 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 36935
Przeczytał: 30 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pon 10:39, 20 Lut 2023 Temat postu: Smieci |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
32.0 Dowód śmieciowości ziemskiej teorii mnogości
Spis treści
32.0 Dowód śmieciowości ziemskiej teorii mnogości 1
32.1 Przypomnienie fundamentów algebry Kubusia 1
32.2 Podstawowa definicja równoważności p<=>q w zbiorach 2
32.2.1 Prawa Słonia dla zbiorów 3
32.2.2 Matematyczna definicja równoważności p<=>q w zbiorach 3
32.2.3 Prawo Irbisa w zbiorach 4
32.2.4 Tabela prawdy równoważności p<=>q w zbiorach 4
32.2.5 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach 5
32.3 Definicja zbiorów tożsamych p=q w algebrze Kubusia 6
32.3.1 Prawo Irbisa w równoważności Pitagorasa TP<=>SK 7
32.3.2 Prawo Irbisa w równoważności Pitagorasa ~TP<=>~SK 8
32.3.3 Prawo Irbisa w akcji na przykładzie zbiorów skończonych 9
32.4 Kwintesencja teorii mnogości 10
32.5 Definicja tożsamości zbiorów p=q w teorii mnogości 11
32.6 Definicja równoważności zbiorów p<=>q w teorii mnogości 14
32.6.1 Równoważność zbiorów p<=>q w TM to matematyczna schizofrenia 15
32.6.2 Szczegóły wewnętrznej sprzeczności teorii mnogości 17
32.7 Jak można było tak prostą rzecz tak potwornie spieprzyć! 18
32.8 Teoria zbiorów równolicznych i nierównolicznych w algebrze Kubusia 24
32.8.1 Przykład zbiorów nierównolicznych w algebrze Kubusia 25
32.8.2 Przykład zbiorów równolicznych w algebrze Kubusia 26
32.0 Dowód śmieciowości ziemskiej teorii mnogości
Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.
32.1 Przypomnienie fundamentów algebry Kubusia
W tym momencie czytelnik proszony jest o przypomnienie sobie elementarnych pojęć z algebry Kubusia zawartych w punkcie 2.0
W szczególności:
Definicje znaczków elementarnych ~~>, =>, ~> plus definicja kontrprzykładu
Prawa Sowy pkt. 2.6.1
Prawa Słonia pkt. 2.8
Prawo Irbisa pkt. 2.9
Poniżej przypominam teorię równoważności w zbiorach która poznaliśmy w punkcie 16.0
32.2 Podstawowa definicja równoważności p<=>q w zbiorach
Bezdyskusyjnie najcenniejszą definicją w całym obszarze matematyki dla potrzeb matematyki klasycznej i programowania komputerów jest definicja równoważności p<=>q której istoty póki co ziemscy matematycy nie rozumieją, mimo że poprawnie matematycznie ją udowadniają.
Nie rozumieją dlatego, że nie znają kluczowych tu zero-jedynkowych definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>, praw Słonia, prawa Irbisa, oraz definicji kontrprzykładu dla zbiorów w interpretacji z algebry Kubusia.
Mówiąc dosadnie: 100% definicji rodem z Klasycznego Rachunku Zdań jest do bani.
Przykładowo:
Równoważność Pitagorasa TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK (i odwrotnie) o czym matematycy nie wiedzą.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Do tego by zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by zaszło p
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: kilkanaście tysięcy
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: kilkanaście tysięcy
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: kilkanaście tysięcy
32.2.1 Prawa Słonia dla zbiorów
I Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
Y = A1: p=>q = ~p+q
##
II Prawo Słonia dla zbiorów:
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
Y = B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
Stąd korzystając z prawa Słonia dla zbiorów możemy wygenerować dużą ilość tożsamych definicji równoważności p<=>q.
32.2.2 Matematyczna definicja równoważności p<=>q w zbiorach
1.
Matematyczna definicja równoważności p<=>q (znana każdemu matematykowi):
Równoważność p<=>q to jednoczesna prawdziwość matematycznego twierdzenia prostego A1: p=>q i matematycznego twierdzenia odwrotnego B3: q=>p
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q, twierdzenie proste A1.
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p, twierdzenie odwrotne (względem A1)
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
2.
Definicja równoważności wyrażona relacjami podzbioru =>
Równoważność p<=>q to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B3: q=>p =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Stąd mamy wprowadzone kluczowe w równoważności prawo Irbisa.
32.2.3 Prawo Irbisa w zbiorach
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p)= A1B3: p<=>q
Tą definicję tożsamości zbiorów zna każdy matematyk.
Innymi słowy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B3: p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Na mocy prawa Słonia prawo Irbisa możemy też zapisać w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>.
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Tożsamy dowód bezpośredni:
Na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) siebie samego (pkt. 16.1.2 i 16.1.3)
Korzystając z prawa Słonia prawo Irbisa możemy też zapisać w warunkach koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1).
Na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa.
32.2.4 Tabela prawdy równoważności p<=>q w zbiorach
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q=1
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1 [=] 5: p*q+~p*~q
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
I Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
##
II Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
32.2.5 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie zbiory p, ~p, q i ~q będą niepuste (rozpoznawalne), co doskonale widać na diagramie DR niżej.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) dla zbioru q
Wniosek:
Musi zachodzić tożsamość zbiorów p=q bowiem wtedy i tylko wtedy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q).
Dowód
Każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd mamy diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
| Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
definiujący tożsamość zbiorów p=q.
---------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|---------------------------------|---------------------------------------|
| q | ~q |
|---------------------------------|---------------------------------------|
|Definicja równoważności: | Definicja równoważności: |
|A1B1: p<=>q=(A1:p=>q)*(B1:p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|Definiuje tożsamość zbiorów | Definiuje tożsamość zbiorów: |
| p=q # ~p=~q |
---------------------------------------------------------------------------
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q - suma logiczna zbiorów niepustych A1 i B2 |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty |
|-------------------------------------------------------------------------|
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaku # jest negacją drugiej strony
p#~p
p=~(~p) - prawo podwójnego przeczenia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
p+~p=D=1
p*~p=[]=0
Dowód: diagram DR
|
32.3 Definicja zbiorów tożsamych p=q w algebrze Kubusia
Poprawna definicja zbiorów tożsamych p=q wraz z przykładem dla zbiorów nieskończonych, jest tylko i wyłącznie jedna, definiowana prawem Irbisa
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) <=> A1B3: p=q
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
1.
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
32.3.1 Prawo Irbisa w równoważności Pitagorasa TP<=>SK
Przykład dla zbiorów nieskończonych to równoważność Pitagorasa.
1P.
Prawo Irbisa dla równoważności Pitagorasa:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (B3)
A1B3: TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)= A1B3: TP<=>SK
Szczegółowy dowód prawa Irbisa dla równoważności Pitagorasa.
Twierdzenia składowe to:
A1.
Twierdzenie proste Pitagorasa (udowodnione wieki temu) :
Jeśli trójkąt jest prostokątny TP to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów SK
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q
Czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym TP jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, by zachodziła w nim suma kwadratów SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1)
##
B3.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa względem A1 (udowodnione wieki temu) :
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów SK to ten trójkąt na 100% => jest trójkątem prostokątnym TP
B3: SK=>TP =1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Czytamy:
Bycie trójkątem ze spełnioną suma kwadratów SK jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny TP wtedy i tylko wtedy gdy zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (B3)
Gdzie:
## - twierdzenia różne na mocy definicji
2.
Innymi słowy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) <=> A1B3: p=q
Nasz przykład dla zbiorów nieskończonych.
2P.
Dla równoważności Pitagorasa TP<=>SK zapisujemy:
Równoważność Pitagorasa TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK (i odwrotnie)
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) <=> A1B3: TP=SK
3P.
Co oznacza tożsamość zbiorów A1B3: TP=SK?
TP=SK
Każdy trójkąt ze zbioru trójkątów prostokątnych TP ma swój jeden, unikalny odpowiednik w zbiorze trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów SK (i odwrotnie)
Wnioski
1.
Udowodniona prawem Irbisa (pkt. 1P) tożsamość zbiorów nieskończonych TP=SK jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla zachodzenia równoliczności zbiorów nieskończonych TP~SK, co udowodniono ciut wyżej dowodem bezpośrednim w punkcie 3P.
Gdzie:
„~” – znaczek równoliczności zbiorów
Podsumowując:
Zapiszmy raz jeszcze prawo Irbisa w zapisach formalnych tzn. bez związku z jakimkolwiek przykładem.
1.
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Na mocy prawa Irbisa możemy powiedzieć że:
1.
Warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości tożsamości zbiorów p=q jest prawdziwość matematycznego twierdzenia prostego A1: p=>q oraz prawdziwość matematycznego twierdzenia odwrotnego B3: q=>p.
2.
Warunkiem koniecznym ~> prawdziwości tożsamości zbiorów p=q jest prawdziwość matematycznego twierdzenia prostego A1: p=>q albo prawdziwość matematycznego twierdzenia odwrotnego B3: q=>p
2A.
Innymi słowy:
Jeśli udowodnimy prawdziwość jednego, dowolnego twierdzenia matematycznego (prostego A1: p=>q albo odwrotnego B3: q=>p) to tożsamość zbiorów może zajść (p=q)=1, albo może nie zajść (p=q)=0 w zależności od dowodu prawdziwości/fałszywości twierdzenia przeciwnego
3.
Warunkiem wystarczającym => fałszywości tożsamości zbiorów p=q jest fałszywość matematycznego twierdzenia prostego A1: p=>q albo fałszywość matematycznego twierdzenia odwrotnego B3: q=>p
32.3.2 Prawo Irbisa w równoważności Pitagorasa ~TP<=>~SK
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q=1
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1 [=] 5: p*q+~p*~q
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawo irbisa w logice ujemnej (bo ~q) mamy zdefiniowane w kolumnie A2B2.
A2B2:
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame A2B2: ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności A2B2: ~p<=>~q (i odwrotnie)
A2B2: ~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q
Innymi słowy:
Każda równoważność prawdziwa A2B2: ~p<=>~q wymusza tożsamość zbiorów A2B2: ~p=~q (i odwrotnie)
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) <=> A2B2: ~p=~q
Podstawmy naszą równoważność Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych ~TP.
~p=~TP
~q=~SK
Stąd mamy prawo irbisa w zapisie aktualnym (dla naszego przykładu):
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) <=> A2B2: ~TP=~SK
Co oznacza tożsamość zbiorów A2B2: ~TP=~SK?
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru trójkątów nieprostokątnych ~TP wylosujemy dowodny element, bo będzie on miał jeden, unikalny element w zbiorze trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów (i odwrotnie).
32.3.3 Prawo Irbisa w akcji na przykładzie zbiorów skończonych
Przykład działania prawa Irbisa na zbiorach skończonych.
Zdefiniujmy zbiory:
p=[Kubuś, Tygrysek]
q=[Tygrysek, Kubuś]
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B3: p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Badamy twierdzenie proste A1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q.
Sprawdzenie:
p=>q = [Kubuś, Tygrysek] => [Tygrysek, Kubuś] =1
Czytamy:
Każdy element zbioru p należy => do zbioru q, stąd definicja relacji podzbioru => jest spełniona
Badamy twierdzenie odwrotne B3:
B3.
Jeśli zajdzie q to na 100% => zajdzie p
q=>p =1
Zajście q jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia p wtedy i tylko wtedy gdy zbiór q jest podzbiorem => zbioru p.
Sprawdzenie:
q=>p = [Tygrysek, Kubuś] => [Kubuś, Tygrysek] =1
Czytamy:
Każdy element zbioru q należy => do zbioru p, stąd definicja relacji podzbioru => jest spełniona
Wniosek:
Zbiory p i q są tożsame:
p=q
p=[Kubuś, Tygrysek]
q=[Tygrysek, Kubuś]
32.4 Kwintesencja teorii mnogości
Dla omówienia szczegółów teorii mnogości posłużymy się cytatem z anglojęzycznej Wikipedii w tłumaczeniu Googla:
[link widoczny dla zalogowanych]
@Anglojęzyczna Wikipedia
W matematyce zbiór jest definiowany jako kolekcja dobrze zdefiniowanych odrębnych obiektów. Różne obiekty tworzące zbiór nazywane są elementami zbioru. Zasadniczo elementy zbiorów można zapisać w dowolnej kolejności, ale nie powinny się powtarzać. Zbiór jest zwykle reprezentowany przez wielką literę. W podstawowej teorii zbiorów dwa zbiory mogą być równoważne, równe lub nierówne sobie. W tym artykule omówimy, co oznaczają równy i równoważny zbiór z przykładami, a także różnicę między nimi.
Definicja 1
Czym są zbiory równe?
Dwa zbiory p i q mogą być równe tylko wtedy, gdy każdy element zbioru p jest również elementem zbioru q. Ponadto, jeśli dwa zbiory są podzbiorami siebie nawzajem, to mówi się, że są równe. Jest to reprezentowane przez:
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
Jeśli warunek omówiony powyżej nie jest spełniony, wówczas zbiory są nazywane nierównymi. Jest to reprezentowane przez:
p##q
Gdzie:
## - zbiory różne na mocy definicji
Przykład zestawu równego
Jeśli P = { 1 , 3 , 9} i Q = { 3 , 1 , 9}, to P=Q .
Należy również zauważyć, że bez względu na to, ile razy element powtarza się w zestawie, jest on liczony tylko raz. Ponadto kolejność elementów w zestawie nie ma znaczenia.
Tak więc, aby sformułować to inaczej w kategoriach liczby kardynalnej, możemy powiedzieć, że:
Jeżeli A = B , to n ( A ) = n ( B ) i dla dowolnego x ∈ A , x ∈ B również.
Definicja 2
Czym są zbiory równoważne?
Aby były równoważne, zbiory powinny mieć tę samą kardynalność.
Oznacza to, że powinna istnieć jednoznaczna korespondencja między elementami obu zbiorów. Tutaj jednoznaczna korespondencja oznacza, że dla każdego elementu w zbiorze A istnieje element w zbiorze B, dopóki zbiory nie zostaną wyczerpane.
Definicja A: Jeżeli dwa zbiory A i B mają tę samą moc , to istnieje funkcja celu ze zbioru A do B.
Definicja B: Dwa zbiory A i B są równoważne, jeżeli mają tę samą moc, tj. n ( A ) = n ( B ) .
Ogólnie rzecz biorąc, możemy powiedzieć, że
dwa zbiory są sobie równoważne, jeśli liczba elementów w obu zbiorach jest równa.
I nie jest konieczne, aby miały te same elementy lub były podzbiorem siebie nawzajem.
Przykład zestawu równoważnego
P = { 1 , 3 , 9} i Q = { 3 , 4 , 5}, to P<=>Q
Jeżeli P = { 1 , 3 , 9} i Q = { 3 , 4 , 5}, to P jest równoważne Q.
32.5 Definicja tożsamości zbiorów p=q w teorii mnogości
Zajmijmy się definicją 1 z powyższego cytatu:
[link widoczny dla zalogowanych]
@Anglojęzyczna Wikipedia
Definicja 1
Czym są zbiory równe?
Dwa zbiory p i q mogą być równe tylko wtedy, gdy każdy element zbioru p jest również elementem zbioru q. Ponadto,
Jeśli dwa zbiory są podzbiorami siebie nawzajem, to mówi się, że są równe.
Jest to reprezentowane przez:
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
Jeśli warunek omówiony powyżej nie jest spełniony, wówczas zbiory są nazywane nierównymi. Jest to reprezentowane przez:
p##q
Gdzie:
## - zbiory różne na mocy definicji
Przykład zestawu równego
Jeśli P = { 1 , 3 , 9} i Q = { 3 , 1 , 9}, to P=Q .
Należy również zauważyć, że bez względu na to, ile razy element powtarza się w zestawie, jest on liczony tylko raz. Ponadto kolejność elementów w zestawie nie ma znaczenia.
Tak więc, aby sformułować to inaczej w kategoriach liczby kardynalnej, możemy powiedzieć, że:
Jeżeli A = B , to n ( A ) = n ( B ) i dla dowolnego x ∈ A , x ∈ B również.
Zauważmy, że definicja zbiorów tożsamych p=q jest tu identyczna jak w algebrze Kubusia, gdzie zbiory tożsame definiowane są prawem Irbisa.
Oczywistym jest, że w cytacie wyżej „zbiory równe” oznacza po prostu „zbiory tożsame” rodem z algebry Kubusia definiowane prawem Irbisa – dowodem tego faktu jest zapis:
p=q <=> (p=>q)*(q=>p) =1*1=1
Czytamy:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy są podzbiorami siebie nawzajem
p=q <=> (p=>q)*(q=>p) =1*1=1
Innymi słowy:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i równocześnie zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
W algebrze Kubusia stosujemy indeksowanie wg poniższej tabeli T0:
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
1.
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Przykład dla zbiorów skończonych spełniających prawo Irbisa:
Przykład A1B3:
p=[Kubuś, Tygrysek]
q=[Tygrysek, Kubuś]
1P.
Prawo Irbisa dla naszego przykładu A1B3:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p)= A1B3: p<=>q
Szczegółowy dowód prawa Irbisa dla naszych zbiorów p i q
Nasz punkt odniesienia to:
p=[Kubuś, Tygrysek]
q=[Tygrysek, Kubuś]
Twierdzenia składowe to:
A1.
Twierdzenie proste:
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
p=>q =1
Dowód:
p=>q = [Kubuś, Tygrysek] => [Tygrysek, Kubuś] =1
Doskonale widać, że każdy element zbioru p=[Kubuś, Tygrysek] należy do zbioru q=[Tygrysek, Kubuś]
c.n.d.
##
B3.
Twierdzenie odwrotne względem A1 to:
B3.
Jeśli dowolny element należy do zbioru q to na 100% => należy do zbioru p
q=>p =1
Dowód:
q=>p = [Tygrysek, Kubuś] =>[Kubuś, Tygrysek] =1
Doskonale widać, że każdy element zbioru q=[Tygrysek, Kubuś] należy do zbioru p=[Kubuś, Tygrysek]
c.n.d.
Gdzie:
## - twierdzenia różne na mocy definicji
2.
Innymi słowy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) <=> A1B3: p=q
Nasz przykład dla zbiorów skończonych.
Przykład A1B3:
p=[Kubuś, Tygrysek]
q=[Tygrysek, Kubuś]
2P.
Dla równoważności p<=>q zapisujemy:
Równoważność p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) <=> A1B3: p=q
3P.
Co oznacza tożsamość zbiorów A1B3: p=q?
p=q
[Kubuś, Tygrysek] = [Tygrysek, Kubuś]
Każdy element ze zbioru p ma swój jeden, unikalny odpowiednik w zbiorze q (i odwrotnie)
Wnioski
1.
Udowodniona prawem Irbisa (pkt. 1P) tożsamość zbiorów skończonych p=q jest warunkiem wystarczającym => dla zachodzenia równoliczności zbiorów skończonych p~q, co udowodniono ciut wyżej w punkcie 3P.
Gdzie:
„~” – znaczek równoliczności zbiorów
2.
W tej sytuacji pisanie w definicji tożsamości zbiorów skończonych p=q rodem z teorii mnogości o równoliczności zbiorów skończonych p~q jest pisaniną matematycznego idioty, bowiem udowodnienie prawem Irbisa tożsamości zbiorów p=q gwarantuje => nam równoliczność zbiorów p~q.
Nie ma więc potrzeby w definicji tożsamości zbiorów p=q wspominać o równoliczności zbiorów p~q.
32.6 Definicja równoważności zbiorów p<=>q w teorii mnogości
Weźmy drugą część cytatu z anglojęzycznej Wikipedii w tłumaczeniu Googla:
[link widoczny dla zalogowanych]
@Anglojęzyczna Wikipedia
Definicja 2
Czym są zbiory równoważne?
Aby były równoważne, zbiory powinny mieć tę samą kardynalność. Oznacza to, że powinna istnieć jednoznaczna korespondencja między elementami obu zbiorów. Tutaj jednoznaczna korespondencja oznacza, że dla każdego elementu w zbiorze A istnieje element w zbiorze B, dopóki zbiory nie zostaną wyczerpane.
Definicja A: Jeżeli dwa zbiory A i B mają tę samą moc , to istnieje funkcja celu ze zbioru A do B.
Definicja B: Dwa zbiory A i B są równoważne, jeżeli mają tę samą moc, tj. n ( A ) = n ( B ) .
Ogólnie rzecz biorąc, możemy powiedzieć, że dwa zbiory są sobie równoważne, jeśli liczba elementów w obu zbiorach jest równa. I nie jest konieczne, aby miały te same elementy lub były podzbiorem siebie nawzajem.
Przykład zestawu równoważnego
P = { 1 , 3 , 9} i Q = { 3 , 4 , 5}, to P<=>Q
Jeżeli P = { 1 , 3 , 9} i Q = { 3 , 4 , 5}, to P jest równoważne Q.
32.6.1 Równoważność zbiorów p<=>q w TM to matematyczna schizofrenia
Matematyczną schizofrenię w definicji równoważności zbiorów p<=>q każdy widzi.
Zauważmy że:
@Anglojęzyczna Wikipedia
Ogólnie rzecz biorąc, możemy powiedzieć, że
dwa zbiory są sobie równoważne, jeśli liczba elementów w obu zbiorach jest równa.
I nie jest konieczne, aby miały te same elementy lub były podzbiorem siebie nawzajem.
Z powyższej definicji wynika, że przykładowe dwa zbiory p i q spełniające definicję równoważności zbiorów p<=>q w teorii mnogości TM mogą być na przykład takie.
Przykład TMA1B3:
p=[Kubuś, Tygrysek]
q=[Tygrysek, sraczka]
Na mocy definicji równoważności zbiorów p<=>q z Wikipedii prawdziwa jest tu równoważność:
p<=>q =1
Po podstawieniu przykładu mamy:
p=[Kubuś, Tygrysek] <=> q=[Tygrysek, sraczka] =1 (równoważność prawdziwa na mocy definicji z TM)
Gwałt na świętym prawie Irbisa widać tu jak na dłoni!
W algebrze Kubusia stosujemy indeksowanie wg poniższej tabeli T0:
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
1.
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Przykład TMA1B3:
p=[Kubuś, Tygrysek]
q=[Tygrysek, sraczka]
1P.
Prawo Irbisa dla naszego przykładu TMA1B3:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
TMA1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p)= TMA1B3: p<=>q
Szczegółowy dowód prawa Irbisa dla zbiorów p i q z przykładu TMA1B3.
Nasz punkt odniesienia to:
TMA1B3:
p=[Kubuś, Tygrysek]
q=[Tygrysek, sraczka]
Twierdzenia składowe to:
A1.
Twierdzenie proste:
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
p=>q =0
Dowód:
p=>q = [Kubuś, Tygrysek] => [Tygrysek, sraczka] =0
Doskonale widać, że nie każdy (=0) element zbioru p=[Kubuś, Tygrysek] należy do zbioru q=[Tygrysek, sraczka]
c.n.d.
##
B3.
Twierdzenie odwrotne względem A1 to:
B3.
Jeśli dowolny element należy do zbioru q to na 100% => należy do zbioru p
q=>p =0
Dowód:
q=>p = [Tygrysek, sraczka] =>[Kubuś, Tygrysek] =0
Doskonale widać, że nie każdy (=0) element zbioru q=[Tygrysek, sraczka] należy do zbioru p=[Kubuś, Tygrysek]
c.n.d.
Gdzie:
## - twierdzenia różne na mocy definicji
Stąd mamy dowód, iż równoważność prawdziwa TMA1B3: p<=>q wedle teorii mnogości jest w rzeczywistości fałszywa bo:
1P.
Prawo Irbisa dla naszego przykładu TMA1B3:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
TMA1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = 0*0 =0
2.
Innymi słowy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
TMA1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =0*0 =0
Oczywiście dla naszego przykładu TMA1B3 fałszywa jest zarówno tożsamość zbiorów:
TMA1B3: (p=q) =0
Jak i równoważność zbiorów:
TMA1B3: (p<=>q) =0
32.6.2 Szczegóły wewnętrznej sprzeczności teorii mnogości
Zapiszmy jeszcze raz prawo Irbisa.
1P.
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p)= A1B3: p<=>q
Prawo Irbisa w tej wersji zna każdy matematyk przy zdrowych zmysłach.
Zauważmy, że nie jesteśmy w stanie udowodnić w sposób bezpośredni zarówno lewej strony powyższej wieloczłonowej tożsamości (A1B3: p=q), ani też jej prawej strony (A1B3: p<=>q).
Oba skrajne składniki powyższej tożsamości dowodzimy równocześnie w dwóch krokach.
I.
Matematyczne twierdzenie proste A1: p=>q
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
##
II.
Matematyczne twierdzenie odwrotne B3: q=>p (względem A1)
B3.
Jeśli zajdzie q to na 100% => zajdzie p
q=>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zauważmy, że dopiero po udowodnieniu I i II mamy równoczesny dowód prawdziwości zarówno tożsamości zbiorów (A1B3: p=q) jak również dowód prawdziwości zachodzącej tu równoważności (A1B3: p<=>q)
Wewnętrzną sprzeczność teorii mnogości widać tu jak na dłoni.
Na gruncie potwornie śmierdzącego gówna dla niepoznaki zwanego teorią mnogości może zajść przypadek że:
1: Równoważność jest prawdziwa:
A1B3: p<=>q =1
2: Natomiast tożsamość zbiorów jest fałszem:
A1B3: p=q =0
Ten przypadek to następujące zbiory p i q
TMA1B3:
p=[Kubuś, Tygrysek]
q=[Tygrysek, sraczka]
32.7 Jak można było tak prostą rzecz tak potwornie spieprzyć!
[link widoczny dla zalogowanych]
@Wikipedia
W 1874 roku Georg Cantor opublikował pracę, która jest uznawana za narodziny współczesnej teorii mnogości. Idee te, pomimo dużej opozycji ze strony innych matematyków (np. Leopolda Kroneckera), zostały dalej rozwinięte w kolejnej pracy Cantora, z roku 1878. Podstawowe odkrycie Cantora dotyczyło pojęcia mocy (czyli „liczby elementów”) zbiorów nieskończonych. Przyjął on, że dwa zbiory A i B są równoliczne (mają tę samą moc), jeżeli można przyporządkować wszystkie elementy A wszystkim elementom B w sposób wzajemnie jednoznaczny. Mogłoby się wydawać, że po prostu wszystkie zbiory nieskończone są równoliczne.
Teoria mnogości to matematyczna schizofrenia autorstwa Cantora (rok 1878).
Szkoda, ze nie było wystarczającej liczby matematyków podobnych do Leopolda Kroneckera.
Cóż, w XIX wieku Szatan (teoria mnogości) robiący z mózgu człowieka gówno był górą
Na szczęście w XXI wieku na ziemię zstąpił Kubuś ze swoją algebrą Kubusia.
Algebra Kubusia to osikowy kołek wbity w samo serce Szatana.
Definicja matematycznego schizofrenika:
Matematyczny schizofrenik to człowiek opisujący otaczającą nas matematyczną rzeczywistość w sposób totalnie niezgodny ze stanem faktycznym
Na chwilę obecną do matematycznych schizofreników zaliczamy: fanatyków KRZ, fanatyków teorii mnogości, logik modalnych, logik relewantnych, logik intuicjonistycznych etc
Cechą charakterystyczną schizofrenii jest fakt, że dla chorego jego schizofreniczne rojenia są 100% rzeczywistością, o czym każdy psychiatra wie.
Doskonale to widać w filmie „Piękny umysł”, pokazującym na żywo urojony świat schizofrenika niedostępny dla ludzi zdrowych (urojone biuro szyfrów, postaci które widzi wyłącznie chory z którymi obcuje i rozmawia na żywo …)
Nieskończone zbiory równoliczne i nierównoliczne to nieprawdopodobny banał na poziomie ucznia I klasy LO, oczywiście pod warunkiem zrozumienia i akceptacji algebry Kubusia.
Zacznijmy od sformułowania oczywistego prawa Pantery.
A1: Prawo Pantery:
A1.
Jeśli dwa zbiory A i B są tożsame A=B to na 100% => są równoliczne A~B
A1: (A=B) => (A~B) =1
To samo w zapisach formalnych:
p=(A=B)
q=(A~B)
p=>q =1
Przykład:
A=[Kubuś, Tygrysek]
B=[Tygrysek, Kubuś]
Przy spełnionej tożsamości zbiorów (A=B) zbiory te na 100% => są równoliczne (A~B)
Zbadajmy w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi prawo Pantery.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Jak widzimy prawo Pantery to warunek wystarczający => A1.
A1: Prawo Pantery
A1.
Jeśli dwa zbiory A i B są tożsame (A=B) to na 100% => są równoliczne (A~B)
A1: (A=B) => (A~B) =1
To samo w zapisach formalnych:
p=(A=B)
q=(A~B)
p=>q =1
Przykład:
A=[Kubuś, Tygrysek]
B=[Tygrysek, Kubuś]
Doskonale widać, że tożsamość zbiorów (A=B) wymusza => równoliczność zbiorów (A~B)
Innymi słowy:
Przy spełnionej tożsamości zbiorów (A=B) zbiory te na 100% => są równoliczne (A~B)
Innymi słowy:
Każda tożsamość zbiorów (A=B) to z automatu równoliczność zbiorów (A~B)
Innymi słowy:
Jeśli zbiory A i B są tożsame (A=B) to mamy gwarancję matematyczną => iż są równoliczne (A~B)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’.
A1’.
Jeśli dwa zbiory A i B są tożsame (A=B) to mogą ~~> nie być równoliczne ~(A~B)
(A=B)~~>~(A~B) = (A=B)*~(A~B) =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Na mocy definicji kontrprzykładu tego faktu nie musimy udowadniać, ale możemy udowodnić.
Dowód wprost:
Nie istnieje (=0) możliwość, by zbiory były tożsame (A=B) i jednocześnie nie były równoliczne ~(A~B)
Dla rozstrzygnięcia w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi prawo Pantery musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania z linii Bx.
Wybieramy twierdzenie odwrotne B3 (w stosunku do A1) bo warunek wystarczający => bez przeczeń zawsze dowodzi się najprościej.
B3.
Jeśli dwa zbiory A i B są równoliczne (A~B) to na 100% => są to zbiory tożsame (A=B)
B3: (A~B)=>(A=B) =0
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =0
Warunek wystarczający => jest tu fałszem bo istnieje kontrprzykład.
Kontrprzykład B3’ dla warunku wystarczającego => B3 to:
B3’.
Jeśli dwa zbiory A i B są równoliczne (A~B) to mogą ~~> nie być tożsame ~(A=B)
(A~B)~~>~(A=B) = (A~B)*~(A=B) =1
Dla udowodnienia prawdziwości kontrprzykładu B3’ wystarczy pokazać jeden taki przypadek:
A=[Kubuś, Tygrysek]
B=[Tygrysek, sraczka]
Zbiory A i B są równoliczna (A~B), ale nie są to zbiory tożsame ~(A=B)
cnd
Dla B3 skorzystajmy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Fałszywość warunku wystarczającego => w punkcie:
B3: q=>p =0
Wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> w punkcie:
B1: p~>q =0
Stąd mamy dowód, że badany układ to implikacja prosta p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0)
W tym momencie mamy zdeterminowaną implikacji prostej p|=>q z uwzględnieniem kontrprzykładów obowiązujących wyłącznie w warunkach wystarczających,
| Kod: |
IP:
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Pamiętając o naszym punkcie odniesienia:
p=(A=B)
q=(A~B)
Z tabeli TP odczytujemy
A1: Prawo Pantery:
A1.
Jeśli dwa zbiory A i B są tożsame (A=B) to na 100% => są równoliczne (A~B)
A1: (A=B) => (A~B) =1
To samo w zapisach formalnych:
p=(A=B)
q=(A~B)
p=>q =1
Przykład:
A=[Kubuś, Tygrysek]
B=[Tygrysek, Kubuś]
Doskonale widać, że tożsamość zbiorów (A=B) wymusza => równoliczność zbiorów (A~B)
Innymi słowy:
Przy spełnionej tożsamości zbiorów (A=B) zbiory te na 100% => są równoliczne (A~B)
Innymi słowy:
Każda tożsamość zbiorów (A=B) to z automatu równoliczność zbiorów (A~B)
Innymi słowy:
Jeśli zbiory A i B są tożsame (A=B) to mamy gwarancję matematyczną => iż są równoliczne (A~B)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
##
B1.
Jeśli dwa zbiory A i B są tożsama (A=B) to na 100% ~> są równoliczne (A~B)
(A=B)~>(A~B) =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Czytamy:
Tożsamość zbiorów (A=B) nie jest (=0) konieczna ~> dla równoliczności tych zbiorów (A~B)
Przykład:
A=[Kubuś, Tygrysek]
B=[Tygrysek, sraczka]
Nie ma tożsamości zbiorów:
(A=B)=0
ale relacja równoliczności A~B jest spełniona:
(A~B) =1
Gdzie:
## - zdania różne na mocy definicji
Po raz n-ty mamy tu prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być tożsame
Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Z tabeli TP widzimy, że mamy tu do czynienia tylko i wyłącznie z dwoma warunkami wystarczającymi => (gwarancjami matematycznymi =>):
A1: Prawo Pantery:
A1: p=>q =1
Gdzie:
p=(A=B)
q=(A~B)
oraz:
A4: Prawo Lamparta:
A4: ~q=>~p =1
Gdzie:
q=(A~B)
p=(A=B)
Oczywiście, na mocy prawa Sowy zachodzi tożsamość pojęć:
Prawo Pantery: A1: p=>q [=] Prawo Lamparta: A4: ~q=>~p
Rozszyfrujmy te dwie gwarancje matematyczne =>:
A1: Prawo Pantery
A1: p=>q =1
Gdzie:
p=(A=B)
q=(A~B)
Stąd mamy:
A1.
Jeśli dwa zbiory A i B są tożsame (A=B) to na 100% => są równoliczne (A~B)
A1: (A=B) => (A~B) =1
To samo w zapisach formalnych:
p=(A=B)
q=(A~B)
p=>q =1
Przykład:
A=[Kubuś, Tygrysek]
B=[Tygrysek, Kubuś]
Doskonale widać, że tożsamość zbiorów (A=B) wymusza => równoliczność zbiorów (A~B)
Innymi słowy:
Przy spełnionej tożsamości zbiorów (A=B) zbiory te na 100% => są równoliczne (A~B)
Innymi słowy:
Każda tożsamość zbiorów (A=B) to z automatu równoliczność zbiorów (A~B)
Innymi słowy:
Jeśli zbiory A i B są tożsame (A=B) to mamy gwarancję matematyczną => iż są równoliczne (A~B)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
A4: Prawo Lamparta
A4: ~q=>~p =1
Gdzie:
q=(A~B)
p=(A=B)
Stąd mamy:
A4.
Jeśli dwa zbiory A i B nie są równoliczne ~(A~B) to na 100% => nie są tożsame ~(A=B)
A4: ~(A~B) => ~(A=B) =1
To samo w zapisach formalnych:
~q=>~p =1
Oczywista oczywistość.
Przykładowe zbiory tożsame i równoliczne to:
A=[Kubuś, Tygrysek]
B=[Tygrysek, Kubuś]
Jeśli do A albo B dodamy dodatkowy element to zbiory te będą nierównoliczna ~(A~B) i na 100% => nie będą to zbiory tożsame ~(A=B).
Przykład:
Dodajmy do zbioru A Prosiaczka
A=[Kubuś, Tygrysek, Prosiaczek]
B=[Tygrysek, Kubuś]
Spełnienie prawdziwości gwarancji matematycznej => A4 widać tu jak na dłoni
32.8 Teoria zbiorów równolicznych i nierównolicznych w algebrze Kubusia
Prawo Pytona:
Dowolny ziemski matematyk który nie akceptuje poniższej tabeli T0 mówiącej o matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> jest matematycznym schizofrenikiem
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja matematycznego schizofrenika:
Matematyczny schizofrenik to człowiek opisujący otaczającą nas matematyczną rzeczywistość w sposób totalnie niezgodny ze stanem faktycznym
Na chwilę obecną do matematycznych schizofreników zaliczamy: fanatyków KRZ, fanatyków teorii mnogości, logik modalnych, logik relewantnych, logik intuicjonistycznych etc
Cechą charakterystyczną schizofrenii jest fakt, że dla chorego jego schizofreniczne rojenia są 100% rzeczywistością, o czym każdy psychiatra wie.
Doskonale to widać w filmie „Piękny umysł”, pokazującym na żywo urojony świat schizofrenika niedostępny dla ludzi zdrowych (urojone biuro szyfrów, postaci które widzi wyłącznie chory z którymi obcuje i rozmawia na żywo …)
Definicja zbiorów równolicznych:
Dwa zbiory p i q są równoliczne p~q wtedy i tylko wtedy gdy mają identyczną liczbę elementów
p~q =1 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają (=1) identyczną liczbę elementów
Inaczej:
p~q =0 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q nie mają (=0) identycznej liczby elementów
Gdzie:
„~” – znaczek równoliczności zbiorów
32.8.1 Przykład zbiorów nierównolicznych w algebrze Kubusia
Rozważmy przykład zbiorów nierównolicznych.
Wypowiedzmy następujące twierdzenie proste A1: p=>q:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
To samo w zapisach formalnych:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..], co każdy matematyk udowodni.
##
Zauważmy, że twierdzenie odwrotne B3: q=>p jest tu fałszem.
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
To samo w zapisach formalnych:
q=>p =0
Bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem zbioru P8=[8,16 24..]
Kontrprzykład: 2
Liczba 2 należy do zbioru P2=[2,4,6,8..] i nie należy do zbioru P8=[8,16,24.]
cnd
Gdzie:
## - twierdzenia matematyczne różne na mocy definicji ##
Definicja formalna równoważności p<=>q:
Dwa zbiory p i q są równoważne p<=>q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i równocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Dla naszego przykładu mamy:
A1: P8=>P2 =1 - twierdzenie proste A1: p=>q jest prawdziwe
B3: P2=>P8 =0 - twierdzenie odwrotne B3: q=>p jest fałszywe
Stąd mamy dowód fałszywości równoważności P8<=>P2:
A1B3: P8<=>P2 = (A1: P8=>P2)*(B3: P2=>P8) =1*0 =0
cnd
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Na mocy prawa Irbisa dla naszego przykładu zapisujemy:
Zbiór P8=[8,16,24..] ## Zbiór P2=[2,4,6,8..]
Gdzie:
## - zbiory różne na mocy definicji
Innymi słowy:
Zbiór P8=8,16,24..] nie jest (=0) tożsamy [=] ze zbiorem P2=[2,4,6,8..]
P8 [=] P2 =0 - fałsz
Sensacyjny wniosek na mocy prawa Irbisa:
Zbiory P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..] nie są tożsame [=], co jest dowodem czysto matematycznym, iż zbiory te nie są (=0) zbiorami równolicznymi.
cnd
32.8.2 Przykład zbiorów równolicznych w algebrze Kubusia
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Każdy zbiór tożsamy p=q jest równoliczny p~q na mocy prawa Irbisa
Odwrotnie nie zachodzi
Przykładowe zbiory tożsame [=] z użyciem zbiorów P8 i P2 o których było wyżej to:
A1B3:
Dowolna liczba jest podzielna przez 8 i przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy jest podzielna przez 16
A1B3: P8*P2<=>P16 = (A1: P8*P2=>P16)*(B3: P16=>P8*P2) = 1*1=1
Podstawmy:
p=P8*P2 = [8,16,24..]*[2,4,6,8..]
q=P16 = [16,32,48..]
Stąd mamy to samo, czyli definicję równoważności p<=>q w zapisach formalnych:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Badanie prawdziwości/fałszywości zdań składowych:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 i przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 16
A1: P8*P2=>P16 =1 – prawdziwe twierdzenie proste (A1: p=>q)
Dowód tej błahostki pozostawiam matematykom.
##
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 16 to na 100% => jest podzielna przez 8 i przez 2
B3: P16=>P8*P2 =1 – prawdziwe twierdzenie odwrotne (B3: q=>p)
Dowód tej błahostki również pozostawiam matematykom
Gdzie:
## - twierdzenia różne na mocy definicji
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Na mocy prawa Irbisa dla naszego przykładu zapisujemy:
(P8*P2 [=] P16) =1 – zbiory P8*P2 i P16 są (=1) tożsame [=]
Gdzie:
[=] – zbiory tożsame
Sensacyjny wniosek na mocy prawa Irbisa:
Zbiór P8*P2 jest (=1) tożsamy [=] ze zbiorem P16, co jest dowodem czysto matematycznym, iż zbiory te są (=1) równoliczne.
(P8*P2 ~ P16) =1 – zbiory P8*P2 i P16 są (=1) równoliczne
Gdzie:
„~” – znaczek równoliczności zbiorów
Uzasadnienie:
Na mocy praw Irbisa każda tożsamość zbiorów (p=q) wymusza równoliczność zbiorów (p~q)
Odwrotnie nie zachodzi.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 9:48, 23 Lut 2025, w całości zmieniany 2571 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 36935
Przeczytał: 30 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 0:02, 28 Paź 2024 Temat postu: |
|
|
...
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 0:06, 28 Paź 2024, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
