 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35357
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pią 13:32, 02 Kwi 2021 Temat postu: Kubusiowa teoria zbiorów Beta 1 |
|
|
2021-04-02
Poniższą teorię zbiorów radykalnie zredukowałem w wersji końcowej bo jest tu dużo wiedzy wyprzedzającej, którą poznamy w przyszłości tzn. punkt 4.0 i dalszej
Wstęp do algebry Kubusia
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów
Spis treści
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
3.1 Prawa Owcy i Owieczki 4
3.2 Podstawowe operacje na zbiorach 8
3.2.1 Suma logiczna zbiorów 9
3.2.2 Iloczyn logiczny zbiorów 10
3.2.3 Różnica (-) zbiorów 10
3.3 Dziedzina 11
3.3.1 Zaprzeczenie zbioru 12
3.3.2 Zbiór wszystkich zbiorów 12
3.3.3 Nazwa własna zbioru 13
3.3.4 Dziedzina minimalna 13
3.4 Relacje podzbioru => i nadzbioru ~> 14
3.4.1 Definicja warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 15
3.4.2 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 15
3.4.3 Podstawowa definicja równoważności p<=>q 17
3.5 Definicja definicji 19
3.5.1 Definicyjny błąd idem per idem 21
3.5.2 Relacje w logice matematycznej 23
3.5.3 Logika świata martwego i żywego 24
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów
Kubusiowa teoria zbiorów to nieznana ziemianom teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej, algebry Kubusia.
Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek. ZWZ, LN ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]
Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz
pies=1 - bo prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie pies
Zbiór wszystkich zwierząt (ZWZ) - prawdą jest (=1), iż wiem co znaczy pojęcie „zbiór wszystkich zwierząt”
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]=1 bo prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie „zbiór liczb naturalnych”
ALE!
agstd=0 - bo fałszem jest (=0) iż wiem co znaczy pojęcie „agstd”
Prawo Kłapouchego:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie
Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć należących do Uniwersum
Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być zbiór.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)
Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum. Zauważmy, że zaledwie 40 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na Ziemi.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)
Zauważmy, że w zbiorze pustym [] z definicji nie ma prawa być pojęcia które znajduje się w Uniwersum bo pojęcie „zbiór pusty” oznacza zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka.
Innymi słowy:
Pojęcia „zbioru pustego” leżą na zewnątrz Uniwersum, są to pojęcia jeszcze niezdefiniowane przez człowieka które w przyszłości mogą być zdefiniowane.
Co się stanie jak pojęcie nieznane dzisiaj zostanie zdefiniowane?
Odpowiedź:
Takie pojęcie automatycznie przeskoczy do Uniwersum.
Przykładem pojęcia które kilkadziesiąt lat temu przeskoczyło ze zbioru pustego do Uniwersum jest np. pojęcie Internet. Zauważmy, że zaledwie 40 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na ziemi.
Uniwersum U i zbiór pusty [] to zbiory rozłączne, z tym że Uniwersum jest zbiorem skończonym o przeliczalnej liczbie elementów, bo chodzi tu wyłącznie o człowieka który definiuje pojęcia.
Natomiast zbiór pusty [] zawiera nieskończoną ilość elementów, bo chodzi tu o pojęcia które człowiek jeszcze nie zdefiniował a których jest nieskończenie wiele.
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q
Definicja zbiorów rozłącznych:
Dwa zbiory p i q są rozłączne wtedy i tylko wtedy gdy nie mają elementu wspólnego
Podsumowanie:
Na mocy wyłożonej wyżej teorii możemy zapisać:
1.
Zbiór pusty [] jest (=1) podzbiorem => zbioru pustego []
[] => [] =1
Na mocy definicji podzbioru:
Każdy zbiór jest (=1) podzbiorem => siebie samego
cnd
2.
Zbiór pusty nie jest (=0) podzbiorem => Uniwersum U
[]=>U =0
Zbiór pusty [] nie ma ani jednego elementu wspólnego ze zbiorem Uniwersum U, zatem zbiory te są rozłączne.
Innymi słowy:
Nie istnieje (=0) element zbioru pustego [], który należałby do zbioru Uniwersum U
cnd
Powyższe relacje zbioru pustego [] i Uniwersum U obowiązują między dowolnymi zbiorami, inaczej matematyka jest wewnętrznie sprzeczna.
Innymi słowy:
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q to iloczyn logiczny zbiorów p i ~q jest zbiorem pustym
p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q z założenia
Wtedy:
p~~>~q = p*~q =0 - iloczyn logiczny zbiorów p i ~q jest zbiorem pustym, bo zbiory p i ~q są rozłączne.
Gdzie:
~q - zbiór zewnętrzny względem zbioru q.
Na deser wisienka na torcie, czyli najbardziej zaskakujące twierdzenie w całej historii logiki matematycznej.
Prawo Owieczki:
Prawdziwe jest zdanie ziemskich matematyków iż „ze zbioru pustego [] wynika wszystko” wtedy i tylko wtedy gdy definicje zbioru pustego [] i Uniwersum U będą zgodne z definicjami obowiązującymi w algebrze Kubusia.
Problem zbioru pustego [] i Uniwersum U możemy przedstawić graficznie:
| Kod: |
-------------------------------------------------------------------
| Zbiór pusty [] | Uniwersum U |
| Pojęcia jeszcze przez człowieka | Pojęcia przez człowieka już |
| niezdefiniowane | zdefiniowane |
| Niezrozumiałe dla człowieka | Zrozumiałe dla człowieka |
| | |
-------------------------------------------------------------------
|
W AK zbiór pusty [] jest rozłączny ze zbiorem Uniwersum U w każdym momencie czasowym tzn. nie istnieje chwila czasowa w której zbiory [] i U miałyby choć jeden element wspólny.
Jeśli człowiek zdefiniuje dowolne nieznane mu pojęcie to to pojęcie przeskoczy ze zbioru pustego [] do Uniwersum U w czasie nieskończenie krótkim.
3.1 Prawa Owcy i Owieczki
Niniejszy rozdział wyjaśniający o co chodzi w definicjach zbioru pustego [] i Uniwersum U na gruncie algebry Kubusia zawiera wiele pojęć których jeszcze nie znamy, a które za chwilkę poznamy.
Rozdział ten to wyjaśnienia dla ziemskich matematyków o co chodzi w definicjach zbioru pustego [] i Uniwersum U w algebrze Kubusia.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-3250.html#576965
| MaluśnaOwieczka napisał: |
| rafal3006 napisał: | | Zauważ MaluśnaOwieczko, że w AK zbiór pusty [] jest rozłączny ze zbiorem Uniwersum U w każdym momencie czasowym tzn. nie istnieje chwila czasowa w której zbiory [] i U miałyby choć jeden element wspólny. |
Zauważ Kubusiu, że dokładnie tak samo jest w teorii zbiorów Ziemian.
Uniwersum i zbiór pusty nie mają żadnego elementu wspólnego, ale ich częścią wspólną jest zbiór (nie element) pusty.
W teorii zbiorów Ziemian zbiory rozłączne to takie zbiory, których częścią wspólną jest zbiór pusty.
Częścią wspólną Uniwersum i zbioru pustego jest w ziemskiej teorii zbiorów zbiór pusty. A więc w ziemskiej teorii zbiorów Uniwersum i zbiór pusty również są rozłączne.
Są rozłączne i mają część wspólną, którą jest zbiór pusty. Może to nie brzmi zbyt intuicyjnie.. |
Zdanie wytłuszczone jest wewnętrznie sprzeczne, bowiem jeśli zbiory są rozłączne to żadnej wspólnej części nie mogą mieć z definicji.
Ja doskonale wiem jak jest u ziemian - dokładnie tak jak mówisz, ale to jest katastrofa, wykluczająca poprawne relacje zbioru pustego [] i Uniwersum U.
Fundamentalne definicje pojęcia, elementu zbioru i zbioru przypominam niżej.
Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]
Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć należących do Uniwersum
Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być zbiór.
Nie jest zatem prawdą, jak twierdzą ziemianie iż zbiór to pojęcie pierwotne, niedefiniowalne.
Prawo Owcy:
Dowolna logika matematyczne w której element lub zbiór x należy jednocześnie do zbioru niezaprzeczonego (bo A) i zaprzeczonego (bo ~A) jest matematycznie fałszywa.
Dowód:
Dla powyższego x dojdzie do gwałtu na fundamencie logiki matematycznej:
A*~A =x
Gdzie:
x - wspólny dla A i ~A element lub zbiór.
cnd
Zastrzeżenie w ziemskiej teorii zbiorów jakoby elementami zbiorów nie mogłyby być zbiory (podzbiory) jest nie do obrony, o czym będzie w kolejnym punkcie.
Poprawne relacje matematyczne w AK:
W algebrze Kubusia relacje między zbiorem pustym [] i Uniwersum w są takie:
| Kod: |
T1
Algebra Kubusia:
-------------------------------------------------------------------
| Zbiór pusty [] | Uniwersum U |
| Pojęcia jeszcze przez człowieka | Pojęcia przez człowieka już |
| niezdefiniowane | zdefiniowane |
| Niezrozumiałe dla człowieka | Zrozumiałe dla człowieka |
| | |
-------------------------------------------------------------------
Dziedzina:
D=U+[] =1 - to jest suma logiczna pojęć zdefiniowanych (U)
i jeszcze niezdefiniowanych []
czyli zbiór wszystkich możliwych pojęć w naszym Wszechświecie.
U*[] =0 - bo zbiory U i [] są rozłączne
|
W algebrze Kubusia zachodzi:
[] = ~U - zbiór pusty to zaprzeczenie Uniwersum
U = ~[] - zbiór U to zaprzeczenie zbioru pustego
Doskonale to widać na diagramie T1.
To samo można udowodnić inaczej.
Definicja zaprzeczenia zbioru:
Zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p rozumiany jako uzupełnienie zbioru p do dziedziny D
Dziedzina:
D=U+[] =1 - suma logiczna pojęć zdefiniowanych (U) i jeszcze niezdefiniowanych []
Na mocy definicji zaprzeczenia zbioru mamy:
~U = [D-U]=[U+[]-U] =[]
~[] = [D-[]] =[U+[]-[]] =U
cnd
Popatrzmy teraz jak to jest w ziemskiej teorii zbiorów!
| Kod: |
T3
Teoria zbiorów ziemian:
-------------------------------------------------------------------
| A | B |
| Zbiór pusty [] | Uniwersum U |
| Pojęcia jeszcze przez człowieka | Pojęcia przez człowieka już |
| niezdefiniowane | zdefiniowane |
| Niezrozumiałe dla człowieka | Zrozumiałe dla człowieka |
| | |
| | Zbiór pusty [] |
-------------------------------------------------------------------
|
Tabela T3 to katastrofa logiki matematycznej.
Dlaczego?
Bo ten sam zbiór [] należy zarówno do zbioru A jak i do zbioru zaprzeczonego ~A (B=~A).
W AK niemożliwym jest aby ten sam zbiór x należał do zbioru A i ~A
Dokładnie dlatego algebra zbiorów ziemian jest fałszem.
Owszem, jeśli przyjmiemy że zbiór pusty [] ma zero elementów w sensie ABSOLUTNYM, to wtedy u Ziemian zachodzi.
A=~B
[] = ~([]+U) = ~(0+U) = ~U
Problem w tym, że w AK zbiór pusty [] to nieskończona ilość elementów jeszcze niezdefiniowanych a nie zbiór pusty w sensie ABSOLUTNYM jak to jest u ziemian.
Tak więc sprawa rozbija się o poprawne definicje zbioru pustego [] i Uniwersum U w AK i logice ziemian.
Zauważmy że w logice ziemian zdanie:
„ze zbioru pustego wynika wszystko”
jest zdaniem FAŁSZYWYM, bo u ziemian zbiór pusty nie ma ani jednego elementu w sensie ABSOLUTNYM - z tak zdefiniowanego zbioru pustego nic nie może wynikać.
Natomiast w algebrze Kubusia zdanie:
„ze zbioru pustego wynika wszystko”
jest zdaniem PRAWDZIWYM.
Dowód:
Definiować elementy w naszym Wszechświecie może wyłącznie człowiek, świat martwy sam sobie nic nie definiuje.
Przed pojawieniem się człowieka zawartość zbioru pustego była taka:
[] - wszystkie elementy naszego Wszechświata w sensie ABSOLUTNYM, nie ma jeszcze człowieka który by cokolwiek definiował.
W dniu dzisiejszym sytuacja jest inna, taka:
| Kod: |
T1
Algebra Kubusia:
-------------------------------------------------------------------
| Zbiór pusty [] | Uniwersum U |
| Pojęcia jeszcze przez człowieka | Pojęcia przez człowieka już |
| niezdefiniowane | zdefiniowane |
| Niezrozumiałe dla człowieka | Zrozumiałe dla człowieka |
| | |
-------------------------------------------------------------------
Dziedzina:
U+[] =1 - to jest suma logiczna pojęć zdefiniowanych (U)
i jeszcze niezdefiniowanych []
czyli zbiór wszystkich możliwych pojęć w naszym Wszechświecie.
U*[] =0 - bo zbiory U i [] są rozłączne
W AK zachodzi:
[] = ~U - zbiór pusty to zaprzeczenie Uniwersum
U = ~[] - zbiór U to zaprzeczenie zbioru pustego
|
Podsumowanie:
Dlaczego teoria zbiorów ziemian jest do kitu?
Odpowiadam:
Bo w teorii ziemian fałszywy jest ich własny fundament logiki matematycznej:
„ze zbioru pustego wynika wszystko”
To jest fałsz - co udowodniłem wyżej.
… a jak to jest w AK?
Prawo Owieczki:
Prawdziwe jest zdanie ziemskich matematyków iż „ze zbioru pustego [] wynika wszystko” wtedy i tylko wtedy gdy definicje zbioru pustego [] i Uniwersum U będą zgodne z definicjami obowiązującymi w algebrze Kubusia.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-3150.html#575901
| MaluśnaOwieczka napisał: |
| rafal3006 napisał: | Czy zgadzasz się z fundamentem wszelkich ziemskich logik mówiącym iż:
„z fałszu wynika wszystko” |
Tak, zgadzam się. |
MaluśnaOwieczko:
Nie zamierzam udowadniać fałszywości poniższych dogmatów ziemskich matematyków:
1: z fałszu wynika wszystko
2: ze zbioru pustego wynika wszystko
3: ze zdania fałszywego wynika wszystko
bowiem zdanie „ze zbioru pustego [] wynika wszystko” jest prawdziwe pod warunkiem przyjęcia definicji zbioru pustego [] i Uniwersum U z algebry Kubusia.
Dowód prawdziwości prawa Owieczki mamy w poprzednim punkcie.
3.2 Podstawowe operacje na zbiorach
Zastrzeżenie ziemskiej teorii zbiorów jakoby elementami zbiorów nie mogłyby być zbiory (podzbiory) jest nie do obrony.
Dowód:
Budowa zbioru ssaków na podstawie Wikipedii:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Podział ssaków z 2018 roku:
afrosorkowce (Afrosoricida) 51 gat.
brzegowce (Sirenia) 5 gat.
drapieżne (Carnivora) 288 gat.
dwuprzodozębowce (Diprotodontia) 143 gat.
dydelfokształtne (Didelphimorphia) 87 gat.
góralkowce (Hyracoidea) 4 gat.
gryzonie (Rodentia) 2368 gat.
jamrajokształtne (Peramelemorphia) 21 gat.
jeżokształtne (Erinaceomorpha) 24 gat.
kretoworokształtne (Notoryctemorphia) 2 gat.
łuskowce (Pholidota) 8 gat.
naczelne (Primates) 501 gat.
niełazokształtne (Dasyuromorphia) 75 gat.
nieparzystokopytne (Perissodactyla) 24 gat.
nietoperze (Chiroptera) 1308 gat.
pancernikowce (Cingulata) 21 gat.
parzystokopytne (Artiodactyla) 248 gat.
rurkozębne (Tubulidentata) 1 gat.
ryjkonosowe (Macroscelidea) 15 gat.
ryjówkokształtne (Soricomorpha) 428 gat.
skąpoguzkowce (Paucituberculata) 6 gat.
skóroskrzydłe (Dermoptera) 2 gat.
stekowce (Monotremata) 5 gat.
torbikowce (Microbiotheria) 1 gat.
trąbowce (Proboscidea) 3 gat.
walenie (Cetacea) 91 gat.
wiewióreczniki (Scandentia) 20 gat.
włochacze (Pilosa) 10 gat.
zajęczaki (Lagomorpha) 92 gat.
|
Jak widzimy zbiór ssaków to suma logiczna podzbiorów pojęcia ssak, a nie pojedyncze elementy np. krowa, nietoperz, hipopotam, delfin etc.
Oczywiście można by nie używać podzbiorów wyliczając wszystkie elementy jak wyżej, ale wtedy zgubimy podział ssaków na kluczowe tu podzbiory i co najważniejsze, taka wyliczanka zajęłaby pewnie klika stron. Gdybyśmy poszli dalej rozbijając przykładowe pojęcie „pies” na rasy psów to definicja pojęcia „ssak” znów by się znacząco wydłużyła, natomiast gdybyśmy w przykładowej rasie psów „jamnik” zaczęli odróżniać jamnika Jasia od Jamnika Zuzi to prędzej wylądowalibyśmy w zakładzie zamkniętym bez klamek, niż wyliczyli wszystkie ssaki żyjące na ziemi.
Zauważmy, że wytłuszczony podzbiór to jeden gatunek, czyli pojedynczy element zbioru ssaki, ale ten element również należy do zbioru wszystkich ssaków.
Wniosek:
Definicja zbioru ziemian nie dopuszczająca podzbiorów jako elementów zbioru jest nie do obrony, to jest fałszywa definicja nie mająca związku z otaczającą nas rzeczywistością.
Przy okazji mamy tu dowód iż powszechnie używany przecinek rozdzielający elementy zbioru to znaczek sumy logicznej „lub”(+)
SSAKI = [torbikowce, walenie, zajęczaki ..]
Zapis matematycznie tożsamy:
SSAKI = [torbikowce+ walenie + zajęczaki …]
Znak tożsamości logicznej „=” możemy postawić wtedy i tylko wtedy gdy w tabeli w cytacie wyliczono wszystkie elementy i podzbiory definiujące SSAKI, inaczej koniec wyliczanki musimy zakropkować „…” w znaczeniu „i inne”, jak to zrobiono w zapisie wyżej.
Różnica między zbiorem „ssaki” a zbiorem pustym [] jest następująca:
SSAKI = [torbikowce + walenie + zajęczaki + ...] = [1+1+1+..] =1
Wszystkie pojęcia wyżej są znane człowiekowi więc ich wartość logiczna to 1
torbikowce =1 - bo wiem (=1) co to są torbikowce
walenie=1 - bo wiem (=1) co to są walenie
zajęczaki=1 - bo wiem (=1) co to są zajęczaki
…
Prawo algebry Boole’a:
1+1+1 =1
ALE!
Weźmy przykładowe element zbioru pustego [], czyli zbioru pojęć niezrozumiałych dla człowieka
[] = [ashdgte + jhcdrwyabsk + ..] =[0+0+..] =0
W zbiorze pustym [] nie rozumiemy żadnego pojęcia zatem wartość logiczna zbioru pustego to 0
ashdgte=0 - nie wiem (=0) co znaczy pojęcie „ashdgte”
jhcdrwyabsk=0 - nie wiem (=0) co znaczy pojęcie „jhcdrwyabsk”
…
Prawo Algebry Boole’a:
0+0 =0
Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
p=[x] =1 - gdy zbiór p jest niepusty, zawiera co najmniej jeden element zrozumiały dla człowieka
Bo prawo algebry Boole’a:
0+1 =1
p=[] =0 - gdy zbiór p jest pusty, zawiera zero elementów zrozumiałych dla człowieka
Bo prawo algebry Boole’a:
0+0 =0
3.2.1 Suma logiczna zbiorów
Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zdefiniujmy dwa zbiory p i q:
p=[K, T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T, P] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[K,T]+[T,P]=[K,T,T,P] = [K+T+T+P] = [K+T+P] = [K,T,P] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Bo prawo Algebry Boole’a:
p+p =p
3.2.2 Iloczyn logiczny zbiorów
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny
Y = p*q =0 - gdy zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego (są rozłączne)
Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
S - Słoń
Zdefiniujmy zbiory p, q, r:
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T,P] =1 - bo zbiór niepusty
r=[P,S] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[K,T]*[T,P]=[T] =1 - zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny
Y=p*r=[K,T]*[P,S] =[] =0 - zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego
Powyższe wyniki można uzyskać poprzez wymnażanie logiczne zbiorów.
Przykład:
p*q = [K+T]*[T+P] = K*T + K*P + T*T + T*P =[] + [] + T + [] = T
bo:
K*T+ K*P + T*P =[]+[]+[] =0+0+0 =0 - iloczyn logiczny „*” zbiorów (pojęć) rozłącznych jest zbiorem pustym
T*T =1
bo prawo algebry Boole’a:
p*p =p
3.2.3 Różnica (-) zbiorów
Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Oznaczmy:
K - Kubuś
T - Tygrysek
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T] =1 - bo zbiór niepusty
Stąd:
Y=p-q = [K,T]-[T] =[K] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[K]-[K,T]=[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty
3.3 Dziedzina
Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy
Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia. Ograniczeniem dolnym w definiowaniu dziedziny jest zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum.
Przyjmijmy za dziedzinę w której operujemy Uniwersum.
D=U
Zbiór poza Uniwersum jest dla nas pusty z definicji. Nie oznacza to jednak, że poza naszym aktualnym Uniwersum nie ma już pojęć które człowiek pozna w przyszłości. Przykładowo, zaledwie 40 lat temu słówko Internet było dla ludzkości zbiorem pustym, jeszcze nie zdefiniowanym. W dniu dzisiejszym słówko Internet jest zdefiniowane i znane praktycznie każdemu człowiekowi.
Definicja dziedziny D i zbioru pustego []:
D+~D = D+[] =D =1 - zbiór pusty [] jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dziedziny D
D*~D = D*[] =[] =0 - iloczyn logiczny zbiorów rozłącznych D i [] jest zbiorem pustym []
Na mocy powyższego mamy:
[] = ~D
D=~[]
Matematycznie zachodzi tu prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Stąd:
D = ~(~D) = ~([]) = ~[]
[] = ~(~[]) = ~(D) = ~D
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q
Każdy zbiór jest podzbiorem samego siebie z definicji:
D=>D =1 - dziedzina jest (=1) podzbiorem => siebie samej
[]=>[] =1 - zbiór pusty [] jest (=1) podzbiorem siebie samego
Tabela prawdy wiążąca dziedzinę D ze zbiorem pustym []:
| Kod: |
A: D=>D =1 - dziedzina D jest (=1) podzbiorem dziedziny D
B: D~~>[]=D*[] =0 - dziedzina D i zbiór pusty [] to zbiory rozłączne
C: []=>[] =1 - zbiór pusty [] jest (=1) podzbiorem zbioru pustego []
D: []~~>D=[]*D =0 - zbiór pusty [] i dziedzina D to zbiory rozłączne
|
Dla D=1 i []=0 mamy tabelę prawdy równoważności D<=>D:
| Kod: |
D D D<=>D
A: 1=> 1 =1
B: 1~~>0 =0
C: 0=> 0 =1
D: 0~~>1 =0
|
3.3.1 Zaprzeczenie zbioru
Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)
Uwaga:
Aby zapisać zbiór ~p będący negacją zbioru p musimy określić wspólną dziedzinę dla zbiorów p i ~p
Definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem pustym []
Przykład:
K = Kubuś
T = Tygrysek
p=[K] - definiujemy zbiór p
D=[K,T] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[T]
3.3.2 Zbiór wszystkich zbiorów
Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z Uniwersum na mocy definicji Uniwersum.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Wszystkie pojęcia poza (~) Uniwersum są zbiorem pustym.
~U= [] =0
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
D = U
Na mocy definicji:
Zaprzeczenie zbioru (~) to jego uzupełnienie do dziedziny
Stąd:
~U=[D-U]=[U-U]=[] =0
Wynika z tego, że zbiór Uniwersum i zbiór pusty to zbiory rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny U
U+~U = U+[] =U =1 - zbiór ~U=[] jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru U
U*~U = U*[] =[] =0 - zbiory U i ~U=[] są rozłączne
3.3.3 Nazwa własna zbioru
Rozróżniamy dwa rodzaje zbiorów ze względu na nazwę:
- zbiory mające nazwę własną
- zbiory nie mające nazwy własnej
Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi
Przykład zbioru mającego nazwę własną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Przykład zbioru nie mającego nazwy własnej:
p = [ZWZ, miłość, samolot]
3.3.4 Dziedzina minimalna
Definicja dziedziny minimalnej:
Dziedzina minimalna to minimalny zbiór na którym operujemy.
Wszystko co jest poza dziedziną minimalną jest zbiorem pustym z definicji
Rozważmy poniższe zbiory mające nazwy własne:
P=[pies]
A.
Dla dziedziny:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt minus jeden element P=[pies]
B.
Dla dziedziny:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków:
otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWS-P] - zbiór wszystkich ssaków minus jeden element P=[pies]
C.
Dla dziedziny Uniwersum (zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka) otrzymamy ~P:
~P=[U-P] - zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka minus jeden element P=[pies]
Wnioski:
1.
Nie ma sensu mówienie o zaprzeczeniu zbioru ~p dopóki nie wybierzemy dziedziny w której ten zbiór zaprzeczamy.
2.
Dziedzina minimalna dla „psa” P=[pies] to zbiór wszystkich zwierząt - przypadek A.
3.
Zauważmy, że dla zbioru P=[pies] nie możemy przyjąć dziedziny:
D=P=[pies]
bo pojęcie nie pies ~P będzie nierozpoznawalne.
Dowód:
~P=[D-P]=[P-P]=[] =0
cnd
3.4 Relacje podzbioru => i nadzbioru ~>
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q
Definicja relacji podzbioru =>:
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q
Z powyższego wynika że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja podzbioru => = relacja podzbioru =>
Pełna definicja relacji podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja podzbioru =>:
p=>q =1 - relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Wniosek z powyższej definicji:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
p=>p =1
Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Innymi słowy:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja równoważności p<=>q:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Stąd mamy bardzo ważne w logice matematycznej prawo Słonia:
Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Definicja nadzbioru:
Zbiór p jest nadzbiorem zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
Definicja relacji nadzbioru ~>:
Relacja nadzbioru p~>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
Z powyższego wynika, że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja nadzbioru ~> = relacja nadzbioru ~>
Pełna definicja relacji nadzbioru ~>:
Relacja nadzbioru p~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
Wniosek z powyższej definicji:
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
p~>p =1
3.4.1 Definicja warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
W teorii zbiorów zachodzą tożsamości pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
3.4.2 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
| Kod: |
T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:
Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.
Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q - pod q podstaw := ~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q
3.4.3 Podstawowa definicja równoważności p<=>q
Równoważność to jedyny sensowny spójnik logiczny używany w technice bowiem nie ma tu miejsca na jakiekolwiek „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” które występuje w spójnikach implikacji prostej p|=>q, implikacji odwrotnej p|~>q i w chaosie p|~~>q.
Szczegóły poznamy niebawem, póki co zapoznajmy się z definicją równoważności p<=>q.
W teorii zbiorów zachodzą tożsamości pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Podstawowa definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne spełnienie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest wystarczające => dla q
##
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest konieczne ~> dla q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Stąd mamy podstawową definicję równoważności:
RA1B1:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1
Ta definicja znana jest wszystkim ludziom, nie tylko matematykom.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 11 000
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 2 120
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Stąd mamy definicje matematyczną równoważności (używaną w matematyce):
RA1B3:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
Definicja tożsama w zbiorach:
Równoważność to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Przykład:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych matematycy udowodnili wieki temu.
Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych definiuje tożsamość zbiorów TP=SK:
TP=SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK
Dowód prawdziwości zdań składowych równoważności Pitagorasa:
A1.
Twierdzenie proste Pitagorasa:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
Ten dowód oznacza iż:
Bycie trójkątem prostokątnym jest (=1) warunkiem wystarczającym => aby zachodziła w nim suma kwadratów, bo zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Bycie trójkątem prostokątnym daje nam gwarancję matematyczną => spełnionej sumy kwadratów, bo zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
B3.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny
SK=>TP =1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
Ten dowód oznacza iż:
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów jest warunkiem wystarczającym => aby ten trójkąt był prostokątny, bo zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów daje nam gwarancję matematyczną => iż ten trójkąt jest prostokątny, bo zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Stąd mamy:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
3.5 Definicja definicji
Jedyną poprawną definicją czegokolwiek w naszym Wszechświecie jest definicja równoważnościowa, gdzie musi być prawdziwe zarówno twierdzenie proste p=>q =1 jak i twierdzenie odwrotna q=>p =1.
Definicję definicji precyzują prawo Słonia i prawo Słoniątka.
Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Stąd tożsama wersja prawa Słonia.
Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Gdzie:
A1: p=>q =1 - twierdzenie proste
B3: q=>p =1 - twierdzenie odwrotne
Na mocy prawa Słonia zapisujemy równoważność prawdziwą z użyciem zdania „Płock leży nad Wisłą”:
Płock leży nad Wisłą wtedy i tylko wtedy gdy Płock leży nad Wisłą
PNW <=> PNW = (A1: PNW=>PNW)*(B1: PNW~>PNW] =1*1 =1
Dowód:
A1: PNW=>PNW =1
Dowolne pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
cnd
B1: PNW~>PNW=1
Dowolne pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd
Na mocy prawa Słonia ta równoważność jest prawdziwa ale jej użyteczność jest zerowa bo niczego nie definiuje.
Prawo Słoniątka:
Dowolna definicja czegokolwiek w naszym Wszechświecie musi być definicją równoważnościową, czyli matematycznie jednoznaczną w całym obszarze Uniwersum.
Gdzie:
Uniwersum to zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych przez człowieka.
Definicja definicji:
Definicja, to wypowiedź o określonej budowie, w której informuje się o znaczeniu pewnego wyrażenia przez wskazanie innego wyrażenia oddającego sens sformułowania.
Zastanówmy się, czy poprawna definicja Płocka może być na przykład taka:
Twierdzenie proste:
Płock leży nad Wisłą
Twierdzenie tożsame:
Płock to miasto leżące nad Wisłą
Twierdzenie tożsame bo warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny:
A1.
Płock na 100% => leży nad Wisłą
P=>MNW =1
Bycie miastem Płock jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby miasto to leżało nad Wisłą bo zbiór jednoelementowy P=[Płock] jest podzbiorem => zbioru miast leżących nad Wisłą MNW=[Płock, Kraków ..]
Twierdzenie odwrotne jest tu fałszem:
B3.
Miasto leżące nad Wisłą to na 100% => Płock
MNW=>P =0
Bycie miastem leżącym nad Wisłą nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla stwierdzenia iż jest to Płock bo zbiór miast leżących nad Wisłą MNW=[Płock, Kraków ..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru jednoelementowego P=[Płock]
Wniosek:
Zdanie A1 jest częścią implikacji prostej P|=>MNW o definicji:
A1: P=>MNW =1 - twierdzenie proste P=>MNW jest prawdziwe (=1)
B1: MNW=>P =0 - twierdzenie odwrotne MNW=>P jest fałszywe (=0)
stąd mamy:
Zdanie A1 jest częścią implikacji prostej P|=>MNW o definicji:
P|=>MNW = (A1: P=>MNW)*~(B3: MNW=>P) = 1*~(0)=1*1 =1
cnd
Weźmy nasze zdanie A1:
A1.
Płock to miasto nad Wisłą
Pojęciem definiowanym jest tu miasto p=Płock w poprzedniku.
Właściwa definicja Płocka zawarta jest w następniku po słowie „to”: q=MNW
Zapiszmy właściwą definicję Płocka:
q=miasto nad Wisłą
Ta definicja nie definiuje nam jednoznacznie miasta Płock bo miast nad Wisłą jest wiele: Płock, Kraków, Warszawa, Gdańsk etc
To jest definicja implikacyjna (niejednoznaczna) bo Płock jest jednym z wielu miast leżących nad Wisłą.
Klasyka definicji niejednoznacznej zawarta jest w filmie „Rejs”:
https://www.youtube.com/watch?v=0hqfL69w4Qs
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisłą - podać jego odgłos.
Definicja równoważnościowa miasta Płock może być na przykład taka:
Płock to miasto nad Wisłą z siedzibą Orlenu
Dopiero tu możemy zapisać tożsamość (równoważność):
Płock = miasto nad Wisłą z siedzibą Orlenu
Płock <=> miasto nad Wisłą z siedzibą Orlenu
P<=> MNW*O
To jest definicja matematycznie poprawna, a nawet nadmiarowa, bo minimalna definicja Płocka jest taka:
Płock to miasto z siedzibą Orlenu
P<=>O = (A1: P=>O)*(B3: O=>P) =1*1 =1
A1:
Jeśli miasto jest Płockiem to na 100% => znajduje się w nim Orlen
P=>O =1
Bycie Płockiem wystarcza => by znajdowała się tu siedziba Orlenu
B3:
Jeśli budynek jest siedzibą Orlenu to na 100% => jest w Płocku
O=>P =1
Bycie budynkiem Orlenu daje nam gwarancję matematyczną => iż znajduje się on w Płocku
Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Miasto Płock = Siedziba Orlenu
P=O
O co chodzi w tej tożsamości?
Tu kłaniają się popularne krzyżówki:
1.
Miasto w którym znajduje się Orlen
Odpowiedź: Płock
2.
Koncern naftowy z siedzibą w Płocku:
Odpowiedź: Orlen
3.5.1 Definicyjny błąd idem per idem
Podstawowa definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne spełnienie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest wystarczające => dla q
##
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest konieczne ~> dla q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Stąd mamy podstawową definicję równoważności:
RA1B1:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1
Ta definicja znana jest wszystkim ludziom.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 11 000
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 2 120
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Stąd mamy definicje matematyczną równoważności (używaną w matematyce):
RA1B3:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
Definicja tożsama w zbiorach:
Równoważność to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
W teorii zbiorów zachodzą tożsamości pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
W algebrze Kubusia równoważność p<=>q służy wyłącznie definiowaniu tożsamości zbiorów (pojęć) p=q na mocy prawa Słonia.
Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Stąd mamy tożsamą wersję prawa Słonia.
Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
W AK prawdziwe są równoważności typu:
p<=>p
gdzie pod p można sobie podstawić cokolwiek.
Podstawmy:
p=trójkąt jest prostokątny
Stąd mamy
RA1B1:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt jest prostokątny
TP<=>TP = (A1: TP=>TP)*(B1: TP~>TP) =1*1 =1
Dowód zdań składowych:
A1: TP=>TP =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Zbiór trójkątów prostokątnych TP jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych TP
B1: TP~>TP =1 - bo każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Zbiór trójkątów prostokątnych TP jest nadzbiorem ~> zbioru trójkątów prostokątnych TP
Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
TP=TP
Czytamy:
Zbiór trójkątów prostokątnych jest tożsamy ze zbiorem trójkątów prostokątnych
Zauważmy że równoważność RA1B1 nie definiuje trójkąta prostokątnego bowiem jest to definiowanie przez siebie samego - błąd idem per idem
To jest znany matematykom błąd definicyjny.
Identyczny błąd idem per idem to na przykład taka równoważność:
Zwierzę jest psem wtedy i tylko wtedy gdy jest psem
Innymi słowy:
pies wtedy i tylko wtedy gdy pies
P<=>P = (A1: P=>P)*(B1: P~>P) =1*1 =1
W języku potocznym błąd idem per idem jest niekiedy popełniany celowo dla podkreślenia wagi czegoś np.
Dolar to dolar, silna waluta.
Koń to koń, jaki jest każdy widzi
Jak mówię że kocham to kocham
etc
3.5.2 Relacje w logice matematycznej
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-3100.html#575497
| MaluśnaOwieczka napisał: | Pójdę do kina wtedy i tylko wtedy gdy nie będzie padać.
Czy "Nie będzie padać" stanowi definicję "Pójdę do kina"? |
Oczywiście - nie stanowi.
W tym momencie wkroczyłeś w relację:
Świat żywy vs Świat martwy
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => otworzę parasol
P=>OP =1
Prawo kontrapozycji:
P=>OP = ~OP =>~P
stąd mamy:
Jeśli jutro nie otworzę parasola to na 100% =>nie będzie padało
~OP=>~P =1 - na mocy prawa kontrapozycji
Fundamenty algebry Kubusia to w 100% logika formalna (ogólna) powstała na bazie praw logiki matematycznej obowiązującej w świecie martwym tzn. z fundamentów algebry Kubusia usuwamy wszelkie zdania w których ustawienie wartości logicznej poprzednika lub następnika zależy od wolnej woli człowieka.
W przykładzie wyżej otworzenie parasola zależy od wolnej woli człowieka (świat żywy) ale o tym czy jutro będzie padło człowiek już nie decyduje (świat martwy).
Możliwe relacje w logice matematycznej to:
Świat martwy vs Świat martwy
Świat żywy vs świat martwy (przykłady wyżej)
Świat żywy vs świat żywy (przykłady: obietnice i groźby)
Od strony czysto matematycznej kluczowe i najważniejsze są relacje:
Świat martwy (w tym matematyka) vs Świat martwy (w tym matematyka)
Dlaczego są najważniejsze?
Bo świat martwy z definicji nie ma prawa do kłamstwa, natomiast świat żywy może kłamać do woli.
To dzięki prawom że świata martwego (w tym matematyki) możemy rozstrzygać kiedy człowiek mówi prawdę, a kiedy kłamie bo:
Definicja „wolnej woli” w świecie żywym:
„Wolna wola” (prawo do kłamstwa) to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej rodem ze świata martwego.
Z powyższej definicji wynika, że warunkiem koniecznym do opisania języka potocznego człowieka jest poznanie praw logiki matematycznej obowiązującej w świecie martwym (w tym w matematyce).
Świat martwy nie ma prawa gwałcić (i nie gwałci!) swoich własnych praw logiki matematycznej pod które podlega.
Logika formalna (ogólna) w algebrze Kubusia ma przełożenie 1:1 na język potoczny człowieka,
Przykład:
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N
Aby odpowiedzieć na pytanie kiedy człowiek wypowiadając dowolną obietnicę ją dotrzyma a kiedy nie (w przyszłości oczywiście!), musimy znać definicję implikacji prostej p|=>q którą wyznacza matematyka i świat martwy.
Innymi słowy:
Sensowne jest mówienie o relacjach:
świat żywy vs Świat martwy
świat żywy vs Świat żywy
wtedy i tylko wtedy gdy uprzednio poznamy prawa logiki matematycznej obowiązujące w świecie martwym (w tym w matematyce).
Podsumowanie:
Zauważmy, że teoria logiki matematycznej może być wykładana tylko i wyłącznie na bazie świata martwego (w tym matematyki), który nie ma prawa do kłamstwa - dokładnie tak jest to zrobione w algebrze Kubusia.
3.5.3 Logika świata martwego i żywego
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-3125.html#575667
| MaluśnaOwieczka napisał: | Kubuś, a gdzie Algebra Kubusia definiuje świat martwy?
Poza tym, jeśli AK zajmuje się tylko światem martwym, który, jak stwierdziłeś, nie kłamie, to znaczy, że wszystkie równoważności w rozumieniu AK są prawdziwe. Po co więc się nimi w ogóle zajmować, skoro i tak wiadomo, że mówią prawdę? |
Algebra Kubusia zajmuje się wszystkimi możliwymi, trzema światami:
1: Świat martwy (w tym matematyka) vs Świat martwy (w tym matematyka)
2: Świat martwy vs świat żywy
3: świat żywy vs świat żywy (np. obietnice i groźby)
Ziemska logika matematyczna nie widzi tych trzech światów i to jest jej tragedia.
Można to porównać do następującego przypadku:
Jaś (lat 7) idzie do I klasy szkoły podstawowej gdzie w programie nauczania ma:
tabliczka mnożenia do 100, twierdzenie Pitagorasa, planimetria, bryły i inne „całki”
… taki kogel mogel Jaś dostaje w I klasie SP - tak właśnie działa KRZ.
Kolejność w nauczaniu logiki matematycznej musi być taka.
Po pierwsze i najważniejsze:
Uczeń I klasy LO musi opanować fundamenty logiki matematycznej w postaci logiki świata martwego (w tym matematyki), dopiero na bazie tych fundamentów wolno mu sią zająć innymi dziedzinami logiki matematycznej np. obietnicami i groźbami czyli światem żywym.
Wyjaśnienie o co tu chodzi na przykładzie.
Definicja świata martwego w logice matematycznej:
Świat martwy w logice matematycznej to świat gdzie wartości logiczne zdań są zdeterminowane przez przyrodę i matematykę.
Oczywiście wypowiadający zdanie mając wolną wolę (prawo do kłamstwa) może kłamać do woli ale to kłamstwo zostanie mu udowodnione równo z chwilą wypowiedzenia zdania - natychmiast!
Różnica jest tu fundamentalna.
Przykład zdania z obszaru świat martwy-świat żywy.
MaluśnaOwieczka:
RMO:
Jutro pójdę do kina wtedy i tylko wtedy gdy nie będzie padało
K<=>~P =?
Decyzja „Jutro pójdę do kina” zależy od MaluśnejOwieczki, ale zdarzenie „jutro nie będzie padało” nie zależy od MaluśnejOwieczki.
Temu zdaniu nie możemy przypisać wartości logicznej tu i teraz, natychmiast, bo nie wiadomo co jutro zrobi MaluśnaOwieczka.
W tym przypadku zadaniem logiki matematycznej jest rozstrzygnięcie kiedy w przyszłości MaluśnaOwieczka zostanie kłamcą a kiedy nie zostanie - tylko tyle i aż tyle rozstrzyga tu logika matematyczna!
Innymi słowy:
Logika matematyczna pozwala posiąść wiedzę tu i teraz kiedy w przyszłości MaluśnaOwieczka będzie kłamcą a kiedy nie będzie, ale nigdy nie rozstrzygnie czy pojutrze MaluśnaOwieczka będzie kłamcą czy nie będzie. Gdyby to było matematycznie możliwe to wolna wola MalusnejOwieczki (prawo do kłamstwa) ległaby w gruzach - na szczęście dla MaluśnejOwieczki to nie jest matematycznie możliwe.
Przykład zdania z obszaru świata martwego:
Jaś (lat 5):
RJ.
Pada wtedy i tylko wtedy gdy jest pochmurno
P<=>CH =?
Tu zarówno poprzednik „zdarzenie pada” jak i następnik „zdarzenie jest pochmurno” nie zależą od Jasia tzn. Jaś nie ma czarodziejskiej różdżki podobnej do laski Mojżesza którą opuszczając spowoduje padanie zaś podnosząc spowoduje brak padania.
Zauważmy, że czasami zdarza się (przykład wyżej) iż wypowiadamy zdanie fałszywe w przekonaniu iż wypowiedzieliśmy zdanie prawdziwe, tu logika matematyczna działa natychmiast z dziecinną łatwością udowadniając iż Jaś wypowiedział zdanie fałszywe.
Niekoniecznie musi zachodzić tożsamość:
Zdanie fałszywe = kłamstwo
bo:
Definicja kłamstwa:
Kłamstwo to świadome powiedzenie nieprawdy.
Dowód iż równoważność Jasia jest fałszywa jest trywialny.
Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Korzystając z prawa Słonia sprawdzamy, czy w równoważności Jasia:
P<=>CH =?
zachodzi tożsamość „padania” i „chmur”
P=CH <=> (A1: P=>CH)*(B3: CH=>P) = P<=>CH
Sprawdzamy prawdziwość/fałszywość zdań składowych A1 i B3.
A1.
Jeśli pada to na 100% => są chmury
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
B3.
Jeśli są chmury to na 100% => pada
CH=>P =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
Wniosek:
Równoważność Jasia jest fałszywa:
Pada wtedy i tylko wtedy gdy są chmury
P<=>CH = (A1: P=>CH)*(B3: CH=>P) =1*0 =0
Rozważmy taką sytuację:
MaluśkaOwieczka i Jaś (synek) widzą że za oknem pada.
Jaś mówi do taty:
1.
Teraz pada i jest pochmurno
Innymi słowy tata:
2.
Tu i teraz pada wtedy i tylko wtedy gdy jest pochmurno
Pytanie do MluśnejOwieczki:
Czy ze stwierdzenia prawdziwości zdania 1 (oczywistość) wynika prawdziwość zdania 2?
Poprawna odpowiedź:
Nie wynika - zdanie 2 jest fałszem.
Dowód:
Prawo Słonia:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (pojęć) p=q i odwrotnie
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Aby udowodnić że cokolwiek jest równoważnością nie wystarczy sprawdzić pojedynczy przypadek „teraz pada i jest pochmurno” - trzeba sprawdzić wszystkie, dostępne matematycznie przypadki.
DM = P*CH+ P*~CH + ~P*~CH + ~P*CH
Gdzie:
DM - dziedzina matematyczna, o której będzie za chwilkę.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 19:30, 02 Kwi 2021, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35357
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 13:33, 02 Kwi 2021 Temat postu: |
|
|
Spis treści
3.6 Teoria zbiorów Dziedziny D, Uniwersum U i pustego [] 1
3.7 Zbiory rozłączne uzupełniające się do dziedziny 4
3.7.1 Definicja tożsamości zbiorów p=q 5
3.7.2 Spójnik „lub”(+) vs spójnik „albo”($) 6
3.8 Dziedzina matematyczna i fizyczna 10
3.8.1 Rozstrzyganie o prawdziwości zdania na mocy RDF=DDF w teorii zdarzeń 11
3.8.2 Rozstrzyganie o prawdziwości zdania na mocy RDF=DDF w teorii zbiorów 13
3.6 Teoria zbiorów Dziedziny D, Uniwersum U i pustego []
Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy
Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Definicja dziedziny wymaga wyjaśnienia.
Dlaczego wszystko co jest poza dziedziną jest dla nas zbiorem pustym z definicji?
Rozważmy twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych przyjmując za dziedzinę:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
A1:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
Dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Twierdzenie to ludzkość udowodniła wieki temu.
Ten dowód oznacza iż:
Zbiór trójkątów prostokątnych jest (=1) podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów.
Oznacza to, że jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt prostokątny to na 100% => będzie zachodziła w nim suma kwadratów.
Innymi słowy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => to tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK), bo zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK).
Z powyższego wynika że:
W AK zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Dla twierdzenia Pitagorasa przyjmijmy teraz dziedzinę najszerszą z możliwych Uniwersum.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum, to wszelkie pojęcia zrozumiałe przez człowieka
Dowód twierdzenia Pitagorasa przez iterowanie polega na tym, że bierzemy kolejne elementy ze zbioru U i na mocy definicji zawartej w poprzedniku (ZWT=TP+~TP) sprawdzamy czy wylosowany element należy do zbioru ZWT.
Jeśli nie należy to wywalmy element x w kosmos bez żadnej dalszej analizy tzn. do zbioru pustego mówiąc:
Definicja elementu x=[miłość] totalnie mnie nie interesuje bo to pojęcie jest rozłączne ze zbiorem ZWT.
W tym przypadku twierdzenie Pitagorasa przyjmuje brzmienie:
A1.
Jeśli coś jest trójkątem prostokątnym to na 100% => w tym czymś zachodzi suma kwadratów
x*TP =>SK
x=coś
Dziedzina: Uniwersum
Zapiszmy istotny tu fragment poprzednika twierdzenia Pitagorasa:
Jeśli coś jest trójkątem … (ZWT=TP+~TP)
x*T
Ze zbioru Uniwersum losujemy kolejne pojęcia zrozumiałe dla człowieka
Losowanie 1
x=kwadrat
Jeśli kwadrat (KW) jest trójkątem (T) …
x*T = KW*T = [] - zbiór pusty
bo pojęcia KW i T są rozłączne
cnd
Losowanie 2
x=miłość
Jeśli miłość (M) jest trójkątem (T) …
x*TP = M*T = [] - zbiór pusty
bo pojęcia M i T są rozłączne
cnd
W twierdzeniu Pitagorasa możemy sobie za dziedzinę przyjąć Uniwersum, mamy do tego prawo, ale jak widzimy wyżej wszelkie pojęcia spoza dziedziny minimalnej ZWT wylądują w zbiorze pustym [], czyli w zbiorze zewnętrznym w stosunku do ZWP.
Wniosek:
Takie pojęcia jak:
x=[kwadrat, miłość, mydło, powidło...]
są pojęciami pustymi [] z punktu widzenia dziedziny ZWT tzn. o definicji z założenia nieznanej.
Zwrot "z założenia nieznanej" oznacza tu, że definicje tych pojęć z punktu widzenia obsługi twierdzenia Pitagorasa są dla nas zbiorem pustym z założenia (nie interesują nas).
Zauważmy, że z punktu odniesienia twierdzenia Pitagorasa pojęcia puste typu x=[kwadrat, miłość, mydło, powidło ..] są zbiorem zewnętrznym w stosunku dziedziny minimalnej ZWT.
Powyższy komentarz możemy przedstawić w prosty sposób graficznie:
| Kod: |
T1.
---------------------------------------------------------------------------
|Relacja dziedziny ZWT i zbioru pustego [] w twierdzeniu Pitagorasa |
---------------------------------------------------------------------------
|ZWT |Zbiór pusty [] z punktu odniesienia |
|Zbiór wszystkich trójkątów |dziedziny ZWT |
|Zbiór przyjęty za dziedzinę |[] = [U-ZWT] |
| |Uniwersum (U) - zbiór wszystkich pojęć |
| |zrozumiałych dla człowieka |
| |Elementy x ze zbioru pustego []: |
| |x=[kwadrat, miłość, mydło, powidło ..] |
---------------------------------------------------------------------------
|
Jak otrzymać ogólną definicję dziedziny?
Zapiszmy dokładnie to samo co w twierdzeniu Pitagorasa w zapisach formalnych (ogólnych) podstawiając:
Dziedzina ZWT := dziedzina D
W miejsce „dziedzina ZWT” zapisz := „dziedzina D”
| Kod: |
T2.
---------------------------------------------------------------------------
|Relacja dziedziny D i zbioru pustego [] (definicja ogólna) |
---------------------------------------------------------------------------
|D |Zbiór pusty [] z punktu odniesienia |
|Zbiór przyjęty za dziedzinę |dziedziny D |
| |[] = [U-D] |
| |Uniwersum (U) - zbiór wszystkich pojęć |
| |zrozumiałych dla człowieka |
| |Elementy x ze zbioru pustego []: |
| |x=[U-D] |
---------------------------------------------------------------------------
|
Rozważmy przypadki szczególne z tabeli T2.
1.
Przyjmijmy za dziedzinę Uniwersum:
D=U
stąd mamy:
[] = [U-D] = [U-U] =[] - elementy zewnętrzne w stosunku do dziedziny U
Elementy zbioru pustego []:
x=[U-U] =[] - wszelkie elementy których definicji aktualnie nie znamy (nie należą do U), które możemy poznać w przyszłości
Tu wszystko jest w porządku, w szczególności możemy za dziedzinę D przyjąć Uniwersum.
ALE!
2.
Przyjmijmy za dziedzinę zbiór pusty:
D=[]
Stąd mamy:
[] = [U-D] = [U-[]] = U - z definicji zbiór pusty [] jest rozłączny z U, zatem ta tożsamość nie zachodzi.
Elementy zbioru pustego []:
x=[U-D] = [U-[]] =U - tu do zbioru pustego należy 100% elementów z Uniwersum.
Wniosek:
Nie wolno za dziedzinę przyjąć zbioru pustego [], bowiem taka dziedzina będzie zbiorem nierozpoznawalnym, ponieważ z założenia nie znamy definicji choćby jednego pojęcia ze zbioru pustego [].
Kolejnym argumentem iż nie wolno za dziedzinę przyjąć zbioru pustego [] jest sprzeczność czysto matematyczna zapisana w punkcie 2:
2: []=U - zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym (rozłącznym) w stosunku do zbioru U, zatem tożsamość zbiorów nie ma prawa tu zachodzić.
Ten przypadek to odpowiednik dzielenia przez 0 w matematyce klasycznej:
„Pamiętaj cholero nie dziel przez 0”
Uwagi:
1.
Zbiór pusty [] jest zbiorem zewnętrznym (rozłącznym) w stosunku do zbioru Uniwersum
2.
Zbiór pusty [] zawiera elementy spoza zbioru Uniwersum których jeszcze nie znamy, a które możemy poznać w przyszłości
3.
Matematycznie zachodzi:
U=~[] - Uniwersum U to zaprzeczenie zbioru pustego []
[]=~U - zbiór pusty [] to zaprzeczenie Uniwersum U
3.7 Zbiory rozłączne uzupełniające się do dziedziny
Rozważmy zdanie:
MLK
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) lub kobietą (K)
C=M+K
Zbiór człowiek (C) to suma logiczna (+) zbiorów M+K
Dziedzina minimalna to:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi.
| Kod: |
S1
------------------------------------------
| M - zbiór mężczyzn | K - zbiór kobiet |
| M=~K | K=~M |
| | |
------------------------------------------
| Dziedzina: C (człowiek) |
| Zbiór wszystkich ludzi |
| C=M+K |
------------------------------------------
|
Rozważmy dziedzinę minimalną dla człowieka (C):
C=[M, K]
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
C = M+K
Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
1.
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% => będzie to kobieta (K=1)
2.
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% => będzie to mężczyzna (M=1)
~K=>M =1
Kluczowy wniosek:
Jeśli mamy zbiór mężczyzn M to minimalną dziedziną jaką możemy tu przyjąć jest zbiór:
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Zauważmy, że gdybyśmy dziedzinę zawęzili do zbioru M to pojęcie nie mężczyzna (~M) byłoby dla nas nierozpoznawalne.
Dowód:
M - mężczyzna
D=M - przyjęta dziedzina
~M=[D-M]=[M-M]=[]
cnd
3.7.1 Definicja tożsamości zbiorów p=q
| Kod: |
S1
------------------------------------------
| M - zbiór mężczyzn | K - zbiór kobiet |
| M=~K | K=~M |
| | |
------------------------------------------
| Dziedzina: C (człowiek) |
| Zbiór wszystkich ludzi |
| C=M+K |
------------------------------------------
|
W zbiorach zachodzi:
M = ~(K)=~K - zbiór mężczyzn to zaprzeczony zbiór kobiet w dziedzinie C
K = ~(M)=~M - zbiór kobiet za zaprzeczony zbiór mężczyzn w dziedzinie C
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q
Definicja relacji podzbioru =>:
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q
Z powyższego wynika, że zachodzi tożsamość pojęć:
Definicja podzbioru => = relacja podzbioru =>
Pełna definicja relacji podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest relacja => podzbioru:
p=>q =1 - relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Relacja podzbioru => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Na mocy powyższej definicji mamy:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
p=>p =1
Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Masz przykład:
RA1:
Człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy <=> gdy nie jest kobietą (~K=1)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B3: ~K=>M) =1*1 =1
Każda równoważność prawdziwa w zbiorach definiuje tożsamość zbiorów:
M = ~K - zbiór mężczyzn to zaprzeczenie zbioru kobiet w dziedzinie C (człowiek)
Z diagramu widać, iż tak jest w istocie.
cnd
Sprawdzenie równoważności RA1:
A1:
Twierdzenie proste:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy mężczyznę (M=1) to na 100% => nie będzie to kobieta (~K=1)
M=>~K =1
Zachodzi tożsamość zbiorów:
M=~K
stąd:
M=>M =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B3:
Twierdzenie odwrotne:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% => będzie to mężczyzna (M=1)
~K=>M =1
Zachodzi tożsamość zbiorów:
M=~K
stąd:
~K=>~K =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
3.7.2 Spójnik „lub”(+) vs spójnik „albo”($)
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych na przykładzie ze świata fizyki.
| Kod: |
S2
Fizyczna realizacja spójnika „lub”(+):
S=p+q
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> p=1 lub q=1
q
______
-----o o-----
S | p |
------------- | ______ |
-----| dioda LED |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Fizyczna realizacja spójnika „lub”(+):
S=p+q
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> p=1 lub q=1
Czytamy:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk p (p=1) lub wciśnięty jest przycisk q (q=1)
Innymi słowy:
Wystarczy, że którykolwiek z przycisków p lub q jest wciśnięty i już żarówka świeci się.
Zapiszmy wszystkie zdarzenia rozłączne których efektem jest świecenie się żarówki.
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy:
A: Sa = p*q =1*1=1 - wciśnięty jest przycisk p (p=1) i wciśnięty jest przycisk q (q=1)
lub
B: Sb=p*~q =1*1 =1 - wciśnięty jest przycisk p (p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)
lub
C: Sc= ~p*q =1*1 =1 - nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i jest wciśnięty przycisk q (q=1)
Gdzie:
S = Sa+Sb+Sc - zdarzenie S=1 (żarówka świeci) jest sumą logiczną zdarzeń cząstkowych Sa, Sb i Sc
Po podstawieniu zdarzeń cząstkowych mamy:
S = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> p=1 lub q=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
Zauważmy, że wszystkie trzy zdarzenia rozłączne A, B i C są tu możliwe, zatem nie możemy usunąć żadnego ze zdarzeń cząstkowych A, B, C z uzasadnieniem iż zdarzenie X jest niemożliwe w świecie rzeczywistym.
Warto zapamiętać definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych A,B, C.
S = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> p=1 lub q=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
Fundamentalnie inaczej ma się sprawa ze spójnikiem „albo”($)
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) lub kobietą (K)
C=M+K - zbiór C to suma logiczna (+) zbiorów M+K
Dziedzina minimalna to:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi.
| Kod: |
S1
------------------------------------------
| M - zbiór mężczyzn | K - zbiór kobiet |
| M=~K | K=~M |
| | |
------------------------------------------
| Dziedzina: C (człowiek) |
| Zbiór wszystkich ludzi |
| C=M+K |
------------------------------------------
|
Rozważmy dziedzinę minimalną dla człowieka (C):
C=[M, K]
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
C=M+K - zbiór C to suma logiczna (+) zbiorów M+K
Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
1.
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% => będzie to kobieta (K=1)
2.
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% => będzie to mężczyzna (M=1)
~K=>M =1
Definicja spójnika „albo”($):
Dwa pojęcia (zbiory) p i q są różne w znaczeniu spójnika „albo”($) wtedy i tylko wtedy gdy dowolna strona tego spójnika jest zaprzeczeniem drugiej strony.
Sprawdzamy na naszym przykładzie:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „albo”($) kobietą
M $ K = M $ ~M =1
Definicja spójnika „albo”($) jest spełniona.
cnd
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
Y=p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Podstawmy na mocy schematu S1:
p=M
q=K
Y = C(człowiek)
Stąd mamy:
C=M+K = A: M*K + B: M*~K + C: ~M*K := A: [] + B: M*~K + C: ~M*K = M$K
Gdzie:
:= - redukcja równania na mocy teorii zbiorów bo zbiory M i K są rozłączne M*K=0.
Stąd mamy wyprowadzoną definicję spójnika „albo”($) w spójnikach „i’(*) i „lub”(+) w zapisach ogólnych (formalnych):
p$q = p*~q + ~p*q
W języku potocznym często zamiast wypowiedzi matematycznie wzorcowej:
M$K:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „albo”($) kobietą
M$K = B: M*~K + C: ~M*K
często stosujemy spójnik „lub”(+):
M+K:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „lub”(+) kobietą
C=M+K = A: M*K + B: M*~K + C: ~M*K := B: M*~K + C: ~M*K = M$K
Gdzie:
:= - redukcja równania na mocy teorii zbiorów bo zbiory M i K są rozłączne A: M*K=0
To jest dowód, iż nasz mózg to zdecydowanie nie komputer, przy pomocy odpowiedniej procedury (istniejącej w mózgu) zapisze wytłuszczone równanie M+K dochodząc podświadomie do poprawnej tu definicji spójnika „albo”($) wyrażonej równaniem M$K
M$K
Dowolny człowiek jest mężczyzną „albo”($) kobietą
M$K = B: M*~K + C: ~M*K
Dowód:
Załóżmy że Jaś (lat 5) wypowiada zdanie:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „lub”(+) kobietą
C=M+K
Zbiór C to suma logiczna zbiorów M+K
Uzasadnienie znaczka sumy logicznej (+) jest tu jak najbardziej poprawne.
Pani:
Jasiu, czy dowolny człowiek może być jednocześnie mężczyzną i kobietą:
A: M*K=?
Jaś:
NIE
A: M*K =0
stąd mamy:
M$K
Dowolny człowiek może być mężczyzną „albo”($) kobietą
M$K = M*~K +~M*K
Innymi słowy:
Dowolny człowiek może być albo mężczyzną, albo kobietą
Dowolny człowiek nie może być równocześnie mężczyzną (M) i kobietą (K):
A: M*K =0
Stąd mamy wyprowadzoną definicję spójnika „albo”($) wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
M$K.
Dowolny człowiek może być mężczyzną „albo”($) kobietą
M$K = B: M*~K + C:~M*K
Definicja spójnika „albo”($) w zapisie formalnym (ogólnym):
p$q = p*~q + ~p*q
Zauważmy teraz, że w dziedzinie C (człowiek) w zbiorach zachodzi:
M=~K
K=~M
Stąd mamy:
M$K = B: M*~K + C: ~M*K := B: M*M + C: K*K = B: M + C: K = M+K
Gdzie:
:= - redukcja równania na mocy teorii zbiorów
Wniosek:
M+A.
Zdanie:
Dowolny człowiek jest mężczyzną „lub”(+) kobietą
C=M+K
można uznać za matematycznie poprawne bo:
1.
C=M+K - zbiór człowiek to suma logiczna (+) zbiorów M+K (w zbiorach to jest prawda)
2.
Każdy 5-cio latek wie, że zbiory M i K są rozłączne zatem w zbiorach zachodzi:
M*K =[] =0
Wniosek:
Mózg każdego człowieka (także poza jego świadomością) bez problemu poradzi sobie z wszystkimi przekształceniami w zbiorach wyżej zapisanymi.
3.8 Dziedzina matematyczna i fizyczna
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Definicja dziedziny matematycznej DM:
Dziedzina matematyczna DM w teorii zdarzeń to zbiór wszystkich zdarzeń rozłącznych, jakie matematycznie mogą wystąpić.
Dziedzina matematyczna DM w teorii zbiorów to zbiór wszystkich zbiorów rozłącznych, jakie matematycznie mogą wystąpić.
W dziedzinie matematycznej z definicji nie interesują nas rzeczywiste relacje między zdarzeniami/zbiorami.
Definicyjna dziedzina fizyczna DDF:
Definicyjna dziedzina fizyczna DDF to część dziedziny matematycznej DM definiująca dowolny spójnik z obszaru języka potocznego.
W tym przypadku również nie interesują nas rzeczywiste relacje między zdarzeniami/zbiorami
Rzeczywista dziedzina fizyczna RDF:
Rzeczywista dziedzina fizyczna RDF w teorii zdarzeń to część dziedziny matematycznej DM mająca szansę wystąpić w świecie rzeczywistym.
Rzeczywista dziedzina fizyczna RDF w teorii zbiorów to część dziedziny matematycznej DM opisująca wyłącznie zbiory niepuste.
Definicja prawdziwości dowolnego spójnika wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Zdanie z dowolnym spójnikiem logicznym wyrażonym spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy jego rzeczywista dziedzina fizyczna RDF pokrywa się z definicyjną dziedziną fizyczną DDF użytego spójnika.
Innymi słowy:
Badane zdanie jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy RDF=DDF
Inaczej
badane zdanie jest fałszywe (=0).
3.8.1 Rozstrzyganie o prawdziwości zdania na mocy RDF=DDF w teorii zdarzeń
Przykład z obszaru teorii zdarzeń.
RAC.
Pada wtedy i tylko wtedy gdy jest pochmurno
P<=>CH =?
Algorytm rozstrzygania o prawdziwości/fałszywości tego zdania bezpośrednio w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) jest następujący.
1.
Zapiszmy dziedzinę matematyczną DM dla spójnika równoważności P<=>CH:
Zgodnie z definicją dla zdania RAC zapisujemy wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny DM
DM = P<=>CH = A: P*CH + B: P*~CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
Łatwo udowodnić, że powyższe cztery zdarzenia ABCD są matematycznie rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny matematycznej.
Dowód iż zdarzenia są rozłączne:
A*B = (P*CH)*(P*~CH) =0
A*C = (P*CH)*(~P*~CH) =0
A*D = (P*CH)*(~P*CH) =0
etc
Bo prawo algebry Boole’a:
p*~p =0
Dowód iż powyższe zdarzenia rozłączne uzupełniają się wzajemnie do dziedziny matematycznej DM.
Zapiszmy równanie DM w zapisach formalnych:
DM = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p =1
cnd
2.
Zapiszmy definicyjną dziedzinę fizyczną DDF wynikłą z definicji spójnika „wtedy i tylko wtedy <=>” wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Formalna definicja równoważności <=> wyrażona spójnikami “I”(*) i „lub”(+):
p<=>q = A: p*q + C:~p*~q
Podstawmy nasz przykład:
p=P
q=CH
stąd mamy definicyjną dziedzinę fizyczną DDF dla naszego przykładu:
DDF: P<=>CH = A: P*CH + C:~P*~CH
3.
Zapiszmy rzeczywistą dziedzinę fizyczną RDF na podstawie dziedziny matematycznej DM.
DM = P<=>CH = A: P*CH + B: P*~CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
Badamy możliwość zajścia poszczególnych zdarzeń w świecie rzeczywistym przy pomocy definicji zdarzenia możliwego ~~>:
A: P~~>CH = P*CH =1*1 =1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P=1) i są chmury (CH=1)
B: P~~>~CH = P*~CH=1*1 =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
C:~P~~>~CH=~P*~CH=1*1=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
D:~P~~>CH=~P*CH =1*1=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i są chmury (CH=1)
Stąd mamy wyznaczoną rzeczywistą dziedzinę fizyczną RDF:
RDF = P<=>CH = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
To samo w zapisie formalnym:
RDF: p<=>q = A: p*q + C:~p*~q + D: ~p*q
##
Porównujemy to z definicyjną definicją fizyczną równoważności P<=>CH:
DDF: P<=>CH = A: P*CH + C:~P*~CH
To samo w zapisie formalnym:
DDF: p<=>q = A: p*q + C: ~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q
Stąd mamy wniosek:
Badana równoważność RAC jest fałszem bo nie zachodzi tożsamość RDF=DDF.
RAC.
Pada wtedy i tylko wtedy gdy jest pochmurno
P<=>CH = A: P*CH + C:~P*~CH =0
cnd
3.8.2 Rozstrzyganie o prawdziwości zdania na mocy RDF=DDF w teorii zbiorów
Przykład z obszaru teorii zbiorów.
RAC.
Dowolna liczba jest podzielna przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy jest podzielna przez 2
P8<=>P2 =?
Poprzednik p w zdaniu RAC to zbiór liczb podzielnych przez 8:
P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Następnik q w zdaniu RAC to zbiór liczb podzielnych przez 2:
P2=[2,4,6,8..]
Przyjmijmy wspólną dla p i q dziedzinę minimalną LN:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy przeczenia zbiorów definiowane jaku ich uzupełnienia do wspólnej dziedziny LN.
~P8=[LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2=[LN-P2] = [1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2
Algorytm rozstrzygania o prawdziwości/fałszywości zdania RAC bezpośrednio w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) jest następujący.
1.
Zapiszmy dziedzinę matematyczną DM dla spójnika równoważności P8<=>P2:
Zgodnie z definicją dla zdania RAC zapisujemy wszystkie możliwe zbiory rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny DM
DM = P8<=>P2 = A: P8*P2 + B: P8*~P2 + C: ~P8*~P2 + D: ~P8*P2
Łatwo udowodnić, że powyższe cztery zbiory ABCD są matematycznie rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny matematycznej.
Dowód iż zdarzenia są rozłączne:
A*B = (P8*P2)*(P8*~P2) =0
A*C = (P8*P2)*(~P8*~P2) =0
A*D = (P8*P2)*(~P8*P2) =0
etc
Bo prawo algebry Boole’a:
p*~p =0
Dowód iż powyższe zbiory rozłączne uzupełniają się wzajemnie do dziedziny matematycznej DM.
Zapiszmy równanie DM w zapisach formalnych:
DM = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p =1
cnd
2.
Zapiszmy definicyjną dziedzinę fizyczną DDF wynikłą z definicji spójnika „wtedy i tylko wtedy <=>” wyrażoną spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Formalna definicja równoważności <=> wyrażona spójnikami “I”(*) i „lub”(+):
p<=>q = A: p*q + C:~p*~q
Podstawmy nasz przykład:
p=P8
q=P2
stąd mamy definicyjną dziedzinę fizyczną DDF dla naszego przykładu:
DDF: P8<=>P2 = A: P8*P2 + C:~P8*~P2
3.
Wyprowadźmy rzeczywistą dziedzinę fizyczną RDF na podstawie dziedziny matematycznej DM.
DM = P8<=>P2 = A: P8*P2 + B: P8*~P2 + C: ~P8*~P2 + D: ~P8*P2
Badamy możliwość wystąpienia elementu wspólnego zbiorów ~~> w świecie rzeczywistym:
A: P8~~>P2 = P8*P2 =1*1 =1 - istnieje (=1) wspólna część zbiorów ~~> P8 i P2 np. 8
B: P8~~>~P2 = P8*~P2=1*1 =0 - nie istnieje (=0) wspólna część zbiorów P8 i ~P2 bo zbiory rozłączne
C:~P8~~>~P2=~P8*~P2=1*1=1 - istnieje (=1) wspólna część zbiorów ~P8 i ~P2 np. 3
D:~P8~~>P2=~P8*P2 =1*1=1 - istnieje (=1) wspólna część zbiorów ~P8 i P2 np. 2
Znalezienie elementu wspólnego zbiorów A, C i D to pikuś.
Rozłączność zbiorów nieskończonych w przypadku B trzeba jednak udowodnić np. tak:
P8=[8,16,224..] to jest nieskończony zbiór liczb parzystych
~P2=[1,3,5,7,9..] - to jest nieskończony zbiór liczb nieparzystych
Na mocy definicji dowolny zbiór liczb parzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych.
Stąd mamy:
P8*~P2 = [] =0 - bo zbiory P8 i ~P2 są rozłączne
cnd
Stąd mamy wyznaczoną rzeczywistą dziedzinę fizyczną RDF:
RDF = P8<=>P2 = A: P8*P2 + C: ~P8*~P2 + D: ~P8*P2
To samo w zapisie formalnym:
RDF: p<=>q = A: p*q + C:~p*~q + D: ~p*q
##
Porównujemy to z definicyjną definicją fizyczną równoważności P8<=>P2:
DDF: P8<=>P2 = A: P8*P2 + C:~P8*~P2
To samo w zapisie formalnym:
DDF: p<=>q = A: p*q + C: ~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji, p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q
Stąd mamy wniosek:
Badana równoważność RAC jest fałszem bo nie zachodzi tożsamość RDF=DDF.
RAC.
Dowolna liczba jest podzielna przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy jest podzielna przez 2
P8<=>P2 = A: P8*P2 + C:~P8*~P2 =0
cnd
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
