 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35357
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pon 15:47, 24 Mar 2008 Temat postu: Część III Teoria implikacji prostej i odwrotnej 2 |
|
|
Proste jest piękne
Elementarz algebry Boole’a
Teoria implikacji prostej i odwrotnej
Części:
Część I Fundamenty algebry Boole'a
Część II Teoria implikacji prostej i odwrotnej 1
Część III Teoria implikacji prostej i odwrotnej 2
Część IV Wojna o implikację
Część pierwsza elementarza poza fundamentami algebry Boole’a zawiera wiele nowości np. logika dodatnia i ujemna w algebrze Boole'a, odkrycie i nazwanie wszystkich 16 matematycznych operatorów logicznych, tablice logiki ... Zachęcam do przeczytania I części zarówno początkujących jak i zawodowców.
Część III
Teoria implikacji prostej i odwrotnej 2
Kontynuacja II części „Teorii implikacji prostej i odwrotnej 1”
Autor: Kubuś
Kubuś – wirtualny, Internetowy Miś
W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Irbisol (sfinia), Miki (sfinia), Rafał3006 (sfinia), WujZbój (sfinia)
Wielkie dzięki !
Szczególne podziękowania WujowiZbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem.
Spotkało się czterech odpowiednich ludzi w odpowiednim miejscu i czasie, gdyby zabrakło któregokolwiek ogniwa ta teoria nie mogłaby zaistnieć.
To jest elementarz, przy pomocy którego chciałbym poznać algebrę Boole’a gdybym miał znowu 16 lat.
Kubuś
Spis treści.
1.0 Notacja
2.0 Fundamenty algebry Boole’a
2.1 Definicja implikacji prostej
2.2 Definicja implikacji odwrotnej
2.3 Definicja implikacji matematycznie poprawnej
2.4 Prawa Kubusia
2.5 Schematy ideowe implikacji
2.6 Logika dodatnia i ujemna w implikacji
2.7 Rodzaje implikacji
3.0 Przykłady analizy implikacji
3.1 Implikacja matematyczna
3.2 Implikacja ze świata zwierząt
3.3 Implikacja z przyrody
4.0 Szczegółowa analiza wybranej implikacji
5.0 Obietnice i groźby
5.1 Obietnica - przyszłość
5.2 Obietnica - przeszłość
5.3 Groźba-przyszłość
5.4 Groźba-przeszłość]
6.0 Analiza matematyczna aksjomatów
6.1 Szczegółowa analiza matematyczna aksjomatu
7.0 Obietnice w języku mówionym
7.1 Przypadek nie spełnienia warunku w obietnicy
7.2 Rodzaje obietnic
8.0 Groźby w języku mówionym
9.0 Dialogi
10.0 Pytania i odpowiedzi
11.0 Pozorne sprzeczności języka mówionego z algebrą Boole’a
12.0 Dobro i zło
Wstęp:
Każdy człowiek od przedszkolaka do starca doskonale posługuje się matematyczną definicją implikacji prostej i odwrotnej.
Wikipedia.
Implikacja to najbardziej kontrowersyjny spójnik w języku mówionym
Przyczyną powyższego zdania jest brak akceptacji implikacji odwrotnej w matematyce. We wszelkich podręcznikach podawana jest wyłącznie definicja implikacji prostej.
Tymczasem bez akceptacji matematycznych operatorów implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> na równych prawach niemożliwe jest jakiekolwiek logiczne myślenie, w szczególności matematyczne.
Prawda jest jeszcze brutalniejsza. Bez akceptacji tych operatorów na równych prawach niemożliwe jest jakiekolwiek życie, bo implikacji prostej wszystko co żyje używa do obsługi obietnic (nagrody), zaś implikacji odwrotnej wszystko co żyje używa do obsługi gróźb (kary). Rozróżnianie kary od nagrody to fundament wszelkiego życia. Stworzenia które tego nie odróżniały dawno wyginęły.
1.0 Notacja
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej przeczenie "nie"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia
<=> - symbol równoważności
=> - operator implikacji prostej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "musi" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to "musi być" podzielna przez 2
P8=>P2
~> - operator implikacji odwrotnej, w naturalnym języku mówionym (logice człowieka) spójnik "może" między p i q
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to "może być" podzielna przez 8
P2~>P8
Logika dodatnia:
=1 – PRAWDA (brak kłamstwa)
=0 – FAŁSZ (kłamstwo)
Y- funkcja logiczna (wyjście cyfrowe) która w osi czasu może przybierać wyłącznie wartości 0 albo 1.
2.0 Fundamenty algebry Boole’a
2.1 Definicja implikacji prostej
Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q (z p „musi” wynikać q”)
p=>q = ~p + q
gdzie:
p – poprzednik implikacji (zawsze po spójniku “Jeśli…”
q – następnik implikacji (zawsze po spójniku „to...”)
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q
Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
| Kod: | p q p=>q
1 1 1
1 0 0
0 0 1
0 1 1 |
W analizie zer-jedynkowej wszelkich implikacji bezkonkurencyjna jest analiza symboliczna w oparciu o symboliczną definicję implikacji (język asemblera). Pozwała ona odciąć się od kodu maszynowego implikacji czyli zer i jedynek.
Symboliczna definicja implikacji prostej:
p q p=>q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1
Oczywiście logika dodatnia:
p=1, q=1
~p=0, ~q=0
Bardzo ważne:
Zauważmy, że w implikacji prostej zajście p gwarantuje zajście q.
Użyty w naturalnej logice człowieka spójnik „musi” między p i q decyduje o tym, że jest to implikacja prosta. W implikacji prostej spójnik „musi” jest z reguły pomijany ponieważ ... ludzie się do tego przyzwyczaili. Skoro istnieje zawsze na mocy definicji (=>) to można go pominąć.
Korzystając z prawa de’Morgana mamy:
p=>q = ~p + q = ~(p*~q) – definicja implikacji prostej
gdzie:
~(p*~q) – gwarancja w implikacji prostej
~(p*~q)
Nie może się zdarzyć ~(...), że zajdzie p (p) i (*) nie zajdzie q (~q)
To jedyna gwarancja jaką mamy w definicji implikacji prostej czyli poza tym przypadkiem wszystko może się zdarzyć.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „musi” być podzielna przez 2
p=P4 – rozpatrujemy wyłącznie liczby podzielne przez 8
P8=>P2
p=P8
q=P2
=1 (prawda) dla dowolnej liczby ze zbioru liczb podzielnych przez 4
~(p*~q) = ~(P8*~P2) – gwarancja
~(P8*~P2)
Nie może się zdarzyć ~(...), że liczba jest podzielna przez 8 (P8) i (*) nie jest podzielna przez 2 (P2).
2.2 Definicja implikacji odwrotnej
Definicja implikacji odwrotnej.
Jeśli zajdzie p to „może ” zajść q (z p może wynikać q)
p~>q = p + ~q
gdzie:
p – poprzednik implikacji (zawsze po spójniku “Jeśli…”
q – następnik implikacji (zawsze po spójniku „to...”)
~> - operator implikacji prostej, spójnik „może” między p i q
Definicja implikacji odwrotnej w wersji zero-jedynkowej:
| Kod: | p q p~>q
1 1 1
1 0 1
0 0 1
0 1 0 |
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej przydatna w analizie zero-jedynkowej zdań.
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0
Oczywiście logika dodatnia:
p=1, q=1
~p=0, ~q=0
Bardzo ważne:
W poprawnej implikacji odwrotnej po stronie p musi występować dowolny warunek konieczny zajścia q
Na podstawie prawa de’Morgana mamy:
p~>q = p + ~q = ~(~p*q) – definicja implikacji odwrotnej
gdzie:
~(~p*q) – gwarancja w implikacji odwrotnej
~(~p*q)
Nie może się zdarzyć ~(...), że zajdzie nie zajdzie p (~p) i (*) zajdzie q (q).
2.3 Definicja implikacji matematycznie poprawnej
Definicja implikacji poprawnej:
Implikacja odwrotna jest matematycznie poprawna jeśli po stronie p występuje dowolny warunek konieczny zajścia q.
Implikacja prosta jest matematycznie poprawna jeśli p gwarantuje zajście q.
Implikacje odwrotne matematycznie poprawne:
1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” być podzielna przez 8
P2~>P8
Podzielność liczby przez 2 jest jednym z warunków koniecznych podzielności tej liczby przez 8.
2.
Jeśli będzie pochmurna to „może” padać
CH~>P - chmury są warunkiem koniecznym deszczu.
3.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania
Implikacja równoważna.
Jeśli ubrudzisz spodnie to „możesz” (~>) dostać lanie
Uwaga:
W groźbach spójnik „może” jest z reguły pomijany. Spójnik ten jest gwarantowany matematycznie przez implikację odwrotną (~>) i nie ma sensu go powtarzać, choć można.
Implikacje proste matematycznie poprawne:
1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „musi być” podzielna przez 2
P8=>P2
Podzielność liczby przez 8 gwarantuje podzielność tej liczby przez 2
2.
Jeśli nie będzie chmur to „na pewno” nie będzie padało
~CH=>~P - brak chmur jest gwarancją nie padania
3.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K - zdanie egzaminu gwarantuje komputer
Implikacja równoważna:
Jeśli zdasz egzamin to „na pewno” (=>) dostaniesz komputer
Uwaga:
W obietnicach spójnik „na pewno” jest z reguły pomijany. Spójnik ten gwarantuje definicja implikacji prostej (=>) i nie ma sensu go powtarzać, choć można.
Zauważmy, że poprawna implikacja prosta (=>) po zamianie p i q przechodzi w poprawną implikację odwrotną (~>) i odwrotnie, poprawna implikacja odwrotna (~>) po zamianie p i q przechodzi w poprawną implikację prostą (=>).
Na podstawie powyższego poniższe implikacje to śmieci:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 3
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to jest podzielna przez 8
Zbiór liczb podzielnych przez 3 jest rozłączny w stosunku do zbioru liczb podzielnych przez 8. Nie może tu być mowy o jakimkolwiek wynikaniu matematycznym czyli jakiejkolwiek implikacji.
Jeśli zwierzę ma trąbę to może być psem
Oczywisty matematyczny śmieć bo trąbę ma słoń a nie pies.
Podobnie:
Jeśli księżyc jest z sera to pies ma cztery łapy
Mamy tu ewidentny brak związku między p i q, zatem nie jest to żadne wynikanie matematyczne, to po prostu matematyczny śmieć.
2.4 Prawa Kubusia
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p~>q = ~p => ~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
W prawach Kubusia negujemy zmienne p i q oraz odwracamy operator implikacji na przeciwny.
Dowód praw Kubusia.
p=>q = ~p ~> ~q - prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
| Kod: | p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 0 1
1 0 0 0 1 0
1 1 1 0 0 1 |
Równość kolumn p=>q i ~p~>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prostą
| Kod: | p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0
1 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 1 |
Równość kolumn p~>q i ~p=>~q jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
2.5 Schematy ideowe implikacji
| Kod: | Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
p=P4 q=P2 p=>q = P4=>P2 |
P4=>P2
Dla powyższej implikacji prostej istnieje wyłącznie jedna tabela prawdy, pasująca do powyższego schematu ideowego.
p q p=>q
1 0 0 - OK
Rozpatrujemy wyłącznie kluczową linijkę implikacji 1 0 0.
Wszelkie inne kombinacje, choć poprawne matematycznie, nie mają łatwo widocznego związku z powyższym schematem.
p q q<=p – tu czytamy po Żydowsku, od strony prawej do lewej
1 0 0
q p p=>q
0 1 0 - ta sekwencja zer i jedynek to zwykle implikacja odwrotna
q p q<=p
0 1 0 - jak wyżej, plus czytanie po Żydowsku.
... itd. (jest jeszcze sporo możliwości, bo kolumny możemy ustawiać dowolnie)
Proste jest piękne, dlatego zawsze zapisujmy wzory matematyczne pasujące do konkretnego schematu ideowego.
Zarówno w implikacji prostej => jak i odwrotnej ~> zdanie czytamy zawsze od podstawy wektora do strzałki wektora.
Zapisy:
p=>q = q<=p – implikacja prosta
P4=>P2 = P2<=P4
p~>q = q<~p – implikacja odwrotna
P2~>P4 = P4<~P2
są matematycznie równoważne.
2.6 Logika dodatnia i ujemna w implikacji
Implikacja jest wypowiedziana w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje przeczenie NIE (brak ~).
Jeśli X to Y (logika dodatnia bo Y)
X=>Y
Jeśli posprzątasz pokój to dostaniesz czekoladę
P=>C
Implikacja jest wypowiedziana w logice ujemnej jeśli po stronie q występuje przeczenie NIE (jest ~)
Jeśli X to nie Y (logika ujemna bo ~Y)
X=>~Y
Jeśli posprzątasz pokój to nie dostaniesz lania
P=>~L
| Kod: | Logika dodatnia Logika ujemna
q -q
Implikacja prosta Implikacja odwrotna w logice ujemnej
p=>q = ~p ~> ~q ~p ~> ~q = p=>q
Implikacja odwrotna Implikacja prosta w logice ujemnej
p~>q = ~p => ~q ~p => ~q = p~>q |
Tabela powiązań logiki dodatniej z logiką ujemną.
=> - operator implikacji prostej
~> - operator implikacji odwrotnej
p=>q = ~p + q = ~(p*~q) – definicja implikacji prostej
~(p*~q) – gwarancja w implikacji prostej
p~>q = p + ~q = ~(~p*q) – definicja implikacji odwrotnej
~(~p*q) – gwarancja w implikacji odwrotnej
We wszystkich powyższych przypadkach mamy identyczną gwarancję matematyczną pod warunkiem, że są one matematycznie poprawne (pkt. 2.3) oraz że implikacja odwrotna (~>) powstała poprzez zamianę p i q z implikacji prostej (=>) lub odwrotnie. Gwarancje są identyczne ale zachodzą wyłącznie tożsamości jak w tabeli wyżej.
Nigdy nie będzie p=>q = p~>q mimo identycznych gwarancji co widać niżej.
Implikacja odwrotna p~>q:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
=1 (prawda) pies
=0 (fałsz) kot, lis, zając …
~(~p*q) = ~(~4L*P) - gwarancja w implikacji odwrotnej
Nie może się zdarzyć, że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem.
Implikacja prosta powstała poprzez zamianę p i q z powyższej implikacji odwrotnej:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
~(p*~q) = ~(P*~4L) - gwarancja w implikacji prostej
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P ~> ~4L
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” (~>) nie mieć czterech łap
~P ~> ~4L
=1 (prawda) - kogut, waż...
=0 (fałsz) – kot, lis, zając …
2.7 Rodzaje implikacji
Matematycznie możliwe są wyłącznie dwa rodzaje implikacji, implikacja prosta oraz implikacja odwrotna. Każda z tych implikacji może być zapisana w logice dodatniej albo równoważnej logice ujemnej. Mówią o tym prawa Kubusia.
Prawa Kubusia obowiązują wyłącznie dla poprawnych implikacji.
p=>q = ~p ~> ~q – prawo zamiany implikacji prostej na implikację odwrotną
p=>q - implikacja prosta w logice dodatniej (bo q)
~p ~> ~q - równoważna implikacja odwrotna w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p => ~q – prawo zamiany implikacji odwrotnej na implikację prosteą
p~>q - implikacja odwrotna w logice dodatniej (bo q)
~p => ~q - równoważna implikacja prosta w logice ujemnej (bo ~q)
3.0 Przykłady analizy implikacji
Analiza implikacji jest bajecznie prosta jeśli zastosujemy zasadę znaną wszystkim DOBRYM logikom praktykom w cyfrowych układach logicznych:
Jak mówimy tak piszemy
To jest gwarancja, że nigdy nie wypadniemy z algebry Boole’a do śmietnika, że dowolny układ logiczny zbudowany na bramkach logicznych będzie nam działał.
Wypowiedzianą implikację analizujemy w oparciu o implikację prostą albo w oparciu o implikacją odwrotną.
Jak rozstrzygnąć z czym mamy do czynienia ?
Zgodnie z zasadą „Jak mówimy tak piszemy”.
Definicja implikacji prostej:
Jeśli zajdzie p to „musi zajść” q (z p wynika q)
p=>q
gdzie:
=> = „musi zajść” = musi być = musi mieć = muszę dostać nagrodę (w obietnicy) itp
Definicja implikacji odwrotnej:
Jeśli zajdzie p to „może zajść” q (z p może wynikać q)
p~>q
gdzie:
~> = „może zajść” = może być = może mieć = nie muszę zostać ukarany (w groźbie) itp.
Jak widać, o tym czy mamy do czynienia z implikacja prostą czy odwrotną decyduje użyty w naturalnym logicznym myśleniu spójnik między p i q.
Implikacja matematyczna może być wyłącznie prosta => albo odwrotna ~>. Nie ma innych możliwości.
Oznaczenia:
A – wypowiedziana implikacja w wersji oryginalnej (logika dodatnia)
B – implikacja równoważna do A w logice ujemnej (prawo Kubusia)
C – implikacja odwrotna do A powstała poprzez zamianę p i q (logika dodatnia)
D – implikacja równoważna do C w logice ujemnej (prawo Kubusia)
W poniższych równaniach doskonale widać, że mimo identycznych gwarancji w implikacji prostej i implikacji odwrotnej te implikacje nie są równoważne. Różnice zaznaczono czcionką wytłuszczoną.
3.1 Implikacja matematyczna
A.
Jeśli czworokąt ma kąty proste to może być kwadratem
K90~>KW – kąty proste to „może być” kwadrat albo prostokąt (implikacja odwrotna)
=1 – kwadrat
=0 – prostokąt
p~>q = ~(~p*q) = ~(~K90*KW) – gwarancja w implikacji odwrotnej
~(~K90*KW)
Nie może się zdarzyć, że czworokąt nie ma katów prostych i jest kwadratem
Zdanie równoważne na mocy prawa Kubusia:
K90~>KW = ~K90 => ~KW (logika ujemne bo „~” przy KW)
B.
Jeśli czworokąt nie ma kątów prostych to „na pewno” nie jest kwadratem
~K90 => ~KW – implikacja prosta bo „na pewno”
Implikacja odwrotna do A powstała poprzez zamianę p z q.
C.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to musi mieć kąty proste
KW=>K90 – jeśli kwadrat to „musi mieć” kąty proste (implikacja prosta)
p=>q = ~(p*~q) = ~(KW*~K90) – gwarancja w implikacji odwrotnej
~(KW*~K90)= ~(~K90*KW)
Nie może się zdarzyć, że czworokąt nie ma kątów prostych i jest kwadratem
Zdanie równoważne do C na mocy prawa Kubusia.
KW=>K90 = ~KW ~> ~K90
D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to „może” nie mieć kątów prostych
~KW ~> ~K90
Jeśli nie kwadrat, „może” nie mieć kątów prostych (rąb) albo „może” mieć kąty proste (prostokąt)
=1 bo rąb, równoległobok
=0 bo prostokąt
3.2 Implikacja ze świata zwierząt
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” być psem.
4L~>P – cztery łapy to „może być” psem bo kot, lis.... (implikacja odwrotna)
=1 – pies
=0 – kot,lis...
p~>q = ~(~p*q) = ~(~4L*P) – gwarancja w implikacji odwrotnej
~(~4L*P)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L => ~P (logika ujemna bo „~” przy 4L)
B.
Jeśli nie ma czterech łap to „na pewno” nie jest psem
~4L=>~P
Implikacja odwrotna do A powstała poprzez zamianę p i q.
C.
Jeśli zwierzę jest psem to musi mieć cztery łapy
P=>4L - implikacja prosta bo „musi mieć” cztery łapy
p=>q = ~(p*~q) = ~(P*~4L) = ~(~4L*P) – gwarancja w implikacji prostej
~(~4L*P)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~> ~4L (logika ujemna bo ~4L)
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” nie mieć czterech łap
~P ~> ~4L
Nie jest psem, to „może” nie mieć 4 łap (wąż, ptak...) lub „może” mieć 4 łapy (kot, lis...)
=1 bo wąż, ptak...
=0 bo kot, lis ...
3.3 Implikacja z przyrody
A
Jeśli będzie pochmurno to „może” padać
CH ~> P jeśli chmury to „może” padać (implikacja odwrotna)
A. było pochmurno i padało
B. było pochmurno i nie padało
W przyszłości której nie znamy, mogą wystąpić wyłącznie A albo B. Sensowne jest tu przypisywanie PRAWDA/FAŁSZ po zaistniałym fakcie.
Jeśli zajdzie A to będzie tak:
=1 (prawda) było pochmurno i padało
=0 (fałsz) było pochmurna i nie padało
Jeśli zajdzie B to będzie tak:
=1 (prawda) było pochmurna i nie padało
=0 (fałsz) było pochmurno i padało
Nie ma więcej możliwości dla „było pochmurno” i „deszcz”
p~>q = ~(~p*q) = ~(~CH*P) – gwarancja w implikacji odwrotnej
~(~CH*P)
Nie może się zdarzyć, że nie będzie pochmurno i będzie padało
Prawo Kubusia:
CH ~> P = ~CH => ~P (logika ujemna bo ~P)
B
Jeśli nie będzie pochmurno to „na pewno” nie będzie padało
~CH => ~P – implikacja prosta bo „na pewno”
Implikacja odwrotna do A powstała poprzez zamianę p i q.
C
Jeśli padało to „musiało być” pochmurno
P=>CH – implikacja prosta bo „musiało być”
p=>q = ~(p*~q) = ~(P*~CH) = ~(~CH+P) – gwarancja w implikacji prostej
~(~CH*P)
Nie mogło się zdarzyć, że nie było pochmurno i padało
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P ~> ~CH (logika ujemna bo ~CH)
D.
Jeśli nie padało to „mogło” nie być pochmurno
~P ~> ~CH
Nie padało, to „mogło” nie być pochmurno lub „mogło” być pochmurno (implikacja odwrotna)
nie padało i nie było pochmurno (to jest gwarantowane)
nie padało i było pochmurno = było pochmurno i nie padało
Zauważmy, że implikacja z chmurami to piękna analogia do groźby. Jeśli w naturalnej logice człowieka używamy spójnika „może” między p i q to MUSIMY użyć implikacji odwrotnej, inaczej algebra Boole’a, czyli logika człowieka, leży w gruzach.
4.0 Szczegółowa analiza wybranej implikacji
A
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
Rozpatrujemy zbiór liczb podzielnych przez 4.
P4=>P2 – jeśli podzielna przez 4 to „musi być” podzielna przez 2 (implikacja prosta)
W analizie wszelkich implikacji bezkonkurencyjna jest analiza symboliczna w oparciu o symboliczną definicję implikacji (język asemblera). Pozwała ona odciąć się od kodu maszynowego implikacji czyli zer i jedynek.
Symboliczna definicja implikacji prostej:
p q p=>q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1
Oczywiście logika dodatnia:
p=1, q=1
~p=0, ~q=0
Dla zdania A mamy:
p=P4 q=P2
Podstawiamy to do symbolicznej definicji implikacji prostej:
p q p=>q
(P4) (P2) = 1
(P4) ~(P2) = 0
~(P4) ~(P2) = 1
~(P4) (P2) = 1
Opuszczamy nawiasy.
Tabela A
p q p=>q
P4 P2 = 1
P4 ~P2 = 0
~P4 ~P2 = 1
~P4 P2 = 1
Analizujemy zdanie P4=>P2 według powyższej tabeli zgodnie z zasadą „jak czytamy tak piszemy”.
Znak „~” oznacza przeczenie NIE.
P4 P2 = 1
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to „musi być” podzielna przez 2
Rozważamy zbiór liczb podzielnych przez 4
=1 PRAWDA bez żadnych wyjątków.
P4 ~P2 = 0
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to nie jest podzielna przez 2
Rozważamy zbiór liczb podzielnych przez 4
=0 FAŁSZ bez żadnych wyjątków.
~P4 ~P2 = 1
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 4 to „może być” niepodzielna przez 2
Rozważamy zbiór liczb niepodzielnych przez 4
=1 bo 3,5,7 ....
=0 bo 6,10,14 ...
~P4 P2 = 1
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 4 to „może być” podzielna przez 2
Rozważamy zbiór liczb niepodzielnych przez 4
= 1 bo 6,10,14 ....
= 0 bo 3,5,7 ....
Implikacja równoważna do A na mocy prawa Kubusia.
P4=>P2 = ~P4~>~P2
B
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 4 to „może być” niepodzielna przez 2
~P4 ~> ~P2 - implikacja odwrotna, logika ujemna bo „~” przy P2
Jest obojętne którą implikację wypowiemy, bo to dwie równoważne implikacje.
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0
Dla implikacji B mamy:
p = ~P4 q = ~P2
Wstawiamy to do symbolicznej definicji implikacji odwrotnej:
p q p~>q
(~P4) (~P2) = 1
(~P4) ~(~P2) = 1
~(~P4) ~(~P2) = 1
~(~P4) (~P2) = 0
Opuszczamy nawiasy korzystając z twierdzenia:
A = ~(~A)
p q p~>q
~P4 ~P2 = 1
~P4 P2 = 1
P4 P2 = 1
P4 ~P2 = 0
Oczywiście nie ma znaczenia w jakiej kolejności będziemy analizować poszczególne linie. Poprzestawiajmy je zatem „losowo”.
Tabela B
p q p~>q
P4 P2 = 1
P4 ~P2 = 0
~P4 ~P2 = 1
~P4 P2 = 1
Porównajmy otrzymaną tabelę B z tabela A wyżej. Widać, że są identyczne, co jest dowodem poprawności praw Kubusia. Zdania A i B są równoważne.
Rozważmy teraz implikację odwrotną do A powstałą poprzez zamianę p i q.
A
Jeśli liczba jest podzielna przez 4 to jest podzielna przez 2
P4=>P2 - implikacja prosta
Oczywiście musi to być implikacja odwrotna, bo wyżej mamy do czynienia z implikacją prostą.
C
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może być” podzielna przez 4
P2~>P4 - jeśli podzielna przez 2 to „może być” podzielna przez 4 bo 6,10,14 ...
Spójnik „może być” decyduje o tym, iż jest to implikacja odwrotna.
Szczegółowa analiza.
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0
Dla powyższej implikacji mamy:
p=P2 q=P4
Podstawiamy to do symbolicznej definicji implikacji. Ze względu na prostotę darujemy tu sobie zabawę z nawiasami.
Tabela C
p q p~>q
P2 P4 = 1
P2 ~P4 = 1
~P2 ~P4 = 1
~P2 P4 = 0
Analizujemy zdanie według powyższej tabeli metodą “Jak czytamy tak piszemy”.
P2 P4 = 1
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może być” podzielna przez 4
Rozważamy zbiór liczb podzielnych przez 2
„może być” bo:
=1 dla 4,8,12 ...
=0 dla 6,10,14 ...
P2 ~P4 = 1
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może być” niepodzielna przez 4
Rozważamy zbiór liczb podzielnych przez 2
„może być” bo:
=1 dla 6,10,14 ...
=0 dla 4,8,12 ...
~P2 ~P4 = 1
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to „na pewno” nie jest podzielna przez 4
Rozważamy zbiór liczb niepodzielnych przez 2
=1 PRAWDA bez żadnych wyjątków.
~P2 P4 = 0
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 4
Rozważamy zbiór liczb niepodzielnych przez 2
=0 FAŁSZ bez żadnych wyjątków.
Implikacja równoważna do C na mocy prawa Kubusia.
P2~>P4 = ~P2=>~P4
D
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to nie jest podzielna przez 4
~P2=>~P4 - oczywista implikacja prosta, logika ujemna bo „~” przy P4
Jest obojętne która implikację wypowiemy C lub D, bo to dwie równoważne implikacje.
Szczegółowa analiza.
Dla powyższej implikacji mamy:
p= ~P2, q= ~P4
Symboliczna definicja implikacji prostej:
p q p=>q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1
Podstawiamy w miejsce p i q zmienne ~P2 i ~P4.
Tym razem lepiej nie opuszczać nawiasów aby uniknąć pomyłek.
p q p=>q
(~P2) (~P4) = 1
(~P2) ~(~P4) = 0
~(~P2) ~(~P4) = 1
~(~P2) (~P4) = 1
Usuwamy nawiasy korzystając z twierdzenia:
A = ~(~A)
p q p=>q
~P2 ~P4 = 1
~P2 P4 = 0
P2 P4 = 1
P2 ~P4 = 1
Analizować wypowiedziane zdanie D możemy w dowolnej kolejności. Poprzestawiajmy zatem powyższe linie w sposób „przypadkowy”
Tabela D
p q p=>q
P2 P4 = 1
P2 ~P4 = 1
~P2 ~P4 = 1
~P2 P4 = 0
Porównajmy tabelę D z tabelą C wyżej. Widać że są identyczne, zatem implikacje C i D są równoważne.
5.0 Obietnice i groźby
Groźba i obietnica w rozumieniu przeciętnego człowieka to równoważność z możliwością darowania kary w groźbie (akt łaski) oraz możliwością wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody w obietnicy (akt miłości). Przeciętny człowiek ma matematyczną rację.
Każdy człowiek ma indywidualny zestaw pojęć które są dla niego karą albo nagrodą, nazwijmy go zbiór A.
Dla tego zbioru prawdziwe są poniższe równania:
Aksjomat:
Kara = NIE nagroda
Nagroda = NIE kara
Definicja nagrody:
Cokolwiek co chcę by zaszło (coś dla mnie dobrego, pozytywnego)
Definicja kary:
Cokolwiek co nie chcę by zaszło (coś dla mnie złego, negatywnego)
Mamy tu jak na dłoni aksjomat:
Kara (kara = nie chcę by zaszło) = nie nagroda (nagroda = chcę by zaszło)
Nagroda (nagroda = chcę by zaszło) = nie kara (kara= nie chcę by zaszło)
Powyższy aksjomat to fundament życia. Zwierzęta które nie odróżniały kary od nagrody dawno wyginęły.
W świecie żywych nigdy nie może być:
Kara = Nagroda
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Implikacja prosta bo jeśli spełnię warunek nagrody to „muszę dostać” nagrodę. Dobrowolnych obietnic należy dotrzymywać.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
p=>q - jeśli zdam egzamin to „muszę mieć” komputer
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - zamiana obietnicy na równoważną groźbę
Jeśli nie zdasz egzaminu to nie dostaniesz komputera
~p~>~q - implikacja odwrotna bo „mogę dostać” komputer mimo nie zdanego egzaminu (akt łaski)
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K
Implikacja odwrotna bo nawet jak spełnię warunek kary to „nie muszę” zostać ukarany. Nadawca ma prawo darować dowolną karę, inaczej jego wolna wola leży w gruzach.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
p~>q - implikacja odwrotna bo „nie muszę” dostać lania
Nadawca ma prawo darować karę - akt łaski.
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - zamiana groźby na równoważną obietnicę
Jeśli nie ubrudzisz spodni nie dostaniesz lania
~p=>~q - jeśli czyste spodnie to gwarancja braku lania.
Obietnic należy dotrzymywać.
5.1 Obietnica - przyszłość
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Wszelkie obietnice analizujemy w oparciu o implikację prostą bo dobrowolnych obietnic „musimy” dotrzymywać.
Zdanie wypowiedziane:
A
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K - jeśli zdam egzamin to mam gwarancję dostania komputera
Symboliczna definicja implikacji prostej:
p q p=>q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1
Dla wypowiedzianego zdania mamy:
p=E, q=K
Podstawiamy to do symbolicznej definicji implikacji prostej:
Tabela A
p q p=>q
E K = 1
E ~K = 0
~E ~K = 1
~E K = 1
Analizujemy implikację E=>K według powyższej tabeli zgodnie z zasadą „jak czytamy tak piszemy”.
E K = 1
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
PRAWDA bez żadnych wyjątków wymuszona przez linię niżej.
E ~K = 0
Zdałeś egzamin, nie dostaniesz komputera = KŁAMSTWO
Ojciec musi dać komputer w przypadku zdania egzaminu zgodnie z obietnicą wypowiedzianą wyżej, inaczej jest oczywistym kłamcą.
~E ~K = 1
Nie zdałeś egzaminu, nie dostaniesz komputera
W przypadku nie zdania egzaminu ojciec ma prawo nie dać nagrody i nie musi się z tego tłumaczyć - kłamcą nie zostaje. Może jednak wręczyć komputer z dowolnym uzasadnieniem niezależnym jak niżej (akt miłości)...
~E K = 1
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha (bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem ci ten komputer kupić itp.)
Rozważmy zdanie równoważne do A na mocy prawa Kubusia
E=>K = ~E~>~K – prawo zamiany obietnicy na równoważną groźbę, logika ujemna bo ~K
Zdanie równoważne:
B.
Jeśli nie zdasz egzaminu nie dostaniesz komputera
~E~>~K – jeśli nie zdasz egzaminu to „możesz” nie dostać komputera (bo akt łaski)
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0
Dla powyższego zdania mamy:
p = ~E, q = ~K
Wstawiamy konkretne zmienne do symbolicznej definicji implikacji odwrotnej:
p q p~>q
(~E) (~K) = 1
(~E) ~(~K) = 1
~(~E) ~(~K) = 1
~(~E) (~K) = 0
Opuszczamy nawiasy korzystając z twierdzenia:
A = ~(~A)
p q p~>q
~E ~K = 1
~E K = 1
E K = 1
E ~K = 0
Oczywiście nie ma znaczenia w jakiej kolejności będziemy analizować poszczególne linie. Poprzestawiajmy je zatem „losowo”.
Tabela B.
p q p~>q
E K = 1
E ~K = 0
~E ~K = 1
~E K = 1
Porównajmy otrzymaną tabelę B z tabelą A wyżej. Widać że są identyczne, co jest dowodem poprawności prawa Kubusia. Implikacje A i B są równoważne.
5.2 Obietnica - przeszłość
Obietnica-przyszłość:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K - obietnica, implikacja prosta
Matematyczna implikacja odwrotna uzyskana poprzez zamianę p i q.
Obietnica-przeszłość:
C
Jeśli masz komputer to „mogłeś” zdałeś egzamin
K~>E – implikacja odwrotna
Jeśli masz komputer to „mogłeś” zdać egzamin, albo mógł zajść akt miłości czyli wręczenie komputera mimo nie zdanego egzaminu.
Czy to ma sens ?
Nikt przecież nie ma wątpliwości, że przeszłość nigdy nie będzie równa przyszłości. Pewne jest, że obietnica-przyszłość zaszła w oparciu o implikację prostą. Pewne jest również, że przeszłości nie da się zmienić - tu wszystko jest zdeterminowane.
Implikacja odwrotna ma jednak sens, bo abstrakcyjnie możemy wędrować w czasie. Poza tym niekoniecznie musimy znać rozstrzygnięcie implikacji.
Przenieśmy się zatem do przeszłości.
Kubuś-Junior, poznawszy teorię implikacji postanawia zaskoczyć Wuja.
Junior:
Wujek, tata obiecał mi komputer jak zdam egzamin. Dostałem komputer, zgadnij czy zdałem egzamin.
Wujek:
Nie znam Waszej teorii implikacji ale czekaj, niech pomyślę ?
Podkład matematyczny do rozważań Wuja dołożył po fakcie Kubuś-Junior.
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0
Jeśli masz komputer to zdałeś egzamin
K~>E
Mamy:
p=K, q=E
Podstawiamy to do symbolicznej definicji implikacji otrzymując:
Tabela C
p q p~>q
K E = 1
K ~E = 1
~K ~E = 1
~K E = 0
Rozważanie Wuja, który nigdy nie słyszał o teorii implikacji.
K E = 1
Jeśli masz komputer to zdałeś egzamin. Zaraz, zaraz ...
K ~E = 1
Jeśli masz komputer to mogłeś nawet nie zdać egzaminu, ale w tym przypadku ojciec musiał zastosować akt miłości czyli dał ci komputer bo cię kocha, bo widział że się dużo uczyłeś ale miałeś pecha itp.
Brawo Wujek, a teraz załóżmy, że nie mam komputera i zgadnij czy zdałem egzamin !
~K ~E = 1
Jeśli nie masz komputera to na pewno nie zdałeś egzaminu. Ojciec miał prawo nie kupić ci komputera bo nie zdałeś egzaminu i oczywiście nie jest kłamcą.
Dopisek Juniora:
~K E = 0
Nie mam komputera, zdałem egzamin - tata jest kłamcą. Zatem jeśli nie mam komputera to nie mogłem zdać egzaminu bo mój tata nigdy nie kłamie.
Wujek, skąd znasz matematyczną teorię implikacji ?
Wujek:
He,He… Jeśli to ma być ta Wasza matematyka, to znają ją nawet przedszkolaki. Gorzej, Adam i Ewa już to znali !
Prawo Kubusia zastosowane do implikacji C
K~>E = ~K => ~E – zamiana implikacji odwrotnej na prostą, logika ujemna bo ~E
D
Jeśli nie masz komputera to nie zdałeś egzaminu
~K => ~E
Matematyczna oczywistość, bowiem ojciec może zastosować akt miłości, czyli dać komputer mimo nie zdanego egzaminu, ale nie musi tego robić. W tym przypadku syn nie ma komputera bo np. totalnie olał naukę i wkurzony ojciec nie zastosował aktu miłości.
Symboliczna definicja implikacji prostej:
p q p=>q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1
Dla powyższego zdania mamy:
p= ~K, q= ~E
Podstawiamy to do definicji:
p q p=>q
(~K) (~E) = 1
(~K) ~(~E) = 0
~(~K) ~(~E) = 1
~(~K) (~E) = 1
Opuszczamy nawiasy korzystając z twierdzenia:
A = ~(~A)
p q p=>q
~K ~E = 1
~K E = 0
K E = 1
K ~E = 1
Analizować zdania możemy w dowolnej kolejności, poprzestawiajmy je zatem „losowo“.
Tabela D
p q p=>q
K E = 1
K ~E = 1
~K ~E = 1
~K E = 0
Porównajmy tabele D i C. Widać, że są identyczne co dowodzi poprawności praw Kubusia.
5.3 Groźba-przyszłość
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K
Wszelkie groźby analizujemy w oparciu o definicję implikacji odwrotnej bo wypowiadający groźbę ma prawo („może”) darować dowolną karę, inaczej jego wolna wola leży w gruzach.
Zdanie wypowiedziane:
A
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - brudne spodnie to „możesz” dostać lanie
Szczegółowa analiza.
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0
Dla powyższego mamy:
p=B q=L
Podstawiamy zmienne do symbolicznej definicji implikacji..
Tabela A.
p q p~>q
B L = 1
B ~L = 1
~B ~L = 1
~B L = 0
Analizujemy zdanie według powyższej tabeli metodą “jak czytamy tak piszemy”.
B L = 1
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
Mogę dostać lanie, ale nie muszę bo ojciec może zastosować akt łaski jak niżej.
B ~L = 1
Ubrudziłeś spodnie, nie dostaniesz lania bo samochód cię ochlapał (bo mam dobry humor, bo cię kocham itp.). Ojciec może także po prostu „zapomnieć” o wypowiedzianej groźbie i nie jest kłamcą, nie musi się tłumaczyć.
~B ~L = 1
Nie ubrudziłeś spodni, nie dostaniesz lania.
=1 PRAWDA bez żadnych wyjątków gwarantowana przez następną linię.
~B L = 0
Nie ubrudziłeś spodni, dostajesz lanie = KŁAMSTWO
Aby nie być kłamcą, ojciec nie ma prawa uderzyć syna.
Rozważmy teraz zdanie równoważne do A na mocy prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
B~>L = ~B => ~L – prawo zamiany groźby na obietnicę, logika ujemna bo ~L
B
Jeśli nie ubrudzisz spodni nie dostaniesz lania
~B=>~L – obietnic należy dotrzymywać czyli „na pewno” nie dostaniesz lania
Aksjomat:
Nagroda = nie kara
Dla A mamy:
Kara = lanie
Dla B mamy:
Nagroda = NIE lanie
Szczegółowa analiza.
Dla powyższego mamy:
p= ~B, q= ~L
Symboliczna definicja implikacji prostej:
p q p=>q
p q =1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1
Podstawiamy w miejsce p i q zmienne ~B i ~L.
p q p=>q
(~B) (~L) = 1
(~B) ~(~L) = 0
~(~B) ~(~L) = 1
~(~B) (~L) = 1
Usuwamy nawiasy korzystając z twierdzenia:
A = ~(~A)
p q p=>q
~B ~L = 1
~B L = 0
B L = 1
B ~L = 1
Analizować wypowiedziane zdanie B możemy w dowolnej kolejności. Poprzestawiajmy zatem powyższe linie w sposób „przypadkowy”
Tabela B
p q p=>q
B L = 1
B ~L = 1
~B ~L = 1
~B L = 0
Porównajmy tabelę B z tabelą A wyżej. Widać, że są identyczne, zatem implikacje A i B są równoważne.
5.4 Groźba-przeszłość
Groźba-przyszłość:
A
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - brudne spodnie to „możesz” dostać lanie
Implikacja odwrotna bo nadawca może darować dowolną karę, inaczej jego wolna wola leży w gruzach
Matematyczna implikacja prosta powstała poprzez zamianę p i q.
Groźba-przeszłość:
C
Jeśli dostałeś lanie to ubrudziłeś spodnie
L=>B - tu musi być implikacja prosta bo wyżej jest implikacja odwrotna !
Przenieśmy się do przeszłości na imprezę Kubusiowej rodziny (ta sama co w pkt.5.2).
Kubuś-Junior jest zaskoczony, że Wuj doskonale posługuje się implikacją matematyczną mimo że nie zna teorii implikacji. Więcej, Wuj twierdzi że znają to przedszkolaki więc postanawia sprawdzić. Biegnie do sąsiedniego pokoju gdzie bawi się jego 5-letnia kuzynka Zuzia.
Kubuś-Junior.
Zuzia, wczoraj mój tata powiedział, że jak wrócę w brudnych spodniach to dostanę lanie.
Wróciłem w brudnych spodniach i zgadnij, czy dostałem lanie ?
Podkład matematyczny do wypowiedzi Zuzi dołożył Junior po fakcie.
Symboliczna definicja implikacji prostej:
p q p=>q
p q = 1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1
Groźba-przeszłość:
C
Jeśli dostałeś lanie to ubrudziłeś spodnie
L=>B - tu musi być implikacja prosta o ile jest to matematyczne wynikanie.
Mamy:
p=L, q=B
Podstawiamy to do symbolicznej definicji implikacji prostej.
Tabela C
p q p=>q
L B = 1
L ~B = 0
~L ~B = 1
~L B = 1
Analiza implikacji odwrotnej przez 5-letnia Zuzię.
L B = 1
Jeśli dostałeś lanie to na pewno wróciłeś w brudnych spodniach
Dopisek Juniora.
L ~B = 0
Zakaz lania w przypadku czystych spodni - brawo Zuzia.
~L ~B = 1 (~B = nie brudne = czyste)
Jeśli nie dostałeś lania to wróciłeś w czystych spodniach …
~L B = 1
… ale mogłeś też nie dostać lania jeśli wróciłeś w brudnych spodniach bo twój tata mógł darować ci lanie jeśli spodnie były mało brudne.
Junior do Zuzi.
Zuzia czy wiesz, że znasz teorię implikacji ?
Zuzia:
A co to jest ?
Junior:
Jak dorośniesz to będą cię o tym uczyć w szkole.
Rozważmy teraz groźbę-przeszłość równoważną do C na mocy prawa Kubusia.
L=>B = ~L ~> ~B – zamiana implikacji prostej na implikację odwrotną, logika ujemna bo ~B
D
Jeśli nie dostałeś lania to „mogłeś” nie ubrudzić spodni
~L ~> ~B
Implikacja odwrotna bo jeśli nie dostałeś lania to nie ubrudziłeś spodni albo ubrudziłeś, ale ojciec zastosował akt łaski i darował lanie.
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0
Dla powyższego mamy:
p= ~L, q= ~B
Podstawiamy do definicji:
p q p~>q
(~L) (~B) = 1
(~L) ~(~B) = 1
~(~L) ~(~B) = 1
~(~L) (~B) = 0
Opuszczamy nawiasy korzystając z twierdzenia:
A = ~(~A)
p q p~>q
~L ~B = 1
~L B = 1
L B = 1
L ~B = 0
Ustawiamy linie „losowo”:
Tabela D
p q p~>q
L B = 1
L ~B = 0
~L ~B = 1
~L B = 1
Tabele D i C są identyczne co dowodzi poprawności praw Kubusia.
6.0 Analiza matematyczna aksjomatów
Aksjomaty w oryginale, znane ludziom od tysiącleci:
Dobro to brak zła
Zło to brak dobra
Nagroda to brak kary
Kara to brak nagrody
Każdy człowiek ma indywidualny zestaw pojęć które są dla niego nagroda albo karą, nazwijmy go zbiór A. Tylko i wyłącznie dla tego zbioru zachodzą równania.
Nagroda = NIE kara
Kara = NIE nagroda
W ogólnym przypadku, jeśli weźmiemy pod uwagę wszystkie możliwe pojęcia zachodzi:
Kara =>NIE nagroda
Nagroda => NIE kara
W przeciwna stronę zachodzi implikacja odwrotna:
NIE nagroda ~> Kara
NIE kara ~> Nagroda
Poprawny zapis matematyczny tego typu aksjomatów w przypadku ogólnym jest taki:
I.
Jeśli coś jest dla mnie nagrodą, to „nie może być” karą
Nagroda => nie kara
N=> ~K – implikacja odwrotna, logika ujemna bo ~K
Spójnik „nie może być” decyduje o tym, iż jest to implikacja prosta.
II.
Prawo Kubusia zamiany implikacji prostej na odwrotną:
N => ~K = ~N ~> K – negujemy zmienne i wymieniamy operatory
Jeśli coś nie jest dla mnie nagrodą to „może być” karą
~N ~> K
Nie nagroda ~> kara
Jeśli coś nie jest dla mnie nagrodą to „może być” karą
=1 np. lanie
=0 np. „gruszki na wierzbie” (dla Kubusia obojętne)
Użyty w naturalnej logice człowieka spójnik „może być” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna.
Zamieniając p i q w poprawnej implikacji prostej również musimy wylądować w implikacji odwrotnej.
Wykorzystując to do zdania I mamy:
III.
Jeśli coś nie jest dla mnie karą, to „może być” nagrodą
Nie kara ~> nagroda
~K ~> N
Jeśli coś nie jest dla mnie karą, to „może być” nagrodą
=1 np. czekolada
=0 np. „gruszki na wierzbie” (dla Kubusia obojętne)
Uwaga:
Dla dziecka nagrodą może być cokolwiek np. kamyczek.
Użyty w naturalnej logice człowieka spójnik „może być” decyduje o tym iż jest to implikacja odwrotna.
Korzystając dla III z prawa Kubusia otrzymujemy ostatnią możliwą implikację prostą.
~K~>N = K => ~N – negujemy zmienne i wymieniamy operatory, logika ujemna bo ~N
Czyli:
IV.
Jeśli coś jest dla mnie karą to „nie może być” jest nagrodą
K => ~N – implikacja prosta bo „nie może być”, logika ujemna bo ~N
6.1 Szczegółowa analiza matematyczna aksjomatu
Jeśli coś jest nagrodą to nie jest karą
N => ~K
Jeśli coś jest nagrodą to „nie może być” karą
Implikacja prosta bo „nie może być”
Prawo Kubusia zamiany implikacji prostej na odwrotną
N=>~K = ~N ~> K – negujemy zmienne i wymieniamy operatory
Jeśli coś nie jest nagrodą to jest karą
~N ~> K
Jeśli coś nie jest nagrodą to „może być” karą
Implikacja odwrotna bo „może być”
Powyższe implikacje są w 100% równoważne na mocy prawa Kubusia.
Dodatkowy dowód poprzez analizę zero-jedynkową:
Jeśli coś jest nagrodą to nie jest karą
N => ~K
Symboliczna tabela implikacji prostej.
p q p=>q
p q = 1
p ~q = 0
~p ~q = 1
~p q = 1
Dla powyższej implikacji mamy:
p = N, q = ~K
Podstawiamy do definicji symbolicznej konkretne wartości:
p q p=>q
(N) (~K) = 1
(N) ~(~K) = 0
~(N) ~(~K) = 1
~(N) (~K) = 1
Opuszczamy nawiasy korzystając z twierdzenia:
A = ~(~A)
Tabela A
p q p=>q
N ~K = 1
N K = 0
~N K = 1
~N ~K = 1
Analizujemy metodą, jak czytamy tak piszemy:
N ~K = 1
Jeśli coś jest nagrodą to nie jest karą
Jeśli coś jest dla mnie nagrodą to nie może być karą
=1 (prawda) – bez żadnych wyjątków
N K = 0
Jeśli coś jest nagrodą to jest karą
Oczywisty fałsz, stworzenia które nie odróżniały nagrody od kary dawno wyginęły.
~N K = 1
Jeśli coś nie jest nagrodą to jest karą
Rozpatrujemy zbiór pojęć które nie są dla mnie nagrodą.
=1 dla dowolnej kary w moim przekonaniu np. lanie
=0 dla dowolnego innego pojęcia które nie jest dla mnie karą (obojętnego) np.
=0 – „gruszki na wierzbie”
~N ~K = 1
Jeśli coś nie jest nagrodą to nie jest karą
Rozpatrujemy zbiór pojęć które nie są dla mnie nagrodą.
=0 dla dowolnej kary w moim przekonaniu np. lanie
=1 dla dowolnego innego pojęcia które nie jest dla mnie karą (obojętnego) np.
=1 – „gruszki na wierzbie”
Oczywiście nie musimy analizować implikacji odwrotnej wynikającej z prawa Kubusia bo to jest matematycznie pewne, zróbmy to jednak z ciekawości.
Prawo Kubusia zamiany implikacji prostej na odwrotną zastosowane dla wyżej analizowanej implikacji:
N=>~K = ~N ~> K
Jeśli coś nie jest nagrodą to jest karą
~N ~> K
Jeśli coś nie jest nagrodą to „może być” karą
Implikacja odwrotna bo „może być”
Dla tej implikacji odwrotnej mamy:
p= ~N, q = K
Definicja symboliczna implikacji odwrotnej:
p q p~>q
p q = 1
p ~q = 1
~p ~q = 1
~p q = 0
Podstawiamy konkretne zmienne jak wyżej:
p q p~>q
(~N) (K) = 1
(~N) ~(K) = 1
~(~N) ~(K) = 1
~(~N) (K) = 0
Usuwamy nawiasy korzystając z twierdzenia:
A = ~(~A)
p q p~>q
~N K = 1
~N ~K = 1
N ~K = 1
N K = 0
Oczywiście analizować zdania możemy w dowolnej kolejności. Poprzestawiajmy zatem powyższą tabelę w sposób „losowy”.
Tabela B
p q p~>q
N ~K = 1
N K = 0
~N K = 1
~N ~K = 1
Porównajmy tabelę A z tabelą B. Widać, że są identyczne co dowodzi poprawności praw Kubusia.
7.0 Obietnice w języku mówionym
Definicja obietnicy
Jeśli dowolny warunek to nagroda
p=>q = ~p + q
Jeśli spełnię warunek nagrody to “muszę” dostać nagrodę
Symbol obietnicy => oznacza w języku mówionym spójnik „muszę” między p i q.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
__p q p=>q
A 1 1 1
B 1 0 0
C 0 0 1
D 0 1 1 - implikacja
Zwiększenie prawdopodobieństwa wystąpienia implikacji.
Jeśli zdasz egzamin to musisz dostać komputer, na pewno dostaniesz komputer, na 100% dostaniesz komputer itp.
Powyższe implikacje są tylko wzmacniaczami naturalnego spójnika „muszę” w implikacji prostej. Mogą powodować wyłącznie zwiększenie prawdopodobieństwa zajścia implikacji bo oznaczają, że nadawca bardzo chce dać nagrodę. Obietnice to jednak przyszłość której nikt nie zna i może się zdarzyć, że mimo 100% zapewnień nagroda „ucieknie” np. wypadki losowe typu choroba, pożar itp.
Zmniejszenie prawdopodobieństwa wystąpienia implikacji.
Jeśli zdasz egzamin to może dostaniesz komputer
Zauważmy, że użyty tu spójnik „może” koliduje z naturalnym spójnikiem implikacji prostej:
=> = „musi”.
Skutkiem użycia tego spójnika będzie dodatkowa jedynka implikacyjna w linii B w powyższej tabeli co oznacza, że nadawca może zrobić absolutnie wszystko i nigdy nie będzie kłamcą.
Na pewno nie wolno nam w tym przypadku postawić zera w linijce D bo oznaczałoby to odebranie wolnej woli nadawcy. Jeśli odbiorca nie spełni warunku nagrody to nadawca ma święte prawo wręczyć mimo wszystko nagrodę (akt miłości), inaczej jego wolna wola leży w gruzach.
Obietnice równoważne do powyższej:
Nie wykluczam, że jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
Jest możliwe, może się zdarzyć itp. ... że jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer.
7.1 Przypadek nie spełnienia warunku w obietnicy
Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Prawo Kubusia
E=>K = ~E ~> ~K
Jeśli nie zdasz egzaminu nie dostaniesz komputera
~E ~> ~K
W groźbie nadawca ma prawo wręczyć komputer nawet gdy odbiorca spełni warunek kary czyli „nie zda egzaminu”. To tylko i wyłącznie jego wolna wola niczym nie ograniczona.
W implikacji, matematycznie równoważne groźby do powyższej będą brzmiały:
I.
Jeśli nie zdasz egzaminu nie dostaniesz komputera, chyba że ja zdecyduję inaczej
To co wyżej to oczywistość wynikająca z definicji implikacji odwrotnej, dlatego nikt tak nie mówi bo nie ma takiej potrzeby. Wszyscy doskonale o tym wiedzą, od przedszkolaków poczynając.
II.
Jeśli nie zdasz egzaminu to na X% nie dostaniesz komputera
X = 0%-100% - wszystko w rękach nadawcy, wyłacznie On decyduje ile procent.
IIA.
Wypowiadając groźbę:
Jeśli nie zdasz egzaminu nie dostaniesz komputera
mogę blefować, tzn. tak czy siak zamierzam kupić komputer (tu X=0%). Nie oznacza to jednak, że nie mogę zmienić decyzji tuż przed wykonaniem groźby np. syn olał naukę a na dodatek jest pyskaty zatem mówię:
Nie zdałeś egzaminu nie dostajesz komputera
.... i nie jestem kłamcą, mimo że w chwili wypowiadania groźby był to tylko mój blef.
IIB.
Wypowiadając groźbę:
Jeśli nie zdasz egzaminu to na 100% nie dostaniesz komputera
moim celem jest zmuszenie syna do ekstremalnego wysiłku umysłowego, gdyż wiem, że zwykle mało się uczy. Po nie zdanym egzaminie widząc, że syn naprawdę bardzo dużo się uczył mówię:
Nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer, bo widziałem że bardzo się starałeś ale miałeś pecha.
Mamy tu zatem sytuację odwrotną do przypadku IIA, w momencie wypowiadania groźby byłem na 100% zdecydowany nie dać komputera jeśli syn nie zda egzaminu ... a tuż po nie zdanym egzaminie zmieniłem zdanie i mimo wszystko dałem komputer. Gdybym nie mógł tego zrobić, to moja wolna wola leży w gruzach. Oczywiście, zgodnie z definicją implikacji odwrotnej kłamcą nie zostaję - nie mam na to najmniejszych szans !
Wszelkie obietnice i groźby to 100% implikacje, bo to jest przyszłość, której nikt nie zna. Człowiek może sobie mówić co mu się podoba np. „na 100%”, „wtedy i tylko wtedy” – to ma zerowe znaczenie.
Miejsce matematyki zależnej od chciejstwa człowieka jest w koszu na śmieci.
7.2 Rodzaje obietnic
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
Możemy wyróżnić trzy rodzaje obietnic.
1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Zdałem egzamin i muszę dostać komputer
2.
Obietnica z wykonalnością odroczoną w czasie
Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
P=>G - przyjdzie jutro to gotowiec
Implikacja jest ważna do chwili egzaminu który może być za dowolny okres czasu. Oczywiście jeśli ktoś przyjdzie w jakimkolwiek innym dniu byle przed egzaminem to też może dostać gotowca, to tylko i wyłącznie wolna wola nadawcy. Po egzaminie powyższa implikacja traci swoją ważność (i sens).
3.
Obietnica z wykonalnością nieograniczoną w czasie
Jeśli wygram w milion w TOTKA to kupię ci samochód
M=>S - jeśli milion to samochód
Prawdopodobieństwo wygrania miliona jest minimalne, tak więc w tym przypadku ta implikacja pozostanie niezrealizowana bo nie zajdzie p.
8.0 Groźby w języku mówionym
Definicja groźby
Jeśli dowolny warunek to kara
p~>q = p + ~q
Symbol groźby ~>, oznacza w języku mówionym spójnik „może” między p i q.
Jeśli spełnię warunek kary to „mogę” zostać ukarany.
Mogę, bo nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski), inaczej jego wolna wola leży w gruzach.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
__p q p~>q
A 1 1 1
B 1 0 1 – implikacja
C 0 0 1
D 0 1 0
Zwiększenie prawdopodobieństwa wykonania groźby.
Jeśli ubrudzisz spodnie to na pewno dostaniesz lanie, na 100% dostaniesz lanie itp.
Tu nadawca może sobie mówić co mu się podoba, ale sygnalizuje wyłącznie zwiększenie prawdopodobieństwa wykonania kary przy spełnionym warunku kary, bo groźby to przyszłość której nikt nie zna. Groźba zawsze pozostanie implikacją, bez względu na chciejstwo człowieka. Zauważmy, że wyzerowanie jedynki implikacyjnej w linii B odbiera wolną wolę nadawcy (tego nie wolno robić !), odbiera mu prawo do darowania kary przy spełnionym warunku kary (akt łaski). Nie ma takiej kary, której nadawca nie miałby prawa darować, inaczej jego wolna wola leży w gruzach.
Przypadek spełnienia warunku groźby omówiono szczegółowo w pkt. 5.1.
Zmniejszenie prawdopodobieństwa wykonania kary.
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz dostać lanie, to chyba dostaniesz lanie itp.
To zdanie powoduje zwiększenie prawdopodobieństwa zajścia implikacji w groźbie, czyli darowania kary w przypadku brudnych spodni ... tyle że w praktyce mało kto tak mówi, bo w definicji implikacji odwrotnej mamy zagwarantowany spójnik „może”. W groźbie nadawca może darować karę z byle powodu a nawet przez „zapomnienie”.
Groźby równoważne do powyższej:
Nie wykluczam, że jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
Jest możliwe, może się zdarzyć itp. ... że jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie.
To jest tylko i wyłącznie deklaracja zmniejszenia prawdopodobieństwa wykonania kary przy spełnionym warunku kary.
Zauważmy, że gwarancja nie wykonania kary w przypadku nie spełnienia warunku kary (linia D) jest matematycznie nie do ruszenia !
Zmiana z zera na jeden w linii D jest możliwa tylko w takim przypadku:
Jeśli ubrudzisz spodnie, albo nie ubrudzisz spodni to dostaniesz lanie
Oczywiście nikt tak nie powie bo jest to logiczny bełkot, rozwalający fundament algebry Boole’a.
Miejsce logicznego bełkotu jest w koszu na śmieci.
9.0 Dialogi
Oznaczmy:
Y = A – dowolne zdanie od którego zaczynamy (logika dodatnia bo Y)
Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
~Y = ~A – to samo zdanie w logice ujemnej (bo ~Y)
Negujemy ponownie wracając do logiki dodatniej:
~(~Y) = ~(~A) czyli:
Y = A – powrót do logiki dodatniej itd.
Gdzie Y jest abstrakcyjnym wyjściem cyfrowym niedostępnym w zdaniach twierdzących.
Y – funkcja logiczna która w osi czasu może przybierać wyłącznie wartości 0 albo 1.
Przykłady dialogów:
1.
A: Zawsze całuję kobiety w rączkę
B: Ja też zawsze je całuję - ta sama logika, zgodność
2.
A: Zawsze całuję kobiety w rączkę
B: A ja nigdy tego nie robię – logika przeciwna, niezgodność
3.
A: Nigdy nie całuję kobiet w rączkę
B: Ja też nigdy nie całuję – ta sama logika, zgodność
4.
A: Nigdy nie całuję kobiet w rączkę
B: Ja zawsze całuję kobiety w rączkę – przejście do logiki przeciwnej, niezgodność
10.0 Pytania i odpowiedzi
Jeśli o coś pytamy to nie znamy odpowiedzi na zadawane pytanie albo udajemy że nie znamy – na jedno wychodzi. Pytać możemy zatem zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej. Oczywiście odpowiadający odpowiada w tej samej logice co zadane pytanie jeśli potwierdza i w przeciwnej jeśli zaprzecza.
1.
A: Byłeś dzisiaj w szkole ?
B: Byłem w szkole – potwierdzenie w tej samej logice
B: Nie byłem w szkole – zaprzeczenie w logice przeciwnej
2.
A: Dlaczego nie byłeś dzisiaj w szkole ?
B: Nie byłem w szkole bo ... – potwierdzenie w tej samej logice
B: Nieprawda, byłem dzisiaj w szkole – zaprzeczenie w logice przeciwnej
Zauważmy, że w odpowiedzi 2B gdzieś musi być kłamstwo - albo syn kłamie, albo ktoś przekazał fałszywą informację matce. Możliwy jest też blef matki która nie wie czy syn był w szkole.
11.0 Pozorne sprzeczności języka mówionego z algebrą Boole’a
Matematyka ścisła zajmuje się wyłącznie zdaniami którym da się przypisać jednoznacznie prawdę albo fałsz. Wszelkie gdybania, podteksty, ukryte znaczenia, poezja itp. to matematyka na poziomie procedur języka wysokiego poziomu. Tu wszystko może być wieloznaczne. Co nadawca miał na myśli możemy wyłącznie przypuszczać, może uda nam się trafić w dziesiątkę, a może nie. W komputerach wszystkie procedury języków wysokiego poziomu zbudowane są na fundamencie algebry Boole’a. Nie ma żadnego logicznego powodu by przypuszczać, że w mózgu człowieka jest inaczej. Zauważmy, że grając w najnowsze gry komputerowe jesteśmy odseparowani od algebry Boole’a. Gramy i rozmawiamy z komputerem jak człowiek z wirtualnym „człowiekiem”. Wszelka wirtualna rzeczywistość w komputerze zbudowana jest na fundamencie algebry Boole’a. Bez algebry Boole’a, czyli języka asemblera, dowolny komputer będzie tylko kupą złomu.
Kluczem do matematycznego zrozumienia języka mówionego człowieka jest zaakceptowanie trywialnej logiki dodatniej i logiki ujemnej w algebrze Boole’a oraz zrozumienie operatorów dodatnich i operatorów ujemnych (część I elementarza).
Sprzeczności języka mówionego z algebrą Boole’a są pozorne bowiem nasz mózg często operuje na poziomie procedur, nie zaś na poziomie podstawowym.
Przedstawię tylko trzy przykładowe pozorne sprzeczności z algebrą Boole’a.
1.
Jutro o dziewiątej będę w kinie lub w teatrze
Jutro o dziewiątej będę w kinie albo w teatrze
Matematycznie poprawne jest drugie zdanie bowiem nie możemy być jednocześnie w dwóch miejscach. Zauważmy, że pierwsze zdanie zawiera w sobie drugie plus nie wyklucza jednoczesnego bycia w dwóch miejscach. Z tego powodu zdecydowana większość ludzi rzadko używa spójnika „albo” w języku mówionym.
2.
Jutro pójdę do kina i teatru
Jutro pójdę do kina lub teatru
Pierwsze zdanie powiemy gdy zależy nam na podkreśleniu że pójdziemy do kina i do teatru. Spójnik „lub” zawiera w sobie spójnik „i”, jest zatem bezpieczniejszy bo nawet gdy pójdę w jedno miejsce to matematycznym kłamcą nie zostanę ... a przyszłości nikt nie zna.
3.
Jan wszedł i padł martwy
Jan padł martwy i wszedł
Spójnik „i” teoretycznie umożliwia zamianę argumentów jak wyżej. Drugie zdanie to idiotyzm jeśli zastosujemy tu żywcem algebrę Boole’a. Jeśli jednak trochę pomyślimy to sprzeczność zniknie. W powyższym przypadku mamy do czynienia z następstwem czasowym i poprawnie matematycznie zdanie powinno brzmieć tak.
Jan wszedł po czym padł martwy
Nasz mózg doskonale o tym wie i używa prostszej formy korzystając ze spójnika „i” bo po pierwsze tak jest krócej a po drugie spójnik „i” jest używany bardzo często w przeciwieństwie do „po czym”.
12.0 Dobro i zło
1.
Dobro i zło to subiektywne odczucia każdego człowieka z osobna
Aksjomaty znane od tysiącleci (analiza aksjomatów pkt. 6.0):
Dobro to brak zła
Zło to brak dobra
Każdy człowiek ma indywidualny zbiór A z pojęciami będącymi dla niego dobrem lub złem (pojęcia obojętne są tu pomijane)
Dla zbioru A obowiązuje równanie:
Dobro = nie zło
Zło = nie dobro
Nigdy nie może być: dobro = zło ... bo algebra Boole'a, czyli logika człowieka, leży w gruzach.
Aksjomat, fundament algebry Boole'a:
Y # ~Y - żadne pojęcie nie może być równe zaprzeczeniu tego pojęcia
2.
Dobro i zło są produktami obietnic i gróźb
Definicja obietnicy
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N - implikacja prosta
p=>q
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q = ~(p*~q)
~(p*~q) - gwarancja matematyczna w implikacji prostej
Nie może się zdarzyć, że spełnię warunek nagrody i nie dostanę nagrody
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K - implikacja odwrotna
p~>q
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+ ~q = ~(~p*q)
~(~p*q) - gwarancja w implikacji odwrotnej
Nie może się zdarzyć, że nie spełnię warunku kary i zostanę ukarany
Tej matematyce, czyli krystalicznie czystej algebrze Boole'a podlega wszelkie życie na naszej planecie.
Jak widać, matematycznie jesteśmy ukierunkowani na dobro czyli mamy zakaz tego co wyżej, oraz możliwość tego co niżej.
Mamy prawo dać prezent mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (dobro = akt miłości) oraz mamy prawo darować dowolną karę mimo że odbiorca spełnił warunek kary (dobro = akt łaski).
Kubuś, wirtualny Internetowy Miś '2008-03-24
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 23:45, 01 Kwi 2008, w całości zmieniany 19 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
