 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pon 10:39, 20 Lut 2023 Temat postu: Smieci |
|
|
Przedszkole algebry Kubusia
38.0 Logika abstrakcyjna - przedszkole algebry Kubusia
Spis treści
38.0 Logika abstrakcyjna - przedszkole algebry Kubusia 1
38.1 Elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach 4
38.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 4
38.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 4
38.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 5
38.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 6
38.1.5 Nietrywialny błąd podstawienia ### 7
38.2 Prawa algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” 8
38.2.1 Prawo Kłapouchego 9
38.2.2 Prawo Słonia dla zbiorów 9
38.2.3 Prawo Irbisa dla zbiorów 11
38.4 Podstawowa teoria równoważności p<=>q 11
38.4.1 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach 13
38.4.2 Szybka analiza równoważności p<=>q 14
38.4.3 Równoważność Pitagorasa TP<=>SK 14
38.5 Przykład równoważności K<=>K z dziedziną minimalną D 17
38.6 Przykład równoważności K<=>K z dziedziną nieminimalną D 18
38.6.1 Operator równoważności K|<=>K z dziedziną nieminimalną D 19
38.6.2 Diagram operatora równoważności K|<=>K w dziedziną nieminimalną 23
38.6.3 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych 24
38.0 Logika abstrakcyjna - przedszkole algebry Kubusia
Definicja logiki abstrakcyjnej:
Logika abstrakcyjna to logika matematyczna z zerowym związkiem z naszym Wszechświatem
W podstawowej algebrze Kubusia zajmujemy się logiką matematyczną pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy (w tym matematyka).
Nie ma tu więc miejsca na logikę abstrakcyjną o definicji jak wyżej.
W algebrze Kubusia logika abstrakcyjna jest możliwa, co więcej, również jest to logika matematyczna na poziomie 5-cio latka.
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Logika abstrakcyjna = Przedszkole algebry Kubusia
Po co komu przedszkole algebry Kubusia?
W przedszkolu algebry Kubusia będziemy operować na zbiorach minimalnych, dzięki czemu wzajemne relacje wszystkich możliwych zbiorów {p, q, ~p, ~q} będziemy dowodzić w trywialny sposób (dosłownie na poziomie 5-cio latka), mający jednak przełożenie 1:1 na zbiory nieskończone których z definicji nie da się iterować element po elemencie.
Matematyka działa na zbiorach nieskończonych. Cała dotychczasowa algebra Kubusia w zbiorach również oparta była na zbiorach nieskończonych. Myślę, że ta dla wielu uczniów I klasy LO (to im dedykuję AK) zbiory nieskończone mogą okazać się potworem.
Tymczasem calusieńką AK można zrozumieć operując na zbiorach minimalnych doskonale rozumianych przez wszystkie 5-cio latki.
W przedszkolu postanowiłem ograniczyć dziedzinę do czterech elementów:
K=Kubuś
P=Prosiaczek
T=Tygrysek
S=Słoń
Maksymalna dziedzina Dmax której będziemy potrzebować to:
Dmax (dziedzina) = [K+P+T+S]
Dmax = [Kubuś + Prosiaczek + Tygrysek + Słoń]
Wyżej wymienione elementy są potrzebne i wystarczające dla 100% wyjaśnienia algebry Kubusia w zbiorach i wszystkich jej niuansów.
Mam nadzieję, że to posunięcie przekona do algebry Kubusia każdego matematyka.
Algebra Kubusia to nowa idea matematyczna, to spojrzenie na logikę matematyczną z dziewiczej strony, nieznanej ziemskim matematykom.
Tabele zero-jedynkowe operatorów dwuargumentowych używane w algebrze Kubusia znane są ziemskim matematykom, jednak ich interpretacja jest fundamentalnie inna.
Z powyższego wynika, że wszyscy ziemianie, także zawodowi matematycy, powinni zacząć swoją przygodę z algebrą Kubusia od przedszkola algebry Kubusia. W przełożeniu na matematykę klasyczną jest to odpowiednik nauki tabliczki mnożenia do 100 w IV klasie szkoły podstawowej.
Minimalna ilość elementów zbiorów przy pomocy których można zaprezentować działanie wszelkich operatorów implikacyjnych (definiowanych zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q") to zaledwie cztery elementy.
Dla demonstracji przyjmijmy cztery pluszowe zabawki:
K – Kubuś
P – Prosiaczek
T – Tygrysek
S – Słoń
Oczywiście mogą to być dowolne cztery pojęcia rozumiane przez człowieka różne na mocy definicji ## np.
M - miłość
K – krasnoludek
R – rower
C – cytryna
Operowanie na tego typu sztucznych zbiorach nie ma nic wspólnego z językiem potocznym, niemniej jednak od strony dydaktycznej jest bardzo dobre, bowiem pozwala zrozumieć wszelkie niuanse logiki matematycznej także w zbiorach nieskończonych, co za chwilkę zaprezentujemy.
Zobaczmy co ma do powiedzenia w tym temacie sztuczna inteligencja GPT:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-9400.html#821717
@Rafal3006
Lucek, zapytaj to swoje gówno zwane AI co myśli o algebrze Kubusia!
@Lucek
Zapytałem o jedno z twoich tytułowych zdań:
GPT:
"Definicja logiki abstrakcyjnej: Logika abstrakcyjna to logika matematyczna z zerowym związkiem z naszym Wszechświatem" oznacza, że logika abstrakcyjna jest dziedziną logiki, która operuje na czysto teoretycznych pojęciach i strukturach, nie związanych bezpośrednio z rzeczywistością fizyczną. Nie zajmuje się opisem rzeczywistego świata, ale rozwija zasady i systemy logiczne w oderwaniu od zjawisk fizycznych. Przykładem może być logika formalna, która bada zależności między symbolami i regułami, niezależnie od ich fizycznych interpretacji.
i mam taką wątpliwość ... Ty przecież jak najbardziej odnosisz się do fizycznych interpretacji np. bramek
@Rafal3006
Dokładnie, fundamentem algebry Kubusia jest teoria bramek logicznych - zarówno tej abstrakcyjnej AK która nie opisuje matematycznie otaczającej na rzeczywistości, jak i tej użytecznej AK opisującej matematycznie otaczającą nas rzeczywistość.
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-9400.html#821727
@Lucek
Dodam tylko, że:
GPT:
Abstrakcja to proces upraszczania rzeczywistości poprzez wyodrębnianie istotnych cech i pomijanie szczegółów, które nie są w danym kontekście istotne. W różnych dziedzinach abstrakcja może mieć różne znaczenia:
1. **W sztuce** – abstrakcja to kierunek, który rezygnuje z przedstawiania rzeczywistości w sposób realistyczny, skupiając się na formach, kolorach i kształtach, które nie mają dosłownego odniesienia do świata zewnętrznego.
2. **W matematyce i logice** – abstrakcja polega na oddzieleniu ogólnych zasad od szczegółowych przypadków, tworzeniu pojęć ogólnych, które obejmują szersze zbiory obiektów.
3. **W programowaniu komputerowym** – abstrakcja oznacza ukrywanie szczegółów implementacyjnych w celu ułatwienia korzystania z systemu czy narzędzia. Przykładem może być używanie interfejsów lub klas, które ukrywają skomplikowane operacje.
W każdej z tych dziedzin abstrakcja polega na tworzeniu ogólnych, uniwersalnych pojęć, które upraszczają analizę i zrozumienie rzeczywistości
.
Jak widzimy, tej sztucznej inteligencji GPT czasami udaje się coś mądrego napisać - o to wytłuszczone, ostatnie zdanie tu chodzi.
Kwintesencja „Algebry Kubusia w przedszkolu” to precyzyjne wytłumaczenie o co chodzi w logice matematycznej przy pomocy zaledwie czterech elementów, zamiast operowania na zbiorach nieskończonych.
Bezdyskusyjnie jest to radykalne uproszczenie tłumaczenia algebry Kubusia które polecam wszystkim, od uczniów I klasy LO poczynając, na zawodowych matematykach kończąc.
38.1 Elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów/zdarzeń p i q.
38.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] np. 24
38.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić relację podzbioru P8=>P2 potrafi każdy matematyk.
W zapisie formalnym mamy tu:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Gdzie:
p - przyczyna (część zdania po "Jeśli …")
q - skutek (część zdania po "to…")
Podsumowując:
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>:
Zapis formalny:
A1: p=>q = ~p+q
Zapis aktualny (przykład):
A1: p=P8
A1: q=P2
A1: P8=>P2=~P8+P2
|
38.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
W zapisie formalnym mamy tu:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Gdzie:
p - przyczyna (część zdania po "Jeśli …")
q - skutek (część zdania po "to…")
Podsumowując:
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>:
Zapis formalny:
B1: p~>q = p+~q
Zapis aktualny (przykład):
B1: p=P2
B1: q=P8
B1: P2~>P8=P2+~P8
|
38.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2=1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2, bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8…], co każdy matematyk udowodni.
Na mocy definicji kontrprzykładu, z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Dowód wprost:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9…] bo dowolny zbiór liczb parzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych.
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywości zdania A1' nie musimy udowadniać, ale możemy, co zrobiono wyżej.
Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’
38.1.5 Nietrywialny błąd podstawienia ###
Piętą Achillesową logiki matematycznej ziemian jest nieodróżnianie w rachunku zero-jedynkowym definicji warunku wystarczającego p=>q od definicji warunku koniecznego p~>q.
Fatalny sutek powyższego, to brak zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego p~>q w logice matematycznej ziemian.
Geneza tego błędu jest następująca:
I.
Weźmy przykład ilustrujący warunek wystarczający p=>q w logice matematycznej:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić relację podzbioru P8=>P2 potrafi każdy matematyk.
Podsumowując:
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>:
Zapis formalny:
A1: p=>q = ~p+q
Zapis aktualny (przykład - punkt odniesienia):
A1: p=P8
A1: q=P2
A1: P8=>P2=~P8+P2
|
###
I.
Weźmy przykład ilustrujący warunek konieczny p~>q w logice matematycznej:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Podsumowując:
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>:
Zapis formalny:
B1: p~>q = p+~q
Zapis aktualny (przykład - punkt odniesienia):
B1: p=P2
B1: q=P8
B1: P2~>P8=P2+~P8
|
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej popełniamy nietrywialny błąd podstawienia ###
Zapiszmy powyższe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w tabeli prawdy.
Dowód:
| Kod: |
Nietrywialny błąd podstawienia ###:
Definicja warunku wystarczającego =>: | Definicja warunku koniecznego ~>:
Zapis formalny: | Zapis formalny:
1. A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
------------------------------------------------------------------------
Zapis aktualny (punkt odniesienia): | Zapis aktualny (punkt odniesienia)
2. A1: p=P8 ### B1: p=P2
3. A1: q=P2 ### B1: q=P8
4. A1: P8=>P2=~P8+P2 ### B1: P2~>P8=P2+~P8
## - różne na mocy definicji
### - nietrywialny błąd podstawienia
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zauważmy że:
1.
Suma logiczna (+) jest przemienna stąd w linii 4 zachodzi pozorna tożsamość logiczna [=].
2.
W rzeczywistości pozorna tożsamość [=] w linii 4 nie zachodzi, bowiem mamy tu do czynienia z nietrywialnym błędem podstawienia ###
3.
W liniach 2 i 3 doskonale widać na czym ten nietrywialny błąd podstawienia ### polega:
Warunek wystarczający A1: p=>q jest tu obserwowany z punktu odniesienia p=P8 i q=P2
Natomiast:
Warunek konieczny B1: p~>q jest tu obserwowany z innego punktu odniesienia p=P2 i q=P8
Prawo punktu odniesienia:
Porównywanie czegokolwiek z czymkolwiek jest matematycznie poprawne wtedy i tylko wtedy gdy patrzymy na problem z tego samego punktu odniesienia.
Stąd mamy:
Definicja nietrywialnego błędu podstawienia ###:
Nietrywialny błąd podstawienia ### występuje wtedy i tylko wtedy gdy w zapisie formalnym mamy do czynienia ze znaczkiem różne na mocy definicji ##, zaś w zapisie aktualnym skolerowanym z zapisem formalnym zachodzi tożsamość logiczna [=].
Nietrywialny błąd podstawienia ### wymusza wprowadzenie do logiki matematycznej prawa Kłapouchego, zapobiegającego niejednoznaczności logiki matematycznej, o czym będzie za chwilkę.
38.2 Prawa algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej [=] dla zapisu wieloczłonowego (patrz prawo Słonia niżej)
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
38.2.1 Prawo Kłapouchego
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
38.2.2 Prawo Słonia dla zbiorów
Największą tragedią ziemskiej logiki matematycznej jest brak prawa Słonia dla zbiorów i zdarzeń.
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwości/fałszywości dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą ”nie wprost"
Przykład:
Zbadaj czy zachodzi warunek wystarczający => w poniższym zdaniu:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
A1: P8=>P2=?
Rozwiązanie:
Na mocy prawa Kłapouchego zapis formalny (ogólny) zdania A1 to:
A1: p=>q =1
Gdzie:
p=P8
q=P2
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q matematyczne twierdzenie proste =>
W metodzie "nie wprost" na mocy prawa Słonia dowodzimy prawdziwości relacji podzbioru =>.
Innymi słowy badamy:
Czy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]?
Oczywiście relacja podzbioru => jest (=1) tu spełniona:
P8=>P2=1
co każdy matematyk bez trudu udowodni.
W tym momencie na mocy prawa Słonia mamy udowodnione metodą "nie wprost" dwa fakty czysto matematyczne:
1.
Twierdzenie proste A1 jest prawdziwe
A1: P8=>P2 =1
2.
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2
A1: P8=>P2 =1
Podsumowując:
Z gołych definicji podzbioru => i warunku wystarczającego => nic w matematyce nie wynika, dopóki nie poznamy prawa Słonia.
Dopiero prawo Słonia w dowodzeniu prawdziwości warunku wystarczającego =>, czy też prawdziwości samego zdania warunkowego „Jeśli p to q" ma fundamentalne znaczenie, co udowodniono ciut wyżej.
38.2.3 Prawo Irbisa dla zbiorów
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Dowód:
Oczywistość, bo na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> siebie samego.
38.4 Podstawowa teoria równoważności p<=>q
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa.
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q=1
--------------------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1 [=] 5: p*q+~p*~q
tożsamość zbiorów/zdarzeń: | tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Relacje zbiorów w tabeli prawdy TR są następujące:
A1B1: p=q [=] A3B3: q=p - przemienność zbiorów tożsamych jest oczywistością
#
A2B2: ~p=~q [=] A4B4: ~q=~p - przemienność zbiorów tożsamych jest oczywistością
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna zbiorów
38.4.1 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach:
Zbiór/zdarzenie p jest podzbiorem => zbioru/zdarzenia q i jest tożsamy ze zbiorem/zdarzeniem q (p=q). Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie).
Dziedzina w równoważności p<=>q musi być szersza od sumy logicznej zbiorów/zdarzeń p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia {p, q, ~p, ~q} będą rozpoznawalne, czyli będą zbiorami/pojęciami niepustymi, co widać na poniższym diagramie DR. Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka lub jeszcze nie zdefiniowanych.
Stąd łatwo rysujemy diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach:
| Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach.
---------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|-----------------------------------|-------------------------------------|
| q | ~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| p=q # ~p=~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Prawa Kubusia: |
| A1: p=>q=~p+q=1 (p*q=1) [=] A2:~p~>~q=~p+q=1 (~p*~q=1) |
| ## | ## |
| B1: p~>q=p+~q=1 (p*q=1) [=] B2:~p=>~q=p+~q=1 (~p*~q=1) |
| Stąd: |
| A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)[=]A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|-------------------------------------------------------------------------|
| Tożsamości zbiorów na mocy prawa Irbisa |
| A1B1: p=q # A2B2: ~p=~q |
| Wyjaśnienie: |
| p=q - w równoważności p<=>q zbiory tożsame p=q na mocy prawa Irbisa |
| ~p=[D-p] - zaprzeczeniem # zbioru p jest zbiór ~p=[D-p] | | ~q=[D-q] - zaprzeczeniem # zbioru q jest zbiór ~q=[D-q]
|-------------------------------------------------------------------------|
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty, zdarzenie niemożliwe |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty, zdarzenie niemożliwe |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów/zdarzeń niepustych) |
| Gdzie: |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony |
| ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>|
| [=], "=", <=> - znaczki tożsamości logicznej |
| p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia |
---------------------------------------------------------------------------
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
Na mocy diagramu DR mamy:
Szybka analiza równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =1 - zbiór/zdarzenie p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia q
A1': p~~>~q=p*~q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla A1
.. a jeśli zajdzie ~p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2:~p=>~q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~q
B2': ~p~~>q=~p*q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla B2
|
38.4.2 Szybka analiza równoważności p<=>q
Na mocy powyższego diagramu DR, zapisujemy szybką analizę równoważności przydatną w zbiorach minimalnych gdzie dowód wzajemnych relacji zborów p i q w dowolnych przeczeniach jest trywialny.
| Kod: |
Szybka analiza równoważności p<=>q:
A1: p=> q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
A1': p~~>~q=p*~q=0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne
.. a jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
B2':~p~~>q=~p*q=0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samym p i q, inaczej błąd podstawienia
|
38.4.3 Równoważność Pitagorasa TP<=>SK
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Współczesna matematyka klasyczna zawęża swoje działanie tylko i wyłącznie do dowodu twierdzeń prostych A1: p=>q i twierdzeń odwrotnych B3: q=>p.
Matematycy znają poprawną definicję równoważności p<=>q jako jednoczesną prawdziwość twierdzenia prostego A1: p=>q i odwrotnego B3: q=>p.
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste A1: p=>q i jednocześnie prawdziwe jest twierdzenie odwrotne B3: q=>p
Na mocy powyższego wzoru matematycy poprawnie dowodzą prawdziwości/fałszywości równoważności p<=>q. Problem w tym, że nie wiedzą co w istocie oznacza udowodniona równoważność prawdziwa p<=>q.
Klasyczna definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 – zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy równoważność p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Prawą stronę możemy przeczytać tak:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego by zaszło q
Innymi słowy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~>(B1) i wystarczające => (A1) do tego by zaszło q
Równoważność jest przemienna, stąd kolejny zapis tożsamy:
Do tego by zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza =>(A1) by zaszło p
Prawa strona równoważności p<=>q to znana każdemu człowiekowi definicja równoważności:
Dowód:
Klikamy na googlach:
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: kilkanaście tysięcy
„konieczne i wystarczające”
Wyników: kilkanaście tysięcy
"potrzeba i wystarcza"
Wyników: kilkanaście tysięcy
Kluczowa dla matematyki jest tożsama definicja równoważności p<=>q w zbiorach sformułowana na mocy prawa Tygryska i prawa Słonia
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Prawa Słonia:
Warunek wystarczający => = Relacja podzbioru =>
Stąd mamy:
Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
A1: p=>q =1 – zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B3: q=>p =1 – zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
Stąd mamy równoważność p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1
Przykład:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Prawa strona to:
A1.
Twierdzenie proste Pitagorasa A1: p=>q:
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny TP to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów SK
TP=>SK=1
Bycie trójkątem prostokątnym TP jest (=1) warunkiem wystarczającym => by zachodziła w nim suma kwadratów wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
B3.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: q=>p:
Jeśli w dowolnym trójkącie zachodzi suma kwadratów SK to na 100% => jest to trójkąt prostokątny TP
SK=>TP =1
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów SK jest (=1) warunkiem wystarczającym => by ten trójkąt był prostokątny TP wtedy i tylko wtedy gdy zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru q (B3)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
W przełożeniu na równoważność Pitagorasa TP<=>SK mamy:
A1B3: TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = A1B3: TP<=>SK
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych ludzkość udowodniła wieki temu, stąd wnioskujemy o tożsamości zbiorów TP=SK na mocy prawa Irbisa.
Zauważmy, że na mocy prawa Irbisa wystarczy nam informacja o tożsamości zbiorów:
A1B3: TP=SK
co powoduje, że znamy wynik iterowania po nieskończonych zbiorach TP i SK w dowolną stronę, bez potrzeby rzeczywistego iterowania!
Co oznacza tożsamość zbiorów:
TP=SK?
Czytamy:
Każdy trójkąt prostokątny ze zbioru TP ma swój unikalny odpowiednik w zbiorze trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów SK (i odwrotnie)
38.5 Przykład równoważności K<=>K z dziedziną minimalną D
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q (p=q). Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie).
Wniosek:
Dziedzina w równoważności p<=>q musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia {p, q, ~p, ~q} będą rozpoznawalne, czyli będą zbiorami niepustymi. Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka lub jeszcze nie zdefiniowanych.
Przykład 1
Oczywistym jest, że wystarczą dwa różne elementy zbiorów na których można zbudować definicję równoważności p<=>q np.
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Dziedzina minimalna to:
D=[K+P] (Kubuś+Prosiaczek)
Dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q =[K] bowiem wtedy i tyko wtedy możemy analizować zdania warunkowe "Jeśli p to q" definiujące równoważność p<=>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Innymi słowy:
Niepuste muszą być zbiory/zdarzenia {p, q, ~p, ~q}
Obliczamy przeczenia zbiorów p i q definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny D
~p=[D-p]=[(K+P)-K]=[P] (Prosiaczek)
~q=[D-q]=[(K+P)-K] = [P] (Prosiaczek)
Podsumowanie:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Dziedzina:
D=[K+P] (Kubuś+Prosiaczek)
~p=[P] (Prosiaczek)
~q=[P] (Prosiaczek)
Sprawdzenie poprawności zdefiniowanych zbiorów p i q oraz dziedziny szybką analizą równoważności p<=>q
| Kod: |
Przykład 1
Szybka analiza równoważności p<=>q:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Dziedzina:
D=[K+P] (Kubuś+Prosiaczek)
~p=[P] (Prosiaczek)
~q=[P] (Prosiaczek)
A1: p=> q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
A1: p=[K]=>q=[K]=1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
;
A1': p~~>~q=p*~q=0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne
A1': p=[K]~~>~q=[P]=[K]*[P]=[]=0 - zbiory p i ~q są rozłączne.
.. a jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
B2: ~p=[P]=>~q=[P]=1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
;
B2':~p~~>q=~p*q=0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne
B2':~p=[P]~~>q=[K]=[P]*[K]=[]=0 - zbiory ~p i q są rozłączne.
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samym p i q, inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że przyjęte zbiory p i q oraz dziedzina D spełniają definicję równoważności p<=>q
cnd
38.6 Przykład równoważności K<=>K z dziedziną nieminimalną D
Przykład 2
Rozważmy zbiory tożsame:
p=q
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Przyjmijmy ciut większą wspólną dziedzinę dla zbiorów p i q by przykład nie był zbyt trywialny:
D = [K+P+T]
D = [Kubuś+Prosiaczk+Tygrysek]
Obliczamy przeczenia zbiorów p i q definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny D
~p=[D-p] = [(K+P+T)-K] = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q=[D-q] = [(K+P+T)-K] = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
Podsumowanie:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Wspólna dziedzina:
D = [K+P+T]
D = [Kubuś+Prosiaczk+Tygrysek]
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
Zauważmy, że z punktu widzenia równoważności p<=>q wszystko jest tu w porządku:
Po pierwsze:
Tożsamość zbiorów:
p=q = [K] (Kubuś)
Wymusza tożsamość zbiorów:
~p=~q =[P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
Po drugie:
Spełniona jest definicja wspólnej dziedziny dla p i q:
p*q = [K]*[P+T] =[] =0
p+q = [K]+[P+T]=[K+P+T] =D(dziedzina) =1
cnd
Sprawdzenie poprawności zdefiniowanych zbiorów p i q oraz dziedziny szybką analizą równoważności p<=>q
| Kod: |
Szybka analiza równoważności p<=>q:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Wspólna dziedzina:
D = p+q = [K+P+T]
D = [Kubuś+Prosiaczk+Tygrysek]
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
A1: p=> q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
A1: p=[K]=>q=[K]=1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
;
A1': p~~>~q=0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne
A1': p=[K]~~>~q=[P+T]=0 - zbiory p i ~q są rozłączne.
.. a jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
B2: ~p=[P+T]=>~q=[P+T]=1 -każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
;
B2':~p~~>q =0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne
B2':~p=[P+T]~~>q=[K]=0 - zbiory ~p i q są rozłączne.
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samym p i q, inaczej błąd podstawienia
|
38.6.1 Operator równoważności K|<=>K z dziedziną nieminimalną D
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q (p=q). Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie).
Wniosek:
Dziedzina w równoważności p<=>q musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia {p, q, ~p, ~q} będą rozpoznawalne, czyli będą zbiorami niepustymi. Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka lub jeszcze nie zdefiniowanych.
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa dla przykładu 2.
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku podzbioru => i nadzbioru ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Nasz przykład:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Wspólna dziedzina:
D = [K+P+T]
D = [Kubuś+Prosiaczk+Tygrysek]
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
A": 1: [K]=>[K] = 2:[P+T]~>[P+T] [=] 3: [K]~>[K] = 4: [P+T]~>[P+T]
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
B": 1: [K]~>[K] = 2: [P+T]=>[P+T] [=] 3: [K]=>[K] = 4: [P+T]~>[P+T]
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2: ~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4: ~q<=>~p=1
AB": 1: [K]<=>[K] = 2: [P+T]<=>[P+T] [=] 3: [K]<=>[K] = 4: [P+T]<=>[P+T]
tożsamość zbiorów/zdarzeń: | tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
AB": 1: [K]=[K] # 2: [P+T]=[P+T] | 3: [K]=[K] # 4: [P+T]=[P+T]
Zaprzeczenie zbiorów ~p i ~q dotyczy dziedziny:
D=[K+P+T]
Przykład:
~p=[D-p]=[D-K]=[K+P+T-K]=[P+T]
~q=[D-q]=[D-K]=[K+P+T-K]=[P+T] cnd
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
W tabeli równoważności TR dla naszego przykładu doskonale widać spełnione relacje podzbioru => i nadzbioru ~> we wszystkich zdaniach serii Ax i Bx.
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Na mocy prawa Sowy równoważność prawdziwa p<=>q determinuje prawdziwość operatora równoważności p|<=>q (albo odwrotnie)
Definicja operatora równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Nasz przykład:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Wspólna dziedzina:
D = [K+P+T](Kubuś + Prosiaczek + Tygrysek)
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q:
Dwa zbiory/zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q.
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
p=[K] => q=[K] =1 - bo każdy zbiór jest (=1) podzbiorem => siebie samego.
Czytamy:
Jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru p=[K] to ten element na 100% => gdzie należał do zbioru q=[K]
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p=[K] jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru q=[K] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K].
Jak widać prawo Słonia samo nam tu wyskoczyło.
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Fałszywość zdania A1' wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód "nie wprost"
Dowód wprost dla naszego przykładu mamy niżej.
p=[K]~~>~q=[P+T] = {K]*[P+T} =[] =0 - bo zbiory p=[K] i ~q=[P+T] są rozłączne
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p=[K] i ~q=[P+T]
cnd
… co się stanie jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru ~p=[P+T]?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=~q:
Dwa zbiory/zdarzenia ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q.
A2B2: ~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)= A2B2: ~p<=>~q
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Nasz przykład:
~p=[P+T] => ~q={P+T] =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
Czytamy:
Jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru ~p=[P+T] to ten element na 100% => gdzie należał do zbioru ~q=[P+T]
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p=[P+T] jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru ~q=[P+T] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p=[P+T] jest podzbiorem => zbioru ~q=[P+T]
Jak widać prawo Słonia samo nam tu wyskoczyło.
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Fałszywość zdania B2' wynika z definicji kontrprzykładu - to jest dowód "nie wprost"
Dowód wprost dla naszego przykładu mamy niżej.
~p=[P+T] ~~> q=[K] = [P+T]*[K] =[] =0 - bo zbiory ~p=[P+T] i q=[K] są rozłączne.
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i q
cnd
Podsumowując:
Równoważność p<=>q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań tworzących operator równoważności p|<=>q (A1, A1’,B2, B2’) jest bez znaczenia co oznacza, iż zdania w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać
38.6.2 Diagram operatora równoważności K|<=>K w dziedziną nieminimalną
Przenieśmy nasz przykład równoważności do diagramu równoważności
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Wspólna dziedzina:
D = [K+P+T](Kubuś + Prosiaczek + Tygrysek)
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
| Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach.
---------------------------------------------------------------------------
| p=[K] | ~p=[P+T] |
|-----------------------------------|-------------------------------------|
| q=[K] | ~q=[P+T] |
|-------------------------------------------------------------------------|
| p=q # ~p=~q |
| [K]=[K] # [P+T]=[P+T] |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Prawa Kubusia: |
| A1: p=>q=~p+q=1 (p*q=1) [=] A2: ~p~>~q=~p+q=1 (~p*~q=1) |
| A1": [K]=>[K] =1 [=] A2": [P+T]~>[P+T] =1 |
| ## | ## |
| B1: p~>q=p+~q=1 (p*q=1) [=] B2: ~p=>~q=p+~q=1 (~p*~q=1) |
| B1": [K]=>[K] =1 [=] B2": [P+T]=>[P+T] =1 |
| Stąd: |
| A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)[=]A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|-------------------------------------------------------------------------|
| Tożsamości zbiorów na mocy prawa Irbisa |
| A1B1: p=q # A2B2: ~p=~q |
| A1B1": [K]=[K] # A2B2" [P+T]=[P+T] |
| Wyjaśnienie: |
| p=[K] |
| q=[K] |
| D=[K+P+T] |
| ~p=[D-p]=[D-K]=[P+T] - zaprzeczeniem # zbioru p=[K} jest zbiór ~p=[P+T] |
| ~q=[D-q]=[D-K]=[P+T] - zaprzeczeniem # zbioru q=[K} jest zbiór ~q=[P+T] |
|-------------------------------------------------------------------------|
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| A1": [K]~~>[P+T]= [K]*[P+T]=[]=0 - zbiory rozłączne |
| ; |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2": [P+T]~~>[K]= [P+T]*[K]= []=0 - zbiory rozłączne |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q + B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| D=A1: [K]*[K]+ B2: [P+T]*[P+T] = [K+P+T] - suma zbiorów niepustych |
| Gdzie: |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony |
| ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>|
| [=], "=", <=> - znaczki tożsamości logicznej |
| p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia |
---------------------------------------------------------------------------
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
Na mocy diagramu DR mamy:
Szybka analiza równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =1 - zbiór/zdarzenie p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia q
A1': p~~>~q=p*~q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla A1
.. a jeśli zajdzie ~p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2:~p=>~q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~q
B2': ~p~~>q=~p*q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla B2
|
38.6.3 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych
Porównajmy omówiona wyżej analizę równoważności p<=>q w zbiorach minimalnych z równoważnością w zbiorach nieskończonych TP<=>SK (pkt. 16.9)
Doskonale widać przełożenie 1:1 czyli:
W obu przypadkach spełniona jest tabela prawdy równoważności p<=>q.
Analogia jest tu absolutna:
1.
Dziedziną w naszej przykładowej równoważności minimalnej p<=>q w zbiorach minimalnych są trzy elementy:
D= [K+P+T]
D=[Kubuś+Prosiaczek+Tygrysek]
wzajemnie rozłączne i uzupełniające się do dziedziny D:
2.
Dziedziną w równoważności TP<=>SK w zbiorach jest zbiór wszystkich trójkątów ZWT czyli nieskończony zbiór elementów rozłącznych, uzupełniających się do dziedziny ZWT.
D (dziedzina) = ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Elementów w zbiorze ZWT jest nieskończenie wiele ale istota działania równoważności TP<=>SK jest identyczna jak w naszej równoważności p<=>q operującej na zbiorze minimalnym D=[K+P+T]
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 17:12, 24 Lis 2024, w całości zmieniany 2408 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 0:02, 28 Paź 2024 Temat postu: |
|
|
...
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 0:06, 28 Paź 2024, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
