ŚFiNiA

[rafal3006]

Proste jest piekne


Fundamenty algebry Boole’a


Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Emde (sfinia), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem oraz Vorathowi za końcową, decydującą o wszystkim dyskusję

Spotkało się siedmiu odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.


Spis treści:

1.0 Notacja
1.1 Aktualny stan logiki klasycznej w implikacji
1.2 Fundament dzisiejszego rozumienia implikacji jest chory
1.3 Dowód fałszywości dzisiejszego fundamentu implikacji w równaniach
1.4 Parametry formalne i aktualne w implikacji
1.5 Parametry formalne i aktualne w praktyce
1.6 Zburzenie starego świata

2.0 Fundamenty algebry Boole’a
2.1 Definicja iloczynu logicznego
2.2 Definicja sumy logicznej
2.3 Definicja negacji
2.4 Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji AND i OR
2.5 Logika dodatnia i ujemna
2.6 Prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego
2.7 Prawo de'Morgana dla sumy logicznej

3.0 Iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji
3.1 Funkcja iloczynu algebraicznego
3.2 Funkcja iloczynu logicznego
3.3 Funkcja sumy logicznej
3.4 Funkcja implikacji prostej
3.5 Funkcja równoważności
3.6 Funkcja implikacji odwrotnej

4.0 Która algebra jest prawdziwa

5.0 Spójniki zdaniowe


Wstęp.

W pkt.1.0 zawarto materiał dotyczący stanu dzisiejszej logiki w zakresie implikacji który nie zmieścił się w podpisie. Punkty 2.0 i 3.0 to algebra Boole’a od podstaw dedykowana początkującym, podana w nieznany ludziom sposób, mam nadzieje że prostszy i ciekawszy.


1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków
Miękka prawda/fałsz - może zajść ale nie musi
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q

Spójniki zdaniowe:
=> - „musi”, implikacja prosta, warunek wystarczający między p i q
~> - „może”, implikacja odwrotna, warunek konieczny między p i q
~~> - MOŻE, wystarczy pokazać jeden przypadek dla którego zdanie jest prawdziwe, warunek konieczny tu nie zachodzi zatem nie jest to implikacja odwrotna prawdziwa.


1.1 Aktualny stan logiki klasycznej w implikacji

Definicja implikacji prostej:
p=>q=~p+q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
Warunek wystarczający wynika bezpośrednio z definicji zero-jedynkowej.

Implikacja odwrotna do powyższej wedle dzisiejszej logiki to:
q~>p = q+~p = ~p+q
czyli:
p=>q = q~>p

… ale przecież w logice klasycznej mamy równie dobrze zdefiniowaną implikacje odwrotną.

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q=p+~q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p musi być konieczne dla q
Warunek konieczny wynika bezpośrednio z definicji zero-jedynkowej.

Implikacja odwrotna do powyższej wedle dzisiejszej logiki to:
q=>p = ~q+p = p+~q
czyli:
p~>q = q=>p

Oczywiście w logice klasycznej mamy:
p=>q # p~>q

… ale jednocześnie na podstawie powyższego dzisiejsza algebra Boole’a generuje dwa równania:
p=>q = q~>p
i
p~>q = q=>p

Powyższe równania to przyczyna nieszczęść całej dzisiejszej algebry Boole’a w zakresie implikacji. Pozornie są poprawne … tyle że „dzięki” nim dzisiejsza logika to generator liczb losowych od 1 do 4.


1.2 Fundament dzisiejszego rozumienia implikacji jest chory

[rafal3006]

Rezerwa