rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35534
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pon 1:51, 17 Sty 2011 Temat postu: Implikacja i równowaznośc w jezyku potocznym |
|
|
Końcowa wersja podręcznika logiki:
BIBLIA: Algebra Kubusia - matematyka języka mówionego
Cytat z:
http://www.sfinia.fora.pl/kawiarnia,17/barycki-i-godel,5376-100.html#131087
| zbigniewmiller napisał: | PARA-LOGICZNY KUBUSIU, pisałem ci juz, że logika jest za głupia ….
|
Głupia jest KRZ, logika Boga, NTI, jest genialna !
Kubuś
| barycki napisał: | Tak, to jest prawda, ja rzeczywiście ciągnę karocę ku świetlanej przyszłości, że też nikt mi tego wcześniej nie powiedział, ja jednak czułem to przez cały czas. Miller wychodzi z gułagu ...
Kubuś za opóźnianie ciągnięcia ku przyszłości świetlanej i dziwaczne próby fraternizacji ze mną, przechodzi do kuchni na stanowisko pomocnika kuchcika, będzie wynosił obierki i rąbał drewno.
Miller natychmiast poprawi NTI, tak żeby była mnie godna, a Kubuś ma zakaz przez dwa tygodnie umieszczania złotego jaja.
Adam Barycki |
Kubusiowa szkoła logiki
Temat:
Implikacja prosta =>, implikacja odwrotna ~> i równoważność <=> w języku potocznym
Z dedykacją dla Zbyszkamillera i naszego wodza, Baryckiego, ciągnącego wraz z Kubusiem złotą karetę ku świetlanej przyszłości.
Spis treści:
1.0 Notacja
2.0 Implikacja i równoważność w języku potocznym
2.1 Warunki wystarczające i konieczne
2.2 Implikacja odwrotna w języku potocznym
2.3 Implikacja prosta w języku potocznym
2.4 Równoważność w języku potocznym
2.5 Podsumowanie
3.0 Alternatywne, matematyczne definicje implikacji i równoważności
1.0 Notacja
1 = prawda
0 = fałsz
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
=> - spójnik „musi” między p i q
~> - spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi
<=> - symbol równoważności
2.0 Implikacja i równoważność w języku potocznym
Cytat z:
[link widoczny dla zalogowanych]
M.
Jeżeli implikacja p=>q jest twierdzeniem, to p jest warunkiem wystarczającym na to, aby q, a q warunkiem koniecznym na to, aby p
To jedno-jedyne zdanie, zaczerpnięte z podręcznika matematyki do I klasy LO, posłuży nam … do obalenia Klasycznego Rachunku Zdań i zbudowania na gruzach zupełnie nowej logiki:
„Nowej teorii implikacji = algebry Kubusia”
Tezy:
1.
Zdanie M jest bez wątpienia prawdziwe czemu żaden matematyk nie ma prawa zaprzeczyć
2.
Skoro jest prawdziwe w matematyce musi być prawdziwe w całej logice, czyli także poza matematyką, inaczej będziemy mieli dwie konkurencyjne definicje implikacji, co jest nonsensem
2.1 Warunki wystarczające i konieczne
Co to są te warunki wystarczające i konieczne ?
Od razu weźmiemy przykład spoza matematyki, bo jest prostszy.
Klasyczna implikacja prosta:
A.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
Jeśli jutro będzie padać to musi => być pochmurno
P=>CH=1
p=>q=1
Oczywiście padanie jest warunkiem wystarczającym dla istnienia chmur.
gdzie:
=> - spójnik „na pewno” => między p i q, warunek wystarczający
W stronę q~>p musi zachodzić warunek konieczny na mocy podręcznika matematyki do I klasy LO.
Zamieniamy teraz p i q w zdaniu wypowiedzianym A, traktując je jako zupełnie nowe zdanie ?
Dlaczego ?
Bo warunek konieczny, spójnik „może” ~> to fundamentalnie co innego niż warunek wystarczający, spójnik „musi” =>
2.2 Implikacja odwrotna w języku potocznym
C.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P=1
p~>q=1
Każdy 5-cio latek bez problemu powie to co niżej:
Chmury są konieczne ~> aby jutro padało, bo jak nie będzie chmur to na pewno => nie będzie padać.
CH~>P = ~CH=>~P
W sposób naturalny odkryliśmy tu jedno z najważniejszych praw logiki, prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - spójnik „może” ~> między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym, czyli spełnionym prawem Kubusia !
Definicja implikacji odwrotnej to nic innego jak prawo Kubusia !
p~>q = ~p=>~q
Dowód formalny w podpisie, tu nie będziemy się bawić w zera i jedynki.
Z powyższego mamy definicję warunku koniecznego w języku potocznym:
Zabieramy poprzednik p i musi zniknąć następnik q
Dla naszego przykładu:
Zabieramy chmury (CH=0) i znika nam możliwość padania deszczu (P=0) – oczywista oczywistość.
W zdaniu C nie zachodzi warunek wystarczający => miedzy p i q bowiem fałszywe jest poniższe zdanie.
D.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
CH=>P=0
Zdanie fałszywe, bowiem jutro może być pochmurno i nie musi padać
gdzie:
=> - warunek wystarczający
Na podstawie C i D mamy definicję implikacji odwrotnej w języku potocznym:
Implikacja odwrotna – to zachodzenie warunku koniecznego w stronę p~>q (CH~>P=1) i nie zachodzenie warunku wystarczającego w stronę p=>q (CH=>P=0)
Przykład implikacji odwrotnej ~> fałszywej:
E.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to „może” ~~> być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24
P3 – zbiór liczb podzielnych przez 3 (3,9,12,15,18,21,24 …)
P8 – zbiór liczb podzielnych przez 8 (8,16,24 …)
Zabieramy zbiór liczb podzielnych przez 3 (poprzednik p), lecz w następniku została nam przynajmniej jedna liczba 8.
To wystarczy, P3 nie jest konieczne dla P8 bo 8 czyli:
P3~>P8=0 bo 8 – implikacja odwrotna p~>q fałszywa
Zdanie E jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi.
2.3 Implikacja prosta w języku potocznym
Wracamy do zdania A …
A.
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH=1
p=>q=1
Oczywiście padanie jest warunkiem wystarczającym dla istnienia chmur.
gdzie:
=> - spójnik „na pewno” => między p i q, warunek wystarczający
Definicja implikacji prostej to nic innego jak prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Dowód formalny w zerach i jedynkach w podpisie.
Dla naszego przykładu:
P=>CH = ~P~>~CH
Jeśli jutro nie będzie padać to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1
LUB
Jeśli jutro nie będzie padać to „może” ~~> być pochmurno
~P~~>CH=1
W ostatnim zdaniu nie zachodzi warunek konieczny.
Dowód:
Załóżmy że zachodzi i zastosujmy wyrocznię implikacji, prawo Kubusia:
~P~>CH = P=>~CH =0
Prawa strona:
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => nie będzie pochmurno
P=>~CH=0
jest fałszem, zatem lewa strona powyższej tożsamości nie może być warunkiem koniecznym
CND
Wróćmy do zdania A i potocznej definicji implikacji prostej.
Sprawdzamy czy między p i q w zdaniu A zachodzi warunek konieczny czyli:
B.
Jeśli jutro będzie padać to może ~> być pochmurno
P~>CH=0
Wykluczamy padnie deszczu, oczywiście nie daje to gwarancji zniknięcia chmur, czyli p nie jest warunkiem koniecznym dla q, stąd ta implikacja odwrotna ~> jest fałszywa.
Z powyższego mamy definicje implikacji prostej w języku potocznym:
Implikacja prosta – to zachodzenie warunku wystarczającego w kierunku p=>q (P=>CH=1) i nie zachodzenie warunku koniecznego w kierunku p~>q (P~>CH=0)
2.4 Równoważność w języku potocznym
Przykład równoważności:
Jeśli trójkąt ma boki równe to jest równoboczny
BR=>TR=1
Oczywiście trzy odcinki o równych długościach są wystarczające dla zbudowania trójkąta równobocznego
Wniosek:
Warunek wystarczający spełniony
Jeśli zamienimy jeden z trzech odcinków na odcinek o innej długości to zbudowania trójkąta równobocznego nie będzie możliwe.
Wniosek:
Trzy równe odcinki są warunkiem koniecznym dla trójkąta równobocznego
Między zbiorami BR i TR zachodzi jednocześnie warunek wystarczający BR=>TR=1 i konieczny BR~>TR=1
co jest dowodem równoważności:
BR<=>TR = (BR=>TR)* (BR~>TR)
p<=>q = (p=>q)*(p=>q)
Oczywiście powyższą równoważność można wyrazić słownie w taki sposób:
Trójkąt ma boki rowów wtedy i tylko wtedy gdy jest równoboczny
BR<=>TR
Stąd definicja równoważności w języku potocznym:
Równoważność – to zachodzące jednocześnie warunki wystarczający w kierunku p=>q (BR=>TR=1) i konieczny w kierunku p~>q (BR~>TR=1).
2.5 Podsumowanie
Definicje implikacji i równoważności w języku potocznym
A.
Równoważność <=> to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego i wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p<=>q = (p~>q)*(p=>q)
B.
Implikacja prosta p=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego między p i q
p=>q=1 – warunek wystarczający w kierunku p=>q zachodzi
p~>q=0 – warunek konieczny w kierunku p~>q nie zachodzi
C.
Implikacja odwrotna p~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego miedzy p i q
p~>q=1 – warunek konieczny w kierunku p~>q zachodzi
p=>q=0 – warunek wystarczający w kierunku p=>q nie zachodzi
Powyższe definicje można wykorzystywać do rozstrzygnięć czy zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją prostą =>, implikacją odwrotną ~> czy też równoważnością <=>.
3.0 Alternatywne, matematyczne definicje implikacji i równoważności
Wszelkie kodowania zero-jedynkowe tabel symbolicznych w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Potoczna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
gdzie:
1.
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q
Definicja symboliczna warunku wystarczającego:
| Kod: |
p=>q=1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0
|
Warunek wystarczający definiowany jest zaledwie dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej zatem:
Warunek wystarczający # operator implikacji prostej
Definicja operatora implikacji prostej:
| Kod: |
p=>q =1
1 1 =1
p=~>~q=0
1 0 =0
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
czyli:
~p~>~q=1
0 0 =1
lub
~p~~>q=1
0 1 =1
|
2.
~> - warunek konieczny między p i q
Definicja symboliczna warunku koniecznego = definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
p~>q=1
1 1 =1
lub
p~~>~q=1
1 0 =1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
stąd:
~p=>~q=1
0 0 =1
~p=>q=0
0 1 =0
|
Dla kompletu definicja symboliczna naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy jedna prawda:
| Kod: |
p~~>q=1
1 1 =1
Dalsza cześć tabeli zero-jedynkowej bez znaczenia.
Może być cokolwiek.
|
Korzystając z prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Potoczną definicje równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Można zapisać w postaci:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) – dziewicza definicja równoważności wynikła bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej (szczegóły w podpisie)
gdzie:
p=>q, ~p=>~q to tylko i wyłącznie warunki wystarczające między p i q o definicji jak wyżej.
W równoważności (i tylko tu) poprawne jest prawo kontrapozycji w tej formie:
~p=>~q = q=>p
stąd mamy odprysk definicji równoważności uwielbiany przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Równoważność, to warunki wystarczające zachodzące w dwie strony, w stronę p=>q i q=>p
Przykład:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR=1
p=>q=1
Po zamianie poprzednika z następnikiem mamy:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
KR=>TR=1
q=>p=1
Zatem na mocy definicji równoważności mamy:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(KR=>TR) = 1*1 =1
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1 =1
Na mocy definicji równoważności o zdaniu:
A.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR
Możemy powiedzieć że:
1.
TR=>KR – to tylko warunek wystarczający o definicji jak wyżej (tu nie wiemy lub nie deklarujemy co zachodzi w kierunku q=>p)
2.
TR=>KR – to tylko warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności (precyzyjnie)
3.
TR=>KR – to równoważność
W tym przypadku deklarujemy domyślną pewność zachodzenia warunku wystarczającego w kierunku q=>p (KR=>TR=1)
O zdaniu A absolutnie nie możemy powiedzieć, ze jest to implikacja prosta, bo to zdanie nie spełnia prawa Kubusia – definicji implikacji prostej.
Na zakończenie definicja symboliczna równoważności, na podstawie tabeli zero-jedynkowej równoważności (szczegóły w podpisie):
| Kod: |
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w kierunku p=>q
p=>q =1
1 1 =1
p=>~q=0
1 0 =0
… a jeśli zajdzie ~p ?
~p<=>~q = (~p=>~q)
stąd:
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q=1
0 0 =1
~p=>q=0
0 1 =0
|
Raj, 2011-01-11
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 5:37, 11 Kwi 2012, w całości zmieniany 1 raz
|
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
