ŚFiNiA

[idiota]

No i właśnie wychodzi jak mała jest rozdzielczość myślenia rafała.
Nawet nie widzi, że B100 od B100 nie da się u niego odróżnić.

[rafal3006]

[rafal3006]

[fiklit]

Mówię o przejściu z
"W skarbonce A są 2 banknoty 100-złotowe "
do
"A=[B100, B100]".

[rafal3006]

[fiklit]

Rafał robisz dobrą robotę, zawsze coś mi z tym przecinkiem nie pasowało, teraz gdy , oznacza sumę algebraiczną, wszystko zaczyna mieć sens.

Ale wracając do logiki.
Logicznie jest nierozróżnialne czy mam
- 1 banknot 100 złotowy. A=[B100]
- 2 banknoty 100 złotowe. A=[B100,B100]
- 3 banknoty 100 złotowe. A=[B100,B100,B100]
- 4 banknoty 100 złotowe. A=[B100,B100,B100,B100]
- 5 banknoty 100 złotowe. A=[B100,B100,B100,B100,B100]
Skoro wszystkie powyższe A są tym samaym A,
to ile razy B100 należy do A?

[rafal3006]

[fiklit]

Rafał to jest proste pytanie o AK:

Skoro wszystkie powyższe A są tym samym A,
to ile razy B100 należy do A?

Czy może krotność występowania B100 w zbiorze A nie jest cechą zbióru A, lecz jedynie cechą wyrażenia reprezentującego zbiór A?

Czyli krótko: czy pytanie: "ile razy B100 należy do A?" ma w AK sens, a jeśli tak, to jaka jest odpowiedź.

[rafal3006]

[fiklit]

Rafał to jest proste pytanie o AK:

Skoro wszystkie powyższe A są tym samym A,
to ile razy B100 należy do A?

Czy może krotność występowania B100 w zbiorze A nie jest cechą zbióru A, lecz jedynie cechą wyrażenia reprezentującego zbiór A?

Czyli krótko: czy pytanie: "ile razy B100 należy do A?" ma w AK sens, a jeśli tak, to jaka jest odpowiedź.

[rafal3006]

[fiklit]

A=[B100]=[B100,B100]=[B100,B100,B100]=[B100,B100,B100,B100,B100]=[B100,B100,B100,B100]
Ile razy B100 nalezy do zbioru A?

" może być powielony" nie jest odpowiedzia na pytanie "ile razy".

[rafal3006]

[fiklit]

"Dowolną ilość razy - to kompletnie bez znaczenia "
Czyli nie "jest elementem ileś razy" tylko po prostu "jest elementem".

[rafal3006]

[fiklit]

Odpływasz

[rafal3006]

Prawo Baranka

[rafal3006]

Algebra Kubusia - algebra zbiorów
(Kolejny restart!)

W każdym podręczniku do nauki czegokolwiek początek jest najważniejszy - szczególnie w tak pionierskim jak algebra Kubusia.
Proszę zatem Fiklita, by odniósł się jak to się czyta z poziomu ziemskiego matematyka.

Spis treści
1.0 Notacja 1
2.0 Algebra zbiorów 1
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach 2
2.2 Właściwości algebry zbiorów 3
2.3 Znaczenie przecinka w algebrze zbiorów 5


1.0 Notacja


2.0 Algebra zbiorów

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zwrot „dowolnych pojęć” oznacza, że przy doborze elementów zbioru człowiek ma 100% wolnej woli, może do zbioru wrzucać mydło i powidło jak niżej:
p=[LN, pies, miłość, krasnoludek]
gdzie:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9...] - zbiór liczb naturalnych

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka
Człowiek nie jest w stanie zdefiniować zbioru wykraczającego z przyjętą wyżej definicję Uniwersum.
Każdy zbiór zdefiniowany przez człowieka będzie podzbiorem Uniwersum.

Budowa zbioru:
p = [LN, pies, miłość, krasnoludek]
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9...] - zbiór liczb naturalnych
Legenda:
p - nazwa zbioru
[x] - zawartość zbioru, elementy zbioru rozdzielamy przecinkami
Element zbioru to dowolne pojęcie z obszaru Uniwersum
Elementy zbioru mogą być zbiorami np. LN

Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
[] =0 - zbiór pusty, zawierający zero elementów

Właściwości elementów w Uniwersum:
Elementem zbioru może być dowolne pojęcie z obszaru Uniwersum zrozumiałe dla człowieka.
Pojęcie zrozumiałe dla człowieka to niepusty element ze zbioru Uniwersum.
Każdy element niepusty ma wartość logiczną 1
Element niepusty w dowolnym zbiorze czyni ten zbiór niepustym którego wartość logiczna to 1.
p=[miłość] =1 - zbiór niepusty o wartości logicznej 1


2.1 Podstawowe operacje na zbiorach

I.
Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]+[3,4,5,6]=[1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty

II.
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Zbiór wynikowy pusty oznacza rozłączność zbiorów p i q
Y =[] =0 - w przypadku zbiorów rozłącznych
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
r=[5,6,7,8] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]*[3,4,5,6]=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*r=[1,2,3,4]*[5,6,7,8] =[] =0 - bo zbiór pusty

III.
Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p-q = [1,2,3,4]-[3,4] =[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
Y=q-p =[3,4]-[1,2,3,4]=[] =0 - bo zbiór pusty

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór utworzony przez człowieka na którym operujemy
Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia.
Właściwości dziedziny:
D+~D = D+[] =D =1 - bo zbiór niepusty
D*~D = D*[] =[] =0 - bo zbiór pusty

IV.
Zaprzeczenie zbioru (~):
Zaprzeczeniem zbioru nazywamy uzupełnienie zbioru do dziedziny
Przykład:
p=[1,2] - definiujemy zbiór
D=[1,2,3,4] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[3,4]


2.2 Właściwości algebry zbiorów

Różnica między algebrą klasyczną gdzie chodzi o wykonywanie operacji algebraicznych na liczbach a algebrą zbiorów, gdzie chodzi o rozpoznawalność pojęć w zbiorze jest fundamentalna.
Porównajmy:
2+2 =4 - algebra klasyczna (+ - znak dodawania algebraicznego)
2 „lub”(+) 2 =2 - teoria zbiorów (+ - suma logiczna zbiorów, spójnik „lub”(+))
2*2=4 - algebra klasyczna (* - znak mnożenia algebraicznego)
2 „i”(*) 2 =2 - teoria zbiorów (* - iloczyn logiczny zbiorów, spójnik „i”(*))

Kolizja znaczków jest tu ewidentna ale nieszkodliwa, bowiem algebra klasyczna jest rozłączna z teorią zbiorów, czyli możemy operować albo w doskonale nam znanej algebrze klasycznej, albo w algebrze zbiorów - nie ma tu ani jednego punktu wspólnego.
W całym niniejszym podręczniku znaczki „*” i „+” mają jedno i tylko jedno znaczenie:
„lub”(+) - suma logiczna zbiorów, spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka
„i”(*) - iloczyn logiczny zbiorów, spójnik „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka

Wynika z tego, że nasze cyfry [1,2,3,4,5…] to nie są cyfry na których można wykonać jakąkolwiek klasyczną operację arytmetyczną typu dodawanie/odejmowanie algebraiczne.
Zdecydowanie NIE!
Cyfry [1,2,3,4,5…] to symbole [jeden, dwa ,trzy, cztery, pięć …] jednoznacznie zdefiniowane w całym Uniwersum, to po prostu zbiory jednoelementowe [1,2,3,4,5..] które nie mają absolutnie nic wspólnego z jakąkolwiek klasyczną operacją arytmetyczną. Jakiekolwiek dodawanie/mnożenie algebraiczne tych symboli to z punktu widzenia teorii zbiorów błąd czysto matematyczny!

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to algebra zbiorów w której chodzi o rozpoznawalność pojęć z obszaru Uniwersum, a nie o jakiekolwiek działania algebraiczne na elementach dowolnego zbioru.
Logika matematyczna która liczy algebraicznie elementy w zbiorze (np. Teoria Mnogości - moce zbiorów), jest fałszywą logiką matematyczną.

Wspólne są jednak niektóre właściwości obu algebr co zaznaczymy w opisie właściwości algebry zbiorów.

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Zobaczmy na przykładzie o co chodzi w teorii zbiorów:
K=[kino] - pojęcie „kino”, zbiór jednoelementowy „kino”
T=[teatr] - pojęcie „teatr”, zbiór jednoelementowy „teatr”
A1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru i do teatru
Y=K+T*T
Prawo powielania/redukcji elementów połączonych spójnikiem „i”(*):
p=p*p
Stąd zdanie tożsame:
A2.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
A1: K+T*T = A2: K+T

B1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru lub do teatru
Y = K+T+T
Prawo powielania/redukcji elementów zbioru połączonych spójnikiem „lub”(+):
p=p+p
Stąd zdanie tożsame:
B2.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
B1: K+T+T = B2: K+T

Właściwości algebry zbiorów:
1.
Tożsamość zbiorów
Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
Dla zbiorów tożsamych (pojęć tożsamych) p=p zachodzi:
p*p =p
p+p =p

2.
Pochłanianie w algebrze zbiorów
Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
Dla zbiorów rozłącznych p i ~p uzupełniających się wzajemnie do dziedziny D zachodzi:
p+~p =D =1
p*~p =[] =0
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
U = uniwersum, wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka
p - pewien zbiór p
Obliczmy zaprzeczenie zbioru p:
~p=[U-p]
stąd mamy:
p+~p = p+[U-p] = [p+U-p] =U =1
p*~p = p*[U-p] = [p*U-p*p] =[p-p] =[] =0

3.
Łączność w algebrze zbiorów
Cechy identyczne jak w algebrze klasycznej
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r) = (p*q)*r

4.
Przemienność w algebrze zbiorów
Cechy identyczne jak w algebrze klasycznej
p+q = q+p
p*q = q*p

5.
Rozdzielność w algebrze zbiorów
5a.
p*(q+r) = p*q+p*r - cecha identyczna jak w algebrze klasycznej
5b.
p+(q*r) = (p+q)*(p+r) - to jest coś innego niż algebra klasyczna
Dowód ostatniego równania:
L=(p+q)*(p+r) = p*p + p*r+p*q + q*r
L=p+p*r+p*q+q*r
L=p*1+p*r+p*q+q*r
L=p*(1+r+q)+q*r
L=p*1+q*r
L=p+(q*r)
cnd
Wyjaśnienie.
Dziedzina:
D=1 zbiór pełny, zawierający w sobie wszelkie zbiory w równaniu zbiorów
Stąd mamy tożsamość:
p*(1+q+r) = p*(D+q+r) = p*D =p

6.
Absorpcja w algebrze zbiorów
Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
6a.
p+p*q =q
Dowód:
p+p*a = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wyjaśnienie.
D=1 zbiór pełny, zawierający w sobie wszelkie zbiory w równaniu zbiorów
Stąd mamy tożsamość:
p*(1+q) = p*(D+q) = p*D =p
6b.
p*(p+q) =p
Dowód:
p*(p+q) = p*p+p*q = p+p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*(D+q) = p*D =p
gdzie:
D=1 - zbiór pełny, zawierający w sobie wszystkie zbiory w równaniu zbiorów
cnd


2.3 Znaczenie przecinka w algebrze zbiorów

Definicja:
Przecinek rozdzielający elementy w dowolnym zbiorze to spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, będący matematycznie sumą logiczną zbiorów.

Matematycznie zachodzi tożsamość:
(,) = „lub”(+)

Zobaczmy to na podstawowych operacjach na zbiorach:

I.
Suma logiczna
[1+2]+[1+3] = [1+2+1+3] = [1+2+3] - to jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Prawo powielania/redukcji elementów w zbiorze
p=p+p
stąd:
1+1=1

II.
Iloczyn logiczny
[1+2]*[1+3] = 1*1 + 1*3 + 2*1 + 2*3 = 1+[]+[]+[] =1 - to też jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
p=p*p
stąd:
1*1=1
Przykładowe pojęcia (zbiory jednoelementowe) 1 i 3 są rozłączne, stąd:
1*3=[]

III.
Różnica logiczna
[1+2+3]-[2+3] = 1+2+3-2-3 =1+[2-2]+[3-3] = 1+[]+[] = 1
[2+3]-[1+2=3] = 2+3 -1-2-3 = []+2+3-1-2-3 = [[]-1] +[2-2]+[3-3] = []+[]+[] =[]
W ostatnim równaniu skorzystaliśmy z neutralności zbioru pustego [] w sumie logicznej dokładając zbiór pusty [] do sumy logicznej
Wyjaśnienie:
[]-1 =[] - jeśli ze zbioru pustego usuniemy dowolny element to zbiór pusty dalej pozostanie pusty.
Alternatywa:
Wszelkie elementy ze znakiem minus które pozostaną po wykonaniu operacji odejmowania z definicji zamieniamy na zbiór posty [].
[2+3]-[1+2=3] = 2+3 -1-2-3 = 2+3-1-2-3 = -1 +[2-2]+[3-3] = -1+[]+[] =[]+[]+[] =[]

[fiklit]

Wciąż badziew.
[1,2,3,[1,2],[2,3],[1,3],[1,2,3]]-[[1,2],[2,3]]=[1,2,3,[1,3],[1,2,3]]=[1,2,3,[1,2],[2,3],[1,3],[1,2,3]]

[rafal3006]

Algebra zbiorów - prawo Rekina

[fiklit]

[rafal3006]

[fiklit]

No dokładnie. Mogę sobie dodawać odejmować modyfikować a i tak w efekcie dostanę ten sam zbiór co na początku. Widocznie masz inną definicję "modyfikować". U mnie po modyfikacji oczekuję w ogólnym przypadku czegoś innego niż przed. Operator który nie określa operacji, modyfikacja która nie modyfikuje, algebra która nie jest algebrą, logika która nie jest logiczna. Tak trzymać, niech żyje rewolucja matematyczna.

[rafal3006]

Minimalna baza danych dla potrzeb logiki matematycznej!

Kubuś zawsze był minimalistą korzystającym z następującej maksymy:
Nie da się zrozumieć matematyki wykuwając na pamięć tysiące różnych wzorków.

Matematyka to minimalna baza danych plus logiczne myślenie. Przykładowo cała matematyka w zakresie szkoły podstawowej (obliczenia figur płaskich i przestrzennych) sprowadza się de facto do znajomości twierdzenia Pitagorasa plus wyobraźnia i logiczne myślenie.

[fiklit]