 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37658
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pon 10:39, 20 Lut 2023 Temat postu: Smieci |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
27.5 Równoważność A<=>S na gruncie fizyki teoretycznej
Spis treści
27.5 Równoważność A<=>S na gruncie fizyki teoretycznej 1
27.5.1 Zmienne związane i zmienne wolne w równoważności A<=>S 2
27.5.2 Wyprowadzenie definicji równoważności A<=>S 3
27.5.3 Prawo Kameleona 4
27.5.4 Tabela prawdy równoważności A<=>S 5
27.5.4 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach 7
27.6 Interpretacja operatora równoważności p|<=>q w zdarzeniach 11
27.6.1 Prawa Sowy 12
27.6.2 Definicja tożsamości logicznej 12
27.6.3 Właściwości równoważności p<=>q 12
27.7 Prawa Irbisa 13
27.7.1 Kolumnowe prawo Irbisa 14
27.7.2 Międzykolumnowe prawo Irbisa 14
27.7.3 Kolumnowe vs międzykolumnowe prawo Irbisa 14
27.8 Przykład działania praw Irbisa w teorii zdarzeń 15
27.9 Przykład działania praw Irbisa w teorii zbiorów nieskończonych 19
27.9.1 Kolumnowe i międzykolumnowe prawo Irbisa 21
27.9.2 Przykład kolumnowego i międzykolumnowego prawa Irbisa 22
27.5 Równoważność A<=>S na gruncie fizyki teoretycznej
Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
27.5.1 Zmienne związane i zmienne wolne w równoważności A<=>S
| Kod: |
S4 Schemat 4
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1 – zapis aktualny (przykład)
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1 – zapis formalny
Punkt odniesienia:
p=A - przycisk A
q=S - żarówka S
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
W układzie S4 nie ma zmiennej wolnej.
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna związana A będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(x) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(x) =1
oraz
f(x)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(x) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(x) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty
Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S4 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny równoważności A<=>S.
27.5.2 Wyprowadzenie definicji równoważności A<=>S
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Dla naszego schematu S4 zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Tak, bo każde wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S.
Komentarz:
Gdyby na schemacie S4 istniał przycisk C (zmienna wolna) połączony szeregowo z przyciskiem A, to wtedy warunek wystarczający => byłby fałszem bo oznaczałoby to, że wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) wystarczające => dla zaświecenia się żarówki S, bowiem szeregowy przycisk C (zmienna wolna) może blokować świecenie żarówki S, gdy C=0. Na schemacie S4 nie ma zmiennej wolnej C, zatem warunek wystarczający => jest spełniony.
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A1: A=>S =1
Przyjmijmy zdanie A1 za punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - na mocy prawa Kłapouchego
Nasz punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Stąd zdanie A1 w zapisie formalnym to:
A1: p=>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Uwaga:
Zauważmy, że spełniony warunek wystarczający => (=1) wynika tu z praw fizyczno-matematycznych (prawo Ohma), nie ma tu potrzeby jakiegokolwiek doświadczalnego sprawdzania czy zawsze gdy przycisk A jest wciśnięty to żarówka S świeci się.
##
B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Tak, wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S
Komentarz:
Gdyby na schemacie S4 istniał przycisk B (zmienna wolna) połączony równolegle z przyciskiem A, to wtedy warunek konieczny ~> byłby fałszem, bo oznaczałoby to że wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) konieczne ~> dla zaświecenia się żarówki S, bowiem zaświecić żarówkę S mogłaby zmienna wolna B (B=1). Na schemacie S4 nie ma zmiennej wolnej B, zatem warunek konieczny ~> jest spełniony.
Uwaga:
Tu również spełniony warunek konieczny ~> (=1) wynika z praw fizyczno-matematycznych (prawo Ohma), czyli nie musimy tego sprawdzać doświadczalnie.
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
B1: A~>S =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), bo nie ma żadnej innej możliwości zaświecenia się żarówki S.
Gdzie:
## - zdania różne na mocy definicji
27.5.3 Prawo Kameleona
Prawa Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Dowodem są nasze zdania A1 i B1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A1: A=>S =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
##
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
B1: A~>S =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), bo nie ma żadnej innej możliwości zaświecenia się żarówki S.
Gdzie:
## - zdania różne na mocy definicji
Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Matematycznie zachodzi:
| Kod: |
Warunek wystarczający A1: p=>q=~p+q ## Warunek konieczny B1: p~>q=p+~q
Gdzie:
## - zdania A1 i B1 są różne na mocy definicji
warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Dowód zero-jedynkowy w punkcie 27.3
|
27.5.4 Tabela prawdy równoważności A<=>S
Jednoczesna prawdziwość zdań A1 i B1 definiuje równoważność A<=>S.
TR
Definicja równoważności A<=>S w logice dodatniej (bo S):
Równoważność A<=>S w logice dodatniej (bo S) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> (B1) jak i wystarczającego => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie klawisza A jest (=1) wystarczające => dla świecenia się żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie klawisza A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S
Stąd mamy:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Przycisk A jest wciśnięty (A) wtedy i tylko wtedy gdy świeci się żarówka S (S)
Prawą stronę czytamy:
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla świecenia się żarówki S.
Innymi słowy:
Świecenie żarówki S jest potrzebne ~> (B1) i wystarczające => (A1), dla wnioskowania iż przycisk A jest wciśnięty.
Ta wersja równoważności p<=>q jest powszechnie znana (nie tylko matematykom).
Dowód:
Klikamy na goglach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: kilkanaście tysięcy
„potrzebne i wystarczające”
Wyników: kilkanaście tysięcy
To samo w zapisie formalnym, czyli bez związku z jakimkolwiek przykładem.
Definicję formalną równoważności p<=>q mamy w kolumnie A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzący zarówno warunek konieczny ~> (B1) jak i wystarczający => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
B1: p~>q =1 – zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Zauważmy, że definicja kontrprzykładu związana jest wyłącznie z warunkiem wystarczającym =>
Kolumnowe prawo Irbisa:
Każda, kolumnowa równoważność zdarzeń/zbiorów p<=>q definiuje ich tożsamość p=q (i odwrotnie)
Dla kolumny A1B1 mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> A1B1: p=q
Nanieśmy naszą równoważność A<=>S do tabeli prawdy T0 warunków wystarczających => i koniecznych ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu i prawa Irbisa.
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Przyjęty na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Kolumna A1B1 to również punkt odniesienia w zapisie aktualnym {A, S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
Zapis aktualny:
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S =1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
A': 1: A~~>~S=0 [=] 4:~S~~>A =0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Zapis aktualny:
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S =1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
B': 2:~A~~>S =0 [=] 3: S~~>~A=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zdarzeń: | definiuje tożsamość zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii A
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii B
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli równoważności TR
Definicję formalną równoważności p<=>q mamy w kolumnie A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzący zarówno warunek konieczny ~> (B1) jak i wystarczający => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
B1: p~>q =1 – zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
To samo w zapisie aktualnym (nasz przykład).
Definicję równoważności A<=>S mamy w kolumnie A1B1:
Równoważność A<=>S w logice dodatniej (bo S) to zachodzący zarówno warunek konieczny ~> (B1) jak i wystarczający => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
27.5.4 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach
| Kod: |
S4 Schemat 4
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1 – zapis aktualny (przykład)
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Definicja operatora równoważności p|<=>q w zapisie formalnym:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Stąd mamy:
Definicja operatora równoważności A|<=>S w zapisie aktualnym:
Operator równoważności A|<=>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o wciśnięty przycisk A (A) oraz o nie wciśnięty przycisk A (~A)
Kolumna A1B1:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) - co może się wydarzyć jeśli A jest wciśnięty (A=1)?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~A<=>~S = (A2:~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) - co może się wydarzyć jeśli A nie jest wciśnięty (~A=1)?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
Kolumna A1B1:
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w logice dodatniej (bo S) w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
Całość czytamy:
Równoważność A<=>S jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, by żarówka świeciła się (S=1)
Kolumnowe prawo Irbisa:
Każda, kolumnowa równoważność zdarzeń/zbiorów p<=>q definiuje ich tożsamość p=q (i odwrotnie)
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) <=> p=q
Kolumna A1B1:
Kolumnowa równoważność A1B1: A<=>S prawdziwa definiuje tożsamość zdarzeń A1B1: A=S
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) <=> A1B1: A=S
Lewą stronę czytamy:
A1B1: A<=>S
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka S świeci się (S=1)
Środek czytamy:
(A1: A=>S)*(B1: A~>S)
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla świecenia się żarówki S (S=1)
Prawą stronę czytamy:
A1B1: A=S
Pojęcie „przycisk A jest wciśnięty (A=1)” jest tożsame „=” z pojęciem „żarówka S świeci się (S=1)”
Innymi słowy:
Pojęcie „przycisk A jest wciśnięty (A=1)” jest tożsame z pojęciem „żarówka S świeci się (S=1)” wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla świecenia się żarówki S
A1B1: A=S <=> (A1: A=>S)*(B1: A~>S)
Powyższe zdanie to dowód poprawności kolumnowego prawa Irbisa dla kolumny A1B1, bowiem na mocy schematu S4 to fizyczna oczywistość wynikająca z prawa Ohma.
Kolumna A1B1:
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” jest następująca:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zawsze gdy wciśniemy przycisk A zaświeci się żarówka S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Dla schematu S4 to fizyczna oczywistość wynikająca z prawa Ohma.
Dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1'.
Prawdziwy warunek wystarczający A1: A=>S =1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Dla schematu S4 to fizyczna oczywistość wynikająca z prawa Ohma.
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Kolumna A2B2
Fizyczna realizacja równoważności ~A<=>~S w logice ujemnej (bo ~S) w zdarzeniach:
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia żarówki S (~S=1)
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia żarówki S (~S=1)
A2B2: ~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
A2B2: ~A<=>~S
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
Prawą stronę czytamy:
(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla braku świecenia się żarówki S (~S=1)
Kolumnowe prawo Irbisa:
Każda, kolumnowa równoważność zdarzeń/zbiorów p<=>q definiuje ich tożsamość p=q (i odwrotnie)
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) <=> p=q
Kolumna A2B2:
Kolumnowa równoważność A2B2: ~A<=>~S definiuje tożsamość zdarzeń A2B2: ~A=~S
A2B2: ~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) <=> A2B2: ~A=~S
Lewą stronę czytamy:
A2B2: ~A<=>~S
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka S nie świeci się (~S=1)
Środek czytamy:
(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla nie świecenia się żarówki S (~S=1)
Prawą stronę czytamy:
A1B1: ~A=~S
Pojęcie „przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)” jest tożsame „=” z pojęciem „żarówka S nie świeci się (~S=1)”
Innymi słowy:
Pojęcie „przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)” jest tożsame „=” z pojęciem „żarówka S nie świeci się (~S=1)” wtedy i tylko wtedy gdy nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla nie świecenia się żarówki S (~S=1)
A2B2: ~A=~S <=> (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)
Powyższe zdanie to dowód poprawności kolumnowego prawa Irbisa dla kolumny A2B2, bowiem na mocy schematu S4 to fizyczna oczywistość wynikająca z prawa Ohma.
Kolumna A2B2
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla braku świecenia żarówki S (~S=1)
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => braku świecenia się żarówki S (~S=1)
Zawsze, gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), żarówka nie świeci się (~S=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% => etc
Dla schematu S4 to fizyczna oczywistość wynikająca z prawa Ohma.
Dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2'.
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka S świeci się (S=1)
Dla schematu S4 to fizyczna oczywistość wynikająca z prawa Ohma.
Zauważmy że:
Prawdziwości/fałszywości powyższych zdań dowodzimy na gruncie fizyki teoretycznej.
Jakiekolwiek iterowanie nie ma tu sensu, bowiem wcześniej czy później żarówka spali się i nie będziemy mieli fizycznego potwierdzenia prawdziwości/fałszywości powyższych zdań.
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności A|<=>S jest gwarancja matematyczna => po stronie wciśniętego przycisku A (A=1) - zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1) - zdanie B2.
W przeciwieństwie do operatora implikacji zarówno prostej p||=>q jak i odwrotnej p||~>q nie ma tu miejsca na jakiekolwiek „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~A|<=>~S to układ równań logicznych:
A2B2:~A<=>~S=(A2:~A~>~S)*(B2:~A=>~S) - co się stanie gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
A1B1: A<=>S =(A1: A=>S)* (B1: A~>S) - co się stanie gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności A2B2: ~A|<=>~S w logice ujemnej (bo ~S) będzie identyczna jak operatora równoważności A1B1: A|<=>S w logice dodatniej (bo S) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
27.6 Interpretacja operatora równoważności p|<=>q w zdarzeniach
Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego w przełożeniu 1:1.
Wynika z tego, że jeśli w naszym przykładzie równoważności A<=>S pozostawimy wyłącznie zapisy formalne (ogólne) to dostaniemy poprawny opis formalny równoważności p<=>q bez związku z jakimkolwiek przykładem.
Zróbmy to:
Tabela równoważności p<=>q w zapisie formalnym TR jest następująca.
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zdarzeń: | definiuje tożsamość zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
27.6.1 Prawa Sowy
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
27.6.2 Definicja tożsamości logicznej
Prawa Sowy to:
Definicja tożsamości logicznej „=” dla wielu zdań:
Prawdziwość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych zdań
Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
27.6.3 Właściwości równoważności p<=>q
W tabeli prawdy równoważności TR p<=>q mamy do czynienia z czterema tożsamymi definicjami równoważności p<=>q w kolumnach A1B1, A2B2, A3B3 i A4B4.
Kolumnowe prawo Irbisa:
Każda, kolumnowa równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów p=q (i odwrotnie)
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) <=> p=q
Zapiszmy prawa Irbisa dla wszystkich czterech kolumn równoważności:
A1B1
Prawo Irbisa dla kolumny A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> A1B1: p=q
Równoważność w kolumnie A1B1: p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów A1B1: p=q
A2B2
Prawo Irbisa dla kolumny A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) <=> A2B2: ~p=~q
Równoważność w kolumnie A2B2: ~p<=>~q definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów A2B2: ~p=~q
A3B3
Prawo Irbisa dla kolumny A3B3:
A3B3: q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p) <=> A3B3: q=p
Równoważność w kolumnie A3B3: q<=>p definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów A3B3: q=p
A4B4
Prawo Irbisa dla kolumny A4B4:
A4B4: ~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~q) <=> A4B4: ~q=~p
Równoważność w kolumnie A4B4: ~q<=>~p definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów A4B4: ~q=~p
Zauważmy że:
W dowolnej z czterech kolumn {1,2,3,4} prawo Irbisa działa genialnie.
W dalszych rozważaniach pominiemy kolumnę A3B3, bowiem zachodzi tu przemienność argumentów zarówno w równoważności:
A1B1: p<=>q [=] A3B3: q<=>p
jak i przemienność tożsamości zdarzeń/zbiorów:
A1B1: p=q [=] A3B3: q=p
Podobnie mamy prawo pominąć kolumnę A4B4, bowiem zachodzi tu przemienność argumentów zarówno w równoważności:
A2B2: ~p<=>~q [=] A4B4: ~q<=>~p
jak i przemienność tożsamości zdarzeń/zbiorów:
A2B2: ~p=~q [=] A4B4: ~q=~p
Wniosek:
Kolumny A3B3 i A4B4 możemy śmiało wyeliminować w analizie matematycznej każdej równoważności p<=>q i tego faktu, dla uproszczenia teorii równoważności p<=>q będziemy się trzymać.
27.7 Prawa Irbisa
Na mocy poprzedniego punktu skupmy się na kolumnach A1B1 i A2B2
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
A1B1: A2B2:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1
A': 1: p~~>~q=0
## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1
B': 2:~p~~>q =0
-------------------------------
Równoważność <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1
definiuje tożsamość zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
27.7.1 Kolumnowe prawo Irbisa
Kolumna A1B1:
Kolumnowa równoważność prawdziwa A1B1: p<=>q definiuje tożsamość „=” zdarzeń A1B1: p=q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> A1B1: p=q
I odwrotnie:
Tożsamość zdarzeń A1B1: p=q wymusza równoważność zdarzeń A1B1: p<=>q
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Kolumna A2B2:
Kolumnowa równoważność prawdziwa A2B2: ~p<=>~q definiuje tożsamość „=” zdarzeń A2B2: ~p=~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) <=> A2B2: ~p=~q
I odwrotnie:
Tożsamość zdarzeń A2B2: ~p=~q wymusza równoważność A2B2: ~p<=>~q
A2B2: ~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q
27.7.2 Międzykolumnowe prawo Irbisa
Międzykolumnowe prawo Irbisa:
Międzykolumnowa równoważność prawdziwa:
A1B1: p<=>q <=> A2B2: ~p<=>~q
definiuje tożsamość [=] dowodów matematycznych:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q
Zapis tożsamy:
A1B1: p<=>q <=> A2B2: ~p<=>~q [=] A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q
Tożsamość [=] powyższych równoważności oznacza tu tożsamość logiczną dowodów matematycznych prawdziwości równoważności.
Innymi słowy:
Wystarczy udowodnić którąkolwiek równoważność A1B1 albo A2B2 by mieć gwarancję matematyczną prawdziwości drugiej równoważności.
Oczywiste zapisy tożsame to:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q
A1B1: p<=>q <=> A2B2: ~p<=>~q
Jest bez znaczenia jaki znaczek postawimy między powyższymi równoważnościami bo chodzi tu tylko i wyłącznie o tożsamość dowodów matematycznych po obu stronach znaczka tożsamości logicznej.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
27.7.3 Kolumnowe vs międzykolumnowe prawo Irbisa
Zapiszmy kolumnowe prawo Irbisa dla kolumny A1B1:
Kolumna A1B1:
Kolumnowa równoważność prawdziwa A1B1: p<=>q definiuje tożsamość „=” zdarzeń A1B1: p=q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> A1B1: p=q
I odwrotnie:
Tożsamość zdarzeń A1B1: p=q wymusza równoważność zdarzeń A1B1: p<=>q
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Załóżmy, że udowodniliśmy równoważność prawdziwą:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Czy musimy cokolwiek więcej dowodzić?
NIE!
Absolutnie nic więcej nie musimy dowodzić, bo:
1.
Na mocy kolumnowego prawa Irbisa udowodniliśmy tożsamość zdarzeń/zbiorów A1B1: p=q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> A1B1: p=q
2.
Na mocy międzykolumnowego prawa Irbisa:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Mamy dowód prawdziwości równoważności w logice ujemnej (bo ~q):
A2B2: ~p<=>~q =1
3.
Na mocy kolumnowego prawa Irbisa dla kolumny A2B2 udowodniliśmy tożsamość zdarzeń/zbiorów A2B2: ~p=~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) <=> A2B2: ~p=~q
KONIEC.
Matematycznie udowodniliśmy wszystko co było możliwe do udowodnienia.
27.8 Przykład działania praw Irbisa w teorii zdarzeń
| Kod: |
S4 Schemat 4
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1 – zapis aktualny (przykład)
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1 – zapis formalny
Punkt odniesienia:
p=A - przycisk A
q=S - żarówka S
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Zapiszmy tabelę prawdy naszej równoważności ograniczając się do kolumn A1B1 i A2B2.
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Przyjęty na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Kolumna A1B1 to również punkt odniesienia w zapisie aktualnym {A, S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
A1B1: A2B2:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1
A': 1: p~~>~q=0
Zapis aktualny:
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S =1
A': 1: A~~>~S=0
## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1
B': 2:~p~~>q =0
Zapis aktualny:
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S =1
B': 2:~A~~>S =0
------------------------------
Równoważność <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1
definiuje tożsamość zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Jedziemy według schematu formalnego (ogólnego) zapisanego w poprzednim poście:
Zapiszmy kolumnowe prawo Irbisa dla kolumny A1B1:
Kolumna A1B1:
Kolumnowa równoważność prawdziwa A1B1: p<=>q definiuje tożsamość „=” zdarzeń A1B1: p=q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> A1B1: p=q
I odwrotnie:
Tożsamość zdarzeń A1B1: p=q wymusza równoważność zdarzeń A1B1: p<=>q
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Nasz przykład:
Podstawmy:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Stąd mamy:
Kolumna A1B1:
Kolumnowa równoważność prawdziwa A1B1: A<=>S definiuje tożsamość „=” zdarzeń A1B1: A=S
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) <=> A1B1: A=S
Dowód równoważności:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1=1
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka S świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Warunek wystarczający => spełniony (=1), co wynika z prawa Ohma
##
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% ~> żarówka S świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1)
Wynika to wprost ze schematu S4, gdzie nie ma alternatywnego sposobu zaświecenia się żarówki S
Gdzie:
## - zdania różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego =>
Dowód:
| Kod: |
Warunek wystarczający p=>q=~p+q ## Warunek konieczny p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
|
Zauważmy, że absolutnie nic więcej nie musimy dowodzić, dalsze fakty wynikają z udowodnionej wyżej prawdziwości równoważności A<=>S.
1.
Na mocy kolumnowego prawa Irbisa udowodniliśmy tożsamość zdarzeń A1B1: p=q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> A1B1: p=q
Nasz przykład:
Na mocy kolumnowego prawa Irbisa udowodniliśmy tożsamość zdarzeń A1B1: A=S
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) <=> A1B1: A=S
2.
Na mocy międzykolumnowego prawa Irbisa:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Mamy dowód prawdziwości równoważności w logice ujemnej (bo ~q):
A2B2: ~p<=>~q =1
Nasz przykład:
Na mocy międzykolumnowego prawa Irbisa:
A1B1: A<=>S [=] A2B2: ~A<=>~S
Mamy dowód prawdziwości równoważności w logice ujemnej (bo ~S):
A2B2: ~A<=>~S =1
3.
Na mocy kolumnowego prawa Irbisa dla kolumny A2B2 udowodniliśmy tożsamość zdarzeń A2B2: ~A=~S
A2B2: ~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) <=> A2B2: ~A=~S
KONIEC.
Matematycznie udowodniliśmy wszystko co było możliwe do udowodnienia.
Zauważmy, że nasz schemat równoważności jest tak, banalny, że równie łatwo możemy udowodnić prawdziwość równoważności A2B2: ~A<=>~S w logice ujemnej (bo ~S).
A2B2: ~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1=1
Dowód:
A2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to na 100% ~> żarówka S nie świeci się (~S=1)
~A~>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest warunkiem koniecznym ~> nie świecenia się żarówki S (~S=1), bo jak przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka S świeci się (S=1)
Zauważmy że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło.
Prawo Kubusia:
A2: ~A~>~S = A1: A=>S
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q + A1: p=.q
##
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka S nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Nie wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia się żarówki S, bo to jest jedyny przycisk sterujący świeceniem/nie świeceniem żarówki S.
Gdzie:
## - zdania różne na mocy warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Zauważmy że:
1.
Na mocy kolumnowego prawa Irbisa z udowodnionej równoważności A2B2:~A<=>~S wynika tożsamość zdarzeń A2B2: ~A=~S.
2.
Na mocy miedzy kolumnowego prawa Irbisa:
A2B2:~A<=>~S [=] A1B1: A<=>S
Wynika prawdziwość równoważności:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1
3.
Na mocy kolumnowego prawa Irbisa z prawdziwości równoważności:
A1B1: A<=>S
Wynika tożsamość zdarzeń A1B1: A=S:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) <=> A1B1: A=S
Uwagi:
1.
Nie zawsze dowód równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest tak prosty jak w naszym przykładzie.
2.
Przykładowo w równoważności zachodzącej w zbiorach nieskończonym bezpośredni dowód równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest fizycznie niemożliwy do wykonania, co zobaczymy w następnym punkcie.
A2B2: ~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)
27.9 Przykład działania praw Irbisa w teorii zbiorów nieskończonych
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Do tego by zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by zaszło p
Ta wersja równoważności jest powszechnie znana.
Na mocy prawa Słonia dla zbiorów (2.8) oraz tabeli T0 możemy wygenerować dużą ilość tożsamych definicji równoważności p<=>q.
1.
Matematyczna definicja równoważności p<=>q (znana każdemu matematykowi):
Równoważność p<=>q to jednoczesna prawdziwość matematycznego twierdzenia prostego A1: p=>q i matematycznego twierdzenia odwrotnego B3: q=>p
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q, twierdzenie proste A1.
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p, twierdzenie odwrotne (względem A1)
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Przykład:
Równoważność Pitagorasa:
Trójkąt jest prostokątny TP wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów SK
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Znaczenie zdań składowych:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny TP to zachodzi w nim suma kwadratów SK
A1: TP=>SK =1 – twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów SK to trójkąt jest prostokątny TP
B3: SK=>TP =1 – twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
2.
Definicja równoważności wyrażona relacjami podzbioru =>
Równoważność p<=>q to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B3: q=>p =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Stąd mamy:
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p)= A1B3: p<=>q
Prawo Irbisa znane jest każdemu matematykowi.
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Stąd mamy prawo Irbisa w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>.
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Dowód:
Oczywistość, bo na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> siebie samego.
Korzystając z prawa Słonia (2.8) prawo Irbisa możemy też zapisać w warunkach koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1).
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
27.9.1 Kolumnowe i międzykolumnowe prawo Irbisa
Tabela prawdy równoważności p<=>q w zbiorach z uwzględnieniem prawa Irbisa oraz definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>
Tabela prawdy równoważności w zdarzeniach jest analogiczna, bowiem w zdarzeniach na mocy prawa Orła również występują relacje podzbioru => i nadzbioru ~> czego dowód mieliśmy w punktach 2.2.2 i 2.2.3.
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważność <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
tożsamość zdarzeń/zbiorów: | tożsamość zdarzeń/zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Na mocy powyższej tabeli prawdy dowolnej równoważności możemy zapisać dwa prawa Irbisa.
Kolumnowe prawo Irbisa:
Każda kolumnowa równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p=q
##
Międzykolumnowe prawo Irbisa:
Każda międzykolumnowa równoważność prawdziwa definiuje tożsamość dowodów matematycznych po obu stronach znaczka tożsamości logicznej [=]
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Powyższy zapis to po prostu prawa Sowy w odniesieniu do tabeli prawdy równoważności p<=>q.
Gdzie:
## - prawa różne na mocy definicji (dotyczą dwóch różnych pojęć)
27.9.2 Przykład kolumnowego i międzykolumnowego prawa Irbisa
Kolumnowe prawo Irbisa dla równoważności Pitagorasa:
Kolumnowa równoważność prawdziwa TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK (i odwrotnie)
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) <=> A1B1: TP=SK
Co oznacza tożsamość zbiorów?
TP=SK
Czytamy:
Każdy trójkąt prostokątny TP ma swój jeden, jedyny, unikalny odpowiednik w zbiorze trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów SK
Wniosek:
Zbiory TP i SK są równoliczne, mają identyczną liczbę elementów
Międzykolumnowe prawo Irbisa dla równoważności Pitagorasa:
A1B1: TP<=>SK [=] A2B2: ~TP<=>~SK
Międzykolumnowe prawo Irbisa mówi nam, że potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość równoważności Pitagorasa w logice dodatniej (bo SK), by mieć gwarancję matematyczną prawdziwości równoważności Pitagorasa w logice ujemnej (bo ~SK).
A1B1:
Trójkąt jest prostokątny TP wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów SK
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) – co ludzkość zrobiła wieki temu
[=]
A2B2:
Trójkąt nie jest prostokątny ~TP wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów ~SK
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) – tego faktu nie musimy udowadniać
Na mocy międzykolumnowego prawa Irbisa w żadnym podręczniku matematyki nie znajdziemy bezpośredniego dowodu prawdziwości równoważności A2B2: ~TP<=>~SK – bo nie ma takiej potrzeby, ani fizycznej możliwości.
Zastosujmy kolumnowe prawo Irbisa do równoważności A2B2:
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) <=> A2B2: ~TP=~SK
Co oznacza tożsamość zbiorów?
~TP=~SK
Czytamy:
Każdy trójkąt nieprostokątny ~TP ma swój jeden, jedyny, unikalny odpowiednik w zbiorze trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów ~SK
Wniosek:
Zbiory ~TP i ~SK są równoliczne, mają identyczną liczbę elementów
AAA
27.9.2 Przykład kolumnowego i międzykolumnowego prawa Irbisa
Kolumnowe prawo Irbisa dla równoważności Pitagorasa:
Kolumnowa równoważność prawdziwa TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK (i odwrotnie)
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) <=> A1B1: TP=SK
Co oznacza tożsamość zbiorów?
TP=SK
Czytamy:
Każdy trójkąt prostokątny TP ma swój jeden, jedyny, unikalny odpowiednik w zbiorze trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów SK
Wniosek:
Zbiory TP i SK są równoliczne, mają identyczną liczbę elementów
Międzykolumnowe prawo Irbisa dla równoważności Pitagorasa:
A1B1: TP<=>SK [=] A2B2: ~TP<=>~SK
Międzykolumnowe prawo Irbisa mówi nam, że potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość równoważności Pitagorasa w logice dodatniej (bo SK), by mieć gwarancję matematyczną prawdziwości równoważności Pitagorasa w logice ujemnej (bo ~SK).
A1B1:
Trójkąt jest prostokątny TP wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów SK
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) – co ludzkość zrobiła wieki temu
[=]
A2B2:
Trójkąt nie jest prostokątny ~TP wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów ~SK
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) – tego faktu nie musimy udowadniać
Na mocy międzykolumnowego prawa Irbisa w żadnym podręczniku matematyki nie znajdziemy bezpośredniego dowodu prawdziwości równoważności A2B2: ~TP<=>~SK – bo nie ma takiej potrzeby, ani fizycznej możliwości.
Zastosujmy kolumnowe prawo Irbisa do równoważności A2B2:
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) <=> A2B2: ~TP=~SK
Co oznacza tożsamość zbiorów?
~TP=~SK
Czytamy:
Każdy trójkąt nieprostokątny ~TP ma swój jeden, jedyny, unikalny odpowiednik w zbiorze trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów ~SK
Wniosek:
Zbiory ~TP i ~SK są równoliczne, mają identyczną liczbę elementów
BBB
27.9.2 Przykład kolumnowego i międzykolumnowego prawa Irbisa
Kolumnowe prawo Irbisa dla równoważności Pitagorasa:
Kolumnowa równoważność prawdziwa TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK (i odwrotnie)
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) <=> A1B1: TP=SK
Co oznacza tożsamość zbiorów?
TP=SK
Czytamy:
Każdy trójkąt prostokątny TP ma swój jeden, jedyny, unikalny odpowiednik w zbiorze trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów SK
Wniosek:
Zbiory TP i SK są równoliczne, mają identyczną liczbę elementów
Międzykolumnowe prawo Irbisa dla równoważności Pitagorasa:
A1B1: TP<=>SK [=] A2B2: ~TP<=>~SK
Międzykolumnowe prawo Irbisa mówi nam, że potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość równoważności Pitagorasa w logice dodatniej (bo SK), by mieć gwarancję matematyczną prawdziwości równoważności Pitagorasa w logice ujemnej (bo ~SK).
A1B1:
Trójkąt jest prostokątny TP wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów SK
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) – co ludzkość zrobiła wieki temu
[=]
A2B2:
Trójkąt nie jest prostokątny ~TP wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów ~SK
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) – tego faktu nie musimy udowadniać
Na mocy międzykolumnowego prawa Irbisa w żadnym podręczniku matematyki nie znajdziemy bezpośredniego dowodu prawdziwości równoważności A2B2: ~TP<=>~SK – bo nie ma takiej potrzeby, ani fizycznej możliwości.
Zastosujmy kolumnowe prawo Irbisa do równoważności A2B2:
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) <=> A2B2: ~TP=~SK
Co oznacza tożsamość zbiorów?
~TP=~SK
Czytamy:
Każdy trójkąt nieprostokątny ~TP ma swój jeden, jedyny, unikalny odpowiednik w zbiorze trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów ~SK
Wniosek:
Zbiory ~TP i ~SK są równoliczne, mają identyczną liczbę elementów
CCC
27.9.2 Przykład kolumnowego i międzykolumnowego prawa Irbisa
Kolumnowe prawo Irbisa dla równoważności Pitagorasa:
Kolumnowa równoważność prawdziwa TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK (i odwrotnie)
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) <=> A1B1: TP=SK
Co oznacza tożsamość zbiorów?
TP=SK
Czytamy:
Każdy trójkąt prostokątny TP ma swój jeden, jedyny, unikalny odpowiednik w zbiorze trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów SK
Wniosek:
Zbiory TP i SK są równoliczne, mają identyczną liczbę elementów
Międzykolumnowe prawo Irbisa dla równoważności Pitagorasa:
A1B1: TP<=>SK [=] A2B2: ~TP<=>~SK
Międzykolumnowe prawo Irbisa mówi nam, że potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość równoważności Pitagorasa w logice dodatniej (bo SK), by mieć gwarancję matematyczną prawdziwości równoważności Pitagorasa w logice ujemnej (bo ~SK).
A1B1:
Trójkąt jest prostokątny TP wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów SK
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) – co ludzkość zrobiła wieki temu
[=]
A2B2:
Trójkąt nie jest prostokątny ~TP wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów ~SK
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) – tego faktu nie musimy udowadniać
Na mocy międzykolumnowego prawa Irbisa w żadnym podręczniku matematyki nie znajdziemy bezpośredniego dowodu prawdziwości równoważności A2B2: ~TP<=>~SK – bo nie ma takiej potrzeby, ani fizycznej możliwości.
Zastosujmy kolumnowe prawo Irbisa do równoważności A2B2:
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) <=> A2B2: ~TP=~SK
Co oznacza tożsamość zbiorów?
~TP=~SK
Czytamy:
Każdy trójkąt nieprostokątny ~TP ma swój jeden, jedyny, unikalny odpowiednik w zbiorze trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów ~SK
Wniosek:
Zbiory ~TP i ~SK są równoliczne, mają identyczną liczbę elementów
DDD
27.9.2 Przykład kolumnowego i międzykolumnowego prawa Irbisa
Kolumnowe prawo Irbisa dla równoważności Pitagorasa:
Kolumnowa równoważność prawdziwa TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK (i odwrotnie)
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) <=> A1B1: TP=SK
Co oznacza tożsamość zbiorów?
TP=SK
Czytamy:
Każdy trójkąt prostokątny TP ma swój jeden, jedyny, unikalny odpowiednik w zbiorze trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów SK
Wniosek:
Zbiory TP i SK są równoliczne, mają identyczną liczbę elementów
Międzykolumnowe prawo Irbisa dla równoważności Pitagorasa:
A1B1: TP<=>SK [=] A2B2: ~TP<=>~SK
Międzykolumnowe prawo Irbisa mówi nam, że potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość równoważności Pitagorasa w logice dodatniej (bo SK), by mieć gwarancję matematyczną prawdziwości równoważności Pitagorasa w logice ujemnej (bo ~SK).
A1B1:
Trójkąt jest prostokątny TP wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów SK
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) – co ludzkość zrobiła wieki temu
[=]
A2B2:
Trójkąt nie jest prostokątny ~TP wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów ~SK
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) – tego faktu nie musimy udowadniać
Na mocy międzykolumnowego prawa Irbisa w żadnym podręczniku matematyki nie znajdziemy bezpośredniego dowodu prawdziwości równoważności A2B2: ~TP<=>~SK – bo nie ma takiej potrzeby, ani fizycznej możliwości.
Zastosujmy kolumnowe prawo Irbisa do równoważności A2B2:
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) <=> A2B2: ~TP=~SK
Co oznacza tożsamość zbiorów?
~TP=~SK
Czytamy:
Każdy trójkąt nieprostokątny ~TP ma swój jeden, jedyny, unikalny odpowiednik w zbiorze trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów ~SK
Wniosek:
Zbiory ~TP i ~SK są równoliczne, mają identyczną liczbę elementów
EEE
27.9.2 Przykład kolumnowego i międzykolumnowego prawa Irbisa
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 20:47, 13 Kwi 2025, w całości zmieniany 2749 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37658
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 0:02, 28 Paź 2024 Temat postu: |
|
|
...
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 0:06, 28 Paź 2024, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
