 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35365
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pon 15:36, 16 Lis 2009 Temat postu: Implikacyjne mity |
|
|
To jest pożegnalny artykuł Kubusia na śfinii … czas na dłuższy odpoczynek.
W logice klasycznej (Klasycznym Rachunku Zdań) wszystko jest nie tak, wszystko trzeba wywrócić do góry nogami, aby świat był normalny.
Kubuś
Implikacyjne Mity
…. czyli początek podpisu.
Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Spis treści:
1.0 Notacja
1.1 Definicje i prawa algebry Boole’a w pigułce
1.2 Definicja implikacji prostej
1.3 Definicja implikacji odwrotnej
1.4 Prawa Kubusia
1.5 Równanie ogólne implikacji
1.6 Algorytm działania implikacji prostej
1.7 Równoważność
Wstęp.
Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą posługuje się w naturalnym języku mówionym od 2500 lat, jak do tej pory bezskutecznie. Po trzech latach walki z implikacją Kubuś i przyjaciele wreszcie to wszystko rozszyfrowali.
Łatwo sformułować warunki które musi spełniać poprawna matematycznie teoria języka mówionego.
1.
Teoria musi być niezależna od jakiegokolwiek języka świata
2.
Teoria musi być matematycznie jednoznaczna
3.
Teoria musi opisywać naturalny język mówiony, którym posługują się dzieci w przedszkolu
Symboliczna algebra Kubusia bez problemu spełnia wszystkie trzy warunki.
Algebra Kubusia to algebra Boole’a z dołączonymi poprawnymi definicjami implikacji prostej => i odwrotnej ~>.
Punkt 1.0 to kompendium algebry Kubusia, czyli wszystko co najważniejsze w pigułce. Nie należy się przejmować jeśli nie wszystko będzie tu zrozumiałe, bowiem szczegółowe omówienie wszystkich zagadnień znajdziemy w częściach I, II i III.
1.0 Notacja
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(…) - nie może się zdarzyć
# - różne
Aktualny stan wiedzy na temat implikacji:
[link widoczny dla zalogowanych]
Implikacja (inaczej wynikanie) to spójnik łączący dwa zdania P (poprzednik implikacji) i Q (następnik implikacji) mówiący, że "z P wynika Q".
Jest to najbardziej kontrowersyjny ze spójników logicznych. W logice klasycznej przyjmuje się implikację materialną: „z P wynika Q” jest prawdziwe, jeśli Q jest prawdziwe lub P jest fałszywe.
Jest to interpretacja wygodna ale całkowicie niezgodna z intuicyjnym rozumieniem "wynikania".
W szczególności całkowicie nie do zaakceptowania dla intuicjonistów jest twierdzenie logiki klasycznej, które orzeka, że "z fałszu wynika cokolwiek".
Można też powiedzieć, że w logice klasycznej w ogóle nie ma implikacji - można ją bowiem trywialnie zastąpić alternatywą i negacją: ~p+q, lub też koniunkcją i dwoma negacjami: ~(p*~q)
Implikacja spełnia także poniższą równoważność:
p=>q = ~q=>~p - prawo kontrapozycji
Przyjęcie nowych definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus praw Kubusia to pogrom starej logiki w zakresie implikacji (Klasycznego Rachunku Zdań).
Wszystko jest nie tak, wszystko trzeba wywrócić do góry nogami, aby świat był normalny.
W szczególności, implikacyjne mity z powyższego cytatu to:
1.
Prawo kontrapozycji jest prawdziwe w równoważności i fałszywe w implikacji (Prawda 3)
2.
Nie jest prawdą jakoby operatory implikacji prostej => i odwrotnej ~> można było łatwo zastąpić operatorami AND(*) i OR(+) bowiem nie zachodzi przemienność argumentów w implikacyjnych AND(*) i OR(+), dodatkowo nie mamy wówczas dostępu do fenomenalnych praw Kubusia ! (Prawda 4)
2.
W nowej teorii implikacji niemożliwe jest aby „z fałszu powstała prawda” jak również niemożliwe jest aby „z prawdy powstał fałsz” (Prawda 5)
W sumie w publikacji obalono aż 8 implikacyjnych mitów oznaczonych Prawda 1 do Prawda 8, że nie wspomnę o takich drobiazgach jak odkrycie logiki dodatniej i ujemnej w algebrze Boole’a.
1.1 Definicje i prawa algebry Boole’a w pigułce
Podstawy algebry Boole’a omówiono szczegółowo w części I podręcznika „Algebra Kubusia - operatory AND i OR”
Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Y=A1*A2* … *An =1 <=> A1=1, A2=1 … An=1
Definicja równoważna:
Iloczyn logiczny jest równy zeru jeśli którakolwiek zmienna jest równa zeru.
Y=1*1*1*0*1 =0
Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Y = A1+A2+… An =0 <=> A1=0, A2=0 …An=0
Definicja równoważna:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa jeden gdy którakolwiek ze zmiennych jest równa jeden.
Y=1+1+1+0+1 =1
Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna, mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna Y to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych operatorami AND(*) lub OR(+).
Przykład:
Y = A+(B*C) ….
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach AND i OR:
Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz).
Związek logiki dodatniej z logiką ujemną opisuje równanie:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji => i ~>:
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą =>
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.
Z praw Kubusia wynika, że implikacja prosta => w logice dodatniej jest równoważna implikacji odwrotnej ~> w logice ujemnej i odwrotnie, czyli implikacja odwrotna ~> w logice dodatniej jest równoważna implikacji prostej => w logice ujemnej.
Prawo przedszkolaka:
W dowolnej funkcji logicznej Y algebry Boole’a z operatorami AND i OR przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
Przykładowa funkcja logiczna:
Y=A+(B*~C)
Przejście do logiki przeciwnej:
~Y=~A*(~B+C)
Oczywiście:
Y=~(~Y)
stąd prawo de’Morgana:
A+(B*~C) =~[ ~A*(~B+C)]
Prawa de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+)
p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*)
Prawo Prosiaczka:
Równania algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej n-elementowej tworzymy na podstawie linii z tą samą wartością logiczną w wyniku. Wszelkie nie opisane równaniami linie przyjmą wartości przeciwne do linii opisanych.
Przykład:
Definicja implikacji prostej =>.
| Kod: |
p q Y=p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1
|
Najprostsze równanie uzyskamy z linii drugiej bowiem w wyniku mamy tu samotne zero.
Z tabeli widzimy że:
A.
Y=0 <=> p=1 i q=0
Przejście z takiego zapisu do równań algebry Boole’a jest banalne. Należy skorzystać z definicji iloczynu logicznego sprowadzając wszystkie zmienne do jedynki albo z definicji sumy logicznej sprowadzając wszystkie zmienne do zera.
Sposób I
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynki:
B.
Y=0 czyli ~Y=1
p=1
q=0 czyli ~q=1
Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Korzystając z A i B na podstawie tej definicji mamy:
~Y = p*~q
Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka:
Y=~p+q
czyli:
p=>q = ~p+q
Sposób II
Sprowadzamy wszystkie zmienne do zera i stosujemy definicję sumy logicznej.
Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Na podstawie równania A mamy:
C.
Y=0
p=1 czyli ~p=0
q=0
Korzystając z A i C na podstawie definicji sumy logicznej mamy:
Y=~p+q
czyli:
p=>q = ~p+q
Powyżej ułożyliśmy równanie wyłącznie dla drugiej linii tabeli gdzie w wyniku było zero, wszelkie pozostałe linie, zgodnie z prawem Prosiaczka muszą być jedynkami niezależnie od chciejstwa człowieka … bo to jest matematyka przecież.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
Prawa Kubusia to dokładny odpowiednik praw de’Morgana:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora => na ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora ~> na =>
1.2 Definicja implikacji prostej =>
Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
| Kod: |
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1
|
Definicja w równaniu algebry Boole’a.
p=>q = ~p+q = ~(p*~q)
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym
Definicja operatorowa i zero-jedynkowa implikacji prostej =>:
| Kod: |
p q Y=p=>q
p => q =1
1 1 =1
stąd:
p =>~q =0
1 0 =0
… a jeśli nie zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
~p ~>~q =1
0 0 =1
LUB
~p~~> q =1
0 1 =1
|
Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Prawda 1
Jak widać wyżej prawo Kubusia zachodzi w jednej i tej samej tabeli zero-jedynkowej, zatem definicja implikacji prostej => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~> i odwrotnie.
Nie ma implikacji prostej => bez implikacji odwrotnej ~> !
1.3 Definicja implikacji odwrotnej ~>
Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej ~>:
| Kod: |
p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0
|
Definicja w równaniu algebry Boole’a
p~>q = p+~q = ~(~p*q)
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Definicja operatorowa i zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
| Kod: |
p q Y=p~>q
p ~> q =1
1 1 =1
LUB
p~~>~q =1
1 0 =1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p =>~q =1
0 0 =1
Stąd:
~p => q =0
0 1 =0
|
Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Prawda 2
Jak widać wyżej prawo Kubusia zachodzi w jednej i tej samej tabeli zero-jedynkowej, zatem operator implikacji odwrotnej ~> nie może istnieć bez operatora implikacji prostej => i odwrotnie.
Nie ma implikacji odwrotnej ~> bez implikacji prostej => !
1.4 Prawa Kubusia
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą =>
Dowód autorstwa Wuja Zbója:
A.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
B.
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - zamiana operatora => na ~>
Dla prawej strony korzystamy z definicji operatora implikacji odwrotnej ~> (B):
~p~>~q = (~p)+~(~q) = ~p+q = p=>q
bo:
~(~q)=q - prawo podwójnego przeczenia
p=>q = ~p+q - definicja A
CND
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - zamiana operatora ~> na =>
Dla prawej strony korzystamy z definicji implikacji prostej => (A):
~p=>~q = ~(~p)+(~q) = p+~q = p~>q
bo:
~(~p)=p - prawo podwójnego przeczenia
p~>q = p+~q - definicja B
CND
Dowód prawa Kubusia metoda zero-jedynkową.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na równoważną implikację odwrotną ~>.
Dowód metodą zero-jedynkową:
| Kod: |
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
1 1 1 0 0 1
1 0 0 0 1 0
0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 0 1
|
Równość kolumn wynikowych trzeciej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Drugie z praw Kubusia dowodzi się analogicznie.
1.5 Równanie ogólne implikacji
Na mocy definicji implikacji zachodzi:
p=>q # p~>q
bo to dwie różne tabele zero-jedynkowe
Po obu stronach nierówności korzystamy z praw Kubusia i praw de’Morgana otrzymując równanie ogólne implikacji:
p=>q = ~p~>~q = ~p+q = ~(p*~q) # p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q)
Po obu stronach nierówności mamy dwa niezależne układy implikacyjne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne zależności matematyczne.
Przykład implikacji prostej =>:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2
P8 jest wystarczające dla P2, zatem jest to implikacja prosta prawdziwa
Oczywiście po zamianie p i q będziemy mieli do czynienia z implikacją odwrotną:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8
P2 jest konieczne dla P8, zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa
Na mocy definicji mamy:
P8=>P2 # P2~>P8
Równanie ogólne implikacji dla tego przykładu przybierze postać:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 = ~P8+~P2 = ~(P8*~P2) # P2~>P8 = ~P2=>~P8 = P2+~P8 = ~(~P2*P8)
Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna, zauważmy że po obu stronach nierówności gwarancje są różne.
Lewa strona:
P8=>P2 = ~(~P8*P2)
czyli:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2
Ta sama gwarancja inaczej:
Nie może się zdarzyć, że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2
~(P8*~P2)
Gwarantowane liczby: 8,16,24 …
Prawa strona:
P2~>P8 = ~P2=>~P8 = ~(~P2*P8)
czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8
Ta sama gwarancja inaczej:
Nie może się zdarzyć, że liczba nie jest podzielna przez 2 i jest podzielna przez 8
~(~P2*P8)
Gwarantowane liczby: 1,3,5 …
Prawda 3
Z powyższego równania ogólnego mamy:
P8=>P2 # ~P2=>~P8
czyli:
Prawo kontrapozycji jest poprawne w równoważności i fałszywe w implikacji
Prawa Kubusia są prawdziwe w implikacji i fałszywe w równoważności
Prawda 4
Zauważmy wyżej, że w implikacyjnych AND i OR nie zachodzi przemienność argumentów, czyli ~(P8*~P2) to zupełnie co innego niż ~(~P2*P8). Z poziomu operatorów AND i OR nie mamy dostępu do fenomenalnych praw Kubusia. Z tego powodu operatory implikacji prostej => i odwrotnej ~> są niezbędne w logice klasycznej.
1.6 Algorytm działania implikacji prostej
Implikację „Jeśli p to q” mózg człowieka obsługuje w dwóch taktach w pierwszym bada zgodność z p zaś w drugim zgodność z q. W żadnej chwili czasowej nie ma wykroczenia poza dwuelementową algebrę Boole’a.
Algorytm działania implikacji prostej =>:
| Kod: |
Zdanie wypowiedziane:
p=>q
musi
Jeśli |----- q --- p=>q=1
|----- p -----|musi 1 1 =1
| |----- ~q --- p=>~q=0
| 1 0 =0
|
X => ---|
|
| może
|Jeśli |----- ~q --- ~p~>~q=1
|----- ~p -----|może 0 0 =1
|----- q --- ~p~~>q=1
0 1 =1
|
Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Jak widać, w pierwszym takcie podejmujemy decyzją czy iść drogą p czy też ~p co zależy od wylosowanego elementu X. W drugim takcie zawsze mamy tylko i wyłącznie dwie możliwości do wyboru, zatem cały czas jesteśmy w dwuelementowej algebrze Boole’a.
Sens implikacji prostej:
Po nieskończonej ilości losowań wszystkie pudełka będą pełne za wyjątkiem pudełka p=>~q=0 które będzie puste, stąd taki a nie inny rozkład zer i jedynek w implikacji prostej. Najważniejsze w implikacji prostej nie jest puste pudełko, ale gwarancja matematyczna p=>q=1.
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L
Bycie psem wystarcza aby mieć cztery łapy, zatem implikacja prosta prawdziwa
Analiza:
Jeśli zajdzie p
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L =1 - w tym pudełku wszystkie ziemskie psy. Gwarancja w implikacji prostej !
1 1 =1
Z prawdy (zwierzę jest psem) na pewno wyniknie prawda (zwierzę ma cztery łapy) =1 - pies
stąd:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L =0 - pudełko puste
1 0 =0
Z prawdy (zwierzę jest psem) na pewno wyniknie prawda (zwierzę nie ma czterech łap) =0 - oczywisty fałsz
… a jeśli zwierzę nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
czyli:
Jeśli zajdzie ~p
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 - w tym pudełku wąż, kura, mrówka …
0 0 =1
Z prawdy (zwierzę nie jest psem) może wyniknąć prawda (zwierzę nie ma czterech łap) =1 bo kura …
LUB
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 - w tym pudełku słoń, koń, hipopotam …
0 1 =1
Z prawdy (zwierzę nie jest psem) może wyniknąć prawda (zwierzę ma cztery łapy) =1 bo słoń…
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
Prawda 5
~p~~>q =1
0 1 =1
Jak widać linia 0 1 =1 nie oznacza że „z fałszu może wyniknąć prawda” ale że:
Z prawdy (nie zajdzie p) może wyniknąć prawda (zajdzie q) =1
Żegnaj kolejny implikacyjny micie rodem z definicji implikacji materialnej.
1.7 Równoważność
Zacznijmy od …
Operatorowa i zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
| Kod: |
p q p=>q
P=> q =1
1 1 =1
p=>~q =0
1 0 =0
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q
czyli:
~p~>~q =1
0 0 =1
LUB
~p~~>q =1
0 1 =1
|
Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
W definicji operatorowej doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Jak widać wyżej prawo Kubusia obowiązuje w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej zatem implikacja prosta => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~> i odwrotnie.
W równoważności mamy do czynienia wyłącznie z warunkami wystarczającymi, nie ma tu śladu operatora implikacji odwrotnej ~> jak w definicji implikacji prostej wyżej.
Operatorowa i zero-jedynkowa definicja równoważności:
| Kod: |
p q p<=>q
P=> q =1
1 1 =1
p=>~q =0
1 0 =0
… a jeśli zajdzie ~p ?
~p=>~q =1
0 0 =1
~p=> q =0
0 1 =0 |
Doskonale widać tabele zero-jedynkowa równoważności dla kodowania w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Stąd dziewicza, operatorowa definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Jak widać, w definicji równoważności po prawej stronie chodzi wyłącznie o warunki wystarczające => między p i q oraz między ~p i ~q. Nie ma tu śladu implikacji i prawa Kubusia widocznego w definicji implikacji wyżej.
Wyrażenia p=>q i ~p=>~q nie są implikacjami bo w tabeli równoważności nie ma szans na zaistnienie prawa Kubusia co doskonale widać porównując powyższe definicje implikacji prostej i równoważności.
Twierdzenie:
Jeśli cokolwiek jest równoważnością to nie może być implikacją i odwrotnie. Równoważność i implikacja to dwa rozłączne światy matematyczne miedzy którymi nie zachodzą żadne prawa matematyczne.
Dowód:
Definicje implikacji i równoważności wyżej
Twierdzenie:
Równoważność to iloczyn logiczny warunków wystarczających między p i q oraz ~p i ~q (nigdy implikacji) co widać w definicji równoważności wyżej.
Z powyższego wynika, że nauczyciel matematyki nie może zabraniać dziecku wypowiadania formy p=>q, ~p=>~q, bo niby jak wtedy udowodnić równoważność ?
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Dowód równoważności na przykładzie:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma boki równe
R=>BR
Bycie trójkątem równobocznym jest warunkiem wystarczającym, aby mieć boki równe
Oczywistość, zatem:
R=>BR =1
W tym momencie nie da się rozstrzygnąć czy powyższe jest równoważnością czy też implikacją bo identyczny warunek wystarczający p=>q występuje zarówno w definicji równoważności <=> jak i definicji implikacji prostej =>.
Aby udowodnić iż powyższe jest równoważnością dowodzimy kolejnego warunku wystarczającego:
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma boków równych
~R=>~BR
Nie bycie trójkątem równobocznym jest warunkiem wystarczającym aby nie mieć boków równych
Oczywistość, zatem:
~R=>~BR =1
Dopiero w tym momencie mamy pewność na mocy definicji równoważności iż jest to równoważność.
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma boki równe.
R<=>BR = (R=>BR)*(~R=>~BR) = 1*1 =1
Prawda 6
Twierdzenia matematyczne mające formę „Jeśli …to…” to oczywiste warunki wystarczające w stronę p=>q. Nie są to ani implikacje, ani równoważności. Udowodnienie iż twierdzenie jest implikacją czy też równoważnością wymaga dodatkowych działań jak to pokazano wyżej.
Oczywiście w praktyce wypowiadając twierdzenie:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma boki równe
R=>BR
stwierdzamy zachodzący warunek wystarczający.
Prawda 7
Nie wolno dziecku zabronić wypowiadania tego typu twierdzeń na mocy definicji równoważności która na to pozwala !
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
CND
Prawda 8
Dzisiejsza definicja równoważności jest fałszywa.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
jeśli prawą stronę będziemy rozumieli jako iloczyn logiczny dwóch implikacji prostych p=>q i q=>p.
Dla implikacji w algebrze Boole’a mamy:
p=>q # q=>p
zatem jeśli p=>q = 1 to q=>p =0 albo odwrotnie, stąd:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*0 =0
Niemożliwa jest implikacja prosta w dwie strony !
Dziewicza definicja równoważności na podstawie tabeli operatorowej równowazności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Oczywiście po prawej stronie chodzi o warunki wystarczające, to nie są implikacje !
W równoważności argumenty są przemienne i tu prawdziwe jest prawo kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
stąd odprysk definicji równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Oczywiście po prawej stronie chodzi tu o iloczyn logiczny warunków wystarczających, to nie są implikacje !
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 15:18, 09 Gru 2009, w całości zmieniany 16 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
barycki/konto usunięte
Usunięcie na własną prośbę
Dołączył: 18 Paź 2009
Posty: 4203
Przeczytał: 0 tematów
Skąd: Konto usunięte na prośbę użytkownika. Patrz: przycisk WWW
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 17:02, 16 Lis 2009 Temat postu: Re: Czy z fałszu może powstać prawda ? |
|
|
rafal3006:
| Cytat: | Wnioski końcowe:
1.
W nowej teorii implikacji zawsze z prawdy powstaje prawda. Nie jest możliwe aby „z fałszu powstała prawda” jak również nie jest możliwe aby z „prawdy powstał fałsz” |
A w jsnogrodzie właśnie to jest możliwe. Z fałszu biskupa powstaje święta prawda zatrzaskująca za sprawiedliwym drzwi kryminału.
A z prawdy policjanta powstaje fałsz w urynałach jasnogrodzian.
rafal3006:
2.
| Cytat: | | Miejsce aparatu matematycznego który z fałszu potrafi wyprodukować prawdę (KRZ) jest w koszu na śmieci |
Jasnogrodzian ten aparat kłuje w ślepia, bo jest dowodem na ich obłudę i fałsz.
Adam Barycki
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
