ŚFiNiA

[rafal3006]

Istota implikacji:
Jest gwarancja - jest implikacja
Nie ma żadnej gwarancji - nie ma implikacji
Gwarancja = warunek wystarczający w implikacji


Elementarz algebry Boole’a
Teoria implikacji prostej i odwrotnej

Części:
Część I Fundamenty algebry Boole'a
Część II Teoria implikacji prostej i odwrotnej 1
Część III Teoria implikacji prostej i odwrotnej 2
Część IV Wojna o implikację
Część V Matematyczne fundamenty logiki człowieka
Część VI Tajemnice implikacji


Część V
Matematyczne fundamenty logiki człowieka


Autor: Kubuś

Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Irbisol (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), WujZbój (sfinia)

Wielkie dzięki !

Szczególne podziękowania WujowiZbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.

Spotkało się czterech odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.


Spis treści:

1.0 Notacja
2.0 Nieznane fundamenty algebry Boole’a
2.1 Logika dodatnia i ujemna
2.2 Matematyczne operatory logiczne
2.3 Logika dodatnia i ujemna w zdaniach
2.4 Katastrofalne skutki nie odróżniania logiki dodatniej od logiki ujemnej
2.5 Mechanizm tworzenia idiotyzmów w algebrze Boole'a

3.0 Matematyczne fundamenty logiki człowieka
3.1 Definicja implikacji prostej
3.2 Definicja implikacji odwrotnej
3.3 Prawa Kubusia
3.4 Rodzaje implikacji
3.5 Implikacje poprawne i niepoprawne
3.6 Prawa Kubusia w analizie implikacji prostej
3.7 Prawa Kubusia w analizie implikacji odwrotnej
3.8 Logika dodatnia i ujemna w implikacji

4.0 Analiza matematyczna implikacji prostej metodą zero-jedynkową
4.1 Warunek p spełniony (p=1)
4.2 Warunek p niespełniony (p=0)

5.0 Analiza matematyczna implikacji odwrotnej metodą zero-jedynkową
5.1 Warunek p spełniony (p=1)
5.2 Warunek p niespełniony (p=0)

6.0 Nowe prawa matematyczne w algebrze Boole’a
6.1 Implikacja prosta
6.2 Implikacja odwrotna
6.2.1 Przekształcanie praw w algebrze Boole'a

7.0 Powrót do przeszłości
7.1 Powrót do przeszłości dla operatora "musi"
7.2 Powrót do przeszłości dla operatora "może"

Wstęp

Istotą publikacji jest odkrycie dwóch nowych, matematycznych operatorów w naturalnym języku mówionym "musi" => (implikacja prosta) i "może" ~> (implikacja odwrotna). Operatorami tymi, podobnie jak AND(i) i OR(lub) człowiek posługuje się doskonale od czasów Adama i Ewy. Operatory te działają fenomenalnie w całej algebrze Boole'a, w szczególności obsługują obietnice (implikacja prosta) i groźby (implikacja odwrotna). Są to zatem operatory znane wszystkim żywym istotom na naszej planecie bowiem fundamentem wszelkiego życia jest odróżnianie nagrody (obietnica) od kary (groźba). Zwierzątka które nie odróżniały nagrody od kary dawno wyginęły.

W matematycznych fundamentach logiki człowieka, poruszane są zagadnienia czysto matematyczne, niezbędne do zrozumienia implikacji takie jak: logika dodatnia i ujemna, rozszyfrowanie i nazwanie wszystkich 16 matematycznych operatorów logicznych (człowiek zna poprawne znaczenie zaledwie sześciu) i przede wszystkim szczegółowe omówienie implikacji prostej (operator "musi" =>) i implikacji odwrotnej (operator "może" ~>) od strony matematycznej. Matematycy znają co prawda implikację prostą, przeciwną, i przeciwstawną, ale nie wiedzą nic o logice ujemnej i implikacji odwrotnej (operator „może” ~>).

Człowiek używa implikacji odwrotnej równie często jak implikacji prostej. Bez akceptacji implikacji odwrotnej na równych prawach z implikacja prostą niemożliwe jest rozszyfrowanie logiki człowieka.

Jeśli zaakceptujemy implikację odwrotną to wszystko stanie się bajecznie proste:

Logika człowieka = algebra Boole’a

Najwyższy czas, aby znany wszystkim logikom slogan „logika człowieka nie istnieje” wylądował w koszu na śmieci.


1.0 Notacja

# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej przeczenie "nie"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia
<=> - symbol równoważności

=> - operator implikacji prostej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "musi" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to "musi" być podzielna przez 2
P8=>P2
Zajście P8 wystarcza, aby zaszło P2
W implikacji prostej p musi być warunkiem wystarczającym dla q

~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "może" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to "może" być podzielna przez 8
P2~>P8
Zajście P2 jest konieczne, aby zaszło P8
W implikacji odwrotnej p musi być warunkiem koniecznym dla q

W naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym iż jest to implikacja prosta, zaś spójnik „może” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna. Spójniki te ujęto w cudzysłów, aby ten fakt uwypuklić.


2.0 Nieznane fundamenty algebry Boole’a

Nieznane fundamenty algebry Boole’a to logika dodatnia i ujemna. Bez wprowadzenia tych pojęć nie da się zrozumieć implikacji. Najbardziej zaskakujące wnioski w trzyletniej walce z implikacją wyniknęły po rozszyfrowaniu i nazwaniu wszystkich 16 operatorów matematycznych w algebrze Boole’a, matematycy znają znaczenie i nazwy tylko części tych operatorów.


2.1 Logika dodatnia i ujemna

W Wikipedii w temacie "logika ujemna" pisze o związku 0 i 1 z poziomami napięć. Przydatność takiego pojęcia w matematyce jest równa zeru absolutnemu - zapomnijmy o tym.

Logika ujemna to lustrzane odbicie logiki dodatniej.

Fizycznie, dowolna funkcja logiczna Y:
Y=A+B(C*D) .....
Może przyjmować w funkcji czasu wyłącznie wartości 0 albo 1.

Po przepuszczeniu jej przez prościutki negator otrzymamy funkcję ~Y będącą lustrzanym odbiciem funkcji Y.

Oczywiście zachodzi:
Y = ~(~Y)

O tym, że logika ujemna istnieje można się łatwo przekonać w technice cyfrowej obserwując wszystko na przyrządzie pomiarowym zwanym oscyloskopem. Twardym dowodem istnienia logiki ujemnej jest także 16 matematycznych operatorów logicznych, ośmiu w logice dodatniej i ośmiu w logice ujemnej o czym będzie za chwilę. Logicy praktycy, ci od cyfrowych układów logicznych doskonale wiedzą, że istnieją sygnały cyfrowe w logice ujemnej i ten fakt zaznaczają kółkiem na schematach ideowych oraz sygnały cyfrowe w logice dodatniej (na schematach bez kółka). Fizycznie łączyć można wyłącznie logiki zgodne, inaczej nic nie działa !

Spójrzmy na prawa de’Morgana od tej właśnie strony.

Definicja iloczynu logicznego.
Y=A1*A2 ….*An = 1 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden

Definicja sumy logicznej.
Y=A1+A2 ….+An = 0 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe zeru

Jeśli:
Y=A1*A2 ….*An = 1 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden
to:
~Y= ~A1+~A2…+~An = 0 - bo wszystkie składniki sumy logicznej są równe 0.

Oczywistym jest że:
Jeśli Y=1 to ~Y=0
Jeśli A1=1 to ~A1=0 itd.

Z ostatniego równania mamy:
Y= ~(~A1+~A2…+~An) = ~(0) = 1 czyli:
A1*A2 ….*An = ~(~A1+~A2…+~An) - prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego

To samo rozumowanie możemy przeprowadzić dla sumy logicznej.
Jeśli:
Y = A1+A2…+An = 0 - wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równa zeru
to:
~Y = ~A1*~A2…*~An =1 - bo wszystkie składniki iloczynu logicznego są równe 1

W tym przypadku mamy;
Jeśli Y=0 to ~Y=1
Jeśli A1=0 to ~A1=1 itd.

Z ostatniego równania mamy:
Y = ~(~A1*~A2…*~An) = ~(1) = 0
czyli:
A1+A2…+An = ~(~A1*~A2…*~An) - prawo de’Morgana dla sumy logicznej

Definicja.
Logika ujemna - jeśli funkcja logiczna jest zanegowana (~Y) to mamy do czynienia z logiką ujemną.

Prawa de’Morgana mówią o związkach między logiką dodatnią a ujemną na dowolnie długiej funkcji logicznej z dowolnie pomieszanymi operatorami.

Y=A+(B*C)
przejście do logiki ujemnej
~Y = ~A * (~B + ~C) - totalna negacja wszystkich zmiennych i wymiana operatorów na przeciwne tzn. OR(+) na AND(*) i odwrotnie.

Powrót do logiki dodatniej
Y=A+(B*C) - ponowna totalna negacja wszystkich zmiennych i wymiana operatorów

Twierdzenie 2.1
Przejście z logiki dodatniej (Y) do logiki ujemnej (~Y) polega na zamianie wszystkich zmiennych na przeciwne oraz wszystkich operatorów na przeciwne czyli AND(*) na OR(+) i OR na AND. Domyślna kolejność wykonywania działań w logice ujemnej zmieni się na: nawiasy, OR, AND.

Logika dodatnia:
Domyślna kolejność wykonywania działań w logice dodatniej: nawiasy, AND(*), OR(+).
A.
Y=A+B(C+~D)+E*~F – logika dodatnia (Y)

Przejście do logiki ujemnej:
Domyślna kolejność wykonywania działań w logice ujemnej: nawiasy, OR(+), AND(*)
B.
~Y=~A*~B+(~C*D)*~E+F – logika ujemna (~Y)

Przejścia powrotnego do logiki dodatniej dokonujemy w identyczny sposób.

Domyślna kolejność wykonywania działań w logice dodatniej: nawiasy, AND(*), OR(+).
C.
Y=A+B(C+~D)+E*~F – logika dodatnia (Y)

Zmiana kolejności wykonywania działań w logice ujemnej jest oczywista bowiem przy przejściu z logiki dodatniej do ujemnej AND zamienia się w OR.

Dowód twierdzenia:
I.
Y=A+B(C+~D)+E*~F – funkcja zapisana w logice dodatniej (Y)
Uzupełniamy brakujące nawiasy i operatory.
II.
Y=A+(B*(C+~D))+(E*~F) – logika dodatnia (Y)
negujemy wszystkie zmienne i wymieniamy operatory na przeciwne.
III.
~Y=~A*(~B+(~C*D))*(~E+~F) – logika ujemna (~Y)
Zauważmy, że jeśli przyjmiemy domyślną kolejność wykonywania działań w logice ujemnej (~Y): nawiasy, OR, AND to zbędne stanie się dokładanie nawiasów. Przejście powrotne do logiki dodatniej wykonujemy w identyczny sposób tj. zamieniamy wszystkie zmienne i operatory na przeciwne.
IV.
Y=A+(B*(C+~D))+(E*~F) – logika dodatnia (Y)
Aby powrócić do funkcji pierwotnej I usuwamy dołożone nawiasy.

Y=A+B(C+~D)+E*~F – oryginał, logika dodatnia (Y)
Zauważmy, że w tej metodzie uzupełniamy nawiasy przy przejściu z logiki dodatniej na ujemną oraz usuwamy je przy przejściu powrotnym by dojść do oryginału. W sumie niepotrzebna syzyfowa praca bowiem o fakcie zapisania funkcji w logice ujemnej informuje precyzyjnie przeczenie przy jej nazwie (~Y).

Zauważmy, że prawo de’Morgana pozwala w prosty sposób zamienić operatory na przeciwne w dowolnym fragmencie nawet nieskończonej funkcji logicznej. Wystarczy dowolny fragment ciągu ująć w nawiasy, postawić przed nimi znak przeczenia ~, zaś w środku tych nawiasów zamienić wszystkie zmienne i operatory na przeciwne. W tym przypadku bezpieczniej będzie uzupełnić brakujące nawiasy domyślne, aby nie pogubić się w kolejności wykonywania działań.


2.2 Matematyczne operatory logiczne

Efektem ubocznym walki z implikacją jest odkrycie i nazwanie wszystkich 16 operatorów matematycznych w algebrze Boole'a.