ŚFiNiA

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2425.html#711277

Czy Irbisol wyzwie od głupków wykładowcę logiki matematycznej dr hab. K.A. Wieczorka?

W przeszłości, w dyskusji ze mną zdarzało mu się coś w tym stylu:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/p-1-i-q-1-ale-p-q-0,10575-450.html#369345

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2425.html#711287

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2425.html#711301

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2425.html#711325

Kiedy Irbisol pojmie matematyczny sens ziemskiej implikacji?
.. w tym życiu, czy w następnym?

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2425.html#711347

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2425.html#711415

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2425.html#711423

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2450.html#711447

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2450.html#711449

Prawo Pantery

Wykład uzupełniający na poziomie akademickim:

Prawo Pantery:
W teorii zbiorów warunkiem koniecznym przynależności zdania warunkowego "Jeśli p to q" do operatora implikacyjnego jest, by suma logiczna zbiorów definiowanych w poprzedniku p i następniku q była mniejsza od przyjętej, wspólnej dziedziny.
p+q <D (dziedzina)

13.11.1 Dowód spełnienia prawa Pantery na przykładzie

Klasyka matematyki na poziomie szkoły podstawowej to dowodzenie twierdzenie prostego Pitagorasa (A1: TP=>SK) i twierdzenia odwrotnego Pitagorasa (B3: SK=>TP), co jest dowodem prawdziwości równoważności A1B3: TP<=>SK

Dowód spełnienia prawa Pantery:
Na przykładzie równoważności Pitagorasa TP<=>SK definiującej tożsamość zbiorów TP=SK.
Dziedzina dla równoważności Pitagorasa to:
ZWT = TP+~TP =1 - zbiór wszystkich trójkątów
TP - zbiór trójkątów prostokątnych
~TP - zbiór trójkątów nieprostokątnych

Równoważność Pitagorasa TP<=>SK dla trójkątów prostokątnych (TP):
Dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK =1 - wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest (=1) twierdzenie proste Pitagorasa (A1: p=>q)
B3: SK=>TP=1 - tylko wtedy, gdy prawdziwe jest (=1) twierdzenie odwrotne Pitagorasa (B3: q=>p)
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
To samo w zapisach formalnych:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Na mocy prawa Irbisa równoważność Pitagorasa TP<=>SK dla trójkątów prostokątnych definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK
To samo w zapisach formalnych:
p=q
Stąd w zbiorach mamy:
p+q = TP+SK = TP < ZWT=TP+~TP
Zbiór trójkątów prostokątnych TP jest mniejszy od zbioru wszystkich trójkątów ZWT, zatem prawo Pantery jest spełnione.
cnd

13.11.2 Dowód braku spełnienia prawa Pantery na przykładzie

Dowód braku spełnienia prawa Pantery na przykładzie:
Rozważmy dwa twierdzenia matematyczne:
T1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny TP to należy do zbioru wszystkich trójkątów ZWT
TP=>ZWT=1
Bycie trójkątem prostokątnym TP jest warunkiem wystarczającym => do tego, by należeć do zbioru wszystkich trójkątów
T2.
Jeśli w trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK) to należy on do zbioru wszystkich trójkątów
SK=>ZWT =1
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów jest warunkiem wystarczającym aby ten trójkąt należał do zbioru wszystkich trójkątów

Twierdzenia T1 i T2 są prawdziwe, ale nic z nich nie wynika.
W szczególności nie da się przy pomocy twierdzeń T1 i T2 udowodnić prawdziwości równoważności Pitagorasa TP<=>SK.

Wspólną dziedziną dla zdania T1 jest:
D=ZWT=1 - zbiór wszystkich trójkątów
Zauważmy, że po stronie poprzednika łatwo wyznaczamy zbiory niepuste p i ~p:
p=TP =1 - bo zbiór niepusty
~p=~TP=[ZWT-TP] =1 - bo zbiór niepusty
Natomiast po stronie następnika nie mamy zbiorów niepustych q i ~q:
Dowód:
q =[ZWT]=1 - niepusty (=1) zbiór wszystkich trójkątów
~q= [D-q] = [ZWT-ZWT] =[] =0 - zbiór pusty []
Warunek konieczny przynależności zdania T1 do jednego z pięciu operatorów implikacyjnych p|?q nie jest spełniony.

Definicja zbioru pustego [] (pkt. 12.2):
Zbiór pusty [] to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka lub jeszcze nie zdefiniowanych

Z definicji nie możemy operować na pojęciach których nie rozumiemy (np. agdsr, gsudka) dlatego nie będziemy w stanie przeanalizować zdania T1 przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
cnd

Wniosek:
Zdanie T1 jest prawdziwe, ale nie należy do żadnego z legalnych spójników implikacyjnych (|=>, |~>, <=>, |~~> - punkt 13.7)

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2450.html#711453

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2450.html#711475

2003-03-18
Przed chwilą zrobiłem piękny lifting algebry Kubusia
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kompendium-algebry-kubusia,21937.html#680049

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2450.html#711479

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2450.html#711547

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2450.html#711567

Czy Irbisol zdoła pojąć sens znaczka różne na mocy definicji ##?
Będący bułką z masłem (oczywistością) dla każdego inżyniera elektronika!

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2450.html#711581

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2450.html#711599

Czy Irbisol da sobie wytłumaczyć swój problem na przykładzie zrozumiałym dla 5-cio latka?
.. oto jest pytanie.

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2450.html#711643

Rozwiązanie problemu Irbisola na przykładzie
… mam nadzieję, że zrozumie.

Wszystko należy upraszczać jak tylko można, ale nie bardziej
Albert Einstein

Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach/zbiorach rozłącznych jest taka:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Natomiast definicja spójnika "albo"($) znana każdemu matematykowi, jak również 5-cio latkowi jest taka:
Y = p$q = p*~q + ~p*q
Stąd masz dokładnie twoje pytanie, ale sformułowane na przykładzie, który rozumie każdy 5-cio latek!

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2450.html#711665

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2450.html#711675

Najprostsze wyjaśnienie definicji znaczków # i ## na przykładzie funkcji jednoargumentowej
Z dedykacją dla Irbisola

Fragment z algebry Kubusia:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2022-09-01,21473.html#669587

1.5 Operatory jednoargumentowe w logice 5-cio latków

Znaczenie symboli Y i ~Y dla potrzeb prezentowanych dalej przykładów:
1.
Znaczenie symbolu Y:
1: Y - pani dotrzyma słowa
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
2: (Y=1)=(~Y=0)
stąd kolejny zapis tożsamy:
~Y=0 - fałszem jest (=0), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa

#
2.
Znaczenie symbolu ~Y:
2: ~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
2: (~Y=1)=(Y=0)
Stąd zapis tożsamy:
Y=0 - fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Y)
Innymi słowy:
Pani nie dotrzyma słowa.

W języku potocznym zachodzi tożsamość pojęć:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) = Pani skłamie (S)
~Y = S

Na mocy powyższego mamy:
1: Y # 2: ~Y
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (negator)

Ale!

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2475.html#711705

Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego!
Z dedykacją dla Irbisola

Fragment z AK:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kompendium-algebry-kubusia,21937.html#680043

1.15 Funkcje logiczne dwuargumentowe

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki).

Algebra Kubusia zawiera w sobie nową algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.

Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
3.
Ziemski rachunek zero-jedynkowy (fundament logiki matematycznej) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y algebry Boole’a, co udowodnimy za chwilkę w pkt. 13.1.1

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)

Przykłady:
Y=p+~p=1 – zdanie zawsze prawdziwe
Y=p*~p=0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

To samo w logice 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 – zdanie zawsze prawdziwe
Jutro pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 – zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y – stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości {0,1}

Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa

Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.
W szczególnym przypadku symbol w nagłówku kolumny może być stałą binarną - same jedynki lub same zera w kolumnie.

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2475.html#711711

Czy Irbisol jest w stanie zrozumieć poprawną logikę matematyczną?
Jest w stanie, jeśli nauczy się pływać na płytkiej wodzie tzn. zrozumie najpierw funkcje jednoargumentowe.
Niestety Irbisol jest upartym osiołkiem i nie chce o tym słyszeć, skacze go głębokiej wody np. spójnik "albo"($) vs równoważność p<=>q zupełnie nie rozumiejąc o co tu chodzi - a chodzi o funkcje logiczne Y i ~Y.

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2475.html#711719

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2475.html#711745

O konieczności wprowadzenia do logiki znaczków # i ##
Z dedykacją dla irbisola - prościej się nie da!

Irbisolu, mam nadzieję, że ten post przekona cię w temacie koniczności wprowadzenia do logiki matematycznej kluczowych tu pojęć.

Definicja logiki dodatniej (bo p):
Dowolna zmienna lub stała binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona.
Inaczej zmienna lub stała binarna wyrażona jest w logice ujemnej (bo ~p)

Przykład używany w tym poście:
Y - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
~Y - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)

Zmienne binarne w logice dodatniej i ujemnej wymuszają konieczność wprowadzenia do logiki matematycznej znaczków # i ##.

Dowód na przykładzie jest niżej.

1.6 Zadanko Kubusia dla funkcji jednoargumentowych

Zadanko Kubusia:
Dane są dwa zdania pań przedszkolanek z dwóch różnych przedszkoli A i B.

Pani w przedszkolu A:
A1.
Jutro pójdziemy do kina

Pani w przedszkolu B:
B1.
Jutro nie pójdziemy do kina

Treść polecenia:
Zapisz w funkcjach logicznych kiedy panie dotrzymają słowa a kiedy skłamią?

Rozwiązanie Jasia, ucznia I klasy LO w 100-milowym lesie.

Pani w przedszkolu A:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
#
.. a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie A1 stronami:
A2.
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)

Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

##

Pani w przedszkolu B:
B1.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie A1 dwustronnie.
~Y=~(~K)
~Y=K - na mocy prawa podwójnego przeczenie
Stąd mamy:
B2.
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)
~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1

Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Znaczenie zmiennej Y w standardzie dodatnim:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)

Zapiszmy dialogi pań z przedszkola A i B w tabeli prawdy:

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2475.html#711769

[rafal3006]

http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2475.html#711829