ŚFiNiA

[rafal3006]

Wypociny IroBe

http://www.sfinia.fora.pl/blog-irob,67/pierwsze-spuszczanie,7431-6750.html#451003

[rafal3006]

5.4 Operator implikacji odwrotnej p|~>q

Stworzenie naszego Wszechświata - dzień trzeci.
Spojrzał Kubuś na powyższą tabelę implikacji prostej p|=>q i rzekł:
W implikacji prostej p|=>q mamy warunek wystarczający => po stronie p i chaos po stronie ~p
Zróbmy odwrotnie, czyli w operatorze chaosu p|~~>q zostawmy krasnoludkowi Odwrotnemu przycisk KO i zabierzmy Prostemu przycisk KP.
Tak powstał operator implikacji odwrotnej p|~>q z chaosem po stronie p, ale z gwarancją matematyczną => po stronie ~p.

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1 - spełniony (=1) warunek konieczny ~>
p=>q =0 - nie spełniony (=0) warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii A1234

5.4.1 Zdjęcie operatora implikacji odwrotnej p|~>q

Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach


Zróbmy zdjęcie układu implikacji odwrotnej p|~>q, czyli potraktujmy układ zdarzeniami możliwymi ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie q
p~~>q =p*q =1 - możliwe ~~> jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - nie jest (=0) możliwe ~~> jednoczesne zajście zdarzeń p i q

[rafal3006]

Część III
Operatory logiczne jednoargumentowe


Spis treści
3.0 Operatory logiczne jednoargumentowe 1
3.1 Definicja negatora 1
3.1.1 Prawo podwójnego przeczenia 2
3.2 Prawa Prosiaczka 2
3.3 Prawo rozpoznawalności pojęcia p 4
3.5 Operatory logiczne jednoargumentowe 5
3.5.1 Operator transmisji 5
3.5.2 Operator negacji 7
3.5.3 Operator chaosu 8
3.5.4 Operator śmierci 9



3.0 Operatory logiczne jednoargumentowe

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0

Interpretacja 1 i 0 w algebrze Kubusia:
1 = prawda (tak)
0 = fałsz (nie)

Matematyczny związek prawdy i fałszu:
1=~(0) - prawda nie może (~) istnieć bez fałszu
0=~(1) - fałsz nie może istnieć (~) bez prawdy
Bo zabraknie punktu odniesienia.

Podobne aksjomaty binarne obowiązujące w naszym Wszechświecie:
D=~(Z) - dobro nie może (~) istnieć bez zła
Z=~(D) - zło nie może (~) istnieć bez dobra
Bo zabraknie punktu odniesienia.

Z = ~(S) - Życie nie może (~) istnieć bez śmierci
S = ~(Z) - Śmierć nie może (~) istnieć bez życia
Bo zabraknie punktu odniesienia.
etc


3.1 Definicja negatora

[rafal3006]

Część IV
Operatory logiczne dwuargumentowe


Spis treści
4.0 Operatory logiczne dwuargumentowe w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 1
4.1 Definicja operatora AND(p,q) 3
4.1.1 Operatory logiczne typu AND 6
4.1.2 Prawo Jastrzębia 6
4.2 Definicja operatora OR(p,q) 9
4.2.1 Definicja spójnika „lub”(+) w układzie równań cząstkowych 12
4.2.2 Operatory logiczne typu OR 14
4.2.3 Definicja obietnicy w spójnikach „i”(*) i „lub” 15
4.3 Funkcje logiczne dwuargumentowe w logice dodatniej (bo Y) 18
4.3.1 Definicje znaczków elementarnych w zdarzeniach 19
4.3.2 Definicje znaczków elementarnych w zbiorach 19
4.3.3 Definicje znaczków złożonych 20
4.4 Operatory logiczne dwuargumentowe wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 21
4.4.1 Operatory logiczne grupy I 22
4.4.2 Operatory logiczne grupy II 23
4.4.3 Operatory logiczne grupy III 24
4.4.4 Operatory logiczne grupy IV 25



4.0 Operatory logiczne dwuargumentowe w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0

Definicja negatora

[rafal3006]

Tragedia czysto matematyczna Ziemian
Czyli dwa grzyby (błędy czysto matematyczna) w jednym barszczu.

Temat:
Ziemianie nie umieją rozwiązywać nierówności
Prawo Borsuka i prawo Bobra

Przykład:
Dany jest zbiór
p =(x>2)
Wyznacz zbiór ~p przyjmując za dziedzinę zbiór liczb całkowitych
LC=[…-2,-1,0,1,2,3,4 …]

Zapisujemy zbiór:
p = (x>2) = [3,4…]
Zbiór ~p to uzupełnienie do dziedziny dla zbioru p
Zbiór ~p przyjmuje postać:
~p = ~(x>2)=[..-2,-1,0,1,2]
Zapis tożsamy dla ostatniego zbioru to:
x=<2
Stąd mamy:
~p = ~(x>2)=[..-2,-1,0,1,2] = (x=<2)
Wniosek:
~(x>2) = (x=<2)
Negacja nierówności zmienia jej znak na przeciwny:
> na =<
Stąd mamy prawa Borsuka.

Prawo Borsuka:
Negacja nierówności zmienia jej znak na przeciwny
I prawo Borsuka:
> na =<
=< na >
II prawo Borsuka:
< na >=
>= na <

Prawo Bobra
Negując dowolną nierówność zmieniamy znak wyłącznie przy zmiennej x nie dotykając strony przeciwnej

Prawo Bobra wynika bezpośrednio z dowodu prawa Borsuka.
Błędem czysto matematycznym jest jednoczesne negowanie stałej po przeciwnej stronie zmiennej x

Poprawnie matematycznie na mocy prawa Bobra i prawa Borsuka jest tak:
x > (2)
~x =< (2)

Katastrofalny błąd czysto matematyczny ziemian to:
x> (2)
~x < (-2)
W tym zapisie ziemianie robią dwa błędy czysto matematyczne za jednym zamachem bo zgodnie z prawem Borsuka i prawem Bobra powinno być:
x > (2)
~x =< (2)

Prawo Borsuka spełnia definicję dziedziny.
p+~p =1
p*~p=0

Nasz przykład:
(x>2) = [3,4…]
~(x>2)=[..-2,-1,0,1,2]

Sprawdzamy:
(x>2)+~(x>2) =1 - zbiory x>2 i ~(x>2) wzajemnie uzupełniają się do dziedziny LC
(x>2)*~(x>2) =0 - zbiory x>2 i ~(x>2) są rozłączne
cnd

Zauważmy, że podręczniki „matematyki” ziemian gwałcą święte prawa Borsuka!

Dowód:
Zadanie Nr.4 w podręczniku dla gimnazjum w 100-milowym lesie
A: ~x>3

Prawo Borsuka:
Negacja nierówności stronami zmienia znak nierówności na przeciwny
czyli:
> na =<
>= na <
Czytamy:
>= - większe lub równe
=< - mniejsze lub równe = równe lub mniejsze

Zgodnie z prawem Borsuka i prawem Bobra zapisujemy:
A: ~x> (3)
Stąd:
C: x=< (3)
Na mocy prawa Bobra nie wolno nam dotykać liczby 3.
Ziemianie nie znają ani prawa Borsuka, ani prawa Bobra robiąc dwa grzyby (błędy matematyczne) w jednym barszczu.
Koszmarny błąd czysto matematyczny ziemian to zapis:
C: x < (-3) !!!???

Dokładnie to samo zadanie Nr.4 w podręczniku dla gimnazjum ziemian

[link widoczny dla zalogowanych]
Zadanie Nr. 4 w podręczniku matematyki do gimnazjum
A: ~x>(3)
C: x< (-3)
Komentarz do przejścia z A do C w ziemskim podręczniku dla gimnazjum to prawo głupka.

Prawo ziemskiego głupka:
Obie strony nierówności mnożymy przez liczbę ujemną więc zmieniamy znak nierówności na przeciwny:
> na <

Prawo ziemskiego głupka to dwa grzyby (błędy matematyczne) w jednym barszczu.
Dowód wyżej

[fiklit]

Teraz to już jestem pewny, że cie równo pogrzało.
Ale potem troche ochłnąłeś.
Co nie zmienia faktu, że jednak popełniłeś ten błąd. Masz naprawdę poważne problemy z rozumieniem tego czego sam nie stworzyłeś.

[rafal3006]

[rafal3006]

[rafal3006]

Algebra Kubusia
Część I

Spis treści
1.0 Definicje podstawowe 1
1.1 Podstawowe operacje na zbiorach 2
1.2 Spójniki implikacyjne 2
1.3 Rodzaje tożsamości w logice matematycznej 2
2.0 Definicja definicji 4
2.1 Definicja minimalna 4
3.0 Podstawowe działania na zbiorach 5
3.1 Iloczyn logiczny zbiorów: 5
3.2 Suma logiczna zbiorów: 6
3.4 Definicja zaprzeczenia zbioru: 6
4.0 Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” 7
4.1 Budowa szczegółowa zdania warunkowego „Jeśli p to q” 9
4.1.1 Prawo Czarnej Mamby 11
4.2 Aksjomaty Kubusia 11
4.3 Kwantyfikator mały ~~> 14
4.3.1 Kwantyfikator mały ~~> w zbiorach 14
4.3.2 Kwantyfikator mały ~~> w zdarzeniach 15
4.4 Warunek wystarczający => 15
4.4.1 Warunek wystarczający => w zbiorach 16
4.4.2 Definicja kontrprzykładu dla zbiorów 18
4.4.3 Warunek wystarczający => w zdarzeniach 19
4.4.4 Definicja kontrprzykładu dla zdarzeń 19
4.5 Warunek konieczny ~> 20


1.0 Definicje podstawowe

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć z obszaru Uniwersum

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór na którym operujemy, nic spoza dziedziny nas nie interesuje
W szczególności dziedziną może być Uniwersum.

Definicja zbioru niepustego i pustego:
Zbiór jest niepusty gdy zawiera co najmniej jeden element
p =[x] - zbiór niepusty
Zbiór jest pusty gdy nie zawiera żadnych elementów
p =[] - zbiór pusty

Wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz

Zbiory mają wartości logiczne:
p =[x] =1 - zbiór niepusty
p =[] =0 - zbiór pusty

1.1 Podstawowe operacje na zbiorach

„~” - symbol negacji (przeczenia), słówko „NIE” z naturalnego języka mówionego człowieka

Podstawowe operacje na zbiorach:

„-„ - różnica zbiorów p-q
Y=p-q - wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q

„i”(*) - symbol iloczynu logicznego zbiorów p*q, spójnik „i”(*) w naturalnej logice człowieka
Y=p*q - wspólna część zbiorów p*q

„lub”(+) - symbol sumy logicznej zbiorów p+q, spójnik „lub”(+) w naturalnej logice człowieka
Y=p+q - wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

Wartościowanie podstawowych operacji na zbiorach:
1 (prawda) - zbiór wynikowy jest niepusty
0 (fałsz) - zbiór wynikowy jest pusty

1.2 Spójniki implikacyjne

Spójniki implikacyjne:
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q
p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q
p<=>q - równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Wartościowanie spójników implikacyjnych:
1 (prawda) - dany warunek jest spełniony
0 (fałsz) - dany warunek nie jest spełniony

1.3 Rodzaje tożsamości w logice matematycznej

W logice matematycznej mamy do czynienia z trzema rodzajami tożsamości:
1. Tożsamość definiująca
2. Tożsamość wartościująca
3. Tożsamość logiczna (tożsama z równoważnością)

Pojęcie tożsamości w logice jest wystarczająco precyzyjne, bowiem rodzaj tożsamości wynika z konkretnego zapisu matematycznego.

Zbiory:
p =[x] =1
Pierwsza tożsamość (=[x]) definiuje zbiór, (tożsamość definiująca) natomiast druga (=1) przypisuje temu zbiorowi wartość logiczną (tożsamość wartościująca).
Przykład:
p =[pies, kot] =1
p - nazwa zbioru
[pies, kot] - zawartość zbioru, wypisujemy elementy zbioru
=1 - wartość logiczna zbioru 1, bo zbiór niepusty

Tożsamość logiczna „=” (inaczej zwana równoważnością <=>)

Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1*1 =1
Warunek konieczny ~> spełniony (=1) bo zabieram chmury (CH=1) i znika mi możliwość padania (P=1)
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu bo jak nie będzie chmur (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P=1).
W naturalnej logice 5-cio latka odkryliśmy tu matematyczny związek między warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym =>.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.
Na mocy prawa Kubusia mamy matematyczną pewność prawdziwości zdania C.
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na pewno => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1*1 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo jak nie będzie chmur (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P=1)

Doskonale tu widać poprawność prawa Kubusia:
Prawdziwość zdania A: CH~>P daje nam gwarancję matematyczną => prawdziwości zdania C: ~CH=>~P i odwrotnie.

Prawa Kubusia w zapisie ogólnym:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
„=” - tożsamość logiczna

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.
p=>q = ~p~>~q
W logice matematycznej tożsamość logiczna „=” jest tożsama z równoważnością <=>:
„=” = „<=>”

Prawa Kubusia możemy więc zapisać w sposób matematycznie tożsamy:
p=>q <=> ~p~>~q
p~>q <=> ~p=>~q


2.0 Definicja definicji

Definicja definicji:
Pojęcie definiowane = właściwa definicja pojęcia definiowanego

Definicja psa:
Pies = zwierzę domowe, mające cztery łapy, szczekające
… a nawet.
Pies = zwierzę domowe, szczekające
gdzie:
„=” - tożsamość definicyjna

Dla każdego człowieka ta definicja jest wystarczająca.
Lewa strona znaku „=” to pojęcie definiowane.
Właściwa definicja pojęcia definiowanego to wyłącznie prawa strona.
Na mocy tej definicji (prawa strona) każdy człowiek jednoznacznie rozpozna tu psa, od 5-cio latka poczynając. Ta definicja definicji obowiązuje także w matematyce.

Przykład błędnej definicji:
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisłą, podać jego odgłos.
http://youtu.be/K0uwEbIxhQw


2.1 Definicja minimalna

Definicja psa:
A.
Pies to zwierzę domowe, szczekające, przyjaciel człowieka
P = ZD*S*PC =1
Pojęcia ZD, S i PC to stałe symboliczne których wartość logiczna w odniesieniu do psa jest nam znana, w naszym przypadku wartość logiczna tych stałych symbolicznych to 1 (wszystkie pasują do psa).
Czy pies jest zwierzęciem domowym?
TAK (ZD =1)
Czy pies szczeka?
TAK (S =1)
Czy pies jest przyjacielem człowieka?
TAK (PC =1)

Definicja stałej symbolicznej:
Stała symboliczna to nazwa symboliczna której wartość logiczna jest nam z góry znana i której nie jesteśmy w stanie zmienić.

Definicja „pojęcia”:
Dowolne „pojęcie” w naszym Wszechświecie definiowane jest iloczynem logicznym stałych symbolicznych o wartości logicznej równej 1.

Definicja definicji minimalnej:
Definicja jest definicją minimalną, jeśli usunięcie dowolnego członu w definicji powoduje matematyczną niejednoznaczność, czyli kolizję z innym „pojęciem”.

Definicja wystarczająco jednoznaczna:
Definicja wystarczająco jednoznaczna to definicja zrozumiała dla drugiego człowieka

Zauważmy, że można przyjąć nawet taką definicję minimalną psa:
B.
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P = S*PC =1*1 =1
Tu również nikt nie ma wątpliwości że chodzi o psa.
Zauważmy, że zabierając jedno pojęcie lądujemy w niejednoznaczności, zatem ta definicja złożona zaledwie z dwóch elementów jest definicją minimalną.

Przykład definicji nadmiarowej sprowadzonej do absurdu:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka, nie będące kurą, nie będące drzewem, nie będące galaktyką … etc
P = S*PC*~K*~D*~G … =1
W iloczynie logicznym, definiującym pojęcie „pies” łatwo można dodać nieskończoną ilość pojęć prawdziwych w stosunku do psa, będących zaprzeczeniem fałszu:
Pies to nie kura
TAK (P*~K =1)
Pies to nie drzewo
TAK (P*~D =1)
etc


3.0 Podstawowe działania na zbiorach

W logice matematycznej dostępne są zaledwie cztery podstawowe operacje na zbiorach.

3.1 Iloczyn logiczny zbiorów:
Iloczyn logiczny zbiorów p*q to wspólna część tych zbiorów
p*q
Wartościowanie:
p*q =1 - jeśli zbiór wynikowy jest niepusty
p*q =0 - jeśli zbiór wynikowy jest pusty

Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
r=[7,8]
p*q =q*p =[1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
p*r =r*p =[1,2,3,4]*[7,8] =[] =0 - bo zbiór wynikowy jest pusty
Wnioski:
1.
Jeśli iloczyn logiczny zbiorów p i q jest zbiorem pustym to zbiory p i q są rozłączne (i odwrotnie)
2.
Iloczyn logiczny zbiorów jest przemienny: p*q = q*p

3.2 Suma logiczna zbiorów:
Suma logiczna zbiorów p+q to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
p+q
Wartościowanie:
1 - jeśli zbiór wynikowy jest niepusty
Z IV aksjomatu Kubusia (punkt 4.2) wnioskujemy, iż wynikiem sumy logicznej zbiorów może być wyłącznie zbiór niepusty.

Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty

3.3 Różnica zbiorów p-q:
Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p-q
Wartościowanie:
p-q =1 - jeśli zbiór wynikowy jest niepusty
p-q =0 - jeśli zbiór wynikowy jest pusty

Przykład:
Zdefiniujmy zbiory:
p=[1,2,3,4] =1 - zbiór wejściowy niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - zbiór wejściowy niepusty
r=[1,2] =1 - zbiór wejściowy niepusty
s=[1,2] =1 - zbiór wejściowy niepusty
p-q = [1,2,3,4]-[3,4,5,6] =[1,2] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
q-p =[3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
p-r =[1,2,3,4]-[1,2] =[3,4] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
r-p =[1,2]-[1,2,3,4] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty
r-s =[1,2]-[1,2] =[] =0
Wnioski:
1.
Jeśli zbiory p i q są nie są tożsame ~[p=q] to różnica zbiorów nie jest przemienna, bo zbiór wynikowy p-q jest różny od q-p
Jeśli zbiory p i q nie są tożsame ~[p=q] to nie jest wszystko jedno który zbiór nazwiemy p a który q
2.
Jeśli zbiory p i q są tożsame [p=q] to różnica zbiorów p-q jest zbiorem pustym [] (i odwrotnie)
p-q = q-p =[]
Jeśli zbiory p i q są tożsame [p=q] to różnica zbiorów jest przemienna, co oznacza iż wszystko jedno jest który zbiór nazwiemy p a który q.


3.4 Definicja zaprzeczenia zbioru:

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór na którym operujemy, nic spoza dziedziny nas nie interesuje

Definicja zaprzeczenia zbioru:
Zaprzeczenie zbioru to różnica dziedziny D i dowolnego zbioru x wewnątrz dziedziny (w tym D)
Oznaczmy:
D - dziedzina
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty []:
~D=[D-D] =[] =0 - zbiór pusty
Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~[] = D =1 - zbiór pełny (dziedzina)

Przykład:
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6] =1 - zbiór pełny
p=[1,2,3,4] =1 - zbiór wejściowy niepusty
~p =[D-p] =[1,2,3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty

Nazwa tożsama „zaprzeczenia zbioru”
Nazwa tożsama „zaprzeczenia zbioru” to „uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny”
W naszym przykładzie zbiór ~p=[5,6] jest uzupełnieniem do dziedziny D=[1,2,3,4,5,6] dla zbioru p=[1,2,3,4]


4.0 Zdanie warunkowe „Jeśli p to q”

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik

Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zbiorach opisuje wzajemną relację zbiorów p i q
Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zdarzeniach opisuje wzajemną relację zdarzeń p i q

W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” między p i q mogą być tylko i wyłącznie trzy spójniki implikacyjne:
I. p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q
II. p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q
III. p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q

Wartościowanie zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
Jeśli dany warunek jest spełniony (=1) to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest prawdziwe (=1), inaczej jest fałszywe (=0)

I.
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1*1 =1
Kwantyfikator mały ~~>spełniony bo możliwa jest (=1) sytuacja „są chmury” (CH=1) i „nie pada” (~P=1)
A2.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> nie padać (~P=1)
CH~>~P = 1*1 =0
Warunek konieczny ~> w zdaniu A2 nie jest spełniony (=0) bo zabieram chmury (CH=1) nie wykluczając sytuacji „nie pada” (~P=1)

II.
p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q
A3.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na pewno => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH = 1*1 =1
Warunek wystarczający => spełniony (=1) bo zawsze gdy wymuszam deszcz (P=1), pojawiają się chmury (CH=1)
Padanie deszczu (P=1) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH=1)
Padanie deszczu (P=1) daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur (CH=1)
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>

III
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q
A4.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1*1 =1
Warunek konieczny ~> spełniony (=1) bo zabieram chmury (CH=1) i znika mi możliwość padania (P=1)
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu (P=1), bo jak nie ma chmur (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => braku opadów (~P=1)
W naturalnej logice 5-cio latka odkryliśmy tu matematyczny związek między warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym =>.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.

Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
Innymi słowy:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” ma szansę być prawdziwym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest to samo zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~>

Przykłady:
A5.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
P~~>CH = P*CH = 1*1 =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona (=1) bo możliwa jest sytuacja „pada” (P=1) i „są chmury” (CH=1)
A6.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na pewno => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie deszczu (P=1) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH=1)
Doskonale widać, że warunkiem koniecznym prawdziwości zdania A6: P=>CH jest prawdziwość tego samego zdania pod kwantyfikatorem małym A5: P~~>CH
A7.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH = 1*1 =[] =0
Zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> jest fałszywe (=0) bo niemożliwa jest sytuacja „pada” (P=1) i „nie ma chmur” (~CH=1)

Na mocy prawa Kobry, jeśli w zdaniu A7 wymienimy spójnik na warunek wystarczający => lub konieczny ~> to zdanie A7 na pewno będzie fałszywe:
A7’.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie być pochmurno
P=>~CH =0 - na mocy prawa Kobry
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zdarzenia „pada” i „nie ma chmur” są rozłączne.
A7’’.
Jeśli jutro będzie padało to może ~> nie być pochmurno
P~>~CH =0 - na mocy prawa Kobry
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona zdarzenia „pada” i „nie ma chmur” są rozłączne.


4.1 Budowa szczegółowa zdania warunkowego „Jeśli p to q”

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik

Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zbiorach opisuje wzajemną relację zbiorów p i q
Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zdarzeniach opisuje wzajemną relację zdarzeń p i q

Twierdzenie Pitagorasa - pełne brzmienie:
A.
Jeśli wylosowany trójkąt x ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) jest prostokątny (TP) to na pewno => zachodzi w nim suma kwadratów
x*ZWT*TP=>SK =1
Dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Bycie trójkątem prostokątnym daje nam gwarancję matematyczną => iż zachodzi w nim suma kwadratów.
Jeśli w zdaniu A pod x podstawimy TP to wszystko jest w porządku:
x=TP
stąd:
TP*ZWT*TP =>SK
Prawa teorii zbiorów:
TP*TP = TP - bo iloczyn logiczny zbiorów tożsamych jest dowolnym ze zbiorów
ZWT*TP = TP - bo ZWT jest nadzbiorem zbioru TP
Stąd zapis matematycznie tożsamy:
TP=>SK
Wniosek:
Doskonale widać, że zdanie A jest prawdziwe tylko i wyłącznie dla trójkątów prostokątnych i fałszywe dla trójkątów nieprostokątnych (~TP).
Dowód:
Podstawiamy:
x=~TP - trójkąt nieprostokątny
Stąd:
~TP*ZWT*TP => SK
Prawa teorii zbiorów:
~TP*TP =[] - bo zbiory ~TP i TP są rozłączne
[]*ZWT=[] - iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym
stąd otrzymujemy:
A: [] =>SK =0
Dla trójkątów nieprostokątnych twierdzenie Pitagorasa jest fałszywe bo prawo Kobry.

Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
Innymi słowy:
Dowolne zdanie „Jeśli p to q” ma szansę być prawdziwym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest to samo zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~>

Dla trójkątów nieprostokątnych zdanie A pod kwantyfikatorem małym ~~> brzmi:
A: [] ~~>SK = []*SK =[] =0
Wniosek:
Dla trójkątów nieprostokątnych zdanie A jest fałszywe.

Stąd mamy jak na dłoni, szczegółową budowę zdania warunkowego „Jeśli p to q”.
Zapiszmy jeszcze raz nasze zdanie:
A.
Jeśli wylosowany trójkąt x ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) jest prostokątny (TP) to na pewno => zachodzi w nim suma kwadratów
x*ZWT*TP=>SK

To samo w zapisie ogólnym:
AOG.
Jeśli dowolny element x z przyjętej dziedziny X jest [p=wybrany element] to [q=konkretna cecha tego elementu]
x*X*p=>q
Tłumaczymy AOG na nasz przykład A:
Jeśli dowolny element x = Jeśli wylosowany trójkąt x
z przyjętej dziedziny x = ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT)
jest [p=wybrany element] = jest prostokątny (TP)
to [q=konkretna cecha tego elementu] = to w trójkącie tym zachodzi suma kwadratów

Zauważmy, że w schemacie ogólnym zdania warunkowego „Jeśli p to q” pod p i q nie możemy podstawić ani zbioru pustego (zabrania prawo Kobry), ani też zbioru pełnego (wybranej dziedziny).

Dowód:
1.
Spróbujmy podstawić pod p zbiór pusty:
Jeśli dowolny element x z przyjętej dziedziny X jest […] to [q=konkretna cecha tego elementu]

W zbiorze pustym nie ma żadnego elementu, zatem nie jesteśmy w stanie opisywać konkretnej cechy elementu którego nie widzimy (nie znamy).

2.
Spróbujmy podstawić pod zbiór p dziedzinę.
Załóżmy najszerszą możliwą dziedzinę: Uniwersum
Jeśli dowolny element x z przyjętej dziedziny [Uniwersum] jest [Uniwersum] to [q=konkretna cecha tego elementu]
x*U*U =x
Prawa teorii zbiorów:
U*U =U - bo iloczyn logiczny zbiorów tożsamych jest dowolnym z tych zbiorów
x*U=x - bo x jest podzbiorem U
czyli poprzednik urywa nam się na zdaniu:
Jeśli dowolny element x z przyjętej dziedziny U (ale jaki element!) to [q=konkretna cecha tego elementu]

Wnioski:
W algebrze Kubusia dziedzina jest zawsze kluczowa i najważniejsza, w AK operujemy tylko i wyłącznie w obrębie wybranej dziedziny.
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” nie możemy pod p lub q podstawić ani zbioru pustego [..], ani też dziedziny (w szczególności Uniwersum)
Co udowodniono wyżej.

4.1.1 Prawo Czarnej Mamby

Prawo Czarnej Mamby wynika ze szczegółowej budowy zdania warunkowego „Jeśli p to q” omówionej wyżej.

Prawo Czarnej Mamby
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” pod p lub q nie możemy podstawić ani zbioru pustego [..], ani też dziedziny D na której operujemy (w szczególności Uniwersum).

Przykład bezsensu:
Jeśli […] to ?
Jeśli Uniwersum to …?

Podzbiorem prawa Czarnej Mamby jest prawo Kobry.
Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
Innymi słowy:
Dowolne zdanie „Jeśli p to q” ma szansę być prawdziwym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest to samo zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~>


4.2 Aksjomaty Kubusia

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć z obszaru Uniwersum

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór na którym operujemy, nic spoza dziedziny nas nie interesuje
W szczególności dziedziną może być Uniwersum.

Aksjomaty Kubusia
I.
Człowiek może operować wyłącznie na pojęciach dla niego zrozumiałych
pies - pojęcie zrozumiałe
blebleku - pojęcie niezrozumiałe
II.
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” wartości logiczne p i q nie mogą być znane z góry
Wniosek:
Logika, będąca zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” to matematyczny opis nieznanego
III.
Każde pojęcie z obszaru Uniwersum jest zbiorem
W szczególności będzie to zbiór jednoelementowy
IV.
W zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” pod p i q możemy podstawiać wyłącznie zbiory (pojęcia) niepuste będące podzbiorem właściwym dziedziny na której operujemy.
Definicja podzbioru właściwego |=>:
Zbiór p jest podzbiorem właściwym |=> dziedziny D wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => dziedziny D i nie jest tożsamy z dziedziną D, co matematycznie zapisujemy ~[p=D]
p|=>D = (p=>D)*~[p=D]
Zobacz też prawo Czarnej Mamby (pkt.4.1.1)
V.
Zbiór pusty w logice matematycznej może powstać wyłącznie w matematycznych operacjach na zbiorach niepustych
Aksjomat V to wniosek z aksjomatu IV

Ad. II
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” wartości logiczne p i q nie mogą być znane z góry
Dowód:
W całym obszarze języka mówionego, we wszelkich środkach masowego przekazu, nie istnieje ani jedno zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w którym wartości logiczne p i q znane byłyby z góry.

Wniosek:
Definicja logiki matematycznej:
Logika to matematyczny opis nieznanego, czyli przyszłości lub nieznanej przeszłości

Wbrew pozorom przeszłość nie musi być znana.
Przykład :
Poszukiwanie mordercy
Założenia:
1. Morderstwa dokonano w Warszawie
2. Podejrzany Kowalski
A.
Jeśli Kowalski był w Warszawie w dniu morderstwa to mógł ~> zamordować
W~>Z =1
Bycie Kowalskiego w Warszawie w dniu morderstwa było warunkiem koniecznym ~>, aby był on mordercą.

Jeśli znamy rozwiązanie np. Kowalski jest mordercą to zdanie A wyżej traci sens, wiemy wszystko i żadna logika matematyczna nie jest nam tu potrzebna.

Ad. III
Każde pojęcie z obszaru Uniwersum jest zbiorem

Przykład matematyczny:
Zdefiniujmy dziedzinę:
LR - zbiór liczb rzeczywistych
Utwórzmy zbiór p zbudowany z jednej liczby tego zbioru:
p=[2]
Zaprzeczenie zbioru p to:
~p=[LR-2] - zbiór liczb rzeczywistych z wykluczeniem liczby 2
Matematycznie zachodzi:
p+~p = [2]+[LR-2] = LR =1 (dziedzina)
Zbiór ~p=[LR-2] jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru p=[2]
oraz:
p*~p = [2]*[LR-2] = [] =0 - bo zbiory p i ~p są rozłączne

Matematycznie zachodzi również:
p ## ~p
[2] ## [LR-2]
gdzie:
## - zbiory różne na mocy definicji

Przykład nie matematyczny
Zdefiniujmy zbiór zawierający jedno pojęcie z obszaru Uniwersum:
C = [kolor czerwony]
Przyjmijmy dziedzinę:
Uniwersum (U) - wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Na mocy definicji zaprzeczenia zapisujemy:
~C = [U-C] - dowolne pojęcie z palety Uniwersum z wykluczeniem „koloru czerwonego”

Zaprzeczeniem „koloru czerwonego” jest dowolne pojęcie z Uniwersum różne od pojęcia „kolor czerwony”, w szczególności może to być dowolny inny kolor.
Wypiszmy kilka pojęć wchodzących do zbioru ~C.
~C =[kolor biały, krowa, krasnoludek, miłość, Wszechświat …]
Dowolne z tych pojęć jest zaprzeczeniem koloru czerwonego.

W tym ujęciu „kolor czerwony” to zbiór jednoelementowy:
C = [kolor czerwony]

Stąd mamy III aksjomat Kubusia:
Każde pojęcie z obszaru Uniwersum jest zbiorem
W szczególności będzie to zbiór jednoelementowy

Ad. IV
W zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” pod p i q możemy podstawiać wyłącznie zbiory (pojęcia) niepuste będące podzbiorem właściwym dziedziny na której operujemy.
Aksjomat IV wynika bezpośrednio z prawa Czarnej Mamby (pkt. 4.1.1)

Prawo Czarnej Mamby
W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” pod p lub q nie możemy podstawić ani zbioru pustego [..], ani też dziedziny D na której operujemy (w szczególności Uniwersum).

Przykład bezsensu:
Jeśli […] to ?
Jeśli Uniwersum to …?

4.3 Kwantyfikator mały ~~>

Definicja kwantyfikatora małego ~~>:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Dla udowodnienia prawdziwości zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów p i q

4.3.1 Kwantyfikator mały ~~> w zbiorach

Definicja kwantyfikatora małego ~~>:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Zbiory:
Dla udowodnienia zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów p i q
Wartościowanie dla zbiorów:
Kwantyfikator mały p~~>q =1 jest spełniony (=1) gdy istnieje wspólny element zbiorów p*q (Inaczej: p~~>q =0)
Przemienność argumentów:
Argumenty w kwantyfikatorze małym ~~> są przemienne bo argumenty w iloczynie logicznym zbiorów p*q są przemienne:
p*q = q*p
Zapis tożsamy kwantyfikatora małego ~~> dla zbiorów:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x)
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)

Przykłady w zbiorach:
Dziedzina: LN
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
P2 =[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (parzystych)
P8 =[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
~P2=[LN-P2] =[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (nieparzystych)
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 =P8*P2 =1 bo 8
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona (=1) bo istnieje wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8 ..] np. 8
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 = [] =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona (=0) bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7..] są rozłączne.
Kwantyfikator mały jest przemienny bo argumenty w iloczynie logicznym są przemienne:
P8*P2 = P2*P8
P8*~P2 = ~P2*P8

4.3.2 Kwantyfikator mały ~~> w zdarzeniach

Definicja kwantyfikatora małego ~~> w zdarzeniach:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Zdarzenia:
Dla udowodnienia prawdziwości zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> wystarczy sama możliwość jednoczesnego zajścia zdarzeń p i q
Wartościowanie dla zdarzeń:
Kwantyfikator mały p~~>q =1 jest spełniony (=1) gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q (Inaczej: p~~>q =0)
Przemienność argumentów:
Argumenty w kwantyfikatorze małym ~~> są przemienne bo argumenty w iloczynie logicznym zbiorów p*q są przemienne:
p*q = q*p
Zapis tożsamy kwantyfikatora małego ~~> dla zdarzeń:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x)
Możliwe jest (Vx) jednoczesne zajście zdarzeń p(x) i q(x)

Przykłady w zdarzeniach:
A.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona, bo możliwa jest (=1) sytuacja „pada” i „są chmury”
B.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =[] =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona (=0), bo niemożliwa jest sytuacja „pada” i „nie ma chmur”
Wniosek:
Dla prawdziwości kwantyfikatora małego ~~> wystarczy sama możliwość jednoczesnego zajścia zdarzenia p i q
Kwantyfikator mały ~~> jest przemienny bo iloczyn logiczny zbiorów (zdarzeń) jest przemienny:
P*CH = CH*P
P*~CH = ~CH*P


4.4 Warunek wystarczający =>

Definicja warunku wystarczającego =>
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiory:
Definicja warunku wystarczającego p=>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zdarzenia:
Definicja warunku wystarczającego p=>q spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p wymusza zajście zdarzenia q

Przemienność argumentów w warunku wystarczającym =>:
Warunek wystarczający => nie jest przemienny, gdy zbiory (zdarzenia) p i q nie są tożsame ~[p=q]
LUB
Warunek wystarczający => jest przemienny gdy zbiory (zdarzenia) p i q są tożsame [p=q]

Przykład warunku wystarczającego => nieprzemiennego:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Zdanie odwrotne brzmi:
AO.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

Definicja równoważności:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(p<=q)

Nasz przykład:
RA.
P8<=>P2 = (P8=>P2)*(P8<=P2) = 1*0 =0
Wniosek:
Warunek wystarczający A: P8=>P2 nie wchodzi w skład definicji równoważności.

Przykład warunku wystarczającego => przemiennego:
A.
Jeśli dowolna liczba jest liczbą naturalną to na pewno => ta sama dowolna liczba jest liczbą naturalną
LN=>LN =1
Definicja warunku wystarczającego spełniona bo poprzednik jest tu identyczny z następnikiem, co gwarantuje prawdziwość warunku wystarczającego w dwie strony, co gwarantuje przemienność argumentów w zdaniu warunkowym „Jeśli p to p”
LN<=>LN = (LN=>LN)*(LN<=LN) = 1*1 =1
Wniosek:
Warunek wystarczający A: LN=>LN wchodzi w skład definicji równoważności.


4.4.1 Warunek wystarczający => w zbiorach

Definicja warunku wystarczającego =>
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiory:
Definicja warunku wystarczającego p=>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

Wnioski:
Wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru p jest warunkiem wystarczającym => na to, by ta liczba należała do zbioru q
Wylosowane dowolnej liczby ze zbioru p daje nam gwarancję matematyczną => iż ta liczba jest z zbiorze q
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>

Wartościowanie:
Warunek wystarczający p=>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem zbioru q (Inaczej: p=>q =0)

Definicja warunku wystarczającego => w kwantyfikatorze dużym
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego x, jeśli x należy do zbioru p(x) to na pewno => należy do zbioru q(x)

Definicja podzbioru właściwego =>:
Zbiór p jest podzbiorem właściwym |=> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Argumenty w podzbiorze właściwym p|=>q nie są przemienne.

Przykład 1.
Przyjmijmy zbiory p i q nie tożsame ~[p=q]
p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q, stąd
p=>q =1
Zbiór q nie jest podzbiorem => zbioru p, stąd:
q=>p =0
Wniosek:
Jeśli argumenty w warunku wystarczającym => nie są przemienne, zbiory p i q nie są tożsame ~[p=q] (i odwrotnie)

Definicja podzbioru niewłaściwego p<=>q:
Zbiór p jest zbiorem niewłaściwym <=> dla zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy [p=q]
p<=>q = (p=>q)*[p=q]
Argumenty w podzbiorze niewłaściwym <=> są przemienne co oznacza, że wszystko jedno co nazwiemy p a co q.
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów [p=q]

Przykład 2.
Przyjmijmy zbiory p i q tożsame [p=q]
p=[1,2,3,4]
q=[1,2,3,4]
p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
q=>p =1 - zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
Wniosek:
Jeśli argumenty w warunku wystarczającym => są przemienne, to zbiory p i q są tożsame [p=q] (i odwrotnie)

Stąd mamy matematyczną definicję tożsamości zbiorów p i q [p=q]:
Zbiory p i q są tożsame [p=q], wtedy i tylko wtedy <=> gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
[p=q] = (p=>q)*(q=>p) = 1*1 =1


4.4.2 Definicja kontrprzykładu dla zbiorów

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q =p*~q

Rozstrzygnięcia:
A.
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =1 daje nam pewność => fałszywości zdania kodowanego warunkiem wystarczającym p=>q =0 (i odwrotnie)
B.
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =0 daje nam pewność => prawdziwości warunku wystarczającego p=>q=1 (i odwrotnie)

Przykład warunku wystarczającego => w zbiorach
Dziedzina: LN
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
P2 =[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (parzystych)
P8 =[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
~P2=[LN-P2] =[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (nieparzystych)
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]
Wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru P8=[8,16,24..] jest warunkiem wystarczającym => na to aby ta liczba należała do zbioru P2=[2,4,6,8..]
Wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru P8=[8,16,24..] daje nam gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie należała do zbioru P2=[2,4,6,8..]
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna

Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego A: P8=>P2 jest zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym B: P8~~>~P2
Prawdziwość warunku wystarczającego A: P8=>P2 =1 daje nam gwarancję matematyczną fałszywości kontrprzykładu B: P8~~>~P2 =0
Sprawdzamy:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Definicja kwantyfikatora nie jest spełniona (=0), bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
Fałszywość kwantyfikatora małego B: P8~~>~P2 =0 daje nam gwarancję matematyczną => prawdziwości warunku wystarczającego A: P8=>P2 =1

Przemienność argumentów:
Argumenty w warunku wystarczającym A: P8=>P2 nie są przemienne bo:
A: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
AO: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]


4.4.3 Warunek wystarczający => w zdarzeniach
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zdarzenia:
Definicja warunku wystarczającego p=>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy zbiór p gdy zajście zdarzenia p wymusza => zdarzenie q

Wnioski:
Zajście zdarzenia p jest warunkiem wystarczającym => na to, by zaszło zdarzenie q
Zajście zdarzenie p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia zdarzenia q
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>

Wartościowanie:
Warunek wystarczający p=>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p wymusza zajście zdarzenia q. (Inaczej: p=>q =0)

Definicja warunku wystarczającego => w kwantyfikatorze dużym
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego zdarzenia x, jeśli zajdzie p(x) to zajdzie q(x)


4.4.4 Definicja kontrprzykładu dla zdarzeń

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q =p*~q

Rozstrzygnięcia:
A.
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =1 daje nam pewność => fałszywości zdania kodowanego warunkiem wystarczającym p=>q =0 (i odwrotnie)
B.
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =0 daje nam pewność => prawdziwości warunku wystarczającego p=>q=1 (i odwrotnie)

Przykład warunku wystarczającego => w zdarzeniach
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy „pada”, „są chmury”
Padanie deszczu daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Z prawdziwości warunku wystarczającego A: P=>CH =1 wynika fałszywość kontrprzykładu B: P~~> ~CH=0 (i odwrotnie).
B.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH = [] =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona (=0), bo niemożliwa jest sytuacja „pada” i „nie ma chmur”
Z fałszywości kontrprzykładu B: P~~>~CH=0 wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A: P=>CH =1 (i odwrotnie)

Przemienność argumentów:
Warunek wystarczający A: P=>CH nie jest przemienny bo zdanie odwrotne jest fałszywe:
AO.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padało
CH=>P =0
Warunek wystarczający AO: CH=>P nie jest spełniony (=0) bo prawdziwy jest kontrprzykład:
B: CH~~>~P= CH*~P =1 - może się zdarzyć, że są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)


4.5 Warunek konieczny ~>

Definicja warunku koniecznego ~>:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q

Zbiory:
Warunek konieczny ~> jest spełniony, jeśli zbiór p zawiera w sobie wszystkie elementy zbioru q
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Wartościowanie:
Warunek konieczny p~>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (Inaczej: p~>q =0)

Zdarzenia:
Warunek konieczny p~>q jest spełniony wtedy i tylko wtedy gdy zabierając zdarzenie p wykluczamy zajście zdarzenia q
Wartościowanie:
Warunek konieczny p~>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zabierając zdarzenie p wykluczamy zdarzenie q (Inaczej: p~>q =0)

Definicja nadzbioru właściwego |~>:
Zbiór p jest nadzbiorem właściwym |~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Argumenty w nadzbiorze właściwym p|~>q nie są przemienne.

Przykład 1.
Przyjmijmy zbiory p i q nie tożsame ~[p=q]
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q, stąd
p~>q =1
Zbiór q nie jest nadzbiorem ~> zbioru p, stąd:
q~>p =0
Wniosek:
Jeśli argumenty w warunku koniecznym ~> nie są przemienne, tonzbiory p i q nie są tożsame ~[p=q] (i odwrotnie)

Definicja nadzbioru niewłaściwego p<=>q:
Zbiór p jest nadzbiorem niewłaściwym <=> dla zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy [p=q]
p<=>q = (p~>q)*[p=q]
Argumenty w nadzbiorze niewłaściwym <=> są przemienne co oznacza, że wszystko jedno co nazwiemy p a co q.
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów [p=q]

Przykład 2.
Przyjmijmy zbiory p i q tożsame [p=q]
p=[1,2,3,4]
q=[1,2,3,4]
p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
q~>p =1 - zbiór q jest nadzbiorem ~> zbioru p
Wniosek:
Jeśli argumenty w warunku koniecznym ~> są przemienne, to zbiory p i q są tożsame [p=q] (i odwrotnie)

Stąd mamy matematyczną definicję tożsamości zbiorów p i q [p=q]:
Zbiory p i q są tożsame [p=q], wtedy i tylko wtedy <=> gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i jednocześnie zbiór q jest nadzbiorem ~> zbioru p
[p=q] = (p~>q)*(q~>p) = 1*1 =1

4.5.1 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Warunek konieczny ~> jest spełniony, jeśli zbiór p zawiera w sobie wszystkie elementy zbioru q
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Wartościowanie:
Warunek konieczny p~>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (Inaczej: p~>q =0)

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem zbioru P8=[8,16,24..]
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> jej podzielności przez 8, bo jak liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
P2~>P8 = ~P2=>~P8
Ostatnie zdanie to matematyczny związek warunku koniecznego P2~>P8 z warunkiem wystarczającym ~P2~>~P8
Prawdziwość dowolnej strony powyższej tożsamości wymusza prawdziwość drugiej strony.


4.5.2 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Zabieram zdarzenie p wykluczając zajście zdarzenia q

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zabieram chmury wykluczając padanie.
Istnienie chmur jest warunkiem koniecznym ~> dla deszczu, bo jak nie ma chmur to na pewno => nie pada
CH~>P = ~CH=>~P
Ostatnie zdanie to matematyczny związek warunku koniecznego CH~>P z warunkiem wystarczającym ~CH=>~P
Prawdziwość dowolnej strony powyższej tożsamości wymusza prawdziwość drugiej strony.


Algebra Kubusia
Część I

Spis treści
1.0 Definicje podstawowe 1
1.1 Podstawowe operacje na zbiorach 2
1.2 Spójniki implikacyjne 2
1.3 Rodzaje tożsamości w logice matematycznej 2
2.0 Definicja definicji 4
2.1 Definicja minimalna 4
3.0 Podstawowe działania na zbiorach 5
3.1 Iloczyn logiczny zbiorów: 5
3.2 Suma logiczna zbiorów: 6
3.4 Definicja zaprzeczenia zbioru: 6
4.0 Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” 7
4.1 Budowa szczegółowa zdania warunkowego „Jeśli p to q” 9
4.1.1 Prawo Czarnej Mamby 11
4.2 Aksjomaty Kubusia 11
4.3 Kwantyfikator mały ~~> 14
4.3.1 Kwantyfikator mały ~~> w zbiorach 14
4.3.2 Kwantyfikator mały ~~> w zdarzeniach 15
4.4 Warunek wystarczający => 15
4.4.1 Warunek wystarczający => w zbiorach 16
4.4.2 Definicja kontrprzykładu dla zbiorów 18
4.4.3 Warunek wystarczający => w zdarzeniach 19
4.4.4 Definicja kontrprzykładu dla zdarzeń 19
4.5 Warunek konieczny ~> 20


1.0 Definicje podstawowe

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć z obszaru Uniwersum

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór na którym operujemy, nic spoza dziedziny nas nie interesuje
W szczególności dziedziną może być Uniwersum.

Definicja zbioru niepustego i pustego:
Zbiór jest niepusty gdy zawiera co najmniej jeden element
p =[x] - zbiór niepusty
Zbiór jest pusty gdy nie zawiera żadnych elementów
p =[] - zbiór pusty

Wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz

Zbiory mają wartości logiczne:
p =[x] =1 - zbiór niepusty
p =[] =0 - zbiór pusty

1.1 Podstawowe operacje na zbiorach

„~” - symbol negacji (przeczenia), słówko „NIE” z naturalnego języka mówionego człowieka

Podstawowe operacje na zbiorach:

„-„ - różnica zbiorów p-q
Y=p-q - wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q

„i”(*) - symbol iloczynu logicznego zbiorów p*q, spójnik „i”(*) w naturalnej logice człowieka
Y=p*q - wspólna część zbiorów p*q

„lub”(+) - symbol sumy logicznej zbiorów p+q, spójnik „lub”(+) w naturalnej logice człowieka
Y=p+q - wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

Wartościowanie podstawowych operacji na zbiorach:
1 (prawda) - zbiór wynikowy jest niepusty
0 (fałsz) - zbiór wynikowy jest pusty

1.2 Spójniki implikacyjne

Spójniki implikacyjne:
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q
p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q
p<=>q - równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Wartościowanie spójników implikacyjnych:
1 (prawda) - dany warunek jest spełniony
0 (fałsz) - dany warunek nie jest spełniony

1.3 Rodzaje tożsamości w logice matematycznej

W logice matematycznej mamy do czynienia z trzema rodzajami tożsamości:
1. Tożsamość definiująca
2. Tożsamość wartościująca
3. Tożsamość logiczna (tożsama z równoważnością)

Pojęcie tożsamości w logice jest wystarczająco precyzyjne, bowiem rodzaj tożsamości wynika z konkretnego zapisu matematycznego.

Zbiory:
p =[x] =1
Pierwsza tożsamość (=[x]) definiuje zbiór, (tożsamość definiująca) natomiast druga (=1) przypisuje temu zbiorowi wartość logiczną (tożsamość wartościująca).
Przykład:
p =[pies, kot] =1
p - nazwa zbioru
[pies, kot] - zawartość zbioru, wypisujemy elementy zbioru
=1 - wartość logiczna zbioru 1, bo zbiór niepusty

Tożsamość logiczna „=” (inaczej zwana równoważnością <=>)

Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1*1 =1
Warunek konieczny ~> spełniony (=1) bo zabieram chmury (CH=1) i znika mi możliwość padania (P=1)
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu bo jak nie będzie chmur (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P=1).
W naturalnej logice 5-cio latka odkryliśmy tu matematyczny związek między warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym =>.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.
Na mocy prawa Kubusia mamy matematyczną pewność prawdziwości zdania C.
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na pewno => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P =1*1 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo jak nie będzie chmur (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padać (~P=1)

Doskonale tu widać poprawność prawa Kubusia:
Prawdziwość zdania A: CH~>P daje nam gwarancję matematyczną => prawdziwości zdania C: ~CH=>~P i odwrotnie.

Prawa Kubusia w zapisie ogólnym:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
„=” - tożsamość logiczna

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.
p=>q = ~p~>~q
W logice matematycznej tożsamość logiczna „=” jest tożsama z równoważnością <=>:
„=” = „<=>”

Prawa Kubusia możemy więc zapisać w sposób matematycznie tożsamy:
p=>q <=> ~p~>~q
p~>q <=> ~p=>~q


2.0 Definicja definicji

Definicja definicji:
Pojęcie definiowane = właściwa definicja pojęcia definiowanego

Definicja psa:
Pies = zwierzę domowe, mające cztery łapy, szczekające
… a nawet.
Pies = zwierzę domowe, szczekające
gdzie:
„=” - tożsamość definicyjna

Dla każdego człowieka ta definicja jest wystarczająca.
Lewa strona znaku „=” to pojęcie definiowane.
Właściwa definicja pojęcia definiowanego to wyłącznie prawa strona.
Na mocy tej definicji (prawa strona) każdy człowiek jednoznacznie rozpozna tu psa, od 5-cio latka poczynając. Ta definicja definicji obowiązuje także w matematyce.

Przykład błędnej definicji:
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisłą, podać jego odgłos.
http://youtu.be/K0uwEbIxhQw


2.1 Definicja minimalna

Definicja psa:
A.
Pies to zwierzę domowe, szczekające, przyjaciel człowieka
P = ZD*S*PC =1
Pojęcia ZD, S i PC to stałe symboliczne których wartość logiczna w odniesieniu do psa jest nam znana, w naszym przypadku wartość logiczna tych stałych symbolicznych to 1 (wszystkie pasują do psa).
Czy pies jest zwierzęciem domowym?
TAK (ZD =1)
Czy pies szczeka?
TAK (S =1)
Czy pies jest przyjacielem człowieka?
TAK (PC =1)

Definicja stałej symbolicznej:
Stała symboliczna to nazwa symboliczna której wartość logiczna jest nam z góry znana i której nie jesteśmy w stanie zmienić.

Definicja „pojęcia”:
Dowolne „pojęcie” w naszym Wszechświecie definiowane jest iloczynem logicznym stałych symbolicznych o wartości logicznej równej 1.

Definicja definicji minimalnej:
Definicja jest definicją minimalną, jeśli usunięcie dowolnego członu w definicji powoduje matematyczną niejednoznaczność, czyli kolizję z innym „pojęciem”.

Definicja wystarczająco jednoznaczna:
Definicja wystarczająco jednoznaczna to definicja zrozumiała dla drugiego człowieka

Zauważmy, że można przyjąć nawet taką definicję minimalną psa:
B.
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P = S*PC =1*1 =1
Tu również nikt nie ma wątpliwości że chodzi o psa.
Zauważmy, że zabierając jedno pojęcie lądujemy w niejednoznaczności, zatem ta definicja złożona zaledwie z dwóch elementów jest definicją minimalną.

Przykład definicji nadmiarowej sprowadzonej do absurdu:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka, nie będące kurą, nie będące drzewem, nie będące galaktyką … etc
P = S*PC*~K*~D*~G … =1
W iloczynie logicznym, definiującym pojęcie „pies” łatwo można dodać nieskończoną ilość pojęć prawdziwych w stosunku do psa, będących zaprzeczeniem fałszu:
Pies to nie kura
TAK (P*~K =1)
Pies to nie drzewo
TAK (P*~D =1)
etc


3.0 Podstawowe działania na zbiorach

W logice matematycznej dostępne są zaledwie cztery podstawowe operacje na zbiorach.

3.1 Iloczyn logiczny zbiorów:
Iloczyn logiczny zbiorów p*q to wspólna część tych zbiorów
p*q
Wartościowanie:
p*q =1 - jeśli zbiór wynikowy jest niepusty
p*q =0 - jeśli zbiór wynikowy jest pusty

Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
r=[7,8]
p*q =q*p =[1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
p*r =r*p =[1,2,3,4]*[7,8] =[] =0 - bo zbiór wynikowy jest pusty
Wnioski:
1.
Jeśli iloczyn logiczny zbiorów p i q jest zbiorem pustym to zbiory p i q są rozłączne (i odwrotnie)
2.
Iloczyn logiczny zbiorów jest przemienny: p*q = q*p

3.2 Suma logiczna zbiorów:
Suma logiczna zbiorów p+q to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
p+q
Wartościowanie:
1 - jeśli zbiór wynikowy jest niepusty
Z IV aksjomatu Kubusia (punkt 4.2) wnioskujemy, iż wynikiem sumy logicznej zbiorów może być wyłącznie zbiór niepusty.

Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty

3.3 Różnica zbiorów p-q:
Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p-q
Wartościowanie:
p-q =1 - jeśli zbiór wynikowy jest niepusty
p-q =0 - jeśli zbiór wynikowy jest pusty

Przykład:
Zdefiniujmy zbiory:
p=[1,2,3,4] =1 - zbiór wejściowy niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - zbiór wejściowy niepusty
r=[1,2] =1 - zbiór wejściowy niepusty
s=[1,2] =1 - zbiór wejściowy niepusty
p-q = [1,2,3,4]-[3,4,5,6] =[1,2] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
q-p =[3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
p-r =[1,2,3,4]-[1,2] =[3,4] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
r-p =[1,2]-[1,2,3,4] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty
r-s =[1,2]-[1,2] =[] =0
Wnioski:
1.
Jeśli zbiory p i q są nie są tożsame ~[p=q] to różnica zbiorów nie jest przemienna, bo zbiór wynikowy p-q jest różny od q-p
Jeśli zbiory p i q nie są tożsame ~[p=q] to nie jest wszystko jedno który zbiór nazwiemy p a który q
2.
Jeśli zbiory p i q są tożsame [p=q] to różnica zbiorów p-q jest zbiorem pustym [] (i odwrotnie)
p-q = q-p =[]
Jeśli zbiory p i q są tożsame [p=q] to różnica zbiorów jest przemienna, co oznacza iż wszystko jedno jest który zbiór nazwiemy p a który q.


3.4 Definicja zaprzeczenia zbioru:

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór na którym operujemy, nic spoza dziedziny nas nie interesuje

Definicja zaprzeczenia zbioru:
Zaprzeczenie zbioru to różnica dziedziny D i dowolnego zbioru x wewnątrz dziedziny (w tym D)
Oznaczmy:
D - dziedzina
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty []:
~D=[D-D] =[] =0 - zbiór pusty
Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~[] = D =1 - zbiór pełny (dziedzina)

Przykład:
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6] =1 - zbiór pełny
p=[1,2,3,4] =1 - zbiór wejściowy niepusty
~p =[D-p] =[1,2,3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty

Nazwa tożsama „zaprzeczenia zbioru”
Nazwa tożsama „zaprzeczenia zbioru” to „uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny”
W naszym przykładzie zbiór ~p=[5,6] jest uzupełnieniem do dziedziny D=[1,2,3,4,5,6] dla zbioru p=[1,2,3,4]


4.0 Zdanie warunkowe „Jeśli p to q”

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik

Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zbiorach opisuje wzajemną relację zbiorów p i q
Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zdarzeniach opisuje wzajemną relację zdarzeń p i q

W zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” między p i q mogą być tylko i wyłącznie trzy spójniki implikacyjne:
I. p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q
II. p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q
III. p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q

Wartościowanie zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
Jeśli dany warunek jest spełniony (=1) to zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest prawdziwe (=1), inaczej jest fałszywe (=0)

I.
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1*1 =1
Kwantyfikator mały ~~>spełniony bo możliwa jest (=1) sytuacja „są chmury” (CH=1) i „nie pada” (~P=1)
A2.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> nie padać (~P=1)
CH~>~P = 1*1 =0
Warunek konieczny ~> w zdaniu A2 nie jest spełniony (=0) bo zabieram chmury (CH=1) nie wykluczając sytuacji „nie pada” (~P=1)

II.
p=>q - warunek wystarczający => (gwarancja matematyczna =>), wymuszam dowolne p i pojawia się q
A3.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na pewno => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH = 1*1 =1
Warunek wystarczający => spełniony (=1) bo zawsze gdy wymuszam deszcz (P=1), pojawiają się chmury (CH=1)
Padanie deszczu (P=1) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH=1)
Padanie deszczu (P=1) daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur (CH=1)
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>

III
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q
A4.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1*1 =1
Warunek konieczny ~> spełniony (=1) bo zabieram chmury (CH=1) i znika mi możliwość padania (P=1)
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu (P=1), bo jak nie ma chmur (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => braku opadów (~P=1)
W naturalnej logice 5-cio latka odkryliśmy tu matematyczny związek między warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym =>.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony.

Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
Innymi słowy:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” ma szansę być prawdziwym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest to samo zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~>

Przykłady:
A5.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
P~~>CH = P*CH = 1*1 =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona (=1) bo możliwa jest sytuacja „pada” (P=1) i „są chmury” (CH=1)
A6.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na pewno => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie deszczu (P=1) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH=1)
Doskonale widać, że warunkiem koniecznym prawdziwości zdania A6: P=>CH jest prawdziwość tego samego zdania pod kwantyfikatorem małym A5: P~~>CH
A7.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH = 1*1 =[] =0
Zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> jest fałszywe (=0) bo niemożliwa jest sytuacja „pada” (P=1) i „nie ma chmur” (~CH=1)

Na mocy prawa Kobry, jeśli w zdaniu A7 wymienimy spójnik na warunek wystarczający => lub konieczny ~> to zdanie A7 na pewno będzie fałszywe:
A7’.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie być pochmurno
P=>~CH =0 - na mocy prawa Kobry
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zdarzenia „pada” i „nie ma chmur” są rozłączne.
A7’’.
J

[rafal3006]

Dochodzenie do końcowej wersji AK
2016-05-25

Algebra Kubusia

Autorzy:
Kubuś i przyjaciele

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Gdzie powstawała algebra Kubusia?
Forum śfinia.fora.pl to hlefik Kubusia, zawierający pełną historię powstawania AK:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
Forum ateista.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum yrizzona.freeforums.org:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum matematyka.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]

Algebra Kubusia to końcowy efekt dziesięcioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, ateista.pl, yrizona.freeforums.org i matematyka.pl. Warunkiem koniecznym powstania algebry Kubusia było wolne od wszelkiej cenzury forum śfinia oraz kluczowe dyskusje z Rafalem3006, Wujem Zbójem i Fiklitem. Śfinia to hlefik Kubusia z zapisem pełnej historii narodzin algebry Kubusia.

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do powstania algebry Kubusia:
Rafał3006(medium), Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek i inni.
Kubuś

Wstęp:
Algebra Kubusia to algebra równań logicznych totalnie izolowana od jakichkolwiek zer i jedynek. Cała logika matematyczna zaszyta jest tu w symbolach niezaprzeczonych (p) i zaprzeczonych (~p). W algebrze Kubusia wszystkie zmienne binarne sprowadzone są do jedynek na mocy praw Prosiaczka, które zapewniają bezproblemowe przejście z logiki równań logicznych do klasycznego rachunku zero-jedynkowego (i odwrotnie).
Z tego powodu algebra Kubusia jest algebrą, tak jak algebrą jest klasyczny rachunek zero-jedynkowy.
Pod algebrę Kubusia podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy. Najbardziej genialne są tu definicje implikacji prostej |=> i odwrotnej |~>, gdzie w jednej połówce mamy gwarancję matematyczną =>, natomiast w drugiej połówce zaszyta jest najzwyklejsza przypadkowość (~>, ~~>).
W świecie żywym operatory implikacji obsługują matematyczną „wolną wolę” wszystkich istot żywych. Człowiek podlega pod matematykę ścisłą, algebrę Kubusia, i nie ma najmniejszych szans aby się spod niej uwolnić. To dzięki algebrze Kubusia człowiek może się sensownie komunikować z drugim człowiekiem i nie ma w tej komunikacji chaosu (bełkotu), jaki niechybnie byłby, gdyby nie algebra Kubusia.
Algebra Kubusia w matematyce to wszelkie twierdzenia matematyczne, zatem występuje w każdej dziedzinie matematyki, to również przepiękna obsługa zbiorów w naszym Wszechświecie, zewsząd nas otaczających.

Spis treści
1.0 Notacja 2
2. 0 Klasyczna algebra Boole’a 2
2.1 Operatory logiczne 3
2.2 Prawa Prosiaczka 4
2.2.1 Prawa Prosiaczka w zbiorach 6
2.2.2 Prawa Prosiaczka w logice 3-latka 6
2.3 Operatory jednoargumentowe 7
2.3.1 Operator transmisji 8
2.3.2 Operator negacji 12
2.4 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+) 15
2.4 Definicje operatorów OR(|*) i AND(|+) 17
2.4.1 Definicja operatora OR(|+) 19
2.4.2 Definicja operatora AND(|*) 21
2.4.3 Równania alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne 23
2.5 Klasyczny rachunek zero-jedynkowy 25
2.5.1 Prawa De Morgana 27
2.5.2 Najważniejsze prawa algebry Boole’a 28
2.6 Operatory jednoargumentowe 32
2.6.1 Definicja operatora negacji 32


1.0 Notacja

1 - prawda
0 - fałsz

2. 0 Klasyczna algebra Boole’a

Klasyczna algebra Boole’a to opis wszelkich tabel zero-jedynkowych, w tym operatorów logicznych przy pomocy spójników logicznych:
„lub”(+) - spójnik „lub” z naturalnej logiki matematycznej człowieka
„i”(*) - spójnik „i” z naturalnej logiki matematycznej człowieka
„~” - negacja, przedrostek NIE z naturalnej logiki matematycznej człowieka

Klasyczna algebra Boole’a to zarówno tabele zero-jedynkowe, jak i równania algebry Boole’a opisujące te tabele. Spójniki logiczne „lub”(+) i „i”(*) to tylko „połówki” operatorów logicznych OR(|+) i AND(|*) a nie kompletne operatory. Prawa logiczne na poziomie operatorów OR(|+) i AND(|*) przenoszą się na odpowiednie prawa logiczne na poziomie spójników „lub”(+) i „i”(*) - mówi o tym prawo Sowy i prawo Bociana, które wkrótce poznamy.


2.1 Operatory logiczne

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1
p=[0,1]
Zmienna binarna = Zmienna dwuwartościowa

Definicja układu logicznego:
Układ logiczny to obiekt o n-wejściach binarnych i tylko jednym wyjściu binarnym Y

[rafal3006]

Dochodzenie do końcowej wersji AK
2016-05-25

Algebra Kubusia

Autorzy:
Kubuś i przyjaciele

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Gdzie powstawała algebra Kubusia?
Forum śfinia.fora.pl to hlefik Kubusia, zawierający pełną historię powstawania AK:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
Forum ateista.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum yrizzona.freeforums.org:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum matematyka.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]

Algebra Kubusia to końcowy efekt dziesięcioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, ateista.pl, yrizona.freeforums.org i matematyka.pl. Warunkiem koniecznym powstania algebry Kubusia było wolne od wszelkiej cenzury forum śfinia oraz kluczowe dyskusje z Rafalem3006, Wujem Zbójem i Fiklitem. Śfinia to hlefik Kubusia z zapisem pełnej historii narodzin algebry Kubusia.

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do powstania algebry Kubusia:
Rafał3006(medium), Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek i inni.
Kubuś

Wstęp:
Algebra Kubusia to algebra równań logicznych totalnie izolowana od jakichkolwiek zer i jedynek. Cała logika matematyczna zaszyta jest tu w symbolach niezaprzeczonych (p) i zaprzeczonych (~p). W algebrze Kubusia wszystkie zmienne binarne sprowadzone są do jedynek na mocy praw Prosiaczka, które zapewniają bezproblemowe przejście z logiki równań logicznych do klasycznego rachunku zero-jedynkowego (i odwrotnie).
Z tego powodu algebra Kubusia jest algebrą, tak jak algebrą jest klasyczny rachunek zero-jedynkowy.
Pod algebrę Kubusia podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy. Najbardziej genialne są tu definicje implikacji prostej |=> i odwrotnej |~>, gdzie w jednej połówce mamy gwarancję matematyczną =>, natomiast w drugiej połówce zaszyta jest najzwyklejsza przypadkowość (~>, ~~>).
W świecie żywym operatory implikacji obsługują matematyczną „wolną wolę” wszystkich istot żywych. Człowiek podlega pod matematykę ścisłą, algebrę Kubusia, i nie ma najmniejszych szans aby się spod niej uwolnić. To dzięki algebrze Kubusia człowiek może się sensownie komunikować z drugim człowiekiem i nie ma w tej komunikacji chaosu (bełkotu), jaki niechybnie byłby, gdyby nie algebra Kubusia.
Algebra Kubusia w matematyce to wszelkie twierdzenia matematyczne, zatem występuje w każdej dziedzinie matematyki, to również przepiękna obsługa zbiorów w naszym Wszechświecie, zewsząd nas otaczających.

Spis treści
1.0 Notacja 2
2. 0 Klasyczna algebra Boole’a 2
2.1 Operatory logiczne 3
2.2 Prawa Prosiaczka 4
2.2.1 Prawa Prosiaczka w zbiorach 6
2.2.2 Prawa Prosiaczka w logice 3-latka 6
2.3 Operatory jednoargumentowe 7
2.3.1 Operator transmisji 8
2.3.2 Operator negacji 12
2.4 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+) 15
2.4 Definicje operatorów OR(|*) i AND(|+) 17
2.4.1 Definicja operatora OR(|+) 19
2.4.2 Definicja operatora AND(|*) 21
2.4.3 Równania alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne 23
2.5 Klasyczny rachunek zero-jedynkowy 25
2.5.1 Prawa De Morgana 27
2.5.2 Najważniejsze prawa algebry Boole’a 28
2.6 Operatory jednoargumentowe 32
2.6.1 Definicja operatora negacji 32


1.0 Notacja

1 - prawda
0 - fałsz

2. 0 Klasyczna algebra Boole’a

Klasyczna algebra Boole’a to opis wszelkich tabel zero-jedynkowych, w tym operatorów logicznych przy pomocy spójników logicznych:
„lub”(+) - spójnik „lub” z naturalnej logiki matematycznej człowieka
„i”(*) - spójnik „i” z naturalnej logiki matematycznej człowieka
„~” - negacja, przedrostek NIE z naturalnej logiki matematycznej człowieka

Klasyczna algebra Boole’a to zarówno tabele zero-jedynkowe, jak i równania algebry Boole’a opisujące te tabele. Spójniki logiczne „lub”(+) i „i”(*) to tylko „połówki” operatorów logicznych OR(|+) i AND(|*) a nie kompletne operatory. Prawa logiczne na poziomie operatorów OR(|+) i AND(|*) przenoszą się na odpowiednie prawa logiczne na poziomie spójników „lub”(+) i „i”(*) - mówi o tym prawo Sowy i prawo Bociana, które wkrótce poznamy.


2.1 Operatory logiczne

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1
p=[0,1]
Zmienna binarna = Zmienna dwuwartościowa

Definicja układu logicznego:
Układ logiczny to obiekt o n-wejściach binarnych i tylko jednym wyjściu binarnym Y

[rafal3006]

Implikacja i równoważność w algebrze Kubusia

[rafal3006]

Wycofuję ten post, bo zacząłem mieszać technikę mintermów i makstermów, na dodatek błędnie matematycznie.


Lekcja logiki matematycznej z dedykacją dla Irbisola

Część I

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/czysto-matematyczne-obalenie-logiki-matematycznej-ziemian,9269-2775.html#360433

[rafal3006]

Wycofuję ten post, powód jak wyżej.

[rafal3006]

Powód:
Zbiory ~P8*~P2 i ~P8*P2 nie są rozłączne

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/operatory-or-i-and,10313-150.html#381003

Ostatni przełom w algebrze Kubusia!
Czyli:
Definicja poprawnej dziedziny w równaniu logicznym!

Definicja poprawnej dziedziny:
Dla dowolnej funkcji logicznej Y o n argumentach przyjęta dziedzina jest poprawna wtedy i tylko wtedy gdy dzieli funkcję logiczną Y na rozłączne zbiory niepuste uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Maksymalna ilość takich zbiorów to 2^n dla funkcji logicznej Y mającej same jedynki w wyniku.

Niezbędna teoria dla zrozumienia niniejszego postu:

[rafal3006]

Błędne definicje czworokątów w podręcznikach matematyki dla Szkoły Podstawowej![

Jeśli klikniemy na googlach hasło:
prostokąt rysunki
to zobaczmy wyłącznie prostokąty nie będące kwadratem PRNKW i żadnego kwadratu.
PRNKW = ~BR*KP
KW = BR*KP
Także we wszystkich podręcznikach szkolnych przy omawianiu definicji prostokąta widnieje de facto prostokąt nie będący kwadratem PRNKW.
Wedle obecnych definicji przy haśle „prostokąt” powinien być narysowany kompletny zbiór który tworzą prostokąty, czyli KW i PRNKW.
Oznacza to że matematycy zdefiniowali czworokąty KW i PRNKW niezgodnie z naturalną logiką matematyczną człowieka.
Nie ma problemów aby te błędne nazwy, niezgodne z praktyką matematyczną skorygować na poprawne jak niżej - wtedy świat wróci do normalności, czyli do zgody z tym co widzimy na obrazku klikając na googlach ”prostokąt obrazy”

Odpowiednie definicje przybiorą wówczas postać:
1.
[link widoczny dla zalogowanych]