ŚFiNiA

[rafal3006]

[link widoczny dla zalogowanych]

[rafal3006]

[link widoczny dla zalogowanych]

[rafal3006]

[link widoczny dla zalogowanych]

[rafal3006]

[link widoczny dla zalogowanych]

[rafal3006]

[link widoczny dla zalogowanych]

[rafal3006]

[link widoczny dla zalogowanych]

[rafal3006]

[link widoczny dla zalogowanych]

To już pewne.

Algebra Kubusia to największa rewolucja w historii ludzkości!

Nigdy wcześniej ludzkość czegoś podobnego nie doznała, i najprawdopodobniej, nigdy w przyszłości czegoś podobnego nie dozna.

Kubuś-kosmita
Przyjaciel Ziemian.

[rafal3006]

[link widoczny dla zalogowanych]

[rafal3006]

[link widoczny dla zalogowanych]

Definicja:
LOGIKA MATEMATYCZNA = algebra Kubusia (i Boole’a)
Jak kto obali, kasuję AK.

[rafal3006]

[link widoczny dla zalogowanych]

Dagger, weźmy po kolei i małymi kroczkami …

[rafal3006]

[link widoczny dla zalogowanych]

[rafal3006]

[link widoczny dla zalogowanych]

[rafal3006]

[link widoczny dla zalogowanych]

[rafal3006]

Kubusiowa szkoła logiki

Temat:
Algebra Kubusia vs KRZiP

Diagram implikacji prostej:


Algebra Kubusia:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
p=>q

Definicja warunku wystarczającego:
A: p=>q=1
A: zbiory: p*q=1 - zbiór p zawiera się w zbiorze q
B: p~~>~q=0
B: Zbiory: p*~q=0 - zbiory rozłączne

Relacja w zbiorach B wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q, wtedy i tylko wtedy zbiory p i ~q będą rozłączne, co widać na diagramie.

Definicja kwantyfikatora dużego w algebrze Kubusia i KRZiP:
/\x p(x)=>q(x)
Zapis ogólny jest identyczny w AK i KRZiP.
Jednak działanie jest fundamentalnie inne!

Algebra Kubusia:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
p=>q=1
Na mocy definicji warunku wystarczającego w AK twierdzenie to możemy udowodnić dwoma sposobami.
1.
/\x p(x)=>q(x)
Sprawdzamy czy dla każdego p(x) zachodzi q(x).
W naszym przykładzie p(x) to zaledwie dwa elementy:
Sprawdzamy że elementy 1 i 2 zawierają się w zbiorze q=[1,2,3,4,5,6]
Oczywiście tak!
KONIEC dowodu!
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli na mocy definicji warunku wystarczającego z AK takiego zdania prawdziwego:
\/x p(x) ~~> ~q(x) =1
Istnieje takie x, że jeśli zajdzie p(x)=[1,2] to może zajść ~q(x)=[7->oo]
Z rysunku widać że są to zbiory rozłączne, zatem znalezienie kontrprzykładu nie jest możliwe.
Zbiory: p(x)*~q(x) = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (p(x)=1 i ~q(x)=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0
Brak kontrprzykładu, zdanie A jest prawdziwe.
cnd
W algebrze Kubusia zdanie A jest FAŁSZYWE dla liczb innych niż 1 i 2!


KRZiP
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
p=>q=1
1.
/\x p(x)=>q(x)
Sprawdzamy czy dla każdego p(x) zachodzi q(x).
Definicja kwantyfikatora dużego w KRZiP jest FUNDAMENTALNIE inna niż w AK!

KRZiP iteruje po TOTALNIE całej dziedzinie p(x) + ~p(x), dla niego prawdziwe są dosłownie wszystkie zdania.

Czyli zdanie A jest prawdziwe nie tylko dla 1 i 2 …. ale dla również dla dowolnej liczby naturalnej!

Przykład 1.
Losujemy liczbę: 6
Algebra Kubusia:
p(x)=[1,2]
p(x) = [1,2]*[6]=0 - zbiór pusty, bo zbiory rozłączne
/\x p(x)=>q(x) =0!
Zbiory: p(x)*q(x) = 0*q(x) =0
Iloczyn logiczny zbioru pustego p(x)=0 z czymkolwiek jest zbiorem pustym, wartość logiczna q(x) jest bez znaczenia.

KRZiP:
p(x)=0 - bo 6 nie należy do zbioru p(x)
q(x)=1 - bo 6 należy do zbioru q(x)
p(x)=0, q(x)=1
zagląda do świętej tabelki „implikacji materialnej” i odczytuje, o zgrozo!
Zdanie:
/\x p(x)=>q(x) =1
Jest prawdziwe dla liczby 6

Przykład 2.
Losujemy liczbę: 7
Algebra Kubusia:
p(x)=[1,2]
p(x)=[1,2]*[7]=0 - zbiór pusty, bo zbiory rozłączne
/\x p(x)=>q(x) =0!
Iloczyn logiczny zbioru pustego p(x)=0 z czymkolwiek jest zbiorem pustym, wartość logiczna q(x) jest bez znaczenia.


KRZiP:
p(x)=0 - bo 7 nie należy do zbioru p(x)
q(x)=0 - bo 7 nie należy do zbioru q(x)
p(x)=0, q(x)=0
zagląda do świętej tabelki „implikacji materialnej” i odczytuje, o zgrozo!
Zdanie:
/\x p(x)=>q(x) =1
Jest prawdziwe dla liczby 7

Co w rzeczywistości robi KRZiP?!

Wstęp:

[link widoczny dla zalogowanych]
Funkcja zdaniowa:
Dla dowolnej przestrzeni X ≠ 0, wyrażenie w(x), w którym występuje zmienna x i które staje się zdaniem prawdziwym lub fałszywym nazywamy funkcją zdaniową (formą zdaniową) jednej zmiennej, której zakresem zmienności jest przestrzeń X

Funkcją zdaniową określoną na pewnym zbiorze nazywamy każde zdanie zawierające zmienną, takie, że po wstawieniu w miejsce zmiennej dowolnego elementu z tego zbioru zdanie to staje się zdaniem logicznym.

Dla dowolnej funkcji zdaniowej w(x) element dziedziny funkcji spełnia funkcję zdaniową wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu go do tej funkcji zdaniowej w miejsce zmiennej otrzymamy zdanie prawdziwe.

Zbiór tych wszystkich wartości zmiennej x∈X, przy których funkcja zdaniowa w(x), staje się zdaniem prawdziwym, czyli zbiór tych x, które spełniają tę funkcję zdaniową, oznaczamy { x∈X: w(x) }

Kapitalny artykuł Macjana - wykładowcy logiki
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/paradoks-warunku-wystarczajacego,3164.html#56053

[rafal3006]

[link widoczny dla zalogowanych]

[rafal3006]

[link widoczny dla zalogowanych]

[rafal3006]

[link widoczny dla zalogowanych]

[rafal3006]

[link widoczny dla zalogowanych]

[rafal3006]

[link widoczny dla zalogowanych]

[rafal3006]

[link widoczny dla zalogowanych]

Kubusiowa szkola logiki

Temat:
Zamach na "świętość" Ziemskich matematyków

5.6 Prawo kontrapozycji

Ten rozdział jest jednym z najważniejszych w podręczniku.
Obalimy tu czterema sposobami „świętość” Ziemskich matematyków, prawo kontrapozycji w implikacji.
p=>q = ~q=>~p
Prawo kontrapozycji jest poprawne w równoważności co dowiedziono w pkt. 5.4 i fałszywe w implikacji.

Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty, zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty, zdanie fałszywe

Fundamentem operatorów implikacji i równoważności są zaledwie trzy znaczki => , ~> i ~~>

Ogólna definicja znaczka =>:
=> - warunek wystarczający
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora
Wymuszam p i musi pojawić się q
p=>q
Jeśli zajdzie to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Jeśli zbiór p zwiera się w zbiorze q to różnica zbiorów p-q musi być zbiorem pustym.
p-q=0
W mowie potocznej warunek wystarczający => to spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki.

Ogólna definicja znaczka ~>:
~> - warunek konieczny
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Zabieram zbiór p i musi zniknąć q
q-p =0
W mowie potocznej, w implikacji, warunek konieczny ~> to spójnik „może” między p i q.

Ogólna definicja znaczka ~~>:
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
p~~>q
Zbiory:
p*q =1
Wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i q

Matematyczny związek warunku wystarczającego => i koniecznego ~> opisują prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w implikacji i równoważności:
W implikacji i równoważności zdanie zapisane jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy q jest niezanegowane.
p=>q - logika dodatnia bo q
~p~>~q - logika ujemna bo ~q

Definicja warunku koniecznego ~> w całym obszarze logiki:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q

W świecie totalnie niezdeterminowanym, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q zachodzi:
Jeśli z prawej strony tożsamości udowodnimy warunek wystarczający =>, to tym samym udowodnimy warunek konieczny ~> z lewej strony (albo odwrotnie). Warunki wystarczające => dowodzi się nieporównywalnie prościej. Z praw Kubusia wynika, że całą logikę w zakresie implikacji i równoważności można sprowadzić do dowodzenia banalnych warunków wystarczających.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q

Definicje operatorów logicznych w równaniach algebry Kubusia

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
~p~>~q = p=>q

Alternatywna definicja implikacji prostej:
Implikacja prosta to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między p i q
p=>q =1
p~>q = ~p=>~q =0

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Gdzie:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q o definicji:
p~>q = ~p=>~q
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki

Alternatywna definicja implikacji odwrotnej:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między p i q
p~>q= ~p=>~q =1
p=>q=0

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*[p~>q]
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Wymuszam p i musi pojawić się q

Z powodu tożsamości zbiorów spełniona jest również definicja warunku koniecznego [~>]:
[p~>q]
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q bo zbiory p i q są tożsame.
Zabieram p i musi zniknąć q
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
[~>] - wirtualny warunek konieczny, istnieje, ale nie jest to spójnik „może” między p i q znany z implikacji, bo mamy tożsamość zbiorów p i q i o żadnym „rzucaniu monetą” nie może być mowy

Definicja warunku koniecznego [p~>q]:
[p~>q] = ~p=>~q
stąd aksjomatyczna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
~p=>~q = q=>p
Stąd uwielbiana przez matematyków definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)


Dowód I
Obalenie prawa kontrapozycji

Aksjomatyczna zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:

[rafal3006]

[link widoczny dla zalogowanych]

[rafal3006]

[link widoczny dla zalogowanych]

[rafal3006]

[rafal3006]

[link widoczny dla zalogowanych]

Kubusiowa szkoła logiki

Temat:
Implikacja i równoważność w pigułce


5.0 Implikacja i równoważność w zbiorach

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Wynika to bezpośrednio z definicji operatora logicznego.

Fundament algebry Kubusia:
Definicje operatorów logicznych AND, OR, =>, ~>, <=> zbudowane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q.
Wszelkie prawa algebry Kubusia obowiązują dla świata niezdeterminowanego. W przypadku determinacji poprzednika lub następnika jedyną poprawną metodą analizy matematycznej jest analiza wszystkich możliwych przeczeń p i q zgodnie z definicją operatora logicznego.

Zera i jedynki w algebrze Kubusia oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe
Zdanie w sensie matematycznym, to zdanie któremu da się przypisać prawdę lub fałsz.


5.1 Implikacja i równoważność w pigułce

Fundamentem operatorów implikacji i równoważności są zaledwie trzy znaczki => , ~> i ~~>

Diagram implikacji prostej:

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Ogólna definicja znaczka =>:
=> - warunek wystarczający
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.
Wymuszam p i musi pojawić się q
p=>q
Jeśli zajdzie to na pewno => zajdzie q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
Jeśli zbiór p zwiera się w zbiorze q to różnica zbiorów p-q musi być zbiorem pustym.
p-q=0
[1,2]-[1,2,3,4,5,6]=0
W mowie potocznej warunek wystarczający => to spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze logiki.

Diagram implikacji odwrotnej:

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Ogólna definicja znaczka ~>:
~> - warunek konieczny
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>.
p~>q
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
Zabieram zbiór p i musi zniknąć q
q-p =0
[1,2]-[1,2,3,4,5,6]=0
W mowie potocznej, w implikacji, warunek konieczny ~> to spójnik „może” między p i q.
W równoważności <=> warunek konieczny ~> istnieje na poziomie wirtualnym, nie jest to spójnik „może” z powodu tożsamości zbiorów p i q.

Ogólna definicja znaczka ~~>:
~~> - naturalny spójnik „może” między p i q
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
p~~>q
Zbiory:
p*q =1
Wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów p i q

Matematyczny związek warunku wystarczającego => i koniecznego ~> opisują prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Prawa Kubusia działają wyłącznie w świecie totalnie niezdeterminowanym, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q. Wynika to bezpośrednio z definicji operatora logicznego i prawa Sowy.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w implikacji i równoważności:
W implikacji i równoważności zdanie zapisane jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy q jest niezanegowane.
p=>q - logika dodatnia bo q
~p~>~q - logika ujemna bo ~q

Definicja warunku koniecznego ~> w całym obszarze logiki:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik.
Prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p~>~q = p=>q

W świecie totalnie niezdeterminowanym, gdzie nie znamy z góry wartości logicznych p i q zachodzi:
Jeśli z prawej strony tożsamości udowodnimy warunek wystarczający =>, to tym samym udowodnimy warunek konieczny ~> z lewej strony (albo odwrotnie). Warunki wystarczające => dowodzi się nieporównywalnie prościej. Z praw Kubusia wynika, że całą logikę w zakresie implikacji i równoważności można sprowadzić do dowodzenia banalnych warunków wystarczających.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q=1
B: p~~>~q=0

p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Z czego wynika, że zbiór p musi zawierać się w zbiorze q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
A: p=>q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru p zawiera się w zbiorze q
Jeśli tak to:
p=>q=1
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
B: p~~>~q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
A: p=>q =0
Kontrprzykład wykluczony to:
A: p=>q =1

Definicja warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q=1
D: ~p~~>q=0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego:
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli tak to:
~p=>~q=1
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego przypadku spełniającego:
D: ~p~~>q=1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0
Kontrprzykład wykluczony to:
C: ~p=>~q =1


Definicje operatorów logicznych w równaniach algebry Kubusia.

Diagram implikacji prostej:

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)

Symboliczna definicja implikacji prostej:

[rafal3006]

[link widoczny dla zalogowanych]