 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Śro 20:50, 24 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: |
Dwa dalsze pytania:
1. Co znaczy "zawiera się", "A zawiera się w B" to znaczy "A jest elementem B" czy "A jest podzbiorem B"? |
Myślę, że tłumacząc młodemu człowiekowi logikę, w szczególności uczniowi I klasy LO, bo tu moim zdanie powinna trafić algebra Kubusia, każde pojęcie abstrakcyjne powinno być poparte prostym przykładem z naturalnej logiki człowieka.
Ogólna definicja znaczka =>:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Na mocy tej definicji mamy:
p=>q = p*q =p
Wtedy i tylko wtedy zdanie ze znaczkiem => jest prawdziwe.
Jak udowodnić prawdziwość zdania p=>q?
Klasycznie, bierzemy po kolei wszystkie elementy zbioru p sprawdzając czy każdy z nich zawiera się w zbiorze q.
p=>q
To samo zdanie w kwantyfikatorze:
/\x p(x)=>q(x)
Jeśli rozpatrzymy wszystkie elementy zbioru p i każdy z nich występuje w zbiorze q to definicja znaczka => jest spełniona, zdanie:
p=>q
jest prawdziwe.
Możemy tu przyjąć super-precyzyjną notację zgodną z logiką matematyczną Ziemian, bo jest bardzo dobra:
P - duża litera oznacza zbiór P
p - mała litera oznacza element zbioru P
Zapis:
P=>Q
oznacza:
Zbiór P jest podzbiorem zbioru Q
czyli:
Kompletny zbiór P zawiera się w zbiorze Q
Zbiór P jest podzbiorem zbioru Q
Zapis:
p=>q
Oznacza że:
każdy element p zbioru P zawiera się w zbiorze Q (występuje także w zbiorze Q)
Ten sam zapis kwantyfikatorowo:
/\x p(x)=>q(x)
Oczywiście iterujemy wyłącznie po elementach zgodnych z p(x), czyli olewamy elementy ~p(x) bowiem dla elementów ~p(x) zdanie p=>q jest fałszywe.
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Dla psa nasze zdanie przyjmuje postać:
AP:
Jeśli pies jest psem to ma cztery łapy
P*P=>4L = (P*P)*4L = P*4L =P
Zdanie prawdziwe wyłącznie dla psów
Dla kury nasze zdanie przyjmuje postać:
AK:
Jeśli kura jest psem to ma cztery łapy
K*P=>4L = (K*P)*4L = 0*4L =0 - zdanie fałszywe
K*P = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (K=1 i P=1) ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0
Jestem przeciwnikiem nadmiernej precyzji jak wyżej.
Kontekst zawsze wskazuje co mamy na myśli.
Jeśli zapisuję zdanie p=>q w zbiorach:
p=>q = p*q =p
To jest oczywistym, że chodzi tu o kompletne zbiory p i q, czyli o to że kompletny zbiór p zawiera się w zbiorze q. Formalnie powinny tu być duże litery.
Ogólne znaczenie znaczka => jest jednoznaczne, to po prostu kwantyfikator duży.
p=>q
Zapis tożsamy:
/\x p(x) => q(x)
Czyli iterujemy tu po wszystkich elementach p(x), olewając elementy ~p(x), bo dla ~p(x) zdanie p=>q jest fałszywe.
W praktyce, w algebrze Kubusia nie ma z tym najmniejszego problemu, gdyż w AK nie przechodzimy z dowolnym zdaniem na zapisy formalne p i q. W AK zawsze operujemy na zdaniach rzeczywistych które analizujemy. Stosujemy prawa logiczne bezpośrednio na zmiennych występujących w zdaniu gdzie jest oczywistym że jeśli zapiszę:
P8 - to oznacza to zbiór liczb podzielnych przez 8
P8=[8,16,24…]
8,16,24.. to elementy tego zbioru P8
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
W poprzedniku mamy zbiór liczb podzielnych przez 8:
P8 = [8,16,24…]
W następniku mamy zbiór liczb podzielnych przez 2:
P2=[2,4,6,8,10,12,14,16,18 …]
Prawdziwość zdania A określa iloczyn logiczny P8 i P2:
P8=>P2 = P8*P2 = P8
Tu jest oczywistym, że zbiór P8 zawiera się w zbiorze P2, stąd zdanie:
P8=>P2
jest prawdziwe.
Myślę nawet, że można podać uczniowi przykład najprostszy z możliwych.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Myślę, że wszystkie pieczenie na jednym ogniu o co chodzi z tym zawieraniem, można uczniowi przekazać na najprostszym możliwym przykładzie implikacji prostej.
Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów:
Definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”)
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Definicja znaczka => (warunek wystarczający, gwarancja matematyczna):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Zdefiniujmy zbiory:
p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
Zdefiniujmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6]
stąd:
~p=[3,4,5,6]
~q=[5,6]
Oczywiście definicja dziedziny musi być spełniona po stronie p i q
p+~p = [1,2,3,4,5,6]=1
p*~p = [1,2]*[3,4,5,6]=[] =0
to samo po stronie q.
Wtedy i tylko wtedy zdanie p=>q będzie wchodziło w skład implikacji prostej o definicji:
p=>q = ~p~>~q
Definicja znaczka =>:
p=>q = p*q =p
Sprawdzamy:
p=>q = p*q = [1,2]*[1,2,3,4] = [1,2] =p
cnd
Oczywiście tu można łatwo pojechać po całej definicji implikacji prostej:
Analiza skrócona:
A: p=>q = p*q = [1,2]*[1,2,3,4] = [1,2] =p - definicja znaczka => spełniona, zdanie prawdziwe
A: Definicja znaczka => spełniona bo zbiór p zawiera się w zbiorze q
B: p~~>~q = p*~q = [1,2]*[5,6] =[] =0 - zdanie fałszywe
B: Zbiory p i ~q są rozłączne, co wymusza zdanie fałszywe
C: ~p~>~q = ~p*~q = [3,4,5,6]*[5,6] = [5,6] = ~q - definicja znaczka ~> spełniona, zdanie prawdziwe
C: Definicja znaczka ~> spełniona bo zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q
D: ~p~~>q = ~p*q = [3,4,5,6]*[1,2,3,4] = [3,4] =1 - definicja znaczka ~~> spełniona
D: W zdaniu D definicja znaczka ~> nie jest spełniona bo zbiór ~p nie zawiera w sobie zbioru q
Analiza pełna z podpisu:
Wróćmy do naszego przykładu.
Posiłkując się diagramem implikacji prostej wyżej przeanalizujmy nasz przykład.
Zdanie p=>q w przełożeniu na naturalną logikę człowieka ma postać:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
co oznacza, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q
p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
Jeśli weźmiemy dowolny element zbioru p to na pewno => będzie on należał do zbioru q.
czyli:
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Przeanalizujmy nasz przykład według schematu przedstawionego na diagramie.
p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
Dziedzina:
D=[1,2,3,4,5,6]
Stąd:
~p=[3,4,5,6]
~q=[5,6]
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiory:
p=>q = p*q = [1,2]*[1,2,3,4] =[1,2] =p
p=>q = p*q = 1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
[1,2]=>[1,2,3,4] =1
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Ogólna definicja znaczka => (warunku wystarczającego):
p=>q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.
p=>q
Zajście p jest wystarczające dla zajścia q bo na mocy definicji znaczka => zbiór p zawiera się w zbiorze q.
Jeśli dodatkowo zbiór p nie jest tożsamy ze zbiorem q to na mocy definicji mamy do czynienia z implikacją prostą - nasz przykład.
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =0
Zbiory:
p~~>~q = p*~q = [1,2]*[5,6]= [] =0
p~~>~q = p*~q=1*1=0
[1,2]~~>[5,6] = [1,2]*[5,6] = [] =0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Zauważmy, że zapis:
p=>~q=0
[1,2]=>[5,6]
Jest błędny matematycznie na mocy definicji znaczka =>:
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Taki przypadek opisujemy matematycznie znaczkiem ~~>:
p~~>~q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - będące jednocześnie definicją implikacji prostej w równaniu logicznym
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zbiory:
~p~>~q = ~p*~q = [3,4,5,6]*[5,6] =[5,6]= 1
~p~>~q = ~p*~q= ~q =1
~p~>~q = ~p*~q= 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
Ogólna definicja znaczka ~> (warunku koniecznego):
p~>q
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
Doskonale widać że w zdaniu C warunek konieczny ~> jest spełniony, czyli:
~p~>~q = ~p*~q = [3,4,5,6]*[5,6] = [5,6] = ~q =1
[3,4,5,6]~>[5,6]
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym dla zajścia ~q.
Zabieramy zbiór ~p i znika nam zbiór ~q, czyli ~p jest konieczne ~> dla ~q
Dodatkowo widzimy iż zbiór ~p nie jest tożsamy ze zbiorem ~q, co na mocy definicji wymusza nam implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~q), jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie C.
Ostatnia możliwość przeczeń p i q to:
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =1
Zbiory:
~p~~>q = ~p*q = [3,4,5,6]*[1,2,3,4] = [3,4] =1
~p~~>q = ~p*q = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
Sprawdźmy czy spełniony jest tu warunek konieczny:
~p~>q
[3,4,5,6]~>[1,2,3,4]
Doskonale widać, że zbiór ~p nie zawiera w sobie zbioru q (brak [1,2]) zatem warunek konieczny ~> tu nie zachodzi.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>:
p~~>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p i q, wystarczy sama możliwość takiego zajścia.
| fiklit napisał: |
2. Czy zdanie "każdy element zbioru A ma własność B" jest równoważne zdaniu "nie ma w zbiorze A elementu nieposiadającego własności B"? |
Ja tego nie rozumiem.
Jeśli zdanie:
A.
"każdy element zbioru A ma własność B"
jest tożsame ze zdaniem:
B.
Każdy element zbioru A występuje w zbiorze B
to jest to zdanie prawdziwe, ok.
Zdanie tożsame do B:
C.
Nie ma w zbiorze A ani jednego elementu który nie byłby w zbiorze B
Myślę, że moje wersje będą lepiej rozumiane przez uczniów I klasy LO.
P.S.
Na koniec niezwykle banalny, ale bardzo ważny dowód który zauważyłem w moim poście wyżej.
| Rafal3006 napisał: |
Równoważność w zbiorach można zatem udowodnić na cztery podstawowe sposoby:
1.
Definicja aksjomatyczna wynikła z tabeli zero-jedynkowej:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
2.
Argumenty w równoważności są przemienne, stąd:
p<=>q = q<=>p = (q=>p)*(~q=>~p)
3.
Dowodząc tożsamości zbiorów p=q:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
4.
Dowodząc tożsamości zbiorów ~p=~q:
p<=>q = (~p=>~q)*(~q=>~p)
|
Równania 1 i 2 są dowodem, iż zdanie p=>q nie może być implikacją prostą!
W implikacji argumenty nie są przemienne, gdyby to były implikacje proste to zdanie prawdziwe p=>q wymuszałoby zdanie fałszywe q=>p.
Równanie 2 nie miałoby wówczas sensu, z definicji byłoby fałszywe.
cnd
Zdanie:
p=>q
to tylko i wyłącznie warunek wystarczający => o definicji w zbiorach:
A: p=>q =p*q =p - definicja znaczka => spełniona, zbiór p zawiera się w zbiorze q
B: p~~>~q = p*~q =[] =0 - zbiory rozłączne
Koniec definicji, to nie jest implikacja prosta.
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 23:00, 24 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: |
Czyli tak:
zgodziłeś się, że
D1: "mówimy że zbiór A jest podzbiorem zbioru X jeśli każdy element zbioru A jest elementem zbioru X" jest dobrą definicją podzbioru.
Stwierdziłeś również, że zdania:
Z1: "Każdy element zbioru A występuje w zbiorze B" i
Z2: "Nie ma w zbiorze A ani jednego elementu który nie byłby w zbiorze B"
są tożsame.
Rozumiem również, że "x jest w zbiorze A" znaczy to samo co "x jest elementem zbioru A". |
Zgoda
| fiklit napisał: |
Zatem weźmy zbiór pusty P oraz dowolny zbiór A.
Sprawdźmy czy P jest podzbiorem A. |
Algebra Kubusia:
Nie jest podzbiorem, bo w zbiorze A nie ma zbioru pustego.
Zbiór pusty jest rozłączny z dowolnym innym zbiorem.
| fiklit napisał: |
Aby tak było zdodnie z D1 "każdy element zbioru P musi być elementem zbioru A". Na podstawie tożsamości Z1 z Z2 otrzymujemy tożsamy warunek
W: "nie ma w zbiorze P ani jednego elementu który nie byłby w zbiorze A".
Czyli aby P nie był podzbiorem A trzeba wskazać jakiś element P, który nie jest w A.
Ale P to zbiór pusty, więc nie ma takiego elementu. Zatem P jest podzbiorem dowolnego/każdego zbioru.
To prowadzi do wniosku, że AK jest teorią wewnętrznie sprzeczną. |
Problem ze zbiorem pustym w logice jest analogiczny do problemu 0 w matematyce klasycznej.
Na ateiście.pl dobrzy matematycy bez problemu obalili zerem twierdzenie Pitagorasa twierdząc że trójkąt o bokach np. 0,0,0 nie jest trójkątem prostokątnym, a jednak suma kwadratów zachodzi.
Poza tym każdy uczeń podstawówki wie że nie wolno dzielić przez 0
etc
Nie można zatem zera traktować identycznie jak dowolnie innej liczby różnej od zera.
Akurat tak się dobrze składa że całkiem niedawno opisałem właściwości zbioru pustego w logice, na bazie naturalnej logiki człowieka.
Mój aksjomat:
Człowiek podlega pod matematykę ścisłą, algebrę Kubusia a nie ją tworzy
Oznacza to że nie człowiek jest twórcą zarówno matematyki, jak i praw fizyczno matematycznych.
Przykład:
Czy Pitagoras stworzył twierdzenie Pitagorasa, czy tylko je odkrył?
Stworzyć oczywiście nie mógł, bo to by oznaczało że przed Pitagorasem to twierdzenie nie obowiązywało, co jest bzdurą.
Dla mnie jest oczywistością, że człowiek nigdy by nie odkrył definicji operatorów logicznych i algebry Boole’a, gdyby sam pod tą algebrę nie podlegał.
Obecne definicje operatorów logicznych są dobre od strony sprzętowej (hardware). Jednak hardware to fundamentalnie co innego niż software, mimo że w obu przypadkach fundamentem jest ta sam symboliczna algebra Boole’a.
Oczywistym jest że operatory implikacji nigdy nie znajdą zastosowania w technice ze względu na wbudowaną w nich „wolną wolę” w postaci warunku koniecznego ~>, który jest niczym innym jak najzwyklejszym „rzucaniem monetą”.
Wracając do tematu cytuję właściwości zbioru pustego, które wyskoczyły mi automatycznie, na bazie naturalnej logiki człowieka - algebry Kubusia.
9.10 Zdanie zawsze prawdziwe w algebrze Kubusia, właściwości zbioru pustego
W poprzednim punkcie padło pojęcie „zdania zawsze prawdziwego”, zdefiniujmy zatem to pojęcie na gruncie algebry Kubusia.
Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
Definicja zdania zawsze prawdziwego w algebrze Kubusia:
Zdanie zawsze prawdziwe to zdanie prawdziwe dla wszystkich możliwych przeczeń p i q
Wniosek:
Nie może być mowy o zdaniu zawsze prawdziwym w operatorach logicznych które nie mają samych jedynek w wyniku. Jedynym operatorem logicznym mającym same jedynki w wyniku jest operator chaosu.
Przykład zdania zawsze prawdziwego, spełniającego definicję operatora chaosu:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
Analiza skrócona:
A: P8~~>P3 =1 bo 24
B: P8~~>~P3 =1 bo 8
C: ~P8~~>~P3 =1 bo 2
D:~P8~~>P3 =1 bo 3
Przykład najprostszego zdania zawsze prawdziwego:
A.
Możliwe że jutro pójdę do kina
co matematycznie oznacza:
A.
Jutro pójdę do kina lub nie pójdę do kina
Y=K+~K =1
Oczywiście tu negacja zmiennej K nie ma żadnego znaczenia bo spójnik „lub”(+) jest przemienny:
Y = ~(K)+ ~(~K) = ~K+K = K+~K
Przykłady zdań nie będących zdaniami zawsze prawdziwymi w świetle definicji wyżej.
Przykład 1.
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na pewno => jest psem lub nie jest psem
4L=>(P+~P)
Zdanie A w zbiorach:
4L=>(P+~P) = 4L*(P+~P) = 4L*1 = 4L
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór 4L zawiera się w zbiorze wszystkich zwierząt.
Dziedzina:
D = P+~P =1 - zbiór wszystkich zwierząt
Zdanie prawdziwe dla wszystkich zwierząt z czterema łapami, o żadnych innych zwierzętach to zdanie nie mówi, zatem jest fałszywe dla wszelkich innych zwierząt.
Dowód:
Dla słonia nasze zdanie przybiera postać:
AS:
Jeśli słoń ma cztery łapy to na pewno => jest psem lub nie jest psem
S*4L=>P+~P
Adanie AS w zbiorach:
S*4L=>(P+~P) = (S*4L)*(P+~P) = S*4L*1 = S*4L = S
Dla kury nasze zdanie przybiera postać:
AK:
Jeśli kura ma cztery łapy to na pewno jest psem lub nie jest psem
K*4L=>(P+~P)
Zdanie K w zbiorach:
K*4L=>(P+~P) = (K*4L)*(P+~P) = K*4L =0*4L =0
bo:
Kura ma cztery łapy = fałsz
stąd:
K*4L = 0*4L = 0
Fałszywość poprzednika wymusza fałszywość zdania A w zbiorach, niezależnie od zawartości następnika.
Przekształcenie zanegowanego następnika do postaci koniunkcyjnej, zrozumiałej przez człowieka (brak konieczności użycia nawiasów):
~(P+~P) = ~P*P - prawo De Morgana
stąd:
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem i być psem
4L~~>~P*P
Zdanie B w zbiorach:
4L~~>~P*P = 4L*(~P*P) = 4L*0 =0
Definicja warunku wystarczającego => o definicji w A i B spełniona.
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
4L=>(P+~P) = ~4L~>~(P+~P)
~4L~>~(P+~P) = ~P*P
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to może ~> nie być psem i być psem
~4L~>~P*P
Zdanie C w zbiorach:
~4L~>~P*P = ~4L*(~P*P) = ~4L*0 =0
Fałszywość tego zdania wyklucza zarówno implikację prostą, jak i równoważność.
Definicja znaczka ~> nie jest spełniona bo zdanie C jest fałszywe, zatem zbiór ~4L nie może zawierać w sobie zbioru ~P*P=0.
To jest dowód fałszywości kolejnego dogmatu Ziemian, jakoby zbiór pusty zawierał się w każdym zbiorze!
Zdanie C jest fałszem, zatem zdanie A jest tylko samodzielnym warunkiem wystarczającym o definicji w A i B. Zdanie A nie wchodzi ani w skład definicji implikacji prostej, ani w skład definicji równoważności z powodu fałszywości zdania C. Zdanie A nie jest zdaniem zawsze prawdziwym w sensie logiki, wyklucza to już zdanie B.
Dlaczego zdanie C jest fałszem?
C.
~4L ~> ~(P+~P) = ~4L*(~P*P) = ~4L*0 =0
Zauważmy że:
P+~P=1
W obrębie dziedziny wszystkich zwierząt nie istnieje zbiór przeciwny do P+~P bowiem:
P+~P = 1 - dziedzina, zbiór wszystkich zwierząt
natomiast:
~(P+~P) = ~(1)=0 - nie ma takiego zbioru, ten zbiór jest pusty.
Zauważmy, że w myśl naszej definicji nie jest zdaniem zawsze prawdziwym nawet takie zdanie.
Przykład 2.
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub nie jest psem to na pewno => ma cztery łapy lub nie ma czterech łap
(P+~P) => (4L+~4L)
Prawo algebry Boole’a:
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór (P+~P) zawiera się w zbiorze (4L+~4L).
Zdanie A w zbiorach:
(P+~P) => (4L+~4L) = (P+~P)*(4L+~4L) =1*1 =1
Dodatkowo zbiory p i q są tożsame:
(P+~P) = (4L+~4L) - dziedzina t zbiór wszystkich zwierząt
co wymusza „równoważność”.
Obliczenie ~(4L+~4L) dla potrzeb zdania B.
~(4L+~4L) = ~4L*4L - prawo De Morgana
B.
Jeśli zwierzę jest psem lub nie jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap i mieć cztery łapy
(P+~P) ~~>~4L*4L
Zdanie B w zbiorach:
(P+~P) ~~>~4L*4L = (P+~P)*(~4L*4L) = 1*0 =0
Obliczenie ~(P+~P) dla potrzeb zdania C.
~(P+~P) = ~P*P - prawo De Morgana
Ponieważ to jest „równoważność”, zatem po stronie ~p musi być kolejny warunek wystarczający.
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem i jest psem to na pewno => nie ma czterech łap i ma cztery łapy
~P*P => ~4L*4L
Zdanie w zbiorach:
~P*P => ~4L*4L = (~P*P)*(~4L*4L) = 0*0=0
Definicja znaczka => nie jest spełniona, bo mamy w wyniku fałsz.
Wynika z tego że zbiór pusty nie zawiera się w zbiorze pustym!
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem i jest psem to może ~~> mieć cztery łapy lub nie mieć czterech łap
P*~P ~~>(4L+~4L)
Zdanie D w zbiorach:
P*~P ~~>(4L+~4L) = (P*~P)*(4L+~4L) = 0*1 =0
Zdanie C jest fałszem, zatem zdanie A jest tylko samodzielnym warunkiem wystarczającym. Zdanie A nie wchodzi ani w skład definicji implikacji prostej, ani w skład definicji równoważności z powodu fałszywości zdania C. Zdanie A nie jest zdaniem zawsze prawdziwym w sensie logiki, wyklucza to już zdanie B.
Dlaczego zdanie C jest fałszem?
C.
~(P+~P)=~P*P => ~(4L+~4L) =~4L*4L
Zauważmy że:
P+~P=1
W obrębie dziedziny wszystkich zwierząt nie istnieje zbiór przeciwny do (P+~P) bowiem:
P+~P = 1 - dziedzina, zbiór wszystkich zwierząt
natomiast:
~(P+~P) =~(1) =0 - nie ma takiego zbioru w obrębie wszystkich zwierząt, ten zbiór jest pusty.
Identycznie mamy w następniku:
4L+~4L =1
W obrębie dziedziny wszystkich zwierząt nie istnieje zbiór przeciwny do (4L+~4L) bowiem:
(4L+~4L) =1 - dziedzina, zbiór wszystkich zwierząt
natomiast:
~(4L+~4L) = ~(1) =0 - nie ma takiego zbioru w obrębie wszystkich zwierząt, ten zbiór jest pusty.
Jak widzimy zdanie C jest tu „podwójnie” fałszywe, raz z powodu zbioru pustego w poprzedniku P*~P i drugi raz z powodu pustego zbioru w następniku ~4L*4L.
Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór nie zawierający ani jednego elementu
Na mocy powyższych analiz możemy zdefiniować właściwości zbioru pustego:
1.
Zbiór pusty nie zawiera się w zbiorze niepustym
2.
Zbiór pusty nie zawiera w sobie zbioru niepustego
3.
Zbiór pusty nie zawiera się w zbiorze pustym
4.
Zbiór pusty nie zawiera w sobie zbioru pustego
Zauważmy na koniec, że równoważnością prawdziwą jest takie zdanie.
Przykład 3.
W.
Pies wtedy i tylko wtedy gdy pies
P<=>P = (P=>P)*(~P=>~P)
W tym przypadku istnieją zbiory niepuste zarówno w poprzedniku jak i następniku:
P=1 - pies
~P=1 - kura, słoń, wąż
Równoważność jest tu zatem bezdyskusyjna.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
W naszym przykładzie zbiory p i q są tożsame p=q zatem zdanie W to oczywista równoważność.
p=P
q=P
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q
Analiza matematyczna.
Warunek wystarczający:
P=>P
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => jest psem
P=>P =1 =1 bo pies
Zbiory:
P=>P = P*P = P =1
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór „pies” zawiera się w zbiorze „nie pies”.
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie być psem
P~~>~P =0
Zbiory:
P~~>~P = P*~P =0
Nasze zdanie to równoważność zatem badamy warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~P):
~P=>~P
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to na pewno => nie jest psem
~P=>~P =1 bo nie pies
Zbiory:
~P=>~P = ~P*~P = ~P =1
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór ~P zawiera się w zbiorze ~P, oczywistość wobec tożsamości zbiorów ~P=~P.
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> być psem
~P~~>P =0
Zbiory:
~P~~>P = ~P*P =0
Oczywistym jest że nie uzyskamy tabeli zero-jedynkowej równoważności posługując się jednym symbolem P.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
dla naszego przykładu mamy:
p=P
q=P
Stąd dla kodowania zgodnego ze zdaniem W mamy zero-jedynkową definicje równoważności.
| Kod: |
Zdania symbolicznie |Kodowanie zero-jedynkowe
p q p<=>q | p q p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
A: p=> q =1 | 1 1 =1
B: p~~>~q=0 | 1 0 =0
C:~p=>~q =1 | 0 0 =1
D:~p~~>q =0 | 0 1 =0
1 2 3 4 5 6
|
Algorytm kodowania:
Jeśli na pozycji x w kolumnie ABCD1 występuje zgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 1 na tej samej pozycji x w kolumnie ABCD4.
Jeśli na pozycji x w kolumnie ABCD1 występuje niezgodność sygnału z nagłówkiem to zapisujemy 0 na tej samej pozycji x w kolumnie ABCD4
To samo powtarzamy dla kolumny ABCD2 i ABCD5.
Doskonale widać zero-jedynkową definicję równoważności.
Oczywiście zdanie A to tylko warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q) o definicji w A i B.
Podobnie zdanie C to tylko warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) o definicji w C i D.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 23:34, 24 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: | "Nie jest podzbiorem, bo w zbiorze A nie ma zbioru pustego."
Ponawiam pytanie: "czy AK rozróżnia bycie elementem od bycia podzbiorem"?
Wskaż nieprawidłowość w moim dowodzie że zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru. Jeśli nie wskażesz trzeba uznać, że jednak jest podzbiorem. A jeśli jednocześnie można udowodnić, że nie jest podzbiorem, to jest to dokładnie dowód na sprzeczność AK. |
Weźmy po kolei.
Rozpatrzmy zdanie:
Pies wtedy i tylko wtedy gdy pies
P<=>P = (P=>P)*(~P=>~P)
Zbiór "pies" zawiera się w zbiorze "pies" i jest tożsamy ze zbiorem "pies"
Na mocy definicji mamy do czynienia z równoważnością
Analiza skrócona przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
A: P=>P=1 bo pies
A: P=>P = P*P=P - zbiory
B: P~~>~P = P*~P=0
Warunek wystarczający o definicji w A i B w logice dodatniej (bo następnik P) jest spełniony
Ponieważ to jest równoważność, badamy warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~P)
C: ~P=>~P =1 bo kura, wąż, koń
C: ~P=>~p = ~P*~P = ~P - zbiory
D: ~P~~>P = ~P*P =0
Warunek wystarczający o definicji w C i D w logice ujemnej (bo następnik ~P) spełniony
Zatem nasze zdanie jest bezdyskusyjną równoważnością:
P<=>P = (P=>P)*(~P=>~P) = 1*1 =1
Czy zgadzasz się z twierdzeniem:
Zbiór niepusty p zawiera się sam w sobie wtedy i tylko wtedy gdy równoważność p<=>p jest prawdziwa.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 23:47, 24 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: | "Nie jest podzbiorem, bo w zbiorze A nie ma zbioru pustego."
Ponawiam pytanie: "czy AK rozróżnia bycie elementem od bycia podzbiorem"?
Wskaż nieprawidłowość w moim dowodzie że zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru. Jeśli nie wskażesz trzeba uznać, że jednak jest podzbiorem. A jeśli jednocześnie można udowodnić, że nie jest podzbiorem, to jest to dokładnie dowód na sprzeczność AK. |
Weźmy po kolei.
Rozpatrzmy zdanie:
Pies wtedy i tylko wtedy gdy pies
P<=>P = (P=>P)*(~P=>~P)
Zbiór "pies" zawiera się w zbiorze "pies" i jest tożsamy ze zbiorem "pies"
Na mocy definicji mamy do czynienia z równoważnością
Dziedzina:
D - zbiór wszystkich zwierząt
P+~P=1 - zbiór ~P (kura, wąż, koń ..) jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru P (pies)
P*~P=0 - zbiory rozłączne
Definicja dziedziny spełniona
Analiza skrócona przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
A: Jeśli zwierzę jest psem to jest psem
A: P=>P=1 bo pies
A: P=>P = P*P=P - zbiory
B: Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie być psem
B: P~~>~P = P*~P=0 - zbiory
Warunek wystarczający o definicji w A i B w logice dodatniej (bo następnik P) jest spełniony
Ponieważ to jest równoważność, badamy warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~P)
C: Jeśli zwierzę nie jest psem to nie jest psem
C: ~P=>~P =1 bo kura, wąż, koń
C: ~P=>~p = ~P*~P = ~P - zbiory
D: Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> być psem
D: ~P~~>P = ~P*P =0 - zbiory
Warunek wystarczający o definicji w C i D w logice ujemnej (bo następnik ~P) spełniony
Zatem nasze zdanie jest bezdyskusyjną równoważnością:
P<=>P = (P=>P)*(~P=>~P) = 1*1 =1
Czy zgadzasz się z twierdzeniem:
Zbiór niepusty p zawiera się sam w sobie wtedy i tylko wtedy gdy równoważność p<=>p jest prawdziwa.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 8:39, 25 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: | Rafał, wyszedłem praw i definicji, które sam potwierdziłeś, obowiązują w AK. Przeprowadziłem rozumowanie, moim zdaniem prawidłowe, i doszedłem do wniosku, że zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru.
Masz kilka możliwości, np.:
- wskazać błąd w moim rozumowaniu
- jeśli zdanie o niezawieraniu się zbioru pustego w każdym zbiorze jest aksjomatem AK to wykreślić ten aksjomat.
- pogodzić się, że AK jest teorią sprzeczną.
Nie musisz mi innymi drogami udowadniać, że jednak pusty nie jest podzbiorem, bo to prowadzi jedynie do sprzeczności AK. Jeśli w danej teorii można dowieść "A" i "nie A" to jest to teoria sprzeczna. Ja dowiodłem "A". Jeśli dowiedziesz, że "nie A", lub uznasz "nie A" za aksjomat, to AK jest sprzeczne. Wskaż co jest błędne w moim rozumowaniu, a nie udowadniaj/uzasadniaj zdania przeciwnego. |
Ja wskazuję błąd w twoim rozumowaniu podając kontrprzykład z naturalnej logiki człowieka.
Z poniższymi twierdzeniami 1 i 2 musisz się zgodzić.
Twierdzenie o zawieraniu się zbioru niepustego samym w sobie.
Twierdzenie 1
Zbiór niepusty p zawiera się sam w sobie wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi równoważność:
p<=>p = (p=>q)*(~p=>~p)
Ta równoważność zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy oba zbiory p i ~p będą zbiorami niepustymi.
Przykład:
p = Pies
~p = ~[pies] = kura, wąż, koń …
Szczegółowo ten przykład rozpatrzyłem w poście wyżej.
Twierdzenie o rozpoznawalności obiektu.
Twierdzenie 2
Dla dowolnego pojęcia p musi istnieć pojęcie ~p, inaczej pojęcie p jest nierozpoznawalne w naszym Wszechświecie.
Weźmy pojęcia będące zbiorem pustym:
A.
pies i nie pies
Dziedzina:
P*~P=0
P + ~P = Uniwersum =1
P = pies
~P = uniwersum pomniejszone o psa
stąd:
P+~P = uniwersum =1
B.
bleble i nie bleble
Dziedzina:
BL*~BL=0
BL+~BL = Uniwersum =1
Uzasadnienie jak wyżej.
Przykład:
Dany jest zbiór pusty P.
Co jest zaprzeczeniem zbioru pustego P?
Poprawna odpowiedź:
Uniwersum!
Czy zgadzasz się z tym?
Rozpatrzmy problem samo zawierania się zbioru pustego na konkretnym przykładzie.
Trójkąt jest prostokątny i nie jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów i nie zachodzi suma kwadratów
W poprzedniku i następniku mamy identyczny zbiór pusty.
Spełniona jest zatem „równoważność”:
P<=>P = (P=>P)*(~P=>~P)
pusty =>pusty
P=>P
Zbiór „pusty” zawiera się w zbiorze „pustym” i jest tożsamy ze zbiorem „pustym”
Na mocy definicji ewidentna „równoważność”
… ale udowodnijmy to, na gruncie KRZ i AK.
Dowodzenie równoważności kwantyfikatorem dużym jest IDENTYCZNE w AK i KRZ, fakt że KRZ bije nieszkodliwą pianę iterując po obiektach ~p(x) jest TOTALNIE bez znaczenia.
Matematycznie zachodzi:
Kwantyfikator duży w KRZ = kwantyfikator duży w AK
… bowiem obie te definicje wypluwają identyczne wyniki
Definicja równoważności rodem z KRZ i AK:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
W całym obszarze matematyki nikt nie znajdzie ani jednego twierdzenia będącego równoważnością, gdzie powyższa definicja nie jest spełniona.
Wniosek:
Definicje równoważności w KRZ i AK są IDENTYCZNE i dowodzi się je IDENTYCZNIE - kwantyfikatorem dużym.
Rozważmy zdanie adekwatne do twierdzenia 1 (ewidentnie prawdziwego) ale dla zbioru pustego.
A.
Twierdzenie:
Trójkąt jest prostokątny i nie jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów i nie zachodzi suma kwadratów
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Stąd dla naszego przykładu:
TP*~TP <=> SK*~SK = [(TP*~TP)=>(SK*~SK)]*[(TP+~TP)=>(SK+~SK)]
Badamy prawdziwość warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q) w zbiorach:
(TP*~TP)=>(SK*~SK) = (TP*~SK)*(SK*~SK) = 0*0 =0
Koniec.
Nic więcej nie musimy dowodzić.
Jak widzimy twierdzenie o zawieraniu się zbioru w samym sobie zostało obalone, nie zachodzi dla zbioru pustego.
Wniosek:
Zbiór pusty nie zawiera się w samym sobie, co udowodniono wyżej.
Czy wynika z tego sprzeczność AK?
NIE!
Analogia do matematyki klasycznej:
Z faktu że dla trójkąta o bokach 0,0,0 zachodzi suma kwadratów nie wynika iż twierdzenie Pitagorasa zostało obalone.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 9:56, 25 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: |
Wskazanie kontrprzykładu nie dowodzi niepoprawności wnioskowania.
|
W matematyce kontrprzykład zawsze kończy dowód z negatywnym rozstrzygnięciem.
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0 bo 2
Nic więcej nie musze dowodzić
| fiklit napisał: |
Nie wnikam w Twój dowód tego, że P nie jest podzbiorem dowolnego zbioru. Przyjmuję to wiarę.
|
Przyjęcie na wiarę to nie jest matematyka.
Dowód iż zbiór pusty nie zawiera się w zbiorze pustym przedstawiłem wyżej.
Dowód iż zbiór pusty nie jest podzbiorem dowolnego zbioru jest równie banalny.
Na początek zdanie w którym następnik jest zbiorem pustym:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem i nie być psem
4L ~~> (P*~P)
Zdanie A w zbiorach:
P=>4L*~4L = P*(4L*~4L) = P*0 =0
Zdanie A jest fałszywe niezależnie od tego co jest w poprzedniku
Weźmy zdanie w którym poprzednik jest zbiorem pustym:
B.
Jeśli zwierzę jest psem i nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
P*~P~~>4L
Zdanie B w zbiorach:
P*~P~~>4L = (P*~P)*4L = 0*4L =0
Zdanie B jest fałszywe, niezależnie od tego co jest w następniku
Wniosek:
Zbiór pusty nie może być podzbiorem dowolnego zbioru niepustego, bo gdyby tak było to zdanie:
P*~P~~>4L
byłoby prawdziwe, czyli zbiór „pusty” (P*~P) miałby co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem niepustym (4L). Takie zdanie ujęte w spójnik „może” ~~> musiałoby być prawdziwe, a ewidentnie NIE jest.
Definicja naturalnego spójnika „może”~~>:
Zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez starzałke wektora ~~>
cnd
Tak działa, symboliczna algebra Boole’a, algebra Kubusia, w 100% zgodna z naturalną logiką człowieka, gdzie tabele zero-jedynkowe operatorów logicznych w ogóle nie są potrzebne - wystarczy logiczne myślenie w naturalnej logice człowieka.
Jak widzimy na gruncie AK możemy łatwo UDOWODNIĆ że zbiór pusty ani nie zawiera się sam w sobie (poprzedni post), ani też nie jest podzbiorem dowolnego zbioru niepustego (ten post).
| fiklit napisał: |
Ale Twój dowód nie obala mojego wnioskowania. Są takie teorie gdzie można udowodnić zarówno "A" jak i "nie A", są to teorie sprzeczne. Wszystko wskazuje na to, że AK jest taką właśnie teorią. |
W algebrze Kubusia podanie kontrprzykładu obala dowolne wnioskowanie.
W algebrze Kubusia teorie w których można udowodnić zarówno A jak i ~A są matematycznie sprzeczne, w algebrze Kubusia coś takiego jest FIZYCZNIE niemożliwe bo to obala fundament algebry Boole’a:
p+~p=1 - zbiór ~p jest dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p*~p=0 - zbiory p i ~p są rozłączne
Jeśli matematycznie zachodzi:
p = ~p =1
to algebra Boole’a leży w gruzach bo:
p*~p = 1*1 =1
cnd
Na koniec pytanie:
Czy z faktu że dla trójkąta o bokach 0,0,0 zachodzi suma kwadratów wynika iż twierdzenie Pitagorasa zostało obalone?
Dokładnie to samo jest ze zbiorem pustym w logice.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 11:18, 25 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: |
"W matematyce kontrprzykład zawsze kończy dowód z negatywnym rozstrzygnięciem." - tak, ale tylko w teoriach niesprzecznych. Nie ma dowodu niesprzeczności AK. A wręcz wygląda na to, że mamy dowód sprzeczności.
Ad. "na wiarę" - chodzi, o to że Ci wierzę, że udowodniłeś, że zbiór pusty nie jest podzbiorem dowolnego zbioru. Nie zrozumiałem dowodu, tzn. nie chciało mi się go analizować, bo ma dużo zwrotów dla mnie niezrozumiałych. Ale ufam Ci, że jest poprawny.
Ale nasze dwa dowody razem wykazują sprzeczność AK. Żeby obalić mój dowód musiałbyś wskazać jakiś konkretny błąd w moim rozumowaniu, a nie tylko stwierdzić, że Twoje rozumowanie prowadzi do innych wniosków.
|
Pokazałem kontrprzykład dla twojego rozumowania, tym samym obaliłem twoje rozumowanie.
ok.
Proponuję na razie abyś przyjął „na wiarę” iż w algebrze Kubusia zbiór pusty nie jest podzbiorem ani samego siebie, ani też podzbiorem jakiegokolwiek zbioru niepustego.
W tym momencie możemy twój dowód uznać za niebyły, czyli algebra Kubusia nie jest wewnętrznie sprzeczna.
| fiklit napisał: |
Czy mógłbyś w końcu doprecyzować co znaczą zwroty "zawiera" "zawiera się" w bardziej jednoznacznych terminach "jest elementem" "jest podzbiorem"? Jestem zmuszony ignorować wszystkie zdania z "zawiera" i "zawiera się" bo są dla mnie niezrozumiałe.
|
W algebrze Kubusia domyślnie operujemy kompletnymi zbiorami, jeśli jest inaczej to wynika to z kontekstu.
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
P - zbiór jednoelementowy pies
4L - zbiór zwierząt mających 4L
Gdybym tu miał na myśli elementy zbioru 4L to bym wymieniał: koń, słoń, hipopotam
Zdanie a w zbiorach:
4L~>P = 4L*P = P
Tu także wszędzie mamy domyślnie na myśli kompletne zbiory.
Oczywiście zbiór 4L zawiera w sobie zbiór P, zatem definicja znaczka ~> (warunek konieczny) spełniona
Zabieram zbiór 4L i znika mi zbiór P - definicja znaczka ~> spełniona
Dodatkowo zbiór 4L jest różny od zbioru P co wymusza implikacje odwrotną o definicji:
4L~>P = ~4L=>~P
Zauważmy że zdanie A jest fałszywe dla wszelkich innych zwierząt niż zwierzęta z czterema łapami.
Dla przykładowej kury mamy:
AK.
Jeśli kura ma cztery łapy to może być psem
K*4L ~~>P
Zdanie AK w zbiorach:
K*4L~~>P = (K*4L)*P = 0*P =0
Oba zbiory w poprzedniku istnieją:
K=1 - zbiór kur
4L=1 - zbiór zwierząt z czterema łapami
Ale są rozłączne, co wymusza fałszywość iloczynu logicznego:
K*P = 1*1 =0
Wniosek:
Jeśli w poprzedniku mamy fałsz (zbiór pusty) to całe zdanie jest fałszywe niezależnie od zawartości następnika.
Na tym przykładzie doskonale widać jak FUNDAMENTALNIE różne są nasze logiki AK i KRZ!
Algebra Kubusia w 100% pasuje do naturalnej logiki człowieka.
Dowód:
Przykład wyżej
KRZ w 0% pasuje do naturalnej logiki człowieka.
Dowód:
Jeśli świnie latają to kura ma trąbę
Którą teorię wybrać?
Oto jest pytanie.
Wynika z tego że dowolne próby opisania AK przy pomocy środków dostępnych w KRZ skazane są na niepowodzenie.
To jest dokładnie to co napisałem we wstępie do podpisu:
W nowej teorii zbiorów znaczenie zer i jedynek wewnątrz operatorów logicznych jest inne niż w aktualnej logice matematycznej Ziemian zwanej Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ). Żadne pojęcie i żadna definicja z KRZ nie pasuje do algebry Kubusia, wszystko mamy totalnie inne. Z tego powodu praktycznie niemożliwa jest dyskusja na rzeczowe argumenty. Warunkiem koniecznym zrozumienia nowej teorii zbiorów i algebry Kubusia jest odłożenie na półkę wszelkiej wiedzy z logiki matematycznej uczonej w ziemskich szkołach i zaczęcie wszystkiego od zera.
| fiklit napisał: |
Co do Pitagorasa - jeśli "trójkąt" o bokach 0,0,0 jest trójkątem to jakie ma kąty? |
Analogiczne pytanie:
Dany jest zbiór pusty P.
Co jest zaprzeczeniem tego zbioru?
Poproszę o odpowiedź.
~P = ???
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 14:09, 25 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: |
1. "Pokazałem kontrprzykład dla twojego rozumowania, tym samym obaliłem twoje rozumowanie."
Nie. Przy braku dowodu na niesprzeczność AK nie możesz użyć takiej argumentacji. Przy braku dowodu na niesprzeczność nie można obalić twierdzenia przez kontrprzykład, gdyż obalenie przez kontrprzykład opiera się na niesprzeczności.
"Proponuję na razie abyś przyjął „na wiarę” iż w algebrze Kubusia zbiór pusty nie jest podzbiorem ani samego siebie, ani też podzbiorem jakiegokolwiek zbioru niepustego.
W tym momencie możemy twój dowód uznać za niebyły, czyli algebra Kubusia nie jest wewnętrznie sprzeczna." - to jest sposób dowodzenia przez wyeliminowanie kontrdyskutanta przez wybuch ze śmiechu.
Ale żarty na stronę.
|
Przepraszam, byłbym idiotą gdybym próbował cię świadomie obrazić, myślałem że na razie możemy zawiesić problem zbioru pustego, ale skoro się domagasz jego rozwiązania to spróbuję.
| fiklit napisał: |
Wskaż błąd, albo pogódź się ze sprzecznością AK. Wskazanie błędu polega właśnie na wskazaniu błędu a nie na pokazaniu czegoś przeciwnego. Ja nie potrafię (przynajmniej narazie) wskazać błędu w Twoim, ale jestem pewny swojego. Dopóki nie obalisz wprost mojego AK jest sprzeczne.
|
Spróbuję.
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: | Czyli tak:
zgodziłeś się, że
D1: "mówimy że zbiór A jest podzbiorem zbioru X jeśli każdy element zbioru A jest elementem zbioru X" jest dobrą definicją podzbioru.
Stwierdziłeś również, że zdania:
Z1: "Każdy element zbioru A występuje w zbiorze B" i
Z2: "Nie ma w zbiorze A ani jednego elementu który nie byłby w zbiorze B"
są tożsame.
Rozumiem również, że "x jest w zbiorze A" znaczy to samo co "x jest elementem zbioru A".
Zatem weźmy zbiór pusty P oraz dowolny zbiór A.
Sprawdźmy czy P jest podzbiorem A. Aby tak było zdodnie z D1 "każdy element zbioru P musi być elementem zbioru A". Na podstawie tożsamości Z1 z Z2 otrzymujemy tożsamy warunek
W: "nie ma w zbiorze P ani jednego elementu który nie byłby w zbiorze A".
Czyli aby P nie był podzbiorem A trzeba wskazać jakiś element P, który nie jest w A.
Ale P to zbiór pusty, więc nie ma takiego elementu. Zatem P jest podzbiorem dowolnego/każdego zbioru.
To prowadzi do wniosku, że AK jest teorią wewnętrznie sprzeczną. |
Proponuję prostsze rozumowanie logiczne.
Na początek kilka oczywistych twierdzeń pomocniczych.
Twierdzenie o prawdziwości zdania p=>q:
p=>q
Zdanie p=>q jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora.
Stąd:
W przełożeniu na teorię zbiorów mamy:
p=>q = p*q =p
Wtedy i tylko wtedy zdanie p=>q jest prawdziwe.
Doskonale widać że zbiór ~p nie ma nic do prawdziwości zdania p=>q.
Z powyższego wynika…
Twierdzenie o braku wewnętrznej sprzeczności AK:
W całym obszarze matematyki nikt nie znajdzie kontrprzykładu obalającego twierdzenie o prawdziwości zdania p=>q.
Czyli:
Nie istnieje ani jedno prawdziwe twierdzenie matematyczne p=>q w którym nie obowiązywałoby to równanie w zbiorach:
p=>q = p*q =p
Załóżmy teraz, że zbiór p jest zbiorem pustym:
p=[]
Na podstawie powyższego mamy:
p=>q = p*q = []*q = []
Zauważmy, że w tym przypadku następnik jest kompletnie bez znaczenia.
Takie zdanie jest fałszywe bo wynik iloczynu logicznego poprzednika i następnika w zbiorach jest zbiorem pustym, czyli całe zdanie jest fałszywe.
Jest tu bez znaczenia, czy zbiór pusty zawiera się w zbiorze q, czy się nie zawiera.
Nawet przy założeniu że zbiór pusty zawiera się w każdym zbiorze (tu w zbiorze q) to nie ma to żadnego wpływu na wynik logicznego mnożenia poprzednika i następnika.
Wynika z tego, że z punktu widzenia algebry Kubusia problem jest neutralny.
Można przyjąć że zbiór pusty zawiera się w każdym zbiorze, nie obala to algebry Kubusia.
Powyższe twierdzenia, moim zdaniem, są dowodem wewnętrznej sprzeczności całego KRZ.
Zauważmy bowiem, że jeśli w poprzedniku mamy zbiór pusty to zdanie p=>q jest fałszywe bez względu na zawartość następnika co jest w jawnej sprzeczności z tym, co twierdzi KRZ.
| fiklit napisał: |
2. A zawiera B to znaczy ...(uzupełnij)
3. A zawiera się w B to znaczy ...(uzupełnij)
4 |
2.
Zbiór A zawiera zbiór B oznacza, że każdy element zbioru B zawiera się w zbiorze A
3.
Zbiór A zawiera się w B oznacza, że każdy element zbioru A zawiera się w zbiorze B
| fiklit napisał: |
| Rafal3006 napisał: |
Analogiczne pytanie:
Dany jest zbiór pusty P.
Co jest zaprzeczeniem tego zbioru?
Poproszę o odpowiedź.
~P = ??? |
Nie widzę analogi. W AK nie wiem. W KRZ nie ma czegoś takiego jak zaprzeczenie zbioru. Ale nie będę teraz ciągnął tego wątku dopóki nie odpowiesz na 1,2,3. Szczególnie na 1.
Zauważ, że ja odniosłem się to tego, że niby obalasz mój dowód kontrprzykładem, ale Ty nie odniosłeś się do tego, że takie obalenie nie działa w teoriach bez udowodnionej niesprzeczności. Czekam na sensowną odpowiedz. Do tego czasu milczę.
Aha. Zauważ jeszcze jedno: nawet zakładając hipotetycznie niesprzeczność AK, mamy dowód przeciw dowodowi. Twój tak samo obala wtedy mój, jak mój obala Twój. Naprawdę, żeby obalić mój dowód musisz wskazać w nim konkretny błąd. Żadne kontrprzykłady, analogie. Konkret ma być. |
Twierdzenie o rozpoznawalności obiektu:
Obiekt p jest rozpoznawalny wtedy i tylko wtedy gdy istnieje obiekt ~p.
Inaczej obiekt p jest nierozpoznawalny w naszym Wszechświecie.
Weźmy prosty abstrakcyjny przykład:
Wyobraźmy sobie Wszechświat w którym panuje idealnie stała temperatura:
T = 36,6 stopnia = constans
W takim Wszechświecie pojęcie ciepło/zimno nie istnieje bo nie mamy najmniejszych szans na zmierzenie choćby najmniejszej różnicy temperatur. Nawet na poziomie abstrakcyjnym mieszkańcy tego świata nigdy nie zrozumieją co to znaczy ciepło/zimno.
Weźmy teraz zbiór pusty, czyli „NIC”.
Aby zrozumieć pojęcie „NIC” musimy mieć do dyspozycji pojęcie „COŚ”.
Zaprzeczeniem NICa jest COŚ i odwrotnie.
Jeśli nie istniej COŚ (czyli cokolwiek) to pojęcie NIC jest NIERPZPOZNAWALNE.
Algebra Kubusia:
P = zbiór pusty
Zaprzeczeniem zbioru pustego jest COŚ, w naszym przypadku wszystkie możliwe pojęcia jakie człowiek jest w stanie sobie wyobrazić, czyli Uniwersum.
W AK mamy zatem:
P = [] =0 - zbiór pusty
~P =~(0) = 1 - Uniwersum
Podsumowując:
KRZ, który nie zna zaprzeczenia zbioru pustego NIC, nie może wiedzieć czym jest to NIC, bo nie ma żadnego punktu odniesienia COŚ, aby to NIC stwierdzić.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 14:34, 25 Lip 2013, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 14:57, 25 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ
| fiklit napisał: |
"Proponuję prostsze rozumowanie logiczne."
Nie. Inne rozumowanie nie obala mojego dowodu. Wskaż błąd w MOIM wnioskowaniu.
|
Fiklit, spróbuj zrozumieć moje rozumowanie. Wykazałem w nim że z punktu widzenia algebry Kubusia problem czy zbiór pusty zawiera się w każdym zbiorze, czy się nie zawiera jest problemem neutralnym, bo nie ma wpływu na jakość obliczeń w algebrze Kubusia.
Wynika z tego że nie ma tu żadnego znaczenia Twój dowód iż zbiór pusty zawiera się w każdym zbiorze, to jest bez znaczenia dla algebry Kubusia!
Tak samo bez żadnego znaczenia jest że KRZ bije pianę iterując w kwantyfikatorze dużym:
/\x p(x)=>q(x)
Po wszystkich obiektach p(x) i ~p(x) a w algebrze Kubusia iterujemy wyłącznie po obiektach p(x).
Matematycznie to jest bez żadnego znaczenia, zachodzi tożsamość:
Kwantyfikator duży z KRZ = kwantyfikator duży w AK
Jak kto obali powyższą tożsamość, to natychmiast kasuję całą AK.
| fiklit napisał: |
"Zbiór A zawiera się w B oznacza, że każdy element zbioru A zawiera się w zbiorze B"
Kolejny żart? Jak byk idem per idem. Potrafisz prosto? Jak się ma zawieranie do bycia elementem bądź bycia podzbiorem?
|
Moim zdaniem nie ma tu błędu.
Zdanie tożsame:
Zbiór A zawiera się w zbiorze B oznacza, że dowolny element zbioru A występuje również w zbiorze B.
czyli:
Nie może się zdarzyć, że elementu ze zbioru A nie ma w zbiorze B
A=[1,2]
B=[1,2,3,4]
Nie rozumiem co tu jest niejasnego?
| fiklit napisał: |
"Powyższe twierdzenia, moim zdaniem, są dowodem wewnętrznej sprzeczności całego KRZ."
Jakim cudem wykazujesz coś o KRZ nie używając pojęć z KRZ? Jakie zbiory w poprzedniku i następniku? To są brednie. Nie ma czegoś takiego KRZ.
|
To tylko tak się KRZ-owi wydaje.
Podałem bardzo konkretne twierdzenie matematyczne:
Twierdzenie o prawdziwości zdania p=>q:
p=>q
Zdanie p=>q jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora.
Stąd:
W przełożeniu na teorię zbiorów mamy:
p=>q = p*q =p
Wtedy i tylko wtedy zdanie p=>q jest prawdziwe.
Doskonale widać że zbiór ~p nie ma nic do prawdziwości zdania p=>q.
W całym obszarze matematyki nikt nie znajdzie kontrprzykładu obalającego twierdzenie o prawdziwości zdania p=>q.
Czyli:
Nie istnieje ani jedno prawdziwe twierdzenie matematyczne p=>q w którym nie obowiązywałoby to równanie w zbiorach:
p=>q = p*q =p
Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ:
Załóżmy, że zbiór p jest zbiorem pustym:
p=[]
Na podstawie powyższego twierdzenia mamy:
p=>q = p*q = []*q = []
Zauważmy, że w tym przypadku następnik jest kompletnie bez znaczenia. Takie zdanie jest fałszywe bo wynik iloczynu logicznego poprzednika i następnika w zbiorach jest zbiorem pustym, czyli całe zdanie jest fałszywe.
Twierdzenie o prawdziwości zdania p=>q jest dowodem wewnętrznej sprzeczności całego KRZ. Zauważmy bowiem, że jeśli w poprzedniku mamy zbiór pusty to zdanie p=>q jest fałszywe bez względu na zawartość następnika co jest w jawnej sprzeczności z tym, co twierdzi KRZ: „z fałszu wynika cokolwiek”
Bardzo proszę o podanie jednego-jedynego kontrprzykładu, obalającego twierdzenie o prawdziwości zdania p=>q!
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 5:38, 27 Lip 2013, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 17:57, 25 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: | | Ok. Weźmy przykład zbioru psów o imieniu X (X - to zmienna, jakieś imię). Czy w AK jesteśmy w stanie stwierdzić, że taki zbiór jest zawsze podzbiorem zbioru psów? |
Sensownych operacji na zbiorach może być nieskończenie wiele np. gry komputerowe.
Oczywiście wszędzie posługujemy się naturalną logiką człowieka, algebrą Kubusia, ale w świecie techniki nigdy implikacjami z wbudowaną „wolną wolą”, czyli warunkiem koniecznym ~>.
Dowód:
Nie istnieje ani jeden algorytm komputerowy z użyciem operatora implikacji.
W technice króluje równoważność czyli musi być 100% pewność coś komputer zrobi jak zajdzie p a co jak zajdzie ~p.
Implikacją posługują się wyłącznie istoty żywe - wszystkie mają wbudowaną matematyczną „wolną wolę” (rzucanie monetą).
Definicje implikacji i równoważności w zbiorach są trywialne i muszą być spełnione aby można było mówić o implikacji czy równoważności.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i jest tożsamy ze zbiorem q
Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów:
Definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”)
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Definicja znaczka => (warunek wystarczający, gwarancja matematyczna):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Zbiory psów o imieniu X to są jakieś przypadkowe zbiory piesków o imieniu Burek, Szarik etc.
Można tu tworzyć na silę jakieś zdania prawdziwe typu:
Założenie:
X - imię psa
A.
Jeśli zwierzę ma na imię X to na pewno jest psem
… ale to mało ciekawa zabawa, obwarowana licznymi założeniami.
Przykład z ateisty.pl.
Założenie:
Dziedzina:
P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
Na ateiście.pl twierdzili że na takim zbiorze występuje równoważność:
P8<=>P2 = (P8=>P2)*(P2=>P8)
Problem w tym że jak mamy wyłącznie liczby podzielne przez 8 to nie wiemy co to są pozostałe liczby, w tym 2. Oczywiście sensu w tym zero.
Fajne są liczne łamigłówki logiczne typu:
Idą kaczki jedna za drugą, ile było kaczek
Oczywiście tu używamy naturalnej logiki człowieka, dochodząc do wniosku że 3 … ale to tylko żart.
| fiklit napisał: | "Zbiór A zawiera się w B oznacza, że każdy element zbioru A zawiera się w zbiorze B"
"Zbiór A zawiera się w zbiorze B oznacza, że dowolny element zbioru A występuje również w zbiorze B."
Czyli "zawiera się" to to samo co "występuje"?
W pierwszym zdaniu definiujesz "zawiera się" używając "zawiera się" czy to nie jest błąd idem per idem?
Które zdanie jest prawdziwe:
[1,2] zawiera się w [1,2,3,4]
czy
[1,2] zawiera się w [[1,2],[3,4]]? |
Te zdania są tożsame, fakt że w drugim przypadku zbiory zostały uporządkowane nie ma żadnego matematycznego znaczenia.
Dawno temu na śfinii był „makaron czterojajeczny” który udowodnił że nawet w rachunku zero-jedynkowym może być dowolny bałagan, czyli tożsamość/brak tożsamości kolumn wynikowych o niczym nie świadczy. Można udowodnić prawo algebry Boole’a gdzie kolumny wynikowe będą pozornie rożne.
To jest jak z tabliczką mnożenia do 100, można dostać ja w postaci uporządkowanej (takie są w praktyce), ale poprawna tabliczka mnożenia to również potworny bałagan byleby zawierał wszystkie możliwe mnożenia.
Podsumowując:
Zbiorów wcale nie musimy porządkować, te dwa ostatnie zdania są tożsame.
p=[1,2]
q=[3,2,4,5,1]
Sprawdzamy po kolei czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q, a to na której pozycji ten element występuje w zbiorze q jest kompletnie bez znaczenia.
P=[1,2]
Liczba 1 zawiera się w zbiorze p
Liczba 1 występuje w zbiorze p
Te zdania są tożsame.
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Zbiór p występuje w zbiorze q
To też są zdania tożsame, to jest naturalna logika człowieka, która na określenie tego samego ma wiele tożsamych określeń.
Jutro pójdę do kina ale nie pójdę do teatru
Y=K*~T
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 6:21, 26 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
| fiklit napisał: |
1. Problem czy zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru jest jednak dosyć istotny.
Weźmy te psy P o imieniu X. Czyli P*X. Naturalnym jest, że możemy oczekiwać, że P*X zawsze jest podzbiorem P, jak również zawsze jest podzbiorem X (obiektów o imieniu X). Niestety w nienaturalnej AK nie mamy takiej gwarancji, bo jeśli wymyślimy imię, którego nie nosi żaden pies to nasz zbiór P*X jest pusty, więc nie jest podzbiorem ani P ani X. Dosyć kiepsko.
2. Co więcej pokazuje to, Twoje rozumowania przy pomocy AK są zawodne. Bo niby udowodniłeś przy pomocy AK, że problem zbioru pustego nie ma żadnego znaczenia. Wygląda na to że ma. A niby AK jest taka prosta intuicyjna i niezadona.
|
Załóżmy że wymyślamy imiona:
P*X + P*Y + P*Z …
Dopóki nie sprawdzimy mamy brak determinizmu i wszystko może się zdarzyć, w szczególności niektóre człony będą zbiorami pustymi, ale to jest fundamentalnie co innego niż dogmat że każdy zbiór niepusty zawiera w sobie zbiór pusty.
Problem zbioru pustego jest istotny przy braku determinizmu, matematyczny opis nieznanego.
Jest w podpisie bardzo dobry przykład na ten temat, myślę że wszystko wyjaśni (dołączam).
Zauważ że w opisie nieznanego nie wiemy jaki kraj w przyszłości zostanie wylosowany, może się zdarzyć wszystko z wyjątkiem Y8.
Nie ma jednak tego o czym dyskutujemy tzn. nie ma zbioru pustego dopisanego a priori do wszystkich możliwych przypadków Y1-Y8.
Czy widzisz gdzieś tu zbiór pusty dołożony na zasadzie dogmatu iż dowolny zbiór niepusty zawiera w sobie zbiór pusty?
Gdzie tu jest:
Y9 =[]
Nie ma!
Mam nadzieję że zgodzisz się z faktem że dopisywanie do każdego zbioru niepustego zbioru pustego [] nie ma najmniejszego sensu.
Możesz to robić tylko po co?
Czy w równaniu logicznym ma sens dopisywanie zbioru pustego w ten sposób?
Y=a*b +0 +0 +0 …
W sumie logicznej można sobie dołączyć dowolną ilość zbiorów pustych, ale to jest bez najmniejszego znaczenia zarówno w AK jak i KRZ.
Nie ma to żadnego wpływu na jakość obliczeń, zarówno w AK jak i KRZ.
Cytat:
12.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)
Rozważmy zdanie:
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af
Dla uproszczenia celowo pominięto pozostałe kontynenty
Ogólna definicja spójnika „lub”(+) dla trzech zmiennych:
A.
Y=p+q+r
Y - wystąpi prawda, logika dodatnia bo Y
Y=1 <=> p=1 lub q=1 lub r=1
To samo w rozpisce szczegółowiej na podstawie szczegółowej definicji spójnika „lub”(+)
B.
Y=p+q+r = p*q*r+p*q*~r+p*~q*r+p*~q*~r+~p*q*r+~p*q*~r+~p*~q*r
… a kiedy wystąpi fałsz?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów
C.
~Y=~p*~q*~r
~Y - wystąpi fałsz, logika ujemna bo ~Y
Wyłącznie ta sekwencja iloczynu nie ma prawa pojawić się w równaniu B, pozostałe przypadki muszą być w równaniu B uwzględnione!
Wróćmy do naszego przykładu.
A.
Dowolny kraj leży w Europie, Azji lub Afryce
Y=E+Az+Af
Na mocy definicji spójnika „lub”(+) dla trzech zmiennych zdanie A będzie prawdziwe jeśli:
1: E*Az*Af =Y1
lub
2: E*Az*~AF=Y2
lub
3: E*~Az*Af=Y3
lub
4: E*~Az*~Af=Y4
lub
5: ~E*Az*Af=Y5
lub
6: ~E*Az*~Af=Y6
lub
11. ~E*~Az*Af=Y7
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y8
Zauważmy, że dowolny kraj musi gdzieś leżeć, zatem linia 8 będzie zawsze fałszem dla dowolnego, wylosowanego kraju
Losujemy kraj: Polska
Oczywiście w tym przypadku wyłącznie linia 4 będzie prawdziwa:
4.
Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
Y4 = E*~Az*~Af
Y4=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1 = 1*1*1 =1
Ten punkt odniesienia determinuje:
E=1, ~E=0
~Az=1, Az=0
~Af=1, Af=0
Tabela zero-jedynkowa dla tego przypadku przybierze postać:
Y = E+Az+Af
czyli:
1: E*Az*Af =Y1
1*0* 0 =0
lub
2: E*Az*~AF=Y2
0*0*1=0
lub
3: E*~Az*Af=Y3
0*1*0 =0
lub
Jedyne zdanie prawdziwe:
4: E*~Az*~Af=Y4
1 1 1 =1
lub
5: ~E*Az*Af=Y5
0*0*0 =0
lub
6: ~E*Az*~AF=Y6
0*0*1 =0
lub
7. ~E*~Az*Af=Y7
0*1*0 =0
… a kiedy zdanie A będzie fałszywe ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę argumentów
8. ~E*~Az*~Af= ~Y8
0*1*1 =0
Polska leży wyłącznie na jednym kontynencie, zatem otrzymaliśmy wyżej tabelę zero-jedynkową operatora AND dla zdania wypowiedzianego 4.
Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie wartości logiczne zmiennych są znane, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Dowód:
W przypadku spójnika „lub”(+) tylko i wyłącznie jedno zdanie może być prawdziwe spośród:
2^n-1
różnych zdań.
gdzie:
2^n - dwa do potęgi n
n - ilość zmiennych
Dla trzech zmiennych mamy:
2^n-1 = 2^3-1 = 8-1 = 7
Co jest zgodne z przykładem wyżej.
Z powyższego wynika, że jedynki w spójniku „lub” (zdania 1-7) wyrażają samą możliwość zajścia, że nie są to prawdy twarde, zachodzące zawsze, bez wyjątków.
Losujemy kraj: Rosja
Oczywiście w tym przypadku będzie prawdziwe wyłącznie zdanie 2.
Rosja leży w Europie i leży w Azji i nie leży w Afryce
Y2=E*Az*~Af
Wszystkie pozostałe zdania będą tu fałszywe.
Mózg człowieka genialnie minimalizuje wszelkie funkcje logiczne.
Każde dziecko wypowie zdanie:
Dowolny kraj leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
Y1=E+Az+Af
(w celu uproszczenia ograniczamy liczbę kontynentów)
… ale już dla konkretnego kraju absolutnie nikt nie powie:
Polska leży w Europie lub w Azji lub w Afryce
P=E+Az+Af
bo doskonale wszyscy wiemy gdzie leży Polska.
W zagadkach takie zdanie jest jak najbardziej sensowne, ale przy znajomości rozwiązania jest bez sensu. Informacja precyzyjna po minimalizacji tej funkcji w sposób wyżej pokazany generuje jedynie słuszne zdanie:
Polska leży w Europie i nie leży w Azji i nie leży w Afryce
P = E*~Az*~Af
P=1 <=> E=1 i ~Az=1 i ~Af=1
Zauważmy, że takiego zdania również nikt nie wypowie z powodu znajomości rozwiązania.
W powyższym równaniu prawdy powstałe z negacji fałszu (~Az=1, ~AF=1) są bezwartościowe i każdy normalny człowiek je zignoruje wypowiadając zdanie precyzyjnie.
Polska leży w Europie
P=E
Zauważmy, że przy znajomości rozwiązania uwzględnianie w równaniu prawd powstałych z negacji fałszu jest bez sensu bo takich „prawd” jest nieskończenie wiele.
Przykład:
Polska leży w Europie i Polska to nie rzeka i Polska to nie wąsy dziadka ….
P = E * ~R * ~WD …
Formalnie to zdanie jest prawdziwe, tyle że sensu w tym nie ma.
| fiklit napisał: |
3. Czyli jak rozumiem [1,2,3,4] to jest dla AK ten sam zbiór co [[1,2],[3,4]]? Jeśli tak to AK to jeden wielki badziew. I praktycznie do niczego się nie nadaje. Czy możesz wypisać wszystkie elementy które zawiera zbiór [1,2,3]? W szczególności czy np. [1,2] jest elementem tego zbioru? |
Nie znałem twojej notacji.
Na początku mieliśmy dwa zbiory:
p=[1,2,3,4]
q=[2,3,4,1]
Fakt że zapisałeś to tak:
q=[[1,2],[3,4]]
Zrozumiałem że dokonałeś wyłącznie porządkowania zbioru q, które jest oczywiście bez znaczenia.
Z tego co teraz piszesz wynika, że nie chodziło ci o porządkowanie q, lecz zrobienie z q dwóch niezależnych zbiorów.
q=[r,s]
gdzie:
r=[1,2]
s=[3,4]
q=r+s
Oczywiście:
p ## q ## r ## s
## - różne na mocy definicji
Oczywiście zbiór p nie zawiera się ani w r, ani w s
Doskonale widać, że zbiór p zawiera się w zbiorze q:
q=r+s
Tu oczywiście możesz wypisać elementy zbioru q w tej postaci:
q=[2,3,4,1]
gdzie kolejność elementów nie ma żadnego znaczenia.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 6:27, 26 Lip 2013, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 8:27, 26 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: |
Proste pytanie, mam dwa zbiory P i Q, obliczam ich część wspólną, czy mam gwarancję, że należy ona do obu tych zbiorów czy nie?
|
R = P*Q
Wynik może być:
R = zbiór niepusty (zbiory mają część wspólną)
R = zbiór pusty (dla zbiorów rozłącznych), zbiory nie mają części wspólnej!
Bez znaczenia jest dołączenie do zbioru p i q zbioru pustego.
Zbór pusty oznacza że zbiory NIE MAJĄ części wspólnej!
p=[1.2]
q=[3,4]
p*q = [1,2]*[3,4] =[]
Jaki sens ma taki zapis:
p*q = [1,2,[]]*[3,4,[]] = []
| fiklit napisał: |
Czy mógłbyś zacząć wyrażać się jakoś precyzyjnie bez pieprzenia? Jaki "dogmat w KRZ"? Mylą Ci się chyba pojęcia dogmat##aksjomat. Ale aksjomatem to też nie jest. To jest własność wynikająca z innych aksjomatów i definicji. Wyprowadzenie tej własności masz parę wpisów wcześniej. Dociera do Ciebie cokolwiek?
|
Możesz dołączać do każdego zbioru niepustego zbiór pusty:
p=[1,2,3,4,[]]
q=[1,2,[]]
Gdzie:
[] - zbiór pusty
Oczywiście nie burzy to absolutnie żadnych działań na zbiorach.
Pytanie po co?
| fiklit napisał: |
| Cytat: |
q=[r,s]
gdzie:
r=[1,2]
s=[3,4]
q=r+s |
Czy tu jest pomyłka, czy naprawdę w AK (dla r i s okrślonych jak wyżej) zachodzi: r+s=[r,s]? |
W AK jest tak:
r=[1,2]
s=[3,4]
q = r+s = [1,2]+[3,4] = [1,2,3,4]
To są elementarne działania na zbiorach, w AK nic ponad to nie jest potrzebne.
Z kontekstu wyżej wynika że:
q = r+s = [1,2]+[3,4] = [1,2,3,4] = [r,s]
Ostatni zapis w ogólnym przypadku nie jest dobry:
r+s = [r,s] = [[1,2],[3,4]]
gdy nie znasz zawartości zbiorów r i s.
Z takiego, wyrwanego z kontekstu zapisu rzeczywiście nie wynika co tu jest r a co tu jest s, bo zbiory można przestawiać (suma logiczna jest przemienna) … ale to są kwestie notacji.
Zgoda że to jest niedobre:
r+s = [[1,2],[3,4]]
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 14:55, 26 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: | Rafał, proste pytanie, bo nie wiem jaka jest puenta w powyższym:
Dane: p=[1,2], q=[3,4]
Pytania:
1. czy p+q=[p,q]
2. czy p+q=[1,2,3,4]
3. czy [p,q]=[[1,2],[3,4]] |
Zdecydowanie opcja 2 - ja nic innego nigdy nie potrzebowałem w czasie prac nad AK.
| fiklit napisał: | A 3. ? Tak czy nie?
I jeszcze kilka, bo próbuję zrozumieć - odpowiedz tak lub nie do każdego punktu:
4. [1,2]+[]=[1,2]
5. [1,2]+[]=[1,2,[]]
6. [1,2]=[1,2,[]] |
Opcji 1 i 3 w ogóle nie używam.
3. czy [p,q]=[[1,2],[3,4]]
Nie jest to dobre bo nie wiadomo co tu jest p a co q:
[p,q] = [q,p]
Natomiast na 4,5,6:
Tak, bo zbiór pusty dodany w postaci sumy logicznej możemy dodawać gdziekolwiek, to nie burzy żadnych obliczeń.
Dowolną ilość zbiorów pustych można też dodać do dowolnego zbioru:
[1,2] = [1,2,[]] = [1,2,[],[]] itd do nieskończoności
Poza tym przyjrzyj się tej sztuczce:
Natomiast równania w logice ujemnej opisują wyłącznie obszar FGH123 w naszej tabeli zero-jedynkowej.
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r
D: ~Y=~p*(~q+~r)
Dowód:
FGH123:
~Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r
~Y = ~p*q*~r + ~p*~q(r+~r)
~Y = ~p*q*~r + ~p*~q
~Y = ~p(q*~r+~q)
~Y = ~p*(z)
z=(q*~r) + ~q
~z = (~q+r)*q
~z = ~q*q + r*q
~z = r*q
~z = q*r
z = ~q + ~r
~Y = ~p*(z)
D: ~Y = ~p*(~q + ~r)
Po wymnożeniu zmiennej przez wielomian mamy:
C: ~Y = ~p*~q + ~p*~r
cnd
W algebrze Boole'a dowolną zmienną możesz potraktować jako funkcję logiczną!
Patrz: z
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 14:56, 26 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: |
Dlaczego zbiór pusty dodaje się inaczej niż inne zbiory?
Tzn. czemu w przypadaku zbiorów niepustych bierzemy ZAWARTOŚĆ tych zbiorów i wrzucamy do jednego wora. A w przypadku pustego wrzucamy sam zbiór pusty???
To ile elementów ma taki zbiór??
[1,2] = [1,2,[]] = [1,2,[],[]] itd do nieskończoności
2 czy 3 czy ... czy jest nieskończony?
|
Dodaje się inaczej bo wartość logiczna zbioru pustego jest zdeterminowana: =0
Y=a+b*c +[]+[]… - to jest zbiór 3 elementowy, zbiory puste pomijamy
Y=a+b*c + 0 + 0 - to jest zbiór 3 elementowy bo 0 się nie liczą
Y=a+b*c - to jest zbiór trzyelementowy
Analogia:
A: Moja pensja wynosi: 3000zł
B: Moja pensja wynosi: 0001000zł
Człowiek A mówi:
Moja pensja to liczba czterocyfrowa
Człowiek B mówi:
Moja pensja to liczba 7 cyfrowa
Człowiek B nie zostanie poprawnie zrozumiany przez innych.
| fiklit napisał: |
Wg mnie [] nie jest elementem [1,2]
czyli [1,2] # [1,2,[]]
Natomiast z "[1,2,[]] = [1,2,[],[]] itd do nieskończoności" zgadzam się i jest to dla mnie zbiór 3 elementowy. tak jak np. [1,2,3,3,3,3,3] =[1,2,3] i jest 3 elementowy. |
W ostatnim przykładzie według KRZ dowolny zbiór niepusty zawiera w sobie zbiór pusty:
Dlaczego zatem ostatni przykład nie jest zbiorem 4-elementowym?
[1,2,3,[]]?
Pomyślmy logicznie (to są moje dziewicze przemyślenia):
Stała symboliczna to symboliczna nazwa stałej np. dla powyższego przykładu:
a=1, b=2, c=3
Przejdźmy z ostatnim przykładem na stałe symboliczne, myślę że będzie łatwiej:
P=[a,b,c,c,c]
Powyższy zbiór jest tożsamy z:
P= a+b+c+c+c
Prawo algebry Boole’a:
c+c+c=c
stąd:
P=a+b+c
W ogólnym przypadku: a,b,c - to symboliczne nazwy zbiorów o dowolnej liczbie elementów
Zapis tożsamy:
P=[a,b,c]
Dowód:
Załóżmy ze zbiory a,b,c są takie:
a=[1,2]
b=[1,2,3,4]
c=[5,6]
P = a+b+c = [1,2,3,4,5,6]
P=[a,b,c]
P=[[1,2],[1,2,3,4],[5,6]] = [1,2,1,2,3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6]
Stąd mamy:
P=a+b+c = [a,b,c] = [1,2,3,4,5,6]
cnd
Twój ostatni przykład:
A=[1,2]
B=[1,2,[]]
Na mocy teorii wyżej zbiór B możesz zapisać jako:
B =[1]+[2]+[] = [1,2]+[] = [1,2]
bo wartość logiczna:
[]=0
Prawo algebry Boole’a:
0+x=x
Zatem zbiory A i B są tożsame:
A=B=[1,2]
Myślę że łatwiej będzie zrozumieć po przejściu na stałe symboliczne:
p=1, q=2
Twój przykład:
A=[p,q]
B=[p,q,[]] = p+q+[] = [p,q] + [] = [p,q] = [q,p]
bo wartość logiczna:
[] =0
prawo algebry Boole’a:
0+x=x
stąd:
A=B=[p,q]=[q,p]
gdzie:
p,q - to w ogólnym przypadku dowolne zbiory
Wniosek:
W logice nie ma sensu operować stałymi typu 1,2,3 bo dla ucznia będzie to kompletnie nieczytelne.
Zdecydowanie powinno się uczyć operacji na stałych symbolicznych:
a=1, b=2, c=3
W ogólnym przypadku pod symbole a,b,c można podstawić dowolne zbiory.
Tylko głupek w programie komputerowym zapisuje istotne stałe (które w przyszłości mogą się zmienić) w postaci liczb binarnych.
Programista głupek:
….
LD A,0111B
…
LD B,0111B
….
Takich wstawek w dużym programie może być np. 20.
Normalny programista to samo robi tak:
STALA EQU 0111B
….
LD A,STALA
….
LD B,STALA
Załóżmy teraz że trzeba zmienić wartość stałej na 0.
Programista głupek musi szukać wszystkich rozkazów gdzie została użyta liczba 0111B i zamienić ją na 0.
Programista normalny zmienia wyłącznie deklarację stałej:
STALA EQU 0
Resztę wykonuje translator asemblera.
Zauważmy, że w tym przypadku ta STALA to de facto zmienna, którą w każdej chwili możemy w programie zmienić.
Podsumowując:
Beznadziejnie głupie jest uczenie logiki na cyfrach (liczbach bezwzględnych).
Jaki sens ma pisanie:
1+1+3 = 1+3
czy nie lepiej robić to samo na stałych symbolicznych:
a+a+b = a+b
gdzie pod a i b można sobie podstawić co dusza zapragnie, czyli dowolne zbiory.
Oczywiście:
+ = „lub”
Uwaga!
Albo nawet dowolne funkcje logiczne np.
a=p+q*~r
To bez żadnego znaczenia.
Pokazuje to kierunek w którym powinno pójść nauczanie logiki w Ziemskich szkołach.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 15:11, 26 Lip 2013, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 17:08, 26 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: | | Cytat: | W ostatnim przykładzie według KRZ dowolny zbiór niepusty zawiera w sobie zbiór pusty:
Dlaczego zatem ostatni przykład nie jest zbiorem 4-elementowym?
[1,2,3,[]]? |
I tu wracamy do podstawowych pytań:
1. Czy AK rozróżnia pojęcia bycia elementem i bycia podzbiorem?
2. Co znaczy zawiera i zawiera się używając terminów z poprzedniego pytania?
3. Czy Ty rozróżniasz bycie elementem od bycia podzbiorem w KRZ?
W tradycyjnej matematyce:
[1,2,3,[]] jest zbiore 4 elementowym
[1,2,3] jest 3 elementowy
[1,2,3,[]] # [1,2,3]
Dlaczego to są różne zbiory? Bo [] jest elementem pierwszego, a nie jest elementem drugiego.
Czy [] jest podzbiorem obu tych zbiorów? Tak. [] jest podzbiorem każdego zbioru. |
Zauważ, że z tą tradycyjną matematyką jest coś nie tak.
| fiklit napisał: |
Wg mnie [] nie jest elementem [1,2]
czyli [1,2] # [1,2,[]]
Natomiast z "[1,2,[]] = [1,2,[],[]] itd do nieskończoności" zgadzam się i jest to dla mnie zbiór 3 elementowy. tak jak np. [1,2,3,3,3,3,3] =[1,2,3] i jest 3 elementowy. |
I.
Z twoim ostatnim przykładem przechodzę na zapis symboliczny:
P1 = [a,b,c,c,c,c,c] = a+b+c+c+c+c+c
Prawo algebry Boole’a:
c+c=c
Zwróć uwagę że w minimalizacji tego zbioru korzystasz z prawa algebry Boole’a, zatem zmienne a,b,c muszą mieć wartości logiczne 0 albo 1!
Uwaga:
Wynika z tego że zbiory mają wartość logiczną!
Stąd:
P2 = a+b+c = [a,b,c]
Dlaczego tu skorzystałeś z prawa algebry Boole’a i zredukowałeś zbiór P1 do P2?
Oczywiście wyszło ci poprawnie: zbiór 3-elementowy
II.
Dlaczego nie postąpiłeś analogicznie w przypadku zbioru pustego?
P1 = [a,b,c,[]]
P2= a+b+c+[] = a+b+c +0 = a+b+c = [a,b,c]
Bo prawo algebry Boole’a:
0+x=x
Ten zbiór P2 też jest zbiorem 3-elementowym.
Dlaczego szukałeś funkcji minimalnej w przypadku I a nie zrobiłeś tego w przypadku II?
P.S.
Zauważ, że dowód iz zbiór pusty ma wartość logiczną 0 jest trywialny:
A=[1,2]
B=[3,4]
Jaka jest wartość logiczna iloczynu logicznego zbiorów:
A*B =?
Masz tylko dwie możliwe odpowiedzi:
0 albo 1
Wytłuszczonym drukiem masz wyżej dowód iż zbiory mają wartość logiczną 0 albo 1.
W przełożeniu na zbiory:
[] =0 - zbiór pusty
[a]=1 - zbiór niepusty
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 17:17, 26 Lip 2013, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 2:41, 27 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: |
"P1 = [a,b,c,c,c,c,c] = a+b+c+c+c+c+c" a cóż to za dziwo?
przypadek 1:
a=1, b=2, c=3
[1,2,3,3,3,3,3]=1+2+3+3+3+3+3?
przypadek 2:
a=[1],b=[2],c=[3]
[[1],[2],[3],[3],[3],[3],[3]] =?= [1]+[2]+[3]+[3]+[3]+[3]+[3]=[1,2,3]
Diagnoza: Zupełnie nie widzisz różnicy pomiędzy zbiorem będącym elementem zbioru, a zbiorem będącym podzbiorem zbioru.
Jak masz dwie listy jakiś przedmiotów L1=[a,b,c], L2=[c,x,z], to możesz je połączyć w jedną listę L1+L2=[a,b,c,x,z], albo wrzucić do pudełka P=[L1,L2]=[[a,b,c],[c,x,z]]. Dla Ciebie widzę pudełko z dwoma listami to to samo co połączona lista. |
| podpis napisał: |
8.5 Definicja operatora OR w zbiorach
Definicja operatora OR w zbiorach:
Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p+q
~Y=~p*~q
Definicja operatora OR w zbiorach.
Zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=p+q
~Y = ~(p+q)
Zdefiniujmy dwa zbiory spełniające definicję operatora OR:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Zdefiniujmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,7,8]
Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2,3,4]+[5,6,7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1 = D
p*~p=[1,2,3,4]*[5,6,7,8]=0
1 - zbiór niepusty
0 - zbiór pusty
Zadanie:
Sprawdzić dziedzinę dla q
Sprawdzenie definicji operatora OR:
A: Y=p+q=[1,2,3,4]+[3,4,5,6]=[1,2,3,4,5,6] =1
B: ~Y=~(p+q) = ~[1,2,3,4,5,6] = [7,8] =1
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
Dziedzina:
Y+~Y = [1,2,3,4,5,6]+[7,8] = [1,2,3,4,5,6,7,8] =1
Równoważny diagram operatora OR:
Y=p*q+p*~q+~p*q
~Y=~p*~q
Porównując diagram 1 i 2 mamy:
Y = Ya+Yb+Yc
stąd:
Y=p+q = p*q+p*~q + ~p*q
~Y=~(p+q) = ~p*~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Stąd mamy prawo De Morgana dla operatora OR:
Y=p+q = ~(~p*~q)
Zauważmy że zbiór Y=p+q jest dokładnie tym samym zbiorem co zbiór Y=~(~p*~q), zatem prawo De Morgana jest ewidentną tożsamością.
Oczywiście każda tożsamość to automatyczna równoważność, stąd prawo De Morgana można zapisać tak:
(p+q) <=>~(~p*~q)
Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
Sprawdzamy wszystkie możliwe przeczenia p i q w zbiorach w korelacji z naszym diagramem:
A: Ya = p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4] =1 - zbiór niepusty
B: Yb = p*~q = [1,2,3,4]*[1,2,7,8] = [1,2] =1 - zbiór niepusty
C: Yc = ~p*q = [5,6,7,8]*[3,4,5,6] = [5,6] =1 - zbiór niepusty
D: ~Y=~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8] = [7,8] =1 - zbiór niepusty
Sprawdzamy równanie wynikłe z diagramu operatora OR:
Y = Ya+Yb+Yc
Y=p*q+p*~q+~p*q = [3,4]+[1,2]+[5,6]=[1,2,3,4,5,6]=1
~Y=~p*~q = [5,6,7,8]*[1,2,7,8]=[7,8]=1
|
Fiklicie, namotałeś mi specyficzną techniką zapisu, moim zdaniem kompletnie bezużyteczną, do niczego nie przydatną.
Wyżej masz kompletną definicję operatora OR z wszelkimi szczegółami, kompletnie nieznaną Ziemskim matematykom tzn. nigdzie nie znajdziesz poprawnych diagramów dla operatora OR jak wyżej.
Wytłumacz mi teraz czemu ma służyć poniższa notacja, jaki jest jej sens, bo nie widzę żadnego.
Y = Ya+ Yb + Yc = {[p*q], [p*~q],[~p*q]} = {[3,4],[1,2],[5,6]}
Oczywiście że Ya, Yb, Yc są tu podzbiorami Y.
Zachodzi tożsamość:
Ya=p*q
etc
Elementami zbioru Ya są:
[3,4]
Problem dla Ciebie:
Y = Ya+ Yb + Yc = {[p*q], [p*~q],[p*~q]} = {[3,4],[1,2],[5,6]}
Wyżej masz wszystko ładnie poukładane i odczytujesz:
Yc = p*~q = [5,6]
Jednak matematycznie elementy w każdym ze zbiorów rozdzielonych znakami „=” są przemienne, zatem powyższy zapis jest równoważny poniższemu:
Y = Yb+ Ya + Yc = {[p*~q], [p*q],[p*~q]} = {[3,4],[5,6],[1,2]}
Masz teraz wyłącznie ostatni zapis!
Proszę o odczytanie czemu jest równe:
Y = Yc =??!!
Proponuję zapomnieć o tej notacji bo jest kompletnie bez sensu!
Jak widzisz jakikolwiek sens to napisz, tzn. wytłumacz jego sens na moim przykładzie wyżej.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 2:42, 27 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: | Figura geometryczna to jakiś zbiór punktów płaszczyzny.
Narysowałem trzy kółka, robię z nich zbiór. Zbiór okręgów.
Chciałbym żeby on mógł pozostać zbiorem okręgów, a nie stał się zbiorem punktów z tych okręgów. |
… ale nie wytłumaczyłeś tego na moim przykładzie.
Moje rozwiązanie na moim przykładzie:
Poprawny i zawsze jednoznaczny zapis w twojej notacji byłby taki:
Y ={(Ya=p*q=[3,4]), (Yb=p*~q=[1,2]), (Yc=~p*q=[5,6])}
Oczywiście tu elementy w nawiasach {} można przestawiać nie tracąc na jednoznaczności.
Tylko czemu ma służyć ta notacja?
Jest oczywistym że tu Yb zawsze pozostaje Yb, niezależnie od tego na której pozycji zapiszemy Yb.
Po co zapisywać jak wyżej skoro jak niżej jest kapitalnie jednoznaczne:
Y=Ya+Yb+Yc
Ya=p*q=[3,4]
Yb=p*~q=[1,2]
Yc=p*~q=[5,6]
Zauważ, że w twoim zapisie klamrowym nie wiadomo jakie zachodzą matematyczne związki między Y a Ya,Yb,Yc
Natomiast w normalnym zapisie matematycznym wiemy wszystko.
Poza tym zapis symboliczny daje się łatwo przekształcać:
p=[1,2,3,4]
q=[3,4,5,6]
Przyjmujemy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6,7,8]
Stąd:
~p=[5,6,7,8]
~q=[1,2,,7,8]
Y = p+q = [1,2,3,4,5,6,7,8]
Z diagramu w zbiorach wynika:
Y = p+q = Ya+Yb+Yc = p*q +p*~q +~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p + ~p*q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p*~q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej
Y = p+q
cnd
Stąd mamy:
Y = p+q = Ya+Yb+Yc = p*q+p*~q+~p*q = [3,4]+[1,2]+[5,6] = [1,2,3,4,5,6] =1
Myślę że mieszamy tu dwie rzeczy:
1.
Ja mówię o zastosowaniu zbiorów do demonstracji działania algebry Boole’a
2.
Ty mówisz o zbiorach gdzie to cie w ogóle nie interesuje, czyli coś w stylu naszych czworokątów na temat których zapisaliśmy kiedyś co najmniej z kilkanaście stron.
Pamiętasz definicje czworokątów w algebrze Kubusia?
[link widoczny dla zalogowanych]
Algebra Kubusia:
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Grupa prostokątów ## kwadrat ## prostokąt
KR ## KR*BR ## KR*~BR
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Grupa prostokątów (o definicji KR) nie definiuje żadnego konkretnego czworokąta!
cnd
Logika Ziemian:
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Prostokąt ## kwadrat ## prostokąt nie będący kwadratem
KR ## KR*BR ## PNKW=KR*~BR
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Oczywiście nie da się opisać trzech różnych na mocy definicji zbiorów przy pomocy dwóch pojęć, prostokąta i kwadratu, jak to jest w logice Ziemian.
Jest oczywistym że zbiory:
KW=KR*BR
PNKW=KR*~BR
są rozłączne oraz że suma logiczna tych zbiorów tworzy GRUPĘ czworokątów zwanych prostokątami.
GP = KR*BR + KR*~BR = KR*(BR+~BR) = KR*1 =KR
Z powyższego wynika że w logice Ziemian zachodzi:
Prostokąt = GRUPA czworokątów zwanych prostokątami
… czyli Ziemianie mają dwie tożsame nazwy na określenie tego samego pojęcia:
GRUPA czworokątów zwanych prostokątami
Nie mają natomiast precyzyjnego określenia prostokąta w sensie ścisłym (równoważnościowym):
PNKW = KR*~BR
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 4:23, 27 Lip 2013, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 2:46, 27 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
Zauważ Fiklicie że znając definicję operatorów OR i AND w zbiorach możemy dowodzić dowolne prawa algebry Boole’a bezpośrednio w zbiorach, gdzie zawartość tych zbiorów jest KOMPLETNIE nieistotna!
Definicje operatorów OR i AND:
Zbiory mają część wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim
| podpis napisał: |
8.7 Funkcja logiczna n-argumentowa w zbiorach
Ogólna definicja operatorów OR i AND w zbiorach:
Wszystkie rozważane zbiory mają części wspólne i żaden zbiór nie zawiera się w drugim.
Udowodnijmy następujące prawa Nowej Teorii Zbiorów:
Z1: p*q+p*~q = p
Z2: p+~p*q*r = p+q*r
Dowód praw Z1 i Z2 w zbiorach ilustruje poniższy diagram.
Prawa Nowej Teorii zbiorów:
I.
Z1: p*q + p*~q =p
A: Zbiór p*q to kolor żółty plus szary.
B: Zbiór p*~q to kolor zielony
Suma logiczna A i B to cały zbiór p
cnd
II.
Z2: p+~p*q*r = p+q*r
Lewa strona tożsamości:
Z2L: p+~p*q*r
A: Zbiór p to kolory zielony plus żółty plus szary
B: Zbiór ~p*q*r to kolor niebieski
Zbiór Z2L to cały zbiór p plus zbiór niebieski
Prawa strona tożsamości:
Z2P: p+q*r
C: Zbiór p to kolory zielony plus żółty plus szary
D: Zbiór q*r to kolory szary plus niebieski
Zbiór Z2P to cały zbiór p plus zbiór niebieski
stąd:
Z2L = Z2P
cnd
Dowód praw Z1 i Z2 w równaniach algebry Boole’a:
Z1:
Y = p*q+ p*~q
Y = p*(q+~q)
Y = p
cnd
Z2:
Y = p+~p*(q*r)
~Y = ~p*[p+~(q*r)]
~Y = ~p*p + ~p*~(q*r)
~Y = ~p*~(q*r)
Y = p+q*r
cnd
Jak widzimy, prawa algebry Boole’a możemy dowodzić za pomocą:
A: Zbiorów
B: Równań algebry Boole’a
B: Tabel zero-jedynkowych
Zadanie:
Udowodnić prawa Z1 i Z2 przy pomocy tabel zero-jedynkowych
|
Myślę, że to jest poprawna teoria zbiorów dla potrzeb algebry Boole'a, czyli dowodzimy wszelkich praw algebry Boole'a bezpośrednio w zbiorach, gdzie zawartość zbiorów nas kompletnie nie interesuje.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 4:46, 27 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-10025.html#196676
| Adam Barycki napisał: | Panie Kubusiu, skoro dopiero przed chwilą udowodnił Pan wewnętrzną sprzeczność KRZ, to znaczy, że w sposób niesprzeczny wewnętrznie możemy stwierdzić, iż przez ostatnie siedem lat dyskwalifikował Pan KRZ magicznymi zaklęciami.
Adam Barycki |
Panie Barycki,
Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ jako pierwsza osoba na Ziemi wykonała Pani Niepoprawna, która o mało co nie pękła ze śmiechu widząc fajtłapę KRZ bredzącego co następuje:
A.
Trzepot skrzydeł motyla w Amazonii może być przyczyną paniki na giełdzie w Londynie
KRZ dowodzi to tak:
Kameleon widząc motyla trzepiącego skrzydłami złapał go swoim lepkim językiem i połknął, ale akurat trafił na trującego motyla i dostał sraczki. Ślimak, który uwielbia wszelkie odchody połknął je i dostał oczopląsu, zauważyła to papuga która połknęła ślimaka i zwariowała krzycząc, wkrótce będzie krach na giełdzie w Londynie. Usłyszał to przechodzący miliarder, akurat będący na polowaniu na słonie w puszczy Amazońskiej i tak się przestraszył, że natychmiast wycofał wszystkie swoje aktywa z giełdy w Londynie. Dalej to już prosty efekt domina, w ten sposób doszło do historycznego krachu na giełdzie w Londynie, co pokazuje historia.
Dowód ten potwierdziła Pani Luzik szukając odpowiedzi na pytanie czy jest kobietą, gdy dupek KRZ stwierdził, że to zależy od tego czy śfinie latają.
B.
Jeśli śfinie latają to Pani Luzik jest kobietą
Pamięta Pan uradowaną Panią Luzik, która widząc Pan uczepionego żyrandola z przyprawionym skrzydełkami powiedziała:
"a jednak jestem kobietą"
Dopiero jako trzeci w kolejności wewnętrzną sprzeczność KRZ udowodnił kilka dni temu Kubuś, tak wiec Nobel należy się bez wątpienia Pani Niepoprawnej i Pani Luzik.
| Kubuś napisał: |
1.1 Trzęsienie ziemi w logice
Każda rewolucja powinna zaczynać się od trzęsienia ziemi, czyli zniszczenia starego porządku, by na gruzach budować nowe.
Dowód wewnętrznej sprzeczności systemu logicznego zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Twierdzenie o prawdziwości zdania p=>q:
p=>q
Zdanie p=>q jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.
Stąd:
W przełożeniu na teorię zbiorów mamy:
p=>q = p*q =p
Wtedy i tylko wtedy zdanie p=>q jest prawdziwe.
Doskonale widać że zbiór ~p nie ma nic do prawdziwości zdania p=>q.
W całym obszarze matematyki nikt nie znajdzie kontrprzykładu obalającego twierdzenie o prawdziwości zdania p=>q.
czyli:
Nie istnieje ani jedno zdanie prawdziwe p=>q (np. twierdzenie matematyczne) w którym nie obowiązywałoby to równanie w zbiorach:
p=>q = p*q =p
Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ:
Załóżmy, że zbiór p jest zbiorem pustym:
p=[]
Na podstawie powyższego twierdzenia mamy:
p=>q = p*q = []*q = []
Zauważmy, że w tym przypadku następnik jest kompletnie bez znaczenia. Takie zdanie jest fałszywe bo wynik iloczynu logicznego poprzednika i następnika w zbiorach jest zbiorem pustym, czyli całe zdanie jest fałszywe.
Twierdzenie o prawdziwości zdania p=>q jest dowodem wewnętrznej sprzeczności całego KRZ. Zauważmy bowiem, że jeśli w poprzedniku mamy zbiór pusty to zdanie p=>q jest fałszywe bez względu na zawartość następnika co jest w jawnej sprzeczności z tym, co twierdzi KRZ: „z fałszu wynika cokolwiek”
| fiklit napisał: |
Jakim cudem wykazujesz coś o KRZ nie używając pojęć z KRZ? Jakie zbiory w poprzedniku i następniku? To są brednie. Nie ma czegoś takiego w KRZ.
|
To tylko tak się KRZ-owi wydaje. Bardzo proszę o podanie jednego-jedynego kontrprzykładu, obalającego twierdzenie o prawdziwości zdania p=>q.
|
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 11:39, 27 Lip 2013, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 6:01, 27 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
Aktualna wersja dowodu wewnętrznej sprzeczności KRZ
1.1 Trzęsienie ziemi w logice
Każda rewolucja powinna zaczynać się od trzęsienia ziemi, czyli zniszczenia starego porządku, by na gruzach budować nowe.
Dowód wewnętrznej sprzeczności systemu logicznego zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Twierdzenie o prawdziwości zdania p=>q:
p=>q
Zdanie p=>q jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.
Stąd:
W przełożeniu na teorię zbiorów mamy:
p=>q = p*q =p
Wtedy i tylko wtedy zdanie p=>q jest prawdziwe.
Doskonale widać że zbiór ~p nie ma nic do prawdziwości zdania p=>q.
Dowód:
Zdanie p=>q wyrażone kwantyfikatorem dużym przybiera postać:
/\x p(x) => q(x)
Dla każdego elementu x, jeśli należy on do zbioru p(x) to na pewno => należy do zbioru q(x).
Aby obalić to twierdzenie musimy znaleźć kontrprzykład.
Kontrprzykład to znalezienie jednego elementu należącego do zbioru p(x) i nie należącego do zbioru q(x).
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
p~~>~q =p*~q =1
gdzie:
~~> - wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i ~q
Oczywiście to jest sprzeczne z definicją zdania p=>q wyrażonego kwantyfikatorem dużym, zatem nie mamy żadnych szans na znalezienie kontrprzykładu.
cnd
Powyższy dowód jest poprawny zarówno w KRZ jak i AK, bowiem zachodzi tożsamość matematyczna kwantyfikatorów dużych w obu tych systemach co za chwilę udowodnimy.
Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ:
Załóżmy, że zbiór p jest zbiorem pustym:
p=[]
Na podstawie twierdzenia o prawdziwości zdania p=>q mamy:
p=>q = p*q = []*q = []
Zauważmy, że w tym przypadku następnik jest kompletnie bez znaczenia. Takie zdanie jest fałszywe bo wynik iloczynu logicznego poprzednika i następnika w zbiorach jest zbiorem pustym, czyli całe zdanie jest fałszywe.
Twierdzenie o prawdziwości zdania p=>q jest dowodem wewnętrznej sprzeczności całego KRZ. Zauważmy bowiem, że jeśli w poprzedniku mamy zbiór pusty (p=[]) to zdanie p=>q jest fałszywe bez względu na zawartość następnika co jest w jawnej sprzeczności z tym, co twierdzi KRZ: „z fałszu wynika cokolwiek”
cnd
Dlaczego KRZ działa?
KRZ działa bo zachodzi tożsamość matematyczna kwantyfikatorów dużego i małego w AK i KRZ. Definicje kwantyfikatorów małych w obu systemach są identyczne, istotna różnica jest w kwantyfikatorze dużym.
Definicja kwantyfikatora dużego w AK i KRZ:
/\x p(x) => q(x)
Dla każdego elementu x, jeśli należy on do zbioru p(x) to na pewno => należy do zbioru q(x).
KRZ iteruje tu po wszystkich obiektach p(x) i ~p(x), natomiast w algebrze Kubusia iterujemy wyłącznie po obiektach p(x).
Twierdzenie o tożsamości kwantyfikatorów:
Kwantyfikator duży z KRZ = kwantyfikator duży w AK
Dowód:
Matematycznie kwantyfikator duży z AK jest tożsamy z kwantyfikatorem dużym z KRZ bowiem oba te kwantyfikatory wypluwają identyczne rozstrzygnięcia o prawdziwości/fałszywości zdania p=>q.
Zauważmy, że w KRZ, w dowodzie prawdziwości zdania p=>q możemy zignorować wszelkie zdania w których poprzednik jest fałszem (p=0), bowiem dla p=0 forma zdaniowa zwróci nam prawdę niezależnie od wartości logicznej następnika. Takie zdania możemy natychmiast wyrzucać do kosza bo nie mają one żadnego wpływu na prawdziwość/fałszywość zdania p=>q.
Jeśli z góry wiemy iż dla p=0 zawsze dostaniemy prawdę bez wzglądu na wartość logiczną następnika q, to bez sensu jest „pytać” formę zdaniową o prawdziwość/fałszywość takiego zdania.
Wniosek:
Zachodzi matematyczna tożsamość:
Kwantyfikator duży z KRZ = kwantyfikator duży w AK
cnd
Twierdzenie o matematycznym żółtodziobie:
Matematyk, który rozumie jak działa kwantyfikator duży w KRZ i mimo wszystko iteruje po obiektach ~p(x) w celu udowodnienia prawdziwości zdania p=>q jest matematycznym żółtodziobem.
Dowód wyżej.
Przykład:
Weźmy klasyczną implikację prostą prawdziwą.
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno=> jest podzielna przez 2
P8=>P2
Zdanie tożsame zapisane kwantyfikatorowo:
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego x jeśli x należy do zbioru p(x) to na pewno => należy do zbioru q(x)
Nasz przykład:
/\x P8(x) =>P2(x)
Dla każdego x jeśli x należy do zbioru P8 to na pewno => należy do zbioru P2
Aby obalić to twierdzenie z reguły szukamy kontrprzykładu, bo to najprostsze.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
P8~~>~P2 =P8*~P2 =0
Szukamy jednej liczby należącej do zbioru P8 i nie należącej do zbioru P2
Oczywiście tu kontrprzykładu nie znajdziemy co oznacza, że zbiór P8 zawiera się w P2.
W ten sposób wyskoczyła nam poprawna definicja znaczka => w zbiorach:
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Stąd mamy równanie prawdziwości zdania P8=>P2:
P8=>P2 = P8*P2 = P8
Zauważmy że liczby niepodzielne przez 8 (~P8 ) nie maja NIC do prawdziwości zdania P8=>P2.
W definicji znaczka => istotne jest aby zbiór P8 zawierał się w zbiorze P2, wszystko inne jest bez znaczenia.
Stąd mamy kluczową definicję o prawdziwości zdania p=>q.
Zdanie p=>q jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi poniższe równanie w zbiorach:
p=>q = p*q =p
Zbiór ~p nas kompletnie nie interesuje bo nie ma nic do prawdziwości zdania p=>q
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 11:53, 29 Lip 2013, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 7:35, 29 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: | Ale czy ja się pytałem o jakieś dowodzenie, operatory OR i AND, zdania? Nie.
Chciałem poznać pewnie właściwości zbiorów wg. AK czy NTZ czy jak tam się to nazywa.
Wiedzę, że nie potrafisz tego wytłumaczyć. I ciągle widzę, że AK jest teorią sprzeczną. Czyli bezużyteczną do codziennych zastosowań.
Ad. ostatni post:  dobre. Tylko jest jeden problem, obalasz Swoje Wyobrażenie o KRZ, które z KRZ ma niewiele wspólnego. Po prostu nie rozumiesz tego.
"p=>q
Zdanie p=>q jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy" - tu jeszcze może jesteś w KRZ
" zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>."
tu już wylatujesz z KRZ i piszesz o jakimś swoim tworze. "zbiór" - jeśli p=>q jest zdaniem to i p i q są zdaniami nie zbiorami. "wektor" - WTF?
"p=>q = p*q =p" - na pewno nie w KRZ (bo p=>q = ~p+q # p*q)
Więc nie truj, że obalasz coś w KRZ. OK? |
KRZ sprowadza absolutnie wszystko do spójników „i”(*) i „lub”(+).
Dlaczego istnieje prawo eliminacji implikacji:
p=>q = ~p+q
… a nie istnieje prawo eliminacji równoważności?
p<=>q = p*q + ~p*~q
Jeśli istnieje to proszę o znalezienie.
Czy twoim zdaniem zdanie:
A.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = TP*SK + ~TP*~SK
Jest tożsame ze zdaniem wynikającym z prawa eliminacji równoważności?
Załóżmy że widzisz wyłącznie to:
Y = TP*SK + ~TP*~SK
Odczytujemy:
Zdanie jest prawdziwe (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy trójkąt jest prostokątny i zachodzi suma kwadratów lub (+) nie jest prostokątny i nie zachodzi suma kwadratów
Skoro to ma być tożsame twierdzenie Pitagorasa to proszę o znalezienie tej wersji w Wikipedii.
Problem ze spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest omówiony w podpisie.
Na początek cytuję prawidłową interpretacją operatora w logice.
Chciałbym abyś to skomentował i napisał czego ewentualnie nie rozumiesz?
9.6 Budowa tabeli prawdy w algebrze Kubusia
Tabela prawdy to szczegółowy opis matematyczny wypowiedzianego zdania.
Zobaczmy to na przykładach.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Po stronie poprzednika mamy dwa zbiory niepuste:
P = zbiór jednoelementowy „pies” (pies)
~P - zbiór „nie psów” (wszystkie inne zwierzaki)
Dziedzina:
Zbiór wszystkich zwierząt
Po stronie następnika mamy dwa zbiory niepuste:
4L - zbiór zwierząt z czteroma łapami (słoń, koń ..)
~4L - zbiór zwierząt nie mających 4 łap (kura, mrówka ..)
Dziedzina:
Zbiór wszystkich zwierząt
Logika w algebrze Kubusia to relacje między zbiorami
Wyznaczenie wszystkich możliwych relacji między zbiorami wyżej:
A: P=>4L = P*4L = P =1 bo pies
B: P~~>~4L = P*~4L = 0 - zbiory rozłączne
C: ~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L =1 bo kura
D: ~P~~>4L = ~P*4L =1 bo słoń
Definicja zdania w algebrze Kubusia:
Zdanie to funkcja logiczna zbiorów
Na wejściu funkcji logicznej mamy konkretne zbiory niepuste, ich wzajemne relacje wyznaczają wartość logiczną zdań A, B, C i D.
Dla naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy znaleźć jeden element wspólny zbiorów p i q:
1 - zbiory p i q mają część wspólną, zdanie prawdziwe
0 - zbiory p i q są rozłączne, zdanie fałszywe
Oczywiście w spójnikach => (warunek wystarczający) i ~> (warunek konieczny) nie wystarczy znaleźć jednego elementu wspólnego.
Definicja znaczka => (warunek wystarczający):
=> - zbiór na podstawie wektora musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”)
~~> - zbiór na podstawie wektora musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora
KONIEC!
Te trzy definicje to fundament nowej teorii zbiorów i algebry Kubusia.
Weźmy teraz nasze zdanie w tabeli zero-jedynkowej:
| Kod: |
P 4L P=>4L P 4L Yx
A: 1 1 =1 | P=> 4L = P* 4L =1* 1 =1
B: 1 0 =0 | P~~>~4L= P*~4L =1* 1 =0
C: 0 0 =1 |~P~>~4L =~P*~4L =1* 1 =1
D: 0 1 =1 |~P~~>4L =~P* 4L =1* 1 =1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
|
Oczywistym jest że w linii C zbiory ~P i ~4L są niepuste.
Więc co tu robią zera (C12) po stronie wejścia p i q?
Czy coś jest nie tak?
Oczywiście wszystko jest w porządku, bo jak operujemy na zbiorach to po stronie wejścia mamy same jedynki a wynika to z faktu, iż wszystkie zmienne (zbiory) sprowadzamy do jedynek.
Tabela „zero-jedynkowa” dla zbiorów po stronie wejścia p i q to obszar ABCD89 a nie obszar ABCD12.
Dlaczego ostatnią kolumnę opisano Yx?
Bo wartości logiczne w kolumnie Yx wyznaczają funkcje cząstkowe w poszczególnych liniach.
Gdybyśmy zapisali:
Yx = P=>4L
To byłby to poprawny opis wyłącznie pierwszej linii bo wyłącznie w tej linii mamy spełniony warunek wystarczający w zbiorach =>.
STOP!
Wszystko co wyżej jest prawdą, jednak kolumna Yx musi być opisana zdaniem:
Yx = P=>4L
Co oznacza opis:
P=>4L
w nagłówku kolumny Yx
Zapis:
P=>4L
wyznacza punkt odniesienia, zdanie wypowiedziane przez człowieka i nic więcej.
Podsumowując:
Wartość logiczna zdania w linii B:
B: P~~>~4L = P*~4L =0
To nie jest wartość logiczna zdania: A: P=>4L (linia A)
… ale kompletnie innego zdania!
Tego zdania:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L =0
Zbiory:
P~~>~4L = P*~4L =1*1 =0
Wartość logiczna zdania jest równa 0 bo zbiory P i ~4L są rozłączne.
Natomiast zdanie A brzmi w ten sposób:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1 bo pies
Zbiory:
P=>4L = P*4L =P =1
Uwaga!
Dokładnie to samo mamy we wszystkich operatorach logicznych:
OR, AND, =>, ~>, <=>, <=>
Weźmy przykładowe zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Po stronie wejścia mamy dwa możliwe stany w parametrze K.
K=1 - jutro pójdę do kina
~K=1 - jutro nie pójdę do kina
Oraz dwa możliwe stany w parametrze T.
T=1 - juro pójdę do teatru
~T=1 - jutro nie pójdę do teatru
Wspólna dziedzina:
Wszystkie możliwe sytuacje na symbolicznych stanach wyżej
Tabela zero-jedynkowa:
| Kod: |
K T Y=K+T K T Y=K+T | ~K ~T ~Y=~K*~T |
A: 1 1 =1 | Ya = K* T =1* 1 =1 | 0 0 =0 |
B: 1 0 =1 | Yb = K*~T =1* 1 =1 | 0 1 =0 |
C: 0 1 =1 | Yc =~K* T =1* 1 =1 | 1 0 =0 |
D: 0 0 =0 | | 1 1 =1 |~Yd=~K*~T
1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c
|
Symboliczna tabela „zero-jedynkowa” w zbiorach (stanach) to obszar ABC78 i Dab a nie obszar ABCD12.
Oczywiście wszystkie stany na wejściach p i q mogą zaistnieć, stąd same jedynki w obszarze ABC78 i Dab.
Układ równań opisujący powyższą tabelę
Y = Ya+Yb+Yc = K*T + K*~T + ~K*T = K+T
~Y = ~Yd = ~K*~T
Przykładowe zdanie Yc brzmi:
Jutro nie pójdę do kina i pójdę do teatru (dotrzymam słowa Yc=1)
Yc =~K* T
co matematycznie oznacza:
Yc=1 <=> ~K=1 i T=1
Oczywiście to jest inne zdanie niż w dowolnej linii różnej od Yc.
Zdanie w linii D brzmi:
Skłamię (~Yd) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
~Yd=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Yd=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Podsumowując:
Matematycznie żadne ze zdań cząstkowych wchodzących w skład operatora X nie jest tożsame ze zdaniem z nagłówka tabeli.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 11:10, 29 Lip 2013, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 11:55, 29 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: | "KRZ sprowadza absolutnie wszystko do spójników „i”(*) i „lub”(+)."
Co rozumiesz przez "sprowadza"? Że jest jakiś nakaz przekształcania każdej formuły do takiej która zawiera jedynie sumę i iloczyn? Pierwsze słyszę. Znowu Twoja wizja KRZ? Kubusiowy KRZ. KKRZ. Chcesz rozmawiać o KRZ to najpierw zrozum jego podstawy. A nie jakieś wektory, iterowanie, "wszystkie możliwe przeczenia" itp.
Do reszty Twojego wpisu się nie odnoszę, bo nie wiedzę związku z dotychczasową dyskusją. I nie wiem czy piszesz o AK czy dalej obalasz KKRZ, czy co. |
Rzeczywista budowa operatora logicznego wyżej to była AK, KRZ nie ma o tym pojęcia.
Ja rozumiem jak działa KRZ.
Przez sprowadzanie wszystkiego do „i”(*) i „lub”(+) rozumiem układy zastępcze dowolnych operatorów w tych spójnikach.
To jest w Wikipedii:
p=>q = ~p+q
Tego nie ma w Wikipedii:
p<=>q = p*q + ~p*~q
Oczywiście nie musisz z nich korzystać, ale możesz.
To teraz napiszę coś wyłącznie o KRZ, nie możesz bowiem zaprzeczyć, że równania logiczne w spójnikach „i”(*) i „lub”(+0) to nie jest KRZ.
Poproszę o komentarz na temat KRZ niżej, końcówka o obietnicy to tylko ciekawostka, ale istotna, bo powielana w milionach przykładów w Wikipedii.
Oczywiście błędne jest uzasadnienie rodem z Wikipedii (można to obalić czysto matematycznie) iż ojciec może wręczyć komputer przy nie zdanym egzaminie bo nie powiedział co będzie jak syn nie zda. To czego ojciec nie powiedział nie ma tu nic do rzeczy, prawo do wręczenia komputera przy nie zdanym egzaminie wynika z matematyki ścisłej, definicji implikacji prostej, oczywiście poprawnie rozumianej jako „rzucanie monetą” po stronie ~p (AK) a nie jako iż z „fałszu może wyniknąć prawda” (KRZ).
Cytuję:
9.7 Implikacja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Zapiszmy definicję implikacji prostej w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
| Kod: |
Implikacja prosta |Implikacja prosta |Kodowanie |
w warunkach |w spójnikach |zero-jedynkowe|
wystarczających => |„i”(*) i „lub”(+) | |
i koniecznych ~> |Zbiory | |
p q | p q | p q p=>q |~(p=>q)
A: p=> q =1 | p* q =1*1=1 | 1 1 =1 | =0
B: p~~>~q=0 | p*~q =1*1=0 | 1 0 =0 | =1
C:~p~>~q =1 |~p*~q =1*1=1 | 0 0 =1 | =0
D:~p~~>q =1 |~p* q =1*1=1 | 0 1 =1 | =0
1 2 3 4 5 a b 6 7 8 9 0
|
Kompletna definicja implikacji prostej wyrażona w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Zdanie prawdziwe:
W.
p=>q = p*q + ~p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
(p=>q)=1 <=> (p*q)=1 lub (~p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już zdanie W jest prawdziwe.
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że zdanie (p=>q) będzie prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy:
(p*q)=1 lub (~p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Zdanie fałszywe:
U.
~(p=>q) = p*~q
co matematycznie oznacza:
~(p=>q)=1 <=> p=1 i ~q=1
czytamy:
Prawdą jest (=1), że zdanie będzie fałszywe ~(p=>q) wtedy i tylko wtedy gdy wystąpi p=1 i ~q=1
Oczywiście matematycznie zachodzi:
p=>q # ~(p=>q)
gdzie:
# - różne (w znaczeniu kolumny wynikowe są różne), co widać w powyższej tabeli.
Zminimalizujmy zdanie W:
W.
p=>q = p*q + ~p*~q + ~p*q
W1.
p=>q = p*q + ~p*(~q+q)
p=>q = (p*q) +~p
~(p=>q) = (~p+~q)*p
~(p=>q) = ~p*p+~q*p
~(p=>q) = p*~q
p=>q = ~p+q
Zdanie minimalne to funkcja alternatywna:
W1.
p=>q = ~p+q
co matematycznie oznacza:
(p=>q)=1 <=> ~p=1 lub q=1
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już zdanie W1 jest prawdziwe.
Doskonale to widać w tabeli ABCD789 gdzie na mocy prawa Prosiaczka mamy:
(p=0) = (~p=1)
czyli ~p=1 to dolna połówka kolumny ABCD7, dokładnie CD7.
Ustalmy teraz sztywny punkt odniesienia na zdaniu wyżej:
p=>q
i zapiszmy definicję odwrotną do powyższej:
q~>p
W obu powyższych zapisach parametry p i q są dokładnie tymi samymi parametrami.
Na mocy definicji implikacji odwrotnej mamy:
| Kod: |
Implikacja odwrotna |Implikacja odwrotna |Kodowanie |
w warunkach |w spójnikach |zero-jedynkowe|~(q~>p)
wystarczających => |„i”(*) i „lub”(+) | |
i koniecznych ~> |Zbiory | |
q p | q p | q p q~>p |~(q~>p)
A: q~> p =1 | q* p =1*1=1 | 1 1 =1 | =0
B: q~~>~p=1 | q*~p =1*1=1 | 1 0 =1 | =0
C:~q=>~p =1 |~q*~p =1*1=1 | 0 0 =1 | =0
D:~q~~>p =0 |~q* p =1*1=0 | 0 1 =0 | =1
1 2 3 4 5 a b 6 7 8 9 0
|
Kompletna definicja implikacji odwrotnej wyrażona w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Zdanie prawdziwe:
WO.
q~>p = q*p + q*~p + ~q*~p
Oczywiście spójniki „i”(*) i „lub”(+) są przemienne, bo koniunkcja i alternatywa zbiorów jest przemienna.
Równanie równoważne:
q~>p = p*q + ~p*q + ~p*~q
Porównajmy to ze zdaniem W:
W.
p=>q = p*q + ~p*~q + ~p*q
Doskonale widać że matematycznie zdania WO i W są tożsame, bo prawe strony są identyczne:
WO = W
Zobaczmy na koniec jak to jest dla zdania fałszywego ~(q~>p).
Zdanie fałszywe:
UO:
~(q~>p) = ~q*p
Spójnik „i”(*) jest przemienny, zatem zdanie tożsame:
~(q~>p) = p*~q
Porównajmy to ze zdaniem U:
U.
~(p=>q) = p*~q
Tu również doskonale widać matematyczną tożsamość:
UO = U
bo prawe strony równań są identyczne.
Potwierdzenie powyższych rozważań uzyskamy też dowodem formalnym w rachunku zero-jedynkowym.
Definicja implikacji prostej:
| Kod: |
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1
|
Definicja implikacji odwrotnej ze sztywnym punktem odniesienia ustalonym na zdaniu p=>q:
| Kod: |
q p q~>p
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0
|
Formalny dowód tożsamości:
p=>q = q~>p
| Kod: |
p q p=>q q p q~>p
1 1 =1 1 1 =1
1 0 =0 0 1 =0
0 0 =1 0 0 =1
0 1 =1 1 0 =1
1 2 3 4 5 6
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3 i 6 jest dowodem formalnym tożsamości:
p=>q = q~>p
dla sztywnego punktu odniesienia ustalonego na zdaniu p=>q.
Czyżby zatem definicja implikacji odwrotnej była matematycznie zbędna?
Odpowiedź:
TAK!
Jeśli interesuje nas wyłącznie prawdziwość/fałszywość zdań składowych wyrażonych spójnikiem „i”(*) w definicji implikacji prostej i odwrotnej.
NIE!
Jeśli interesują nas warunki wystarczające => i konieczne ~> w definicjach implikacji prostej i odwrotnej
Oczywiście istota implikacji i równoważności to warunki wystarczające => i konieczne ~> a nie proste rozstrzygnięcie że zdanie składowe x w definicji implikacji wyrażone spójnikiem „i”(*) jest prawdziwe/fałszywe.
Weźmy klasykę powielaną w milionach podręcznikowych przykładów, definicję obietnicy.
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji.
Przykład:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Analiza tej obietnicy na gruncie algebry Kubusia:
A.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zdarzenia (zbiory):
E=>K = E*K =1*1=1
stąd:
B.
Jeśli zdasz egzamin to możesz ~~> nie dostać komputera
E~~>~K =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie ze zdania A
Zdarzenia (zbiory):
E~~>~K =E*~K = 1*1 =0
… a jeśli nie zdam egzaminu?
Prawo Kubusia:
K=>K = ~E~>~K
stąd:
C.
Jeśli nie zdasz egzaminu to nie dostaniesz komputera
~E~>~K =1
Zdarzenia (zbiory):
~E~>~K = ~E*~K = 1*1 =1
Zdanie C to na mocy definicji obietnicy (implikacji prostej) warunek konieczny, bez znaczenia jest iż tata nie użył tu spójnika „może” (warunku koniecznego ~>). Zdanie C to groźba, która na mocy definicji musimy kodować implikacją odwrotną, co udowodnimy w kolejnym punkcie.
LUB
D.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K =1
Zdarzenia (zbiory):
~E~~>K = ~E*K = 1*1 =1
Akt miłości = akt łaski, ojciec ma prawo do wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody na przykład z takim uzasadnieniem niezależnym.
Ojciec:
Synku, nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo widziałem że się dużo uczyłeś ale miałeś pecha.
~E~~>K =1
Zapiszmy całą tą analizę w tabeli zero-jedynkowej:
| Kod: |
Implikacja prosta |Implikacja prosta |Kodowanie |
w warunkach |w spójnikach |zero-jedynkowe|
wystarczających => |„i”(*) i „lub”(+) | |
i koniecznych ~> |Zbiory | |
E K | E K | E K E=>K |~(E=>K)
A: E=> K =1 | E* K =1*1=1 | 1 1 =1 | =0
B: E~~>~K=0 | E*~K =1*1=0 | 1 0 =0 | =1
C:~E~>~K =1 |~E*~K =1*1=1 | 0 0 =1 | =0
D:~E~~>K =1 |~E* K =1*1=1 | 0 1 =1 | =0
1 2 3 4 5 a b 6 7 8 9 0
|
Kompletna definicja implikacji prostej wyrażona w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Ojciec dotrzyma słowa:
W.
E=>K = E*K + ~E*~K + ~E*K
co matematycznie oznacza:
(E=>K)=1 <=> (E*K)=1 lub (~E*~K)=1 lub (~E*K)=1
Wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już zdanie W jest prawdziwe.
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że ojciec dotrzyma słowa (E=>K) wtedy i tylko wtedy gdy:
(E*K)=1 lub (~E*~K)=1 lub (~E*K)=1
Ojciec skłamie:
U.
~(E=>K) = E*~K
co matematycznie oznacza:
~(E=>K)=1 <=> E=1 i ~K=1
czytamy:
Prawdą jest (=1), że ojciec skłamie ~(E=>K) wtedy i tylko wtedy gdy wystąpi E=1 i ~K=1
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Dotrzymam słowa # skłamię
E=>K # ~(E=>K)
gdzie:
# - różne (w znaczeniu kolumny wynikowe są różne), co widać w powyższej tabeli.
Zauważmy, że w implikacji prostej wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) te trzy wynikowe jedynki sa równoprawne, nie mamy tu żadnej gwarancji komputera!
Wiemy tylko i wyłącznie tyle, że ojciec dotrzyma słowa gdy zajdzie zdarzenie opisane którakolwiek jedynką, w przeciwnym przypadku skłamie.
Oznaczmy:
Y= p=>q
W.
Y = E*K + ~E*~K + ~E*K
co matematycznie oznacza:
Y =1 <=> (E*K)=1 lub (~E*~K)=1 lub (~E*K)=1
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: E*K =1*1=1 - zdam egzamin (E=1) i dostanę komputer (K=1)
C: ~E*~K = 1*1=1 - nie zdam egzaminu (~E=1) i nie dostanę komputer (~K=1)
D: ~E*K = 1*1 =1 - nie zdam egzaminu (~E=1) i dostanę komputer (K=1)
Jak widzimy nie ma tu odróżnienia twardej prawdy (gwarancji matematycznej) występującej w warunku wystarczającym =>:
A: E=>K = E*K =1*1 =1
od bezwartościowych jedynek miękkich (rzucanie monetą) występujących w warunku koniecznym ~>:
C: ~E~>~K = ~E*~K =1*1 =1
D: ~E~~>K = ~E*K =1*1 =1
Oczywistym jest że w implikacji i równoważności chodzi o warunki wystarczające => i konieczne ~> a nie o prymitywne rozstrzyganie iż zdanie składowe x wyrażone spójnikiem „i”(*) jest prawdziwe/fałszywe.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 12:10, 29 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
Przy okazji dorzucę kolejny punkt z podpisu, abyśmy mieli wszystko w jednym miejscu i abyś wiedział do czego zmierzam.
To jest kluczowy punkt w całej algebrze Kubusia!
... kiedyś napisałeś że rozumiesz.
9.8 Prawa kontrapozycji w implikacji na gruncie NTZ
Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów i algebry Kubusia:
Definicja znaczka => (warunek wystarczający):
=> - zbiór na podstawie wektora musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”)
~~> - zbiór na podstawie wektora musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora
Definicja implikacji prostej:
| Kod: |
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1
|
Dokładnie ta sama definicja w pełnym równaniu logicznym:
A: p=>q = ~p~>~q
Oczywiście po obu stronach tożsamości musimy mieć to samo p i q
Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p#q
Definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0
|
Dokładnie ta sama definicja w pełnym równaniu logicznym:
B: p~>q = ~p=>~q
Oczywiście po obu stronach tożsamości musimy mieć to samo p i q
Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p#q
Równanie ogólne implikacji:
A: p=>q = ~p~>~q ## B: p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Ustalmy sztywny punkt odniesienia na zdaniu A zakładając jego prawdziwość:
A: p=>q = ~p~>~q =1
czyli:
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p#q
Jeśli zdanie A: p=>q jest prawdziwe to zdanie B jest oczywistym fałszem:
B: p~>q = ~p=>~q =0
p~>q
bowiem zbiór p z założenia zawiera się w zbiorze q (A: p=>q), natomiast zdanie B wymaga czegoś dokładnie odwrotnego, aby zbiór p zawierał w sobie zbiór q.
Nasze równanie implikacji dla sztywnego punktu odniesienia A: p=>q przyjmuje więc postać:
A: p=>q = ~p~>~q =1 ## B: p~>q = ~p=>~q =0
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Oczywistym jest że aby uczynić zdanie B prawdziwym musimy zamienić parametry p i q w zdaniu B:
B: q~>p = ~q=>~p =1
q~>p
Definicja implikacji odwrotnej spełniona bo zbiór q zawiera w sobie zbiór p i nie jest tożsamy ze zbiorem p.
Punkt odniesienia: A: p=>q =1 (to bardzo ważne)
Podstawiamy to do naszego równania ogólnego implikacji:
A: p=>q = ~p~>~q =1 ## B: q~>p = ~q=>~p =1
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Oczywistym jest, że jeśli cokolwiek jest różne na mocy definicji to pod parametry p i q po obu stronach znaku ## możemy sobie podstawiać co nam dusza zagra, w szczególności możemy zamienić p i q, co właśnie zrobiliśmy. Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi, pomiędzy którymi nie występują żadne tożsamości matematyczne.
Na mocy nowej teorii zbiorów fałszywe są następujące „prawa” rachunku zero-jedynkowego.
1.
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonym na zdaniu:
A: p=>q =1
równanie ogólne implikacji przybierze postać:
A: p=>q = ~p~>~q ## B: q~>p = ~q=>~p
Stąd na gruncie nowej teorii zbiorów leżą w gruzach następujące prawa z rachunku zero-jedynkowego:
| Kod: |
A: p=> q ## q~> p
B: p=> q ## ~q=>~p
C:~p~>~q ## q~> p
D:~p~>~q ## ~q=>~p |
gdzie:
## - różne na mocy definicji
W logice Ziemian zamiast poprawnego znaku ## widnieje błędny w implikacji znak tożsamości.
2.
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonym na zdaniu:
B: p~>q =1
równanie ogólne implikacji przybierze postać:
A: q=>p = ~q~>~p ## B: p~>q = ~p=>~q
Stąd na gruncie nowej teorii zbiorów leżą w gruzach następujące prawa z rachunku zero-jedynkowego:
| Kod: |
E: q=> p ## p~> q
F: q=> p ## ~p=>~q
G:~q~>~p ## p~> q
H:~q~>~p ## ~p=>~q |
gdzie:
## - różne na mocy definicji
W logice Ziemian zamiast poprawnego znaku ## widnieje błędny w implikacji znak tożsamości.
Znane Ziemianom prawo kontrapozycji w implikacji wygląda zatem tak:
p=>q ## ~q=>~p
q=>p ## ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przykład:
Wzorcowa implikacja prosta:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = 1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór P zawiera się w zbiorze 4L
Dodatkowo zbiory P i 4L nie są tożsame co wymusza implikację prostą o definicji.
P=>4L = ~P~>~4L
czyli:
C.
Jeśli zwierze nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
Definicja znaczka ~> spełniona bo zbiór ~P zawiera w sobie zbiór ~4L
Wzorcowa implikacja odwrotna:
AO:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
Definicja znaczka ~> spełniona bo zbiór 4L zawiera w sobie zbiór P
Dodatkowo zbiory 4L i P nie są tożsame co wymusza implikację odwrotną o definicji:
4L~>P = ~4L=>~P
CO:
Jeśli zwierze nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór ~4L zawiera się w zbiorze ~P
Jeśli przyjmiemy za poprawne definicje znaczków => i ~> w zbiorach (oczywistość), to konsekwencją tego faktu jest takie a nie inne równanie ogólne implikacji.
A: P=>4L = C: ~P~>~4L ## AO: 4L~>P = CO: ~4L=>~P
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dlaczego?
Bo tylko i wyłącznie w tym przypadku spełnione są definicje znaczków => i ~> po obu stronach znaku ##.
Prawa kontrapozycji w formie tożsamości są fałszywe w implikacji i prawdziwe w równoważności.
Dlaczego nawet w implikacji możemy stosować prawo kontrapozycji?
Definicja równoważności wynikła z tabeli zero-jedynkowej:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
~p=>~q = q=>p
stąd równoważna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Jeśli udowodnimy warunek wystarczający p=>q o definicji:
A: p=>q =1
B: p~~>~q=0
To mamy prawo założyć, że to jest warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności.
Na podstawie takiego założenia możemy dowodzić prawdziwości warunku wystarczającego => wynikłego z prawa kontrapozycji:
~q=>~p
Problem w tym, że w implikacji zachodzi prawo kontrapozycji w tej formie:
p=>q ## ~q=>~p
Dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu p=>q zajście p=>q wymusza zajście ~q=>~p, ale w implikacji nie możemy tu postawić znaku tożsamości z powodu trzeciego zbioru, który jest poza wszelką logiką:
~p~~>q = q~~>~p
Natomiast w równoważności zachodzi prawo kontrapozycji w tej formie:
p=>q =~q=>~p
bo tu mamy wyłącznie dwa zbiory, nie ma tego trzeciego, paskudnego, poza wszelką logiką.
Zauważmy, że prawem kontrapozycji niczego sensownego nie udowodnimy.
Jeśli mamy udowodniony warunek wystarczający p=>q to bez sensu jest dowodzenie prawdziwości warunku wystarczającego ~q=>~p, bo ten warunek wystarczający zachodzi zarówno w implikacji jak i równoważności (i odwrotnie).
W matematyce szukamy warunków wystarczających wchodzących w skład definicji równoważności między dowolnymi przeczeniami p i q.
Równoważność udowodnimy wtedy i tylko wtedy gdy udowodnimy warunki wystarczające wzdłuż dowolnego boku kwadratu równoważności.
Kwadrat logiczny równoważności:
| Kod: |
A1: p=> q =1 A2: q=> p =1
B1: p~~>~q=0 B2: q~~>~p=0
C1:~p=>~q =1 C2:~q=>~p =1
D1:~p~~>q =0 D2:~q~~>p =0
|
Definicje równoważności w pionach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p<=>q= (q=>p)*(~q=>~p)
Definicje równoważności w poziomach:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
p<=>q= (~p=>~q)*(~q=>~p)
Porównanie kwadratów logicznych równoważności i implikacji.
Kwadrat logiczny implikacji ze sztywnym punktem odniesienia ustalonym na zdaniu:
p=>q
| Kod: |
A1: p=> q =1 ## A2: q~> p =1
B1: p~~>~q=0 ## B2: q~~>~p=1
Prawo Kubusia: ## Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q ## q~>p = ~q=>~p
C1:~p~>~q =1 ## C2:~q=>~p =1
D1:~p~~>q =1 ## D2:~q~~>p =0
|
W implikacji zachodzi:
p=>q = ~p~>~q ## q~>p = ~q=>~p
gdzie:
## - różne na mocy definicji.
Warunki wystarczające => w punktach A1 i C2 są identyczne w implikacji i równoważności.
W implikacji zbiory p i q nie są tożsame, natomiast w równoważności zbiory p i q są tożsame.
Oczywiście nie wykryjemy równoważności udowadniając dowolny w warunków wystarczających po przekątnych.
A1: p=> q =1
B1: p~~>~q=0
czy też:
C2: ~q=>~p =1
D3: ~q~~>p=0
bo te warunki są identyczne w równoważności gdzie zachodzi tożsamość zbiorów, i w implikacji gdzie tożsamość zbiorów nie zachodzi.
Aby dowieść iż zdanie A1: p=>q jest implikacją prostą musimy dodatkowo udowodnić C1:D1 albo A2:B2
C1: ~p~>~q =1
D1: ~p~~>q =1
Oczywiście w tym przypadku wystarczy znaleźć jeden przypadek spełniający C1 i jeden przypadek spełniający D1.
Dopiero w tym momencie jesteśmy pewni, że zdanie:
A1: p=>q
spełnia definicję implikacji prostej, w skrócie jest implikacją prostą prawdziwą.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 12:10, 29 Lip 2013, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 17:15, 29 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
Na początek wrócę do starszego postu:
| fiklit napisał: |
Ale czy ja się pytałem o jakieś dowodzenie, operatory OR i AND, zdania? Nie.
Chciałem poznać pewnie właściwości zbiorów wg. AK czy NTZ czy jak tam się to nazywa.
Wiedzę, że nie potrafisz tego wytłumaczyć.
I ciągle widzę, że AK jest teorią sprzeczną. Czyli bezużyteczną do codziennych zastosowań.
|
W tym wytłuszczonym mylisz się fundamentalnie.
Twierdzenie Sroki:
Dowolne twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q” da się dowieść prościej w algebrze Kubusia.
Dlaczego prościej?
Zdanie „Jeśli p to q” zapisane kwantyfikatorem dużym:
/\x p(x)=>q(x)
W algebrze Kubusia dla udowodnienia powyższego warunku wystarczającego => iterujemy po obiektach zgodnych z poprzednikiem, czyli po p(x).
KRZ twierdzi że to nie jest wystarczające i wymaga iterowania także po obiektach ~p(x), oczywiście KRZ to żółtodziób matematyczny, sam nie wie co robi.
Będziesz miał prawo twierdzić to wytłuszczone, jeśli znajdziesz jedno-jedyne twierdzenie matematyczne gdzie dla udowodnienia prawdziwości zdania p=>q musisz iterować po obiektach ~p(x) jak tego WYMAGA KRZ.
Inaczej nie masz prawa twierdzić że AK jest logiką bezużyteczną do codziennych zastosowań.
cnd
| fiklit napisał: |
Ok. Rozumiem co to znaczy sprowadzać. Ale co znaczy, że KRZ sprowadza?
"To jest w Wikipedii:
p=>q = ~p+q
Tego nie ma w Wikipedii:
p<=>q = p*q + ~p*~q"
Praw KRZ jest nieskończenie wiele. Opisanych może być jedynie skończona ich ilość. Wobec tego trudno się dziwić, że w jakimś jednym źródle jakieś prawo nie jest opisane. Stosując inne prawa łatwo może sobie to przytoczone wyprowadzić.
|
Nie zgadzam się, chyba że przez prawo algebry Boole’a rozumiesz każdy fragment schodzenia ze złożonej funkcji logicznej do funkcji minimalnej.
Poprawna, symboliczna algebra Boole’a (algebra Kubusia) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to zawsze układ dwóch równań, jednego w logice dodatniej (bo Y) i drugiego w logice ujemnej (bo ~Y). Można sobie przeskakiwać z jednego układu do drugiego dowolną ilość razy. Co więcej dowolny fragment jednego równania można wydzielić jako niezależne równanie i po jego minimalizacji wrócić do głównego równania. Pokazywałem tą sztuczkę w tym poście:
[link widoczny dla zalogowanych]
To samo jest w dwóch końcowych przykładach punktu 3.0
Twierdzenie Myszki:
Do minimalizacji dowolnej funkcji logicznej w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) potrzebne i wystarczające są prawa logiczne podane w punkcie 3.0.
Prawa podstawowe to prawa wynikające z tabel zero-jedynkowych OPERATORÓW LOGICZNYCH, jak to się robi pokazuję niżej na przykładzie funkcji:
p=>q = ~p+q
Tych praw jest raptem kilka jeśli pominiemy równoważność.
p=>q=~p+q
p~>q = p+~q
p=>q = ~p~>~q - definicja implikacji prostej
p~>q = ~p=>~q - definicja implikacji odwrotnej
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p)
Tylko w przypadku równoważności definicji może być kilkadziesiąt jeśli uwzględnimy prawa kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
q=>p = ~p=>~q
Oraz prawa Kubusia:
p=>q = ~p[~>]~q
~p=>~q = p[~>]q
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny, nie jest to spójnik „może” ~> (rzucanie monetą) znany z implikacji, bowiem w równoważności wobec tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q nie może być o tym mowy.
p<=>q = p*q + ~p*~q
To chyba wszystkie podstawowe prawa wynikające z definicji operatorów logicznych
Nie jest więc prawdą, że praw logicznych jest nieskończenie wiele.
3.0 Najważniejsze prawa rachunku zero-jedynkowego
Definicja zero-jedynkowa operatora OR:
| Kod: |
p q Y=p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
1 2 3
|
Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora OR:
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0
Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora OR:
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1
Dowody formalne:
| Kod: |
p ~p 1 0 p+1 p+0 p+~p
1 0 1 0 1 1 1
0 1 1 0 1 0 1
|
Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p+0=p
czego dowodem jest tożsamość odpowiednich kolumn wynikowych
Definicja zero-jedynkowa operatora AND:
| Kod: |
p q Y=p*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 1 =0
D: 0 0 =0
1 2 3
|
Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora AND:
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0
Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora AND:
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0
Dowody formalne:
| Kod: |
p ~p 1 0 p*1 p*0 p*~p
1 0 1 0 1 0 0
0 1 1 0 0 0 0
|
Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p*1=p
czego dowodem jest tożsamość odpowiednich kolumn wynikowych
Fundament algebry Boole’a:
p*~p =0
p+~p =1
Przydatne prawa dodatkowe
Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r
Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r
Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s
Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)
Najważniejszym prawem algebry Boole’a jest prawo przejścia do logiki przeciwnej.
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Przykład:
Y=p+q(r+~s)
Algorytm Wuja Zbója:
A.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki
Y = p+[q*(r+~s)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub [q=1 i (r=1 lub ~s=1)]
B.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne, „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie
~Y = ~p*[~q+(~r*s)]
C.
Opuszczamy zbędne nawiasy
~Y = ~p*(~q+~r*s)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i (~q=1 lub ~r=1 i s=1)
Kolejność wykonywania działań zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej:
„i”(*), „lub”(+)
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i C mamy prawo De Morgana dla naszej funkcji logicznej A.
Y = p+q*(r+~s) = ~[~p*(~q+~r*s)]
Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
0. Y = p*q + p*~q + ~p*q
1. Y = p(q+~q) + ~p*q
2. Y = p*1 + ~p*q
3. Y = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=p
Mamy:
3. Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
4. ~Y = ~p*(p+~q)
5. ~Y = p*~p + ~p*~q
6. ~Y = 0 + ~p*~q
7. ~Y = ~p*~q
Wykorzystane prawa
4. Przejście do logiki ujemnej
5. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
6. p*~p=0
7. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd
Oczywiście układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR w algebrze Kubusia.
Na zakończenie poznajmy twierdzenie przydatne w minimalizacji równań logicznych.
Twierdzenie:
Dowolny fragment funkcji logicznej wolno nam wydzielić i zapisać jako niezależną funkcję logiczną, którą po minimalizacji możemy z powrotem wstawić do układu.
Przydatność tego twierdzenia poznamy na przykładzie:
Zminimalizuj funkcję logiczną Y metodą równań algebry Boole’a:
Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r
Rozwiązanie:
Y = ~p*q*~r + ~p*~q(r+~r)
Y = ~p*q*~r + ~p*~q
Y = ~p(q*~r+~q)
Y = ~p*(z)
z=(q*~r) + ~q
~z = (~q+r)*q
~z = ~q*q + r*q
~z = r*q
~z = q*r
z = ~q + ~r
Y = ~p*(z)
D: Y = ~p*(~q + ~r)
Po wymnożeniu zmiennej przez wielomian mamy:
C: Y = ~p*~q + ~p*~r
Funkcje C i D to funkcje minimalne, których nie da się dalej minimalizować.
Przydatne sztuczki matematyczne:
1.
Y=p*q
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p+~q
2.
To samo inaczej:
Y = p*q
Prawo De Morgana:
p*q = ~(~p+~q)
stąd:
Y = ~(~p+~q)
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~p+~q
Dowolny fragment funkcji logicznej możemy ująć w nawias poprzedzony negacją, zaś w środku nawiasu zanegować wszystkie zmienne i wymienić spójniki na przeciwne(prawo De Morgana)
3.
Prawo De Morgana:
Y = p*q = ~(~p+~q)
Prawo De Morgana dla dowolnie długiej funkcji logicznej:
Y = p+q*(r+~s)
Y = ~(~p*~q+~r*s)
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~p*~q + ~r*s
4.
Prawo przejścia do logiki przeciwnej dla funkcji złożonej:
Y = p+~p*q*r
Y = p+~p*(q*r)
Przejście do logiki przeciwnej:
~Y = ~p*[p+~(q*r)]
Mnożenie zmiennej przez wielomian:
~Y = ~p*p + ~p*~(q*r)
~Y = ~p*~(q*r)
bo:
~p*p=0
0+x=x
Przejście do logiki przeciwnej:
Y = p+q*r - funkcja minimalna
Uwagi:
W miejscu (q*r) mogłaby być dowolnie złożona funkcja logiczna z dowolną ilością zmiennych, nawet nieskończona, to bez znaczenia.
| fiklit napisał: |
"Poproszę o komentarz na temat KRZ niżej"
Tzn. co? Co mam skomentować?
"Kompletna definicja implikacji prostej wyrażona w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):..."
Nie spotkałem się z takim ujęciem KRZ, żeby to co piszesz dalej było DEFINICJĄ implikacji. Co znaczy "kompletna"? Czy p=>q = ~p+q jest niekompletne? szczątkowy? częściowe?
Chcesz, żebym coś skomentował to pisz jasno i czytelnie.
"co matematycznie oznacza" - co to znaczy "matematycznie"? A zwykła formuła już nie jest matematyczna?
Piszesz o KRZ to pisz tak jak się pisze o KRZ.
|
Skupmy się na definicji implikacji:
| Kod: |
Definicja |Równania prof.
zero-jedynkowa |Newelskiego
p q p=>q |
A: 1 1 =1 | Ya= p* q
B: 1 0 =0 |~Yb= p*~q
C: 0 0 =1 | Yc=~p*~q
D: 0 1 =1 | Yd=~p* q
|
Tworzenie równań logicznych z dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisał prof. Newelski w uwadze 2.7 w skrypcie niżej:
[link widoczny dla zalogowanych]
Aktualnie twierdzę, że prof. Newelski opisał to w sposób bardzo nie dydaktyczny.
Powinien napisać na jakiej podstawie sprowadził wszystkie zmienne do jedynek (prawa Prosiaczka w AK) oraz powinien zapisać równania cząstkowe dla każdej linii jak ja to zrobiłem wyżej.
Oczywiście żadne z tych równań cząstkowych nie jest tożsame, także żadne z tych równań cząstkowych nie jest tożsame z funkcją z nagłówka tabeli p=>q.
Dopiero z tak opisanej tabeli zero-jedynkowej wynika wszystko, czyli wynika układ dwóch równań logicznych.
A.
Równanie logiczne w logice dodatniej (bo Y) opisujące wyłącznie linie z jedynkami w tabeli zero-jedynkowej:
Y = Ya+Yc+Yd = p*q + ~p*~q + ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*q + ~p(~q+q)
Y = ~p+p*q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p*(~p+~q)
~Y = p*~p + p*~q
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej:
Y = ~p+q
Oczywiście to równanie dotyczy wyłącznie JEDYNEK w powyższej tabeli zero-jedynkowej.
B.
Równanie logiczne w logice ujemnej (bo ~Y) opisujące zera w powyższej tabeli:
~Y = ~Yb = p*~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej opisuje prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana:
~p+q = ~(p*~q)
Na zakończenie cytat z podpisu:
9.9 Obalenie prawa eliminacji implikacji w logice Ziemian
Prawo eliminacji implikacji w logice Ziemian:
p=>q = ~p+q
Oczywiście prawo to możemy zapisać jako:
Y = p=>q = ~p+q
stąd:
Y= p=>q
Y = ~p+q
Zbadajmy funkcję Y = p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
| Kod: |
p q ~p Y=p=>q=~p+q ?!
A: 1 1 0 =1 /Ya=p*q
B: 1 0 0 =0
C: 0 0 1 =1 /Yc=~p*~q
D: 0 1 1 =1 /Yd=~p*q
|
Ogólny algorytm tworzenia równań logicznych w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
1.
Korzystając z praw Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
(~p=0) = (p=1)
Dokładniej korzystamy z tego:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli ~p=0 to p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
2.
Funkcje cząstkowe w wierszach łączymy spójnikiem „i”(*), natomiast odpowiednie funkcje cząstkowe w pionach łączmy spójnikiem „lub”(+).
Dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy ułożyć dwa nie tożsame równania algebry Boole’a, jedno opisujące wynikowe jedynki i drugie, opisujące wynikowe zera.
Równanie logiczne dla wynikowych jedynek:
Y = Ya+Yc+Yd
Y = p*q + ~p*~q + ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*q + ~p*(~q+q)
Y = p*q + ~p
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = (~p+~q)*p
~Y = ~p*p + ~q*p
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Y = ~p+q
Nasza funkcja logiczna po minimalizacji w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = ~p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Wnioski:
1.
Jeśli w równaniu logicznym:
Y = p=>q = ~p+q
za punkt odniesienia przyjmiemy sygnały p i q to nie zachodzi przemienność argumentów w funkcji logicznej:
Y = ~p+q
W tym przypadku negacja przy sygnale p znajduje się wewnątrz operatora logicznego i nie mamy do niej dostępu.
Zamiana argumentów będzie tu wyglądała tak:
Y = ~q+p
Oczywiście matematycznie zachodzi:
~p+q # ~q+p
Przepiszmy naszą tabelę uwzględniając ten punkt odniesienia:
| Kod: |
p q Y=p=>q=~p+q ?!
A: 1 1 =1 /Ya=p*q
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1 /Yc=~p*~q
D: 0 1 =1 /Yd=~p*q
|
Brak przemienności argumentów p i q:
~p+q # ~q+p
Zauważmy, że w tym przypadku nie mamy prawa użyć symbolu spójnika „lub”(+) bo argumenty nie są przemienne co z definicji wyklucza ten znaczek „+”.
Dla punktu odniesienia p i q mamy zatem:
p=>q ## ~p+q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Operator implikacji prostej na mocy definicji jest czymś zupełnie innym niż operator OR.
2.
Jeśli w równaniu logicznym:
p=>q= ~p+q
za punkt odniesienia przyjmiemy sygnały ~p i q to zachodzi przemienność argumentów w funkcji logicznej:
Y = ~p+q
Zamiana argumentów będzie tu wyglądała tak:
Y = q+~p
W tym przypadku negacja przy sygnale p to po prostu sygnał ~p, ta negacja jest tu „uwiązana” do sygnału i nie możemy jej wydzielić jako niezależnej negacji.
Oczywiście matematycznie zachodzi:
~p+q = q+~p
Przepiszmy naszą tabelę uwzględniając ten punkt odniesienia:
| Kod: |
q ~p Y=p=>q=~p+q ?!
A: 1 0 =1 /Ya=p*q
B: 0 0 =0
C: 0 1 =1 /Yc=~p*~q
D: 1 1 =1 /Yd=~p*q
|
Jest przemienność argumentów ~p i q:
~p+q = q+~p
Z kolei w tym przypadku nie mamy prawa użyć znaczka implikacji prostej „=>” bo w powyższej tabeli zachodzi przemienność argumentów co jest sprzeczne z definicją znaczka „=>”.
Dla punktu odniesienia ~p i q mamy zatem:
p=>q ## ~p+q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Operator implikacji prostej na mocy definicji jest czymś zupełnie innym niż operator OR.
Wniosek końcowy:
Zauważmy, że równania logiczne spójnikach „i”(*) i „lub”(+) w obu przypadkach mamy identyczne.
Y = Ya+Yc+Yd
Y = p*q + ~p*~q + ~p*q
po minimalizacji:
Y = ~p+q
W równaniu:
p=>q = ~p+q
w zależności od punktu odniesienia z jakiego patrzymy na otaczającą nas rzeczywistość argumenty raz są przemienne (+), a innym razem nie są przemienne (=>). Nie możemy patrzeć na rzeczywistość raz tak a raz siak, bo matematyka nie będzie jednoznaczna.
Prawo Krokodyla:
Otaczająca nas rzeczywistość wygląda różnie z różnych punktów odniesienia, z czarnego zawsze można zrobić białe i odwrotnie, wystarczy zmienić punkt odniesienia.
Jest oczywistym że:
Implikacja prosta i odwrotna - nie zachodzi przemienność argumentów
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) - zachodzi przemienność argumentów
Prawo eliminacji implikacji w logice Ziemian jest zatem błędne, bo nie da się zastąpić operatora logicznego w którym przemienność argumentów nie występuje (implikacja prosta i odwrotna) operatorem logicznym w którym przemienność argumentów występuje (OR i AND).
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy
(P+K)=>4L
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór „pies+kot” zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
To samo zdanie w zbiorach:
p=>q = p*q = p =1
Nasz przykład w zbiorach:
(P+K)=>4L = (P+K)*4L = P*4L + K*4L = P+K =1
Nasze zdanie A jest prawdziwe wyłącznie dla zwierząt będących psami lub kotami i fałszywe dla wszelkich innych zwierząt.
Błędny jest zapis zdania A wynikły ze wzoru:
p=>q = ~p+q
Nasz przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno ma cztery łapy
(P+K)=>4L = ~(P+K)+4L = ~P*~K+4L
Zauważmy, że w spójniku „i”(*) i „lub”(+) mamy tu zbiór wszystkich zwierząt jeśli ograniczymy się do dziedziny:
D = zbiór wszystkich zwierząt
a nawet całe Uniwersum jeśli takiego ograniczenia nie przyjmiemy.
Wynika z tego błędny wniosek iż nasze zdanie A jest prawdziwe dla wszystkich możliwych zwierząt.
Nasze rozważania to dowód błędności pojęcia „zdania zawsze prawdziwego” w logice Ziemian.
Podsumowując:
Jeśli mamy do czynienia ze zdaniem złożonym typu:
Jeśli p to q
p=>q
to nie wolno rozpatrywać tego zdania w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) korzystając ze wzoru:
Y = ~p+q
gdzie zachodzi przemienność argumentów, to jest błąd czysto matematyczny.
Implikacja to operator logiczny w którym w jednej połówce zaszyty jest 100% determinizm (warunek wystarczający =>), natomiast w drugiej połówce implikacja to najzwyklejsze „rzucanie monetą”, warunek konieczny ~> (wolna wola).
Z tego powodu operatory implikacji są kompletnie bezużyteczne w świecie techniki, bo czy ktokolwiek wyobraża sobie urządzenie techniczne z wbudowaną „wolną wolą”?
Przykładowo skręcamy kierownicą w prawo a samochód skręca prawie zawsze w prawo ale czasami w lewo w zależności od swego „widzi mi się”. Namiastki „wolnej woli” istnieją w dużych programach komputerowych, zdarza się bowiem że program idzie w maliny i nie wiadomo co tam robi - pomaga reset.
Implikacja w komputerach działała by tak:
Jeśli p to skocz do q
p=>q
… a jeśli ~p?
Jeśli ~p to skocz do losowo wybranego obszaru pamięci traktując ten obszar jako dalszy ciąg kodu programu.
Oczywiście każdy program wyłoży się już na pierwszym rozkazie implikacji przy zajściu ~p.
Od strony technicznej równanie:
p=>q = ~p+q
jest poprawną realizacją fizyczną operatora implikacji prostej => przy pomocy operatora OR.
Należy jednak pamiętać że ta negacja przy sygnale p jest wciśnięta do wnętrza operatora OR i nie mamy do niej dostępu.
Oczywiście to działa także w drugą stronę.
Załóżmy że mamy bramkę implikacji prostej:
p=>q
Jak z niej zrobić bramkę OR?
W równaniu wyżej negujemy sygnał p otrzymując:
p+q = ~p=>q
czyli:
Na wejściu bramki => negujemy sygnał p i mamy bramkę (operator) OR.
Tu również należy pamiętać że ta negacja przy sygnale p jest wciśnięta do wnętrza operatora => i nie mamy do niej dostępu, całość to oczywiście bramka OR z przemiennością argumentów p i q.
To są bardzo proste sztuczki sprzętowe umożliwiające fizyczną realizację (hardware) dowolnego operatora przy pomocy innego.
Można łatwo udowodnić i pokazać w laboratorium techniki cyfrowej, że dysponując fizycznie wyłącznie jednym operatorem:
NOR, NAND, => albo ~>
bez problemu zbudujemy fizycznie (hardware) dowolny inny operator.
Trzeba jednak pamiętać że sprzęt (hardware) to zupełnie co innego niż program (software), mimo że w obu przypadkach fundamentem jest ta sama algebra Boole’a. W dzisiejszym mikroprocesorze łatwo zlokalizujemy około 1miliarda tranzystorów i wszystkie połączenia między nimi, ale programu (software) na pewno w ten sposób nie znajdziemy. Podobnie w naszym mózgu możemy rozrysować 100 mld neuronów i wszystkie połączenia między nimi ale programu (logiki człowieka) w ten sposób nie znajdziemy.
Jeśli chcemy rozpracować matematyczne fundamenty logiki człowieka to musimy się zdecydowanie odciąć od sprzętu (hardware). Interpretacja operatorów logicznych dla potrzeb software (logiki człowieka) jest zupełnie inna niż dla potrzeb hardware - to algebra Kubusia.
| fiklit napisał: |
No i jaka "definicja implikacji odwrotnej"? Nie ma takiego spójnika. |
Fiklit, KRZ musi respektować absolutnie wszystkie definicje zero-jedynkowe algebry Boole’a (jest ich 16).
Wśród tych definicji jest definicja implikacji prostej i odwrotnej.
Techniczna definicja implikacji prostej:
| Kod: |
p q p=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
|
Dokładnie ta sama definicja w równaniu algebry Boole’a (algebrze Kubusia):
p=>q = ~p~>~q
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q). Po obu stronach tożsamości muszą być te same parametry p i q.
Techniczna definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
p q p~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0
|
Dokładnie ta sama definicja w równaniu algebry Boole’a (algebrze Kubusia):
p~>q = ~p=>~q
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q). Po obu stronach tożsamości muszą być te same parametry p i q.
Matematycznie zachodzi:
Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - rożne na mocy definicji
W tym przypadku po obu stronach znaku ## mogą być dowolne parametry p i q, nie muszą być te same.
Definicje implikacji prostej i odwrotnej w równaniach algebry Boole’a to jednocześnie prawa Kubusia.
I prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - implikacja prosta w logice dodatniej (bo q)
Oczywiście powyższe prawo możemy zapisać tak:
~p~>~q = p=>q - implikacja odwrotna w logice ujemnej (bo ~q)
Implikacja prosta w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją odwrotną w logice ujemnej (bo ~q) i odwrotnie.
Dowód formalny I prawa Kubusia:
| Kod: |
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
A: 1 1 =1 0 0 =1
B: 1 0 =0 0 1 =0
C: 0 0 =1 1 1 =1
D: 0 1 =1 1 0 =1
1 2 3 4 5 6
|
Tożsamość kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym I prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
W tym przypadku parametry formalne p i q muszą być tymi samymi parametrami.
II prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - implikacja odwrotna w logice dodatniej (bo q)
Oczywiście powyższe prawo możemy zapisać tak:
~p=>~q = p~>q - implikacja prosta w logice ujemnej (bo ~q)
Implikacja odwrotna w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją prostą w logice ujemnej (bo ~q) i odwrotnie.
Dowód formalny II prawa Kubusia:
| Kod: |
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
A: 1 1 =1 0 0 =1
B: 1 0 =1 0 1 =1
C: 0 0 =1 1 1 =1
D: 0 1 =0 1 0 =0
1 2 3 4 5 6
|
Tożsamość kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym II prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
W tym przypadku parametry formalne p i q muszą być tymi samymi parametrami.
W implikacji nie zachodzi przemienność argumentów.
Przemienność argumentów w implikacji prostej:
| Kod: |
p q p=>q q p q=>p
A: 1 1 =1 1 1 =1
B: 1 0 =0 0 1 =1
C: 0 0 =1 0 0 =1
D: 0 1 =1 1 0 =0
1 2 3 4 5 6
|
Brak tożsamości kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym braku przemienności argumentów w implikacji prostej.
p=>q = ~p~>~q # q=>p = ~q~>~p
gdzie:
# - różne (w znaczeniu kolumny wynikowe są różne)
Po obu stronach znaku # mamy to samo p i q.
Oznacza to że jeśli zdanie p=>q jest prawdziwe to zdanie q=>p będzie fałszywe (odwrotnie nie zachodzi).
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór „pies” zawiera się w zbiorze „zwierząt z czteroma łapami”
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => aby mieć cztery łapy
AO.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na pewno => jest psem
4L=>P =0 bo kontrprzykład: słoń
A: P=>4L # AO: 4L=>P
W tym przypadku ze zdania fałszywego AO, po zamianie argumentów wynika zdanie prawdziwe A.
… ale nie zawsze tak musi być (odwrotnie nie zachodzi):
B.
Jeśli pies ma cztery łapy to na pewno => kura ma skrzydła
P4L=>KS =0
P4L - zbiór psów z czterema łapami
KS - zbiór kur ze skrzydłami
Zbiory:
P4L=>KS = P4L*KS = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (P4L=1 i KS=1), ale są rozłączne, stąd w wyniku 0.
Definicja znaczka => nie jest tu spełniona bowiem zbiór P4L nie zawiera się w zbiorze KS.
Oczywiście po zamianie argumentów to zdanie również pozostanie fałszywe.
Przemienność argumentów w implikacji odwrotnej:
| Kod: |
p q p~>q q p q~>p
A: 1 1 =1 1 1 =1
B: 1 0 =1 0 1 =0
C: 0 0 =1 0 0 =1
D: 0 1 =0 1 0 =1
1 2 3 4 5 6
|
Brak tożsamości kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym braku przemienności argumentów w implikacji odwrotnej.
p~>q = ~p=>~q # q~>p = ~q=>~p
gdzie:
# - różne (w znaczeniu kolumny wynikowe są różne)
Po obu stronach znaku # mamy to samo p i q.
Oznacza to że jeśli zdanie p~>q jest prawdziwe to zdanie q~>p będzie fałszywe (odwrotnie nie zachodzi).
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P = 4L*P =P =1 bo pies
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór zwierząt z czteroma łapami zawiera w sobie zbiór „pies”
4L jest konieczne ~> dla P
Zabieram zbiór 4L i znika mi zbiór P
AO:
Jeśli zwierzę jest psem to może ~> mieć cztery łapy
P~>4L =0
bo:
Prawo Kubusia:
P~>4L = ~P=>~4L =0
Jeśli zwierzę nie jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
~P=>~4L =0 bo kontrprzykład: słoń
W tym przypadku ze zdania fałszywego AO, po zamianie argumentów wynika zdanie prawdziwe A.
… ale nie zawsze tak musi być (odwrotnie nie zachodzi):
B.
Jeśli pies ma cztery łapy to kura może ~> mieć ma skrzydła
P4L~>KS =0
P4L - zbiór psów z czterema łapami
KS - zbiór kur ze skrzydłami
Zbiory:
P4L~>KS = P4L*KS = 1*1 =0
Oba zbiory istnieją (P4L=1 i KS=1), ale są rozłączne, stąd w wyniku 0.
Definicja znaczka ~> nie jest tu spełniona bowiem zbiór P4L nie zawiera w sobie zbioru KS.
Oczywiście po zamianie argumentów to zdanie również pozostanie fałszywe.
P.S.
Mam w rękawie istotny i chyba już ostatni przełom w AK!
Cały czas drapałem się za uchem jak udowodnić w rachunku zero-jedynkowym to oczywiste prawo dla zbiorów rozłącznych.
p*~q = p
MAM ROZWIĄZANIE!
… jest absolutnie banalne, da się je udowodnić w rachunku zero-jedynkowym, poprawnie rozumianym!!!
Spróbuj to udowodnić na gruncie KRZ
… o tym w następnym poście bo ten już jest za długi.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 17:44, 29 Lip 2013, w całości zmieniany 5 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 22:57, 29 Lip 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ nr. 2
TM do bani?
| fiklit napisał: |
| Cytat: | Będziesz miał prawo twierdzić to wytłuszczone, jeśli znajdziesz jedno-jedyne twierdzenie matematyczne gdzie musisz iterować po obiektach ~p(x) jak tego WYMAGA KRZ.
Inaczej nie masz prawa twierdzić że AK jest logiką bezużyteczną do codziennych zastosowań. |
1. Jaki ma związek "łatwość" dowodzenia z bezużytecznością spowodowaną sprzecznością?
2. Nie wiem dokładnie co masz na myśli przez "iterowanie" ale wygląda mi to na coś strasznie prymitywnego jak sprawdzenie wszystkich przypadków.
3. Widziałem już w życiu kilka dowodów, nie za bardzo polegały na czymś co można by nazwać "iterowaniem po obiektach ~p(x)". Czyżbyś znowu mówił o KKRZ?
|
Ad.1
Niczego takiego nie udowodniłeś, to ja udowodniłem wewnętrzną sprzeczność KRZ w tym poście:
[link widoczny dla zalogowanych]
teraz dokładam kolejny dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ (dalsze też będą).
Ad.2
Tak, mam na myśli iterowanie po wszystkich obiektach. Dla celów dydaktycznych można sobie zawęzić zbiory do kilku elementów co bez przerwy pokazuję w podpisie.
Ad.3
W KRZ po obiektach ~p(x) iterują matematyczne żółtodzioby, to kompletnie bez znaczenia, wyłącznie bicie piany.
Fiklicie na drugą część twojego postu odpowiem za chwilę.
Ponieważ się upierasz że KRZ nie jest wewnętrznie sprzeczny to przedstawiam ci kolejny dowód jego wewnętrznej sprzeczności.
| fiklit napisał: |
Tak naprawdę to zadanie nie ma sensu.
Albo zdania albo zbiory - mówię o tym od dawna, dla Ciebie to jednak jeden kit. Dla mnie nie.
Ogólnie wiedzę, że wielu rzeczy nie rozróżniasz i pełno pomyłek masz z tego powodu.
|
Nie ma problemu albo zdania, albo zbiory, tak samo jak nie ma problemu albo algebra Boole’a albo zbiory.
Twardym dowodem iż KRZ jest do bani jest fakt iż nie widzi oczywistej tożsamości:
Algebra Boole’a = banalna teoria zbiorów, dosłownie na poziomie 5-cio latka.
Oczywiście każdy operator logiczny odpowiada ściśle określonemu wzajemnemu położeniu zbiorów p i q.
Przykładowo:
Nie wolno opisywać definicji równoważności gdzie na mocy definicji zbiory p i q są rozłączne, operatorami OR i AND gdzie na mocy definicji zbiory p i q mają części wspólne i żaden z nich nie zawiera się w drugim etc.
Ściśle określony układ zbiorów do ściśle określonej definicji zero-jedynkowej - definicji operatora X!
Wtedy i tylko wtedy zachodzi tożsamość:
Algebra Boole’a = banalna teoria zbiorów, dosłownie na poziomie 5-cio latka.
Oczywiście wydaje się że w tym momencie TM jest zbędna (nie znam TM, dlatego „wydaje się”).
Jednak to „wydaje się” można zamienić w pewność uwzględniając banalne fakty:
A.
TM nie wie co to jest zaprzeczenie zbioru do dziedziny
Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
B.
TM nie wie że zbiory mają wartości logiczne:
0 - zbiór pusty []
1 - zbiór niepusty
…chyba wystarczy.
Wszystkie definicje operatorów logicznych w zbiorach to banał.
6.6 Definicje operatorów logicznych w zbiorach
Nowa teoria zbiorów to definicje wszystkich możliwych operatorów logicznych w zbiorach, z których najważniejsze to:
OR:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p+q
~Y=~p*~q
Y = p+q <=> ~Y = ~p*~q
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Definicja operatora OR n-argumentowego:
Wszystkie zbiory muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
AND:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p*q
~Y=~p+~q
Y = p*q <=> ~Y=~p+~q
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Definicja operatora AND n-argumentowego:
Wszystkie zbiory muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Implikacja prosta:
p=>q =~p~>~q
p=>q
Zbiór p musi zawierać się w zbiorze q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p#q
Przykład:
p=[1,2], q=[1,2,3,4,5,6]
Implikacja odwrotna:
p~>q =~p=>~q
p~>q
Zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p#q
Przykład:
p=[1,2,3,4,5,6], q=[1,2]
Równoważność:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p musi zawierać się w zbiorze q i być tożsamy ze zbiorem q
p=q
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[1,2,3,4]
XOR
Y = p*~q + ~p*q
Zbiór p musi być rozłączny ze zbiorem q
p=[1,2], q=[3,4]
Wszystko jest w podpisie.
W tym artykule zajmiemy się równoważnością i implikacją.
Na początek równoważność.
Diagram równoważności:
Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Ogólna definicja warunku wystarczającego =>:
=> - zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>.
Definicja zero-jedynkowa z wyprowadzonymi równaniami cząstkowymi:
| Kod: |
Definicja |Równania prof.|Algebra |
zero-jedynkowa |Newelskiego |Kubusia |
p q Y=? | | |
A: 1 1 =1 | p* q =1 | p=> q = p* q =p =1|Zbiór p zawiera się w q
B: 1 0 =0 | p*~q =0 | p~~>~q= p*~q =0|Zbiory p i ~q rozłączne
C: 0 0 =1 |~p*~q =1 |~p=>~q =~p*~q=~p =1|Zb. ~p zawiera się w ~q
D: 0 1 =0 |~p* q =0 |~p~~>q =~p* q =0|Zb. ~p i q są rozłączne
1 2 3 4 5 6 a b c d e f
|
Jest oczywistym że w równoważności nie wolno nam rysować diagramu operatorów OR i AND gdzie na mocy definicji zbiory p i q mają cześć wspólną i żaden z nich nie zawiera się w drugim - taki diagram to FUNDAMENTALNIE co innego niż poprawny diagram równoważności (wyżej).
Oczywiście w gołej zero-jedynkowej definicji równoważności nie widać kluczowych warunków wystarczających i zależności w zbiorach widocznych w obszarze ABCDabcdef.
A.
Zauważmy, że już z równań prof. Newelskiego z obszaru AB456 doskonale widać, że zbiór p musi zawierać się w q, bowiem wtedy i tylko wtedy zajdzie p*~q=0.
B.
Podobnie, z obszaru CD456 widać, że zbiór ~p musi zawierać się w ~q bowiem wtedy i tylko wtedy ~p*q=0.
Spełnienie A i B razem wymusza tożsamość zbiorów p=q i ~p=~q, czyli wymusza dokładnie diagram równoważności jak wyżej - wykluczony jest tu diagram jakichkolwiek innych operatorów, w szczególności OR i AND. Każdy kto chce opisywać operator równoważności jakimkolwiek innym diagramem niż powyższy popełnia błąd czysto matematyczny.
Z powyższej tabeli prawdy spisujemy definicję równoważności opisaną warunkami wystarczającymi:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
1.
Wyłącznie linia A opisuje warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q), czyli definicję znaczka => w zbiorach.
A: p=>q = p*q =p =1 - zbiór niepusty
=> - zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Podstawowy dowód to wyłącznie A.
Jeśli udowodnimy że zbiór p zawiera się w q to koniec dowodu, zdanie p=>q jest prawdziwe.
Linia B to wymuszona przez A definicja kontrprzykładu, której również możemy użyć do dowodzenia warunku wystarczającego p=>q.
2.
Wyłącznie linia C opisuje warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q), czyli definicję znaczka => w zbiorach.
A: ~p=>~q = ~p*~q =~p =1 - zbiór niepusty
=> - zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Podstawowy dowód to wyłącznie C.
Jeśli udowodnimy że zbiór ~p zawiera się w ~q to koniec dowodu, zdanie ~p=>~q jest prawdziwe.
Linia D to wymuszona przez C definicja kontrprzykładu, której również możemy użyć do dowodzenia warunku wystarczającego ~p=>~q.
Zauważmy, że KRZ który nie zna żadnego innego symbolu poza tym =>, strzałkuje definicję równoważności poprawnie bo istotne są linie A i C w powyższej tabeli.
W liniach B i D poprawnie powinien być użyty ten symbol ~~>.
Oczywiście jest bez znaczenia że KRZ wali tu symbol =>, bowiem jeśli:
p~~>~q=0
To tym bardziej:
p=>~q =0
KRZ popełnia błąd czysto matematyczny w implikacji gdzie strzałkowanie fundamentalnie inne niż w równoważności.
Definicja zero-jedynkowa z wyprowadzonymi równaniami cząstkowymi:
| Kod: |
Definicja |Równania prof.|Algebra |
zero-jedynkowa |Newelskiego |Kubusia |
p q Y=? | | |
A: 1 1 =1 | p* q =1 | p=> q = p* q =p =1|Zbiór p zawiera się w q
B: 1 0 =0 | p*~q =0 | p~~>~q= p*~q =0|Zbiory p i ~q rozłączne
C: 0 0 =1 |~p*~q =1 |~p~>~q =~p*~q=~q =1|Zb.~p zawiera w sobie ~q
D: 0 1 =1 |~p* q =1 |~p~~>q =~p* q =1|~p i q mają element wspólny
1 2 3 4 5 6 a b c d e f
|
W implikacji nie wolno tak sobie przelecieć znaczkiem => od góry do dołu, to jest gorzej niż wewnętrzna sprzeczność, to jest błąd czysto matematyczny.
Chodzi tu przede wszystkim o linię D.
Znaczek => użyty w linii C wymusza w linii D rozłączność zbiorów ~p*q=0, tymczasem w implikacji musi tu być 1 (patrz tabela wyżej) - to jest oczywista, wewnętrzna sprzeczność KRZ.
Zauważmy że w implikacji ewidentnie zachodzi w zbiorach w linii C:
~p~>~q = ~p*~q = ~q =1
Natomiast w równoważności ewidentnie zachodzi w zbiorach:
~p=>~q = ~p*~q = ~p = ~q =1
Różnica jest więc FUNDAMENTALNA (chodzi o to ~p którego brakuje w implikacji).
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ Nr.2
Szczegóły implikacji prostej w zbiorach.
Definicja implikacji prostej w zbiorach:
Definicja implikacji prostej w logice dodatniej (bo q) w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Ogólna definicja znaczka => (warunek wystarczający):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Definicja tożsama to definicja implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q):
~p~>~q = p=>q
~p~>~q
Zbiór ~p musi zawierać w sobie zbiór ~q i nie być tożsamy ze zbiorem ~q
Ogólna definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
~p~>~q
Zabieram ~p i musi zniknąć ~q
Zajście ~p jest konieczne dla zajścia ~q
Symboliczna definicja implikacji prostej:
| Kod: |
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
o definicji wyłącznie w A i B
p=>q
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
B: p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie ze zdania A
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q
C:~p~>~q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
D:~p~~>q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C
|
gdzie:
1.
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki o definicji wyłącznie w A i B.
Ogólna definicja znaczka => (warunek wystarczający):
p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
2.
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q („rzucanie monetą” ~>) o definicji:
~p~>~q = p=>q
Ogólna definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
~p~>~q
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
~p~>~q = p=>q
Z powyższej tożsamości wynika, że aby dowieść zachodzący warunek konieczny między ~p~>~q wystarczy dowieść warunek wystarczający p=>q zdefiniowany wyłącznie w liniach A i B w powyższej definicji.
… ale uwaga!
Dowód prawdziwości warunku wystarczającego p=>q w liniach A i B o niczym nie rozstrzyga, bowiem ten sam warunek wystarczający może wchodzić w skład definicji implikacji prostej, albo w skład definicji równoważności, to musimy dopiero udowodnić.
Równoważność, gdzie „rzucanie monetą” nie występuje, to zupełnie inna bajka niż implikacja, gdzie „rzucanie monetą” zawsze występuje.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
p=>q - to jest identyczny warunek wystarczający wchodzący w skład definicji implikacji prostej albo równoważności.
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający ## implikacja prosta ## równoważność
p=>q ## p=>q=~p~>~q ## p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
## - różne na mocy definicji
3.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Ogólna definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”):
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Zauważmy, iż na powyższym diagramie definicja znaczka => spełniona jest wyłącznie w linii A, zatem tu i tylko tu mamy go prawo użyć:
A: p=>q = p*q = p =1
Podobnie, definicja znaczka ~> spełniona jest wyłącznie w linii C, zatem tu i tylko tu mamy prawo go użyć:
C: ~p~>~q = ~p*~q = ~q =1
W pozostałych przypadkach (linie B i D) musimy użyć znaczka ~~> bo nic innego nie mamy już do dyspozycji:
B: p~~>~q = p*~q =1*1 =0 - bo zbiory p i ~q istnieją, ale są rozłączne
D: ~p~~>q = ~p*q =1*1 =1 - wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów ~p i q.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
