ŚFiNiA

[rafal3006]

Nie można gwałcić praw algebry Boole’a i twierdzić, że dalej jest to algebra Boola’a.
Kubuś

Ekspresowy wykład algebry Boole’a dla ekspertów KRZ

KRZ = Klasyczny Rachunek Zdań
Ekspertowi KRZ, Macjanowi dedykuję.

Spis treści:
1.0 Definicja implikacji według Macjana, eksperta Klasycznego Rachunku Zdań.
2.0 Istota rozwalenia całej algebry Boole’a w zakresie operatorów AND(*) i OR(+)
3.0 Istota rozwalenia całej algebry Boole’a w zakresie operatorów => i ~>.
4.0 Algebra Boole’a według Kubusia i wszystkich normalnych
5.0 Algebra Boole’a według Macjana i innych ekspertów KRZ


Wstęp:
Eksperci KRZ kompletnie nie czują algebry Boole'a. Według Wuka dzisiejsza algebra Boole'a znana jest od czasów Arystotelesa ...


1.0 Definicja implikacji według Macjana, eksperta Klasycznego Rachunku Zdań.

p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Definicja Macjana.
p=>q
Jeśli p to q

Dla Macjana świętością jest tabela zero-jedynkowa. Za nic w świecie nie chce przyjąć definicji implikacji z podręcznika matematyki do LO w tej postaci:

p=>q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q z czego wynika że q musi być warunkiem koniecznym dla p.

Powody tej niechęci są oczywiste. Definicja implikacji z podręcznika matematyki dla LO to śmierć Klasycznego Rachunku Zdań.

Jeśli kura ma dwie nogi to pies ma cztery łapy
2N=>4L
Według KRZ zdanie prawdziwe.
Według definicji z podręcznika matematyki dla LO dwie nogi u kury muszą być warunkiem wystarczającym dla czterech łap u psa, zaś cztery łapy u psa muszą być warunkiem koniecznym dla dwóch nóg u kury … jak to udowodnić ? … co wspólnego ma kura z psem, jak tu mówić o jakimkolwiek warunku wystarczającym albo koniecznym między p=kura i q=pies?
Z dwóch nóg u kury wynikają cztery łapy u psa
Z faktu że kura ma dwie nogi wynika, że pies musi mieć cztery łapy

Odłóżmy teraz na półkę definicję implikacji z LO i rozumujmy jak Macjan czyli „świętością są zera i jedynki” we wszelkich operatorach matematycznych.


2.0 Istota rozwalenia całej algebry Boole’a w zakresie operatorów AND(*) i OR(+)

Definicja sumy logicznej OR(+):
a b a+b
1 1 1
1 0 1
0 0 0
0 1 1

Definicja iloczynu logicznego AND(*):
a b a*b
1 1 1
1 0 0
0 0 0
0 1 0

Między powyższymi tabelami zero-jedynkowymi zachodzą prawa de’Morgana.

Prawo de’Morgana dla sumy logicznej:
Y=a+b - funkcja logiczna
Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny:
~Y = ~a*~b
Oczywiście:
Y=~(~y)
stąd:
a+b = ~(~a*~b)

Identycznie wyprowadzamy prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego:
Y=a*b - funkcja logiczna
Negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny:
~Y = ~a+~b
Oczywiście:
Y=~(~Y)
stąd:
a*b = ~(~a+~b)

Widać jak na dłoni świętość przechodzenia z jednej tabeli do drugiej, czyli z sumy logicznej OR(+) na iloczyn logiczny AND(*) i odwrotnie.

Trzeba zanegować zmienne i wymienić operator !!!
Sama negacja zmiennych bez wymiany operatora to oczywisty gwałt na algebrze Boole’a !

Istota rozwalenia całej algebry Boole’a w zakresie AND(*) i OR(*)

a+b = ~(~a+~b) - negujemy zmienne, ale nie wymieniamy operatora na przeciwny
a*B = ~(~a*~b) - negujemy zmienne, ale nie wymieniamy operatora na przeciwny


3.0 Istota rozwalenia całej algebry Boole’a w zakresie operatorów implikacji => i ~>.

Zbudujmy identyczne tabele zero-jedynkowe dla operatorów implikacji => i ~> jak wyżej dla OR(+) i AND(*).

Definicja implikacji prostej =>:
p q p=>q = ~p+q
1 1 1
1 0 0
0 0 1
0 1 1

Definicja słowna za Macjanem bez żadnych innych warunków:
p=>q
Jeśli p to q

Oczywiście wyprowadzenie z tabeli zero-jedynkowej matematycznego wzoru implikacji prostej to absolutny trywiał:
p=>q = ~p+q

Definicja implikacji odwrotnej:
p q p~>q = p+~q
1 1 1
1 0 1
0 0 1
0 1 0

Definicja słowna za Macjanem bez żadnych innych warunków:
p~>q
Jeśli p to q

Słowne definicje są identyczne, ale matematyczne NIE. Matematyczne różnią się operatorami (tabelami zero-jedynkowymi), czyli na piśmie. To sytuacja identyczna jak z polskim „może” i „morze”. Słowne definicje są nieistotne, przecież według Macjana „świętością jest tabela zero-jedynkowa”

Pomiędzy powyższymi tabelami zero-jedynkowymi zachodzą prawa Kubusia, będące ścisłym odpowiednikiem praw de’Morgana dla operatorów OR(+) i AND(*), czyli negujemy zmienne i wymieniamy operator na przeciwny.

p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą

Zauważmy, że wyprowadzając prawa Kubusia możemy się posłużyć wyłącznie tabelami zero-jedynkowymi. Nie są tu potrzebna żadne zastrzeżenia typu warunek wystarczający (dla =>) czy też warunek konieczny (dla ~>), tak więc prawa Kubusia muszą obowiązywać także u Macjana i innych ekspertów KRZ.

Dowód 2.5.1
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną

[Eremita]

A co algebra Boole'a mówi na temat obsesji

[rafal3006]

Klegum, najpierw obal cokolwiek a dopiero później zabieraj głos .... Dla mnie algebra Boole'a jest pasjonująca. Z racji zawodowych siedzę w algebrze Boole'a non-stop od 30 lat.

Nie może być dwóch algebr Boole'a, albo Kubuś, albo KRZ ...

[Eremita]

Mi ta algebra nawet sie podoba, ale mam pewne zastrzeżenia formalne, o których już rozmawialiśmy.

robię sobie kpiny, bo setny wątek już załozyłeś w tej kwestii ;P

[rafal3006]

Setny wątek, ale w ciągu trzech lat ... Teraz to wszystko jest proste, ale przez pierwsze dwa lata to był horror, wiele razy chciałem to rzucić ... stąd tyle wątków. To chyba rekord świata, napisać 2000 postów na temat głupich sześciu zer i jedynej w definicji implikacji

[Eremita]

A nie mówiłem, że obsesja ;P

[rafal3006]

Zgoda że obsesja, ale taka średnia na razie zaledwie 3 lata. Edison chorował na to całe życie, chyba z tysiące różnych patentów ... Kiedyś czytałem w "Fokusie" że około 80% największysch wynalazców ludzkości nadawało sie do szpitala psychiatrycznego. Analizę przeprowadzono na podstawie życiorysów

[macjan]

Setny wątek z tym samym... Ja już napisałem wszystko, co miałem do napisania na ten temat. Ty zresztą też, kilkanaście wątków temu.

[rafal3006]