 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Czw 11:29, 17 Sty 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
Wykłady z algebry Kubusia
Temat:
Implikacja i równoważność w pigułce
4.8 Implikacja i równoważność w pigułce
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Wynika to bezpośrednio z definicji operatora logicznego.
Fundament algebry Kubusia:
Definicje operatorów logicznych AND, OR, =>, ~>, <=> zbudowane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q.
Wszelkie prawa algebry Kubusia obowiązują dla świata niezdeterminowanego. W przypadku determinacji poprzednika lub następnika jedyną poprawną metodą analizy matematycznej jest analiza wszystkich możliwych przeczeń p i q zgodnie z definicją operatora logicznego.
Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.
Fundamentem operatorów implikacji i równoważności są zaledwie trzy znaczki => , ~> i ~~>
Diagram implikacji prostej:
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Ogólna definicja znaczka =>:
=> - warunek wystarczający
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.
Wymuszam p i musi pojawić się q
p=>q
Jeśli zajdzie to na pewno => zajdzie q
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
W mowie potocznej warunek wystarczający => to spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki.
Diagram implikacji odwrotnej:
Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Ogólna definicja znaczka ~>:
~> - warunek konieczny
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Zabieram zbiór p i musi zniknąć q
W mowie potocznej, w implikacji, warunek konieczny ~> to spójnik „może” między p i q.
W równoważności <=> warunek konieczny ~> istnieje na poziomie wirtualnym, nie jest to spójnik „może” z powodu tożsamości zbiorów p i q.
Ogólna definicja znaczka ~~>:
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
p~~>q
Zbiory:
p*q =1
Wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i q
Matematyczny związek warunku wystarczającego => i koniecznego ~> opisują prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Prawa Kubusia działają wyłącznie w świecie totalnie niezdeterminowanym, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q. Wynika to bezpośrednio z definicji operatora logicznego i prawa Sowy.
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w implikacji i równoważności:
W implikacji i równoważności zdanie zapisane jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy q jest niezanegowane.
p=>q - logika dodatnia bo q
~p~>~q - logika ujemna bo ~q
Definicja warunku koniecznego ~> w całym obszarze logiki:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q
W świecie totalnie niezdeterminowanym, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q zachodzi:
Jeśli z prawej strony tożsamości udowodnimy warunek wystarczający =>, to tym samym udowodnimy warunek konieczny ~> z lewej strony (albo odwrotnie). Warunki wystarczające => dowodzi się nieporównywalnie prościej. Z praw Kubusia wynika, że całą logikę w zakresie implikacji i równoważności można sprowadzić do dowodzenia banalnych warunków wystarczających.
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q
Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
A: p=>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q
Jeśli tak to:
p=>q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
B: p~~>~q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: p=>q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
A: p=>q =1
cnd
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q
Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli tak to:
~p=>~q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
D: ~p~~>q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
C: ~p=>~q =1
cnd
Definicje operatorów logicznych w równaniach algebry Kubusia.
Diagram implikacji prostej:
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
Symboliczna definicja implikacji prostej:
| Kod: |
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q)
o definicji wyłącznie w A i B
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
B: p~~>~q=0 - twardy fałsz wynikający wyłącznie z A
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q)
C:~p~>~q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo D
D:~p~~>q =1 = miękka prawda, może zajść ale nie musi bo C
|
Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
~p~>~q = p=>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Alternatywna definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między p i q
p=>q =1
p~>q = ~p=>~q =0
Diagram implikacji odwrotnej:
Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q)
A: p~> q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo B
B: p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo A
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q)
o definicji wyłącznie w C i D
C:~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
D:~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z C
|
Gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Alternatywna definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między p i q
p~>q= ~p=>~q =1
p=>q=0
Definicja równoważności:
Diagram równoważności:
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
W równoważności zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Równoważność to iloczyn logiczny warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q).
Definicja symboliczna równoważności:
| Kod: |
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q)
o definicji wyłącznie w A i B
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna A
B: p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z A
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q)
o definicji wyłącznie w C i D
C: ~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna C
D: ~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z C
|
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Wymuszam p i musi pojawić się q
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Dodatkowo zbiory p i q są tożsame co wymusza równoważność:
p=q
Tożsamość p i q wymusza tożsamość ~p i ~q:
~p=~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q =1
D: ~p~~>q =0
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Wymuszam ~p i musi pojawić się ~q
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q
Dodatkowo zbiory ~p i ~q są tożsame co wymusza równoważność:
~p=~q
Tożsamość ~p i ~q wymusza tożsamość p i q:
p=q
W równoważności, i tylko tu, obowiązuje prawo kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
stąd definicja równoważności uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Z powodu tożsamości zbiorów spełniona jest definicja wirtualnego warunku koniecznego [~>]:
[p~>q]
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q bo zbiory p i q są tożsame.
Zabieram p i musi zniknąć q
W równoważności spełnione są ogólne definicje warunku koniecznego [~>]:
[p~>q] = ~p=>~q
[~p~>~q] = p=>q
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny, istnieje, ale nie jest to spójnik „może” między p i q znany z implikacji, bo mamy tożsamość zbiorów p i q i o żadnym „rzucaniu monetą” nie może być mowy
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
stąd:
Definicja równoważności w równaniu algebry Kubusia:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
Gdzie:
<=> - symbol równoważności, spójnik „wtedy i tylko wtedy” między p i q
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
[~>] - wirtualny warunek konieczny, istnieje, ale nie jest to spójnik „może” między p i q znany z implikacji, bo mamy tożsamość zbiorów p i q i o żadnym „rzucaniu monetą” nie może być mowy
Alternatywna definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i wirtualnego koniecznego [~>] między p i q
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
p=>q =1
[p~>q] = ~p=>~q =1
Definicje implikacji i równoważności w zbiorach:
Implikacja to trzy i tylko trzy zbiory niepuste i rozłączne
Równoważność to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
Zbiory tożsame w równoważności:
p=q
~p=~q
Definicje implikacji i równoważności w gwarancjach matematycznych:
Gwarancja matematyczna = warunek wystarczający =>
Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q =1
B: p~~>~q =0
Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0
Implikacja to zawsze jedna i tylko jedna gwarancja matematyczna =>:
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q = ~(p*~q)
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q = ~(~p*q)
Równoważność to zawsze dwie i tylko dwie gwarancje matematyczne =>:
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q = ~(p*~q)
~p=>~q = ~(~p*q)
4.9 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata
... z przymrużeniem oka, czyli prosty sposób na zapamiętanie najważniejszych definicji operatorów logicznych.
Na początku było:
i stał się cud:
p+~p=1 - prawo algebry Boole’a
q+~q=1 - prawo algebry Boole’a
czyli:
| Kod: |
A: p=>(q+~q)
C: ~p=>(~q+q)
|
stąd mamy …
Równoważność
Operatorowa definicja równoważności:
| Kod: |
p q p<=>q
A: p=> q =1 /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
B: p~~>~q=0 /o definicji w A i B
C:~p=>~q =1 /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p~~>q =0 /o definicji w C i D
|
Definicja operatorowa równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Definicja zero jedynkowa równoważności dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
| Kod: |
p q p<=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0
|
Implikacja prosta
W naszym Wszechświecie zdecydowanie przeważa implikacja powstała przez rozczepienie dwóch ostatnich linii w definicji równoważności. Możliwe jest rozczepienie linii A i B albo linii C i D.
Implikacja prosta to rozczepienie linii C i D w definicji równoważności.
Operatorowa definicja implikacji prostej:
| Kod: |
p q p=>q
A: p=> q =1 /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
B: p~>~q =0 /o definicji w A i B
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C:~p~>~q =1 /warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p~~>q =1
|
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p~>~q
Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
| Kod: |
p q p=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1 |
Implikacja odwrotna
Implikacja odwrotna to rozczepienie linii A i B w definicji równoważności.
Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
p q p~>q
A: p~> q =1 /warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
B: p~~>~q =1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
C:~p=> ~q =1 /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
D:~p~~> q =0 /o definicji w C i D
|
Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q
Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
| Kod: |
p q p~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0 |
Operator chaosu
Możliwe jest totalne rozczepienie definicji równoważności, zarówno po stronie p jak i ~p.
Nie ma wtedy żadnej gwarancji, mamy tu zdanie ZAWSZE PRAWDZIWE, pełną przypadkowość
Operator chaosu, czyli definicja naturalnego spójnika „może” ~~>
| Kod: |
p q p~~>q
A: p~~> q =1 /Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
B: p~~>~q =1 /Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
C:~p~~>~q =1 /Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
D:~p~~> q =1 /Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
|
p~~>q=1
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
Definicja zero-jedynkowa operatora chaosu ~~> dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
| Kod: |
p q p~~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1 |
Operator śmierci
Operator śmierci to stan naszego Wszechświata przed jego stworzeniem.
Wszystkie przeczenia p i q są zbiorami pustymi:
p=0
~p=0
q=0
~q=0
Nie istnieje totalnie NIC, nie ma zdefiniowanego ani jednego pojęcia.
Operator śmierci, wszystkie przeczenia p i q są zbiorami pustymi.
| Kod: |
p q p~~>q
A: p~~> q =0 /zbiór pusty
B: p~~>~q =0 /zbiór pusty
C:~p~~>~q =0 /zbiór pusty
D:~p~~> q =0 /zbiór pusty
|
Definicja zero-jedynkowa operatora śmierci dla kodowania zgodnego z nagłówkiem tabeli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
| Kod: |
p q p~~>q
A: 1 1 =0
B: 1 0 =0
C: 0 0 =0
D: 0 1 =0 |
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 17:55, 17 Sty 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
Dzięki Fiklicie,
Każda nowa Idea potrzebuje jakiegoś spektakularnego zastosowania, zrozumiałego możliwie dla jak największego grona czytelników.
Dzięki naszej dyskusji powstał sztandarowy artykuł "Definicje czworokątów w algebrze Kubusia":
[link widoczny dla zalogowanych]
Problem z algebrą Kubusia jest taki, że nie jest w stanie człowieka zaskoczyć, nie jest w stanie pokazać czegoś czego człowiek by nie znał, bo czy można człowieka zaskoczyć opisując matematycznie jego własną logikę ... którą znają absolutnie wszyscy ludzie na ziemi od 5-cio latka poczynając?
| fiklit napisał: |
Myślę, że nie ma o czym gadać, jeśli dla ciebie "prostokąt z grupy prostokątów" jest pojęciem szerszym niż "prostokąt" i nie widzisz w tym problemu to, no nie mam słów. |
Jak widzisz Fiklicie wszystko mamy totalnie odwrócone (coś jak problem P i NP.?).
Definicja warunku wystarczającego =>:
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
p=>q
Każdy element zbioru p musi zawierać się w zbiorze q
Definicja warunku koniecznego ~>:
~> zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
p~>q
Zabieram zbiór p i musi zniknąć zbiór q
W algebrze Kubusia jest tak:
Grupa prostokątów ~> prostokąt o nie równych bokach, kwadrat
Kwadrat, prostokąt o nie równych bokach => Grupa prostokątów
Grupa prostokątów jest pojęciem szerszym bo zawiera w sobie zarówno prostokąt o nie równych bokach jak i kwadrat.
Ja nie mówię o jakimś konkretnym prostokącie o nie równych bokach z grupy prostokątów, ja mówię o absolutnie wszystkich czworokątach z tej grupy, czyli o wszystkich prostokątach o nie równych bokach i wszystkich kwadratach i TEN zbiór porównuję ze zbiorem WSZYSTKICH prostokątów o nie równych bokach.
… no i który zbiór jest większy?
Grupa prostokątów zawierająca wszystkie prostokąty o nie równych bokach i kwadraty, czy też zbiór wyłącznie prostokątów o nie równych bokach?
P.S.
Wrzuciłem aktualną wersję AK i powyższy artykuł na początek tego tematu.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 22:47, 17 Sty 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: | Definiujemy nazwę "prostokąt":
prostokąt to A (A to pewne warunki, których spełnienie pozwala nazwać jakiś obiekt prostokątem, nieważne teraz jakie).
Definicja nazwy "prostokąt" określa zbiór obiektów spełniających A, czyli definicję (tzw. zbiór desygnatów)
Ten zbiór to "zbiór prostokątów", zawiera on tylko obiekty spełniające A, ale wszystkie takie obiekty.
Używasz wyrażenia "grupa prostokątów" ale napisałeś, że grupa=zbiór.
Więc grupa prostokątów to zbiór prostokątów, czyli zbiór wszystkich obiektów spełniających A.
"Prostokąt" to element zbioru prostokątów.
Teraz piszesz "prostokąt z grupy prostokątów".
Niezależnie jakie warunki trzeba spełnić, aby być elementem "grupy prostokątów" ale nazwijmy je B, nie jesteś w stanie objąć tą nazwą obiektu, który nie spełnia warunków A. "prostokąt z grupy prostokątów" to każdy obiekt spełniający jednocześnie warunki A(jest prostokątem) i B (jest z grupy prostokątów).
Zatem "prostokąt z grupy prostokątów" po prostu nie ma prawa być pojęciem szerszym niż "prostokąt".
Co do idem per idem - nie możesz definiując prostokąt użyć słowa prostokąt.
samochód to samochód który... Błąd.
Nie wiem czego w tym nie rozumiesz, ale jeśli tego nie zrozumiesz to rozmowa z tyloma nawarstwionymi błędami nie ma sensu. |
… ale to nie ja piszę że samochód to samochód - to pisze w dzisiejszym podręczniku matematyki!
Udowodniłem to dwa posty wyżej:
[link widoczny dla zalogowanych]
Przeczytaj ten post uważnie jeszcze raz.
To w dzisiejszej matematyce pisze:
Jeśli trapez to trapez
T=>T
… i to jest matematycznie nie do obalenia!
Fiklit, międzyczasie, nie widząc twojego postu napisałem odpowiedź dla Słupka i widzę że pasuje ona jako odpowiedź również na twój post.
Nasz mózg zastosował tu starą matematyczną sztuczkę!
Jan wszedł i padł martwy = Jan padł martwy i wszedł
bo:
p*q = q*p
Jak ktoś koduje zdania matematycznie bezmyślnie to wychodzą idiotyzmy jak wyżej.
To jest następstwo czasowe, matematycznie nieprzemienne. Nasz mózg doskonale o tym wie i wali zamiast długiego „po czym” króciutkie „i”(*) - to obowiązuje od epoki kamiennej.
| Slupek napisał: | | Cytat: | | Inna relacja zachodzi między czworokątem, kwadratem i prostokątem. Czworokąt jest tu nadzbiorem w stosunku do kwadratu i prostokąta, nie są to więc zbiory rozłączne. |
Czyli można "opisywać cech" czworokąta "na podstawie rysunku kwadratu"? Cokolwiek by to miało znaczyć. |
Zbiory rozłączne to prostokąt o nie równych bokach i kwadrat.
Te zbiory muszą być precyzyjnie matematycznie opisane, bo to są zbiory rozłączne, czyli nie da się opisać cech prostokąta o nie równych bokach przy użyciu kwadratu i odwrotnie.
Natomiast wszystkie cechy, zarówno prostokąta o nie równych bokach jak i kwadratu, zawiera w sobie pojęcie „czworokąt”.
Pojęcie czworokąt zawiera w sobie również cechy pozostałych czworokątów: rombu, równoległoboku, trapezu, deltoidu, a także cechy czworokątów niesklasyfikowanych w tym podziale np. czworokąta o przypadkowych bokach.
Wynika z tego że czworokąt jako taki jest matematycznie bezużyteczny, bo jak rzucimy hasło „czworokąt” to możemy sobie rzucać monetą i rysować cokolwiek byle miało cztery boki i kąty wewnętrzne.
Zupełnie czym innym są pojęcia: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez, deltoid.
Te pojęcia są w naturalnej logice człowieka pojęciami rozłącznymi opisanymi precyzyjnie równaniami algebry Boole’a.
Tu każdy normalny uczeń, któremu nie wyprano mózgu z naturalnej logiki człowieka, nie będzie miał żadnych problemów z narysowaniem superprecyzyjnie dowolnego z tych sześciu czworokątów tzn. wyłącznie człowiek z wypranym mózgiem na hasło „trapez” może narysować romb, czy kwadrat.
… ale nasunąłeś mi pewną myśl, wywalamy tymczasowo z logiki pojęcie kwadrat.
Prostokąty dzielimy na prostokąty o bokach równych oraz prostokąty o bokach nierównych.
Mamy tu masło maślane prostokąty dzielimy na prostokąty, które jest przyczyną naszych nieporozumień.
Definicja warunku wystarczającego =>:
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
p=>q
Każdy element zbioru p musi zawierać się w zbiorze q
Definicja warunku koniecznego ~>:
~> zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
p~>q
Zabieram zbiór p i musi zniknąć zbiór q
Zastosujmy trochę „inne” nazwy:
Nadzbiór:
A = czworokąt o kątach prostych
Podzbiory:
B= czworokąt o kątach prostych i bokach równych
C = czworokąt o kątach prostych i bokach nierównych
Oczywiście zbiory B i C są rozłączne, zakwestionować to może wyłącznie matematyczny matoł.
Nie da się zatem zdefiniować czworokąta C opisując cechy czworokąta B i odwrotnie, gdyby się dało to zbiory B i C nie byłyby rozłączne.
Oczywistym jest że czworokąt o kątach prostych A zawiera w sobie wszystkie cechy B i wszystkie cechy C.
Jednak A to zupełnie co innego niż B i C.
Matematycznie zachodzi:
1.
A~>B+C
Zbiór A zawiera w sobie ~> zbiór B i C
2.
B+C=>A
Zbiór B+C zawiera się w zbiorze A
Wynika z tego, że dla matematycznej jednoznaczności konieczne są precyzyjne definicje B i C, bowiem definicja A ze swej natury NIGDY nie będzie precyzyjna!
Wniosek:
Definicja A jest matematycznie bezużyteczna, to jest matematyczny śmieć, czyli „rzucanie monetą”.
Jak ktoś rzuci hasło:
Jasiu, narysuj A
- to Jasiu może rzucić monetą i narysować B albo C.
Komu w matematyce potrzebne jest „rzucanie monetą” w ten sposób?
Nasz mózg to niesłychanie cwana bestia, wprowadził wyłącznie pojęcie kwadrat:
B = kwadrat = czworokąt o kątach prostych i bokach równych
uznając za zbędne nadawanie oddzielnej nazwy dla C.
Nazwa C nie uległa zmianie!
C = czworokąt o kątach prostych i bokach nierównych
Nasz mózg doskonale wie że A to bezwartościowy śmieć „rzucanie monetą”, natomiast C to jest coś niesłychanie wartościowego o nazwie „precyzja matematyczna”.
Z tego powodu redukuje długa nazwę C do nawy króciutkiej:
C = prostokąt = czworokąt o kątach prostych i bokach nierównych
Dokładnie tak rozumieją nazwę „prostokąt” absolutnie wszyscy ludzie na ziemi, dlatego nikomu nie przyjdzie do głowy opisywanie cech prostokąta przy użyciu kwadratu - to jest ewidentny, matematyczny błąd!
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 21:29, 20 Sty 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
Dodatek B
Prawo Hipcia
Jeśli ludzie załapią algebrę Kubusia zapewne wielu uzna ją za największe odkrycie w historii ludzkości.
Najważniejszy przełom w historii 7-letniej wojny:
Algebra Kubusia vs logika matematyczna Ziemian
Dlaczego najważniejszy?
Bo prawa Hipcia i techniki wypełniania tabel zero-jedynkowych dla zbiorów rozłącznych (nie ma tego w Ziemskiej matematyce) nie sposób nie zrozumieć … kto zrozumie i zaakceptuje, ten mam nadzieję zaakceptuje całą AK.
Wykłady z algebry Kubusia
Temat:
Prawo Hipcia
Budowa tabel zero jedynkowych dla zbiorów rozłącznych (przełom w AK!)
Spis treści:
1.0 Notacja
2.0 Operatory logiczne w zbiorach
3.0 Prawo Hipcia
3.1 Pseudo operator Hipcia
4.0 Prawo Hipcia w implikacji
5.0 Prawo Hipcia w równoważności
6.0 Dowody błędności problemu „kwadrat-prostokąt” w logice Ziemian
6.1 Dowód 1 - poprzez analogię do twierdzenia Pitagorasa
6.2 Dowód 2 - budowa zbioru czworokątów
6.3 Dowód 3 - polemika z ziemską matematyką
6.4 Impresje na temat kwadratu i prostokąta
1.0 Notacja
Definicje warunków wystarczających => i koniecznych ~> podano w tym poście:
[link widoczny dla zalogowanych]
Związek między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> opisują prawa Kubusia:
p=>q = p~>~q - definicja implikacji prostej
p~>q = ~p=>~q - definicja implikacji odwrotnej
Prawa Kubusia to prawa matematyczne obowiązujące w naszym Wszechświecie.
Prawa Kubusia to po prostu definicje implikacji prostej i odwrotnej zapisane w równaniach algebry Boole’a.
Definicja warunku wystarczającego =>:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
Ogólna definicja znaczka =>:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
p=>q
Każdy element zbioru p musi zawierać się w zbiorze q
Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” (rzucanie monetą) między p i q:
Ogólna definicja znaczka ~>:
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
p~>q
Zabieram zbiór p i musi zniknąć zbiór q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.
Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie siedem spójników logicznych.
Operatory AND, OR i XOR:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
$ - spójnik „albo” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
Kubusiowa teoria zbiorów to definicje wszystkich możliwych operatorów logicznych w zbiorach, z których najważniejsze to:
2.0 Operatory logiczne w zbiorach
OR:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p+q
~Y=~p*~q
AND:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p*q
~Y=~p+~q
Implikacja prosta:
Zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p=>q = ~p=>~q
Implikacja odwrotna:
Zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p~>q = ~p=>~q
Równoważność:
Zbiór p musi być tożsamy ze zbiorem q, co wymusza tożsamość zbiorów ~p i ~q
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
XOR
Zbiór p musi być rozłączny ze zbiorem q
Y = p*~q + ~p*q
Algebra Kubusia to matematyczny opis naszego Wszechświata, w tym nieznanego.
3.0 Prawo Hipcia
Prawo Hipcia obowiązuje dla zbiorów rozłącznych
Definicja spójnika „albo’($):
(A1$A2$...An) = A1$A2$...An
co matematycznie oznacza:
(A1$A2$...An)=1 <=> A1=1 albo A2=1 albo … An=1
czyli:
(A1$A2$...An)=1 wtedy i tylko wtedy gdy wyłącznie jedna ze zmiennych A1, A2…An jest równa 1
gdzie:
$ - symbol spójnika „albo”($)
Definicja spójnika „albo”($):
| Kod: |
p q Y=p$q
A: 1 1 =0
B: 1 0 =1 /p$q=p*~q
C: 0 1 =1 /p$q=~p*q
|
Definicja dwuargumentowego operatora XOR:
| Kod: |
p q p$q | ~p ~q ~p$~q | q$p
A: 1 1 =0 | 0 0 =0 | =0
B: 1 0 =1 /p$q=p*~q | 0 1 =1 /~p$~q=p*~q | =1
C: 0 1 =1 /p$q=~p*q | 1 0 =1 /~p$~q=~p*q | =1
D: 0 0 =0 | 1 1 =0 | =0
1 2 3 4 5 6 7
|
Definicja spójnika „albo”($) dla dwóch argumentów w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p$q = p*~q + ~p*q
Właściwości spójnika „albo”($):
1.
Argumenty są przemienne
p$q = q$p
2.
Zachodzi tożsamość matematyczna
p$q = ~p$~q
Oznacza to, że wszystko jedno czy przyjmiemy za punkt odniesienia:
p$q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
czy też za punkt odniesienia przyjmiemy:
~p$~q
~p=1, p=0
~q=1, q=0
w obu przypadkach dostajemy identyczną tabelę zero-jedynkową, operatora XOR
3.
Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($) spełniona jest wyłącznie w obszarach ABC123 oraz BCD456.
gdzie:
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka
Definicje:
U - Uniwersum - wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka
[] - Zbiór pusty - zbiór zawierający zero elementów
Właściwości zbioru pustego i Uniwersum:
~[] = U - zaprzeczenie zbioru pustego [] to Uniwersum
~U = [] - zaprzeczenie Uniwersum to zbiór pusty []
Dla zbiorów rozłącznych spójnik „albo”($) opisany jest wyłącznie w obszarze ABC123 powyższej tabeli
bo:
Na mocy definicji spójnika „albo” zbiory p i q muszą być rozłączne.
Wartość logiczna zbiorów p i q to:
p=1 - istnieją elementy zbioru p
~p = U-p =1 - Uniwersum minus elementy zbioru p (zbiór niepusty nie będący Uniwersum)
q=1 - istnieją elementy zbioru q
~q = U-q =1 - Uniwersum minus elementy zbioru q (zbiór niepusty nie będący Uniwersum)
Komentarz:
Zauważmy, że zbiory ~p i ~q mają część wspólną, zatem nie podlegają pod definicję spójnika „albo”($).
W definicji operatora XOR spójnik „albo” opisany jest zatem wyłącznie w obszarze ABC123.
Dla n argumentów w definicji spójnika „albo” wykluczamy linię z samymi zerami po stronie wejścia operatora XOR (bramki XOR).
Definicja dwuargumentowego spójnika „albo”($) w zbiorach:
| Kod: |
p q Y=p$q
A: 1 1 =0 /~Y= p* q=1*1=0 - zbiory rozłączne
B: 1 0 =1 / Y= p*~q=1*1=1 (=p)
C: 0 1 =1 / Y=~p* q=1*1=1 (=q)
|
Definicja trzyargumentowego spójnika „albo”($) w zbiorach:
| Kod: |
p q r Y=p$q$r
A: 1 1 1 =0 /Y= p* q* r=1*1*x=0
B: 1 1 0 =0 /Y= p* q*~r=1*1*x=0
C: 1 0 1 =0 /Y= p*~q* r=1*x*1=0
D: 1 0 0 =1 /Y= p*~q*~r=1*x*x=1 (=p)
E: 0 1 1 =0 /Y=~p* q* r=x*1*1=0
F: 0 1 0 =1 /Y=~p* q*~r=x*1*x=1 (=q)
G: 0 0 1 =1 /Y=~p*~q* r=x*x*1=1 (=r)
|
Legenda:
x - znaczek oznaczający, że na tej pozycji nie ma jedynki lub jest jedynka trzecia i dalsza
W dowolnej linii szukamy dwóch jedynek.
Jeśli takie istnieją to w wyniku zapisujemy 0, inaczej 1.
Uzasadnienie:
p*q=1*1=0
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty).
Iloczyn logiczny zbioru pustego z dowolną ilością zbiorów niepustych daje w wyniku 0 (zbiór pusty).
Zauważmy, że żaden ze zbiorów zanegowanych nie jest równy Uniwersum bo:
Zbiór p istnieje i jest niepusty:
p=1
Zaprzeczenie zbioru niepustego to Uniwersum pomniejszone o elementy tego zbioru:
~p = U-p =1 - zbiór niepusty, nie będący Uniwersum
Diagram działania spójnika „albo” dla dwóch argumentów:
Diagram działania spójnika „albo” dla trzech argumentów
Prawo Hipcia:
Prawo dopełnienia do dziedziny dla n argumentów.
Jeśli zbiory A1,A2 … An są rozłączne:
A1$A2$ … An
oraz zachodzi:
A1+A2+…An = r
to:
[(A1$A2$ …An)=>r] = [(A1=>r) + (A2=>r) + … (An=>r)] = [r=>r]
Prawo Hipcia dla dwóch argumentów:
Jeśli zbiory p i q są rozłączne:
p$q
oraz zachodzi:
p+q=r
to:
(p$q=>r) = [(p=>r) + (q=>r)] = (r=>r)
Zauważmy, że bez założeń jak wyżej, nie zachodzi prawo ogólne:
p+q=>r # (p=>r)+ (q=>r)
Dowód:
Lewa strona:
p+q=>r = ~(p+q)+r = ~p*~q + r
Prawa strona:
(p=>r) + (q=>r) = ~p+r + ~q+r = ~p+~q +r
L#P
cnd
Diagram w zbiorach:
Definicja spójnika „albo”($):
(A1$A2$..An) = A1$A2$… An
co matematycznie oznacza:
(A1$A2$.. An)=1 <=> A1=1 albo A2=1 albo … An=1
(A1$A2$.. An)=1 <=> dokładnie jedna zmienna jest równa 1
Prawo Hipcia:
(p$q=>r) = [(p=>r) + (q=>r)] = (r=>r)
Założenia:
p$q - zbiór p jest rozłączny ze zbiorem q
p+q=r - zbiór r jest suma logiczną zbiorów p i q
| Kod: |
p q p$q p+q=r p$q=>r p=>r q=>r (p=>r)+(q=>r) r=>r
1 1 0 1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1 1
|
Prawo Hipcia dla trzech argumentów:
[(p$q$s)=>r] = [(p=>r) + (q=>r) + (s=>r)] = (r=>r)
Założenia:
p$q$s - zbiory rozłączne
p+q+s =r - zbiór r jest sumą logiczną zbiorów p, q i s
| Kod: |
A B C
p q s p$q$s p+q+s=r p$q$s=>r p=>r q=>r s=>r (A+B+C) r=>r
1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1
|
[(p$q$s)=>r] = [(p=>r) + (q=>r) + (s=>r)] = (r=>r)
cnd
Prawo Hipcia dla n argumentów:
Jeśli zbiory A1,A2 … An są rozłączne:
A1$A2$ … An
oraz zachodzi:
A1+A2+…An = r
to:
[(A1$A2$ …An)=>r] = [(A1=>r) + (A2=>r) + … (An=>r)] = [r=>r]
Wniosek z prawa Hipcia:
Jeśli zbiory są rozłączne to jedynym poprawnym spójnikiem łączącym te zbiory jest spójnik „albo”($).
Y=A1$A2$...An
Nie ma tu fizycznej możliwości aby obiekt Ax mógł być jednocześnie którymkolwiek obiektem Ay, bo wszystkie zbiory są rozłączne z założenia.
Przykład:
Robimy podział kobiet ze względu na kolor włosów:
Dziedzina: blondynki, brunetki, pozostałe
Prawo Hipcia:
Wszystkie kobiety = blondynki $ brunetki $ pozostałe
WK = BL $ BR $ PZ
Oczywiście możemy wyodrębnić dalsze kolory np.
Dziedzina: blondynki, brunetki, rude, pozostałe
Prawo Hipcia:
Wszystkie kobiety = blondynki $ brunetki $ rude $ pozostałe
WK = BL $ BR $ RD $ PZ
Zasady budowy równania Hipcia
1.
Przed dołączeniem obiektu do równania Hipcia według określonego kryterium musimy matematycznie udowodnić czy nie koliduje on z już istniejącymi badając iloczyn logiczny wszystkich istniejących już obiektów z obiektem dołączanym.
2.
Jeśli dołączany obiekt koliduje z obiektami istniejącymi to musimy zmienić definicje w taki sposób, aby tą kolizję usunąć.
Poza matematyką nie ma tu problemu, chociażby blondynki i brunetki wyżej. Matematyka wymaga dowodów ścisłych, pokażemy to za chwilę na przykładzie budowy równania Hipcia dla czworokątów.
Najcenniejszy matematycznie jest podział według takiego kryterium gdzie otrzymujemy wyłącznie dwa zbiory niepuste, bowiem wtedy mamy do czynienia z równoważnością. Równoważność to rzadkość zarówno w matematyce jak i w przyrodzie.
Przy dokładnie trzech zbiorach niepustych mamy do czynienia z powszechnie występującą w przyrodzie implikacją, będzie o tym za chwilę.
3.1 Pseudo operator Hipcia
Pseudo operator Hipcia umożliwia matematyczny opis figury geometrycznej X przy pomocy definicji figury Y. Pseudo operator Hipcia to odpowiednik makro rozkazu w języku asemblera.
Definicja pseudo operatora Hipcia:
p&p*r = ~p*r
Algorytm działania pseudo operatora Hipcia:
1.
Negujemy zmienne po lewej stronie znaku &, ale tylko te które występują po prawej stronie tego znaku.
2.
Jeśli zmienna widoczna po prawej stronie znaku & nie występuje po jego przeciwnej stronie to dołączamy ją ze spójnikiem „i”(*).
Przykład:
W dziedzinie czworokątów mamy wyłącznie dwa czworokąty o kątach równych, to kwadrat i prostokąt.
Na mocy definicji mamy tu do czynienia z równoważnością gdzie obowiązuje:
KW=~PR
PR=~KW
Kwadrat
Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie kąty i boki równe
KW=KR*BR
Prostokąt
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste, zaś boki nie są równe
PR = KR*~BR
Pseudo operator Hipcia umożliwia, poprawne przekształcenia na definicjach:
KW = KR*BR
PR = KR*~BR
KW = ~(PR) = (KR*~BR)&BR = KR*BR
PR = ~(KW) = (KR*BR)&BR = KR*~BR
4.0 Prawo Hipcia w implikacji
Najciekawsze zależności między dwoma zbiorami są następujące.
I.
Diagram implikacji prostej:
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Przykład:
Dziedzina:
ZLN - zbiór liczb naturalnych
p = [1,2]
q = [1,2,3,4,5,6]
~p = [3->oo]
~q = [7->oo]
Badamy wszystkie możliwe kombinacje zbiorów:
A.
p=>q =1
p*q = [1,2]*[1,2,3,4,5,6] = [1,2]
B.
p~~>~q =0
p*~q = [1,2]*[7->oo] =[] - zbiór pusty!
C.
~p~>~q =1
~p*~q = [3->oo]*[7->oo] = [7->oo]
D.
~p~~>q=1
~p*q = [3->oo]*[1,2,3,4,5,6] = [3,4,5,6]
Mamy trzy zbiory niepuste zatem na mocy definicji zachodzi tu implikacja prosta.
Prawo Hipcia jest spełnione:
ZLN = p*q + ~p*~q + ~p*q = [1,2] + [7->oo] + [3,4,5,6]
gdzie:
ZLN - zbiór liczb naturalnych
Oczywiście takie działania na przypadkowych zbiorach liczb to śmieci.
W przyrodzie jest inaczej, jest genialnie!
Diagram implikacji prostej:
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L =1 bo pies
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór pies zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L).
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L=0
… a jak nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura, wąż ..
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór ~P zawiera w sobie zbiór ~4L
LUB
D.
Jeśli zwierzę nie jest to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo koń, słoń …
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A otrzymujemy zero-jedynkową definicje implikacji prostej:
P=>4L
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
| Kod: |
Zapis |Kodowanie zero-jedynkowe
Symboliczny | P 4L P=>4L
A: P=> 4L =1 | 1 1 =1
B: P~~>~4L=0 | 1 0 =0
C:~P~>~4L =1 | 0 0 =1
D:~P~~>4L =1 | 0 1 =1
|
cnd
Oczywiście spełnione jest prawo Hipcia, czyli zbiory A, C i D są rozłączne, a ich suma to wszystkie zwierzaki!
ZWZ = P*4L (pies) $ ~P*~4L (kura, wąż ..) $ ~P*4L (koń, słoń ..)
Prawo Hipcia gwarantuje nam, że żadne dwa obiekty połączone znakiem $ nie mogą być tożsame.
To jest coś pięknego, czyli …
Naturalna logika każdego człowiek opisana matematycznie!
.. od 5-cio latka po profesora.
5.0 Prawo Hipcia w równoważności
Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p)
Równoważność to na mocy definicji dwa i tylko dwa zbiory rozłączne
p=q
oraz
~p=~q
Przykład 1.
p=q
p =[1,2,3,4,5,6]
q = [1,2,3,4,5,6]
~p=~q
~p = [7->oo]
~q = [7->oo]
Dziedzina: zbiór liczb naturalnych
Zachodząca równoważność:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p)
Dowód:
Zbiory: p=q
A.
p=>q =1
p*q = [1,2,3,4,5,6]*[1,2,3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6]
B.
p~~>~q =0
p*~q = [1,2,3,4,5,6]*[7->oo] = [] - zbiór pusty
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Zbiory: ~p=~q
C.
~p=>~q=1
~p*~q = [7->oo]*[7->oo] = [7->oo]
D.
~p~~>q =0
~p*q = [7->oo]*[1,2,3,4,5,6] =[] - zbiór pusty
Prawo Hipcia obejmuje całą dziedzinę liczb naturalnych:
p=q = [1,2,3,4,5,6] $ ~p=~q = [7->oo]
Przykład wyżej to operacje na śmieciach w przeciwieństwie do genialnego twierdzenia Pitagorasa niżej.
6.0 Dowody błędności problemu „kwadrat-prostokąt” w logice Ziemian
Ziemskie definicje kwadratu i prostokąta:
Kwadrat
Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie kąty i boki równe
KW=KR*BR
Prostokąt
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste
PR = KR
Drabinka Ziemian jest następująca.
Nadzbiór:
A: Prostokąt
PR=KR
Podzbiory:
B: Kwadrat o definicji:
KW=KR*BR
C: Czworokąt nie będący kwadratem
C: Czworokąt mający kąty równe i nie równe boki
CKRNBR = KR*~BR
Doskonale widać, że Ziemianie mają precyzyjną matematycznie definicję kwadratu, ale nie mają precyzyjnej definicji prostokąta.
W tej drabince, jeśli czworokąt jest prostokątem to może ~> być czworokątem o bokach równych (B: kwadrat = KR*BR), jak również czworokątem o bokach nie równych (C: czworokąt = KR*~BR).
Definicja prostokąta nie jest JEDNOZNACZNA!
Pojęcie kwadrat zawiera się w zbiorze prostokąt, stąd mamy:
Każdy kwadrat jest prostokątem
KW=>PR
Problem w tym że ta drabinka jest do bani, co będziemy dowodzić na wiele sposobów …
6.1 Dowód 1 - poprzez analogię do twierdzenia Pitagorasa
Dowód 1
Pierwszy dowód błędności problemu „kwadrat-prostokąt” w logice Ziemian poprzez analogię do twierdzenia Pitagorasa.
Nadzbiór:
A: ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Oczywiście spełnione jest prawo Hipcia:
A: ZWT = (TP<=>SK) $ (~TP<=>~SK)
A: ZWT = (TP=SK) $ (~TP=~SK)
Oczywiste zbiory rozłączne: TP $ ~TP
Zbiory po obu stronach znaku $ są rozłączne, a ich suma logiczna to zbiór wszystkich trójkątów.
Podzbiory:
B: Zbiór trójkątów prostokątnych gdzie zachodzi suma kwadratów
B: TP <=> SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
B: Zbiory: TP=SK
C. Zbiór trójkątów nie prostokątnych gdzie nie zachodzi suma kwadratów
C: ~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
C: Zbiory: ~TP=~SK
Podstawiając prawe strony równań B i C do równania A mamy:
A1: ZWT =(TP=>SK)*(~TP=>~SK) $ (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
Teraz kluczowe spostrzeżenia.
Zauważmy że po obu stronach znaku $ mamy dwa rozłączne zbiory.
ZWT = (TP=SK) $ (~TP=~SK)
Żadnego z nich nie możemy usunąć ze zbioru ZWT bo otrzymamy matematykę niejednoznaczną.
W logice Ziemian (u Kubusia także) w miejscu znaku $ widnieje znak tożsamości (równoważności).
Oczywiście to jest tożsamość na poziomie bramek logicznych (sprzętu) gdzie totalnie olewamy logikę dodatnią i ujemną, gdzie interesuje nas wyłącznie tożsamość kolumn wynikowych.
Zauważmy jednak że u Kubusia wszystko jest w porządku, że mimo iż pisał znak „=” interpretował prawa logiczne poprawnie.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - kompletna definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a
Udowodnienie warunku wystarczającego => po lewej stronie tożsamości automatycznie udowadnia warunek konieczny ~> po prawej stronie tożsamości (i odwrotnie).
To co wyżej to kompletna definicja implikacji prostej gdzie oczywiście matematycznie zachodzi:
p=>q ## p=>q=~p~>~q
## - różne na mocy definicji.
Tłumaczę to od wieków, jest o tym we wstępie do aktualnego podpisu … a Ziemianie ni w ząb nie rozumieją.
Zobaczmy co się stanie jeśli znak $ zastąpimy znakiem tożsamości (równoważności):
A2: ZWT =(TP=>SK)*(~TP=>~SK) = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
Równania logiczne po obu stronach znaku tożsamością są identyczne, zatem jedno z nich wywalamy w kosmos i otrzymujemy.
A3: ZWT =(TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Nasza drabinka logiczna przyjmuje w tym momencie postać:
Nadzbiór
A3: Trójkąt prostokątny
A3: ZWT = TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
A3: Zbiory: TP=SK
Podzbiory:
B: Zbiór trójkątów prostokątnych gdzie zachodzi suma kwadratów
B: TP <=> SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
B: Zbiory: TP=SK
C: Zbiór trójkątów nie prostokątnych gdzie nie zachodzi suma kwadratów
C: ~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
C: Zbiory: ~TP=~SK
Dalsze rozumowanie Ziemian (oczywiście błędne) przeprowadzimy analogicznie do problemu „prostokąt - kwadrat” z aktualnej logiki Ziemian.
Nadzbiór
A3: Trójkąt prostokątny
A3: ZWT = TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
A3: Zbiory: TP=SK
Podzbiory:
B: Trójkąt prostokątny gdzie zachodzi suma kwadratów
B: TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
B: Zbiory: TP=SK
C: Zbiór trójkątów nie prostokątnych gdzie nie zachodzi suma kwadratów
C: ~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
C: Zbiory: ~TP=~SK
Rozumowanie Ziemianina:
Trójkąty prostokątne A3 dzielimy na B i C
Zauważmy, że w tym monecie równania logiczne A3 i B są IDENTYCZNE, zatem nazwy muszą być te same. Końcowa drabinka Ziemian przyjmuje więc postać:
Nadzbiór
A3: Trójkąt prostokątny
A3: ZWT = TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
A3: Zbiory: TP=SK
Podzbiory:
B: Trójkąt prostokątny
B: TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
B: Zbiory: TP=SK
C: Trójkąt nie będący trójkątem prostokątnym
C: ~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
C: Zbiory: ~TP=~SK
Witamy w świecie niejednoznaczności matematycznej!
Trójkąt prostokątny dzielimy na trójkąt prostokątny i trójkąt nie prostokątny.
Na czym polega ANALOGICZNY błąd Ziemian w problemie „kwadrat-prostokąt”.
Precyzyjne definicje kwadratu i prostokąta rodem z algebry Kubusia są następujące:
Kwadrat
Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie kąty i boki równe
KW=KR*BR
Prostokąt
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste, zaś boki nie są równe
PR = KR*~BR
Drabinka zależności w AK jest następująca:
Nadzbiór:
A: Zbiór wszystkich czworokątów o kątach prostych
A: ZWC = KW $ PR
A: ZWC = KR*BR $ KR*~BR
Podzbiory:
B: Kwadrat = czworokąt o kątach prostych i bokach równych
B: KW = KR*BR
C: Prostokąt = czworokąt o kątach prostych i nie równych bokach
C: PR= KR*~BR
Zauważmy że w AK od strony czysto matematycznej wszystko jest bajecznie proste.
Zarówno kwadrat jak i prostokąt, zawierają się w zbiorze czworokątów o kątach prostych co idealnie widać w równaniu A.
A: ZWC = KR*BR $ KR*~BR
Na mocy prawa algebry Boole’a po obu stronach znaku $ mamy dwa zbiory rozłączne.
Dowód:
Badamy czy istnieje część wspólna zbiorów KW i PR.
KW*PR = (KR*BR)*(KR*~BR) = KR*BR*KR*~BR = KR*BR*~BR=KR*0 =0
Prawa algebry Boole’a:
p*p=1
p*~p=0
p*0=0
Brak wspólnej części zbiorów jest dowodem, iż zbiory KW i PR są rozłączne.
Błąd Ziemian polega tu na zastąpieniu spójnika „albo”($) spójnikiem „lub”(+) i minimalizacji funkcji A.
Poprawne równanie algebry Boole’a:
A: ZWC = KW $ PR
A: ZWC = KR*BR $ KR*~BR
A: zbiór KR*BR $ zbiór KR*~BR
Zbiory KW i PR są rozłączne ($) zatem nie wolno zastępować spójnika „albo”($) spójnikiem „lub”(+) i minimalizować funkcji A.
Zobaczmy co się stanie gdy zjemy tego trującego grzyba.
A.
ZWC = KR*BR + KR*~BR = KR*(BR+~BR) = KR*1 = KR
bo prawa algebry Boole’a:
wyciągnięcie przed nawias
p+~p=1
p*1=p
Po zatruciu nasza drabinka przyjmuje postać.
Nadzbiór:
A1: Prostokąt
A1: ZWC = KR
Podzbiory:
B: Kwadrat = czworokąt o kątach prostych i bokach równych
B: KW = KR*BR
C: czworokąt nie będący kwadratem
C: Czworokąt o kątach prostych i nie równych bokach
C: PR= KR*~BR
Co się stało?
W nadzbiorze A1 doszło do tragedii, zbiory rozłączne KR*BR $ KR*~BR mające swoje indywidualne nazwy KW i PR połączyliśmy razem nadając im jedną nazwę, bez znaczenia jaką (tu prostokąt).
To jest dokładnie to samo jakbyśmy zlikwidowali pojęcie kobiety i zarządzili że od dzisiaj nie ma takiego pojęcia, są tylko dwa pojęcia jedynie słuszne: człowiek i mężczyzna.
A: Nadzbiór
A: Człowiek
Podzbiory:
B: Mężczyzna
C: Człowiek nie będący mężczyzną
6.2 Dowód 2 - budowa zbioru czworokątów
Dowód 2
Dowód błędności problemu „kwadrat-prostokąt” prostym rozumowaniem.
Prawo Hipcia dla n argumentów:
Jeśli zbiory A1,A2 … An są rozłączne:
A1$A2$ … An
oraz zachodzi:
A1+A2+…An = r
to:
[(A1$A2$ …An)=>r] = [(A1=>r) + (A2=>r) + … (An=>r)] = [r=>r]
Wniosek z prawa Hipcia:
Jeśli zbiory są rozłączne to jedynym poprawnym spójnikiem łączącym te zbiory jest spójnik „albo”($).
Y=A1$A2$...An
Nie ma tu fizycznej możliwości aby obiekt Ax mógł być jednocześnie którymkolwiek obiektem Ay, bo wszystkie zbiory są rozłączne z założenia.
Przykład:
Robimy podział kobiet ze względu na kolor włosów:
Dziedzina: blondynki, brunetki, pozostałe
Prawo Hipcia:
Wszystkie kobiety = blondynki $ brunetki $ pozostałe
WK = BL $ BR $ PZ
Oczywiście możemy wyodrębnić dalsze kolory np.
Dziedzina: blondynki, brunetki, rude, pozostałe
Prawo Hipcia:
Wszystkie kobiety = blondynki $ brunetki $ rude $ pozostałe
WK = BL $ BR $ RD $ PZ
Wyobraźmy sobie teraz że żyjemy w początkach matematyki pragniemy zdefiniować JEDNOZNACZNIE wszystkie czworokąty.
Na początek bierzemy do ręki romb.
ROMB:
Romb ma wszystkie boki równe
ROMB=BR
Następnie bierzemy na warsztat kwadrat. Stwierdzamy że identycznie jak romb ma on wszystkie boki równe ale różnica jest fundamentalna, dodatkowo ma wszystkie kąty równe. Definicja rombu nie może być matematycznie identyczna jak kwadratu, bo nie rozróżnimy tych figur.
Tu nie trzeba wielkiego myślenia, musimy romb i kwadrat zdefiniować jednoznacznie. Nowe definicje matematyczne to.
ROMB:
Romb ma wszystkie boki równe i kąty nie równe
ROMB = BR*~KR
Kwadrat:
Kwadrat ma wszystkie boki równe i kąty równe
KW = BR*KR
Na tym etapie nasze równanie Hipcia wygląda następująco:
Czworokąt = ROMB $ Kwadrat $ Pozostałe czworokąty
CZ = BR*~KR $ BR*KR $ Pozostałe czworokąty
Dla świętego spokoju badamy czy czworokąty ROMB i KW są rozłączne badając iloczyn logiczny tych zbiorów.
ROMB * KW = (BR*~KR)*(BR*KR) = BR*~KR*BR*KR = BR*~KR*KR = BR*0 =0
Brak części wspólnej zbiorów ROMB i KW jest dowodem iż te zbiory są rozłączne.
Bierzemy teraz do ręki prostokąt i stwierdzamy:
Prostokąt
Prostokąt ma boki nie równe i kąty równe
PR = ~BR*KR
Jest oczywistym że prostokąt możemy dołączyć do naszej klasyfikacji wtedy i tylko wtedy gdy jego definicja będzie matematycznie różna od ROMBU i Kwadratu.
Badamy czy definicje prostokąta nie koliduje z ROMBEM i Kwadratem.
Bierzemy na początek kwadrat:
PR*KW = (~BR*KR)*(BR*KR) = KR*~BR*BR = KR*0=0
Zbiory są rozłączne, nie ma kolizji.
Sprawdzamy teraz czy nie ma kolizji z definicją ROMBU:
PR*ROMB = (~BR*KR)*(BR*~KR) = KR*~BR*BR = KR*0 =0
Hurra! Zbiory są rozłączne zatem prostokąt nie koliduje ani z ROMBEM, ani z kwadratem.
Nasza klasyfikacja opisana równaniem Hipcia wygląda zatem następująco:
Czworokąt = ROMB $ Kwadrat $ Prostokąt $ Pozostałe czworokąty
CZ = BR*~KR $ BR*KR $ ~BR*KR $ Pozostałe czworokąty
… ale przybysz z Ziemi zaczyna protestować.
U nas na Ziemi mamy lepsza definicje prostokąta.
Jak sama nazwa wskazuje prostokąt ma wszystkie kąty równe, wiec jego jedynie słuszna definicja musi wyglądać tak.
Ziemska definicja prostokąta:
Prostokąt to czworokąt o kątach równych
ZPR=KR - ziemska definicja prostokąta
Sprawdzamy, czy taką definicję można dołączyć do zdefiniowanych przez nas wcześniej ROMBU i Kwadratu.
Badamy rozłączność zbioru ROMB i ZPR:
ROMB*ZPR = BR*~KR*KR = BR*0 =0
ok
Te zbiory są matematycznie rozłączne.
Badamy rozłączność zbioru Kwadrat i ZPR:
KW*ZPR = (BR*KR)*(KR) = BR*KR
Iloczyn zbiorów KW i ZPR nie jest zbiorem pustym, zatem zbiory te nie są rozłączne.
Miejsce definicji ZPR jest w koszu na śmieci, jeśli dołączymy ZPR do definicji zbioru różnych czworokątów to zabijemy jednoznaczność matematyki!
Dokładnie ta tragedia przydarzyła się „matematyce” Ziemian!
cnd
6.3 Dowód 3 - polemika z ziemską matematyką
Definicje podstawowe.
Definicja czworokąta:
Czworokąt to wielokąt o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych
CZ=4B*KW
Rodzaje czworokątów:
Kwadrat, Prostokąt, Romb, Równoległobok, Trapez, Deltoid
Kwadrat
Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie kąty i boki równe
KW=KR*BR
Prostokąt
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste, zaś boki nie są równe
PR = KR*~BR
Dziedzina:
CKR - zbiór czworokątów o równych kątach
W naszej dziedzinie CKR istnieją wyłącznie dwa takie czworokąty, kwadrat i prostokąt, zatem na mocy definicji to jest ewidentna równoważność.
KW - kwadrat
~KW - nie kwadrat
PR - prostokąt
~PR - nie prostokąt
BR - boki równe
~BR - boki nie równe
Na czym polega problem kwadratu i prostokąta?
Zapomnijmy na chwilę o nazwach kwadrat i prostokąt, nie ma tego!
Nadzbiór:
CKR = zbiór wszystkich czworokątów o kątach prostych
Podzbiory:
CKRBR = czworokąt o kątach prostych i bokach równych
CKRBR = KR*BR
CKRNBR = czworokąt o kątach prostych i bokach nierównych
CKRNBR = KR*~BR
Tych definicji nikt nie ma prawa zakwestionować:
KR*BR jest zbiorem rozłącznym z KR*~BR bo:
(KR*BR)*(KR*~BR) = KR*BR*KR*~BR = KR*BR*~BR=KR*0 =0
Prawa algebry Boole’a:
p*p=1
p*~p=0
p*0=0
Brak wspólnej części zbiorów jest dowodem, iż zbiory CKRBR i CKRNBR są rozłączne.
Na tej samej zasadzie zbiór trójkątów równobocznych jest rozłączny ze zbiorem trójkątów nierównobocznych:
TR*~TR=0 - brak wspólnej części zbiorów, prawo algebry Boole’a
Na tej samej zasadzie zbiór trójkątów prostokątnych jest rozłączny ze zbiorem trójkątów nie prostokątnych:
TP*~TP =0 - brak wspólnej części zbiorów, prawo algebry Boole’a
Wśród wszystkich czworokątów mamy wyłącznie dwa czworokąty o równych kątach zdefiniowane precyzyjnie równaniami algebry Boole’a jak wyżej. Zbiory czworokątów CKRBR i CKRNBR są rozłączne. Nie ma więcej czworokątów o równych kątach.
Obowiązuje więc prawo Hipcia.
Dziedzina:
CKR - zbiór wszystkich czworokątów o równych kątach
Prawo Hipcia:
CKR = CKRBR $ CKRNBR
Na mocy prawa Hipcia nic co jest CKRBR nie ma prawa być CKRNBR i odwrotnie. Oznacza to że człowiek nie jest w stanie narysować takiego czworokąta który byłby równocześnie CKRBR i CKRNBR.
KONIEC!
Teraz człowiek może sobie robić dowolne fiku-miku. Nie może być tak, że przez nadanie dowolnych nazw dla CKBRKR i CKNBR człowiek zmieni fizyczną rzeczywistość.
… a takie fiku-miku ludzie jednak robią.
Fiku-miku Ziemian:
Każdy kwadrat jest prostokątem
czyli:
Czworokąt = kwadrat, zdefiniowany jak niżej:
CKRBR = KR*BR
Jest jednocześnie prostokątem, czyli czworokątem o definicji:
CKRNBR = KR*~BR
Matematyka ścisła, prawo Hipcia, leży w tym momencie w gruzach. Nawet bez prawa Hipcia to błąd czysto matematyczny, wystarczyło pomyśleć.
Skoro zgadzam się że zbiór:
CKRBR = KR*BR
Jest rozłączny ze zbiorem:
CKNBR = KR*~BR
Czyli nie można narysować czworokąta spełniającego i jedno i drugie, to żadne gierki słowne nie mają prawa zmienić tego faktu.
Przypomnijmy poprawne definicje kwadratu i prostokąta z algebry Kubusia.
Kwadrat
Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie kąty i boki równe
KW=KR*BR
Prostokąt
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste, zaś boki nie są równe
PR = KR*~BR
Jest oczywistym, ze aby rozstrzygnąć czy czworokąt jest kwadratem czy prostokątem musimy sprawdzić dwa parametry: KR i BR
KW=KR*BR
PR=KR*~BR
Drabinka Ziemian jest następująca.
Nadzbiór:
A: ZWP - zbiór wszystkich prostokątów
ZWP=KR
Podzbiory:
B: Kwadrat o definicji:
KW=KR*BR
C: Czworokąt nie będący kwadratem
CKRNBR=KR*~BR
… ale czworokątów mających kąty równe jest dokładnie dwa: kwadrat i prostokąt, czyli tym czworokątem C musi być prostokąt!
Aktualna drabinka:
Nadzbiór:
A: ZWP - zbiór wszystkich prostokątów
ZWP = KR
Podzbiory:
B: Kwadrat o definicji:
KW=KR*BR
C: Prostokąt o definicji:
PR = KR ~BR
Oczywiście definicja prostokąta musi być różna od kwadratu, zatem jedyna możliwość to:
PR = KR*~BR
cnd
Matematycznie wszystko się tu zgadza.
Nadzbiór:
A: ZWP - zbiór wszystkich prostokątów:
ZWP = KR = KR*1 = KR*(BR $ ~BR) = KR*BR $ KR*~BR
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p = p*1
p+~p=1
Mnożenie stałej przez wielomian
ZWP = KR*BR $ KR*~BR - prawo Hipcia
Podzbiory:
B: Kwadrat o definicji:
KW = KR*BR
C: Prostokąt o definicji:
PR = KR ~BR
Jak widzimy matematycznie wszystko pasuje GENIALNIE!
Czego więcej chcieć?
Twierdzenie:
Jeśli p i ~p są rozłączne to dodanie dowolnie długiej i dowolnie skomplikowanej funkcji x (byle nie nieskończonej) nie ma prawa zmienić tego faktu.
Jeśli:
p $ ~p
to:
x*p $ x*~p
Dowód:
Zbiory p i ~p są rozłączne na mocy prawa algebry Boole’a.
Fundament algebry Boole’a:
p+~p=1
p*~p=0
Badamy istnienie wspólnej części zbiorów:
x*p*x*~p = x*p*~p = x*0=0 - zbiory rozłączne, bo brak wspólnej części zbiorów
cnd
Indywidualny kod każdego człowieka to jego DNA
[link widoczny dla zalogowanych]
Genetyczne różnice człowiek - szympans
Naukowcy od wielu lat poszukują przyczyn tak znacznych, zewnętrznych różnic między człowiekiem i szympansem. Już na pierwszy rzut oka widać jak bardzo się różnimy w wyglądzie, zachowaniu czy zdolnościach budowy narzędzi, mowy. Wszystko to jest zadziwiające jeśli uzmysłowimy sobie, że różnice w budowie DNA między szympansem i człowiekiem to zaledwie 1-2%. Różnice pomiędzy ludźmi wynoszą około 0,1-0,5%
Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to na mocy definicji dwa i tylko dwa zbiory rozłączne
p=q
oraz
~p=~q
Przekładając to na nasz przykład mamy:
KW=KW
KW=KR*BR
~KW=~KW
~KW=Prostokąt = KR*~BR
Twierdzenie:
Każdy zbiór jest tożsamy z sobą samym
Oczywiście nie jest to definicja czegokolwiek ale prawo matematyczne!
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
stąd dla naszego przykładu:
AR.
Czworokąt jest kwadratem wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe i boki równe
KW<=>KR*BR = (KW=>KR*BR)*[~KW=>~(KR*BR)] = (KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
bo prawo De Morgana:
~(p*q) = ~p+~q
KW<=>KR*BR = (KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
Prawo algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q
stąd:
~KW<=>~(KR*BR)
~KW<=>(~KR+~BR) = [~KW=>(~KR+~BR)]*(KW=>KR*BR)
Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
AR.
KW<=>KR*BR = (KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
Zbiory tożsame: KW = KR*BR
A.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to na pewno => ma kąty równe i boki równe
KW=>KR*BR =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
KW = KR*BR
Wymuszam dowolne KW i pojawia mi się KR*BR
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z KW:
KW=1 => KR*BR
KW: KR=1, BR=1 =>1*1=1
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z KW:
PR: KR=1, BR=0 => 1*0=0
ROMB: KR=0, BR=1=>0*1=0
INNE: KR=0, BR=0 =>0*0 =0
B.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to może ~~> nie mieć kątów równych lub nie mieć boków równych
KW~~>(~KR+~BR) =0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z KW:
KW=1 ~~> ~KR+~BR
KW: ~KR=0, ~BR=0 =>0+0=0
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z KW:
PR: ~KR=0, ~BR=1 =>0+1=1
ROMB: ~KR=1, ~BR=0 => 1+0=1
INNE: ~KR=1, ~BR=1 =>1+1=1
… a jeśli czworokąt nie jest kwadratem?
~KW<=>(~KR+~BR) = [~KW=>(~KR+~BR)]*(KW=>KR*BR)
Zbiory tożsame: ~KW = ~KR+~BR
C.
~KW=>(~KR+~BR)
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to na pewno => nie ma kątów równych lub nie ma boków równych
~KW=>(~KR+~BR) =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
~KW = (~KR+~BR)
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~KW:
~KW=1 => ~KR+~BR
PR: ~KR=0, ~BR=1 =>0+1 =1
ROMB: ~KR=1, ~BR=0 => 1+0 =1
INNE: ~KR=1, ~BR=1 =>1+1=1
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z ~KW:
KW: ~KR=0, ~BR=0 =>0+0=0
D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to może ~> mieć kąty równe i boki równe
~KW~~>(KR*BR) =0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~KW:
~KW=1 ~~> KR* BR
PR: KR=1, BR=0 => 1*0 =0
ROMB: KR=0, BR=1 => 0*1=0
INNE: KR=0, BR=0 => 0*0 =0
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z ~KW:
KW: KR=1, BR=1 =>1*1=1
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem AR otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności:
KW<=>KR*BR
KW=1, ~KW=0
KR*BR=1, (~KR+~BR)=0
| Kod: |
Zapis
Symboliczny | KW KR*BR KW<=>KR*BR=(KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
A: KW=> (KR*BR) =1 | 1 1 =1
B: KW~~>(~KR+~BR)=0 | 1 0 =0
C:~KW=> (~KR+~BR)=1 | 0 0 =1
D:~KW~~>(KR*BR) =0 | 0 1 =0
|
cnd
W równoważności zachodzą prawa tożsamościowe:
KW=~PR
PR=~KW
Pseudo operator Hipcia umożliwia poprawne przekształcenia na definicjach:
KW = KR*BR
PR = KR*~BR
KW = ~(PR) = (KR*~BR)&BR = KR*BR
PR = ~(KW) = (KR*BR)&BR = KR*~BR
Analogiczna równoważność zachodzi dla prostokąta:
PR<=>KR*~BR = (PR=>KR*~BR)*[PR=>(~KR+BR)]
Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
AR.
PR<=>KR*~BR = (PR=>KR*~BR)*[~PR=>(~KR+BR)]
A.
Jeśli czworokąt jest prostokątem to na pewno => ma kąty równe i boki nie równe
PR=>KR*~BR =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
PR = KR*~BR
Wymuszam dowolne PR i pojawia mi się KR*~BR
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z PR:
PR=1 => KR*~BR
PR: KR=1, ~BR=1 => 1*1=1
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z PR:
KW: KR=1, ~BR=0 => 1*0 =0
ROMB: KR=0, ~BR=0 =>0*0=0
INNE: KR=0, ~BR=1 => 0*1 =0
B.
Jeśli czworokąt jest prostokątem to może ~~> nie mieć kątów równych lub mieć boki równe
PR~~>(~KR + BR) =0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z PR:
PR=1 ~~>~KR+BR
PR: ~KR=0, BR=0 => 0+0=0
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z PR:
KW: ~KR=0, BR=1 => 0+1=1
ROMB: ~KR=1, BR=1 =>1+1=1
INNE: ~KR=1, BR=0 => 1+0 =1
… a jeśli czworokąt nie jest prostokątem?
~PR<=>(~KR+BR) = [~PR=>(~KR+BR)]*(PR=>KR*~BR)
C.
~PR=>(~KR+BR)
Jeśli czworokąt nie jest prostokątem to na pewno => nie ma kątów równych lub ma boki równe
~PR =>(~KR+BR) =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
~PR = (~KR+BR)
Zabieram ~PR i znika mi (~KR+BR)
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~PR:
~PR=1 => ~KR+BR
KW: ~KR=0, BR=1 => 0+1=1
ROMB: ~KR=1, BR=1 => 1+1=1
INNE: ~KR=1, BR=0 => 1+0=1
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z ~PR:
PR: ~KR=0, BR=0 => 0+0 =0
D.
Jeśli czworokąt nie jest prostokątem to może ~> mieć kąty równe i boki nie równe
~PR~~>(KR*~BR) =0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~PR:
~PR=1 ~~> KR*~BR
KW: KR=1, ~BR=0 =>1*0=0
ROMB: KR=0, ~BR=0 => 0*0=0
INNE: KR=0, ~BR=1 => 0*1=0
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z ~PR:
PR: KR=1, ~BR=1 => 1*1=1
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem AR otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności:
PR<=>KR*~BR
PR=1, ~PR=0
KR*~BR=1, (~KR+BR)=0
| Kod: |
Zapis
Symboliczny | PR KR*~BR PR<=>KR*~BR=(PR=>KR*~BR)*[~PR=>(~KR+~BR)]
A: PR=> (KR*~BR) =1 | 1 1 =1
B: PR~~>(~KR+BR) =0 | 1 0 =0
C:~PR=> (~KR+BR) =1 | 0 0 =1
D:~PR~~>(KR*~BR) =0 | 0 1 =0
|
cnd
6.4 Impresje na temat kwadratu i prostokąta
A.
Czworokąt jest kwadratem wtedy i tylko wtedy gdy jest kwadratem
KW<=>KW
Zbiory tożsame to:
(p=q) = [zbiór kwadratów]
oraz:
(~p=~q) = [zbiór nie kwadratów = zbiór prostokątów]
Symbolicznie powyższa równoważność zapisujemy tak:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p)
na mocy definicji zachodzi tożsamość zbiorów:
p=q czyli KW=KW
~p=~q czyli ~KW=~KW
Ponieważ mamy do czynienia z ewidentną równoważnością to zachodzą relacje:
~KW = PR (prostokąt)
~PR = KW (kwadrat)
czyli:
PR = ~KW
KW=~PR
W równoważności zachodzi prawo algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q
Które oznacza, że jest obojętne którą stronę tożsamości będziemy udowadniać, jak udowodnimy lewą stronę to automatycznie udowodnimy prawą i odwrotnie.
Zdanie dla prawej strony tożsamości przyjmuje postać:
C.
Czworokąt nie jest kwadratem wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kwadratem
~KW<=>~KW
Podstawiając:
~KW = PR
mamy zdanie tożsame do C.
D.
Czworokąt jest prostokątem wtedy i tylko wtedy gdy jest prostokątem
PR<=>PR
W tej równoważności tożsame są zbiory:
PR=PR
~PR=~PR
Matematycznie zachodzi fundament algebry Boole’a:
PR ## ~PR
Podstawiając:
KW=~PR
Mamy spełniony fundament algebry Boole’a w innej formie:
PR # KW
Nic co jest prostokątem nie ma prawa być kwadratem i odwrotnie.
Nie jest zatem możliwe aby czworokąt był i kwadratem i prostokątem.
Czworokąt może być wyłącznie albo kwadratem, albo prostokątem.
cnd
Oczywiście szczegółowe definicje kwadratu i prostokąta zapisane w równaniach algebry Boole’a są następujące.
Kwadrat
Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie kąty i boki równe
KW=KR*BR
Prostokąt
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste, zaś boki nie są równe
PR = KR*~BR
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 0:16, 21 Sty 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
Dodatek C
Koniec!
Wykłady z algebry Kubusia
Temat:
Dowód poprawności definicji operatora logicznego i prawa Sowy w AK
To kolejny wielki przełom w algebrze Kubusia - to wszystko jest NIEPRAWDOPODOBNIE proste!
Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.
Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q. Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.
W ostatnim poście padła ta historyczna analiza równoważności!
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
stąd dla naszego przykładu:
AR.
Czworokąt jest kwadratem wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe i boki równe
KW<=>KR*BR = (KW=>KR*BR)*[~KW=>~(KR*BR)] = (KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
bo prawo De Morgana:
~(p*q) = ~p+~q
KW<=>KR*BR = (KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
Prawo algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q
stąd:
~KW<=>~(KR*BR)
~KW<=>(~KR+~BR) = [~KW=>(~KR+~BR)]*(KW=>KR*BR)
Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
AR.
KW<=>KR*BR = (KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
Zbiory tożsame: KW = KR*BR
A.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to na pewno => ma kąty równe i boki równe
KW=>KR*BR =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
KW = KR*BR
Wymuszam dowolne KW i pojawia mi się KR*BR
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z KW:
KW=1 => KR*BR
KW: KR=1, BR=1 =>1*1=1
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z KW:
PR: KR=1, BR=0 => 1*0=0
ROMB: KR=0, BR=1=>0*1=0
INNE: KR=0, BR=0 =>0*0 =0
B.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to może ~~> nie mieć kątów równych lub nie mieć boków równych
KW~~>(~KR+~BR) =0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z KW:
KW=1 ~~> ~KR+~BR
KW: ~KR=0, ~BR=0 =>0+0=0
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z KW:
PR: ~KR=0, ~BR=1 =>0+1=1
ROMB: ~KR=1, ~BR=0 => 1+0=1
INNE: ~KR=1, ~BR=1 =>1+1=1
… a jeśli czworokąt nie jest kwadratem?
~KW<=>(~KR+~BR) = [~KW=>(~KR+~BR)]*(KW=>KR*BR)
Zbiory tożsame: ~KW = ~KR+~BR
C.
~KW=>(~KR+~BR)
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to na pewno => nie ma kątów równych lub nie ma boków równych
~KW=>(~KR+~BR) =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
~KW = (~KR+~BR)
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~KW:
~KW=1 => ~KR+~BR
PR: ~KR=0, ~BR=1 =>0+1 =1
ROMB: ~KR=1, ~BR=0 => 1+0 =1
INNE: ~KR=1, ~BR=1 =>1+1=1
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z ~KW:
KW: ~KR=0, ~BR=0 =>0+0=0
D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to może ~> mieć kąty równe i boki równe
~KW~~>(KR*BR) =0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~KW:
~KW=1 ~~> KR* BR
PR: KR=1, BR=0 => 1*0 =0
ROMB: KR=0, BR=1 => 0*1=0
INNE: KR=0, BR=0 => 0*0 =0
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z ~KW:
KW: KR=1, BR=1 =>1*1=1
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem AR otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności:
KW<=>KR*BR
KW=1, ~KW=0
KR*BR=1, (~KR+~BR)=0
| Kod: |
Zapis
Symboliczny | KW KR*BR KW<=>KR*BR=(KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
A: KW=> (KR*BR) =1 | 1 1 =1
B: KW~~>(~KR+~BR)=0 | 1 0 =0
C:~KW=> (~KR+~BR)=1 | 0 0 =1
D:~KW~~>(KR*BR) =0 | 0 1 =0
|
cnd
Zdania będące ze sobą w matematycznym związku to na podstawie prawa Kubusia to zdania A i C!
A.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to na pewno => ma kąty równe i boki równe
KW=>KR*BR =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
KW = KR*BR
Wymuszam dowolne KW i pojawia mi się KR*BR
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z KW:
KW=1 => KR*BR
KW: KR=1, BR=1 =>1*1=1
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z KW:
PR: KR=1, BR=0 => 1*0=0
ROMB: KR=0, BR=1=>0*1=0
INNE: KR=0, BR=0 =>0*0 =0
… a jeśli czworokąt nie jest kwadratem?
~KW<=>(~KR+~BR) = [~KW=>(~KR+~BR)]*(KW=>KR*BR)
Zbiory tożsame: ~KW = ~KR+~BR
C.
~KW=>(~KR+~BR)
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to na pewno => nie ma kątów równych lub nie ma boków równych
~KW=>(~KR+~BR) =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
~KW = (~KR+~BR)
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~KW:
~KW=1 => ~KR+~BR
PR: ~KR=0, ~BR=1 =>0+1 =1
ROMB: ~KR=1, ~BR=0 => 1+0 =1
INNE: ~KR=1, ~BR=1 =>1+1=1
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z ~KW:
KW: ~KR=0, ~BR=0 =>0+0=0
Doskonale tu widać po pierwsze skąd biorą się wynikowe jedynki - pracują wyłącznie obszary czerwone!
Świetnie też widać działanie prawa Sowy:
Kwadrat:
prawdziwe A - fałszywe C
Nie kwadrat = pozostałe figury:
Prawdziwe C - fałszywe A
W nieformalnym związku są ze sobą również zdania B i D!
B.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to może ~~> nie mieć kątów równych lub nie mieć boków równych
KW~~>(~KR+~BR) =0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z KW:
KW=1 ~~> ~KR+~BR
KW: ~KR=0, ~BR=0 =>0+0=0
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z KW:
PR: ~KR=0, ~BR=1 =>0+1=1
ROMB: ~KR=1, ~BR=0 => 1+0=1
INNE: ~KR=1, ~BR=1 =>1+1=1
D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to może ~> mieć kąty równe i boki równe
~KW~~>(KR*BR) =0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~KW:
~KW=1 ~~> KR* BR
PR: KR=1, BR=0 => 1*0 =0
ROMB: KR=0, BR=1 => 0*1=0
INNE: KR=0, BR=0 => 0*0 =0
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z ~KW:
KW: KR=1, BR=1 =>1*1=1
W tych zdaniach aktywny jest wyłącznie kolor niebieski!
Kwadrat:
Zdanie B jest fałszywe, bo aktywna jest wyłącznie jedna niebieska linia
Nie kwadrat = pozostałe figury:
Dla figur innych niż kwadrat fałszywy jest obszar niebieski w zdaniu D!
Jak widzimy, zdania B i D są ZAWSZE fałszywe!
Podsumowując:
Dwa ostatnie posty to nieprawdopodobny przełom w algebrze Kubusia!
Wielkie dzięki Fiklicie za wytrwałość - bez Ciebie dwa ostatnie posty nigdy by nie powstały.
P.S.
Z ostatniej chwili!
Nie trzeba zakładać rozłączności zbiorów w prawie Hipcia w sensie bezwzględnym, zbiory mogą mieć części wspólne np. człowiek i szympans mają wspólne części na poziomie 98% 
Rozłączność zbioru na poziomie logicznym gwarantuje różnica w jednym szczególe, czyli musimy zlokalizować jedno!
p i ~p !
W prawie Hipcia wystarczy założenie:
p+q=r
Prawo Hipcia dla dwóch argumentów:
Jeśli zachodzi:
p+q=r
to:
(p+q=>r) = [(p=>r) + (q=>r)] = (r=>r)
Zauważmy, że bez założenia jak wyżej, nie zachodzi prawo ogólne:
p+q=>r # (p=>r)+ (q=>r)
Dowód:
Lewa strona:
p+q=>r = ~(p+q)+r = ~p*~q + r
Prawa strona:
(p=>r) + (q=>r) = ~p+r + ~q+r = ~p+~q +r
L#P
cnd
Prawo Hipcia:
(p+q=>r) = [(p=>r) + (q=>r)] = (r=>r)
Założenie:
p+q=r - zbiór r jest suma logiczną zbiorów p i q
| Kod: |
p q p+q p+q=r p+q=>r p=>r q=>r (p=>r)+(q=>r) r=>r
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1 1
|
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 0:53, 21 Sty 2013, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 1:07, 21 Sty 2013 Temat postu: |
|
|
Wykłady z algebry Kubusia
Temat:
Prawo Orła
Samodzielny warunek wystarczający
Prawo Orła
Jeśli definiujemy cokolwiek to używamy wyłącznie spójnika „i”(*).
„i”(*) - spójnik wiedzy
„lub”(+) - spójnik nieznanego
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno => ma cztery łapy, ogon i nie ćwierka
P+K => 4L*O*~C
co matematycznie oznacza:
P=1 lub K=1 => 4L=1 i O=1 i ~C=1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P+K zawiera się w zbiorze zwierząt 4L*O*~C
.. a jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników.
~P*~K ~> ~4L + ~O + C
To jest prawo Kubusia uzyskane metodą „na skróty”
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem to na pewno => nie ma czterech łap lub nie ma ogona lub ćwierka
~P*~K ~> ~4L + ~O + C
co matematycznie oznacza:
(~P*~K)=1 ~> ~4L=1 lub ~O=1 lub C=1
Jak działa algebra Kubusia!
1.
Losujemy zwierzaka, sprawdzamy:
Nie ma ogona:
~O=1
i już wiemy że to zwierzę nie jest ani psem, ani kotem
2.
Losujemy zwierzaka, sprawdzamy:
ćwierka
C=1
i już wiemy że to zwierzę nie jest ani psem, ani kotem
itd.
.. a jak brzmi zdanie odwrotne do A?
Prawo odwracalności warunku wystarczającego => w implikacji:
Jeśli zdanie p=>q spełnia warunek wystarczający => to po zamianie argumentów na pewno => będzie spełniało warunek konieczny ~> (i odwrotnie).
Uwaga!
Prawo odwracalności w implikacji dotyczy wyłącznie zdań bezczasowych!
bo:
A.
Jeśli będzie padało to na pewno => otworzę parasolkę
P=>OP
Zdanie odwrotne jest bez sensu!
A.
Jeśli otworzę parasolkę to może ~> padać
OP~>P =1
Prawo Kubusia:
OP~>P = ~OP=>~P
czyli:
C.
Jeśli nie otworzę parasolki to na pewno => nie będzie padało
~OP=>~P=1
… no i zrobił się cyrk na kółkach?
NIE!
Bo w implikacji matematycznie zachodzi!
P=>OP = ~P~>~OP ## OP~>P = ~OP=>~P
implikacja prosta ## implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
Dla sztywnego punktu odniesienia ustalonego na lewej stroni mamy:
p=>q = ~p~>~q ## q~>p = ~q=>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wracając do naszego zdania złożonego:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy, ogon i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*O*~C ~> P+K
co matematycznie oznacza:
4L=1 i O=1 i ~C=1 ~> P=1 lub K=1
Losujemy zwierzaka, ma wszystkie cechy po lewej stronie
Wniosek: to może ~> być pies lub koń
… a jeśli zwierzę ma cztery łapy lub ogon lub ćwierka?
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki w zdaniu A (prawo Kubusia na skróty):
~4L+~O + C => ~P*~K
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub nie ma ogona lub ćwierka to na pewno => nie jest ani psem ani kotem
~4L+~O + C => ~P*~K
co matematycznie oznacza:
~4L=1 lub ~O=1 lub C=1 => (~P*~K)=1
Jak to działa?
Losujemy zwierzaka, stwierdzamy:
ćwierka!
C=1
Reszty zmiennych nie musimy sprawdzać, to na pewno nie jest ani pies, ani koń
itd.
Samodzielny warunek wystarczający
Twierdzenie:
Jeśli w zdaniu p=>q wartość logiczna q jest znana z góry to zdanie p=>q jest samodzielnym warunkiem wystarczającym.
Diagram implikacji prostej:
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Rozważmy zdanie:
A.
p=>(q+~q) =1
Prawo algebry Boole’a:
(q+~q) =1 - wartość logiczna następnika jest znana z góry
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór p zawiera się w zbiorze q+~q
B.
p~~>q*~q =0
Zbiory:
p*(~q*q) = p*0 =0
Definicja warunku wystarczającego w A i B spełniona
… a jeśli zajdzie ~p?
W zdaniu A negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne.
To jest prawo Kubusia na skróty:
p=>(q+~q) = ~p~>~q*q
C.
~p~>~q*q =0
Zbiory:
~p*(~q*q) = ~p*0 =0
Nie ma w tabeli zero-jedynkowej sekwencji 0 0 =0, zatem implikacja prosta jest tu wykluczona.
Tabela zero-jedynkowa dla zdania A:
p=>(q+~q)
p=1, ~p=0
q+~q=1, ~q*q=0
| Kod: |
Analiza
Symboliczna | p (q+~q) p=>(q+~q)
A: p=> (q+~q) =1 | 1 1 =1
B: p~~>(~q*q) =0 | 1 0 =0
C:~p~> (q*~q) =0 | 0 0 =0
D: x =x | x x x
|
Linie C wyklucza zarówno implikację prostą:
p=>q = ~p~>~q
bo:
C: ~p~>~q =0
Jak i równoważność:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
bo:
C: ~p=>~q =0
Zdanie A to tylko i wyłącznie samodzielny warunek wystarczający mogący istnieć samodzielnie.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 1:19, 21 Sty 2013, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 21:48, 21 Sty 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: | A nazywaj se jak chcesz, widać, że nie znasz się na matematyce. Z matematycznego punktu widzenia ważniejsze i ciekawsze są czworokąty o prostych kątach i czworokąty o prostych kątach i równych bokach.
Przeciwstawiasz wieloletniej praktyce matematycznej, jakieś jojczenie pani że jasiu gra w ciuciubabkę. Poważne to jest?
Pewne zbiory nazywa się dla wygody, żeby nie trzeba było wymieniać wszystkich cech danego zbioru. Jak mówisz "samochód" to chodzi Ci o samochód, ale jeśli masz sobie wyobrazić jeden samochód, to wyobrazisz sobie osobówkę. Co nie przeszkadza, że jak zobaczysz ciężarówkę to bez problemu powiesz, że też jest samochodem.
Mówiąc samochód obojętne jest czy to jest osobówka czy ciężarówka.
Mówiąc prostokąt obojętne jest czy ma boki równe czy nie. |
Spróbujmy zlokalizować gdzie się nie zgadzamy.
Pani:
Jasiu, wymień (jakiś) samochód
Jaś:
Ciężarówka
Brawo, Jas nie może jednak tego.
Pani:
Jasiu, wymień (jakiś) samochód
Jaś:
Samochód
To jest błąd, tu się zgadzamy
Błąd idem per idem
Prawo Hipcia:
Nadzbiór (samochód) nie może być jednocześnie swoim podzbiorem (samochodem).
Ziemska definicja równoległoboku:
[link widoczny dla zalogowanych]
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe.
To jest definicja zbioru równoległoboków a nie konkretnego równoległoboku, czyli tego który widać w każdym podręczniku matematyki.
Matematycznie ta definicja to suma logiczna wszystkich szczegółowych równoległoboków: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok.
Pani:
Jasiu, podaj przykład równoległoboku
Jaś:
Prostokąt
Brawo, Jas nie może jednak tego.
Pani:
Jasiu, podaj przykład równoległoboku
Jaś:
Równoległobok
Formalnie jest to jest błąd idem per idem
… a dlaczego ludzie tak mówią?
Bo domyślnie słowo „równoległobok” oznacza konkretny czworokąt i nie ma w wytłuszczonym błędu idem per idem.
Pani swoim ostatnim pytaniem jednoznacznie powiedziała że chodzi jej o konkretny równoległobok typu: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok
… i dowolną z tych nazw Jaś ma prawo podać.
Podobnie, jeśli Pani powie:
Jasiu narysuj równoległobok
- to Jaś musi narysować DOMYŚLNY równoległobok.
Jeśli natomiast Pani powie:
Jasiu narysuj dowolny równoległobok
- to swoim zadaniem znosi domyślną definicję równoległoboku (definicję ścisłą) i Jaś może namalować dowolny równoległobok, w tym kwadrat itp.
Równoległobok rozumiany jako konkretna figura musi mieć definicję ścisłą, jednoznacznie go odróżniającą od innych czworokątów - i taką definicję równoległoboku każdy człowiek ma zakodowaną w mózgu.
Tylko i wyłącznie na mocy takiej definicji masz szansę wyliczyć wszystkie cechy równoległoboku poprawnie, czyli stworzyć szczegółową definicją odróżniającą go od innych równoległoboków typu: kwadrat, prostokąt, romb.
Jak weźmiesz do tworzenia opisu szczegółowego, czyli do tworzenia szczegółowej definicji równoległoboku dowolny inny równoległobok (niż domyślny równoległobok zakodowany w mózgu) to pała z matematyki zapewniona - i to od podstawówki po studia matematyczne.
Zgadzasz się z tym?
P.S.
Wiele rzeczy w naturalnej logice człowieka jest domyślnych i to trzeba umieć uchwycić np.
W obietnicach domyślnym spójnikiem między p i q jest „na pewno” =>
natomiast:
W groźbach domyślnym spójnikiem między p i q jest „może” ~>
… to akurat łatwo udowodnić na drodze czysto matematycznej.
| fiklit napisał: | | Przerób "wymień samochód" na "narysuj samochód". |
Prawo Hipcia:
Nadzbiór (samochód) nie może być jednocześnie swoim podzbiorem (samochodem)
Na zadanie:
Pani:
Jasiu wymień samochód
Jaś może popełnić błąd idem per idem mówiąc:
Samochód
Wykonalne?
TAK!
Natomiast na zadanie:
Pani:
Jasiu narysuj samochód
Jaś nie ma szans i musi coś wybrać ze zbioru samochodów, czyli narysować konkretny samochód np. ciężarówkę.
Tu nie ma fizycznie szansy na popełnienie błędu idem per idem
Zgadzasz się?
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 22:13, 21 Sty 2013, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 22:15, 21 Sty 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: | Doczytaj czego dotyczy błąd idem per idem i czy odpowiadając na takie pytania Jaś ma jakąkolwiek szansę go popełnić.
| Cytat: | | Nadzbiór (samochód) nie może być jednocześnie swoim podzbiorem (samochodem) |
Daleko z takim podejściem nie zajdziesz. |
Prawa Hipcia żaden człowiek nie jest w stanie złamać bo:
Samochody dzielimy na samochody osobowe i samochody ciężarowe
To nie jest złamanie prawa Hipcia.
Samochody dzielimy na samochody i samochody ciężarowe
To jest złamanie prawa Hipcia
Wróćmy do naszych równoległoboków.
Weźmy początki zadań matematycznych w dwóch równoważnych seriach:
1.
Dany jest równoległobok o bokach równych i kątach prostych …
BR*KR
2.
Dany jest równoległobok o bokach nie równych i katach prostych …
~BR*KR
3.
Dany jest równoległobok o bokach równych kątach nie prostych …
BR*~KR
4.
Dany jest równoległobok o dwóch bokach parami równoległych, ale nie mających katów prostych i nie mający boków równych …
BPR*~BR*~KR
Równoważne początki zadań to:
1A.
Dany jest kwadrat …
BR*KR
2B.
Dany jest prostokąt …
~BR*KR
3C.
Dany jest romb …
BR*~KR
4D.
Dany jest równoległobok …
BPR*~BR*~KR
Na pewno zgodzisz się że serie tych zdań znaczą dokładnie to samo czyli w tym przypadku:
Równoległobok
Równoległobok to czworokąt o dwóch bokach parami równoległych, ale nie mający katów prostych i nie mający boków równych.
Zgadzasz się na równania algebry Boole’a jednoznacznie opisujące te czworokąty?
Czy wiedziałeś gdzieś zadanie matematyczne rozpoczynające się 4 a nie 4A?
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 8:48, 22 Sty 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: | | Nie, nie zgodzę się. Ja w przeciwieństwie do Ciebie rozróżniam sytuację gdy dana cecha jest określona lub nieokreślona. Równość boków w prostokącie jest nieokreślona. |
Darujmy sobie na razie równania algebry Boole’a i porozmawiajmy o RZECZYWISTOŚCI z podręczników matematyki.
Weźmy początki zadań matematycznych w dwóch równoważnych seriach:
1.
Dany jest równoległobok o bokach równych i kątach prostych …
2.
Dany jest równoległobok o bokach nie równych i katach prostych …
3.
Dany jest równoległobok o bokach równych kątach nie prostych …
4.
Dany jest równoległobok o dwóch bokach parami równoległych, ale nie mających katów prostych i nie mający boków równych …
Równoważne, autentyczne początki zadań z podręczników to:
1A.
Dany jest kwadrat …
2A.
Dany jest prostokąt …
3A.
Dany jest romb …
4A.
Dany jest równoległobok …
Czy zgadzasz się że w podręcznikach matematyki regułą jest seria xA?
… choć seria bez A oczywiście jest również poprawna.
Ziemska definicja równoległoboku:
[link widoczny dla zalogowanych]
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe.
Oczywiście że w równoległoboku o definicji jak wyżej nic nie jest określone poza „boki parami równe i równoległe”. To jest doskonała definicja, ale to jest definicja pewnej grupy czworokątów (czterech!) a nie konkretnego czworokąta.
Pani:
Jasiu, wymień wszystkie równoległoboki.
Odpowiedź:
kwadrat, prostokąt, romb i … równoległobok?
Zauważ, że w tym podziale także prostokąt MUSI być rozumiany jako konkretny czworokąt ~BR*KR a nie jako grupa pewnych czworokątów (tu grupa prostokątów)
Poprawna odpowiedź jest również taka:
Grupa prostokątów (kwadrat i ??? no właśnie co?), romb i … równoległobok?
W zdaniu matematycznym potrzebuję precyzyjnego określenia konkretnego czworokąta.
Czy widziałeś gdzieś, w jakimkolwiek podręczniku zadanie rozpoczynające się od:
Dany jest równoległobok o dwóch bokach parami równoległych, ale nie mających katów prostych i nie mający boków równych …
???
| fiklit napisał: | | 2 nie jest równoważne 2A, wątpię, żebyś znalazł podręcznik z którego coś takiego wynika. |
Ziemska definicja równoległoboku:
[link widoczny dla zalogowanych]
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe.
Weźmy konkretne zadania w dwóch równoważnych seriach:
1.
Dany jest równoległobok o bokach równych i kątach prostych a=4, oblicz pole równoległoboku
2.
Dany jest równoległobok o bokach nie równych i katach prostych, a=8 i b=4, oblicz pole równoległoboku
3.
Dany jest równoległobok o bokach równych i kątach nie prostych, a=4, kat 45 stopni, oblicz pole równoległoboku
4.
Dany jest równoległobok o dwóch bokach parami równoległych, ale nie mający kątów prostych i nie mający boków równych a=8, b=4 i kacie 45 stopni, oblicz pole równoległoboku
Równoważne, autentyczne zadania z podręczników to:
1A.
Dany jest kwadrat o boku a=4, oblicz pole kwadratu
2A.
Dany jest prostokąt o bokach a=8 i b=4, oblicz pole prostokąta
3A.
Dany jest romb o boku a=4 i kącie 45 stopni, oblicz pole rombu
4A.
Dany jest równoległobok o bokach a=8 i b=4 i kącie 45stopni, oblicz pole równoległoboku
Czy zgadzasz się że te zadania są matematycznie równoważne?
TAK/NIE
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 18:44, 22 Sty 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
[img]https://encrypted-tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSTnd4v3z2GznwFaH9Kk6umH_z1pbuY0fiTVB9e_PNUEIjlgUVd[/img]
Wykłady z algebry Kubusia
Temat:
Algebra Kubusia działa od chwili Wielkiego Wybuchu!
| fiklit napisał: | Jeśli przymknąć oko, że w pierwszej serii nie wiadomo co to jest to a i b, ale można się domyślić to są równoważne. Pierwsza seria jest też kiepska stylistycznie (styl matematyki) ale to też możemy pominąć.
Co dalej? |
| rafal3006 napisał: |
Ziemska definicja równoległoboku:
[link widoczny dla zalogowanych]
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe.
Weźmy konkretne zadania w dwóch równoważnych seriach:
1.
Dany jest równoległobok o bokach równych i kątach prostych a=4, oblicz pole równoległoboku
2.
Dany jest równoległobok o bokach nie równych i katach prostych, a=8 i b=4, oblicz pole równoległoboku
3.
Dany jest równoległobok o bokach równych i kątach nie prostych, a=4, kat 45 stopni, oblicz pole równoległoboku
4.
Dany jest równoległobok o dwóch bokach parami równoległych, ale nie mający kątów prostych i nie mający boków równych a=8, b=4 i kacie 45 stopni, oblicz pole równoległoboku
Równoważne, autentyczne zadania z podręczników to:
1A.
Dany jest kwadrat o boku a=4, oblicz pole kwadratu
2A.
Dany jest prostokąt o bokach a=8 i b=4, oblicz pole prostokąta
3A.
Dany jest romb o boku a=4 i kącie 45 stopni, oblicz pole rombu
4A.
Dany jest równoległobok o bokach a=8 i b=4 i kącie 45stopni, oblicz pole równoległoboku
Czy zgadzasz się że te zadania są matematycznie równoważne? |
4.
Dany jest równoległobok o dwóch bokach parami równoległych, ale nie mający kątów prostych i nie mający boków równych a=8, b=4 i kacie 45 stopni, oblicz pole równoległoboku
4A.
Dany jest równoległobok o bokach a=8 i b=4 i kącie 45stopni, oblicz pole równoległoboku
Skoro te zadania są równoważne (na pewno są) to wynika z nich precyzyjna definicja równoległoboku rozumianego nie jako GRUPA równoległoboków (których jest 4) ale jako konkrety równoległobok z definicją różną od pozostałych równoległoboków.
Dlaczego nie ma tu problemu?
Bo działa prawo Hipcia:
Żadne pojęcie (równoległobok) nie może być swoim podzbiorem (równoległobokiem)
Równoległobok to:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok
Dla każdego normalnego człowieka posługującego się naturalną logiką człowieka (gdzie działa prawo Hipcia!) nie ma tu problemu, wszyscy doskonale wiedzą że ten równoległobok na górze to GRUPA równoległoboków a nie konkretny równoległobok.
Super ściśle musi być tak:
Grupa równoległoboków to:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok
.. i po problemie.
W stosowanym matematycznym żargonie mamy:
Równoległobok to:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok
Jeśli wszystkie pojęcia będziemy przekładać na matematykę dosłownie to mamy złamane prawo Hipcia czyli bełkot:
Równoległobok to równoległobok
To jest identyczny przypadek jak ten:
Jan wszedł i padł martwy = Jan padł martwy i wszedł
bo:
p*q = q*p
Oczywiście człowiek nie jest w stanie złamać logiki pod którą sam podlega (AK), tu jest tylko i wyłącznie problem bezmyślnego przekładania wszystkiego co powie człowiek na język matematyki.
Wracając do równoległoboku.
Jeśli przyjmiemy za domyślą definicję zapisaną w równaniu algebry Boole’a iż równoległobok to jeden jedyny wśród wszystkich czworokątów, konkretny równoległobok o definicji wynikającej z 4 i 4A czyli takiej.
Definicja równoległoboku w algebrze Kubusia:
Równoległobok
Równoległobok to czworokąt w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe, nie mający kątów prostych i nie mający boków równych
ROWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
… to problem Hipcia zostaje rozwiązany!
Pani:
Jasiu wymień wszystkie równoległoboki
Jaś:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok
Pani:
Jasiu narysuj równoległobok
Jaś:
Tu Jaś musi namalować ten konkretny równoległobok o definicji wyżej, bo tylko i wyłącznie tak rozumiany równoległobok jest sensowny w tym podziale:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok
… inaczej prawo Hipcia jest złamane.
(Nawet jeśli Jaś narysuje inny to pani obowiązkiem jest DOPRECYZOWAC iż chodzi jej o ten jeden jedyny.)
Pani:
Jasiu, narysuj dowolny z równoległoboków
Tu Jaś może poszaleć i narysować którykolwiek z czterech
Wróćmy do …
Ziemska definicja równoległoboku:
[link widoczny dla zalogowanych]
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe.
Ziemska definicja równoległoboku to definicja GRUPY równoległoboków a nie konkretnego, tego jedynego w swoim rodzaju równoległoboku, o definicji INNEJ niż pozostałych równoległoboków.
Powinno być:
GRUPA równoległoboków
Grupa równoległoboków to czworokąty w których przeciwległe boki są parami równe i równoległe.
Definicja GRUPY równoległoboków w równaniu algebry Boole’a:
GR = ROWNOLEGŁOBOK + kwadrat + prostokąt + romb
GR = PBPRiR*~KR*~BR + BR*KR + ~BR*KR + BR*~KR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Definicja równoległoboku (tego jedynego o definicji INNEJ niż pozostałe czworokąty):
Równoległobok
Równoległobok to czworokąt w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe, nie mający kątów prostych i nie mający boków równych
ROWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR
Oczywiście równanie algebry Boole’a opisujące grupę równoległoboków mamy prawo zminimalizować.
Zadanie na poziomie I klasy LO:
Zminimalizować funkcję logiczną opisującą grupę równoległoboków
GR = PBPRiR*~KR*~BR + BR*KR + ~BR*KR + BR*~KR
Znaczenie zmiennych:
KR = wszystkie kąty równe
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boki równe
~BR - nie wszystkie boki równe
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Podstawmy:
r = PBPRiR
p=KR
q=BR
stąd nasze równanie przybiera postać:
GR = r*~p*~q + p*q +p*~q +~p*q
GR = r*~p*~q + p*(q+~q) + ~p*q
Zastosowane prawo algebry Boole’a: wyciągnięcie zmiennej przed nawias
GR = r*~p*~q + p + ~p*q
Użyte prawa:
q+~q=1
p*1=p
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników. Oczywiście możemy to prawo stosować lokalnie, co wyjaśni dalsze działanie Kubusia o bardzo małym rozumku.
W powyższym równaniu zajmiemy się na razie dwoma ostatnimi wyrażeniami.
~GR = ~(r*~p*~q)*[~p*(p+~q)]
~GR = ~(r*~p*~q)*[~p*p+~p*~q]
Prawo: mnożenie zmiennej przez wielomian
~GR = ~(r*~p*~q)*[~p*~q]
Wykorzystane prawa:
p*~p=0
p+0=p
… a teraz to sobie ruszymy ten pierwszy człon.
~GR = [~r+p+q]*[~p*~q]
… i mnożymy zmienną ~p*~q przez wielomian.
~GR = ~r*~p*~q + p*~p*~q + q*~p*~q
~GR = ~r*~p*~q
Wykorzystane prawa:
p*~p=0
0*p=0
0+x=x
Przechodzimy do logiki przeciwnej:
GR = r + p + q
Przywracając znaczenie zmiennych:
GR = PPBRiR + KR + BR
Znaczenie zmiennych:
KR = wszystkie kąty równe
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boki równe
~BR - nie wszystkie boki równe
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Jak działa genialna, techniczna algebra Boole’a?
GR = PBPRiR + KR + BR
Matematycznie to równanie oznacza:
GR=1 <=> PBPRiR=1 lub KR=1 lub BR=1
1.
Losujemy dowolny czworokąt: równoległobok
ROWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR
Stwierdzamy:
PBPRiR=1
STOP!
Dalszych zmiennych nie musimy sprawdzać!
Równoległobok (ten konkretny, jedyny w swoim rodzaju!) należy do grupy równoległoboków
2.
Losujemy: kwadrat lub prostokąt
Stwierdzamy:
KR=1
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Kwadrat i prostokąt należy do grupy równoległoboków!
3.
Losujemy: romb lub kwadrat
Stwierdzamy:
BR=1
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Kwadrat i romb należy do grupy równoległoboków!
4.
Losujemy: Trapez
Stwierdzamy:
DPBRiR=0
KR=0
BR=1
Trapez należy do grupy równoległoboków?!
Czy trapez ma przeciwległe boki parami równe i równoległe?
W ostatnim przypadku od razu wyszła tragiczna definicja trapezu w logice Ziemian.
[link widoczny dla zalogowanych]
Trapez:
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.
Poprawna definicja trapezu rozumiana jako ten JEDYNY w swoim rodzaju czworokąt różny od innych czworokątów musi być taka.
Algebra Kubusia:
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma DOKŁADNIE jedną parę boków równoległych, ale nie równych.
Trapez = JPBRiNR
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych
Dopiero przy tej definicji nasza matematyczna definicja grupy równoległoboków jest GENIALNA!
Powtórzmy punkt 4.
4A.
Losujemy: Trapez
Stwierdzamy:
DPBRiR=0
KR=0
BR=0
Czyli:
Wszystkie boki równe = 0
Ziemska definicja trapezu tego nie wyklucza, czyli wedle Ziemian trapez może być:
kwadratem, prostokątem, rombem, równoległobokiem, trapezem
Ziemska definicja trapezu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Trapez:
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.
Jak widzimy, jak bumerang wraca tu koszmar ziemskich matematyków.
Trapez to:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez
Czyli znów prawo Hipcia się kłania
Trapez to trapez
Oczywiście chodzi tu o grupę trapezów!
Grupa trapezów to:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez
Zapis grupy trapezów w równaniu algebry Boole’a:
GT = kwadrat + prostokąt + romb + równoległobok + trapez
czyli:
GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR + JPBRiNR*~KR*~BR
Do definicji trapezu z AK dokładamy człon: ~KR*~BR
oczywiście to jest człon nieszkodliwy bo dla trapezu zachodzi:
~KR=1
~BR=1
Wolno nam!
stąd końcowe równanie grupy trapezów jest takie:
GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + (PBPRiR + JPBRiNR)*~KR*~BR
Jest oczywistością że po minimalizacji równanie logiczne dla GRUPY trapezów przyjmie postać!
GT = PBPRiR + KR + BR + JPBRiNR
czyli:
GT = GRUPA równoległoboków + trapez (ten konkretny trapez= JPBRiNR!)
5.
Losujemy: równoległobok
Sprawdzamy:
PBPRiR=1
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Równoległobok należy do grupy trapezów!
6.
Losujemy: trapez
Sprawdzamy:
JPBRiNR=1
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Trapez (ten konkretny trapez!) należy do grupy trapezów!
Czyż algebra Kubusia nie jest genialna?
Oczywiście nie Kubuś jest jej autorem bo … algebra Kubusia działała już w chwili Wielkiego Wybuchu!
Twierdzenie:
Autorem żadnego z praw fizyczno- matematycznych nie jest człowiek, człowiek to tylko odkrywca.
Czy człowiek mógłby odkryć jakiekolwiek prawo fizyczno-matematyczne gdyby nie działało ono od zawsze?
… czyli od wystarczająco długiego okresu.
Czy możliwy byłby Internet bez praw fizycznych działających od zawsze?
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 19:50, 22 Sty 2013, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 23:46, 23 Sty 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
Fiklit, jestem służbowo na Litwie, mam dużo czasu jadąc samochodem i ciekawe przemyślenia. Odpowiem na twój post wkrótce.
Na razie dla FatBanthy.
| FatBantha napisał: | Moglibyście nakreślić parę highlightów dla osób nie czytających Waszej wymiany zdań od circa 60 stron?
Jakieś przełomy? Ktoś kogoś do czegoś przekonał? Odkrył pozytywne aspekty AK? Lepiej zdiagnozował problemy?
Innymi słowy: po co dalej ze sobą rozmawiacie i jakie macie nadzieje, kontynuując te wypisywanki?
Proszę nie ignorować moich pytań. |
Odpowiedź jest prosta, nie da się zrozumieć algebry Kubusia posługując się KRZ-em.
Dowód:
Spróbuj zrozumieć ten króciutki post - AK w pigułce:
[link widoczny dla zalogowanych]
W tym krótkim poście jest dokładnie to czego się domagasz.
Jak widzisz, nie da się, a przecież jesteś specjalistą KRZ-tu, zgadza się?
Na początek proponuję więc to co jest wspólne w KRZ i AK, czyli minimalizacja funkcji logicznych.
Niżej masz teorię (absolutnie wystarczającą) i napisz czy zrozumiałeś minimalizację grupy równoległoboków w poście wyżej:
[link widoczny dla zalogowanych]
Fragment z podpisu, czyli WYSTARCZAJĄCA teoria do minimalizacji wszelkich funkcji logicznych.
Zauważ, że w algebrze Kubusia NIE MA tabel zero-jedynkowych - to epoka kamienna, dobra tysiące lat temu. Są równoważne i genialne równania algebry Boole’a = naturalna logika człowieka.
3.5 Minimalizacja funkcji logicznych
Geniuszem w minimalizacji funkcji logicznych jest nasz mózg, który w praktyce zawsze operuje funkcjami minimalnymi. Minimalizacja jest przydatna przy projektowaniu złożonych automatów cyfrowych w bramkach logicznych, tyle że w dobie mikroprocesorów to epoka kamienna. Można zatem ten rozdział traktować jako ciekawostkę, lub pominąć.
Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1
Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Najważniejsze prawa algebry Kubusia wynikające z powyższych definicji
Spójnik „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0
Spójnik „lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1
Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1
Przydatne prawa dodatkowe
Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r
Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r
Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s
Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)
Powyższe prawa plus prawo przejścia do logiki przeciwnej są wystarczające do minimalizacji wszelkich funkcji logicznych.
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
1.
Y=p+q
~Y=~p*~q
2.
p=>q
~p~>~q
3.
(p+q) => (r*s)
(~p*~q)~>(~r+~s)
Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
Y = p*q + p*~q + ~p*q = p(q+~q) + ~p*q = p*1 + ~p*q = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=p
Mamy:
Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q) = p*~p + ~p*~q = 0 + ~p*~q = ~p*~q
Wykorzystane prawa
1. Przejście do logiki ujemnej
2. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
3. p*~p=0
4. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd
Oczywiście układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR.
Metody minimalizacji funkcji logicznej
Nie warto zapamiętywać dziwnego dla człowieka prawa absorpcji i wszelkich innych praw logicznych poza wyżej poznanymi.
Absorpcja:
p*(p+q)=p
1.
Dowód z wykorzystaniem najprostszych praw logiki:
Y=p*(p+q)=p
Y=p*p+p*q = p+p*q = p*1 + p*q = p(1+q)=p*1 = p
Wykorzystane prawa:
Mnożenie wielomianu przez zmienną p
p*p=p
p=p*1
Wyciagnięcie zmiennej p przed nawias
1+q=1
p*1=p
cnd
2.
Dowód metodą rachunku zero-jedynkowego:
p*(p+q)=p
| Kod: |
p q p+q p*(p+q)
1 1 =1 =1
1 0 =1 =1
0 1 =1 =0
0 0 =0 =0
|
Tożsamość kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem zachodzenia prawa absorpcji:
p*(p+q) = p
3.
Dowód metodą bramek logicznych (funkcji logicznej Y):
Y=p*(p+q)
Jeśli p=1 to Y=p*(p+q)= 1*(1+q)=1*1=1
Jeśli p=0 to Y=p*(p+q)=0*(p+q)=0
niezależnie od wartości q.
stąd:
Y=p*(p+q)=p
cnd
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 9:33, 27 Sty 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
Dodatek A
Definicje czworokątów w algebrze Kubusia
| fiklit napisał: | | Czy jest jakaś prosta nazwa na dowolną figurę z grupy trapezów, albo z grupy równoległoboków, albo z grupy prostokątów? Bo w matematyce znacznie częściej mówi się o dowolnej figurze z danej grupy niż o trapezach, równoległobokach czy prostokątach w definicji z AK. |
Wykłady z algebry Kubusia
Temat:
Definicje czworokątów w algebrze Kubusia
Logika matematyczna naszego Wszechświata jest jedna. Nie może być tak że do obsługi matematycznej zbiorów w matematyce obowiązuje logika X, a poza matematyką zbiory obsługiwane są logiką Y.
Podejrzyjmy zatem jak zbiory obsługują eksperci algebry Kubusia, humaniści i 5-cio latki … bo nie ma nic prostszego pod słońcem.
Dziedzina: Zbiór zwierząt
Kryterium tworzenia zbiorów: Ilość nóg
Zwierzęta dzielimy na zwierzęta bez nóg (wąż..), z dwiema nogami (kura ..), z czterema nogami (pies, kot ..) i pozostałe (np. mrówka)
Zwierzęta z czterema łapami to:
pies, kot, słoń i pozostałe
Implikacja prosta:
Jeśli zwierzę jest psem, kotem lub słoniem to na pewno => ma cztery łapy
P+K+S =>4L
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór P+K+S zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
Każdy pies zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
Każdy pies ma cztery łapy
Każdy kot zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
Każdy kot ma cztery łapy
…
Implikacja odwrotna:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem, kotem lub słoniem
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór zwierząt z czterema łapami zawiera w sobie ~> zbiór P+K+L
4L~>P+K+S
Zbiór psów, zbiór kotów i zbiór słoni to zbiory rozłączne.
Pies nie jest podzbiorem kota, ani odwrotnie.
Pies nie jest szczególnym przypadkiem kota ani odwrotnie.
Nie istnieje zwierzę pieso-kot, które by było jednocześnie psem i kotem.
Identycznie mamy w matematyce!
Definicja grupy równoległoboków:
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe
Definicja grupy równoległoboków: PBPRiR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Równoległoboki dzielimy na:
Kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok
gdzie:
KW = KR*BR - definicja kwadratu (kąty równe i boki równe)
PR = KR*~BR - definicja prostokąta (kąty równe i boki nie równe)
ROMB = BR*~KR - definicja rombu (boki równe i kąty nie równe)
Równoległobok = PBPRiR*~KR*~BR - definicja ścisła równoległoboku (to nie jest grupa równoległoboków!)
Implikacja prosta:
Jeśli czworokąt jest kwadratem, prostokątem lub rombem to na pewno => jest równoległobokiem
KW+PR+ROMB => równoległobok
Każdy romb należy do zbioru równoległoboków
Każdy romb jest równoległobokiem
Każdy kwadrat należy do zbioru równoległoboków
Każdy kwadrat jest równoległobokiem
Każdy prostokąt należy do zbioru równoległoboków
Każdy prostokąt jest równoległobokiem
Implikacja odwrotna:
Jeśli czworokąt jest równoległobokiem to może ~> być kwadratem, prostokątem lub rombem
Równoległobok ~> KW + PR + ROMB
Zbiór kwadratów, prostokątów i zbiór rombów to zbiory rozłączne.
Prostokąt (KR*~BR) nie jest podzbiorem rombu (~KR*BR) ani odwrotnie.
Prostokąt (KR*~BR) nie jest szczególnym przypadkiem rombu (~KR*BR) ani odwrotnie
Nie istnieje czworokąt prostoko-romb który byłby jednocześnie i prostokątem (KR*~BR) i rombem (~KR*BR)
Podobnie!
Kwadrat (KR*BR) nie jest podzbiorem prostokąta (KR*~BR) ani odwrotnie
Kwadrat (KR*BR) nie jest szczególnym przypadkiem prostokąta (KR*~BR) ani odwrotnie
Nie istnieje czworokąt kwadrato-prostokąt który byłby jednocześnie i kwadratem (KR*BR) i prostokątem (KR*~BR)
Szczegóły …
Grupa czworokątów:
Czworokąt to wielokąt o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych.
CZ = KR +BR + PBPRiR (równoległobok) + JPBR (trapez) + pozostałe czworokąty
gdzie:
Pozostałe czworokąty to np. czworokąty o losowej długości boków
I.
Grupa trapezów:
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.
Definicja grupy trapezów: JPBR
JPBR - jedna para boków równoległych
Grupa trapezów to:
GT = kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez
GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR + JPBR*~KR*~BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty będące trapezami:
Każdy kwadrat (KR*BR) jest trapezem (w znaczeniu iż należy do grupy trapezów: JPBR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) jest trapezem ( w znaczeniu iż należy do grupy trapezów: JPBR)
Każdy trapez (ten konkretny: JPBR*~KR*~BR) jest trapezem (w znaczeniu iż należy do grupy trapezów: JPBR)
itd.
Równanie logiczne dla grupy trapezów po minimalizacji przyjmuje postać:
[link widoczny dla zalogowanych]
GT = KR + BR + PBPRiR (równoległobok) + JPBR (trapez)
gdzie:
Prostokąt (grupa prostokątów):
KR - wszystkie kąty równe (kwadrat, prostokąt)
Romb (grupa rombów):
BR - wszystkie boki równe (kwadrat, romb)
Równoległobok (grupa równoległoboków):
PBPRiR - przeciwległe boki parami równoległe i równe (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok)
Trapez (grupa trapezów):
JPBR - przynajmniej jedna para boków równoległych (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez)
Zauważmy, że mimo iż w definicji grupy trapezów użyliśmy liczby pojedynczej (trapez) to matematycznie musimy tą definicję rozumieć jako grupę trapezów (więcej niż jeden), na co jednoznacznie wskazuje treść definicji. Podobnie mamy z prostokątem, rombem i równoległobokiem.
Algebra Kubusia dopuszcza uproszczone, powszechnie używane skróty myślowe:
1.
Prostokąt jest trapezem
co matematycznie oznacza:
Prostokąt (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*~BR) należy do grupy trapezów (o definicji JPBR)
2.
Trapez jest trapezem
Trapez (ten jednoznacznie zdefiniowany: JPBR*~KR*~BR) należy do grupy trapezów (o definicji JPBR)
itd
Jeśli uczeń zdaje sobie sprawę ze stosowanych skrótów myślowych to wszystko jest w porządku.
Mamy tu przypadek identyczny jak w implikacji:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
To też jest powszechnie używany skrót myślowy który matematycznie oznacza:
B.
/\x P8(x)=>P2(x)
Dla dowolnej liczby naturalnej x, jeśli liczba x jest podzielna przez 8 to na pewno => liczba x jest podzielna przez 2
Matematycznie zdania A i B są tożsame.
II.
Grupa równoległoboków:
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe
Definicja grupy równoległoboków: PBPRiR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Grupa równoległoboków to:
GR = kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok
GR = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty będące równoległobokami:
Każdy kwadrat (KR*BR) jest równoległobokiem (w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) jest równoległobokiem ( w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR)
Każdy równoległobok (ten konkretny: PBPRiR*~KR*~BR) jest równoległobokiem (w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR)
itd
Równanie logiczne dla grupy równoległoboków po minimalizacji przyjmuje postać:
[link widoczny dla zalogowanych]
GR = KR + BR + PBPRiR (równoległobok)
gdzie:
Prostokąt (grupa prostokątów):
KR - wszystkie kąty równe (kwadrat, prostokąt)
Romb (grupa rombów):
BR - wszystkie boki równe (kwadrat, romb)
Równoległobok (grupa równoległoboków):
PBPRiR - przeciwległe boki parami równoległe i równe (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok)
Matematycznie zachodzi.
Implikacja prosta:
Jeśli czworokąt jest kwadratem (KR*BR), prostokątem (KR*~BR), rombem (~KR*BR) lub równoległobokiem (PBPRiR*~KR*~BR) to na pewno => zawiera się w grupie równoległoboków (PBPRiR)
KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR => PBPRiR
Każdy kwadrat (KR*BR) należy do grupy równoległoboków (PBPRiR)
Każdy kwadrat (KR*BR) jest równoległobokiem (PBPRiR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) należy do grupy równoległoboków (PBPRiR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) jest równoległobokiem (PBPRiR)
Każdy równoległobok (ten ściśle zdefiniowany: PBPRiR*~KR*~BR) zawiera się w grupie równoległoboków (PBPRiR)
Każdy równoległobok (ten ściśle zdefiniowany: PBPRiR*~KR*~BR) jest równoległobokiem (PBPRiR)
Implikacja odwrotna:
Jeśli czworokąt jest równoległobokiem (PBPRiR) może [~>] być kwadratem (KR*BR), prostokątem (KR*~BR), rombem (~KR*BR) lub równoległobokiem (PBPRiR*~KR*~BR)
Oczywiście zbiory równoległoboków ściśle zdefiniowanych są rozłączne:
Kwadrat ## prostokąt ## romb ## równoległobok
KR*BR ## KR*~BR ## ~KR*BR ## PBPRiR*~KR*~BR
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przykładowy dowód dla kwadratu i prostokąta:
Badamy czy istnieje część wspólna kwadratu (KR*BR) i prostokąta (KR*~BR)
Część wspólna = kwadrat * prostokąt = (KR*BR)*(KR*~BR) = KR*BR*~BR = KR*0 =0
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p*p=p
p*~p=0
p*0=0
Brak części wspólnej kwadratu i prostokąta jest dowodem iż te czworokąty są rozłączne.
Identycznie dowodzimy rozłączność wszystkich pozostałych równoległoboków.
Wynika z tego że:
Zbiór kwadratów (KR*BR) jest rozłączny ze zbiorem prostokątów (KR*~BR)
Nic co jest kwadratem (KR*BR) nie ma prawa być prostokątem (KR*~BR) i odwrotnie.
Kwadrat (KR*BR) nie jest szczególnym przypadkiem prostokąta (KR*~BR) i odwrotnie.
itd.
III.
Grupa prostokątów
Prostokąt
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste.
Definicja alternatywna:
Prostokąt to czworokąt o wszystkich kątach równych
Cechy charakterystyczne:
Wszystkie kąty proste
Definicja grupy prostokątów:
GP=KR
Grupa prostokątów to:
GP = kwadrat, prostokąt
GP = KR*BR + KR*~BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty będące prostokątami (należące do grupy prostokątów).
Kwadrat to czworokąt o kątach równych i bokach równych
Kwadrat = KR*BR
Prostokąt to czworokąt o kątach równych i nie równych bokach
Prostokąt = KR*~BR
Równanie logiczne opisujące grupę prostokątów po minimalizacji to:
GP=KR
Dowód:
GP = kwadrat + prostokąt = KR*BR + KR*~BR = KR*(BR+~BR) = KR*1 = KR
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
Wyciagnięcie zmiennej przed nawias
p+~p=1
p*1=p
Zauważmy, że mimo iż w definicji grupy prostokątów użyliśmy liczby pojedynczej (prostokąt) to matematycznie musimy tą definicję rozumieć jako grupę prostokątów (więcej niż jeden), na co jednoznacznie wskazuje treść definicji.
Każdy kwadrat (KR*BR) jest prostokątem (w znaczeniu iż należy do grupy prostokątów o definicji: KR)
Każdy prostokąt (ten ściśle zdefiniowany: KR*~BR) jest prostokątem (w znaczeniu iż należy do grupy prostokątów o definicji: KR)
Algebra Kubusia dopuszcza uproszczone, powszechnie używane skróty myślowe:
1.
Każdy kwadrat jest prostokątem
co matematycznie oznacza:
Kwadrat (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*BR) należy do grupy prostokątów (o definicji: KR)
2.
Każdy prostokąt jest prostokątem
co matematycznie oznacza:
Prostokąt (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*~BR) należy do grupy prostokątów (o definicji: KR)
3.
Dopuszczalne jest także stwierdzenie (choć to jest bardzo naciągane):
Kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta
co matematycznie oznacza:
Kwadrat (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*BR) należy do grupy prostokątów (o definicji: KR)
Nigdy nie może być!
Kwadrat (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*BR) jest podzbiorem prostokąta (tego jednoznacznie zdefiniowanego: KR*~BR)
bo to są zbiory rozłączne!
Dowód:
badamy czy istnieje część wspólna tych zbiorów:
Kwadrat* prostokąt = (KR*BR)*(KR*~BR) = KR*BR*~BR = KR*0 =0
bo prawa algebry Boole’a:
p*p=p
p*~p=0
p*0=0
Brak części wspólnej jest dowodem rozłączności ściśle zdefiniowanych czworokątów: kwadratu i prostokąta
Jeśli uczeń zdaje sobie sprawę ze stosowanych skrótów myślowych jak wyżej to wszystko jest w porządku.
IV.
Grupa rombów
Romb
Rombem nazywamy czworokąt, którego wszystkie boki są równe.
Cechy charakterystyczne:
Boki równe, przekątne przecinają się pod kątem prostym
Definicja grupy rombów:
GR=BR
Grupa rombów to:
GR = kwadrat, romb
GR = KR*BR + ~KR*BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty należące do grupy rombów.
Kwadrat to czworokąt o kątach równych i bokach równych
Kwadrat = KR*BR
Romb to czworokąt o kątach nie równych i równych bokach
Romb = ~KR*BR
Równanie logiczne opisujące grupę rombów po minimalizacji to:
GR=BR
Dowód:
GR = kwadrat + romb = KR*BR + ~KR*BR = BR*(KR+~KR) = BR*1 = BR
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
Wyciagnięcie zmiennej przed nawias
p+~p=1
p*1=p
Zauważmy, że mimo iż w definicji grupy rombów użyliśmy liczby pojedynczej (romb) to matematycznie musimy tą definicję rozumieć jako grupę rombów (więcej niż jeden czworokąt), na co jednoznacznie wskazuje treść definicji.
Każdy kwadrat (KR*BR) jest rombem (w znaczeniu iż należy do grupy rombów o definicji: BR)
Każdy romb (ten ściśle zdefiniowany: ~KR*BR) jest rombem (w znaczeniu iż należy do grupy rombów o definicji: BR)
Oczywiście zbiory kwadratów (KR*BR) i rombów (~KR*BR) są rozłączne
czyli:
Nic co jest kwadratem (KR*BR) nie ma prawa być rombem (KR*~BR) i odwrotnie.
Kwadrat (KR*BR) nie jest szczególnym przypadkiem rombu (~KR*BR).
Romb zdefiniowany ściśle (~KR*BR) nie jest też szczególnym przypadkiem równoległoboku ściśle zdefiniowanego (PBPRiR*~KR*~BR)
gdzie:
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Dowód:
Badamy czy istnieje cześć wspólna:
ROMB*równoległobok = (~KR*BR)*(PBPRiR*~KR*~BR) = 0
bo prawo algebry Boole’a:
p*~p=0
0*x =0
cnd
Romb zdefiniowany ściśle (~KR*BR) zawiera się w grupie równoległoboków o definicji.
Grupa równoległoboków:
GR = kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok
GR = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR
Po minimalizacji:
GR = KR + BR + PBPRiR (równoległobok)
Możemy zatem powiedzieć że:
Każdy romb (~KR*BR) zawiera się w grupie (zbiorze) równoległoboków (o definicji: KR+BR+PBPRiR)
W skrócie:
Każdy romb (~KR*BR) jest równoległobokiem (o definicji: KR+BR+PBPRiR)
Zauważmy także że:
1.
Grupa rombów (o definicji: BR) zawiera się w zbiorze (grupie) równoległoboków (o definicji: KR+BR+PBPRiR)
W żargonie:
Każdy romb (BR) jest równoległobokiem (KR+BR+PBPRiR)
2.
Grupa prostokątów (o definicji: KR) zawiera się w zbiorze (grupie) równoległoboków (o definicji: KR+BR+PBPRiR)
W żargonie:
Każdy prostokąt (KR) jest równoległobokiem (KR+BR+PBPRiR)
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 13:00, 27 Sty 2013, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 17:18, 27 Sty 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| Dagger napisał: | A DELTOIDY?
[link widoczny dla zalogowanych] |
[link widoczny dla zalogowanych]
| Cytat: |
Deltoid – czworokąt, którego jedna z przekątnych leży na jego osi symetrii. Oś ta jest wówczas symetralną drugiej przekątnej. W takim czworokącie pewne dwa sąsiednie boki mają równą długość „a”, a pozostałe dwa boki mają także równą długość “b”.
Niektórzy autorzy żądają też, aby deltoid był wypukły. Według niektórych, np. Jana Zydlera[1] deltoid dodatkowo nie może mieć wszystkich boków równych[2]. Większość źródeł nie tworzy jednak takich wyjątków i uważa romb za szczególny przypadek deltoidu[3].
W deltoidzie kąty między bokami różnej długości są równe. Każdy deltoid wypukły jest sumą (mnogościową) dwóch trójkątów równoramiennych |
| Slupek napisał: | | Ludzie tak nie mówią. |
Romb jest szczególnym przypadkiem deltoidu?
Kwadrat też jest szczególnym przypadkiem deltoidu?
Dlaczego to nie możliwe?
Na przeszkodzie stoi tu matematyka ścisła, algebra Boole’a.
Najpierw trzeba ją zgwałcić, aby to było możliwe.
cnd
Czworokąty to definicje ze szkoły podstawowej.
Najlepsze jakie spotkałem to definicje z:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Cytat: | Deltoid
Deltoidem nazywamy czworokąt posiadający dwie pary boków sąsiednich równych, w którym żadne dwa boki nie są wzajemnie równoległe. |
Ta definicja jest genialna!
To jedyna definicja ścisła (obok kwadratu) definiująca pewien czworokąt (deltoid) pozwalająca go odróżnić od jakichkolwiek innych czworokątów.
Zauważmy że:
„Żadne dwa boki nie są wzajemnie równoległe” eliminuje wszelkie trapezy czyli eliminuje:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez
Dwie sąsiednie pary boków równych wymuszają przecięcie się przekątnych pod kątem prostym!
Brawo, brawo, brawo!
To jedyna poprawna, czyli RÓWNOWAŻNOŚCIOWA definicja czworokąta (obok kwadratu) w logice Ziemian.
Zauważmy że nie da się zdefiniować grupy deltoidów w ten sposób:
PCPKP - przekątne w czworokącie przecinają się pod kątem prostym
… bowiem deltoid zdefiniowany ściśle musi mieć dodany człon ~KR*~BR, eliminujący kwadrat i romb.
Inaczej mamy matematykę niejednoznaczną.
cnd
Twierdzenie:
Budować jakiekolwiek grupy (zbiory) w oparciu o dowolne kryterium można wtedy i tylko wtedy gdy elementy tych zbiorów są precyzyjnie (jednoznacznie) zdefiniowane.
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem, kotem lub słoniem to na pewno => ma cztery łapy
P+K+S=>4L
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór P+K+S zawiera się w zbiorze zwierząt z czteroma łapami
Czyli!
Musimy mieć precyzyjne definicje psa, kota i słonia (tu wizualną, czytelną dla każdego 5-cio latka) aby możliwe było stworzenie grupy (zbioru) zwierząt posiadających cztery łapy.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 18:02, 27 Sty 2013, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 19:15, 28 Sty 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: | | Cytat: |
Romb jest szczególnym przypadkiem deltoidu?
Kwadrat też jest szczególnym przypadkiem deltoidu?
Dlaczego to nie możliwe?
Na przeszkodzie stoi tu matematyka ścisła, algebra Boole’a.
Najpierw trzeba ją zgwałcić, aby to było możliwe.
cnd |
Trzeba przyznać, że w AK dowody różnych twierdzeń są bajecznie proste. |
ok.
Zatem dowód ściśle matematyczny twierdzenia iż romb nie może być szczególnym przypadkiem deltoidu.
Wykłady z algebry Kubusia
Temat:
Grupa deltoidów
[link widoczny dla zalogowanych]
| Cytat: |
Deltoid – czworokąt, którego jedna z przekątnych leży na jego osi symetrii. Oś ta jest wówczas symetralną drugiej przekątnej. W takim czworokącie pewne dwa sąsiednie boki mają równą długość „a”, a pozostałe dwa boki mają także równą długość “b”.
Niektórzy autorzy żądają też, aby deltoid był wypukły. Według niektórych, np. Jana Zydlera[1] deltoid dodatkowo nie może mieć wszystkich boków równych[2]. Większość źródeł nie tworzy jednak takich wyjątków i uważa romb za szczególny przypadek deltoidu[3].
W deltoidzie kąty między bokami różnej długości są równe. Każdy deltoid wypukły jest sumą (mnogościową) dwóch trójkątów równoramiennych |
[link widoczny dla zalogowanych]
| Cytat: | Deltoid
Deltoidem nazywamy czworokąt posiadający dwie pary boków sąsiednich równych, w którym żadne dwa boki nie są wzajemnie równoległe. |
Jak widać wyżej minęło 2500 lat a Ziemianie nie mogą ustalić jednoznacznych definicji banalnych czworokątów …
Jest absolutną oczywistością że czerwone definicje przedstawione wyżej to są dwie różne definicje. Definicja z Wikipedii dotyczy grupy czworokątów zwanych deltoidami (więcej niż jeden), natomiast definicja z math.edu.pl to hiper precyzyjna definicja deltoidu (definicja ścisła) którego nie można pomylić ani z kwadratem, ani z rombem (czy też dowolnym innym czworokątem!).
Czyli:
1.
Jaś poproszony o narysowanie deltoidu o definicji z Wikpedii może sobie rzucać kostką i narysować cokolwiek: kwadrat, romb albo deltoid w ścisłym tego słowa znaczeniu jak w definicji z math.edu.pl.
Ta matematyka nie jest jednoznaczna!
2.
W myśl definicji z math.edu.pl Jas poproszony o narysowanie deltoidu musi narysować deltoid zdefiniowany ściśle w tej definicji, czyli czworokąt różny od kwadratu, różny od rombu, różny od jakiegokolwiek innego czworokąta zdefiniowanego ściśle.
Ta matematyka jest jednoznaczna!
Definicja z math.edu.pl genialna!
To jedyna definicja ścisła (obok kwadratu) definiująca pewien czworokąt (deltoid) pozwalająca go odróżnić od jakichkolwiek innych czworokątów.
Zauważmy że:
„Żadne dwa boki nie są wzajemnie równoległe” eliminuje wszelkie trapezy czyli eliminuje:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez
Dwie sąsiednie pary boków równych wymuszają przecięcie się przekątnych pod kątem prostym!
Zdefiniujmy grupę deltoidów.
Definicja grupy deltoidów:
Deltoid to czworokąt w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym.
PKP - przekątne przecinają się pod kątem prostym
Definicja tożsama grupy deltoidów to definicja z Wikipedii:
Deltoid to czworokąt, którego jedna z przekątnych leży na jego osi symetrii.
Definicja tożsama grupy deltoidów z math.edu.pl:
Deltoidem nazywamy czworokąt posiadający dwie pary boków sąsiednich równych
Oczywiście do tak zdefiniowanej grupy czworokątów należeć będą ściśle (czyli jednoznacznie) zdefiniowane czworokąty:
kwadrat (KR*BR), romb (~KR*BR) i deltoid (PKP*~KR*~BR)
Ścisłe definicje czworokątów:
1.
Kwadrat to czworokąt mający kąty równe i boki równe
Kwadrat=KR*BR
2.
Romb to czworokąt nie mający kątów równych ale mający boki równe
Romb=~KR*BR
3.
Deltoid to czworokąt w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym, nie mający wszystkich kątów równych i nie mający wszystkich boków równych
Deltoid=PKP*~KR*~BR
gdzie:
KR - wszystkie kąty równe
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boi równe
~BR - nie wszystkie boki równe
PKP - przekątne przecinają się pod kątem prostym
Grupa deltoidów:
GD = kwadrat + romb + deltoid (o definicji ścisłej!)
GD = KR*BR + ~KR*BR + PKP*~KR*~BR
Podstawiamy:
p=KR
q=BR
r=PKP
GD = p*q + ~p*q + r*~p*~q
GD = q*(p+~p) + r*~p*~q
Prawo algebry Boole’a:
Wyciągnięcie zmiennej q przed nawias
GD = q +( r*~p*~q)
Prawa algebry Boole’a:
p+~p=1
q*1=q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~GD = ~q*(~r+p+q)
~GD = ~q*~r + ~q*p + ~q*q
Mnożenie zmiennej ~q przez wielomian
~GD = ~q*~r + ~q*p
Prawo algebry Boole’a:
~q*q =0
0+x = x
~GD = ~q*(~r+p)
Wyciągnięcie zmiennej ~q przed wielomian
Przechodzimy do logiki przeciwnej
GD = q+(r*~p)
Przywracamy znaczenie zmiennych w oryginale
GD = PKP*~KR + BR
stąd:
Równanie opisujące grupę deltoidów po minimalizacji:
GD = PKP*~KR + BR
co matematycznie oznacza:
GD=1 <=> (PKP*~KR)=1 lub BR=1
Jak działa genialna, techniczna algebra Boole’a?
A.
Losujemy:
kwadrat lub romb
Stwierdzamy:
BR=1
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać.
Kwadrat (KR*BR) i romb (~KR*BR) należą do grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
B.
Losujemy:
Deltoid
Stwierdzamy:
(PKP*~KR)=1*1=1
STOP!
Deltoid w ścisłym (PKP*~KR*~BR) znaczeniu należy do grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
Wszelkie inne czworokąty ściśle zdefiniowane nie mają prawa należeć do grupy deltoidów i nie należą do grupy deltoidów.
Równanie opisujące grupę deltoidów po minimalizacji:
GD = PKP*~KR + BR
co matematycznie oznacza:
GD=1 <=> (PKP*~KR)=1 lub BR=1
C.
Losujemy:
Prostokąt (KR*~BR)
Stwierdzamy:
PKP*~KR = 0*0=0
Drugi człon definicji grupy deltoidów:
BR=0 - prostokąt nie ma wszystkich boków równych
Wniosek:
Prostokąt (KR*~BR) nie należy do grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
GD = (PKP*~KR)=(0*0)=0 lub BR=0
GD=0
itd.
Podsumowanie:
Poprawne matematycznie są stwierdzenia:
Kwadrat (KR*BR) jest podzbiorem grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
bo BR=1
czyli:
Każdy kwadrat (KR*BR) jest deltoidem (GD=PKP*~KR + BR)
gdzie:
Deltoid w tym przypadku to grupa deltoidów o definicji
GD=PKP*~KR + BR
… a nie ściśle zdefiniowany deltoid (Deltoid=PKP*~KR*~BR)!
Podobnie:
Romb (~KR*BR) jest podzbiorem grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
bo BR=1
czyli:
Każdy romb (~KR*BR) jest deltoidem (GD=PKP*~KR + BR)
gdzie:
Deltoid w tym przypadku to grupa deltoidów o definicji
GD=PKP*~KR + BR
… a nie ściśle zdefiniowany deltoid (Deltoid=PKP*~KR*~BR)!
Logika naszego Wszechświata jest jedna czyli identyczna logika musi obowiązywać zarówno w świecie humanistów i 5-cio Latków jak i w matematyce.
Weźmy zbiory obsługiwane logiką 5-cio Latków:
A.
Jeśli zwierzę jest psem, kotem lub słoniem to na pewno => ma cztery łapy
P+K+S => 4L
Definicja znaczka => (warunek wystarczający) spełniona bo:
Zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałką wektora =>.
Zbiór P+K+S zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
Sensowne jest mówienie że:
Pies należy do zbioru zwierząt z czterema łapami
Każdy pies ma cztery łapy
Bezsensem jest twierdzenie iż:
Pies jest szczególnym przypadkiem czterech łap
Pies jest szczególnym przypadkiem grupy zwierząt z czterema łapami
itp.
IDENTYCZNIE mamy w matematyce!
Sensowne jest mówienie że:
Romb (~KR*BR) jest podzbiorem grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
bo BR=1
czyli:
Każdy romb (~KR*BR) jest deltoidem (GD=PKP*~KR + BR)
gdzie:
deltoid = grupa deltoidów o definicji
GD=PKP*~KR + BR
… a nie ściśle zdefiniowany deltoid (deltoid=PKP*~KR*~BR)!
Bezsensem jest twierdzenie iż:
1.
Romb (~KR*BR) jest szczególnym przypadkiem deltoidu (tego zdefiniowanego ściśle: PKP*~KR*~BR)
Ten przypadek w świecie zwierzaków wyżej to stwierdzenie iż:
Pies jest szczególnym przypadkiem słonia!
… czyli bezsens absolutny.
2.
Romb (~KR*BR) jest szczególnym przypadkiem grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
itp.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 1:03, 29 Sty 2013, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 1:01, 29 Sty 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| Slupek napisał: | To nie ma nic wspólnego z Kubusiem, ale też się chciałem podzielić :]
W lewym górnym rogu jest taka lupa, którą u mnie trzeba kliknąć 2 razy  |
Prośba do Słupka ...
Czy możesz skończyć z offtopami?
Pytania do Słupka i Fatbanthy:
1.
Czy rozmiecie fundamentalne różnice między definicjami deltoidu z Wikipedii i math.edu.pl?
2.
Czy rozumiecie skąd wzięło się równanie minimalne dla grupy deltoidów?
GD = PKP*~KR + BR
3.
Czy rozumiecie różnicę między grupą deltoidów a deltoidem zdefiniowanym ściśle?
Deltoid (zdefiniowany ściśle) = PKP*~KR*~BR
4.
Czy rozumiecie skąd wzięło się ostatnie podsumowanie ..
Bezsensem jest twierdzenie iż:
1.
Romb (~KR*BR) jest szczególnym przypadkiem deltoidu (tego zdefiniowanego ściśle: PKP*~KR*~BR)
Ten przypadek w świecie zwierzaków wyżej to stwierdzenie iż:
Pies jest szczególnym przypadkiem słonia!
… czyli bezsens absolutny.
5.
Czy nie widzicie iż w definicjach czworokątów w AK wszystko GENIALNIE się zgadza od strony czysto matematycznej, czyli nie ma tu ani niejednoznaczności, ani sprzeczności.
6.
Czy nie widzicie iż można tworzyć zbiory w oparciu o dowolne kryterium np. ilość nóg w dziedzinie zwierząt, ale tworzenie takich zbiorów jest niemożliwe bez szczegółowych definicji poszczególnych zwierząt - tu psa, słonia, mrówki etc.
Jaki sens ma tworzenie zbioru zwierząt z czterema łapami gdy się nie zna definicji psa, kota, mrówki etc. ?
7.
Jak czegoś nie rozumiecie to pytajcie.
P.S.
Fiklita nie pytam bo jestem pewny że rozumie minimalizację równań logicznych, jak również rozumie co tu Kubuś pisze
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 1:02, 29 Sty 2013, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 1:48, 29 Sty 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
| Cytat: |
Deltoid – czworokąt, którego jedna z przekątnych leży na jego osi symetrii. Oś ta jest wówczas symetralną drugiej przekątnej. W takim czworokącie pewne dwa sąsiednie boki mają równą długość „a”, a pozostałe dwa boki mają także równą długość “b”.
Niektórzy autorzy żądają też, aby deltoid był wypukły. Według niektórych, np. Jana Zydlera[1] deltoid dodatkowo nie może mieć wszystkich boków równych[2]. Większość źródeł nie tworzy jednak takich wyjątków i uważa romb za szczególny przypadek deltoidu[3].
W deltoidzie kąty między bokami różnej długości są równe. Każdy deltoid wypukły jest sumą (mnogościową) dwóch trójkątów równoramiennych |
Właśnie zerknąłem do linku by zobaczyć co to za mądry Ziemianin mający identyczną definicję deltoidu jak w algebrze Kubusia?
… no i okazało się że to stara dobra matematyka (przedwojenna), której mnie uczono w szkole średniej, jeszcze bez głupot rodem z „nowoczesnej” matematyki, gdzie pojęcie deltoid jest w 100% jednoznaczne, czyli nie można pomylić tego czworokąta ani z rombem, ani z kwadratem, ani z jakimkolwiek innym czworokątem
Zatem wielkie brawa dla … przedwojennej matematyki, matematyki sprzed ponad 100 lat!
W dzisiejszej „nowoczesnej” matematyce pojęcie deltoid oznacza cokolwiek: kwadrat, romb, albo deltoid zdefiniowany ściśle jak u Jana Zydlera.
czyli …
W „nowoczesnej” matematyce można sobie monetą rzucać … gdzie tu jednoznaczność matematyki?
[link widoczny dla zalogowanych]
Jan Zydler
Geometria
Pełny, prosty, wciąż aktualny i napisany pięknym językiem wykład. Można z niego nauczyć się geometrii, można też znaleźć w nim potrzebne definicje, opisy własności figur geometrycznych czy klarowne dowody najważniejszych twierdzeń (w szybkim ich odnalezieniu pomoże szukacz, obecny na lewej szpalcie strony). Poszczególne działy i poddziały zawierają zestawy zadań do rozwiązania, dzięki którym można sprawdzić stopień opanowania materiału.
Prezentowany wykład geometrii jest autorstwa Jan Zydlera (1867-1934), absolwenta matematyki na Uniwersytecie Warszawskim, znanego i uznanego nauczyciela matematyki w szkołach średnich. Wykład ów został opracowany i nieco uwspółcześniony w 1997 roku przez zespół matematyków pracujących pod egidą Polskiego Towarzystwa Matematycznego (prof. Wojciech Guzicki, prof. Jerzy Mioduszewski, dr Adela Świątek, dr Mirosław Uscki) oraz przez redakcję matematyki wydawnictwa Prószyński i S-ka.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 7:43, 30 Sty 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: |
Rafał, a masz jakieś przeczucie lub wyczucie, które zbiory figur częściej się rozważa: KR czy KR*~BR?
Czy jest krótsza precyzyjna nazwa niż "dowolna figura z grupy prostokątów"?
|
W zadaniach matematycznych ZAWSZE używa się super precyzyjnych definicji czworokątów, czyli:
KR*BR - to jest precyzyjnie zdefiniowany kwadrat
KR*~BR - to jest precyzyjnie zdefiniowany prostokąt
~KR*BR - to jest precyzyjnie zdefiniowany romb
PBPRiR*~KR*~BR - to jest precyzyjna definicja równoległoboku
Popatrz na przedwojenną matematykę:
[link widoczny dla zalogowanych]
W którym miejscu masz tu nieprecyzyjnie użyte pojęcie?
Czy jak pisze w zadaniu o prostokącie to możesz sobie narysować kwadrat (albo odwrotnie) i rozwiązywać zadanie?
itd.
Nigdzie nie znajdziesz zadania, w całym obszarze matematyki o takiej przykładowej treści:
Dany jest kwadrat o bokach a=4 i b=8, oblicz pole kwadratu.
Debilizm takiego zadania widać z nieskończenie wielkiej odległości.
Poza tym najważniejsza sprawa:
Aby mówić o wspólnych cechach jakiegokolwiek zbioru to przede wszystkim musisz znać precyzyjne definicje wszystkich elementów tego zbioru.
Przykład:
Czy możliwe byłoby tworzenie zbioru zwierząt z czterema łapami gdybyś nie znał szczegółowych definicji wszystkich zwierząt (tu wzrokowych, oczywistych dla 5-cio latka) które bierzesz pod uwagę np. kury, konia, mrówki, węża etc.
Oczywiście możesz nie wiedzieć ile nóg ma jakieś egzotyczne zwierzę, ale wtedy nie dołączasz go do zbioru zwierząt z czterem łapami.
W czym widzisz problem?
Czy ścisłe definicje równoległoboków jak wyżej, których jest raptem cztery wykraczają poza poziom definiowalności ziemskiego matematyka?
Najpierw definicje ścisłe, później segregacja według dowolnego kryterium np. prostokąty, romby, równoległoboki, trapezy, deltoidy.
Zauważ, że definicje ścisłe przedstawione wyżej i tak każdy uczeń szkoły podstawowej musi znać, inaczej nie zda żadnego egzaminu, obleje każdą kartkówkę!
… więc w czym problem?
[link widoczny dla zalogowanych]
| rafal3006 napisał: |
II.
Grupa równoległoboków:
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe
Definicja grupy równoległoboków: PBPRiR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Grupa równoległoboków to:
GR = kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok
GR = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty będące równoległobokami:
Każdy kwadrat (KR*BR) jest równoległobokiem (w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) jest równoległobokiem ( w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR)
Każdy równoległobok (ten konkretny: PBPRiR*~KR*~BR) jest równoległobokiem (w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR)
itd
Równanie logiczne dla grupy równoległoboków po minimalizacji przyjmuje postać:
[link widoczny dla zalogowanych]
GR = KR + BR + PBPRiR (równoległobok)
gdzie:
Prostokąt (grupa prostokątów):
KR - wszystkie kąty równe (kwadrat, prostokąt)
Romb (grupa rombów):
BR - wszystkie boki równe (kwadrat, romb)
Równoległobok (grupa równoległoboków):
PBPRiR - przeciwległe boki parami równoległe i równe (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok)
Matematycznie zachodzi.
Implikacja prosta:
Jeśli czworokąt jest kwadratem (KR*BR), prostokątem (KR*~BR), rombem (~KR*BR) lub równoległobokiem (PBPRiR*~KR*~BR) to na pewno => zawiera się w grupie równoległoboków (PBPRiR)
KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR => PBPRiR
Każdy kwadrat (KR*BR) należy do grupy równoległoboków (PBPRiR)
Każdy kwadrat (KR*BR) jest równoległobokiem (PBPRiR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) należy do grupy równoległoboków (PBPRiR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) jest równoległobokiem (PBPRiR)
Każdy równoległobok (ten ściśle zdefiniowany: PBPRiR*~KR*~BR) zawiera się w grupie równoległoboków (PBPRiR)
Każdy równoległobok (ten ściśle zdefiniowany: PBPRiR*~KR*~BR) jest równoległobokiem (PBPRiR)
Implikacja odwrotna:
Jeśli czworokąt jest równoległobokiem (PBPRiR) może [~>] być kwadratem (KR*BR), prostokątem (KR*~BR), rombem (~KR*BR) lub równoległobokiem (PBPRiR*~KR*~BR)
Oczywiście zbiory równoległoboków ściśle zdefiniowanych są rozłączne:
Kwadrat ## prostokąt ## romb ## równoległobok
KR*BR ## KR*~BR ## ~KR*BR ## PBPRiR*~KR*~BR
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przykładowy dowód dla kwadratu i prostokąta:
Badamy czy istnieje część wspólna kwadratu (KR*BR) i prostokąta (KR*~BR)
Część wspólna = kwadrat * prostokąt = (KR*BR)*(KR*~BR) = KR*BR*~BR = KR*0 =0
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p*p=p
p*~p=0
p*0=0
Brak części wspólnej kwadratu i prostokąta jest dowodem iż te czworokąty są rozłączne.
Identycznie dowodzimy rozłączność wszystkich pozostałych równoległoboków.
Wynika z tego że:
Zbiór kwadratów (KR*BR) jest rozłączny ze zbiorem prostokątów (KR*~BR)
Nic co jest kwadratem (KR*BR) nie ma prawa być prostokątem (KR*~BR) i odwrotnie.
Kwadrat (KR*BR) nie jest szczególnym przypadkiem prostokąta (KR*~BR) i odwrotnie.
itd.
|
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 7:44, 30 Sty 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
[link widoczny dla zalogowanych]
| Cytat: |
Deltoid – czworokąt, którego jedna z przekątnych leży na jego osi symetrii. Oś ta jest wówczas symetralną drugiej przekątnej. W takim czworokącie pewne dwa sąsiednie boki mają równą długość „a”, a pozostałe dwa boki mają także równą długość “b”.
Niektórzy autorzy żądają też, aby deltoid był wypukły. Według niektórych, np. Jana Zydlera[1] deltoid dodatkowo nie może mieć wszystkich boków równych[2]. Większość źródeł nie tworzy jednak takich wyjątków i uważa romb za szczególny przypadek deltoidu[3].
W deltoidzie kąty między bokami różnej długości są równe. Każdy deltoid wypukły jest sumą (mnogościową) dwóch trójkątów równoramiennych |
[link widoczny dla zalogowanych]
| Cytat: |
142. Określenie. Jeżeli na danym odcinku wykreślimy z obydwu jego stron 2 trójkąty równoramienne, które nie są przystające, to otrzymamy czworokąt, który nosi nazwę deltoidu (rys. 100) |
Fiklit, ja mówiłem wyłącznie o wspaniałej bo precyzyjnej przedwojennej definicji deltoidu. Zauważ że według definicji przedwojennej zachodzi:
deltoid ## kwadrat ## romb
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wykluczone jest tu zatem aby kwadrat czy romb mógł być deltoidem.
| fiklit napisał: | Ale sugerujesz, że wspaniała przedwojenna matematyka inaczej opisuje daną nazwę w treści wykładu a inaczej rozumie ją w ćwiczeniach?
| Cytat: | 2) Równoległobok, który ma jeden kąt prosty, ma wszystkie kąty proste.
Taki równoległobok nazywamy prostokątem (rys. 95).
3) Równoległobok, który ma dwa przyległe boki równe, a kąt między nimi prosty, ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste.
Taki równoległobok nazywamy kwadratem (rys. 96). Widzimy, że kwadrat jest to romb o kątach prostych albo prostokąt o równych bokach.
Jasne jest, że własności równoległoboku, które były zawarte w poprzednich twierdzeniach, dotyczyć będą rombu, prostokąta i kwadratu jako szczególnych równoległoboków. Oprócz tych własności ogólnych każda z tych trzech figur będzie miała własności swoiste, które poznamy z następujących twierdzeń. |
|
Precyzyjne definicje wszystkich wymienionych czworokątów masz na rysunkach.
Tekst pisany to kot odwrócony ogonem.
Dlaczego?
Bo skoro mamy precyzyjnie zdefiniowany jeden czworokąt, kwadrat.
Kwadrat = BR*KR - boki równe i kąty równe
To ten czworokąt powinniśmy użyć do definicji pozostałych czworokątów, czyli:
| Cytat: |
3) Równoległobok, który ma dwa przyległe boki równe, a kąt między nimi prosty, ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste.
Taki równoległobok nazywamy kwadratem (rys. 96). |
To jest świetne, czyli 100% zgodności AK i matematyki Ziemian:
Kwadrat = BR*KR - boki równe i kąty równe
| Cytat: |
Widzimy, że kwadrat jest to romb o kątach prostych albo prostokąt o równych bokach. |
… a to jest do bani bo nie mamy precyzyjnej definicji ani rombu, ani prostokąta, zatem NIE możemy tych czworokątów (rombu i prostokąta) użyć do definiowania kwadratu!
Poprawne, ścisłe definicje tych figur uzyskamy korzystając z precyzyjnie zdefiniowanego kwadratu!
Czyli na podstawie rysunków zapisujemy:
Prostokąt to kwadrat o nie równych bokach
PR=KR*~BR - kąty równe i boki nie równe
Romb to kwadrat o nie równych kątach
ROMB=~KR*BR - nie równe kąty i boki równe
Zauważ, że dopiero z precyzyjnych definicji kwadratu i prostokąta możesz wyprowadzić równanie opisujące grupę prostokątów.
GP = kwadrat + prostokąt = KR*BR + KR*~BR = KR*(BR+~BR) = KR*1 =KR
Prawa algebry Boole’a:
wyciagnięcie zmiennej przed nawias
p+~p=1
p*1=p
Grupa prostokątów o definicji:
GP=KR
to dwa ściśle zdefiniowane czworokąty:
Grupa prostokątów = kwadrat + prostokąt
Kwadrat = KR*BR
Prostokąt = KR*~BR
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Grupa prostokątów ## kwadrat ## prostokąt
KR ## KR*BR ## KR*~BR
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Grupa prostokątów (o definicji KR) nie definiuje zatem żadnego konkretnego czworokąta!
cnd
Czy zgadzasz się na powyższe, ścisłe definicje kwadratu i prostokąta?
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 7:57, 30 Sty 2013, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 10:33, 31 Sty 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
Wykłady z algebry Kubusia
Temat:
Twierdzenia prostokątów
Twierdzenie prostokątów:
Jeśli czworokąt jest prostokątem to na pewno => należy do grupy prostokątów
PR=>GP
Implikacja prosta:
PR=>GP = ~PR~>~GP
Twierdzenie odwrotne prostokątów:
Jeśli czworokąt należy do grupy prostokątów to może ~> być prostokątem
GP~>PR
Implikacja odwrotna:
GP~>PR = ~GP=>~PR
Dowód:
Ścisłe definicje kwadratu i prostokąta:
Kwadrat to czworokąt o równych kątach i równych bokach
KW=KR*BR
Prostokąt to kwadrat o nie równych bokach
PR=KR*~BR - kąty równe i boki nie równe
Zauważmy, że dopiero z precyzyjnych definicji kwadratu i prostokąta możemy wyprowadzić równanie opisujące grupę prostokątów.
GP = kwadrat + prostokąt = KR*BR + KR*~BR = KR*(BR+~BR) = KR*1 =KR
Prawa algebry Boole’a:
wyciagnięcie zmiennej przed nawias
p+~p=1
p*1=p
Grupa prostokątów o definicji:
GP=KR
to dwa ściśle zdefiniowane czworokąty:
Grupa prostokątów = kwadrat + prostokąt
Kwadrat = KR*BR
Prostokąt = KR*~BR
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Grupa prostokątów ## kwadrat ## prostokąt
KR ## KR*BR ## KR*~BR
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Grupa prostokątów (o definicji KR) nie definiuje zatem żadnego konkretnego czworokąta!
cnd
Zobaczmy to wszystko na diagramie:
Twierdzenie:
A.
Jeśli czworokąt jest kwadratem lub prostokątem to na pewno => należy do grupy prostokątów
KW+PR=>GP =1 bo kwadrat+prostokąt
Definicja znaczka => (warunek wystarczający) spełniona bo:
Zarówno kwadrat jak i prostokąt zawiera się grupie prostokątów
Dodatkowo zachodzi tu tożsamość zbiorów KW+PR ze zbiorem GP co wymusza równoważność, ale załóżmy, że o tym nie wiemy.
B.
Jeśli czworokąt jest kwadratem lub prostokątem to może ~~> nie należeć do grupy prostokątów
KW+PR~~>~GP=0
… a jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem?
Negujemy zmienne w równaniu A i odwracamy spójniki
~KW*~PR ~>~GP
To jest oczywiście prawo Kubusia uzyskane metodą na skróty.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
stąd mamy:
C.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to może ~> nie należeć do grupy prostokątów
~KW*~PR ~>~GP=1
D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to może ~~>należeć do grupy prostokątów
~KW*~PR~~>GP=0
STOP!
Zdanie D jest dowodem iż zdanie C spełnia warunek wystarczający =>, nie ma tu miejsca na warunek konieczny ~>, „rzucanie monetą” charakterystyczne dla implikacji.
Zdania C i D muszą zatem brzmieć.
C.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to na pewno => nie należy do grupy prostokątów
~KW*~PR =>~GP=1 bo deltoid, romb, równoległobok, trapez
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~KW*~PR jest tożsamy ze zbiorem ~GP co doskonale widać na diagramie.
D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to może ~~>należeć do grupy prostokątów
~KW*~PR~~>GP=0
Całość to oczywiście równoważność.
AR.
Grupa prostokątów wtedy i tylko wtedy gdy czworokąt jest kwadratem lub prostokątem
GP<=>KW+PR
Na tej podstawie możemy użyć tu znaku tożsamości:
GP=KW+PR
Rozważmy teraz zdanie:
A.
Jeśli czworokąt jest prostokątem to należy do grupy prostokątów
PR=>GP=1
Definicja znaczka => spełniona bo:
Prostokąt zawiera się w grupie prostokątów
Dodatkowo zbiór PR nie jest tożsamy ze zbiorem GP co wymusza implikację prostą o definicji:
PR=>GP = ~PR~>~GP - definicja implikacji prostej
B.
Jeśli czworokąt jest prostokątem to może ~~> nie zawierać się w grupie prostokątów
PR~~>~GP=0
… a jeśli czworokąt nie jest prostokątem?
Prawo Kubusia na skróty, czyli w równaniu A negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
~PR~>~GP
stąd:
C.
Jeśli czworokąt nie jest prostokątem to może ~> nie należeć do grupy prostokątów
~PR~>~GP=1 bo deltoid
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór ~PR zawiera w sobie zbiór ~GP
Dodatkowo zbiór ~PR nie jest tożsamy ze zbiorem ~GP co wymusza implikację odwrotną:
~PR~>~GP = PR=>GP - definicja implikacji odwrotnej
lub
D.
Jeśli czworokąt nie jest prostokątem to może ~~> należeć do grupy prostokątów
~PR~~>GP=1 bo kwadrat
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy dero-jedynkową definicję implikacji prostej.
A: PR=>GP
PR=1, ~PR=0
GP=1, ~GP=0
Dla kodowania zero-jedynkowego zgodnego ze zdaniem C otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~PR~>~GP
~PR=1, PR=0
~GP=1, GP=0
| Kod: |
Zapis symboliczny |Kodowanie
|zero-jedynkowe
| PR GP PR=>GP |~PR ~GP ~PR~>~GP
A: PR=> GP =1 | 1 1 =1 | 0 0 =1
B: PR~~>~GP=0 | 1 0 =0 | 0 1 =0
C:~PR~>~GP =1 | 0 0 =1 | 1 1 =1
D:~PR~~>GP =1 | 0 1 =1 | 1 0 =1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Wniosek:
Zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji prostej, w matematycznym żargonie zdanie A jest implikacją prostą.
Dlaczego w żargonie?
.. bo ściśle matematycznie zdanie A to wyłącznie warunek wystarczający => o definicji wyłącznie w A i B.
W powyższej tabeli mamy przy okazji dowód formalny prawa Kubusia - tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9:
PR=>GP = ~PR~>~GP
Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kłapouchego:
W implikacjach bezczasowych implikacja prosta przechodzi w implikację odwrotną (i odwrotnie).
Rozważmy implikacje odwrotną do zdania A wyżej.
Implikacja odwrotna:
A.
Jeśli czworokąt należy do grupy prostokątów to może ~> być prostokątem
GP~>PR =1 bo prostokąt
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór GP zawiera w sobie zbiór PR
Dodatkowo zbiór GP nie jest tożsamy ze zbiorem PR co wymusza implikacje odwrotną o definicji:
GP~>PR = ~GP=>~PR
lub
B.
Jeśli czworokąt należy do grupy prostokątów to może ~~> nie być prostokątem
GP~~>~PR=1 bo kwadrat
… a jeśli czworokąt nie należy do grupy prostokątów?
Prawo Kubusia:
GP~>PR = ~GP=>~PR
stąd:
C.
Jeśli czworokąt nie należy do grupy prostokątów to na pewno => nie jest prostokątem
~GP=>~PR=1 bo romb, równoległobok, trapez, deltoid
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~GP zawiera się w zbiorze ~PR
Dodatkowo zbiór ~GP nie jest tożsamy ze zbiorem ~PR co wymusza implikację prostą o definicji:
~GP=>~PR = GP~>PR
D.
Jeśli czworokąt nie należy do grupy prostokątów to może ~~> być prostokątem
~GP~~>PR =0
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej:
A: GP~>PR
GP=1, ~GP=0
PR=1, ~PR=0
Dla kodowania zero-jedynkowego zgodnego ze zdaniem C otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~GP=>~PR
~GP=1, GP=0
~PR=1, PR=0
| Kod: |
Zapis symboliczny |Kodowanie
|zero-jedynkowe
| GP PR GP~>PR |~GP ~PR ~GP=>~PR
A: GP~> PR =1 | 1 1 =1 | 0 0 =1
B: GP~~>~PR=1 | 1 0 =1 | 0 1 =1
C:~GP=>~PR =1 | 0 0 =1 | 1 1 =1
D:~GP~~>PR =0 | 0 1 =0 | 1 0 =0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Wniosek:
Zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej, w matematycznym żargonie zdanie A jest implikacją odwrotną.
Dlaczego w żargonie?
.. bo ściśle matematycznie zdanie A to wyłącznie warunek konieczny ~> o definicji :
GP~>PR = ~GP=>~PR
W powyższej tabeli mamy przy okazji dowód formalny prawa Kubusia - tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9:
GP~>PR = ~GP=>~PR
Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
p~>q = ~p=>~q
Czyż algebra Kubusia nie jest bajecznie prosta i piękna?
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 12:33, 31 Sty 2013, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 0:25, 01 Lut 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12
Podręcznik w oryginale:
Algebra Kubusia: Logika człowieka
Szczególne podziękowania dla:
www.śfinia.fora.pl
Wuja Zbója - znakomitego nauczyciela małego Kubusia, dzięki któremu Kubuś nauczył się poprawnie patrzeć na algebrę Boole’a od strony matematycznej.
Volratha - za decydującą o wszystkim dyskusję
Macjan - prekursor Algebry Kubusia
[link widoczny dla zalogowanych]
Fizyka, Windziarza, Sogorsa i Quebaba - za długą i ciekawą dyskusję
[link widoczny dla zalogowanych]
Daggera, Ducha i Fiklita (szczególnie) - za najważniejszą, bo stawiającą kropkę nad „i” dyskusję
Na forum [link widoczny dla zalogowanych] zapisano po raz pierwszy ogólne definicje znaczków =>, ~> i ~~>.
Finałowa dyskusja z Fiklitem dzięki której algebra Kubusia przybrała postać końcową:
[link widoczny dla zalogowanych]
Kim jest Kubuś?
Kubuś, to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata. Zadaniem Kubusia na Ziemi było rozpracowanie matematycznych fundamentów logiki człowieka. Po siedmiu latach zmagań, z wielką pomocą przyjaciół ze śfinii.fora.pl, [link widoczny dla zalogowanych] i [link widoczny dla zalogowanych] zadanie zostało wykonane.
Algebra Kubusia to podręcznik logiki matematycznej do I klasy LO w 100-milowym lesie, mam nadzieję, że wkrótce trafi także do ziemskich szkół.
Uczeń powinien znać matematyczne definicje:
p=>q - warunku wystarczającego
p~>q - warunku koniecznego
p=>q = ~p~>~q - implikacji prostej
p~>q = ~p=>~q - implikacji odwrotnej
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - równoważności
Współczesna logika matematyczna Ziemian nie odróżnia warunku wystarczającego (kwantyfikatora dużego) od implikacji prostej, co jest błędem czysto matematycznym:
Warunek wystarczający: p=>q ## implikacja prosta: p=>q = ~p~>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Interpretacja tabel zero-jedynkowych operatorów logicznych w algebrze Kubusia jest totalnie inna niż obowiązująca we współczesnej logice. Algebra Kubusia to także nowa teoria zbiorów opisana operatorami logicznymi, gdzie zbiory mają wartości logiczne 0 (zbiór pusty) albo 1 (zbiór niepusty). Naturalnymi ekspertami algebry Kubusia są wszyscy ludzie na Ziemi, od 5-cio latka po profesora.
Najważniejszymi prawami w logice matematycznej są prawa Kubusia i prawa Prosiaczka.
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Prawa Prosiaczka:
p=0 <=> ~p=1
p=1 <=> ~p=0
Dlaczego najważniejsze?
Bo tylko i wyłącznie dzięki nim możliwy jest matematyczny opis naturalnej logiki człowieka, jego naturalnego języka mówionego. Ludzkość wreszcie poznała to, o czym marzy od 2500 lat.
Myślę, że nikt nie umrze z powodu spojrzenia na logikę człowieka z punktu odniesienia Kosmitów, fundamentalnie innego niż aktualnie obowiązujący.
Przyjaciel Ziemian,
Kubuś - kosmita
Spis treści:
1.0 Notacja
2.0 Kubusiowa teoria zbiorów
2.1 Operacje na zbiorach
2.2 Właściwości zbiorów
2.3 Diagramy Kubusia
3.0 Operatory logiczne OR i AND
3.1 Spójniki logiczne „i”(*) oraz „lub”(+)
3.2 Tworzenie równań algebry Boole’a z tabel zero-jedynkowych
3.3 Operator OR w zbiorach
3.4 Operator AND w zbiorach
3.5 Minimalizacja funkcji logicznych
4.0 Implikacja o równoważność w pigułce
4.1 Definicje znaczków =>, ~> i ~~>
4.2 Implikacja prosta
4.3 Implikacja odwrotna
4.4 Równoważność
4.5 Implikacja i równoważność w zbiorach i gwarancjach matematycznych
Dodatek A
Definicje czworokątów w algebrze Kubusia
1.0 Notacja
Algebra Kubusia to algebra dwuelementowa gdzie znane są tylko dwie cyferki 0 i 1
Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady: p, q, r
~ - symbol przeczenia NIE
Fundament algebry Kubusia:
1=~0
0=~1
Stąd:
Jeśli p=1 to ~p=0
Jeśli p=0 to ~p=1
Odwrotnie też zachodzi, stąd kluczowe prawa algebry Boole’a niezbędne dla tworzenia równań algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Prawa Prosiaczka:
p=1 <=> ~p=0
p=0 <=> ~p=1
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.
# - różne
Zbiór niepusty # zbiór pusty
Prawda # Fałsz
1 # 0
## - różne na mocy definicji
Prawa de’Morgana:
Prawa de’Morgana to pełne definicje operatorów OR i AND zapisane w równaniach algebry Kubusia.
p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q)
Definicja operatora OR ## Definicja operatora AND
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Prawa Kubusia to pełne definicje operatorów implikacji prostej i odwrotnej zapisane w równaniach algebry Kubusia.
Na mocy definicji zachodzi:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
Definicja operatora implikacji prostej ## Definicja operatora implikacji odwrotnej
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z izolowanymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.
”=” - znak tożsamości
Tożsamość zbiorów:
A = B - identyczne elementy w zbiorach A i B
Tożsamość bramek logicznych:
Y = p*q = ~(~p+~q) - identyczne bramki logiczne
W dowolnym układzie logicznym w miejsce bramki:
Y=p*q
można wstawić bramkę:
Y = ~(~p+~q)
Takie bramki z punktu widzenia logiki są nierozróżnialne (tożsame), czyli generują identyczne tabele zero-jedynkowe (funkcje logiczne).
:= - symbol redukcji do funkcji minimalnej na mocy teorii zbiorów
Dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi:
p*~q := p
Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnego języka mówionego
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), =>, ~>, ~~>
W spójnikach =>, ~>, ~~> kolejność nie ma znaczenia bo są to operatory wyłącznie dwuargumentowe, czyli po lewej i prawej stronie tego znaku może być wyłącznie funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+)
Zdanie:
Zdanie w algebrze Kubusia to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne któremu można przypisać prawdę lub fałsz, zrozumiałe dla człowieka.
Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym =>, warunkiem koniecznym ~> albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>.
Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.
Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q. Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.
Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, Y
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q
Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
W operatorach OR i AND, funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p*q - logika dodatnia bo Y
~Y=p*q - logika ujemna bo ~Y
W operatorach implikacji funkcja logiczna p=>q zapisana jest w logice dodatniej gdy q jest niezanegowane.
p=>q - logika dodatnia bo q
~p~>~q - logika ujemna bo ~q
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
1.
Y=p+q
~Y=~p*~q
2.
p=>q
~p~>~q
3.
(p+q) => (r*s)
(~p*~q)~>(~r+~s)
Fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0
Kubusiowa teoria zbiorów:
W algebrze Kubusia rozróżniamy:
p=[1,2,3,4]
Konkretny zbiór z wyszczególnieniem wszystkich jego elementów ujętych w nawias kwadratowy.
od wartości logicznej zbioru!
W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
p=1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=0 - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu
Wartość logiczna zbioru to cyferki 0 albo 1, podane bez nawiasów kwadratowych.
p=[] - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu
p=0 - wartość logiczna zbioru pustego
p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=1 - wartość logiczna zbioru niepustego
Dziedzina:
Zbiór który spełnia fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0
2.0 Kubusiowa teoria zbiorów
Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady: p, q, r
~ - symbol przeczenia NIE
Fundament algebry Kubusia:
1=~0
0=~1
Stąd:
Jeśli p=1 to ~p=0
Jeśli p=0 to ~p=1
Odwrotnie też zachodzi, stąd jedno z najważniejszych praw algebry Boole’a niezbędne dla tworzenia równań algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Prawa Prosiaczka:
p=1 <=> ~p=0
p=0 <=> ~p=1
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q
Aksjomatyczne, zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych to pełna teoria zbiorów w algebrze Kubusia, uwzględniająca wszystkie możliwe przypadki wzajemnego położenia zbiorów.
Znaczenie 0 i 1 w Kubusiowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.
W tabelach zero-jedynkowych po stronie wejścia p i q mamy:
1 - zmienna z nagłówka tabeli niezanegowana
0 - zmienna z nagłówka tabeli zanegowana
Korzystając z prawa algebry Kubusia:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1
sprowadzamy zmienne p i q do jedynek, czyli do teorii zbiorów.
| Kod: |
p q SYMB OR NOR AND NAND <=> XOR => N(=>) ~> N(~>) ~~> N(~~>) P NP Q NQ
1 1 p* q 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
1 0 p*~q 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1
0 1 ~p* q 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
0 0 ~p*~q 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
|
gdzie:
* - iloczyn logiczny zbiorów p i q (wspólne elementy bez powtórzeń)
Po takim manewrze na wejściach p i q mamy iloczyny logiczne konkretnych zbiorów, które generują wynikowe 0 i 1 o znaczeniu:
1 - istnieje część wspólna zbiorów na wejściach p i q, co wymusza zbiór wynikowy niepusty (=1), zdanie prawdziwe
0 - zbiory na wejściach p i q są rozłączne, co wymusza zbiór wynikowy pusty (=0), zdanie fałszywe
Logika człowieka to równania algebry Kubusia, nigdy tabele zero-jedynkowe. Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równaniami algebry Kubusia i odwrotnie.
Maszynowa definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 na wejściach p i q
Maszynowa definicja operatora logicznego to epoka kamienna, to zatrzymanie czasu na momencie wynalezienia bramek logicznych z zakazem dalszego rozwoju techniki cyfrowej. Oczywiście żaden inżynier nie projektuje czegokolwiek w zerach i jedynkach, żaden programista nie pisze programu komputerowego bezpośrednio w zerach i jedynkach.
Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.
Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q. Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.
Definicja logiki w algebrze Kubusia = definicja algebry Kubusia:
Logika to przewidywanie przyszłości lub rozwiązywanie nieznanego np. nieznanej przeszłości.
Wbrew pozorom przeszłość może być nieznana np. poszukiwanie mordercy
Matematyka:
Logika to formułowanie i udowadnianie twierdzeń matematycznych
Kubusiowa teoria zbiorów to definicje wszystkich możliwych operatorów logicznych w zbiorach, z których najważniejsze to:
OR:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p+q
~Y=~p*~q
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
AND:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p*q
~Y=~p+~q
Implikacja prosta:
Zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p=>q = ~p=>~q
p=[1,2], q=[1,2,3,4,5,6]
Implikacja odwrotna:
Zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p~>q = ~p=>~q
Przykład:
p=[1,2,3,4,5,6], q=[1,2]
Równoważność:
Zbiór p musi być tożsamy ze zbiorem q, co wymusza tożsamość zbiorów ~p i ~q
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=[1,2,3,4,5,6], q=[1,2,3,4,5,6]
XOR
Zbiór p musi być rozłączny ze zbiorem q
Y = p*~q + ~p*q
p=[1,2], q=[3,4]
Algebra Kubusia to matematyczny opis naszego Wszechświata, w tym nieznanego. Dla potrzeb tej algebry wystarczą nam definicje prostych operacji na zbiorach.
2.1 Operacje na zbiorach
1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q=[3,4]
2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4,5,6]
3.
Różnica zbiorów to elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Y=p - q
gdzie:
„-„ - różnica zbiorów
Przykład:
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
Y = p - q = [1,2,3,4] - [1,2] = [3,4] - zbiór niepusty
Y = q - p = [1,2] - [1,2,3,4] = [] - zbiór pusty
2.2 Właściwości zbiorów
Definicja zbioru niepustego
Zbiór niepusty to zbiór zawierający przynajmniej jeden element
W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką, zdanie prawdziwe
Definicja zbioru pustego
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów
W logice zbiór pusty jest utożsamiany z logicznym zerem, zdanie fałszywe
W algebrze Kubusia rozróżniamy:
p=[1,2,3,4]
Konkretny zbiór z wyszczególnieniem wszystkich jego elementów ujętych w nawias kwadratowy.
od wartości logicznej zbioru!
W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
p=1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=0 - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu
Wartość logiczna zbioru to cyferki 0 albo 1, podane bez nawiasów kwadratowych.
p=[] - zbiór pusty, nie zawierający żadnego elementu
p=0 - wartość logiczna zbioru pustego
p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
p=1 - wartość logiczna zbioru niepustego
Dziedzina:
Zbiór który spełnia fundament algebry Kubusia:
p+~p=1
p*~p=0
p=[1,2,3,4] - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
Dziedzina: Zbiór liczb naturalnych
p=[1,2,3,4]
~p = [5->oo]
5->oo - zbiór liczb naturalnych od 5 do nieskończoności
p+~p = 1*1 = 1 - zbiór pełny, tu zbiór liczb naturalnych
Zbiory p i ~p istnieją (p=1 i ~p=1), zbiór ~p jest dopełnieniem zbioru p do dziedziny zbioru liczb naturalnych
p*~p = 1*1 = 0
Zbiory p i ~p istnieją (p=1 i ~p=1), ale są rozłączne, stąd wynik iloczynu logicznego jest równy 0
Nasz Wszechświat:
P= pies (zbiór jednoelementowy)
Dziedzina: Zbiór wszystkich zwierząt
P - zbiór psów
~P - zbiór pozostałych zwierząt (kura, wąż, słoń …)
P+~P=1 - zbiór wszystkich zwierząt
Zbiory P i ~P istnieją (P=1 i ~P=1), zbiór ~P jest dopełnieniem zbioru P do dziedziny zbioru wszystkich zwierząt, stąd w wyniku 1
P*~P=0
Iloczyn logiczny psów i NIE psów jest równy 0, zbiory rozłączne
Właściwości zbioru pustego
1.
Iloczyn logiczny zbioru pustego z czymkolwiek jest zbiorem pustym
Suma logiczna zbioru pustego z czymkolwiek jest tym czymkolwiek
Zbiór pusty jest zbiorem rozłącznym z dowolnym zbiorem niepustym
[] - zbiór pusty
Prawa algebry Kubusia:
p*[] = p*0 = 0
p+[] = p+0 = p
W algebrze Kubusia zbiór pusty [] to po prostu logiczne zero.
2.
Zbiór pusty to także brak wspólnej części zbiorów w operacji iloczynu logicznego (koniunkcji).
p=[1,2], q=[3,4]
Y=p*q=1*1=0
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1), ale są rozłączne co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Zaprzeczenie zbioru pustego to Uniwersum
Uniwersum = wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie jest galaktyką
Pies to nie galaktyka
P=>~G =1
Zbiory: P*~G = P
Zbiór zwierząt będących galaktyką jest zbiorem pustym
Zaprzeczenie zbioru pustego to Uniwersum, zatem „pies” mieści się w tym zbiorze.
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> być galaktyką
P~~>G=0
Zbiory: P*G = 1*0 =0
A i B to definicja warunku wystarczającego => w algebrze Kubusia, szczegóły wkrótce.
W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną.
Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.
Przykład.
Słońce jest żółte
1 - zbiór niepusty, istnieje zbiór „słońce żółte”, zdanie prawdziwe
Słońce nie jest żółte
0 - zbiór pusty, nie istnieje zbiór „słońc nie żółtych”, zdanie fałszywe
Zbiory tożsame to zbiory identyczne
Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach
2.3 Diagramy Kubusia
Diagramy Kubusia to zupełnie co innego niż znane matematykom, prymitywne diagramy Venna.
Zobaczmy to na przykładzie spójnika „lub”(+).
Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p*q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.
W diagramie widzimy tożsamość obszarów:
W: Y = p+q
W1: Y = p*q + p*~q +~p*q
co jest dowodem tożsamości powyższych definicji spójnika „lub”(+):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Jak powstały kolorowe obszary opisujące tak szczegółowo definicję spójnika „lub”(+)?
W pierwszej linii widzimy genezę powstania obszaru opisanego równaniem:
p*q
To po prostu iloczyn logiczny zbiorów p i q, czyli wspólna część kolorowych obszarów
W drugiej linii widzimy genezę powstania obszaru opisanego równaniem:
p*~q
To po prostu iloczyn logiczny zbiorów p i ~q, czyli wspólna część kolorowych obszarów
W trzeciej linii widzimy genezę powstania obszaru opisanego równaniem:
~p*q
To po prostu iloczyn logiczny zbiorów ~p i q, czyli wspólna część kolorowych obszarów
3.0 Operatory logiczne OR i AND
Decydująca o wszystkim dyskusja na temat algebry Kubusia zaczęła się od pewnego [link widoczny dla zalogowanych] i przyciągnięcia z forum [link widoczny dla zalogowanych] jednego z najlepszych autorytetów ziemskiej logiki z jakim zdarzyło się Kubusiowi dyskutować - Fiklita. Myślę, że jeśli ludzie zauważą AK to będzie to w decydującej części jego zasługą.
W czasie dyskusji Fiklit podał link do wykładów [link widoczny dla zalogowanych] dowodząc, że Ziemianie umieją tworzyć równania algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Owszem, umieją, tylko dlaczego nie ma tych banałów w każdym podręczniku matematyki do I klasy LO?
Przecież to równania algebry Boole’a, a nie tabele zero-jedynkowe są naturalną logiką każdego człowieka!
Tak więc nieoczekiwanie Kubuś znalazł popierający go autorytet w temacie tworzenia równań algebry Boole’a w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
W równaniach [link widoczny dla zalogowanych] wszystkie zmienne sprowadzamy do jedynek na mocy kluczowych praw algebry Boole’a.
Prawa Prosiaczka:
p=0 <=> ~p=1
p=1 <=> ~p=0
Dlaczego te prawa są najważniejsze?
Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z naturalnej logiki człowieka (równania algebry Boole’a) do tabel zero-jedynkowych i odwrotnie, bez nich matematyczny opis logiki człowieka po prostu nie istnieje.
Dlaczego tych kluczowych praw algebry Boole’a nie ma w żadnym podręczniku ani w Wikipedii?
Oto jest pytanie.
Operatory OR i AND opisują właściwości dwóch zbiorów p i q które mają część wspólną i nie zawierają się jeden w drugim.
Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, r
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q
Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
W operatorach OR i AND, funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p+q - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y
3.1 Spójniki logiczne „i”(*) oraz „lub”(+)
Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
1*1*1…*1 =1
1*0*1…*1 =0
Zauważmy że mamy tu 100% analogię do mnożenia znanego ze szkoły podstawowej, stąd nazwa „iloczyn logiczny”. Oczywiście znaczek „*” nie ma nic wspólnego z mnożeniem, to po prostu symbol spójnika „i” z naturalnego języka mówionego.
Podstawowe prawa logiczne wynikające z definicji spójnika „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0
Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
gdzie:
„*” - spójnik „i” o definicji wyłącznie jak wyżej
Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
0+0+0….+0 =0
1+1+0….+0 =1
Mamy tu „drobną” różnicę w stosunku do dodawania znanego ze szkoły podstawowej. Oczywiście znaczek „+” nie ma nic wspólnego z dodawaniem, to spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.
Podstawowe prawa logiczne wynikające z definicji spójnika ‘lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1
Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1
Dowód:
| Kod: |
p ~p p*~p p+~p
1 0 =0 =1
0 1 =0 =1
|
Rozpatrzyliśmy wszystkie możliwe przypadki p (pierwsza kolumna).
Ostatnie dwie kolumny są dowodem poprawności fundamentu algebry Kubusia.
Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Stąd tabela zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
| Kod: |
p q Y=p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 1 =1
|
gdzie:
„+” - spójnik „lub” o definicji wyłącznie jak wyżej
3.2 Tworzenie równań algebry Boole’a z tabel zero-jedynkowych
Algorytm poznamy na przykładzie operatora OR.
Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
| Kod: |
p q Y=p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
1 2 3
|
W algebrze Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy ułożyć dwa podstawowe i nie tożsame równania algebry Boole’a, jedno opisujące wynikowe jedynki i drugie, opisujące wynikowe zera. Kompletny algorytm to zaledwie trzy kroki.
Równania algebry Boole’a opisujące wynikowe jedynki:
1.
Spis z natury:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i q=0
lub
C: Y=1 <=> p=0 i q=0
2.
Korzystając z prawa algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
lub
B: Y=1 <=> p=1 i ~q=1
lub
C: Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
3.
Stąd na podstawie definicji spójnika „i”(*) w poziomach i spójnika „lub”(+) w pionie mamy końcowe równanie algebry Boole’a opisujące powyższą tabelę zero-jedynkową:
Y = p*q + p*~q + ~p*~q
Oczywiście równanie to opisuje wyłącznie obszar ABC123 powyżej tabeli.
Dokładnie ten sam obszar ABC123 opisuje nagłówek tabeli:
Y=p+q
na mocy definicji spójnika „lub”(+).
Stąd mamy tożsamość matematyczną:
Y = p+q
Y = p*q + p*~q + ~p*~q
Y=Y
stąd równoważna definicja spójnika „lub”(+):
ABC123:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*~q
Powyższe równanie opisuje obszar ABC123.
Jeśli je zanegujemy dwustronnie korzystając z prawa przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
to otrzymamy równanie algebry Boole’a opisujące linię D123!
Algorytm Wuja Zbója:
1.
Uzupełniamy nawiasy i brakujące spójniki:
Y = p+q = (p*q) + (p*~q) + (~p*~q)
2.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
~Y = ~p*~q = (~p+~q)*(~p+q)*(p+q)
oczywiście równania ABC123 i D123 nie są tożsame.
W technice układów cyfrowych oznacza to że jeśli zbudujemy układy 1 i 2 w bramkach logicznych i połączymy wyjścia Y i ~Y to zobaczymy kupę dymu i smrodu, wszystko wyleci w powietrze.
Równania algebry Boole’a opisujące wynikowe zera:
Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
| Kod: |
p q Y=p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
1 2 3
|
Postępujemy identycznie jak wyżej.
1.
Spis z natury dla wynikowych zer (tu mamy tylko jedno w linii D123):
Y=0 <=> p=0 i q=0
2.
Korzystając z prawa algebry Boole’a:
Jeśli p=0 to ~p=1
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
3.
Na mocy definicji spójnika „i”(*) mamy równanie końcowe opisujące linię D123:
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Oczywiście, negując linię D123 musimy otrzymać definicje spójnika „lub”(+) w równaniu algebry Boole’a opisującą wyłącznie obszar ABC123.
Równanie opisujące linię D123:
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Przejście do logiki przeciwnej (Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne.
Równanie opisujące obszar ABC123:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Nanieśmy nasze równania na definicję operatora OR:
| Kod: |
p q Y=p+q
A: 1 1 =1 / Y= p* q
B: 1 0 =1 / Y= p*~q
C: 0 1 =1 / Y=~p* q
D: 0 0 =0 /~Y=~p*~q
1 2 3
|
Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny
3.3 Operator OR w zbiorach
Definicja operatora OR:
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
~Y=~p*~q
Definicja operatora OR w zbiorach.
Definicja operatora w równaniach logicznych:
Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
~Y=~p*~q
Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p*q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.
Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
W: Y = p+q
co matematycznie oznacza:
W: Y=1 <=> p=1 lub q=1
W: Y = p*q + p*~q +~p*q
co matematycznie oznacza:
W: Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Wszystkie zbiory istnieją i są niepuste.
W funkcji Y wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już funkcja logiczna Y przyjmie wartość 1.
Równania wyżej opisują dokładnie ten sam zbiór wynikowy Y, zatem są to definicje tożsame:
W: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y=~p*~q
Zauważmy, że równania W i U opisują wszystkie kolorowe obszary w powyższym diagramie, czyli obejmują kompletną dziedzinę.
Kompletny operator OR opisuje więc układ równań logicznych:
W: Y=p+q
U: ~Y=~p*~q
Z diagramu dokładnie widać, że jak zanegujemy obszar Y to otrzymamy obszar ~Y i odwrotnie.
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
A: Y=p+q(r+~s)
B: Y = p+[q*(r+~s)]
C: ~Y = ~p*[~q+(~r*s)]
Algorytm Wuja Zbója:
B: Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki
C: Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne, „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie.
Zauważmy, że w naszym diagramie zachodzi prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
będące najważniejszym prawem w logice, z którego będziemy korzystać non-stop.
Podstawiając W i U mamy prawo de’Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)
Zauważmy, że jak zanegujemy wszystkie zmienne w prawie de’Morgana to otrzymamy definicję operatora AND.
1.
Negujemy wyłącznie sygnały wejściowe p i q:
y = ~p+~q = ~[~(~p)*~(~q)] = ~(p*q)
2.
Negujemy sygnał wyjściowy y:
~y=~(~p+~q) = p*q
Ostatni zapis to prawo de’Morgana dla spójnika „i”(*).
Przy okazji doskonale widać, że operator AND jest logiką ujemną w stosunku do operatora OR (albo odwrotnie)
Y = p+q = ~(~p*~q) ## ~y = ~(~p+~q) = p*q
Operator OR ## Operator AND
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dokładnie to samo musimy uzyskać w układzie równań Kubusia opisujących kompletny operator OR.
Definicja operatora OR w układzie równań Kubusia:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Na mocy prawa de’Morgana negujemy wszystkie zmienne i musimy otrzymać operator AND:
C: ~y=~p+~q
D: y=p*q
To jest poprawna definicja operatora AND w układzie równań logicznych.
Zauważmy, że znaczek „+” nie może być kompletnym operatorem OR bo negujemy zmienne w równaniu A i otrzymujemy wyłącznie równanie C, brakuje B i D.
Symboliczna definicja operatora OR:
| Kod: |
Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p+q
W: Y=p*q+p*~q+~p*q
A: p* q= Y
B: p*~q= Y
C: ~p* q= Y
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U: ~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y
|
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
~Y = ~p*~q
Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
| Kod: |
Tabela 1
Definicja symboliczna|Zbiory |Bramki logiczne |Bramkilogiczne
Zbiory! |Logika |Technika |Technika
W: Y=p+q |czlowieka | |
W: Y= p*q+p*~q+~p*q | |p q Y=p+q |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q= Y |1*1=1 |1 1 =1 /Y= p* q | 0 0 =0
B: p*~q= Y |1*1=1 |1 0 =1 /Y= p*~q | 0 1 =0
C:~p* q= Y |1*1=1 |0 1 =1 /Y=~p* q | 1 0 =0
U: ~Y=~p*~q |
D:~p*~q=~Y |1*1=1 |0 0 =0 | 1 1 =1 /~Y=~p*~q
1 2 3 a b c |4 5 6 | 7 8 9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli:
|p=1, ~p=0 |~p=1, p=0
|q=1, ~q=0 |~q=1, q=0
|Y=1, ~Y=0 |~Y=1, Y=0
|
Gdzie:
+ - symbol spójnika „lub”(+) opisujący wyłącznie obszar ABC456 w powyższej tabeli.
* - symbol spójnika „i”(*) opisujący wyłącznie linię D789 w powyższej tabeli
Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny
Operator OR odpowiada na pytania:
A.
Kiedy zdanie jest prawdziwe (dotrzymam słowa)?
Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze ABC123, zaś zero-jedynkową w obszarze ABC456, bowiem tylko tu widzimy Y=1.
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
B.
Kiedy zdanie jest fałszywe(skłamię)?
~Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w linii D123, zaś zero-jedynkową w linii D789, bowiem tylko tu widzimy ~Y=1.
~Y=~p*~q
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD456), natomiast dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym U otrzymujemy tabelą zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD789).
Równanie logiczne:
Y=p+q
jest wystarczającym opisem tabeli zero-jedynkowej ABCD456 mimo że opisuje wyłącznie pierwsze trzy linie. To jest dwuelementowa algebra Kubusia, zatem pozostałe linie muszą być uzupełnione zerami w wyniku. Trzeba to rozumieć i o tym pamiętać.
Przykład przedszkolaka
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y = K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+):
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q
Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T - logika dodatnia (bo Y)
Zdanie wypowiedziane W znaczy dokładnie to samo co:
Y=K*T + K*~T + ~K*T
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Świat zdeterminowany
Świat zdeterminowany to świat w którym znamy z góry wartości logiczne zmiennych p i q
W informatyce takie zmienne nazywane są stałymi zapisanymi symbolicznie.
Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie znamy wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Załóżmy, że jest już pojutrze i nie byłem w kinie (~K=1) oraz byłem w teatrze (T=1), czyli dotrzymałem słowa (Y=1):
Y=~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i T=1
Mamy świat zdeterminowany, gdzie znamy z góry wartości logiczne wszystkich zmiennych:
~K=1, K=0
T=1, ~T=0
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
stąd:
| Kod: |
Y=~K*T
A: K* T= 0*1 =0
B: K*~T= 0*0 =0
C:~K* T= 1*1 =1
D:~K*~T= 1*0 =0
|
Dotrzymałem słowa (Y=1) bo:
Wczoraj nie byłem w kinie (~K=1) i byłem w teatrze (T=1)
Y=1 <=> ~K=1 i T=1
Doskonale widać działanie prawa Sowy.
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Jedyne zdanie prawdziwe dla naszego świata zdeterminowanego to:
A.
Wczoraj nie byłem w kinie i byłem w teatrze
Y=~K*T=1*1=1
Y=1 - dotrzymałem słowa
Wszelkie inne formy zdaniowe będą w tym przypadku fałszywe.
Znając naszą obietnicę i jej rozwiązanie nie możemy powiedzieć:
B.
Wczoraj nie byłem w kinie lub byłem w teatrze
Y = ~K+T=0
C.
Wczoraj byłem w kinie lub byłem w teatrze
Y=K+T=0
D.
Jeśli wczoraj nie byłem w kinie to byłem w teatrze
~K=>T =0
E.
Nie byłem w kinie wtedy i tylko wtedy gdy byłem w teatrze
~K<=>T =0
etc
Na mocy prawa Sowy te zdania są fałszywe!
Doskonale wiedzą o tym wszystkie 5-cio latki które w tym przypadku zawsze powiedzą zdanie A i nigdy nie powiedzą zdań B, C, D lub E
Wniosek:
Humaniści i 5-cio latki to naturalni eksperci algebry Kubusia, doskonale posługują się nią w praktyce, mimo że nie znają podkładu matematycznego pod swoją naturalną logikę.
3.4 Operator AND w zbiorach
Definicja operatora AND:
Operator AND to złożenie spójnika „i”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
Y=p*q
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Definicja operatora AND w zbiorach:
Definicja operatora AND w układzie równań logicznych:
Y=p*q
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p*q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.
Definicja spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y):
W: Y=p*q
Definicja spójnika „lub” w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y = ~p+~q
U: ~Y = ~p*~q + ~p*q +p*~q
Równania wyżej opisują dokładnie ten sam zbiór wynikowy ~Y, zatem są to definicje tożsame:
U: ~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q +p*~q
co matematycznie oznacza:
U: ~Y=1 <=> (~p*~q)=1 lub (~p*q)=1 lub (p*~q=1)
Wszystkie zbiory istnieją i są niepuste.
W funkcji ~Y wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już funkcja logiczna ~Y przyjmie wartość 1.
Zauważmy, że równania W i U opisują wszystkie kolorowe obszary w powyższym diagramie, czyli obejmują kompletną dziedzinę, którą w naszym przykładzie jest zbiór liczb naturalnych.
Kompletny operator AND opisuje więc układ równań logicznych:
W: Y=p*q
U: ~Y=~p+~q
Z diagramu dokładnie widać, że jak zanegujemy obszar Y to otrzymamy obszar ~Y i odwrotnie.
Zauważmy, że w naszym diagramie zachodzi prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
Podstawiając W i U mamy prawo de’Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)
Zauważmy, że jak zanegujemy wszystkie zmienne w prawie de’Morgana to otrzymamy definicję operatora OR.
1.
Negujemy wyłącznie sygnały wejściowe p i q:
y = ~p*~q = ~[~(~p)+~(~q)] = ~(p+q)
2.
Negujemy sygnał wyjściowy y:
~y=~(~p*~q) = p+q
Ostatni zapis to prawo de’Morgana dla spójnika „lub”(+).
Przy okazji doskonale widać, że operator OR jest logiką ujemną w stosunku do operatora AND (albo odwrotnie)
Y = p*q = ~(~p+~q) ## ~y = ~(~p*~q) = p+q
Operator AND ## Operator OR
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dokładnie to samo musimy uzyskać w układzie równań Kubusia opisujących kompletny operator AND.
Definicja operatora AND:
A: Y=p*q
B: ~Y=~p+~q
Negujemy wszystkie zmienne i musimy otrzymać operator OR:
C: ~y=~p*~q
D: y=p+q
To jest poprawna definicja operatora OR w układzie równań logicznych.
Zauważmy, że znaczek „*” nie może być kompletnym operatorem AND bo negujemy zmienne w równaniu A i otrzymujemy wyłącznie równanie C, brakuje B i D.
Symboliczna definicja operatora AND:
| Kod: |
Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p*q
A: p* q= Y
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U:~Y=~p+~q
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q
B: ~p*~q=~Y
C: ~p* q=~Y
D: p*~q=~Y
|
Operator AND to złożenie spójnika „i”(*) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p*q
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
| Kod: |
Tabela 1
Definicja symboliczna|Zbiory |Bramki logiczne |Bramki logiczne
Zbiory! |Logika |Technika |Technika
|czlowieka | |
W: Y= p*q | |p q Y=p*q |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q= Y |1*1=1 |1 1 =1 /Y= p* q | 0 0 =0
U:~Y=~p+~q |
U:~Y=~p*~q+~p*q+p*~q |
B:~p*~q=~Y |1*1=1 |0 0 =0 | 1 1 =1 /~Y=~p*~q
C:~p* q=~Y |1*1=1 |0 1 =0 | 1 0 =1 /~Y=~p* q
D: p*~q=~Y |1*1=1 |1 0 =0 | 0 1 =1 /~Y= p*~q
1 2 3 |a b c |4 5 6 | 7 8 9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli:
|p=1, ~p=0 |~p=1, p=0
|q=1, ~q=0 |~q=1, q=0
|Y=1, ~Y=0 |~Y=1, Y=0
|
Gdzie:
„*” - symbol spójnika „i”(*) opisujący wyłącznie linię A456 w powyższej tabeli
„+” - symbol spójnika „lub”(+) opisujący wyłącznie obszar BCD789 w powyższej tabeli.
Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny
Operator AND odpowiada na pytania:
A.
Kiedy zdanie jest prawdziwe (dotrzymam słowa)?
Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy w linii A123, zaś zero-jedynkową w linii A456, bowiem tylko tu widzimy Y=1.
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
B.
Kiedy zdanie jest fałszywe(skłamię)?
~Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze BCD123, zaś zero-jedynkową w obszarze BCD789, bowiem tylko tu widzimy ~Y=1.
~Y=~p+~q
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD456), natomiast dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym U otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD789).
Równanie logiczne:
Y=p*q
jest wystarczającym opisem tabeli zero-jedynkowej ABCD456 mimo że opisuje wyłącznie pierwszą linię. To jest dwuelementowa algebra Kubusia, zatem pozostałe linie muszą być uzupełnione zerami w wyniku. Trzeba to rozumieć i o tym pamiętać.
Przykład przedszkolaka
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y = K*T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) lub nie pójdę do teatru (~T=1)
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to analiza zdania przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej:
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q
Negujemy wszystkie zmienne otrzymując definicję spójnika „lub”(+) w logice ujemnej:
~Y = ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T - logika dodatnia (bo Y)
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T =1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i pójdę do teatru (T=10
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
U: ~Y=~K+~T
U: ~Y=~K*~T+~K*T+K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
lub
D: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
Prawo Sowy:
W świecie zdeterminowanym, gdzie znamy wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Załóżmy, że jest już pojutrze i zaszło:
Nie byłem w kinie (~K=1) i byłem w teatrze (T=1), czyli skłamałem (~Y=1):
~Y=~K*T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i T=1
Mamy świat zdeterminowany, gdzie znamy z góry wartości logiczne wszystkich zmiennych:
~K=1, K=0
T=1, ~T=0
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
stąd:
| Kod: |
~Y=~K*T
A: K* T= 0*1 =0
B: K*~T= 0*0 =0
C:~K* T= 1*1 =1
D:~K*~T= 1*0 =0
|
Skłamałem (~Y=1) bo:
Wczoraj nie byłem w kinie (~K=1) i byłem w teatrze (T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i T=1
Doskonale widać działanie prawa Sowy.
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Jedyne zdanie prawdziwe dla naszego świata zdeterminowanego to:
A.
Wczoraj nie byłem w kinie i byłem w teatrze
~Y=~K*T=1*1=1
Oczywiście skłamałem (~Y=1).
Wszelkie inne formy zdaniowe będą w tym przypadku fałszywe.
Znając naszą obietnicę i jej rozwiązanie nie możemy powiedzieć:
B.
Wczoraj nie byłem w kinie lub byłem w teatrze
Y = ~K+T=0
C.
Wczoraj byłem w kinie lub byłem w teatrze
Y=K+T=0
D.
Jeśli nie byłem w kinie to byłem w teatrze
~K=>T =0
E.
Nie byłem w kinie wtedy i tylko wtedy gdy byłem w teatrze
~K<=>T =0
etc
Na mocy prawa Sowy te zdania są fałszywe!
Doskonale wiedzą o tym wszystkie 5-cio latki które w tym przypadku zawsze powiedzą zdanie A i nigdy nie powiedzą zdań B, C, D lub E
Wniosek:
Humaniści i 5-cio latki to naturalni eksperci algebry Kubusia, doskonale posługują się nią w praktyce, mimo że nie znają podkładu matematycznego pod swoją naturalną logikę.
3.5 Minimalizacja funkcji logicznych
Geniuszem w minimalizacji funkcji logicznych jest nasz mózg, który w praktyce zawsze operuje funkcjami minimalnymi. Minimalizacja jest przydatna przy projektowaniu złożonych automatów cyfrowych w bramkach logicznych, tyle że w dobie mikroprocesorów to epoka kamienna. Można zatem ten rozdział traktować jako ciekawostkę, lub pominąć.
Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y = (A1*A2*...An)=1 <=> A1=1 i A2=1 i ...An=1
Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y = (A1+A2+...An)=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
Dla dwóch zmiennych p i q mamy:
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Najważniejsze prawa algebry Kubusia wynikające z powyższych definicji
Spójnik „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0
Spójnik „lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1
Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1
Przydatne prawa dodatkowe
Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r
Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r
Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s
Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)
Powyższe prawa plus prawo przejścia do logiki przeciwnej są wystarczające do minimalizacji wszelkich funkcji logicznych.
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
1.
Y=p+q
~Y=~p*~q
2.
p=>q
~p~>~q
3.
(p+q) => (r*s)
(~p*~q)~>(~r+~s)
Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
Y = p*q + p*~q + ~p*q = p(q+~q) + ~p*q = p*1 + ~p*q = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=p
Mamy:
Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q) = p*~p + ~p*~q = 0 + ~p*~q = ~p*~q
Wykorzystane prawa
1. Przejście do logiki ujemnej
2. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
3. p*~p=0
4. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd
Oczywiście układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR.
Metody minimalizacji funkcji logicznej
Nie warto zapamiętywać dziwnego dla człowieka prawa absorpcji i wszelkich innych praw logicznych poza wyżej poznanymi.
Absorpcja:
p*(p+q)=p
1.
Dowód z wykorzystaniem najprostszych praw logiki:
Y=p*(p+q)=p
Y=p*p+p*q = p+p*q = p*1 + p*q = p(1+q)=p*1 = p
Wykorzystane prawa:
Mnożenie wielomianu przez zmienną p
p*p=p
p=p*1
Wyciagnięcie zmiennej p przed nawias
1+q=1
p*1=p
cnd
2.
Dowód metodą rachunku zero-jedynkowego:
p*(p+q)=p
| Kod: |
p q p+q p*(p+q)
1 1 =1 =1
1 0 =1 =1
0 1 =1 =0
0 0 =0 =0
|
Tożsamość kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem zachodzenia prawa absorpcji:
p*(p+q) = p
3.
Dowód metodą bramek logicznych (funkcji logicznej Y):
Y=p*(p+q)
Jeśli p=1 to Y=p*(p+q)= 1*(1+q)=1*1=1
Jeśli p=0 to Y=p*(p+q)=0*(p+q)=0
niezależnie od wartości q.
stąd:
Y=p*(p+q)=p
cnd
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 0:26, 01 Lut 2013 Temat postu: |
|
|
4.0 Implikacja i równoważność w pigułce
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Wynika to bezpośrednio z definicji operatora logicznego.
Fundament algebry Kubusia:
Definicje operatorów logicznych AND, OR, =>, ~>, <=> zbudowane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q.
Wszelkie prawa algebry Kubusia obowiązują dla świata niezdeterminowanego. W przypadku determinacji poprzednika lub następnika jedyną poprawną metodą analizy matematycznej jest analiza wszystkich możliwych przeczeń p i q zgodnie z definicją operatora logicznego.
Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.
4.1 Definicje znaczków =>, ~> i ~~>
Fundamentem operatorów implikacji i równoważności są zaledwie trzy znaczki => , ~> i ~~>
Diagram implikacji prostej:
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Ogólna definicja znaczka =>:
=> - warunek wystarczający
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.
Wymuszam p i musi pojawić się q
p=>q
Jeśli zajdzie to na pewno => zajdzie q
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
W mowie potocznej warunek wystarczający => to spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki.
Diagram implikacji odwrotnej:
Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Ogólna definicja znaczka ~>:
~> - warunek konieczny
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Zabieram zbiór p i musi zniknąć q
W mowie potocznej, w implikacji, warunek konieczny ~> to spójnik „może” między p i q.
W równoważności <=> warunek konieczny ~> istnieje na poziomie wirtualnym, nie jest to spójnik „może” z powodu tożsamości zbiorów p i q.
Ogólna definicja znaczka ~~>:
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
p~~>q
Zbiory:
p*q =1
Wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i q
Matematyczny związek warunku wystarczającego => i koniecznego ~> opisują prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Prawa Kubusia działają wyłącznie w świecie totalnie niezdeterminowanym, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q. Wynika to bezpośrednio z definicji operatora logicznego i prawa Sowy.
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w implikacji i równoważności:
W implikacji i równoważności zdanie zapisane jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy q jest niezanegowane.
p=>q - logika dodatnia bo q
~p~>~q - logika ujemna bo ~q
Definicja warunku koniecznego ~> w całym obszarze logiki:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q
W świecie totalnie niezdeterminowanym, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q zachodzi:
Jeśli z prawej strony tożsamości udowodnimy warunek wystarczający =>, to tym samym udowodnimy warunek konieczny ~> z lewej strony (albo odwrotnie). Warunki wystarczające => dowodzi się nieporównywalnie prościej. Z praw Kubusia wynika, że całą logikę w zakresie implikacji i równoważności można sprowadzić do dowodzenia banalnych warunków wystarczających.
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q
Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
A: p=>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q
Jeśli tak to:
p=>q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
B: p~~>~q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: p=>q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
A: p=>q =1
cnd
Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q
Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli tak to:
~p=>~q=1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
D: ~p~~>q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
C: ~p=>~q =1
cnd
4.2 Implikacja prosta
Diagram implikacji prostej:
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
Symboliczna definicja implikacji prostej:
| Kod: |
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q)
o definicji wyłącznie w A i B
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
B: p~~>~q=0 - twardy fałsz wynikający wyłącznie z A
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q)
C:~p~>~q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo D
D:~p~~>q =1 = miękka prawda, może zajść ale nie musi bo C
|
Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
~p~>~q = p=>q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Alternatywna definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między p i q
p=>q =1
p~>q = ~p=>~q =0
Kodowanie zero-jedynkowe definicji implikacji prostej:
| Kod: |
Definicja symboliczna |Zbiory |Kodowanie |Kodowanie
Warunek wystarczający =>| |zero-jedynkowe |zero-jedynkowe
w logice dodatniej (q) | |p q p=>q |~p ~q ~p~>~q
A: p=> q=1 | p* q=1 |1 1 =1 / p=> q =1 | 0 0 =1
B: p~~>~q=0 | p*~q=0 |1 0 =0 / p~~>~q=0 | 0 1 =0
..a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Warunek konieczny ~>
w logice ujemnej (~q)
C: ~p~>~q=1 |~p*~q=1 |0 0 =1 | 1 1 =1 /~p~>~q=1
D: ~p~~>q=1 |~p* q=1 |0 1 =1 | 1 0 =1 /~p~~>q=1
1 2 3 a b c 4 5 6 7 8 9
Punkt odniesienia to zdanie z nagłówka tabeli zero-jedynkowej:
|p=1, ~p=0 | ~p=1, p=0
|q=1, ~q=0 | ~q=1, q=0
|
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych ABCD6 i ABCD9 jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Operator implikacji prostej odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q):
p=>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.
B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q):
~p~>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p=>q (logika dodatnia bo q) otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD456.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p~>~q (logika ujemna bo ~q) otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD789.
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1 bo pies, twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór „pies” zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
Zajście P jest warunkiem wystarczającym dla zajścia 4L
Jeśli wymusimy P to na pewno pojawi się 4L
Dodatkowo zbiór „pies” zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami i nie jest z nim tożsamy
P#4L
co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji:
P=>4L = ~P~>~4L
Zdanie A w zbiorach:
P=>4L = P*4L =P
P=>4L=1*1=1
Oba zbiory istnieją (P=1 i 4L=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L =0 - bo wszystkie psy mają cztery łapy, twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii A
Zdanie B w zbiorach:
P~~>~4L = P*~4L =0
P~~>~4L =1*1=0
Oba zbiory istnieją (P=1, ~4L=1), lecz są rozłączne co wymusza w wyniku 0 (zdanie fałszywe)
Zauważmy, że zapis:
P=>~4L=0
Jest błędny matematycznie na mocy definicji znaczka =>:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Taki przypadek opisujemy matematycznie znaczkiem ~~>:
P~~>~4L
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.
… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Z diagramu doskonale widać co może się wydarzyć, jeśli zwierzę nie będzie psem.
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura, wąż .., miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie D
Definicja znaczka ~> (warunek konieczny) spełniona bo:
Zbiór ~P zawiera w sobie zbiór ~4L, co doskonale widać na diagramie.
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym ~> aby nie mieć czterech łap
Zabieramy zbiór ~P i znika nam zbiór ~4L, czyli ~P jest konieczne ~> dla ~4L
Dodatkowo zbiory ~P i ~4L są różne co wymusza implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~4L) o definicji:
~P~>~4L = P=>4L
Zdanie C w zbiorach:
~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L
~P~>~4L = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i ~4L=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
LUB
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo koń, słoń .., miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie C
Zdanie D w zbiorach:
~P~~>4L = ~P*4L
~P~~>4L= 1*1=1
Oba zbiory istnieją (~P=1 i 4L=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
Zauważmy, że słownie użyliśmy tu „identycznego” spójnika „może” jak w zdaniu C.
W zdaniu D definicja znaczka ~> nie jest spełniona bo:
Zbiór ~P nie zawiera w sobie całego zbioru 4L, poza tym zbiorem jest zbiór P, czyli pies z czterema łapami. Stąd w zdaniu D nie wolno nam użyć znaczka ~>.
Oczywistym antidotum jest tu znaczek ~~> o definicji:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.
Brak warunku koniecznego ~> w zdaniu D można też łatwo udowodnić na drodze czysto matematycznej metodą nie wprost.
Załóżmy że w zdaniu D zachodzi warunek konieczny ~>:
Prawo Kubusia:
~P~>4L = P=>~4L =0
Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
cnd
Kodowanie zero-jedynkowe:
Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie A to otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji prostej.
A: P=>4L
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie C to otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej.
C: ~P~>~4L
~P=1, P=0
~4L=1, 4L=0
| Kod: |
Zapis symboliczny |Kodowanie |Kodowanie
|zero-jedynkowe |zero-jedynkowe
| P 4L P=>4L |~P ~4L ~P~>~4L
A: P=> 4L =1 | 1 1 =1 | 0 0 =1
B: P~~>~4L=0 | 1 0 =0 | 0 1 =0
C:~P~>~4L =1 | 0 0 =1 | 1 1 =1
D:~P~~>4L =1 | 0 1 =1 | 1 0 =1
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli:
| P=1, ~P=0 |~P=1, P=0
|4L=1, ~4L=0 |~4L=1, 4L=0
|
Zastanówmy się jaka będzie prawdziwość/fałszywość powyższych zdań dla konkretnego, wylosowanego zwierzaka.
Załóżmy, że wylosowaliśmy: kurę
Dla kury mamy 100% determinizm.
Jeśli wylosowano kurę to na pewno => kura nie jest psem i nie ma czterech łap
K=>~P*~4L = 1*1=1
Dla kury nasz świat jest zdeterminowany:
~P=1, P=0
~4L=1, 4L=0
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
Sprawdźmy w tabeli zero-jedynkowej jaki operator logiczny otrzymamy:
| Kod: |
K=>~P*~4L
A: K=> P* 4L = 0*0 =0
B: K=> P*~4L = 0*1 =0
C: K=>~P*~4L = 1*1 =1
D: K=>~P* 4L = 1*0 =0
|
Jak widzimy, dla kury wyłącznie zdanie C jest prawdziwe, pozostałe są fałszywe.
Zero-jedynkowo otrzymaliśmy definicję operatora AND.
Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND
Prawo Sowy potwierdza nasza tabela wyżej.
Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko B, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek w implikacji prostej.
4.3 Implikacja odwrotna
Diagram implikacji odwrotnej:
Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q)
A: p~> q =1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo B
B: p~~>~q=1 - miękka prawda, może zajść ale nie musi bo A
… a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q)
o definicji wyłącznie w C i D
C:~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
D:~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z C
|
Gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Alternatywna definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między p i q
p~>q= ~p=>~q =1
p=>q=0
Kodowanie zero-jedynkowe definicji implikacji odwrotnej:
| Kod: |
Definicja symboliczna | |Kodowanie |Kodowanie
Warunek konieczny ~> |Zbiory |zero-jedynkowe |zero-jedynkowe
w logice dodatniej (q)| |p q p~>q |~p ~q ~p=>~q
A: p~>q=1 | p* q=1 |1 1 =1 / p~> q=1 | 0 0 =1
B: p~~>~q=1 | p*~q=1 |1 0 =1 /p~~>~q=1 | 0 1 =1
.. a jeśli zajdzie ~p
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Warunek wystarczający =>
w logice ujemnej (~q)
C: ~p=>~q=1 |~p*~q=1 |0 0 =1 | 1 1 =1 /~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0 |~p* q=0 |0 1 =0 | 1 0 =0 /~p~~>q=0
1 2 3 a b c 4 5 6 7 8 9
Punkt odniesienia = zdanie z nagłówka tabeli:
|p=1, ~p=0 | ~p=1, p=0
|q=1, ~q=0 | ~q=1, q=0
|
Tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9 jest dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Operator implikacji odwrotnej odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q):
p~>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.
B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu p~>q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji odwrotnej ABCD456.
Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu ~p=>~q otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora implikacji prostej ABCD789.
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies, miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie B
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór 4L zawiera w sobie zbiór P
Cztery łapy są konieczne ~> aby być psem
Zabieram zbiór 4L i znika mi zbiór P
Definicja implikacji odwrotnej spełniona bo zbiory 4L i P są różne:
4L#P
Co wymusza implikację odwrotną w logice dodatniej (bo P) o definicji:
4L~>P = ~4L=>~P
Zbiory:
4L*P=P
4L*P=1*1=1
Oba zbiory istnieją (4L=1 i P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
LUB
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P=1 bo koń, słoń .., miękka prawda, może zajść ale nie musi bo zdanie A
Zbiory:
4L*~P = 1*1=1
Oba zbiory istnieją (4L=1 i ~P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
stąd:
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 bo kura, wąż .. , twarda prawda, gwarancja matematyczna
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~4L zawiera się w zbiorze ~P
Brak czterech łap wystarcza => aby nie być psem
Dodatkowo zbiory ~4L i ~P są różne, co wymusza implikacje prostą w logice ujemnej (bo ~P) o definicji:
~4L=>~P = ~4L~>P
Zbiory:
~4L*~P = ~4L
~4L*~P=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~4L=1 i ~P=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1 (zdanie prawdziwe)
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to może ~~> być psem
~4L~~>P=0 bo każdy pies ma cztery łapy, twardy fałsz, wynikły wyłącznie z linii C
Zbiory:
~4L*P = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~4L=1 i P=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0 (zdanie fałszywe)
Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zajścia
Dwa dowody nie wprost iż w zdaniu B nie jest spełniony warunek konieczny ~>:
1.
Załóżmy że w zdaniu B zachodzi warunek konieczny:
Prawo Kubusia:
4L~>~P = ~4L=>P =0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie może zachodzić warunek konieczny ~>
2.
Dokładnie to samo wynika z definicji znaczka ~>:
4L~>~P
Zbiór 4L musi zawierać w sobie zbiór ~P
Z diagramu widać, że zbiór ~P to także zbiór ~4L.
Definicja znaczka ~> nie jest wiec spełniona, warunek konieczny ~> tu nie zachodzi.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie A to otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P):
A: 4L~>P
4L=1, ~4L=0
P=1, ~P=0
Jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie C to otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~P):
C: ~4L=>~P
~4L=1, 4L=0
~P=1, P=0
| Kod: |
Zapis symboliczny |Kodowanie |Kodowanie
|zero-jedynkowe |zero-jedynkowe
| 4L P 4L~>P |~4L ~P ~4L~>~p
A: 4L~> P =1 | 1 1 =1 | 0 0 =1
B: 4L~~>~P=1 | 1 0 =1 | 0 1 =1
C:~4L=> ~P=1 | 0 0 =1 | 1 1 =1
D:~4L~~> P=0 | 0 1 =0 | 1 0 =0
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
|4L=1, ~4L=0 |~4L=1, 4L=0
| P=1, ~P=0 |~P=1, P=0
|
Doskonale widać tabele implikacji odwrotnej.
Zdanie A spełnia definicję implikacji odwrotnej, w żargonie możemy powiedzieć iż zdania A jest implikacją odwrotną.
Dlaczego w żargonie?
Precyzyjnie zdanie A to tylko i wyłącznie warunek konieczny ~> wchodzący w skład definicji implikacji odwrotnej:
4L~>P = ~4L=>~P
Dopóki nie udowodnimy prawej strony nie mamy prawa mówić iż zdanie A jest implikacją odwrotną.
Zastanówmy się teraz jak będzie prawdziwość/fałszywość powyższych zdań dla konkretnego, wylosowanego zwierzaka.
Załóżmy że wylosowaliśmy: kota
Dla kota mamy 100% determinizm.
Jeśli wylosowano kota to na pewno => kot ma cztery łapy i nie jest psem
K=>4L*~P = 1*1=1
Dla kota nasz świat jest zdeterminowany:
4L=1, ~4L=0
~P=1, P=0
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
Sprawdźmy w tabeli zero-jedynkowej jaki operator logiczny otrzymamy:
| Kod: |
K=>4L*~P
A: K=> 4L* P = 1*0 =0
B: K=> 4L*~P = 1*1 =1
C: K=>~4L*~P = 0*1 =0
D: K=>~4L* P = 0*0 =0
|
Jak widzimy, dla kota wyłącznie zdanie B jest prawdziwe, pozostałe są fałszywe.
Zero-jedynkowo otrzymaliśmy definicję operatora AND.
Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND
Prawo Sowy potwierdza nasza tabela wyżej.
Dla nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko D, pozostałe będą niepuste, stąd taki a nie inny rozkład wynikowych zer i jedynek w implikacji prostej.
4.4 Równoważność
Diagram równoważności:
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
W równoważności zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Równoważność to iloczyn logiczny warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) i warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q).
Definicja symboliczna równoważności:
| Kod: |
p<=>q=(p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q)
o definicji wyłącznie w A i B
A: p=> q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna A
B: p~~>~q=0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z A
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q)
o definicji wyłącznie w C i D
C: ~p=>~q =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna C
D: ~p~~>q =0 - twardy fałsz, wynikły wyłącznie z C
|
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Wymuszam p i musi pojawić się q
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Dodatkowo zbiory p i q są tożsame co wymusza równoważność:
p=q
Tożsamość p i q wymusza tożsamość ~p i ~q:
~p=~q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q =1
D: ~p~~>q =0
~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Wymuszam ~p i musi pojawić się ~q
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q
Dodatkowo zbiory ~p i ~q są tożsame co wymusza równoważność:
~p=~q
Tożsamość ~p i ~q wymusza tożsamość p i q:
p=q
W równoważności, i tylko tu, obowiązuje prawo kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
stąd definicja równoważności uwielbiana przez matematyków:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Z powodu tożsamości zbiorów spełniona jest definicja wirtualnego warunku koniecznego [~>]:
[p~>q]
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q bo zbiory p i q są tożsame.
Zabieram p i musi zniknąć q
W równoważności spełnione są ogólne definicje warunku koniecznego [~>]:
[p~>q] = ~p=>~q
[~p~>~q] = p=>q
gdzie:
[~>] - wirtualny warunek konieczny, istnieje, ale nie jest to spójnik „może” między p i q znany z implikacji, bo mamy tożsamość zbiorów p i q i o żadnym „rzucaniu monetą” nie może być mowy
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
stąd:
Definicja równoważności w równaniu algebry Kubusia:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
Gdzie:
<=> - symbol równoważności, spójnik „wtedy i tylko wtedy” między p i q
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
[~>] - wirtualny warunek konieczny, istnieje, ale nie jest to spójnik „może” między p i q znany z implikacji, bo mamy tożsamość zbiorów p i q i o żadnym „rzucaniu monetą” nie może być mowy
Alternatywna definicja równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i wirtualnego koniecznego [~>] między p i q
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
p=>q =1
[p~>q] = ~p=>~q =1
Kodowanie zero-jedynkowe:
W równoważności kodowanie zero-jedynkowe nie zależy od przyjętego punktu odniesienia.
Obojętne jest, czy za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie:
p<=>q czy też ~p<=>~q
ponieważ zawsze otrzymamy tabelę zero-jedynkową równoważności.
Symboliczna i zero-jedynkowa definicja równoważności:
| Kod: |
Definicja |Zbiory |Definicja |Definicja
symboliczna | |zero-jedynkowa|zero-jedynkowa
-------------------------------------------------------------
p q p<=>q | p q p<=>q | p q p<=>q | ~p ~q ~p<=>~q
-------------------------------------------------------------
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
A: p=> q =1 | p* q =1 | 1 1 =1 | 0 0 =1
B: p~~>~q =0 | p*~q =0 | 1 0 =0 | 0 1 =0
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
C:~p=>~q =1 |~p*~q =1 | 0 0 =1 | 1 1 =1
D:~p~~> q =0 |~p* q =0 | 0 1 =0 | 1 0 =0
1 2 3 a b c 4 5 6 | 7 8 9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
|p=1, ~p=0 |~p=1, p=0
|q=1, ~q=0 |~q=1, q=0
|
Tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9 jest dowodem formalnym zachodzenia tożsamości:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód równoważny:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Wyłącznie negujemy wszystkie zmienne:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q) = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawe strony są tożsame zatem zachodzi prawo algebry Kubusia:
p<=>q = ~p<=>~q
cnd
Operator równoważności odpowiada na pytania:
A.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q):
p=>q
p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze AB123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze AB456 bo tylko tu widzimy p=1.
B.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q):
~p=>~q
~p=1
Odpowiedź symboliczną mamy w obszarze CD123, zaś kodowanie zero-jedynkowe w obszarze CD789 bo tylko tu widzimy ~p=1.
Przykład - twierdzenie Pitagorasa:
RA.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Dowodzimy warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo SK)
TP=>SK
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna A
Oczywiście zbiory TP i SK są tu tożsame:
TP=SK
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór TP zawiera się w zbiorze SK
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów TP i SK
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> nie zachodzić suma kwadratów
TP~~>~SK=0 - twardy fałsz wynikający tylko i wyłącznie z linii A
Zbiory TP i ~SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
… a jeśli trójkąt nie jest prostokątny?
RC:
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(TP=>SK)
Dowodzimy warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~SK)
~TP=>~SK
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna C
Także zbiory ~TP i ~SK są tożsame:
~TP=~SK
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~TP zawiera się w zbiorze ~SK
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów ~TP i ~SK
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
~TP~~>SK=0 - twardy fałsz wynikły tylko i wyłącznie z linii C.
Zbiory ~TP i SK są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Kodowanie zero-jedynkowe nie zależy od tego czy za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie RA czy też RC. Zawsze otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora równoważności.
Symboliczna i zero-jedynkowa definicja równoważności:
| Kod: |
Definicja |Definicja |Definicja
symboliczna |zero-jedynkowa |zero-jedynkowa
-------------------------------------------------------------
TP SK TP<=>SK | TP SK TP<=>SK | ~TP ~SK ~TP<=>~SK
-------------------------------------------------------------
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo SK)
A: TP=> SK =1 | 1 1 =1 | 0 0 =1
B: TP~~>~SK =0 | 1 0 =0 | 0 1 =0
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~SK)
C:~TP=>~SK =1 | 0 0 =1 | 1 1 =1
D:~TP~~> SK =0 | 0 1 =0 | 1 0 =0
1 2 3 4 5 6 | 7 8 9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest nagłówek tabeli
|TP=1, ~TP=0 |~TP=1, TP=0
|SK=1, ~SK=0 |~SK=1, SK=0
|
Tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9 jest dowodem formalnym zachodzenia tożsamości:
TP<=>SK = ~TP<=>~SK
4.5 Implikacja i równoważność w zbiorach i gwarancjach matematycznych
Definicje implikacji i równoważności w zbiorach:
Implikacja to trzy i tylko trzy zbiory niepuste i rozłączne
Równoważność to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
Zbiory tożsame w równoważności:
p=q
~p=~q
Definicje implikacji i równoważności w gwarancjach matematycznych:
Gwarancja matematyczna = warunek wystarczający =>
Definicja warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q =1
B: p~~>~q =0
Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0
Implikacja to zawsze jedna i tylko jedna gwarancja matematyczna =>:
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q = ~(p*~q)
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q = ~(~p*q)
Równoważność to zawsze dwie i tylko dwie gwarancje matematyczne =>:
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q = ~(p*~q)
~p=>~q = ~(~p*q)
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 0:28, 01 Lut 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
Dodatek A
Definicje czworokątów w algebrze Kubusia
Każda nowa idea potrzebuje jakiegoś spektakularnego zastosowania. Z algebrą Kubusia jest ten kłopot że nie jest w stanie nikogo zaskoczyć, bowiem algebrę Kubusia doskonale znają wszyscy ludzie na Ziemi od 5-cio latka po profesora. Myślę, że nowe definicje czworokątów w algebrze Kubusia w 100% jednoznaczne, oraz prawa matematyczne zachodzące pomiędzy tymi definicjami to piękny przykład realnego zastosowania algebry Kubusia, który mam nadzieję przekona wielu matematyków.
Dla zrozumienia artykułu konieczne jest zapoznanie się z algebrą Kubusia w pigułce, odłożenie na półkę wszelkiej wiedzy z zakresu logiki wykładanej w Ziemskich uczelniach oraz włączenie na czas czytania naturalnej logiki człowieka, algebry Kubusia, którą wszyscy doskonale znamy.
Aktualnie ludzkość zna wyłącznie logiki formalne z definicji totalnie sprzeczne z naturalną logiką człowieka.
Przykład:
Jeśli kura ma trąbę to świnie latają w kosmosie
Zdanie prawdziwe w logice formalnej zwanej Klasyczny Rachunek Zdań.
Spis treści:
1.0 Notacja
2.0 Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia
3.0 Grupy równoległoboków, trapezów, prostokątów i rombów
3.1 Grupa trapezów
3.2 Grupa równoległoboków
3.3 Grupa prostokątów
3.4 Grupa rombów
4.0 Grupa deltoidów
5.0 Twierdzenie prostokątów
6.0 Równoważnościowe definicje grup czworokątów
1.0 Notacja
Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
Komentarz:
Logika matematyczna naszego Wszechświata jest jedna. Nie może być tak że do obsługi matematycznej zbiorów w matematyce obowiązuje logika X, a poza matematyką zbiory obsługiwane są logiką Y.
Podejrzyjmy zatem jak zbiory obsługują eksperci algebry Kubusia, humaniści i 5-cio latki … bo nie ma nic prostszego pod słońcem.
Dziedzina: Zbiór zwierząt
Kryterium tworzenia zbiorów: Ilość nóg
Zwierzęta dzielimy na zwierzęta bez nóg (wąż..), z dwiema nogami (kura ..), z czterema nogami (pies, kot ..) i pozostałe (np. mrówka)
Zwierzęta z czterema łapami to:
pies, kot, słoń i pozostałe
Implikacja prosta:
Jeśli zwierzę jest psem, kotem lub słoniem to na pewno => ma cztery łapy
P+K+S =>4L
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór P+K+S zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
Każdy pies zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
Każdy pies ma cztery łapy
Każdy kot zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
Każdy kot ma cztery łapy
Prawo Kłapouchego:
W implikacjach bezczasowych implikacja prosta po zamianie argumentów przechodzi w implikację odwrotną (i odwrotnie).
Implikacja odwrotna:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem, kotem lub słoniem
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór zwierząt z czterema łapami zawiera w sobie ~> zbiór P+K+L
4L~>P+K+S
Zbiór psów, zbiór kotów i zbiór słoni to zbiory rozłączne.
Pies nie jest podzbiorem kota, ani odwrotnie.
Pies nie jest szczególnym przypadkiem kota ani odwrotnie.
Nie istnieje zwierzę pieso-kot, które by było jednocześnie psem i kotem.
Identycznie mamy w matematyce, co za chwilę zobaczymy.
2.0 Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia
Znaczenie zmiennych:
KR = wszystkie kąty równe (grupa prostokątów)
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boki równe (grupa rombów)
~BR - nie wszystkie boki równe
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe (grupa równoległoboków)
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych (trapez - definicja ścisła)
PKP - przekątne przecinają się pod katem prostym (grupa deltoidów)
Grupa czworokątów:
Czworokąt to wielokąt o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych.
CZ = kwadrat + prostokąt + romb + równoległobok + trapez + deltoid + pozostałe czworokąty
gdzie:
Pozostałe czworokąty to np. czworokąty o losowej długości boków
Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia
Kwadrat
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty równe i wszystkie boki równe
KW=KR*BR
W logice Ziemian mamy precyzyjnie zdefiniowany kwadrat którego nie sposób pomylić z innym czworokątem. Możemy go zatem łatwo użyć do utworzenia ścisłej definicji prostokąta i rombu.
Prostokąt
Prostokąt to kwadrat o nie równych bokach
PR =KR*~BR
Romb
Romb to kwadrat o nie równych kątach
ROMB = ~KR*BR
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe, który nie ma kątów równych i nie ma boków równych
RÓWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma dokładnie jedną parę boków równoległych, ale nie równych.
Trapez = JPBRiNR*~KR*~BR
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych
Zauważmy, że dołożyliśmy tu nieszkodliwy człon ~KR*~BR bowiem dla trapezu zachodzi:
~KR=1 i ~BR=1
Deltoid
Deltoid to czworokąt w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym, nie mający wszystkich kątów równych i nie mający wszystkich boków równych
Deltoid=PKP*~KR*~BR
3.0 Grupy równoległoboków, trapezów, prostokątów i rombów
Ziemska definicja równoległoboku:
[link widoczny dla zalogowanych]
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe.
Ziemska definicja równoległoboku to definicja GRUPY równoległoboków a nie konkretnego, tego jedynego w swoim rodzaju równoległoboku o definicji INNEJ niż pozostałych równoległoboków.
Powinno być!
GRUPA równoległoboków
Grupa równoległoboków to czworokąty w których przeciwległe boki są parami równe i równoległe.
Definicja GRUPY równoległoboków w równaniu algebry Boole’a:
GR = ROWNOLEGŁOBOK + kwadrat + prostokąt + romb
GR = PBPRiR*~KR*~BR + BR*KR + ~BR*KR + BR*~KR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Definicja równoległoboku (tego jedynego o definicji INNEJ niż pozostałe czworokąty):
Równoległobok
Równoległobok to czworokąt w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe, nie mający kątów prostych i nie mający boków równych
ROWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR
Oczywiście równanie algebry Boole’a opisujące grupę równoległoboków mamy prawo zminimalizować.
Zadanie na poziomie I klasy LO:
Zminimalizować funkcję logiczną opisującą grupę równoległoboków
GR = PBPRiR*~KR*~BR + BR*KR + ~BR*KR + BR*~KR
Znaczenie zmiennych:
KR = wszystkie kąty równe
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boki równe
~BR - nie wszystkie boki równe
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Podstawmy:
r = PBPRiR
p=KR
q=BR
stąd nasze równanie przybiera postać:
GR = r*~p*~q + p*q +p*~q +~p*q
GR = r*~p*~q + p*(q+~q) + ~p*q
Zastosowane prawo algebry Boole’a: wyciągnięcie zmiennej przed nawias
GR = r*~p*~q + p + ~p*q
Użyte prawa:
q+~q=1
p*1=p
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników. Oczywiście możemy to prawo stosować lokalnie, co wyjaśni dalsze działanie Kubusia o bardzo małym rozumku.
W powyższym równaniu zajmiemy się na razie dwoma ostatnimi wyrażeniami.
~GR = ~(r*~p*~q)*[~p*(p+~q)]
~GR = ~(r*~p*~q)*[~p*p+~p*~q]
Prawo: mnożenie zmiennej przez wielomian
~GR = ~(r*~p*~q)*[~p*~q]
Wykorzystane prawa:
p*~p=0
p+0=p
… a teraz to sobie ruszymy ten pierwszy człon.
~GR = [~r+p+q]*[~p*~q]
… i mnożymy zmienną ~p*~q przez wielomian.
~GR = ~r*~p*~q + p*~p*~q + q*~p*~q
~GR = ~r*~p*~q
Wykorzystane prawa:
p*~p=0
0*p=0
0+x=x
Przechodzimy do logiki przeciwnej:
GR = r + p + q
Przywracając znaczenie zmiennych:
GR = PPBRiR + KR + BR
Znaczenie zmiennych:
KR = wszystkie kąty równe
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boki równe
~BR - nie wszystkie boki równe
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Jak działa genialna, techniczna algebra Boole’a?
GR = PBPRiR + KR + BR
Matematycznie to równanie oznacza:
GR=1 <=> PBPRiR=1 lub KR=1 lub BR=1
1.
Losujemy dowolny czworokąt: równoległobok
ROWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR
Stwierdzamy:
PBPRiR=1
STOP!
Dalszych zmiennych nie musimy sprawdzać!
Równoległobok (ten konkretny, jedyny w swoim rodzaju!) należy do grupy równoległoboków
2.
Losujemy: kwadrat lub prostokąt
Stwierdzamy:
KR=1
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Kwadrat i prostokąt należy do grupy równoległoboków!
3.
Losujemy: romb lub kwadrat
Stwierdzamy:
BR=1
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Kwadrat i romb należy do grupy równoległoboków!
4.
Losujemy: Trapez
Stwierdzamy:
DPBRiR=0
KR=0
BR=1
Trapez należy do grupy równoległoboków?!
Czy trapez ma przeciwległe boki parami równe i równoległe?
W ostatnim przypadku od razu wyszła tragiczna definicja trapezu w logice Ziemian.
[link widoczny dla zalogowanych]
Trapez:
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.
Poprawna definicja trapezu rozumiana jako ten JEDYNY w swoim rodzaju czworokąt różny od innych czworokątów musi być taka.
Algebra Kubusia:
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma DOKŁADNIE jedną parę boków równoległych, ale nie równych.
Trapez = JPBRiNR
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych
Dopiero przy tej definicji nasza matematyczna definicja grupy równoległoboków jest GENIALNA!
Powtórzmy punkt 4.
4A.
Losujemy: Trapez
Stwierdzamy:
DPBRiR=0
KR=0
BR=0
Czyli:
Wszystkie boki równe = 0
Ziemska definicja trapezu tego nie wyklucza, czyli wedle Ziemian trapez może być:
kwadratem, prostokątem, rombem, równoległobokiem, trapezem
Ziemska definicja trapezu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Trapez:
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.
Jak widzimy, jak bumerang wraca tu koszmar ziemskich matematyków.
Trapez to:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez
Czyli:
Trapez to trapez
Oczywiście chodzi tu o grupę trapezów!
Grupa trapezów to:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez
Zapis grupy trapezów w równaniu algebry Boole’a:
GT = kwadrat + prostokąt + romb + równoległobok + trapez
czyli:
GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR + JPBRiNR*~KR*~BR
Do definicji trapezu z AK dokładamy człon: ~KR*~BR
oczywiście to jest człon nieszkodliwy bo dla trapezu zachodzi:
~KR=1
~BR=1
Wolno nam!
stąd końcowe równanie grupy trapezów jest takie:
GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + (PBPRiR + JPBRiNR)*~KR*~BR
Jest oczywistością że po minimalizacji równanie logiczne dla GRUPY trapezów przyjmie postać!
GT = PBPRiR + KR + BR + JPBRiNR
czyli:
GT = GRUPA równoległoboków + trapez (ten konkretny trapez= JPBRiNR!)
5.
Losujemy: równoległobok
Sprawdzamy:
PBPRiR=1
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Równoległobok należy do grupy trapezów!
6.
Losujemy: trapez
Sprawdzamy:
JPBRiNR=1
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać!
Trapez (ten konkretny trapez!) należy do grupy trapezów!
Czyż algebra Kubusia nie jest genialna?
Oczywiście nie Kubuś jest jej autorem bo … algebra Kubusia działała już w chwili Wielkiego Wybuchu!
Twierdzenie:
Autorem żadnego z praw fizyczno- matematycznych nie jest człowiek, człowiek to tylko odkrywca.
Czy człowiek mógłby odkryć jakiekolwiek prawo fizyczno-matematyczne gdyby nie działało ono od zawsze?
… czyli od wystarczająco długiego okresu.
Czy możliwy byłby Internet bez praw fizycznych działających od zawsze?
3.1 Grupa trapezów
I.
Grupa trapezów:
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.
Definicja grupy trapezów: JPBR
JPBR - jedna para boków równoległych
Grupa trapezów to:
GT = kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez
GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR + JPBR*~KR*~BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty będące trapezami:
Każdy kwadrat (KR*BR) jest trapezem (w znaczeniu iż należy do grupy trapezów: JPBR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) jest trapezem ( w znaczeniu iż należy do grupy trapezów: JPBR)
Każdy trapez (ten konkretny: JPBR*~KR*~BR) jest trapezem (w znaczeniu iż należy do grupy trapezów: JPBR)
itd.
Równanie logiczne dla grupy trapezów po minimalizacji przyjmuje postać:
GT = KR + BR + PBPRiR (równoległobok) + JPBR (trapez)
gdzie:
Prostokąt (grupa prostokątów):
KR - wszystkie kąty równe (kwadrat, prostokąt)
Romb (grupa rombów):
BR - wszystkie boki równe (kwadrat, romb)
Równoległobok (grupa równoległoboków):
PBPRiR - przeciwległe boki parami równoległe i równe (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok)
Trapez (grupa trapezów):
JPBR - przynajmniej jedna para boków równoległych (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez)
Zauważmy, że mimo iż w definicji grupy trapezów użyliśmy liczby pojedynczej (trapez) to matematycznie musimy tą definicję rozumieć jako grupę trapezów (więcej niż jeden), na co jednoznacznie wskazuje treść definicji. Podobnie mamy z prostokątem, rombem i równoległobokiem.
Algebra Kubusia dopuszcza uproszczone, powszechnie używane skróty myślowe:
1.
Prostokąt jest trapezem
co matematycznie oznacza:
Prostokąt (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*~BR) należy do grupy trapezów (o definicji JPBR)
2.
Trapez jest trapezem
Trapez (ten jednoznacznie zdefiniowany: JPBR*~KR*~BR) należy do grupy trapezów (o definicji JPBR)
itd
Jeśli uczeń zdaje sobie sprawę ze stosowanych skrótów myślowych to wszystko jest w porządku.
Mamy tu przypadek identyczny jak w implikacji:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
To też jest powszechnie używany skrót myślowy który matematycznie oznacza:
B.
/\x P8(x)=>P2(x)
Dla dowolnej liczby naturalnej x, jeśli liczba x jest podzielna przez 8 to na pewno => liczba x jest podzielna przez 2
Matematycznie zdania A i B są tożsame.
3.2 Grupa równoległoboków
II.
Grupa równoległoboków:
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe
Definicja grupy równoległoboków: PBPRiR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Grupa równoległoboków to:
GR = kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok
GR = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty będące równoległobokami:
Każdy kwadrat (KR*BR) jest równoległobokiem (w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) jest równoległobokiem ( w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR)
Każdy równoległobok (ten konkretny: PBPRiR*~KR*~BR) jest równoległobokiem (w znaczeniu iż należy do grupy równoległoboków: PBPRiR)
itd
Równanie logiczne dla grupy równoległoboków po minimalizacji przyjmuje postać:
GR = KR + BR + PBPRiR (równoległobok)
gdzie:
Prostokąt (grupa prostokątów):
KR - wszystkie kąty równe (kwadrat, prostokąt)
Romb (grupa rombów):
BR - wszystkie boki równe (kwadrat, romb)
Równoległobok (grupa równoległoboków):
PBPRiR - przeciwległe boki parami równoległe i równe (kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok)
Matematycznie zachodzi.
Implikacja prosta:
Jeśli czworokąt jest kwadratem (KR*BR), prostokątem (KR*~BR), rombem (~KR*BR) lub równoległobokiem (PBPRiR*~KR*~BR) to na pewno => zawiera się w grupie równoległoboków (PBPRiR)
KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR => PBPRiR
Każdy kwadrat (KR*BR) należy do grupy równoległoboków (PBPRiR)
Każdy kwadrat (KR*BR) jest równoległobokiem (PBPRiR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) należy do grupy równoległoboków (PBPRiR)
Każdy prostokąt (KR*~BR) jest równoległobokiem (PBPRiR)
Każdy równoległobok (ten ściśle zdefiniowany: PBPRiR*~KR*~BR) zawiera się w grupie równoległoboków (PBPRiR)
Każdy równoległobok (ten ściśle zdefiniowany: PBPRiR*~KR*~BR) jest równoległobokiem (PBPRiR)
Implikacja odwrotna:
Jeśli czworokąt jest równoległobokiem (PBPRiR) może [~>] być kwadratem (KR*BR), prostokątem (KR*~BR), rombem (~KR*BR) lub równoległobokiem (PBPRiR*~KR*~BR)
Oczywiście zbiory równoległoboków ściśle zdefiniowanych są rozłączne:
Kwadrat ## prostokąt ## romb ## równoległobok
KR*BR ## KR*~BR ## ~KR*BR ## PBPRiR*~KR*~BR
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przykładowy dowód dla kwadratu i prostokąta:
Badamy czy istnieje część wspólna kwadratu (KR*BR) i prostokąta (KR*~BR)
Część wspólna = kwadrat * prostokąt = (KR*BR)*(KR*~BR) = KR*BR*~BR = KR*0 =0
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p*p=p
p*~p=0
p*0=0
Brak części wspólnej kwadratu i prostokąta jest dowodem iż te czworokąty są rozłączne.
Identycznie dowodzimy rozłączność wszystkich pozostałych równoległoboków.
Wynika z tego że:
Zbiór kwadratów (KR*BR) jest rozłączny ze zbiorem prostokątów (KR*~BR)
Nic co jest kwadratem (KR*BR) nie ma prawa być prostokątem (KR*~BR) i odwrotnie.
Kwadrat (KR*BR) nie jest szczególnym przypadkiem prostokąta (KR*~BR) i odwrotnie.
itd.
3.3 Grupa prostokątów
III.
Grupa prostokątów
Prostokąt
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste.
Definicja alternatywna:
Prostokąt to czworokąt o wszystkich kątach równych
Cechy charakterystyczne:
Wszystkie kąty proste
Definicja grupy prostokątów:
GP=KR
Grupa prostokątów to:
GP = kwadrat + prostokąt
GP = KR*BR + KR*~BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty będące prostokątami (należące do grupy prostokątów).
Kwadrat to czworokąt o kątach równych i bokach równych
Kwadrat = KR*BR
Prostokąt to czworokąt o kątach równych i nie równych bokach
Prostokąt = KR*~BR
Równanie logiczne opisujące grupę prostokątów po minimalizacji to:
GP=KR
Dowód:
GP = kwadrat + prostokąt = KR*BR + KR*~BR = KR*(BR+~BR) = KR*1 = KR
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
Wyciagnięcie zmiennej przed nawias
p+~p=1
p*1=p
Zauważmy, że mimo iż w definicji grupy prostokątów użyliśmy liczby pojedynczej (prostokąt) to matematycznie musimy tą definicję rozumieć jako grupę prostokątów (więcej niż jeden), na co jednoznacznie wskazuje treść definicji.
Każdy kwadrat (KR*BR) jest prostokątem (w znaczeniu iż należy do grupy prostokątów o definicji: KR)
Każdy prostokąt (ten ściśle zdefiniowany: KR*~BR) jest prostokątem (w znaczeniu iż należy do grupy prostokątów o definicji: KR)
Algebra Kubusia dopuszcza uproszczone, powszechnie używane skróty myślowe:
1.
Każdy kwadrat jest prostokątem
co matematycznie oznacza:
Kwadrat (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*BR) należy do grupy prostokątów (o definicji: KR)
2.
Każdy prostokąt jest prostokątem
co matematycznie oznacza:
Prostokąt (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*~BR) należy do grupy prostokątów (o definicji: KR)
3.
Dopuszczalne jest także stwierdzenie (choć to jest bardzo naciągane):
Kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta
co matematycznie oznacza:
Kwadrat (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*BR) należy do grupy prostokątów (o definicji: KR)
Nigdy nie może być!
Kwadrat (ten jednoznacznie zdefiniowany: KR*BR) jest podzbiorem prostokąta (tego jednoznacznie zdefiniowanego: KR*~BR)
bo to są zbiory rozłączne!
Dowód:
badamy czy istnieje część wspólna tych zbiorów:
Kwadrat* prostokąt = (KR*BR)*(KR*~BR) = KR*BR*~BR = KR*0 =0
bo prawa algebry Boole’a:
p*p=p
p*~p=0
p*0=0
Brak części wspólnej jest dowodem rozłączności ściśle zdefiniowanych czworokątów: kwadratu i prostokąta
Jeśli uczeń zdaje sobie sprawę ze stosowanych skrótów myślowych jak wyżej to wszystko jest w porządku.
3.4 Grupa rombów
IV.
Grupa rombów
Romb
Rombem nazywamy czworokąt, którego wszystkie boki są równe.
Cechy charakterystyczne:
Boki równe, przekątne przecinają się pod kątem prostym
Definicja grupy rombów:
GR=BR
Grupa rombów to:
GR = kwadrat, romb
GR = KR*BR + ~KR*BR
W powyższym równaniu mamy zdefiniowane ściśle konkretne czworokąty należące do grupy rombów.
Kwadrat to czworokąt o kątach równych i bokach równych
Kwadrat = KR*BR
Romb to czworokąt o kątach nie równych i równych bokach
Romb = ~KR*BR
Równanie logiczne opisujące grupę rombów po minimalizacji to:
GR=BR
Dowód:
GR = kwadrat + romb = KR*BR + ~KR*BR = BR*(KR+~KR) = BR*1 = BR
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
Wyciagnięcie zmiennej przed nawias
p+~p=1
p*1=p
Zauważmy, że mimo iż w definicji grupy rombów użyliśmy liczby pojedynczej (romb) to matematycznie musimy tą definicję rozumieć jako grupę rombów (więcej niż jeden czworokąt), na co jednoznacznie wskazuje treść definicji.
Każdy kwadrat (KR*BR) jest rombem (w znaczeniu iż należy do grupy rombów o definicji: BR)
Każdy romb (ten ściśle zdefiniowany: ~KR*BR) jest rombem (w znaczeniu iż należy do grupy rombów o definicji: BR)
Oczywiście zbiory kwadratów (KR*BR) i rombów (~KR*BR) są rozłączne
czyli:
Nic co jest kwadratem (KR*BR) nie ma prawa być rombem (KR*~BR) i odwrotnie.
Kwadrat (KR*BR) nie jest szczególnym przypadkiem rombu (~KR*BR).
Romb zdefiniowany ściśle (~KR*BR) nie jest też szczególnym przypadkiem równoległoboku ściśle zdefiniowanego (PBPRiR*~KR*~BR)
gdzie:
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Dowód:
Badamy czy istnieje cześć wspólna:
ROMB*równoległobok = (~KR*BR)*(PBPRiR*~KR*~BR) = 0
bo prawo algebry Boole’a:
p*~p=0
0*x =0
cnd
Romb zdefiniowany ściśle (~KR*BR) zawiera się w grupie równoległoboków o definicji.
Grupa równoległoboków:
GR = kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok
GR = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR
Po minimalizacji:
GR = KR + BR + PBPRiR (równoległobok)
Możemy zatem powiedzieć że:
Każdy romb (~KR*BR) zawiera się w grupie (zbiorze) równoległoboków (o definicji: KR+BR+PBPRiR)
W skrócie:
Każdy romb (~KR*BR) jest równoległobokiem (o definicji: KR+BR+PBPRiR)
Zauważmy także że:
1.
Grupa rombów (o definicji: BR) zawiera się w zbiorze (grupie) równoległoboków (o definicji: KR+BR+PBPRiR)
W żargonie:
Każdy romb (BR) jest równoległobokiem (KR+BR+PBPRiR)
2.
Grupa prostokątów (o definicji: KR) zawiera się w zbiorze (grupie) równoległoboków (o definicji: KR+BR+PBPRiR)
W żargonie:
Każdy prostokąt (KR) jest równoległobokiem (KR+BR+PBPRiR)
4.0 Grupa deltoidów
[link widoczny dla zalogowanych]
| Cytat: |
Deltoid – czworokąt, którego jedna z przekątnych leży na jego osi symetrii. Oś ta jest wówczas symetralną drugiej przekątnej. W takim czworokącie pewne dwa sąsiednie boki mają równą długość „a”, a pozostałe dwa boki mają także równą długość “b”.
Niektórzy autorzy żądają też, aby deltoid był wypukły. Według niektórych, np. Jana Zydlera[1] deltoid dodatkowo nie może mieć wszystkich boków równych[2]. Większość źródeł nie tworzy jednak takich wyjątków i uważa romb za szczególny przypadek deltoidu[3].
W deltoidzie kąty między bokami różnej długości są równe. Każdy deltoid wypukły jest sumą (mnogościową) dwóch trójkątów równoramiennych |
[link widoczny dla zalogowanych]
| Cytat: | Deltoid
Deltoidem nazywamy czworokąt posiadający dwie pary boków sąsiednich równych, w którym żadne dwa boki nie są wzajemnie równoległe. |
Jak widać wyżej minęło 2500 lat a Ziemianie nie mogą ustalić jednoznacznych definicji banalnych czworokątów …
Jest absolutną oczywistością że czerwone definicje przedstawione wyżej to są dwie różne definicje. Definicja z Wikipedii dotyczy grupy czworokątów zwanych deltoidami (więcej niż jeden), natomiast definicja z math.edu.pl to hiper precyzyjna definicja deltoidu (definicja ścisła) którego nie można pomylić ani z kwadratem, ani z rombem (czy też dowolnym innym czworokątem!).
Czyli:
1.
Jaś poproszony o narysowanie deltoidu o definicji z Wikpedii może sobie rzucać kostką i narysować cokolwiek: kwadrat, romb albo deltoid w ścisłym tego słowa znaczeniu jak w definicji z math.edu.pl.
Ta matematyka nie jest jednoznaczna!
2.
W myśl definicji z math.edu.pl Jaś poproszony o narysowanie deltoidu musi narysować deltoid zdefiniowany ściśle w tej definicji, czyli czworokąt różny od kwadratu, różny od rombu, różny od jakiegokolwiek innego czworokąta zdefiniowanego ściśle.
Ta matematyka jest jednoznaczna!
Definicja z math.edu.pl genialna!
To jedyna definicja ścisła (obok kwadratu) definiująca pewien czworokąt (deltoid) pozwalająca go odróżnić od jakichkolwiek innych czworokątów.
Zauważmy że:
„Żadne dwa boki nie są wzajemnie równoległe” eliminuje wszelkie trapezy czyli eliminuje:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok, trapez
Dwie sąsiednie pary boków równych wymuszają przecięcie się przekątnych pod kątem prostym!
Zdefiniujmy grupę deltoidów.
Definicja grupy deltoidów:
Deltoid to czworokąt w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym.
PKP - przekątne przecinają się pod kątem prostym
Definicja tożsama grupy deltoidów to definicja z Wikipedii:
Deltoid to czworokąt, którego jedna z przekątnych leży na jego osi symetrii.
Definicja tożsama grupy deltoidów z math.edu.pl:
Deltoidem nazywamy czworokąt posiadający dwie pary boków sąsiednich równych
Oczywiście do tak zdefiniowanej grupy czworokątów należeć będą ściśle (czyli jednoznacznie) zdefiniowane czworokąty:
kwadrat (KR*BR), romb (~KR*BR) i deltoid (PKP*~KR*~BR)
Ścisłe definicje czworokątów:
1.
Kwadrat to czworokąt mający kąty równe i boki równe
Kwadrat=KR*BR
2.
Romb to czworokąt nie mający kątów równych ale mający boki równe
Romb=~KR*BR
3.
Deltoid to czworokąt w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym, nie mający wszystkich kątów równych i nie mający wszystkich boków równych
Deltoid=PKP*~KR*~BR
gdzie:
KR - wszystkie kąty równe
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boi równe
~BR - nie wszystkie boki równe
PKP - przekątne przecinają się pod kątem prostym
Grupa deltoidów:
GD = kwadrat + romb + deltoid (o definicji ścisłej!)
GD = KR*BR + ~KR*BR + PKP*~KR*~BR
Podstawiamy:
p=KR
q=BR
r=PKP
GD = p*q + ~p*q + r*~p*~q
GD = q*(p+~p) + r*~p*~q
Prawo algebry Boole’a:
Wyciągnięcie zmiennej q przed nawias
GD = q +( r*~p*~q)
Prawa algebry Boole’a:
p+~p=1
q*1=q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~GD = ~q*(~r+p+q)
~GD = ~q*~r + ~q*p + ~q*q
Mnożenie zmiennej ~q przez wielomian
~GD = ~q*~r + ~q*p
Prawo algebry Boole’a:
~q*q =0
0+x = x
~GD = ~q*(~r+p)
Wyciągnięcie zmiennej ~q przed wielomian
Przechodzimy do logiki przeciwnej
GD = q+(r*~p) = r*~p + q
Przywracamy znaczenie zmiennych w oryginale
GD = PKP*~KR + BR
stąd:
Równanie opisujące grupę deltoidów po minimalizacji:
GD = PKP*~KR + BR
co matematycznie oznacza:
GD=1 <=> (PKP*~KR)=1 lub BR=1
Jak działa genialna, techniczna algebra Boole’a?
A.
Losujemy:
kwadrat lub romb
Stwierdzamy:
BR=1
STOP!
Nic więcej nie musimy sprawdzać.
Kwadrat (KR*BR) i romb (~KR*BR) należą do grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
B.
Losujemy:
Deltoid
Stwierdzamy:
(PKP*~KR)=1*1=1
STOP!
Deltoid w ścisłym (PKP*~KR*~BR) znaczeniu należy do grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
Wszelkie inne czworokąty ściśle zdefiniowane nie mają prawa należeć do grupy deltoidów i nie należą do grupy deltoidów.
Równanie opisujące grupę deltoidów po minimalizacji:
GD = PKP*~KR + BR
co matematycznie oznacza:
GD=1 <=> (PKP*~KR)=1 lub BR=1
C.
Losujemy:
Prostokąt (KR*~BR)
Stwierdzamy:
PKP*~KR = 0*0=0
Drugi człon definicji grupy deltoidów:
BR=0 - prostokąt nie ma wszystkich boków równych
Wniosek:
Prostokąt (KR*~BR) nie należy do grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
GD = (PKP*~KR)=(0*0)=0 lub BR=0
GD=0
itd.
Podsumowanie:
Poprawne matematycznie są stwierdzenia:
Kwadrat (KR*BR) jest podzbiorem grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
bo BR=1
czyli:
Każdy kwadrat (KR*BR) jest deltoidem (GD=PKP*~KR + BR)
gdzie:
Deltoid w tym przypadku to grupa deltoidów o definicji
GD=PKP*~KR + BR
… a nie ściśle zdefiniowany deltoid (Deltoid=PKP*~KR*~BR)!
Podobnie:
Romb (~KR*BR) jest podzbiorem grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
bo BR=1
czyli:
Każdy romb (~KR*BR) jest deltoidem (GD=PKP*~KR + BR)
gdzie:
Deltoid w tym przypadku to grupa deltoidów o definicji
GD=PKP*~KR + BR
… a nie ściśle zdefiniowany deltoid (Deltoid=PKP*~KR*~BR)!
Logika naszego Wszechświata jest jedna czyli identyczna logika musi obowiązywać zarówno w świecie humanistów i 5-cio Latków jak i w matematyce.
Weźmy zbiory obsługiwane logiką 5-cio Latków:
A.
Jeśli zwierzę jest psem, kotem lub słoniem to na pewno => ma cztery łapy
P+K+S => 4L
Definicja znaczka => (warunek wystarczający) spełniona bo:
Zbiór na podstawie wektora => zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałką wektora =>.
Zbiór P+K+S zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami
Sensowne jest mówienie że:
Pies należy do zbioru zwierząt z czterema łapami
Każdy pies ma cztery łapy
Bezsensem jest twierdzenie iż:
Pies jest szczególnym przypadkiem czterech łap
Pies jest szczególnym przypadkiem grupy zwierząt z czterema łapami
itp.
IDENTYCZNIE mamy w matematyce!
Sensowne jest mówienie że:
Romb (~KR*BR) jest podzbiorem grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
bo BR=1
czyli:
Każdy romb (~KR*BR) jest deltoidem (GD=PKP*~KR + BR)
gdzie:
deltoid = grupa deltoidów o definicji
GD=PKP*~KR + BR
… a nie ściśle zdefiniowany deltoid (deltoid=PKP*~KR*~BR)!
Bezsensem jest twierdzenie iż:
1.
Romb (~KR*BR) jest szczególnym przypadkiem deltoidu (tego zdefiniowanego ściśle: PKP*~KR*~BR)
Ten przypadek w świecie zwierzaków wyżej to stwierdzenie iż:
Pies jest szczególnym przypadkiem słonia!
… czyli bezsens absolutny.
2.
Romb (~KR*BR) jest szczególnym przypadkiem grupy deltoidów (GD=PKP*~KR + BR)
itp.
5.0 Twierdzenie prostokątów
Twierdzenie prostokątów:
Jeśli czworokąt jest prostokątem to na pewno => należy do grupy prostokątów
PR=>GP
Implikacja prosta:
PR=>GP = ~PR~>~GP
Twierdzenie odwrotne prostokątów:
Jeśli czworokąt należy do grupy prostokątów to może ~> być prostokątem
GP~>PR
Implikacja odwrotna:
GP~>PR = ~GP=>~PR
Dowód:
Ścisłe definicje kwadratu i prostokąta:
Kwadrat to czworokąt o równych kątach i równych bokach
KW=KR*BR
Prostokąt to kwadrat o nie równych bokach
PR=KR*~BR - kąty równe i boki nie równe
Zauważmy, że dopiero z precyzyjnych definicji kwadratu i prostokąta możemy wyprowadzić równanie opisujące grupę prostokątów.
GP = kwadrat + prostokąt = KR*BR + KR*~BR = KR*(BR+~BR) = KR*1 =KR
Prawa algebry Boole’a:
wyciagnięcie zmiennej przed nawias
p+~p=1
p*1=p
Grupa prostokątów o definicji:
GP=KR
to dwa ściśle zdefiniowane czworokąty:
Grupa prostokątów = kwadrat + prostokąt
Kwadrat = KR*BR
Prostokąt = KR*~BR
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Grupa prostokątów ## kwadrat ## prostokąt
KR ## KR*BR ## KR*~BR
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Grupa prostokątów (o definicji KR) nie definiuje zatem żadnego konkretnego czworokąta!
cnd
Zobaczmy to wszystko na diagramie:
Twierdzenie:
A.
Jeśli czworokąt jest kwadratem lub prostokątem to na pewno => należy do grupy prostokątów
KW+PR=>GP =1 bo kwadrat+prostokąt
Definicja znaczka => (warunek wystarczający) spełniona bo:
Zarówno kwadrat jak i prostokąt zawiera się grupie prostokątów
Dodatkowo zachodzi tu tożsamość zbiorów KW+PR ze zbiorem GP co wymusza równoważność, ale załóżmy, że o tym nie wiemy.
B.
Jeśli czworokąt jest kwadratem lub prostokątem to może ~~> nie należeć do grupy prostokątów
KW+PR~~>~GP=0
… a jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem?
Negujemy zmienne w równaniu A i odwracamy spójniki
~KW*~PR ~>~GP
To jest oczywiście prawo Kubusia uzyskane metodą na skróty.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
stąd mamy:
C.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to może ~> nie należeć do grupy prostokątów
~KW*~PR ~>~GP=1
D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to może ~~>należeć do grupy prostokątów
~KW*~PR~~>GP=0
STOP!
Zdanie D jest dowodem iż zdanie C spełnia warunek wystarczający =>, nie ma tu miejsca na warunek konieczny ~>, „rzucanie monetą” charakterystyczne dla implikacji.
Zdania C i D muszą zatem brzmieć.
C.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to na pewno => nie należy do grupy prostokątów
~KW*~PR =>~GP=1 bo deltoid, romb, równoległobok, trapez
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~KW*~PR jest tożsamy ze zbiorem ~GP co doskonale widać na diagramie.
D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem i nie jest prostokątem to może ~~>należeć do grupy prostokątów
~KW*~PR~~>GP=0
Całość to oczywiście równoważność.
AR.
Grupa prostokątów wtedy i tylko wtedy gdy czworokąt jest kwadratem lub prostokątem
GP<=>KW+PR
Na tej podstawie możemy użyć tu znaku tożsamości:
GP=KW+PR
Rozważmy teraz zdanie:
A.
Jeśli czworokąt jest prostokątem to należy do grupy prostokątów
PR=>GP=1
Definicja znaczka => spełniona bo:
Prostokąt zawiera się w grupie prostokątów
Dodatkowo zbiór PR nie jest tożsamy ze zbiorem GP co wymusza implikację prostą o definicji:
PR=>GP = ~PR~>~GP - definicja implikacji prostej
B.
Jeśli czworokąt jest prostokątem to może ~~> nie zawierać się w grupie prostokątów
PR~~>~GP=0
… a jeśli czworokąt nie jest prostokątem?
Prawo Kubusia na skróty, czyli w równaniu A negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
~PR~>~GP
stąd:
C.
Jeśli czworokąt nie jest prostokątem to może ~> nie należeć do grupy prostokątów
~PR~>~GP=1 bo deltoid
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór ~PR zawiera w sobie zbiór ~GP
Dodatkowo zbiór ~PR nie jest tożsamy ze zbiorem ~GP co wymusza implikację odwrotną:
~PR~>~GP = PR=>GP - definicja implikacji odwrotnej
lub
D.
Jeśli czworokąt nie jest prostokątem to może ~~> należeć do grupy prostokątów
~PR~~>GP=1 bo kwadrat
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy dero-jedynkową definicję implikacji prostej.
A: PR=>GP
PR=1, ~PR=0
GP=1, ~GP=0
Dla kodowania zero-jedynkowego zgodnego ze zdaniem C otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~PR~>~GP
~PR=1, PR=0
~GP=1, GP=0
| Kod: |
Zapis symboliczny |Kodowanie
|zero-jedynkowe
| PR GP PR=>GP |~PR ~GP ~PR~>~GP
A: PR=> GP =1 | 1 1 =1 | 0 0 =1
B: PR~~>~GP=0 | 1 0 =0 | 0 1 =0
C:~PR~>~GP =1 | 0 0 =1 | 1 1 =1
D:~PR~~>GP =1 | 0 1 =1 | 1 0 =1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Wniosek:
Zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji prostej, w matematycznym żargonie zdanie A jest implikacją prostą.
Dlaczego w żargonie?
.. bo ściśle matematycznie zdanie A to wyłącznie warunek wystarczający => o definicji wyłącznie w A i B.
W powyższej tabeli mamy przy okazji dowód formalny prawa Kubusia - tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9:
PR=>GP = ~PR~>~GP
Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kłapouchego:
W implikacjach bezczasowych implikacja prosta przechodzi w implikację odwrotną (i odwrotnie).
Rozważmy implikacje odwrotną do zdania A wyżej.
Implikacja odwrotna:
A.
Jeśli czworokąt należy do grupy prostokątów to może ~> być prostokątem
GP~>PR =1 bo prostokąt
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór GP zawiera w sobie zbiór PR
Dodatkowo zbiór GP nie jest tożsamy ze zbiorem PR co wymusza implikacje odwrotną o definicji:
GP~>PR = ~GP=>~PR
lub
B.
Jeśli czworokąt należy do grupy prostokątów to może ~~> nie być prostokątem
GP~~>~PR=1 bo kwadrat
… a jeśli czworokąt nie należy do grupy prostokątów?
Prawo Kubusia:
GP~>PR = ~GP=>~PR
stąd:
C.
Jeśli czworokąt nie należy do grupy prostokątów to na pewno => nie jest prostokątem
~GP=>~PR=1 bo romb, równoległobok, trapez, deltoid
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór ~GP zawiera się w zbiorze ~PR
Dodatkowo zbiór ~GP nie jest tożsamy ze zbiorem ~PR co wymusza implikację prostą o definicji:
~GP=>~PR = GP~>PR
D.
Jeśli czworokąt nie należy do grupy prostokątów to może ~~> być prostokątem
~GP~~>PR =0
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej:
A: GP~>PR
GP=1, ~GP=0
PR=1, ~PR=0
Dla kodowania zero-jedynkowego zgodnego ze zdaniem C otrzymamy zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~GP=>~PR
~GP=1, GP=0
~PR=1, PR=0
| Kod: |
Zapis symboliczny |Kodowanie
|zero-jedynkowe
| GP PR GP~>PR |~GP ~PR ~GP=>~PR
A: GP~> PR =1 | 1 1 =1 | 0 0 =1
B: GP~~>~PR=1 | 1 0 =1 | 0 1 =1
C:~GP=>~PR =1 | 0 0 =1 | 1 1 =1
D:~GP~~>PR =0 | 0 1 =0 | 1 0 =0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Wniosek:
Zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej, w matematycznym żargonie zdanie A jest implikacją odwrotną.
Dlaczego w żargonie?
.. bo ściśle matematycznie zdanie A to wyłącznie warunek konieczny ~> o definicji :
GP~>PR = ~GP=>~PR
W powyższej tabeli mamy przy okazji dowód formalny prawa Kubusia - tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9:
GP~>PR = ~GP=>~PR
Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
p~>q = ~p=>~q
6.0 Równoważnościowe definicje grup czworokątów
Znaczenie zmiennych:
KR = wszystkie kąty równe (grupa prostokątów)
~KR - nie wszystkie kąty równe
BR - wszystkie boki równe (grupa rombów)
~BR - nie wszystkie boki równe
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe (grupa równoległoboków)
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych (trapez - definicja ścisła)
PKP - przekątne przecinają się pod katem prostym (grupa deltoidów)
Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia
Kwadrat
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty równe i wszystkie boki równe
KW=KR*BR
Prostokąt
Prostokąt to kwadrat o nie równych bokach
PR =KR*~BR
Romb
Romb to kwadrat o nie równych kątach
ROMB = ~KR*BR
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe, który nie ma kątów równych i nie ma boków równych
RÓWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma dokładnie jedną parę boków równoległych, ale nie równych.
Trapez = JPBRiNR*~KR*~BR
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych
Zauważmy, że dołożyliśmy tu nieszkodliwy człon ~KR*~BR bowiem dla trapezu zachodzi:
~KR=1 i ~BR=1
Deltoid
Deltoid to czworokąt w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym, nie mający wszystkich kątów równych i nie mający wszystkich boków równych
Deltoid=PKP*~KR*~BR
W poprzednim punkcie omówiliśmy równoważnościową definicję grupy prostokątów.
I.
Grupa prostokątów
Grupa prostokątów = kwadrat + prostokąt
GP = KW + PR
GP = KR*BR+ KR*~BR
Zbiory po obu stronach znaku „=” są tożsame co wymusza równoważność i upoważnia do użycia znaku tożsamości.
Jeśli usuniemy jeden zbiór, KW lub PR to będziemy mieli do czynienia z implikacją i wtedy nie wolno nam używać znaku tożsamości „=”.
Otrzymamy wówczas.
Implikację prostą:
KW=>GP = ~KW~>~GP
albo
Implikację odwrotną:
GP~>KW = ~GP=>~KW
Szczegółowe omówienie problemu przedstawione zostało w poprzednim punkcie.
Identycznie mamy z pozostałymi grupami czworokątów.
II.
Grupa rombów
Grupa rombów = kwadrat + romb
GRombów = KR*BR + ~KR*BR
Zbiory po obu stronach znaku „=” są tożsame co wymusza równoważność i upoważnia do użycia znaku tożsamości.
Jeśli usuniemy jeden zbiór, KW lub ROMB to będziemy mieli do czynienia z implikacją i wtedy nie wolno nam używać znaku tożsamości „=”.
Otrzymamy wówczas.
Implikację prostą:
KW=>GP = ~KW~>~GP
albo
Implikację odwrotną:
GP~>KW = ~GP=>~KW
III.
Grupa równoległoboków
GR = kwadrat + prostokąt + romb + równoległobok
GR = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR
Zbiory po obu stronach znaku „=” są tożsame co wymusza równoważność i upoważnia do użycia znaku tożsamości.
Jeśli usuniemy jeden zbiór to będziemy mieli do czynienia z implikacją i wtedy nie wolno nam używać znaku tożsamości „=”.
Definicja implikacji prostej:
KW+PR => GR = ~KW*~PR~>~GR
Definicja implikacji odwrotnej:
GR~>KW+PR = ~GR=>~KW*~PR
IV.
Grupa trapezów
GT = kwadrat + prostokąt + romb + równoległobok + trapez
GT = KR*BR + KR*~BR + ~KR*BR + PBPRiR*~KR*~BR + PKP*~KR*~BR
Zbiory po obu stronach znaku „=” są tożsame co wymusza równoważność i upoważnia do użycia znaku tożsamości.
Jeśli usuniemy jeden zbiór to będziemy mieli do czynienia z implikacją i wtedy nie wolno nam używać znaku tożsamości „=”.
Definicja implikacji prostej:
KW+TRAPEZ => GT = ~KW*~TRAPEZ~>~GR
Definicja implikacji odwrotnej:
GT~>KW+TRAPEZ = ~GT=>~KW*~TRAPEZ
V.
Grupa deltoidów
GD = kwadrat + romb + deltoid
GD = KR*BR + ~KR*BR + PKP*~KR*~BR
Zbiory po obu stronach znaku „=” są tożsame co wymusza równoważność i upoważnia do użycia znaku tożsamości.
Jeśli usuniemy jeden zbiór to będziemy mieli do czynienia z implikacją i wtedy nie wolno nam używać znaku tożsamości „=”.
Definicja implikacji prostej:
KW+DELTOID => GD = ~KW*~DELTOID~>~GD
Definicja implikacji odwrotnej:
GD~>KW+DELTOID = ~GD=>~KW*~DELTOID
Czyż algebra Kubusia nie jest bajecznie prosta i piękna?
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 21:57, 01 Lut 2013, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 0:29, 01 Lut 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
W trzech postach wyżej zrobiłem podsumowanie całego tematu.
.. łącznie z algebrą Kubusia w pigułce.
| fiklit napisał: | | Cytat: | | Cytat: |
Rafał, a masz jakieś przeczucie lub wyczucie, które zbiory figur częściej się rozważa: KR czy KR*~BR?
Czy jest krótsza precyzyjna nazwa niż "dowolna figura z grupy prostokątów"? |
W zadaniach matematycznych ZAWSZE używa się super precyzyjnych definicji czworokątów, czyli:... |
W matematyce używa się terminów zgodnie z ich definicją. Definicja prostokąta nic nie mówi o długościach boków. I takiej się używa. |
Problem w tym że definicja implikacji materialnej to największa porażka w historii ludzkości, czyli ZERO związku z naturalną logika człowieka.
Także definicje czworokątów są matematycznie do kitu, ponieważ są matematycznie niejednoznaczne.
Oczywiście że można tworzyć grupy czworokątów biorąc pod uwagę ich wspólne cechy:
Grupa prostokątów (KR)
Grupa rombów (BR)
Grupa równoległoboków (DPBRiR)
DPBRiR - dwie pary boków równych i równoległych
Grupa trapezów (JPBR)
JPBR - przynajmniej jedna para boków równoległych
Grupa deltoidów (PKP)
PKP - przekątne przecinają się pod kątem prostym
Warunkiem koniecznym sensowności takich podziałów są definicje ścisłe wszystkich czworokątów.
W konkretnych zadaniach matematycznych zawsze posługujemy się definicjami ścisłymi czyli wyłącznie debil przedstawi takie, przykładowe zadanie:
Dany jest kwadrat o bokach a=4 i b=8, oblicz przekątną kwadratu
Prawdziwe jest twierdzenie:
Każdy kwadrat jest prostokątem
Pod warunkiem że rozumiemy iż matematycznie oznacza to:
Każdy kwadrat (KR*BR) należy do grupy prostokątów (KR)
… a nie że:
Każdy kwadrat (KR*BR) jest prostokątem (KR*~BR)
.. to jest idiotyzm!
Dlaczego ścisłe definicje wszystkich czworokątów są konieczne.
Zróbmy analogię problemu kwadrat-prostokąt do problemu człowiek-mężczyzna.
Kręgowce dzielimy na:
Człowiek, małpa, koń, pies i inne
Grupa człowiek to mężczyzna lub kobieta
GC = M*~K + K*~M
Czworokąty dzielimy na:
Prostokąty, romby, deltoidy, równoległoboki i inne
Grupa prostokątów to:
Kwadrat, prostokąt
Analiza matematyczna grupy prostokątów jest w tym poście:
[link widoczny dla zalogowanych]
Doskonale widać, że zbiór:
GC = M+K := M*~K + K*~M
:= - minimalizacja funkcji na mocy teorii zbiorów
Zbiory po obu stronach tożsamości są tożsame zatem zachodzi równoważność:
Człowiek wtedy i tylko wtedy gdy mężczyzna lub kobieta
C <=> M+K
C=M+K
Analiza matematyczna:
AR:
M+K<=>C = (M+K=>C)*(~M*~K=>~C)
A.
Jeśli kręgowiec jest mężczyzną lub kobietą to na pewno => jest człowiekiem
M+K=>C =1 bo mężczyzna lub kobieta
Definicja znaczka => (warunek wystarczający) spełniony bo:
Zbiór M+K zawiera się w zbiorze C
Dodatkowo zbiory M+K i C są tożsame, co wymusza równoważność.
B.
Jeśli kręgowiec jest mężczyzną lub kobietą to może ~~> nie być człowiekiem
M+K~~>~C =0
Oczywiście zdanie A to wyłącznie warunek wystarczający w logice dodatniej (bo C) o definicji wyłącznie w A i B.
… a jeśli nie jest mężczyzną i nie jest kobietą?
p<=>q = ~p<=>~q - prawo algebry Boole’a
CR:
~M*~K<=>~C = (~M*~C=>~C)*(M+K=>C)
stąd:
C.
Jeśli kręgowiec nie jest mężczyzną i nie jest kobietą to na pewno nie jest człowiekiem
~M*~K=>~C =1 bo małpa, koń, pies …
Definicja znaczka => spełniona bo zbiory ~M*~K i ~C są tożsame.
D.
Jeśli kręgowiec nie jest mężczyzną i nie jest kobietą to może ~~> być człowiekiem
~M*~K~~>C =0
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem AR albo CR otrzymujemy zero-jedynkową definicje równoważności:
M+K<=>C
M+K=1, ~M*~K=0
C=1, ~C=0
| Kod: |
Zapis |Kodowanie
Symboliczny |zero-jedynkowe
| M+K C M+K<=>C |~M*~K ~C ~M*~K=>~C
A: M+ K=> C =1 | 1 1 =1 | 0 0 =1
B: M+ K~~>~C=0 | 1 0 =0 | 0 1 =0
C:~M*~K=>~C =1 | 0 0 =1 | 1 1 =1
D:~M*~K~~>C =0 | 0 1 =0 | 1 0 =0
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek
|M+K=1, ~M*~K=0 |~M*~K=1, M+K=0
|C=1, ~C=0 |~C=1, C=0
|
Doskonale widać że zdania AR i CR to równoważności.
Jakakolwiek implikacja jest tu wykluczona, bowiem wobec tożsamości zbiorów:
M+K = C
~M*~K=~C
Jakiekolwiek rzucanie monetą, warunek konieczny zachodzenia implikacji, jest tu wykluczony
Rozważmy teraz takie zdanie:
A.
Jeśli kręgowiec jest kobietą to na pewno => jest człowiekiem
K=>C =1 bo kobieta
Definicja znaczka => (warunek wystarczający) spełniona bo:
Zbiór kobieta (K) zawiera się w zbiorze człowiek (C)
Dodatkowo zbiory K i C nie są tożsame:
K#C
co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo C) o definicji:
K=>C = ~K~>~C
stąd:
B.
Jeśli kręgowiec jest kobietą to może ~~> nie być człowiekiem
K~~>~C =0
… a jeśli nie jest kobietą?
Prawo Kubusia:
K=>C = ~K~>~C
C.
Jeśli kręgowiec nie jest kobietą to może ~> nie być człowiekiem
~K~>~C=1 bo małpa, koń, pies …
Definicja znaczka ~> (warunek konieczny) spełniona bo:
Zbiór ~K zawiera w sobie zbiór ~C
Dodatkowo zbiory ~K i ~C nie są tożsame, co wymusza implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~C) o definicji:
~K~>~C = K=>C
LUB
D.
Jeśli kręgowiec nie jest kobietą to może ~~> być człowiekiem
~K~~>C =1 bo mężczyzna
Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie A to otrzymamy tabelę zero-jedynkową implikacji prostej w logice dodatniej (bo C):
A: K=>C
K=1, ~K=0
C=1, ~C=0
Jeśli za punkt odniesienia (zdanie wypowiedziane) przyjmiemy zdanie C to otrzymamy tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~C):
C: ~K~>~C
~K=1, K=0
~C=1, C=0
| Kod: |
Zapis symboliczny |Kodowanie
|zero-jedynkowe
| K C K=>C | ~K ~C ~K~>~C
A: K=> C =1 | 1 1 =1 | 0 0 =1
B: K~~>~C=0 | 1 0 =0 | 0 1 =0
C:~K~>~C =1 | 0 0 =1 | 1 1 =1
D:~K~~>C =1 | 0 1 =1 | 1 0 =1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Wniosek:
Zdanie A spełnia zero-jedynkową definicję implikacji prostej, w matematycznym żargonie zdanie A jest implikacją prostą.
Dlaczego w żargonie?
.. bo ściśle matematycznie zdanie A to wyłącznie warunek wystarczający => o definicji wyłącznie w A i B.
W powyższej tabeli mamy przy okazji dowód formalny prawa Kubusia - tożsamość kolumn wynikowych ABCD6 i ABCD9:
K=>C = ~K~>~C
Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
p=>q = ~p~>~q
Podsumowanie:
1.
Analogia problemu prostokąt- kwadrat do problemu człowiek-mężczyzna jest tu zupełna
2.
Jest oczywistym że między pojęciami zachodzi:
Człowiek ## mężczyzna ## kobieta
gdzie:
## - różne na mocy definicji
3.
Doskonale widać że problem człowiek-mężczyzna bez ścisłej (precyzyjnej) definicji pojęcia „kobieta” jest TOTALNIE bez sensu, czyli nie da się wyeliminować ścisłej definicji pojęcia „kobieta”.
Zauważmy że w genach mężczyzna od kobiety różni się zaledwie o 0,2-0,5% !
To bez znaczenia, zbiory mężczyzna i kobieta są oczywiście rozłączne.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 11:08, 02 Lut 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: | | Cytat: | | Każdy kwadrat (KR*BR) jest prostokątem (w znaczeniu iż należy do grupy prostokątów o definicji: KR) |
Co rozumiesz przez jednoznaczność? Czy jeżeli musisz w AK doprecyzować o jakie znaczenie prostokąta chodzi to jest to jednoznaczne? |
W logice człowieka wiele rzeczy jest domyślnych. Trzeba to zlokalizować, inaczej nie przełożymy poprawnie naturalnej logiki człowieka na język matematyki.
Przykład:
Jeśli p to q
znaczy dokładnie to samo co:
Jeśli p to na pewno => q
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
Powyższe zdania są tożsame.
Domyślnym w przypadki wszelkich czworokątów jest ścisła definicja dowolnego czworokąta pozwalająca go odróżnić od jakiegokolwiek innego czworokąta.
To po stronie nadawcy leży obowiązek doprecyzowania o co mu chodzi.
Nadawca:
Jasiu narysuj prostokąt
Pewne jest że 100% dzieciaków zawsze narysuje tu prostokąt w sensie ścisłym czyli (KR*~BR).
Który nadawca sformułuje zadanie matematyczne w ten sposób?
Dany jest prostokąt o dwóch równych bokach a=5 oblicz przekątną w tym prostokącie
Oczywisty debil - zgadza się?
Nadawca:
Jasiu narysuj dowolny prostokąt
Jasiu narysuj jakiś prostokąt
Jasiu, narysuj dowolny czworokąt w grupy prostokątów
Tu nadawca jasno przekazuje o co mu chodzi i Jaś może namalować kwadrat (KR*BR) albo prostokąt (KR*~BR).
Twierdzenie 1
Definicje czegokolwiek w naszym Wszechświecie muszą być równoważnościowe (ścisłe), nigdy implikacyjne!
Czyli:
Jak mamy definicję słonia (ścisłą) to nie mamy szans aby go pomylić z jakimkolwiek innym zwierzakiem np. nosorożcem.
Definicje w stylu:
Słoń żyje w Afryce, ma cztery nogi, jest wielki i szary, ma ogon …
Nosorożec żyje w Afryce, ma cztery nogi, jest wielki i szary, ma ogon …
Nie są poprawnymi definicjami bo wymieniają jedynie cechy wspólne przy pomocy których nie da się odróżnić słonia od nosorożca.
Twierdzenie 2
Aby odróżnić obiekt A od obiektu B wystarczy znaleźć jedną cechę która występuje w A i nie występuje w B.
Dowód:
Niech x oznacza dowolną ilość cech wspólnych obiektów A i B
Niech cecha y należy do obiektu A, a cecha ~y należy do obiektu B
Definicja ścisła obiektu A:
A = x*y
Definicja ścisła obiektu B:
B = x*~y
Badamy czy obiekty A i B są rozłączne, czyli badamy iloczyn logiczny tych obiektów:
A*B = x*y + x*~y = x*(y*~y) = x*0 =0
Prawa algebry Boole’a:
Wyciągnięcie x przed nawias
y*~Y=0
x*0 =0
Brak wspólnej części A i B oznacza, że te obiekty są rozpoznawalne.
Na poziomie genów kobieta od mężczyzny różni się zaledwie w 0,2-0,5%.
Czy jakiś 5-cio latek będzie miał problemy w odróżnieniu mamy od taty?
Jaka jest różnica % między kwadratem a prostokątem?
Na pewno nie zerowa, zatem w matematyce nic co jest kwadratem nie ma prawa być prostokątem i odwrotnie.
Fiklit, uzupełniłem temat wyżej „Definicje czworokątów w algebrze Kubusia”
[link widoczny dla zalogowanych]
Podkładając pod analizy zdań w pkt. 5.0 teorię zbiorów.
Dopisałem też nowy punkt 6.0 który jest dowodem iż w algebrze Kubusia także definicje grup czworokątów mają swoje definicje ścisłe, czyli równoważnościowe.
Ścisłe definicje czworokątów w algebrze Kubusia
Kwadrat
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty równe i wszystkie boki równe
KW=KR*BR
W logice Ziemian mamy precyzyjnie zdefiniowany kwadrat którego nie sposób pomylić z innym czworokątem. Możemy go zatem łatwo użyć do utworzenia ścisłej definicji prostokąta i rombu.
Prostokąt
Prostokąt to kwadrat o nie równych bokach
PR =KR*~BR
Romb
Romb to kwadrat o nie równych kątach
ROMB = ~KR*BR
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe, który nie ma kątów równych i nie ma boków równych
RÓWNOLEGŁOBOK = PBPRiR*~KR*~BR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma dokładnie jedną parę boków równoległych, ale nie równych.
Trapez = JPBRiNR*~KR*~BR
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych
Zauważmy, że dołożyliśmy tu nieszkodliwy człon ~KR*~BR bowiem dla trapezu zachodzi:
~KR=1 i ~BR=1
Deltoid
Deltoid to czworokąt w którym przekątne przecinają się pod kątem prostym, nie mający wszystkich kątów równych i nie mający wszystkich boków równych
Deltoid=PKP*~KR*~BR
Ścisłe definicje grup czworokątów w algebrze Kubusia
Definicja grupy prostokątów:
GP = kwadrat + prostokąt
GP = KR*BR + KR*~BR
Minimalizujemy równanie algebry Boole’a:
GP = KR(BR+~BR) = KR*1 = KR
Po minimalizacji algebrą Boole’a:
PR = KR
co matematycznie oznacza:
PR=1 <=> KR=1
GP = kwadrat + prostokąt
GP=KW+PR
Zbiory po obu stronach znaku „=” są tożsame co wymusza równoważność:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
KW+PR <=> GP = (KW+PR=>GP)*(~KW*~PR=>~GP)
Ale!
Jak usuniemy jeden czworokąt (KW albo PR) to będziemy mieli do czynienia z implikacją
KW=>GP = ~KW~>~PR
GP~>KW
Gdzie warunek konieczny ~> to najzwyklejsze rzucanie monetą
Pokazałem to w tym poście (pkt. 5.0):
[link widoczny dla zalogowanych]
Na tej samej zasadzie wszystkie definicje grup czworokątów są w AK równoważnościowe!
… czyli jedyne poprawne.
Zobaczmy teraz co się dzieje w logice Ziemian!
Ziemianie kompletnie nie znają definicji ani czworokątów, ani definicji grup czworokątów w równaniach algebry Boole’a. To kolejna wielka porażka Ziemian w dążeniu do matematycznego podkładu pod naturalną logikę człowieka, w dobie komputerów najwyższy czas to naprawić.
Porównajmy diagramy grupy prostokątów w algebrze Kubusia i logice ziemian.
Algebra Kubusia:
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Grupa prostokątów ## kwadrat ## prostokąt
KR ## KR*BR ## KR*~BR
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Grupa prostokątów (o definicji KR) nie definiuje żadnego konkretnego czworokąta!
cnd
Logika Ziemian:
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Prostokąt ## kwadrat ## prostokąt nie będący kwadratem
KR ## KR*BR ## PNKW=KR*~BR
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Oczywiście nie da się opisać trzech różnych na mocy definicji zbiorów przy pomocy dwóch pojęć, prostokąta i kwadratu, jak to jest w logice Ziemian.
Jest oczywistym że zbiory:
KW=KR*BR
PNKW=KR*~BR
są rozłączne oraz że suma logiczna tych zbiorów tworzy GRUPĘ czworokątów zwanych prostokątami.
GP = KR*BR + KR*~BR = KR*(BR+~BR) = KR*1 =KR
Z powyższego wynika że w logice Ziemian zachodzi:
Prostokąt = GRUPA czworokątów zwanych prostokątami
… czyli Ziemianie mają dwie tożsame nazwy na określenie tego samego pojęcia:
GRUPA czworokątów zwanych prostokątami
Nie mają natomiast precyzyjnego określenia prostokąta w sensie ścisłym (równoważnościowym):
PNKW = KR*~BR
Pani:
Jasiu narysuj prostokąt
- Jaś (rzucając monetą) namalował kwadrat
Pani:
Jasiu, chodziło mi o prostokąt nie będący kwadratem
Jaś
…aaa, jak tak to proszę.
Jaś namalował prostokąt w sensie ścisłym (KR*~BR) bo nic innego nie może już narysować.
ALE!
Definicja trapezu w logice Ziemian:
[link widoczny dla zalogowanych]
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych
czyli:
Trapezem może być cokolwiek:
kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i … ???
No właśnie jak nazwać czworokąt ??? o definicji ścisłej w algebrze Kubusia:
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma dokładnie jedną parę boków równoległych, ale nie równych.
Trapez = JPBRiNR
JPBRiNR - jedna para boków równoległych ale nie równych
Zauważmy, że w prostokątach poszło gładko, był to prostokąt nie będący kwadratem.
Analogicznie dla trapezu mamy:
??? - czworokąt nie będący kwadratem, prostokątem, rombem albo równoległobokiem
Problem w tym, że w logice Ziemian mamy precyzyjnie zdefiniowany wyłącznie kwadrat.
Nie mamy pojęcia jak precyzyjnie narysować na tablicy prostokąt, romb czy równoległobok.
W logice Ziemian nie da się precyzyjnie, czyli jednoznacznie narysować żadnego z czworokątów: prostokąta, rombu czy też równoległoboku.
Pani:
Jasiu narysuj trapez
- Jaś narysował kwadrat
Pani:
Nie o taki trapez mi chodziło, narysuj inny
- Jaś namalował prostokąt
Pani:
… no i nie trafiłeś, narysuj inny
- Jaś namalował romb
Pani:
Nie to miałam na myśli.
Jaś:
.. ale skąd ja mam wiedzieć co Pani ma na myśli?
Ja myślałem że chodzi Pani o kwadrat, później myślałem ze chodzi Pani o prostokąt …
Pani:
Siadaj pała,
Nie ważne synu co myślisz, ważne by twoje myśli z moimi się zgadzały
(ulubione powiedzonko polonisty że szkoły średniej Kubusia)
| FatBantha napisał: | | rafal3006 napisał: | W trzech postach wyżej zrobiłem podsumowanie całego tematu.
.. łącznie z algebrą Kubusia w pigułce. |
gwałtu. Z algebrą Kubusia w pigułce gwałtu na naszym rozsądku. |
.. ale o jaki rozsądek ci chodzi?
Czy o ten?
Jeśli krowa szczeka to świnie latają w kosmosie
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 13:01, 02 Lut 2013, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 14:01, 02 Lut 2013 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
| fiklit napisał: | | Problem w tym Rafale, że w AK operatory nie są operatorami. Prawie każdemu słowu przypisujesz inne znaczenie. Powstaje bełkot. |
Nie jest to prawdą.
Zero-jedynkowo operatory logiczne mamy wspólne.
Algebra Kubusia:
| Kod: |
p q SYMB OR NOR AND NAND <=> XOR => N(=>) ~> N(~>) ~~> N(~~>) P NP Q NQ
1 1 p* q 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
1 0 p*~q 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1
0 1 ~p* q 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
0 0 ~p*~q 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
|
Spieramy się wyłącznie o znaczenie zer i jedynek wewnątrz poszczególnych operatorów.
Spieramy się o to czy równania [link widoczny dla zalogowanych] opisujące dowolną tabele zero-jedynkową są poprawne - oczywiście są i są zgodne z algebrą Kubusia.
To równania algebry Boole’a opisują naturalną logikę człowieka a nie tabele zero-jedynkowe. Nie ma żadnego prawa logicznego zapisanego w zerach i jedynkach, wszelkie prawa logiczne to równania algebry Boole’a a nie tabele zero-jedynkowe, chociażby prawa Kubusia, będące jednocześnie definicjami implikacji prostej i odwrotnej.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Uwaga!
W równaniach algebry Boole’a opisane są także operatory OR i AND!
Prawa De Morgana to nic innego jak definicje operatorów OR i AND, co za chwile udowodnimy!
Definicja operatora OR:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Definicja operatora AND:
Y = p*q = ~(~p+~q)
Rzeczywista budowa operatora OR w odniesieniu do naturalnej logiki człowieka jest następująca.
Definicja operatora OR w zbiorach.
Definicja operatora w równaniach logicznych:
Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
~Y=~p*~q
Zbiory p i q mają część wspólną:
Y=p*q
i żaden z nich nie zawiera się w drugim.
Definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
W: Y = p+q
co matematycznie oznacza:
W: Y=1 <=> p=1 lub q=1
W: Y = p*q + p*~q +~p*q
co matematycznie oznacza:
W: Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Wszystkie zbiory istnieją i są niepuste.
W funkcji Y wystarczy że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już funkcja logiczna Y przyjmie wartość 1.
Równania wyżej opisują dokładnie ten sam zbiór wynikowy Y, zatem są to definicje tożsame:
W: Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
Definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y=~p*~q
Zauważmy, że równania W i U opisują wszystkie kolorowe obszary w powyższym diagramie, czyli obejmują kompletną dziedzinę.
Kompletny operator OR opisuje więc układ równań logicznych:
W: Y=p+q
U: ~Y=~p*~q
Z diagramu dokładnie widać, że jak zanegujemy obszar Y to otrzymamy obszar ~Y i odwrotnie.
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
A: Y=p+q(r+~s)
B: Y = p+[q*(r+~s)]
C: ~Y = ~p*[~q+(~r*s)]
Algorytm Wuja Zbója:
B: Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki
C: Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne, „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie.
Zauważmy, że w naszym diagramie zachodzi prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
będące najważniejszym prawem w logice, z którego będziemy korzystać non-stop.
Podstawiając W i U mamy prawo de’Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)
Zauważmy, że jak zanegujemy wszystkie zmienne w prawie de’Morgana to otrzymamy definicję operatora AND.
1.
Negujemy wyłącznie sygnały wejściowe p i q:
y = ~p+~q = ~[~(~p)*~(~q)] = ~(p*q)
2.
Negujemy sygnał wyjściowy y:
~y=~(~p+~q) = p*q
Ostatni zapis to prawo de’Morgana dla spójnika „i”(*).
Przy okazji doskonale widać, że operator AND jest logiką ujemną w stosunku do operatora OR (albo odwrotnie)
Y = p+q = ~(~p*~q) ## ~y = ~(~p+~q) = p*q
Operator OR ## Operator AND
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dokładnie to samo musimy uzyskać w układzie równań Kubusia opisujących kompletny operator OR.
Definicja operatora OR w układzie równań Kubusia:
A: Y=p+q
B: ~Y=~p*~q
Na mocy prawa de’Morgana negujemy wszystkie zmienne i musimy otrzymać operator AND:
C: ~y=~p+~q
D: y=p*q
To jest poprawna definicja operatora AND w układzie równań logicznych.
Zauważmy, że znaczek „+” nie może być kompletnym operatorem OR bo negujemy zmienne w równaniu A i otrzymujemy wyłącznie równanie C, brakuje B i D.
Symboliczna definicja operatora OR:
| Kod: |
Kiedy wystąpi Y?
(Y - dotrzymam słowa)
Funkcja w logice dodatniej bo Y
W: Y=p+q
W: Y=p*q+p*~q+~p*q
A: p* q= Y
B: p*~q= Y
C: ~p* q= Y
Kiedy wystąpi ~Y?
(~Y - skłamię)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Funkcja w logice ujemnej bo ~Y
U: ~Y=~p*~q
D: ~p*~q=~Y
|
Operator OR to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
Y=p+q = p*q + p*~q + ~p*q
~Y = ~p*~q
Kodowanie zero-jedynkowe powyższej definicji:
| Kod: |
Tabela 1
Definicja symboliczna|Zbiory |Bramki logiczne |Bramkilogiczne
Zbiory! |Logika |Technika |Technika
W: Y=p+q |czlowieka | |
W: Y= p*q+p*~q+~p*q | |p q Y=p+q |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q= Y |1*1=1 |1 1 =1 /Y= p* q | 0 0 =0
B: p*~q= Y |1*1=1 |1 0 =1 /Y= p*~q | 0 1 =0
C:~p* q= Y |1*1=1 |0 1 =1 /Y=~p* q | 1 0 =0
U: ~Y=~p*~q |
D:~p*~q=~Y |1*1=1 |0 0 =0 | 1 1 =1 /~Y=~p*~q
1 2 3 a b c |4 5 6 | 7 8 9
Punktem odniesienia w tabeli zero-jedynkowej jest zawsze nagłówek tabeli:
|p=1, ~p=0 |~p=1, p=0
|q=1, ~q=0 |~q=1, q=0
|Y=1, ~Y=0 |~Y=1, Y=0
|
Gdzie:
+ - symbol spójnika „lub”(+) opisujący wyłącznie obszar ABC456 w powyższej tabeli.
* - symbol spójnika „i”(*) opisujący wyłącznie linię D789 w powyższej tabeli
Użyteczną technikę tworzenia równania logicznego dla dowolnej linii w spójniku „i”(*) widać jak na dłoni.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 1 to przepisujemy nagłówek kolumny.
Jeśli na wybranej pozycji mamy 0 to przepisujemy zanegowany nagłówek kolumny
Operator OR odpowiada na pytania:
A.
Kiedy zdanie jest prawdziwe (dotrzymam słowa)?
Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w obszarze ABC123, zaś zero-jedynkową w obszarze ABC456, bowiem tylko tu widzimy Y=1.
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
B.
Kiedy zdanie jest fałszywe(skłamię)?
~Y=1
Odpowiedź symboliczną mamy tu w linii D123, zaś zero-jedynkową w linii D789, bowiem tylko tu widzimy ~Y=1.
~Y=~p*~q
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora OR (obszar ABCD456), natomiast dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym U otrzymujemy tabelą zero-jedynkową operatora AND (obszar ABCD789).
Równanie logiczne:
Y=p+q
jest wystarczającym opisem tabeli zero-jedynkowej ABCD456 mimo że opisuje wyłącznie pierwsze trzy linie. To jest dwuelementowa algebra Kubusia, zatem pozostałe linie muszą być uzupełnione zerami w wyniku. Trzeba to rozumieć i o tym pamiętać.
Przykład przedszkolaka
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y = K+T
... a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy!
Prawdą jest (=1), że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
Analiza równoważna:
Pełna definicja spójnika „lub”(+):
Y= p+q = p*q + p*~q +~p*q
Dla naszego zdania mamy:
W.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T - logika dodatnia (bo Y)
Zdanie wypowiedziane W znaczy dokładnie to samo co:
Y=K*T + K*~T + ~K*T
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
... a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y)
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
D: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
Jak czegoś nie rozumiesz to pytaj.
Nie pisz jednak proszę, że to jest bełkot.
Algebra Kubusia = naturalna logika człowieka = naturalny język mówiony człowieka
.. od 5-cio latka po profesora.
Algebra Kubusia = logika naszego Wszechświata, żywego i martwego
Żadna żywa istota nie ma najmniejszych szans aby się od niej uwolnić, człowiek nie jest tu wyjątkiem.
Dowód:
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N = ~W~>~N
Implikacja prosta na mocy definicji
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K = ~W=>~K
Implikacja odwrotna na mocy definicji
Zwierzątka które nie odróżniały nagrody od kary (a taka jest współczesna logika Ziemian!) dawno wyginęły.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
