ŚFiNiA

[rafal3006]

Wartość dowolnej idei, choćby najwspanialszej, jest równa zeru jeśli nie zostanie zaakceptowana przez ludzkość (tu matematyków).
Kubuś

Zaczynam od "Notacji" algebry Kubusia prosząc o uwagi co jest tu niejasne?
Myślę, że to jest kwint esencja Nowej Teorii Zbiorów, czyli wszystko co najważniejsze wyłożone w kilku zdaniach.

[rafal3006]

Algebra Kubusia
Nowa Teoria Zbiorów
Podręcznik dla liceum

Kubuś i Przyjaciele

Wartość dowolnej idei, choćby najwspanialszej, jest równa zeru jeśli nie zostanie zaakceptowana przez ludzkość (tu matematyków).
Kubuś

1.0 Notacja

W algebrze Kubusia ograniczonej wyłącznie do spójników „lub”(+) i „i”(*) zbiory mają wartości logiczne:
=1 - zbiór niepusty (istnieje, zawiera co najmniej jeden element)
=0 - zbiór pusty (nie istnieje, nie zawiera żadnych elementów)

W algebrze Kubusia rozszerzonej o spójniki implikacyjne:
- warunek wystarczający =>
- warunek konieczny ~>
mamy inne znaczenie logicznego zera (=0) i logicznej jedynki (=1) o czym będzie za chwilę.

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia:
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), spójniki implikacyjne (=>, ~>, ~~>)

Inne symbole używane w algebrze Kubusia:

~ - negacja
Prawo podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)

Znaczenia symbolu „=” w algebrze Kubusia:

1.
„=” - tożsamość zbiorów
Zbiory tożsame to zbiory identyczne.
Rozważmy dwa zbiory A i B:
A=[pies,kot]
B=[pies,kot]
Prawe strony są identyczne, zatem na mocy prawa przechodniości zachodzi:
A=B

2.
„=1 lub =0” - tożsamość wartościująca
A=[pies, kot] =1 - zbiór niepusty (zawiera co najmniej jeden element)
B=[kura, słoń] =1 - zbiór niepusty (zawiera co najmniej jeden element)
C=[] =0 - zbiór pusty (nie zawiera ani jednego elementu)
W tożsamości wartościującej nie zachodzi prawo przechodniości z matematyki klasycznej:
A=[pies, kot]=1 ## B=[kura, słoń] =1
[pies, kot] ## [kura, słoń]
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Z faktu że wartość logiczna A=1 i wartość logiczna B=1 nie wynika że A=B.

3.
Tożsamości „=” definicyjne (~~>, => i ~>):
I.
~~> - naturalny spójnik „może”
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q - zbiór p ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem q
Twierdzenie:
Jeśli zbiór p ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem q to prawdziwe jest równanie:
p~~>q = p*q =1
=1 - wynikowa jedynka oznacza tu że zbiór wynikowy p~~>q jest niepusty (zawiera co najmniej jeden element)
Pierwszy znak tożsamości „=” to tożsamość definicyjna, drugi znak tożsamości to tożsamość wartościująca (=1).
Prawa strona:
p*q =1
wynika tu bezpośrednio z definicji naturalnego spójnika „może” ~~>

II.
=> - warunek wystarczający
Definicja warunku wystarczającego =>:
=> - zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
innymi słowy:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q
Zajście p jest wystarczające => dla zającia q

Twierdzenie:
Jeśli zbiór p zawiera się w zbiorze q to prawdziwe jest równanie:
p=>q = [p*q=p] = [p=p] =1
Wynikowa jedynka logiczna (=1) oznacza tu, że zbiór p zawiera się => w zbiorze q, a nie że zbiór wynikowy p=>q jest niepusty!
Pierwsze dwa znaki tożsamości to tożsamości definicyjne (wynikłe z definicji =>), ostatnia tożsamość to tożsamość wartościująca (=1)
Prawa strona:
[p*q=p] = [p=p] =1
wynika tu bezpośrednio z definicji warunku wystarczającego =>.

Zauważmy, że prawdziwe jest tu zdanie z użyciem naturalnego spójnika „może” ~~>:
AM.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
W tym przypadku wystarczy że pokażemy jeden wspólny element zbiorów p i q i już zdanie AM jest prawdziwe.

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = [P*4L=P] = [P=P] =1
=1 - bo zbiór P=[pies] zawiera się w zbiorze 4L=[pies, słoń ..], a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Zauważmy, że prawdziwe jest zdanie A z użyciem naturalnego spójnika „może” ~~>:
AM.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
P~~>4L = P*4L=1 bo pies
Tu wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów P i 4L, niczego więcej nie musimy udowadniać.

Porównajmy zdanie odwrotne bez wymiany spójnika:
AO.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na pewno=> jest psem
4L=>P =[4L*P=4L] = [P=4L] =0
=0 - bo zbiór 4L=[pies, słoń ..] nie zawiera się w zbiorze P=[pies], a nie że zbiór wynikowy jest pusty (bo nie jest!).
Zauważmy, że prawdziwe jest zdanie AO z użyciem naturalnego spójnika „może”~~>:
AOM.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> być psem
4L~~>P = 4L*P =1 bo pies
Tu wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów 4L=[pies, słoń..] i P=[pies] i już zdanie AOM jest prawdziwe, nie interesują nas tu wzajemne relacje zbiorów 4L i P.

III.
~> - warunek konieczny
Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora ~> zawiera w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Innymi słowy:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q bo jeśli nie zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Twierdzenie:
Jeśli zbiór p zawiera w sobie zbiór q to prawdziwe jest równanie:
p~>q = [p*q=q] = [q=q] =1
Wynikowa jedynka logiczna (=1) oznacza tu że zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q, a nie że zbiór wynikowy p~>q jest niepusty!
Pierwsze dwa znaki tożsamości to tożsamości definicyjne (wynikłe z definicji ~>), ostatnia tożsamość to tożsamość wartościująca (=1)
Prawa strona:
[p*q=q] = [q=q] =1
wynika tu bezpośrednio z definicji warunku koniecznego ~>.

Zauważmy, że prawdziwe jest tu zdanie z użyciem naturalnego spójnika „może” ~~>:
AM.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
W tym przypadku wystarczy że pokażemy jeden wspólny element zbiorów p i q i już zdanie AM jest prawdziwe.

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P = [4L*P=P] = [P=P] =1
=1 - bo zbiór 4L=[pies, słoń ..] zawiera w sobie zbiór P=[pies], a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Cztery łapy u zwierzęcia są konieczne ~> aby być psem, bo jak zwierzę nie ma czterech lap to na pewno => nie jest psem
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P

Prawdziwe jest zdanie A z użyciem naturalnego spójnika „może”~~>:
AM.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~~> być psem
4L~~>P = 4L*P =1 bo pies
Tu wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów 4L i P i już zdanie AM jest prawdziwe, niczego więcej nie musimy dowodzić.

Porównajmy zdanie odwrotne bez wymiany spójnika:
AO.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~> mieć cztery łapy
P~>4L = [P*4L=4L] = [P=4L] =0
=0 - bo zbiór P=[pies] nie zawiera w sobie ~> zbioru 4L=[pies, słoń ..], a nie że zbiór wynikowy P~>4L jest pusty (bo nie jest!)
Zauważmy, że zdanie AO z naturalnym spójnikiem „może” ~~> będzie tu prawdziwe:
AOM.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
P~~>4L = P*4L =1 bo pies
W tym przypadku wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów P=[pies] i 4L=[pies, słoń ..], nie interesują nas tu wzajemne relacje zbiorów P i 4L.


Spójniki przeciwne:
1.
Spójnik „i”(*) jest spójnikiem przeciwnym do spójnika „lub”(+)
2.
Warunek wystarczający => (spójnik „na pewno”) jest spójnikiem przeciwnym do warunku koniecznego ~> (w implikacji spójnik „może”)

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Y=p+q - logika dodatnia (bo Y)
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*~q - logika ujemna (bo ~Y)

Przykład:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y=K+T
gdzie:
Y = dotrzymam słowa
… tata, a kiedy skłamiesz?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K*~T
~Y - skłamię

# - różne
## - różne na mocy definicji

Przykład:
Równanie ogólne operatorów OR i AND:
Operator OR ## Operator AND
Y=p+q # ~Y=~p*~q ## Y=p*q # ~Y=~p+~q

Lewa strona znaku ##:
Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Y=~(~Y)
Stąd mamy prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y=p+q = ~(~p*~q)

Prawa strona znaku ##:
Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Y=~(~Y)
Stąd mamy prawo de Morgana dla spójnika „i”(*):
Y=p*q = ~(~p+~q)

Uwaga!
Wszelkie symbole z lewej strony znaku ## nie mają nic wspólnego z symbolami z prawej strony znaku ##. Nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne między obiema stronami znaku ##.

To jest komplet znaczków w algebrze Kubusia obsługujący nową teorię zbiorów, ani jeden znaczek więcej nie jest nam potrzebny. Dzięki temu możemy swobodnie rozmawiać o algebrze Kubusia bez konieczności stosowania Latexa.

[rafal3006]

...

[rafal3006]

.