ŚFiNiA

[rafal3006]

Czyżby Fiklit, jako pierwszy Ziemianin zrozumiał algebrę Kubusia?
Ten post daje nadzieję, że tak jest … jeśli nawet nie „już” to za chwilę.

[fiklit]

Matematycy rozumieją te zależności od dawna. To ty nie rozumiesz, że oni rozumieją.

[idiota]

Żeby jeszcze zamieszać rafałkowi w pustej makówce dodam, że logika normalnych dodatkowo daje tu cztery typy stosunkowmiędzy denotacjami nazw:
Identyczności - równoważność
Podporządkowania - nadrzędność i podrzędność
Krzyżowania - niezależność i podprzeciwieństwo
Rozłączności - przeciwieństwo i sprzeczność.

ale się teraz o własne nogi będzie wywracał...

[rafal3006]

[idiota]

ja się tu nie tylko przewracam, ale i pokładam!

[fiklit]

Będzie obalał diagramy.

[idiota]

Bach się strać...
Kiedy rafał obali dodawanie?

[rafal3006]

Algebra Kubusia
Nowa Teoria Zbiorów
Część I

1.0 Dekalog Nowej Teorii Zbiorów

1.
Symbole
„~” - symbol negacji (przeczenia), słówko „NIE” z naturalnego języka mówionego człowieka

„i”(*) - symbol iloczynu logicznego zbiorów p*q, spójnik „i”(*) w naturalnej logice człowieka
Y=p*q - wspólna część zbiorów p*q

„lub”(+) - symbol sumy logicznej zbiorów p+q, spójnik „lub”(+) w naturalnej logice człowieka
Y=p+q - wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

„-„ - różnica zbiorów p-q
Y=p-q - wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q

Wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz

Definicja zbioru niepustego i pustego:
Zbiór jest niepusty gdy zawiera co najmniej jeden element
Zbiór jest pusty gdy nie zawiera żadnych elementów

Zbiory mają wartości logiczne:
p =[x] =1 - zbiór niepusty
p =[] =0 - zbiór pusty
Gdzie:
p - nazwa zbioru
[pies, kot …] - zawartość zbioru, wypisujemy elementy zbioru
p =[x] =1
Pierwsza tożsamość (=[x]) definiuje zbiór, (tożsamość definiująca) natomiast druga (=1) przypisuje temu zbiorowi wartość logiczną (tożsamość wartościująca).

2.
Podstawowe definicje i działania na zbiorach

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór na którym operujemy, nic spoza dziedziny nas nie interesuje
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6] =1 - zbiór pełny

Definicja zaprzeczenia zbioru:
Zaprzeczenie zbioru to różnica dziedziny D i dowolnego zbioru x wewnątrz dziedziny (w tym D)
Oznaczmy:
D - dziedzina
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty []:
~D=[D-D] =[] =0 - zbiór pusty
Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~[] = D =1 - zbiór pełny (dziedzina)

Różnica zbiorów p-q:
Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Zdefiniujmy zbiory p i q:
p=[1,2,3,4] =1 - zbiór wejściowy niepusty
q=[3,4,5,6]
~p =[D-p] =[1,2,3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6] =1 - zbiór wynikowy niepusty
~q =[D-q] =[1,2,3,4,5,6]-[3,4,5,6] =[1,2]

Iloczyn logiczny zbiorów:
Iloczyn logiczny zbiorów p*q to wspólna część tych zbiorów
Y = p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty

Suma logiczna zbiorów:
Suma logiczna zbiorów p+q to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty

3.
Podzbiór =>
Zbiór p jest podzbiorem zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q
p=>q - zbiór p jest podzbiorem => q
p=>q =1 - prawda (=1), gdy rzeczywiście p jest podzbiorem q (inaczej: fałsz =0)
Konsekwencje w zbiorach:
p=>q = [p*q =p]

4.
Nadzbiór ~>
Zbiór p jest nadzbiorem zbioru q gdy zawiera w sobie wszystkie elementy zbioru q
p~>q - zbiór p jest nadzbiorem ~> q
p~>q =1 - prawda (=1), gdy rzeczywiście p jest nadzbiorem ~> q (Inaczej: fałsz =0)
Konsekwencje w zbiorach:
p~>q = [p*q=q]

Przykład:
D=[1,2,3,4,5,6] - dziedzina
p=[1,2] - zbiór p
q=[1,2,3,4] - zbiór q
Podzbiór => vs nadzbiór ~>:
p=>q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p~>q =0 - bo zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
Nadzbiór ~> vs podzbiór =>:
q~>p =1 - bo zbiór q jest nadzbiorem ~> zbioru p
q=>p =0 - bo zbiór q nie jest podzbiorem => zbioru p

5.
Zbiory tożsame
p=q
Zbiory p i q nazywamy tożsamymi wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru p należy => do zbioru q i każdy element zbioru q należy => do zbioru p
Innymi słowy:
Zbiory p i q nazywamy tożsamymi wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru p jest podzbiorem => zbioru q i każdy element zbioru q jest podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
Matematycznie zachodzi tożsamość:
należy => do zbioru p = jest podzbiorem => zbioru p

6.
Kwantyfikator mały p~~>q

Definicja kwantyfikatora małego w zbiorach:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x)
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)
Kwantyfikator mały ~~> jest tożsamy z iloczynem logicznym zbiorów p*q
p~~>q = p*q =1 - prawda (=1), gdy zbiór p ma wspólny element ze zbiorem q (Inaczej: Fałsz =0)

Definicja kwantyfikatora małego ~~> w zdarzeniach:
Możliwe jest ~~> (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q (inaczej =0)
Przykład:
P~~>CH =P*CH =1 - „Pada” i „są chmury” zdarzenie możliwe (=1)
P~~>~CH =P*~CH =0 - „Pada” i „nie ma chmur” - zdarzenie niemożliwe (=0)

7.
Warunek wystarczający =>

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
p=>q - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
Mówimy że p jest wystarczające => dla q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q.
Wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru p jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ta liczba należała do zbioru q
Wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru p daje nam gwarancję matematyczną => przynależności tej liczby do zbioru q
Wymuszam dowolne p i musi => pojawić się q.
Warunek wystarczający => dotyczy zarówno dowolnych elementów zbiorów p i q jak i kompletnych zbiorów.
Wymuszam kompletny zbiór p i mam gwarancję matematyczną, że ten zbiór jest podzbiorem => zbioru q
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = podzbiór => p w obrębie zbioru q

Definicja kwantyfikatora dużego w zbiorach:
/\x p(x) => q(x)
Dla każdego elementu x, jeśli element x należy do zbiory p(x) to mamy gwarancję matematyczną => iż element x należy do zbioru q(x)

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
p=>q - zajście zdarzenia p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia q
Przykład:
P=>CH - zdarzenie „pada” jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia „chmur”

8.
Warunek konieczny ~>

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
p~>q - zbiór p jest nadzbiorem ~> dla zbioru q
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
Mówimy że p jest konieczne ~> dla q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera w sobie wszystkie elementy zbioru q
Zabieram wszystkie elementy zbioru p i znika mi zbiór q
Zabieram kompletny zbiór p i znika mi zbiór q
Zauważmy, że warunek konieczny ~> to fundamentalnie co innego niż warunek wystarczający =>.
Dowód:
Jeśli wylosuję dowolny element zbioru p to nie mam żadnej gwarancji matematycznej => iż ten element będzie należał do zbioru q
Przykład: liczba 3 należy do zbioru p i nie należy do zbioru q.

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
p~>q - zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zaistnienia zdarzenia q
Przykład:
CH~>P - istnienie „chmur” jest konieczne ~> do tego, by „padało”
Zabieram chmury wykluczając możliwość padania.

9.
Zdanie warunkowe „Jeśli p to q”

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik

Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zbiorach opisuje wzajemną relację zbiorów p i q
Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zdarzeniach opisuje wzajemną relację zdarzeń p i q

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Warunek wystarczający p=>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (Inaczej: p=>q =0)

Warunek wystarczający można zapisać w sposób tożsamy przy pomocy kwantyfikatora dużego:
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego elementu x, jeśli element x należy do zbioru p(x) to mamy gwarancję matematyczną => iż ten sam element należy do zbioru q(x)

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Warunek wystarczający => jest spełniony wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p wymusza zajście zdarzenia q.

Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Warunek konieczny p~>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (Inaczej: p~>q =0)

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zabieram chmury wykluczając padanie.

Definicja kwantyfikatora małego ~~>
A.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Kwantyfikator mały p~~>q =1 jest spełniony (=1) gdy istnieje wspólny element zbiorów p*q (Inaczej: p~~>q =0)

Zapis tożsamy:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x)
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)

Przykład:
Zbiory:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 =P8*P2 =1 bo 8 - istnieje wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8 ..]
Zdarzenia:
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1 - możliwa jest (=1) sytuacja „pada” i „są chmury”

10.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Warunek wystarczający p=>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (Inaczej: p=>q =0)
Prawdziwość warunku wystarczającego A gwarantuje fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q
Kwantyfikator mały p~~>~q =1 jest spełniony (=1) gdy istnieje wspólny element zbiorów p*~q (Inaczej: p~~>~q =0)

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q =p*~q

Rozstrzygnięcia:
10-1.
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =1 daje nam gwarancję matematyczną fałszywości zdania kodowanego warunkiem wystarczającym p=>q =0 (i odwrotnie)
10-2.
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =0 daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości warunku wystarczającego p=>q=1 (i odwrotnie)

[rafal3006]

Dzięki Fiklicie!
Wykresami podsunąłeś mi pomysł nowej konstrukcji diagramów logicznych, myślę, że nowe diagramy będą nieporównywalnie lepsze.
Muszę wszystko dopracować, więc chwilę to może potrwać.

[fiklit]

Jak tam obalanie diagramów?

[idiota]

chyba obalone,amy nie zauważyliśmy...

[fiklit]

Pewnie przez wyprane mózgi.

[rafal3006]

Algebra Kubusia
Nowa Teoria Zbiorów
Część II

Link do części I
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/prawo-subalternacji,8368-375.html#271848

[fiklit]

Skoro przeciwieństwo i podprzeciwieństwo nazwałeś "nietypową implikacją prostą", to czemu również "implikacji odwrotnej" nie nazwiesz nietypową implikacją prostą ~p|=>~q ?

[rafal3006]

[fiklit]

A gdzie to obalanie?

[rafal3006]

[fiklit]

skoro to są diagramy położeń zbiorów p i q to czemu w przypadku "nietypowych impikacji" mówisz o dopełnieniu?

[rafal3006]

[fiklit]

Mógłbyś zaznaczyć gdzie odpowiedziałeś na moje pytanie?

[rafal3006]

[fiklit]

"5.
Nietypowa implikacja prosta ~p|=>q w logice dodatniej (bo q) = ziemskie podprzeciwieństwo "
Miało być o "diagramy położeń zbiorów p i q" a jest o "~p i q".

[rafal3006]

[fiklit]

[rafal3006]