 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35534
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pią 21:48, 24 Gru 2010 Temat postu: skasować ! |
|
|
2012-03-31 Przed premierą ...
… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12
Przyjaciele Kubusia to wszyscy interlokutorzy biorący udział w 6 letniej dyskusji.
Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.
Podręcznik w oryginale:
Algebra Kubusia - matematyka języka mówionego
Szczególne podziękowania dla:
www.sfinia.fora.pl
Wuja Zbója - znakomitego nauczyciela małego Kubusia, dzięki któremu Kubuś nauczył się poprawnie patrzeć na algebrę Boole’a od strony matematycznej.
Volratha - za decydującą o wszystkim dyskusję
Macajna - za ciekawą dyskusję podczas której jako jedyny Ziemianin podał poprawną, matematyczną definicję warunku wystarczającego.
[link widoczny dla zalogowanych]
Fizyka, Windziarza i Sogorsa - za długą i ciekawą dyskusję
Quebaba - za fantastyczną, finałową dyskusję
Wstęp
Każdy człowiek, od 5-cio latka po profesora, doskonale zna algebrę Kubusia i posługuje się nią na co dzień w naturalnym języku mówionym.
Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia = Algebra zbiorów => Definicje spójników logicznych => Definicje operatorów logicznych => Algebra bramek logicznych
Definicje spójników logicznych => Algebra naturalnego języka mówionego => Logika człowieka
Fundamentem algebry Kubusia jest pełna, zero-jedynkowa lista operatorów logicznych zapisana w formie równań algebry Kubusia (Boole’a!). Równania te wyprowadzone zostały z aksjomatycznych, zero-jedynkowych definicji operatorów logicznych, oraz niezależnie z nowej teorii zbiorów. Nowa teoria zbiorów jest w 100% zgodna z aksjomatycznymi, zero-jedynkowymi definicjami operatorów logicznych. Nowa teoria zbiorów to fundamentalnie inne diagramy graficzne niż obowiązujące diagramy Venna.
Algebra Kubusia jest zgodna z teorią i praktyką bramek logicznych, jest więc weryfikowalna doświadczalnie.
Spis treści:
1.0 Notacja
1.1 Podsumowanie 6-letniej wojny Algebra Kubusia vs KRZiP
2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia
3.0 Nowa teoria zbiorów
3.1 Podstawowe działania na zbiorach
3.2 Dziedzina i zbiór aktualny
3.3 Nowa teoria zbiorów w operatorach logicznych
4.0 Matematyczne fundamenty algebry Kubusia
4.1 Spójniki „i”(*) i „lub”(+)
4.2 Metody minimalizacji funkcji logicznej
4.3 Równania logiczne dla operatora OR
4.3.1 Osiem równań opisujących operator OR
4.4 Równania logiczne dla operatora AND
4.4.1 Osiem równań opisujących operator AND
4.5 Logika zero
5.0 Operatory OR i AND
5.1 Właściwości operatorów OR i AND
5.2 Operator OR w zbiorach
5.3 Operator AND w zbiorach
6.0 Operatory implikacji i równoważności
6.1 Właściwości implikacji
6.2 Operator implikacji prostej w zbiorach
6.3 Operator implikacji odwrotnej w zbiorach
6.4 Równoważność w zbiorach
6.5 Warunek konieczny i wystarczający w równoważności
6.6 Kwadrat logiczny równoważności
6.7 Kwadrat logiczny implikacji
6.8 ŚFIŃSKIE definicje implikacji i równoważności
6.9 Gimnazjalne definicje implikacji i równoważności
6.10 Licealne definicje implikacji i równoważności
7.0 Pozostałe operatory algebry Kubusia
7.1 Abstrakcyjny model operatora logicznego
7.2 Operatory logiczne ~~> i N(~~>)
7.3 Operatory transmisji P i Q
7.4 Operatory negacji NP i NQ
8.0 Algebra zbiorów rozłącznych
8.1 Operator XOR
8.2 Zbiory minimalne w implikacji i równoważności
9.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego
9.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)
9.2 Złożona implikacja prosta
9.3 Złożona implikacja odwrotna
9.4 Zdania złożone typu p+(q*r)
9.5 Zdania złożone typu p*(q+r)
10.0 Obietnice i groźby
10.1 Obietnica
10.2 Groźba
10.3 Obietnica w równaniach logicznych
10.4 Groźba w równaniach logicznych
10.5 Analiza złożonej obietnicy
10.6 Analiza złożonej groźby
10.7 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym
10.8 Rodzaje obietnic
1.0 Notacja
~ - symbol przeczenia NIE
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Fundamentem algebry Kubusia jest Nowa Teoria Zbiorów gdzie:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
# - różne
Prawda # Fałsz
1 # 0
## - różne na mocy definicji
Prawa de’Morgana:
Prawa de’Morgana to pełne definicje operatorów OR i AND zapisane w równaniach algebry Boole’a.
p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q)
Definicja operatora OR ## Definicja operatora AND
Prawa Kubusia:
Prawa Kubusia to pełne definicje operatorów implikacji prostej i odwrotnej zapisane w równaniach algebry Boole’a.
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
Definicja operatora implikacji prostej ## Definicja operatora implikacji odwrotnej
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z izolowanymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.
:= - symbol redukcji do funkcji minimalnej
Dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi:
p*~q := p
Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), =>, ~>, ~~>
W spójnikach =>, ~>, ~~> kolejność nie ma znaczenia bo są to operatory wyłącznie dwuargumentowe, czyli po lewej i prawej stronie tego znaku może być wyłącznie funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+)
Zdanie w algebrze Kubusia
W algebrze Kubusia to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne.
Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>, wystarczy jedna prawda. Wszelkie sensowne zdania „Jeśli…to…” w naturalnym języku mówionym spełniają ten warunek.
1.1 Podsumowanie 6-letniej wojny algebra Kubusia vs KRZiP
Wojna o ostateczny kształt algebry Kubusia trwała 6 lat, przede wszystkim na forach śfinia.fora.pl i [link widoczny dla zalogowanych]
Klasyczny Rachunek Zdań (ściślej mówiąc rachunek zero-jedynkowy) to fundament zarówno technicznej algebry Boole’a jak i algebry Kubusia. Nie ma tu takich pojęć jak prawda/fałsz, prawdziwość/fałszywość zdania. Pojęcia te wprowadza dopiero Klasyczny Rachunek Zdań i Predykatów (KRZiP), oraz konkurencyjna algebra Kubusia.
W dzisiejszej matematyce (KRZiP) panuje dogmat o niemożliwości opisu matematycznego logiki człowieka, jego naturalnego języka mówionego.
| [link widoczny dla zalogowanych] napisał: |
4.002 Człowiek posiada zdolność budowania języków, które pozwalają wyrazić każdy sens - nie mając przy tym pojęcia, co i jak każde słowo oznacza. - Podobnie też mówimy, nie wiedząc, jak wytwarzane są poszczególne głoski.
Język potoczny stanowi część organizmu ludzkiego i jest nie mniej niż on skomplikowany.
Wydobycie logiki języka wprost z języka potocznego jest niepodobieństwem.
Język przesłania myśl. Tak mianowicie, że z zewnętrznej formy szaty nie można wnosić o formie przybranej w nią myśli. Kształtowaniu szaty przyświecają bowiem zgoła inne cele, niż ujawnianie formy ciała.
Ciche umowy co do rozumienia języka potocznego są niebywale skomplikowane.
|
Język potoczny musi mieć kręgosłup matematyczny inaczej człowiek z człowiekiem nigdy by się nie dogadał. Ten kręgosłup to Algebra Kubusia.
Algebra Kubusia to matematyka każdego 5-cio latka, więc gdzie tu jest to „niebywałe skomplikowanie”?
Ziemscy matematycy nie znają poprawnej interpretacji równań algebry Boole’a. Dowolną tabelę zero-jedynkową opisuje osiem i tylko osiem równań algebry Boole’a w spójnikach „lub”(+) i „i”(*), cztery równoważne w logice dodatniej i cztery równoważne w logice ujemnej (pkt.4.3.1). Zrozumienie tego matematycznego elementarza to masakra całej współczesnej logiki matematycznej zwanej KRZiP.
Dlaczego?
Równania te są dowodem, iż spójniki logiczne z naturalnej logiki człowieka nie są kompletnymi operatorami logicznymi!
Operator logiczny to zawsze złożenie spójnika w logice dodatniej (np. „lub”(+)) ze spójnikiem przeciwnym (np. „i”(*)) w logice ujemnej.
Przykład:
Definicja operatora OR
| Kod: |
p q Y=p+q
Definicja spójnika „lub” w logice dodatniej bo Y
|Definicja symboliczna spójnika „lub” w logice dodatniej
1 1 =1 | p* q= Y
1 0 =1 | p*~q= Y
0 1 =1 |~p* q= Y
Definicja spójnika „i” w logice ujemnej bo ~Y
|Definicja symboliczna spójnika „i” w logice ujemnej
0 0 =0 |~p*~q=~Y
|
Definicję symboliczną otrzymujemy korzystając z prawa algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1
Trzy pierwsze linie opisuje równanie algebry Boole’a (szczegóły pkt.4.3)
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Ostatnią linię opisuje równanie:
~Y=~p*~q
stąd:
Kompletny operator logiczny OR w równaniach algebry Boole’a:
Y=p+q
~Y=~p*~q
Dowód:
Negujemy wszystkie zmienne i zgodnie z prawem de’Morgana musimy otrzymać operator AND:
~Y=~p+~q
Y=p*q
To co wyżej to kompletny operator AND w równaniach algebry Boole’a
Sam znaczek „+” nigdy nie będzie operatorem OR jak to się ziemskim matematykom zdaje!
Dowód:
Y=p+q
Jeśli znaczek „+” jest kompletnym opisem operatora OR to neguję wszystkie zmienne i zgodnie z prawem de’Morgana muszę otrzymać definicję operatora AND w równaniu algebry Boole’a:
~Y=~p+~q
Zapytuję teraz ziemskich matematyków:
Czy to jest definicja operatora AND?
Oczywiście to co wyżej to tylko „połówka” definicji operatora AND w równaniu algebry Boole’a.
Równoważna definicja operatora OR to po prostu prawo de’Morgana.
Dowód:
Równania algebry Boole’a opisujące definicję operatora OR:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
Dowód iż prawo de’Morgana jest kompletnym opisem operatora OR:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Negujemy wszystkie zmienne i zgodnie z prawem de’Morgana musimy otrzymać operator AND.
A.
Negujemy wyłącznie wejścia p i q:
Y = ~p+~q = ~(p*q)
B.
Negujemy wyjście Y:
~y = ~(~p+~q) = p*q
To jest oczywiście definicja operatora AND!
cnd
Gdyby bramka OR (operator OR) nie zawierała w sobie definicji bramki AND (operatora AND) w logice ujemnej to moglibyśmy sobie negować wejście p i q oraz wyjście Y do końca świata i na pewno nie uzyskalibyśmy bramki AND.
Równanie ogólne dla operatorów OR i AND:
Y = ~p+~q = ~(p*q) ## ~y = ~(~p+~q) = p*q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przy okazji mamy dowód iż operator AND jest logiką ujemną (~y) w stosunku do operatora OR (Y), albo odwrotnie.
Po obu stronach znaku ## mamy dwa izolowane układy logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.
Panowie ziemscy matematycy, dopóki nie zrozumiecie iż znaczek „+” nie jest kompletnym operatorem OR, dopóty możecie sobie szukać matematyki opisującej logikę człowieka do końca świata - nigdy jej znajdziecie!
Jednym z najciekawszych rozdziałów podręcznika jest pkt.6.1 i równanie ogólne dla operatorów implikacji analogiczne do powyższego:
Y = p=>q = ~p~>~q ## ~y = p~>q = ~p=>~q
Operator implikacji prostej ## Operator implikacji odwrotnej
Po ustawieniu punktu odniesienia na lewej stronie znaku ## otrzymujemy:
Y = p=>q = ~p~>~q ## ~y = q~>p = ~q=>~p
Oznacza to, iż w zero-jedynkowych dowodach formalnych nie wolno porównywać kolumn wynikowych po obu stronach znaku ## bo operator implikacji odwrotnej jest logiką ujemną (~y) w stosunku do operatora implikacji prostej (Y), albo odwrotnie.
2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia
2.0.1
Aksjomatyka algebry Kubusia to wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, znane ludziom od ponad 100 lat.
Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych w algebrze Boole’a i algebrze Kubusia:
| Kod: |
p q OR NOR AND NAND <=> XOR => N(=>) ~> N(~>) ~~> N(~~>) P NP Q NQ
1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1
0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
|
Równania algebry Boole’a to równoważny, lecz zdecydowanie lepszy opis operatorów logicznych bowiem jest on zgodny z naturalną logiką człowieka. Logika człowieka to równania algebry Boole’a, nigdy tabele zero-jedynkowe. Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równaniami algebry Boole’a i odwrotnie.
2.0.2
Techniczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
2.0.3
Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z definicji operatora logicznego.
2.0.4
Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q.
Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.
2.0.5
Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia to algebra równań logicznych zgodna z techniczną algebrą Boole’a o definicji operatora logicznego jak wyżej.
3.0 Nowa teoria zbiorów
Aksjomatyczne, zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych to pełna teoria zbiorów w algebrze Kubusia, uwzględniająca wszystkie możliwe przypadki wzajemnego położenia zbiorów.
Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
W tabelach zero-jedynkowych po stronie wejścia p i q mamy:
1 - zmienna z nagłówka tabeli niezanegowana
0 - zmienna z nagłówka tabeli zanegowana
Uwaga!
Zgodnie z powyższym, zera i jedynki po stronie wejścia p i q w tabeli zero-jedynkowej zamieniamy na postać symboliczną (podstawa matematyczna pkt.4.3).
Po takim manewrze znaczenie 0 i 1 będzie już jednolite w całym obszarze algebry Kubusia:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Definicja zbioru:
Zbiór w sensie matematycznym to zbiór opisywalny aksjomatycznymi definicjami operatorów logicznych.
3.1 Podstawowe działania na zbiorach
Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
3.1.1
Zbiory tożsame to zbiory identyczne
Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach
3.1.2
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
* - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6]
Y=p*q=[1,2]
3.1.3
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
+ - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6]
3.1.4
Różnica zbiorów:
Różnica zbiorów p-q to elementy zbioru p pomniejszone o część wspólną zbiorów p i q
Y=p-q
p=[1,2,3,4], q=[1,2,5,6]
Y= p-q = [3,4]
Y= q-p = [5,6]
3.1.5
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero elementów
Stąd:
Iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym
Zbiór pusty to brak wspólnej części zbiorów w operacji iloczynu logicznego (koniunkcji).
p=[1,2], q=[3,4]
Y=p*q=1*1=0
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
3.1.6
Zbiór pusty jest zbiorem rozłącznym z dowolnym zbiorem niepustym
@ - zbiór pusty
Prawa algebry Kubusia:
p+@ = p+0 = p
p*@ = p*0 = 0
W algebrze Kubusia zbiór pusty @ to po prostu logiczne zero.
Nie jest nam potrzebny specjalny znaczek zbioru pustego @.
Znaczenie 0 i 1 w teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Przykład 1.
Słońce jest żółte
1 - zbiór niepusty, istnieje zbiór „słońce żółte”, zdanie prawdziwe
Słońce jest czarne
0 - zbiór pusty, nie istnieje zbiór „słońce czarne”, zdanie fałszywe
Przykład 2:
A.
Mickiewicz był polakiem lub napisał Pana Tadeusza
Y=MP+PT
Mamy tu świat totalnie zdeterminowany gdzie wartości logiczne p i q znamy z góry
MP=1, ~MP=0
PT=1, ~PT=0
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd:
MP+PT = (MP*PT=1*1=1) + (MP*~PT=1*0=0) + (~MP*PT=0*1=0) := MP*PT
gdzie:
:= - symbol redukcji do funkcji minimalnej na mocy definicji spójnika „lub”(+)
Na mocy prawa Sowy, jedynym zdaniem prawdziwym będzie tu zdanie:
B.
Mickiewicz był polakiem i napisał Pana Tadeusza
Y=MP*PT
Za każde inne zdanie różne od B, ekspert algebry Kubusia, ten straszny polonista, postawi pałę.
Interpretacja:
Mickiewicz był polakiem
MP=1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
Mickiewicz nie był polakiem
~MP=0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe
Mickiewicz napisał Pana Tadeusza
PT=1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
Mickiewicz nie napisał Pana Tadeusza
~PT=0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe
3.2 Dziedzina i zbiór aktualny
Pojęcie zbioru jako zbioru przypadkowych elementów jest matematycznie bez sensu, bo mamy wówczas matematykę życzeniową, zależną od chciejstwa człowieka, bez związku z otaczającą nas rzeczywistością (dowód pkt.8.2).
3.2.1
Jednorodność zbioru:
Zbiór musi być jednorodny w określonej dziedzinie
Oznacza to, że musi być spełniony fundament algebry Boole’a:
p+~p=1 - zbiór ~p musi być dopełnieniem zbioru p do dziedziny D
p*~p=0 - żaden element zbioru ~p nie należy do zbioru p
Wynika z tego, że nie wolno do jednego zbioru wkładać psa, krzesła, samochodu, wąsów dziadka itp. bo nie da się na takim zbiorze pracować matematycznie.
Przykład poprawnego matematycznie zbioru:
Definiujemy zbiór jednoelementowy: pies
Naturalną dziedziną D jest tu: zbiór wszystkich zwierząt
Zbiór ~p będący dopełnieniem do dziedziny D to: zbiór wszystkich zwierząt różnych od psa
Oczywiście spełniony jest fundament algebry Boole’a:
P+~P =1
P*~P =0
Przykład zbioru matematycznie błędnego:
Definiujemy zbiór dwuelementowy: pies, wąsy dziadka
Dziedzina D: Uniwersum, czyli wszelkie możliwe pojęcia
Dopełnienie naszego zbioru do dziedziny D: wszelkie możliwe pojęcia z wykluczeniem psa i wąsów dziadka
Oczywiście, nie da się na czymś takim pracować matematycznie sensownie.
Implikacja:
p=>q
Jeśli p to q
p - poprzednik
q - następnik
Równoważność
p<=>q
p wtedy i tylko wtedy gdy q
3.2.2
Definicja dziedziny:
Dziedzina to kompletny zbiór na którym operuje implikacja lub równoważność
W algebrze Kubusia musi być spełnione:
p+~p=1 - zbiór ~p jest dopełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p=0 - żaden element zbioru ~p nie należy do zbioru p
q+~q=1 - zbiór ~q jest dopełnieniem zbioru q do wspólnej dziedziny D
q*~q=0 - żaden element zbioru ~q nie należy do zbioru q
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Dziedzina po stronie p:
P +~P=1
P*~P=0
P - zbiór wszystkich psów
~P - zbiór pozostałych zwierząt
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
Dziedzina po stronie q:
4L+~4L=1
4L*~4L=0
4L - zbiór zwierząt mających 4 łapy
~4L - zbiór zwierząt nie mających 4 łap
Dziedzina: zbiór wszystkich zwierząt
Doskonale widać, że wszystkie powyższe zbiory operują w tej samej dziedzinie.
3.2.3
Zbiór aktualny (bieżący):
Zbiór aktualny (bieżący) to zbiór na którym aktualnie pracujemy, zdefiniowany szczegółowo w poprzedniku zdania „Jeśli p to q”
Uwaga:
W zdaniach najczęściej wypowiadanych zbiory p i q nie są rozłączne i należą do tej samej dziedziny jak to pokazano na przykładzie wyżej.
3.2.4
W ogólnym przypadku nie jest to wymagane, prawdziwe są takie zdania:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest kotem
Pies to nie kot
P=>~K=1
P*~K = P - zbiór P zawiera się w całości w zbiorze ~K, zbiór niepusty = zdanie prawdziwe.
Zbiór psów i zbiór kotów to zbiory rozłączne, należące do tej samej dziedziny: zbiór zwierząt
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest samochodem
Pies to nie samochód
P=>~S=1
P*~S = P - zbiór P zawiera się w całości w zbiorze ~S, zbiór niepusty = zdanie prawdziwe.
Zbiór psów i zbiór samochodów to zbiory rozłączne, należące do różnych dziedzin.
3.3 Nowa teoria zbiorów w operatorach logicznych
Każdy człowiek, od 5-cio latka po profesora operuje na zbiorach opisywalnych aksjomatycznymi operatorami logicznymi.
Znaczenie 0 i 1 w nowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
3.3.1
1.
Definicja operatora OR w równaniach algebry Kubusia:
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Stąd definicja równoważna:
Y = p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana
Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Zbiory p i q mają część wspólną (p*q) lecz żaden z nich nie zawiera się w drugim.
W: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
D: ~Y=~p*~q
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora OR.
| Kod: |
Definicja symboliczna |Definicja zero-jedynkowa
W: Y=p+q=p*q+p*~q+~p*q |p q Y=p+q
A: p* q= Y |1 1 =1
B: p*~q= Y |1 0 =1
C:~p* q= Y |0 1 =1
D:~p*~q=~Y |0 0 =0
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
|p=1, ~p=0
|q=1, ~q=0
|Y=1, ~Y=0
|
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru:
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K) lub pójdę do teatru (T)
Zdanie matematycznie równoważne:
Y = K*T + K*~T + ~K*T
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
K*T - pójdę do kina (K) i pójdę do teatru (T)
lub(+)
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub(+)
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
3.3.2
2.
Definicja operatora AND w równaniach algebry Kubusia:
Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
Y=p*q
~Y = ~p+~q = ~p*~q + p*~q + ~p*q
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Stąd definicja równoważna:
Y = p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana
Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
W: Y=p*q
Definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
Zbiory ~p i ~q mają część wspólną (~p*~q) lecz żaden z nich nie zawiera się w drugim
U: ~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora AND.
| Kod: |
Definicja symboliczna |Definicja zero-jedynkowa
W: Y=p*q |p q Y=p*q
A: p* q= Y |1 1 =1
U: ~Y =~p+~q=~p*~q+~p*q+p*~q|
B:~p*~q=~Y |0 0 =0
C:~p* q=~Y |0 1 =0
D: p*~q=~Y |1 0 =0
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
|p=1, ~p=0
|q=1, ~q=0
|Y=1, ~Y=0
|
Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru:
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K) i pójdę do teatru (T)
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
Zdanie matematycznie równoważne:
~Y = ~K*~T + ~K*T + K*~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
~K*~T - nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub(+)
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)
lub(+)
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)
3.3.3
3.
Definicja operatora XOR w równaniu algebry Kubusia:
p XOR q = p*~q + ~p*q
Zbiory rozłączne.
p XOR q = p*~q + ~p*q
Podstawowe właściwości
A.
p+~q=~q
~p+q=~p
B.
p*q=1*1=0
Oba zbiory istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
p*~q=p
Zbiór p zawiera się w całości w zbiorze ~q, stąd iloczyn logiczny to zbiór p.
~p*q=q
Zbiór q zawiera się w całości w zbiorze ~p, stąd iloczyn logiczny to zbiór q.
stąd:
p XOR q = p*~q + ~p*q := p+q
gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy teorii zbiorów
Definicja zero-jedynkowa:
| Kod: |
Definicja |Definicja zero-jedynkowa
Symboliczna |p q pXORq
A: p*~q=1 |1 0 =1
B:~p* q=1 |0 1 =1
C:~p*~q=0 |0 0 =0
D: p* q=0 |1 1 =0
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
|p=1, ~p=0
|q=1, ~q=0
|
Przykład:
Każdy człowiek jest mężczyzną albo kobietą
Y = M XOR K = M*~K + ~M*K
3.3.4
4.
Definicja operatora implikacji prostej:
Implikacja odwrotna to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia
gdzie:
=> - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji wyłącznie w liniach A i B niżej
~> - warunek konieczny o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
~p~>~q = p=>q
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
Z wykresu odczytujemy:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1*1=1
Oba zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku jeden.
stąd:
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Uwaga:
p*~q=0 - ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q!
W implikacji zbiór p nie jest tożsamy ze zbiorem q, natomiast w równoważności zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q. Implikacja to fundamentalnie co innego niż równoważność, nic co jest implikacją nie ma prawa być równoważnością i odwrotnie, to fizycznie niemożliwe na mocy definicji zero-jedynkowych.
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
| Kod: |
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1
p* q=1*1=1 - istnieje część wspólna zbiorów p i q
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie ~q
p=>~q=0
p* ~q=1*1=0 - zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne,
stąd ich iloczyn logiczny jest równy zeru
|
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Z czego wynika że p jest wystarczające dla q
Jak zajdzie p to q też musi.
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Zobaczmy ten przypadek na diagramie.
Z wykresu odczytujemy definicję warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q)
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Zbiory:
~p*~q=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i maja część wspólną, co wymusza w wyniku jeden
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C
Zbiory:
~p*q=1
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) i maja część wspólną co wymusza w wyniku jeden
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
D: ~p~>q = B: p=>~q =0
Zdanie B jest fałszywe zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Definicję zero-jedynkową operatora implikacji prostej otrzymujemy dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A.
| Kod: |
Definicja |Definicja zero-jedynkowa
Symboliczna |p q p=>q
A: p=> q=1 |1 1 =1
B: p=>~q=0 |1 0 =0
C:~p~>~q=1 |0 0 =1
D:~p~~>q=1 |0 1 =1
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
|p=1, ~p=0
|q=1, ~q=0
|
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
Padanie deszczu jest wystarczające => dla istnienia chmur
B.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0
... a jak nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C.
Jeśli juro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym aby jutro nie było pochmurno
lub
D.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH=1
3.3.5
5.
Definicja operatora implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = p=>~q - prawo Kubusia
gdzie:
~> - warunek konieczny o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
p~>q = ~p=>~q
=> - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji wyłącznie w liniach C i D niżej
Warunek konieczny w zbiorach wygląda następująco:
p~>q
Z wykresu odczytujemy definicje symboliczną warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q):
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie B
Zbiory:
p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
Zbiór p musi zawierać w całości zbiór q, wtedy i tylko wtedy p jest konieczne dla q, czyli zachodzi prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
LUB
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie A
Zbiory:
p*~q=1
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Zobaczmy to na diagramie logicznym:
~p=>~q
Z diagramu odczytujemy:
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna, zachodzi zawsze, bez wyjątków
Zbiory:
~p*~q=1*1=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku jeden.
stąd:
D.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Zbiory:
~p*q=1*1=0
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1), ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Uwaga:
~p*q=0 - ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zwieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q
W implikacji zbiór ~p nie jest tożsamy ze zbiorem ~q, natomiast w równoważności zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q. Implikacja to fundamentalnie co innego niż równoważność, nic co jest implikacją nie ma prawa być równoważnością i odwrotnie, to fizycznie niemożliwe na mocy definicji zero-jedynkowych.
Zauważmy, że w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
B: p~>~q = D: ~p=>q=0
Zdanie D jest fałszywe, zatem w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Definicja symboliczna warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
| Kod: |
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1
~p* ~q=1*1=1 - istnieje część wspólna zbiorów ~p i ~q
D.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0
~p* q=1*1=0 - zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne,
stąd ich iloczyn logiczny jest równy zeru
|
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zajście ~p wystarcza dla zajścia ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w całości w zbiorze ~q
Jeśli zajdzie ~p to ~q też musi.
Definicję zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej otrzymujemy dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A.
| Kod: |
Definicja |Definicja zero-jedynkowa
Symboliczna |p q p~>q
A: p~> q =1 |1 1 =1
B: p~~>~q=1 |1 0 =1
C:~p=>~q =1 |0 0 =1
D:~p=> q =1 |0 1 =0
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
|p=1, ~p=0
|q=1, ~q=0
|
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1
Pochmurne niebo jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro padało
lub
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1
... a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P=1
Brak chmur wystarcza aby jutro nie padało
Stąd:
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padało
~CH=>P=0
3.3.6
6.
Definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
W równoważności zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q, co wymusza tożsamość zbiorów ~p i ~q
.. albo odwrotnie.
W równoważności zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q i jest tożsamy ze zbiorem ~q, co wymusza tożsamość zbiorów p i q.
Analiza ogólna równoważności:
W: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q - pierwszy człon po prawej stronie
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1*1=1
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
p*~q=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q.
… a jeśli zajdzie ~p?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~q
~p=>~q - pierwszy człon po prawej stronie
C.
Jeśli nie zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~p*~q=1*1=1
Zbiory ~p i ~q istnieją (~p=1 i ~q=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
D.
Jeśli nie zajdzie p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C
Zbiory:
~p*q=1*1=0
Zbiory ~p i q istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
~p*q=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru ~p w zbiorze ~q.
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności.
| Kod: |
W: p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q |p q p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
A: p=>q =1 |1 1 =1
B: p=>~q =0 |1 0 =0
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q
C: ~p=>~q=1 |0 0 =1
D: ~p=>q =0 |0 1 =0
Punktem odniesienia w dowolnej tabeli zero-jedynkowej
jest zawsze nagłówek tabeli:
|p=1, ~p=0
|q=1, ~q=0
|
Oczywiście matematycznie zachodzi:
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q) =1*1=1
stąd w równoważności (nigdy w implikacji):
p=>q = ~p=>~q
W równoważności (i tylko tu!) obowiązuje prawo kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
Stąd równoważna definicja równoważności uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1=1
Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Analiza matematyczna:
W: TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK)
TP=>SK - pierwszy człon po prawej stronie
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny, to pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
TP*SK=1*1=1
Zbiory TP i SK istnieją (TP=1 i SK=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
stąd:
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny, to pewno => nie zachodzi suma kwadratów
TP=>~SK=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A
Zbiory:
TP*~SK=1*1=0
Zbiory TP i ~SK istnieją (TP=1 i ~SK=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
TP*~SK=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru TP w zbiorze SK.
… a jeśli zajdzie ~TP?
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~SK
~TP=>~SK - pierwszy człon po prawej stronie
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny, to pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~TP*~SK=1*1=1
Zbiory ~TP i ~SK istnieją (~TP=1 i ~SK=1) i są tożsame, co wymusza w wyniku jeden
stąd:
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny, to pewno => zachodzi suma kwadratów
~TP=>SK=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C
Zbiory:
~TP*SK=1*1=0
Zbiory ~TP i SK istnieją (~TP=1 i SK=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty)
~TP*SK=0 - ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru ~TP w zbiorze ~SK.
4.0 Matematyczne fundamenty algebry Kubusia
Każdy człowiek w swoim naturalnym języku mówionym posługuje się równaniami algebry Kubusia, nigdy tabelami zero-jedynkowymi.
Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równoważnymi równaniami algebry Kubusia.
Z dowolnego równania algebry Kubusia można wygenerować odpowiadającą mu, jednoznaczną tabelę zero-jedynkową.
Dowolną tabelę zero-jedynkową opisuje osiem i tylko osiem równań algebry Kubusia w spójnikach „lub”(+) i „i”(*), cztery równoważne w logice dodatniej i cztery równoważne w logice ujemnej.
W tym rozdziale poznamy banalną technikę tworzenia tych równań.
4.1 Spójniki „i”(*) i „lub”(+)
4.1.1
Definicja spójnika „i”.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
1*1*1…*1 =1
1*0*1…*1 =0
Zauważmy że mamy tu 100% analogię do mnożenia znanego ze szkoły podstawowej, stąd nazwa „iloczyn logiczny”. Oczywiście znaczek „*” nie ma nic wspólnego z mnożeniem, to po prostu symbol spójnika „i” z naturalnego języka mówionego.
4.1.2
Definicja spójnika „lub”(+)
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
0+0+0….+0 =0
1+1+0….+0 =1
Mamy tu „drobną” różnicę w stosunku do dodawania znanego ze szkoły podstawowej. Oczywiście znaczek „+” nie ma nic wspólnego z dodawaniem, to spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.
4.1.3
Najważniejsze prawa algebry Kubusia wynikające z powyższych definicji
Spójnik „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0
Spójnik „lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p = 1
Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1
4.1.4
Przydatne prawa dodatkowe
Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r
Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r
Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s
Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)
Powyższe prawa plus prawo przejścia do logiki przeciwnej są wystarczające do minimalizacji wszelkich funkcji logicznych.
4.1.5
Zmienna binarna:
Zmienna binarna (wejście cyfrowe w układzie logicznym) to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q
4.1.6
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q
4.1.7
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+) zapisana jest w logice dodatniej, gdy nie jest zanegowana
Y - logika dodatnia, dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
~Y - logika ujemna, skłamię (wystąpi fałsz)
4.1.8
Prawo przejścia do logiki przeciwnej (prawo przedszkolaka):
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne
Przykład:
Y=p+[q*(r+s)] - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*[~q+(~r*~s)] - logika ujemna bo ~Y
Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
Y = p*q + p*~q + ~p*q = p(q+~q) + ~p*q = p*1 + ~p*q = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=1
Mamy:
Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spojników:
~Y = ~p*(p+~q) = p*~p + ~p*~q = 0 + ~p*~q = ~p*~q
Wykorzystane prawa
1. Przejście do logiki ujemnej
2. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
3. p*~p=0
4. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd
Oczywiście układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR.
4.2 Metody minimalizacji funkcji logicznej
W tym rozdziale udowodnimy, iż nie warto zapamiętywać dziwnego dla człowieka prawa absorpcji i wszelkich innych praw logicznych poza wyżej poznanymi.
Absorpcja:
p*(p+q)=p
4.2.1
1.
Dowód z wykorzystaniem najprostszych praw logiki:
Y=p*(p+q)=p
Y=p*p+p*q = p+p*q = p*1 + p*q = p(1+q)=p*1 = p
Wykorzystane prawa:
Mnożenie wielomianu przez zmienną p
p*p=p
p*1=p
Wyciagnięcie zmiennej p przed nawias
1+q=1
p*1=p
cnd
4.2.2
2.
Dowód metodą rachunku zero-jedynkowego:
p*(p+q)=p
| Kod: |
p q p+q p*(p+q)
1 1 =1 =1
1 0 =1 =1
0 1 =1 =0
0 0 =0 =0
|
Tożsamość kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem zachodzenia prawa absorpcji:
p*(p+q) = p
4.2.3
3.
Dowód metodą bramek logicznych (funkcji logicznej Y):
Y=p*(p+q)
Jeśli p=1 to Y=p*(p+q)= 1*(1+q)=1*1=1
Jeśli p=0 to Y=p*(p+q)=0*(p+q)=0
niezależnie od wartości q.
stąd:
Y=p*(p+q)=p
cnd
4.3 Równania logiczne dla operatora OR
Matematyczne fundamenty tworzenia równań algebry Kubusia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
4..3.1
Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
| Kod: |
p q Y=p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
1 2 3
|
Twierdzenie Prosiaczka:
Równanie algebry Kubusia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej otrzymujemy opisując wyłącznie linie z tą samą wartością logiczną w wyniku.
4.3.2
Najprostsze równanie dla powyższej tabeli otrzymamy dla linii D123 bowiem mamy tu samotne zero.
D.
Y=0 <=> p=0 i q=0
Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek.
D.
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Definicja spójnika „i”.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Na mocy definicji spójnika „i”(*) mamy równanie:
D.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
To równanie opisuje wyłącznie obszar D123.
4.3.3
Prawo przejście do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne
Przechodzimy z równaniem D do logiki przeciwnej otrzymując:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
To równanie opisuje wyłącznie obszar ABC123.
Zauważmy, że mamy tu 100% zgodność z definicją spójnika „lub”(+).
Definicja spójnika „lub”(+)
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
4..3.4
Równoważną definicję spójnika „lub”(+) otrzymamy opisując same jedynki w definicji zero-jedynkowej.
Mamy spis z natury:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i q=0
lub
C: Y=1 <=> p=0 i q=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i ~q=1
lub
C: Y=1 <=> ~p=1 i q=1
Stąd mamy równoważną definicję spójnika „lub”(+):
Y=p*q + p*~q + ~p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
Równanie to opisuje wyłącznie obszar ABC123 w powyższej tabeli.
4.3.5
Oczywiście zachodzi tożsamość matematyczna:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+) zapisana jest w logice dodatniej, gdy nie jest zanegowana
Y - logika dodatnia, dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
~Y - logika ujemna, skłamię (wystąpi fałsz)
Stąd:
4.3.6
Symboliczna definicja operatora OR:
| Kod: |
Dotrzymam słowa Y
W: Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
A: p* q= Y
B: p*~q= Y
C: ~p* q= Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negacje zmiennych i wymianę spójników
Skłamię ~Y
D:~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y
1 2 3
|
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając W i D mam prawo de’Morgana:
Y = p+q = ~(~p*~q)
4.3.1 Osiem równań opisujących operator OR
Korzystamy z definicji symbolicznej operatora OR wyprowadzonej w poprzednim punkcie.
Równania minimalne:
1.
Y=p+q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
2.
~Y=~p*~q
Dwa kolejne równania otrzymujemy negując dwustronnie 1 i 2
3.
~Y=~(p+q)
4.
Y=~(~p*~q)
Równoważna definicja spójnika „lub”(+):
5.
Y=(p*q)+(p*~q)+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
6.
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
Ostatnie dwa równania uzyskujemy negując dwustronnie 5 i 6.
7.
~Y = ~[(p*q)+(p*~q)+(~p*q)]
8.
Y = ~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)]
Ułóżmy to wszystko w tabeli.
Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR:
| Kod: |
Wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla operatora OR
Dotrzymam slowa: Y=1 |Sklamię: ~Y=1
1: Y=p+q |2: ~Y=~p*~q
4: Y=~(~p*~q) |3: ~Y=~(p+q)
5: Y=(p*q)+(p*~q)+(~p*q) |6: ~Y=~[(p*q)+(p*~q)+(~p*q)]
8: Y=~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)] |7: ~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
------------------------------------------------------------
Definicja | |
Symboliczna | |
Operatora OR |Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR
W: Y=p+q |Y=p*q+p*~q+~p*q | |
|p q Y=p+q | ~p ~q ~Y=~p*~q |Y=~(~p*~q)
A: p* q= Y |1 1 =1 /p*q =Y | 0 0 =0 | =1
B: p*~q= Y |1 0 =1 /p*~q=Y | 0 1 =0 | =1
C: ~p* q= Y |0 1 =1 /~p*q=Y | 1 0 =0 | =1
Skłamię: ~Y=1
D: ~p*~q=~Y |0 0 =0 | 1 1 =1 /~p*~q=~Y | =0
1 2 3 4 5 6 7
Punkt odniesienia względem którego kodujemy zera i jedynki
to zawsze nagłówek tabeli.
|Y=p+q |~Y=~p*~q
|p=1, ~p=0 | ~p=1, p=0
|q=1, ~q=0 | ~q=1, q=0
|Y=1, ~Y=0 | ~Y=1, Y=0
|
Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Y = p+q = ~(~p*~q)
W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
W naturalnym języku mówionym każdy człowiek posługuje się wyłącznie definicją symboliczną.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
Y=p+q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
~Y=~p*~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
... co doskonale widać w powyższej tabeli.
Sprawdźmy na przykładzie które zdania będą zrozumiale dla człowieka.
1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K*~T
Oczywiście to co wyżej to logika każdego 5-cio latka.
Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziesz do kina (~K) i nie pójdziesz do teatru (~T)?
Negujemy dwustronnie 2 otrzymując:
4.
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (T)
Y = ~(~K*~T)
Zdanie 3 będzie zrozumiałe w tej formie:
3.
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(...), że jutro pójdę do kina (K) lub do teatru (T)
~Y = ~(K+T) = ~K*~T
Oczywiście zdanie to oznacza to samo co doskonale rozumiane zdanie 2.
Każdy 5-cio latek bez problemu zrozumie zdanie 5.
Y=p*q+p*~q+~p*q
5.
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
K*T - pójdę do kina (K) i do teatru (T)
lub
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)
Ostatnie trzy zdania, w szczególności 7 i 8 to horror dla każdego normalnego człowieka.
Oznacza to, że matematyka dostarcza więcej zdań prawdziwych, niż człowiek jest w stanie zrozumieć, co jest dowodem, że język człowieka to twór z obszaru fizyki a nie matematyki.
W sumie mamy fantastyczną możliwość wyrażenia tego samego na wiele różnych sposobów.
4.4 Równania logiczne dla operatora AND
4.4.1
Zero-jedynkowa definicja operatora AND:
| Kod: |
p q Y=p*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 1 =0
D: 0 0 =0
1 2 3
|
Twierdzenie Prosiaczka:
Równanie algebry Kubusia dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej otrzymujemy opisując wyłącznie linie z tą samą wartością logiczną w wyniku.
4.4.2
Najprostsze równanie dla powyższej tabeli otrzymamy dla linii A bowiem mamy tu samotną jedynkę.
A.
Y=1 <=> p=1 i q=1
Definicja spójnika „i”.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Jak widzimy, na mocy definicji spójnika „i”(*) w równaniu A możemy usunąć bezwzględne jedynki otrzymując równanie algebry Kubusia opisujące powyższą tabelę zero-jedynkową.
Mamy zatem:
A.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
To równanie opisuje wyłącznie linię A123 w powyższej tabeli
4.4.3
Prawo przejście do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne
W tym przypadku „i”(*) na „lub”(+).
Przechodzimy z równaniem A do logiki przeciwnej otrzymując:
B1.
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
To równanie opisuje obszar BCD123 w powyższej tabeli
4.4.4
Równanie równoważne do B1 otrzymamy z linii BCD123 gdzie mamy zera w wyniku:
Mamy spis z natury:
1.
B: Y=0 <=> p=0 i q=0
lub
C: Y=0 <=> p=0 i q=1
lub
D: Y=0 <=> p=1 i q=0
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
2.
B: ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
lub
C: ~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
lub
D: ~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Definicja spójnika „i”(*)
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Na mocy tej definicji w liniach możemy zapisać równania Kubusia:
3.
B:
~Y = ~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
lub
C:
~Y = ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
lub
D:
~Y=p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Definicja spójnika „lub”(+):
Suma logiczna (spójnik „lub”(+)) jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Na mocy tej definicji linie BCD123 możemy zapisać w jednym równaniu logicznym:
4.
~Y=~p*~q + ~p*q + p*~q
Co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1)
4.4.5
Oczywiście matematycznie zachodzi:
~Y=~Y
stąd pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
To równanie opisuje wyłącznie obszar BCD123 w tabeli zero-jedynkowej
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR I AND:
Funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+) zapisana jest w logice dodatniej, gdy nie jest zanegowana
Y - logika dodatnia, dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
~Y - logika ujemna, skłamię (wystąpi fałsz)
Stąd:
4.4.6
Symboliczna definicja operatora AND:
| Kod: |
Dotrzymam słowa Y
Y=p*q
A: p* q= Y
.. a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez
negację zmiennych i wymianę spójników
Skłamię ~Y
U: ~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Y
C. ~p* q=~Y
D: p*~q=~Y
|
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Podstawiając A i U mam prawo de’Morgana:
Y = p*q = ~(~p+~q)
4.4.1 Osiem równań opisujących operator AND
Korzystamy z definicji symbolicznej operatora AND wyprowadzonej w poprzednim punkcie.
Równania minimalne:
1.
Y=p*q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
2.
~Y=~p+~q
Dwa kolejne równania otrzymujemy negując dwustronnie 1 i 2
3.
~Y=~(p*q)
4.
Y=~(~p+~q)
Równoważna definicja spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
5.
~Y=(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
6.
Y = (p+q)*(p+~q)*(~p+q)
Ostatnie dwa równania uzyskujemy negując dwustronnie 5 i 6.
7.
Y = ~[(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)]
8.
Y = ~[(p+q)*(p+~q)*(~p+q)]
Ułóżmy to wszystko w tabeli.
Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND:
| Kod: |
Wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla operatora AND
Dotrzymam słowa: Y=1 |Skłamię: ~Y=1
1: Y=p*q |2: ~Y=~p+~q
4: Y=~(~p+~q) |3: ~Y=~(p*q)
6: Y=(p+q)*(p+~q)*(~p+q) |5: ~Y=(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)
7: Y=~[(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)] |8: ~Y=~[(p+q)*(p+~q)*(~p+q)]
------------------------------------------------------------
Definicja | |
Symboliczna | |
Operatora AND|Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND
|
Dotrzymam |
slowa: Y=1 |p q Y=p*q | ~p ~q 2:~Y=~p+~q | Y=~(~p+~q)
A: p* q= Y |1 1 =1 / p* q= Y | 0 0 =0 | =1
Sklamie: ~Y=1| | ~Y=~p+~q |
U: ~Y=~p+~q | | ~Y=~p*~q+~p*q+p*~q |
B: ~p*~q=~Y |0 0 =0 | 1 1 =1 /~p*~q=~Y | =0
C: ~p* q=~Y |0 1 =0 | 1 0 =1 /~p* q=~Y | =0
D: p*~q=~Y |1 0 =0 | 0 1 =1 / p*~q=~Y | =0
1 2 3 4 5 6 7
Punkt odniesienia względem którego kodujemy zera i jedynki
to zawsze nagłówek tabeli.
|p=1, ~p=0 | ~p=1, p=0
|q=1, ~q=0 | ~q=1, q=0
|Y=1, ~Y=0 | ~Y=1, Y=0
|
Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Y = p*q = ~(~p+~q)
W komentarzu (po znaku „/”) uwidoczniono linie biorące udział w obsłudze naturalnej logiki człowieka.
W naturalnym języku mówionym każdy człowiek posługuje się wyłącznie definicją symboliczną.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
Y=p*q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
Jeśli w definicji symbolicznej za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy:
~Y=~p+~q
to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.
... co doskonale widać w powyższej tabeli.
Sprawdźmy na przykładzie które zdania będą zrozumiałe dla człowieka.
1.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K+~T
Oczywiście to co wyżej to logika każdego 5-cio latka.
Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziesz do kina (~K) lub nie pójdziesz do teatru (~T)?
Negujemy dwustronnie 2 otrzymując:
4.
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (T)
Y = ~(~K+~T)
Zdanie 3 będzie zrozumiałe w tej formie:
3.
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(...), że jutro pójdę do kina (K) i do teatru (T)
~Y = ~(K*T) = ~K+~T
Oczywiście zdanie to oznacza to samo co doskonale rozumiane zdanie 2.
Każdy 5-cio latek bez problemu zrozumie zdanie 5.
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
Zdanie wypowiedziane:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
... a kiedy skłamię?
~Y = ~K*~T + ~K*T + K*~T
6.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
~K*~T - nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)
lub
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)
Ostatnie trzy zdania, w szczególności 7 i 8 to horror dla każdego normalnego człowieka. Mają one związek z logiką zero, totalnie sprzeczną z naturalną logiką człowieka.
2012-03-31 Przed premierą ...[
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 18:32, 06 Kwi 2012, w całości zmieniany 63 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35534
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 21:49, 24 Gru 2010 Temat postu: |
|
|
4.4 Operator implikacji prostej w zbiorach
Definicja operatora implikacji prostej:
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” miedzy p i q
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q)
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika, że p musi być wystarczające dla q.
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Stąd mamy definicję warunku wystarczającego w zbiorach:
Z wykresu odczytujemy definicję symboliczną warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1 - zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q
stąd:
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Zbiory:
p*~q=0
Zbiory p i ~q są rozłączne, stąd wynik iloczynu logicznego jest równy 0, co doskonale widać na diagramie.
Definicja symboliczna warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
| Kod: |
p=> q=1
p*q =1 - istnieje cześć wspólna zbiorów p i q
p=>~q=0
p*~q =0 - zbiory p i ~q są rozłączne, wynik: 0=zbiór pusty
|
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Z czego wynika że p jest wystarczające dla q
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny zbiorów p*q jest zbiorem niepustym oraz iloczyn logiczny zbiorów p*~q jest zbiorem pustym.
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Zobaczmy ten przypadek na diagramie.
Z wykresu odczytujemy definicję warunku koniecznego ~> w logice ujemnej (bo ~q)
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Zbiory:
~p*~q=1 - istnieje cześć wspólna
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C
Zbiory:
~p*q=1 - istnieje część wspólna
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia nie może być zgwałcone:
D: ~p~>q = B: p=>~q =0
Zdanie B jest fałszywe zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Symboliczna definicja implikacji prostej:
| Kod: |
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=>q=1 /Twarda prawda, gwarancja matematyczna
B: p=>~q=0 /Twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
C: ~p~>~q=1 /miękka prawda, może zajść ale nie musi bo D
D: ~p~~>q=1 /miękka prawda, może zajść ale nie musi bo C
|
p=>q = ~p~>~q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że druga linia musi być twardym fałszem
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” (nie w równoważności!)
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Definicja warunku koniecznego wynika z prawa Kubusia:
~p~>~q = p=>q
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Z definicji tej wynika, że całą logikę matematyczną możemy sprowadzić do badania łatwych w dowodzeniu warunków wystarczających =>.
Definicja operatora implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia
Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
| Kod: |
Warunek wystarczający
w logice dodatniej (q)
Zbiory |p q p=>q |~p ~q ~p~>~q
A: p=>q=1 p* q=1 |1 1 =1 /p=>q=1 | 0 0 =1
B: p=>~q=0 p*~q=0 |1 0 =0 /p=>~q=0 | 0 1 =0
.a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny
w logice ujemnej (~q)
C: ~p~>~q=1 ~p*~q=1 |0 0 =1 | 1 1 =1 /~p~>~q=1
D: ~p~~>q=1 ~p* q=1 |0 1 =1 | 1 0 =1 /~p~~>q=1
1 2 3 4 5 6
Punkt odniesienia = zdanie z nagłówka tabeli:
|p=1, ~p=0 | ~p=1, p=0
|q=1, ~q=0 | ~q=1, q=0
|
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych ABCD3 i ABCD6 jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
W komentarzu (po znaku „/”) zapisano linie które biorą bezpośredni udział w opisie matematycznym naturalnej logiki człowieka, pozostałe są ignorowane.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p=>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD123.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p~>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD456.
Znaczenie zer i jedynek w tabelach zero-jedynkowych operatora implikacji prostej:
1.
Po stronie wejścia p i q jedynki i zera oznaczają:
1 - brak negacji sygnału z nagłówka tabeli
0 - negacja sygnału z nagłówka tabeli
2.
Po stronie wyjścia mamy w warunku wystarczającym AB123:
| Kod: |
A: p=>q=1 /1 1 =1
B: p=>~q=0 /1 0 =0
|
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q
oraz:
Po stronie wyjścia mamy w warunku koniecznym CD456:
| Kod: |
C: ~p~>~q=1 /1 1 =1
D: ~p~~>q=1 /1 0 =1
|
~p~>~q
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
Gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
~p~>~q = p=>q - prawo Kubusia
Wnioski:
1.
Mózg człowieka operuje wyłącznie na zbiorach, poszukując części wspólnej zbiorów, wtedy i tylko wtedy zdanie jest prawdziwe.
2.
Matematycznie, z punktu widzenia świata zewnętrznego widzimy zero-jedynkową definicje operatora implikacji prostej (ABCD123) albo implikacji odwrotnej (ABCD456) w zależności od przyjętego punktu odniesienia.
3.
Sposób kodowania zero-jedynkowego nie wpływa na treść samych zdań, stąd oba kodowania zero-jedynkowe są równoważne.
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2=1 bo 8,16… - twarda prawda, gwarancja matematyczna, zachodzi zawsze bez wyjątków
Zbiory:
P8=[8,16…]
P2=[2,4,8,16..]
P8*P2=1 bo 8,16…
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
P8=>~P2=0 – twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Zbiory:
P8=[8,16..]
~P2=[1,3,5…]
P8*~P2=0 – zbiory P8 i ~P2 istnieją, ale są rozłączne, stąd 0 w wyniku
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 ?
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2=1 bo 3,5.. – miękka prawda, może zajść ale nie musi bo D
Zbiory:
~P8=[2,3,5…]
~P2=[3,5,7…]
~P8*~P2=1 bo 3,5…
LUB
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2=1 bo 2,4… - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo C
Zbiory:
~P8=[2,4,5…]
P2=[2,4,6…]
~P8*P2=1 bo 2,4…
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia:
D: ~P8~>P2 = B: P8=>~P2=0 bo 8
Prawa strona jest fałszem zatem w zdaniu D nie ma prawa zachodzić warunek konieczny. Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
P8=1, ~P8=0
P2=1, ~P2=0
| Kod: |
A: P8=>P2=1 bo 8 /1 1 =1
B: P8=>~P2=0 /1 0 =0
C: ~P8~>~P2=1 bo 3 /0 0 =1
D: ~P8~~>P2=1 bo 2 /0 1 =1
|
Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko B, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.
Twierdzenie Sowy:
W świecie zdeterminowanym (gdy znamy rozwiązanie) zdanie prawdziwe wchodzące w skład dowolnego operatora ulega redukcji do spójnika „i”(*).
Definicja implikacji w zbiorach:
| Kod: |
A: P8=>P2 / P8* P2
B: P8=>~P2 / P8*~P2
C: ~P8~>~P2 /~P8*~P2
D: ~P8~~>P2 /~P8* P2
|
Przykład:
Wylosowana liczba: 8
Dla tego losowania zdanie A będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 8 (L8=1) to jest ona podzielna przez 8 (P8=1) i jest podzielna przez 2 (P2=1)
L3=>P8*P2
Co matematycznie oznacza:
L8=1 => P8=1 i P2=1
stąd dla liczby 8 mamy:
~P8=0, ~P2=0
stąd definicja zero-jedynkowa w zbiorach:
| Kod: |
A: P8=>P2 / P8* P2 =1*1=1
B: P8=>~P2 / P8*~P2 =1*0=0
C: ~P8~>~P2 /~P8*~P2 =0*0=0
D: ~P8~~>P2 /~P8* P2 =0*1=0
|
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND
Wylosowana liczba: 3
Dla tego losowania zdanie C będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 3 (L3=1) to nie jest ona podzielna przez 8 (~P8=1) i nie jest podzielna przez 2 (~P2=1)
L3=>~P8*~P2
Co matematycznie oznacza:
L3=1 => ~P8=1 i ~P2=1
stąd dla liczby 3 mamy:
P8=0, P2=0
stąd definicja zero-jedynkowa w zbiorach:
| Kod: |
A: P8=>P2 / P8* P2 =0*0=0
B: P8=>~P2 / P8*~P2 =0*1=0
C: ~P8~>~P2 /~P8*~P2 =1*1=1
D: ~P8~~>P2 /~P8* P2 =1*0=0
|
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND
Wylosowana liczba: 2
Dla tego losowania zdanie D będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 2 (L2=1) to nie jest ona podzielna przez 8 (~P8=1) i jest podzielna przez 2 (P2=1)
L2=>~P8*P2
co matematycznie oznacza:
L2=1 => ~P8=1 i P2=1
Stąd dla liczby 2 mamy:
P8=0, ~P2=0
stąd definicja zero-jedynkowa w zbiorach:
| Kod: |
A: P8=>P2 / P8* P2 =0*1=0
B: P8=>~P2 / P8*~P2 =0*0=0
C: ~P8~>~P2 /~P8*~P2 =1*0=0
D: ~P8~~>P2 /~P8* P2 =1*1=1
|
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND
4.5 Definicja implikacji odwrotnej
Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
Warunek konieczny w logice dodatniej (bo p)
A: p~>q =1
B: p~~>~q=1
.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C: ~p=>~q=1
D: ~p=>q =0
|
Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
| Kod: |
Warunek konieczny
w logice dodatniej (bo q)
|p q p~>q |~p ~q ~p=>~q
A: p~>q=1 |1 1 =1 /p~>q=1 | 0 0 =1
B: p~~>~q=1 |1 0 =1 /p~~>~q=0 | 0 1 =1
.. a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający
w logice ujemnej (bo ~q)
C: ~p=>~q=1 |0 0 =1 | 1 1 =1 /~p=>~q=1
D: ~p=>q =0 |0 1 =0 | 1 0 =0 /~p=> q=0
1 2 3 4 5 6
Punkt odniesienia = zdanie z nagłówka tabeli:
|p=1, ~p=0 | ~p=1, p=0
|q=1, ~q=0 | ~q=1, q=0
|
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych ABCD3 i ABCD6 jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
W komentarzu (po znaku „/”) zapisano linie które biorą bezpośredni udział w opisie matematycznym naturalnej logiki człowieka, pozostałe są ignorowane.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p~>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD123.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p=>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD456.
Znaczenie zer i jedynek w tabelach zero-jedynkowych operatora implikacji odwrotnej:
1.
Po stronie wejścia p i q jedynki i zera oznaczają:
1 - brak negacji sygnału z nagłówka tabeli
0 - negacja sygnału z nagłówka tabeli
2.
Po stronie wyjścia mamy w warunku koniecznym AB123 mamy:
| Kod: |
C: p~>q=1 /1 1 =1
D: p~~>~q=1 /1 0 =1
|
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
Gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
oraz:
Po stronie wyjścia mamy w warunku wystarczającym CD456 mamy:
| Kod: |
A: ~p=>~q=1 /1 1 =1
B: ~p=>q=0 /1 0 =0
|
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to musi => zajść ~q
Narysujmy schemat ideowy implikacji odwrotnej:
Z punktu widzenia świata zewnętrznego nie jesteśmy w stanie odróżnić który układ logiczny jest fizycznie zrealizowany, bowiem oba układy dają identyczną tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej.
Oczywiście dla wejścia p i q oraz wyjścia:
p~>q = ~p=>~q
Odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie p?
Otrzymujemy patrząc na wejścia p i q poprzez bramkę „może” ~> bowiem tylko tu widzimy niezanegowane wejście p (p).
Natomiast odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie ~p?
Otrzymujemy patrząc na wejścia p i q poprzez bramkę „musi” => bowiem tylko tu mamy zanegowane wejście (~p).
Doświadczenie 4.
Zbudować powyższy układ logiczny i sprawdzić zgodność świata fizycznego z tabelami zero-jedynkowymi operatora implikacji odwrotnej wyżej.
Jak widzimy odpowiedź na pytanie:
Co będzie jeśli zajdzie p?
Mamy w liniach AB123:
| Kod: |
A: p~> q =1 /1 1 =1
B: p~~>~q=1 /1 0 =1
|
Bramki „może” ~>
Natomiast odpowiedź na pytanie:
Co będzie jak zajdzie ~p?
Mamy w liniach CD456:
| Kod: |
C: ~p=>~q=1 /1 1 =1
D: ~p=> q=0 /1 0 =0
|
Bramki „musi” =>
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1 – miękka prawda, może zajść ale nie musi
1 1 =1
Chmury są warunkiem koniecznym dla deszczu.
LUB
B.
Jeśli będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1 – miękka prawda, może zajść ale nie musi
1 0 =1
… a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 – twarda prawda, gwarancja matematyczna
0 0 =1
Brak chmur wystarcza aby nie padało.
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
~CH=>P=0 – twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
0 1 =0
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
CH=1, ~CH=0
P=1, ~P=0
Zauważmy że:
A: CH~>P = C: ~CH=>~P =1
Zdanie C jest prawdziwe, zatem w zdaniu A musi zachodzić warunek konieczny ~>.
Znaczenie warunku koniecznego w logice dodatniej (bo P):
Zabieramy chmury wykluczając możliwość padania.
Zauważmy, że jak jutro będzie pochmurno to mamy rzucanie monetą, może padać (zdanie A) albo może nie padać (zdanie B).
stąd:
~> - warunek konieczny, spójnik „może” między p i q, w implikacji to po prostu „rzucanie monetą”
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny bo nie zachodzi tu prawo Kubusia:
B: CH~>~P = D: ~CH=>P=0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny ~>
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy sama możliwość zaistnienia.
4.6 Operator implikacji odwrotnej w zbiorach
Definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia
gdzie:
~> - warunek konieczny, spójnik „może” miedzy p i q
=> - warunek wystarczający, w implikacji spójnik „musi” między p i q
Definicja warunku koniecznego wynika z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Warunek konieczny w diagramie logiki wygląda następująco:
p~>q
Z wykresu odczytujemy definicje symboliczną warunku koniecznego w logice dodatniej (bo q):
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie B
Zbiory:
p*q=1 - istnieje cześć wspólna zbiorów p i q
LUB
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi, bo zdanie A
Zbiory:
p*~q=1 - istnieje część wspólna zbiorów p i ~q
… a jeśli nie zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Zobaczmy to na diagramie logicznym:
~p=>~q
Z diagramu odczytujemy:
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna, zachodzi zawsze, bez wyjątków
Zbiory:
~p*~q=1 - zbiór ~p zawiera się w całości w zbiorze ~q!
stąd:
D.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Zbiory:
~p*q=0
Zbiory ~p i q istnieją, ale są rozłączne, stąd wynik iloczynu logicznego jest równy 0, co doskonale widać na diagramie.
Zauważmy, że w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny bo prawo Kubusia:
B: p~>~q = D: ~p=>q=0
Zdanie D jest fałszywe, zatem w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Definicja symboliczna warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo q):
| Kod: |
~p=>~q=1
~p*~q =1 - istnieje część wspólna zbiorów ~p i ~q
~p=>q =0
~p*q =0 - zbiory ~p i q są rozłączne, stąd wynik: 0=zbiór pusty
|
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zajście ~p wystarcza dla zajścia ~q
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q) zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny zbiorów ~p*~q jest zbiorem niepustym oraz iloczyn logiczny zbiorów ~p*q jest zbiorem pustym.
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
A: p~>q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi
B: p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C: ~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
D: ~p=>q =0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C
|
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
bo druga linia p~~>~q też ma prawo wystąpić
Gdzie:
~> - warunek konieczny
=> - warunek wystarczający
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Definicja warunku koniecznego wynika z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Z definicji tej wynika, że całą logikę matematyczną możemy sprowadzić do badania łatwych w dowodzeniu warunków wystarczających =>.
Definicja operatora implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
| Kod: |
Warunek konieczny
w logice dodatniej (q)
Zbiory |p q p~>q |~p ~q ~p=>~q
A: p~>q=1 p* q=1 |1 1 =1 /p~>q=1 | 0 0 =1
B: p~~>~q=1 p*~q=1 |1 0 =1 /p~~>~q=0 | 0 1 =1
.. a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający
w logice ujemnej (~q)
C: ~p=>~q=1 ~p*~q=1 |0 0 =1 | 1 1 =1 /~p=>~q=1
D: ~p=>q =0 ~p* q=0 |0 1 =0 | 1 0 =0 /~p=> q=0
1 2 3 4 5 6
Punkt odniesienia = zdanie z nagłówka tabeli:
|p=1, ~p=0 | ~p=1, p=0
|q=1, ~q=0 | ~q=1, q=0
|
Tożsamość kolumn trzeciej i ostatniej jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
W komentarzu (po znaku „/”) zapisano linie które biorą bezpośredni udział w opisie matematycznym naturalnej logiki człowieka, pozostałe są ignorowane.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p~>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD123.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p=>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD456.
Znaczenie zer i jedynek w tabelach zero-jedynkowych operatora implikacji odwrotnej:
1.
Po stronie wejścia p i q jedynki i zera oznaczają:
1 - brak negacji sygnału z nagłówka tabeli
0 - negacja sygnału z nagłówka tabeli
2.
Po stronie wyjścia mamy w warunku koniecznym AB123:
| Kod: |
C: p~>q=1 /1 1 =1
D: p~~>~q=1 /1 0 =1
|
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
Gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
oraz:
Po stronie wyjścia mamy w warunku wystarczającym CD456:
| Kod: |
A: ~p=>~q=1 /1 1 =1
B: ~p=>q=0 /1 0 =0
|
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to musi => zajść ~q
Jak widzimy, mózg człowieka operuje wyłącznie na zbiorach, poszukując części wspólnej zbiorów, wtedy i tylko wtedy zdanie jest prawdziwe.
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
Analiza matematyczna:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8=1 bo 8,16… - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
Zbiory:
P2=[2,4,8,16..]
P8=[8,16…]
P2*P8=1 bo 8,16…
LUB
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8=1 bo 2,4… - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
Zbiory:
P2=[2,4,6…]
~P8=[2,4,5…]
P2*~P8=1 bo 2,4…
… a jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 ?
Prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1 bo 3,5… - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~P2=[3,5,7…]
~P8=[2,3,5…]
~P2*~P8=1 bo 3,5…
stad:
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
~P2=>P8=0 – twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie ze zdania C
Zbiory:
~P2=[1,3,5…]
P8=[8,16..]
~P2*P8=0 - zbiory rozłączne, wynik =0
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny bo prawo Kubusia:
B: ~P2~>P8 = D: P2=>~P8=0 bo 8
Prawa strona jest fałszem zatem w zdaniu B nie ma prawa zachodzić warunek konieczny. Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A:
P2=1, ~P2=0
P8=1, ~P8=0
| Kod: |
A: P2~>P8=1 bo 8 /1 1 =1
B: P2~~>~P8=1 bo 2 /1 0 =1
C: ~P2=>~P8=1 bo 3 /0 0 =1
D: ~P2=>P8=0 /0 1 =0
|
Po nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko D, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.
Twierdzenie Sowy:
W świecie zdeterminowanym (gdy znamy rozwiązanie) zdanie prawdziwe wchodzące w skład dowolnego operatora ulega redukcji do spójnika „i”(*),
Definicja implikacji w zbiorach:
| Kod: |
A: P2~>P8 / P2* P8
B: P2~~>~P8 / P2*~P8
C: ~P2=>~P8 /~P2*~P8
D: ~P2=>P8 /~P2* P8
|
Przykład:
Wylosowana liczba: 8
Dla tego losowania zdanie A będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 8 (L8=1) to jest ona podzielna przez 2 (P2=1) i jest podzielna przez 8 (P8=1)
L8=>P2*P8
Co matematycznie oznacza:
L8=1 => P2=1 i P8=1
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli zbiorów dla:
P2=1, ~P2=0
P8=1. ~P8=0
| Kod: |
A: P2~>P8 / P2* P8 =1*1=1
B: P2~~>~P8 / P2*~P8 =1*0=0
C: ~P2=>~P8 /~P2*~P8 =0*0=0
D: ~P2=>P8 /~P2* P8 =0*1=0
|
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND
Wylosowana liczba: 2
Dla tego losowania zdanie B będzie prawdziwe, pozostałe zdania będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 2 (L2=1) to jest ona podzielna przez 2 (P2=1) i nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
L2=>P2*~P8
Co matematycznie oznacza:
L2=1 => P2=1 i ~P8=1
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli zbiorów dla:
P2=1, ~P2=0
~P8=1. P8=0
| Kod: |
A: P2~>P8 / P2* P8 =1*0=0
B: P2~~>~P8 / P2*~P8 =1*1=1
C: ~P2=>~P8 /~P2*~P8 =0*1=0
D: ~P2=>P8 /~P2* P8 =0*0=0
|
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND
Wylosowana liczba: 3
Dla tego losowania zdanie C będzie prawdziwe, pozostałe będą fałszywe
Jeśli wylosowano liczbę 3 (L3=1) to nie jest ona podzielna przez 2 (~P2=1) i nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
L3=>~P2*~P8
co matematycznie oznacza:
L3=1 => ~P2=1 i ~P8=1
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli zbiorów dla:
~P2=1, P2=0
~P8=1. P8=0
| Kod: |
A: P2~>P8 / P2* P8 =0*0=0
B: P2~~>~P8 / P2*~P8 =0*1=0
C: ~P2=>~P8 /~P2*~P8 =1*1=1
D: ~P2=>P8 /~P2* P8 =1*0=0
|
Doskonale widać zero-jedynkową definicję operatora AND
Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko D, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek.
4.7 Operator równoważności
Zero-jedynkowa definicja równoważności:
| Kod: |
p q Y=(p<=>q)
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0
1 2 3
|
Gdzie:
<=> - operator równoważności, spójnik „wtedy i tylko wtedy” w naturalnej logice człowieka
Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
sprowadzamy zmienne po stronie p i q do postaci symbolicznej.
| Kod: |
p q Y=(p<=>q) /Definicja symboliczna
A: 1 1 =1 / p q =1 / p=> q =1
B: 1 0 =0 / p ~q =0 / p=>~q =0
C: 0 0 =1 /~p ~q =1 /~p=>~q =1
D: 0 1 =0 /~p q =0 /~p=> q =0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Fundament algebry Kubusia:
p+~p=1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do dziedziny X
p*~p=0 - żaden element zbioru ~p nie należy do zbioru p
W obszarze AB456 widzimy, że jeśli zajdzie p to na pewno => zadzie q, bowiem przypadek zajdzie p i zajdzie ~q nie ma prawa wystąpić (zero w wyniku).
Obszar AB456 możemy symbolicznie opisać jako!
Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q=1
B: p=>~q=0
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki, o definicji jak wyżej
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Bo linia B jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
W obszarze CD456 widzimy, że jeśli zajdzie ~p to na pewno => zadzie ~q, bowiem przypadek zajdzie ~p i zajdzie q nie ma prawa wystąpić (zero w wyniku).
Obszar CD456 możemy symbolicznie opisać jako!
Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p=> q=0
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki, o definicji jak wyżej
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Bo linia D jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w całości w zbiorze ~q
stąd:
Definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q).
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q] = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to iloczyn logiczny wirtualnych definicji implikacji prostej i odwrotnej.
Przypomnijmy sobie definicje implikacji prostej i odwrotnej.
Symboliczna definicja implikacji prostej:
| Kod: |
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q)
=> - gwarancja matematyczna
A: p=> q=1 - gwarancja matematyczna
B: p=> ~q=0
.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q)
~> - rzucanie monetą
C: ~p~>~q=1
D: ~p~~>q=1
|
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia
gdzie:
=> - spójnik „na pewno” miedzy p i q, warunek wystarczający o definicji wyłącznie w A i B
~> - spójnik „może” miedzy p i q, warunek konieczny o definicji:
~p~>~q = p=>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Gwarancja matematyczna wyrażona spójnikiem „i”(*):
p=>q = ~(p*~q)
W implikacji prostej mamy gwarancję po stronie p i totalny brak gwarancji po stronie ~p.
Po stronie ~p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”.
Stąd:
Implikacja prosta = jedna i tylko jedna gwarancja matematyczna
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno będzie pochmurno
P=>CH
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q)
~> - rzucanie monetą
A: p~> q=1
B: p~~>~q=1
.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q=~p=>~q
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q)
=> - gwarancja matematyczna
C: ~p=>~q=1 - gwarancja matematyczna
D: ~p=> q=0
|
Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
gdzie:
=> - spójnik „na pewno”, warunek wystarczający o definicji wyłącznie w C i D
~> - spójnik „może”, warunek konieczny o definicji:
p~>q = ~p=>~q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Gwarancja matematyczna wyrażona spójnikiem „i”(*):
~p=>~q = ~(~p*q)
W implikacji odwrotnej mamy gwarancję po stronie ~p i totalny brak gwarancji po stronie p.
Po stronie p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”.
Stąd:
Implikacja odwrotna = jedna i tylko jedna gwarancja matematyczna
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P
Na mocy powyższych definicji mamy najważniejsze definicje w całej logice matematycznej!
To definicje warunku wystarczającego w logice dodatniej i ujemnej.
1.
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
| Kod: |
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=> q=1
B: p=> ~q=0
|
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
Z czego wynika że druga linia musi być fałszem
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padło to na pewno będzie pochmurno
P=>CH
P=>~CH=0
2.
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
| Kod: |
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C: ~p=>~q=1
D: ~p=> q=0
|
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Z czego wynika że druga linia musi być fałszem
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w całości w zbiorze ~q
Przykład:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padało
~CH=>~P
Ogólna definicja warunku koniecznego:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q - prawo Kubusia
Z powyższego wynika, że całą logikę w zakresie implikacji możemy sprowadzić do badania banalnych warunków wystarczających o definicjach jak wyżej.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q] = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to iloczyn logiczny wirtualnych definicji implikacji prostej i odwrotnej.
| Kod: |
Implikacja Implikacja
prosta Odwrotna
p=>q=[~p~>~q] [p~>q]=~p=>~q p<=>q=(p=>q)*[p~>q]=(p=>q)*(~p=>~q)
A: p=> q=1 [p~> q=1] =1
B: p=>~q=0 [p~~>~q=1] =0
C:[~p~>~q=1] ~p=> ~q=1 =1
D:[~p~~>q=1] ~p=> q=0 =0
|
gdzie:
[…] - część wirtualna, niedostępna w świecie rzeczywistym
Warunek konieczny w implikacji prostej (linie C i D):
[~p~>~q]
jest wycinany przez warunek wystarczający implikacji odwrotnej (C i D) i nie jest dostępny w świecie rzeczywistym.
Stąd:
[~p~>~q] - wirtualny warunek konieczny, niedostępny w świecie rzeczywistym
W świecie rzeczywistym w liniach C i D widzimy wyłącznie warunek wystarczający:
~p=>~q = ~(~p*q) - gwarancja matematyczna A
Analogicznie:
Warunek konieczny w implikacji odwrotnej (linie A i B):
[p~>q]
jest wycinany przez warunek wystarczający implikacji prostej (A i B) i nie jest dostępny w świecie rzeczywistym.
Stąd:
[p~>q] - wirtualny warunek konieczny, niedostępny w świecie rzeczywistym
W świecie rzeczywistym w liniach A i B widzimy wyłącznie warunek wystarczający:
p=>q = ~(p*~q) - gwarancja matematyczna B
Stąd mamy:
Równoważność = dwie i tylko dwie gwarancje matematyczne
Na podstawie powyższego mamy.
Symboliczna definicja równoważności:
| Kod: |
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q):
p=>q
A: p=>q =1 - twarda prawda, [b]gwarancja matematyczna[/b]
B: p=>~q =0 - twardy fałsz wynikły z A
… a jeśli zajdzie ~p ?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
C: ~p=>~q=1 - twarda prawda, [b]gwarancja matematyczna[/b]
D: ~p=>q =0 - twardy fałsz wynikły z C
|
Możliwe dwie definicje słowne równoważności:
1.
Równoważność to iloczyn logiczny warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) oraz warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
p=>q, ~p=>~q - definicje warunku wystarczającego => jak w tabeli wyżej
2.
Równoważność to iloczyn logiczny implikacji prostej wirtualnej w logice dodatniej (bo q) oraz implikacji prostej wirtualnej w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Definicja implikacji prostej wirtualnej w logice dodatniej:
p=>q = [~p~>~q]
Definicja implikacji prostej wirtualnej w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q = [p~>q]
gdzie:
[p~>q], [~p~>~q] - wirtualny warunek konieczny, niedostępny w świecie rzeczywistym.
Interpretacja symbolicznej definicji równoważności:
p<=>p = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
Możliwe są dwie równoważne interpretacje słowne prawej strony równania:
A.
p=>q - warunek wystarczający o definicji jak w liniach A i B
~p=>~q - warunek wystarczający o definicji jak w liniach C i D
B.
p=>q - implikacja prosta wirtualna gdzie „rzucanie monetą” jest przykryte przez linie C i D powyższej definicji.
~p=>~q - implikacja prosta wirtualna gdzie „rzucanie monetą” jest przykryte przez linie A i B powyższej definicji
To samo równanie w postaci gwarancji matematycznych:
p=>q = ~(p*~q)
~p=>~q = ~(~p*q)
stąd:
p<=>q = [~(p*~q)]*[~(~p*q)] =1*1=1
Muszą zachodzić dwie gwarancje matematyczne!
Wtedy i tylko wtedy zdanie jest równoważnością.
Kodowanie zero-jedynkowe definicji równoważności:
| Kod: |
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający
p=>q /p q p<=>q /~p ~q ~p<=>~q
A: p=>q =1 /1 1 =1 / 0 0 =1
B: p=>~q =0 /1 0 =0 / 0 1 =0
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający
~p=>~q
C: ~p=>~q=1 /0 0 =1 / 1 1 =1
D: ~p=>q =0 /0 1 =0 / 1 0 =0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z nagłówkiem tabeli
/p=1, ~p=0 /~p=1, p=0
/q=1, ~q=0 /~p=1, q=0
|
Tożsamość kolumn wynikowych jest dowodem formalnym zachodzenia tożsamości:
p<=>q = ~p<=>~q = (p=>q)*(~p=>~q)
Przykład:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)
Dowód poprzez analizę wszystkich możliwych przeczeń TR i KR.
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)
TR=>KR - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo KR)
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
1 1 =1
B.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
TR=>~KR=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z A
1 0 =0
… a jeśli trójkąt nie jest równoboczny ?
~TR<=>~KR = (~TR=>~KR)*(TR=>KR)
~TR=>~KR - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~KR)
C.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
0 0 =1
D.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno =>ma kąty równe
~TR=>KR=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z C
0 1 =0
Doskonale widać zero-jedynkową definicję równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem A:
TR=1, ~TR=0
KR=1, ~KR=0
Doświadczenie 5.
Schemat ideowy operatora równoważności w bramkach logicznych jest następujący.
Zbudować powyższy układ i sprawdzić poprawność tabel zero-jedynkowych w punktach:
p=>q
~p=>~q
p<=>q
w zależności od wszystkich możliwych sygnałów wejściowych p i q
4.8 Równoważność w zbiorach
Zero-jedynkowa definicja równoważności:
| Kod: |
p q p<=>q /Definicja symboliczna
A: 1 1 =1 / p=> q =1
B: 1 0 =0 / p=>~q =0
C: 0 0 =1 /~p=>~q =1
D: 0 1 =0 /~p=> q =0
|
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q)
Zobaczmy to na diagramach logiki:
Warunek wystarczający w logice dodatniej:
| Kod: |
p=>q =1
p*q =1 - istnieje część wspólna zbiorów p i q
p=>~q=0
p*~q =0 - zbiory p i ~q są rozłączne, wynik:0=zbiór pusty
|
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że p jest warunkiem wystarczającym dla q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Z diagram widzimy, że zbiory p i q są dokładnie tymi samymi zbiorami:
p=q
co wymusza tożsamość zbiorów:
~p=~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej:
| Kod: |
~p=>~q=1
~p*~q =1 - istnieje cześć wspólna zbiorów ~p i ~q
~p=>q =0
~p*q =0 - zbiory ~p i q są rozłączne, wynik: 0-zbiór pusty
|
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to musi zajść ~q
Z czego wynika że ~p jest wystarczające dla ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w całości w zbiorze ~q
Z diagramu widzimy, że zbiory ~p i ~q są dokładnie tymi samymi zbiorami:
~p=~q
co wymusza tożsamość zbiorów:
p=q
Z powyższego mamy operatorową definicję równoważności.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Analiza ogólna równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q - pierwszy człon po prawej stronie
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1 - zbiory p i q są tymi samymi zbiorami
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z A
Zbiory:
p*~q=0 - zbiory rozłączne
… a jeśli nie zajdzie p ?
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~q
~p=>~q - pierwszy człon po prawej stronie
C.
Jeśli nie zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
~p=>~q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
~p*~q=1 - zbiory ~p i ~q są tymi samymi zbiorami
D.
Jeśli nie zajdzie p to na pewno => zajdzie q
~p=>q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie z C
Zbiory:
~p*q=0 - zbiory rozłączne
5.0 Równoważność czy implikacja
W tym punkcie omówimy praktyczne sposoby rozstrzygania czy dane zdanie jest implikacją, czy też czymś fundamentalnie innym, równoważnością.
Trzy najważniejsze definicje w całej logice matematycznej!
1.
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze logiki
2.
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q
3.
Definicja warunku koniecznego:
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
~p~>~q = p=>q – prawo Kubusia, definicja implikacji prostej
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia, definicja implikacji odwrotnej
Oczywiście wynika z tego, że całą logikę możemy sprowadzić do badania banalnych warunków wystarczających.
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q (rzucanie monetą)
5.1 ŚFIŃSKIE definicje implikacji i równoważności
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
gdzie wyłącznie w równoważności:
[p~>q] - wirtualny warunek konieczny ~> niedostępny w świecie rzeczywistym
Uwaga!
W dalszej części podręcznika będziemy pomijać nawiasy kwadratowe z dwóch powodów:
1.
Uproszczenie zapisów
2.
Jeśli udowodnimy warunek wystarczający:
p=>q
to mamy sytuację „wiem że nic nie wiem”, czyli totalnie nie wiemy czym jest to zdanie rozumiane jako operator logiczny.
Zdanie z udowodnionym warunkiem wystarczającym w jedną stronę p=>q może być już tylko i wyłącznie implikacją albo równoważnością, pod warunkiem że mamy do czynienia z totalnym brakiem determinizmu, czyli nie znamy z góry wartości logicznych p i q.
Jest oczywiste że jeśli udowodnimy równoważność to zapis:
p~>q
będzie oznaczał wirtualny warunek konieczny, niedostępny w świecie rzeczywistym.
Natomiast jeśli udowodnimy implikację to zapis:
p~>q
Będzie oznaczał rzeczywisty warunek konieczny, spójnik „może” między p i q (rzucanie monetą), dostępny w świecie rzeczywistym.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]czyli:
p=>q - p jest wystarczające dla q
i
[p~>q] - p jest konieczne dla q
Stąd mamy śfińską definicję równoważności niżej.
Śfińska definicja Implikacji prostej
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => w kierunku p=>q
p=>q=1
p~>q= ~p=>~q =0
Oczywiście w logice dowodzimy warunek konieczny ~> w sposób pośredni korzystając z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Jeśli udowodnimy ~p=>~q=1 to automatycznie udowodnimy p~>q=1
Jeśli udowodnimy ~p=>~q=0 to automatycznie udowodnimy p~>q=0
Przykład:
A.
Warunek wystarczający:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
P=>~CH=0
Warunek wystarczający spełniony
Badamy warunek konieczny:
B.
Jeśli jutro będzie padało to może ~> być pochmurno
P~>CH = ~P=>~CH=0
Warunek konieczny niespełniony bo:
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to na pewno => nie będzie pochmurno
~P=>~CH=0
Wniosek:
Zdanie A spełnia śfińską definicję implikacji prostej, w skrócie, jest implikacją prostą
Śfińska definicja implikacji odwrotnej
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między p i q
p~>q= ~p=>~q =1
p=>q=0
Oczywiście warunek konieczny dowodzimy w sposób pośredni korzystając z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Jeśli udowodnimy ~p=>~q=1 to automatycznie udowodnimy p~>q=1
Jeśli udowodnimy ~p=>~q=0 to automatycznie udowodnimy p~>q=0
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P=1
czyli:
B.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1
Prawa strona równania Kubusia jest prawdą, zatem w zdaniu A zachodzi warunek konieczny CH~>P=1.
Badamy warunek wystarczający:
C.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
CH=>P=0
Warunek wystarczający niespełniony
Wniosek:
Zdanie A spełnia śfińską definicję implikacji odwrotnej, w skrócie, jest implikacją odwrotną
Śfińska definicja równoważności
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego i koniecznego
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1=1
p=>q=1
p~>q=1
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> to prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q =1
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (p=>q)*(~p=>~q)
Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1
TR=>~KR=0
Warunek wystarczający spełniony.
Badamy warunek konieczny:
TR~>KR = ~TR=>~KR=1 - prawo Kubusia
B.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma katów równych
~TR=>~KR=1
~TR=>KR=0
Prawa strona równania Kubusia jest prawdą, zatem z lewej strony zachodzi warunek konieczny:
TR~>KR=1
Oczywiście symbol ~> to warunek konieczny na poziomie wirtualnym, nie jest to spójnik „może” znany z implikacji , bowiem w równoważności wykluczone jest „rzucanie monetą”.
Zdanie A spełnia śfińską definicję równoważności, w skrócie możemy powiedzieć iż jest równoważnością.
5.2 Gimnazjalne definicje implikacji i równoważności
Podstawa matematyczna
Dowód formalny braku przemienności argumentów w implikacji:
| Kod: |
p q p=>q q=>p
1 1 =1 =1
1 0 =0 =1
0 0 =1 =1
0 1 =1 =0
|
Brak tożsamości dwóch ostatnich kolumn jest dowodem braku przemienności argumentów w implikacji prostej.
Dowód formalny przemienności argumentów w równoważności:
| Kod: |
p q p<=>q q<=>p
1 1 =1 =1
1 0 =0 =0
0 0 =1 =1
0 1 =0 =0
|
Tożsamość dwóch ostatnich kolumn jest dowodem przemienności argumentów w równoważności.
Na podstawie powyższego mamy.
Gimnazjalna definicja implikacji prostej:
Implikacja to wynikanie => (warunek wystarczający) wyłącznie w jedna stronę
A: p=>q=1
B: q=>p=0
Jeśli zdanie jest implikacją to nie może być równoważnością:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)=1*0 =0
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
Zdanie odwrotne:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8=0 bo 2
Równoważność jest tu wykluczona:
P8<=>P2 = (P8=>P2)*(P2=>P8)=1*0=0
Na mocy gimnazjalnej definicji implikacji zdanie A to piękna implikacja prosta.
Gimnazjalna definicja implikacji odwrotnej:
A: ~p=>~q=1
B: ~q=>~p=0
Jeśli zdanie jest implikacją to nie może być równoważnością:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~q=>~p)=1*0 =0
Przykład:
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8=1
Zdanie odwrotne:
B.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
~P8=>~P2=0 bo 2
Równoważność jest tu wykluczona:
~P2<=>~P8 = (~P2=>~P8)*(~P8=>~P2)=1*0=0
Na mocy gimnazjalnej definicji implikacji zdanie A to piękna implikacja odwrotna
Gimnazjalna definicja równoważności:
Równoważność to wynikanie => (warunek wystarczający) w dwie strony
A: p=>q=1
B: q=>p=1
Twierdzenie:
Jeśli zdanie jest równoważnością prawdziwą to na mocy definicji nie może być implikacją prawdziwą i odwrotnie.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1=1
Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny na pewno => ma kąty równe
TR=>KR=1
Zdanie odwrotne:
B.
Jeśli trójkąt ma kąty równe to na pewno => jest równoboczny
KR=>TR=1
Na mocy gimnazjalnej definicji równoważności zdanie A to piękna równoważność:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(KR=>TR) = 1*1=1
Zauważmy, że warunki wystarczające => w zdaniach A są identyczne w implikacji i równoważności.
Definicja warunku wystarczającego:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zatem po udowodnieniu p=>q o zdaniu A możemy powiedzieć tylko i wyłącznie iż jest to warunek wystarczający =>, żadna tam implikacja czy też równoważność bo jeszcze tego nie udowodniliśmy!
Precyzyjnie na temat zdania A możemy się wypowiedzieć wyłącznie po udowodnieniu B, co pokazano w definicjach równoważności wyżej.
5.3 Licealne definicja implikacji i równoważności
Implikacja = jedna i tylko jedna gwarancja matematyczna
Licealna definicja implikacji prostej:
A: p=>q=~(p*~q)=1
B: ~p=>~q=~(~p*q)=0
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno będzie pochmurno
P=>CH = ~(P*~CH)=1
AG:
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro będzie padło i nie będzie pochmurno
~(P*~CH)=1
Sprawdzamy B:
B.
Jeśli jutro nie będzie padło to na pewno nie będzie pochmurno
~P=>~CH=~(~P*CH)=0 - bo może nie padać i być pochmurno
BG:
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie będzie padać i będzie pochmurno
~(~P*CH)=0 - oczywiście może się zdarzyć że nie będzie padać i będzie pochmurno
Licealna definicja implikacji odwrotnej:
A: ~p=>~q=~(~p*q)=1
B: p=>q= ~(p*~q)=0
Przykład:
A.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padało
~CH=>~P=~(~CH*P) =1
AG:
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie będzie pochmurno i będzie padało
~(~CH*P)=1
Sprawdzamy B:
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno będzie padało
CH=>P=~(CH*~P)=0 - bo może być pochmurno i może nie padać
BG:
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro będzie pochmurno i nie będzie padało
~(CH*~P)=0 - oczywiście może się zdarzyć, że jutro będzie pochmurno i nie będzie padało
Wniosek:
Zdanie A to piękna implikacja odwrotna
Licealna definicja równoważności
Równoważność = dwie i tylko dwie gwarancje matematyczne
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
A: p=>q=~(p*~q)=1
B: ~p=>~q=~(~p*q)=1
Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR = ~(TR*~KR)=1
AG.
Nie może się zdarzyć ~(...), że trójkąt jest równoboczny i nie ma kątów równych
~(TR*~KR)=1
B.
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno nie ma kątów równych
~TR=>~KR=~(~TR*KR)=1
BG.
Nie może się zdarzyć ~(...), że trójkąt nie jest równoboczny i ma kąty równe
~(~TR*KR)=1
Wniosek:
Na mocy licealnej definicji równoważności zachodzi równoważność:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)=1*1=1
5.4 Kwadrat logiczny równoważności
| Kod: |
A: p=>q =1 A1. q=>p=1
C: ~p=>~q=1 C1: ~q=>~p=1
|
Wszystkie możliwe definicje równoważności to dowolny bok kwadratu:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (q=>p)*(~q=>~p) = (p=>q)*(q=>p) = (~p=>~q)*(~q=>~p)
W równoważności między dowolnymi dwoma wierzchołkami zachodzą jednocześnie warunki wystarczający rzeczywisty => i warunek konieczny wirtualny ~>.
Wirtualny warunek konieczny ~> (rzucanie monetą) nie jest dostępny w świecie rzeczywistym!
W świecie rzeczywistym dostępne są wyłącznie warunki wystarczające => o definicjach jak wyżej.
Oczywiście w równoważności zachodzą też warunki wystarczający => i konieczny wirtualny ~> po przekątnych kwadratu:
p???q = (p=>q)*(~q=>~p) = (~p=>~q)*(q=>p)
Dlaczego to nie są definicje równoważności?
Odpowiedź:
Bo operator ??? nie jest jednoznaczny.
??? - to może być operator zarówno równoważności jak i czegoś fundamentalnie innego, implikacji!
Oczywiście równoważność to fundamentalnie co innego niż implikacja.
Nic co jest równoważnością prawdziwą nie ma prawa być implikacją prawdziwą i odwrotnie.
Przykład:
| Kod: |
A: TR=>KR A1 KR=>TR
C: ~TR=>~KR C1:~KR=>~TR
|
Definicje równoważności wynikające z pionów:
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR) = ~TR<=>~KR
KR<=>TR = (KR=>TR)*(~KR=>~TR) = ~KR<=>~TR
5.5 Kwadrat logiczny implikacji
| Kod: |
A: p=>q =1 A1. p~>q=1
C: ~p~>~q=1 C1: ~p=>~q=1
|
W kwadracie logicznym implikacji zachodzą tożsamościowe prawa matematyczne wyłącznie w pionach.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q=1 - prawo Kubusia
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q=1 - prawo Kubusia
Oczywiście na mocy definicji mamy:
p=>q = ~p>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji.
W pionach mamy do czynienia z dwom izolowanymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne, ani w poziomie, ani po przekątnych!
Pod p i q w obu pionach możemy sobie podstawiać co nam się żywcem podoba.
Przykładowo:
Jeśli stwierdzimy warunek wystarczający w punkcie C1:
~p=>~q=1
oraz brak warunku wystarczającego w punkcie A1:
p=>q=0
To możemy być pewni iż nasze analizowane zdanie to piękna implikacja odwrotna, czyli coś fundamentalnie innego niż implikacja prosta czy też równoważność!
Przykład:
| Kod: |
A: P=>CH A1: CH~>P
P=>CH=~P~>~CH CH~>P=~CH=>~P
C: ~P~>~CH C1:~CH=>~P
|
A.
Jeśli jutro będzie padło to na pewno będzie pochmurno
P=>CH=1
... a jak nie będzie padło?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~CH~>P
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może nie być pochmurno
~CH~>~P=1
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P=1
... a jak nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
C1.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padało
~CH=>~P=1
To są jedyne tożsamości matematyczne zachodzące w kwadracie logicznym implikacji.
Na mocy definicji zachodzi:
P=>CH =~P~>~CH ## CH~>P = ~CH=>~P
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
W implikacji obowiązuje prawo kontrapozycji wyłącznie w tej formie:
P=>CH ## ~CH=>~P
czyli:
p=>q ## ~q=>~p
Znane matematykom prawo kontrapozycji w tej formie:
p=>q = ~q=>~p
obowiązuje i świetnie działa ... wyłącznie w równoważności!
Prawo kontrapozycji jest w matematyce bezużyteczne bo niczego nie dowodzi.
Na mocy powyższego kwadratu logicznego możemy udowodnić warunek wystarczający w dowolnym rogu kwadratu!
Czyli jeśli uznamy za zbyt trudny dowód w punkcie:
C1: ~CH=>~P=1
to możemy się przenieść do punktu:
A1: P=>CH=1
udowodnienie A1 jest automatycznym dowodem C1, bez żadnego bzdetu o nazwie „prawo kontrapozycji”.
Prawem kontrapozycji nie rozstrzygniemy kluczowego problemu:
Równoważność to czy implikacja
... dlatego prawo kontrapozycji jest w matematyce zbędne.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 22:35, 04 Lut 2012, w całości zmieniany 19 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35534
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 13:44, 31 Gru 2010 Temat postu: |
|
|
5.6 Algorytmy dowodzenia twierdzeń matematycznych
Definicja warunku wystarczającego => (wynikania)
| Kod: |
A: p=> q=1
B: p=>~q=0
|
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
gdzie:
=> - symbol warunku wystarczającego, spójnik „na pewno” => w całym obszarze matematyki
Trzy sposoby dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
Sprawdzamy czy dla każdego p zachodzi q
TAK, to koniec dowodu
2.
Szukamy jednego przypadku spełniającego A oraz jednego przypadku spełniającego B czyli:
| Kod: |
A: p~~> q=1
B: p~~>~q=1
|
gdzie:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy znaleźć jeden przypadek prawdziwy
Algorytm:
A1
Jeśli znajdziemy A i znajdziemy B to:
p=>q=0
A2
Jeśli znajdziemy A i wykluczymy B to:
p=>q=1
Przykład A1:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
P2~~>P8=1 bo 8
P2~~>~P8=1 bo 2
stąd:
P2=>P8=0
Przykład A2
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2=1 bo 8
P8~~>~P2=0 - nie ma takiej liczby
Stąd:
P8=>P2=1
3.
Szukamy jednego kontrprzykładu obalającego A:
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8=0 bo 2
W praktyce najprościej korzystać ze sposobu 3.
Algorytm dowodzenia równoważności
Rozważmy zdanie:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR=1
TR=>~KR=0
Oczywisty warunek wystarczający po udowodnieniu którego mamy taka sytuację
| Kod: |
Warunek wystarczający w logice dodatniej bo KR
TR=>KR=1 /1 1 =1
TR=>~KR=0 /1 0 =0
… a dalej mamy ciemność.
?????? /0 0 =x
?????? /0 1 =x
|
Jeśli zatem udowodniliśmy warunek wystarczający TR=>KR to mamy ciemność, o zdaniu A możemy powiedzieć tylko i wyłącznie iż jest to warunek wystarczający o definicji jak wyżej, żadna tam implikacja czy równoważność, bo jeszcze tego nie udowodniliśmy!
Tą ciemność możemy zamienić w jasność dwoma sposobami:
A.
Badamy warunek wystarczający dla zdania odwrotnego:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to na pewno => jest równoboczny
KR=>TR=1
KR=>~TR=0
i wszystko jasne, przemienność argumentów zachodzi zatem zdanie A to piękna równoważność
Dopiero teraz możemy zapisać to co niżej.
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(KR=>TR)=1*1=1
B.
Równoważne do powyższego jest rozświetlenie ciemności w powyższej tabeli.
| Kod: |
Warunek wystarczający w logice dodatniej bo KR
TR=>KR=1 /1 1 =1
TR=>~KR=0 /1 0 =0
Badamy warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~KR
… i mamy jasność bo:
~TR=>~KR=1 /0 0 =1
~TR=>KR=0 /0 1 =0
|
Tabele zero-jedynkowa równoważności otrzymujemy kodując tabele symboliczną zgodnie ze zdaniem A:
TR=>KR=1
TR=1, ~TR=0
KR=1, ~KR=0
Jak widzimy równoważny do A sposób to po prostu badanie kolejnego warunku wystarczającego w logice ujemnej.
Algorytm dowodzenia implikacji
Rozważmy zdanie:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2=1
P8=>~P2=0 bo 8
Oczywisty warunek wystarczający po udowodnieniu którego mamy taka sytuację
| Kod: |
Warunek wystarczający w logice dodatniej bo P2
P8=>P2=1 /1 1 =1
P8=>~P2=0 /1 0 =0
… a dalej mamy ciemność.
?????? /0 0 =x
?????? /0 1 =x
|
Jeśli zatem udowodniliśmy warunek wystarczający P8=>P2 to mamy ciemność, o zdaniu A możemy powiedzieć tylko i wyłącznie iż jest to warunek wystarczający o definicji jak wyżej, żadna tam implikacja czy równoważność, bo jeszcze tego nie udowodniliśmy!
Tą ciemność możemy zamienić w jasność dwoma sposobami:
A.
Badamy warunek wystarczający dla zdania odwrotnego:
P2=>P8=0 bo 0
i wszystko jasne, zachodzi brak przemienności argumentów zachodzi zatem zdanie A to piękna implikacja prosta.
Oczywiście równoważność gdzie zachodzi przemienność argumentów jest wykluczona.
P8<=>P2 = (P8=>P2)*(P2=>P8) = 1*0 =0
B.
Równoważne do powyższego jest rozświetlenie ciemności w powyższej tabeli!
| Kod: |
A.
Warunek wystarczający w logice dodatniej bo P2
P8=>P2=1 /1 1 =1
B.
P8=>~P2=0 /1 0 =0
Badamy warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~P2
… i mamy mam jasność bo:
~P8=>~P2=0 bo 2
Wniosek:
Zdanie P8=>P2 to piękna implikacja prosta
Koniec dowodu!
Dalej możemy już tylko z ciekawości sprawdzić prawem Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
czyli:
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2=1 bo 3 /0 0 =1
LUB
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
~P8~~>P2=1 bo 2 /0 1 =1
|
Tabele zero-jedynkową implikacji otrzymujemy kodując tabele symboliczną zgodnie ze zdaniem A:
P8=>P2=1
P8=1, ~P8=0
P2=1, ~P2=0
Jak widzimy równoważny do A sposób rozstrzygnięcia o implikacji to po prostu brak zachodzenia warunku wystarczającego w logice ujemnej.
5.7 Matematyczne związki w implikacji
1.
Przemienność argumentów w implikacji
W implikacji argumenty nie są przemienne.
Dowód formalny:
| Kod: |
p q p=>q q=>p ~p ~q ~p~>~q | p q p~>q q~>p ~p ~q ~p=>~q
1 1 =1 =1 0 0 =1 | 1 1 =1 =1 0 0 =1
1 0 =0 =1 0 1 =0 | 1 0 =1 =0 0 1 =1
0 0 =1 =1 1 1 =1 | 0 0 =1 =1 1 1 =1
0 1 =1 =0 1 0 =1 | 0 1 =0 =1 1 0 =0
Punkt odniesienia: | Punkt odniesienia:
p=>q =~p~>~q | p~>q = ~p=>~q
|
Brak tożsamości w kolumnach p=>q i q=>p oraz w kolumnach p~>q i q~>p jest dowodem braku przemienności argumentów w implikacji.
Oczywiście matematycznie na mocy definicji zachodzi:
p=>q = ~p~>~q # p~>q = ~p=>~q
To są dwa fundamentalnie różne punkty odniesienia (różne definicje), zatem nie wolno mieszać kolumn miedzy kreską „|”.
Po obu stronach kreski „|” zachodzą prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Oczywiście w obrębie tych dwóch różnych punktów odniesienia zachodzi brak przemienności argumentów.
Lewa strona znaku „|”:
p=>q # q=>p
Jeśli strona ma wartość logiczna 1 to druga musi być 0.
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
Zdanie odwrotne:
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
CH=>P=0
Prawa strona znaku „|”:
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P=1
czyli:
B.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1
Prawa strona tożsamości Kubusia jest prawdą, zatem z lewej strony musi zachodzić warunek konieczny ~>.
CH~>P=1
Zdanie odwrotne:
Jeśli jutro będzie padać to może być pochmurno
P~>CH
Prawo Kubusia:
P~>CH = ~P=>~CH=0
czyli:
B.
jeśli jutro nie będzie padać to na pewno => nie będzie pochmurno
~P=>~CH=0
Prawa strona tożsamości Kubusia jest fałszem, zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny ~>:
P~>CH=0
2.
Prawa Kubusia
W powyższej tabeli zero-jedynkowej mamy do czynienia z dwoma izolowanymi układami logicznym (oddzielonymi „|”) pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.
W obrębie każdego z tych układów zachodzą prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - lewa strona znaku „|”
p~>q = ~p=>~q - prawa strona znaku „|”
3.
Implikacje różne na mocy definicji
Możliwe są tu dwa przypadki:
A.
p=>q = ~p~>~q # p~>q = ~p=>~q
# - różne na mocy definicji, zdanie prawdziwe po jednej stronie znaku # wymusza zdanie fałszywe po drugiej stronie #.
Dla tych samych parametrów p i q jeśli zdanie po lewej stronie znaku # jest prawdziwe to zdanie po drugiej stronie znaku # musi być fałszywe
Przykład:
P8=>P2 = ~P8~>~P2=1 # P8~>P2 = ~P8=>~P2 =0 bo 2
P2=>P8 = 0 bo 2
P2=>P8 = ~P2~>~P8 =0 # P2~>P8 = ~P2=>~P8=1
B.
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
## - rożne na mocy definicji, możliwe są zdania prawdziwe po obu stronach znaku ##
## - po obu stronach znaku ## mamy zdania prawdziwe, ale na mocy definicji nie równoważne
Dla dowolnych parametrów p i q możliwa jest sytuacja że zdania po obu stronach znaku ## będą prawdziwe.
Przykład:
P8=>P2 = ~P8~>~P2=1 ## P2~>P8 = ~P2=>~P8=1
C.
Równoważność
Zauważmy, że w równoważności niemożliwe są zdania typu A, bowiem w równoważności zachodzi przemienność argumentów. Także warunki wystarczające i konieczne występują w równoważności jednocześnie.
Przykład:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR
TR~>KR = ~TR=>~KR = KR~>TR = KR=>TR itd
5.8 Algebra zbiorów rozłącznych
Definicja zdania prawdziwego:
1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe
A.
Pies ma 8 łap
P8=0
bo zbiór psów z 8 łapami jest zbiorem pustym
B.
Jeśli pies ma 8 łap to Księżyc krąży dookoła Ziemi
8L=>KK=0
Z dwóch powodów!
8L*KK=0 - bo zbiory rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów rozłącznych jest zbiorem pustym
8L*KK=0 - bo zbiór 8L jest zbiorem pustym, zaś iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym.
Klasyczne operatory Boole’a obowiązują bez zastrzeżeń dla zbiorów mających część wspólną i totalnego braku determinizmu, czyli nie możemy znać z góry ani wartości logicznej ani p, ani q!
Zacznijmy spójnika „lub”(+) będącego „połówką” operatora OR:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
gdzie:
+ - spójnik „lub” (nie operator OR!)
* - spójnik „i” (nie operator AND!)
Dowód w zbiorach:
Definicja spójnika „lub”(+) w zbiorach w logice dodatniej (bo Y):
A.
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Definicja równoważna na podstawie powyższego diagramu:
A1.
Y=p*q + p*~q + ~p*q
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
stąd:
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Zacznijmy od klasyki
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Rozwijamy na mocy powyższej definicji spójnika „lub”(+):
Y=K+T = K*T + K*~T + ~K+T
gdzie:
Y =1 - dotrzymam słowa gdy:
K*T=1 - jutro pójdę do kina (K) i do teatru (T)
lub
K*~T=1 - jutro pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)
lub
~K*T=1 - jutro nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)
Oczywiście póki co wszystkie kolorowe obszary wyżej są aktywne bo nie wiemy co będzie jutro.
Oczywiście jeśli pojutrze zajdzie Y=1 (dotrzymałem słowa), to zostanie wyłącznie jeden kolorowy obszar (prawda), zaś dwa pozostałe będą białe (fałsz).
Przeszłość = 100% determinizm
Nie ma innych możliwości matematycznych!
Weźmy teraz zdanie:
A.
Dowolny człowiek jest mężczyzną lub kobietą
Y=M+K
Rozwijamy definicja spójnika „lub”(+):
Y = M+K = M*K + M*~K + ~M*K
Oczywiście M i K to zbiory rozłączne, zatem ich iloczyn logiczny jest zbiorem pustym:
M*K=0
Zauważmy, że klasyczna algebra Boole’a obowiązująca dla zbiorów nierozłącznych leży w gruzach bo:
Y = M+K := M*~K + ~M*K
Funkcja po minimalizacji jest różna od M+K, stąd znak :=
Funkcja:
Y=p*~q+~p*q
to oczywiście operator XOR, stąd nasze zdanie po minimalizacji:
Dowolny człowiek jest mężczyzną albo kobietą
Zacznijmy od definicji zbiorów rozłącznych wykorzystując do tego celu definicję sumy logicznej z klasycznej algebry Boole’a:
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Jeśli z założenia zbiory p i q są rozłączne to ich iloczyn logiczny jest zbiorem pustym:
p*q=0
stąd:
Y=p+q := p*~q +~p*q
Zauważmy ten znak:
:= - znak redukcji do funkcji minimalnej
Oczywiście jeśli zbiory p i q są rozłączne to zachodzi:
1.
Definicja zbioru rozłącznego:
Y=p+q := p*~q+~p*q = pXORq
2.
Y=p*~q :=p
Y=~p*q :=q
3.
Y=p+~q :=~q
Y=~p+q :=~p
gdzie:
:= - znak redukcji do funkcji minimalnej
Wszystkie powyższe funkcje są funkcjami minimalnymi których nie da się uprościć.
Zauważmy, że do funkcji po znaku redukcji := nie da się dojść klasyczną algebrą Kubusia.
Spróbujmy pobawić się równaniem 3.
Y=p+~q :=~q
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q+p*~q+~p*q
stąd:
Y=p+~q = p*~q+p*q+~p*~q = p(~q+q) + ~p*~q = p*1 + ~p*~q = p+~p*~q
Y=p+~p*~q
Przechodzimy do logiki ujemnej (~Y) poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+q) = ~p*p + ~p*q = 0+~p*q = ~p*q
~Y=~p*q
Przechodzimy do logiki dodatniej (Y):
Y = p+~q
Badana funkcja jest funkcją minimalną.
cnd
3.
Y=p+~q :=~q
Zauważmy, że minimalizacji do funkcji ~q dokonaliśmy na gruncie teorii zbiorów rozłącznych a nie na gruncie klasycznej algebry Kubusia.
Przykład wykorzystania:
2.
Jeśli zwierzę jest psem i nie jest koniem to ma cztery łapy
P*~K=>4L
po redukcji:
Jeśli zwierze jest psem to ma cztery łapy
P=>4L=1
3.
Jeśli zwierzę jest psem lub nie jest koniem to ma cztery łapy
P+~K=>4L
po redukcji:
Jeśli zwierze nie jest koniem to ma cztery łapy
~K=>4L=0 bo kura
Ciekawostką jest fakt, że można wykorzystywać definicję zbioru rozłącznego:
Y = p*~q+~p*q
w dowodzeniu złożonych twierdzeń.
[(p*~q+~p*q)=>r] = [(p*~q=>r)*(~p*q=>r)
Oczywiście ten dowód można wykonać zarówno na gruncie rachunku zero-jedynkowego, jak i na gruncie równań algebry Kubusia.
Zacznijmy od równań.
Oznaczmy:
a=p*~q
b=~p*q
Stąd nasze prawo przybierze postać:
(a+b=>r) = [(a=>r)*(b=>r)]
Lewa strona tożsamości:
L: a+b=>r = ~(a+b)+r = ~a*~b+r
Prawa strona tożsamości:
P: (a=>r)*(b=>r) = (~a+r)*(~b+r) = ~a*~b + ~a*r + ~b*r + r = ~a*~b + r*(~a+~b+1) = ~a*~b+r
Wykorzystane prawa:
r*r=r
r=r*1
x+1=1
gdzie:
x - dowolnie długa funkcja logiczna
Oczywiście zachodzi:
L=P
cnd
Dowód zero-jedynkowy pozostawiam czytelnikowi.
Przykład:
A.
Jeśli zwierze jest psem lub kotem to na pewno => ma cztery łapy
(P+K=>4L) = [(P=>4L)*(K=>4L)]
Jeśli prawdziwe jest zdanie A to na pewno prawdziwe są zdania B i C (odwrotnie również zachodzi):
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L=1
i
C.
Jeśli zwierzę jest kotem to na pewno ma cztery łapy
K=>4L=1
Zauważmy, że dla zbiorów rozłącznych wykluczona jest równoważność, bowiem w równoważności zbiór p musi być tożsamy ze zbiorem q.
Definicja równoważności:
| Kod: |
p q Y=p<=>q=p*q+~p*~q
/Zbiory
A: 1 1 =1 /Y=p*q
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1 /Y=~p*~q
D: 0 1 =0
1 2 3
|
Dla zbiorów rozłącznych zachodzi:
p*q=0
Zatem w linii A123 będziemy mieli Y=0, natomiast równanie logiczne równoważności przybierze postać:
p<=>q =p*q + ~p*~q :=~p*~q
gdzie:
:= - symbol redukcji do funkcji minimalnej
cnd
Przykład:
2+2=4 wtedy i tylko wtedy gdy wszyscy murzyni są czarni
224<=>MC
p nie ma nic wspólnego z q, zatem są to zbiory rozłączne.
224*MC=0
Ta równoważność jest fałszywa
Implikacja działa natomiast w sposób naturalny dla zbiorów p i ~q:
p*~q - zbiór p zawiera się w całości w zbiorze ~q
Warunek wystarczający spełniony
Przykład:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => nie jest koniem
Zdanie równoważne w języku potocznym:
Pies to nie koń
P=>~K = ~(P*K)
1 1 =1
Gwarancja:
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i jest koniem
~(P*K)
Bycie psem gwarantuje że nie jestem koniem
Zbiór P zawiera się w całości w zbiorze K
B.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => jest koniem
P=>K=0 - zbiory rozłączne
1 0 =0
.. a jeśli zwierze nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~K = ~P~>K
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może być koniem
~P~>K=1 bo koń
0 0 =1
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym aby być koniem
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie być koniem
~P~~>~K=1 bo kura
0 1 =1
Doskonale widać definicję implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym
P=1, ~P=0
~K=1, K=0
Wykluczony jest warunek konieczny ~> w zdaniu D bo prawo Kubusia:
D: ~P~>~K = B: P=>K=0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie może być spełniony warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Weźmy jeszcze jedno ciekawe zdanie:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno nie jest samochodem
W języku potocznym:
Pies to nie samochód
P=>~S=1
1 1 =1
Bycie psem wystarcza aby nie być samochodem
B.
P=>S=0
1 0 =0
... a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~S = ~P~>S
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może być samochodem
~P~>S=0 - niemożliwe
0 0 =0
Tu nawet ten symbol ~~> nie pomoże:
~P~~>S=0 - nie istnieje zwierze które jest samochodem
Koniec analizy!
Nie ma sekwencji:
0 0 =0
ani w implikacji prostej, ani w odwrotnej, ani w równoważności!
Kodowanie zero-jedynkowe dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A:
P=1, ~=0
~S=1, S=0
Zdanie A nie jest implikacją prostą bo nie spełnia definicji zero-jedynkowej, czyli jest implikacją prostą fałszywą.
Zdanie A to tylko i wyłącznie prawdziwy warunek wystarczający =>, który może istnieć samodzielnie o definicji.
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
Z czego wynika że p jest wystarczające dla q
Z czego wynika że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
5.9 Operator implikacji prostej zdefiniowany spójnikiem “i”(*)
Definicja zero-jedynkowa operatora implikacji prostej:
| Kod: |
p q Y= p=>q ~Y=~(p=>q)
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
1 1 =1 /p=>q=1 =0
1 0 =0 /p=>~q=0 =1
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
0 0 =1 /~p~>~q=1 =0
0 1 =1 /~p~~>q=1 =0
|
Najprostsza definicję implikacji prostej wyrażoną w spójniku „i”(*) otrzymamy z drugiej linii:
A.
~Y = ~(p=>q) = p*~q
czyli:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p i nie zajdzie q
… a kiedy dotrzymam słowa ?
Negujemy równanie a dwustronnie:
B.
Y=p=>q = ~(p*~q)
czyli:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…), że zajdzie p (p=1) i nie zajdzie q (~q=1)
Wyrażenie implikacji prostej w spójniku „i”(*) to największa tragedia matematyczna w historii ludzkości.
Zauważmy, że mamy tu poprawną wiedzę kiedy nie skłamiemy, ale nie mamy informacji o gwarancji matematycznej, istocie definicji implikacji!
Weźmy doskonale znany nam przykład:
Warunek wystarczający => !
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1 bo pies – gwarancja matematyczna, twarda prawda, zachodzi zawsze bez wyjątków
Bycie psem wystarcza aby mieć cztery łapy
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L=0 – twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie z powyższej twardej prawdy
… a jeśli zwierze nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Warunek konieczny ~> !
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura – miękka prawa, może zajść ale nie musi
D.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo słoń – miękka prawda, może zajść ale nie musi
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym:
A: P=>4L
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
Otrzymamy tabele zero-jedynkową implikacji prostej:
| Kod: |
A: P=>4L =1 /1 1 =1
B: P=>~4L =0 /1 0 =0
… a jeśli zwierze nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
C: ~P~>~4L=1 /0 0 =1
D: ~P~~>4L=1 /0 1 =1
|
Jak działa implikacja ?
Na początku wszystkie pudełka A,B,C,D maja wartość logiczną 0, czyli fałsz.
Losujemy po kolei wszystkie ziemskie zwierzęta i wkładamy je do odpowiednich pudelek.
Oczywiście po przeiterowaniu po wszystkich zwierzakach wyłącznie pudełko B będzie puste (fałsz=0), pozostałe będą niepuste (prawda=1), stąd taki a nie inny rozkład wynikowych jedynek w definicji implikacji.
Traktowanie operatora implikacji prostej spójnikiem „i”(*) zrównuje matematycznie bezcenną twardą prawdę (zdanie A = gwarancja matematyczna) z prawdami miękkimi w zdaniach C i D (rzucanie monetą).
Zdanie A wyrażone przy pomocy spójnika „i”(*) przybierze brzmienie:
p=>q = ~(p*~q)
Nasz przykład:
P=>4L = ~(P*~4L)
czyli:
A1.
Nie może się zdarzyć ~(…), że zwierze jest psem (P=1) i nie ma czterech łap (~4L=1)
~(P*~4L)
Poza tym wszystko może się zdarzyć !
Czyli wszystkie wynikowe jedynki w powyższej tabeli zero-jedynkowej są tak samo prawdopodobne, gubimy tu istotą implikacji, czyli do jednego worka wrzucamy bezcenną twardą prawdę (zdanie A) i dwie prawdy miękkie czyli rzucanie monetą (zdania C i D).
Zauważmy, że nikt normalny mając do wyboru zdania A i równoważne zdanie A1 nie wypowie zdania A1, bo nie będzie z siebie robił idioty. Zdanie A1 może być użyte w szczególnych okolicznościach np. gdy uczymy 3-latka naturalnego języka mówionego, algebry Kubusia.
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N – implikacja prosta na mocy definicji
Definicja groźby:
jeśli dowolny warunek to kara
W~>K – implikacja odwrotna na mocy definicji
Tata:
A.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C=1
Jaś (lat 3):
… a jeśli nie będę grzeczny ?
W mózgu taty generowane jest prawo Kubusia:
G=>C = ~G~>~C
Tata:
C.
Jeśli nie będziesz grzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C=1
LUB
D.
Jeśli nie będziesz grzeczny to dostaniesz czekoladę
~G~~>C=1 – akt miłości, prawo do wręczenia czekolady mimo nie spełnionego warunku nagrody
Oczywiście tata wypowiada wyłącznie zdanie C, które to zdanie jest ewidentna groźbą z domyślnym na mocy definicji groźby spójnikiem „może” ~>, który nie musi być wypowiedziany.
Jaś:
Tata, a czy może się zdarzyć że będę grzeczny i nie dostane czekolady ?
Tata:
Nie może się zdarzyć ~(…), że będziesz grzeczny (G=1) i nie dostaniesz czekolady (~C=1)
G=>C = ~(G*~C)
Tylko i wyłącznie w takim przypadku sensowne jest wypowiedzenie zdania A1.
Zdanie wytłuszczone wyżej („poza tym wszystko może się zdarzyć”) to kluczowy błąd matematyczny, zrównującym prawdy w zdaniach A, C, D. W tym przypadku mamy fałszywy obraz implikacji prostej, zrównujący 100% pewność (zdanie A) z najzwyklejszym rzucaniem monetą (zdania C i D).
Dokładnie to generuje głupoty w stylu:
„z fałszu może powstać prawda” itp.
Oczywiście w rzeczywistości nie ma mowy aby z prawdy powstał fałsz, jak również nie ma mowy aby z fałszu powstała prawda.
Taka jest jedyna poprawna matematyka naszego Wszechświata, algebra Kubusia.
6.0 Rachunek zero-jedynkowy i równania logiczne
Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia to algebra Boole’a z uwzględnieniem logiki dodatniej i ujemnej.
W algebrze Kubusia spójniki zdaniowe to naturalne spójniki „i”(*) oraz „lub”(+) z potocznego języka mówionego, to nie są operatory logiczne!
To dwie fundamentalne różnice między algebrą Kubusia a algebrą Boole’a.
Algebra Kubusia w zakresie operatorów OR i AND to rachunek zero-jedynkowy
Plus te definicje:
Zmienna binarna:
Zmienna binarna (wejście cyfrowe w układzie logicznym) to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości:
0 albo 1
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q
Zwyczajowo funkcję logiczną oznaczamy literą „Y”, zaś zmienne binarne pozostałymi literami alfabetu, ale nie ma tu żadnego dogmatu.
Definicja spójnika „i”:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
1*1*1…*1 =1
1*0*1…*1 =0
Zauważmy że mamy tu 100% analogię do mnożenia znanego ze szkoły podstawowej, stąd nazwa „iloczyn logiczny”. Oczywiście znaczek „*” nie ma nic wspólnego z mnożeniem, to po prostu symbol spójnika „i” z naturalnego języka mówionego.
Definicja spójnika „lub”(+):
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
0+0+0….+0 =0
1+1+0….+0 =1
Mamy tu „drobną” różnicę w stosunku do dodawania znanego ze szkoły podstawowej. Oczywiście znaczek „+” nie ma nic wspólnego z dodawaniem, to spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.
Najważniejsze prawa algebry Kubusia wynikające z powyższych definicji
Spójnik „i”(*):
1*0=0
1*1=1
p*0=0
p*1=p
p*p=p
p*~p=0
Spójnik „lub”(+):
1+0=1
0+0=0
p+1=1
p+0=p
p+p=p
p+~p=1
Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1
Przydatne prawa dodatkowe
Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r
Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r
Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s
Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)
Powyższe prawa plus prawo przejścia do logiki przeciwnej są wystarczające dla minimalizacji wszelkich funkcji logicznych.
Definicja bramki logicznej:
Bramka logiczna to układ fizyczny o n wejściach (p,q,r…) i tylko jednym wyjściu (Y) realizujący ściśle określoną funkcje logiczną
Bramka logiczna = funkcja logiczna
Przykład funkcji logicznej:
Y=p+q(r+~s)
Zarówno wejścia logiczne (p,q,r,s…) jak i wyjście logiczne Y to zmienne binarne mogące przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości, zero albo 1.
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND
Y - funkcja logiczna w logice dodatniej (brak przeczenia)
~Y - funkcja logiczna w logice ujemnej (jest przeczenie)
Prawo przejścia do logiki przeciwnej (prawo przedszkolaka):
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, spójnik „i”(*), spójnik „lub”(+)
Metoda Wuja Zbója:
Dana jest funkcja logiczna
Y=p+q(~r+s)
A:
Uzupełniamy nawiasy i spójniki:
Y = p+[q*(~r+s)] – logika dodatnia bo Y
B:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
~Y = ~p*[~q+(r*~s)] – logika ujemna bo ~Y
Zauważmy, że w logice ujemnej zmienia się kolejność wykonywania działań, stąd konieczność uzupełnienia nawiasów w A.
6.1 Minimalizacja równań algebry Kubusia
Minimalizacja funkcji logicznych to tylko i wyłącznie prawa logiczne podane w poprzednim punkcie. Klasyczny rachunek zero-jedynkowy jest bezużyteczny w minimalizacji funkcji logicznych, może co najwyżej służyć do weryfikacji poprawności przekształceń równań algebry Kubusia.
Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
| Kod: |
p q Y=p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 1 =1
0 0 =0
|
Zero-jedynkowa definicja operatora AND:
| Kod: |
p q Y=p+q
1 1 =1
1 0 =0
0 1 =0
0 0 =0
|
Podstawowe metody dowodzenia praw logicznych poznamy na przykładzie banalnych praw rachunku zero-jedynkowego.
Absorpcja:
p+(p*q)=p
1.
Dowód z wykorzystaniem najprostszych praw logiki:
Y=p+p*q = p*1+p*q
bo prawo algebry Kubusia:
p*1=p
Wyciągamy p przed nawias:
Y=p(1+q) =p*1=p
bo prawo algebry Kubusia:
1+q=1
p*1=p
Jak widzimy w tym przypadku prawo absorpcji jest zbędne.
2.
Dowód metodą rachunku zero-jedynkowego:
| Kod: |
p q p*q p+p*q
1 1 =1 =1
1 0 =0 =1
0 1 =0 =0
0 0 =0 =0
|
Tożsamość kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem zachodzenia prawa absorpcji:
p+p*q = p
Zauważmy, że przy wypełnianiu tabeli zero-jedynkowej korzystamy wyłącznie z dwóch definicji.
Definicja spójnika „i”(*)
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
Definicja spójnika „lub”(+):
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa jeden gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Oczywiście w liniach które nie spełniają powyższych definicji zapisujemy w wyniku 0.
Koniec !
Absolutnie nic więcej nie jest nam potrzebne do poprawnego wypełnienia tabeli zero-jedynkowej dowolnej funkcji logicznej.
3.
Dowód metodą bramek logicznych (funkcji logicznej Y):
Y=p+(p*q)
Jeśli p=1 to Y=p+(p*q)=1+(p*q)=1+x=1
Jeśli p=0 to Y=p+(p*q)=0+(0*q)=0+0=0
niezależnie od wartości q
stąd:
Y=p+(p*q)=p
cnd
Absorpcja:
p*(p+q)=p
1.
Dowód z wykorzystaniem najprostszych praw logiki:
Y=p*(p+q)=p
Y=p*p+p*q = p+p*q = p*1 + p*q = p(1+q)=p
Wykorzystane prawa:
Mnożenie wielomiany przez zmienną p
p*1=p
Wyciagnięcie zmiennej p przed nawias
1+q=q
cnd
2.
Dowód metodą rachunku zero-jedynkowego:
p*(p+q)=p
| Kod: |
p q p+q p*(p+q)
1 1 =1 =1
1 0 =1 =1
0 1 =1 =0
0 0 =0 =0
|
Tożsamość kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem zachodzenia prawa absorpcji:
p*(p+q) = p
Porównajmy dwa prawa absorpcji:
p+(p*q )=p
p*(p+q)=p
Wniosek:
Wszelkie prawa rachunku zero-jedynkowego są dualne.
Jeśli jesteśmy pewni jednego np.
p+(p*q)=p
To drugie uzyskujemy wyłącznie przez wymianę spójników, bez negowania zmiennych.
p*(p+q) =p
Ten banalny wniosek, pozwala na pamięciową naukę połowy wszystkich praw algebry Kubusia.
Do minimalizacji dowolnej funkcji logiczne wystarczą podstawowe prawa logiczne podane w poprzednim punkcie.
3.
Dowód metoda bramek logicznych (funkcji logicznej Y):
Y=p*(p+q)
Jeśli p=1 to Y=p*(p+q)= 1*(1+q)=1*1=1
Jeśli p=0 to Y=p*(p+q)=0*(p+q)=0
niezależnie od wartości q.
stąd:
Y=p*(p+q)=p
cnd
Rozdzielność:
p+(q*r) = (p+q)*(p+r)
Prawo symetryczne uzyskane metodą wymiany spójników:
p*(q+r) = (p*q)+(p*r)
Uwaga:
Zasady mnożenia wielomianów w algebrze Kubusia są identyczne jak w matematyce klasycznej, mnożymy każdy element z każdym.
1.
p+(q*r) = (p+q)*(p+r)
Dowód metodą mnożenia wielomianów plus prawo absorpcji:
Y=(p+q)*(p+r) = p*p+p*r+q*p+q*r
p*p=p
stąd:
Y== (p+p*r)+p*q+q*r
p+p*r=p - absorpcja
stąd:
Y=p+p*q+q*r
p+p*q=p - absorpcja
stąd:
Y=p+q*r = p+(q*r)
cnd
2.
p+(q*r) = (p+q)*(p+r)
Dowód z wykorzystaniem najprostszych praw logiki:
Y=(p+q)*(p+r) = p*p+p*r+q*p+q*r = p + p*r + p*q +q*r = p*1 + p*r + p*q + q*r
bo:
p*p=p
p=p*1
Wyciągamy p przed nawias:
Y = p(1+r+q) + q*r = p*1+q*r = p+q*r
bo prawo algebry Kubusia:
1+x=1
gdzie:
x - dowolnie długa i dowolnie skomplikowana funkcja logiczna
p*1=1
Y = p+q*r
cnd
Jak widzimy, w tym przypadku prawo absorpcji jest zbędne, w każdym innym też!
3.
p+(q*r) = (p+q)*(p+r)
Ten sam dowód metodą bramek logicznych:
Y=(p+q)*(p+r)
Jeśli p=0 to Y=q*r
Jeśli p=1 to Y=(1+q)*(1+r) = 1*1=1
stąd:
Y=p+q*r = p+(q*r)
Suma logiczna jest tu wymuszona przez przypadek:
Jeśli p=1 to Y=1
cnd
Rozdzielność:
p*(q+r)=(p*q)+(p*r)
1.
p*(q+r)=(p*q)+(p*r)
To jest najzwyklejsze mnożenie zmiennej przez wielomian znane z matematyki klasycznej
cnd
2.
p*(q+r)=(p*q)+(p*r)
Dowód przez przejście do logiki ujemnej plus redukcja przy pomocy prawa absorpcji:
Y=(p*q)+(p*r)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów:
~Y=(~p+~q)*(~p+~r) = ~p*~p+~p*~r+~q*~p+~q*~r
Prawo algebry Kubusia:
~p*~p=~p
stad:
~Y=~p+~p*~r+~q*~p+~q*~r
~p+~p*~r=~p - absorpcja
stąd:
~Y=~p+~p*~q + ~q*~r
~p+~p*~q=~p - absorpcja
stąd:
~Y = ~p + ~q*~r
Przejście do logiki dodatniej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów:
Y=p(q+r)
cnd
3.
Dowód z wykorzystaniem najprostszych praw logiki:
p*(q+r)=(p*q)+(p*r)
Prawa strona:
Y=(p*q)+(p*r)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów:
~Y=(~p+~q)*(~p+~r) = (~p*~p+~p*~r)+(~q*~p+~q*~r )= ~p + ~p*~r +~p*~q +~q*~r
bo:
~p*~p=~p
~Y = ~p*1 + ~p*~r +~p*~q +~q*~r
bo:
~p=~p*1
Wyciągamy ~p przed nawias:
~Y = ~p*(1+~r+~q) + ~q*~r = ~p*1 + ~q*~r = ~p+~q*~r
bo:
1+x=1
gdzie:
x - dowolnie długa funkcja logiczna
~p*1=~p
stąd mamy:
~Y = ~p + ~q*~r
Przechodzimy do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
Y=p*(q+r)
cnd
Uwaga:
Ten sposób dowodzenia praw logicznych będzie w tym podręczniku preferowany, bo pozwala on wywalić w kosmos wszelkie prawa niezrozumiałe dla ludzi przyzwyczajonych do matematyki klasycznej, jak choćby prawo absorpcji.
p+p*q = p
Mnożenie wielomianów i wyciąganie zmiennej przed nawias jest identyczne w algebrze Kubusia i matematyce klasycznej, zatem tu nikt nie powinien mieć problemów.
4.
Dowód metodą rachunku zero-jedynkowego:
p*(q+r)=(p*q)+(p*r)
| Kod: |
p q r q+r p(q+r) p*q p*r (p*q)+(p*r)
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 0 1 1 1 0 1 1
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
X Y
|
Tożsamość kolumn X i Y jest dowodem zachodzenia prawa rozdzielności:
p(q+r) = (p*q)+(p*r)
5.
p*(q+r)=(p*q)+(p*r)
Dowód metodą bramek logicznych:
Y=(p*q)+(p*r)
Jeśli p=0 to Y=(0*q)+(0*r) = 0+0=0
jeśli p=1 to Y=(1*q)+(1*r) = q+r
stąd:
Y=p*(q+r)
Iloczyn logiczny jest tu wymuszony przez przypadek:
Jeśli p=0 to Y=0
cnd
6.2 Operatory logiczne w równaniach logicznych
Prawa Kubusia to w rzeczywistości definicje operatorów implikacji prostej i odwrotnej:
p=>q = ~p~>~q - definicja implikacji prostej
p~>q = ~p=>~q - definicja implikacji odwrotnej
Dowodem są tu oczywiście symboliczne definicje tych operatorów podane wyżej.
Prawa de’Morgana to nic innego jak definicje OR i AND w równaniach logicznych:
p+q = ~(~p*~q) - definicja operatora OR
p*q = ~(~p+~q) - definicja operatora AND
Wyobraźmy sobie, że trzymamy układ scalony SN7432 realizujący fizycznie operator OR o takiej definicji:
Y=p+q
Gdyby operator OR nie zawierał w środku zero-jedynkowej definicji operatora AND to nie mielibyśmy najmniejszych szans aby operator OR zamienić w bramkę AND.
Dlaczego i jak można zrobić z operatora OR operator AND?
.. ano dlatego:
Y = p+q = ~(~p*~q) - to jest kompletna definicja operatora OR!
Dowód 1:
Negujemy zmienne na razie zmienne wejściowe p i q:
Y = ~p+~q = ~[~(~p)*~(~q)] = ~(p*q)
czyli mamy:
Y = ~p+~q = ~(p*q)
dokładamy negator na wyjściu Y:
~Y = ~(~p+~q) = ~[~(p*q)] = p*q
Efekt końcowy:
~Y = ~(~p+~q) = p*q
Jak widzimy negując wejście p i q oraz wyjście Y zrobiliśmy z bramki logicznej OR, bramkę logiczną AND!
Oczywiście nigdy byśmy tego nie osiągnęli gdyby bramka OR nie zawierała w sobie zero-jedynkowego kodu bramki AND widocznego po negacjach jak wyżej.
Przy okazji mamy dowód że operator OR (Y) jest logiką przeciwną do operatora AND (~Y).
Dowód ekstra:
Operator OR genialnie opisuje w równaniu logicznym wszelkie obietnice (pkt 12.0) ale groźby już nie.
Groźby genialnie opisuje operator AND.
Oczywiście obietnica:
p=>q = ~p~>~q
Ja tego chcę, pragnę nagrody
Jest logika przeciwną do groźby:
P~>q = ~p=>~q
Ja tego nie chcę, uciekam od kary
Dowód 2:
Y = p+q = ~(~p*~q) - to jest kompletna definicja operatora OR!
Z powyższego mamy układ równań:
Y=p+q
Y=~(~p*~q)
ostatnie równanie negujemy stronami otrzymując układ równań:
Y=p+q
~Y = ~p*~q
Na mocy definicji spójnika „lub”(+) mamy:
Y=p+q = p*q+p*~q+~*q
Dowód w zbiorach:
Definicja spójnika „lub”(+) w zbiorach w logice dodatniej (bo Y):
A.
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Definicja równoważna na podstawie powyższego diagramu:
A1.
Y=p*q + p*~q + ~p*q
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
stąd:
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Ustawiamy to wszystko w tabeli zero-jedynkowej otrzymując symboliczna definicję operatora OR:
| Kod: |
Definicja | |
Symboliczna | |
Operatora OR |Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR
W: Y=p+q |Y=p*q+p*~q+~p*q | |
|p q Y=p+q | ~p ~q ~Y=~p*~q |Y=~(~p*~q)
A: p* q= Y |1 1 =1 /p*q =Y | 0 0 =0 | =1
B: p*~q= Y |1 0 =1 /p*~q=Y | 0 1 =0 | =1
C: ~p* q= Y |0 1 =1 /~p*q=Y | 1 0 =0 | =1
Skłamię: ~Y=1
D: ~p*~q=~Y |0 0 =0 | 1 1 =1 /~p*~q=~Y | =0
1 2 3 4 5 6 7
Punkt odniesienia = zdanie z nagłówka tabeli:
|p=1, ~p=0 | ~p=1, p=0
|q=1, ~q=0 | ~q=1, q=0
|Y=1, ~Y=0 | ~Y=1, Y=0
|
Jak widzimy to czy z bramki OR uzyskamy zero-jedynkową definicje operatora OR (ABCD123) czy też zero-jedynkowa definicję operatora AND (ABCD456), zależy od punktu odniesienia.
Oczywiście świat bramek logicznych jest debilny i widzi wyłącznie zera i jedynki, totalnie nie widząc symbolicznej definicji operatora OR, jak też nie mając bladego pojęcia co te zera i jedynki w rzeczywistości oznaczają.
Oczywiście zabawa z bramką AND będzie totalnie symetryczna.
Na zakończenie ciekawy finał
.. będący dowodem że znaczki „lub”(+) i „i”(*) nie są operatorami logicznymi!
6.3 Logika zero
Osiem równań logicznych dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej
Dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy ułożyć osiem rożnych równań algebry Kubusia w spójnikach „i”(*) i „lub”(+). Cztery w logice zgodnej z logiką człowieka i cztery w logice zero, totalnie przeciwnej do logiki człowieka.
Logika człowieka i logika zero są matematycznie tożsame, tak wiec w rzeczywistości dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy utworzyć cztery różne równania algebry Kubusia.
Jednak kolejne cztery równania otrzymamy negując dwustronnie otrzymane wyżej cztery równania, tak więc koniec końców mamy osiem równań.
Cztery w logice dodatniej (Y) i cztery w logice ujemnej (~Y).
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Y = ~(~Y)
Wszystkie równania w logice dodatniej (Y) są matematycznie równoważne gdzie tylko jedno z nich jest funkcja minimalną:
Y=p+q
Podobnie wszystkie równania w logice ujemnej (~Y) są matematycznie równoważne, gdzie tylko jedno z nich jest funkcją minimalną:
~Y=~p*~q
Oczywiście równania te są fundamentem logiki każdego 5-cio latka.
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
Dowód powyższych twierdzeń:
Podstawa matematyczna:
Definicja zero-jedynkowa operatora OR:
| Kod: |
p q Y=p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
1 2 3
|
Definicja spójnika „lub”(+):
Suma logiczna (spójnik „lub”) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1.
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>p=1 lub q=1
Obszar działania: ABC123
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zero:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+)) n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Y=p+q
Y=0 <=>p=0 i q=0
Obszar działania: D123
Logika zero jest totalnie sprzeczna z logika człowieka bowiem w równaniu mamy spójnik „lub”(+), natomiast w rozwinięciu słownym spójnik „i”.
Definicja zero-jedynkowa operatora AND:
| Kod: |
p q Y=p*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 1 =0
D: 0 0 =0
1 2 3
|
Definicja spójnika „i”(*):
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=>p=1 i q=1
Obszar działania: A123
Definicja spójnika „i”(*) w logice zero:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*)) n-zmiennych binarnych jest równy 0 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 0.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=0 <=>p=0 lub q=0
Obszar działania: BCD123
Logika zero jest totalnie sprzeczna z logiką człowieka bowiem w równaniu mamy spójnik „i”(*), natomiast w rozwinięciu słownym spójnik „lub”.
Koronny przykład:
Ułożymy wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla zero-jedynkowej definicji operatora OR.
| Kod: |
/Logika człowieka /Logika zero
p q Y=p+q /Y=p*q+p*~q+~p*q /~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
A: 1 1 =1 / Y= p* q /~Y=~p+~q
B: 1 0 =1 / Y= p*~q /~Y=~p+ q
C: 0 1 =1 / Y=~p* q /~Y= p+~q
D: 0 0 =0 /~Y=~p*~q / Y= p+q
1 2 3
|
Równania w naturalnej logice człowieka:
1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek w obszarze ABC123:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
2.
Przechodzimy do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
3.
Sprowadzamy linię D123 do jedynek:
~Y = ~p*~q
4.
Przechodzimy do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
Równania w logice zero:
1A.
W poziomach sprowadzamy wszystkie zmienne w obszarze ABC123 do zera stosując definicje sumy logicznej w logice zero.
A: ~Y = ~p+~q
B: ~Y = ~p+q
C: ~Y = p+~q
Oczywiście jeśli w poziomach mamy sumę logiczną w logice zero to w pionach musimy mieć iloczyn logiczny w logice zero.
Stąd końcowe równanie:
1A.
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
Przechodzimy do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
2A.
Y = p*q + p*~q + ~p*q
3A.
Linia D123 w logice zero:
Y=p+q
4A.
Przechodzimy do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów:
~Y = ~p*~q
Jak widzimy równania matematyczne w logice człowieka i logice zero mamy dokładnie te same, co jest dowodem równoważności obu powyższych definicji.
Jest oczywiste, że wybieramy sobie definicje zgodne z naturalną logiką człowieka, natomiast definicje w logice zero wywalamy w kosmos.
Cztery dalsze równania dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej otrzymamy poprzez dwustronne negacje równań 1-4.
5.
1=>5
~Y = ~(p*q + p*~q + ~p*q)
6.
2=>6
Y =~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)]
7.
3=>7
Y = ~(~p*~q)
8.
4=>8
~Y = ~(p+q)
Oczywiście wszystkie równania Y są matematycznie tożsame gdzie funkcją minimalna jest:
Y=p+q
Podobnie wszystkie równania ~Y są matematycznie tożsame gdzie funkcją minimalną jest:
~Y=~p*~q
Sprowadźmy przykładowo do funkcji minimalnej równanie 2:
~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
Przechodzimy do logiki przeciwnej negując zmienne i wymieniając spójniki na przeciwne:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q = p*1 + ~p*q = p+~p*q
bo prawa algebry Kubusia:
q+~q=1
p*1 =p
Y=p+~p*q
Przechodzimy do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q = 0+~p*~q = ~p*~q
bo prawo algebry Kubusia:
p*~p=0
0+x=x
czyli funkcja minimalna dla ~Y jest funkcja:
~Y=~p*~q
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 22:47, 04 Lut 2012, w całości zmieniany 7 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35534
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 13:45, 31 Gru 2010 Temat postu: |
|
|
6.4 Osiem zdań prawdziwych
Dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy ułożyć dokładnie osiem zdań prawdziwych w spójnikach „i”(*) i „lub”(+), cztery w logice dodatniej (Y) i cztery w logice ujemnej (~Y)
Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR:
| Kod: |
Wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla operatora OR
Dotrzymam słowa: Y=1 |Skłamię: ~Y=1
1: Y=p+q |2: ~Y=~p*~q
3: Y=~(~p*~q) |4: ~Y=~(p+q)
5: Y=(p*q)+(p*~q)+(~p*q) |6: ~Y=~[(p*q)+(p*~q)+(~p*q)]
7: Y=~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)] |8: ~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)
------------------------------------------------------------
Definicja | |
Symboliczna | |
Operatora OR |Kodowanie zero-jedynkowe operatora OR
W: Y=p+q |Y=p*q+p*~q+~p*q | |
|p q Y=p+q | ~p ~q ~Y=~p*~q |Y=~(~p*~q)
A: p* q= Y |1 1 =1 /p*q =Y | 0 0 =0 | =1
B: p*~q= Y |1 0 =1 /p*~q=Y | 0 1 =0 | =1
C: ~p* q= Y |0 1 =1 /~p*q=Y | 1 0 =0 | =1
Skłamię: ~Y=1
D: ~p*~q=~Y |0 0 =0 | 1 1 =1 /~p*~q=~Y | =0
1 2 3 4 5 6 7
Punkt odniesienia = zdanie z nagłówka tabeli:
|p=1, ~p=0 | ~p=1, p=0
|q=1, ~q=0 | ~q=1, q=0
|Y=1, ~Y=0 | ~Y=1, Y=0
|
Przejścia do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów w równaniach algebry Kubusia (początek tabeli):
1 <=>2
5<=>8
Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana:
Y=p+q = ~(~p*~q)
Sprawdźmy na przykładzie które zdania będą zrozumiale dla człowieka.
1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K*~T
Oczywiście to co wyżej to logika każdego 5-cio latka.
Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziesz do kina (~K) i nie pójdziesz do teatru (~T)?
Negujemy dwustronnie 2 otrzymując:
3.
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (T)
Y = ~(~K*~T)
Zdanie 4 będzie zrozumiałe w tej formie:
4.
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(...), że jutro pójdę do kina (K) lub do teatru (T)
~Y = ~(K+T) = ~K*~T
Oczywiście zdanie to oznacza to samo co doskonale rozumiane zdanie 2.
Każdy 5-cio latek bez problemu zrozumie zdanie 5.
Y=p*q+p*~q+~p*q
5.
Dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
K*T - pójdę do kina (K) i do teatru (T)
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)
Ostatnie trzy zdania, w szczególności 7 i 8 to horror dla każdego normalnego człowieka. Mają one związek z logiką zero, totalnie sprzeczną z naturalną logiką człowieka.
Oznacza to, że matematyka dostarcza o więcej zdań prawdziwych, niż człowiek jest w stanie zrozumieć, co jest dowodem że język człowieka to twór z obszaru fizyki a nie matematyki.
Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND:
| Kod: |
Wszystkie możliwe równania algebry Kubusia dla operatora AND
Dotrzymam słowa: Y=1 |Skłamię: ~Y=1
1: Y=p*q |2: ~Y=~p+~q
3: Y=~(~p+~q) |4: ~Y=~(p*q)
5: Y=~[(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)] |6: ~Y=(~p*~q)+(~p*q)+(p*~q)
7: Y=(p+q)*(p+~q)*(~p+q) |8: ~Y=~[(p+q)*(p+~q)*(~p+q)]
------------------------------------------------------------
Definicja | |
Symboliczna | |
Operatora AND|Kodowanie zero-jedynkowe operatora AND
|
Dotrzymam |
słowa: Y=1 |p q Y=p*q | ~p ~q 2:~Y=~p+~q | Y=~(~p+~q)
A: p* q= Y |1 1 =1 / p* q= Y | 0 0 =0 / p* q= Y | =1
Skłamię: ~Y=1| | |
W: ~Y=~p+~q | | ~Y=~p*~q+~p*q+p*~q |
B: ~p*~q=~Y |0 0 =0 /~p*~q=~Y | 1 1 =1 /~p*~q=~Y | =0
C: ~p* q=~Y |0 1 =0 /~p* q=~Y | 1 0 =1 /~p* q=~Y | =0
D: p*~q=~Y |1 0 =0 / p*~q=~Y | 0 1 =1 / p*~q=~Y | =0
1 2 3 4 5 6 7
Punkt odniesienia = zdanie z nagłówka tabeli:
|p=1, ~p=0 | ~p=1, p=0
|q=1, ~q=0 | ~q=1, q=0
|Y=1, ~Y=0 | ~Y=1, Y=0
|
Przejścia do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników (górna cześć tabeli):
1 <=>2
6 <=>7
Tożsamość kolumn ABCD3 i ABCD7 jest dowodem formalnym prawa de’Morgana w rachunku zero-jedynkowym:
Y = p*q = ~(~p+~q)
Sprawdźmy na przykładzie które zdania będą zrozumiałe dla człowieka.
1.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
2.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K+~T
Oczywiście to co wyżej to logika każdego 5-cio latka.
Tata, a czy może się zdarzyć że jutro nie pójdziesz do kina (~K) lub nie pójdziesz do teatru (~T)?
Negujemy dwustronnie 2 otrzymując:
3.
Nie może się zdarzyć ~(...), że jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (T)
Y = ~(~K*~T)
Zdanie 4 będzie zrozumiałe w tej formie:
4.
Skłamię (~Y) jeśli nie zdarzy się ~(...), że jutro pójdę do kina (K) i do teatru (T)
~Y = ~(K*T) = ~K+~T
Oczywiście zdanie to oznacza to samo co doskonale rozumiane zdanie 2.
Każdy 5-cio latek bez problemu zrozumie zdanie 6.
~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
Zdanie wypowiedziane:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
... a kiedy skłamię?
6.
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
~K*~T - nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
~K*T - nie pójdę do kina (~K) i pójdę do teatru (T)
K*~T - pójdę do kina (K) i nie pójdę do teatru (~T)
Ostatnie trzy zdania, w szczególności 7 i 8 to horror dla każdego normalnego człowieka. Mają one związek z logiką zero, totalnie sprzeczną z naturalną logiką człowieka.
6.5 Zdania złożone typu p+(q*r)
Przykład zdania złożonego typu p+(q*r):
A.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y=K+(B*P)
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B.
~Y = ~K*(~B+~P)
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) oraz nie pójdę na basen (~B) lub nie pójdę do parku (~P)
~Y = ~K*(~B+~P)
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
Y = K+(B*P) = ~[~K*(~B+~P)]
Gdzie:
Y - dotrzymam słowa
~Y - skłamię
Zauważmy, że w naturalnej logice człowieka mamy domyślną kolejność wykonywania działań.
„i”(*), „lub”(+).
Jak zobaczymy w niedalekiej przyszłości w zdaniu typu p*(q+r) człowiek zastępuje spójnik „i”(*) spójnikiem „oraz” (lub podobnym).
1.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
Jak widzimy nasz mózg to cwana bestia, doskonale wie że tu nie wolno wstawić spójnika „i”(*), trzeba poszukać jakiegoś zamiennika.
Możliwości mamy tu duże:
Jutro pójdę do kina „jak również” na basen lub do parku
Jutro pójdę do kina „a także” na basen lub do parku
Jutro pójdę do kina „po czym” na basen lub do parku
itp.
Zauważmy, że wstawienie spójnika „i”(*) zmienia totalnie sens zdania:
2.
Jutro pójdę do kina i na basen lub do parku
Y=(K*B)+P
Oczywiście zdania 1 i 2 są totalnie różne!
Wracamy do tematu ...
Zobaczmy nasze równania:
Y = K+(B*P)
~Y = ~K*(~B+~P)
Y = ~[~K*(~B+~P)]
w tabeli zero-jedynkowej.
| Kod: |
K B P B*P Y=K+(B*P) ~K ~B ~P ~B+~P ~Y=~K*(~B+~P) Y=~[~K*(~B+~P)]
1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1
1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1
0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0
0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
W kolumnach 5 i 11 doskonale widać spełnione prawo de’Morgana:
Y = K+(B*P) = ~[~K*(~B+~P)]
Nasze zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y=K+(B*P)
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub na basen (B=1) i do parku (P=1)
Y=K+(B*P)
Y=1 <=> K=1 lub (B=1 i P=1)
.. a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
B.
~Y = ~K * (~B+~P)
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) oraz nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)
~Y = ~K * (~B+~P)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i (~B=1 lub ~P=1)
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
C.
Y=~(~Y) = ~[~K*(~B+~P)]
Oczywiście:
Y = Y
stąd:
Zdania A i C są równoważne(prawo de’Morgana).
C.
Dotrzymam słowa Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~[...] że jutro nie pójdę do kina (~K=1) oraz nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)
Y=~[~K*(~B+~P)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~[~K=1 i (~B=1 lub ~P=1)
D.
Najprostsze równanie dla kolumny wynikowej 5 rozumiane przez 5-cio latka otrzymamy opisując wynikowe jedynki w tej kolumnie.
Y=K+(B*P)
Oczywiście wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek (logika dodatnia):
Y = K*B*P + K*B*~P + K*~B*P + K* ~B*~P + ~K*B*P
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę:
K*B*P=1*1*1=1 - do kina(K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)
lub
K*B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i na basen (B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
lub
K*~B*P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i do parku (P=1)
lub
K*~B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i nie do parku (~P=1)
lub
~K*B*P=1*1*1=1 - nie do kina (~K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)
Jak widzimy, zgodność z naturalną logiką człowieka jest tu 100%!
Zauważmy, że równanie algebry Kubusia dla wynikowych zer plus przejście do logiki dodatniej (Y) byłoby prostsze bo mamy tylko trzy zera w kolumnie 5. Cena za taki skrót byłaby jednak bardzo wysoka. Mielibyśmy horror w szukaniu związku tego równania z naturalną logiką człowieka (logika zero).
Równanie logiczne opisujące zera w powyższej tabeli daje poprawną odpowiedź na pytanie kiedy skłamię.
Interesujący nas fragment tabeli:
| Kod: |
K B P B*P Y=K+(B*P) ~K ~B ~P ~B+~P ~Y=~K*(~B+~P) Y=~[~K*(~B+~P)]
A: 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0
B: 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0
C: 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
Równanie odpowiadające na pytanie kiedy skłamię (~Y=1) generujemy z obszaru ABC678 i kolumny wynikowej ABC10
~Y = ~K*B*~P + ~K*~B*P + ~K*~B*~P
6.6 Zdania złożone typu p*(q+r)
Przykład zdania złożonego typu p*(q+r):
A.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B.
~Y = ~K+(~B*~P)
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę na basen (~B) i nie pójdę do parku (~P)
~Y = ~K+(~B*~P)
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
Y = K*(B+P) = ~[~K+(~B*~P)]
Gdzie:
Y - dotrzymam słowa
~Y - skłamię
Zauważmy, że w naturalnej logice człowieka mamy domyślną kolejność wykonywania działań.
„i”(*), „lub”(+).
Zobaczmy nasze równania:
Y = K*(B+P)
~Y = ~K+(~B*~P)
Y = ~[~K+(~B*~P)]
w tabeli zero-jedynkowej.
| Kod: |
K B P B+P Y=K*(B+P) ~K ~B ~P ~B*~P ~Y=~K+(~B*~P) Y=~[~K+(~B*~P)]
1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1
1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0
0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
W kolumnach 5 i 11 doskonale widać spełnione prawo de’Morgana:
Y = K*(B+P) = ~[~K+(~B*~P)]
Nasze zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina oraz na basen lub do parku
Y=K*(B+P)
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) oraz na basen (B=1) lub do parku (P=1)
Y=K*(B+P)
Y=1 <=> K=1 i (B=1 lub P=1)
.. a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
B.
~Y = ~K + (~B*~P)
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę na basen (~B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
~Y = ~K + (~B*~P)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub (~B=1 i ~P=1)
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
C.
Y=~(~Y) = ~[~K+(~B*~P)]
Oczywiście:
Y = Y
stąd:
Zdania A i C są równoważne(prawo de’Morgana).
C.
Dotrzymam słowa Y=1 wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~[...] że jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę na basen (~B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
Y=~[~K+(~B*~P)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~[~K=1 lub (~B=1 i ~P=1)
D.
Najprostsze równanie dla kolumny wynikowej 5 rozumiane przez 5-cio latka otrzymamy opisując wynikowe jedynki w tej kolumnie.
Y=K*(B+P)
Oczywiście wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek (logika dodatnia):
Y = K*B*P + K*B*~P + K*~B*P + K
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę:
K*B*P=1*1*1=1 - do kina(K=1) i na basen (B=1) i do parku (P=1)
lub
K*B*~P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i na basen (B=1) i nie pójdę do parku (~P=1)
lub
K*~B*P=1*1*1=1 - do kina (K=1) i nie na basen (~B=1) i do parku (P=1)
Jak widzimy, zgodność z naturalną logiką człowieka jest tu 100%!
Zauważmy, że równanie algebry Kubusia dla wynikowych zer plus przejście do logiki dodatniej (Y) byłoby prostsze bo mamy tylko trzy zera w kolumnie 5. Cena za taki skrót byłaby jednak bardzo wysoka. Mielibyśmy horror w szukaniu związku tego równania z naturalną logiką człowieka (logika zero).
Równanie logiczne opisujące zera w powyższej tabeli daje poprawną odpowiedź na pytanie kiedy skłamię.
Interesujący nas fragment tabeli:
| Kod: |
K B P B+P Y=K*(B+P) ~K ~B ~P ~B*~P ~Y=~K+(~B*~P) Y=~[~K+(~B*~P)]
A: 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0
B: 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0
C: 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
D: 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0
E: 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
|
Równanie odpowiadające na pytanie kiedy skłamię (~Y=1) generujemy z obszaru ABCDE678 i kolumny wynikowej ABCDE10
~Y = K*~B*~P + ~K*B*P + ~K*B*~P + ~K*~B*P + ~K*~B*~P
6.7 Nieznane prawa logiki
Definicja spójnika „i”(+):
Iloczyn logiczny (spójnik „i”) jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
Definicja spójnika „lub”(+)
Suma logiczna (spójnik „lub”) n zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
Y=1 <=>p=1 lub q=1
Równoważna definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
W świecie zdeterminowanym to jest podstawowe narzędzie do eliminacji wszelkich fałszów ze zdania.
Przykład:
A.
Pies ma cztery łapy lub nie miauczy
P=>4L+~M
Dla psa mamy świat totalnie zdeterminowany:
4L=1, ~4L=0
~M=1, M=0
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd dla naszego przykładu:
4L+~M = (4L*~M=1*1=1) + (~4L*~M=0*1=0) + (4L*M=1*0=0) := 4L*~M
gdzie:
:= - symbol redukcji funkcji logicznej
Stąd po minimalizacji funkcji mamy jedyne poprawne matematycznie zdanie:
A.
Pies ma cztery łapy i nie miauczy
P=>4L*~M
Oczywiście każdy polonista postawi pałę za zdanie A i będzie miał rację.
Zdanie podobne:
A.
Mickiewicz był polakiem lub napisał „Pana Tadeusza”
Y=MP+PT
Oczywiście tu również mamy świat totalnie zdeterminowany:
MP=1, ~MP=0
PT=1, ~PT=0
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd dla naszego przykładu:
MP+PT = (MP*PT=1*1=1) + (~MP*PT=0*1=0) + (MP*~PT=1*0=0) :=MP*PT
gdzie:
:= - symbol redukcji funkcji logicznej
Stąd po minimalizacji funkcji mamy jedyne poprawne matematycznie zdanie:
Mickiewicz był polakiem i napisał „Pana Tadeusza”
Y=MP*PT=1
Oczywiście tu również za zdanie A każdy polonista postawi pałę i nie ma przeproś.
Twierdzenie Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszelkie możliwe przeczenia p i q.
Dla naszego przykładu, świata totalnie zdeterminowanego, mamy:
| Kod: |
MP* PT = 1*1=1
MP*~PT = 1*0=0
~MP* PT = 0*1=0
~MP*~PT = 0*0=0
|
Doskonale widać definicje zero-jedynkową operatora AND.
cnd
I nieznane prawo logiki!
Dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi:
(p+q=>r) = [(p=>r)*(q=>r)]
Przykład:
A.
Jeśli zwierze jest psem lub kotem to na pewno => ma cztery łapy
(P+K=>4L) = [(P=>4L)*(K=>4L)]
Jeśli prawdziwe jest zdanie A to na pewno prawdziwe są zdania B i C:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L=1
i
C.
Jeśli zwierzę jest kotem to na pewno ma cztery łapy
K=>4L=1
Oczywiście wynikanie w druga stronę również zachodzi.
Zbiory rozłączne można zdefiniować korzystając z definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Jeśli z założenia zbiory p i q są rozłączne to ich iloczyn logiczny jest równy zeru:
p*q=0
stąd dla zbiorów rozłącznych:
p+q := p*~q + ~p*q = pXORq
oczywiście dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi:
p*~q :=p
~p*q :=q
gdzie:
:= - symbol redukcji funkcji logicznej
Zauważmy że wszystkie redukcje (:=) osiągnęliśmy na bazie teorii zbiorów rozłącznych, nie da się ich wyprowadzić z klasycznych operatorów algebry Kubusia.
Prawo którego dowodzimy przyjmuje zatem postać:
[(p*~q + ~p*q)=>r] = [(p*~q=>r) * (~p*q=>r)]
Dowód formalny:
Operator implikacji prostej:
| Kod: |
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1
|
[(p*~q + ~p*q)=>r] = [(p*~q=>r) * (~p*q=>r)]
| Kod: |
A B
p q r ~p ~q p*~q ~p*q A+B A+B=>r A=>r B=>r (A=>r)*(B=>r)
1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0
0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1
X Y
|
Tożsamość kolumn wynikowych X i Y jest dowodem zachodzenia powyższego prawa.
Po fakcie okazało się że poniższe prawo nie potrzebuje żadnych zastrzeżeń typu zbiory rozłączne, działa zawsze. Pozostawiam powyższy dowód bo jest ciekawy merytorycznie.
(p=>r)*(q=>r) = (p+q=>r)
| Kod: |
p+q p q r p=>r q=>r (p=>r)*(q=>r) (p+q)=>r
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 0 1 1 1 1 1
1 1 0 0 0 1 0 0
1 0 1 1 1 1 1 1
1 0 1 0 1 0 0 0
0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1
|
Ten sam dowód w równaniach algebry Kubusia:
(p=>r)*(q=>r) = (p+q)=>r
Prawa strona:
(p=>r)*(q=>r) = (~p+r)*(~q+r) = ~p*~q + ~p*r + ~q*r + r = ~p*~q + r(~p+~q+1) = ~p*~q + r
Lewa strona:
(p+q)=>r = ~(p+q)+r = ~p*~q+r
cnd
II nieznane prawo logiki
(r=>p*q) = [(r=>p)*(r=>q)
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma cztery łapy i szczeka
(P=>4L*S) = [(P=>4L)*(P=>S)]
Jeśli prawdziwe jest zdanie A to prawdziwe są zdania B i C:
B.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L=1
i
C.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno szczeka
P=>S=1
oczywiście zachodzi także wynikanie odwrotne.
Dowód formalny:
(r=>p*q) = [(r=>p)*(r=>q)
| Kod: |
r p q p*q r=>p*q r=>p r=>q (r=>p)*(r=>q)
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 0 1 0 0
1 0 1 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 1 1 1 1
0 0 1 0 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1
|
Zachodzi tożsamość kolumn wynikowych:
r=>p*q = (r=>p)*(r=>q)
Ten sam dowód w równaniach algebry Kubusia:
~r + p*q = (~r+p)*(~r+q) = ~r + ~r*q + ~r*p + p*q = ~r*(1+q+p) + p*q = ~r + p*q
cnd
Prawa symetryczne dla implikacji odwrotnej!
III nieznane prawo logiki
Dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi:
(r~>p+q) = [(r~>p)*(r~>q)]
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem lub kotem
(4L~>P+K) = [(4L~>P)*(4L~>K)]
Jeśli prawdziwe jest zdanie A to na pewno prawdziwe są zdania B i C:
B.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P=1
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1
Z prawej strony zachodzi warunek wystarczający =>, zatem z lewej strony zachodzi warunek konieczny ~>.
cnd
i
C.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może ~> być kotem
4L~>K=1
Prawo Kubusia:
4L~>K = ~4L=>~K=1
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest kotem
~4L=>~K=1
Z prawej strony zachodzi warunek wystarczający =>, zatem z lewej strony zachodzi warunek konieczny ~>.
cnd
Oczywiście wynikanie odwrotne również zachodzi.
Zbiory rozłączne można zdefiniować korzystając z definicji spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Jeśli z założenia zbiory p i q są rozłączne to ich iloczyn logiczny jest równy zeru:
p*q=0
stąd dla zbiorów rozłącznych:
p+q := p*~q + ~p*q = pXORq
oczywiście dla zbiorów p i q rozłącznych zachodzi:
p*~q :=p
~p*q :=q
gdzie:
:= - symbol redukcji funkcji logicznej
Prawo którego dowodzimy przyjmuje zatem postać:
r~>(p*~q + ~p*q) = [(r~>p*~q)*(r~>~p*q)
Dowód formalny
Operator implikacji odwrotnej:
| Kod: |
p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0
|
r~>(p*~q + ~p*q) = [(r~>p*~q)*(r~>~p*q)
| Kod: |
A B
p q r ~p ~q p*~q ~p*q A+B r~>A+B r~>A r~>B (r~>A)*(r~>B)
1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0
0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1
0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1
X Y
|
Tożsamość kolumn wynikowych X i Y jest dowodem zachodzenia powyższego prawa.
IV nieznane prawo logiki
(p*q~>r) = [(p~>r)*(q~>r)]
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i szczeka to może ~> być psem
(4L*S~>P) = [(4L~>P)*(S~>P)]
Jeśli prawdziwe jest zdanie A to prawdziwe są zdania B i C:
B.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>S=1
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P=1
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1
Z prawej strony zachodzi warunek wystarczający =>, zatem z lewej strony musi zachodzić warunek konieczny ~>.
cnd
i
C.
Jeśli zwierzę szczeka to może ~> być psem
S~>P=1
Prawo Kubusia:
S~>P = ~S=>~P=1
Jeśli zwierzę nie szczeka to na pewno => nie jest psem
~S=>~P=1
Z prawej strony zachodzi warunek wystarczający =>, zatem z lewej strony musi zachodzić warunek konieczny ~>.
cnd
Oczywiście wynikanie odwrotne również zachodzi.
Dowód formalny:
Operator implikacji odwrotnej:
| Kod: |
p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0
|
(p*q~>r) = [(p~>r)*(q~>r)]
| Kod: |
p*q p q r p*q~>r p~>r q~>r (p~>r)*(q~>r)
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1 0 0
0 1 0 0 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 1 0
0 0 1 0 1 1 1 1
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 1 1
|
Zachodzi tożsamość kolumn wynikowych:
p*q~>r = (p~>r)*(q~>r)
7.0 Aksjomatyka algebry Kubusia
Wikipedia:
Aksjomat (postulat, pewnik) (gr. αξιωμα [aksíoma] – godność, pewność, oczywistość) – jedno z podstawowych pojęć logiki matematycznej. Od czasów Euklidesa uznawano, że aksjomaty to zdania przyjmowane za prawdziwe, których nie dowodzi się w obrębie danej teorii matematycznej.
We współczesnej matematyce definicja aksjomatu jest nieco inna:
Aksjomaty są zdaniami wyodrębnionymi spośród wszystkich twierdzeń danej teorii, wybranymi tak, aby wynikały z nich wszystkie pozostałe twierdzenia tej teorii. Taki układ aksjomatów nazywany jest aksjomatyką.
Aksjomatyka algebry Kubusia to po prostu wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, znane ludziom od ponad 100 lat.
Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych w algebrze Boole’a i algebrze Kubusia:
| Kod: |
p q OR NOR AND NAND <=> XOR => N(=>) ~> N(~>) ~~> N(~~>) P NP Q NQ
1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1
0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
|
| Kod: |
Logika dodatnia Logika ujemna
OR NOR
AND NAND
<=> XOR
=> N(=>)
~> N(~>)
~~> N(~~>)
P NP
Q NQ
|
Wszystkich możliwych operatorów logicznych dwuargumentowych jest 16. Za operatory dodatnie przyjęto te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym.
Operator ujemny to zanegowany operator dodatni, co doskonale widać w powyższej tabeli.
Operator dodatni to zanegowany operator ujemny, co również widać wyżej.
| Kod: |
Definicje operatorów ujemnych:
pNORq = ~(p+q)
pNANDq = ~(p*q)
pXORq = ~(p<=>q)
pN(=>)q = ~(p=>q)
pN(~>)q = ~(p~>q)
p~~>q = ~(p~~>q)
pNPq = ~(pPq)
pNQq = ~(pQq)
|
W języku mówionym operatory ujemne nie są używane, ponieważ łatwo je zastąpić operatorami dodatnimi plus negacją co widać w powyższej tabeli.
Dowolny operator logiczny jest jednoznacznie zdefiniowany tabelą zero-jedynkową i nie ma tu miejsca na jego niejednoznaczną interpretację. Argumenty w dowolnym operatorze logicznym mogą być albo przemienne (AND, OR, <=>), albo nieprzemienne (implikacja prosta i implikacja odwrotna).
Uwagi
1.
Definicje zero-jedynkowe wszystkich operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego gdzie nie jest znana z góry wartość logiczna ani p, ani q.
2.
Twierdzenie Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie wartości logiczne p i q są znane z góry, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
3.
Zbiory p i q muszą mieć wspólną część, inaczej nie ma gwarancji spełnienia w 100% tabel zero-jedynkowych powyższych operatorów.
Na dzień dzisiejszy operatory logiczne są poprawnie rozszyfrowane z punktu odniesienia banalnych bramek logicznych będących sprzętowym fundamentem każdego komputera.
W teorii bramek logicznych zachodzi tożsamość:
Algebra Kubusia = Algebra Boole’a
Trzeba tu jednak zdecydowanie odróżnić sprzęt od oprogramowania. Sprzęt komputerowy to fundamentalnie co innego niż program komputerowy napisany przez człowieka. Pisząc program komputerowy posługujemy się naturalną logiką człowieka, jak do tej pory totalnie nierozszyfrowaną od strony matematycznej.
Zadaniem tego podręcznika jest pokazanie jak nieprawdopodobnie banalna jest od strony matematycznej naturalna logika człowieka, algebra Kubusia, którą doskonale znają i posługują się w praktyce wszyscy od 5-cio latka po profesora.
Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy, to jedyny znaczek będący równocześnie spójnikiem i operatorem logicznym.
Aksjomatyka algebry Kubusia!
I aksjomat Kubusia.
Operator OR w równaniach algebry Boole’a:
Y=p+q
~Y=~p*~q
gdzie:
Y=p+q
Y - dotrzymam słowa (Y), logika dodatnia bo Y
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*~q
~Y - skłamię (~Y), logika ujemna bo ~Y
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
stąd:
Y = p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana
Uwaga!
Prawo de’Morgana nie daje odpowiedzi na pytanie:
Kiedy skłamię (~Y)?
Dlatego w języku potocznym jest praktycznie nie używane.
II aksjomat Kubusia.
Operator AND w równaniach algebry Boole’a:
Y=p*q
~Y=~p+~q
gdzie:
Y=p*q
Y - dotrzymam słowa (Y), logika dodatnia bo Y
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p+~q
~Y - skłamię (~Y), logika ujemna bo ~Y
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
stąd:
Y = p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana
Uwaga!
Prawo de’Morgana nie daje odpowiedzi na pytanie:
Kiedy skłamię (~Y)?
Dlatego w języku potocznym jest praktycznie nie używane.
III aksjomat Kubusia.
Operator implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia
gdzie:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p musi być wystarczające => dla q
Logika dodatnia bo q
... a jeśli zajdzie ~p?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~p~>~q
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p musi być konieczne ~> dla ~q
Logika ujemna bo ~q
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” => w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” ~> w implikacji
Spełnienie warunku wystarczającego => z jednej strony tożsamości Kubusia wymusza spełnienie warunku koniecznego ~> z drugiej strony równania Kubusia i odwrotnie.
Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo ~q):
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika że p musi być wystarczające dla q
Z czego wynika że zdanie p=>~q musi być fałszem.
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna
Równoważna definicja implikacji prostej
Implikacja prosta to wyłącznie jedna gwarancja matematyczna:
p=>q = ~p~>~q = ~(p*~q)
IV aksjomat Kubusia.
Operator implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
gdzie:
p~>q
Jeśli zajdzie p to na może ~> zajść q
p musi być konieczne ~> dla q
Logika dodatnia bo q
... a jeśli zajdzie ~p?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników.
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p musi być wystarczające => dla ~q
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - warunek konieczny, spójnik „może” ~> w implikacji
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” => w całym obszarze logiki
Spełnienie warunku koniecznego ~> z jednej strony tożsamości Kubusia wymusza spełnienie warunku wystarczającego => z drugiej strony równania Kubusia i odwrotnie.
Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że ~p musi być wystarczające dla ~q
Z czego wynika że zdanie ~p=>q musi być fałszem.
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna
Równoważna definicja implikacji odwrotnej
Implikacja odwrotna to wyłącznie jedna gwarancja matematyczna:
p~>q = ~p=>~q = ~(~p*q)
V aksjomat Kubusia.
Operator równoważności w równaniu algebry Kubusia:
p<=>q= (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to jednoczesne spełnienie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q).
Równoważna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q] = (p=>q)*(~p=>~q)
Uwaga:
Wyłącznie w równoważności mamy do czynienia z iloczynem logicznym implikacji wirtualnych niedostępnych w świecie rzeczywistym, gdzie warunek konieczny ~> (spójnik „może”) jest wycinany przez definicję równoważności i nie jest dostępny w świecie rzeczywistym.
Wirtualna definicja implikacji prostej:
p=>q = [~p~>~q] - prawo Kubusia
Wirtualna definicja implikacji odwrotnej:
[p~>q] = ~p=>~q - prawo Kubusia
gdzie:
[ ... ] - część wirtualna, niedostępna w świecie rzeczywistym
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze logiki
[~>] - wirtualny warunek konieczny o definicji:
[p~>q] = ~p=>~q - prawo Kubusia
[~p~>~q] = p=>q - prawo Kubusia
W równoważności, znany z implikacji spójnik „może” ~> jest blokowany przez definicję równoważności i nie jest dostępny w świecie rzeczywistym.
W równoważności mamy do czynienia ze 100% determinizmem (spójnik „na pewno” =>) zarówno po stronie p jak i po stronie ~p.
W świecie rzeczywistym mamy do czynienia wyłącznie z iloczynem logicznym warunku wystarczającego w logice dodatniej => (bo q) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q).
Równoważna definicja równoważności
Równoważność to dwie gwarancje matematyczne:
p=>q = ~(p*~q) - gwarancja A
~p=>~q = ~(~p*q) - gwarancja B
VI aksjomat Kubusia.
Operator zdania zawsze prawdziwego ~~>
p~~>q=1
Zdanie prawdziwe dla dowolnych przeczeń p i q
gdzie:
~~> - naturalny spójnik „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Uwaga!
Bezpośrednio z aksjomatów III, IV i V wynika definicja warunku koniecznego:
Definicja warunku koniecznego w całym obszarze logiki:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q - prawo Kubusia
Warunek konieczny ~> między p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Z powyższego wynika, że całą logikę w zakresie rozstrzygania o prawdziwości/fałszywości implikacji i równoważności możemy sprowadzić do badania banalnych warunków wystarczających!
Podsumowanie:
Jak widzimy, spójnik logiczny to zawsze tylko połówka odpowiedniego operatora (wyjątkiem jest tu <=>).
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Spójnik logiczny ## operator logiczny
gdzie:
## - różne na mocy definicji
7.1 Aksjomaty Kubusia w praktyce języka mówionego
Dlaczego prawa de’Mograna i prawa Kubusia to najważniejsze prawa w całej logice matematycznej?
... bo to są najzwyklejsze definicje operatorów logicznych:
OR, AND, implikacji prostej, implikacji odwrotnej!
Zapisane w równaniach algebry Boole’a!
Dowód!
Prawa de’Morgana znane człowiekowi:
p+q = ~(~p*~q)
p*q = ~(~p+~q)
Praw de’Morgana zapisanych w tej postaci człowiek praktycznie NIGDY nie używa!
Każdy człowiek, od 5-cio latka po profesora używa praw de’Morgana milion razy na dobę, ale nie tych wyżej, lecz tych niżej!
Prawo de’Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y - dotrzymam słowa, logika dodatnia bo Y
Y=p+q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y - skłamię, logika ujemna bo ~Y
~Y=~p*~q
To co wyżej to pełna definicja operatora logicznego OR zapisana w równaniach algebry Boole’a!
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Stąd prawo de’Morgana znane człowiekowi:
p+q = ~(~p*~q)
Przykład użycia:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
Prawo de’Morgana dla spójnika „i”(*):
Y - dotrzymam słowa, logika dodatnia bo Y
Y=p*q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y - skłamię, logika ujemna bo ~Y
~Y=~p+~q
To co wyżej to pełna definicja operatora logicznego AND zapisana w równaniach algebry Boole’a!
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Stąd prawo de’Morgana znane człowiekowi:
p*q = ~(~p+~q)
Przykład użycia:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K) lub nie pójdę do teatru (~T)
Prawa Kubusia!
p~>q = ~p=>~q - definicja operatora implikacji odwrotnej
p=>q = ~p~>~q - definicja operatora implikacji prostej
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w implikacji:
Zdanie jest wypowiedziane w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy q jest niezanegowane (q).
Zdanie jest wypowiedziane w logice ujemnej wtedy i tylko wtedy gdy q jest zanegowane (~q)
Przykład użycia prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1 - istnieje taka możliwość, „rzucanie monetą”!
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu.
... a jak nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
stąd:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P=1 - oczywistość, gwarancja matematyczna!
Brak chmur jest warunkiem wystarczającym aby jutro nie padało!
Przykład użycia drugiego prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1 - oczywistość, gwarancja matematyczna!
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym aby jutro było pochmurno!
... a jak nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
stąd:
Jeśli jutro nie będzie padło to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1 - istnieje taka możliwość, „rzucanie monetą”!
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro nie było pochmurno!
Jak widać z powyższego prawa Kubusia to matematyczne związki między warunkiem koniecznym ~> a warunkiem wystarczającym => !
Prawa Kubusia to najważniejsze prawa w logice matematycznej!
p~>q = ~p=>~q - definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a
p=>q = ~p~>~q - definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a
Czyli:
Jeśli zachodzi warunek wystarczający => (100% pewność) z jednej strony prawa Kubusia to z drugiej strony musi zachodzić warunek konieczny~> („rzucanie monetą”), albo odwrotnie!
Nie ma przeproś!
To jest prawo matematyczne pod które wszyscy podlegamy, człowiek nie ma tu nic do gadania, choćby się nie wiem jak napinał to tych praw NIGDY nie złamie!
Wniosek:
Nie ma implikacji, ani prostej, ani odwrotnej, bez warunku koniecznego ~>, czyli najzwyklejszego „rzucania monetą”
Dlaczego prawa Kubusia są najważniejsze?
Bo sterują wszelkim życiem na ziemi, OR i AND to tylko dodatek do kożucha.
Dowód!
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji!
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji
Fundamentem życia na Ziemi jest odróżnianie kary od nagrody przez wszelkie istoty żywe!
Zwierzątka które tego nie odróżniały dawno wyginęły!
Definicja warunku koniecznego w całym obszarze logiki matematycznej!
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
~p~>~q = p=>q - prawo Kubusia
Prosty przykład rozstrzygnięcia o braku zachodzenia warunku koniecznego ~> między p i q.
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
CH ??? ~P=1 - istnieje taka możliwość.
Sprawdzamy prawem Kubusia czy między p i q zachodzi warunek konieczny:
CH~>~P = ~CH=>P=0 - prawo Kubusia
Prawa strona tożsamości Kubusia brzmi:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
~CH=>P=0 - oczywisty fałsz!
Prawa strona równania Kubusia jest fałszem, zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny~>!
Nie możemy zatem zdania B zakodować symbolem warunku koniecznego ~>!
Zdanie B jest jednak ewidentnie prawdziwe, bowiem w spójniku „może” wystarczy pokazać jeden przypadek dla którego całe zdanie jest prawdziwe.
Cóż więc robić?
Oczywiście musimy sięgnąć po ten symbol:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może nie padać
CH ~~> ~P=1 - istnieje taka możliwość.
7.2 Abstrakcyjny model operatora logicznego
Zajmijmy się operatorami dotychczas nie omówionymi.
Wyobraźmy sobie czarną skrzynkę z dwoma przełącznikami p i q na których można ustawiać logiczne 0 albo 1. Wyjściem w tej skrzynce jest lampka Y sterowana przez najprawdziwszego krasnoludka imieniem OPERATOR w następujący sposób.
Y=1 - lampka zaświecona
Y=0 - lampka zgaszona
Panel sterowania naszej czarnej skrzynki umożliwia wybór jednego z 16 możliwych operatorów logicznych.
Fizyczna realizacja takiej czarnej skrzynki w technice TTL jest banalna. W laboratorium techniki cyfrowej można sprawdzić doświadczalnie działanie wszystkich 16 operatorów logicznych. Pewne jest że teoria matematyczna musi być w 100% zgodna z rzeczywistością co jest dowodem że … krasnoludki są na świecie.
7.3 Operatory logiczne ~~> i N(~~>)
Definicje ~~> i N(~~>)
| Kod: |
p q Y=p~~>q Y=~(p~~>q)
1 1 =1 =0
1 0 =1 =0
0 1 =1 =0
0 0 =1 =0
|
Jak widzimy po wybraniu operatora ~~> krasnoludek OPERATOR zapala lampkę na wyjściu Y=1, siada na stołeczku i odpoczywa kompletnie nie interesując się co też człowiek na wejściach p i q sobie ustawia. Analogicznie jeśli wybierzemy operator N(~~>) to lampka na wyjściu Y będzie cały czas zgaszona (Y=0).
7.4 Operatory transmisji P i Q
Definicje operatorów transmisji P i Q:
| Kod: |
p q Y=pPq Y=pQq
1 1 =1 =1
1 0 =1 =0
0 1 =0 =1
0 0 =0 =0
|
Operator P generuje na wyjściu Y sygnał identyczny z tym jaki widnieje po lewej stronie operatora P:
pPq =p
Fizycznie operator pPq to po prostu połączenie kabelkiem wejścia p z wyjściem Y, wejście q jest tu zupełnie nieistotne i można je usunąć.
Z powyższego wynika że operator P można i należy zredukować do sygnału widniejącego po lewej stronie operatora P, czyli całość redukujemy do operatora jednoargumentowego o definicji.
Redukcja operatora w równaniu algebry Kubusia
Powyższą tabelę opisuje równanie logiczne (dwie pierwsze linie):
Y = p*q + p*~q = p*(q+~q) = p*1 = p
bo prawa algebry Kubusia:
q+~q=1
p*1=p
Jak widzimy, czystą matematyką osiągnęliśmy dokładnie to samo co rozumowaniem logicznym.
Definicja operatora transmisji:
Analogicznie operator Q można i należy zredukować do sygnału widniejącego z prawej strony operatora Q.
pQq=q
Operator transmisji w zbiorach:
Y=p
Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=K
Y=1 <=> K=1
… a kiedy skłamię ?
Negujemy tożsamość A dwustronnie:
~Y=~K
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
~Y=1 <=> ~K=1
7.5 operatory negacji NP i NQ
Definicje operatorów negacji NP i NQ
| Kod: |
p q Y=pNPq Y=pNQq
1 1 =0 =0
1 0 =0 =1
0 1 =1 =0
0 0 =1 =1
|
Doskonale widać, że na wyjściu operatora pNPq mamy:
Y=pNPq = pNP = ~p
Na wyjściu Y mamy zanegowany sygnał z wejścia p, sygnał q jest tu totalnie nieistotny i można go do kosza wyrzucić. Fizycznie ten operator to połączenie wejścia p z wyjściem Y poprzez układ negatora, czyli całość to w rzeczywistości jednoargumentowy układ negatora o definicji jak niżej.
Redukcja operatora w równaniu algebry Kubusia
Powyższą tabele opisuje równanie (dwie ostatnie linie):
Y = ~p*q + ~p*~q = ~p*(q+~q) = ~p*1 = ~p
bo prawa algebry Kubusia:
q+~q=1
p*1=p
Jak widzimy, czystą matematyką osiągnęliśmy dokładnie to samo co rozumowaniem logicznym.
Definicja negatora:
| Kod: |
p Y=pNP=~p
1 =0
0 =1
|
Gdzie:
~ - symbol negacji, w mowie potocznej przeczenie NIE
Analogiczną funkcję negatora realizuje operator pNQq:
Y=pNQq = NQq=~q
Jedno z kluczowych praw algebry Kubusia (Boole’a)
A=~(~A) – prawo podwójnego przeczenia
Przykład:
Jestem uczciwy
U
Zaprzeczenie:
Nie jestem uczciwy
~U
Podwójne zaprzeczenie:
Nieprawdą jest, że jestem nieuczciwy = jestem uczciwy
~(~U) = U
Dowód formalny:
| Kod: |
~Y=p Y=~p ~Y=~(~p)
1 =0 =1
0 =1 =0
|
Tożsamość kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa podwójnego przeczenia.
Operator negacji w zbiorach:
Y=~p
Przykład:
A.
Jutro nie pójdę do kina
Y=~K
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Y=~K
Y=1 <=> ~K=1
… a kiedy skłamię ?
Negujemy tożsamość A dwustronnie:
~Y=K
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
~Y=K
~Y=1 <=> K=1
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 22:48, 04 Lut 2012, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
zbigniewmiller
Dołączył: 19 Sie 2010
Posty: 3210
Przeczytał: 0 tematów
Skąd: urodzony w szklarskiej porebie ,aktualnie we wrocławiu nad fosa
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 15:51, 31 Gru 2010 Temat postu: |
|
|
|
kubusiu ! kocham ciebie i niewątpliwy talent jaki masz doceniam,ale jeśli nie wstawisz zamiast = znaku równoważności <=> nie bede ciebie czytał!(oczywiście tam gdzie trzeba)
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35534
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 17:32, 31 Gru 2010 Temat postu: |
|
|
Część II
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki
Prawo Kłapouchego:
Z dowolnego zdania musimy usunąć wszelkie fałsze logiczne.
Wtedy i tylko wtedy otrzymamy prawidłowy matematycznie kręgosłup logiki człowieka.
8.0 Algebra Kubusia w służbie lingwistyki
Algebra Kubusia to fundament logiki człowieka, a tym samym fundament naturalnego języka mówionego.
Definicja spójnika „i”(+):
Iloczyn logiczny (spójnik „i”) jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
Definicja spójnika „lub”(+)
Suma logiczna (spójnik „lub”) n zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
Y=1 <=>p=1 lub q=1
Równoważna definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
W świecie zdeterminowanym to jest podstawowe narzędzie do eliminacji wszelkich fałszów ze zdania.
Przykład:
A.
Mickiewicz był polakiem lub napisał „Pana Tadeusza”
Y=MP+PT
Oczywiście tu również mamy świat totalnie zdeterminowany:
MP=1, ~MP=0
PT=1, ~PT=0
Definicja spójnika „lub”(+):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
stąd dla naszego przykładu:
MP+PT = (MP*PT=1*1=1) + (~MP*PT=0*1=0) + (MP*~PT=1*0=0) :=MP*PT
gdzie:
:= - symbol redukcji funkcji logicznej
Stąd po minimalizacji funkcji mamy jedyne poprawne matematycznie zdanie:
Mickiewicz był polakiem i napisał „Pana Tadeusza”
Y=MP*PT=1
Oczywiście tu również za zdanie A każdy polonista postawi pałę i nie ma przeproś.
Twierdzenie Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszelkie możliwe przeczenia p i q.
Dla naszego przykładu, świata totalnie zdeterminowanego, mamy:
| Kod: |
MP* PT = 1*1=1
MP*~PT = 1*0=0
~MP* PT = 0*1=0
~MP*~PT = 0*0=0
|
Doskonale widać definicje zero-jedynkową operatora AND.
cnd
8.1 Najważniejsze prawa naturalnego języka mówionego
Poniższe prawa pozwalają na cząstkowe, a wiec znacznie prostsze, dowodzenie twierdzeń implikacyjnych.
I.
(p+q=>r) = [(p=>r)*(q=>r)]
Jeśli udowodnimy cząstkowe:
p=>r i q=>r
to automatycznie udowodnimy:
(p+q)=>r
Przykład:
A.
Jeśli zwierze jest psem lub kotem to na pewno => ma cztery łapy
(P+K=>4L) = [(P=>4L)*(K=>4L)]
Jeśli prawdziwe jest zdanie A to na pewno prawdziwe są zdania B i C (oczywiście zachodzi także odwrotnie):
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L=1
i
C.
Jeśli zwierzę jest kotem to na pewno ma cztery łapy
K=>4L=1
II
(r=>p*q) = [(r=>p)*(r=>q)
Jeśli udowodnimy twierdzenia cząstkowe:
r=>p I r=>q
to automatycznie udowodnimy:
r=>p*q
Przykład:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma cztery łapy i szczeka
(P=>4L*S) = [(P=>4L)*(P=>S)]
Jeśli prawdziwe jest zdanie A to prawdziwe są zdania B i C (odwrotnie również zachodzi):
B.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L=1
i
C.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno szczeka
P=>S=1
Prawa symetryczne dla implikacji odwrotnej!
III
(r~>p+q) = [(r~>p)*(r~>q)]
Jeśli udowodnimy cząstkowe:
r~>p i r~>q
To automatycznie udowodnimy:
r~>p+q
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem lub kotem
(4L~>P+K) = [(4L~>P)*(4L~>K)]
Jeśli prawdziwe jest zdanie A to na pewno prawdziwe są zdania B i C (zachodzi także odwrotnie):
B.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P=1
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1
Z prawej strony zachodzi warunek wystarczający =>, zatem z lewej strony zachodzi warunek konieczny ~>.
cnd
i
C.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może ~> być kotem
4L~>K=1
Prawo Kubusia:
4L~>K = ~4L=>~K=1
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest kotem
~4L=>~K=1
Z prawej strony zachodzi warunek wystarczający =>, zatem z lewej strony zachodzi warunek konieczny ~>.
cnd
IV
(p*q~>r) = [(p~>r)*(q~>r)]
Jeśli udowodnimy cząstkowe:
p~>r i q~>r
To automatycznie udowodnimy:
p*q~>r
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i szczeka to może ~> być psem
(4L*S~>P) = [(4L~>P)*(S~>P)]
Jeśli prawdziwe jest zdanie A to prawdziwe są zdania B i C (zachodzi także odwrotnie):
B.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>S=1
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P=1
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1
Z prawej strony zachodzi warunek wystarczający =>, zatem z lewej strony musi zachodzić warunek konieczny ~>.
cnd
i
C.
Jeśli zwierzę szczeka to może ~> być psem
S~>P=1
Prawo Kubusia:
S~>P = ~S=>~P=1
Jeśli zwierzę nie szczeka to na pewno => nie jest psem
~S=>~P=1
Z prawej strony zachodzi warunek wystarczający =>, zatem z lewej strony musi zachodzić warunek konieczny ~>.
cnd
8.2 Świat niezdeterminowany
Definicja:
Świat niezdeterminowany to świat w którym nie znamy z góry wartości logicznej ani jednej zmiennej
Przykład 1
Jutro pójdę do kina
Y=K
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=K
Y=1 <=> K=1
… a kiedy skłamię ?
Negujemy stronami bo to jest równoważność (tożsamość):
~Y=~K
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
~K=1 - prawdą jest (=1), że nie byłem w kinie (~K)
~Y=1 - prawdą jest (=1), że skłamałem (~Y)
To samo w formie symbolicznej:
~K - nie byłem w kinie
~Y - skłamałem
Oczywiście stan:
~K=1 - nie byłem wczoraj w kinie ma szansę wystąpić
Wtedy skłamałem:
~Y=1
Przykład 2
Jutro nie pójdę do kina
Y=~K
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Y=~K
Y=1 <=> ~K=1
… a kiedy skłamię ?
Negujemy stronami bo to jest równoważność (tożsamość):
~Y=K
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
~Y=K
~Y=1 <=> K=1
Oczywiście stan:
K=1 - byłem wczoraj w kinie ma szansę wystąpić
Wtedy skłamałem:
~Y=1
8.3 Świat zdeterminowany
Definicja:
Świat zdeterminowany to świat w którym wartości zmiennych logicznych są znane z góry.
Determinizm może być:
Całkowity, gdy znamy z góry wartości logiczne wszystkich zmiennych
Częściowy, gdy znamy z góry wartości logiczne niektórych zmiennych
8.4 Prawa eliminacji fałszu ze spójnika „lub”(+)
Definicja sumy logicznej
Suma logiczna (spójnik „lub”) n zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
Y=1 <=>p=1 lub q=1
Pełna definicja sumy logicznej:
p+q = p*q+p*~q+~p*q
Prawo eliminacji fałszu w świecie zdeterminowanym dla spójnika „lub”(+):
W świecie zdeterminowanym, częściowo lub całkowicie, w definicji sumy logicznej występuję fałsze które eliminujemy korzystając z pełnej definicji sumy logicznej.
Przykład:
A.
Pies szczeka lub miauczy
P=>S+M
Korzystamy z pełnej definicji spójnika „lub”(+)
Dla psa mamy:
S+M = (S*M=1*0=0) + (S*~M=1*1=1)+(~S*M=0*1=0) := S*~M
gdzie:
:= - symbol redukcji funkcji logicznej
Stąd po redukcji mamy zdanie prawdziwe:
Pies szczeka i nie miauczy
P=>S*~M
Tylko i wyłącznie do takiego zdania możemy stosować prawa logiczne np. przejście do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów
Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie szczekać lub miauczeć
~P~>~S+M
~P=1 <=> ~S=1+M=1
Losujemy zwierzaka: kot
M=1 - .. i już wiemy że to nie pies, drugiej zmiennej nie musimy sprawdzać
8.5 Prawa eliminacji fałszu ze spójnika „i”(*)
Definicja iloczynu logicznego
Iloczyn logiczny (spójnik „i”) n zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Y=1 <=>p=1 i q=1
Oczywiście jeśli zmienna q=0 jest zdeterminowana to:
Y=p*q = 1*0=0
Zdanie jest fałszywe.
Przykład:
A.
Pies szczeka i miauczy
P=>S*M
Dla psa mamy:
M=0
Zatem:
P=S*M=1*0=0
Całe zdanie jest fałszywe, wyrzucamy do kosza.
Prawo redukcji prawdy powstałej z negacji fałszu:
Y=p*~q
Jeśli ~q=1 to:
Y=p
Dowód:
jeśli ~q=1
to:
q=0 – zbiór pusty = zdanie fałszywe
Z punktu widzenia języka mówionego taka zmienna jest bezwartościowa, stąd redukcja ~q.
Od strony matematycznej takie zdanie jest poprawne bowiem zapis:
Y=p*~q
Oznacza matematycznie:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Zatem takiej redukcji możemy dokonać, ale nie musimy dokonać!
Przykład:
A.
Pies szczeka i nie miauczy
P=>S*~M
Dla psa mamy:
M=0 – zbiór psów miauczących jest zbiorem pustym
Stąd zdanie A po redukcji:
B.
Pies szczeka
P=>S
8.6 Operatory OR i AND w świecie zdeterminowanym
Definicja determinizmu:
Determinizm to pełna lub częściowa znajomość rozwiązania
Definicja świata niezdeterminowanego:
Świat jest niezdeterminowany, gdy wartości logiczne zdań wchodzących w skład operatora logicznego nie są zdeterminowane ani częściowo, ani całkowicie.
Zacznijmy od błahostki ze świata totalnie zdeterminowanego, gdzie z góry znamy wartości logiczne wszystkich zmiennych.
Przykład 1
Czy wiesz drogi czytelniku dlaczego Pani Przedszkolanka koryguje trzylatków którzy mówią:
A.
Pies ma cztery łapy lub szczeka
P=>(4L+S)
żądając jedynie słusznej formy:
B.
Pies ma cztery łapy i szczeka
P=>4L*S
Oczywiście nie wynika to z chciejstwa pani przedszkolanki, lecz z matematyki ścisłej, algebry Kubusia, pod którą wszyscy podlegamy.
Zdanie A jest matematycznie równoważne zdaniu:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy lub szczeka
P=>(4L+S)
Rozpiszmy następnik zgodnie z definicją szczegółową spójnika ‘lub”:
Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
stąd:
C.
Dla psa mamy:
4L+S = (4L*S=1) + (4L*~S=0) + (~4L*S=0) := 4L*S
gdzie:
:= - symbol redukcji
… i wszystko jasne, dwa ostatnie człony są fałszywe, zatem możemy je wywalić w kosmos.
Stąd po minimalizacji funkcji C otrzymujemy zdanie:
B.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma cztery łapy i szczeka
P=>4L*S
Zdanie równoważne w języku potocznym:
Pies ma cztery łapy i szczeka
P=>4L*S
Stąd znana każdemu poloniście reguła lingwistyczna:
Jeśli definiujemy cokolwiek to powinniśmy używać spójnika „i”.
Przykład 2
Zdanie wypowiedziane:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Y=1 <=> K=1 lub T=1
To samo zdanie w rozwinięciu szczegółowym:
Y= K+T = K*T+K*~T+~K*T
Dotrzymam słowa (Y) jeśli:
A.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
LUB
B.
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do teatru
Y=K*~T
LUB
C.
Jutro nie pójdę do Kina i pójdę do teatru
Y+~K*T
… a kiedy skłamie ?
Przejście ze zdaniem A do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~Y=~K*~T
D.
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
~Y=~K*~T
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Oczywiście po jutrze wyłącznie jedno zdanie ze zdań A,B,C,D może być prawdziwe, pozostałe będą fałszywe, nie ma innej możliwości matematycznej. Ten świat jest niezdeterminowany, bowiem jutro dowolne z powyższych zdań może być prawdziwe.
Weźmy teraz nasz przykład w skróconym zapisie symbolicznym:
| Kod: |
Dotrzymam słowa (Y) gdy:
Y=K+T – zdanie wypowiedziane
Y=K+T = K*T+K*~T+~K*T
A: K* T= Y
B: K*~T= Y
C:~K* T= Y
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki przeciwnej!
~Y - skłamię
D:~K*~T=~Y
|
Zauważmy, że symboliczna tabela operatorowa OR pokazuje wszystkie możliwe przypadki jakie jutro mogą zajść. Najważniejsza informacja to rozstrzygnięcie kiedy jutro dotrzymam słowa (Y), a kiedy skłamię (~Y). Oczywiście jutro może zajść wyłącznie jeden z powyższych przypadków, dzisiaj nie wiemy który, czyli rzeczywistość nie jest zdeterminowana.
Definicja miękkiej i twardej prawdy w logice:
Miękka prawda, może zajść ale nie musi, przykładem jest tu spójnik „lub”.
Twarda prawda, tylko jedno zdanie może być prawdziwe, przykładem jest tu spójnik „i”
Spójnik „lub” w naszym przykładzie to wyłącznie zdania A,B,C. Dla konkretnego losowania wyłącznie jedno z tych zdań może być prawdziwe.
Spójnik „i” w naszym przykładzie to wyłącznie zdanie D.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Definicja:
Determinizm to pełna lub częściowa znajomość rozwiązania
W szczególności:
Przeszłość = 100% determinizm.
Co się stało to się nie odstanie, film pt. „Nasz Wszechświat” został nakręcony i nic w nim nie można zmienić.
Prawo Sowy:
We wszystkich operatorach (w tym w OR i AND) znajomość rozwiązania determinuje jedno, jedyne zdanie prawdziwe ze spójnikiem „i”(*), czyli takie zdanie będzie spełniało definicję operatora AND !
Weźmy inny przykład ze świata totalnie zdeterminowanego.
Przykład 3
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af
Dla uproszczenia celowo pominięto pozostałe kontynenty
Prawo ogólne dla trzech zmiennych:
A.
Y=p+q+r
Y – wystąpi prawda, logika dodatnia bo Y
To samo w rozpisce szczegółowiej na podstawie szczegółowej definicji spójnika „lub”(+)
B.
Y=p+q+r = p*q*r+p*q*~r+p*~q*r+p*~q*~r+~p*q*r+~p*q*~r+~p*~q*r
… a kiedy wystąpi fałsz?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów
C.
~Y=~p*~q*~r
~Y - wystąpi fałsz, logika ujemna bo ~Y
Wyłącznie ta sekwencja iloczynu nie ma prawa pojawić się w równaniu B, pozostałe przypadki musza być w równaniu B uwzględnione!
Wróćmy do naszego przykładu.
Zdanie A będzie prawdziwe jeśli:
Y = E+Az+Af
czyli:
1: E*Az*Af =Y
lub
2: E*Az*~AF=Y
lub
3: E*~Az*Af=Y
lub
4: E*~Az*~Af=Y
lub
5: ~E*Az*Af=Y
lub
6: ~E*Az*~Af=Y
lub
7. ~E*~Az*Af=Y
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y
Zauważmy, że dowolny kraj musi gdzieś leżeć, zatem linia 8 będzie zawsze fałszem dla dowolnego, wylosowanego kraju
Losujemy kraj: Polska
Oczywiście w tym przypadku wyłącznie linia 4 będzie prawdziwa:
4.
Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
Y = E*~Az*~Af
Y=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1 = 1*1*1 =1
Ten punkt odniesienia determinuje:
E=1, ~E=0
~Az=1, Az=0
~Af=1, Af=0
Tabela zero-jedynkowa dla tego przypadku przybierze postać:
Y = E+Az+Af
czyli:
1: E*Az*Af =Y
1*0* 0 =0
lub
2: E*Az*~AF=Y
0*0*1=0
lub
3: E*~Az*Af=Y
0*1*0 =0
lub
Jedyne zdanie prawdziwe:
4: E*~Az*~Af=Y
1 1 1 =1
lub
5: ~E*Az*Af=Y
0*0*0 =0
lub
6: ~E*Az*~AF=Y
0*0*1 =0
lub
7. ~E*~Az*Af=Y
0*1*0 =0
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y
0 1 1 =0
Polska leży wyłącznie na jednym kontynencie, zatem otrzymaliśmy wyżej tabelę zero-jedynkową operatora AND dla zdania wypowiedzianego 4.
Twierdzenie Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie wartości logiczne zmiennych są znane, spójnik logiczny „lub”(+) ulega redukcji do spójnika „i”(*)
Dowód:
W przypadku spójnika „lub”(+) tylko i wyłącznie jedno zdanie może być prawdziwe spośród:
2^n-1
różnych zdań.
gdzie:
2^n – dwa do potęgi n
n – ilość zmiennych
Dla trzech zmiennych mamy:
2^n-1 = 2^3-1 = 8-1 = 7
Co jest zgodne z przykładem wyżej.
Z powyższego wynika, że jedynki w spójniku „lub” (zdania 1-7) wyrażają samą możliwość zajścia, że nie są to prawdy twarde, zachodzące zawsze, bez wyjątków.
Losujemy kraj: Rosja
Oczywiście w tym przypadku będzie prawdziwe wyłącznie zdanie 2.
Rosja leży w Europie i leży w Azji i nie leży w Afryce
Y=E*Az*~Af
Wszystkie pozostałe zdania będą tu fałszywe.
Mózg człowieka genialnie minimalizuje wszelkie funkcje logiczne.
Każde dziecko wypowie zdanie:
Dowolny kraj leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
Y=E+Az+Af
(w celu uproszczenia ograniczamy liczbę kontynentów)
… ale już dla konkretnego kraju absolutnie nikt nie powie:
Polska leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
P=E+Az+Af
bo doskonale wszyscy wiemy gdzie leży Polska.
W zagadkach takie zdanie jest jak najbardziej sensowne, ale przy znajomości rozwiązania jest bez sensu. Informacja precyzyjna po minimalizacji tej funkcji w sposób wyżej pokazany generuje jedynie słuszne zdanie:
Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
P = E*~Az*~Af
P=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1
Zauważmy, że takiego zdania również nikt nie wypowie z powodu znajomości rozwiązania.
W powyższym równaniu prawdy powstałe z negacji fałszu (~Az=1, ~AF=1) są bezwartościowe i każdy normalny człowiek je zignoruje wypowiadając zdanie precyzyjnie.
Polska leży w Europie
P=E
Zauważmy, że przy znajomości rozwiązania uwzględnianie w równaniu prawd powstałych z negacji fałszu jest bez sensu bo takich prawd jest nieskończenie wiele.
Przykład:
Polska leży w Europie i Polska to nie rzeka i Polska to nie wąsy dziadka ….
P = E * ~R * ~W …
Formalnie to zdanie jest prawdziwe, tyle że sensu w tym nie ma.
Kolejny przykład świata totalnie zdeterminowanego.
W poniższym przykładzie świadomie ograniczamy cechy definiujące psa wyłącznie do dwóch:
Pies ma cztery łapy i szczeka
P=>4L*S
Oczywiście w ogólnym przypadku takich cech może być „nieskończenie wiele”.
Przykład 4
Zdanie wypowiedziane
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => ma cztery łapy lub szczeka
P=>4L+S
To samo zdanie wypowiedziane w formie skróconej, czyli w formie zdania twierdzącego.
A.
Pies ma cztery łapy lub szczeka
P=>4L+S
P=1 => 4L=1 lub S=1
Po prawej stronie mamy cech charakteryzujące psa, zatem od strony matematycznej jest wszystko w porządku. Spójnik „lub”(+) nie jest jednak precyzyjny, natomiast logika 5-cio latka jest do bólu precyzyjna i każdy wypowie zdanie A w formie …
W definicji szczegółowej mamy tu:
P=>4L+S =( 4L*S=1)+(4L*~S=0)+(~4L*S=0) :=4L*S
:= - symbol redukcji
stad po redukcji otrzymujemy zdanie lingwistycznie wzorcowe:
B.
Pies ma cztery łapy i szczeka
P=>4L*S =1*1=1
Z tego powodu każda nauczycielka w przedszkolu będzie wymagała od dzieci wersji B.
Tylko w przypadku B mamy piękne i precyzyjne przejście do logiki ujemnej.
… a kiedy zwierzę nie jest psem ?
Przejście ze zdaniem B do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne
~P~>~4L+~S
Zauważmy, że otrzymaliśmy tu prawo Kubusia metodą na skróty.
Prawo Kubusia dla zdania B:
P=>4L*S = ~P~>~(4L*S)
Prawo de’Morgana dla prawej strony tożsamości:
~(p*q) = ~p+~q
Stąd nasza końcowa funkcja:
~P~>~4L+~S
Czyli:
Zwierze które nie jest psem (~P=1) może nie mieć czterech łap (~4L=1) lub może nie szczekać (~S=1)
~p~>~4L+~S
Losujemy zwierzaka i stwierdzamy:
Nie ma czterech łap
~4L=1
Wniosek:
To zwierzę na pewno nie jest psem, drugiej cechy „czy szczeka” nie musimy sprawdzać
Losujemy zwierzaka i stwierdzamy:
Nie szczeka
~S=1
Wniosek:
To zwierzę na pewno nie jest psem, drugiej cechy „ma cztery łapy” nie musimy sprawdzać
To jest istota spójnika „lub” dokładnie tak musi on działać !
Jeśli zatem ktoś powie:
A.
Pies ma cztery łapy lub szczeka lub miauczy lub ma dwie nogi
P=>4L+S+M+2N
to jest to zdanie matematycznie błędne!
Bowiem równanie algebry Kubusia opisujące to zdanie jest czysto matematycznym błędem!
Dlaczego?
P=>4L+S+M+2N
Taki zapis matematycznie oznacza:
P=1 => 4L=1 lub S=1 lub M=1 lub 2N=1
Czyli jak wylosujemy kota (M) to wyjdzie nam że miauczenie jest cecha psa, co jest idiotyzmem.
Jak wylosujemy kurę (2N) to wychodzi nam iż dwie nogi to cecha psa, czyli brednie.
Wniosek:
W świecie zdeterminowanym, gdy znamy z góry wartości logiczne zmiennych nie wolno nam umieszczać fałszu w spójniku „lub”(+), to jest błąd czysto matematyczny!
Oczywiście zdanie A można zapisać formalnie w taki sposób:
P=1 => 4L=1 lub S=1 lub M=0 lub 2N=0
Aby z takiego zapisu wygenerować równanie algebry Kubusia musimy wszystkie zmienne sprowadzić do jedynek.
W algebrze Kubusia zachodzi:
Jeśli A=0 to ~A=1
stąd:
P=1 => 4L=1 lub S=1 lub ~M=1 lub ~2N=1
Dopiero teraz możemy opuścić jedynki otrzymując poprawne równanie algebry Kubusia:
B.
Pies ma cztery łapy lub szczeka lub nie miauczy lub nie ma dwóch nóg
P=>4L+S+~M+~2N
Równanie B jest matematycznie poprawne ale nie jest to zdanie wzorcowe lingwistycznie.
Po rozwinięciu prawej strony na mocy definicji szczegółowej spójnika „lub”(+) jedynym prawdziwym członem będzie:
C.
P=>4L*S*~M*~2N
czyli:
Jeśli zwierze jest psem to na pewno ma cztery łapy i szczeka i nie miauczy i nie ma dwóch nóg
P=>4L*S*~M*~2N
ale …
To dalej nie jest zdanie lingwistycznie wzorcowe!
W zdaniu lingwistycznie wzorcowym eliminujemy wszelkie prawdy powstałe z negacji fałszu!
Końcowe zdanie wzorcowe jest takie:
D.
Pies ma cztery łapy i szczeka
P=>4L*S
Czy wszyscy już rozumieją dlaczego średnio rozwinięty 5-cio latek wypowiada precyzyjne zdanie D?
Odpowiedź:
Bo 5-cio latki doskonale znają matematykę, pod która podlega każdy człowiek, algebrę Kubusia!
Oczywiście 5-cio latek może sobie jaja robić i wypowiadać zdanie B bo to też jest zdanie matematycznie prawdziwe.
Zdanie C jest jak najbardziej zdaniem poprawnym i bliskim wzorcowemu, tego typu zdania są fundamentem poprawnej polszczyzny którą w przedszkolu wypracowują wszystkie 5-cio latki .. z pomocą pani przedszkolanki.
Przykład świata częściowo zdeterminowanego:
Przykład 5
A.
Każdy człowiek jest mężczyzną lub kobietą
C=>M+K =1
Matematycznie zdanie to oznacza:
Jeśli ktoś jest człowiekiem to na pewno => jest mężczyzną lub kobietą
C=>K+M
Zauważmy, że zdanie odwrotne też zachodzi:
Jeśli ktoś jest mężczyzną lub kobietą to na pewno jest człowiekiem
K+M =>C
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1=1
C<=>M+K
Wniosek:
Zdanie A to równoważność wypowiedziana w formie zdania twierdzącego, czyli zdanie A możemy matematycznie kodować tak:
C=K+M
C=1 <=> K=1 lub M=1
Zdanie A jest prawdziwe (C=1) wtedy i tylko wtedy gdy powiemy:
Każdy człowiek (C=1) jest mężczyzną (M=1) lub kobietą (K=1)
C=1 <=> M=1 lub K=1
Definicja sumy logicznej w rozpisce szczegółowej:
C=M+K = M*K+M*~K+~M*K
co matematycznie oznacza:
C=1 = (M*K=0) + (M*~K=1) +(~M*K=1) :=M*~K
gdzie:
:= - symbol redukcji
Zdanie:
Człowiek jest mężczyzną i kobietą
C=M*K=0
Jest oczywiście fałszywe, zatem nasz mózg minimalizuje funkcję logiczną do postaci:
C=M*~K+~M*K
Każdy człowiek (C=1) jest mężczyzną i nie jest kobietą (M*~K=1) lub nie jest mężczyzną i jest kobietą (~M*K=1)
… a czy istnieje człowiek który nie jest mężczyzną i nie jest kobietą ?
Przechodzimy ze zdaniem A do logiki ujemnej negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne
~C=~M*~K
Co matematycznie oznacza:
D.
Nie istnieje człowiek (~C=1), który nie jest mężczyzną (~M=1) i nie jest kobietą (~K=1)
~C=~M*~K
~C=1 <=> ~M=1 i ~K=1
Precyzyjny odczyt może być też taki:
D.
Prawdą jest (=1) że nie istnieje człowiek (~C), który nie jest mężczyzną (~M=1) i nie jest kobietą (~K=1)
~C=~M*~K
~C=1 <=> ~M=1 i ~K=1
Zauważmy, że po lewej stronie możemy zapisać:
Jeśli ~C=1 to C=0
czyli zdanie D przybierze postać:
D1.
Fałszem jest (=0) że istnieje człowiek (C), który nie jest mężczyzną (~M=1) i nie jest kobietą (~K=1)
C=0 <=> ~M=1 i ~K=1
Problem w tym, że z takiego zapisu nie da się wyeliminować bezwzględnych zer i jedynek, czyli nie da się zapisać zdania w postaci równania logicznego.
Dlatego taki zapis jest do bani !
Aby wyrugować ze zdania D1 bezwzględne zera i jedynki musimy wszystkie zmienne sprowadzić do tej samej wartości logicznej.
W logice dodatniej (zgodnej z naturalna logiką człowieka) wszystko sprowadzamy do jedynek i korzystamy z definicji spójnika „i”.
Definicja spójnika „i”:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”) jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
Mamy:
D1
Fałszem jest (=0) że istnieje człowiek (C), który nie jest mężczyzną (~M=1) i nie jest kobietą (~K=1)
C=0 <=> ~M=1 i ~K=1
Jeśli C=0 to ~C=1
stąd:
~C=1 <=> ~M=1 i ~K=1
Dopiero teraz możemy wywalić jedynki i zapisać zdanie w formie równania logicznego:
D.
Prawdą jest (=1) że nie istnieje człowiek (~C), który nie jest mężczyzną (~M=1) i nie jest kobietą (~K=1)
~C=~M*~K
~C=1 <=> ~M=1 i ~K=1
Czyli w efekcie otrzymaliśmy zdanie D a nie zdanie D1.
Poprawna logika matematyczna to logika symboliczna w równaniach algebry Kubusia izolowana od bezwzględnych zer i jedynek.
Twierdzenie:
Z praw matematycznych możemy korzystać tylko i wyłącznie po wyeliminowaniu bezwzględnych zer i jedynek z dowolnego zapisu logicznego.
Przykłady praw matematycznych:
Prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Twierdzenie:
Nie istnieje ani jedno prawo logiczne w którym prawda byłaby pomieszana z fałszem.
Oznacza to zakaz opuszczania bezwzględnych zer i jedynek w przypadku gdy wszystkie zmienne nie są sprowadzone do tej samej wartości logicznej.
Nasz przykład:
D1.
C=0 <=> ~M=1 i ~K=1
Dla powyższego zapisu nie wolno robić takich rzeczy:
C<=>~M*~K
bo to jest błąd czysto matematyczny !
Oczywiście dla dowolnego wylosowanego człowieka będziemy mieli 100% determinizm.
Losujemy: Kobieta
Ten człowiek jest kobietą i nie jest mężczyzną
C=K*~M
Po odrzuceniu prawdy powstałej z negacji fałszu otrzymamy końcową odpowiedź 5-cio latka:
To jest kobieta
9.0 Operatory implikacji w świecie zdeterminowanym
Twierdzenie Sowy:
W operatorach OR, AND, implikacji i równoważności znajomość rozwiązania determinuje definicję operatora AND.
Operatorami OR i AND zajęliśmy się wyżej.
Twierdzenie Sowy jest oczywistością, bo jak znamy w 100% rozwiązanie to składniki tego rozwiązania muszą być prawdziwe i połączone spójnikiem „i”
Zdanie:
Jeśli Jan nie był w Warszawie to na pewno nie zabił
~W=>~Z
… a jeśli Jan był w Warszawie ?
Prawo Kubusia:
~W=>~Z = W~>Z
Jeśli Jan był w Warszawie to mógł zamordować
W~>Z
Tego typu zdania są sensowne wyłącznie jeśli nie wiemy czy Jan jest mordercą.
Wtedy implikacjami w stylu jak wyżej dochodzimy prawdy.
Jeśli znamy prawdę „Jan nie był w Warszawie” to poprawne lingwistycznie zdanie jest wówczas takie:
Jan nie był w Warszawie i nie zamordował
J=>~W*~Z
Oczywiście sednem jest tu morderstwo, zatem zdanie 5-cio latka po końcowym uproszczeniu:
Jan nie jest mordercą
J=>~M
Kolejny przykład.
Zaistniały fakt:
Dziecko wybiegło na jezdnię i zabił je samochód
D=>W*ZS
Po fakcie nie ma sensu zdanie:
Jeśli wybiegniesz na jezdnię to może cię zabić samochód
W~>ZS
Załóżmy że jesteśmy świadkami takiego wypadku.
Przyjeżdża policjant i pyta co się stało.
Oczywiście jedyne sensowne zdanie jest tu takie:
Dziecko nagle wybiegło na ulicę i potrącił je samochód.
albo
Samochód wpadł w poślizg i potrącił prawidłowo idące dziecko
Jakiekolwiek implikacje nie mają tu sensu, bo mamy tu do czynienia z determinizmem, doskonale wiemy co się stało.
9.1 Podstawowe analizy implikacji prostej i odwrotnej
Implikacja prosta
Przykład:
Jeśli zwierze jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L
Analiza takich implikacji gdzie w poprzedniku i następniku mamy tylko jeden parametr bez operatorów AND i OR jest banalna.
Analiza:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L=1 bo pies - twarda prawda, gwarancja matematyczna
stąd:
B.
Jeśli zwietrzę jest psem to na pewno nie ma czterech łap
P=>~4L=0 - bo wszystkie psy mają cztery łapy, twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie z A
… a jeśli zwierze nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L=~P~>~4L
C.
Jeśli zwierze nie jest psem to może nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo mrówka, miękka prawda, może zajść ale nie musi
LUB
D.
Jeśli zwierze nie jest psem to może mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo słoń, miękka prawda, może zajść ale nie musi
W zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Dowód nie wprost.
Załóżmy, że w zdaniu D zachodzi warunek konieczny i zastosujmy prawo Kubusia:
D: ~P~>4L = B: P=>~4L=0
Prawa strona tożsamości jest twardym fałszem, zatem z lewej strony nie może być spełniony warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi co zostało udowodnione.
Tabele zero-jedynkowa implikacji prostej otrzymamy kodując powyższe zdania dla punktu odniesienia A czyli:
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
| Kod: |
A: P=>4L=1 /1 1 =1
B: P=>~4L=0 /1 0 =0
… a jeśli to nie pies?
Prawo Kubusia:
P=>4L=~p~>~4L
C: ~P~>~4L=1 /0 0 =1
D: ~P~~>4L=1 /0 1 =1
|
Implikacja odwrotna
Przykład:
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może być psem
4L~>P=1 bo pies, miękka prawda, bo może wystąpić B
LUB
B.
Jeśli zwierze ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P=1 bo słoń, miękka prawda, bo może zajść A
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
czyli:
C.
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
stąd:
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P=0 - twardy fałsz wynikły wyłącznie z C
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A otrzymamy tabelę zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
A: 4L~>P
4L=1, ~4L=0
P=1, ~P=0
| Kod: |
A: 4L~>P=1 /1 1 =1
B: 4L~~>~P=1 /1 0 =1
.. a jeśli nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
C: ~4L=>~P=1 /0 0 =1
D: ~4L=>P =0 /0 1 =0
|
9.2 Złożona implikacja prosta w świecie zdeterminowanym
Drodzy czytelnicy, czy zastanawialiście się kiedyś dlaczego w świecie zdeterminowanym wszyscy ludzie na ziemi używają jedynie słusznej formy np.
A.
Jeśli zwierze jest psem lub koniem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C
Przecież to zdanie możemy wyrazić aż w 32 różnych formach uwzględniając spójniki „i” oraz „lub” po każdej stronie znaku => !
Przykład formy wybranej losowo:
B.
Jeśli zwierzę jest psem lub nie jest koniem to na pewno ma cztery łapy lub ćwierka
P+~K=>4L+C
Dlaczego nawet dziecko 5-cio letnie nigdy nie wymówi B (lub podobnych) a zawsze wypowie to zdanie w jedynie słusznej formie A !
Matematyczną odpowiedź na to banalne pytanie daje algebra Kubusia.
Rozważmy to jedynie słuszne zdanie:
A.
Jeśli zwierze jest psem lub koniem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
P+K=>4L*~C
Definicja sumy logicznej:
p+q=p*q+p*~q+~p*q
Na mocy tej definicji rozpisujemy poprzednik:
Y=P+K = P*K+P*~K+~P*K
Oczywiście mamy tu człony:
A.
Zwierze jest psem i koniem = fałsz
P*K=0
B.
Zwierze jest psem i nie koniem
P*~K=P
Część wspólna zbiorów P i ~K w dziedzinie wszystkich zwierząt
C.
Zwierze nie jest psem i jest koniem
~P*K=K
Część wspólna zbiorów ~P i K w dziedzinie wszystkich zwierząt
Czyli mamy:
Y= P*K=0 +P*~K=P + ~P*K=K := P+K
gdzie:
:= - symbol redukcji
Stąd jedynie słuszna wersja poprzednika (funkcja minimalna):
Jeśli zwierzę jest psem lub koniem to ….
Y=P+K
cnd
Z następnikiem nie mamy tu żadnych problemów bo spójnik „i” jest jednoznacznie określony jedną linią tabeli zero-jedynkowej.
Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1.
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
Następnik w naszym jedynie słusznym zdaniu jest taki:
Zwierze ma cztery łapy i nie ćwierka
Y=4L*~C = 1*1=1
Oczywiście tu dowolne inne przeczenia będą fałszem:
4L*~C=1
4L*C=0
~4L*~C=0
~4L*C=0
Członów fałszywych dziecko 5-cio letnie nie wypowiada stąd jedynie słuszna forma następnika.
Rozważmy dwa przykładowe zdania z rozstrzygnięciem „dlaczego nikt tak nie mówi”.
1.
Jeśli zwierzę jest psem lub nie jest koniem to na pewno ma cztery łapy lub ćwierka
P+~K=>4L+C
Poprzednik:
P+~K = ~K – suma logiczna zbiorów P lub ~K w dziedzinie zwierząt
zatem równoważny i prawdziwy poprzednik brzmi:
Jeśli zwierzę nie jest koniem …
~K
Dokładnie to samo otrzymamy z równoważnej definicji sumy logicznej:
Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
Y=P+~K
Mamy:
P+~K:
P*~K=P – część wspólna zbiorów P i ~K to zbiór P
P*K=0 – zbiory rozłączne
~P*~K – iloczyn logiczny zbiorów nie jest pusty
Czyli po minimalizacji mamy:
Y=P+~K = P+~P*~K = ~K
Dowód:
Y=P+~P*~K
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów:
~Y = ~P*(P+K) = ~P*P + K = 0 + K = K
Prawa algebry Kubusia:
~P*P =0
0+K =K
Mamy:
~Y=K
Przechodzimy powrotem do logiki dodatniej poprzez negacje stronami:
Y = ~K
cnd
Następnik:
4L+C = 4L*C=0 lub 4L*~C=1 lub ~4L*C=0 := 4L*~C
:= - symbol redukcji
Jak widzimy jedyny prawdziwy następnik w tym przypadku brzmi jak w zdaniu wzorcowym !
2A.
Jeśli zwierzę jest psem i nie jest koniem to ma cztery łapy i nie ćwierka
P*~K=>4L*~C
Poprzednik:
P*~K = P – wspólna cześć zbiorów P i ~K w dziedzinie zwierząt
Zatem zdanie równoważne:
2B.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy i nie ćwierka
P=>4L*~C
Oczywiście wszyscy normalni mając do wyboru 2A albo 2B wybiorą 2B. Zdanie 2A to zapewne nawet 5-cio latkowi do głowy nie przyjdzie.
Jak widzimy, zdefiniowaliśmy zdanie „jedynie słuszne” w obszarze lingwistyki.
Czas teraz na jego analizę zero-jedynkową, czyli rozpatrzenie wszystkich możliwych przeczeń po stronie poprzednika i następnika.
Zdanie do analizy zero-jedynkowej:
A.
Jeśli zwierze jest psem lub koniem to na pewno ma cztery łapy i nie ćwierka
p=>q =1
P+K=>4L*~C =1 bo pies lub koń – gwarancja matematyczna, istota implikacji !
Przekształcenie pomocnicze ~q dla p=>~q:
q=4L*~C
Negujemy zmienne i wymieniamy operatory:
~q=~4L+C
B.
Jeśli zwierzę jest psem lub koniem to na pewno nie ma czterech łap lub ćwierka
p=>~q =0
P+K => ~4L+C =0
Dowód 1.
Dla psa lub konia mamy:
~4L=0 - oba zwierzaki mają 4 nogi
C=0 - oba zwierzaki nie ćwierkają
Następnik jest twardym fałszem, zatem całe zdanie jest fałszem bo:
p=>~q=0
p*~q = p*0=0 - zbiór ~q jest zbiorem pustym
Iloczyn logiczny zbioru pustego i czegokolwiek jest zbiorem pustym
Dowód 2.
Zbiór psów i zbiór koni jest zbiorem rozłącznym w stosunku do zwierząt które nie maja czterech łap i zwierząt ćwierkających.
Zatem:
p=>~q=0
bo:
p*~q=0 - zbiory rozłączne, zdanie fałszywe
Jaś (lat 5):
… a jeśli zwierze nie jest psem i nie jest koniem ?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów:
~P*~K~>~4L+C
Oczywiście to jest prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
uzyskane metoda na skróty.
czyli:
C.
Jeśli zwierze nie jest psem i nie jest koniem to może nie mieć czterech łap lub ćwierkać
~p~>~q
~P*~K ~>~4L+C =1 bo kura, wąż, wróbelek
p+q=p*q+p*~q+~p*q – definicja
p+q=~4L+C
p*q=~4L*C=wróbelek
p*~q=~4L*~C=kura, wąż …
~p*q=4L*C=0
LUB
D.
Jeśli zwierze nie jest psem i nie jest koniem to może mieć cztery łapy i nie ćwierkać
~p~~>q
~P*~K~~>4L*~C =1 bo słoń, hipopotam …
9.3 Złożona implikacja odwrotna w świecie zdeterminowanym
Uwaga:
Dla ułatwienia analizy wszędzie korzystamy z poniższej definicji sumy logicznej:
p+q = p*q+p*~q+~p*q
Odwróćmy zdanie z poprzedniego przykładu zmieniając parametr nie ćwierka (nie wróbelek) na nie miauczy (nie kot).
A.
Jeśli zwierze ma cztery łapy i nie miauczy to może być psem lub koniem
p~>q
4L*~M~>P+K =1 bo pies, koń (kot wykluczony !)
p+q=p*q+p*~q+~p*q - definicja
p+q=P+K
p*q=P*K=0
p*~q=P*~K=P – Pies =wspólna cześć zbiorów
~p*q=~P*K=K – Koń=wspólna cześć zbiorów
Przekształcenie pomocnicze ~q dla p~~>~q:
q=P+K
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów:
~q=~P*~K
czyli:
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy i nie miauczy to może nie być psem i nie być koniem
p~~>~q
4L*~M~~>~P*~K =1 bo słoń, hipopotam… (kot wykluczony !)
1 0 =1
… a jeśli zwierze nie ma czterech łap lub miauczy ?
Przechodzimy z równaniem A do logiki ujemnej uzyskując prawo Kubusia metodą na skróty:
A.
4L*~M~>P+K
C.
~4L+M => ~P*~K
czyli:
C.
Jeśli zwierze nie ma czterech łap lub miauczy to na pewno => nie jest psem i nie jest koniem
~p=>~q
~4L+M=>~P*~K =1 bo kura, mrówka, kot (tu jest kot !) – gwarancja matematyczna
p+q=p*q+p*~q+~p*q - definicja
p+q=~4L+M
p*q=~4L*M=0
p*~q=~4L*~M=kura,mrowka …
~p*q=4L*M=kot
D.
Jeśli zwierze nie ma czterech łap lub miauczy to na pewno jest psem lub koniem
~p=>q
~4L+M=>P+K =0 bo pies lub koń wykluczony
10.0 Obietnice i groźby
Żaden matematyk nie zakwestionuje poniższej definicji obietnicy:
Obietnica = implikacja prosta => - to jest w każdym podręczniku matematyki do I klasy LO
To wystarczy, dalej w banalny sposób można udowodnić że:
Groźba = implikacji odwrotna ~>
Dowód na przykładzie …
10.1 Obietnica
Typowa obietnica:
A.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 – gwarancja matematyczna
Obietnica, zatem implikacja prosta, tu wszyscy się zgadzamy
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” miedzy p i q w całym obszarze logiki
Skoro to warunek wystarczający => to:
B.
Jeśli będziesz grzeczny to na pewno => nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0
… a jak będę niegrzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G~>~C
Mama:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G~>~C
W groźbach (zdanie C) spójnik „może” ~> jest z reguły pomijany. Nie ma to znaczenia gdyż spójnik ten jest gwarantowany przez absolutna świętość algebry Boole’a, prawo Kubusia.
Z prawa Kubusia wynika tu coś fundamentalnego:
Wszelkie groźby (zdanie C) musimy kodować operatorem implikacji odwrotnej, inaczej algebra Kubusia (i Boole’a!) leży w gruzach.
Matematyczne znaczenie zdania C jest oczywiście takie:
C.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~> nie dostać czekolady
~G~>~C =1
LUB
D.
Jeśli będziesz niegrzeczny to możesz ~~> dostać czekoladę
~G~~>C =1 – akt miłości!
gdzie:
~> - warunek konieczny
~~> - naturalne "może", wystarczy jedna prawda.
Oczywiście z powyższej analizy matematycznej wynika, że wszelkie groźby muszą być kodowane implikacją odwrotną:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - implikacja odwrotna bo groźba
Z powyższego mamy definicję obietnicy i groźby …
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody
Prawo Kubusia:
W=>N = ~W~>~N
Gwarancją w implikacji jest zawsze warunek wystarczający =>.
W=>N
Jeśli spełnię warunek nagrody to na pewno => dostanę nagrodę z powodu że spełniłem warunek nagrody … poza tym wszystko może się zdarzyć.
W obietnicy nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca spełni warunek nagrody i będzie mógł wręczyć nagrodę. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca może dać nagrodę lub nie zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli nie spełni warunku nagrody to może otrzymać nagrodę (akt miłości). Odbiorca może zwolnić nadawcę z obietnicy np. w przypadkach losowych.
10.2 Groźba
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji!
Nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.
Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K
Stąd gwarancja:
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to na pewno => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.
W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.
Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L = ~B=>~L - implikacja odwrotna bo groźba
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania z powodu brudnych spodni. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.
W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne.
Analiza:
A:
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
LUB
B:
Jeśli ubrudzisz spodnie to nie dostaniesz lania
B ~~> ~L =1 - prawo do darowania kary (akt łaski)
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>.
Nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski) zależnej od niego!
Przykład:
JPII i Ali Agca
… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia
czyli:
C:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania (z powodu że nie ubrudziłeś spodni!)
~B => ~L =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Z punktu odniesienia zdania C mamy do czynienia z implikacją prostą.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć. Tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej.
stąd:
D:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => dostaniesz lanie
~B => L =0 - twardy fałsz, zakaz karania niewinnego z powodu czystych spodni
Jedyne sensowne przejście z operatora implikacji odwrotnej do AND i OR to odpowiedź na pytanie dziecka „kiedy wystąpi kłamstwo”:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
Y=B~>L
Jaś:
… tata, a kiedy skłamiesz ?
Y=B~>L = B+~L = ~(~B*L) - dotrzymam słowa
Negujemy dwustronnie:
~Y=~(B~>L) = ~B*L - skłamię
Skłamię (~Y=1), jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie (z powodu czystych spodni !)
~Y=~B*L
Jaś:
… a czy może się zdarzyć że przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie ?
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia, stąd:
Y=~(~B*L)
Nie może się zdarzyć że przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie (z powodu czystych spodni)
Y=~(~B*L)
Zauważmy, że ostatnie pytanie Jasia jest mało prawdopodobne bo odpowiedź dostał wcześniej.
W obietnicach i groźbach bardzo dobrze widać sens logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej.
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji prostej i odwrotnej:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.
Obietnica:
W=>N = ~W~>~N - prawo zamiany obietnicy => na równoważną groźbę ~>
Obietnica => w logice dodatniej (N) jest równoważna groźbie ~> w logice ujemnej (~N)
Groźba:
W~>K = ~W=>~K - prawo zamiany groźby ~> na równoważną obietnicę =>
Groźba ~> w logice dodatniej (K) jest równoważna obietnicy => w logice ujemnej (~K)
Piękna jest też następująca interpretacja obietnicy i groźby.
| Kod: |
p q p~>q p<=q
1 1 =1 =1
1 0 =1 =1
0 0 =1 =1
0 1 =0 =0
|
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Z tabeli widzimy że:
~> = <= - pod warunkiem że symbol <= będziemy czytać przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym (operator implikacji odwrotnej)
Obietnica:
W=>N - ja tego chcę, biegnę do nagrody
=> czytane zgodnie ze strzałką jako spójnik „musi” z warunkiem wystarczającym
Groźba:
W~>K = W<=K - ja tego nie chcę, uciekam od kary
gdzie:
<= - czytane przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym
Odróżnianie nagrody od kary to fundament wszelkiego życia. Zwierzątka które tego nie odróżniają, czyli wszystko co się rusza traktują jako nagrodę (ja tego chcę) skazane są na zagładę.
W Australii żyje sobie żółw błotny który na języku ma wyrostek imitujący żywego robaka, ryba która nabierze się na ten podstęp musi zginąć.
10.3 Analiza złożonej obietnicy
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
A.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to dostaniesz czekoladę i obejrzysz bajkę
p=>q
P*~B=>C*B=1
B.
p=>~q
~q=~(C*B)=~C+~B
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to nie dostaniesz czekolady lub nie obejrzysz bajki
P*~B=>~C+~B =0
Rozpisujemy następnik przez definicje spójnika „lub”:
p+q = p*q+p*~q+~p*q
~C+~B
Możliwe kary
A: ~C*~B=0 - to jest 100% kary
B: ~C*B =0 - tu też jest element kary
C: C*~B=0 - tu również jest kara
Zatem suma logiczna:
A+B+C = 0+0+0=0 – zakaz wykonywania jakiejkolwiek kary w przypadku spełnienia warunku nagrody
… a jeśli nie spełnię warunku nagrody ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Czyli negujemy zmienne w równaniu A i odwracamy operatory - prawo Kubusia na skróty.
~P+B~>~C+~B
Oczywiście w tym przypadku mamy do czynienia z groźbą i definicją groźby.
czyli:
C.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to możesz nie dostać czekolady lub nie obejrzeć bajki
~p~>~q
~P+B~>~C+~B=1
Warunki ukarania:
D: ~P*B=1 - warunek kary spełniony
E: ~P*~B=1 - warunek ukarania spełniony
F: P*B=1 - warunek ukarania spełniony
Równanie kary:
D+E+F = x+x+x=x
Jeśli dowolny warunek spełniony to mama ma 100% wolnej woli.
Zdanie C pozwala na częściowe darowanie kary, natomiast łącznie ze zdaniem D kara może być darowana w 100% !
LUB
D.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę i obejrzysz bajkę
~p~~>q=1
~P+B~~>C*B=1
W tej linii jest prawo do darowania kary w 100%
10.4 Analiza złożonej groźby
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W~>~K
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
A.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to nie dostaniesz czekolady i nie obejrzysz bajki
p~>q
~P+B~>~C*~B
Przekształcenie pomocnicze w celu uzyskania ~q dla:
p~~>~q
~q:
~(~C*~B)= C+B
stąd:
B.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę lub obejrzysz bajkę
p~~>~q
~P+B~~>C+B
Rozwijamy następnik na mocy definicji spójnika „lub”
p+q = p*q+~p*q+p*~q
C+B:
C*B=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz bajkę, 100% darowanie kary
~C*B=1 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz bajkę, częściowe darowanie kary
C*~B=1 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz bajki, częściowe darowanie kary
Mamy tu akt łaski, mama może darować karę całkowicie lub częściowo, cokolwiek nie zrobi to nie ma szans na zostanie kłamcą, czyli ma 100% wolnej woli.
… a jeśli posprzątam pokój i nie będę bił siostry ?
Mamy równanie A:
p~>q
~P+B~>~C*~B
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów, czyli prawo Kubusia uzyskane metoda na skróty:
~p=>~q
P*~B=>C+B
stąd:
C.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to na pewno => dostaniesz czekoladę lub obejrzysz bajkę
~P=>~q
P*~B=>C+B
Rozwinięcie sumy logicznej C+B mamy wyżej.
Oczywiście tu nie może być mowy o najmniejszej nawet karze bowiem warunek groźby nie został spełniony.
Mamy zatem:
C*B=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz bajkę, 100% darowanie kary
~C*B=0 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz bajkę, bo zakaz karania
C*~B=0 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz bajki, bo zakaz karania
W tym przypadku mama nie ma prawa na wykonanie choćby najmniejszej kary, zatem musi dać czekoladę i pozwolić na obejrzenie bajki.
stąd:
D.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to na pewno => nie dostaniesz czekolady i nie obejrzysz bajki
~p=>q=0
P*~B=>~C*~B=0
Całkowity zakaz karania, bowiem warunek kary nie został spełniony
10.5 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym
Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Gwarancja w implikacji prostej:
E=>K
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer z powodu że zdałeś egzamin, poza tym wszystko może się zdarzyć - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji prostej w obietnicy.
Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => dostaniesz komputer
E=>K =1
stąd:
B.
Jeśli zdasz egzamin to na pewno => nie dostaniesz komputera
E=>~K =0 - dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
… a jeśli nie zdam egzaminu ?
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli:
C.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~> nie dostać komputera
~E~>~K =1
LUB
D.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K =1 - akt miłości
Zdanie C to ewidentna groźba. Intencją wypowiadającego jest, aby groźba była groźbą, dlatego praktycznie zawsze pomijany jest spójnik „może”.
Zdanie C przybierze postać.
C.
Jeśli nie zdasz egzaminu to nie dostaniesz komputera
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu jest warunkiem koniecznym nie dostania komputera, zatem implikacja odwrotna. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.
Oczywiście na mocy definicji groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K
zatem powyższą groźbę musimy kodować operatorem implikacji odwrotnej ~>:
~E~>~K
Matematyczna wolna wola
Matematyczna wolna wola to operator implikacji odwrotnej.
W przypadku nie zdania egzaminu, nadawca może nie dać komputera (C) lub dać komputer (D) co zależy tylko i wyłącznie od jego „widzi mi się” czyli wolnej woli.
W skrajnym przypadku może wyjąć monetę i rzucać:
orzełek - dam komputer
reszka - nie dam komputera
… i nie ma szans na zostanie kłamcą.
„Rzucanie monetą” jest matematyczną wolną wolą, ale nie jest wolną wolą człowieka !
Człowiek rzucający monetą staje się maszyną, wobec której nie można mówić o „wolnej woli”.
Wolna wola człowieka:
Wolna wola człowieka to świadoma decyzja negatywna lub pozytywna, nadawca powinien umieć uzasadnić decyzję.
Decyzja negatywna:
Nie zdałeś egzaminu, nie dostaniesz komputera
oczywiście domyślne jest tu „z powodu że nie zdałeś egzaminu”, nadawca może to rozwinąć np. bo kompletnie się nie uczyłeś itp.
Decyzja pozytywna:
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer, bo cie kocham, bo widziałem że się uczyłeś ale miałeś pecha itp.
Oczywiście matematycznie zabronione jest tu uzasadnienie zależne, identyczne jak warunek czyli:
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo nie zdałeś egzaminu
Matematyczny dowód pkt. 11.1
Prawdopodobieństwo zajścia „aktu miłości” w obietnicy:
1.
Zauważmy, że nadawca dobrowolnie obiecuje nagrodę, czyli chce tą nagrodę dać. Jeśli zobaczy że odbiorca starał się ale mu nie wyszło to z reguły i tak wręczy nagrodę (akt miłości).
2.
Obietnice „szyte są na miarę” odbiorcy, czyli nadawca nie daje obietnic gdzie spełnienie warunku nagrody jest niemożliwe lub bardzo mało prawdopodobne. Stąd najczęściej odbiorca spełnia warunek nagrody, nadawca wręcza nagrodę … i wszyscy są szczęśliwi.
Oczywiście obietnice to przyszłość której nie znamy, jednak jeśli obietnica wypowiedziana jest między przyjaciółmi, znajomymi czy nawet miedzy osobami obcymi to z reguły jest dotrzymywana. Czyli prawdopodobieństwo iż nagroda znajdzie się u nadawcy jest tu bardzo wysokie, myślę że na poziomie 90% lub wyższym.
Odrębnym zagadnieniem jest składanie fałszywych obietnic wobec wrogów których chcemy zniszczyć, tu podstęp i fałsz jest na porządku dziennym w myśl zasady, wszystkie chwyty dozwolone byleby zniszczyć wroga. Zauważmy jednak, że nasz wróg dał się złapać w pułapkę dzięki temu że spodziewa się nagrody, czyli również doskonale zna symboliczna algebrę Kubusia.
Każde żywe stworzenie, chce mieć jak najmniej wrogów i jak najwięcej przyjaciół, zatem w powodzi wypowiedzianych obietnic te fałszywe stanowią margines. Zauważmy, że stworzenia żywe żyją w grupach w ramach swojego gatunku. Tu również działa algebra Kubusia, człowiek nie jest tu żadnym wyjątkiem.
Zauważmy, że jeśli przyjmiemy „akt miłości” i „akt łaski” za dobro i wykluczymy linie fałszywe w groźbach i obietnicach to otrzymamy taki wynik:
Dobro-Zło = 4:2
Zatem matematycznie nasz Wszechświat ustawiony jest na dobro.
Weźmy na koniec typowa groźbę.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
B~>L = ~B=>~L
czyli:
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach to na pewno => nie dostaniesz lania
~B=>~L
... z powodu czystych spodni - tylko tyle i aż tyle gwarantuje operator implikacji odwrotnej.
Równanie jest absolutnie genialne:
B~>L = ~B=>~L
Po prawej stronie mamy 100% determinizm, dlatego to jest matematyka ścisła.
Po lewej stronie mamy matematyczna wolną wolę człowieka, czyli jeśli syn przyjdzie w brudnych spodniach to nadawca może go zabić albo darować lanie (gwarancja wolnej woli) ... i nie ma szans na zostanie kłamcą. Tożsamość to tożsamość, z matematyką się nie dyskutuje.
Determinizm filozoficzny i fizyczny
Determinizm w ujęciu filozoficznym można sprowadzić do jednego zdania:
Jeśli ktokolwiek zna moje myśli z wyprzedzeniem to moja wolna wola leży w gruzach, mój Wszechświat jest zdeterminowany.
Determinizm w ujęciu fizycznym opisuje genialna implikacja. W jednej połówce implikacji zarówno prostej jak i odwrotnej mamy 100% determinizm (=>), zaś w drugiej "rzucania monetą” ( ~>)
Oczywiście determinizm fizyczny to również równoważność p<=>q, ale ta występuje głównie w matematyce, w świecie rzeczywistym króluje implikacja.
10.6 Rodzaje obietnic
1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
… a jak nie zdam egzaminu.
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli jeśli syn nie zda egzaminu to mogę mu tego komputera nie kupić lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
Po egzaminie następuje rozstrzygnięcie
2.
Obietnica z odroczoną wykonalnością:
Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
J=>G
… a jak przyjdę pojutrze ?
J=>G = ~J~>~G
Oczywiście jak ktoś przyjdzie później, byle przed egzaminem to też może dostać gotowca ale nie musi. Po egzaminie ta obietnica traci sens.
3.
Obietnica w której spełnienie warunku obietnicy jest bardzo mało prawdopodobne:
Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód
W=>S
… a jak nie wygram w TOTKA ?
Prawo Kubusia:
W=>S = ~W~>~S
Jeśli nie wygram w TOTKA to mogę ci nie kupić samochodu lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
[b11.0 Obietnice i groźby w równaniach matematycznych[/b]
Równoważną do analizy zero-jedynkowej gróźb i obietnic jak wyżej, jest ich analiza przy pomocy równań matematycznych.
11.1 Obietnica w równaniach matematycznych
Zastosujmy świętą zasadę algebry Boole’a „Jak się mówi tak się pisze” doskonale znaną wszystkim dobrym logikom praktykom, ci od cyfrowych układów logicznych..
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (W) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody.
Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy:
U=1 – dam nagrodę
U=0 – nie dam nagrody
Równanie obietnicy:
N=W+U
Gdzie:
N=1 – mam nagrodę
N=0 – nie mam nagrody
W=1 – warunek nagrody spełniony
W=0 – warunek nagrody nie spełniony
Zmienna uznaniowa nadawcy:
U=1 – dam nagrodę
U=0 – nie dam nagrody
Analiza równania obietnicy.
A.
W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody.
Równanie obietnicy przybierze wówczas postać:
N = 1+U = 1 – muszę dostać nagrodę.
W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że nadawca obiecał nagrodę z własnej woli, że chce dać nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy.
B.
W=0 – warunek nagrody nie spełniony
Równanie obietnicy przybiera postać:
N=W+U=0+U=U
Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną.
U=1 – dam nagrodę
U=0 – nie dam nagrody
Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić !
W tym przypadku nadawca może wszystko z maleńkim wyjątkiem:
Nie spełniłeś warunku nagrody (W=0) dostajesz nagrodę, bo nie spełniłeś warunku nagrody (U=W=0)
Równanie obietnicy przybierze tu postać:
N = W+U = 0+0 =0
Zakaz wręczenia nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu nie spełnienia warunku nagrody (W=0).
Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.
Przykład:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Równanie obietnicy:
K = W+U
Jeśli egzamin zdany (W=1) to:
K=1+U =1 - gwarancja otrzymania komputera.
Zmienna uznaniowa nadawcy jest tu bez znaczenia.
Jeśli egzamin nie zdany (W=0) to:
K=W+U = 0+U =U
Wszystko w rękach nadawcy:
U=1 - dam komputer
U=0 - nie dam komputera
Akt miłości nie zaszedł:
U=0
Nie zdałeś egzaminu (W=0), nie dostajesz komputera ... bo kompletnie się nie uczyłeś (U=0)
Równanie obietnicy:
K=W+U = 0+0 =0 - nie mam komputera
Akt miłości zaszedł:
U=1
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem kupić ci komputer itp. (U=1 dowolne uzasadnienie niezależne)
Równanie obietnicy:
N=W+U=0+1=1 – mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości)
Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek nagrody.
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0).
Równanie obietnicy:
N=W+U=0+0=0 – zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu „nie zdania egzaminu” (W=U=0)
Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.
11.2 Groźba w równaniach matematycznych
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Zostanę ukarany (K) gdy spełnię warunek kary (W) i nadawca zdecyduje o ukaraniu (U).
W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić. Przyjmijmy zmienna uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość.
Matematyczne równanie groźby:
K=W*U
Gdzie:
K=1 – zostanę ukarany
K=0 – nie zostanę ukarany
W=1 – warunek kary spełniony
W=0 – warunek kary nie spełniony
Nadawca może ustawić zmienną uznaniową na dowolną wartość:
U=1 – ukarać
U=0 – nie karać (akt łaski)
Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary zaś nadawca odstąpi od wykonania kary (U=0 - akt łaski).
Analiza równania groźby.
K=W*U
A.
W=0 – warunek kary nie spełniony
Równanie groźby przybierze wówczas postać:
K=W*U=0*U=0 – zakaz karanie jeśli warunek kary nie zostanie spełniony.
Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania z powodu nie spełnienia warunku kary.
B.
W=1 – warunek kary spełniony
Równanie groźby przybiera postać:
K=W*U=1*U=U
Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli:
U=1 – karać
U=0 – nie karać
Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp. (U=0 - dowolne uzasadnienie niezależne)
K=W*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany, bo nadawca zastosował akt łaski
Zauważmy, że nadawca może robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostajesz lania, bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1).
Równanie groźby:
K=W*U=1*1=1 – kara musi być wykonana, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym
Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.
Koniec 2012-02-04
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 0:14, 05 Lut 2012, w całości zmieniany 9 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
