ŚFiNiA

[rafal3006]

Dowodzenie twierdzeń w algebrze Kubusia!

[fiklit]

Znowu kłamiesz

[rafal3006]

[fiklit]

chodzi mi o

[rafal3006]

[fiklit]

Ciągle kłamiesz z tym iterowaniem.

[idiota]

Może on po prostu cały cas nie kuma podstawowych kwestii?
Przecież urocze są te fantazje jak to kiedyś przekona kogoś do swoich pomysłów kiedy nie ma pojęcia jak mówić, żeby go ktokolwiek zrozumiał i nie chce się za nic nauczyć, bo cośtam...

[rafal3006]

Algebra Kubusia dla LO

Spis treści
1.0 Notacja 1
2.0 Algebra zbiorów 1
2.1 Definicja definicji 2
2.2 Podstawowe operacje na zbiorach 3
2.3 Znaczenie przecinka w algebrze zbiorów 4
2.4 Aksjomatyka algebry zbiorów 5
2.5 Relacje zbiorów 8
2.5 Właściwości relacji zbiorów 10
3.0 Algebra Kubusia w przykładach 11
3.1 Elementy zbioru czworokątów 12
3.2 Wyznaczanie definicji minimalnej 15
3.2 Logika symboliczna 18
3.3 Dowodzenie twierdzeń w algebrze Kubusia 21
3.4 Definicja prostokąta w tabeli zero-jedynkowej 21
3.5 Twierdzenie Pitagorasa 23


1.0 Notacja

„i”(*) - spójnik „i” z naturalnej logiki człowieka, iloczyn logiczny zbiorów
„lub”(+) - spójnik „lub” z naturalnej logiki człowieka, suma logiczna zbiorów


2.0 Algebra zbiorów

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady:
Pies, miłość, krasnoludek, zbiór liczb naturalnych, zbiór wszystkich zwierząt ...

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Żaden człowiek nie jest w stanie wyjść poza swoje Uniwersum, bo definiując nowe pojęcie automatycznie wprowadza je do Uniwersum a jak zapomina, to usuwa.

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć mający swoją nazwę własną rozumianą przez człowieka

Budowa zbioru:
C = [M, K]
C - zbiór człowiek (nazwa zbioru)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
[x] - zawartość zbioru, elementy zbioru rozdzielamy przecinkami
Nazwa zbioru „człowiek” jest zrozumiała przez każdego człowieka, dlatego ten zbiór należy do Uniwersum

Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty, zawierający przynajmniej jeden element
[] =0 - zbiór pusty, zawierający zero elementów


2.1 Definicja definicji

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Żaden człowiek nie jest w stanie wyjść poza swoje Uniwersum, bo definiując nowe pojęcie automatycznie wprowadza je do Uniwersum a jak zapomina, to usuwa.

Definicja definicji:
Definicja to zbiór cech jednoznacznie opisujących obiekt w skali Uniwersum

Definicja minimalna:
Definicja jest definicją minimalną wtedy i tylko wtedy gdy usuwając dowolną cechę z definicji powodujemy jej niejednoznaczność w obszarze Uniwersum

Matematycznie, dopisywanie do dowolnej definicji cech wspólnych z innymi obiektami jest dozwolone ale nic nie wnosi do definiowanego pojęcia, taka definicja traci status definicji minimalnej
Do definicji można też dodać dowolną ilość zanegowanych śmieci, czyli cech nie mających nic wspólnego z definiowanym pojęciem

Definicja minimalna psa:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P = SZ*P
To jest definicja minimalna bo usuwając dowolną jej cechę powodujemy jej niejednoznaczność w skali Uniwersum

Definicja nieminimalna psa to:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka, mające ogon, cztery łapy, nie będące samochodem, nie będące krasnoludkiem …
P=CZ*P*OG*4L*~S*~K ….

Prawo Koguta:
Dla każdego pojęcia które człowiek rozumie istnieje definicja minimalna, czyli jednoznaczna w skali Uniwersum z której usunięcie dowolnego członu powoduje niejednoznaczność tego pojęcia w skali Uniwersum.
Przykład wyżej.

Podstawowa cecha definicji:
Dowolna definicja musi być równoważnościowa, czyli jednoznaczna w całym Uniwersum

Definicja najmniejszej możliwej dziedziny:
Najmniejsza możliwa dziedzina = dziedzina minimalna

Dowód:
U*Pies = Pies


2.2 Podstawowe operacje na zbiorach

I.
Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]+[3,4,5,6]=[1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty

II.
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Zbiór wynikowy pusty oznacza rozłączność zbiorów p i q
Y =[] =0 - w przypadku zbiorów rozłącznych
Przykład:
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4,5,6] =1 - bo zbiór niepusty
r=[5,6,7,8] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2,3,4]*[3,4,5,6]=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*r=[1,2,3,4]*[5,6,7,8] =[] =0 - bo zbiór pusty

III.
Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p=[1,2,3,4] =1 - bo zbiór niepusty
q=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p-q = [1,2,3,4]-[3,4] =[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
Y=q-p =[3,4]-[1,2,3,4]=[] =0 - bo zbiór pusty

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy pod warunkiem że wybrany zbiór ma swoją nazwę własną rozumianą przez człowieka.
Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia. Ograniczeniem dolnym w definiowaniu dziedziny jest zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum.

IV.
Zaprzeczenie zbioru (~):
Zaprzeczeniem zbioru nazywamy uzupełnienie zbioru do dziedziny
Przykład:
p=[1,2] - definiujemy zbiór
D=[1,2,3,4] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[3,4]

Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie
p<=>~p = (p=>~p)*(~p=>p)
Gdzie:
~p - zaprzeczenie pojęcia p do dziedziny D

Przykład 1.
C=[M, K]
C- zbiór człowiek (nazwa zbioru)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
C - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek
Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru człowiek wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% będzie to kobieta (K=1)
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% będzie to mężczyzna (M=1)

Przykład 2
Zdefiniujmy zbiór p
p=[LN, pies, miłość, krasnoludek]
LN=[1,2,3,4,5,6,7..] - zbiór liczb naturalnych
Nie ma definicji pojęcia p w żadnym języku mówionym świata.
Jest natomiast to:
R=[LN+~LN] - zbiór liczb rzeczywistych
ZWZ=[pies+~pies] - zbiór wszystkich zwierząt
ZU=[miłość+~miłość] - zbiór uczuć
ZT=[krasnoludek+~krasnoludek] - zbiór trolli typu krasnoludki, gumisie, smerfy …

Wniosek:
Pojęcie p nie należy do Uniwersum człowieka mimo iż poszczególne elementy zbioru p są dla niego zrozumiałe.


2.3 Znaczenie przecinka w algebrze zbiorów

Definicja:
Przecinek rozdzielający elementy w dowolnym zbiorze to spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, będący matematycznie sumą logiczną zbiorów.

Matematycznie zachodzi tożsamość:
(,) = „lub”(+)

Zobaczmy to na podstawowych operacjach na zbiorach:

I.
Suma logiczna
[1+2]+[1+3] = [1+2+1+3] = [1+2+3] - to jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Prawo powielania/redukcji elementów w zbiorze
p=p+p
stąd:
1+1=1

II.
Iloczyn logiczny
[1+2]*[1+3] = 1*1 + 1*3 + 2*1 + 2*3 = 1+[]+[]+[] =1 - to też jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
p=p*p
stąd:
1*1=1
Przykładowe pojęcia (zbiory jednoelementowe) 1 i 3 są rozłączne, stąd:
1*3=[]

III.
Różnica logiczna
[1+2+3]-[2+3] = 1+2+3-2-3 =1+[2-2]+[3-3] = 1+[]+[] = 1
[2+3]-[1+2=3] = 2+3 -1-2-3 = []+2+3-1-2-3 = [[]-1] +[2-2]+[3-3] = []+[]+[] =[]
W ostatnim równaniu skorzystaliśmy z neutralności zbioru pustego [] w sumie logicznej dokładając zbiór pusty [] do sumy logicznej
Wyjaśnienie:
[]-1 =[] - jeśli ze zbioru pustego usuniemy dowolny element to zbiór pusty dalej pozostanie pusty.
Alternatywa:
Wszelkie elementy ze znakiem minus które pozostaną po wykonaniu operacji odejmowania z definicji zamieniamy na zbiór posty [].
[2+3]-[1+2+3] = 2+3 -1-2-3 = 2+3-1-2-3 = -1 +[2-2]+[3-3] = -1+[]+[] =[]+[]+[] =[]


2.4 Aksjomatyka algebry zbiorów

Różnica między algebrą klasyczną gdzie chodzi o wykonywanie operacji algebraicznych na liczbach a algebrą zbiorów, gdzie chodzi o rozpoznawalność pojęć w zbiorze jest fundamentalna.
Porównajmy:
2+2 =4 - algebra klasyczna (+ - znak dodawania algebraicznego)
2 „lub”(+) 2 =2 - teoria zbiorów (+ - suma logiczna zbiorów, spójnik „lub”(+))
2*2=4 - algebra klasyczna (* - znak mnożenia algebraicznego)
2 „i”(*) 2 =2 - teoria zbiorów (* - iloczyn logiczny zbiorów, spójnik „i”(*))

Kolizja znaczków jest tu ewidentna ale nieszkodliwa, bowiem algebra klasyczna jest rozłączna z teorią zbiorów, czyli możemy operować albo w doskonale nam znanej algebrze klasycznej, albo w algebrze zbiorów - nie ma tu ani jednego punktu wspólnego.
W całym niniejszym podręczniku znaczki „*” i „+” mają jedno i tylko jedno znaczenie:
„lub”(+) - suma logiczna zbiorów, spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka
„i”(*) - iloczyn logiczny zbiorów, spójnik „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka

Wynika z tego, że nasze cyfry [1,2,3,4,5…] to nie są cyfry na których można wykonać jakąkolwiek klasyczną operację arytmetyczną typu dodawanie/odejmowanie algebraiczne.
Cyfry [1,2,3,4,5…] to symbole [jeden, dwa ,trzy, cztery, pięć …] jednoznacznie zdefiniowane w całym Uniwersum, to po prostu zbiory jednoelementowe [1,2,3,4,5..] które nie mają absolutnie nic wspólnego z jakąkolwiek klasyczną operacją arytmetyczną. Jakiekolwiek dodawanie/mnożenie algebraiczne tych symboli to z punktu widzenia teorii zbiorów błąd czysto matematyczny.

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to algebra zbiorów w której chodzi o rozpoznawalność pojęć z obszaru Uniwersum, a nie o jakiekolwiek działania algebraiczne na elementach dowolnego zbioru.

Wspólne są jednak niektóre właściwości obu algebr co zaznaczymy w opisie właściwości algebry zbiorów.

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Zobaczmy na przykładzie o co chodzi w teorii zbiorów:
K=[kino] - pojęcie „kino”, zbiór jednoelementowy „kino”
T=[teatr] - pojęcie „teatr”, zbiór jednoelementowy „teatr”
A1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru i do teatru
Y=K+T*T
Prawo powielania/redukcji elementów połączonych spójnikiem „i”(*):
p=p*p
Stąd zdanie tożsame:
A2.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
A1: K+T*T = A2: K+T

B1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru lub do teatru
Y = K+T+T
Prawo powielania/redukcji elementów zbioru połączonych spójnikiem „lub”(+):
p=p+p
Stąd zdanie tożsame:
B2.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
B1: K+T+T = B2: K+T

Właściwości algebry zbiorów:
1.
Prawo powielania/redukcji dowolnego elementu w zbiorze
Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
p*p =p
p+p =p

2.
Pochłanianie w algebrze zbiorów
Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
Dla zbiorów rozłącznych p i ~p uzupełniających się wzajemnie do dziedziny D zachodzi:
p+~p =D =1
p*~p =[] =0
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
U = uniwersum, wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka
p - pewien zbiór p
Obliczmy zaprzeczenie zbioru p:
~p=[U-p]
stąd mamy:
p+~p = p+[U-p] = [p+U-p] =U =1
p*~p = p*[U-p] = [p*U-p*p] =[p-p] =[] =0

3.
Łączność w algebrze zbiorów
Cechy identyczne jak w algebrze klasycznej
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r) = (p*q)*r

4.
Przemienność w algebrze zbiorów
Cechy identyczne jak w algebrze klasycznej
p+q = q+p
p*q = q*p

5.
Rozdzielność w algebrze zbiorów
5a.
p*(q+r) = p*q+p*r - cecha identyczna jak w algebrze klasycznej
5b.
p+(q*r) = (p+q)*(p+r) - to jest coś innego niż algebra klasyczna
Dowód ostatniego równania:
L=(p+q)*(p+r) = p*p + p*r+p*q + q*r
L=p+p*r+p*q+q*r
L=p*1+p*r+p*q+q*r
L=p*(1+r+q)+q*r
L=p*1+q*r
L=p+(q*r)
cnd
Wyjaśnienie.
Dziedzina:
D=1 zbiór pełny, zawierający w sobie wszelkie zbiory w równaniu zbiorów
Stąd mamy tożsamość:
p*(1+q+r) = p*(D+q+r) = p*D =p

6.
Absorpcja w algebrze zbiorów
Brak odpowiednika w algebrze klasycznej
6a.
p+ p*q =q
Dowód:
p+ p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wyjaśnienie.
D=1 zbiór pełny, zawierający w sobie wszelkie zbiory w równaniu zbiorów
Stąd mamy tożsamość:
p*(1+q) = p*(D+q) = p*D =p
bo:
D+ q=D
p*D=p
6b.
p*(p+q) =p
Dowód:
p* (p+q) = p*p+p*q = p+p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*(D+q) = p*D =p
gdzie:
D=1 - zbiór pełny, zawierający w sobie wszystkie zbiory w równaniu zbiorów
cnd


2.5 Relacje zbiorów

Zdanie warunkowe to zdanie ujęte w spójnik „Jeśli .. to...”:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q” w teorii zbiorów:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może opisywać trzy i tylko trzy relacje między zbiorami zdefiniowanymi w poprzedniku p i następniku q
p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (= warunek wystarczający =>)
p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (= warunek konieczny ~>)
p~~>q=p*q =1 - zbiór p ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem q (= kwantyfikator mały ~~>)

Definicja podzbioru =>:
Jeśli każdy element zbioru p należy do zbioru q to mówimy iż zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i zapisujemy
p=>q

Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q
Matematycznie:
Warunek wystarczający => = definicja podzbioru =>
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Innymi słowy:
Jeśli wylosuję dowolny element ze zbioru p to ten element na 100% będzie w zbiorze q

Przykład 1.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń, koń..]
Wymuszam dowolnego psa i ten pies na 100% będzie w zbiorze zwierząt z czterema łapami

Definicja nadzbioru ~>:
Jeśli zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q to mówimy iż zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i zapisujemy
p~>q

Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q
Matematycznie:
Warunek konieczny ~> = definicja nadzbioru ~>
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
Zabieram wszystkie p i znika mi q

Przykład 2.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór 4L=[pies, słoń, koń..] jest nadzbiorem zbioru P=[pies].
Zabieram zbiór 4L=[pies, słoń, koń..] i znika mi zbiór P=[pies]

Definicja kwantyfikatora małego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Definicja kwantyfikatora małego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny.

Przykład 3.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P = 4L*~P =1 bo słoń
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo zbiór 4L=[pies, słoń, koń…] i ~P=[słoń, koń, kura, wąż ..] mają co najmniej jeden element wspólny.

Podstawowa definicja tożsamości zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q (i odwrotnie)
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)

Prawa strona to definicja równoważności, stąd:
Każda tożsamość zbiorów (pojęć) to równoważność
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Rozszerzona definicja tożsamości zbiorów:
Zbiory p i q są tożsame jeśli istnieją przekształcenia czysto matematyczne zbiorów prowadzące do spełnienia definicji podstawowej tożsamości zbiorów.

Przykład 4.
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8..] - zbiór liczb naturalnych
LN-2 - zbiór LN pomniejszony o element 2
LN=[LN-2, 2]
Prawa strona:
[LN-2+2]=LN
cnd


2.5 Właściwości relacji zbiorów

I Prawo Smoka:
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q to iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy p
p=>q =[p*q=p]
Wynika z tego że tożsamy zapis następnika q to:
q=[p+ reszta]
Podstawiając do warunku wystraczającego mamy:
p=>q
p=>(p+ reszta)
p=>[p, reszta]
Wynika z tego iż zbiór p jest zarówno podzbiorem => zbioru q jak i elementem zbioru q
q=[p+ reszta] = [p, reszta]

Wnioski z I prawa Smoka:
p=>q - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p=>[p, reszta]
Jeśli [reszta] jest zbiorem pustym to zachodzi tożsamość zbiorów:
p=q
Jeśli [reszta] jest zbiorem niepustym to zachodzi implikacja prosta p|=>q o definicji:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]

II prawo Smoka:
Jeśli zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q to iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy q
p~>q = [p*q=q]
Wynika z tego że tożsamy zapis poprzednika p to:
p=[q+ reszta]
Podstawiając do warunku koniecznego ~> mamy:
p~>q
[q+ reszta]~>q
[q, reszta] ~> q
Wynika z tego że zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p=[q+ reszta] = [q, reszta]

Wnioski z II prawa Smoka:
p~>q - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
[q, reszta] ~> q
Jeśli [reszta] jest zbiorem pustym to zachodzi tożsamość zbiorów:
p=q
Jeśli [reszta] jest zbiorem niepustym to zachodzi implikacja odwrotna p|~>q o definicji:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]


3.0 Algebra Kubusia w przykładach

Idealnym poletkiem do zaprezentowania działania algebry Kubusia w praktyce są definicje czworokątów, poprawne matematycznie definicje czworokątów, a nie to badziewie prezentowane w podręczniku matematyki do 6 klasy szkoły podstawowej.
Wystarczą nam tu zaledwie cztery definicje: czworokąta, prostokąta, kwadratu, prostokąta nie będącego kwadratem PNK, Rombu

Definicja pojęcia:
Definicja dowolnego pojęcia to iloczyn logiczny cech tego pojęcia jednoznacznie wyróżniający je w skali Uniwersum
Przykład:
Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie boki równe i wszystkie kąty proste
KW = CZ*BR*KP

Definicja definicji:
Matematyczna definicja dowolnego pojęcia musi być jednoznaczna w całym Uniwersum.
Uniwersum - wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka
To jest pierwsze i ostatnie kryterium rozstrzygania o poprawności definicji czegokolwiek.

Definicja zbioru czworokątów:
Zbiór czworokątów to wielokąty o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych
CZ - zbiór wszystkich czworokątów

Z prawa rozpoznawalności pojęcia wynika, że jeśli wiemy co to jest zbiór czworokątów CZ to musimy znać zaprzeczenie tego zbioru

Przyjmijmy dziedzinę:
Uniwersum - wszelkie pojęcia rozpoznawalne przez człowieka

Dla dziedziny U mamy:
~CZ = [U-CZ] - wszelkie pojęcia nie będące czworokątami
~CZ = [trójkąt, pięciokąt, koło, pies, kura …]

Zauważmy, że jeśli operujemy w dziedzinie:
Dziedzina: CZ - zbiór wszystkich czworokątów
To wszelkie pojęcia spoza tego zbioru będą zbiorem pustym
Dowód:
CZ*~CZ = CZ*[U-CZ] =[] =0 - zbiór pusty

Najogólniej czworokąty dzielimy na regularne (mające cechy ułatwiające obliczenia np. równoległość boków) i nieregularne (nie mające wspomnianych cech)

Prawo Krokodyla:
Warunkiem koniecznym tworzenia dowolnych zbiorów w naszym Wszechświecie są precyzyjne, czyli jednoznaczne w całym Uniwersum, definicje elementów wchodzących w skład zbioru

Prawo Krokodyla jest oczywistością bo nie możemy tworzyć zbioru z elementów niezdefiniowanych
Przykład:
p = [wjshs, gdkau, agstej ..] - taki zbiór jest nonsensem


3.1 Elementy zbioru czworokątów

Elementy zbioru wszystkich czworokątów to:
1.
Czworokąt nieregularny:


Czworokąt nieregularny (CZN) to wielokąt o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych nie będący którymkolwiek czworokątem regularnym
CZN = CZ*~(Kwadrat +Prostokąt +Romb +Równoległobok +Trapez +Deltoid)
Po zastosowaniu prawa De Morgana mamy:
CZN = CZ*~Kwadrat*~Prostokąt*~Romb*~Równoległobok*~trapez*~Deltoid
Definicja czworokąta nieregularnego jest unikalna w skali Uniwersum, zatem spełnia definicję definicji.

Wszystkie następne czworokąty są czworokątami regularnymi tzn. mają pewne cechy ułatwiające wszelkie obliczenia np. równoległość boków.

2.
Definicja kwadratu:



Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe
KW = CZ*KP*BR
gdzie:
KW - kwadrat
CZ - zbiór wszystkich czworokątów
KP - wszystkie kąty proste
BR - wszystkie boki równe
Definicja kwadratu jest unikalna w skali Uniwersum, zatem spełnia definicję definicji.

3.
Definicja prostokąta nie będącego kwadratem PNK:


Definicja prostokąta nie będącego kwadratem PNK:
Prostokąt nie będący kwadratem PNK to czworokąt mający wszystkie kąty proste i nie wszystkie boki równe
PNK = CZ*KP*~BR
gdzie:
PNK - prostokąt nie będący kwadratem
CZ - zbiór wszystkich czworokątów
KP - wszystkie kąty proste
~BR - nie wszystkie boki równe
Definicja prostokąta jest unikalna w skali Uniwersum, zatem spełnia definicję definicji.

4.
Definicja rombu:


Definicja rombu:
Romb to czworokąt mający wszystkie boki równe i nie wszystkie kąty proste
ROMB = CZ*BR*~KP
gdzie:
ROMB - romb
CZ - zbiór wszystkich czworokątów
BR - wszystkie boki równe
~KP - nie wszystkie kąty proste
Definicja rombu jest unikalna w skali Uniwersum, zatem spełnia definicję definicji.

Definicja prostokąta
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste
PR = CZ*KP

W całym Uniwersum mamy zaledwie dwa czworokąty spełniające tą definicję, to kwadrat i prostokąt nie będący kwadratem PNK





Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe
KW = CZ*KP*BR

Definicja prostokąta nie będącego kwadratem PNK:
Prostokąt nie będący kwadratem to czworokąt mający wszystkie kąty proste i nie wszystkie boki równe
PNK = CZ*KP*~BR

Zbiór wszystkich możliwych prostokątów PR to suma logiczna kwadratu KW i prostokąta nie będącego kwadratem PNK
PR = KW+PNK
Po podstawieniu definicji szczegółowych mamy:
PR = CZ*KP*BR + CZ*KP*~BR
PR = CZ*KP*(BR+~BR) = CZ*KP*CZ = CZ*KP
bo:
CZ - dziedzina, zbiór wszystkich czworokątów
CZ = BR+~BR

Drabinkę zależności wszystkich poznanych wyżej pojęć doskonale opisuje diagram prostokątów.



W zbiorze prostokątów mamy dwa czworokąty KW i PNK o precyzyjnych definicjach.
Zbiór wszystkich prostokątów opisuje równanie:
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste
PR = CZ*KP
Jednak definicje KW i PNK w zbiorze prostokątów muszą pozostać niezmienione, bowiem matematyka nie ma prawa zmieniać zastanej rzeczywistości, może wyłącznie ją opisywać.

Zbiory KW i PNK są rozłączne co łatwo udowodnić badając iloczyn logiczny tych zbiorów:
KW*PNK = (CZ*KP*BR)*(CZ*KP*~BR) = [] =0
bo: BR*~BR = [] =0
cnd


3.2 Wyznaczanie definicji minimalnej

Prawo Koguta:
Dla każdego pojęcia które człowiek rozumie istnieje definicja minimalna, czyli jednoznaczna w skali Uniwersum z której usunięcie dowolnego członu powoduje niejednoznaczność tego pojęcia w skali Uniwersum.

Prawo Kury:
Nie istnieje minimalna dziedzina w sensie absolutnym.

Dziedzina minimalna jest nierozerwalnie związana z definiowanym pojęciem, czyli nie istnieje dziedzina minimalna nie związana z definiowanym pojęciem.

Algorytm wyznaczania dziedziny minimalnej:
1.
Definiujemy pojęcie x dochodząc do definicji minimalnej i jednoznacznej w skali Uniwersum
2.
Maksymalną dziedzinę dla pojęcia x zdefiniowanego jednoznacznie w Uniwersum określa równanie algebry Boole’a:
U = x+~x
stąd:
~x = [U-x]
3.
Dziedzina minimalna D to najmniejszy możliwy podzbiór Uniwersum w którym ~x da się jednoznacznie wyznaczyć przy pomocy x-a z równania:
~x = [D-x]

Koronny przykład.

Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe
KW = CZ*KP*BR
mamy tu nasze x=KW jednoznacznie zdefiniowane w obszarze Uniwersum

Pewne jest że matematycznie zachodzi:
~x = ~KW = [U-KW]
Innymi słowy:
Nie kwadrat ~KW to wszelkie możliwe pojęcia z obszaru Uniwersum z wykluczeniem kwadratu, czyli: prostokąt nie będący kwadratem, romb, koło, krasnoludek, miłość etc

Oczywistym jest że dziedzina Uniwersum nas tu nie zadowala.
Próbujemy zawęzić dziedzinę.
Samo nasuwającą się dziedziną jest zbiór wszystkich czworokątów, przecież kwadrat jakby nie patrzeć to czworokąt.
Ale Uwaga!
W rozumieniu że kwadrat jest podzbiorem => wszystkich czworokątów
KW=>CZ =1
a nie że:
KW=CZ - to jest czysto matematyczny błąd

Przyjmujemy zatem:
D (dziedzina) = CZ - zbiór wszystkich czworokątów

Obliczamy pojęcie ~x=~KW w naszej nowej dziedzinie:
~x = ~KW = [CZ-KW]
Wszystko co nie jest kwadratem w naszej dziedzinie czworokątów CZ to: prostokąt nie będący kwadratem PNK, romb, równoległobok, deltoid, trapez etc

Zatem dupa z króla.
Nie uzyskaliśmy jednoznaczności pojęcia ~x = ~KW, zatem na 100% zbiór wszystkich czworokątów nie jest dziedziną minimalną dla naszego kwadratu x=KW=CZ*KP*BR

Idziemy do kolejnego etapu poszukiwania dziedziny minimalnej.
Eureka!
Przecież każdy kwadrat ma wszystkie kąty proste, zatem dziedziną dla kwadratu może być zbiór wszystkich prostokątów
PR = CZ*KP
Obliczamy pojęcie ~x dla nowej dziedziny:
~x=~KW = [PR-KW] = [CZ*KP - CZ*KP*BR]
1. ~KW = CZ*KP - CZ*KP*BR
Zauważmy że dowolny zbiór możemy pomnożyć logicznie przez dziedzinę D i ten zbiór się nie zmieni:
D*x=x
Dziedzinę możemy rozpisać jako sumę logiczną dowolnego pojęcia plus tego samego pojęcia zanegowanego.
Ponieważ w definicji kwadratu KW=CZ*KP*BR mamy BR a dokładnie tego pojęcia brakuje nam w naszej aktualnej dziedzinie PR=CZ*KP to pomnóżmy logicznie zbiór CZ*KP przez taką dziedzinę:
D=BR+~BR
Stąd mamy
CZ*KP = CZ*KP*D = CZ*KP*(BR+~BR)
CZ*KP = CZ*KP*BR + CZ*KP*~BR
podstawiając do 1 mamy:
~KW = CZ*KP*BR+CZ*KP*~BR - CZ*KP*BR
~KW = CZ*KP*~BR
Doskonale widać, że na placu boju pozostało nam jedno pojęcie o definicji CZ*KP*~BR
EUREKA!
Oczywistym jest, że jest do definicja doskonale znanego wszystkim prostokąta, który ojciec logiki matematycznej ziemian nazwał dla niepoznaki prostokątem nie będącym kwadratem PNK.

Matematycznie zachodzi zatem:
PNK = ~KW = CZ*KP*~BR

Uwaga!
Bezdyskusyjnie doszliśmy tu do jednoznaczności pojęć zarówno x=KW jak i ~x=PNK

Stąd mamy jak na dłoni dziedzinę minimalną:
D = PR = KW+~KW = CZ*KP*BR+CZ*KP*~BR = CZ*KP*(BR+~BR) = CZ*KP
Dziedzina minimalna dla pojęcia x=KW to zbiór wszystkich prostokątów o definicji PR=CZ*KP

Zapiszmy precyzyjnie wszystkie wyprowadzone definicje.

Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe
KW = CZ*KP*BR

Definicja prostokąta nie będącego kwadratem PNK:
Prostokąt nie będący kwadratem PNK to czworokąt mający wszystkie katy proste i nie wszystkie boki równe
PNK=CZ*KP*~BR

Definicja prostokąta:
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste
PR = CZ*KP

Matematycznie zachodzi:
PR = KW+PNK
podstawiając definicje szczegółowe mamy:
PR = CZ*KP*BR + CZ*KP*~BR = CZ*KP*(BR+~BR) = CZ*KP

Jak widzimy,
Wszystko gra i buczy


3.2 Logika symboliczna

Algebra Kubusia jest logiką symboliczną, izolowaną od wszelkich liczb znanych człowiekowi.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka

Żaden człowiek nie jest w stanie wyjść poza swoje Uniwersum, bo definiując nowe pojęcie automatycznie wprowadza je do Uniwersum a jak zapomina, to usuwa.

Definicja definicji:
Definicja to zbiór cech jednoznacznie opisujących obiekt w skali Uniwersum

Definicja kwadratu:
kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty proste i wszystkie boki równa
KW=CZ*KP*BR

Definicja prostokąta nie będącego kwadratem PNK:
Prostokąt nie będący kwadratem to czworokąt mający wszystkie kąty proste i nie wszystkie boki równe
PNK = CZ*KP*~BR

Definicja prostokąta:
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste
PR = CZ*KP

W całym naszym Wszechświecie są zaledwie dwa takie czworokąty stąd:
PR = KW+PNK
PR = CZ*KP*BR + CZ*KP*~BR
PR = CZ*KP*(BR+~BR) = CZ*KP*CZ = CZ*KP
bo:
CZ = BR+~BR - dziedzina, zbiór wszystkich czworokątów

Drabinkę zależności wszystkich poznanych wyżej pojęć doskonale opisuje diagram prostokątów.




W zbiorze prostokątów mamy dwa czworokąty KW i PNK o precyzyjnych definicjach.
Zbiór wszystkich prostokątów opisuje równanie:
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste
PR = CZ*KP
Jednak definicje KW i PNK w zbiorze prostokątów muszą pozostać niezmienione, bowiem matematyka nie ma prawa zmieniać zastanej rzeczywistości, może wyłącznie ją opisywać.

Zbiory KW i PNK są rozłączne co łatwo udowodnić badając iloczyn logiczny tych zbiorów:
KW*PNK = (CZ*KP*BR)*(CZ*KP*~BR) = [] =0
bo: BR*~BR = [] =0
cnd

Wyobraźmy sobie że mamy w koszyku dwa kwadraty:
[2,2], [3,3]
oraz dwa prostokąty PNK:
[2,3], [2,4]
Zauważmy że:
Konkretne długości boków tych czworokątów nie mają nic do definicji kwadratu KW i prostokąta PNK

Nie ma w całym naszym Wszechświecie ani jednej definicji która brudziła by sobie ręce cyferkami, duperelkami.

Na podstawie naszego diagramu mamy tak:
kwadrat [2,2] jest podzbiorem => wszystkich kwadratów KW=CZ*KP*BR
kwadrat [3,3] jest podzbiorem => wszystkich kwadratów KW=CZ*KP*BR
Kwadrat KW=CZ*KP*BR jest podzbiorem => grupy prostokątów PR=CZ*KP*BR+CZ*KP*~BR

Prostokąt PNK [2,3] jest podzbiorem => wszystkich PNK=CZ*KP*~BR
Prostokąt PNK [2,4] jest podzbiorem => wszystkich PNK = CZ*KP*~BR
Prostokąt PNK=CZ*KP*~BR jest podzbiorem => grupy prostokątów PR=CZ*KP*BR + PR*KP*~BR

Pytanie 1.
Ile jest kwadratów: KW=CZ*KP*BR w grupie prostokątów PR=CZ*KP*BR + CZ*KP*~BR
Poprawna odpowiedź: na poziomie symbolicznym JEDEN!

Pytanie 2.
Ile jest prostokątów PNK: PNK=CZ*KP*~BR w grupie prostokątów PR=CZ*KP*BR + CZ*KP*~BR
Poprawna odpowiedź: na poziomie symbolicznym JEDEN!

Matematycznie zachodzi:
[2,2] ## [3,3]
## - różne na mocy definicji
Nie ma jednak na świecie żadnej definicji która by się zajmowała cyferkami, duperelkami.

Kolejne pytanie:
Czy twierdzenie Pitagorasa mamy podane w cyferkach czy w symbolach.
W cyferkach TP będzie takie:
[3,4,5] => trójkąt prostokątny
[5,12,13] => trójkąt prostokątny
itd.
Co z tego ze zachodzi:
[3,4,5] ## [5,12,13]
## - różne na mocy definicji
Skoro to jest ewidentna gówno-matematyka.

Zajrzyjmy do Wikipedii:
[link widoczny dla zalogowanych]

[rafal3006]

...

[rafal3006]

[fiklit]

Czyli "kwadrat" to już nie figura geometryczna, tylko zbiór KW?

[rafal3006]

[fiklit]

Co to jest czworokąt?

[rafal3006]

[fiklit]

Co to jest wielokąt?

[rafal3006]

[fiklit]

A płaszczyzna? Z czego się składa?

[rafal3006]

[fiklit]

Czyli jeśli
PR=KW+PNK to KW=>PR czyli każdy kwadrat jest prostokątem
Zatem mając
PL = KW+~KW
czyli KW=>PL
czyli każdy kwadrat jest płaszczyzną?

[Michał Dyszyński]

[rafal3006]

[rafal3006]

[Taz]

[Michał Dyszyński]

[fiklit]

"Ściśle matematycznie to zdanie powinno brzmieć:
Każdy kwadrat jest podzbiorem => wszystkich prostokątów (grupy prostokątów) "
Ale co to jest ten "kwadrat"?
Chodzi o "każdy konkretny kwadrat, czyli każdą figurę geomtryczną odpowiedniego kształtu, czyli każdą cześć płaszczyzny odpowiedniego kształtu",
czy też o ten jeden kwadrat - pojęcie, zbiór wszystkich kwadratów?