ŚFiNiA

[rafal3006]

Podsumowanie bardzo ciekawej dyskusji z Macjanem, ekspertem Klasycznego Rachunku Zdań

Dzięki za dyskusję Macjanie, Kubuś.

Linki do dyskusji:
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/czesc-v-matematyczne-fundamenty-logiki-czlowieka-v-beta-6-0,3120.html#55104
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/paradoks-warunku-wystarczajacego,3164.html#56053
http://www.sfinia.fora.pl/metodologia,12/kubusiowa-polemika-z-warunkiem-wystarczajacym-macjana,3174.html#56546

W moich książkach o elektronice, które kiedyś napisałem, ograniczyłem wszystko do krasnoludków, prawa Ohma, praw Kirchhoffa i charakterystyk idealnych podstawowych elementów elektronicznych. Prąd elektryczny to pchły biegnące od wyższego do niższego potencjału, rezystor stanowi dla nich przewężenie które starają się zlikwidować uderzając młotkiem w jego ścianki, stąd ciepło i pojęcie mocy. W elektrowni pracuje oczywiście krasnoludek Zmiennek który ma do dyspozycji regulowane źródło napięcia stałego 0-310V. Wytwarza napięcie zmienne podnosząc i opuszczając wskazówkę rysującą na osi współrzędnych sinusoidę, w punktach ZERO zawsze zmienia bieguny na źródle napięcia stałego itp. Wyszło bomba, zrozumiałe dla zwykłych śmiertelników a nie tylko dla zawodowych elektroników. Te książki to lekcja praktycznego poruszania się po elektronice. U teoretyków to na byle temat znajdziemy potężne księgi np. kilkaset stron o rezystorze, kilkaset o tranzystorze itd.

Implikacja to nie jest matematyka !!!

Implikacja byłaby matematyką, gdyby logicy nie wchodzili w obszar języka mówionego ! Jeśli przy pomocy implikacji chcemy obsługiwać język mówiony to wkraczamy w obszar fizyki czyli coś na kształt elektroniki, gdzie obowiązują określone reguły gry, gdzie matematyka pełni wyłącznie rolę służebną, nic więcej !

Określone reguły gry = spójnik "Jeśli...to..." może być implikacją prostą, implikacją odwrotną albo równoważnością (częste w matematyce) w zależności od p i q ! To musi być rozróżniane, inaczej wara logikom od języka mówionego człowieka.

Implikacja po Kubusiowemu, to spojrzenie na implikację z właściwej strony - wszystko okazało się trywiałem na poziomie I klasy LO, dosłownie ! (dowód w podpisie). Błędna jest wizja implikacji Macjana, który twierdzi że poniższe nie jest implikacją poprawną, bo nie można p i q przypisać 0 albo 1 To jest oczywista bzdura bowiem wystarczy ustalić czy zachodzi warunek wystarczający lub konieczny, jeśli zachodzi którykolwiek to implikacja jest prawdziwa, koniec dyskusji ... dalej to analiza tej implikacji gdzie kwantyfikatory są kulą u nogi !!! Kwantyfikatory to nie jest algebra Boole'a. Algebra Boole'a to 0,1 plus AND, OR, =>, ~> i KONIEC ! Na tym fundamencie zbudowany jest cały nasz Wszechświat, z życiem włącznie. Wszystko inne (np. logiki wielowartościowe) da się łatwo sprowadzić do algebry Boole'a.

Przykład 1
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L => ~P
Nie ma czterech łap to "na pewno" => nie ma psa
Prawda absolutna zatem cztery łapy są warunkiem koniecznym dla psa - koniec dyskusji n/t ustalenia warunku koniecznego
Zdanie prawdziwe - bo ustalono warunek konieczny

Jak widać otrzymaliśmy wyżej coś pięknego, niżej opisane kwantyfikatory macjana są tak potrzebne jak piąte koło u wozu. Prawa Kubusia są absolutnie genialne.

Poprawna implikacja wg Macjana jest taka:

Istnieje takie zwierzę, że jeśli zwierzę ma cztery łapy to zwierzę jest psem ?
... nie mam pojęcia jak to zapisać przy pomocy kwantyfikatorów. Myślę, że dzieciaki błyskawicznie załapią implikację bez kwantyfikatorów.

Myślę, że nikt nie poda choćby jednego przykładu w którym dziecko z przedszkola miałoby problem z ustaleniem warunku wystarczającego (koniecznego) w naturalnej logice języka mówionego człowieka (żaden specjalizowany język matematyki, chemii, elektroniki itp.). Weźmy jednak specjalizowany język matematyki.

Przykład 2.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 5
P2 ~> P5
Prawo Kubusia:
P2 ~> P5 = ~P2 => ~P5
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to „na pewno”=> nie jest podzielna przez 5
3,7.. - OK. zdanie prawdziwe
jednak:
5 ! - nie jest podzielne przez 2 ale jest podzielne przez 5
Zdanie fałszywe !
W implikacji prostej wystarczy znaleźć jeden parametr spełniający p i nie spełniający q aby cała implikacja była fałszywa.
Wniosek:
P2 nie jest warunkiem koniecznym dla P5, zatem zdanie nie jest implikacją właściwą i nie podlega pod definicję implikacji, ani odwrotnej, ani prostej.

Oczywiście, zamiast badać czy w implikacji odwrotnej zachodzi warunek konieczny możemy badać czy w odwrotną stronę zachodzi warunek wystarczający (to równoważna metoda) czyli:
Jeśli liczba jest podzielna przez 5 to „na pewno” jest podzielna przez 2
P5=> P2 - wystarczy znaleźć jeden kontrprzykład aby zdanie było fałszywe
Oczywiście P5 nie jest wystarczające dla P2 bo 5 ! ... zatem nie jest to implikacja właściwa, nie podlega pod żadną definicję implikacji.


To samo po macjanowemu z kwantyfikatorami:
Kwantyfikatory w implikacji odwrotnej są bezwartościowe np.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 5
P2 ~> P5
V(x) p(x) ~> q(x) - istnieje takie x że jeśli p(x) ~> q(x)

Tu też istnieje (zdanie prawdziwe) np. 10,20 ... ale nie jest to warunek konieczny ! Ta metoda macjana zawodzi, możliwa jest wyłącznie jedna metoda jak niżej … a u Kubusia były dwie !!!
Oczywiście tu też można badać czy w odwrotną stronę zachodzi warunek wystarczający:
P5=> P2
Oczywiście P5 nie jest wystarczające dla P2 bo 5 ! ... zatem nie jest to implikacja właściwa, nie podlega pod żadną definicję implikacji.

To co wyżej to język matematyki, naturalny język człowieka to nie matematyka, jest nieporównywalnie prostszy:

Jeśli będzie pochmurno to może padać
CH~>P

Chmury są warunkiem koniecznym deszczu
CH~>P = ~CH=>~D
Nie ma chmur, to "na pewno" => nie ma deszczu - koniec matematycznej analizy, pewny warunek konieczny ustalony, zdanie prawdziwe !

Oczywiście w drugą stronę musi być warunek wystarczający.
Jeśli będzie padało to na pewno będą chmury
P=>CH
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym dla istnienia chmur.

... to też jest dobre, ale tak głupie, że nikt tego nie wypowie. Nie należy robić z ludzi głupoli i nakazywać im, że w każdym przypadku muszą ustalić warunek wystarczający. Macjan właśnie w ten sposób opisywał kwantyfikatorem ogólnym powyższe zdanie i to miało być "jedyne poprawne"

Operatory "musi"=> i "może" ~> to naturalna logika człowieka czyli mówimy "musi" zapisujemy =>, mówimy "może" zapisujemy ~> ... i ta logika jest w 100% zgodna z algebrą Boole'a zatem:

Logika człowieka = algebra Boole'a

Nie wiem kto i kiedy wymyślił takie "głupoty" jak kwantyfikatory. Na elektronice (Politechnika Warszawska) matematyka była na najwyższym poziomie wśród wszystkich wydziałów ... pytanie czemu nigdy i nigdzie nie spotkałem się z kwantyfikatorami ? To pytanie do Macjana …

Fragmenty dyskusji z Macjanem (aktualne dopiski poza cytatami):

[rafal3006]

Dodatek specjalny dla Macjana, który błędnie wierzy, że wypowiadając w obietnicy lub grożbie "wtedy i tylko wtedy" wypowiedział równoważność


10.0 Równoważność, operator idiotów i psychopatów

Równoważność jest świetna, ale wyłącznie w matematyce.
Równoważność to pewne wynikanie w dwie strony.

Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma wszystkie kąty równe
p=>q = R=>KR - pewność absolutna, implikacja prosta
Jeśli trójkąt ma wszystkie kąty równe to jest równoboczny
q=>p = KR=>R - pewność absolutna, implikacja przeciwna

Równoważność to pewne wynikanie w dwie strony::
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q+q*p+q*~q = ~p*~q+p*q
bo:
~p*p = q*~q = 0

Definicja równoważności:
p<=>q = p*q+~p*~q

<=> - operator równoważności „wtedy i tylko wtedy”

Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma wszystkie kąty równe

Tabela zero-jedynkowa:
p q p<=>q
1 1 1
1 0 0
0 0 1
0 1 0

Jak widzimy, równoważność powoduje wycięcie jedynek implikacyjnych w implikacji prostej i implikacji odwrotnej (przeciwnej). Zauważmy, że często mówimy definicje twierdzeń matematycznych w formie implikacji „Jeśli…to…” mimo że jest to ewidentna równoważność. Matematyka to matematyka, obojętnie co by człowiek nie mówił to nie zmieni faktu iż zachodzi równoważność, w przeciwnym przypadku matematyka zależałaby od chciejstwa człowieka co jest nonsensem.

Identycznie jest z implikacją i definicjami obietnicy i groźby.
Obietnica = implikacja prosta
Groźba = implikacja odwrotna

Obojętnie co by człowiek nie mówił to nie zmieni powyższego faktu, bowiem groźby i obietnice to przyszłość której nikt nie zna. Gdyby powyżej zachodziła równoważność to człowiek zostałby pozbawiony matematycznej wolnej woli tzn. prawa do darowania kary przy spełnionym warunku kary (akt łaski) oraz prawa do dania nagrody przy nie spełnionym warunku nagrody (akt miłości).

Wypowiadając groźbę w postaci równoważności (100% pewności):

Jeśli ubrudzisz spodnie to na 100% dostaniesz lanie

Człowiek może wyłącznie dawać do zrozumienia, że prawdopodobieństwo darowania kary jest bardzo małe lub może po prostu blefować, nic więcej.

Twierdzenie 10.0
Równoważnością posługują się idioci w obietnicach i psychopaci w groźbach.

Dowód nie wprost:
Załóżmy, że o tym czy człowiek wypowiedział równoważność czy implikację decyduje on sam (założenie oczywiście fałszywe).

Obietnica:
Dostaniesz komputer wtedy i tylko wtedy gdy zdasz jutro ten egzamin

Syn nie zdał, a ojciec idiota nie może mu kupić komputera do końca swego żywota.

Groźba:
Dostaniesz lanie wtedy i tylko wtedy gdy wrócisz z dzisiejszej dyskoteki w brudnych spodniach.

Syn wrócił w brudnych spodniach bo pobili go bandyci a ojciec idiota nie ma prawa darować tego lania bo równoważność (tu jest psychopatą). Zauważmy ponadto, że równoważność zabrania mu bicia syna do końca jego żywota (tu jest idiotą).

W praktyce, wiele osób utożsamia spójnik "Jeśli...to..." z równoważnością.

Jest zupełnie nieistotne jak kto rozumie zdanie:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer

Matematycznie to oczywista obietnica podlegająca pod implikację prostą, nigdy równoważność. Oczywiście, definicja implikacji prostej zawiera w sobie równoważność i nic nie stoi na przeszkodzie, aby tak właśnie rozumieć spójnik „Jeśli…to…”. Mamy jednak prawo do zmiany zdania dopóty, dopóki ta implikacja nie zajdzie, dlatego jest to implikacja, nigdy równoważność np.

Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo cie kocham

Ojciec mógł traktować powyższą implikację jak równoważność, ale w ostatniej chwili zmienił zdanie i powiedział co powiedział. Oczywiście nie jest żadnym kłamcą, bo obietnica to implikacja prosta, nigdy równoważność. Zauważmy, że gdyby to była równoważność to ojciec zostałby pozbawiony wolnej woli, chce dać synowi komputer bo go kocha, a nie może bo równoważność.

To co wyżej jest identyczne do OR i AND. Zauważmy, że OR jest bardziej uniwersalny bo zawiera w sobie AND.

Jutro pójdę do kina lub do teatru

Mogę iść tylko w jedno miejsce, albo iść i do kina i do teatru (spójnik „i”) i nie mam szans zostać matematycznym kłamcą.

[rafal3006]

Matematyczne błędy w fundamencie logiki klasycznej (opartej na implikacji materialnej) są absolutnie pewne. Wszystko co jest zbudowane na fałszywym fundamencie nadaje się wyłącznie do wyburzenia ... na gruzach można budować nowe.

To nowe zostało zbudowane (zobacz podpis):
Logika człowieka = algebra Boole'a !


Błędy czysto matematyczne w fundamencie logiki klasycznej !

Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ) - dział logiki opartej na "algebrze" Boole'a (cudzysłów nie jest przypadkowy)

Istota błędu:
Prawa de'Morgana dla AND(*) i OR(+)
a+b = ~(~a*~b)
a*b = ~(~a+~b)
Negujemny zmienne i wymieniamy operator na przeciwny

Prawa de'Morgana (=prawa Kubusia) dla operatorów "musi"=> (implikacja prosta) i "może"~> (implikacja odwrotna)
a=>b = ~a ~> ~b - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
a~>b = ~a => ~b - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny

Prawo Tygryska:
Jeżeli dwie implikacje różnią się od siebie wyłącznie zanegowanymi parametrami p i q, to muszą zostać zapisane z przeciwnymi operatorami jak wyżej, inaczej algebra Boole'a leży w gruzach !

Klasyczny Rachunek Zdań nie zna operatora implikacji odwrotnej, spójnika "może" ~> między p i q i popełnia absolutnie fundamentalny błąd jak niżej.
p=>q = ~p => ~q - zanegowane zmienne, ale operator => nie wymieniony na ~>

Odpowiednik tego co wyżej dla operatorów OR i AND:
p+q = ~(~p+~q) - zanegowane zmienne, ale operator OR(+) nie wymieniony na AND(*)


Przykład idiotyzmu w Klasycznym Rachunku Zdań:

Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C - tu Kubuś i KRZ są zgodni

Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady
~W => ~C - to jest błąd czysto matematyczny, to zgwałcenie prawa de'Morgana jak wyżej (=prawa Kubusia)

Poprawny zapis matematyczny powyższego zdania jest tylko i wyłącznie taki:

Prawo de'Morgana dla operatorów "musi" => i "może" ~> (=prawo Kubusia)
W=>C = ~W ~> ~C - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady
~W ~> ~C
Po odkryciu operatora "może" ~> mamy:
Jeśli nie powiesz wierszyka to "możesz" ~> nie dostać czekolady
~W ~> ~C = 1 - zdanie prawdziwe
lub
Jeśli nie powiesz wierszyka to możesz dostać czekoladę
~W ~> C = 1 - zdanie prawdziwe

W groźbach prawie nigdy nie używa się operatora "możesz" w sposób jawny bo po pierwsze osłabiałby groźbę, a po drugie operator ten jest gwarantowany z definicji (~> = "możesz") i nie ma sensu go powtarzać.

Wniosek z powyższego:
Wszelkie groźby podlegają pod definicję implikacji odwrotnej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej

Całość teorii wyłożona jest w podpisie. Matematyczny skrót poniżej.

1.0 Notacja

# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej przeczenie "nie"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia
<=> - symbol równoważności

=> - operator implikacji prostej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "musi" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to "musi" być podzielna przez 2
P8=>P2
Zajście P8 wystarcza, aby zaszło P2
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q

~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "może" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to "może" być podzielna przez 8
P2~>P8
Zajście P2 jest konieczne, aby zaszło P8
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q

W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna. Spójniki te ujęto w cudzysłów, aby ten fakt uwypuklić.

2.0 Podstawowe definicje

Definicja:
Zdanie jest zdaniem poprawnym jeśli da się określić jego prawdziwość lub fałszywość.

Jeśli zdanie jest prawdziwe to przypisujemy mu wartość 1 = „prawda”, zaś jeśli fałszywe to przypisujemy mu wartość 0 = ”fałsz”.

Definicja implikacji:
Implikacją jest dowolne zdanie ujęte w spójnik „Jeśli… to…”

Mówiąc o implikacji, będziemy mieli na myśli implikację w najszerszym tego słowa znaczeniu jak w definicji wyżej. Jeśli w czasie analizy implikacji okaże się, że implikacja spełnia definicję implikacji prostej lub odwrotnej, to taką implikację nazwiemy implikacją właściwą.

Definicja implikacji właściwej:
Implikacja właściwa to implikacja spełniająca definicję implikacji prostej lub definicję implikacji odwrotnej. W przeciwnym przypadku implikacja jest niewłaściwa.


2.1 Definicja implikacji prostej

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p + q = ~(p*~q)

p=>q
Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q (z p „musi” wynikać q”)
W implikacji prostej właściwej zajście p jest warunkiem wystarczającym dla zajścia q
Warunek wystarczający = gwarancja
gdzie:
p=>q
p – poprzednik implikacji (zawsze po spójniku “Jeśli…”
q – następnik implikacji (zawsze po spójniku „to...”)
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q w naturalnej logice człowieka

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:

[rafal3006]