ŚFiNiA

Rafal3011

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

Klękajcie Narody
Cześć VIII

Temat:
Fundamenty algebry Boole’a
Poprawna interpretacja tabel zero-jedynkowych w implikacji
Quebaabowi dedykuję

Pozostałe części z serii najważniejszych artykułów w historii ludzkości:
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]

Część I
Formalny dowód braku przemienności argumentów w implikacji prostej

Definicja implikacji prostej:

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

Rafal3011

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

Quebaabie, do rozstrzygnięcia o równoważności czy implikacji wystarcza sama obserwacja że coś jest równoważnością albo implikacją.

Przykład równoważności:
Kto się urodził na pewno umrze
UR=>UM=1
Kto się nie urodził to na pewno nie umrze
~UR=>~UM=1
stąd równoważność na mocy definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
itp.

Znajdź mi teraz człowieka który odpowie na pytanie:
Dlaczego żyjemy ?
Jaki sens ma życie ?
Dla rozstrzygnięcia o równoważności nie jest konieczna znajomość odpowiedzi na te pytania wystarczy obserwacja !

Przykład implikacji:
A.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno będzie pochmurno
P=>CH=1
To tylko warunek wystarczający =>, żadna implikacja !
Zdanie odwrotne:
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno będzie padać
CH=>P=0
stąd wykluczona jest równoważność:
P<=>CH = (P=>CH)*(CH=>P)=1*0=0
Dopiero na podstawie dowodu B stwierdzam że zdanie A jest implikacją czyli wynikaniem w jedna stronę.

Quebaabie, zauważ że ten dowód również opiera się na obserwacji !
Odpowiedź na pytanie dlaczego z tej chmury pada deszcz a z tamtej nie pada to FUNDAMENTALNIE inna para kaloszy.

Zajmijmy się teraz twoim świerszczem.

Warunek wystarczający w logice dodatniej bo q:
Jeśli świerszcz cyka co 1sek to na pewno => jest 13 stopni
C=>13S=1
Prawda wynikła z obserwacji !
zatem:
Cykanie świerszcza co 1sek wystarcza aby było 13 stopni

Warunek wystarczający w logice ujemnej bo ~q:
Jeśli świerszcz nie cyka co 1sek to na pewni nie ma 13 stopni
~C=>~13S=1
Prawda wynikła z obserwacji !
zatem:
Brak cykania świerszcza co 1sek wystarcza aby temperatura była różna od 13 stopni

Stąd na podstawie definicji równoważności mamy ewidentna równoważność !
C<=>13S = (C=>13S)*(~C=~13S) = 1*1=1
CND

Na cholerę mi jakiś tam Dolbear ?
Ten twój Dolbear nigdy by nie zaistniał, gdyby 5-cio latek nie podpowiedział mu iż to cykanie to ewidentna równoważność i warto by było wiedzieć dlaczego świerszcze tak się zachowują.

Rafal3011

[link widoczny dla zalogowanych]

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

Klękajcie Narody
Cześć IX

Temat:
Implikacja prosta w zbiorach
Palomie i Quebaabowi dedykuję

Poprzednia lekcja z tej serii:
[link widoczny dla zalogowanych]

Mądrość matematyczna 5-cio Latków:
Logika 5-cio Latków = algebra zbiorów

Każdy człowiek od 5-cio latka po profesora rozstrzyga o prawdziwości bieżącego zdania „Jeśli p to q” szukając części wspólnej zbiorów p i q, czyli rozstrzyga o tej prawdziwości banalnym spójnikiem ‘i”.

Definicja spójnika „i” (nie operatora AND! )
Iloczyn logiczny (spójnik „i”) jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1.

Uwaga !
Notacja w diagramach Kubusia !
Kolor inny niż biały:
1 – prawda, zbiór prawdziwy = zbiór istnieje
Kolor biały:
0 – fałsz, zbiór fałszywy = zbiór nie istnieje

Szczegóły matematyczne !

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p~>~q – prawo Kubusia
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
Oczywiście fałsz występuje wyłącznie po stronie warunku wystarczającego p=>q (spójnik „musi”), po stronie warunku koniecznego ~p~>~q (spójnik „może”) zdanie jest zawsze prawdziwe, nie ma tu miejsca na fałsz.

Definicja warunku wystarczającego w zbiorach

p=>q=1
=> - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q), spójnik „musi” w całym obszarze matematyki

Definicja warunku wystarczającego w zbiorach:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1
p*q=1*1=1
Istnieje cześć wspólna zbiorów p i q i ta część jest kolorowa zatem:
p=1 i q=1
stąd:
p*q=1*1=1
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
p=>~q=0
p*~q=1*0=0
Brak części wspólnej zbiorów p i ~q.
Zbiór ~q jest w kolorze białym zatem jego wartość logiczna wynosi:
~q=0 !
stąd:
p*~q=1*0=0

Definicja słowna warunku wystarczającego:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika, że p musi być wystarczające dla q

Uwaga quebaabie !
Z czego wynika że schemat Venny jest w implikacji najzwyklejszym IDIOTYZMEM, bowiem jedyny poprawny diagram dla implikacji to zbiór p zawarty w całości w zbiorze q.

Jak mi pokażesz taki diagram Venny dla implikacji to natychmiast kasuję NTI !

Zauważ, że sam napisałeś poprawną definicję warunku wystarczającego identyczną jak u Macjana, Kubusia i Quebaaba !

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

Rafal3011

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

Rafal3011

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

Rafal3011

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

Rafal3011

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

Klękajcie Narody
Cześć X

Temat:
Spójniki „i” i „lub” w zbiorach
Palomie i Quebaabowi dedykuję

Poprzednia lekcja z tej serii:
[link widoczny dla zalogowanych]

Spis treści:
1.0 Notacja
1.1 Podstawowe definicje z teorii zbiorów w algebrze Kubusia

2.0 Operatory AND i OR w zbiorach
2.1 Definicja spójnika „i”(*) w zbiorach
2.2 Definicja spójnika „lub(+) w zbiorach

3.0 Operator logiczny OR w zbiorach
3.1 Operator logiczny AND w zbiorach

1.0 Notacja

1 – prawda, zawsze i wszędzie, niezależnie od logiki dodatniej i ujemnej
0 – fałsz, zawsze i wszędzie, niezależnie od logiki dodatniej i ujemnej
~ - symbol przeczenia NIE
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Przykład:
Jestem uczciwy = Nieprawdą jest ~(…), że jestem nieuczciwy
U = ~(~U)

Spójniki logiczne
W całej matematyce mamy zaledwie pięć spójników logicznych:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej

1.1 Podstawowe definicje z teorii zbiorów w algebrze Kubusia

Pojęcie zbioru jako zbioru przypadkowych elementów jest matematycznie bez sensu.

Jednorodność zbioru:
Zbiór musi być jednorodny w określonej dziedzinie

Oznacza to, że dla dowolnego zbioru A musi istnieć zbiór ~A będący dopełnieniem zbioru A do określonej dziedziny.

Przykład 1
P – zbiór wszystkich psów
Dziedzina:
ZWZ = zbiór wszystkich zwierząt
Dopełnienie ~P:
~P = wszystkie inne zwierzęta za wyjątkiem psów

Oczywiście matematycznie zachodzi:
ZWZ=P+~P
oraz:
P+~P=1
P*~P=0

Przykład 2
P2 – zbiór liczb podzielnych przez 2
Dziedzina:
LN = zbiór liczb naturalnych
Dopełnienie ~P2:
~P2 – zbiór liczb naturalnych niepodzielnych przez 2

Oczywiście matematycznie zachodzi:
LN=P2+~P2
P2+~P2=1
P2*~P2=0

W implikacji prostej w algebrze Kubusia p musi być podzbiorem q np.
Jeśli zwierze jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Zbiór psów jest tu tylko podzbiorem zwierząt mających cztery łapy.

Podstawowe definicje:

Dziedzina:

Implikacja:
p=>q
Jeśli p to q

Równoważność
p<=>q
p wtedy i tylko wtedy gdy q

Dziedzina to kompletny zbiór na którym operuje implikacja lub równoważność
W algebrze Kubusia musi być spełnione:
p+~p=1 – dziedzina po stronie p
q+~q=1 – dziedzina po stronie q

Zbiór bieżący (aktualny):
Zbiór bieżący (aktualny) to zbiór na którym aktualnie pracujemy, zdefiniowany szczegółowo w poprzedniku zdania „Jeśli…to…”

Operacje na zbiorach dla potrzeb algebry Kubusia:

1.
Zbiory tożsame = identyczne
TR = zbiór trójkątów równobocznych
KR = zbiór trójkątów o równych kątach
Oczywiście zachodzi tożsamość:
Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach
Zbiór TR = Zbiór KR

2.
Iloczyn zbiorów = wspólna cześć zbiorów bez powtórzeń (operacja AND)
Y=A*B
A=[1,2], B=[1,2,3,4]
Y=A*B=[1,2]

3.
Suma logiczna zbiorów = wszystkie elementy zbiorów bez powtórzeń (operacja OR)
Y=A+B
A=[1,2], B=[1,2,3,4]
Y=A+B = [1,2,3,4]

4.
Różnica zbiorów A-B = elementy zbioru A pomniejszone o cześć wspólna zbiorów A i B
Y=A-B
A=[1,2,3,4], B=[1,2]
Y=A-B = [3,4]
Y=B-A = 0 – zbiór pusty !

5.
Zbiór pusty = brak wspólnej części zbiorów w operacji AND, albo różnica zbiorów pusta jak wyżej
Y=A*B=0
A=[1,2], B=[3,4]
Y=A*B =0 – brak części wspólnej, zbiór pusty !

2.0 Operatory AND i OR w zbiorach

Cała filozofia operatorów OR i AND to zaledwie dwa spójniki logiczne z naturalnego języka mówionego „i”(*) oraz „lub”(+) plus prawo przejścia do logiki przeciwnej !

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 1 albo 0

Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, A, B … 4L, PIES, …

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+).
Y=p*q + p*~q + ~p*q - funkcja logiczna wielu zmiennych
Y=~p - funkcja logiczna jednej zmiennej

Zwyczajowo funkcję logiczną oznaczamy literą Y, ale nie ma tu żadnego dogmatu.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej metodą Wuja Zbója:
Dana jest funkcja logiczna Y:
Y = A+B(~C+D)
Kolejność wykonywania działań w logice dodatniej (bo Y):
nawiasy, spójnik „i”(*), spójnik „lub”(+)

Krok 1.
Uzupełniamy nawiasy i brakujące spójniki:
A.
Y=A+[B*(~C+D)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A=1 lub [B=1 i (~C=1 lub D=1)

Krok 2.
Przejście do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
B.
~Y = ~A * [~B+(C*~D)]
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~A=1 i [~B=1 lub (C=1 i ~D=1)]
Kolejność wykonywania działań w logice ujemnej (bo ~Y):
nawiasy, spójnik „lub”(+), spójnik „i”(*)
Doskonale widać powód dla którego musieliśmy wykonać krok 1, w logice ujemnej zmienia się kolejność wykonywania działań. Pamiętając o tym fakcie możemy sobie darować krok1, bowiem o kolejności wykonywania działań informuje precyzyjnie funkcja logiczna:
Y – logika dodatnia (bo Y), kolejność wykonywania działań: nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
~Y – logika ujemna (bo ~Y), kolejność wykonywania działań: nawiasy, „lub”(+), „i”(*)
Uwaga:
Przy długich funkcjach lepiej jest uzupełnić nawiasy, inaczej łatwo o pomyłkę.

Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
Y=A+[B*(~C+D)] = ~{~A * [~B+(C*~D)}

Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej gdy brak przeczenia (Y), w logice ujemnej gdy jest przeczenie (~Y).

2.1 Definicja spójnika „i”(*) w zbiorach

Definicja spójnika „i” (*):
Iloczyn logiczny (spójnik „i”) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy p=1 i q=1
Y=1 <=> p=1 i q=1

Definicja spójnika „i” w teorii zbiorów:

Spójnik “i” w logice dodatniej bo Y
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
p=1 – zbiór p istnieje
q=1 – zbiór q istnieje
Y=1 – jest cześć wspólna zbiorów p i q

Stąd definicja symboliczna spójnika „i”:

Rafal3011

[link widoczny dla zalogowanych]

Uwaga !
Mój post wyżej to prawie finalna wersja algebry Kubusia w temacie:
Operatory OR i AND w zbiorach
Post został przeze mnie rozbudowany i uzupełniony – jest to zatem inny post niż pierwotna krótka wzmianka o spójnikach „i” i „lub”

Mam prośbę do quebaaba i wszystkich widzów.
Co jest w tym poście niezrozumiałego ?
Proszę o sygnały, to będę poprawiał
Kubuś

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]

Kubusiowa szkoła logiki

Temat:
Definicja operatora implikacji prostej w zbiorach
Z podziękowaniem dla Incognito

Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p~>~q – prawo Kubusia
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
~> - warunek konieczny, spójnik „może” miedzy p i q

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q)
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q
Z czego wynika, że p musi być wystarczające dla q, jak zajdzie p to q też musi !

Stąd mamy definicję warunku wystarczającego w zbiorach:

Z wykresu odczytujemy definicje symboliczną warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1
Zbiory:
p*q=1 – zbiór p zawiera się w całości w zbiorze q
1*1=1
stąd:
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
p=>~q=0
Zbiory:
p*~q=0
1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (=1), ale są rozłączne, stad wynik iloczynu logicznego jest równy 0, co doskonale widać na diagramie.

Definicja symboliczna warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):

Rafal3011

[link widoczny dla zalogowanych]

rafal3006

http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-5250.html#154803

Rafal3011

http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-5275.html#154856

rafal3006

http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-5275.html#154881

Fakty:
Syn nie zdał egzaminu a ojciec mimo wszystko kupił mu komputer z uzasadnieniem:
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo cie kocham
~E~~>K=1 - akt milości w NTI

Zdanie analizowane Pana Baryckiego:
...ojciec mówi do kolegi w pracy - syn zdał egzamin i za to kupiłem mu komputer.

Rafal3011

http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-5275.html#154897

rafal3006

http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/implikacja-na-miare-xxi-wieku,1483.html#28820

Rafal3011

[link widoczny dla zalogowanych]

Windziarzu, cieszy mnie to i nie widzę powodu na stawianie jakiegokolwiek ultimatum typu 100-na strona.

W czasie przerwy powstało coś nieprawdopodobnego, ale jeszcze sobie szlifuję – premiera w Wigilię.
Ciekawostka:
Zrezygnowałem z bramek logicznych na rzecz zbiorów bo techniki bramek logicznych śmiertelnicy nie rozumieją – oczywiście chodzi tu o ich związek z naturalnym językiem mówionym człowieka.

Zacznijmy jednak od przedszkola do którego zamierzam cie przekonać.

W moim poprzednim poście podałem definicję implikacji i równoważności po czym udowodniłem że jedno ze zdań spełnia definicję równoważności a drugie implikacji.

Gdybym nie zaprezentował dowodu to nie wolno mi nic powiedzieć o operatorze czyli ogólnie o zdaniu:

Jeśli p to na pewno => q
p=>q

Nie wolno mi powiedzieć że to jest równoważność, czy tez implikacja nawet po udowodnieniu prawdziwości tego zdania !

Czym jest zatem udowodnione zdanie prawdziwe:
p=>q =1

Oczywiście tylko i wyłącznie warunkiem wystarczającym o takiej definicji:

rafal3006

[link widoczny dla zalogowanych]