
Implikacja prosta P=>4L to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest (=1) wystarczające => do tego aby mieć cztery łapy
bo każdy pies ma cztery łapy
B1: P~>4L =0 - bycie psem nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> do tego by mieć cztery łapy
Słoń nie jest psem a mimo to ma cztery łapy.
Stąd:
P|=>4L = (A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) = 1*~(0)=1*1=1
Podstawmy nasze zdania A1: P=>4L=1 i B1: P~>4L=0 do tabeli prawdy implikacji prostej p||=>q.
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym {p,q}
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia:
p=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt mających cztery łapy
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {P,4L}
A1: P=>4L=1 - bycie psem jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla 4 łap
B1: P~>4L=0 - bycie psem nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla 4 łap
P|=>4L=(A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: P=>4L =1 = 2:~P~>~4L=1 [=] 3: 4L~>P =1 = 4:~4L=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: P~~>~4L=0 = [=] = 4:~4L~~>P =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: P~>4L =0 = 2:~P=>~4L=0 [=] 3: 4L=>P =0 = 4:~4L~>~P =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~P~~>4L=1 [=] 3: 4L~~>~P=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1: A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
4.5.1 Operator implikacji prostej P||=>4L w zbiorach w przedszkolu
Operator implikacji prostej P||=>4L w logice dodatniej (bo 4L) to układ równań logicznych:
A1B1: P|=>4L =(A1: P=>4L)* ~(B1: P~>4L) - co się stanie jeśli wylosujemy psa (P=1)?
A2B2: ~P|~>~4L =(A2:~P~>~4L)*~(B2:~P=>~4L) - co się stanie jeśli wylosujemy nie psa (~P=1)?
Innymi słowy:
Operator implikacji prostej P||=>4L w logice dodatniej (bo 4L) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o P I ~P:
A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest (=1) wystarczające => by mieć cztery łapy
B1: P~>4L =0 - bycie psem nie jest (=0) konieczne by mieć cztery łapy
A1B1: P|=>4L =(A1: P=>4L)* ~(B1: P~>4L) - co się stanie jeśli wylosujemy psa (P=1)?
Stąd mamy:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy psa to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie on miał cztery łapy - mówi o tym zdanie A1.
Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies słoń ..]
Wylosowanie ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWT) psa, daje nam gwarancję matematyczną => iż będzie on miał cztery łapy
Zachodzi tożsamość matematyczna pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
P~~>~4L = P*~4L =0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura ..] są rozłączne.
A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P~>~4L =1 - nie bycie psem (~P) jest (=1) konieczne ~> aby nie mieć czterech łap (~4L)
B2: ~P=>~4L =0 - nie bycie psem (~P) nie jest (=0) wystarczające => aby nie mieć czterech łap (~4L)
A2B2: ~P|~>~4L =(A2:~P~>~4L)*~(B2:~P=>~4L) - co się stanie jeśli wylosujemy nie psa (~P=1)?
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy zwierzę nie będące psem to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe A2 i B2’
Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
~P~>~4L =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P=[słoń, kura ..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~4L=[kura ..]
Zauważmy, że po udowodnieniu prawdziwości zdania A1: P=>4L nie musimy dowodzić wprost prawdziwości zdania A2 bo prawo Kubusia:
A1: P=>4L = A2: ~P~>~4L
LUB
Fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
Prawdziwości zdania B2’ nie musimy zatem dowodzić wprost, ale możemy dowodzić.
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P=[słoń, kura ..] i 4L=[pies, słoń ..] jest spełniona bo np. słoń.
Zauważmy, że między zbiorami ~P=[słoń, kura ..] i 4L=[pies, słoń ..] nie zachodzi ani warunek wystarczający => ani też konieczny ~> w obie strony.
Dowód:
~P=[słoń, kura ..] => 4L=[pies, słoń ..] =0 - bo zbiór ~P nie jest podzbiorem => zbioru 4L (bo kura)
~P=[słoń, kura ..] ~> 4L=[pies, słoń ..] =0 - bo zbiór ~P nie jest nadzbiorem ~> zbioru 4L (bo kura)
cnd
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej P||=>4L jest gwarancja matematyczna => po stronie P (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (zdania A2 i B2’) .
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~P||~>~4L w logice ujemnej (bo ~4L) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej P||=>4L w logice dodatniej (bo 4L) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
4.6 Alternatywne dojście do operatora implikacji prostej P||=>4L w zbiorach
Udajmy się do przedszkola, do naszych ekspertów logiki matematycznej, algebry Kubusia.
Pani w przedszkolu:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1) i będzie on miał cztery lapy (4L=1)?
Jaś (lat 5): TAK, np. pies
Stąd:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> mieć cztery łapy (4L=1)
P~~>4L = P*4L =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów P=[pies] i 4L=[pies, słoń ..] jest spełniona (bo pies).
Dla udowodnienia prawdziwości zdania A1 kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> wystarczy pokazać jednego pieska który ma cztery łapy. Nie trzeba tu badać, czy wszystkie psy mają cztery łapy jak to ma miejsce w warunku wystarczającym P=>4L=1.
Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1) i nie będzie on miał czterech lap (~4L=1)?
Jaś: NIE, bo wszystkie psy mają cztery łapy.
Stąd:
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
P~~>~4L= P*~4L =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne.
Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1) i to zwierzę nie będzie miało czterech lap (~4L=1)?
Jaś: TAK np. kura
Stąd:
A2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
~P~~>~4L = ~P*~4L =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~P=[słoń, kura..] i ~4L=[kura..] mają co najmniej jeden element wspólny np. kurę.
Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1) i to zwierzę będzie miało cztery lapy (4L=1)?
Jaś: TAK np. słoń
stąd:
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają co najmniej jeden element wspólny np. słoń
Zapiszmy dialog pani z Jasiem w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1 Y ~Y Odpowiedzi dla Y:
A1: P~~> 4L=1 0 - zbiory P=[pies] i 4L=[pies, słoń ..] mają el. wspólny
A1’: P~~>~4L=0 1 - zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne
A2: ~P~~>~4L=1 0 - zbiory ~P=[słoń, kura..] i ~4L=[kura] mają el. wspólny
B2’:~P~~> 4L=1 0 - ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają el. wspólny
|
Kluczową definicją umożliwiającą przejście z dialogu pani przedszkolanki do definicji operatora implikacji prostej P||=>4L jest definicja kontrprzykładu w zbiorach.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym ~~> zbiorów: p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
W zbiorach zachodzą tożsamości pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Analiza matematyczna tabeli T1 - część I:
Na mocy definicji kontrprzykładu w zbiorach mamy:
1.
Z fałszywości kontrprzykładu A1’:
A1’: P~~>~4L=0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest warunkiem wystarczającym => do tego, by mieć cztery łapy.
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru 4L=[pies, słoń ..]
2.
Prawo Kubusia:
A1: P=>4L = A2: ~P~>~4L
stąd:
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1: P=>4L =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~P~>~4L =1
Stąd nasza tabela T1 przybiera postać:
| Kod: |
T2
A1: P=> 4L =1 - bo P=[pies] jest podzbiorem => 4L=[pies, słoń..]
A1’: P~~>~4L=0 - zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne
A2: ~P~> ~4L=1 - bo ~P=[słoń, kura..] jest nadzbiorem ~> ~4L=[kura..]
B2’:~P~~> 4L=1 - ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają element wspólny
|
Analiza matematyczna tabeli T1 - część II:
Na mocy definicji kontrprzykładu w zbiorach mamy:
3.
Z prawdziwości kontrprzykładu B2’:
B2’: ~P~~>4L =1
wynika fałszywość warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~P=>~4L =0
Uwaga:
Z fałszywości warunku wystarczającego B2: ~P=>~4L=0 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~P~~>4L = ~P*4L =1 - bo np. słoń nie jest psem (~P=1) i ma cztery łapy (4L=1)
4.
Prawo Kubusia:
B2: ~P=>~4L = B1: P~>4L
stąd:
Z fałszywości warunku wystarczającego => B2:
B2: ~P=>~4L =0
wynika fałszywość warunku koniecznego ~> B1 (i odwrotnie):
B1: P~>4L =0
Nanieśmy kompletną analizę do tabeli T3.
| Kod: |
T3
A1: P=> 4L =1 |B1: P~> 4L =0
A1’: P~~>~4L=0
A2: ~P~>~4L =1 |B2:~P=>~4L =0
B2’:~P~~>4L =1
|
Zauważmy że:
Zauważmy, że w linii A1 zapisaną mamy implikację prostą P|=>4L w logice dodatniej (bo 4L).
4.6.1 Implikacja prosta P|=>4L w zbiorach
Definicja implikacji prostej P|=>4L:
Implikacja prosta P|=>4L to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby mieć cztery łapy
B1: P~>4L =0 - bycie psem nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> aby mieć cztery łapy
bo. np. słoń ma cztery łapy, a nie jest psem
Stąd mamy:
P|=>4L = (A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) = 1*~(0)=1*1 =1
Pozostaje nam tylko podstawić nasze odkrycie do gotowej tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q.
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia:
p=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt mających cztery łapy
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym:
A1: P=>4L=1 - bycie psem jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla 4 łap
B1: P~>4L=0 - bycie psem nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla 4 łap
P|=>4L=(A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: P=>4L =1 = 2:~P~>~4L=1 [=] 3: 4L~>P =1 = 4:~4L=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: P~~>~4L=0 = [=] = 4:~4L~~>P =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: P~>4L =0 = 2:~P=>~4L=0 [=] 3: 4L=>P =0 = 4:~4L~>~P =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~P~~>4L=1 [=] 3: 4L~~>~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
4.6.2 Operator implikacji prostej P||=>4L w zbiorach
Teraz pozostaje nam wykonać skok do punktu 4.5.1 gdzie mamy szczegółową analizę operatora implikacji prostej P||=>4L.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 6:58, 13 Cze 2021, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 11:34, 13 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - ostatnie czytanie!
Część IX
Po raz ostatni przed premierą czytam od początku algebrę Kubusia likwidując literówki i udoskonalając przekaz.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#594185
Algebra Kubusia
4.8 Zdania bazowe w operatorze implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach
Spis treści
4.7 Zdanie bazowe w operatorze implikacji prostej P||=>CH 2
4.7.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q” 3
4.7.2 Operator implikacji prostej p||=>q 5
4.8 Zdania bazowe w operatorze implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach 7
4.8.1 Zdanie bazowe P~~>CH 7
4.8.2 Zdanie bazowe P~~>~CH 10
4.8.3 Zdanie bazowe ~P~~>~CH 12
4.8.4 Zdanie bazowe ~P~~>CH 14
4.9 Tabela prawdy implikacji prostej P|=>CH 16
4.9.1 Operator implikacji prostej P||=>CH 18
Wstęp:
Wiedza zawarta w niniejszym punkcie nie jest potrzebna do obsługi języka potocznego.
Problem obsługi operatora implikacji prostej P||=>CH to wiedza na poziomie 5-cio latka tzn. każde ze zdań warunkowych „Jeśli p to q” wchodzących w skład operatora implikacji prostej P||=>CH będzie doskonale przez niego rozumiane.
Tu jest identycznie jak u humanistów w gramatyce języka polskiego:
[link widoczny dla zalogowanych]
Gramatyka w szkole podstawowej
Autor: Stopka Dorota
Praktyczny poradnik z zakresu szkoły podstawowej i gimnazjum prezentujący zasady gramatyki. Omówienie zagadnień gramatycznych krok p o kroku, jasne przykłady, ciekawe ćwiczenia, zbiór reguł gramatycznych - błyskawiczna powtórka. Mini-wersja materiału na klasówkę.
Czy znajomość trudnej gramatyki języka polskiego jest potrzebna 5-cio letniemu Polakowi do komunikacji w języku ojczystym z otoczeniem?
Oczywiście NIE!
Osobiście nigdy gramatyki j. polskiego nie znałem i do tej pory nie znam tzn. nie wiem co to jest jakiś tam podmiot, orzeczenie, przysłówek, dupówek etc.
W praktyce wiedza czysto matematyczna w skład jakiego operatora logicznego wchodzi dowolne prawdziwe zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest do niczego potrzebna. Każdy człowiek od 5-cio latka poczynając non stop stosuje tu poniższe prawa logiki matematycznej nie mając najmniejszego pojęcia co to jest operator logiczny np. P||=>CH.
W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> lub element wspólny zbiorów ~~>
Zdarzenia:
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
Zbiory:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
4.7 Zdanie bazowe w operatorze implikacji prostej P||=>CH
Definicja zdania bazowego:
Zdanie bazowe to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia) spełniające poniższe warunki:
1.
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” żadne z pojęć p, q, ~p i ~q nie może być zbiorem pustym (zdarzeniem niemożliwym), co gwarantuje rozpoznawalność tych pojęć.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą należeć do wspólnej dziedziny.
Algorytm analizy zdania bazowego:
Algorytm analizy dowolnego zdania bazowego „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q pozwala na jednoznaczne rozstrzygnięcie w skład jakiego operatora logicznego wchodzi badane zdanie bazowe bez względu na jego prawdziwość/fałszywość.
Dowolne zdanie bazowe „Jeśli p to q” może wchodzić tylko i wyłącznie w skład jednego z pięciu rozłącznych operatorów logicznych.
1. p||=>q - operator implikacji prostej
2. p||~>q - operator implikacji odwrotnej
3. p|<=>q - operator równoważności
4. p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja równoważności p<=>q:
5. p|$q - operator „albo”($)
Z faktu iż powyższe operatory są rozłączne wynika, że dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” nie może należeć jednocześnie do dwóch, jakichkolwiek operatorów.
| Kod: |
T1
Definicje operatorów implikacyjnych które niebawem poznamy:
1: Y=(p||=>q) =(p|=>q) = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)= ~p*q # ~Y=p+~q
##
2: Y=(p||~>q) =(p|~>q) =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*~q # ~Y=~p+q
##
3: Y=(p|<=>q) =(p<=>q) = (A1:p=>q)* (B1: p~>q) =p*q+~p*~q # ~Y=p*~q+~p*q
##
4: Y=(p||~~>q)=(p|~~>q) =~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =0 # ~Y=1
##
5: Y=(p|$q) = (p$q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p*~q+~p*q # ~Y=p*q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawo Kubusia:
p=>q [=] ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczna są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
W tabeli T1 doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Kluczowe dla poprawnego działania algorytmu analizy zdania bazowego jest prawo śfinii.
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
4.7.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q”
Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q”
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie bazowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Punkt 2
Zbiory:
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia p i q poszukując zbioru pustego (=0)
p~~>q=p*q =0
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia p i q poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)
p~~>q=p*q =0
RETURN
Punkt 3
Zbiory:
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Zdarzenia:
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe ~~> idź do punktu 5
Inaczej:
Punkt 4
Zbiory:
Nie znaleziono zbioru pustego []
Zdarzenia:
Nie znaleziono zdarzenia niemożliwego ~~>
Operator logiczny zlokalizowany, to operator chaosu p||~~>q
Idź do operatora chaosu p||~~>q
STOP
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
(~)p=>(~)q =1
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p (~> albo =>) q =?
Punkt 8
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowaną kolumnę A1B1: p|?q będącą częścią operatora logicznego p||?q
Idź do tabeli prawdy zlokalizowanego operatora logicznego
STOP
Przedstawiony wyżej algorytm to algorytm podstawowy.
Uwaga:
Matematycznie możliwy jest alternatywny algorytm przeciwny gdzie w prawie śfinii po „Jeśli ..” zapisujemy q zaś po „to…” zapisujemy p, jednak aby matematyk A dogadał się z matematykiem B obaj muszą stosować identyczny, uzgodniony wzajemnie algorytm: podstawowy albo przeciwny.
W logice matematycznej za domyślny przyjmujemy algorytm podstawowy dzięki czemu nie musimy sygnalizować światu zewnętrznemu który algorytm stosujemy.
Ponieważ algorytm podstawowy jest z definicji algorytmem domyślnym, możemy pominąć słówko „podstawowy” w „algorytmie podstawowym”.
4.7.2 Operator implikacji prostej p||=>q
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1: A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja symboliczna operatora implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
| Kod: |
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p=> q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~> q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Stąd:
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
A1’: p~~>~q=0 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’
Kolumna A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
Stąd:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =1 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’
|
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Na mocy prawa Kobry definicja operatora implikacji prostej p||=>q wyrażona zdaniami bazowymi przyjmuje postać:
| Kod: |
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p~~>q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
A1’: p~~>~q=0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesna zajście zdarzeń p i ~q
A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~~>~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
B2’:~p~~>q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesna zajście zdarzeń ~p i q
|
4.8 Zdania bazowe w operatorze implikacji prostej P||=>CH w zdarzeniach
W sprawdzaniu poprawności algorytmu analizy dowolnego zdania bazowego postępujemy identycznie jak w sprawdzaniu programu komputerowego. Na wejściu podajemy dane co do których jesteśmy pewni do jakiego operatora logicznego powinien nas algorytm zaprowadzić sprawdzając czy rzeczywiście tak się stanie.
Operator implikacji prostej P||=>CH omówiony został w punkcie 3.1.3.
Sprawdzenia poprawności działania algorytmu analizy dowolnego zdania bazowego w operatorze implikacji prostej P||=>CH wykonamy na konkretnym przykładzie, by łatwiej było zrozumieć.
p = P (pada)
q = CH (chmury)
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w zdaniach bazowych:
| Kod: |
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli będzie padało (P=1)?
A1: P~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P) i są chmury (CH)
A1’: P~~>~CH=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P) i nie ma chmur (~CH)
A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli nie będzie padało (~P=1)?
A2: ~P~~>~CH=1 - możliwe jest zdarzenie: nie pada (~P) i nie ma chmur (~CH)
B2’:~P~~>CH =1 - możliwe jest zdarzenie: nie pada (~P) i są chmury (CH)
|
Jak widzimy, powyższa wiedza to matematyczny poziom 5-cio latka.
4.8.1 Zdanie bazowe P~~>CH
Zadanie 4.8.1
Dane jest zdanie bazowe:
W1.
Jeśli jutro będzie padało to może być pochmurno
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Rozwiązanie:
Na początek sprawdzamy czy zdanie W1 spełnia definicję zdania bazowego:
1.
Poprzednik p definiuje stan:
p= P (pada) =1 - prawdą jest (=1), że wiem co znaczy stan „pada”
Następnik q definiuje stan:
q = CH (chmury) =1 - prawdą jest (=1), że wiem co znaczy stan „są chmury”
Negacje p i q to odpowiednio:
~p = ~P (nie pada) =1 - prawdą jest (=1), że wiem co znaczy stan „nie pada”
~q = ~CH (nie ma chmur) =1 - prawdą jest (=1), że wiem co znaczy stan „nie ma chmur”
2.
Wspólna dziedzina matematyczna to wszystkie możliwe stany na wejściu, bez rozstrzygania w temacie prawdziwości/fałszywości poszczególnych stanów:
DM = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q = p*(q+~q)+ ~p*(~q+q) = p+~p =q
Wniosek:
Wspólna dziedzina matematyczna DM jest prawidłowo zdefiniowana.
Uwaga:
Jeśli nie uda nam się w sposób zrozumiały zdefiniować wszystkich możliwych stanów p, q, ~p, ~q albo nie będziemy w stanie zdefiniować wspólnej dziedziny matematycznej różnej od Uniwersum to zdanie bazowe uznajemy za fałsz absolutny, którego nie analizujemy.
Rozstrzygnięcie w tym przypadku to:
Zdanie bazowe to fałsz absolutny nie podlegający analizie.
Definicje pojęć podstawowych:
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka
Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)
Sprawdzenie algorytmu analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach:
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
P~~>CH = P*CH =?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Zapis zdania W1 w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =?
Punkt 2
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: P~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
2: P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
RETURN
Punkt 3
Znalezione zdarzenie niemożliwe:
P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe (=0) idź do punktu 5
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
5.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 jest w logice dodatniej (bo CH) zatem tylko przepisujemy:
6.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
p~>q =0 - na mocy prawa śfinii
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a mimo to chmury mogą istnieć.
Podpowiedź:
Jeśli ktoś ma problem ze zrozumieniem dowodu fałszywości zdania 7 to prawem Tygryska może przejść do najprostszego warunku wystarczającego =>.
Prawo Tygryska w zapisie aktualnym:
7: P~>CH = 7a: CH=>P
Prawo Tygryska w zapisie formalnym:
7: p~>q = 7a: q=>p - na mocy prawa śfinii
Zdanie po prawej stronie brzmi:
7a.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padało (P=1)
CH=>P =0
Chmury nie są warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada
Na mocy prawa Tygryska fałszywość zdania 7a wymusza fałszywość zdania 7
cnd
Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Stąd:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1 =1
Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P|=>CH zapisanej w punkcie 4.9
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W1.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1 - możliwe jest zdarzenie ~~>: pada (P=1) i jest pochmurno (CH=1)
W punkcie 4.9.1 zlokalizowane zdanie W1 jako zdanie A1 będące częścią operatora implikacji prostej P||=>CH
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W1 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku wystarczającego A1: P=>CH =1
cnd
4.8.2 Zdanie bazowe P~~>~CH
Zadanie 4.8.2
Dane jest zdanie bazowe:
W2.
Jeśli jutro będzie padało to może nie być pochmurno
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Rozwiązanie:
Sprawdzenie definicji zdania bazowego jak w punkcie 4.8.1
Sprawdzenie algorytmu analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach:
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W2.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Zapis zdania W2 w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =?
Punkt 2
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
RETURN
Punkt 3
Znalezione zdarzenie niemożliwe:
P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe (=0) idź do punktu 5
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
5.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 jest w logice dodatniej (bo CH) zatem tylko przepisujemy:
6.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a mimo to chmury mogą istnieć.
Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Stąd:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1 =1
Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P|=>CH zapisanej w punkcie 4.9
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W2.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH=P*~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)
W punkcie 4.9.1 zlokalizowano zdanie W1 jako zdanie A1’ będące częścią operatora implikacji prostej P||=>CH
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
4.8.3 Zdanie bazowe ~P~~>~CH
Zadanie 4.8.3
Dane jest zdanie bazowe:
W3.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Rozwiązanie:
Sprawdzenie definicji zdania bazowego jak w punkcie 4.8.1
Sprawdzenie algorytmu analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach:
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W3.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
~P~~>~CH = ~P*~CH =?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Zapis zdania W3 w zapisie formalnym:
~p~~>~q = ~p*~q =?
Punkt 2
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: ~P~~>~CH=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)
2: ~P~~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)
3. P~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
4: P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
RETURN
Punkt 3
Znalezione zdarzenie niemożliwe:
P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe (=0) idź do punktu 5
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
5.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 jest w logice dodatniej (bo CH) zatem tylko przepisujemy:
6.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a mimo to chmury mogą istnieć.
Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Stąd:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1 =1
Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P|=>CH zapisanej w punkcie 4.9
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W3.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
~P~~>~CH = ~P*~CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)
W punkcie 4.9.1 zlokalizowane zdanie W3 jako zdanie A2 będące częścią operatora implikacji prostej P||=>CH
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W3 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku koniecznego ~> A2: ~P~>~CH =1
cnd
4.8.4 Zdanie bazowe ~P~~>CH
Zadanie 4.8.4
Dane jest zdanie bazowe:
W4.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Rozwiązanie:
Sprawdzenie definicji zdania bazowego jak w punkcie 4.8.1
Sprawdzenie algorytmu analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach:
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W4.
Jeśli jutro nie będzie padało to może być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Zapis zdania W4 w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =?
Punkt 2
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: ~P~~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)
2. P~~>CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
3: P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
RETURN
Punkt 3
Znalezione zdarzenie niemożliwe:
P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe (=0) idź do punktu 5
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
5.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 jest w logice dodatniej (bo CH) zatem tylko przepisujemy:
6.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a mimo to chmury mogą istnieć.
Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
Stąd:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1 =1
Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P|=>CH zapisanej w punkcie 4.9
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W4.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)
W punkcie 4.9.1 zlokalizowane zdanie W4 jako zdanie B2’ będące częścią operatora implikacji prostej P||=>CH
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)
4.9 Tabela prawdy implikacji prostej P|=>CH
IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Nasz przykład:
IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) =1*~(0)=1*1 =1
Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Definicja implikacji prostej P|=>CH w zapisie aktualnym {P,CH}:
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Definicja implikacji prostej P|=>CH w zapisie aktualnym:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) =1*~(0)=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: P=>CH =1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P =1 = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: P~~>~CH=0 = [=] = 4:~CH~~>P =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: P~>CH =0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P =0 = 4:~CH~>~P =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~P~~>CH=1 [=] 3: CH~~>~P=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1: A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Okład równań logicznych jest przemienny, stąd:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
4.9.1 Operator implikacji prostej P||=>CH
Operator implikacji prostej P||=>CH w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o P i ~P:
A1B1: P|=>CH =(A1: P=>CH)* ~(B1: P~>CH) - co się może się wydarzyć jeśli będzie padało?
A2B2: ~P|~>~CH =(A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) - co się może się wydarzyć jeśli nie będzie padało?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) =1*~(0)=1*1 =1
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno (CH=1) - mówi o tym zdanie A1
Kolumna A1B1 to odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Czytamy:
P=1 - prawdą jest (=1) że pada (P)
~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH)
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P~>~CH =1 - brak padania (~P) jest (=1) konieczny ~> dla braku chmur (~CH)
B2: ~P=>~CH =0 - brak padania (~P) nie jest (=0) wystarczający => dla braku chmur (~CH)
bo nie zawsze gdy nie pada, nie ma chmu.
A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) =1*~(0) =1*1=1
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
Kolumna A2B2 to odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
Czytamy:
1: CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH=1)
Prawo Prosiaczka:
(~CH=1) = (CH=0)
Stąd zdanie tożsame do 2 brzmi:
2’: CH=0 - fałszem jest (=0) iż są chmury (CH)
Jak widzimy wyłącznie sprowadzanie zmiennych do jedynek na mocy prawa Prosiaczka, czyni język potoczny przekładalny w skali 1:1 na logikę matematyczną.
Dowód:
W zdaniu 2 z języka potocznego mamy frazę:
„nie ma chmur” i tą frazę kodujemy matematycznie (~CH)
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym uwzględniamy przeczenie „nie” w postaci symbolu przeczenia (~).
LUB
Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)
Czytamy:
~P=1 - prawdą jest (=1) że nie pada (~P)
CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)
Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P||=>CH jest gwarancja matematyczna po stronie P (pada) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (nie pada), co widać w powyższej analizie.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~P||~>~CH to układ równań logicznych:
A2B2: ~P|~>~CH =(A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) - co się może się wydarzyć jeśli nie będzie padało?
A1B1: P|=>CH =(A1: P=>CH)* ~(B1: P~>CH) - co się może się wydarzyć jeśli będzie padało?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~P||~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej P||=>CH w logice dodatniej (bo CH) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 15:46, 13 Cze 2021, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 16:30, 13 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - ostatnie czytanie!
Część X
Po raz ostatni przed premierą czytam od początku algebrę Kubusia likwidując literówki i udoskonalając przekaz.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#594305
Algebra Kubusia
4.11 Zdania bazowe w operatorze implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach
Spis treści
4.10 Zdania bazowe w operatorze implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 2
4.10.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q” 3
4.10.2 Operator implikacji prostej p||=>q 5
4.11 Zdania bazowe w operatorze implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 6
4.11.1 Zdanie bazowe P8~~>P2 7
4.11.2 Zdanie bazowe P8~~>~P2 13
4.11.3 Zdanie bazowe ~P8~~>~P2 14
4.11.4 Zdanie bazowe ~P8~~>P2 17
4.12 Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2 19
4.12.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 20
Wstęp:
Problem budowy operatora implikacji prostej P8||=>P2 to matematyczny poziom ucznia I klasy LO.
W praktyce wiedza czysto matematyczna w skład jakiego operatora logicznego wchodzi dowolne prawdziwe zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest do niczego potrzebna. Każdy człowiek od 5-cio latka poczynając non stop stosuje tu poniższe prawa logiki matematycznej nie mając najmniejszego pojęcia co to jest operator logiczny np. P8||=>P2.
W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> lub element wspólny zbiorów ~~>
Zdarzenia:
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
Zbiory:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
4.10 Zdania bazowe w operatorze implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach
Definicja zdania bazowego:
Zdanie bazowe to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia) spełniające poniższe warunki:
1.
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” żadne z pojęć p, q, ~p i ~q nie może być zbiorem pustym (zdarzeniem niemożliwym), co gwarantuje rozpoznawalność tych pojęć.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą należeć do wspólnej dziedziny.
Algorytm analizy zdania bazowego:
Algorytm analizy dowolnego zdania bazowego „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q pozwala na jednoznaczne rozstrzygnięcie w skład jakiego operatora logicznego wchodzi badane zdanie bazowe bez względu na jego prawdziwość/fałszywość.
Dowolne zdanie bazowe „Jeśli p to q” może wchodzić tylko i wyłącznie w skład jednego z pięciu rozłącznych operatorów logicznych.
1. p||=>q - operator implikacji prostej
2. p||~>q - operator implikacji odwrotnej
3. p|<=>q - operator równoważności
4. p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja równoważności p<=>q:
5. p|$q - operator „albo”($)
Z faktu iż powyższe operatory są rozłączne wynika, że dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” nie może należeć jednocześnie do dwóch, jakichkolwiek operatorów.
| Kod: |
T1
Definicje operatorów implikacyjnych które niebawem poznamy:
1: Y=(p||=>q) =(p|=>q) = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)= ~p*q # ~Y=p+~q
##
2: Y=(p||~>q) =(p|~>q) =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*~q # ~Y=~p+q
##
3: Y=(p|<=>q) =(p<=>q) = (A1:p=>q)* (B1: p~>q) =p*q+~p*~q # ~Y=p*~q+~p*q
##
4: Y=(p||~~>q)=(p|~~>q) =~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =0 # ~Y=1
##
5: Y=(p|$q) = (p$q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p*~q+~p*q # ~Y=p*q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawo Kubusia:
p=>q [=] ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczna są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
W tabeli T1 doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Kluczowe dla poprawnego działania algorytmu analizy zdania bazowego jest prawo śfinii.
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
4.10.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q”
Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q”
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie bazowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Punkt 2
Zbiory:
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia p i q poszukując zbioru pustego (=0)
p~~>q=p*q =0
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia p i q poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)
p~~>q=p*q =0
RETURN
Punkt 3
Zbiory:
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Zdarzenia:
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe ~~> idź do punktu 5
Inaczej:
Punkt 4
Zbiory:
Nie znaleziono zbioru pustego []
Zdarzenia:
Nie znaleziono zdarzenia niemożliwego ~~>
Operator logiczny zlokalizowany, to operator chaosu p||~~>q
Idź do operatora chaosu p||~~>q
STOP
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
(~)p=>(~)q =1
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p (~> albo =>) q =?
Punkt 8
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowaną kolumnę A1B1: p|?q będącą częścią operatora logicznego p||?q
Idź do tabeli prawdy zlokalizowanego operatora logicznego
STOP
Przedstawiony wyżej algorytm to algorytm podstawowy.
Uwaga:
Matematycznie możliwy jest alternatywny algorytm przeciwny gdzie w prawie śfinii po „Jeśli ..” zapisujemy q zaś po „to…” zapisujemy p, jednak aby matematyk A dogadał się z matematykiem B obaj muszą stosować identyczny, uzgodniony wzajemnie algorytm: podstawowy albo przeciwny.
W logice matematycznej za domyślny przyjmujemy algorytm podstawowy dzięki czemu nie musimy sygnalizować światu zewnętrznemu który algorytm stosujemy.
Ponieważ algorytm podstawowy jest z definicji algorytmem domyślnym, możemy pominąć słówko „podstawowy” w „algorytmie podstawowym”.
4.10.2 Operator implikacji prostej p||=>q
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1: A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja symboliczna operatora implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
| Kod: |
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p=> q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~> q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Stąd:
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
A1’: p~~>~q=0 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’
Kolumna A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
Stąd:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =1 - fałszywy B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’
|
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Na mocy prawa Kobry definicja implikacji prostej p||=>q wyrażona zdaniami bazowymi przyjmuje postać:
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w zdaniach bazowych:
| Kod: |
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p~~>q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
A1’: p~~>~q=0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesna zajście zdarzeń p i ~q
A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~~>~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
B2’:~p~~>q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesna zajście zdarzeń ~p i q
|
4.11 Zdania bazowe w operatorze implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach
W sprawdzaniu poprawności algorytmu analizy dowolnego zdania bazowego postępujemy identycznie jak w sprawdzaniu programu komputerowego. Na wejściu podajemy dane co do których jesteśmy pewni do jakiego operatora logicznego powinien nas algorytm zaprowadzić sprawdzając czy rzeczywiście tak się stanie.
Operator implikacji prostej P8||=>P2 omówiony został w punkcie 4.4.1
Sprawdzenia poprawności działania algorytmu analizy dowolnego zdania bazowego w operatorze implikacji prostej P8||=>P2 wykonamy na konkretnym przykładzie, by łatwiej było zrozumieć.
p = P8 = [8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q = P2 = [2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Definicja operatora implikacji prostej P8||=>P2 w zdaniach bazowych to odpowiedź na pytania o P8 i ~P8:
| Kod: |
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli liczba będzie podzielna przez 8 (P8=1)?
A1: P8~~>P2 =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów P8 i P2 np. 8
A1’: P8~~>~P2=0 - nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów P8 i ~P2
A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli liczba nie będzie podzielna przez 8 (~P8=1)?
A2: ~P8~~>~P2=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~P8 i ~P2 np. 1
B2’:~P8~~>P2 =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~P8 i P2 np. 2
|
4.11.1 Zdanie bazowe P8~~>P2
Zadanie 4.11.1
Dane jest zdanie bazowe:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Rozwiązanie:
Na początek sprawdzamy czy zdanie W1 spełnia definicję zdania bazowego:
1.
Poprzednik p definiuje nam zbiór liczb podzielnych przez 8:
p =P8=[8,16,24..]
Następnik q definiuje zbiór liczb podzielnych przez 2:
q = P2=[2,4,6,8..]
Przyjmujemy wspólną dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jak ich uzupełnienia do dziedziny:
~p = ~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~q = ~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
2.
Matematycznie zachodzi definicja wspólnej dziedziny LN zarówno dla P8 jak i dla P2.
Definicja dziedziny dla P8:
P8+~P8 = LN =1 - zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P8
P8*~P8 =[] =0 - zbiory P8 i ~P8 są rozłączne
Definicja dziedziny dla P2:
P2+~P2 = LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne
Definicja zdania bazowego:
Zdanie bazowe to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia) spełniające poniższe warunki:
1.
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” żadne z pojęć p, q, ~p i ~q nie może być zbiorem pustym (zdarzeniem niemożliwym), co gwarantuje rozpoznawalność tych pojęć.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą należeć do wspólnej dziedziny.
Doskonale widać, że zdanie W1: P8~~>P2 spełnia definicję zdania bazowego bowiem zbiory P8, P2, ~P2 i ~P8 nie są puste oraz spełniona jest definicja wspólnej dziedziny dla P8 i P2.
Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może być podzielna przez 2 (P2=1)
P8~~>P2 = P8*P2 =?
Na mocy prawa śfinii mamy punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zapis zdania W1 w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =?
Poprzednik p mówi tu o zbiorze liczb podzielnych przez 8, natomiast następnik q o zbiorze liczb podzielnych przez 2.
Na potrzeb przyszłych analiz musimy obliczyć wszystkie możliwe przeczenia zbiorów P8 i P2.
W zdaniu A1 poprzednik p definiuje nam zbiór liczb podzielnych przez 8:
p = P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Zaś następnik q definiuje nam zbiór licz podzielnych przez 2:
q = P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (zbiór liczb parzystych)
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny LN:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór liczb nieparzystych)
Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: P8~~>P2 =1 - bo istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..24..] np.8
2: P8~~>~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
RETURN
Niezbędny komentarz:
Fałszywość punktu 2 musimy udowodnić.
Najprostszy dowód to:
Dowolny zbiór liczb parzystych (tu P8) jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych (tu ~P2)
Nie zawsze w tak prosty sposób daje się udowodnić rozłączność zbiorów nieskończonych.
Co robić gdy nie jest tak prosto?
Prawami logiki matematycznej należy poszukać najprostszego warunku wystarczającego => bo taki warunek zawsze dowodzi się najprościej.
a)
Na początek zakładamy fałszywość kontrprzykładu 2:
2: P8~~>~P2 =0
z czego wynika prawdziwość warunku wystarczającego => którą musimy tu udowodnić:
2a: P8=>P2 =?
2a.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
Definicja podzbioru P8=>P2 jest tu spełniona (=1), dlatego spełniona jest definicja warunku wystarczającego =>.
cnd
Twierdzenie matematyczne 2a każdy matematyk klasyczny bez problemu udowodni, ja nie muszę bo nie jestem matematykiem klasycznym.
Moja matematyka, algebra Kubusia, to fundamentalnie co innego niż matematyka klasyczna.
Dowód:
W algebrze Kubusia mamy spójniki logiczne z języka potocznego „i”(*) oraz „lub”(+).
Znaczki „*” i „+” są tu identyczne jak w matematyce klasycznej ale znaczą fundamentalnie co innego, o czym mam nadzieję, każdy matematyk wie.
Zauważmy przykładowo, że nie da się wykonać operacji mnożenia 2*3=6 znaczkiem „i”(*) z logiki matematycznej.
Ta sama operacja w znaczku „i”(*) będzie znaczyła zupełnie co innego:
[2]*[3] =[] =0 - bo zbiory jednoelementowe [2] i [3] są rozłączne.
cnd
Udowodniona prawdziwość warunku wystarczającego:
2a: P8=>P2 =1
wymusza fałszywość kontrprzykładu 2a’:
2a’: P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
cnd
Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
3: P8~~>~P2 =[] =0
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
cnd
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice dodatniej (bo P2) zatem je tylko przepisujemy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% ~> jest podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Dowód tożsamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2, bo liczba może nie być podzielna przez 8 (np. 2) a mimo to być podzielna przez 2.
Matematycznie warunek wystarczający => dowodzi się prościej, dlatego prawami logiki matematycznej można przejść do najprostszego warunku wystarczającego
7: p~>q = 7a: q=>p - prawo Tygryska w zapisie formalnym {p,q}
7: P8~>P2 = 7a: P2=>P8 - prawo Tygryska w zapisie aktualnym {P8,P2}
Zauważmy, że fałszywość zdania 7a dowodzi się prościej:
7a.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0 - bo kontrprzykład: 2
Ten dowód znany jest ziemskim matematykom, mimo że nie znają poprawnej, matematycznej definicji kontrprzykładu.
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Kontrprzykład to zdanie falsyfikujące, z którego wynika negacja pewnego zdania ogólnego. Kontrprzykład jest koniunkcją dwóch zdań elementarnych (tzn. takich, że jest to zdanie atomowe lub negacja zdania atomowego).
Jeżeli uda nam się znaleźć kontrprzykład to wyrażenie nie jest tautologią, ponieważ istnieje takie podstawienie wartości logicznych za konkretne zmienne w wyrażeniu, dla którego schemat jest fałszywy.
Kontrprzykładu używa się najczęściej do obalania fałszywych twierdzeń zawierających kwantyfikator ogólny ("dla każdego"). |
Definicja kontrprzykładu w logice „matematycznej” ziemskich matematyków to twardy dowód jak potwornie można spieprzyć matematykę!
Zauważmy, że definicja kontrprzykładu w algebrze Kubusia jest zrozumiała dla każdego 5-cio latka, oczywiście na przykładach stosownych do jego wieku … a który uczeń I klasy LO, czy nawet inżynier zrozumie jakieś brednie o zdaniu atomowym czy też o negacji zdania atomowego etc.
Kolejna tragedia ziemskiej logiki „matematycznej”:
Definicja kwantyfikatora dużego /\ ziemskich matematyków to potworny błąd czysto matematyczny!
Dowód:
W algebrze Kubusia mamy tak:
A1.
Jeśli dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Matematycznie byłoby wszystko w porządku, gdyby matematycy kwantyfikator duży rozumieli identycznie jak w algebrze Kubusia:
Dla każdego x, jeśli liczba x należy do zbioru P8(x) to na 100% => należy do zbioru P2(x)
/\x P8(x) => P2(x)
Przy takim rozumieniu kwantyfikatora dużego mamy tu gwarancję matematyczną => iż jeśli dowolna liczba należy do zbioru P8=[8,16,24..] to na 100% => należy do zbioru P2=[2,4,6,8…]
Sęk w tym, że poprawne rozumienie kwantyfikatora dużego jak w algebrze Kubusia wymusza relację podzbioru => w zdaniu warunkowym A1 co jest Armagedonem zarówno dla ziemskiego gówna zwanego „implikacją materialną” jak i absolutnie wszystkich ziemskich logik formalnych, gdzie w zdaniu warunkowych „Jeśli p to q” o żadnej relacji w zbiorach między p i q z definicji mowy być nie może.
Zauważmy na koniec iż zdania 6 i 7 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to są to zdania różna na mocy definicji ##.
Porównajmy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
##
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% ~> jest podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Stąd mamy tabelę T1.
| Kod: |
T1
Y= (p=>q)=~p+q ## Y= (p~>q)= p+~q
# #
~Y=~(p=>q)= p*~q ## ~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Doskonale widać, że w tabeli T1 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Stąd mamy:
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowodem są tu nasze zdania 6 i 7 które rozróżniamy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0) =1*1 =1
Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P8|=>P2 zapisanej w punkcie 4.12
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
P8~~>P2 = P8*P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] ma element wspólny ~~> ze zbiorem P2=[2,4,6,8..]
W punkcie 4.12.1 zlokalizowane zdanie W1 jako zdanie A1 będące częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W1 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku wystarczającego A1: P8=>P2 będącego częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
cnd
4.11.2 Zdanie bazowe P8~~>~P2
Zadanie 4.11.2
Dane jest zdanie bazowe:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 2
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Rozwiązanie:
Sprawdzenie definicji zdania bazowego jak w punkcie 4.11.1
Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =?
Na mocy prawa śfinii mamy punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zapis zdania W2 w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =?
Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: P8~~>~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
RETURN
Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
3: P8~~>~P2 =[] =0
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
cnd
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice dodatniej (bo P2) zatem je tylko przepisujemy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P8=1)
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
P8|=>P1 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0) =1*1 =1
Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P8|=>P2 zapisanej w punkcie 4.12
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
W punkcie 4.12.1 zlokalizowane zdanie W1 jako zdanie A1’ będące częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2=P8*~P2 =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
cnd
4.11.3 Zdanie bazowe ~P8~~>~P2
Zadanie 4.11.3
Dane jest zdanie bazowe:
W3.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 2
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Rozwiązanie:
Sprawdzenie definicji zdania bazowego jak w punkcie 4.11.1
Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W3.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~~>~P2 = ~P8*~P2 =?
Na mocy prawa śfinii mamy punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zapis zdania W3 w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =?
Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: ~P8~~>~P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] mają element wspólny np. 1
2: ~P8~~>P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] mają element wspólny np. 2
3: P8~~>P2 =1 - bo zbiory P8=[8,16,24 ..] i P2=[2,4,6,8..24..] mają element wspólny np. 24
4: P8~~>~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
RETURN
Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
3: P8~~>~P2 =[] =0
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
cnd
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice dodatniej (bo P2) zatem je tylko przepisujemy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P8=1)
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
P8|=>P1 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0) =1*1 =1
Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P8|=>P2 zapisanej w punkcie 4.12
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W3.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~~>~P2 = ~P8*~P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] mają element wspólny
W punkcie 4.12.1 zlokalizowane zdanie W1 jako A2 będące częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~>~P2=1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
cnd
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W3 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku koniecznego A2: ~P8~>~P2 będącego częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
cnd
4.11.4 Zdanie bazowe ~P8~~>P2
Zadanie 4.11.4
Dane jest zdanie bazowe:
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Rozwiązanie:
Sprawdzenie definicji zdania bazowego jak w punkcie 4.11.1
Sprawdzenie algorytmu analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w zbiorach:
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =?
Na mocy prawa śfinii mamy punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Zapis zdania W4 w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =?
Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: ~P8~~>P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] mają element wspólny np. 2
2: P8~~>P2 =1 - bo zbiory P8=[8,16,24 ..] i P2=[2,4,6,8..24..] mają element wspólny np. 8
3: P8~~>~P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne
RETURN
Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
3: P8~~>~P2 =[] =0
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
cnd
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice dodatniej (bo P2) zatem je tylko przepisujemy:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P8=1)
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,6,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
P8|=>P1 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0) =1*1 =1
Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji prostej P8|=>P2 zapisanej w punkcie 4.12
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 =1 - bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] mają element wspólny np. 2
W punkcie 4.12.1 zlokalizowane zdanie W4 jako zdanie B2’ będące częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] jest spełniona bo np. 2
cnd
4.12 Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2
IP.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Nasz przykład:
Definicja implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
A1B1:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1
Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym {p,q}.
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2 w zapisie aktualnym {P8,P2}
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => P2
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: P8=>P2 =1 = 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~>P8 =1 = 4:~P2=>~P8 =1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: P8~~>~P2=0 = [=] = 4:~P2~~>P8 =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: P8~>P2 =0 = 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=>P8 =0 = 4:~P2~>~P8 =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~P8~~>P2=1 [=] 3: P2~~>~P8=1
Równanie operatora implikacji prostej p||=>q:
A1B1: A2B2:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~>~q
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Okład równań logicznych jest przemienny, stąd:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
4.12.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach
Operator implikacji prostej P8||=>P2 w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o P8 i ~P8:
A1B1: P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) - jeśli wylosujemy liczbę podzielną przez 8 to ..
A2B2: ~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) - jeśli wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 to ..
A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) - zapis aktualny
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbą podzielną przez 8 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 - mówi o tym zdanie A1.
Kolumna A1B1 to odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2=P8*~P2 =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
Tego faktu nie musimy udowadniać, bo wymusza go prawdziwość warunku wystarczającego A1.
A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P8~>~P2 =1 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest (=1) nadzbiorem ~> ~P2=[1,3,5,7,9..]
B2: ~P8=>~P2 =0 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest (=0) podzbiorem => ~P2=[1,3,5,7,9..]
~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) - zapis aktualny
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielna przez 8 to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe A2 i B2’
Kolumna A2B2 to odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~>~P2=1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Tego faktu nie musimy udowadniać, gwarantuje nam to prawo Kubusia:
A2:~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
Prawdziwość zdania A1 udowodniliśmy na samym początku.
LUB
Z fałszywości warunku wystarczającego B2 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] jest spełniona bo np. 2
Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P8||=>P2 jest gwarancja matematyczna => po stronie P8 (zdanie A1) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P8 (zdania A2 i B2’)
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Kolejność zdań tworzących operator implikacji prostej p||=>q również jest bez znaczenia, tak więc zdania A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w dowolnej kolejności.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 16:32, 13 Cze 2021, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 17:47, 13 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - ostatnie czytanie!
Część XI
Po raz ostatni przed premierą czytam od początku algebrę Kubusia likwidując literówki i udoskonalając przekaz.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#594309
Algebra Kubusia - wykład rozszerzony
5.0 Operatory implikacyjne - implikacja odwrotna p||~>q
Spis treści
5.0 Operatory implikacyjne - implikacja odwrotna p||~>q 1
5.1. Implikacja odwrotna p|~>q 1
5.1.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 8
5.1.2 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> 11
5.1.3 Matematyczne związki implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q 14
5.2 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach 15
5.2.1 Odtworzenie definicji operatora implikacji odwrotnej p||~>q z definicji ~~> 19
5.2.2 Najmniejsza możliwa liczba elementów w operatorze p||~>q 23
Dlaczego to jest wykład rozszerzony?
Wiedza podstawowa w niniejszym rozdziale w temacie operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest kopią rozdziału 3.2 który już przerobiliśmy. Jedyna różnica polega na wzbogaceniu znanego nam już operatora implikacji odwrotnej p||~>q o jego związki ze spójnikami „i”(*) i „lub”(+).
5.0 Operatory implikacyjne - implikacja odwrotna p||~>q
Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”
W logice matematycznej rozróżniamy cztery podstawowe operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja operatora równoważności:
p|$q - operator „albo”($)
Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>
5.1. Implikacja odwrotna p|~>q
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór => = relacja nadzbioru =>
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Zauważmy, że w zdaniu warunkowym B1: „Jeśli p to q” poprzednik p definiuje nam zbiór P2:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
zaś następnik q definiuje nam zbiór P8:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Zdanie B1 jest prawdziwe bo:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja nadzbioru ~>:
P2~>P8 =1 - zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Powyższa relacja nadzbioru ~> jest spełniona (=1) co każdy ziemski matematyk łatwo udowodni korzystając z prawa Tygryska:
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2
Zauważmy, że nie wolno nam upraszczać powyższej relacji do samego zbioru P2 mówiąc:
„Zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem”
jak to czynią ziemscy pseudo-matematycy, fanatycy gówna zwanego „implikacją materialną”, gdzie w dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” o żadnej relacji w zbiorach między p i q z definicji mowy być nie może.
To jest błąd czysto matematyczny bo nie wiadomo w stosunku do jakiego zbioru zbiór P2 jest nadzbiorem ~>.
Zauważmy że:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
… ale równie dobrze:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P4=[4,8,12,16..]
etc
Oczywistym jest, że zbiór P8=[8,16,24..] jest różny na mocy definicji ## od zbioru P4=[4,8,12,16..]
cnd
W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> lub element wspólny zbiorów ~~>
Zdarzenia:
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
Zbiory:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
IO.
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
p|~>q - implikacja odwrotna |~> w logice dodatniej (bo q)
Prawą stronę czytamy:
Implikacja odwrotne p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q i nigdy nie zdarzy się ~(..), że zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1: A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
IO:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
p|~>q = p*~q
Definicja definicji podstawowej dowolnego spójnika implikacyjnego:
Definicja podstawowa dowolnego spójnika implikacyjnego to definicja tego spójnika w logice dodatniej (bo q).
Jeśli w definicji dowolnego spójnika implikacyjnego nie zaznaczamy w jakiej jest logice to domyślnie chodzi nam o definicję podstawową tego spójnika.
Mówiąc o definicji podstawowej możemy zatem pominąć sygnalizację w jakiej logice ta definicja jest wyrażona.
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Implikacja prosta ~p=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd:
~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)= ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
~p=>~q = p*~q
Zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p|~>q =p*~q [=] A2B2: ~p|=>~q = p*~q
cnd
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Definicja dowolnego operatora implikacyjnego p||?q:
Operator implikacyjny p||?q to odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
| Kod: |
T2
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1: A2B2
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
|
Dlaczego to jest równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p
Stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Z tabeli T2 odczytujemy tożsamość logiczną:
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Wnioski:
1.
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q
Na mocy definicji operatorów logicznych p||~>q i ~p||=>~q widzimy, że udowodnienie prawdziwości 1 pociąga za sobą prawdziwość 2:
2.
p||~>q = ~p||=>~q
cnd
Innymi słowy:
Wystarczy udowodnić, iż dany układ spełnia kolumnę A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
aby mieć pewność absolutną prawdziwości wszystkich pozostałych członów w tabeli T2
Warto zapamiętać różnicę:
Definicja warunku koniecznego p~>q:
B1: p~>q = p+~q
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =p*~q
##
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A1: p=>q = ~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Weźmy nasze funkcje logiczne B1, A1B1 i A1:
| Kod: |
TA1B1:
B1: Y= (p~>q)=p+~q ## A1B1: Y= (p|~>q)=p*~q ## A1: Y=(p=>q) =~p+q
# # #
B1N: ~Y=~(p~>q)=~p*q ## A1B1N: ~Y=~(p|~>q)=~p+q ## A1N:~Y=~(p=>q)=p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.
Katastrofalny błąd ziemskich matematyków w rachunku zero-jedynkowym
Ziemscy matematycy nie znają poprawnego rachunku zero-jedynkowego, ponieważ nigdy w tym rachunku nie uwzględniają funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y).
Tabela prawdy TA1B1 bez funkcji logicznych Y i ~Y przybierze postać:
| Kod: |
TA1B1’:
A1: ~p+q ## A1B1: p*~q ## B1: p+~q
# # #
A1N: p*~q ## A1B1N: ~p+ q ## B1N: ~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Doskonale widać, że w tabeli TA1B1’ definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ## legła w gruzach, bo ewidentnie zachodzą tożsamości logiczne [=]:
A1: ~p+q [=] A1B1N: ~p+q
oraz
A1B1: p*~q [=] A1N: p*~q
cnd
Wniosek:
Miejsce ziemskiego rachunku zero-jedynkowego, który w kolumnach wynikowych nie uwzględnia funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest w piekle, na wiecznych piekielnych mękach.
Innymi słowy:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy jest wewnętrznie sprzeczny - dowód wyżej.
5.1.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
IO.
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1: A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
Odpowiedź w zdaniach warunkowych ‘Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q, bo jak zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
LUB
Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q
A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (~q=1) - mówi o tym zdanie B2
Odpowiedź w zdaniach warunkowych ‘Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie na dwoje babka wróżyła” po stronie p (zdania B1 i A1’) , oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).
Zauważmy że:
a)
Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
5.1.2 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q przedstawioną wyżej:
| Kod: |
T1:
Analiza symboliczna |Co w logice
operatora implikacji odwrotnej p||~>q |jedynek oznacza
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
B1: p~> q =1 - p jest konieczne ~> dla q |( p=1)~> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=1 - kontrprzykład dla A1 musi być 1 |( p=1)~~>(~q=1)=1
Kolumna A2B2:
A2: ~p~>~q =0
B2: ~p=>~q =1
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p wystarcza => dla ~q |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla B2 musi być 0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
a b c d e f
|
Z tabeli T1 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku koniecznego B1: p~>q kodując analizę symboliczną względem linii B1, albo zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego B2:~p=>~q kodując analizę symboliczną względem linii B2
Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek konieczny ~> widoczny w linii B1:
B1: p~>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia B1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
| Kod: |
T2:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego B1: p~>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla |Zero-jedynkowa
symboliczna |jedynek oznacza |B1: p~>q |definicja ~>
| | | p q B1: p~>q
B1: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |( p=1)~> ( q=1)=1 | 1~>1 =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~>0 =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0~>0 =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~>1 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|(~p=1)=( p=0) |
|(~q=1)=( q=0) |
|
Nagłówek B1: p~>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię B1: p~>q w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Zauważmy, że w tabeli T1 mamy również warunek wystarczający => widniejący w linii B2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię B2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku wystarczającego =>:
B2:~p=>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia B2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
| Kod: |
T3:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego B2:~p=>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza |Co w logice |Kodowanie dla |Zero-jedynkowa
symboliczna |jedynek oznacza |B2:~p=>~q |definicja =>
| | |~p ~q B2: ~p=>~q
B1: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |(~p=0)~> (~q=0)=1 | 0=>0 =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |(~p=0)~~>(~q=1)=1 | 0=>1 =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1=>1 =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1=>0 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|( p=1)=(~p=0) |
|( q=1)=(~q=0) |
|
Nagłówek B2: ~p=>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię B2 w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T2 i T3 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T2 i T3 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T2: p~>q = T3: ~p=>~q
Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> (T2: 123) i wystarczającego => (T3: 123).
Oto on:
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q
A: 1~>1 =1
B: 1~>0 =1
C: 0~>0 =1
D: 0~>1 =0
|
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q
A: 1=>1 =1
B: 1=>0 =0
C: 0=>0 =1
D: 0=>1 =1
|
Stąd mamy:
| Kod: |
T4
Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p~>q = ~p=>~q
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
B1: 1~>1 =1 0=>0 =1
A1’: 1~>0 =1 0=>1 =1
B2: 0~>0 =1 1=>1 =1
B2’: 0~>1 =0 1=>0 =0
1 2 3 4 5 6
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Uwaga:
Warunkiem koniecznym wnioskowania o tożsamości kolumn wynikowych 3=6 jest identyczna matryca zero-jedynkowa na wejściach p i q.
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
~p=>~q = ~(~p)+~q = p+~q = p~>q
cnd
Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p~>q = ~p=>~q
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>
Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
| Kod: |
Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p~>q <=> ~p=>~q
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q (p~>q)<=>(~p=>~q)
B1: 1~>1 =1 0=>0 =1 1
A1’: 1~>0 =1 0=>1 =1 1
B2: 0~>0 =1 1=>1 =1 1
B2’: 0~>1 =0 1=>0 =0 1
1 2 3 4 5 6 7
|
Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
5.1.3 Matematyczne związki implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q
IP:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd:
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Y = (p|=>q) = ~p*q
##
IO:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
Y = (p|~>q) = p*~q
Gdzie:
## - różna na mocy definicji funkcji logicznych
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Zapiszmy matematyczne relacje między implikacją prostą p|=>q a implikacją odwrotną p|~>q w tabeli prawdy.
| Kod: |
IP: Implikacja prosta p|=>q ## IO: Implikacja odwrotne p|~>q
Y = (p|=>q)=~p*q ## Y= (p|~>q)=p*~q
# ## #
~Y =~(p|=>q)=p+~q ## ~Y=~(p|~>q)=~p+q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różna na mocy definicji funkcji logicznych
|
Doskonale widać, iż definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd
5.2 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Przedstawione wyżej zastrzeżenia dowodzimy w dwóch krokach.
Krok 1.
Dlaczego dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p i q?
Dla zbiorów tożsamych p=q mielibyśmy:
A1: p=>q =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>q =1 - bo każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Otrzymana sprzeczność z definicją implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach jest dowodem, iż zbiory p i q nie mogą być tożsame.
Stąd mamy pierwszą część definicji implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
Krok 2.
Dlaczego przyjęta dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q?
Przyjmijmy za dziedzinę sumę logiczną zbiorów p+q
D = p+q =p - bo na mocy definicji p|~>q zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Wtedy mamy:
~p=[D-p] = [p-p] =[] =0
Oznacza to że pojęcie ~p jest dla nas zbiorem pustym.
Definicja zbioru pustego [] w algebrze Kubusia:
Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka
[] =[asegft, uaytfds…]
Oczywistym jest, że nie możemy operować na pojęciach dla nas niezrozumiałych, stąd zastrzeżenie w definicji implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
Stąd mamy:
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1: A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
| Kod: |
D2
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|---------------------------|----------------------------------------|
| p | ~p |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| | p~~>~q = p*~q | ~p~~>q = ~p*q =[] |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+p*~q+~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
|--------------------------------------------------------------------|
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q
---------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem =>q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> q
p|~>q= ~(A1:p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~q
B2:~p=>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
~p|~>~q= ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
II.
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: q~>p =0 - zbiór q nie jest (=0) nadzbiorem ~> p
B3: q=>p =1 - zbiór q jest (=1) podzbiorem => p
q|=>p= ~(A3: q~>p)*(B3:~q=>~p)=~(0)*1=1*1=1
A4B4:
A4:~q=>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) nadzbiorem ~> ~p
~q|~>~p= ~(A4:~q=>~p)*(B4:~q~>~p)=~(0)*1=1*1=1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
Z diagramu D2 odczytujemy:
B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zbiory:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q, co widać na diagramie D2.
LUB
Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
Widać to doskonale na diagramie D2
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (~q=1) - mówi o tym zdanie B2
Z diagramu D2 odczytujemy:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zbiory:
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q, co widać na diagramie D2
Z prawdziwości warunku wystarczającego => B2 wynika fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
Potwierdza to diagram D2.
5.2.1 Odtworzenie definicji operatora implikacji odwrotnej p||~>q z definicji ~~>
Weźmy diagram implikacji prostej w odwrotnej p|~>q w zbiorach wyżej zapisany.
| Kod: |
D2
Diagram operatora implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach
------------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|---------------------------|------------------------------------------|
| p | ~p |
|--------------------------------------------|-------------------------|
| | p~~>~q = p*~q | ~p~~>q = ~p*q =[] |
------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+p*~q+~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
|----------------------------------------------------------------------|
| Operator implikacji odwrotnej p||~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) |
------------------------------------------------------------------------
| Ya=p~~>q=p*q |Yb=p~~>~q=p*~q |Yc=~p~~>~q=~p*~q |
------------------------------------------------------------------------
| ~Yd=~p~~>q=~p*q (zbiór pusty!) |
------------------------------------------------------------------------
|
Spójniki iloczynu logicznego zbiorów „i”(*) oraz sumy logicznej zbiorów „lub”(+) z definicji nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~> między dowolnymi dwoma zbiorami p i q.
Wniosek:
W opisie dowolnego diagramu w zbiorach wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi tylko i wyłącznie o spełnienie lub nie spełnienie definicji elementu wspólnego zbiorów ~~>.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Stąd mamy tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q definiowaną elementami wspólnymi zbiorów ~~>:
| Kod: |
T0.
Operator p||~>q |
w spójnikach |Co w logice
elementu wspólnego ~~>|jedynek oznacza
Y ~Y | Y Z diagramu D1 odczytujemy:
A: p~~>q = p* q =1 0 |( p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i q
B: p~~>~q= p*~q =1 0 |( p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1 0 |(~p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =0 1 |(~p=1)~~>( q=1) =0 - nie istnieje el. wspólny ~p i q
|
Między funkcjami logicznymi Y i ~Y zachodzi relacja spójnika „albo”($).
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($)
p$q =p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y$~Y = Y*~(~Y) + ~Y*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y =Y+~Y =1
Oczywiście relacja równoważności p<=>q definiująca tożsamość zbiorów/pojęć p=q musi tu być fałszem.
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y<=>~Y = Y*(~Y) + ~Y*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = []+[] =0
cnd
Zapiszmy powyższą tabelę wyłącznie w spójnikach elementu wspólnego zbiorów ~~> zmieniając indeksowanie linii do postaci zgodnej z teorią wykładaną w algebrze Kubusia - matematycznie ten ruch jest bez znaczenia.
| Kod: |
T1.
Operator implikacji odwrotnej p||~>q
definiowany elementem wspólnym zbiorów ~~>
Y Analiza dla punktu odniesienia Y
B1: p~~>q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów p i q
A1’: p~~>~q =1 - istnieje (=0) el. wspólny zbiorów p i ~q
B2: ~p~~>~q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i ~q
B2’:~p~~> q =0 - nie istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i q
|
Kluczowym punktem zaczepienia do przejścia z tabelą T1 do tabeli tożsamej T2 opisującej operator implikacji odwrotnej p||~>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach działająca wyłącznie w obszarze warunku wystarczającego =>.
Dodatkowo potrzebne nam będą prawa Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
##
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=~p+q ## B1: p~>q=p+~q
Definicja tożsamości logicznej „=” na przykładzie prawa Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony.
Z powyższego wynika, że mając udowodnioną prawdziwość warunku koniecznego ~> B1:
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
nie musimy udowadniać prawdziwości warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
bowiem gwarantuje nam to prawo Kubusia, prawo rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Analiza tabeli prawdy T1 - część I
1.
Fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q=0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =1 - zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
2.
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
Stąd:
Prawdziwość warunku wystarczającego B2:
B2: ~p=>~q =1
wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> B1 (i odwrotnie):
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2.
| Kod: |
T2.
Operator implikacji odwrotnej p||~>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
Y Analiza dla punktu odniesienia Y
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> q
A1’: p~~>~q =1 - istnieje (=0) el. wspólny zbiorów p i ~q
B2: ~p=>~q =1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
B2’:~p~~> q =0 - kontrprzykład dla B2’ musi być fałszem
|
Analiza tabeli prawdy T1 - część II
3.
Prawdziwość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q =1
wymusza fałszywość warunku wystarczającego A1 (i odwrotnie):
A1: p=>q =0
4.
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
stąd:
Fałszywość warunku wystarczającego A1:
A1: p=>q =0
wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~p~>~q =0
Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2
| Kod: |
T3.
Operator implikacji odwrotnej p||~>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
B1: p~>q =1 | A1: p=>q =0
A1’: p~~>~q =1
B2: ~p=>~q =1 | A2:~p~>~q =0
B2’:~p~~> q =0
|
Stąd mamy:
Linia B1A1:
Podstawowa definicja implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia w
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Zdefiniowawszy implikację odwrotną p|~>q w zbiorach jako:
A1: p=>q =0 - zbiór p jest nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
możemy ją podstawić do tabeli prawdy implikacji odwrotnej IO.
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Stąd mamy to, co już doskonale znamy:
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2 o p i ~p.
Szczegółową analizę operatora implikacji odwrotnej p||~>q znajdziemy w punkcie 5.1.1
5.2.2 Najmniejsza możliwa liczba elementów w operatorze p||~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Z definicji implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach wynika, że najmniejsza liczba elementów potrzebnych do zbudowania operatora implikacji prostej p||=>q to trzy elementy.
Zdefiniujmy trzy, różne na mocy definicji elementy których będziemy używać.
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zbudujmy zbiory p i q spełniające definicję implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
p=[K+T]
q=[K]
Dziedzina:
D=[K+T+P]
stąd mamy niepuste przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do wspólnej dziedziny D:
~p=[D-p]=[K+T+P-[K+T]]=[P]
~q=[D-q]=[K+T+P-K]=[T+P]
Podsumujmy:
p=[K+T], ~p=[P]
q=[K], ~q=[T+P]
Zapiszmy diagram operatora implikacji odwrotnej p||~>q dla powyższych elementów.
| Kod: |
D2
Diagram operatora implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach
-----------------------------------------------------------------------
| p=[K+T], ~p=[P] |
| q=[K], ~q=[T+P] |
-----------------------------------------------------------------------
| q=[K] | ~q=[T+P] |
|---------------------------|-----------------------------------------|
| p=[K+T] | ~p=[P] |
|---------------------------------------------|-----------------------|
| |p~~>~q=p*~q=[T] | ~p~~>q = ~p*q =[] |
-----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina fizyczna: DF =p*q+~p*~q+p*~q (suma zbiorów niepustych) |
-----------------------------------------------------------------------
|
Doskonale widać, że w diagramie D2 spełniona jest definicji implikacji prostej p|~>q, a tym samym definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q.
Zapiszmy pełny diagram implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1: A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Nasze zbiory na których operujemy to:
p=[K+T], ~p=[P]
q=[K], ~q=[T+P]
Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
Z diagramu D2 odczytujemy:
B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Sprawdzamy:
p=[K+T] ~> q=[K] =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór p=[K+T] jest nadzbiorem ~> zbioru q=[K]
cnd
LUB
Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
Sprawdzenie:
p=[K+T] ~~> ~q=[T+P] = [K+T]*[T+P] =[T]=1
Istnieje element wspólny zbiorów p i ~q, to Tygrysek (T)
Zauważmy, że miedzy p i ~q nie zachodzi ani warunek wystarczający => ani też konieczny ~>
Dowód:
p=[K+T] => ~q=[T+P] =0 - zbiór p=[K+T] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~q=[T+P]
cnd
p=[K+T] ~> ~q=[T+P] =0 - zbiór p=[K+T] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~q=[T+P]
cnd
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (~q=1) - mówi o tym zdanie B2
Z diagramu D2 odczytujemy:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Sprawdzenie:
~p=[P] => ~q=[T+P] =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór ~p=[P] jest podzbiorem => zbioru ~q=[T+P]
Z prawdziwości warunku wystarczającego => B2 wynika fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
Sprawdzenie:
~p=[P] ~~> q=[K] = [P]*[K] =[] =0
Zbiór jednoelementowy Prosiaczek (P) jest rozłączny ze zbiorem jednoelementowym Kubuś (K)
cnd
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 23:03, 13 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - ostatnie czytanie!
Część XII
Po raz ostatni przed premierą czytam od początku algebrę Kubusia likwidując literówki i udoskonalając przekaz.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-brudnopis,18263.html#582015
Algebra Kubusia
5.3 Przykłady operatorów implikacji odwrotnej p||~>q
Spis treści
5.3 Implikacja odwrotna A||~>S w zdarzeniach 1
5.3.1 Operator implikacji odwrotnej A||~>S 4
5.3.2 Wisienka na torcie w operatorze implikacji odwrotnej A||~>S 6
5.4 Implikacja odwrotna P2|~>P8 w zbiorach 7
5.4.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach 11
5.5 Implikacja odwrotna 4L|~>P w zbiorach w przedszkolu 13
5.5.1 Operator implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach w przedszkolu 16
5.6 Alternatywne dojście do operatora implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach 18
5.6.1 Implikacja odwrotna 4L|~>P w zbiorach 20
5.6.2 Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach 21
Przykłady zawarte w niniejszym punkcie to poziom 5-cio latka:
4L||~>P
oraz poziom ucznia I lasy LO:
A||~>S i P2||~>P8
5.3 Implikacja odwrotna A||~>S w zdarzeniach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.
Niech będzie dany schemat elektryczny:
| Kod: |
S2 Schemat 2
S W A
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-------o o------
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------------
|
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Nie, bo nie zawsze gdy wciśniemy przycisk A żarówka zaświeci się.
Żarówka zaświeci się wtedy i tylko wtedy gdy dodatkowo przycisk W będzie wciśnięty.
Zauważmy, że pytanie A1 nie dotyczy przycisku W.
Przycisk W tu jest zmienną wolną którą możemy zastać w dowolnej pozycji W=x gdzie x={0,1}
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A nie daje nam (=0) gwarancji matematycznej => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Tak
Konieczne dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na W=1 (przycisk wciśnięty).
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Przyjmijmy zdanie B1 za punkt odniesienia:
p=>q =1 - na mocy prawa śfinii
Nasz punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka)
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1).
Konieczne dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na W=1
cnd
Zauważmy, że zdania A1 i B1 lokalizują nam implikację odwrotną A|~>S.
IO.
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej A|~>S:
Implikacja odwrotna A|~>S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =0 - wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia się żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia żarówki S
bo dodatkowo musi być wciśnięty przycisk W (W=1)
stąd mamy:
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1 = 1*1 =1
Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w zapisie aktualnym {A,S}:
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=A (przycisk)
q=S (żarówka)
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w zapisie aktualnym:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|~>S= ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: A=>S =0 = 2:~A~>~S =0 [=] 3: S~>A =0 = 4:~S=>~A =0
A’: 1: p~~>~q =1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: A~~>~S =1 = [=] = 4:~S~~>A =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S =1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
B’: = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
B’: = 2:~A~~>S =0 [=] 3: S~~>~A =0
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1: A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 odpowiadający na pytania o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 odpowiadający na pytania o ~p i p:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
5.3.1 Operator implikacji odwrotnej A||~>S
| Kod: |
S2 Schemat 2
S W A
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-------o o------
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------------
|
Operator implikacji odwrotnej A||~>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 odpowiadający na pytania o A i ~A:
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia S
A1B1: A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) = ~(0)*1=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B1.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), koniecznym dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiony na W=1.
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1) bo jak przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1: A=>S=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=0.
A2B2
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~A~>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla nie świecenia S (~S=1)
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia S (~S=1)
A2B2: ~A|=>~S = ~(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =~(0)*1=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić (~S=1) - mówi o tym zdanie B2.
Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie będzie się świecić (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia S (~S=1), bo zawsze gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), żarówka nie świeci się (~S=1)
Zauważmy, że prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wynika z praw fizyczno-matematycznych i nie ma tu potrzeby, jak to robią ziemscy matematycy, wykonywać nieskończonej ilości wciśnięć przycisku A sprawdzając czy za każdym wciśnięciem, żarówka świeci się.
Brak wciśnięcie przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić (~S=1), bo przyciski A i W połączone są szeregowo.
Stan przycisku W jest tu bez znaczenia W=x gdzie: x={0,1}
Zachodzi tożsamość pojęć:
Gwarancja matematyczna => = Warunek wystarczający =>
Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie).
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Zauważmy, że przyciski A i W połączone są szeregowo, z czego wynika że:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Stan zmiennej wolnej W jest tu bez znaczenia: W=x gdzie: x={0,1}
Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej A||~>S jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie wciśniętego przycisku A (A=1 - zdania B1 i A1’), oraz gwarancja matematyczna => po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1 - zdanie B2).
Doskonale to widać w powyższej analizie.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~A||=>~S w logice ujemnej (bo ~S) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej A||~>S w logice dodatniej (bo S) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
5.3.2 Wisienka na torcie w operatorze implikacji odwrotnej A||~>S
Wisienką na torcie w implikacji odwrotnej A||~>S jest podstawowy schemat układu realizującego implikację odwrotną A|~>S w zdarzeniach zrealizowany przy pomocy zespołu przycisków (wejście) i żarówki (wyjście).
| Kod: |
S2 Schemat 2
Fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1
S A W
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-------o o------
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------------
Punkt odniesienia: przycisk A
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S2, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S2, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna). Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Punktem odniesienia na schemacie S2 jest Jaś siedzący w pokoju A, bowiem w równaniu opisującym układ występuje wyłącznie przycisk A - Jaś nie widzi przycisku W.
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty
Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte
Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S2 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S
5.4 Implikacja odwrotna P2|~>P8 w zbiorach
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Twierdzenia matematyczne operują wyłącznie na zbiorach nieskończonych, logika matematyczna jest tu identyczna jak opisana wyżej banalna logika zdarzeń, jednak zbiory nieskończone z oczywistych powodów są trudniejsze do analizy.
Niemniej jednak możliwe są operacje na zbiorach nieskończonych zrozumiałe dla ucznia I klasy LO i do takich zbiorów ograniczymy się w wykładzie.
Definicja twierdzenia matematycznego:
Dowolne twierdzenie matematyczne prawdziwe to spełniony warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
inaczej:
p=>q =0 - twierdzenie matematyczne jest fałszywe.
Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Weźmy do analizy następujące zdanie:
WK.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
P2~~>P8 = P2*P8 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów jest spełniona bo zbiory P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] mają co najmniej jeden element wspólny np. 8.
cnd
To samo zdanie w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =1 - na mocy prawa śfinii
Punkt odniesienia na mocy praw śfinii to:
p=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
Poprzednik p mówi tu o zbiorze P2=[2,4,6,8..], zaś następnik q o zbiorze P8=[8,16,24..]
Dla potrzeb dalszej analizy musimy obliczyć przeczenia zabiorów P2 i P8, rozumiane jako uzupełnienia do wspólnej dziedziny.
Przyjmijmy wspólną dziedzinę minimalną LN:
LN=1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Zdanie WK definiuje zbiory:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (zbiór liczb parzystych)
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny LN:
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór liczb nieparzystych)
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
Matematycznie zachodzi definicja wspólnej dziedziny LN zarówno dla P2 jak i dla P8.
Definicja dziedziny dla P2:
P2+~P2 = LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne
Definicja dziedziny dla P8:
P8+~P8 = LN =1 - zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P8
P8*~P8 =[] =0 - zbiory P8 i ~P8 są rozłączne
Sprawdźmy czy w zdaniu WK spełniony jest warunek wystarczający =>:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8=1)
P2=>P8 =0
To samo w zapisie formalnym (na mocy prawa śfinii):
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Indeksowanie A1 wymusza tu tabela T0.
Zauważmy bowiem, że w kolumnach A1B1 i A2B2 (tylko te nas interesują na mocy prawa śfinii) warunek wystarczający p=>q mamy wyłącznie na pozycji A1.
cnd
Aby stwierdzić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi nasze zdanie WK musimy zbadać prawdziwość/fałszywość zdania A1 kodowanego warunkiem koniecznym ~>
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
to samo w zapisie formalnym (na mocy prawa śfinii):
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona, bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Indeksowanie B1 wynika tu z tabeli T0.
Najprostszy warunek wystarczający zawsze łatwiej się dowodzi.
Zastosujmy zatem prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p - zapis formalny
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2 - zapis aktualny
Dowodzimy prawdziwości B3.
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8…]
Z dowodem prawdziwości zdania B3 ziemski matematyk bez problemu sobie poradzi.
Prawdziwość B3, na mocy prawa Kubusia wymusza prawdziwość B1:
B1: P2~>P8 =1 - podzielność dowolnej liczny przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8
cnd
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Na mocy prawa Kobry, nasze zdanie wejściowe WK kodowane zdarzeniem możliwym ~~> jest częścią warunku koniecznego ~> B1.
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdania A1 i B1 tworzą definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8.
IO.
Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8 =0 - podzielność liczby przez 2 nie jest (=0) wystarczająca => dla jej podzielności przez 8
B1: P2~>P8 =1 - podzielność liczby przez 2 jest (=1) konieczna ~> dla jej podzielności przez 8
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: ~P2=>~P8) = ~(0)*1 =1*1 =1
Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q.
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zapisie aktualnym {P2,P8}:
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8 - zbiór liczba podzielnych przez 8
Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zapisie aktualnym:
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2 nie jest (=0) podzbiorem P8
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2 jest (=1) nadzbiorem ~>P8
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: P2=>P8 =0 = 2:~P2~>~P8=0 [=] 3: P8~>P2 =0 = 4:~P8=>~P2=0
A’: 1: p~~>~q =1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: P2~~>~P8=1 = [=] = 4:~P8~~>P2=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: P2~>P8 =1 = 2:~P2=>~P8=1 [=] 3: P8=>P2 =1 = 4:~P8~>~P2=1
B’: = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
B’: = 2:~P2~~>P8=0 [=] 3: P8~~>~P2=0
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1: A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
Z tabeli prawdy implikacji odwrotnej IO odczytujemy:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
5.4.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o P2 i ~P2:
A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
A1B1: P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) = ~(0)*1=1*1=1
stąd mamy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielna przez 2 (P2=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~> być podzielna przez 8 (P8=1)
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona, bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
LUB
Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P2~~>~P8=P2*~P8 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest (=1) spełniona bo zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6..9..] mają co najmniej jeden element wspólny np. 2
W zdaniu A1’ nie zachodzi ani warunek wystarczający =>, ani też konieczny ~> i tego faktu nie musimy dowodzić na mocy algebry Kubusia.
A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P2~>~P8 =0 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
B2: ~P2=>~P8 =1 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest (=1) podzbiorem => ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
A2B2: ~P2|=>~P8 = ~(A2: ~P2~>~P8)*(B2: ~P2=>~P8) =~(0)*1=1*1=1
stąd mamy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba nie będzie podzielna przez 8 - mówi o tym zdanie B2.
Uwaga:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli P2 to P8” jest częścią operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 nic więcej nie musimy udowadniać - mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli prawdy implikacji odwrotnej IO.
Nie musimy, nie oznacza że nie możemy, dlatego przedstawiam dowody indywidualne dla każdego ze zdań widniejących w IO.
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
~P2=>~P8 =1
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 wystarcza => dla jej niepodzielności przez 8 bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Oczywiście ten fakt dowodzimy korzystając z prawa kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p - zapis formalny
B2: ~P2=>~P8 = B3: P8=>P2 - zapis aktualny
Udowodnienie prawdziwości B3: P8=>P2 =1 na mocy prawa kontrapozycji gwarantuje prawdziwość zdania B2:~P2=>~P8 =1
Z prawdziwości warunku wystarczającego B2 wynika fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8=1)
~P2~~>P8=~P2*P8 =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem P8=[8,16, 24..]
Dowolny zbiór liczb nieparzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb parzystych.
cnd
Podsumowanie:
Cechą charakterystyczną operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie liczb podzielnych przez 2 (P2 - zdania B1 i A1’) oraz gwarancja matematyczna => po stronie liczb niepodzielnych przez 2 (~P8 - zdanie B2)
Doskonale to widać w analizie wyżej.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~P2||=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P8) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 w logice dodatniej (bo P8) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
5.5 Implikacja odwrotna 4L|~>P w zbiorach w przedszkolu
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zadanie matematyczne w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
Zapisz szczegółową analizę tego operatora
Rozwiązanie:
Dane jest zdanie wejściowe:
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~> być psem (P=1)
4L~>P =1
Bycie zwierzęciem z czterema łapami (4L=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego aby być psem (P=1), bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest się psem (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: 4L~>P = B2:~4L=>~P
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Na mocy prawa śfinii zapis formalny zdania B1 to:
B1: p~>q =1
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
B1: 4L~>P =1 - bo zbiór 4L=[pies, słoń ..] jest nadzbiorem ~> zbioru jednoelementowego P=[pies]
Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi warunek konieczny B1: 4L~>P musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: 4L=>P między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Warunek konieczny B1 definiuje nam dwa zbiory:
Poprzednik p:
4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
Następnik q:
P=[pies] - zbiór jednoelementowy pies
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnia do wspólnej dziedziny ZWZ:
~4L=[ZWZ-4L] = [kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt z czterema łapami
~P=[ZWZ-P] =[słoń, kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
Gdzie:
[słoń] - jest przedstawicielem zwierząt nie będących psami które mają cztery łapy
[kura] - jest przedstawicielem zwierząt nie mających czterech łap
Badamy teraz czy spełniony jest warunek wystarczający A1: 4L=>P=?
A1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to na 100% => jest psem (P=1)
4L=>P =0
Bycie zwierzęciem z czterema łapami (4L=1) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego aby być psem (P=1) bo zbiór 4L=[pies, słoń..] nie jest podzbiorem => zbioru jednoelementowego P=[pies].
Dopiero w tym momencie, po udowodnieniu prawdziwości zdania B1: 4L~>P=1 i fałszywości zdania A1: 4L=>P=0 mamy rozstrzygnięcie iż oba te zdania należą do operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Nasz przykład:
Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P
Implikacja odwrotna 4L|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: 4L=>P =0 - bycie zwierzęciem z czterema łapami nie jest (=0) warunkiem wystarczającym =>
do tego by być psem, bo nie wszystkie zwierzęta mające cztery łapy, są psami
B1: 4L~>P =1 - bycie zwierzęciem z czterema łapami (4L=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego,
aby być psem (P=1), bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% =>
nie jest się psem (~P=1).
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: 4L~>P = B2: ~4L=>~P
Stąd:
A1B1: 4L|~>P = ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P) =~(0)*1 =1*1 =1
Podstawmy nasze zdania A1: 4L=>P=0 i B1: 4L~>P=1 do tabeli prawdy implikacji odwrotnej 4L|~>P
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt mających cztery łapy
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {4L,P}
A1: 4L=>P =0 - posiadanie 4 łap nie jest (=0) wystarczające => by być psem
B1: 4L~>P =1 - posiadanie 4 łap jest (=1) konieczne ~> by być psem
A1B1: 4L|~>P= ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: 4L=>P =0 = 2:~4L~>~P=1 [=] 3: P~>4L =0 = 4:~P=>~4L =0
A’: 1: p~~>~q =1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: 4L~~>~P=1 = [=] = 4:~P~~>4L =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: 4L~>P =1 = 2:~4L=>~P=1 [=] 3: P=>4L =1 = 4:~P~>~4L =1
B’: = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
B’: = 2:~4L~~>P=0 [=] 3: P~~>~4L=0
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1: A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
5.5.1 Operator implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach w przedszkolu
Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P w logice dodatniej (bo P) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dających odpowiedź na pytania o 4L i ~4L:
A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: 4L=>P =0 - bo zbiór 4L=[pies, słoń ..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P=[pies]
B1: 4L~>P =1 - bo zbiór 4L=[pies, słoń ..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P=[pies]
A1B1: 4L|=>P = ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P) =~(0)*1=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe B1 i A1’
Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery lapy (4L=1) to może ~> być psem (P=1)
4L~>P =1
Posiadanie czterech łap (4L=1) jest warunkiem koniecznym ~> aby być psem (P=1) bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest się psem (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: 4L~>P = B2: ~4L=>~P
LUB
Fałszywy warunek wystarczający A1: 4L=>P=0 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ i odwrotnie
A1’.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~~> nie być psem (~P=1)
4L~~>~P = 4L*~P =1
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów: 4L=[pies, słoń ..] i ~P=[słoń, kura..] np. słoń
Zauważmy, że między zbiorami 4L=[pies, słoń ..] i ~P=[słoń, kura ..] nie zachodzi ani warunek wystarczający => ani też konieczny ~> w obie strony.
Dowód:
4L=[pies, słoń ..] ~> ~P=[słoń, kura ..] =0 - bo zbiór 4L nie jest nadzbiorem ~> zbioru ~P (bo kura)
4L=[pies, słoń ..] => ~P=[słoń, kura ..] =0 - bo zbiór 4L nie jest podzbiorem => zbioru ~P (bo pies)
cnd
A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~4L~>~P =0 - bo zbiór ~4L=[kura..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~P=[słoń, kura..]
B2: ~4L=>~P =1 - bo zbiór ~4L=[kura..] nie jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P=[słoń, kura..]
A2B2: ~4L|=>~P = ~(A2: ~4L~>~P)*(B2: ~4L=>~P) = ~(0)*1=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż wylosowane zwierzę nie będzie psem (~P=1) - mówi o tym zdanie B2.
Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest psem (~P=1)
~4L=>~P =1
U dowolnego zwierzęcia brak czterech łap (~4L=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania iż nie jest to pies (~P=1), bo zbiór zwierząt nie mających czterech łap ~4L=[kura..] jest podzbiorem zbioru „nie pies” ~P=[słoń, kura..]
U dowolnego zwierzęcia brak czterech łap (~4L=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie jest to pies (~P=1)
Zachodzi tożsamość matematyczna pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że prawdziwości zdania B2 nie musimy dowodzić bo wynika ona z prawa Kubusia:
B2:~4L=>~P = B1: 4L~>P
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie
Sprawdzenie:
B2’.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to może ~~> być psem (P=1)
~4L~~>P = ~4L*P =0
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~4L=[kura..] i P=[pies], bo zbiory te są rozłączne.
Podsumowanie:
Cechą charakterystyczną operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie 4L (zdania B1 i A1’) oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~4L (zdanie B2)
Doskonale to widać w analizie wyżej.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~4L||=>~P w logice ujemnej (bo ~P) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P w logice dodatniej (bo P) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
5.6 Alternatywne dojście do operatora implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach
Udajmy się do przedszkola, do naszych ekspertów logiki matematycznej, algebry Kubusia.
Pani w przedszkolu:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę które ma cztery łapy (4L=1) i będzie to pies (P=1)?
Jaś (lat 5): TAK, bo pies
Stąd:
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~~> być psem (P=1)
4L~~>P = 4L*P =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów 4L=[pies, słoń ..] i P=[pies] jest spełniona (bo pies).
Dla udowodnienia prawdziwości zdania A1 kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> wystarczy pokazać jednego pieska który ma cztery łapy.
Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę które ma cztery łapy (4L=1) i nie będzie to pies (~P=1)?
Jaś: TAK, np. słoń
Stąd:
A1’.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~~> nie być psem (~P=1)
4L~~>~P = 4L*~P =1
Dla udowodnienia prawdziwości zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> wystarczy pokazać jedno dowolne zwierzę które ma cztery łapy (4L=1) i nie jest psem (~P=1) np. słoń
Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę które nie ma czterech łap (~4L=1) i nie będzie to pies (~P=1)?
Jaś: TAK np. kura
Stąd:
B2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to może ~~> nie być psem (~P=1)
~4L~~>~P = ~4L*~P =1
Istnieje zwierzę (=1) które nie ma czterech łap (~4L=1) i nie jest psem (~P=1).
Dla udowodnienia prawdziwości zdania A2 wystarczy pokazać jedno zwierzę które nie ma czterech łap (~4L=1) i nie jest psem (~P=1) np. kurę
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~4L=[kura..] i ~P=[słoń, kura ..] mają co najmniej jeden element wspólny np. kurę.
Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę które nie ma czterech łap (~4L=1) i będzie to pies (P=1)?
Jaś: NIE, bo wszystkie psy mają cztery łapy
stąd:
A2’.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to może ~~> być psem (P=1)
~4L~~>P = ~4L*P =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory ~4L=[kura ..] i zbiór jednoelementowy P=[pies] są rozłączne, zatem nie mają elementu wspólnego.
Zapiszmy dialog pani z Jasiem w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1 Y ~Y Odpowiedzi dla Y:
B1: 4L~~>P =1 0 - zbiory 4L=[pies, słoń.] i P=[pies] mają el. wspólny
A1’: 4L~~>~P=1 0 - 4L=[pies, słoń.] i ~P=[słoń, kura.] mają el. wspólny
B2: ~4L~~>~P=1 0 - ~4L=[kura..] i ~P=[słoń, kura..] mają el. wspólny
B2’:~4L~~>P =0 1 - ~4L=[kura..] i P=[pies] nie mają (=0) el. wspólnego
|
Kluczową definicją umożliwiającą przejście z dialogu pani przedszkolanki do definicji operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P jest definicja kontrprzykładu w zbiorach.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym ~~> zbiorów: p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
W zbiorach zachodzą tożsamości pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Analiza tabeli T1 - część I
1.
Z fałszywości kontrprzykładu B2’:
B2’:~4L~~>P=0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~4L=>~P =1 - brak czterech łap jest (=1) warunkiem wystarczającym => by nie być psem, bo wszystkie psy mają cztery łapy.
2.
Prawo Kubusia:
B2:~4L=>~P = B1: 4L~>P =1
Stąd mamy:
Z prawdziwości warunku wystarczającego => B2:
B2: ~4L=>~P =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego B1 (i odwrotnie):
B1: 4L~>P =1 - posiadanie czterech łap (4L=1) jest warunkiem koniecznym ~> by być psem (P=1)
bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest się psem (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: 4L~>P = B2:~4L=>~P
Nanieśmy naszą analizę do tabeli prawdy T1.
| Kod: |
T2.
B1: 4L~> P =1 - cztery łapy (4L=1) są konieczne ~> by być psem (P=1)
A1’: 4L~~>~P=1 - 4L=[pies, słoń ..] i ~P=[słoń, kura..] mają el. wspólny
B2: ~4L=>~P =1 - brak czterech łap jest wystarczający => by nie być psem
B2’:~4L~~> P=0 - kontrprzykład B2’ dla prawdziwego B2 musi być fałszem
|
Analiza tabeli T1 - część II
3.
Z prawdziwości kontrprzykładu A1’:
A1’: 4L~~>~P =1
wynika fałszywość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: 4L=>P =0 - zbiór 4L=[pies, słoń ..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P=[pies]
4.
Prawo Kubusia:
A1: 4L=>P = A2:~4L~>~P
stąd mamy:
Fałszywy warunek wystarczający A1:
A1: 4L=>P =0
wymusza fałszywy warunek konieczny ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~4L~>~P =0 - brak czterech łap nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla nie bycia psem
bo zbiór ~4L=[kura..] nie jest nadzbiorem ~> ~P=[słoń, kura..]
Na mocy prawa Kubusia nie musimy dowodzić fałszywości zdania A2 w sposób bezpośredni, wystarczy że mamy dowód fałszywości zdania A1.
Nanieśmy część II analizy do tabeli prawdy T2.
| Kod: |
T3.
B1: 4L~> P =1 | A1: 4L=>P =0
A1’: 4L~~>~P=1
B2: ~4L=>~P =1 | A2:~4L~>~P =0
B2’:~4L~~> P=0
|
Zauważmy, że w linii B1 zapisaną mamy implikację odwrotną 4L|~>P w logice dodatniej (bo P).
5.6.1 Implikacja odwrotna 4L|~>P w zbiorach
Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P:
Implikacja odwrotna 4L|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: 4L=>P =0 - cztery łapy nie są (=0) wystarczające => by być psem,
bo można mieć cztery łapy i nie być psem np. słoń
B1: 4L~>P =1 - cztery łapy (4L=1) są (=1) konieczne ~> by być psem (P=1),
bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest się psem (~P=1)
Stąd:
4L|~>P = ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P) =~(0)*1 =1*1 =1
Pozostaje nam tylko podstawić nasze odkrycie do gotowej tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q.
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt mających cztery łapy
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym:
A1: 4L=>P =0 - posiadanie 4 łap nie jest (=0) wystarczające => by być psem
B1: 4L~>P =1 - posiadanie 4 łap jest (=1) konieczne ~> by być psem
A1B1: 4L|~>P= ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: 4L=>P =0 = 2:~4L~>~P=1 [=] 3: P~>4L =0 = 4:~P=>~4L =0
A’: 1: p~~>~q =1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: 4L~~>~P=1 = [=] = 4:~P~~>4L =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: 4L~>P =1 = 2:~4L=>~P=1 [=] 3: P=>4L =1 = 4:~P~>~4L =1
B’: = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
B’: = 2:~4L~~>P=0 [=] 3: P~~>~4L=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
5.6.2 Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach
Teraz pozostaje nam wykonać skok do punktu 5.5.1 gdzie mamy szczegółową analizę operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 23:04, 13 Cze 2021, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 17:02, 14 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - ostatnie czytanie!
Część XIII
Po raz ostatni przed premierą czytam od początku algebrę Kubusia likwidując literówki i udoskonalając przekaz.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-brudnopis,18263.html#582221
Algebra Kubusia
5.8 Zdania bazowe w operatorze implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach
Spis treści
5.7 Zdanie bazowe w operatorze implikacji odwrotnej CH||~>P 2
5.7.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q” 3
5.7.2 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 5
5.8 Zdania bazowe w operatorze implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach 6
5.8.1 Zdanie bazowe CH~~>P 7
5.8.2 Zdanie bazowe CH~~>~P 10
5.8.3 Zdanie bazowe ~CH~~>~P 12
5.8.4 Zdanie bazowe ~CH~~>P 14
5.9 Tabela prawdy implikacji odwrotnej CH|~>P 16
5.9.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P 18
Wstęp:
Wiedza zawarta w niniejszym punkcie nie jest potrzebna do obsługi języka potocznego.
Problem obsługi operatora implikacji odwrotnej CH|~>P to wiedza na poziomie 5-cio latka tzn. każde ze zdań warunkowych „Jeśli p to q” wchodzących w skład operatora implikacji odwrotnej CH|~>P będzie doskonale przez niego rozumiane.
Czy znajomość trudnej gramatyki języka polskiego jest potrzebna 5-cio letniemu Polakowi do komunikacji w języku ojczystym z otoczeniem?
Oczywiście NIE!
Osobiście nigdy gramatyki j. polskiego nie znałem i do tej pory nie znam tzn. nie wiem co to jest jakiś tam podmiot, orzeczenie, przysłówek, dupówek etc.
W praktyce wiedza czysto matematyczna w skład jakiego operatora logicznego wchodzi dowolne prawdziwe zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest do niczego potrzebna. Każdy człowiek od 5-cio latka poczynając non stop stosuje tu poniższe prawa logiki matematycznej nie mając najmniejszego pojęcia co to jest operator logiczny np. CH||~>P.
W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> lub element wspólny zbiorów ~~>
Zdarzenia:
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
Zbiory:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
5.7 Zdanie bazowe w operatorze implikacji odwrotnej CH||~>P
Definicja zdania bazowego:
Zdanie bazowe to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia) spełniające poniższe warunki:
1.
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” żadne z pojęć p, q, ~p i ~q nie może być zbiorem pustym, co gwarantuje rozpoznawalność tych pojęć.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą należeć do wspólnej dziedziny.
Algorytm analizy zdania bazowego:
Algorytm analizy dowolnego zdania bazowego „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q pozwala na jednoznaczne rozstrzygnięcie w skład jakiego operatora logicznego wchodzi badane zdanie bazowe bez względu na jego prawdziwość/fałszywość.
Dowolne zdanie bazowe „Jeśli p to q” może wchodzić tylko i wyłącznie w skład jednego z pięciu rozłącznych operatorów logicznych.
1. p||=>q - operator implikacji prostej
2. p||~>q - operator implikacji odwrotnej
3. p|<=>q - operator równoważności
4. p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja równoważności p<=>q:
5. p|$q - operator „albo”($)
Z faktu iż powyższe operatory są rozłączne wynika, że dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” nie może należeć jednocześnie do dwóch, jakichkolwiek operatorów.
| Kod: |
T1
Definicje operatorów implikacyjnych które niebawem poznamy:
1: Y=(p||=>q) =(p|=>q) = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)= ~p*q # ~Y=p+~q
##
2: Y=(p||~>q) =(p|~>q) =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*~q # ~Y=~p+q
##
3: Y=(p|<=>q) =(p<=>q) = (A1:p=>q)* (B1: p~>q) =p*q+~p*~q # ~Y=p*~q+~p*q
##
4: Y=(p||~~>q)=(p|~~>q) =~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =0 # ~Y=1
##
5: Y=(p|$q) = (p$q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p*~q+~p*q # ~Y=p*q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawo Kubusia:
p=>q [=] ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczna są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
W tabeli T1 doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Kluczowe dla poprawnego działania algorytmu jest prawo śfinii.
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
5.7.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q”
Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q”
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie bazowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Punkt 2
Zbiory:
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia p i q poszukując zbioru pustego (=0)
p~~>q=p*q =0
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia p i q poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)
p~~>q=p*q =0
RETURN
Punkt 3
Zbiory:
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Zdarzenia:
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe ~~> idź do punktu 5
Inaczej:
Punkt 4
Zbiory:
Nie znaleziono zbioru pustego []
Zdarzenia:
Nie znaleziono zdarzenia niemożliwego ~~>
Operator logiczny zlokalizowany, to operator chaosu p||~~>q
Idź do operatora chaosu p||~~>q
STOP
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
(~)p=>(~)q =1
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p (~> albo =>) q =?
Punkt 8
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowaną kolumnę A1B1: p|?q będącą częścią operatora logicznego p||?q
Idź do tabeli prawdy zlokalizowanego operatora logicznego
STOP
Przedstawiony wyżej algorytm to algorytm podstawowy.
Uwaga:
Matematycznie możliwy jest alternatywny algorytm przeciwny gdzie w prawie śfinii po „Jeśli ..” zapisujemy q zaś po „to…” zapisujemy p, jednak aby matematyk A dogadał się z matematykiem B obaj muszą stosować identyczny, uzgodniony wzajemnie algorytm: podstawowy albo przeciwny.
W logice matematycznej za domyślny przyjmujemy algorytm podstawowy dzięki czemu nie musimy sygnalizować światu zewnętrznemu który algorytm stosujemy.
Ponieważ algorytm podstawowy jest z definicji algorytmem domyślnym, możemy pominąć słówko „podstawowy” w „algorytmie podstawowym”.
5.7.2 Operator implikacji odwrotnej p||~>q
IO.
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1: A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja symboliczna operatora implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
| Kod: |
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
B1: p~> q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1’: p~~>~q=1 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’
Kolumna A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’
|
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Na mocy prawa Kobry definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q wyrażona zdaniami bazowymi przyjmuje postać.
| Kod: |
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
B1: p~~> q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
A1’: p~~>~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p~~>~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
B2’:~p~~>q =0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q |
5.8 Zdania bazowe w operatorze implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach
W sprawdzaniu poprawności algorytmu analizy dowolnego zdania bazowego postępujemy identycznie jak w sprawdzaniu programu komputerowego. Na wejściu podajemy dane co do których jesteśmy pewni do jakiego operatora logicznego powinien nas algorytm zaprowadzić sprawdzając czy rzeczywiście tak się stanie.
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P omówiony został w punkcie 3.2.3.
Sprawdzenia poprawności działania algorytmu analizy dowolnego zdania bazowego w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q wykonamy na konkretnym przykładzie, by łatwiej było zrozumieć.
p = CH (chmury)
q = P (pada)
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q w zdaniach bazowych:
| Kod: |
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli będzie pochmurno (CH=1)?
B1: CH~~> P=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i pada (P)
A1’: CH~~>~P=1 - możliwe jest zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli nie będzie pochmurno (~CH=1)?
B2: ~CH~~>~P=1 - możliwe jest zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i nie pada (~P)
B2’:~CH~~>P =0 - niemożliwe jest zdarzenie: nie ma chmur (~CH) i pada (P) |
5.8.1 Zdanie bazowe CH~~>P
Zadanie 5.8.1
Dane jest zdanie:
W1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Rozwiązanie:
Na początek sprawdzamy czy zdanie W1 spełnia definicję zdania bazowego:
1.
Poprzednik p definiuje stan:
p = CH (chmury) =1 - prawdą jest (=1), że wiem co znaczy stan „są chmury”
Następnik q definiuje stan:
q= P (pada) =1 - prawdą jest (=1), że wiem co znaczy stan „pada”
Negacje p i q to odpowiednio:
~p = ~CH (nie ma chmur) =1 - prawdą jest (=1), że wiem co znaczy stan „nie ma chmur”
~q = ~P (nie pada) =1 - prawdą jest (=1), że wiem co znaczy stan „nie pada”
2.
W teorii zdarzeń wspólna dziedzina matematyczna to wszystkie możliwe iloczyny logiczne „i”(*) stanów na wejściu połączone spójnikiem „lub”(+):
DM = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q = p*(q+~q)+ ~p*(~q+q) = p+~p =1
Wniosek:
Wspólna dziedzina matematyczna DM jest prawidłowo zdefiniowana.
Uwaga:
Jeśli nie uda nam się w sposób zrozumiały zdefiniować wszystkich możliwych stanów p, q, ~p, ~q albo nie będziemy w stanie zdefiniować wspólnej dziedziny matematycznej różnej od Uniwersum to zdanie bazowe uznajemy za fałsz absolutny, którego nie analizujemy.
Rozstrzygnięcie w tym przypadku to:
Zdanie bazowe to fałsz absolutny nie podlegający analizie.
Definicje pojęć podstawowych:
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka
Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)
Sprawdzenie algorytmu analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach:
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P =CH*P =?
Na mocy prawa śfinii nasz punkt odniesienia to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Zapis zdania W1 w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =?
Punkt 2
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: CH~~>P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH=1) i pada (P=1)
2: CH~~>~P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)
3: ~CH~~>~P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i nie pada (~P=1)
4: ~CH~~>P =0 - niemożliwe jest zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
RETURN
Punkt 3
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe (=0) idź do punktu 5
Znalezione zdarzenie niemożliwe:
~CH~~>P =0 - niemożliwe jest zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
5.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padać (~P=1)
~CH=>~P=1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie padało (~P=1), bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Nasz przykład:
Zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~P).
Prawo Kubusia:
5: ~CH=>~P = 6: CH~>P
stąd:
6.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są konieczne ~> by padało (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
6: CH~>P = 5: ~CH=>~P
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p (~> albo =>) q =?
7.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padać
CH=>P =0
Istnienie chmur nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Punkt 8:
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji odwrotnej CH|~>P:
Implikacja odwrotna CH|~>P w logice dodatniej (bo P) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania
Stąd:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1 =1
Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji odwrotnej CH|~>P omawianej w punkcie 5.9
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> padać
CH~~>P = CH*P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH=1) i pada (P=1)
W punkcie 5.9.1 zlokalizowane zdanie W1 jako zdanie B1 będące częścią operatora implikacji odwrotnej CH||~>P
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są konieczne ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W1 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku koniecznego B1: CH~>P będącego częścią operatora implikacji odwrotnej CH||~>P.
cnd
5.8.2 Zdanie bazowe CH~~>~P
Zadanie 5.8.2
Dane jest zdanie:
W2.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Rozwiązanie:
Sprawdzenie definicji zdania bazowego jak w punkcie 5.8.1
Sprawdzenie algorytmu analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach:
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W2.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =?
Na mocy prawa śfinii nasz punkt odniesienia to:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
Zapis zdania W2 w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =?
Punkt 2
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: CH~~>~P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)
2: ~CH~~>~P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i nie pada (~P=1)
3: ~CH~~>P =0 - niemożliwe jest zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
RETURN
Punkt 3
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe (=0) idź do punktu 5
Znalezione zdarzenie niemożliwe:
~CH~~>P =0 - niemożliwe jest zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
5.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padać (~P=1)
~CH=>~P=1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie padało (~P=1), bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Nasz przykład:
Zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~P).
Prawo Kubusia:
5: ~CH=>~P = 6: CH~>P
stąd:
6.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są konieczne ~> by padało (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
6: CH~>P = 5: ~CH=>~P
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p (~> albo =>) q =?
7.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padać
CH=>P =0
Istnienie chmur nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Punkt 8:
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji odwrotnej CH|~>P:
Implikacja odwrotna CH|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania
Stąd:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1 =1
Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji odwrotnej CH|~>P omawianej w punkcie 5.9
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W2.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
W punkcie 5.9.1 zlokalizowane zdanie W2 jako zdanie A1’ będące częścią operatora implikacji odwrotnej CH||~>P
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)
cnd
5.8.3 Zdanie bazowe ~CH~~>~P
Zadanie 5.8.3
Dane jest zdanie:
W3.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może nie padać
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Rozwiązanie:
Sprawdzenie definicji zdania bazowego jak w punkcie 5.8.1
Sprawdzenie algorytmu analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach:
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W3.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może nie padać
~CH~~>~P = ~CH*~P =?
Na mocy prawa śfinii nasz punkt odniesienia to:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
Zapis zdania W3 w zapisie formalnym:
~p~~>~q = ~p*~q =?
Punkt 2
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: ~CH~~>~P =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i nie pada (~P=1)
2: ~CH~~>P =0 - niemożliwe jest zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
RETURN
Punkt 3
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe (=0) idź do punktu 5
Znalezione zdarzenie niemożliwe:
~CH~~>P =0 - niemożliwe jest zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
5.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padać (~P=1)
~CH=>~P=1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie padało (~P=1), bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Nasz przykład:
Zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~P).
Prawo Kubusia:
5: ~CH=>~P = 6: CH~>P
stąd:
6.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są konieczne ~> by padało (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
6: CH~>P = 5: ~CH=>~P
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p (~> albo =>) q =?
7.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padać
CH=>P =0
Istnienie chmur nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Punkt 8:
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji odwrotnej CH|~>P:
Implikacja odwrotna CH|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania
Stąd:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1 =1
Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji odwrotnej CH|~>P omawianej w punkcie 5.9
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W3.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> nie padać
~CH~~>~P =~CH*~P =1 - możliwe jest zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i nie pada (~P=1)
W punkcie 5.9.1 zlokalizowane zdanie W3 jako zdanie B2 będące częścią operatora implikacji odwrotnej CH||~>P
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P=1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby jutro nie padało (~P=1) bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W3 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku wystarczającego => B2: ~CH=>~P
cnd
5.8.4 Zdanie bazowe ~CH~~>P
Zadanie 5.8.4
Dane jest zdanie:
W4.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Rozwiązanie:
Sprawdzenie definicji zdania bazowego jak w punkcie 5.8.1
Sprawdzenie algorytmu analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w zdarzeniach:
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W4.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =?
Na mocy prawa śfinii nasz punkt odniesienia to:
p=CH(chmury)
q=P(pada)
Zapis zdania W4 w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =?
Punkt 2
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując pierwszego zdarzenia niemożliwego.
1: ~CH~~>P =0 - niemożliwe jest zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
RETURN
Punkt 3
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe (=0) idź do punktu 5
Znalezione zdarzenie niemożliwe:
~CH~~>P =0 - niemożliwe jest zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
5.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padać (~P=1)
~CH=>~P=1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie padało (~P=1), bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Nasz przykład:
Zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~P).
Prawo Kubusia:
5: ~CH=>~P = 6: CH~>P
stąd:
6.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są konieczne ~> by padało (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
6: CH~>P = 5: ~CH=>~P
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p (~> albo =>) q =?
7.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na 100% => będzie padać
CH=>P =0
Istnienie chmur nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Punkt 8:
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji odwrotnej CH|~>P:
Implikacja odwrotna CH|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania
Stąd:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1 =1
Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji odwrotnej CH|~>P omawianej w punkcie 5.9
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W4.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
W punkcie 5.9.1 zlokalizowane zdanie W4 jako zdanie B2’ będące częścią operatora implikacji odwrotnej CH||~>P
B2’
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
5.9 Tabela prawdy implikacji odwrotnej CH|~>P
IO.
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Nasz przykład:
IO.
Implikacja odwrotna CH|~>P w logice dodatniej (bo P):
Implikacja odwrotna CH|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 - chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P)
bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
B1: CH~>P =1 - chmury (CH=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1)
bo zabieram chmury (~CH=1) wykluczając padanie (~P=1)
A1B1:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1 = 1*1 =1
Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P w zapisie aktualnym {CH,P}:
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P w zapisie aktualnym:
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: CH=>P =0 = 2:~CH~>~P =0 [=] 3: P~>CH =0 = 4:~P=>~CH =0
A’: 1: p~~>~q =1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: CH~~>~P=1 = [=] = 4:~P~~>CH =1
## ## | ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: CH~>P =1 = 2:~CH=>~P =1 [=] 3: P=>CH =1 = 4:~P~>~CH =1
B’: = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
B’: = 2:~CH~~>P =0 [=] 3: P~~>~CH=0
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1: A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
5.9.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P
Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o CH i ~CH:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) - co może się wydarzyć jeśli będzie pochmurno (CH=1)?
A2B2: ~CH|=>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) - co się stanie jeśli nie będzie pochmurno (~CH=1)?
A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (CH=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
Kolumna A1B1 to odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są konieczne ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1: CH=>P=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)
Czytamy:
CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)
~P=1 - prawdą jest (=1) że nie pada (~P)
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~CH~>~P =0 - brak chmur nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla nie padania
B2: ~CH=>~P =1 - brak chmur jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania
A2B2: ~CH|=>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) =~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padało (~P=1) - mówi o tym zdanie B2.
Kolumna A2B2 to odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P=1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby jutro nie padało (~P=1) bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
Brak chmur (~CH=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
Czytamy:
~CH=1 - prawdą jest (=1), że nie ma chmur (~CH)
P=1 - prawdą jest (=1), że pada
Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej CH||~>P jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie CH (są chmury) i gwarancja matematyczna po stronie ~CH (nie ma chmur) co widać w powyższej analizie.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~CH||=>~P to układ równań logicznych:
A2B2: ~CH|=>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) - co się stanie jeśli nie będzie pochmurno (~CH=1)?
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) - co może się wydarzyć jeśli będzie pochmurno (CH=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~CH||=>~P w logice ujemnej (bo ~P) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 17:03, 14 Cze 2021, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 6:45, 15 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - ostatnie czytanie!
Część XIV
Po raz ostatni przed premierą czytam od początku algebrę Kubusia likwidując literówki i udoskonalając przekaz.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-brudnopis,18263.html#582223
Algebra Kubusia
5.11 Zdania bazowe w operatorze implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach
Spis treści
5.10 Zdanie bazowe 2
5.10.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q” 3
5.10.2 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 5
5.11 Zdania bazowe w operatorze implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach 6
5.11.1 Zdanie bazowe P2~~>P8 7
5.11.2 Zdanie bazowe P2~~>~P8 11
5.11.3 Zdanie bazowe ~P2~~>~P8 13
5.11.4 Zdanie bazowe ~P2~~>P8 16
5.12 Tabela prawdy implikacji prostej odwrotnej P2|~>P8 18
5.12.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach 19
Wstęp:
Problem budowy operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8 to matematyczny poziom ucznia I klasy LO.
W praktyce wiedza czysto matematyczna w skład jakiego operatora logicznego wchodzi dowolne prawdziwe zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest do niczego potrzebna. Każdy człowiek od 5-cio latka poczynając non stop stosuje tu poniższe prawa logiki matematycznej nie mając najmniejszego pojęcia co to jest operator logiczny np. P2||~>P8.
W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> lub element wspólny zbiorów ~~>
Zdarzenia:
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
Zbiory:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
5.10 Zdanie bazowe
Definicja zdania bazowego:
Zdanie bazowe to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia) spełniające poniższe warunki:
1.
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” żadne z pojęć p, q, ~p i ~q nie może być zbiorem pustym, co gwarantuje rozpoznawalność tych pojęć.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą należeć do wspólnej dziedziny.
Algorytm analizy zdania bazowego:
Algorytm analizy dowolnego zdania bazowego „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q pozwala na jednoznaczne rozstrzygnięcie w skład jakiego operatora logicznego wchodzi badane zdanie bazowe bez względu na jego prawdziwość/fałszywość.
Dowolne zdanie bazowe „Jeśli p to q” może wchodzić tylko i wyłącznie w skład jednego z pięciu rozłącznych operatorów logicznych.
1. p||=>q - operator implikacji prostej
2. p||~>q - operator implikacji odwrotnej
3. p|<=>q - operator równoważności
4. p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja równoważności p<=>q:
5. p|$q - operator „albo”($)
Z faktu iż powyższe operatory są rozłączne wynika, że dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” nie może należeć jednocześnie do dwóch, jakichkolwiek operatorów.
| Kod: |
T1
Definicje operatorów implikacyjnych które niebawem poznamy:
1: Y=(p||=>q) =(p|=>q) = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)= ~p*q # ~Y=p+~q
##
2: Y=(p||~>q) =(p|~>q) =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*~q # ~Y=~p+q
##
3: Y=(p|<=>q) =(p<=>q) = (A1:p=>q)* (B1: p~>q) =p*q+~p*~q # ~Y=p*~q+~p*q
##
4: Y=(p||~~>q)=(p|~~>q) =~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =0 # ~Y=1
##
5: Y=(p|$q) = (p$q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p*~q+~p*q # ~Y=p*q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawo Kubusia:
p=>q [=] ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczna są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
W tabeli T1 doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Kluczowe dla poprawnego działania algorytmu jest prawo śfinii.
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
5.10.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q”
Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q”
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie bazowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Punkt 2
Zbiory:
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia p i q poszukując zbioru pustego (=0)
p~~>q=p*q =0
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia p i q poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)
p~~>q=p*q =0
RETURN
Punkt 3
Zbiory:
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Zdarzenia:
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe ~~> idź do punktu 5
Inaczej:
Punkt 4
Zbiory:
Nie znaleziono zbioru pustego []
Zdarzenia:
Nie znaleziono zdarzenia niemożliwego ~~>
Operator logiczny zlokalizowany, to operator chaosu p||~~>q
Idź do operatora chaosu p||~~>q
STOP
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
(~)p=>(~)q =1
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p (~> albo =>) q =?
Punkt 8
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowaną kolumnę A1B1: p|?q będącą częścią operatora logicznego p||?q
Idź do tabeli prawdy zlokalizowanego operatora logicznego
STOP
Przedstawiony wyżej algorytm to algorytm podstawowy.
Uwaga:
Matematycznie możliwy jest alternatywny algorytm przeciwny gdzie w prawie śfinii po „Jeśli ..” zapisujemy q zaś po „to…” zapisujemy p, jednak aby matematyk A dogadał się z matematykiem B obaj muszą stosować identyczny, uzgodniony wzajemnie algorytm: podstawowy albo przeciwny.
W logice matematycznej za domyślny przyjmujemy algorytm podstawowy dzięki czemu nie musimy sygnalizować światu zewnętrznemu który algorytm stosujemy.
Ponieważ algorytm podstawowy jest z definicji algorytmem domyślnym, możemy pominąć słówko „podstawowy” w „algorytmie podstawowym”.
5.10.2 Operator implikacji odwrotnej p||~>q
IO.
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1: A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja symboliczna operatora implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
| Kod: |
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
B1: p~> q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1’: p~~>~q=1 - fałszywy A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’
Kolumna A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’
|
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Na mocy prawa Kobry definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q wyrażona zdaniami bazowymi przyjmuje postać.
| Kod: |
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
B1: p~~> q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
A1’: p~~>~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p~~>~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
B2’:~p~~>q =0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q |
5.11 Zdania bazowe w operatorze implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach
W sprawdzaniu poprawności algorytmu analizy dowolnego zdania bazowego postępujemy identycznie jak w sprawdzaniu programu komputerowego. Na wejściu podajemy dane co do których jesteśmy pewni do jakiego operatora logicznego powinien nas algorytm zaprowadzić sprawdzając czy rzeczywiście tak się stanie.
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 omówiony został w punkcie 5.4.1
Sprawdzenia poprawności działania algorytmu analizy dowolnego zdania bazowego w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q wykonamy na konkretnym przykładzie, by łatwiej było zrozumieć.
p = P2 = [2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q = P8 = [8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Definicja operatora implikacji odwrotnej P2||~>P* w zdaniach bazowych to odpowiedź na pytania o P2 i ~P2:
| Kod: |
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli liczba będzie podzielna przez 2 (P2=1)?
B1: P2~~>P8 =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów P2 i P8 np. 8
A1’: P2~~>~P8=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów P2 i ~P8 np. 2
A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli liczba nie będzie podzielna przez 2 (~P2=1)?
B2: ~P2~~>~P8=1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~P2 i ~P8 np. 1
B2’:~P2~~>P8 =0 - nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~P2 i P8
|
5.11.1 Zdanie bazowe P2~~>P8
Zadanie 5.11.1
Dane jest zdanie bazowe:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Rozwiązanie:
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie bazowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Na początek sprawdzamy czy zdanie W1 spełnia definicję zdania bazowego:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
1.
Na mocy prawa śfinii mamy:
Poprzednik p definiuje nam zbiór liczb podzielnych przez 2:
p = P2=[2,4,6,8..]
Następnik q definiuje zbiór liczb podzielnych przez 8:
q =P8=[8,16,24..]
Przyjmujemy wspólną dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jak ich uzupełnienia do dziedziny:
~p = ~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
~q = ~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
2.
Matematycznie zachodzi definicja wspólnej dziedziny LN zarówno dla P2 jak i dla P8.
Definicja dziedziny dla P2:
P2+~P2 = LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne
Definicja dziedziny dla P8:
P8+~P8 = LN =1 - zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P8
P8*~P8 =[] =0 - zbiory P8 i ~P8 są rozłączne
Definicja zdania bazowego:
Zdanie bazowe to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia) spełniające poniższe warunki:
1.
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” żadne z pojęć p, q, ~p i ~q nie może być zbiorem pustym (zdarzeniem niemożliwym), co gwarantuje rozpoznawalność tych pojęć.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą należeć do wspólnej dziedziny.
Doskonale widać, że zdanie W1: P2~~>P8 spełnia definicję zdania bazowego bowiem zbiory P2, P8, ~P2 i ~P8 nie są puste oraz spełniona jest definicja wspólnej dziedziny dla P2 i P8.
Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~~>P8 = P2*P8 =?
Na mocy prawa śfinii nasz punkt odniesienia to:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Zapis zdania W1 w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =?
Poprzednik p mówi tu o zbiorze liczb podzielnych przez 2, natomiast następnik q o zbiorze liczb podzielnych przez 8.
Na potrzeby analizy musimy obliczyć wszystkie możliwe przeczenia zbiorów.
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (zbiór liczb parzystych)
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny LN:
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór liczb nieparzystych)
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
Matematycznie zachodzi definicja wspólnej dziedziny LN zarówno dla P8 jak i dla P2.
Definicja dziedziny dla P2:
P2+~P2 = LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne
Definicja dziedziny dla P8:
P8+~P8 = LN =1 - zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P8
P8*~P8 =[] =0 - zbiory P8 i ~P8 są rozłączne
Definicja zdania bazowego:
Zdanie bazowe to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia) spełniające poniższe warunki:
1.
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” żadne z pojęć p, q, ~p i ~q nie może być zbiorem pustym (zdarzeniem niemożliwym), co gwarantuje rozpoznawalność tych pojęć.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą należeć do wspólnej dziedziny.
Doskonale widać, że zdanie B1: P2~~>P8 spełnia definicję zdania bazowego bowiem zbiory P8, P2, ~P2 i ~P8 nie są puste oraz spełniona jest definicja wspólnej dziedziny dla P8 i P2.
Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: P2~~>P8 =1 - bo istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów P2=[2,4,6,8..24..] i P8=[8,16,24..] np.24
2: P2~~>~P8 =1 - istnieje (=1) wspólny element ~~>: P2=[2,4,6,8..24..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np.2
3: ~P2~~>~P8=1 - Istnieje (=1) wspólny element ~~>: ~P2=[1,3,5,7,9..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np.1
4: ~P2~~>P8 =0 - bo zbiory ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..] są rozłączne
RETURN
Niezbędny komentarz:
Fałszywość punktu 4 musimy udowodnić
Najprostszy dowód to:
Dowolny zbiór liczb nieparzystych (tu ~P2) jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb parzystych (tu P8)
Nie zawsze w tak prosty sposób daje się udowodnić rozłączność zbiorów nieskończonych.
Co robić gdy nie jest tak prosto?
Prawami logiki matematycznej należy poszukać najprostszego warunku wystarczającego => bo taki warunek zawsze dowodzi się najprościej.
a)
Na początek zakładamy fałszywość kontrprzykładu 4 z czego wynika prawdziwość warunku wystarczającego który musimy udowodnić tu:
4a: ~P2=>~P8 =?
4a.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
4a: ~P2=>~P8 =?
4a: ~p=>~q =? - to samo w zapisie formalnym:
Jak widzimy nie jest to najprostszy warunek wystarczający =>, najprostszy dostaniemy po skorzystaniu z prawa kontrapozycji:
4a: ~p=>~q = 4b: q=>p
Zdanie 4b brzmi:
4b.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
q=>p =1 - to samo w zapisie formalnym:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Z dowodem prawdziwości zdania 4b matematyk klasyczny nie będzie już miał problemów.
Nasze prawo kontrapozycji:
4b: P8=>P2 = 4a: ~P2=>~P8
To samo w zapisie formalnym:
4b: q=>p = 4a: ~p=>~q
Prawdziwość warunku wystarczającego 4a wymusza fałszywość kontrprzykładu 4a’ a dokładnie o dowód fałszywości 4a’ nam chodziło.
4a’: ~P2~~>P8 = [] =0 - bo zbiory ~P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] są rozłączne
cnd
Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
~P2~~>P8 =0 - bo zbiór ~P2=1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem P8=[8,16,24..]
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to na 100% => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Prawdziwość warunku wystarczającego 5 udowodniliśmy w punkcie 2 dowodząc pośrednio fałszywość kontrprzykładu:
~P2~~>P8=~P2*P8 =[] =0 - bo zbiory ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..] są rozłączne
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice ujemnej (bo ~P8) zatem korzystamy z prawa Kubusia:
5: ~P2=>~P8 = 6: P2~>P8
Stąd:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1
Na mocy prawa Kubusia tego faktu nie musimy dowodzić, ale możemy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=0) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Dowód tożsamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8, bo nie każda liczba podzielna przez 2 jest podzielna przez 8 (np. 2)
cnd
Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd:
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji odwrotnej zapisanej w punkcie 5.12
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
P8~~>P2 = P8*P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] ma element wspólny ~~> ze zbiorem P2=[2,4,6,8..]
W punkcie 5.12.1 lokalizujemy zdanie W1 jako zdanie B1 będące częścią operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~> być podzielna przez 8 (P8=1)
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona, bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W1 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku koniecznego B1: P2~>P8 będącego częścią operatora implikacji prostej odwrotnej P2||~>P8
cnd
5.11.2 Zdanie bazowe P2~~>~P8
Zadanie 5.11.2
Dane jest zdanie bazowe:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Rozwiązanie:
Sprawdzenie definicji zdania bazowego jak w punkcie 5.11.1
Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8 = P2*~P8 =?
Na mocy prawa śfinii nasz punkt odniesienia to:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Zapis zdania W2 w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =?
Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: P2~~>~P8 =1 - istnieje (=1) wspólny element ~~>: P2=[2,4,6,8..24..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np.2
2: ~P2~~>~P8=1 - Istnieje (=1) wspólny element ~~>: ~P2=[1,3,5,7,9..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np.1
3: ~P2~~>P8 =0 - bo zbiory ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..] są rozłączne
RETURN
Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
~P2~~>P8 =0 - bo zbiór ~P2=1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem P8=[8,16,24..]
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to na 100% => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice ujemnej (bo ~P8) zatem korzystamy z prawa Kubusia:
5: ~P2=>~P8 = 6: P2~>P8
Stąd:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1
Na mocy prawa Kubusia tego faktu nie musimy dowodzić, ale możemy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=0) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Dowód tożsamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8, bo nie każda liczba podzielna przez 2 jest podzielna przez 8 (np. 2)
cnd
Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd:
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji odwrotnej zapisanej w punkcie 5.12
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8=1)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1 - bo P2=[2,4,6,8..] ma element wspólny ~~> z ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np.2
W punkcie 5.12.1 zlokalizowane zdanie W2 jako zdanie A1’ będące częścią operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8.
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P2~~>~P8=P2*~P8 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest (=1) spełniona bo zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6..9..] mają co najmniej jeden element wspólny np. 2
cnd
5.11.3 Zdanie bazowe ~P2~~>~P8
Zadanie 5.11.3
Dane jest zdanie bazowe:
W3.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Rozwiązanie:
Sprawdzenie definicji zdania bazowego jak w punkcie 5.11.1
Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W3.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
~P2~~>~P8 = ~P2*~P8 =?
Na mocy prawa śfinii nasz punkt odniesienia to:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Zapis zdania W3 w zapisie formalnym:
~p~~>~q = ~p*~q =?
Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: ~P2~~>~P8=1 - Istnieje (=1) wspólny element ~~>: ~P2=[1,3,5,7,9..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np.1
2: ~P2~~>P8 =0 - bo zbiory ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..] są rozłączne
RETURN
Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
~P2~~>P8 =0 - bo zbiór ~P2=1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem P8=[8,16,24..]
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to na 100% => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice ujemnej (bo ~P8) zatem korzystamy z prawa Kubusia:
5: ~P2=>~P8 = 6: P2~>P8
Stąd:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1
Na mocy prawa Kubusia tego faktu nie musimy dowodzić, ale możemy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=0) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Dowód tożsamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8, bo nie każda liczba podzielna przez 2 jest podzielna przez 8 (np. 2)
cnd
Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd:
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji odwrotnej zapisanej w punkcie 5.12
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W3.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8=1)
~P2~~>~P8 = ~P2*~P8 =1 - bo ~P2=[1,3,5,7..] ma element wspólny ~~> z ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np.1
W punkcie 5.12.1 lokalizujemy zdanie W3 jako zdanie B2 będące częścią operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8.
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
~P2=>~P8 =1
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 wystarcza => dla jej niepodzielności przez 8 bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W3 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8 będącego częścią operatora implikacji prostej odwrotnej P2||~>P8
cnd
5.11.4 Zdanie bazowe ~P2~~>P8
Zadanie 5.11.4
Dane jest zdanie bazowe:
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Rozwiązanie:
Sprawdzenie definicji zdania bazowego jak w punkcie 5.11.1
Sprawdzenie algorytmu analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” w zbiorach:
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to może być podzielna przez 8 (P8=1)
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =?
Na mocy prawa śfinii nasz punkt odniesienia to:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Zapis zdania W4 w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =?
Punkt 2
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: ~P2~~>P8 =0 - bo zbiory ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..] są rozłączne
RETURN
Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziony zbiór pusty to:
~P2~~>P8 =0 - bo zbiór ~P2=1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem P8=[8,16,24..]
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Fałszywość kontrprzykładu 3 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego 5
5.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to na 100% => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 zapisane jest w logice ujemnej (bo ~P8) zatem korzystamy z prawa Kubusia:
5: ~P2=>~P8 = 6: P2~>P8
Stąd:
6.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1
Na mocy prawa Kubusia tego faktu nie musimy dowodzić, ale możemy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=0) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Dowód tożsamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8, bo nie każda liczba podzielna przez 2 jest podzielna przez 8 (np. 2)
cnd
Punkt 8
Zdania 6 i 7 lokalizują nam definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd:
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
Wniosek:
Idź do tabeli prawdy implikacji odwrotnej zapisanej w punkcie 5.12
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8=1)
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =0 - bo ~P2=[1,3,5,7..] i P8=[8,16,24..] to zbiory rozłączne.
W punkcie 5.12.1 lokalizujemy zdanie W4 jako zdanie B2’ będące częścią operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8.
B2’
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8=1)
~P2~~>P8=~P2*P8 =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem P8=[8,16, 24..]
cnd
5.12 Tabela prawdy implikacji prostej odwrotnej P2|~>P8
IO.
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Nasz przykład:
IO.
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej P2|~>P*:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2 nie jest (=0) podzbiorem P8
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2 jest (=1) nadzbiorem ~>P8
Stąd mamy:
A1B1:
P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p||~>q:
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zapisie aktualnym:
Punkt odniesienia na mocy prawa śfinii to:
p=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8 - zbiór liczba podzielnych przez 8
Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zapisie aktualnym {P2,P8}:
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2 nie jest (=0) podzbiorem P8
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2 jest (=1) nadzbiorem ~>P8
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: P2=>P8 =0 = 2:~P2~>~P8=0 [=] 3: P8~>P2 =0 = 4:~P8=>~P2=0
A’: 1: p~~>~q =1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: P2~~>~P8=1 = [=] = 4:~P8~~>P2=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: P2~>P8 =1 = 2:~P2=>~P8=1 [=] 3: P8=>P2 =1 = 4:~P8~>~P2=1
B’: = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
B’: = 2:~P2~~>P8=0 [=] 3: P8~~>~P2=0
Równanie operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
A1B1: A2B2:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|=>~q
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
5.12.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach
Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2 nie jest (=0) podzbiorem P8
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2 jest (=1) nadzbiorem ~>P8
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielna przez 2 (P2=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
Kolumna A1B1 to odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~> być podzielna przez 8 (P8=1)
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona, bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
LUB
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1 mus być prawdą.
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P2~~>~P8=P2*~P8 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest (=1) spełniona bo zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6..9..] mają co najmniej jeden element wspólny np. 2
W zdaniu A1’ nie zachodzi ani warunek wystarczający =>, ani też konieczny ~> i tego faktu nie musimy dowodzić na mocy algebry Kubusia.
A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P2~>~P8 =0 - bo ~P2=[1,3,5,7,9..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
B2: ~P2=>~P8 =1 - bo ~P2=[1,3,5,7,9..] jest (=1) podzbiorem => ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
A2B2: ~P2|=>~P8 = ~(A2:~P2~>~P8)*(B2: ~P2=>~P8)=~(0)*1=1*1=1
stąd:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba nie będzie podzielna przez 8 - mówi o tym zdanie B2.
Kolumna A2B2 to odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
~P2=>~P8 =1
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 wystarcza => dla jej niepodzielności przez 8 bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8=1)
~P2~~>P8=~P2*P8 =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem P8=[8,16, 24..]
Dowolny zbiór liczb nieparzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb parzystych.
cnd
Podsumowanie:
Cechą charakterystyczną operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie liczb podzielnych przez 2 (zdania B1 i A1’) oraz gwarancja matematyczna => po stronie liczb niepodzielnych przez 2 (zdanie B2)
Doskonale to widać w analizie wyżej.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~P2||=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P8) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 w logice dodatniej (bo P8) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Kolejność zdań tworzących operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 również jest bez znaczenia, tak więc zdania B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w dowolnej kolejności.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 6:46, 15 Cze 2021, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
Kubuś
Dołączył: 03 Paź 2017
Posty: 872
Przeczytał: 0 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 7:02, 15 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Mały przerywnik ...
http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-hideu-js-script,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-31325.html#600623
| Kubuś napisał: | JWP Barycki,
Czy zdaje sobie Pan sprawę że będąc fanatykiem "implikacji materialnej" jest Pan pacjentem zakładu zamkniętego bez klamek?
| Bóg ŁP JWPB napisał: |
..to ja w sposób ściśle matematycznie naukowy udowodnię całej ludzkości, że Płock nie leży nad Wisłą, co da ludzkości 100% gwarancji matematycznej na zwycięstwo AK nad plugawą matematyką plugawych matematyków ziemskich. |
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593837
Twierdzenie Smoka Wawelskiego:
Dowolny ziemski matematyk, który twierdzi iż definicja „implikacji materialnej” jest matematycznie poprawna w naszym Wszechświecie żywym i martwym (w tym w matematyce) jest pacjentem zakładu zamkniętego bez klamek.
Innymi słowy:
Ziemska interpretacja równoważności p<=>q z Wikipedii to straszliwie ciężki przypadek schizofrenii.
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Równoważność p<=>q (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym poprzednik p jest zarówno warunkiem koniecznym ~>, jak i wystarczającym => dla następnika q.
To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy (wtw), gdy...
Przykłady równoważności prawdziwych:
Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy gdy 2 + 2 = 4
2+2=4 wtedy i tylko wtedy gdy Płock leży nad Wisłą
etc
|
Zauważmy, że wytłuszczona część definicji równoważności p<=>q z Wikipedii jest poprawna i identyczna jak w algebrze Kubusia … ale przykłady równoważności prawdziwych z Wikipedii to jedno wielkie, potwornie śmierdzące gówno.
Puenta ziemskiej definicji równoważności p<=>q z Wikipedii:
Ziemska definicja równoważności p<=>q to straszliwie ciężki przypadek schizofrenii - zdradzają to przykłady z Wikipedii.
Rozważmy pierwszy przykład:
Na mocy wytłuszczonej, poprawnej definicji równoważności z Wikipedii ziemscy twardogłowi „matematycy” zapisują:
RA1B1:
Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy, gdy 2 + 2 = 4
TZ<=>224 <=> (A1: TZ=>224)*(B1: TZ~>224) = 1*1 =1
Jak widzimy, ziemski „matematyk” twierdząc, że powyższa równoważność RA1B1 jest prawdziwa musi udowodnić prawdziwość zdań składowych A1 i B1.
Dowód prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1.
Jeśli trawa jest zielona to na 100% => 2+2=4
TZ=>224 =1
Z faktu iż trawa jest zielona wynika => że 2+2=4
Innymi słowy:
Zieloność trawy jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby 2+2=4
Jak prawdziwość warunku wystarczającego => A1 dowodzą ziemscy „matematycy”?
Oczywiście: nie wiem!
Po odpowiedź należy się udać do zakładu zamkniętego bez klamek, będącego domem dla absolutnie wszystkich fanatyków „implikacji materialnej”, czyli ziemskich twardogłowych matematyków.
Dowód prawdziwości warunku koniecznego ~> B1:
B1.
Jeśli trawa jest zielona to na 100% ~> 2+2=4
TZ~>224 =1
Zieloność trawy jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby 2+2=4
Jak prawdziwość warunku koniecznego ~> B1 dowodzą ziemscy „matematycy”?
Oczywiście: nie wiem!
Po odpowiedź należy się udać do zakładu zamkniętego bez klamek, będącego domem dla absolutnie wszystkich fanatyków „implikacji materialnej”, czyli ziemskich twardogłowych matematyków.
Wróćmy ze szpitala psychiatrycznego, którym jest schizofreniczne rozumienie poprawnej definicji równoważności p<=>q w Wikipedii do algebry Kubusia, czyli do świata zdrowych na umyśle, normalnych matematyków. |
Ostatnio zmieniony przez Kubuś dnia Wto 7:03, 15 Cze 2021, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
Kubuś
Dołączył: 03 Paź 2017
Posty: 872
Przeczytał: 0 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 9:31, 17 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Kolejny przerywnik ...
http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-hideu-js-script,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-31350.html#601135
| Kubuś napisał: | | Aurelka Bocianek napisał: |
| Kubuś napisał: | Można, pod warunkiem że nie będzie to Malina.
Jak Malina założy tu bloga i zacznie głosić swoje mądrości to... |
Dziwne, oczekujesz tolerancji dla własnych poglądów kneblując usta innym.
Może nie głoś już haseł o wyjątkowości tego miejsca. |
Zgadza się, to była uwaga ironiczna, bo sam w oczach ziemskich matematyków jestem płaskoziemcą wierzącym iż "ziemia jest płaska".
Mam pewnie identyczną pewność jak Malina że jeśli chodzi o logikę matematyczną to wszyscy ziemscy matematycy są pacjentami zakładu zamkniętego bez klamek - ich bóg, w postaci gówna zwanego "implikacją materialną" jest tego dowodem.
Problem w tym, że kończyłem studia elektroniczne gdzie algebra Boole'a była na najwyższym światowym poziomie, mam więc w tym kierunku wykształcenie, a jakie wykształcenie medyczne ma Malina - jakie studia kończyła.
Najśmieszniejszy jest fakt, że ludzkość nie rozumie nawet algebry Boole'a!
Dowód:
Ziemska algebra Boole'a jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych, czego twardy, czysto matematyczny dowód jest w tym linku:
4.0 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a |
http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-hideu-js-script,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-31350.html#601143
| Anonymous napisał: | | BRAWO Kubusiu. Ty jesteś zarówno diabłem na końcu szpilki jak i szpilką. A ludzkość was nie rozumie, nie rozumie ani szpilki ani diabła. |
Ostatnio zmieniony przez Kubuś dnia Czw 9:42, 17 Cze 2021, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
Kubuś
Dołączył: 03 Paź 2017
Posty: 872
Przeczytał: 0 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 22:01, 18 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Jeszcze jeden przerywnik.
http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-hideu-js-script,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-31375.html#601407
| Kubuś napisał: | | Bóg ŁP JWPB napisał: | | desca literacca napisał: | | tak na prawdę Was lubię |
To, że mnie lubisz Krowo, nie jest żadną twoją zasługa, plugawa kanalio, wszyscy na tej planecie mnie lubią, a cudowne panie upojone winem, kochają mnie do szaleństwa. Musisz mnie lubić, plugawa kanalio, bo takie jest naturalne prawo naszego wszechświata, na co, nasz drogi Kubuś, daje nam 100% gwarancji matematycznej. |
Naturalne prawo Wszechświata to:
Szanuj przyjaciół - bij wrogów
Innymi słowy:
To że pan siebie mianuje przyjacielem Krowy jest bez znaczenia.
Ważne jest jak Krowa pana traktuje.
Zapytajmy zatem Krowę:
Czy JWP Barycki jest twoim przyjacielem, czy wrogiem?
JWP Barycki:
Nawet jeśli Krowa zadeklaruje iż jest pan jego przyjacielem to i tak nie ma pan 100% pewności iż tak jest w istocie, bo krowa ma wolą wolę, co oznacza, że może gwałcić dowolne prawa logiki matematycznej obowiązujące w świecie martwym.
Innymi słowy:
Jeśli Krowa chce pana zabić, to korzystnie jest mu udawać iż pan jesteś jego przyjacielem - bo ufnego przyjaciela łatwiej zabić, jest bezbronny wobec bezwzględnego zabójcy np. Krowy
... i takie oto jest naturalne prawo naszego Wszechświata.
Prawo to znają wszystkie istoty żywe, nie tylko człowiek.
Fałszywe obietnice to standard w świecie żywym!
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
Żółw sępi żywi się w zasadzie wszystkim, co uda mu się upolować. Jego silne szczęki radzą sobie nawet z muszlami dużych ślimaków oraz małży). Ofiarę wabi za pomocą mięsistego wyrostka na języku. Gdy ta znajdzie się w jego zasięgu, żółw szybko rzuca się na swą zdobycz i zaciska na niej szczęki
P.S.
Krowa może Panu obiecać "złote góry" - pan skuszony obietnicą może tego chcieć, ale Krowa zamiast dać panu wymarzone "złote góry" może zdzielić pana młotkiem w makówkę ... i po panu Baryckim.
Jak się teraz panu podoba opisane wyżej na przykładach naturalne prawo Wszechświata gwarantowane przez algebrę Kubusia? |
[link widoczny dla zalogowanych]
Boże, strzeż mnie od przyjaciół, z wrogami poradzę sobie sam
Armand Jean de Richelieu (1585–1642) – książę, kardynał, francuski mąż stanu, pierwszy minister Francji od 1624.
http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-hideu-js-script,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-31400.html#601487
| Kubuś napisał: |
[link widoczny dla zalogowanych]
Boże, strzeż mnie od przyjaciół, z wrogami poradzę sobie sam
Armand Jean de Richelieu (1585–1642) – książę, kardynał, francuski mąż stanu, pierwszy minister Francji od 1624.
[link widoczny dla zalogowanych]
Aby zapobiec rodzinnym walkom o tron, sułtan Mehmed II zalegalizował w XV w. zabijanie rodzeństwa tureckich władców. Czas obowiązywania tego okrutnego dekretu to okres… największego rozkwitu potęgi osmańskiej.
Zwycięzcą morderczej, wieloletniej wojny o panowanie nad Turcją okazał się Mehmed, któremu udało się w końcu zjednoczyć wszystkie ziemie Osmanów. W 1413 r., po śmierci pozostałych braci, został sułtanem Mehmedem I.
Na dworze zwycięzcy mówiło się o jego zabitych braciach wyłącznie źle. W takiej atmosferze wyrastali potomkowie sułtana. Od najmłodszych lat słyszeli, że posiadanie rodzeństwa płci męskiej to prawdziwe przekleństwo dla władcy i wielkie zagrożenie dla kraju. Wnuk Mehmeda I, Mehmed II nazwany później Zdobywcą, tak sobie wziął do serca te nauki, że postanowił nadać sankcję prawną bratobójstwu, aby w ten sposób władcy mogli zabezpieczyć się przed buntami i rewoltami.
Nie było to proste, gdyż przepisy osmańskiego prawa świeckiego – kanun – musiały być zgodne z islamskim prawem szariatu. Mehmed II, zdobywca Konstantynopola (w 1453 r.) i twórca imperium osmańskiego, miał jednak tak wielki posłuch i autorytet, że nie zważał na obiekcje islamskich mędrców. Uparł się, by wprowadzić nieludzkie prawo, i uczynił to w 1477 r. „Którykolwiek z moich potomków odziedziczy z woli Allaha tron sułtana, powinien zabić swoich braci w interesie zachowania porządku na świecie. Większość ulemów zgadza się z tym, niechajże więc takoż się dzieje” – orzekł monarcha w wydanym przez siebie dekrecie kanun. |
Ostatnio zmieniony przez Kubuś dnia Sob 11:03, 19 Cze 2021, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 5:46, 20 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - ostatnie czytanie!
Część XV
Po raz ostatni przed premierą czytam od początku algebrę Kubusia likwidując literówki i udoskonalając przekaz.
Kontynuujemy czytanie ...
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-brudnopis,18263.html#582733
Algebra Kubusia - wykład rozszerzony
6.0 Operatory implikacyjne - równoważność p|<=>q
Spis treści
6.0 Operatory implikacyjne - równoważność p|<=>q 1
6.1. Definicja podstawowa równoważności p<=>q 1
6.2 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć 10
6.2.1 Diagram równoważności w zbiorach 12
6.3 Definicja równoważności p<=>q 15
6.3.1 Definicja operatora równoważności p|<=>q 16
6.3.2 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q 18
6.4 Odtworzenie definicji operatora równoważności p|<=>q z definicji ~~> 21
Dlaczego to jest wykład rozszerzony?
Wiedza podstawowa w niniejszym rozdziale w temacie operatora równoważności p|<=>q jest kopią rozdziału 3.3 który już przerobiliśmy. Jedyna różnica polega na wzbogaceniu znanego nam już operatora równoważności p|<=>q o jego związki ze spójnikami „i”(*) i „lub”(+).
W języku potocznym żaden człowiek nie przechodzi z operatora równoważności p<=>q opisanego zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” do równoważności wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+).
Z opisanego wyżej powodu niniejszy rozdział trafia do rozszerzonej algebry Kubusia.
6.0 Operatory implikacyjne - równoważność p|<=>q
Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”
W logice matematycznej rozróżniamy cztery podstawowe operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja operatora równoważności:
p|$q - operator „albo”($)
Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>
6.1. Definicja podstawowa równoważności p<=>q
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór => = relacja nadzbioru =>
Definicja podstawowa równoważności p<=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd mamy:
Definicja tożsama równoważności p<=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno relacji podzbioru =>, jak i relacji nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> mamy:
Każdy zbiór jest (=1) podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest (=1) nadzbiorem ~> siebie samego
Na mocy powyższego mamy:
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (i odwrotnie)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Innymi słowy:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwa jest równoważność p<=>q (i odwrotnie)
Dowód iż dla p=q każda równoważność p<=>q jest prawdziwa:
Definicja równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
stąd dla p=q mamy:
p<=>p = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) = 1*1 =1
bo:
A1: p=>p =1 - każdy zbiór jest (=1) podzbiorem => siebie samego
B1: p~>p =1 - każdy zbiór jest (=1) nadzbiorem ~> siebie samego
cnd
Przykład:
Definicja równoważności w zapisie formalnym {p, q}:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Podstawmy następujące p=q:
p = P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q = P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Stąd mamy równoważność <=> prawdziwą w zapisie aktualnym {P8, P8}:
RA1B1:
Dowolna liczba jest podzielna przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy jest podzielna przez 2
P2<=>P2 = (A1: P2=>P2)*(B1: P2~>P2) =1*1 =1
bo:
A1: P2=>P2 =1 - każdy zbiór jest (=1) podzbiorem => siebie samego
B1: P2~>P2 =1 - każdy zbiór jest (=1) nadzbiorem ~> siebie samego
cnd
Prawą stronę czytamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla jej podzielności przez 2
P2<=>P2 = (A1: P2=>P2)*(B1: P2~>P2) =1*1 =1
Podsumowując do zapamiętania!
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (i odwrotnie)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Innymi słowy:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwa jest równoważność p<=>q (i odwrotnie)
Zauważmy, że powyższa definicja tożsamości zbiorów p=q to Armagedon ziemskiej logiki „matematycznej”!
Twierdzenie Smoka Wawelskiego:
Dowolny ziemski matematyk, który twierdzi iż definicja „implikacji materialnej” jest matematycznie poprawna w naszym Wszechświecie żywym i martwym (w tym w matematyce) jest pacjentem zakładu zamkniętego bez klamek.
Innymi słowy:
Ziemska interpretacja równoważności p<=>q z Wikipedii to straszliwie ciężki przypadek schizofrenii.
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Równoważność p<=>q (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym poprzednik p jest zarówno warunkiem koniecznym ~>, jak i wystarczającym => dla następnika q.
To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy (wtw), gdy...
Przykłady równoważności prawdziwych:
Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy gdy 2 + 2 = 4
2+2=4 wtedy i tylko wtedy gdy Płock leży nad Wisłą
etc
|
Zauważmy, że wytłuszczona część definicji równoważności p<=>q z Wikipedii jest poprawna i identyczna jak w algebrze Kubusia … ale przykłady równoważności prawdziwych z Wikipedii to jedno wielkie, potwornie śmierdzące gówno.
Puenta ziemskiej definicji równoważności p<=>q z Wikipedii:
Ziemska definicja równoważności p<=>q to straszliwie ciężki przypadek schizofrenii - zdradzają to przykłady z Wikipedii.
Rozważmy pierwszy przykład:
Na mocy wytłuszczonej, poprawnej definicji równoważności z Wikipedii ziemscy twardogłowi „matematycy” zapisują:
RA1B1:
Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy, gdy 2 + 2 = 4
TZ<=>224 <=> (A1: TZ=>224)*(B1: TZ~>224) = 1*1 =1
Jak widzimy, ziemski „matematyk” twierdząc, że powyższa równoważność RA1B1 jest prawdziwa musi udowodnić prawdziwość zdań składowych A1 i B1.
Dowód prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1.
Jeśli trawa jest zielona to na 100% => 2+2=4
TZ=>224 =1
Z faktu iż trawa jest zielona wynika => że 2+2=4
Innymi słowy:
Zieloność trawy jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby 2+2=4
Jak prawdziwość warunku wystarczającego => A1 dowodzą ziemscy „matematycy”?
Oczywiście: nie wiem!
Po odpowiedź należy się udać do zakładu zamkniętego bez klamek, będącego domem dla absolutnie wszystkich fanatyków „implikacji materialnej”, czyli ziemskich twardogłowych matematyków.
Dowód prawdziwości warunku koniecznego ~> B1:
B1.
Jeśli trawa jest zielona to na 100% ~> 2+2=4
TZ~>224 =1
Zieloność trawy jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby 2+2=4
Jak prawdziwość warunku koniecznego ~> B1 dowodzą ziemscy „matematycy”?
Oczywiście: nie wiem!
Po odpowiedź należy się udać do zakładu zamkniętego bez klamek, będącego domem dla absolutnie wszystkich fanatyków „implikacji materialnej”, czyli ziemskich twardogłowych matematyków.
Wróćmy ze szpitala psychiatrycznego, którym jest schizofreniczne rozumienie poprawnej definicji równoważności p<=>q w Wikipedii do algebry Kubusia, czyli do świata zdrowych na umyśle, normalnych matematyków.
W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> lub element wspólny zbiorów ~~>
Zdarzenia:
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
Zbiory:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
TR.
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zadzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest potrzebne ~> i wystarczające => do tego, aby zaszło q
Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład równoważności p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji równoważności p<=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
| Kod: |
TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja podstawowa równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Innymi słowy:
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Definicja podstawowa równoważności p<=>q jest w praktyce doskonale znana każdemu człowiekowi.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 14 500
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 12 500
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 9890
„potrzebne i wystarczające”
wyników: 1 850
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
konieczne ~> = potrzebne ~>
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+ ~p*~q+ q*p +q*~q = p*q+~p*~q
A1B1: p<=>q = p*q+~p*~q
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Innymi słowy:
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)= (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+ ~p*~q+ q*p +q*~q = p*q+~p*~q
A2B2: ~p<=>~q = p*q+~p*~q
Zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p<=>q = p*q+~p*~q [=] A2B2: ~p<=>~q = p*q+~p*~q
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Definicja dowolnego operatora implikacyjnego p||?q:
Operator implikacyjny p||?q to odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p
Równanie operatora równoważności p|<=>q:
| Kod: |
T2.
Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: A2B2
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p|<=>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd
|
Dlaczego to jest równanie operatora równoważności p|<=>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p
Stąd mamy:
Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Z tabeli T2 odczytujemy tożsamość logiczną:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Innymi słowy
1.
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q
Na mocy definicji operatorów logicznych p|<=>q i ~p|<=>~q widzimy, że udowodnienie prawdziwości 1 pociąga za sobą prawdziwość 2:
2.
p|<=>q = ~p|<=>~>q
cnd
6.2 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć
TR
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
| Kod: |
TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja dowolnego ziemskiego twierdzenia matematycznego TM:
Dowolne ziemskie twierdzenie matematyczne TM jest tożsame z warunkiem wystarczającym p=>q.
TM: Zbiory:
p=>q =1 - twierdzenie prawdziwe (=1)
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - twierdzenie fałszywe (=0)
TM: Zdarzenia:
p=>q =1 - twierdzenie prawdziwe (=1)
Zajście zdarzenia p jest (=1) wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0 - twierdzenie fałszywe (=0)
Z tabeli TR odczytujemy matematyczną definicję równoważności p<=>q rozumianą jako warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony:
A1: p=>q =1 - twierdzenie proste
B3: q=>p =1 - twierdzenie odwrotne
Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
Matematyczna definicja równoważności to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q, czyli zbiór p jest podzbiorem => q
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p, czyli zbiór q jest podzbiorem => p
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Stąd mamy wyprowadzoną definicję tożsamości zbiorów p=q znaną każdemu ziemskiemu matematykowi.
A1B3:
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Dla B3 skorzystajmy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q zdefiniowaną kolumną A1B1.
A1B1: Zbiory
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
A1B1: Zdarzenia
Definicja tożsamości zdarzeń p=q:
Dwa zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q
Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.
Stąd dla kolumny A2B2 mamy.
A2B2: Zbiory
Definicja tożsamości zbiorów ~p=~q:
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q i jednocześnie zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q
Analogicznie mamy:
A2B2: Zdarzenia
Definicja tożsamości zdarzeń ~p=~q:
Dwa zdarzenia ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności ~p<=>~q
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q
6.2.1 Diagram równoważności w zbiorach
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q
Znaczenie powyższej tożsamości logicznej w przełożeniu na zbiory.
Tożsamość zbiorów p=q definiowana przez:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q definiowaną przez:
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q
(i odwrotnie)
Na tej podstawie łatwo rysujemy diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
| Kod: |
DR:
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
-------------------------------------------------------------------------
| D - wspólna dziedzina dla p i q |
| p+~p =D =1 | q+~q =D =1 |
| p*~p =[]=0 | q*~q =[]=0 |
-------------------------------------------------------------------------
| Zbiór: p=q # Zbiór: ~p=~q
| A1B1: Równoważność dla p: | A2B2: Równoważność dla ~p |
| p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
| Definiuje tożsamość zbiorów: | Definiuje tożsamość zbiorów: |
| p=q # ~p=~q |
-------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna
|
Z diagramu widzimy że:
~p=~(p) - zbiór ~p jest zaprzeczeniem zbioru p
~q=~(q) - zbiór ~q jest zaprzeczeniem zbioru q
Prawa podwójnego przeczenia:
p = ~(~p) - zbiór p jest zaprzeczeniem zbioru ~p (prawo podwójnego przeczenia)
q = ~(~q) - zbiór q jest zaprzeczeniem zbioru ~q (prawo podwójnego przeczenia)
Dziedzina D dla zbiorów p i q musi być wspólna, bowiem wtedy i tylko wtedy między zbiorami p i q mogą zachodzić podstawowe relacje (=>, ~> i ~~>) w zbiorach.
Relacja podzbioru =>:
p=>q =1 - gdy zbiór p jest podzbiorem => q
inaczej:
p=>q =0
Relacja nadzbioru ~>:
p~>q =1 - gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0
Relacja elementu wspólnego ~~>:
p~~>q =1 - gdy zbiory p i q mają element wspólny
Inaczej:
p~~>q =0
Definicja wspólnej dziedziny D dla p:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne
Definicja wspólnej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1 - zbiór ~q jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru q
q*~q =[] =0 - zbiory q i ~q są rozłączne
Stąd mamy:
~p=[D-p] = [p+~p -p] = ~p
~q=[D-q] = [q+~q -q] = ~q
Z diagramu DR widzimy że:
A1B1: Zbiory
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Sprawdzenie poprawności definicji tożsamości zbiorów p=q:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
dla q=p mamy:
p=p <=> (A1: p=>p)*(B1: p~>p) = 1*1 =1
cnd
Uzasadnienie:
p=>p =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
p~>p =1 - każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd
Z diagramu DR widzimy, że równoważność p<=>q dla q=~p musi być fałszem.
Sprawdzenie:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
dla q=~p mamy:
p=~p <=> (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) = ~p*p =0
bo:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q=~p+q
stąd mamy:
A1: p=>~p = ~p+~p = ~p+~p = ~p
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd mamy:
B1: p~>(~p) = p+~(~p) = p+p = p
stąd:
p=~p <=> (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) = ~p*p =0
cnd
Uwaga:
Istnieje wiele alternatywnych dowodów tego co wyżej.
Przykładowo, można skorzystać z definicji równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = ~p<=>~q = p*q+~p*~q
Podsumowując:
Jak widzimy matematyka działa doskonale bowiem poprawnie obliczyliśmy iż zachodzi (=1) tożsamość zbiorów p=q i nie zachodzi (=0) tożsamość zbiorów p=~p:
[p=p] =1 - bo zbiory p i p są tożsame
[p=~p] =0 - bo zbiory p i ~p są rozłączne
Z diagramu DR widzimy że:
A2B2: Zbiory
Definicja tożsamości zbiorów ~p=~q:
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q i jednocześnie zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q
Sprawdzenie poprawności definicji tożsamości zbiorów ~p=~q:
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q
Dla ~q=~p mamy:
~p=~p <=> (A2: ~p~>~p)*(B2: ~p=>~p) = 1*1 =1
cnd
Uzasadnienie:
~p=>~p =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
~p~>~p =1 - każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Z diagramu DR widzimy, że równoważność ~p<=>~q dla ~q=p musi być fałszem.
Sprawdzenie:
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q
dla ~q=p mamy:
~p=p <=> (A2: ~p~>p)*(B2:~p=>p) = ~p*p =[] =0
bo:
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd mamy:
A2: ~p~>p = ~p+~p = ~p
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q=~p+q
stąd mamy:
B2: ~p=>p = ~(~p)+p =p+p =p
Stąd:
~p=p <=> (A2: ~p~>p)*(B2:~p=>p) = ~p*p =[] =0
cnd
Uwaga:
Istnieje wiele alternatywnych dowodów tego co wyżej.
Przykładowo, można skorzystać z definicji równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = ~p<=>~q = p*q+~p*~q
Podsumowując:
Jak widzimy matematyka działa doskonale bowiem poprawnie obliczyliśmy iż zachodzi tożsamość zbiorów ~p=~p i nie zachodzi (=0) tożsamość zbiorów ~p=p
[~p=~p] =1 - bo zbiory ~p i ~p są tożsame
[~p=p] =0 - bo zbiory ~p i p są rozłączne
6.3 Definicja równoważności p<=>q
TR
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
| Kod: |
TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
6.3.1 Definicja operatora równoważności p|<=>q
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Stąd:
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p (p=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q (q=1)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
Zbiory:
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Zdarzenia:
Zdarzenie p jest tożsame ze zdarzeniem q p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Tożsamość zbiorów/pojęć p=q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q (albo odwrotnie)
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie p w rozpisce na warunek wystarczający =>:
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć p=q która wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
stąd:
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
Zbiory:
Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
~p=~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Zdarzenia:
Zdarzenie ~p jest tożsame ze zdarzeniem ~q ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
~p=~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć p=q (albo odwrotnie)
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie ~p w rozpisce na warunek wystarczający =>.
Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć ~p=~q która wymusza tożsamość zbiorów p=q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
~p=~q # p=q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
6.3.2 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q
Zapiszmy powyższą analizę w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Definicja symboliczna |Co w logice jedynek
|oznacza
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) |
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
|
Zauważmy, że zero-jedynkowo tabelę T1 możemy kodować wyłącznie w odniesieniu do równoważności A1B1: p<=>q albo w odniesieniu do równoważności A2B2:~p<=>~q
Dlaczego tabeli T1 nie możemy kodować z punktem odniesienia ustawionym na warunku wystarczającym A1: p=>q?
Odpowiedź:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Warunek wystarczający A1: p=>q nie jest jedynym członem prawdziwym w równoważności p<=>q.
Zakodujmy powyższą analizę zero-jedynkowo z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
A1B1: p<=>q
Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(~p=1)=(p=0)
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
Dla wygenerowania zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q jest potrzebne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka pozwalające na eliminację przeczeń w zapisach symbolicznych, bowiem w punkcie odniesienie A1B1: p<=>q mamy sygnały p i q bez przeczeń.
Potrzebne nam prawo Prosiaczka to:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Zakodujmy nasza tabelę T1 zero-jedynkowo:
| Kod: |
T2.
Definicja |Co w logice |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna |Jedynek oznacza |A1B1: p<=>q |
A1B1: p<=>q | | | p q p<=>q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1<=>1 =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1<=>0 =0
A2B2:~p<=>~q | | |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0<=>0 =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0<=>1 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
| Prawa Prosiaczka |
| (~p=1)=(p=0) |
| (~q=1)=(q=0) |
|
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q), zwanego krótko równoważnością p<=>q
Zakodujmy zero-jedynkowo tabelę T1 z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
A2B2: ~p<=>~q
Prawo Kubusia z którego tu należy skorzystać to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Uzasadnienie:
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do postaci zanegowanej ~p i ~q bowiem w punkcie odniesienia:
A2B2: ~p<=>~q
obie zmienne mamy zanegowane.
| Kod: |
T3.
Definicja |Co w logice |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna |Jedynek oznacza |A2B2: ~p<=>~q |
A1B1: p<=>q | | |~p ~q ~p<=>~q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0<=>0 =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0<=>1 =0
A2B2:~p<=>~q | | |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1<=>1 =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1<=>0 =0
a b c d e f g h i 1 2 3
| Prawa Prosiaczka |
| (p=1)=(~p=0) |
| (q=1)=(~q=0) |
|
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), zwanego krótko równoważnością ~p<=>~q
Zauważmy, że w tabelach T2 i T3 wejściowa definicja symboliczna równoważności abc jest identyczna, stąd tożsamość kolumn wynikowych 3 w tabelach zero-jedynkowych 123 jest dowodem formalnym poprawności prawa rachunku zero-jedynkowego:
T2: p<=>q = T3: ~p<=>~q
Dowód powyższego prawa bezpośrednio w rachunku zero-jedynkowym jest następujący:
| Kod: |
Definicja równoważności p<=>q
p q p<=>q
A1: 1<=>1 =1
A1’: 1<=>0 =0
B2: 0<=>0 =1
B2’: 0<=>1 =0
|
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód:
| Kod: |
Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p<=>q = ~p<=>~q
p q p<=>q ~p ~q ~p<=>~q
A1: 1<=>1 =1 0<=>0 =1
A1’: 1<=>0 =0 0<=>1 =0
B2: 0<=>0 =1 1<=>1 =1
B2’: 0<=>1 =0 1<=>0 =0
1 2 3 4 5 6
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Definicja tożsamości logicznej [=]:
p<=>q [=] ~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej [=] jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>
Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
p q p<=>q
A: 1<=>1 =1
B: 1<=>0 =0
C: 0<=>0 =1
D: 0<=>1 =0
|
Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
| Kod: |
Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p<=>q = ~p<=>~q
p q p<=>q ~p ~q ~p<=>~q p<=>q <=> ~p<=>~q
A1: 1<=>1 =1 0<=>0 =1 1
A1’: 1<=>0 =0 0<=>1 =0 1
B2: 0<=>0 =1 1<=>1 =1 1
B2’: 0<=>1 =0 1<=>0 =0 1
1 2 3 4 5 6 7
|
Same jedynki w kolumnie wynikowej 7 również są dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
6.4 Odtworzenie definicji operatora równoważności p|<=>q z definicji ~~>
Weźmy diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
| Kod: |
DR:
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
-------------------------------------------------------------------------
| D - wspólna dziedzina dla p i q |
| p+~p =D =1 | q+~q =D =1 |
| p*~p =[]=0 | q*~q =[]=0 |
-------------------------------------------------------------------------
| A1B1: Równoważność dla p: | A2B2: Równoważność dla ~p |
| p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
| Definiuje tożsamość zbiorów: | Definiuje tożsamość zbiorów: |
| p=q # ~p=~q |
-------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna
|
Definicja wspólnej dziedziny D dla p:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne
Definicja wspólnej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1 - zbiór ~q jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru q
q*~q =[] =0 - zbiory q i ~q są rozłączne
Przeanalizujmy diagram DR zdarzeniem możliwym ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Tabela prawdy takiej analizy jest następująca:
| Kod: |
T1
Analiza diagramu DR równoważności elementem wspólnym ~~> zbiorów
A1B1:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1: p~~>q =1 - istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i q (p=q)
A1’: p~~>~q=0 - nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q (p#~q)
A2B2:
~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p~~>~q=1 - istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i ~q (~p=~q)
B2’:~p~~>q =0 - nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q (~p#q)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (patrz diagram DR)
|
Analiza tabeli prawdy T1 - część I
1.
Fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q=0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2.
| Kod: |
T2.
A1: p=> q =1 - zbiór p jest podzbiorem => q (p=q)
A1’: p~~>~q=0 - nie istnieje (=0) wspólny element ~~> p i ~q (p#~q)
B2: ~p~~>~q=1 - istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i ~q (~p=~q)
B2’:~p~~>q =0 - nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q (~p#q)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (patrz diagram DR)
|
Analiza tabeli prawdy T1 - część II
1.
Fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q =0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =1
Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2.
| Kod: |
T3.
A1: p=> q =1 - zbiór p jest podzbiorem => q (p=q)
A1’: p~~>~q=0 - nie istnieje (=0) wspólny element ~~> p i ~q (p#~q)
B2: ~p=>~q =1 - zbiór ~p jest podzbiorem => ~q (~p=~q)
B2’:~p~~>q =0 - nie istnieje (=0) wspólny element ~~> ~p i q (~p#q)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (patrz diagram DR)
|
Z tabeli T3 odczytujemy definicję równoważności A1B2:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B2: ~p=>~q =1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q) =1*1 =1
Dla B2 stosujemy prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
Stąd mamy:
Kolumna A1B1 w tabeli prawdy równoważności p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Stąd mamy:
Podstawowa definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Zdefiniowawszy równoważność podstawową A1B1: p<=>q możemy ją podstawić do tabeli prawdy równoważności TR:
| Kod: |
TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Szczegółową analizę operatora równoważności p|<=>q na podstawie powyższej tabeli mamy w punkcie 6.3.1
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 6:23, 20 Cze 2021, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 11:27, 20 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - ostatnie czytanie!
Część XVI
Po raz ostatni przed premierą czytam od początku algebrę Kubusia likwidując literówki i udoskonalając przekaz.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-brudnopis,18263.html#586591
Algebra Kubusia
6.8 Zdania bazowe w operatorze równoważności TP|<=>SK w zbiorach
Spis treści
6.7 Zdanie bazowe 2
6.7.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q” 3
6.7.2 Operator równoważności p|<=>q 5
6.8 Zdania bazowe w operatorze równoważności TP|<=>SK w zbiorach 6
6.8.1 Zdanie bazowe TP~~>SK 7
6.8.2 Zdanie bazowe TP~~>~SK 10
6.8.3 Zdanie bazowe ~TP~~>~SK 12
6.8.4 Zdanie bazowe ~TP~~>SK 15
6.9 Definicja podstawowa równoważności TP<=>SK 17
6.9.1 Operator równoważności TP|<=>SK 18
Wstęp:
Problem budowy operatora równoważności TP|<=>SK to matematyczny poziom ucznia I klasy LO.
W praktyce wiedza czysto matematyczna w skład jakiego operatora logicznego wchodzi dowolne prawdziwe zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest do niczego potrzebna. Każdy człowiek od 5-cio latka poczynając non stop stosuje tu poniższe prawa logiki matematycznej nie mając najmniejszego pojęcia co to jest operator logiczny np. TP|<=>SK
W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> lub element wspólny zbiorów ~~>
Zdarzenia:
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
Zbiory:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
6.7 Zdanie bazowe
Definicja zdania bazowego:
Zdanie bazowe to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia) spełniające poniższe warunki:
1.
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” żadne z pojęć p, q, ~p i ~q nie może być zbiorem pustym (zdarzeniem niemożliwym), co gwarantuje rozpoznawalność tych pojęć.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą należeć do wspólnej dziedziny.
Algorytm analizy zdania bazowego:
Algorytm analizy dowolnego zdania bazowego „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q pozwala na jednoznaczne rozstrzygnięcie w skład jakiego operatora logicznego wchodzi badane zdanie bazowe bez względu na jego prawdziwość/fałszywość.
Dowolne zdanie bazowe „Jeśli p to q” może wchodzić tylko i wyłącznie w skład jednego z pięciu rozłącznych operatorów logicznych.
1. p||=>q - operator implikacji prostej
2. p||~>q - operator implikacji odwrotnej
3. p|<=>q - operator równoważności
4. p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja równoważności p<=>q:
5. p|$q - operator „albo”($)
Z faktu iż powyższe operatory są rozłączne wynika, że dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” nie może należeć jednocześnie do dwóch rożnych na mocy definicji ## operatorów logicznych.
| Kod: |
T1
Definicje operatorów implikacyjnych które niebawem poznamy:
1: Y=(p||=>q) =(p|=>q) = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)= ~p*q # ~Y=p+~q
##
2: Y=(p||~>q) =(p|~>q) =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*~q # ~Y=~p+q
##
3: Y=(p|<=>q) =(p<=>q) = (A1:p=>q)* (B1: p~>q) =p*q+~p*~q # ~Y=p*~q+~p*q
##
4: Y=(p||~~>q)=(p|~~>q) =~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =0 # ~Y=1
##
5: Y=(p|$q) = (p$q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p*~q+~p*q # ~Y=p*q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji operatorów logicznych
|
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawo Kubusia:
p=>q [=] ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczna są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
W tabeli T1 doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Kluczowe dla poprawnego działania algorytmu analizy zdania bazowego jest prawo śfinii.
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
6.7.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q”
Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q”
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie bazowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Punkt 2
Zbiory:
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia p i q poszukując zbioru pustego (=0)
p~~>q=p*q =0
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia p i q poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)
p~~>q=p*q =0
RETURN
Punkt 3
Zbiory:
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Zdarzenia:
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe ~~> idź do punktu 5
Inaczej:
Punkt 4
Zbiory:
Nie znaleziono zbioru pustego []
Zdarzenia:
Nie znaleziono zdarzenia niemożliwego ~~>
Operator logiczny zlokalizowany, to operator chaosu p||~~>q
Idź do operatora chaosu p||~~>q
STOP
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
(~)p=>(~)q =1
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p (~> albo =>) q =?
Punkt 8
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowaną kolumnę A1B1: p|?q będącą częścią operatora logicznego p||?q
Idź do tabeli prawdy zlokalizowanego operatora logicznego
STOP
Przedstawiony wyżej algorytm to algorytm podstawowy.
Uwaga:
Matematycznie możliwy jest alternatywny algorytm przeciwny gdzie w prawie śfinii po „Jeśli ..” zapisujemy q zaś po „to…” zapisujemy p, jednak aby matematyk A dogadał się z matematykiem B obaj muszą stosować identyczny, uzgodniony wzajemnie algorytm: podstawowy albo przeciwny.
W logice matematycznej za domyślny przyjmujemy algorytm podstawowy dzięki czemu nie musimy sygnalizować światu zewnętrznemu który algorytm stosujemy.
Ponieważ algorytm podstawowy jest z definicji algorytmem domyślnym, możemy pominąć słówko „podstawowy” w „algorytmie podstawowym”.
6.7.2 Operator równoważności p|<=>q
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
TR.
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
| Kod: |
TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja symboliczna operatora równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
| Kod: |
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p=> q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~> q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q =(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Stąd:
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
A1’: p~~>~q=0 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’
Kolumna A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Stąd:
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’
|
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Na mocy prawa Kobry definicja operatora równoważności p|<=>q wyrażona zdaniami bazowymi przyjmuje postać.
| Kod: |
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p~~>q =1 - istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i q
A1’: p~~>~q=0 - nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p~~>~q=1 - istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i ~q
B2’:~p~~>q =0 - nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
|
6.8 Zdania bazowe w operatorze równoważności TP|<=>SK w zbiorach
W sprawdzaniu poprawności algorytmu analizy dowolnego zdania bazowego postępujemy identycznie jak w sprawdzaniu programu komputerowego. Na wejściu podajemy dane co do których jesteśmy pewni do jakiego operatora logicznego powinien nas algorytm zaprowadzić sprawdzając czy rzeczywiście tak się stanie.
Operator równoważności TP|<=>SK omówiony został w punkcie 6.5.1
Sprawdzenia poprawności działania algorytmu analizy dowolnego zdania bazowego w operatorze równoważności TP|<=>SK wykonamy na konkretnym przykładzie, by łatwiej było zrozumieć.
p = TP - zbiór trójkątów prostokątnych
q = SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
Definicja operatora równoważności TP|<=>SK kodowanego elementami wspólnymi zbiorów ~~>:
| Kod: |
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli wylosujemy trójkąt prostokątny (TP=1)?
A1: TP~~>SK =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów TP i SK np. [3,4,5]
A1’: TP~~>~SK=0 - nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów TP i ~SK
A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli wylosujemy trójkąt nieprostokątny (~TP=1)?
B2: ~TP~~>~SK=1 - istnieje element wspólny zbiorów ~TP i ~SK np. [3,4,6]
B2’:~TP~~>SK =0 - nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów ~TP i SK
|
6.8.1 Zdanie bazowe TP~~>SK
Zadanie 6.8.1
Dane jest zdanie bazowe:
W1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może zachodzić w nim suma kwadratów
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Algorytm analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w zbiorach
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów
TP~~>SK = TP*SK=?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=TP (trójkąt prostokątny)
q=SK (trójkąt w którym zachodzi suma kwadratów)
Zapis zdania W1 w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =?
Punkt 2
Zbiory:
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: TP~~>SK =1 - dla udowodnienia prawdziwości tego zdania wystarczy pokazać jeden trójkąt [3,4,5]
2: TP~~>~SK=[]=0 - niemożliwe jest, by w trójkącie prostokątnym nie zachodziła suma kwadratów
Tu konieczny jest komentarz
Zauważmy że:
Zbiory TP i ~SK są znane, ale nieskończone. Nie możemy zatem pobierać kolejnych trójkątów prostokątnych ze zbioru TP i sprawdzać, czy ten element jest również w zbiorze ~SK.
Jak zatem udowodnić rozłączność zbiorów TP i ~SK?
Bardzo prosto:
Zakładamy, że zbiory TP i ~SK są rozłączne, z czego wynika że:
2: TP~~>~SK = TP*~SK =0 - bo zbiory TP i ~SK są z założenia rozłączne
Stąd mamy:
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest zatem warunek wystarczający => który musimy udowodnić:
TP=>SK =1 - zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Twierdzenie proste Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Twierdzenie proste Pitagorasa A1 udowodniono wieki temu.
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu 2.
2: TP~~>~SK=[]=0 - niemożliwe jest, by w trójkącie prostokątnym nie zachodziła suma kwadratów
cnd
RETURN
Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziono zbiór pusty []:
TP~~>~SK =[] =0 - niemożliwe jest (=0), by w trójkącie prostokątnym nie zachodziła suma kwadratów
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
stąd mamy:
Twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione wieki temu
5.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => SK
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 jest w logice dodatniej (bo SK) zatem tylko przepisujemy:
6.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => SK
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7: TP~>SK =1
Tu stosujemy prawo Tygryska:
p~>q = q=>p
7: TP~>SK = 7a: SK=>TP
Stąd mamy:
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa udowodnione wieki temu:
7a.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów to na 100% ~> ten trójkąt jest prostokątny
SK=>TP =1
Na mocy prawa Tygryska:
7: TP~>SK = 7a: SK=>TP
Mamy wymuszoną prawdziwość zdania 7 kodowanego warunkiem koniecznym ~>:
7.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów
TP~>SK =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest nadzbiorem ~> SK.
Zauważmy że:
Zdania 6 i 7 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to, zdania te nie są tożsame.
6: TP=>SK = ~TP+SK ## 7: TP~>SK = TP+~SK
To samo w zapisie formalnym:
6: p=>q = ~p+q ## 7: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Stąd mamy:
Prawo Kameleona
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Różność zdań 6 i 7 rozpoznajemy po znaczkach => i ~> wbudowanych w treść zdań
Punkt 8
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowaną kolumnę równoważności A1B1: TP<=>SK będącą częścią operatora równoważności TP|<=>SK
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (TP jest wystarczające => dla SK)
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest nadzbiorem ~> dla SK (TP jest konieczne ~> dla SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1 =1
Idź do tabeli prawdy zlokalizowanej równoważności TP<=>SK, czyli do punktu 6.9
STOP
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów
TP~~>SK = TP*SK=1 - istnieje TP w którym zachodzi SK np. [3,4,5]
W punkcie 6.9.1 zlokalizowane zdanie W1 jako zdanie A1 będące częścią operatora równoważności TP|<=>SK
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokąty (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1), bo zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1)
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W1 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku wystarczającego A1: TP=>SK
cnd
Wniosek:
Zdanie W1 jest częścią operatora równoważności TP|<=>SK
cnd
6.8.2 Zdanie bazowe TP~~>~SK
Zadanie 6.8.2
Dane jest zdanie bazowe:
W2.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może nie zachodzić w nim suma kwadratów
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Algorytm analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w zbiorach
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W2.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów
TP~~>~SK = TP*~SK=?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=TP (trójkąt prostokątny)
q=SK (trójkąt w którym zachodzi suma kwadratów)
Zapis zdania W1 w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =?
Punkt 2
Zbiory:
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: TP~~>~SK=[]=0 - niemożliwe jest, by w trójkącie prostokątnym nie zachodziła suma kwadratów
Konieczny komentarz jest w punkcie 6.8.1.
RETURN
Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziono zbiór pusty []:
TP~~>~SK =[] =0 - niemożliwe jest (=0), by w trójkącie prostokątnym nie zachodziła suma kwadratów
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
stąd mamy:
Twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione wieki temu
5.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => SK
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 jest w logice dodatniej (bo SK) zatem tylko przepisujemy:
6.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => SK
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7: TP~>SK =1
Tu stosujemy prawo Tygryska:
7: TP~>SK = 7a: SK=>TP
p~>q = q=>p
Stąd mamy:
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa udowodnione wieki temu:
7a.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów to na 100% ~> ten trójkąt jest prostokątny
SK=>TP =1
Na mocy prawa Tygryska:
7: TP~>SK = 7a: SK=>TP
Mamy wymuszoną prawdziwość zdania 7 kodowanego warunkiem koniecznym ~>:
7.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów
TP~>SK =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest nadzbiorem ~> SK.
Zauważmy że:
Zdania 6 i 7 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to, zdania te nie są tożsame.
6: TP=>SK = ~TP+SK ## 7: TP~>SK = TP+~SK
To samo w zapisie formalnym:
6: p=>q = ~p+q ## 7: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Stąd mamy:
Prawo Kameleona
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Różność zdań 6 i 7 rozpoznajemy po znaczkach => i ~> wbudowanych w treść zdań
Punkt 8
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowaną kolumnę równoważności A1B1: TP<=>SK będącą częścią operatora równoważności TP|<=>SK
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (TP jest wystarczające => dla SK)
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest nadzbiorem ~> dla SK (TP jest konieczne ~> dla SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1 =1
Idź do tabeli prawdy zlokalizowanej równoważności TP<=>SK, czyli do punktu 6.9
STOP
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W2.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów
TP~~>~SK = TP*~SK=[] =0
Zdanie W2 zlokalizowano w analizie operatora równoważności TP|<=>SK jako zdanie A1’:
A1’.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK=1)
TP~~>~SK = TP*~SK =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> TP i ~SK nie jest spełniona bo zbiory TP i ~SK są rozłączne.
Wniosek:
Zdanie W2 jest częścią operatora równoważności TP|<=>SK
cnd
6.8.3 Zdanie bazowe ~TP~~>~SK
Zadanie 6.8.3
Dane jest zdanie bazowe:
W3.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK=1)
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Algorytm analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w zbiorach
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W3.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP~~>~SK = ~TP*~SK=?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=TP (trójkąt prostokątny)
q=SK (trójkąt w którym zachodzi suma kwadratów)
Zapis zdania W3 w zapisie formalnym:
~p~~>~q = ~p*~q =?
Punkt 2
Zbiory:
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: ~TP~~>~SK =1 - tu wystarczy pokazać jeden trójkąt z niespełnioną SK np. [3,4,6]
2: ~TP~~>SK=[]=0 - niemożliwe jest, by w trójkącie nie prostokątnym zachodziła suma kwadratów
Tu konieczny jest komentarz
Zauważmy że:
Zbiory ~TP i SK są znane, ale nieskończone. Nie możemy zatem pobierać kolejnych trójkątów nieprostokątnych ze zbioru ~TP i sprawdzać, czy ten element jest również w zbiorze SK.
Jak zatem udowodnić rozłączność zbiorów ~TP i SK?
Bardzo prosto:
Zakładamy, że zbiory ~TP i SK są rozłączne.
Prawdziwy jest zatem warunek wystarczający => który musimy udowodnić:
2: ~TP=>~SK =1 - zbiór ~TP jest podzbiorem ~> zbioru ~SK
2: ~p=>~q =1 - na mocy prawa śfinii
Stosujemy prawo kontrapozycji:
2: ~TP=>~SK = 2a: SK=>TP
to samo w zapisie formalnym na mocy prawa śfinii:
2: ~p=>~q = 2a: q=>p
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
2a.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów to na 100% => jest to trójkąt prostokątny
SK=>TP =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa udowodniono wieki temu.
Na mocy prawa kontrapozycji prawdziwość 2a: SK=>TP=1 wymusza prawdziwość 2: ~TP=>~SK=1
Prawdziwość warunku wystarczającego => 2 wymusza fałszywość kontrprzykładu 2’.
2’: ~TP~~>SK=[]=0 - niemożliwe jest, by w trójkącie nieprostokątnym zachodziła suma kwadratów
cnd
RETURN
Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziono zbiór pusty []:
~TP~~>SK =[] =0 - niemożliwe jest, by w trójkącie nieprostokątnym zachodziła suma kwadratów
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
5: ~TP=>~SK =1 - zbiór ~TP jest podzbiorem => ~SK
(dowód wyżej)
stąd mamy:
5.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP=>~SK =1
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~TP jest podzbiorem => ~SK
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~SK) zatem stosujemy prawo Kubusia:
5: ~TP=>~SK = 6: TP~>SK
stąd mamy:
6.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP~>SK =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest nadzbiorem ~> SK
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => SK
To jest twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione wieki temu
Punkt 8
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowaną kolumnę równoważności A1B1: TP<=>SK będącą częścią operatora równoważności TP|<=>SK
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (TP jest wystarczające => dla SK)
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest nadzbiorem ~> dla SK (TP jest konieczne ~> dla SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1 =1
Idź do tabeli prawdy zlokalizowanej równoważności TP<=>SK, czyli do punktu 6.9
STOP
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W3.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP~~>~SK = ~TP*~SK=1 - istnieje ~TP (~TP=1) w którym nie zachodzi SK (~SK=1) np. [3,4,6]
W punkcie 6.9.1 zlokalizowane zdanie W3 jako zdanie B2 będące częścią operatora równoważności TP|<=>SK
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP=>~SK =1
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W3 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK
cnd
Wniosek:
Zdanie W3 jest częścią operatora równoważności TP|<=>SK
cnd
6.8.4 Zdanie bazowe ~TP~~>SK
Zadanie 6.8.4
Dane jest zdanie bazowe:
W4.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK=1)
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Algorytm analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w zbiorach
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W4.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK=1)
~TP~~>SK = ~TP*SK=?
Na mocy prawa śfinii mamy:
p=TP (trójkąt prostokątny)
q=SK (trójkąt w którym zachodzi suma kwadratów)
Zapis zdania W4 w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =?
Punkt 2
Zbiory:
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zbioru pustego (=0)
1: ~TP~~>SK=[]=0 - niemożliwe jest, by w trójkącie nie prostokątnym zachodziła suma kwadratów
(konieczny komentarz jest w punkcie 6.8.3)
RETURN
Punkt 3
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Znaleziono zbiór pusty []:
~TP~~>SK =[] =0 - niemożliwe jest, by w trójkącie nieprostokątnym zachodziła suma kwadratów
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
5: ~TP=>~SK =1 - zbiór ~TP jest podzbiorem => ~SK
(dowód wyżej)
stąd mamy:
5.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP=>~SK =1
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~TP jest podzbiorem => ~SK
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~SK) zatem stosujemy prawo Kubusia:
5: ~TP=>~SK = 6: TP~>SK
stąd mamy:
6.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP~>SK =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest nadzbiorem ~> SK
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => SK
To jest twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione wieki temu
Punkt 8
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowaną kolumnę równoważności A1B1: TP<=>SK będącą częścią operatora równoważności TP|<=>SK
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (TP jest wystarczające => dla SK)
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest nadzbiorem ~> dla SK (TP jest konieczne ~> dla SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1 =1
Idź do tabeli prawdy zlokalizowanej równoważności TP<=>SK, czyli do punktu 6.9
STOP
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W4.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK=1)
~TP~~>SK = ~TP*SK=0
bo kontrprzykład dla prawdziwego warunku wystarczającego:
B2: ~TP=>~SK=1
musi być fałszem.
W punkcie 6.9.1 zlokalizowane zdanie W4 jako zdanie B2’ będące częścią operatora równoważności TP|<=>SK
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może ~~> zachodzić w nim w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP~~>~SK=~TP*SK =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~TP i SK nie jest spełniona bo zbiory ~TP i SK są rozłączne.
Wniosek:
Zdanie W4 jest częścią operatora równoważności TP|<=>SK
cnd
6.9 Definicja podstawowa równoważności TP<=>SK
TR
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)
| Kod: |
TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym:
p=TP - zbiór trójkątów prostokątnych
q=SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
stąd:
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: TP=>SK =1 = 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~>TP =1 = 4:~SK=>~TP =1
A’: 1: p~~>~q =0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: TP~~>~SK=0 = [=] = 4:~SK~~>TP =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: TP~>SK =1 = 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=>TP =1 = 4:~SK~>~TP =1
B’: = 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p =0
B’: = 2:~TP~~>SK=0 [=] 3: SK~~>~TP=0
Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne (TR i SK) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych wchodzących w skład operatora równoważności p|<=>q.
Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
6.9.1 Operator równoważności TP|<=>SK
Operator równoważności TP|<=>SK to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o TP i ~TP:
A1B1: TP<=>SK =(A1: TP=>SK)* (B1: TP~>SK) - co się stanie jeśli zajdzie TP
A2B2:~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK) - co się stanie jeśli zajdzie ~TP
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt prostokątny (TP=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, by zachodziła w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK
Tożsamość zbiorów TP=SK wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Kolumna A1B1 w rozpisce na warunek wystarczający =>:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokąty (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż będzie zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK=1)
TP~~>~SK = TP*~SK =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> TP i ~SK nie jest spełniona bo zbiory TP i ~SK są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów TP=SK która wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt nieprostokątny (~TP=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~TP~>~SK =1 - zajście ~TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~SK
B2: ~TP=>~SK =1 - zajście ~TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~SK
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
~TP=~SK <=> (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =~TP<=>~SK
Tożsamość zbiorów ~TP=~SK wymusza tożsamość zbiorów TP=SK (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
~TP=~SK # TP=SK
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Kolumna A2B2 w rozpisce na warunek wystarczający =>:
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP=>~SK =1
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie będzie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może ~~> zachodzić w nim w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP~~>~SK=~TP*SK =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~TP i SK nie jest spełniona bo zbiory ~TP i SK są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów ~TP=~SK która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów TP=SK (albo odwrotnie)
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności TP|<=>SK jest gwarancja matematyczna => po stronie TP (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~TP (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 11:28, 20 Cze 2021, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
Kubuś
Dołączył: 03 Paź 2017
Posty: 872
Przeczytał: 0 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 12:10, 20 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Proponuję przerywnik ...
http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-hideu-js-script,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-31375.html#601645
| Kubuś napisał: | | agronom napisał: |
Kubuś z potwornie śmierdzącym ogonkiem ucieka (od pytania o zasadność szczepień dzieci na kowid, tez z gadki adwokatka i baryckiego) udając pachnącego, co jest fałszem.
 |
Różnica między nami jest fundamentalna.
Ty się uważasz za medycznego eksperta i już rozstrzygnąłeś:
Dzieci nie wolno szczepić na covid-19.
Ja się uważam za medycznego laika i moje rozstrzygnięcie jest takie:
Skoro rząd danego kraju decyduje się na szczepienie dzieci na covid-19 to na 100% nie decydują o tym rządzący, ale najwybitniejsi wirusolodzy żyjący na naszej planecie.
Ty se Agronomie czytasz wybiórczo jakieś tam wypociny antyszczepionkowca Zięby i na tej podstawie masz twarde stanowisko:
Szczepionka na covid-19 jest gównem i nigdy nie powinna wejść w życie.
Pytanie do Agronoma:
Czy Zięba jest twoim autorytetem w sprawie szczepionki na covid-19?
TAK/NIE
[link widoczny dla zalogowanych]
Jerzy Zygmunt Zięba (ur. 2 maja 1956)[2] – polski przedsiębiorca[3], oszust i publicysta, propagator pseudonauki, naturopatii[4][5][6] i medycyny niekonwencjonalnej. Autor bestsellerowej[7], pseudonaukowej książki Ukryte terapie. Czego ci lekarz nie powie (część 1[8] i 2[9]). Większość poglądów propagowanych przez Jerzego Ziębę jest niezgodna z aktualnym stanem medycznej wiedzy naukowej (patrz: Poglądy a wiedza naukowa) i spotyka się z krytyką środowiska akademickiego (patrz: Krytyka przez środowisko akademickie). |
| agronom napisał: |
Ja ino zestawiam tezy, mądrości jednych ekspertów z tezami drugich albo jedne tezy, mądrości ekspertów z ich tezami drugimi. Zięba zresztą też.
Z tego co pamiętam, to ino w trzech krajach na naszy planecie chco szczepić dzieci. A inne kraje to chuj?
Jak to sie ma do wcześniejszych ustaleń, że dzieci kowid dla dzieci jest nieszkodliwy?
|
Jakich ekspertów przed jakimi ekspertami?!
Przykładowo, z faktu iż mam tytuł naukowy mgr inż. elektroniki nie wynika że ogarniam całą elektronikę.
Moją specjalnością naukową jest automatyka z czego wynika, że doskonale znam algebrę Boole'a której najwybitniejsi ziemscy matematycy nie rozumieją.
Algebra Boole’a ziemskich matematyków jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych czego twardy dowód przedstawiłem tu:
4.0 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a
Oczywistym jest że totalnie nie znam się na technologii produkcji układów scalonych, w tym mikroprocesorów, bo w mojej działalności zawodowej jest mi to psu na budę potrzebne.
Podsumowując:
Jeśli dyskusja będzie dotyczyła technologii produkcji układów scalonych to ja będę w tym temacie kompletnym laikiem i zawodowa przyzwoitość zakazuje mi wypowiadać się w tym temacie.
Podobnie:
Jedynie lekarze wirusolodzy mają prawo wypowiadać się w temacie coronoawirusowej pandemii.
[link widoczny dla zalogowanych]
Wirusologia – dział mikrobiologii zajmujący się badaniem wirusów, ich systematyką, budową, właściwościami antygenowymi i chorobotwórczymi. Wirusologia opracowuje także metody izolacji, oczyszczania, namnażania i zwalczania wirusów. W celach badawczych korzysta się z mikroskopu elektronowego.
Wszyscy inni lekarze mają zerowe pojęcie w temacie budowy i metod zwalczania wirusa sars-cov-2 i nie wolno im w tym temacie zabierać głosu … bo są po prostu laikami w tej dziedzinie.
Można oczywiście szukać lekarstwa na sars-cov-2 metodą na oślep, stając się pośmiewiskiem świata nauki …
Przykład:
[link widoczny dla zalogowanych]
Witamina C lekiem na koronawirusa? Jerzy Zięba się doigrał. Biedronka, Carrefour i Allegro wycofują jego publikacje
Główny Inspektor Sanitarny, Jarosław Pinkas, zaniepokojony rozpowszechnianymi przez Ziębę treściami wydał na ten temat oświadczenie: Informacje upowszechniane na stronach internetowych (Zięby) w związku zagrożeniem ze strony nowego koronawirusa stanowią zagrożenie dla zdrowia i życia ludzi. Stanowczo podkreślamy, iż informacje te nie są poparte badaniami naukowymi i uznaną wiedzą medyczną.
Carrefour i Biedronka zdecydowały się wycofać ze sprzedaży „Zdrowie bez leków”, a Allegro blokuje aukcje, na których sprzedawane są inne publikacje kontrowersyjnego paramedyka.
Oprócz leczenia nowotworów, koronawirusa i innych chorób witaminą C, Jerzy Zięba jest także zwolennikiem unikania szczepień.
Ostatnio zmieniony przez Kubuś dnia Nie 12:15, 20 Cze 2021, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 15:24, 20 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - ostatnie czytanie!
Część XVII
Po raz ostatni przed premierą czytam od początku algebrę Kubusia likwidując literówki i udoskonalając przekaz.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-brudnopis,18263.html#589439
Algebra Kubusia
6.11 Zdania bazowe w operatorze równoważności A|<=>S w zdarzeniach
Spis treści
6.10 Zdania bazowe w operatorze równoważności A|<=>S 2
6.10.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q” 3
6.10.2 Operator równoważności p|<=>q 5
6.11 Zdania bazowe w operatorze równoważności A|<=>S w zdarzeniach 6
6.11.1 Zdanie bazowe A~~>S 7
6.11.2 Zdanie bazowe A~~>~S 9
6.11.3 Zdanie bazowe ~A~~>~S 11
6.11.4 Zdanie bazowe ~A~~>S 13
6.12 Tabela prawdy równoważności A<=>S 15
6.12.1 Operator równoważności A|<=>S 16
Wstęp:
Problem budowy operatora równoważności p|<=>q to matematyczny poziom ucznia I klasy LO.
W praktyce wiedza czysto matematyczna w skład jakiego operatora logicznego wchodzi dowolne prawdziwe zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest do niczego potrzebna. Każdy człowiek od 5-cio latka poczynając non stop stosuje tu poniższe prawa logiki matematycznej nie mając najmniejszego pojęcia co to jest operator logiczny np. p|<=>q
W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> lub element wspólny zbiorów ~~>
Zdarzenia:
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
Zbiory:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
6.10 Zdania bazowe w operatorze równoważności A|<=>S
Definicja zdania bazowego:
Zdanie bazowe to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia) spełniające poniższe warunki:
1.
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” żadne z pojęć p, q, ~p i ~q nie może być zbiorem pustym (zdarzeniem niemożliwym), co gwarantuje rozpoznawalność tych pojęć.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą należeć do wspólnej dziedziny.
Algorytm analizy zdania bazowego:
Algorytm analizy dowolnego zdania bazowego „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q pozwala na jednoznaczne rozstrzygnięcie w skład jakiego operatora logicznego wchodzi badane zdanie bazowe bez względu na jego prawdziwość/fałszywość.
Dowolne zdanie bazowe „Jeśli p to q” może wchodzić tylko i wyłącznie w skład jednego z pięciu rozłącznych operatorów logicznych.
1. p||=>q - operator implikacji prostej
2. p||~>q - operator implikacji odwrotnej
3. p|<=>q - operator równoważności
4. p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja równoważności p<=>q:
5. p|$q - operator „albo”($)
Z faktu iż powyższe operatory są rozłączne wynika, że dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” nie może należeć jednocześnie do dwóch rożnych na mocy definicji ## operatorów logicznych.
| Kod: |
T1
Definicje operatorów implikacyjnych które niebawem poznamy:
1: Y=(p||=>q) =(p|=>q) = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)= ~p*q # ~Y=p+~q
##
2: Y=(p||~>q) =(p|~>q) =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*~q # ~Y=~p+q
##
3: Y=(p|<=>q) =(p<=>q) = (A1:p=>q)* (B1: p~>q) =p*q+~p*~q # ~Y=p*~q+~p*q
##
4: Y=(p||~~>q)=(p|~~>q) =~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =0 # ~Y=1
##
5: Y=(p|$q) = (p$q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p*~q+~p*q # ~Y=p*q+~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji operatorów logicznych
|
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawo Kubusia:
p=>q [=] ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczna są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
W tabeli T1 doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Kluczowe dla poprawnego działania algorytmu analizy zdania bazowego jest prawo śfinii.
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
6.10.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q”
Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q”
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie bazowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Punkt 2
Zbiory:
Badamy elementem wspólnym zbiorów ~~> kolejne możliwe przeczenia p i q poszukując zbioru pustego (=0)
p~~>q=p*q =0
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia p i q poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)
p~~>q=p*q =0
RETURN
Punkt 3
Zbiory:
Jeśli znaleziono zbiór pusty [] idź do puntu 5
Zdarzenia:
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe ~~> idź do punktu 5
Inaczej:
Punkt 4
Zbiory:
Nie znaleziono zbioru pustego []
Zdarzenia:
Nie znaleziono zdarzenia niemożliwego ~~>
Operator logiczny zlokalizowany, to operator chaosu p||~~>q
Idź do operatora chaosu p||~~>q
STOP
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
(~)p=>(~)q =1
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p (~> albo =>) q =?
Punkt 8
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowaną kolumnę A1B1: p|?q będącą częścią operatora logicznego p||?q
Idź do tabeli prawdy zlokalizowanego operatora logicznego
STOP
Przedstawiony wyżej algorytm to algorytm podstawowy.
Uwaga:
Matematycznie możliwy jest alternatywny algorytm przeciwny gdzie w prawie śfinii po „Jeśli ..” zapisujemy q zaś po „to…” zapisujemy p, jednak aby matematyk A dogadał się z matematykiem B obaj muszą stosować identyczny, uzgodniony wzajemnie algorytm: podstawowy albo przeciwny.
W logice matematycznej za domyślny przyjmujemy algorytm podstawowy dzięki czemu nie musimy sygnalizować światu zewnętrznemu który algorytm stosujemy.
Ponieważ algorytm podstawowy jest z definicji algorytmem domyślnym, możemy pominąć słówko „podstawowy” w „algorytmie podstawowym”.
6.10.2 Operator równoważności p|<=>q
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
TR.
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
| Kod: |
TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja symboliczna operatora równoważności p|<=>q to odpowiedź na pytania A1B1 i A2B2 o p i ~p:
| Kod: |
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p=> q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~> q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q =(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Stąd:
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
A1’: p~~>~q=0 - prawdziwy A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’
Kolumna A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Stąd:
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - prawdziwy B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’
|
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Na mocy prawa Kobry definicja operatora równoważności p|<=>q wyrażona zdaniami bazowymi przyjmuje postać.
| Kod: |
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p~~>q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
A1’: p~~>~q=0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesna zajście zdarzeń p i ~q
A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p~~>~q=1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
B2’:~p~~>q =0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesna zajście zdarzeń ~p i q
|
6.11 Zdania bazowe w operatorze równoważności A|<=>S w zdarzeniach
Rozważmy fizyczną realizację równoważności:
| Kod: |
S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
W sprawdzaniu poprawności algorytmu analizy dowolnego zdania bazowego postępujemy identycznie jak w sprawdzaniu programu komputerowego. Na wejściu podajemy dane co do których jesteśmy pewni do jakiego operatora logicznego powinien nas algorytm zaprowadzić sprawdzając czy rzeczywiście tak się stanie.
Operator równoważności A|<=>S omówiony został w punkcie 6.6.1
Sprawdzenia poprawności działania algorytmu analizy dowolnego zdania bazowego w operatorze równoważności A|<=>S wykonamy na konkretnym przykładzie, by łatwiej było zrozumieć.
p = A (przycisk A)
q = S ( żarówka S)
Definicja operatora równoważności A|<=>S kodowanego zdarzeniem możliwym ~~>:
| Kod: |
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli wciśniemy przycisk A (A=1)?
A1: A~~>S =1 możliwe jest (=1): wciśnięty A (A=1) i żarówka świeci (S=1)
A1’: A~~>~S=0 niemożliwe jest (=0): wciśnięty A i żarówka nie świeci (~S=1)
A2B2:
Co może się zdarzyć jeśli nie wciśniemy przycisku A (~A=1)?
B2: ~A~~>~S=1 możliwe jest (=1): nie wciśnięty A (~A=1) i nie świeci (~S=1)
B2’:~A~~>S =0 niemożliwe jest (=0): nie wciśnięty A (~A=1) i świeci (S=1)
|
6.11.1 Zdanie bazowe A~~>S
Zadanie 6.11.1
Dane jest zdanie bazowe:
W1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może się świecić (S=1)
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Algorytm analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w S3 dla zdarzeń
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może się ~~> świecić (S=1)
A~~>S = A*S =?
Na mocy prawa śfinii nasz punkt odniesienia to:
p=A (przycisk)
q=S (żarówka)
Zdanie W1 w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =?
Punkt 2
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)
1: A~~>S =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A wciśnięty (A=1) i żarówka świeci (S=1)
2: A~~>~S=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci (~S=1)
RETURN
Punkt 3
Zdarzenia:
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe ~~> idź do punktu 5
A~~>~S=0
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
5: A=>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest (=1) wystarczające => dla świecenia S (S=1)
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 jest w logice dodatniej (bo S), zatem tylko przepisujemy:
6: A=>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest (=1) wystarczające => dla świecenia S (S=1)
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7: A~>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest konieczne ~> dla świecenia S (S=1) bo to jedyny przycisk w S3
Punkt 8
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowaną kolumnę równoważności A1B1: A<=>S będącą częścią operatora równoważności A|<=>S:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest (=1) wystarczające => dla świecenia S (S=1)
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest konieczne ~> dla świecenia S (S=1) bo to jedyny przycisk w S3
Stąd mamy:
A1B1:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Idź do tabeli prawdy równoważności A1B1: A<=>S zdefiniowanej w punkcie 6.12
STOP
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
A~~>S = A*S =1 - możliwe jest zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci (S=1)
W punkcie 6.12.1 zlokalizowane zdanie W1 jako zdanie A1 będące częścią operatora równoważności A|<=>S
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W1 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku wystarczającego A1: A=>S
cnd
Wniosek:
Zdanie W1 jest częścią operatora równoważności A|<=>S
cnd
6.11.2 Zdanie bazowe A~~>~S
Zadanie 6.11.2
Dane jest zdanie bazowe:
W2.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może się nie świecić (~S=1)
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Algorytm analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w S3 dla zdarzeń
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =?
Na mocy prawa śfinii nasz punkt odniesienia to:
p=A (przycisk)
q=S (żarówka)
Zdanie W2 w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =?
Punkt 2
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)
1: A~~>~S=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci (~S=1)
RETURN
Punkt 3
Zdarzenia:
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe ~~> idź do punktu 5
A~~>~S=0
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
5: A=>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest (=1) wystarczające => dla świecenia S (S=1)
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 jest w logice dodatniej (bo S), zatem tylko przepisujemy:
6: A=>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest (=1) wystarczające => dla świecenia S (S=1)
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7: A~>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest konieczne ~> dla świecenia S (S=1) bo to jedyny przycisk w S3
Punkt 8
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowaną kolumnę równoważności A1B1: A<=>S będącą częścią operatora równoważności A|<=>S:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest (=1) wystarczające => dla świecenia S (S=1)
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest konieczne ~> dla świecenia S (S=1) bo to jedyny przycisk w S3
Stąd mamy:
A1B1:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Idź do tabeli prawdy równoważności A1B1: A<=>S zdefiniowanej w punkcie 6.12
STOP
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W2.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może się nie świecić (~S=1)
W punkcie 6.12.1 lokalizujemy to zdanie jako A1’:
A1’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Wniosek:
Zdanie W2 jest częścią operatora równoważności A|<=>S
cnd
6.11.3 Zdanie bazowe ~A~~>~S
Zadanie 6.11.3
Dane jest zdanie:
W3.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może się nie świecić (~S=1)
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Algorytm analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w S3 dla zdarzeń
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W3.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może się nie świecić (~S=1)
~A~~>~S = ~A*~S =?
Na mocy prawa śfinii nasz punkt odniesienia to:
p=A (przycisk)
q=S (żarówka)
Zdanie W3 w zapisie formalnym:
~p~~>~q = ~p*~q =?
Punkt 2
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)
1: ~A~~>~S =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci (~S=1)
2: ~A~~>S=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci (S=1)
RETURN
Punkt 3
Zdarzenia:
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe ~~> idź do punktu 5
~A~~>S=0
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
5: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia S (~S=1)
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~S) zatem stosujemy prawo Kubusia:
5: ~A=>~S = 6: A~>S
6: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S (S=1)
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7: A=>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest wystarczające => dla świecenia S (S=1) bo zawsze gdy wciśniemy A, żarówka świeci się
Punkt 8
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowaną kolumnę równoważności A1B1: A<=>S będącą częścią operatora równoważności A|<=>S:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest (=1) wystarczające => dla świecenia S (S=1)
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest konieczne ~> dla świecenia S (S=1) bo to jedyny przycisk w S3
Stąd mamy:
A1B1:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Idź do tabeli prawdy równoważności A1B1: A<=>S zdefiniowanej w punkcie 6.12
STOP
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W3.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może się nie świecić (~S=1)
~A~~>~S = ~A*~S =1 - możliwe jest zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Tu wystarczy pokazać jedno załączenie przy którym żarówka świeci, nie trzeba pokazywać, że dla każdego wciśnięcia A, żarówka świeci.
W punkcie 6.12.1 zlokalizowane zdanie W3 jako zdanie B2 będące częścią operatora równoważności A|<=>S
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla braku świecenia żarówki S (~S=1)
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Z prawa Kobry wynika, że zdanie wejściowe W3 które analizowaliśmy wchodzi w skład warunku wystarczającego B2: ~A=>~S
cnd
Wniosek:
Zdanie W3 jest częścią operatora równoważności A|<=>S
cnd
6.11.4 Zdanie bazowe ~A~~>S
Zadanie 6.11.4
Dane jest zdanie:
W4.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może się świecić (S=1)
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę matematyczną zlokalizowanego operatora
Algorytm analizy zdań bazowych „Jeśli p to q” w S3 dla zdarzeń
START
Punkt 1
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
W4.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =?
Na mocy prawa śfinii nasz punkt odniesienia to:
p=A (przycisk)
q=S (żarówka)
Zdanie W4 w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =?
Punkt 2
Zdarzenia:
Badamy zdarzeniem możliwym ~~> kolejne możliwe przeczenia poszukując zdarzenia niemożliwego (=0)
1: ~A~~>S=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci (S=1)
RETURN
Punkt 3
Zdarzenia:
Jeśli znaleziono zdarzenie niemożliwe ~~> idź do punktu 5
Znaleziono zdarzenie niemożliwe (=0):
~A~~>S=0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci (S=1)
Punkt 5
Na mocy prawa kontrapozycji zapisujemy prawdziwy warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
5: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia S (~S=1)
Punkt 6
Jeśli zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~q) to prawem Kubusia sprowadzamy je do logiki dodatniej (bo q).
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Zdanie 5 jest w logice ujemnej (bo ~S) zatem stosujemy prawo Kubusia:
5: ~A=>~S = 6: A~>S
6: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S (S=1)
Punkt 7
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 6 kodowanego spójnikiem przeciwnym do występującego w tym zdaniu (~> albo =>) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
7: A=>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest wystarczające => dla świecenia S (S=1) bo zawsze gdy wciśniemy A, żarówka świeci się
Punkt 8
W punktach 6 i 7 mamy zlokalizowaną kolumnę równoważności A1B1: A<=>S będącą częścią operatora równoważności A|<=>S:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest (=1) wystarczające => dla świecenia S (S=1)
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A (A=1) jest konieczne ~> dla świecenia S (S=1) bo to jedyny przycisk w S3
Stąd mamy:
A1B1:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Idź do tabeli prawdy równoważności A1B1: A<=>S zdefiniowanej w punkcie 6.12
STOP
Komentarz:
Zdanie wejściowe to:
W4.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0 - nie jest (=0) możliwe zdarzenie: przycisk A nie wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci (S=1)
W punkcie 6.12.1 lokalizujemy to zdanie jako B2’:
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Niemożliwe jest zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka S świeci się (S=1)
Wniosek:
Zdanie W4 jest częścią operatora równoważności A|<=>S
cnd
6.12 Tabela prawdy równoważności A<=>S
Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
| Kod: |
TR: Tabela prawdy równoważności p<=>q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Dla punktu odniesienia A1B1 mamy:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S=1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
A’: 1: A~~>~S=0 = [=] = 4:~S~~>A =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S=1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
B’: = 2:~A~~>S=0 [=] 3: S~~>~A=0
Równanie operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne (A i S) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych wchodzących w skład operatora równoważności A|<=>S.
6.12.1 Operator równoważności A|<=>S
Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to złożenie równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) zdefiniowanej w kolumnie A1B1 oraz równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) zdefiniowanej w kolumnie A2B2.
| Kod: |
S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Innymi słowy:
Operator równoważności A|<=>S to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o A i ~A:
Kolumna A1B1:
Kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
RA1B1:
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, by żarówka świeciła się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Równoważność A<=>S definiuje tożsamość pojęć A=S:
A=S <=> (A1: A=>S)*(B1: A~>S) = A<=>S
Tożsamość pojęć A=S wymusza tożsamość pojęć ~A=~S (i odwrotnie)
Matematycznie zachodzi tu relacja:
A=S # ~A=~S
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Odpowiedź na pytanie A1B1 w warunku wystarczającym => jest następująca:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zawsze gdy wciśniemy przycisk A zaświeci się żarówka S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
A2B2:
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
RA2B2:
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla braku świecenia się żarówki S (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Równoważność ~A<=>~S definiuje tożsamość pojęć ~A=~S:
~A=~S <=> (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) = ~A<=>~S
Tożsamość pojęć ~A=~S wymusza tożsamość pojęć A=S (i odwrotnie)
Matematycznie zachodzi tu relacja:
A=S # ~A=~S
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Odpowiedź na pytanie A2B2 w warunku wystarczającym => to:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla braku świecenia żarówki S (~S=1)
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => braku świecenia się żarówki S (~S=1)
Zawsze, gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), żarówka nie świeci się (~S=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Niemożliwe jest zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka S świeci się (S=1)
Podsumowanie:
1.
Istotą operatora równoważności A|<=>S jest gwarancja matematyczna => zarówno po stronie wciśniętego przycisku A (A=1) - zdanie A1, jak i po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1) - zdanie B2.
2.
W dowolnym operatorze równoważności p|<=>q nie ma miejsca na jakiekolwiek „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” które miało miejsce zarówno w operatorze implikacji prostej p||=>q jak i w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 15:25, 20 Cze 2021, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 9:06, 21 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - ostatnie czytanie!
Po raz ostatni przed premierą czytam od początku algebrę Kubusia likwidując literówki i udoskonalając przekaz.
Przed chwilką cofnąłem się do tyłu i w sposób znaczący uprościłem opis operatora "albo" p|$q
Szczegóły niżej.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593841
Algebra Kubusia
3.4 Definicje podstawowe - „albo” p$q i chaos p|~~>q
Spis treści
3.4 Spójnik „albo”($) 1
3.4.1 Operator „albo” p|$q w rozpisce na zdania warunkowe „Jeśli p to q” 7
3.5 Chaos p|~~>q 12
3.5.1 Operator chaosu p||~~>q 16
3.5.2 Chaos P8|~~>P3 17
3.5.3 Operator chaosu P8||~~>P3 20
3.4 Spójnik „albo”($)
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W wyjaśnianiu definicji spójnika „albo” p$q i operatora „albo” p|$q wspomożemy się konkretnym przykładem z teorii zbiorów {M$K), mającym przełożenie 1:1 na logikę formalną {p$q} pozwalającym łatwo zrozumieć o co tu chodzi.
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
Stąd mamy definicję dziedziny:
M+K = C =1 - bo zbiór kobiet (K) jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru mężczyzn (M)
M*K =[] =0 - bo zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K)
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny:
~M = [C-M] = [M+K-M] =K
~K = [C-K] = [M+K-K]=M
to samo po zamianie argumentów w tożsamości zbiorów:
M = ~K - człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K=1)
K=~M - człowiek jest kobietą (K=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest mężczyzną (~M=1)
Narysujmy diagram w zbiorach pasujący do tego zdania.
Diagram operatora „albo” p|$q wspomagany przykładem o mężczyźnie (M) i kobiecie (K)
| Kod: |
DA:
Diagram operatora „albo” p|$q w zbiorach/zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D (dziedzina) |
| p+q =D =1 - zbiór q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p |
| p*q =[]=0 - zbiory p i q są rozłączne |
| Podstawmy nasz przykład: |
| p=M - zbiór wszystkich mężczyzn |
| q=K - zbiór wszystkich kobiet |
| Dla zmiennych aktualnych M (mężczyzna) i K (kobieta) mamy: |
| C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi |
| M+K =C =1 - zbiór K jest uzupełnieniem do dziedziny C dla M |
| M*K =[]=0 - zbiór M jest rozłączny ze zbiorem K w dziedzinie C |
--------------------------------------------------------------------------
: Zbiór: p=M (mężczyzna) | Zbiór: q=K (kobieta) |
| A1B1: Spójnik „albo”($) dla p: | A2B2: Spójnik „albo”($) dla ~p |
| p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) [=] ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) [=] ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) |
| Dla p=M i q=K mamy: | Dla p=M i q=K mamy: |
| p=~q - p jest negacją (~)q w D # q=~p - q jest negacją (~)p w D |
| M=~K - M jest negacją (~)K w C # K=~M - K jest negacją (~)M w C |
--------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dowód iż p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Przepiszmy trzy ostatnie linie diagramu DA popełniając błąd podstawienia:
| Kod: |
DA
--------------------------------------------------------------------------
| Dla p=M i q=K mamy: | Dla p=K i q=M (błąd podstawienia) |
| p=~q - p jest negacją (~)q w D # q=~p - q jest negacją (~)p w D |
| M=~K - M jest negacją (~)K w C # M=~K - M jest negacją (~)K w C |
--------------------------------------------------------------------------
|
W ostatniej linii mamy tożsamość zbiorów:
M=~K [=] M=~K
Czyli:
Definicja znaczka # leży w gruzach bo popełniono błąd podstawienia co widać w diagramie
cnd
Dla naszego przykładu mamy:
Definicja podstawowa spójnika „albo” M$K w logice dodatniej (bo K):
Spójnik „albo” M$K w logice dodatniej (bo K) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od M do ~K
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) wystarczające => by nie być kobietą (~K=1)
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) konieczne ~> by nie być kobietą (~K=1)
stąd:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Prawa strona definiuje tożsamość zbiorów M=~K bo zachodzi równoważność:
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1
Stąd mamy tożsamość zdań [=] w języku potocznym:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „albo”($) kobietą
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1
Zdanie matematycznie tożsame [=] to:
Człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K=1)
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
To samo w zapisie formalnym po podstawieniu:
M=p
K=q
Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Spójnik „albo” p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Podstawmy definicję spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q) do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo” p$q w logice dodatniej (bo q)
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p =1 [=] 5: ~p+~q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p =1 [=] 5: p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład spójnika „albo” p$q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji spójnika „albo” p$q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>~q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>q=p*q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>~q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>q=p*q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>~q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>q=p*q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>~q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>q=p*q=1 (i odwrotnie)
Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
| Kod: |
TA:
Tabela prawdy spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q =1 [=] 3: ~q~>p =1 = 4: q=>~p =1
A’: 1: p~~>q=0 = [=] = 4: q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q =1 [=] 3: ~q=>p =1 = 4: q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>~q=0 [=] 3: ~q~~>~p=0
Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1: A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Spójnik „albo” p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Trzeciej możliwości brak
Nasz przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) albo($) kobietą (K)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1
Trzeciej możliwości brak
Prawą stronę czytamy:
Do tego aby zaszło p potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Zdanie matematycznie tożsame:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p$q
Nasz przykład:
Aby dowolny człowiek był mężczyzną (M) potrzeba ~> i wystarcza => aby nie był kobietą (~K)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1
Zdanie matematycznie tożsame:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M$K
Definicja definicji podstawowej dowolnego spójnika implikacyjnego:
Definicja podstawowa dowolnego spójnika implikacyjnego to definicja tego spójnika w logice dodatniej (bo q). Jeśli w definicji dowolnego spójnika implikacyjnego nie zaznaczamy w jakiej jest logice to domyślnie chodzi nam o definicję podstawową tego spójnika.
Mówiąc o definicji podstawowej możemy zatem pominąć sygnalizację w jakiej logice ta definicja jest wyrażona.
Definicja spójnika „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Spójnik „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od ~p do q
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p albo ($) zajdzie ~q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1 =1
Trzeciej możliwości brak
Nasz przykład:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) albo ($) nie jest kobietą (~K)
A2B2: ~M$~K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) =1*1 =1
Trzeciej możliwości brak.
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest potrzebne ~> i wystarczające => do tego, aby zaszło q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1 =1
Zdanie matematycznie tożsame:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) = ~p$~q
Nasz przykład:
Aby nie być mężczyzną (~M) potrzeba ~> i wystarcza => być kobietą (K)
A2B2: ~M$~K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) =1*1 =1
Zdanie matematycznie tożsame:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K)
~M<=>K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) = ~M$~K
Definicja dowolnego operatora implikacyjnego p||?q:
Operator implikacyjny p||?q to odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p
| Kod: |
T2.
Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1: A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>~q = A2: ~p~>q
B1: p~>~q = B2: ~p=>q
cnd
|
Dlaczego to jest równanie operatora „albo” p|$q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p
Stąd mamy:
Operator „albo” p|$q w logice dodatniej (bo p) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dających odpowiedź na pytanie o p i ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~p) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Z tabeli T2 odczytujemy tożsamość logiczną:
A1B1: p$q = A2B2:~p$~q
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Innymi słowy
1.
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję spójnika „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.
A1B1: p$q = A2B2:~p$~q
Na mocy definicji operatorów logicznych p|$q i ~p|$~q widzimy, że udowodnienie prawdziwości 1 pociąga za sobą prawdziwość 2:
2.
p|$q = ~p|$~>~q
cnd
3.4.1 Operator „albo” p|$q w rozpisce na zdania warunkowe „Jeśli p to q”
Diagram operatora „albo” p|$q wspomagany przykładem o mężczyźnie (M) i kobiecie (K)
| Kod: |
DA:
Diagram operatora „albo” p|$q w zbiorach/zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D (dziedzina) |
| p+q =D =1 - zbiór q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p |
| p*q =[]=0 - zbiory p i q są rozłączne |
| Podstawmy nasz przykład: |
| p=M - zbiór wszystkich mężczyzn |
| q=K - zbiór wszystkich kobiet |
| Dla zmiennych aktualnych M (mężczyzna) i K (kobieta) mamy: |
| C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi |
| M+K =C =1 - zbiór K jest uzupełnieniem do dziedziny C dla M |
| M*K =[]=0 - zbiór M jest rozłączny ze zbiorem K w dziedzinie C |
--------------------------------------------------------------------------
: Zbiór: p=M (mężczyzna) | Zbiór: q=K (kobieta) |
| A1B1: Spójnik „albo”($) dla p: | A2B2: Spójnik „albo”($) dla ~p |
| p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) [=] ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) [=] ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) |
| Dla p=M i q=K mamy: | Dla p=M i q=K mamy: |
| p=~q - p jest negacją (~)q w D # q=~p - q jest negacją (~)p w D |
| M=~K - M jest negacją (~)K w C # K=~M - K jest negacją (~)M w C |
--------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Uzupełnijmy poznaną wyżej tabelę prawdy spójnika „albo”($) o nasz przykład M$K.
| Kod: |
TA:
Tabela prawdy spójnika „albo”($)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Dla naszego przykładu mamy punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {M,K}:
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną jest wystarczające => by nie być kobietą
B1: M~>~K=1 - bycie mężczyzną jest konieczne ~> by nie być kobietą
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q =1 [=] 3: ~q~>p =1 = 4: q=>~p =1
A: 1: M=>~K=1 = 2:~M~>K =1 [=] 3: ~K~>M =1 = 4: K=>~M =1
A’: 1: p~~>q=0 = [=] = 4: q~~>p =0
A’: 1: M~~>K=0 = [=] = 4: K~~>M =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q =1 [=] 3: ~q=>p =1 = 4: q~>~p =1
B: 1: M~>~K=1 = 2:~M=>K =1 [=] 3: ~K=>M =1 = 4: K~>~M =1
B’: = 2:~p~~>~q=0 [=] 3: ~q~~>~p=0
B’: = 2:~M~~>~K=0 [=] 3: ~K~~>~M=0
Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1: A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla poprawienia czytelności powyższej tabeli zmienne aktualne M i K podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Operator „albo” p|$q w logice dodatniej (bo p) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dających odpowiedź na pytanie o p i ~p
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) =1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) = p<=>~q
stąd mamy zdefiniowaną tożsamość zbiorów:
p=~q
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie p w rozpisce na warunek wystarczający =>.
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
p=>~q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zbiory:
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100 => należy do zbioru ~q
p=>q =1
Dowód:
Zachodzi tożsamość zbiorów:
p=~q
stąd:
p=>~q = p=>p =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest wystarczająca => do tego, aby ten element należał do zbioru ~q
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p daje nam gwarancję matematyczną => iż ten element należy do zbioru ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zdarzenia:
Zajście zdarzenia p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia ~q
p=>~q =1
Dowód:
Zachodzi tożsamość pojęć:
p=~q
stąd:
p=>~q = p=>p =1 - bo każde pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Nasz przykład:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
M=>~K =1
Bycie mężczyzną (M=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie jesteśmy kobietą (~K=1)
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
p~~>q = p*q =[] =0 - bo zbiory/zdarzenia p i q są rozłączne
Dowód:
Z diagramu DA odczytujemy:
p=~q
stąd:
p~~>q = ~q~~>q = ~q*q = [] =0
cnd
Zbiory:
A1’
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to może ~~> należeć do zbioru q
p~~>q = p*q =[] =0 - bo zbiory/zdarzenia p i q są rozłączne
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i q
Nasz przykład:
A1’
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to może ~~> być kobietą (K=1)
M~~>K = M*K =[] =0
Nie istnieje wspólny element zbioru mężczyzna (M=1) i kobieta K (K=1)
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i q
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) = ~p<=>q
stąd mamy zdefiniowaną tożsamość zbiorów:
~p=q
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie ~p w rozpisce na warunek wystarczający =>.
Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
~p=>q =1
Dowód:
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~p=q
stąd:
~p=>q = q=>q =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Zbiory:
B2.
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p to na 100% => należy do zbioru q
~p=>q =1
Przynależność dowolnego elementu do zbioru ~p jest wystarczająca => aby ten element należał do zbioru q
Przynależność dowolnego elementu do zbioru ~p daje nam gwarancję matematyczną => iż ten element należy do zbioru q
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów:
~p=q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Nasz przykład:
B2.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to na 100% => jest kobietą (K=1)
~M=>K=1
Nie bycie mężczyzną (~M=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jesteśmy kobietą (K=1)
Zdarzenia:
Jeśli zajdzie zdarzenie ~p to na 100% => zajdzie zdarzenie q
~p=>q =1
Zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia q
Dowód:
Zachodzi tożsamość zdarzeń:
~p=q
stąd:
~p=>q = q=>q =1 - bo każde zdarzenie jest podzbiorem => siebie samego
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
~p~~>~q = ~p*~q =[] =0 - bo zbiory/zdarzenia ~p i ~q są rozłączne
Zbiory:
B2’.
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p to może ~~> należeć do zbioru ~q
~p~~>~q = ~p*~q =[] =0 - bo zbiory ~p i ~q są rozłączne
Dowód:
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~p=q
stąd:
~p~~>~q = q~~>~q = q*~q =[] =0
cnd
Nasz przykład:
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to może ~~> nie być kobietą (~K=1)
~M~~>~K = ~K*~K =[] =0
Nie istnieje wspólny element zbiorów „nie mężczyzna” ~M i „nie kobieta” ~K
Dowód:
W dziedzinie C (człowiek) zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K
stąd mamy:
B2’: ~M~~>~K = K~~>~K = K*~K =[] =0
cnd
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i ~q
~p~~>~q = ~p*~q =[] =0
Dowód:
Zachodzi tożsamość pojęć:
~p=q
stąd:
~p~~>~q = q~~>~q = q*~q =[] =0
cnd
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora „albo” p|$q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora „albo” ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~p) będzie identyczna jak operatora „albo” p|$q w logice dodatniej (bo p) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
3.5 Chaos p|~~>q
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>q | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
CH.
Definicja podstawowa chaosu p|~~>q:
Kolumna A1B1:
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w chaosie p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład chaosu p|~~>q potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji chaosu p|~~>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
| Kod: |
CH
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
B”: 2:~p~~>~q=1 [=] 3: q~~>p =1
Równanie operatora chaosu p||~~>q:
A1B1: A2B2:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~~>~q
Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~p||~~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Uwaga:
Zdania A1” i B2” kodowane zdarzeniem możliwym ~~> muszą być prawdziwe, bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z chaosem p|~~>q.
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1S: p=>~q =1
co prowadzi do sprzeczności z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdania prawdziwego B2” oraz do zdań B3” i A4”.
CH.
Definicja podstawowa chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Definicja definicji podstawowej dowolnego spójnika implikacyjnego:
Definicja podstawowa dowolnego spójnika implikacyjnego to definicja tego spójnika w logice dodatniej (bo q). Jeśli w definicji dowolnego spójnika implikacyjnego nie zaznaczamy w jakiej jest logice to domyślnie chodzi nam o definicję podstawową tego spójnika.
Mówiąc o definicji podstawowej możemy zatem pominąć sygnalizację w jakiej logice ta definicja jest wyrażona.
CH.
Definicja chaosu ~p|~~>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Chaos ~p|~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~~>~q = ~(A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Definicja dowolnego operatora implikacyjnego p||?q:
Operator implikacyjny p||?q to odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p
| Kod: |
T2.
Równanie operatora chaosu p||~~>q:
A1B1: A2B2:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~~>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
B1: p~>q = B2:~p=>~q
cnd
|
Dlaczego to jest równanie operatora chaosu p||~~>q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p
Operator chaosu p||~~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~p||~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Z tabeli T2 odczytujemy tożsamość logiczną:
A1B1: p|~~>q = A2B2: ~p|~~>~q
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Innymi słowy
1.
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję chaosu ~p|~~>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.
A1B1: p|~~>q = A2B2: ~p|~~>~q
Na mocy definicji operatorów logicznych p||~~>q i ~p||~~>~q widzimy, że udowodnienie prawdziwości 1 pociąga za sobą prawdziwość 2:
2.
p||~~>q = ~p||~~>~q
cnd
3.5.1 Operator chaosu p||~~>q
Definicja operatora chaosu p||~~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Kolumna A1B1:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej bo (q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Kolumna A1B1:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla spełnionego p:
A’’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
LUB
A’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Kolumna A2B2:
Definicja chaosu ~p|~~>~q w logice ujemnej bo (~q):
Chaos ~p|~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~~>~q = ~(A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Kolumna A2B2:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla nie spełnionego p (~p):
B’’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i ~q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
LUB
B’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Podsumowanie:
Doskonale widać, że zarówno po stronie p jak i po stronie ~p mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Zauważmy że:
a)
Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator chaosu ~p||~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora chaosu ~p||~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora chaosu p||~~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A’’, A’, B’’, B’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
3.5.2 Chaos P8|~~>P3
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Zadanie w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
Rozwiązanie:
Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Na początek korzystając z prawa Kobry badamy, czy zdanie które mamy analizować ma szansę być prawdziwym, kodując to zdanie elementem wspólnym zbiorów ~~>.
W.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Na mocy prawa śfinii mamy:
p = P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q = P3=[3,6,9..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Przyjmujemy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy przeczenia zbiorów rozumiane jako uzupełnienia do dziedziny LN:
~P8 = [LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P3 = [LN-P3] = [1,2..4,5..7,8..]
Krok 1
Badamy warunek wystarczający =>:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=>P3 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona (=0) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..]
cnd
Krok 2
Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8~>P3 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona (=0) bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..]
Stąd mamy dowód iż mamy tu do czynienia z chaosem.
Definicja chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu p|~~>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest wystarczające => dla q i jednocześnie zajście p nie jest konieczne ~> dla q
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Nasz przykład:
Definicja chaosu P8|~~>P3:
A1: P8=>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
B1: P8~>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
A1B1: P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)=~(0)*~(0)=1*1 =1
Podstawmy nasz przykład do szablonu chaosu:
| Kod: |
CH
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Aktualny punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P3=[3,6,9..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Kolumna A1B1 to również punkt odniesienia w zapisie aktualnym {P8,P3}:
A1: P8=>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
B1: P8~>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
A1B1: P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)=~(0)*~(0)=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: P8~~>~P3=1 = [=] = 4:~P3~~>P8 =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p =1
A”: 1: P8~~>P3 =1 [=] 4:~P3~~>~P8=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~P8~~>P3 =1 [=] 3: P3~~>~P8=1
B”: 2:~p~~>~q =1 [=] 3: q~~>p =1
B”: 2:~P8~~>~P3=1 [=] 3: P3~~>P8 =1
Równanie operatora chaosu p||~~>q:
A1B1: A2B2:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~p|~~>~q
Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~p||~~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator chaosu p||~~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
3.5.3 Operator chaosu P8||~~>P3
Nasz przykład:
Operator chaosu P8||~~>P3 to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytanie o P8 i ~P8:
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba będzie podzielna przez 8 (P8=1)?
Kolumna A1B1:
A1: P8=>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
B1: P8~>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
A1B1: P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)=~(0)*~(0)=1*1 =1
Z kolumny A1B1 odczytujemy:
A1”.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo istnieje (=1) element wspólny ~~> np. 24
Zbiory P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] mają element wspólny ~~> np. 24
LUB
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo istnieje (=1) element wspólny ~~> np. 8
Zbiory P8=[8,16,24..] i ~P3=[1,2..4.5..7,8..] mają element wspólny ~~> np. 8
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez z 8 (~P8=1)?
Kolumna A2B2:
A2: ~P8~>~P3 =0 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~P3=[1,2..4,5..7,8..]
B2: ~P8=>~P3=0 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest (=0) podzbiorem => ~P3=[1,2..4,5..7,8..]
~P8|~~>~P3=~(A2: ~P8~>~P3)*~(B2: ~P8=>~P3) =~(0)*~(0) =1*1 =1
Z kolumny A2B2 odczytujemy:
B2”.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1 - bo istnieje (=1) element wspólny ~~> np. 2
Zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P3=[1,2..4,5..7,8..] mają element wspólny ~~> np. 2
LUB
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 - bo istnieje (=1) element wspólny ~~> np. 3
Zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P3=[3,6,9..24..] mają element wspólny ~~> np. 3
Podsumowanie:
Istotą operatorach chaosu P8|~~>P3 jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” zarówno po stronie P8 (zdania A1’’, A1’) jak i po stronie ~P8 (zdania B2’’ i B2’)
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~p||~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora chaosu ~p||~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora chaosu p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1’’, A1’, B2’’, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Uwaga:
Więcej prostych przykładów operatora chaosu p||~~>q znajdziemy w punkcie 8.3
Gorąco polecam.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 9:08, 21 Cze 2021, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35257
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 23:27, 21 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Takie sobie prymitywne zadanko zrobiłem na matematyce.pl
[link widoczny dla zalogowanych]
[quote=ola_ post_id=5630650 time=1623583484 user_id=150199]
Czy ktoś wie jak wykazać że zdanie: [latex]((( p \Rightarrow q) \Rightarrow p) \Rightarrow p)[/latex] jest tautologią bez pomocy tabelki?
[/quote]
[latex]((( p \Rightarrow q) \Rightarrow p) \Rightarrow p)[/latex]
Definicja znaczka [latex]\Rightarrow[/latex] :
[latex]p \Rightarrow q = \neg p+q[/latex]
Dla uproszczenia tworzymy wewnętrzną funkcję logiczną Y w logice dodatniej (bo [latex]Y[/latex])
1.
[latex]((Y = (( p \Rightarrow q) \Rightarrow p)) \Rightarrow p)[/latex]
2.
[latex]Y = (( p \Rightarrow q) \Rightarrow p) = ( \neg p+q) \Rightarrow p)[/latex]
[latex]Y = ( \neg p+q) \Rightarrow p)= \neg (\neg p+q)+p[/latex]
[latex]Y = \neg (\neg p+q)+p = p* \neg q + p[/latex]
[latex]Y = p* \neg q + p = p* (\neg q +1)[/latex]
[latex]Y = p[/latex]
Podstawiając do 1 mamy:
[latex]p=>p = \neg p+p =1[/latex]
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 23:33, 21 Cze 2021, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
