ŚFiNiA

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
11.0 Algebra Kubusia w świecie martwym - teoria zdarzeń

Spis treści
11.0 Algebra Kubusia w świecie martwym - teoria zdarzeń 1
11.1 Podstawowe spójniki implikacyjne 3
11.1.1 Podstawowa definicja implikacji prostej p|=>q 4
11.1.2 Podstawowa definicja implikacji odwrotnej p|~>q 4
11.1.3 Podstawowa definicja równoważności p<=>q 5
11.1.4 Podstawowa definicja chaosu p|~~>q 5
11.1.5 Prawo Puchacza 5
11.1.6 Wyjątkowość spójnika „albo”($) 5
11.1.7 Definicja zdania startowego 6
11.1.8 Prawo Kłapouchego 6
11.2 Definicja zdjęcia układu w zdarzeniach 6
11.2.1 Algorytm zdjęciowy w zdarzeniach 8
11.3 Prawo Orła 8
11.4 Sztandarowy przykład implikacji prostej P|=>CH w zdarzeniach 9
11.4.1 Operator implikacji prostej P||=>CH 13
11.4.2 Algorytm zdjęciowy definiujący operator implikacji prostej P||=>CH 15
11.4.3 Prawo Orła definiujące operator implikacji prostej P||=>CH 16
11.4.4 Prawo Kubusia zastosowane do relacji podzbioru p=>q 17
11.5 Sztandarowy przykład implikacji odwrotnej CH|~>P 18
11.5.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P 21
11.5.2 Algorytm zdjęciowy definiujący operator implikacji odwrotnej CH||~>P 24
11.5.3 Prawo Orła definiujące operator implikacji odwrotnej CH|~>P 27
11.5.4 Prawo Kubusia zastosowane do relacji nadzbioru p~>q 27


11.0 Algebra Kubusia w świecie martwym - teoria zdarzeń

Typowe zadanie z logiki matematycznej w algebrze Kubusia brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego p|?q wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"

W logice matematycznej istnieją co najmniej trzy tożsame sposoby rozwiązywania tego typu zadań:
- algorytm Puchacza, dotychczas przez nas stosowany (2.11)
- algorytm zdjęciowy (11.2.1)
- algorytm Orła, zbudowany na bazie prawa Orła (11.3)

Definicja algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Wniosek:
Algebra Boole’a z definicji nie widzi ani warunku wystarczającego =>, ani też warunku koniecznego ~>, to jest niezaprzeczalny fakt.

ALE!
W aktualnej logice matematycznej istnieje pojęcie kwantyfikatora małego \/x potrzebne ~> i wystarczające => do wszelkich rozstrzygnięć w temacie poprawnej, matematycznej obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q

Definicja zdjęcia układu:
Zdjęcie układu to analiza zdania wypowiedzianego "Jeśli p to q" w kierunku od p do q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q przy pomocy definicji zdarzenia możliwego ~~> (2.2.1) lub elementu wspólnego zbiorów ~~> (2.3.1) z rozstrzygnięciem o prawdziwości/fałszywości wszystkich czterech zdań składowych.

Za zrobienie zdjęcia układu zarówno w zdarzeniach jak i w zbiorach odpowiada znany każdemu matematykowi kwantyfikator mały
\/x = p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x)=1
Czytamy:
Istnieje (=1) x wspólne dla p(x) i q(x)

Na gruncie algebry Kubusia odpowiednikiem kwantyfikatora małego \/x w zbiorach jest definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> (teoria zbiorów 2.3.1), oraz definicja zdarzenia możliwego ~~> (teoria zdarzeń 2.2.1)

Teoria zbiorów:
\/x - istnieje element x, który jest wspólnym elementem zbiorów p(x) i q(x)
Przykład:
1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to jest podzielna przez 2 (P2)
P8~~>P2 = P8*P2 =1
Istnieje (=1) element x (liczba 8) wspólna dla zbiorów P8 i P2
Nie więcej nie musimy tu udowadniać
Nie interesuje nas tu czy zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2 (warunek wystarczający =>), szukamy wyłącznie jednego wspólnego elementu.
2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna prze 8 (P8) to może nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Nie istnieje (=0) element x będący wspólnym elementem zbiorów P8 i ~P2
To trzeba udowodnić - najprościej korzystając z definicji kontrprzykładu w AK

Teoria zdarzeń:
\/x - istnieje zdarzenie x, będące prawdziwym iloczynem logicznym zdarzeń p(x) i q(x)
Przykład:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to będzie pochmurno (CH)
P~~>CH = P*CH =1
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń: pada (P) i są chmury (CH)
p(x) =P (pada)
q(x) = CH (chmury)
Nic więcej nie musimy tu udowadniać
Nie interesuje nas tu dowód iż padanie P jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur CH
2.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń:
p(x) =P (pada)
q(x) = ~CH (brak chmur)
To trzeba udowodnić - najprościej korzystając z definicji kontrprzykładu w AK

Prawo Borsuka:
Znając elementarne definicje warunku wystarczającego =>, warunku koniecznego ~> oraz definicję kontrprzykładu z algebry Kubusia w trywialny sposób można przejść ze zdjęcia układu do 100% rozstrzygnięcia w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi badane zdanie warunkowe „Jeśli p to q”

Potrzebne w tym celu dwa tożsame algorytmy to:
Algorytm zdjęciowy będący algorytmem Puchacza ze zmodyfikowanymi, kluczowymi punktami 6 i 7.
Algorytm Orła będący algorytm Puchacza ze zmodyfikowanymi, kluczowymi punktami 6 i 7.

Kluczowa zaleta zrobienia zdjęcia układu:
Zrobienie kompletnego zdjęcia układu w zdarzeniach to poziom 5-cio letniego dziecka, zaś w zbiorach nieskończonych to poziom ucznia I klasy LO, co za chwilkę udowodnimy.

11.1 Podstawowe spójniki implikacyjne

Przypomnijmy sobie definicje podstawowych spójników implikacyjnych (2.9)

[rafal3006]

...