 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 39949
Przeczytał: 8 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pon 10:39, 20 Lut 2023 Temat postu: Smieci |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
14.0 Równoważność p<=>q - teoria zbiorów vs teoria zdarzeń
Spis treści
14.0 Równoważność p<=>q - teoria zbiorów vs teoria zdarzeń 1
14.1 Sztandarowy przykład równoważności TP<=>SK w zbiorach 2
14.1.1 Kolumnowe i międzykolumnowe prawo Irbisa 8
14.1.2 Prawo Kameleona w równoważności TP<=>SK 9
14.1.3 Operator równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) 11
14.2 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza 15
14.2.1 Zadanie W1: TP~~>SK 15
14.2.2 Zdanie W2: TP=>SK 15
14.2.3 Zdanie W3: TP~~>~SK 16
14.2.4 Zdanie W4: ~TP~~>~SK 17
14.2.5 Zdanie W5: ~TP=>~SK 18
14.2.6 Zdanie W6: ~TP~~>SK 18
14.3 Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach 19
14.3.1 Kolumnowe i międzykolumnowe prawa Irbisa 20
14.3.2 Prawa Świstaka 23
14.0 Równoważność p<=>q - teoria zbiorów vs teoria zdarzeń
W tym rozdziale na przykładzie równoważności Pitagorasa TP<=>SK omówimy teorię zbiorów nieskończonych obowiązującą w algebrze Kubusia - będzie to matematyczna kopia 1:1 równoważności A<=>S w zdarzeniach (5.10)
Na przykładzie równoważności w zbiorach TP<=>SK wykażemy iż matematyczne przekształcenia zbiorów w prawie Orła są identyczne jak przekształcenia w teorii zdarzeń A<=>S.
Innymi słowy:
Udowodnimy prawo Koziorożca.
Prawo Koziorożca:
Logika matematyczna obowiązująca w teorii zbiorów nieskończonych (poziom I klasy LO) jest w 100% identyczna jak w teorii zdarzeń (poziom 5-cio latka)
W obu przypadkach są potrzebne i wystarczające zaledwie cztery definicje:
~~> - element wspólny zbiorów (2.3.1) lub zdarzenie możliwe (2.2.1)
=> - warunek wystarczający w zbiorach (2.3.1) lub w zdarzeniach (2.2.2)
~> - warunek konieczny w zbiorach (2.3.2) lub w zdarzeniach (2.2.3)
Definicja kontrprzykładu w zbiorach (2.3.4) lub w zdarzeniach (2.2.4)
14.1 Sztandarowy przykład równoważności TP<=>SK w zbiorach
Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza.
Zadanie W1:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
TP~~>SK = TP*SK =1
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów TP i SK np. [3,4,5]
cnd
W przypadku zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> TP i SK potrzeba i wystarcza pokazać jeden wspólny element np. [3,4,5] co kończy dowód prawdziwości zdania W1
Sprawdzamy warunek konieczny stosowalności algorytmu Puchacza w postaci punktów 1,2,3.
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=TP - zbiór trójkątów prostokątnych
q=SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Przyjmujemy wspólną dla TP i SK dziedzinę:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Badamy spełnienie definicji wspólnej dziedziny dla p i q:
p=TP
TP+~TP = ZWT - wspólna dziedzina
TP*~TP=[] - zbiór pusty
q=SK
SK+~SK=ZWT - wspólna dziedzina
SK*~SK=[] - zbiór pusty
3.
Zbiory p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
Sprawdzenie:
Wspólna dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
p=TP - zbiór trójkątów prostokątnych (zbiór niepusty)
~p=~TP=[ZWT-TP] - zbiór wszystkich trójkątów ZWT pomniejszony o zbiór TP (zbiór niepusty)
q=SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (zbiór niepusty)
~q=~SK = [ZWT-SK] - zbiór wszystkich trójkątów ZWT pomniejszony o zbiór SK (zbiór niepusty)
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne 1,2,3 stosowalności algorytmu Puchacza
Analiza podstawowa (punkty 6 i 7 w algorytmie Puchacza):
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Podstawowe prawa logiki matematycznej w algebrze Kubusia (2.6):
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p
3.
Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
B3: q=>p = B2: ~p=>~q
4.
Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A3: q~>p = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B4: ~q~>~p
Prawo Słonia dla zbiorów/zdarzeń (pkt 2.8.1 i 2.8.2):
W algebrze Kubusia w zbiorach/zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Nasze zdanie startowe to:
W1.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
Na mocy punktów 1,2,3 z algorytmu Puchacza zapisujemy:
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
q=SK (zbiór trójkątów ze spełniona sumą kwadratów)
6.
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Zdanie A1 to znane każdemu uczniowi 8 klasy SP twierdzenie proste Pitagorasa.
Przykładowe dowody twierdzenia prostego Pitagorasa można znaleźć w Wikipedii:
[link widoczny dla zalogowanych]
Oczywiście dowody te mają zero wspólnego z wykazywaniem element po elemencie (których jest nieskończenie wiele) iż zbiór TP jest podzbiorem => SK.
Fakt iż zbiór TP jest podzbiorem => SK wymusza teoria matematyczna, tu prawo Słonia.
7.
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem implikacyjnym mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy zdanie B3 bowiem warunek wystarczający => bez negacji p i q zawsze dowodzi się najprościej.
B3.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
Jeśli w dowolnym trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP)
B3: SK=>TP=1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Na mocy prawa Słonia dla warunku wystarczającego => dowód ten oznacza że:
Bycie trójkątem w którym spełniona jest suma kwadratów (SK) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten trójkąt był prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP)
Zdanie B3 to znane każdemu uczniowi 8 klasy SP twierdzenie odwrotne Pitagorasa.
Przykładowe dowody twierdzenia odwrotnego Pitagorasa można znaleźć w Wikipedii:
[link widoczny dla zalogowanych]
Zgodnie z algorytmem Puchacza (pkt. 6 i 7) interesuje nas prawdziwość/fałszywość zdania B1: p~>q a nie zdania B3: q=>p którego prawdziwość udowodniliśmy wyżej.
Jak udowodnić prawdziwość/fałszywość zdania B1: p~>q?
Bardzo prosto, wystarczy skorzystać z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Nasz przykład:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK =1
Z prawa Tygryska wynika, że udowodnienie prawdziwości warunku wystarczającego B3: q=>p (twierdzenie odwrotne w stosunku do A1) jest tożsame z udowodnieniem warunku koniecznego ~> B1: p~>q.
To jest dowód „nie wprost”
Stąd mamy dowód iż mamy tu do czynienia z równoważnością.
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Gdzie:
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
q=SK (zbiór trójkątów ze spełniona sumą kwadratów)
Stąd mamy:
Podstawowa definicja równoważności TP<=>SK:
A1: TP=>SK =1 - bycie TP jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla spełnienia sumy kwadratów SK
B1: TP~>SK =1 - bycie TP jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla spełnienia sumy kwadratów SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)
To samo w zapisach formalnych:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1B1: SK<=>TP
Prawa strona to powszechnie znana definicja równoważności TP<=>SK:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, aby w tym trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK)
A1B1: (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Innymi słowy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, aby w tym trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK)
A1B1: (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Innymi słowy:
Do tego aby w trójkącie zachodziła suma kwadratów potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1), aby ten trójkąt był prostokątny (TP)
A1B1: (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Dowód iż to jest powszechnie znana definicja równoważności p<=>q.
Klikamy na googlach:
"konieczne i wystarczające"
Wyników: Kilkanaście tysięcy
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: Kilkanaście tysięcy
"potrzeba i wystarcza:
Wyników: Kilkanaście tysięcy
Prawa Słonia:
Warunek wystarczający => = Relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = Relacja nadzbioru ~>
Stąd mamy definicję równoważności Pitagorasa w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>.
Definicja równoważności TP<=>SK w zbiorach:
Zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK i jest tożsamy ze zbiorem SK
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów TP+SK bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia TP, ~TP, SK i ~SK będą rozpoznawalne.
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK (twierdzenie proste Pitagorasa)
To samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q =1
##
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP (twierdzenie odwrotne Pitagorasa)
To samo w zapisach formalnych:
B1: p~>q = B3: q=>p
Gdzie:
## - twierdzenie proste Pitagorasa (A1: p=>q) jest różne na mocy definicji od twierdzenia odwrotnego Pitagorasa (B3: q=>p)
Stąd mamy:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = 1*1 =1
To samo w zapisach formalnych:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
A1B1: TP<=>SK
Całość w zbiorach czytamy:
Równoważność TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) dla zbioru SK
Prawo Irbisa:
Dowolna, kolumnowa równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> A1B1: p=q
Definicja równoważności kolumnowej za chwilkę.
Dowód wynikający z prawa Słonia:
Na mocy definicji każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) siebie samego
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Nasz przykład:
A1B1: TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)
Równoważność TP<=>SK to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) wylosujemy trójkąt prostokątny TP
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności TP<=>SK z uwzględnieniem prawa Irbisa i definicji kontrprzykładu działającej wyłącznie w warunkach wystarczających =>
| Kod: |
TR
Równoważność p<=>q w zbiorach w zapisie formalnym:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak
jak i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia dla naszego przykładu to:
p=TP
q=SK
Równoważność TP<=>SK w zapisie aktualnym:
Równoważność TP<=>SK to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak
jak i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>SK =1 - bycie TP jest (=1) wystarczające => dla zachodzenia SK
zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK =1 - bycie TP jest (=1) konieczne ~> dla zachodzenia SK
zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Wspólna dziedzina dla TP i SK: ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 = 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 = 4:~q=> ~p =1
A': 1: p~~> ~q =0 [=] 4:~q~~> p =0
To samo w zapisie aktualnym:
A: 1: TP=>SK =1 = 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~>TP =1 = 4:~SK=>~TP=1
A': 1: TP~~>~SK=0 [=] 4:~SK~~>TP=0
## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 = 4:~q~> ~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~> ~p =0
To samo w zapisie aktualnym:
B: 1: TP~>SK =1 = 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=> TP =1 = 4:~SK~>~TP=1
B': 2:~TP~~>SK=0 [=] 3: SK~~>~TP=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
AB: 1: p<=> q =1 = 2:~p<=>~q =1 [=] 3: q<=> p = 1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
To samo w zapisie aktualnym:
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
AB: 1: TP<=>SK =1 = 2:~TP<=>~SK=1 [=] 3: SK<=>TP =1 = 4:~SK<=>~TP=1
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: TP=SK # 2:~TP=~SK | 3: SK=TP # 4:~SK=~TP
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań
14.1.1 Kolumnowe i międzykolumnowe prawo Irbisa
Na mocy powyższej, symbolicznej tabeli prawdy równoważności TR możemy zapisać cztery kolumnowe prawa Irbisa.
Kolumnowe prawo Irbisa:
Każda kolumnowa równoważność prawdziwa definiuje tożsamość zbiorów po obu stronach znaczka tożsamości.
W symbolicznej tabeli równoważności TR mamy cztery równoważności kolumnowe definiujące odpowiednie tożsamości zbiorów:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> A1B1: p=q
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) <=> A2B2: ~p=~q
A3B3: q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p) <=> A3B3: q=p
A4B4: ~q<=>~p = (A4:~q=>~p)*(B4:~q~>~p) <=> A4B4: ~q=~p
Na mocy prawa Kłapouchego interesują nas wyłącznie kolumny A1B1 i A2B2:
Kolumna A1B1:
Równoważność kolumnowa A1B1: TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów A1B1: TP=SK (i odwrotnie)
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) <=> A1B1: TP=SK
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> A1B1: p=q
Dowód:
Każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem A1: p=>q i nadzbiorem B1: p~>q siebie samego
Stąd mamy tożsamość zbiorów:
p=q
Kolumna A2B2:
Równoważność kolumnowa A2B2:~TP<=>~SK definiuje tożsamość zbiorów A2B2:~TP=~SK
(i odwrotnie)
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP~>~SK) <=> A2B2: ~TP=~SK
To samo w zapisie formalnym:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~p=~q
Dowód:
Każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem B2:~p=>~q i nadzbiorem A2: ~p~>~q siebie samego
Stąd mamy tożsamość zbiorów:
~p=~q
##
Międzykolumnowe prawo Irbisa:
Każda międzykolumnowa równoważność prawdziwa definiuje tożsamość dowodów matematycznych po obu stronach znaczka tożsamości logicznej [=]
A1B1: TP<=>SK [=] A2B2: ~TP<=>~SK
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Czytamy:
Udowodnienie prawdziwości równoważności A1B1: TP<=>SK wymusza prawdziwość równoważności
A2B2: ~TP<=>~SK (i odwrotnie)
To samo w zapisach formalnych:
Udowodnienie prawdziwości równoważności A1B1: p<=>q wymusza prawdziwość równoważności A2B2: ~p<=>~q (i odwrotnie)
Gdzie:
## - kolumnowe i międzykolumnowe prawa Irbisa są różne na mocy definicji ##
Podsumowanie:
| Kod: |
WR
Właściwości równoważności <=>:
A1B1: TP<=>SK [=] A2B2: ~TP<=>~SK
To samo w zapisach formalnych:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Powyższe równoważności definiują kolumnowe tożsamości zbiorów:
A1B1 TP=SK # A2B2: ~TP=~SK
To samo w zapisach formalnych:
A1B1: p=q # A2B2: ~p=~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna
Tożsame znaczki tożsamości logicznej [=]:
<=> - wtedy i tylko wtedy
„=” - tożsamość logiczna
|
14.1.2 Prawo Kameleona w równoważności TP<=>SK
Weźmy raz jeszcze tabelę prawdy równoważności:
| Kod: |
TR
Równoważność p<=>q w zbiorach w zapisie formalnym:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak
jak i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia dla naszego przykładu to:
p=TP
q=SK
Równoważność TP<=>SK w zapisie aktualnym:
Równoważność TP<=>SK to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak
jak i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>SK =1 - bycie TP jest (=1) wystarczające => dla zachodzenia SK
zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK =1 - bycie TP jest (=1) konieczne ~> dla zachodzenia SK
zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Wspólna dziedzina dla TP i SK: ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 = 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 = 4:~q=> ~p =1
A': 1: p~~> ~q =0 [=] 4:~q~~> p =0
To samo w zapisie aktualnym:
A: 1: TP=>SK =1 = 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~>TP =1 = 4:~SK=>~TP=1
A': 1: TP~~>~SK=0 [=] 4:~SK~~>TP=0
## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 = 4:~q~> ~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~> ~p =0
To samo w zapisie aktualnym:
B: 1: TP~>SK =1 = 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=> TP =1 = 4:~SK~>~TP=1
B': 2:~TP~~>SK=0 [=] 3: SK~~>~TP=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
AB: 1: p<=> q =1 = 2:~p<=>~q =1 [=] 3: q<=> p = 1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
To samo w zapisie aktualnym:
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
AB: 1: TP<=>SK =1 = 2:~TP<=>~SK=1 [=] 3: SK<=>TP =1 = 4:~SK<=>~TP=1
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: TP=SK # 2:~TP=~SK | 3: SK=TP # 4:~SK=~TP
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Opiszmy zdaniami kolumnę A1B1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest wystarczające => by zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
##
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
B1: TP~>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest konieczne ~> by zachodziła w nim suma kwadratów (SK), bo zabieram zbiór trójkątów prostokątnych (TP) i znika mi zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK). Dzieje się tak, bo zachodzi tożsamość zbiorów:
TP=SK
To samo w zapisie formalnym:
A1: p~>q =1
Gdzie:
## - zdania A1 i B1 są różne na mocy definicji
Stąd mamy definicję równoważności:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Dowód iż zdania A1 i B1 są różne na mocy definicji ##:
| Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego => ## Definicja warunku koniecznego ~>
Y = (A1: p=>q) = ~p+q ## Y = (B1: p~>q) = p+~q
|
Definicja formalna znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y w tej samej logice (tu dodatniej bo Y) są różna na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p i q ich kolumny wynikowe są różne ## (nie są tożsame)
Doskonale widać, że w tabeli T1 definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest spełniona
Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Przykład to nasze zdania A1 i B1 wyżej.
Zauważmy, że różność matematyczną zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => (A1) i koniecznego ~> (B1) wbudowanych w treść zdań
Dowód „nie wprost” prawa Kameleona:
Definicja równoważności:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Załóżmy, że zachodzi tożsamość logiczna [=] zdań A1 i B1:
A1: TP=>SK [=] B1: TP~>SK
bo zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka.
Wtedy musimy zapisać:
A1B1: TP<=>SK = A1: TP=>SK
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p<=>q = A1: p=>q
Sprzeczność czysto matematyczną każdy widzi bo:
Definicja równoważności A1B1: p<=>q w tabeli zero-jedynkowej:
Y = (A1B1: p<=>q) = p*q + ~p*~q
##
Definicja warunku wystarczającego A1: p=>q w tabeli zero-jedynkowej:
Y = (A1: p=>q) =~p+q
Gdzie:
## - funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ##
Wniosek z dowodu „nie wprost”:
Zdania A1 i B1 nie są tożsame, zatem są różne na mocy definicji ##, mimo że brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka
cnd
14.1.3 Operator równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK)
Na mocy prawa Sowy prawdziwość równoważności TP<=>SK wymusza prawdziwość operatora równoważności TP|<=>SK o definicji jak niżej.
Definicja operatora równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK):
Operator równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o TP (A1B1) i ~TP (A2B2):
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy TP?
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy ~TP?
A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt prostokątny TP?
A1: TP=>SK=1 - bycie TP jest wystarczające => dla zachodzenia SK
B1: TP~>SK=1 - bycie TP jest konieczne ~> dla zachodzenia SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
Całość czytamy:
Definicja równoważności TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) to tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (w tym matematykom).
Prawa Słonia:
Warunek wystarczający => = Relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = Relacja nadzbioru ~>
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Definicja równoważności TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest nadzbiorem ~> (B1) i jednocześnie podzbiorem => (A1) zbioru trójkątów w których zachodzi suma kwadratów (SK)
Wniosek:
Zachodzi tożsamość zbiorów:
TP=SK
A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt prostokątny TP?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK=1
W zapisie formalnym:
p=>q =1
To jest twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Interpretacja dowodu prawdziwości twierdzenia prostego Pitagorasa:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
TP~~>~SK=TP*~SK=0
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: TP i ~SK
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: TP=>SK=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
Co się stanie jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt nieprostokątny ~TP?
Idziemy do kolumny A2B2.
A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt nieprostokątny ~TP?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~TP~>~SK=1 - bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem koniecznym ~>
dla nie zachodzenia sumy kwadratów (~SK)
B2: ~TP=>~SK=1 - bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym =>
dla nie zachodzenia sumy kwadratów (~SK)
Stąd:
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest nieprostokątny (~TP) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
Całość czytamy:
Równoważność ~TP<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) to tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK)
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Definicja równoważności ~TP<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP) jest nadzbiorem ~> (A2) i jednocześnie podzbiorem => (B2) zbioru trójkątów w których nie zachodzi suma kwadratów (~SK)
Wniosek:
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~TP=~SK
A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt nieprostokątny ~TP?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
~TP=>~SK=1
W zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK)
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1 dowodzimy korzystając z prawa kontrapozycji.
Prawo kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B2: ~TP=>~SK = B3: SK=>TP
Zdanie B3: SK=>TP to twierdzenie odwrotne Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Prawo kontrapozycji gwarantuje nam prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK
Na mocy prawa Słonia możemy zapisać:
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP) jest (=1) podzbiorem => zbioru trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów (~SK)
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK=0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~TP i SK.
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’: ~TP~~>SK=0 (i odwrotnie)
Prawdziwość zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
Podsumowując:
Równoważność TP<=>SK to gwarancja matematyczna => po stronie TP, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~TP o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Innymi słowy:
1.
Jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt prostokątny (TP) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie zachodziła w nim suma kwadratów (SK) - mówi o tym zdanie A1
2.
oraz:
Jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt nieprostokątny (~TP) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK) - mówi o tym zdanie B2
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~TP|<=>~SK to układ równań logicznych:
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy ~TP?
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy TP?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności ~TP|<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) będzie identyczna jak operatora równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
14.2 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza
Przykładowe zadania w których koniec końców wylądujemy w operatorze równoważności TP|<=>SK mogą być następujące.
14.2.1 Zadanie W1: TP~~>SK
Zadanie W1:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
TP~~>SK = TP*SK =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów TP i SK np. [3,4,5]
Na mocy analizy w punkcie 14.1 i 14.1.1 stwierdzamy iż nie ma 100% odpowiednika zdania W1.
… ale!
Mamy spełniony warunek wystarczający A1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK=1
W zapisie formalnym:
p=>q =1
To jest twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Interpretacja dowodu prawdziwości twierdzenia prostego Pitagorasa:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W1: TP~~>SK jest częścią warunku wystarczającego => A1: TP=>SK, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Element wspólny ~~> zbiorów W1: ## Warunek wystarczający => A1:
W1: TP~~>SK=TP*SK=1 bo [3,4,5] ## A1: TP=>SK =1 - TP jest podzbiorem => SK
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W1: TP~~>SK jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego A1: TP=>SK.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie A1: TP=>SK wchodzi w skład operatora równoważności TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
14.2.2 Zdanie W2: TP=>SK
Zadanie W2
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W2.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame.
W2.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.1 i 14.1.1.
W punkcie 14.1.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W1.
Jak widzimy:
W2=A1
Stąd mamy zdanie tożsame A1.
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK=1
W zapisie formalnym:
p=>q =1
To jest twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Interpretacja dowodu prawdziwości twierdzenia prostego Pitagorasa na mocy prawa Słonia:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
Podsumowanie:
1.
Zdanie wypowiedziane A1: TP=>SK to twierdzenie proste Pitagorasa.
2.
Na mocy prawa Puchacza twierdzenie proste Pitagorasa TP=>SK wchodzi w skład operatora równoważności Pitagorasa TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
14.2.3 Zdanie W3: TP~~>~SK
Zadanie W3
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W3.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to może nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
TP~~>~SK = TP*~SK=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.1 i 14.1.1.
W punkcie 14.1.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W3=A1'
A1’
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
TP~~>~SK=TP*~SK=0
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: TP i ~SK
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: TP=>SK=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
Podsumowanie:
1.
Fałszywe zdanie wypowiedziane A1': TP~~>~SK=0 to kontrprzykład A1' dla prawdziwego warunku wystarczającego A1: TP=>SK=1, czyli twierdzenia prostego Pitagorasa A1: TP=>SK
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W3=A1' wchodzi w skład operatora równoważności TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
14.2.4 Zdanie W4: ~TP~~>~SK
Zadanie W4:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W4.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
~TP~~>~SK = ~TP*~SK =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~TP i ~SK np. [3,4,6]
W dowodzeniu zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> szukamy wspólnego elementu zbiorów ~TP i ~SK, co kończy dowód prawdziwości/fałszywości zdania W4
Nie badamy tu czy bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest konieczne ~> czy też wystarczające => do tego aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK)
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.1 i 14.1.1.
Badając punkt 14.1.1 stwierdzamy iż nie ma 100% odpowiednika zdania W4.
… ale!
Mamy spełniony warunek wystarczający B2:
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
~TP=>~SK=1
W zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP) jest (=1) podzbiorem => zbioru trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów (~SK)
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W4: ~TP~~>~SK jest częścią warunku wystarczającego => B2: ~TP=>~SK, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Element wspólny ~~> zbiorów W4: ## Warunek wystarczający => B2:
W4:~TP~~>~SK=~TP*~SK=1 bo [3,4,6] ## B2:~TP=>~SK =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W4: ~TP~~>~SK jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie B2:~TP=>~SK wchodzi w skład operatora równoważności TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
14.2.5 Zdanie W5: ~TP=>~SK
Zadanie W5
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W5.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame.
W5.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
~TP=>~SK=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.1 i 14.1.1.
W punkcie 14.1.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W5.
Jak widzimy:
W5=B2
Stąd mamy zdanie tożsame B2.
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
~TP=>~SK=1
W zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Na mocy prawa Słonia możemy zapisać:
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP) jest (=1) podzbiorem => zbioru trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów (~SK)
Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza warunek wystarczający ~TP=>~SK wchodzi w skład operatora równoważności Pitagorasa TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
14.2.6 Zdanie W6: ~TP~~>SK
Zadanie W6
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W6.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.1 i 14.1.1.
W punkcie 14.1.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W6=B2'
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK=0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~TP i SK.
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’: ~TP~~>SK=0 (i odwrotnie)
Podsumowanie:
1.
Fałszywe zdanie wypowiedziane B2': ~TP~~>SK=0 to kontrprzykład B2' dla prawdziwego warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W6=B2' wchodzi w skład operatora równoważności TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
14.3 Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach
Definicja równoważności TP<=>SK w zbiorach:
Zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK i jest tożsamy ze zbiorem SK
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów TP+SK bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia TP, ~TP, SK i ~SK będą rozpoznawalne, co doskonale widać na diagramie DR
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK (z definicji)
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK (z definicji)
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = 1*1 =1
Na mocy prawa Kłapouchego mamy punkt odniesienia:
p= TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
q= SK (zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów)
Czytamy:
Równoważność A1B1: TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) dla zbioru SK
Stąd mamy:
| Kod: |
DR
Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach
---------------------------------------------------------------------------
| p=TP | ~p=~TP |
|--------------------------------- |--------------------------------------|
| q=SK | ~q=~SK |
|--------------------------------- |--------------------------------------|
|Równoważność A1B1: | Równoważność A2B2: |
|A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)[=]A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
|-------------------------------------------------------------------------|
|definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów: |
| p=q (TP=SK) # ~p=~q (~TP=~SK) |
--------------------------------------------------------------------------|
| A1: TP=>SK=1 (TP*SK=1) | B2:~TP=>~SK=1 (~TP*~SK=1) |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: |
| D=A1: TP*SK+ B2:~TP*~SK - suma logiczna zbiorów niepustych A1 i B2 |
| A1’: TP~~>~SK=TP*~SK=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~TP~~>SK =~TP*SK=[]=0 - zbiór pusty |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach definiujący |
| tożsamości zbiorów TP=SK i ~TP=~SK |
---------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wnioski:
1.
Dziedzina ZWT w równoważności to dwa zbiory niepuste i rozłączne:
TP=SK i ~TP=~SK uzupełniające się wzajemnie do dziedziny ZWT (patrz diagram DR).
Stąd:
TP+~TP = ZWT =1 - zbiór ~TP jest zaprzeczeniem do wspólnej dziedziny ZWT dla zbioru TP
TP*~TP = [] =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
Dowód: diagram DR
oraz:
Definicja dziedziny dla trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów SK:
SK+~SK = ZWT =1 - zbiór ~SK jest zaprzeczeniem do wspólnej dziedziny ZWT dla zbioru SK
SK*~SK = [] =0 - zbiory SK i ~SK są rozłączne
Dowód: diagram DR
Na mocy powyższego zapisujemy:
~TP=[ZWT-TP]=[TP+~TP-TP]=~TP
~SK=[ZWT-SK]=[SK+~SK-SK]=~SK
Jak widzimy, od strony czysto matematycznej jest tu wszystko w porządku.
Zachodzi oczywiście prawo podwójnego przeczenia:
TP = ~(~TP) - zbiór TP to zaprzeczenie zbioru ~TP w obrębie dziedziny ZWT
SK = ~(~SK) - zbiór SK to zaprzeczenie zbioru ~SK w obrębie dziedziny ZWT
oraz:
~TP=~(TP) - zbiór ~TP to zaprzeczenie zbioru TP w obrębie dziedziny ZWT
~SK=~(SK) - zbiór ~SK to zaprzeczenie zbioru SK w obrębie dziedziny ZWT
Zauważmy, że z powodu tożsamości zbiorów TP=SK wymuszającej tożsamość zbiorów ~TP=~SK w powyższych zapisach można sobie „rzucać monetą”, czyli dowolnie zamieniać TP z SK albo ~TP z ~SK.
14.3.1 Kolumnowe i międzykolumnowe prawa Irbisa
Weźmy raz jeszcze tabelę prawdy równoważności:
| Kod: |
TR
Równoważność p<=>q w zbiorach w zapisie formalnym:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak
jak i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia dla naszego przykładu to:
p=TP
q=SK
Równoważność TP<=>SK w zapisie aktualnym:
Równoważność TP<=>SK to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak
jak i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>SK =1 - bycie TP jest (=1) wystarczające => dla zachodzenia SK
zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK =1 - bycie TP jest (=1) konieczne ~> dla zachodzenia SK
zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Wspólna dziedzina dla TP i SK: ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 = 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 = 4:~q=> ~p =1
A': 1: p~~> ~q =0 [=] 4:~q~~> p =0
To samo w zapisie aktualnym:
A: 1: TP=>SK =1 = 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~>TP =1 = 4:~SK=>~TP=1
A': 1: TP~~>~SK=0 [=] 4:~SK~~>TP=0
## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 = 4:~q~> ~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~> ~p =0
To samo w zapisie aktualnym:
B: 1: TP~>SK =1 = 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=> TP =1 = 4:~SK~>~TP=1
B': 2:~TP~~>SK=0 [=] 3: SK~~>~TP=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
AB: 1: p<=> q =1 = 2:~p<=>~q =1 [=] 3: q<=> p = 1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
To samo w zapisie aktualnym:
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
AB: 1: TP<=>SK =1 = 2:~TP<=>~SK=1 [=] 3: SK<=>TP =1 = 4:~SK<=>~TP=1
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: TP=SK # 2:~TP=~SK | 3: SK=TP # 4:~SK=~TP
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Na mocy prawa Kłapouchego interesują nas wyłącznie kolumny A1B1 i A2B2.
Z tabeli prawdy równoważności oraz z diagramu DR odczytujemy:
1.
Kolumnowe prawa Irbisa:
Kolumna A1B1:
Równoważność kolumnowa A1B1: TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów A1B1: TP=SK (i odwrotnie)
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) <=> A1B1: TP=SK
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> A1B1: p=q
Dowód:
Każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem A1: p=>q i nadzbiorem B1: p~>q siebie samego
Stąd:
p=q
Kolumna A2B2:
Równoważność kolumnowa A2B2:~TP<=>~SK definiuje tożsamość zbiorów A2B2:~TP=~SK
(i odwrotnie)
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP~>~SK) <=> A2B2: ~TP=~SK
To samo w zapisie formalnym:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)<=> A2B2: ~p=~q
Dowód:
Każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem B2:~p=>~q i nadzbiorem A2: ~p~>~q siebie samego
Stąd:
~p=~q
##
2.
Międzykolumnowe prawo Irbisa:
Każda międzykolumnowa równoważność prawdziwa definiuje tożsamość dowodów matematycznych po obu stronach znaczka tożsamości logicznej [=]
A1B1: TP<=>SK [=] A2B2: ~TP<=>~SK
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Czytamy:
Udowodnienie prawdziwości A1B1: TP<=>SK wymusza prawdziwość równoważności
A2B2: ~TP<=>~SK (i odwrotnie)
To samo w zapisach formalnych:
Udowodnienie prawdziwości A1B1: p<=>q wymusza prawdziwość równoważności
A2B2: ~p<=>~q (i odwrotnie)
Gdzie:
## - kolumnowe i międzykolumnowe prawa Irbisa są różne na mocy definicji ##
Podsumowanie:
| Kod: |
WR
Właściwości równoważności <=>:
A1B1: TP<=>SK [=] A2B2: ~TP<=>~SK
To samo w zapisach formalnych:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Powyższe równoważności definiują kolumnowe tożsamości zbiorów:
A1B1 TP=SK # A2B2: ~TP=~SK
To samo w zapisach formalnych:
A1B1: p=q # A2B2: ~p=~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
w obrębie wspólnej dziedziny ZWT (zbiór wszystkich trójkątów)
[=] - tożsamość logiczna
Tożsame znaczki tożsamości logicznej [=]:
<=> - wtedy i tylko wtedy
„=” - tożsamość logiczna
|
Mamy tu jedną tożsamość międzykolumnową [=] definiującą tożsamość dowodów matematycznych:
| Kod: |
RMK
Równoważność międzykolumnowa:
A1B1: TP<=>SK [=] A2B2: ~TP<=>~SK
To samo w zapisach formalnych:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
Tożsame znaczki tożsamości logicznej [=]:
<=> - wtedy i tylko wtedy
„=” - tożsamość logiczna
|
Międzykolumnowe prawo Irbisa:
Każda międzykolumnowa równoważność prawdziwa definiuje tożsamość dowodów matematycznych po obu stronach znaczka tożsamości logicznej [=]
A1B1: TP<=>SK [=] A2B2: ~TP<=>~SK
To samo w zapisach formalnych:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Czytamy:
Udowodnienie prawdziwości A1B1: TP<=>SK wymusza prawdziwość równoważności
A2B2: ~TP<=>~SK (i odwrotnie)
To samo w zapisach formalnych:
Udowodnienie prawdziwości A1B1: p<=>q wymusza prawdziwość równoważności
A2B2: ~p<=>~q (i odwrotnie)
14.3.2 Prawa Świstaka
I Prawo Świstaka:
W dowolnej równoważności prawdziwej p<=>q istnieją tylko i wyłącznie cztery kolumnowe prawa Irbisa
##
II prawo Świstaka
W dowolnej równoważności prawdziwej p<=>q istnieją tylko i wyłącznie trzy międzykolumnowe prawa Irbisa
Gdzie:
## - prawa Irbisa różne na mocy definicji
I.
Odczytajmy z tabeli TR wszystkie możliwe kolumnowe prawa Irbisa:
Kolumna A1B1:
Kolumnowe prawo Irbisa:
Równoważność kolumnowa A1B1: TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów A1B1: TP=SK (i odwrotnie)
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) <=> A1B1: TP=SK
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> A1B1: p=q
Dowód:
Każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem A1: p=>q i nadzbiorem B1: p~>q siebie samego
Stąd:
A1B1: p=q
Kolumna A2B2:
Kolumnowe prawo Irbisa:
Równoważność kolumnowa A2B2:~TP<=>~SK definiuje tożsamość zbiorów A2B2:~TP=~SK
(i odwrotnie)
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP~>~SK) <=> A2B2: ~TP=~SK
To samo w zapisie formalnym:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)<=> A2B2: ~p=~q
Dowód:
Każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem B2:~p=>~q i nadzbiorem A2: ~p~>~q siebie samego
Stąd:
A2B2: ~p=~q
Kolumna A3B3:
Kolumnowe prawo Irbisa:
Równoważność kolumnowa A3B3: SK<=>TP definiuje tożsamość zbiorów A3B3: SK=TP (i odwrotnie)
A3B3: SK<=>TP = (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP) <=> A3B3: SK=TP
To samo w zapisie formalnym:
A3B3: q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p) <=> A3B3: q=p
Dowód:
Każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem B3: q=>p i nadzbiorem A3: q~>p siebie samego
Stąd:
A3B3: q=p
Kolumna A4B4:
Kolumnowe prawo Irbisa:
Równoważność kolumnowa A4B4: ~SK<=>~TP definiuje tożsamość zbiorów A4B4: ~SK=~TP
(i odwrotnie)
A4B4: ~SK<=>~TP = (A4:~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP) <=> A4B4: ~SK=~TP
To samo w zapisie formalnym:
A4B4: ~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4:~q~>~p) <=> A4B4: ~q=~p
Dowód:
Każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem A4: ~q=>~p i nadzbiorem B4: ~q~>~p siebie samego
Stąd:
A4B4: ~q=~p
Tożsamość zbiorów jest przemienna tak więc:
A1B1: p=q [=] A3B3: q=p
#
A2B2: ~p=~q [=] A4B4: ~q=~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
##
II.
Odczytajmy z tabeli TR wszystkie możliwe międzykolumnowe prawa Irbisa:
1.
A1B1-A2B2 Międzykolumnowe prawo Irbisa:
Każda międzykolumnowa równoważność prawdziwa definiuje tożsamość dowodów matematycznych po obu stronach znaczka tożsamości logicznej [=]
A1B1: TP<=>SK [=] A2B2: ~TP<=>~SK
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Czytamy:
Udowodnienie prawdziwości A1B1: TP<=>SK wymusza prawdziwość równoważności
A2B2: ~TP<=>~SK (i odwrotnie)
To samo w zapisach formalnych:
Udowodnienie prawdziwości A1B1: p<=>q wymusza prawdziwość równoważności
A2B2: ~p<=>~q (i odwrotnie)
2.
A2B2-A3B3 Międzykolumnowe prawo Irbisa:
Każda międzykolumnowa równoważność prawdziwa definiuje tożsamość dowodów matematycznych po obu stronach znaczka tożsamości logicznej [=]
A2B2: ~TP<=>~SK [=] A3B3: SK<=>TP
To samo w zapisie formalnym:
A2B2: ~p<=>~q [=] A3B3: q<=>p
Czytamy:
Udowodnienie prawdziwości A2B2: ~TP<=>~SK wymusza prawdziwość równoważności
A3B3: SK<=>TP (i odwrotnie)
To samo w zapisach formalnych:
Udowodnienie prawdziwości A2B2: ~p<=>~q wymusza prawdziwość równoważności
A3B3: q<=>p (i odwrotnie)
3.
A3B3-A4B4 Międzykolumnowe prawo Irbisa:
Każda międzykolumnowa równoważność prawdziwa definiuje tożsamość dowodów matematycznych po obu stronach znaczka tożsamości logicznej [=]
A3B3: SK<=>TP [=] A4B4: ~SK<=>~TP
To samo w zapisie formalnym:
A3B3: q<=>p [=] A4B4: ~q<=>~p
Czytamy:
Udowodnienie prawdziwości A3B3: SK<=>TP wymusza prawdziwość równoważności
A4B4: ~SK<=>~TP (i odwrotnie)
To samo w zapisach formalnych:
Udowodnienie prawdziwości A3B3: q<=>p wymusza prawdziwość równoważności
A4B4: ~q<=>~p (i odwrotnie)
Gdzie:
## - prawa różne na mocy definicji
Czyli:
Kolumnowe prawo Irbisa jest różne na mocy definicji ## od międzykolumnowego prawa Irbisa.
Potocznie:
Jedno mówi o rybkach (tożsamość zbiorów) a drugie o pipkach (równoważności dowodów matematycznych)
AAA
II.
Odczytajmy z tabeli TR wszystkie możliwe międzykolumnowe prawa Irbisa:
1.
A1B1-A2B2 Międzykolumnowe prawo Irbisa:
Każda międzykolumnowa równoważność prawdziwa definiuje tożsamość dowodów matematycznych po obu stronach znaczka tożsamości logicznej [=]
A1B1: TP<=>SK [=] A2B2: ~TP<=>~SK
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Czytamy:
Udowodnienie prawdziwości A1B1: TP<=>SK wymusza prawdziwość równoważności
A2B2: ~TP<=>~SK (i odwrotnie)
To samo w zapisach formalnych:
Udowodnienie prawdziwości A1B1: p<=>q wymusza prawdziwość równoważności
A2B2: ~p<=>~q (i odwrotnie)
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 8:34, 07 Gru 2025, w całości zmieniany 3952 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 39949
Przeczytał: 8 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 0:02, 28 Paź 2024 Temat postu: |
|
|
...
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 0:06, 28 Paź 2024, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
