ŚFiNiA

[rafal3006]

Kwintesencja algebry Kubusia
Część I Operatory jednoargumentowe

Spis treści
1.0 Nowa algebra Boole’a 2
1.1 Definicje elementarne algebry Boole'a 3
1.1.1 Definicja negacji 3
1.1.2 Negator dwukierunkowy w bramkach logicznych 4
1.2 Fundamenty algebry Boole'a 5
1.2.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a 6
1.2.2 Prawo negacji funkcji logicznej Y 7
1.2.3 Ogólna definicja logiki matematycznej 7
1.3 Definicja funkcji logicznej jednoargumentowej Y=x 8
1.3.1 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=x 8
1.3.2 Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych 9
1.4 Prawa Prosiaczka 9
1.4.1 Wyprowadzenie I prawa Prosiaczka 10
1.4.2 Wyprowadzenie II prawa Prosiaczka 12
1.4.3 Prawa Prosiaczka w bramkach logicznych 13
1.4.4 Przykład działania praw Prosiaczka na gruncie fizyki 14
1.4.5 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka 14
1.5 Zasady kodowania zdań w operatorach jednoargumentowych 15
1.5.1 Zasady kodowania zdań twierdzących w świecie żywym 16
1.5.2 Stałe binarne w wieku niemowlęcym 17
1.5.3 Stałe binarne w wieku 9 miesięcy 18
1.5.4 Stałe binarne w pierwszej klasie LO na lekcji logiki matematycznej 18
1.5.5 Pułapki w operatorach jednoargumentowych 21
1.5.6 Prawo Puchacza dla zdań twierdzących jednoargumentowych 22
1.5.7 Funkcja logiczna Y zmiennej binarnej p 23
1.5.8 Funkcja logiczna Y stałej binarnej p 24
1.6 Funkcje Y=x i operatory Y|=x jednoargumentowe 24
1.6.1 Definicja funkcji transmisji Y=p i operatora transmisji Y|=p 24
1.6.2 Definicja funkcji negacji Y=~p i operatora negacji Y|=~p 25
1.6.3 Relacja matematyczna między operatorami Y|=p a Y|=~p 26
1.6.4 Prawo Grzechotnika dla funkcji jednoargumentowych 28
1.6.5 Prawo Sokoła 28
1.6.6 Prawo Grzechotnika dla stałych binarnych 29
1.6.7 Prawo Sokoła dla stałych binarnych 30
1.7 Prawo Grzechotnika na przykładzie zrozumiałym dla 5-cio latka 30
1.7.1 Dowód prawa Grzechotnika na poziomie przedszkola 34
1.7.2 Prawo Sokoła 34



Wstęp.

Operatory jednoargumentowe to kwintesencja działania wszelkich operatorów logicznych definiowanych spójnikami „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego 5-cio latka.
Zrozumienie istoty działania operatorów jednoargumentowych jest warunkiem koniecznym dla zrozumienia istoty działania wszelkich operatorów logicznych n-argumentowych definiowanych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Operatory jednoargumentowy to zaledwie cztery operatory różne na mocy definicji ## (pkt.1.3.2)
Przy dwóch argumentach mamy już 16 różnych na mocy definicji ## operatorów (pkt. 1.16)

1.0 Nowa algebra Boole’a

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki).

Algebra Kubusia zawiera w sobie nową algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Aktualna algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.

Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Dowód tego faktu na poziomie 5-cio latka znajdziemy w punkcie 1.9 (sterowanie windą).
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo p) i logika ujemna (bo ~p). Definicję znajdziemy w pkt. 1.1.1
3.
Stara algebra Boole'a jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y), co udowodnimy za chwilkę (pkt. 1.6.4, 1.6.6, 1.7.1)

1.1 Definicje elementarne algebry Boole'a

1 = prawda
0 = fałsz

Gdzie:
1##0
Prawda (1) jest różna na mocy definicji ## od fałszu (0)

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Innymi słowy:
Prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu (0)
Fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy (1)

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)

Pani w przedszkolu:
Pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 - zdanie zawsze prawdziwe
Pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 - zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y - stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa

1.1.1 Definicja negacji

Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.

W szczególnym przypadku symbol w nagłówku kolumny może być stałą binarną gdy w kolumnie są same jedynki albo same zera.