 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pią 19:19, 15 Sie 2008 Temat postu: Fundamenty algebry Boole'a - Implikacja 1 v.Beta 2.0 |
|
|
2008-08-24
Ta część zastąpiona w całości przez:
Fundamenty algebray Boole'a - Rewolucja
Proste jest piękne
Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).
Fundamenty algebry Boole’a - Implikacja 1
Części:
Fundamenty algebry Boole'a - Elementarz
Fundamenty algebry Boole'a - Rewolucja
Fundamenty algebry Boole'a - Implikacja 1
Fundamenty algebry Boole'a - Implikacja 2
Autor: Kubuś
Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś
W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), WujZbój (sfinia)
Wielkie dzięki !
Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.
Spotkało się pięciu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.
Spis treści:
1.0 Notacja
1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
1.2 Fundament logiki człowieka
2.0 Matematyczne fundamenty logiki człowieka
2.1 Definicje podstawowe
2.2 Definicja implikacji prostej
2.3 Definicja implikacji odwrotnej
2.4 Rodzaje implikacji
2.5 Prawa Kubusia
2.6 Logika dodatnia i ujemna w implikacji
3.0 Operatorowa definicja równoważności
3.1 Operatorowa definicja implikacji prostej
3.2 Obietnice i groźby
3.3 Katastrofalne skutki pomylenia operatorów w logice
3.4 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej
4.0 Warunki wystarczające i konieczne
4.1 Warunek wystarczający w implikacji prostej
4.2 Warunek konieczny w implikacji odwrotnej
4.3 Gwarancje w obietnicach i groźbach
5.0 Nowe prawa matematyczne w algebrze Boole’a
Wstęp
Istotą publikacji jest odkrycie dwóch nowych, matematycznych operatorów w naturalnym języku mówionym "musi" => (implikacja prosta) i "może" ~> (implikacja odwrotna) oraz praw Kubusia. Operatorami „musi” => i „może” ~>, podobnie jak AND(i) i OR(lub), człowiek posługuje się doskonale od czasów Adama i Ewy. Operatory te działają fenomenalnie w całej algebrze Boole'a, w szczególności obsługują obietnice (implikacja prosta) i groźby (implikacja odwrotna).
Prawa de’Morgana mówiące o związkach definicji OR(+) i AND(*) oraz prawa Kubusia mówiące o związkach definicji implikacji prostej (=>) z definicją implikacji odwrotnej (~>) to dwa najważniejsze prawa w całej logice klasycznej.
1.0 Notacja
1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda - prawda zachodząca zawsze, bez żadnych wyjątków
Twardy fałsz - fałsz zachodzący zawsze, bez żadnych wyjątków
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia
=> - operator implikacji prostej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "musi" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to "musi" być podzielna przez 2
P8=>P2
Zajście P8 wystarcza, aby zaszło P2
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "może" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to "może" być podzielna przez 8
P2~>P8
Zajście P2 jest konieczne, aby zaszło P8
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q
W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna. Spójniki te ujęto w cudzysłów, aby ten fakt uwypuklić.
1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
Fundament algebry Boole’a:
1 = ~0
0 = ~1
Przyjmijmy:
1=prawda
0=fałsz
Stąd mamy aksjomat znany ludziom od tysiącleci:
prawda = nie fałsz
fałsz = nie prawda
czyli:
Jeśli cokolwiek JA uznam za prawdę to negacja tego faktu będzie dla mnie fałszem i odwrotnie.
A,B,C… - zmienne binarne mogące przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1.
Y - funkcja logiczna mogąca przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1 w zależności od wartości zmiennych binarnych
Y=A+B*C - przykładowa funkcja logiczna
Definicja negacji:
Y=~A
Jeśli A=0 to Y=1 i jeśli A=1 to Y=0
Prawo podwójnego przeczenia:
A=~(~A)
Dowód językowy:
A = jestem uczciwy
~A = nie jestem uczciwy
~(~A) = nieprawdą jest, że nie jestem uczciwy
Definicja sumy logicznej OR(+):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy dowolna zmienna jest równa 1.
LUB
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 0 gdy wszystkie zmienne są równe 0
Definicja iloczynu logicznego AND(*):
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy wszystkie zmienne są równe 1
LUB
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych równa jest 0 gdy którakolwiek zmienna jest równa 0
Prawa algebry Boole’a wynikające bezpośrednio z definicji:
A+1=1
A+0=A
A*0=0
A*1=A
A+A=A
A*A=A
A+~A=1
A*~A=0
Prawa de’Morgana
Prawa de’Morgana wiążą matematycznie operatory OR(+) i AND(*)
A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
A*B = ~(~A+~B) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego
Dowód:
Y=A+B
Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.
~Y = ~A*~B
Oczywiście zachodzi:
Y=~(~Y)
Stąd:
A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą matematycznie operatory „musi” => (implikacja prosta) i „może” ~> (implikacja odwrotna). Prawa Kubusia są ścisłym odpowiednikiem praw de’Morgana w zakresie implikacji. Identycznie jak w prawach de’Morgana negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
1.2 Fundament logiki człowieka
Fundamentem działania wszelkich komputerów jest algebra Boole’a i zaledwie dwa operatory matematyczne AND(*) i OR(+) plus definicja negacji NOT(~).
Fundamentem logiki człowieka jest algebra Boole’a i zaledwie cztery operatory matematyczne AND(*), OR(+), „musi”=> i „może”~>. plus definicja negacji NOT(~). Implikacja pozwala człowiekowi i wszystkiemu co żyje przewidywać przyszłość.
Naturalna logika człowieka jest zgodna z algebrą Boole’a, tak więc jej matematyczny opis sprowadza się do zasady:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy
Przykład 1.2
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Jeśli ubrudzę spodnie to „mogę” ~> dostać lanie, gdyż nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary, inaczej jego wolna wola leży w gruzach.
Prawo Kubusia:
B~>L = ~B=>~L - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
~B=>~L - gwarancja bezpośrednia, wynikająca z definicji implikacji prostej
Jeśli nie ubrudzisz spodni to "na pewno" => nie dostaniesz lania
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana
~p+q = ~[~(~p)*~q] = ~(p*~q) - prawo de’Morgana dla ~p i q w definicji implikacji
stąd:
p=>q = ~(p*~q) - gwarancja w implikacji prostej
Dla zdania wyżej mamy:
p=~B
q=~L
Podstawiamy to do gwarancji:
~B=>~L = ~[(~B)*~(~L)] = ~(~B*L) =1
Odczytujemy gwarancję matematyczną:
~(~B*L)
Nie może się zdarzyć ~(…), że przyjdę w czystych spodniach (~B) i dostanę lanie (z powodu czystych spodni). Wszystko inne może się zdarzyć.
Kiedy nadawca zostanie kłamcą ?
~B=>~L = ~(~B*L) =1
Negujemy dwustronnie:
~(~B=>~L) = ~B*L =0
Kłamstwo (0=fałsz) wystąpi wtedy i tylko wtedy gdy przyjdę w czystych spodniach (~B) i dostanę lanie (z powodu czystych spodni). W każdym innym przypadku kłamstwo nie wystąpi.
2.0 Matematyczne fundamenty logiki człowieka
Algebra Boole’a to matematyka ścisła. Implikacja to jeden z fundamentalnych operatorów w tej algebrze. Implikacja to zdanie złożone połączone spójnikiem „Jeśli...to...”. W całej logice istnieją tylko dwa rodzaje implikacji opisywane przez matematyczne operatory logiczne. Jeden z nich to operator implikacji prostej „musi” =>, zaś drugi to operator implikacji odwrotnej „może” ~>.
Od strony matematycznej, definicja implikacji odwrotnej jest tak samo zbędna jak zbędna jest definicja sumy logicznej (bo prawa de’Morgana)
Zobaczmy to w tabeli:
| Kod: |
p q p*q p+q=~(~p*~q) p=>q p~>q=p<=q
1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 1
0 0 0 0 1 1
0 1 0 1 1 0 |
Jak widać, matematycznie zbędne jest zarówno wprowadzanie nowego symbolu sumy logicznej jak i nowego symbolu implikacji odwrotnej ~>. Zauważmy, że matematycznie nigdy nie będzie p=>q = p~>q bo to różny zestaw zer i jedynek, tak samo jak nigdy nie będzie OR(+)=AND(*). Zarówno operator sumy logicznej (+) jak i operator implikacji odwrotnej (~>) są niezbędne w opisie matematycznym naturalnego języka mówionego człowieka. W języku mówionym implikacji odwrotnej używa się równie często jak implikacji prostej.
2.1Definicje podstawowe
Definicja:
Zdanie jest zdaniem poprawnym jeśli da się określić jego prawdziwość lub fałszywość.
Jeśli zdanie jest prawdziwe to przypisujemy mu wartość 1 = „prawda”, zaś jeśli fałszywe to przypisujemy mu wartość 0 = ”fałsz”.
Zdania poprawne:
Pies ma cztery łapy - prawda
Pies ma trąbę - fałsz
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „na pewno” jest podzielna przez 5
P2=>P5 - zdanie fałszywe bo 2
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 5
P2~>P5 - - zdanie prawdziwe bo 10
Zdanie niepoprawne:
Jeśli księżyc jest z sera to pies ma cztery łapy - brak związku między księżycem a czterema łapami u psa
Definicja implikacji:
Implikacją jest dowolne zdanie ujęte w spójnik „Jeśli… to…”
Mówiąc o implikacji, będziemy mieli na myśli implikację w najszerszym tego słowa znaczeniu jak w definicji wyżej. Zdanie ujęte w spójnik „Jeśli…to…” może być implikacją prostą, implikacją odwrotną, równoważnością (częsta w matematyce) albo śmieciem (będącym czymkolwiek innym). „Jeśli.. to...” to najbardziej uniwersalny spójnik w logice !
2.2 Definicja implikacji prostej
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p + q = ~(p*~q)
p=>q
Jeśli p to q
Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q (z p „musi” wynikać q”)
Zajście p gwarantuje zajście q
W implikacji prostej zajście p jest warunkiem wystarczającym dla zajścia q
Warunek wystarczający = gwarancja
gdzie:
p=>q
p – poprzednik implikacji (zawsze po spójniku “Jeśli…”
q – następnik implikacji (zawsze po spójniku „to...”)
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q w naturalnej logice człowieka
Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
| Kod: | p q p=>q
1 1 1
1 0 0
0 0 1
0 1 1 |
Przykład 2.2
Jeśli zwierzę jest psem to „musi” mieć 4 łapy
p=>q = P=>4L
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym, aby mieć cztery łapy. Bycie psem gwarantuje 4 łapy
Jeśli p jest warunkiem wystarczającym zajścia q to q musi być warunkiem koniecznym zajścia p. W implikacji przeciwnej q=>p zajście q może spowodować zajście p ale nie gwarantuje tego.
Wyprowadzenie wzoru implikacji przeciwnej:
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
Zamieniamy wszędzie p i q otrzymując wzór implikacji przeciwnej:
q=>p = ~q + p - matematyczny wzór implikacji przeciwnej
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem
q=>p = 4L ??? P
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (q) to „może” zajść p (pies) lub „może” zajść ~p (nie pies = lis, zając, słoń…). Nie ma innych możliwości. Zauważmy, że w miejsce ??? nie możemy wstawić operatora implikacji prostej, spójnika "musi" => między p i q, bo 4 łapy u zwierzęcia nie są warunkiem wystarczającym bycia psem.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem
4L<=P - to jedyna poprawna możliwość zapisania implikacji odwrotnej przy pomocy symbolu <=
<= - symbol operatora implikacji przeciwnej, spójnik „może” między p i q, czytamy przeciwnie do strzałki
Porównajmy to co wyżej z implikacja prostą.
Jeśli zwierzę jest psem to „musi” mieć 4 łapy
P=>4L
=> - symbol operatora implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q, czytamy zgodnie ze strzałką
Zauważmy, że w implikacji prostej zdanie czytamy zgodnie ze strzałką (P=>4L) zaś w implikacji przeciwnej przeciwnie do strzałki (4L<=P). Nie ulega wątpliwości że „musi” i „może” to dwa fundamentalnie różne spójniki i powinny mieć różne symbole identycznie jak AND(*) i OR (+).
Dowolny z powyższych powodów wystarcza, aby wprowadzić do logiki nowy operator implikacji odwrotnej:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q w naturalnej logice człowieka
Oczywiście matematycznie zachodzi:
4L<=P = 4L~>P
czyli:
p<=q = p~>q
Zauważmy:
p=>q - implikacja prosta, zdanie czytamy zgodnie ze strzałką
p~>q - implikacja odwrotna, zdanie czytamy zgodnie ze strzałką
Jak widać w obu przypadkach zdanie czytamy zgodnie ze strzałką. To jest kapitalne uproszczenie problemu implikacji jeśli weźmiemy pod uwagę poniższe matematyczne tożsamości.
p=>q = q<=p
p~>q = q<~p
Oraz prawa Kubusia o których w dalszej części.
2.3 Definicja implikacji odwrotnej
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q = ~(~p*q)
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może ” zajść q (z p „może” wynikać q)
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q
gdzie:
p~>q
p – poprzednik implikacji (zawsze po spójniku “Jeśli…”)
q – następnik implikacji (zawsze po spójniku „to...”)
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q w naturalnej logice człowieka
Definicja implikacji odwrotnej w wersji zero-jedynkowej:
| Kod: | p q p~>q = p<=q
1 1 1
1 0 1
0 0 1
0 1 0 |
W implikacji odwrotnej między p i q musi zachodzić warunek konieczności. Zajście p jest warunkiem koniecznym aby zaszło q, ale nie gwarantuje tego.
Jeśli zajdzie p to może zajść q (p~>q)
lub
Jeśli zajdzie p to może zajść ~q (p~> ~q)
Nie ma innych możliwości bo to algebra Boole’a.
Zapiszmy matematycznie to co wyżej:
(p~>q)+(p~> ~q) = (p+~q)+[p+~(~q)] = p+ ~q + p + q = p+p + ~q + q = p + 1 = 1
bo:
p+p=p, ~q+q=1, p+1=1
Powyższe równanie to tautologia (zdanie zawsze prawdziwe) czyli "jeśli zajdzie p to wszystko może się zdarzyć".
Przykład 2.3
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem
4L~>P
Implikacja odwrotna, bo cztery łapy są warunkiem koniecznym, aby zwierzę było psem.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem lub „może” nie być psem (lis, zając, słoń…)
Gwarancja w implikacji odwrotnej występuje po stronie ~p.
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L => ~P - prawo zamiany implikacji odwrotnej na równoważna implikację prostą
~4L => ~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to „na pewno” nie jest psem (gwarancja)
Brak czterech łap jest warunkiem wystarczającym by nie być psem
Oczywiście mamy tu na myśli psa zdrowego, bez ułomności.
2.4 Rodzaje implikacji
Definicje:
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
Ze względu na rodzaj implikacje możemy podzielić na implikacje proste, odwrotne i przeciwne.
p=>q - implikacja prosta
q=>p = p<=q = p~>q - implikacja przeciwna do implikacji prostej przechodzi w implikację odwrotną
p~>q - implikacja odwrotna
q~>p = p<~q = p=>q - implikacja przeciwna do implikacji odwrotnej przechodzi w implikację prostą
Twierdzenie 2.4
Implikacja prosta po zamianie p i q przechodzi w implikację odwrotną. Implikacja odwrotna po zamianie p i q przechodzi w implikację prostą.
Dowód wyżej.
2.5 Prawa Kubusia
Prawa Kubusia są ścisłym odpowiednikiem praw de’Morgana w algebrze Boole’a. Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.
Prawa Kubusia.
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” => między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q
Prawa Kubusia mają kapitalne zastosowanie w analizie wszelkich implikacji o czym będzie dalej.
Wniosek 1 z praw Kubusia:
Jeśli dwie implikacje różnią się od siebie wyłącznie zanegowanymi p i q to muszą być kodowane przeciwnymi operatorami, inaczej algebra Boole'a leży w gruzach.
Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi że matematycznie 2+2=5 !
Gwałcenie praw Kubusia w implikacji jest odpowiednikiem gwałcenia praw de'Morgana w operatorach AND (*) i OR(+).
Przykład 2.5
A: Jeśli powiesz wierszyk dostaniesz czekoladę
W=>C - obietnica
To jest poprawne i wspólne dla wszystkich, tu nikt nie ma wątpliwości
Prawo Kubusia:
W=>C = ~W ~> ~C - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną
Nowe zdanie wypowiedziane:
B: Jeśli nie powiesz wierszyka nie dostaniesz czekolady
~W ~> ~C - kodowanie na podstawie prawa Kubusia (równoważna groźba)
~W => ~C - kodowanie przez dzisiejszą logikę klasyczną (KRZ = Klasyczny Rachunek Zdań)
czyli mamy:
A: W=>C = B: ~W ~> ~C - prawo Kubusia
A: W=>C # B: ~W => ~C - dzisiejsza logika klasyczna (KRZ)
czyli:
A: = B: - Kubuś
A: # B: - KRZ
A, B - zdania wypowiedziane
Zauważmy, że Kubuś zakodował zdanie B zgodnie z prawem Kubusia czyli zanegował zmienne i wymienił operator => na ~>, natomiast KRZ wyłącznie zanegował zmienne bez wymiany operatora. Słownie zdania A i B są identyczne u Kubusia i w KRZ, mamy zatem dwa równania matematycznie ze sobą sprzeczne, nie może być dwóch algebr Boole’a !
Prawa Kubusia jesteśmy pewni, zatem miejsce „matematycznego” zapisu rodem z KRZ jest w koszu na śmieci. KRZ na pewno nie jest tu wyjątkiem, bowiem w całej dzisiejszej logice implikacja odwrotna jest nielegalna, czyli nie da się zapisać poprawnie zdania jak wyżej, gdzie implikacja odwrotna jest niezbędnie konieczna (prawo Kubusia).
Prawa de’Morgana mówiące o matematycznym związku między operatorami AND(*) i OR(+) oraz prawa Kubusia mówiące o matematycznym związku operatorów „musi” => (implikacja prosta) i „może” ~> (implikacja odwrotna) to dwa najważniejsze prawa w całej logice klasycznej. Oczywiście prawa te nie mogą być gwałcone, bo wylądujemy w śmietniku matematyki.
Dowód 2.5.1
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
| Kod: | p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 0 1
1 0 0 0 1 0
1 1 1 0 0 1 |
Równość kolumn p=>q i ~p~>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
B.
~p ~> ~q = ~p + ~(~q) = ~p + q - na podstawie definicji implikacji odwrotnej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p=>q = ~p ~> ~q
Dowód 2.5.2
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
| Kod: | p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 1 |
Równość kolumn p~>q i ~p=>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
B.
~p => ~q = ~(~p) + ~q = p + ~q - na podstawie definicji implikacji prostej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p~>q = ~p => ~q
2.6 Logika dodatnia i ujemna w implikacji
Prawa Kubusia.
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Definicja:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q mamy brak przeczenia.
Implikacja wypowiedziana jest w logice ujemnej jeśli po stronie q występuje przeczenie NIE(~)
p=>q = ~p ~> ~q
Z powyższego wynika, że implikacja prosta => jest odpowiedzią na pytanie co się stanie gdy zajdzie p, zaś implikacja odwrotna ~> jest odpowiedzią na pytanie co będzie gdy nie zajdzie p.
p~>q = ~p=>~q
Jak widać, że implikacja odwrotna ~> jest odpowiedzią na pytanie co się stanie gdy zajdzie p, zaś implikacja prosta => w jest odpowiedzią na pytanie co będzie gdy nie zajdzie p.
Przykład 2.6
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K - obietnica, logika dodatnia bo K
Jeśli zdasz egzamin to masz gwarantowany komputer. Wszystko inne może się zdarzyć.
… a jak nie zdam egzaminu ?
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E ~>~K - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
Jeśli nie zdasz egzaminu nie dostaniesz komputera
~E ~> ~K - groźba, logika ujemna bo ~K
czyli na mocy definicji implikacji odwrotnej:
Jeśli nie zdasz egzaminu to „możesz” nie dostać komputera
~E ~> ~K
LUB
Jeśli nie zdasz egzaminu to „możesz” dostać komputer
~E ~> K
To bardzo często spotykany dialog w języku mówionym. Oczywiście na mocy prawa Kubusia zdania te są równoważne. Z powyższego przykładu widać, że obietnica w logice dodatniej przechodzi w groźbę w logice ujemnej.
Zachodzi też odwrotnie, groźba w logice dodatniej przechodzi w obietnicę w logice ujemnej.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - groźba, jeśli brudne to „możesz” ~> dostać lanie, logika dodatnia bo L
B~>L = ~B=>~L - prawo Kubusia
Jeśli nie ubrudzisz spodni nie dostaniesz lania
~B => ~L - obietnica, jeśli czyste spodnie to „na pewno” => nie dostaniesz lania, logika ujemna bo ~L
3.0 Operatorowa definicja równoważności
Zacznijmy od zero-jedynkowej definicji implikacji prostej.
p q p=>q = ~p+q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1
Operowanie w kodzie maszynowym czyli zerach i jedynkach to średniowiecze. Po wynalezieniu mikroprocesora człowiek zrozumiał to błyskawicznie i wynalazł język symboliczny zwany asemblerem. Asembler to po prostu krystalicznie czysta algebra Boole’a zapisana w języku symbolicznym, to fundament wszelkich innych języków programowania. W dowolnym mikroprocesorze asembler jest tylko jeden, zaś języków wysokiego poziomu zbudowanych na fundamencie asemblera może być nieskończenie wiele.
Twierdzenie3.0
Każdy program napisany w dowolnym języku wysokiego poziomu można napisać bezpośrednio w języku asemblera. Odwrotnie nie zachodzi.
Przejdźmy zatem jak najszybciej na symboliczną definicji implikacji.
Przyjmijmy logikę dodatnią:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Stąd symboliczna definicja implikacji:
p q p=>q
p q =1
p ~q=0
~p ~q =1
~p q =1
Definicja implikacji to po prostu pierwsza linia tabeli symbolicznej.
p=>q =1
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
Twarda prawda dla każdego p
Druga linia w zapisie symbolicznym jest oczywistością.
p=>~q =0
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => nie zajdzie q
Twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy
Na razie wszystko jest piękne.
Idźmy za ciosem i zapiszmy trzecią linię w postaci implikacji prostej.
~p=>~q =1
Jeśli zajdzie ~p to „na pewno” zajdzie ~q
Twarda prawda dla każdego ~p wymuszona operatorem implikacji prostej „na pewno” =>
Ostatnia linia w zapisie symbolicznym musi wyglądać tak:
~p=>q = 0 !
Jeśli zajdzie ~p to „na pewno” zajdzie q
Tu musi być twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy.
Zauważmy, że znaleźliśmy się w definicji równoważności.
Tabela symboliczna definicji równoważności:
p q p<=>q
p q =1
p ~q =0
~p ~q =1
~p q =0
stąd dla wszystkich przyzwyczajonych do zer i jedynek.
Zero-jedynkowa definicja równoważności:
p q p<=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0
gdzie:
p<=>q = p*q+~p*~q - definicja równoważności w równaniu matematycznym
<=> - matematyczny operator równoważności
Oczywiście o zachodzącej równoważności decyduje zawartość p i q a nie znaczek <=>.
Przykład 3.0
1 1 =1 - zdanie wypowiedziane
Jeśli trójkąt ma wszystkie kąty równe to „na pewno” => jest równoboczny
K60=>R =1 - twarda prawda
1 0 =0
Jeśli trójkąt ma wszystkie kąty równe to „na pewno” => nie jest równoboczny
K60=>~R = 0 - twardy fałsz
0 0 =1
Jeśli trójkąt nie ma wszystkich kątów równych to „na pewno”=> nie jest równoboczny
~K60=>~R =1 - twarda prawda
0 1 =0
Jeśli trójkąt nie ma wszystkich kątów równych to „na pewno”=> jest równoboczny
~K60=>R =0 - twardy fałsz
Stąd operatorowa definicja równoważności w równaniach matematycznych:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
Tabela A1.
A1: p=>q = ~p+q =1
B1: p=>~q = ~p+~q =0
C1: ~p=>~q = p+~q =1
D1: ~p=>q = p+q =0
Z tabeli symbolicznej równoważności widać, że p i q możemy zamieniać miejscami, czyli zachodzi także:
Tabela A2.
A2: q=>p = ~q+p =1
B2: q=>~p = ~q+~p =0
C2: ~q=>~p = q+~p =1
D2: ~q=>p = q+p =0
Z powyższego mamy dwie równoważne definicje równoważności.
Definicja 1
Równoważność to wynikanie w dwie strony
czyli:
zachodzi jednocześnie twarda prawda w p=>q i q=>p.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
Definicja równoważności w równaniu matematycznym:
(p=>q)*(q=>p) = (~p+q)*(~q+p) = ~p*~q+~p*p+q*~q+q*p = p*q+~p*~q
bo fundamentalne prawo algebry Boole’a:
A*~A=0
czyli:
~p*p=0 i q*~q=0
Definicja 2
Równoważność to wynikanie p=>q i ~p=>~q
czyli:
zachodzi jednocześnie twarda prawda w p=>q i ~p=>~q
Ta definicja wynika bezpośrednio z tabeli A1.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
(p=>q)(~p=>~q) = (~p+q)(p+~q) = (~p+q)(~q+p) = p*q+~p*~q
mamy dokładnie to samo co w definicji 1
3.1 Operatorowa definicja implikacji prostej
Próba zdefiniowania operatorowej definicji implikacji prostej (wyżej) przy pomocy jedynie słusznego operatora => zakończyła się fiaskiem, wylądowaliśmy w definicji równoważności.
Co zatem robić ?
Skorzystać z praw Kubusia !
Pierwsze dwie linie operatorowej definicji implikacji prostej mamy pewne.
Definicja implikacji prostej:
p=>q =~p+q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
Operatorowa definicja implikacji prostej w równaniach matematycznych:
A: 1 1 =1
A: p=>q = ~p+q =1
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
Twarda prawda wynikająca z definicji implikacji
B: 1 0 =0
B: p=>~q = ~p+~q =0
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => nie zajdzie q
Twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy
Prawa Kubusia zastosowane do równań A i B
A: p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację prostą
B: p=>~q = ~p~>q - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację prostą
Jak widać, w tym miejscu przechodzimy z implikacji prostej na implikację odwrotną. Implikacja w logice dodatniej p=>q mówi nam co się stanie jeśli zajdzie warunek p, natomiast implikacja w logice ujemnej ~p~>~q (ujemna bo ~q) mówi nam co się stanie gdy zajdzie ~p. Zdanie ~p~>~q, będące zdaniem równoważnym do wypowiedzianego p=>q traktujemy jako zdanie nowo wypowiedziane (1 1 =1) podlegające pod definicję implikacji odwrotnej.
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
C: 1 1 =1 - nowo wypowiedziane zdanie, implikacja odwrotna
C: ~p~>~q = ~p+q =1
Jeśli zajdzie ~p to „może” ~> zajść ~q
LUB
D: 1 0 =1 - na podstawie zero-jedynkowej definicji implikacji odwrotnej
D: ~p~>q = ~p+~q =1
Jeśli zajdzie ~p to „może” zajść q
Jak widać, mamy wreszcie w wyniku trzy jedynki i jedno zero czyli piękną definicję implikacji prostej. Zauważmy, że w zachodzi B=D w równaniach matematycznych, ale nie zachodzi tożsamość w zerach i jedynkach wynikowych B=0 i D=1. Przyczyną są tu dwie różne definicje, implikacji prostej => w liniach A,B oraz implikacji odwrotnej ~> w liniach C,D których nie wolno mieszać.
Operatorowa definicja implikacji prostej:
A: p=>q =1 - twarda prawda
B: p=>~q =0 - twardy fałsz
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
czyli:
C: ~p~>~q =1
LUB
D: ~p~>q =1
Zauważmy, że po opuszczeniu operatorów jesteśmy z powrotem w definicji symbolicznej implikacji prostej.
A: p q =1
B: p ~q =0
C: ~p ~q =1
D: ~p q =1
Stąd łatwo powrócić z naszych wojaży do zero-jedynkowej definicji implikacji prostej.
Przyjmujemy logikę dodatnią:
p=1, ~p=0
q=1 i ~q=0
Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
N: p q p=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
Mamy z powrotem to, co niektórzy kochają najbardziej, idiotyczne zera i jedynki, czyli kod maszynowy „mikroprocesora” w naszym mózgu.
Przykład 3.1
Chrystus:
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z = 1 - twarda prawda
Analiza:
Kto wierzy ten „na pewno” => będzie zbawiony
W=>Z =1
Kto wierzy, ten ma 100% gwarancję zbawienia
Kto wierzy ten „na pewno” => nie będzie zbawiony
W=>~Z =0
Twardy fałsz wymuszony przez powyższą twardą prawdę
Prawo Kubusia:
W=>Z = ~W ~>~Z - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną
… a co będzie z człowiekiem który nie wierzy ?
Kto nie wierzy ten „może” ~> nie być zbawiony
~W ~> ~Z =1
LUB
Kto nie wierzy ten „może” być zbawiony
~W ~> Z =1
Z powyższego wynika, że Chrystus ma prawo do darowania dowolnego grzechu i nie zostanie kłamcą. Nie ma takiej kary, którego Chrystus czy człowiek nie mieliby prawa darować, inaczej ich wolna wola leży w gruzach.
Przykłady:
Chrystus i zbrodniarz na Krzyżu
JPII i Ali Agca
Bóg stworzył człowieka na obraz i podobieństwo swoje czyli:
Logika Boga = logika człowieka = algebra Boole’a
… co wynika z powyższej analizy matematycznej, identycznej zarówno dla Boga jak i człowieka.
3.2 Obietnice i groźby
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Jeśli spełnię warunek nagrody to „na pewno” => dostanę nagrodę, poza tym wszystko może się zdarzyć.
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K
Jeśli spełnię warunek kary to „mogę” ~> zostać ukarany ale nie muszę, bo nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary.
Prawo Kubusia:
W~>K = ~W=>~K - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Stąd gwarancja w dowolnej groźbie:
~W=>~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to „na pewno” => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary, poza tym wszystko może się zdarzyć.
Twierdzenie 3.2
Wszelkie obietnice podlegają pod definicję implikacji prostej, zaś wszelkie groźby podlegają pod definicję implikacji odwrotnej.
Zauważmy, że zdanie:
Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony
~W~>~Z - groźba
Jest groźbą podlegającą pod definicję implikacji odwrotnej, operator „może” ~>.
Możemy zatem albo analizować tą groźbę w oparciu o definicję implikacji odwrotnej (o której dalej), albo zamienić ją na równoważną implikację prostą korzystając z prawa Kubusia.
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
czyli:
~W~>~Z = W=>Z - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
W=>Z - obietnica
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
Z całą pewnością analiza implikacji w logice dodatniej W=>Z (dodatnia bo Z) będzie prostsza.
To co wyżej jest zgodne z dwoma wnioskami z praw Kubusia.
Wniosek 1 z praw Kubusia:
Jeśli dwie implikacje różnią się od siebie wyłącznie zanegowanymi p i q to muszą być kodowane przeciwnymi operatorami, inaczej algebra Boole'a leży w gruzach.
Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi, że matematycznie 2+2=5 !
Przykład obietnicy:
A: Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
A: W=>Z - obietnica w logice dodatniej bo Z (bez negacji ~)
Ta sama obietnica w logice ujemnej przechodzi w groźbę:
B: Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony
B: ~W ~> ~Z - groźba w logice ujemnej bo ~Z (jest negacja~)
Zauważmy, że nie ma znaczenia czy Chrystus powie zdanie A czy B bo matematycznie to dwa absolutnie równoważne zdania.
Groźba w logice dodatniej:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - groźba w logice dodatniej bo L (nie zanegowane)
Jeśli ubrudzę spodnie to „mogę” ~> dostać lanie, ale nie muszę bo ojciec ma prawo do darowania kary. Wiedzą o tym wszystkie dzieci w przedszkolu.
3.3 Katastrofalne skutki pomylenia operatorów w logice
Pomylenie operatorów, czyli zastosowanie operatora implikacji prostej do ewidentnej groźby to błąd fatalny, którego nawet dziecko w przedszkolu nie popełni (dowód wyżej).
Robią to niestety dzisiejsi logicy z Klasycznego Rachunku Zdań, dla których jedynie słuszną definicją implikacji w logice jest definicja implikacji prostej, czyli groźbę kodują i analizują tak.
Zdanie wypowiedziane:
Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony
~W => ~Z
Analiza matematyczna w wykonaniu logików z KRZ:
Kto nie wierzy ten „na pewno” => nie będzie zbawiony
~W => ~Z =1 - twarda prawda
Czyli wszyscy nie wierzący na 100% do piekła np. Żydzi, Buddyści …
Tu Chrystus jest psychopatą.
Kto nie wierzy we ten „na pewno” => będzie zbawiony
~W=>Z =0 - twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy
Czyli zakaz wpuszczania do nieba jakiegokolwiek innowiercy.
Zauważmy, że Chrystus pozbawiony jest wolnej woli, nie może darować nikomu kto w niego nie wierzy.
Prawo Kubusia:
~W=>~Z = W~>Z - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną
Kto wierzy ten „może” ~> być zbawiony
W~>Z =1
Tu jest obietnica zbawienia dla wierzących ale nie 100% bo może się zdarzyć, że …
LUB
Kto wierzy ten „może” ~> nie być zbawiony
W~>~Z =1
… Chrystus wierzącego w niego człowieka pośle do piekła.
Jak widać, ta analiza jest kompletnie bez sensu. Chrystus nie jest tu wyjątkiem. Zastosowanie implikacji prostej do obsługi dowolnej groźby wypowiedzianej przez człowieka, robi z niego psychopatę i idiotę.
Czy można się dziwić współczesnym logikom twierdzącym że:
„Logika człowieka nie istnieje”
Bez akceptacji implikacji odwrotnej ~> na równych prawach z implikacja prostą =>, tak właśnie musiało wyjść. W dniu dzisiejszym definicji implikacji odwrotnej nie ma w żadnym podręczniku szkolnym, nie ma w żadnej encyklopedii … najwyższy czas to zmienić !
3.4 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej
Definicja implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
N: p q p~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0
Definicja symboliczna implikacji odwrotnej:
A: p q =1
B: p ~q =1
C: ~p ~q =1
D: ~p q =0
gdzie:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Operatorowa definicja implikacji odwrotnej w równaniach matematycznych.
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
Do obsługi tej części definicji stosujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej
A: 1 1 =1 - zdanie wypowiedziane
A: p~>q = p+~q =1
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
LUB
B: 1 0 =1
B: p~> ~q = p+q =1
Jeśli zajdzie p to „może” zajść ~q
Prawa Kubusia dają odpowiedź na pytanie co będzie gdy p nie zajdzie (~p).
A: p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą (gwarancja)
B: p~> ~q = ~p =>q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
W tym miejscu przeskakujemy z definicji implikacji odwrotnej na definicję implikacji prostej, zgodnie z prawami Kubusia. Zdanie ~p=>~q traktujemy zatem jako nowo wypowiedziane (1 1 =1) podlegające pod definicję zero-jedynkową implikacji prostej.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
C: 1 1 =1 - zdanie nowo wypowiedziane
C: ~p=>~q = p+~q = 1
Jeśli zajdzie ~p to „na pewno” zajdzie ~q
Twarda prawda, gwarancja w powyższej implikacji odwrotnej p~>q
D: 1 0 =0
D: ~p=>q = p+q =0
Jeśli zajdzie ~p to „na pewno” => zajdzie q
Twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy
Jak widać, mamy wyżej trzy jedynki i jedno zero czyli piękną implikację odwrotną. Oczywiście zero-jedynkowo dwie pierwsze linie podlegają pod implikację odwrotną ~> zaś dwie ostatnie pod implikację prostą =>, dlatego mamy niezgodność w zerach i jedynkach wynikowych w liniach B=1 i D=0.
W równaniach matematycznych wszystko jest w porządku czyli:
A=C i B=D - prawa Kubusia
Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
A: p~>q =1
LUB
B: p~> ~q =1
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
C: ~p=>~q =1 - twarda prawda
D: ~p=>q =0 - twardy fałsz
Wracamy z dalekiej podróży z powrotem do definicji zero-jedynkowej implikacji odwrotnej.
Opuszczamy operatory wracając do definicji symbolicznej:
A: p q =1
B: p ~q =1
C: ~p ~q =1
D: ~p q =0
Oczywiście przyjmujemy logikę dodatnią:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Definicja zero-jedynkowa definicji implikacji odwrotnej:
N: p q p~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0
Mamy dokładnie to co fanatycy zer i jedynek lubią najbardziej, tyle że to średniowiecze.
Przykład 3.4
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Implikacja odwrotna bo to jest groźba.
Analiza:
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> dostać lanie
B~>L =1
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> nie dostać lania
B~>~L = 1
Nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary
Prawo Kubusia jest odpowiedzią na pytanie co może się stać gdy wrócę w czystych spodniach.
B~>L = ~B => ~L - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
~B => ~L =1 - twarda prawda bo implikacja prosta
Jeśli przyjdziesz w czystych (~B) spodniach to „na pewno” => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Wszystko inne może się zdarzyć.
Zauważmy, że to jest niezwykle silna gwarancja, aby ją złamać nadawca musiałby być idiotą i powiedzieć tak:
Przyszedłeś w czystych spodniach, dostajesz lanie bo przyszedłeś w czystych spodniach.
Zauważmy, że powyższa gwarancja jest identyczna jak w typowej obietnicy, podlegającej pod implikację prostą.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=Z
Jeśli wierzysz to „na pewno” => będziesz zbawiony bo wierzyłeś we mnie. Wszystko inne może się zdarzyć.
~B =>L =0 - twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy
Jeśli przyjdziesz w czystych (~B) spodniach to „na pewno” => dostaniesz lanie
Fałsz, czyli zakaz lania z powodu czystych spodni.
Wykonajmy teraz dowód poprawności prawa Kubusia w praktyce.
Obietnica przeanalizowana w przykładzie 3.1
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z
Prawo Kubusia:
W=>Z = ~W ~> ~Z - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną
czyli w tym przypadku:
Prawo zamiany obietnicy na równoważną groźbę
Przykład 3.5
Zdanie wypowiedziane:
Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony
~W ~> ~Z - ewidentna groźba podlegająca pod implikację odwrotną
Analiza:
Kto nie wierzy ten „może” ~> nie być zbawiony
~W ~> ~Z =1
LUB
Kto nie wierzy ten „może” ~> być zbawiony
~W ~>Z =1
Nie ma takiej kary której Bóg lub człowiek nie mieliby prawa darować, inaczej ich wolna wola leży w gruzach
Prawo Kubusia:
~W ~> ~Z = W=>Z - prawo zamiany implikacji odwrotnej na równoważną implikację prostą
Kto wierzy ten „na pewno” => zbawiony
W=>Z =1 - twarda prawda, gwarancja zbawienia
Kto wierzy ten „na pewno” => nie zbawiony
W=> ~Z =0 - twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy
Jeśli porównamy przykłady 3.1 i 3.5 to łatwo zobaczymy, że są identyczne co świadczy o poprawności praw Kubusia.
4.0 Warunki wystarczające i konieczne
Warunek wystarczający między p i q występuje w implikacji prostej, zaś warunek konieczny między p i q występuje w implikacji odwrotnej.
4.1 Warunek wystarczający w implikacji prostej
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p + q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
Zajście p gwarantuje zajście q
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q
Metody badania warunku wystarczającego w implikacji prostej:
A.
Dla każdego przypadku spełniającego warunek p musi zachodzić warunek q
B.
Wystarczy znaleźć jeden przypadek dla którego zachodzi warunek p i nie zachodzi warunek q, aby wykazać, że warunek wystarczalności nie zachodzi.
C.
Można skorzystać z definicji implikacji prostej.
p=>q = p + ~q = ~(p*~q) - definicje implikacji prostej
~(p*~q) - gwarancja w implikacji prostej
Nie może się zdarzyć, że zajdzie warunek p i nie zajdzie q
czyli:
p=>q = ~(p*~q) =1
Negujemy dwustronnie:
~(p=>q) = p*~q = 0
Brak warunku wystarczającego (0=fałsz) wystąpi wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego p, zajdzie warunek p i nie zajdzie q
Przykład 4.1
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
A - prawda
Dla każdej liczby podzielnej przez 8 na pewno zachodzi jej podzielność przez 2
C - prawda
~(p*~q) = ~(P8*~P2) - gwarancja spełniona
Nie istnieje liczba podzielna przez 8 i niepodzielna przez 2
Przykład 4.1A
Jeśli liczba jest podzielna przez 5 to jest podzielna przez 2
P5=>P2
B - implikacja fałszywa bo 5 jest podzielne przez 5 i nie jest podzielne przez 2
C - implikacja fałszywa
~(p*~q) = ~(P5*~P2) - gwarancja
Nie istnieje liczba podzielna przez 5 i niepodzielna przez 2
Gwarancja złamana bo 5 jest podzielne przez 5 i niepodzielne przez 2
4.2 Warunek konieczny w implikacji odwrotnej
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q
Twierdzenie 4.2
Badanie warunku koniecznego w implikacji odwrotnej p~>q jest równoważne z badaniem warunku wystarczającego w implikacji przeciwnej q=>p.
Zamiast szukać warunku koniecznego w implikacji P2~>P8 możemy szukać warunku wystarczającego w implikacji przeciwnej P8=>P2. Ta metoda jest często najprostsza i najszybsza. Do dyspozycji mamy tu wszystkie metody badań opisane w punkcie wyżej.
W implikacji odwrotnej mamy dodatkową możliwość wynikającą z prawa Kubusia.
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Jeśli będzie pochmurno to „może” padać
CH ~> P
CH~>P = ~CH => ~P - prawo Kubusia
~CH => ~P
Nie ma chmur to "na pewno" => nie będzie padać
Brak chmur jest oczywistym warunkiem wystarczającym braku deszczu, czyli w implikacji odwrotnej CH~>P zachodzi warunek konieczności.
Zauważmy , że w powyższym zdaniu warunek konieczności jest oczywistością:
Nie ma chmur, nie ma deszczu
zatem chmury są warunkiem koniecznym deszczu.
Twierdzenie 4.2A
Matematyczne gwarancje dla wszystkich czterech możliwych przypadków implikacji, wynikające z definicji implikacji, są identyczne.
Możliwe cztery przypadki implikacji:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Jeśli będzie pochmurno to „może” padać
CH ~> P
Gwarancja dla powyższej implikacji wynikająca z definicji.
p~>q = p + ~q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej
~(~p*q) = ~(~CH*P) - gwarancja
Nie może się zdarzyć, że nie będzie chmur i będzie padało. Gwarancja spełniona, chmury są warunkiem koniecznym dla deszczu.
Implikacja odwrotna do powyższej:
Jeśli będzie padać to „na pewno” => będą chmury
P=>CH
p=>q = ~p + q = ~(p*~q) - definicja implikacji prostej
~(p*~q) = ~(P*~CH) = ~(~CH*P) - gwarancja identyczna jak wyżej
Nie może się zdarzyć, że nie będzie chmur i będzie padało. Gwarancja spełniona, padanie jest warunkiem wystarczającym dla chmur.
4.3 Gwarancje w obietnicach i groźbach
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Gwarancja w implikacji prostej:
Spełnienie warunku nagrody W gwarantuje nagrodę N z powodu spełnienia warunku W. Poza tym wszystko może cie zdarzyć.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Jeśli zdam egzamin to muszę dostać komputer z powodu zdanego egzaminu
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K
Implikacja odwrotna bo nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary.
Gwarancja w implikacji odwrotnej.
W~>K = ~W => ~K – prawo zamiany implikacji odwrotnej na równoważną implikację prostą
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to „na pewno” => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Wszystko inne może się zdarzyć.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Prawo Kubusia:
B~>L = ~B => ~L
~B => ~L
Jeśli przyjdę w czystych spodniach, to nie mam prawa dostać lania z powodu czystych spodni.
Tylko i wyłącznie to gwarantuje implikacja odwrotna, wszystko inne może się zdarzyć. Zauważmy, że jest to bardzo silna gwarancja, aby ją złamać nadawca musiałby być idiotą i powiedzieć.
Przyszedłeś w czystych spodniach, dostajesz lanie bo przyszedłeś w czystych spodniach.
5.0 Nowe prawa matematyczne w algebrze Boole’a
Zabawę z tym problemem pozostawiam czytelnikowi sygnalizując problem na przykładzie.
Prawo sylogizmu w implikacji prostej, prawo przechodniości implikacji (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i z drugiego trzecie, to z pierwszego wynika trzecie)
y = [(a=>b)*(b=>c)] => (a=>c)
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik "musi" między p i q
p=>q - jeśli zajdzie p to "musi" zajść q
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q
Przykład 5.1
[(P8=>P4)*(P4=>P2)] => (P8=>P2) - matematyczna oczywistość
gdzie:
P8=>P4
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 4
itd.
Dokładnie to samo obowiązuje w implikacji odwrotnej !
Prawo sylogizmu w implikacji odwrotnej, prawo przechodniości implikacji (jeżeli z jednego zdania "może" wynikać drugie i z drugiego "może" wynikać trzecie, to "na pewno" z pierwszego "może" wynikać trzecie)
[(a~>b)*(b~>c)] => (a~>c) - nowe prawo matematyczne !
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik "może" między p i q
p~>q - jeśli zajdzie p to "może" zajść q
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q
Zauważmy, że w implikacji prostej musi zachodzić warunek wystarczający między p i q, zaś w implikacji odwrotnej musi zachodzić warunek konieczny między p i q, inaczej oba te prawa nie działają. Ustalenie warunku koniecznego jest równie trywialne jak warunku wystarczającego (pkt.4.2).
Oczywiście prawa Kubusia działają zawsze:
p~>q = ~p=>~q
Stąd zapis równoważny powyższego prawa:
[(~a=>~b)*(~b=>~c)] => ~a=>~b
Dowód zero-jedynkowy
| Kod: |
a b c (a~>b) (b~>c) (a~>b)*(b~>c) (a~>c) Y = [(a~>b)*(b~>c)] => (a~>c)
0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 0 1
1 0 0 1 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
|
W ostatniej kolumnie Y mamy same jedynki co oznacza, że powyższe prawo zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków.
Przykład 5.2
[(P2~>P4)*(P4~>P8)] => (P2~>P8) - matematyczna oczywistość
P2~>P4
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 4
i (*)
P4~>P8
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to „może” być podzielna przez 8
to na pewno (=>)
P2~>P8
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 8
Zauważmy coś bardzo ważnego:
[(P2~>P4)*(P4~>P8)] => (P2~>P8) = r*s => t
Jeśli zajdzie r i zajdzie s to "na pewno" zajdzie t
Spójnik "na pewno" użyty w naturalnej logice człowieka wymusza implikację prostą (=>) !
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 15:39, 24 Sie 2008, w całości zmieniany 24 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 22:17, 17 Sie 2008 Temat postu: |
|
|
V Beta 3.0
Proste jest piękne
Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).
Fundamenty algebry Boole’a - Rewolucja
Części:
Fundamenty algebry Boole'a - Elementarz
Fundamenty algebry Boole'a - Rewolucja
Fundamenty algebry Boole'a - Implikacja
Autor: Kubuś
Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś
W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), WujZbój (sfinia)
Wielkie dzięki !
Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.
Spotkało się pięciu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.
Spis treści
1.0 Notacja
1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
2.0 Rewolucja w logice klasycznej
2.1 Definicje AND, OR oraz prawa de’Morgana
2.2 Definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz prawa Kubusia
2.3 Operatorowa definicja implikacji prostej
2.4 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej
3.0 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej i odwrotnej
3.1 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej
3.1.1 Obietnica
3.2 Prawa Kubusia w analizie implikacji odwrotnej
3.2.1 Groźba
4.0 Kwadrat logiczny równoważności
4.1 Kwadrat logiczny implikacji
4.2 Prawo Kubusia kontra prawo kontrapozycji
5.0 Warunki wystarczające i konieczne
5.1 Warunek wystarczający w implikacji prostej
5.2 Warunek konieczny w implikacji odwrotnej
6.0 Nowe prawa matematyczne w algebrze Boole’a
7.0 Podsumowanie
Wstęp
Wikipedia:
Implikacja to najbardziej kontrowersyjny spójnik w logice
| Zbanowany Uczy napisał: | | Co się podniecacie, implikacji jest tyle ile liczb rzeczywistych !!! (dowiedziałem się o tym już na 2 roku logiki, a więc ponad 9 lat temu) |
Nie jest to prawdą. Powyższe stwierdzenie to skutek braku akceptacji implikacji odwrotnej na równych prawach z implikacją prostą przez dzisiejszą logikę. Implikacji jest zaledwie dwie, implikacja prosta => i implikacja odwrotna ~>. Niekwestionowany autorytet w Klasycznym Rachunku Zdań, dr. filozofii Zbanowany Uczy napisał w dyskusji z Kubusiem prawie dwa lata temu:
| Zbanowany Uczy napisał: | | Nie ma logiki ludzkiej.... PYTAM SIĘ KTO z profesorów (nie daj Boże) wtłoczył Ci do głowy tak idiotyczny pogląd ??? Jesteś pierwszym, którego znam, a który go głosi!!! |
| Zbanowany Uczy napisał: | Od siebie dodam tylko: Próby wydzielenia tzw. naturalnej, ludzkiej, nieformalnej czy tym podobnej logiki z języka potocznego ODBYWAŁY SIĘ OD POCZĄTKU JEJ POWSTANIA, owszem, ostatnio proces ten wzmógł się na sile.
|
Myślę, że Kubusiowi z grupą przyjaciół na forum SFINIA po prawie trzech latach walki z implikacją udało się to o czym pisze Zbanowany, odnaleźliśmy matematyczną LOGIKĘ CZŁOWIEKA.
Logika człowieka = algebra Boole’a !
Rewolucja w logice klasycznej dotyczy odkrycia dwóch nieznanych człowiekowi operatorów matematycznych:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
oraz równie nieznanych praw Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
1.0 Notacja
1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda - prawda zachodząca zawsze, bez żadnych wyjątków
Twardy fałsz - fałsz zachodzący zawsze, bez żadnych wyjątków
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia
=> - operator implikacji prostej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "musi" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to "musi" być podzielna przez 2
P8=>P2
Zajście P8 wystarcza, aby zaszło P2
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "może" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to "może" być podzielna przez 8
P2~>P8
Zajście P2 jest konieczne, aby zaszło P8
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q
W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna. Spójniki te ujęto w cudzysłów, aby ten fakt uwypuklić.
1.1 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
Fundament algebry Boole’a:
1 = ~0
0 = ~1
Przyjmijmy:
1=prawda
0=fałsz
Stąd mamy aksjomat znany ludziom od tysiącleci:
prawda = nie fałsz
fałsz = nie prawda
czyli:
Jeśli cokolwiek JA uznam za prawdę to negacja tego faktu będzie dla mnie fałszem i odwrotnie.
A,B,C… - zmienne binarne mogące przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1.
Y - funkcja logiczna mogąca przyjmować wyłącznie wartości 0 albo 1 w zależności od wartości zmiennych binarnych
Y=A+B*C - przykładowa funkcja logiczna
Definicja negacji:
Y=~A
Jeśli A=0 to Y=1 i jeśli A=1 to Y=0
Prawo podwójnego przeczenia:
A=~(~A)
Dowód językowy:
A = jestem uczciwy
~A = nie jestem uczciwy
~(~A) = nieprawdą jest, że nie jestem uczciwy
Definicja sumy logicznej OR(+):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy dowolna zmienna jest równa 1.
LUB
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa 0 gdy wszystkie zmienne są równe 0
Definicja iloczynu logicznego AND(*):
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równa 1 gdy wszystkie zmienne są równe 1
LUB
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych równa jest 0 gdy którakolwiek zmienna jest równa 0
Prawa algebry Boole’a wynikające bezpośrednio z definicji:
A+1=1
A+0=A
A*0=0
A*1=A
A+A=A
A*A=A
A+~A=1
A*~A=0
Prawa de’Morgana
Prawa de’Morgana wiążą matematycznie operatory OR(+) i AND(*)
A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
A*B = ~(~A+~B) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego
Dowód:
Y=A+B
Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.
~Y = ~A*~B
Oczywiście zachodzi:
Y=~(~Y)
Stąd:
A+B = ~(~A*~B) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą matematycznie operatory „musi” => (implikacja prosta) i „może” ~> (implikacja odwrotna). Prawa Kubusia są ścisłym odpowiednikiem praw de’Morgana w zakresie implikacji. Identycznie jak w prawach de’Morgana negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
2.0 Rewolucja w logice klasycznej
Rewolucja dotyczy odkrycia dwóch nieznanych człowiekowi operatorów matematycznych:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
oraz równie nieznanych praw Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Zacznijmy prawie od zera, czyli definicji zero-jedynkowych czterech fundamentalnych operatorów logicznych AND(*), OR(*), => (implikacja prosta), ~> (implikacja odwrotna) oraz matematycznych zależności między nimi.
2.1 Definicje AND, OR oraz prawa de’Morgana
Definicja operatora AND
| Kod: | p q p*q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =0
0 1 =0 |
Definicja operatora OR
| Kod: | p q p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =0
0 1 =1 |
Między powyższymi operatorami zachodzą prawa de’Morgana
p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej
p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego
Jak widać, w prawach de’Morgana negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny zachowując nawias i przeczenie przed nim ~(…)
Dowód zero-jedynkowy prawa de’Morgana dla sumy logicznej:
| Kod: |
p q (p+q) ~p ~q (~p*~q) ~(~p*~q)
1 1 1 0 0 0 1
1 0 1 0 1 0 1
0 0 0 1 1 1 0
0 1 1 1 0 0 1
|
Równość kolumn p+q praz ~(~p*~q) jest dowodem poprawności prawa de’Morgana dla sumy logicznej
Analogiczny dowód prawa de’Morgana dla iloczynu logicznego:
| Kod: |
p q (p*q) ~p ~q (~p+~q) ~(~p+~q)
1 1 1 0 0 0 1
1 0 0 0 1 1 0
0 0 0 1 1 1 0
0 1 0 1 0 1 0
|
Równość kolumn p*q oraz ~(~p+~q) dowodzi poprawności prawa de’Morgana dla iloczynu logicznego.
Zauważmy, że abstrahujemy tu od szczegółów i nie pytamy na razie czym jest suma logiczna a czym iloczyn logiczny w języku mówionym człowieka, w tym momencie to nas zupełnie nie interesuje. Różne nazwy operatorów wynikają z definicji zero-jedynkowych, to dwie różne tabele zatem muszą być dwa operatory matematyczne.
Prawa de’Morgana obowiązują w całej algebrze Boole’a i nie mogą być gwałcone !
2.2 Definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz prawa Kubusia
Definicja operatora implikacji prostej =>.
| Kod: |
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1 |
Ta sama definicja w równaniu matematycznym:
p=>q = ~p+q
Definicja operatora implikacji odwrotnej ~>
| Kod: |
p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0 |
Ta sama definicja w równaniu matematycznym:
p~>q = p+~q
Prawa matematyczne zachodzące między powyższymi definicjami.
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
| Kod: | p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 0 1
1 0 0 0 1 0
1 1 1 0 0 1 |
Równość kolumn p=>q i ~p~>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
B.
~p ~> ~q = ~p + ~(~q) = ~p + q - na podstawie definicji implikacji odwrotnej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p=>q = ~p ~> ~q
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
| Kod: | p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 1 |
Równość kolumn p~>q i ~p=>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Ten sam dowód w równaniach algebry Boole'a:
A.
p~>q = p + ~q - definicja implikacji odwrotnej
p=>q = ~p + q - definicja implikacji prostej
B.
~p => ~q = ~(~p) + ~q = p + ~q - na podstawie definicji implikacji prostej
Prawe strony równań A i B są równe zatem zachodzi:
p~>q = ~p => ~q
Definicje implikacji prostej (=>) i implikacji odwrotnej (~>), to dwie różne definicje zero jedynkowe, dlatego muszą mieć różne nazwy i operatory, identycznie jak OR i AND wyżej. Zauważmy, że prawa Kubusia zachodzą w całej algebrze Boole’a, obojętnie co by te p i q oznaczały. To są fundamentalne prawa algebry Boole’a analogiczne do praw de’Morgana i nigdy nie mogą być gwałcone w całym zakresie tej algebry.
Porównajmy:
Prawa de’Morgana - negujemy zmienne i wymieniamy operator
p*q = ~(~p+~q)
p+q = ~(~p*~q)
Prawa Kubusia - negujemy zmienne i wymieniamy operator
p=>q = ~p ~> ~q
p~>q = ~p=> ~q
Prawa Kubusia mają kapitalne zastosowanie w analizie wszelkich implikacji o czym będzie dalej.
Wniosek 1 z praw Kubusia:
Jeśli dwie implikacje różnią się od siebie wyłącznie zanegowanymi p i q to muszą być kodowane przeciwnymi operatorami, inaczej algebra Boole'a leży w gruzach.
Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi że matematycznie 2+2=5 !
Gwałcenie praw Kubusia w implikacji jest odpowiednikiem gwałcenia praw de'Morgana w operatorach AND (*) i OR(+). Dopiero teraz zajmijmy się dociekaniem co oznaczają => i ~>.
Prawa Kubusia obowiązują w całej algebrze Boole’a i nie mogą być nigdy gwałcone !
2.3 Operatorowa definicja implikacji prostej
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym, by mieć cztery łapy
Operatorowa definicja implikacji prostej:
p=P (Pies), q=4L (cztery łapy)
p=>q =1 - twarda prawda
p=>~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~> ~q
~p~>~q =1
LUB
~p~>q =1
Gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
Wyprowadzenie operatorowej definicji implikacji prostej.
Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
N: p q p=>q = ~p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
Symboliczna definicja implikacji prostej:
A: p q =1 - twarda prawda
B: p ~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
C: ~p ~q =1
D: ~p q =1
Gdzie:
p=0, ~p=1
q=1, ~q=0
Z definicji symbolicznej widać, że „jeśli zajdzie p to „na pewno” zajdzie q”, gdyż przypadek „jeśli zajdzie p to „na pewno” zajdzie ~q” jest fałszem (nie ma prawa wystąpić). Natomiast „jeśli zajdzie ~p to „może” zajść ~q”, LUB „jeśli zajdzie ~p to „może” zajść q”
Oznaczmy:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
Zakodujmy powyższą definicję przy pomocy naturalnej logiki człowieka jak wyżej z użyciem symboli => i ~>.
Operatorowa definicja implikacji prostej:
p=>q =1 - twarda prawda
p=>~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
~p ~> ~q =1
LUB
~p ~> q =1
Zauważmy, że w implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q, inaczej pierwsza linia definicji jest natychmiastowym fałszem, zdanie nie jest implikacja prostą. Jeśli p jest warunkiem wystarczającym dla q (implikacja prosta p=>q) to w drugą stronę q musi być warunkiem koniecznym dla p (implikacja odwrotna q~>p).
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
P=>4L =1 - twarda prawda
Bycie psem wystarcza, aby mieć cztery łapy
Przypomnijmy sobie prawo Kubusia działające w całym obszarze algebry Boole’a.
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
Pachnie tu wielką sensacją. Czyżby logika człowieka była zgodna z algebrą Boole’a ?
W pierwszych dwóch liniach definicji symbolicznej operatory są oczywiste:
A: p=>q =1 - twarda prawda
B: p=>~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Prawo Kubusia obowiązujące w całej algebrze Boole’a.
p=>q = ~p~>~q - dla linii A=C
p=>~q = ~p~>q - dla linii B=D
Stąd mamy dwie ostanie linie operatorowej definicji implikacji prostej
C: ~p~> ~q =1
LUB
D: ~p~> q =1
Czyli dokładnie to samo co wyszło nam z naturalnego, logicznego myślenia człowieka. Pozostaje wyjaśnić paradoks w wyniku implikacji. Zauważmy, że matematycznie mamy B=D natomiast w wyniku mamy B=0 i D=1.
Zdanie wypowiedziane, podlegające pod definicję implikacji prostej.
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej, używana do tworzenia równań niżej
A: 1 1 =1 - nowe zdanie (dlatego 1 1 =1), implikacja prosta
A: p=>q = ~p+q =1 - twarda prawda
B: 1 0 =0 - bo implikacja prosta
B: p=>~q = ~p+~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~> ~q -dla linii A=C
p=>~q = ~p~> q - dla linii B=D
Przechodzimy tu z definicji implikacji prostej => do definicji implikacji odwrotnej ~>. To dwie zupełnie różne definicje, zatem zdanie ~p~>~q musimy traktować jako nowo wypowiedziane (1 1 =1), podlegające pod definicję implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej, używana do tworzenia równań niżej
C: 1 1 =1 - zdanie nowo wypowiedziane (dlatego 1 1 =1), implikacja odwrotna
C: ~p~> ~q = ~p+q =1
LUB
D: 1 0 =1 - bo implikacja odwrotna
D: ~p~> q = ~p+~q =1
Zauważmy, że w równaniach matematycznych mamy tożsamości A=C i B=D, natomiast różnica w wyniku B=0 i D=1 wynika z potraktowania zdania ~p~>~q jako zupełnie nowego zdania podlegającego pod definicję implikacji odwrotnej.
2.4 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” => być psem
4L~>P
Cztery łapy są konieczne, aby być psem
Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
p=4L (cztery łapy), q=P (Pies)
p~>q =1
LUB
p~>~q =1
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=> ~q
~p=> ~q =1 - twarda prawda
~p=> q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
Wyprowadzenie operatorowej definicji implikacji odwrotnej.
Zero-jedynkowa definicji implikacji odwrotnej:
N: p q p~>q = p+~q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
A: p q =1
B: p ~q =1
C: ~p ~q =1 - twarda prawda
D: ~p q =0 - twardy fałsz bo wyżej twarda prawda
Gdzie:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Z pierwszych dwóch linii widać, że „jeśli zajdzie p to „może” zajść q” LUB „jeśli zajdzie p to „może” zajść ~q”. W linii C mamy gwarancję, że „jeśli zajdzie ~p to „na pewno” zajdzie ~q”. W linii C jest twarda prawda bo w linii D jest twardy fałsz. Zakodujmy symboliczną definicję implikacji odwrotnej przy pomocy znanych nam już operatorów.
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” między p i q
Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
p~>q =1
LUB
p~>~q =1
~p=> ~q =1 - twarda prawda
~p=>q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Zauważmy, że w implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q, inaczej pierwsza linia definicji leży w gruzach. Jeśli p jest warunkiem koniecznym dla q (implikacja odwrotna p~>q) to w drugą stronę, q musi być warunkiem wystarczającym dla p (implikacja prosta q=>p). Wynika z tego, że zamiast badać warunek konieczny w implikacji odwrotnej p~>q, możemy badać warunek wystarczający w implikacji prostej q=>p, to bez znaczenia.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> nie być psem
4L~>~P =1 bo słoń
Cztery łapy są konieczne aby być psem, to jest implikacja odwrotna
Jeśli zwierzę ma skrzydła to „może” być psem
S~>P =0 - oczywisty fałsz, to nie jest implikacja odwrotna
Skrzydła nie są konieczne, aby być psem
W pierwszych dwóch liniach definicji symbolicznej operatory są oczywiste:
A: p~>q =1
LUB
B: p~>~q =1
Prawo Kubusia obowiązujące w całej algebrze Boole’a.
p~>q = ~p=>~q - dla linii A=C
p~>~q = ~p=>q - dla linii B=D
Stąd mamy dwie ostanie linie operatorowej definicji implikacji odwrotnej
C: ~p=> ~q =1 - twarda prawda
D: ~p=> q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Czyli dokładnie to samo co wyszło nam z naturalnego, logicznego myślenia człowieka.
Pozostaje wyjaśnić paradoks w wyniku implikacji. Zauważmy, że matematycznie mamy B=D natomiast w wyniku mamy B=1 i D=0.
p~>q
Zdanie wypowiedziane podlegające pod definicję implikacji odwrotnej
p musi być warunkiem koniecznym dla q
Operatory w dwóch pierwszych liniach to implikacja odwrotna.
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej, używana do tworzenia równań niżej
A: 1 1 =1 - zdanie wypowiedziane, implikacja odwrotna
A: p~>q = p+~q =1
LUB
B: 1 0 =1 - bo implikacja odwrotna
B: p~> ~q = p+q =1
Prawa Kubusia:
p~>q = ~p => ~q - dla linii A=C
p~>~q = ~p=>q - dla linii B=D
Jak widać wkraczamy w obszar implikacji prostej, zatem traktujemy zdanie jako nowo wypowiedziane
(1 1 =1).
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej, używana do tworzenia równań niżej
C: 1 1 =1 - nowe zdanie, implikacja prosta
C: ~p=> ~q = p+~q =1 - twarda prawda
D: 1 0 =0 - bo implikacja prosta
D: ~p=> q = p+q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Zauważmy, że zachodzą równoważności A=C i B=D bo identyczne prawe strony równań. Różnica w wynikowych zerach i jedynkach w B=1 i D=0 wynika z różnych definicji implikacji.
3.0 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej i odwrotnej
Jakkolwiek byśmy definicji implikacji prostej i odwrotnej nie rozumieli, to między nimi muszą zachodzić prawa Kubusia.
p=>q = ~p~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
3.1 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na równoważną implikację odwrotną
Przykład 3.1
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „na pewno” jest podzielna przez 2
A: P8=>P2 =1 - twarda prawda
Zajście P8 jest wystarczające dla zajścia P2
Oczywiście powyższa twarda prawda generuje poniższy twardy fałsz
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „na pewno” nie jest podzielna przez 2
B: P8=> ~P2 =0 - twardy fałsz
… a co będzie jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 ?
P8=>P2 = ~P8~>~P2 - prawo Kubusia
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to „może” => być niepodzielna przez 2
C: ~P8~>~P2 =1 - zdanie prawdziwe bo 3
LUB
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to „może” być podzielna przez 2
D: ~P8~>P2 =1 zdanie prawdziwe bo 2
Jak widać w implikacji odwrotnej „może” ~> wystarczy podać jeden element spełniający warunek p dla którego implikacja jest prawdziwa. W implikacji prostej „musi” =>, zdanie musi być prawdziwe dla każdego elementu spełniającego warunek p.
Oczywiście nie jest tak jak to tłumaczą podręczniki szkolne, że wypowiadając zdanie A nadawca nie powiedział co będzie gdy warunek p nie jest spełniony i dlatego może zajść C lub D - to idiotyzm. Zdania C i D wynikają z praw Kubusia a nie z chciejstwa człowieka. Prawa Kubusia to matematyka ścisła, algebra Boole’a, niezależna od tego czego człowiek nie powiedział. Zobaczmy przykład tego typu radosnej, podręcznikowej twórczości.
3.1.1 Obietnica
Cytat z:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Matematyka dla liceum napisał: |
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Pozostaje zastanowić się, kiedy zdanie G=>C będzie prawdą, a kiedy kłamstwem. Załóżmy, że zdanie to wypowiedziała mama do swojego syna. Jeśli syn był grzeczny i dostał czekoladę, mama nie skłamała. Jeśli syn był niegrzeczny i nie dostał czekolady, mama także nie skłamała. Jeśli syn był grzeczny, a nie dostał czekolady, oznacza to, że został okłamany. Okazuje się także, że gdyby syn był niegrzeczny i także dostał czekoladę, mama by nie skłamała. Dlaczego? Ponieważ, mama nie stwierdziła, co go spotka, jeśli będzie niegrzeczny. Powiedziała jedynie, co go spotka jeśli będzie grzeczny. Dlatego też o zdaniu p mówimy, że jest warunkiem wystarczającym do tego, by zaszło q, a o q, że jest warunkiem koniecznym do tego, by zaszło p.
|
Przeanalizujmy to zdanie przy pomocy praw Kubusia.
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody
Gwarancja w obietnicy:
Jeśli spełnię warunek nagrody to „na pewno” => dostanę nagrodę z powodu spełnienia warunku nagrody. Poza tym wszystko może się zdarzyć.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Analiza:
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda, bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0 - twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy
… a co będzie jeśli nie będę grzeczny ?
Tego dowiadujemy się z matematyki ścisłej, algebry Boole’a. To czego człowiek nie powiedział jest matematycznie bez znaczenia.
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~> ~C - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G ~> ~C =1
LUB
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> dostać czekoladę
~G ~> C =1
W przypadku gdy warunek nagrody nie zostanie spełniony, ojciec może zrobić co mu się podoba, czyli dać albo nie dać czekoladę i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą. Zwróćmy uwagę na gwarancję w implikacji prostej.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” dostaniesz czekoladę z powodu że byłeś grzeczny, wszystko inne może się zdarzyć, co widać w powyższej analizie matematycznej.
Dokładnie to samo uzyskujemy z równania matematycznego, opisującego implikację prostą.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
~p+q = ~(p*~q) - prawo de’Morgana
p=>q = ~(p*~q) - gwarancja w implikacji prostej
Czyli:
G=>C = ~(G*~C) =1 (prawda)
Nie może się zdarzyć ~(…), że będę grzeczny i nie dostanę czekolady.
Negując powyższe równanie dwustronnie możemy się dowiedzieć kiedy ojciec będzie kłamcą
~(G=>C) = G*~C =0 (kłamstwo)
Ojciec będzie kłamcą wtedy i tylko wtedy, gdy syn będzie grzeczny i nie dostanie czekolady z powodu że był grzeczny. Poza tym wszystko może się zdarzyć, co widać w powyższej analizie.
3.2 Prawa Kubusia w analizie implikacji odwrotnej
Rozważmy zdanie:
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G ??? ~C
Co wstawić w miejsce ???, operator => czy ~> ?
Przypomnijmy sobie zdanie analizowane w poprzednim punkcie:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
oraz drugi wniosek z praw Kubusia:
Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi że matematycznie 2+2=5 !
Odpowiedź jest jasna, kodowanie może być tylko i wyłącznie takie:
Jeśli będziesz niegrzeczny nie dostaniesz czekolady
~G ~> ~C =1
Czyli na podstawie definicji implikacji odwrotnej:
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G ~> ~C
LUB
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” dostać czekoladę
~G ~> C
Bo prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~> ~C
nie może być gwałcone !
Zdanie ~G~> ~C to ewidentna groźba, skąd wniosek iż wszelkie groźby musimy kodować przy pomocy implikacji odwrotnej.
Twierdzenie 3.2
Wszelkie obietnice podlegają pod definicję implikacji prostej zaś wszelkie groźby pod definicję implikacji odwrotnej
Dowód wyżej.
3.2.1 Groźba
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
LUB
W~>~K=1
Implikacja odwrotna, bo nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.
Intuicyjnie jest to jak najbardziej poprawne, bowiem jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może zrobić co mu się podoba, walić albo darować karę (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.
Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to „na pewno” => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.
Groźba w logice dodatniej (q nie zanegowane):
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Groźba w logice ujemnej (q zanegowane):
Jeśli będziesz niegrzeczny to nie dostaniesz czekolady
~G ~> ~C
Oczywistym jest, że zamiast analizować groźbę:
~G~> ~C
Możemy analizować równoważną obietnicę:
G=>C
na podstawie prawa Kubusia:
~G~>~C = G=>C - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Stąd gwarancja w implikacji odwrotnej ~G~>~C :
G=>C
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę
Tą samą gwarancję możemy otrzymać z definicji implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - definicja
p~>q = ~(~p*q) - gwarancja
czyli:
~G~> ~C = ~[~(~G)*(~C)] = ~(G*~C) =1 (prawda)
~(G*~C)
Nie może się zdarzyć ~(…), że będę grzeczny i nie dostanę czekolady
Negujemy powyższe równanie dwustronnie, by zobaczyć kiedy nadawca będzie kłamcą
~(~G~>~C) = G*~C =0 (fałsz)
Nadawca będzie kłamcą wtedy i tylko wtedy, gdy będę grzeczny i nie dostanę czekolady. Poza tym wszystko może się zdarzyć.
Ponieważ zdanie:
G=>C równoważne zdaniu ~G ~> ~C
analizowaliśmy wyżej, zatem nie musimy nic robić !
Przeanalizujmy typową groźbę.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - groźba, zatem obowiązuje implikacja odwrotna
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania, o tym czy warunek ten będzie konieczny i wystarczający decyduje nadawca.
Analiza:
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” dostać lanie
B~>L =1
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> nie dostać lania
B~> ~L =1
W przypadku brudnych spodni nadawca może robić co mu się podoba, walić albo darować (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą, co widać wyżej.
… a co będzie jeśli nie ubrudzę spodni ?
Prawo Kubusia:
B~>L = ~B => ~L - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą
Jeśli nie ubrudzisz to „na pewno” => nie dostaniesz lania
~B=> ~L =1 - twarda prawda, gwarancja w powyższej implikacji odwrotnej B~>L
Jeśli nie ubrudzisz spodni to „na pewno” => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Poza tym wszystko może się zdarzyć.
Jeśli nie ubrudzisz spodni to „na pewno” => dostaniesz lanie
~B=>L =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Powyższa gwarancja wynika także bezpośrednio z definicji implikacji odwrotnej.
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej
p~>q = ~(~p*q) - gwarancja w implikacji odwrotnej
Dla powyższej groźby:
B~>L = ~(~B*L) =1 (prawda)
~(~B*L)
Nie może się zdarzyć ~(…), że przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie z powodu czystych spodni
Negujemy powyższe równanie, by zobaczyć kiedy nadawca zostanie kłamcą
~(B~>L) = ~B*L =0 (kłamstwo)
Nadawca zostanie kłamcą wtedy i tylko wtedy gdy przyjdę w czystych spodniach i dostanę lanie z powodu czystych spodni.
Tylko i wyłącznie to gwarantuje implikacja odwrotna, wszystko inne może się zdarzyć i nadawca nie ma szans na zostanie kłamcą. Zauważmy, że jest to bardzo silna gwarancja, aby ją złamać nadawca musiałby być idiotą i powiedzieć:
Przyszedłeś w czystych spodniach, dostajesz lanie bo przyszedłeś w czystych spodniach.
Ta gwarancja jest typowa dla implikacji prostej, porównajmy:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę z powodu że byłeś grzeczny. Wszystko inne może się zdarzyć i nadawca nie ma szans na zostanie kłamcą.
4.0 Kwadrat logiczny równoważności
Znany człowiekowi kwadrat logiczny dotyczy równoważności:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Kod: |
A1: p=>q A2: q=>p
C1: ~p=>~q C2: ~q=>~p |
| www.math.edu.pl/kwadrat-logiczny napisał: |
Twierdzenia matematyczne na ogół mają postać implikacji. Jeżeli implikacja p=>q jest twierdzeniem, to jego poprzednik p nazywamy założeniem, następnik q - tezą założenia.
Jeżeli implikacja p=>q jest twierdzeniem, to p jest warunkiem wystarczającym na to, aby q, a q warunkiem koniecznym na to, aby p.
Dla danej implikacji p=>q, którą nazywamy prostą, implikację q=>p nazywamy odwrotną. Prawdziwość jednej z nich na ogół nie pociąga za sobą prawdziwości drugiej. Dla każdej implikacji prostej p=>q implikację ~q=> ~p nazywamy przeciwstawną, a implikację ~p=>~q - przeciwną. Implikacja prosta i przeciwstawna są równoważne oraz implikacje odwrotna i przeciwna są równoważne. Zależności te można przedstawić na kwadracie, który nazywa się kwadratem logicznym.
Przy wierzchołkach kwadratu położonych wzdłuż tej samej przekątnej umieszczone są implikacje równoważne. Każda z par implikacji: prosta i przeciwna oraz odwrotna i przeciwstawna stanowi tzw. zamknięty układ implikacji
Dla dowodu twierdzenia postaci p<=>q, wystarczy udowodnić implikację prostą p=>q i odwrotną q=>p. Z kwadratu logicznego wynika, że dla dowodu twierdzenia p<=>q wystarczy udowodnić jedną z par implikacji występujących w tym kwadracie przy wspólnym boku.
|
Użyta terminologia:
p=>q - implikacja prosta
~p=>~q - implikacja przeciwna
q=>p - implikacja odwrotna
~q=>~p - implikacja przeciwstawna
Autorowi Kubuś wręcza złoty medal za pomoc, dzięki. W kilku zdaniach mamy tu aktualny stan logiki klasycznej, beznadziejny stan logiki klasycznej. Ostatnie zdanie jest dowodem, że kwadrat dotyczy równoważności, pokazuje kiedy zachodzi równoważność.
Wyłącznie dla kwadratu logicznego równoważności poprawne są prawa kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
q=>p = ~p=>~q
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
Oczywiście cały kwadrat dotyczy p i q ustalonych na sztywno zdaniem bazowym:
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „na pewno” między p i q
Po zamianie p i q mamy:
q=>p
Jeśli zajdzie q to „na pewno” => zajdzie p
Owszem, na pewno zajdzie ale wyłącznie w równoważności, nigdy w implikacji, dlatego cały ten kwadrat dotyczy równoważności.
Dowód równoważny, iż kwadrat nie dotyczy implikacji:
Wniosek 2 z praw Kubusia:
Każdy kto koduje dwie implikacje różniące się między sobą zanegowanymi parametrami p i q tym samym operatorem np. => w ewidentny sposób gwałci algebrę Boole’a i twierdzi że matematycznie 2+2=5 !
Zauważmy, że lewa i prawa strona kwadratu łamie powyższe prawo.
W prezentowanym kwadracie logicznym równoważność zachodzi, gdy zachodzi pewne wynikanie (=>) wzdłuż dowolnego boków kwadratu. Najfajniejsze są dwie równoważne definicje równoważności.
A: p=>q i q=>p - zachodzi pewne (=>) wynikanie w dwie strony w poziomie
B: p=>q i ~p=>~q - zachodzi pewne (=>) wynikanie w pionie
Przykład:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to jest równoboczny
K60=>R
Sprawdźmy czy to jest równoważność korzystając z równania B.
Analiza:
Jeśli trójkąt ma kąty równe to „na pewno” => jest równoboczny
K60=>R =1 - twarda prawda
Jeśli trójkąt ma kąty równe to „na pewno” => nie jest równoboczny
K60=>~R =0 - twardy fałsz
Prawo Kubusia:
K60=>R = ~K60 ~> ~R - prawo zamiany implikacji prostej na odwrotną
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „może” ~> nie być równoboczny
~K60~>~R =1
STOP !
Oczywiście że „na pewno” => nie jest równoboczny
Zatem obowiązkowa korekta:
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „na pewno” => nie jest równoboczny
~K60=>~R =1 - oczywistość, twarda prawda
Jeśli trójkąt nie ma kątów równych to „na pewno” => jest równoboczny
~K60=>R =0 - oczywistość, twardy fałsz wobec powyższej twardej prawdy
Z powyższej analizy słownej łatwo można wyprowadzić definicję równoważności:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
(p=>q)*(~p=>~q) = (~p+q)*[~(~p)+~q]= (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q+q*p+q*~q = p*q+~p*~q
bo:
A*~A = 0 - prawo algebry Boole’a
stąd:
~p*p=q*~q=0
Z powyższego mamy definicję równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = p*q + ~p*~q
Zero-jedynkowa definicja równoważności:
p q p<=>q = p*q+~p*~q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0
4.1 Kwadrat logiczny implikacji
Kwadrat logiczny implikacji to po prostu operatorowe definicje implikacji prostej i odwrotnej które doskonale znamy.
Kwadrat logiczny implikacji:
| Kod: |
A1: p=>q = ~p+q A2: p~>p = p+~q
B1: p=>~q = ~p+~q B2: p~>~q = p+q
C1: ~p~>~q = ~p+q C2: ~p=>~q = p+~q
D1: ~p~>q = ~p+~q D2: ~p=>q = p+q
|
Wyprowadzenie kwadratu logicznego implikacji:
Zacznijmy od podręcznikowego kwadratu logicznego równoważności:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Kod: |
A1: p=>q A2: q=>p
C1: ~p=>~q C2: ~q=>~p |
Znany ludziom kwadrat logiki jak wyżej dotyczy równoważności z bardzo prostego powodu. Nie ma w nim ani jednego operatora implikacji odwrotnej „może” ~>, wszędzie występuje jedynie słuszny, komunistyczny operator „musi” =>.
Zróbmy trochę przekształceń typu hokus-pokus i przekształćmy go w kwadrat logiczny implikacji.
W implikacji „Jeśli…to…” zarówno prostej jak i odwrotnej po „Jeśli” zawsze występuje poprzednik implikacji p, zaś po „to” zawsze jest następnik q
p=>q - implikacja prosta
Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q
p~>q - implikacja odwrotna
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
Przerysujmy powyższy kwadrat tak, aby wszędzie po lewej stronie mieć poprzednik p korzystając z matematycznych tożsamości:
q=>p = p<=q
~q=>~p = ~p<=~q
| Kod: |
A1: p=>q A2: p<=q
C1: ~p=>~q C2: ~p<=~q |
Zapiszmy teraz czarodziejskie zaklęcie hokus-pokus:
p~>q = p<=q
Dowód;
| Kod: |
p q p~>p p<=q
1 1 1 1
1 0 1 1
0 0 1 1
0 1 0 0
|
Równość dwóch ostatnich kolumn jest dowodem, że tożsamość zachodzi.
Gdzie:
p~>q - znana nam doskonale definicja implikacji odwrotnej
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q
p<=q = p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Zauważmy, że symbol p<=q może być czytany tylko i wyłącznie przeciwnie do strzałki jako spójnik „może”.
Matematycznie zachodzi:
p<=q = q=>p
… i tu jest wielki problem bo symbol => w tą stronę to zwykle operator implikacji prostej „musi” =>
Zobaczmy na przykładzie cały problem:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 - to oczywistość
Matematycznie zachodzi:
A.
P8=>P2 = P2<=P8 - zdanie czytamy zgodnie ze strzałką
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 - również oczywistość i pełna jednoznaczność
Matematycznie zachodzi:
P2~>P8 = P8<~P2 - zdanie czytamy zgodnie ze strzałką
Załóżmy teraz, że nie wprowadzamy nowego symbolu „może” ~> co matematycznie jest dopuszczalne. Ostatnie zdanie musimy zapisać tak:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2=>P8 - to jest idiotyzm, bo symbol => to operator „musi”.
Jedyna poprawna możliwość zapisu jest taka:
P2<=P8 - poprawny operator implikacji odwrotnej „może” <=, czytany przeciwnie do strzałki
Matematycznie zachodzi:
B.
P2<=P8 = P8=>P2 - prawa strona koliduje tu z lewą stroną równania A
Mamy:
P8=>P2 - prawa strona równania A, czytana zgodnie ze strzałką
P8=>P2 - lewa strona równania B, czytana przeciwnie do strzałki
Jeśli teraz zabierzemy opisy słowne to otrzymamy:
P8=>P2
P8=>P2
… no i niech się znajdzie mądry, który widząc powyższe zapisy odpowie na pytanie, który wzór opisuje implikację prostą, a który odwrotną, tzn. które równanie należy czytać zgodnie ze strzałką P8=>P2 (implikacja prosta) a które przeciwnie do strzałki P8=>P2 (implikacja odwrotna).
Jeśli do tego dołożymy prawo Kubusia które zawsze odwraca wektor => to idiotyzm będzie pełny.
Prawo Kubusia
P8=>P2 = ~P8<=~P2 - negujemy zmienne i odwracamy operator
Oczywiście matematycznie zachodzi:
P8=>P2 = ~P2=>~P8
P2<=P8 = ~P8<=~P2
P2<=P8 = ~P2=>~P8
Matematycznie wszystkie powyższe równania są tożsame.
Jak widać, bez wprowadzenia operatora implikacji odwrotnej „może” ~>, mamy wariatkowo.
Przerysujmy kwadrat logiki wprowadzając do niego spójnik implikacji odwrotnej „może” ~>.
p<=q = p~>q
| Kod: |
A1: p=>q A2: p~>q
C1: ~p=>~q C2: ~p~>~q |
Oczywiście prawa matematyczne po przekątnych dalej zachodzą, to prawa Kubusia. Zauważmy, że wszędzie z lewej strony mamy poprzednik p, niezależnie od tego czy jest to implikacja prosta czy odwrotna, co jest zgodne z definicjami tych implikacji. Zamieńmy teraz dolny bok kwadratu miejscami, aby prawa Kubusia zachodziły w pionie, a nie po przekątnych.
| Kod: |
A1: p=>q A2: p~>q
C1: ~p~>~q C2: ~p=>~q |
Zauważmy, że teraz po przekątnych nie zachodzą żadne tożsamości. Dopiero teraz mamy w pionie dwa niezależne układy implikacyjne o których wspomina podręcznik matematyki do LO.
Oczywiście w pionach zachodzą prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p=> ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na prostą
Lewą stronę kwadratu możemy łatwo uzupełnić o brakujące równania.
Zauważmy że jeśli zachodzi:
p=>q =1 - twarda prawda
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
to:
p=>~q =0 - twardy fałsz, wobec powyższej twardej prawdy
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => nie zajdzie q
Z ostatniego równania na podstawie prawa Kubusia mamy:
p=>~q = ~p~> q
Lewą stronę kwadratu mamy zatem kompletną, to znana nam doskonale operatorowa definicja implikacji prostej. Rozumując identycznie z prawej strony kwadratu otrzymamy operatorową definicję implikacji odwrotnej. Możemy teraz łatwo narysować kompletny kwadrat implikacji, uzupełniony o tożsamości wynikłe z definicji implikacji prostej i odwrotnej.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
| Kod: |
A1: p=>q = ~p+q A2: p~>p = p+~q
B1: p=>~q = ~p+~q B2: p~>~q = p+q
C1: ~p~>~q = ~p+q C2: ~p=>~q = p+~q
D1: ~p~>q = ~p+~q D2: ~p=>q = p+q
|
Co było do wyprowadzenia ...
Doskonale widać zachodzące tożsamości.
Lewa strona:
A1=C1
B1=D1
Prawa strona:
A2=C2
B2=D2
bo prawe strony równań są identyczne.
4.2 Prawo Kubusia kontra prawo kontrapozycji
Przerysujmy wyłącznie lewą stronę powyższego kwadratu logicznego implikacji:
| Kod: |
A1: p=>q = ~p+q =1
B1: p=>~q = ~p+~q =0
Niżej mamy w wyniku dwie jedynki bo nastąpiła zmiana operatora.
C1: ~p~>~q = ~p+q =1
D1: ~p~>q = ~p+~q =1
|
Doskonale widać implikację czyli trzy jedynki i zero oraz zachodzące prawo Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q = ~p+q
Skorzystajmy teraz z matematycznej tożsamości:
p~>q = p<=q - jeśli zajdzie p to „może” zajść q
<= - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” czytany przeciwnie do strzałki !
Problem w tym, że dzisiejsi logicy akceptują wyłącznie komunistyczny operator „musi” => i prawą stronę powyższej równości odczytują tak:
p<=q = q=>p - jeśli zajdzie q to „musi” => zajść p
Tym sposobem lądujemy w równoważności bo dla zdania bazowego p=>q owszem, zachodzi q=>p ale tylko i wyłącznie w równoważności.
Przerysujmy tabelę korzystając z powyższej tożsamości:
| Kod: |
A1: p=>q = ~p+q =1
B1: p=>~q = ~p+~q =0
C1: ~q=>~p = q+~p =1 - twarda prawda bo „musi” =>
D1: q=>~p = ~q+~p =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
|
Jak widać mamy w wyniku dwie jedynki i dwa zera, czyli spodziewaną równoważność i zachodzące prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
Przykład 4.2
Zdanie wypowiedziane.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Analiza wspólna:
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda, bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Jeśli będziesz grzeczny to „na pewno” => nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
… a co będzie jeśli nie będę grzeczny ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
G=>C = ~G ~> ~C - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G ~> ~C =1
LUB
Jeśli będziesz niegrzeczny to „możesz” ~> dostać czekoladę
~G ~> C =1
… a co będzie jeśli nie będę grzeczny ?
Prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
G=>C = ~C=>~G - prawo kontrapozycji
Jeśli nie dostaniesz czekolady to „na pewno” => nie będziesz grzeczny
~C => ~G =1 - twarda prawda
Jeśli nie dostaniesz czekolady to „na pewno” będziesz grzeczny
~C => G =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Jak widać, na pytanie „co będzie jeśli nie będę grzeczny” prawo Kubusia odpowiada sensownie i na temat, tak odpowie każdy człowiek ! Natomiast odpowiedź prawa kontrapozycji na to samo pytanie jest zupełnie nie na temat. Prawa kontrapozycji są poprawne wyłącznie tam, gdzie wolno zamieniać poprzednik z następnikiem czyli w równoważności.
5.0 Warunki wystarczające i konieczne
Warunek wystarczający między p i q występuje w implikacji prostej, zaś warunek konieczny między p i q występuje w implikacji odwrotnej.
5.1 Warunek wystarczający w implikacji prostej
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p + q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
Zajście p gwarantuje zajście q
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q
Metody badania warunku wystarczającego w implikacji prostej:
A.
p=>q
Dla każdego przypadku spełniającego warunek p musi zachodzić warunek q
B.
Można skorzystać z definicji implikacji prostej.
p=>q = p + ~q = ~(p*~q) - definicje implikacji prostej
p=>q = ~(p*~q) =1 (prawda) - gwarancja w implikacji prostej
Nie może się zdarzyć, że zajdzie warunek p i nie zajdzie q
C.
Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
~(p=>q) = p*~q = 0 (fałsz)
Wystarczy znaleźć jeden przypadek dla którego zachodzi warunek p i nie zachodzi warunek q, aby wykazać, że warunek wystarczalności nie zachodzi.
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
A.
P8=>P2
Dla każdej liczby podzielnej przez 8 na pewno zachodzi jej podzielność przez 2
B.
~(p*~q) = ~(P8*~P2) - gwarancja spełniona
Nie może się zdarzyć ~(…) że liczba jest podzielna przez 8 i niepodzielna przez 2
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 5 to jest podzielna przez 2
P5=>P2
B.
~(p*~q) = ~(P5*~P2)
Nie może się zdarzyć ~(…), że liczba jest podzielna przez 5 i nie jest podzielna przez 2
Zdarza się bo 5, warunek wystarczający nie zachodzi
C.
p*~q = P5*~P2 - wystarczy jeden element by warunek wystarczający nie zachodził
Warunek wystarczalności nie zachodzi bo 5 jest podzielne przez 5 i nie jest podzielne przez 2
5.2 Warunek konieczny w implikacji odwrotnej
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q
Twierdzenie 5.2
Badanie warunku koniecznego w implikacji odwrotnej p~>q jest równoważne z badaniem warunku wystarczającego w implikacji przeciwnej q=>p.
Zamiast szukać warunku koniecznego w implikacji P2~>P8 możemy szukać warunku wystarczającego w implikacji przeciwnej P8=>P2. Ta metoda jest często najprostsza i najszybsza. Do dyspozycji mamy tu wszystkie metody badań opisane w punkcie wyżej.
W implikacji odwrotnej mamy dodatkową możliwość wynikającą z prawa Kubusia.
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Jeśli będzie pochmurno to „może” padać
CH ~> P
CH~>P = ~CH => ~P - prawo Kubusia
~CH => ~P
Nie ma chmur to "na pewno" => nie będzie padać
Brak chmur jest oczywistym warunkiem wystarczającym braku deszczu, czyli w implikacji odwrotnej CH~>P zachodzi warunek konieczności.
Zauważmy , że w powyższym zdaniu warunek konieczności jest oczywistością:
Nie ma chmur, nie ma deszczu
zatem chmury są warunkiem koniecznym deszczu.
Twierdzenie 5.2A
Matematyczne gwarancje dla wszystkich czterech możliwych przypadków implikacji, wynikające z definicji implikacji, są identyczne.
Możliwe cztery przypadki implikacji:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Jeśli będzie pochmurno to „może” padać
CH ~> P
Gwarancja dla powyższej implikacji wynikająca z definicji.
p~>q = p + ~q = ~(~p*q) - definicja implikacji odwrotnej
~(~p*q) = ~(~CH*P) - gwarancja
Nie może się zdarzyć, że nie będzie chmur i będzie padało. Gwarancja spełniona, chmury są warunkiem koniecznym dla deszczu.
Implikacja odwrotna do powyższej:
Jeśli będzie padać to „na pewno” => będą chmury
P=>CH
p=>q = ~p + q = ~(p*~q) - definicja implikacji prostej
~(p*~q) = ~(P*~CH) = ~(~CH*P) - gwarancja identyczna jak wyżej
Nie może się zdarzyć, że nie będzie chmur i będzie padało. Gwarancja spełniona, padanie jest warunkiem wystarczającym dla chmur.
6.0 Nowe prawa matematyczne w algebrze Boole’a
Zabawę z tym problemem pozostawiam czytelnikowi sygnalizując problem na przykładzie.
Prawo sylogizmu w implikacji prostej, prawo przechodniości implikacji (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i z drugiego trzecie, to z pierwszego wynika trzecie)
y = [(a=>b)*(b=>c)] => (a=>c)
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik "musi" między p i q
p=>q - jeśli zajdzie p to "musi" zajść q
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q
Przykład 6.1
[(P8=>P4)*(P4=>P2)] => (P8=>P2) - matematyczna oczywistość
gdzie:
P8=>P4
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 4
itd.
Dokładnie to samo obowiązuje w implikacji odwrotnej !
Prawo sylogizmu w implikacji odwrotnej, prawo przechodniości implikacji (jeżeli z jednego zdania "może" wynikać drugie i z drugiego "może" wynikać trzecie, to "na pewno" z pierwszego "może" wynikać trzecie)
[(a~>b)*(b~>c)] => (a~>c) - nowe prawo matematyczne !
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik "może" między p i q
p~>q - jeśli zajdzie p to "może" zajść q
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q
Zauważmy, że w implikacji prostej musi zachodzić warunek wystarczający między p i q, zaś w implikacji odwrotnej musi zachodzić warunek konieczny między p i q, inaczej oba te prawa nie działają.
Oczywiście prawa Kubusia działają zawsze:
p~>q = ~p=>~q
Stąd zapis równoważny powyższego prawa:
[(~a=>~b)*(~b=>~c)] => ~a=>~b
Dowód zero-jedynkowy
| Kod: |
a b c (a~>b) (b~>c) (a~>b)*(b~>c) (a~>c) Y = [(a~>b)*(b~>c)] => (a~>c)
0 0 0 1 1 1 1 1
0 0 1 1 0 0 0 1
0 1 0 0 1 0 1 1
0 1 1 0 1 0 0 1
1 0 0 1 1 1 1 1
1 0 1 1 0 0 1 1
1 1 0 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
|
W ostatniej kolumnie Y mamy same jedynki co oznacza, że powyższe prawo zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków.
Przykład 6.2
[(P2~>P4)*(P4~>P8)] => (P2~>P8) - matematyczna oczywistość
P2~>P4
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 4
i (*)
P4~>P8
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to „może” być podzielna przez 8
to na pewno (=>)
P2~>P8
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 8
Zauważmy coś bardzo ważnego:
[(P2~>P4)*(P4~>P8)] => (P2~>P8) = r*s => t
Jeśli zajdzie r i zajdzie s to "na pewno" zajdzie t
Spójnik "na pewno" użyty w naturalnej logice człowieka wymusza implikację prostą (=>) !
7.0 Podsumowanie
Aksjomat logików praktyków:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~>).
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
p=>q
Jeśli zajdzie p to „na pewno” => zajdzie q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Jeśli zwierzę jest psem to „na pewno” => ma cztery łapy
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym, by mieć cztery łapy
Operatorowa definicja implikacji prostej:
p=P (Pies), q=4L (cztery łapy)
p=>q =1 - twarda prawda
p=>~q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~> ~q
~p~>~q =1
LUB
~p~>q =1
Gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p + ~q
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” => być psem
4L~>P
Cztery łapy są konieczne, aby być psem
Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
p=4L (cztery łapy), q=P (Pies)
p~>q =1
LUB
p~>~q =1
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=> ~q
~p=> ~q =1 - twarda prawda
~p=> q =0 - twardy fałsz, bo wyżej twarda prawda
Gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody
Gwarancja w obietnicy:
Jeśli spełnię warunek nagrody to „na pewno” => dostanę nagrodę z powodu spełnienia warunku nagrody. Poza tym wszystko może się zdarzyć.
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
LUB
W~>~K=1
Implikacja odwrotna bo nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca. Intuicyjnie jest to jak najbardziej poprawne, bowiem jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może zrobić co mu się podoba, walić albo darować karę (akt łaski) i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.
Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to „na pewno” => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.
Zauważmy na koniec coś bardzo ważnego:
W języku mówionym domyślnym spójnikiem w implikacji prostej jest spójnik „na pewno” => dlatego prawie nigdy nie jest wypowiadany, choć można go powtórzyć.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 - jeśli P8 to „na pewno” => P2
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L - jeśli pies to „na pewno” => cztery łapy
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C - grzeczny to „na pewno” => czekolada
W implikacji odwrotnej, w naturalnej logice człowieka zawsze wymawiamy spójnik „może” ~> ponieważ matematyka musi być jednoznaczna.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
P2~>P8 =1 - prawda bo 8
LUB
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
P2~>~P8 =1 - prawda bo 2
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P =1 bo pies
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~>~P =1 bo słoń
Wyjątkiem od reguły są groźby podlegające pod definicję implikacji odwrotnej. Zauważmy, że jawne użycie spójnika "może" zawsze osłabia groźbę.
Miękka groźba:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz dostać lanie
B~>L
Twarda groźba:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Czyli na mocy definicji implikacji odwrotnej:
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> dostać lanie
B~>L =1
LUB
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” ~> nie dostać lania
B=>~L =1
Gwarancję w implikacji odwrotnej zapewnia prawo Kubusia:
B~>L = ~B => ~L - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
~B => ~L
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B) to „na pewno” => nie dostaniesz lania z powodu czystych spodni. Wszystko inne może się zdarzyć.
Spójnik "może" jest gwarantowany w definicji implikacji odwrotnej ~> i z reguły nie jest powtarzany. Zauważmy, że wypowiadając twardą groźbę (bez "może") nadawca ma dokładnie takie same prawa jak przy użyciu groźby miękkiej. W obu przypadkach gdy warunek groźby zostanie spełniony, nadawca może robić co mu sie podoba, walić albo darować lanie, i nie ma najmniejszych szans na zostanie kłamcą.
Zauważmy na koniec, że mamy bardzo proste i precyzyjne definicje obietnicy i groźby (wyżej), dzięki czemu prawie zawsze z łatwością rozpoznamy kiedy nadawca wypowiedział groźbę a kiedy obietnicę. Groźba czy obietnica musi być jednoznaczna, leży to w interesie zarówno nadawcy jak i odbiorcy. Zastrzeżenie „prawie zawsze” dotyczy podstępu nadawcy.
W świecie żywym musi być:
kara # nagroda
Czyli:
Obietnica musi być kodowana innym operatorem matematycznym niż groźba
Oczywiście:
obietnica = implikacja prosta
groźba = implikacja odwrotna
Odróżnianie kary od nagrody to warunek przetrwania. Zwierzątka które nie odróżniały kary od nagrody dawno wyginęły.
2008-08-26 Koniec
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 7:29, 30 Sie 2008, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
