 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35365
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Wto 14:04, 11 Wrz 2012 Temat postu: Ciekawe artykuły z algebry Kubusia |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
Dodatek A
Definicje czworokątów w algebrze Kubusia.
Wykłady z algebry Kubusia
Temat:
Definicje czworokątów w algebrze Kubusia
Spis treści:
1.0 Notacja
2.0 Dlaczego stare definicje czworokątów nie są dobre?
3.0 Definicja spójnika „albo”($), prawo Hipcia
4.0 Definicja czworokąta
4.1 Definicja kwadratu
4.2 Definicja prostokąta
4.3 Definicja rombu
5.0 Definicje pozostałych czworokątów
5.1 Definicja równoległoboku
5.2 Definicja trapezu
5.3 Definicja deltoidu
6.0 Definicje grup czworokątów
6.1 Grupa czworokątów
6.2 Grupa prostokątów
6.3 Grupa rombów
6.4 Grupa równoległoboków
6.5 Grupa trapezów
Wstęp:
W matematyce Ziemian jedynymi precyzyjnymi definicjami czworokątów są definicje kwadratu i deltoidu, tylko i wyłącznie te definicje są poprawne matematycznie, bo to są definicje precyzyjne, wykluczające jakiekolwiek „rzucanie monetą”. Mimo tego nie będzie żadnej rewolucji na poziomie szkoły podstawowej i średniej, ani też na studiach technicznych.
Dlaczego?
Bo żaden uczeń ani nauczyciel myśląc o prostokącie nie będzie widział przed oczyma kwadratu, myśląc o rombie nikt nie będzie brał za wzór kwadratu etc.
Normalni ludzie nie są w stanie myśleć w matematyce logiką inną niż naturalna logika człowieka, algebrą Kubusia, czyli superprecyzyjnie zdefiniowanymi czworokątami. Bzdury jakoby prostokąt był raz prostokątem a innym razem kwadratem w zależności od chciejstwa człowieka zaczynają się na studiach matematycznych, bo na studiach technicznych na 100% tego nie ma.
Nikomu w technice nie jest potrzebna matematyka niejednoznaczna!
Algebra Kubusia jest neutralna wszędzie tam, gdzie ludzie stosują naturalną logikę człowieka.
Rewolucja w matematyce dotyczyć będzie wszelkiej maści logik formalnych, które z definicji są niezgodne z naturalną logiką człowieka, te musza zniknąć z naszej planety. Mam nadzieję że wcześniej czy później to się stanie.
Kubuś - kosmita
1.0 Notacja
BR - wszystkie boki równe
~BR - nie wszystkie boki równe
KR - wszystkie kąty równe
~KR - nie wszystkie kąty równe
KW - kwadrat
PR - prostokąt
CZ - czworokąt
Definicja czworokąta:
Czworokąt to wielokąt o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych
CZ=4B*KW
Rodzaje czworokątów:
Kwadrat, Prostokąt, Romb, Równoległobok, Trapez, Deltoid
Kwadrat
Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie kąty i boki równe
KW=KR*BR
Prostokąt
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste, zaś boki nie są równe
PR = KR*~BR
Romb
Rombem nazywamy czworokąt, którego wszystkie boki są równe, ale nie wszystkie kąty są równe
ROMB=BR*~KR
Dla pozostałych czworokątów dokładamy domyślny człon:
~BR*~KR - nie wszystkie boki równe i nie wszystkie kąty równe
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe.
Domyślne: ~BR*~KR
Równoległobok = PBPRiR * ~KR*~BR
gdzie:
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma dokładnie jedną parę boków równoległych ale nie równych.
Domyślne: ~BR*~KR
Trapez = DJPBRiNR*~BR*~KR
gdzie:
DJPBRiNR - dokładnie jedna para boków równoległych i nie równych
Deltoid
Deltoidem nazywamy czworokąt którego dwa sąsiednie boki są równe
Domyślne: ~BR*~KR
Deltoid = DSBR*~BR*~KR
gdzie:
DSBR - dwa sąsiednie boki równe
Definicja warunku wystarczającego =>:
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
p=>q
Każdy element zbioru p musi zawierać się w zbiorze q
Definicja warunku koniecznego ~>:
~> zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
p~>q
Zabieram zbiór p i musi zniknąć zbiór q
2.0 Dlaczego stare definicje czworokątów nie są dobre?
Sztandarowym przykładem zastosowania algebry Kubusia mogą być nowe definicje czworokątów, czyli modyfikacja matematyki na poziomie szkoły podstawowej.
Stara definicja trapezu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.
Nie da się na mocy tej definicji opisać trapezu jaki człowiek widzi oczyma wyobraźni bo:
Trapez może ~> być kwadratem, prostokątem, rombem, równoległobokiem, trapezem
Jeśli figura jest kwadratem, prostokątem, rombem, równoległobokiem albo trapezem to na pewno =>jest trapezem
Jeśli figura jest trapezem to może ~> być kwadratem, prostokątem, rombem, równoległobokiem albo trapezem.
To jest super nieprecyzyjne, to jest błąd idem per idem w czystej formie bo:
Jeśli czworokąt jest trapezem to na pewno => jest trapezem
gdzie:
Błąd idem per idem - pojecie które samo siebie definiuje
Jeśli p to p
p=>p
Jeśli trapez to trapez
T=>T
Nie ma tu precyzyjnej definicji trapezu!
To jest to samo jakbyśmy zrobili podział samochodów na:
Samochód może ~> być ciężarówką, tirem, samochodem osobowym, samochodem
Jeśli pojazd mechaniczny jest ciężarówką, tirem, samochodem osobowym albo samochodem to na pewno => jest samochodem
To jest błąd idem per idem, samochód definiuje sam siebie.
Jeśli pojazd mechaniczny jest samochodem to na pewno => jest samochodem.
S=>S
Algebra Kubusia opisuje precyzyjnie wszystkie czworokąty w równaniach algebry Boole’a.
3.0 Definicja spójnika „albo”($), prawo Hipcia
Spójnik „albo”($) opisuje algebrę zbiorów rozłącznych.
Definicja spójnika „albo’($):
(A1$A2$...An) = A1$A2$...An
co matematycznie oznacza:
(A1$A2$...An)=1 <=> A1=1 albo A2=1 albo … An=1
czyli:
(A1$A2$...An)=1 wtedy i tylko wtedy gdy wyłącznie jedna ze zmiennych A1, A2…An jest równa 1
gdzie:
$ - symbol spójnika „albo”($)
Definicja spójnika „albo”($):
| Kod: |
p q Y=p$q | ~p ~q Y=~p$~q | q$p
A: 1 1 =0 | 0 0 =0 | =0
B: 1 0 =1 /p$q=p*~q | 0 1 =1 /~p$~q=p*~q | =1
C: 0 1 =1 /p$q=~p*q | 1 0 =1 /~p$~q=~p*q | =1
|
Definicja dwuargumentowego operatora XOR:
| Kod: |
p q Y=p$q | ~p ~q Y=~p$~q | q$p
A: 1 1 =0 | 0 0 =0 | =0
B: 1 0 =1 /p$q=p*~q | 0 1 =1 /~p$~q=p*~q | =1
C: 0 1 =1 /p$q=~p*q | 1 0 =1 /~p$~q=~p*q | =1
D: 0 0 =0 | 1 1 =0 | =0
|
Definicja spójnika „albo”($) dla dwóch argumentów w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p$q = p*~q + ~p*q
Właściwości spójnika „albo”($):
1.
Argumenty są przemienne
p$q = q$p
2.
Zachodzi tożsamość matematyczna
p$q = ~p$~q
Oznacza to, że wszystko jedno czy zbiory rozłączne nazwiemy p i q, czy też ~p i ~q
gdzie:
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka
Definicje:
U - Uniwersum - wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka
[] - Zbiór pusty - zbiór zawierający zero elementów
Właściwości zbioru pustego i Uniwersum:
~[] = U - zaprzeczenie zbioru pustego [] to Uniwersum
~U = [] - zaprzeczenie Uniwersum to zbiór pusty []
Dla zbiorów rozłącznych spójnik „albo”($) opisany jest wyłącznie liniami A, B, C powyższej tabeli
bo:
Na mocy definicji spójnika „albo” zbiory p i q muszą być rozłączne.
Wartość logiczna zbiorów p i q to:
p=1 - istnieją elementy zbioru p
~p = U-p =1 - Uniwersum minus elementy zbioru p (zbiór niepusty nie będący Uniwersum)
q=1 - istnieją elementy zbioru q
~q = U-q =1 - Uniwersum minus elementy zbioru q (zbiór niepusty nie będący Uniwersum)
Komentarz:
Zauważmy, że zbiory ~p i ~q mają część wspólną, zatem nie podlegają pod definicję spójnika „albo”($).
W definicji operatora XOR spójnik „albo” opisany jest zatem wyłącznie liniami A, B i C.
Dla n argumentów w definicji spójnika „albo” wykluczamy linię z samymi zerami po stronie wejścia operatora XOR (bramki XOR).
Definicja dwuargumentowego spójnika „albo”($) w zbiorach:
| Kod: |
p q Y=p$q
A: 1 1 =0 /~Y= p* q=1*1=0 - zbiory rozłączne
B: 1 0 =1 / Y= p*~q=1*1=1 (=p)
C: 0 1 =1 / Y=~p* q=1*1=1 (=q)
|
Definicja trzyargumentowego spójnika „albo”($) w zbiorach:
| Kod: |
p q r Y=p$q$r
A: 1 1 1 =0 /Y= p* q* r=1*1*x=0
B: 1 1 0 =0 /Y= p* q*~r=1*1*x=0
C: 1 0 1 =0 /Y= p*~q* r=1*x*1=0
D: 1 0 0 =1 /Y= p*~q*~r=1*x*x=1 (=p)
E: 0 1 1 =0 /Y=~p* q* r=x*1*1=0
F: 0 1 0 =1 /Y=~p* q*~r=x*1*x=1 (=q)
G: 0 0 1 =1 /Y=~p*~q* r=x*x*1=1 (=r)
|
Legenda:
x - znaczek oznaczający, że na tej pozycji nie ma jedynki lub jest jedynka trzecia i dalsza
W dowolnej linii szukamy dwóch jedynek.
Jeśli takie istnieją to w wyniku zapisujemy 0, inaczej 1.
Uzasadnienie:
p*q=1*1=0
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty).
Iloczyn logiczny zbioru pustego z dowolną ilością zbiorów niepustych daje w wyniku 0 (zbiór pusty).
Zauważmy, że żaden ze zbiorów zanegowanych nie jest równy Uniwersum bo:
Zbiór p istnieje i jest niepusty:
p=1
Zaprzeczenie zbioru niepustego to Uniwersum pomniejszone o elementy tego zbioru:
~p = U-p =1 - zbiór niepusty, nie będący Uniwersum
Diagram działania spójnika „albo” dla dwóch argumentów:
Diagram działania spójnika „albo” dla trzech argumentów
Prawo Hipcia:
Jeśli zbiory są rozłączne to jedynym poprawnym spójnikiem łączącym te zbiory jest spójnik „albo”($).
Y=A1$A2$...An
Nie ma tu fizycznej możliwości aby obiekt Ax mógł być jednocześnie którymkolwiek obiektem Ay.
Przykład zastosowania prawa Hipcia
Definicja kwadratu:
Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie kąty i boki równe.
KW=KR*BR
Definicja prostokąta:
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste i nie wszystkie boki są równe
PR=KR*~BR
Powyższe definicje to wszystkie możliwe prostokąty w zbiorze czworokątów.
Jak widzimy, zbiory KW i PR są rozłączne bo równania logiczne opisujące te zbiory są różne.
Jedynym poprawnym spójnikiem przy opisie zbiorów rozłącznych jest spójnik „albo”($).
Grupę wszystkich prostokątów opisuje zatem równanie algebry Boole’a:
GP = KW $ PR = (KR*BR) $ (KR*~BR)
Na mocy definicji spójnika „albo”($) nie jest możliwe narysowanie czworokąta który byłby jednocześnie prostokątem i kwadratem.
Matematyka Ziemian rodem z pierwszych klas szkoły podstawowej leży w gruzach, bowiem obowiązuje tu dogmat:
Każdy kwadrat jest prostokątem
czyli:
Kwadrat jest jednocześnie i kwadratem i prostokątem.
W dzisiejszej matematyce uczeń ma prawo bawić się z nauczycielem w ciu-ciu babkę.
Pani:
Jasiu narysuj prostokąt
- Jaś namalował na tablicy kwadrat
Pani:
Jasiu narysuj kwadrat
Jaś:
Przecież narysowałem, nie widać?
Pani:
… no dobrze, czy wszystkie prostokąty mają boki równe?
Jaś:
Istnieją prostokąty, jak mój rysunek, które mają wszystkie boki równe, ale istnieją też prostokąty które nie mają wszystkich boków równych.
Pani:
… a co powiesz o przekątnych?
Jaś:
Istnieją prostokąty w których przekątne przecinają się pod katem prostym, ale istnieją też prostokątny w których przekątne nie przecinają się pod kątem prostym.
Proponowane NOWE definicje czworokątów w algebrze Kubusia.
4.0 Definicja czworokąta
Definicja definicji:
Definicja czegokolwiek musi być opisana równaniem logicznym algebry Boole’a
Przykład:
Pies ma cztery łapy, szczeka i nie ćwierka
P=>4L*S*~C
Oczywiście nie jest to pełna definicja, dlatego używamy tu warunku wystarczającego => a nie symbolu równoważności <=>.
W matematyce dowolna definicja MUSI być definicją równoważnościową.
Ziemska definicja czworokąta
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja czworokąta:
Czworokąt to wielokąt o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych
CZ=>4B*KW
oczywiście zachodzi tu twierdzenie odwrotne:
4B*KW=>CZ
Zatem jest to doskonała definicja czworokąta:
CZ<=>4B*KW = (CZ=>4B*KW)*(4B*KW=>CZ)
Rodzaje czworokątów:
Trapez, Równoległobok, Romb, Prostokąt, Kwadrat, Deltoid
4.1 Definicja kwadratu
Ziemska definicja kwadratu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Kwadrat
Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie boki i kąty równe
Proponowana modyfikacja: bez zmian
Algebra Kubusia:
Kwadrat
Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie kąty i boki równe
KW=KR*BR
Ta definicja plus definicja deltoidu to jedyne poprawne definicje czworokątów w ziemskim podręczniku matematyki.
4.2 Definicja prostokąta
Ziemska definicja prostokąta:
[link widoczny dla zalogowanych]
Prostokąt
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste.
Kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta
Proponowana modyfikacja: wywalenie wytłuszczonego bo to są brednie plus doprecyzowanie.
Algebra Kubusia:
Prostokąt
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste, zaś boki nie są równe
PR = KR*~BR
4.3 Definicja rombu
Ziemska definicja rombu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Romb
Rombem nazywamy czworokąt, którego wszystkie boki są równe.
Jest to szczególny przypadek równoległoboku.
Proponowane zmiany: wywalenie wytłuszczonego plus doprecyzowanie
Algebra Kubusia
Romb
Rombem nazywamy czworokąt, którego wszystkie boki są równe, ale nie wszystkie kąty są równe
ROMB=BR*~KR
5.0 Definicje pozostałych czworokątów
Mamy do tej pory zdefiniowane precyzyjnie trzy podstawowe czworokąty:
KW = BR*KR - kwadrat
PR = ~BR*KR - prostokąt
ROMB =BR*~KR - romb
gdzie:
BR - wszystkie boki równe
~BR - nie wszystkie boki równe
KR - wszystkie kąty równe
~KR - nie wszystkie kąty równe
Jest oczywistością, że wszystkie pozostałe czworokąty muszą nie mieć wszystkich boków równych (~BR=1) jak również nie mieć wszystkich kątów równych (~KR=1), bo w algebrze Boole’a nie ma więcej możliwości. Wyczerpaliśmy wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Stąd:
Pozostałe czworokąty = definicja*(~BR*~KR)
W pozostałych czworokątach część w nawiasie:
(~BR*~KR)
traktujemy jako domyślną i nie musimy jej wypowiadać.
W równaniu logicznym ten dodatkowy warunek musimy zapisać jawnie, bowiem wtedy i tylko wtedy możemy rozstrzygać czy cokolwiek spełnia definicję określonego czworokąta.
Zauważy że zapis:
~KR*~BR
co matematycznie oznacza:
~KR=1 i ~BR=1
Eliminuje nam czworokąty:
Kwadrat
Prostokąt
Romb
Oczywiście pozostałe czworokąty nie mogą być tożsame z żadnym z powyższych czworokątów i zapis (~BR*~KR) nam to gwarantuje!
5.1 Definicja równoległoboku
Ziemska definicja równoległoboku:
[link widoczny dla zalogowanych]
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe.
Równoległobok jest szczególnym przypadkiem trapezu równoramiennego - o dwóch parach boków równoległych.
Proponowane zmiany: wywalenie wytłuszczonego bo to brednie plus doprecyzowanie.
Algebra Kubusia
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe.
Jak to już ustaliliśmy domyślnie zakładamy dodatkowy warunek:
~BR*~KR - nie wszystkie boki równe i nie wszystkie kąty równe
To jest warunek domyślny zatem ziemska definicja może zostać bez zmian, ale uczeń musi wiedzieć co zostało nie dopowiedziane.
Pełna definicja równoległoboku w równaniu algebry Boole’a:
Równoległobok = PBPRiR * ~KR*~BR
gdzie:
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Dla równoległoboku zachodzi:
~KR=1 - równoległobok nie ma wszystkich kątów równych
~BR=1 - równoległobok nie ma wszystkich boków równych
Losujemy: Romb!
Sprawdzamy czy spełnia on definicję równoległoboku
Dla rombu mamy:
~KR=1 - romb nie ma wszystkich kątów równych
~BR=0 - romb ma wszystkie boki równe
Stąd równie logiczne równoległoboku dla rombu przyjmuje postać:
Równoległobok = PBPRiR * ~KR*~BR = x*x*0 =0
W iloczynie logicznym wystarczy gdy jedna zmienna przyjmie wartość 0 i już wynik jest zerem. Wartości logiczne pozostałych zmiennych są bez znaczenia, dlatego wstawiamy tu x.
Wniosek:
Na mocy definicji zachodzi:
Równoległobok ## romb
Równoległobok to co innego niż romb!
5.2 Definicja trapezu
Ziemska definicja trapezu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych. Boki równoległe w trapezie nazywamy podstawami, pozostałe boki nazywamy ramionami trapezu. Odcinek łączący podstawy nazywamy wysokością trapezu.
To jest oczywiście definicja super niejednoznaczna bo trapezem można też nazwać:
prostokąt
kwadrat
romb
równoległobok
Trzy pierwsze nieścisłości eliminuje nam dodanie domyślnego członu:
~BR*~KR - nie wszystkie boki równe i nie wszystkie kąty równe
Proponowane zmiany: wyeliminowanie z definicji trapezu równoległoboku plus doprecyzowanie poprzez domyślne (~BR*~KR).
Algebra Kubusia:
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma dokładnie jedną parę boków równoległych ale nie równych. Boki równoległe w trapezie nazywamy podstawami, pozostałe boki nazywamy ramionami trapezu. Odcinek łączący podstawy nazywamy wysokością trapezu.
Dodanie wytłuszczonego eliminuje nam z definicji trapezu równoległobok.
Definicja trapezu w równaniu algebry Boole’a:
Trapez = DJPBRiNR*~BR*~KR
gdzie:
DJPBRiNR - dokładnie jedna para boków równoległych i nie równych
~BR*~KR - nie wszystkie boki równe i nie wszystkie kąty równe
W trapezie mamy:
~BR=1 - nie wszystkie boki równa
~KR=1 - nie wszystkie kąty równe
Stąd domyślny człon:
~BR*~KR =1*1=1
niczego nie zmienia nam w definicji trapezu.
Przykładowo dla prostokąta byłoby tu:
~BR=1
~KR=0 - bo prostokąt ma wszystkie kąty równe
Stąd nasze równanie logiczne trapezu dla prostokąta przyjmie postać:
Trapez = DJPBRiNR*~BR*~KR = x*x*0 =0
Oczywiście jeśli:
~KR=0
to wartość pozostałych zmiennych w równaniu algebry Boole’a jest bez znaczenia, stąd znaczek x.
Oczywisty i prawidłowy wynik:
Trapez ## prostokąt
Na mocy definicji trapez to co innego niż prostokąt!
5.3 Definicja deltoidu
Ziemska definicja deltoidu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Deltoid
Deltoidem nazywamy czworokąt posiadający dwie pary boków sąsiednich równych, w którym żadne dwa boki nie są wzajemnie równoległe.
Ta definicja jest dobra i jednoznaczna także w AK, nie można za deltoid uznać jakiegokolwiek innego czworokąta!
Zapis:
Żadne dwa boki nie są wzajemnie równoległe eliminuje:
kwadrat
prostokąt
romb
równoległobok
trapez
Zapis:
Dwa sąsiednie boki równe
Wymusza kształt deltoidu
Stąd definicja deltoidu w algebrze Kubusia jest identyczna.
Algebra Kubusia
Deltoid
Deltoidem nazywamy czworokąt posiadający dwie pary boków sąsiednich równych, w którym żadne dwa boki nie są wzajemnie równoległe.
Deltoid = def.deltoidu * ~BR*~KR
Dodanie domyślnego członu:
~BR*~KR
jest w tym przypadku bez znaczenia i jest oczywiście nieszkodliwe bo dla deltoidu zachodzi:
~BR=1 - deltoid nie ma wszystkich boków równych
~KR=1 - deltoid nie ma wszystkich kątów równych
Zauważmy że definicję deltoidu można w algebrze Kubusia zredukować do postaci minimalnej:
Deltoid
Deltoidem nazywamy czworokąt którego dwa sąsiednie boki są równe
Resztę załatwia nam domyślny człon:
~BR*~KR - deltoid nie ma wszystkich kątów równych i nie ma wszystkich boków równych
Definicja deltoidu w równaniu algebry Boole’a:
DELTOID = DSBR*~BR*~KR
gdzie:
DSBR - dwa sąsiednie boki równe
6.0 Definicje grup czworokątów
Definicja czworokąta:
Czworokąt to wielokąt o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych
CZ=4B*KW
Rodzaje czworokątów:
Kwadrat, Prostokąt, Romb, Równoległobok, Trapez, Deltoid
Kwadrat
Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie kąty i boki równe
KW=KR*BR
Prostokąt
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste, zaś boki nie są równe
PR = KR*~BR
Romb
Rombem nazywamy czworokąt, którego wszystkie boki są równe, ale nie wszystkie kąty są równe
ROMB=BR*~KR
Dla pozostałych czworokątów dokładamy domyślny człon:
~BR*~KR - nie wszystkie boki równe i nie wszystkie kąty równe
Równoległobok
Równoległobokiem nazywamy czworokąt, w którym przeciwległe boki są parami równe i równoległe.
Domyślne: ~BR*~KR
Równoległobok = PBPRiR * ~KR*~BR
gdzie:
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Trapez
Trapezem nazywamy taki czworokąt, który ma dokładnie jedną parę boków równoległych ale nie równych.
Domyślne: ~BR*~KR
Trapez = DJPBRiNR*~BR*~KR
gdzie:
DJPBRiNR - dokładnie jedna para boków równoległych i nie równych
Deltoid
Deltoidem nazywamy czworokąt którego dwa sąsiednie boki są równe
Domyślne: ~BR*~KR
Deltoid = DSBR*~BR*~KR
gdzie:
DSBR - dwa sąsiednie boki równe
6.1 Grupa czworokątów
Definicja:
Czworokątami nazywamy wielokąty o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych
CZ=4B*KW
Szczegółowe równanie wszystkich czworokątów to suma logiczna precyzyjnych definicji poznanych wyżej.
Rodzaje czworokątów:
Kwadrat, Prostokąt, Romb, Równoległobok, Trapez, Deltoid
Kwadrat
KW=KR*BR
Prostokąt
PR = KR*~BR
Romb
ROMB=BR*~KR
Równoległobok
Równoległobok = PBPRiR * ~KR*~BR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Trapez
Trapez = DJPBRiNR*~BR*~KR
DJPBRiNR - dokładnie jedna para boków równoległych i nie równych
Deltoid
Deltoid = DSBR*~BR*~KR
DSBR - dwa sąsiednie boki równe
Grupa czworokątów = Kwadrat $ Prostokąt $ Romb $ Równoległobok $ Trapez $ Deltoid
GC = (KR*BR) $ (KR*~BR) $ (BR*~KR) $ (PBPRiR*~KR*~BR) $ (DJPBRiNR*~BR*~KR) $ (DSBR*~BR*~KR)
Wszystkie czworokąty są precyzyjnie zdefiniowane równaniami algebry Boole’a.
Na mocy definicje wszystkie czworokąty są rozłączne, zatem ma tu zastosowanie prawo Hipcia.
Żaden z czworokątów nie może być jednocześnie którymkolwiek z pozostałych.
Przykładowo wykluczone jest aby prostokąt był jednocześnie kwadratem itd.
Pani:
Jasiu narysuj prostokąt
W algebrze Kubusia Jas nie ma wyjście musi narysować tylko i wyłącznie prostokąt opisany równaniem algebry Boole’a:
PR=KR*~BR
Mamy matematykę w 100% jednoznaczną!
Pani może jednak zadać takie pytanie:
Jasiu wymień wszystkie czworokąty
Jaś:
Kwadrat, Prostokąt, Romb, Równoległobok, Trapez, Deltoid
Pani:
Jasiu, narysuj dowolny czworokąt
Tu Jaś może rzucać moneta i narysować którykolwiek z powyższych
Grupa czworokątów to jedyna grupa którą uczeń powinien znać. Jeśli zna dokładne definicje wszystkich czworokątów z algebry Kubusia, umie się nimi posługiwać, to nic więcej nie jest potrzebne.
Pozostałe grupy wynikają z aktualnych definicji obowiązujących w matematyce, gdzie zamiast definiować ściśle (matematycznie) poszczególne czworokąty, definiuje się całe grupy prostokątów.
Takie podejście jest matematycznie błędne bo czyni matematykę niejednoznaczną.
6.2 Grupa prostokątów
Definicja:
Prostokątami nazywamy czworokąty, których wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste
Do grupy prostokątów należą:
Kwadrat, Prostokąt
Grupę prostokątów opisuje równanie logiczne algebry Boole’a.
Grupa prostokątów = Kwadrat $ Prostokąt
GP = (KR*BR) $ (KR*~BR)
Na mocy definicji szczegółowych te czworokąty są rozłączne, obowiązuje zatem prawo Hipcia, gdzie prostokąt nie ma prawa być jednocześnie kwadratem i odwrotnie.
Pani:
Jasiu, wymień wszystkie prostokąty
Jaś:
Kwadrat, prostokąt
Pani:
Narysuj dowolny prostokąt z grupy prostokątów
Jaś:
Tu Jas może rzucać moneta i narysować cokolwiek, kwadrat albo prostokąt
Jednak na jasno postawione zadanie:
Jasiu, narysuj prostokąt
Jas nie ma wyjścia i musi narysować prostokąt precyzyjnie matematycznie zdefiniowany:
PR=KR*~BR
Znów mamy matematykę w 100% jednoznaczną!
6.3 Grupa rombów
Definicja:
Rombami nazywamy czworokąty, które mają wszystkie boki równe
Do grupy rombów zaliczamy:
Romb, Kwadrat
Równanie algebry Boole’a opisujące ta grupę:
Grupa rombów = Romb $ Kwadrat
GR = (BR*~KR) $ (BR*KR)
Jak widzimy zbiory te są rozłączne, zatem na mocy prawa Hipcia nic co jest kwadratem nie ma prawa być rombem i odwrotnie.
Pani:
Jasiu, wymień czworokąty należące do grupy rombów
Jaś:
Romb, kwadrat
Pani:
Jasiu, narysuj dowolny czworokąt z tej grupy
Jaś:
Tu Jaś może sobie rzucać monetą i narysować cokolwiek, romb albo kwadrat
Pani:
Jasiu, narysuj romb
Jaś:
Tu Jas nie ma wyjścia i musi narysować romb precyzyjnie zdefiniowany równaniem algebry Boole’a
Romb = BR*~KR
Jak widzimy, algebra Kubusia jest w 100% jednoznaczna.
6.4 Grupa równoległoboków
Definicja:
Równoległobokami nazywamy czworokąty, w których przeciwległe boki są parami równe i równoległe.
Do grupy równoległoboków należą:
Kwadrat, Prostokąt, Romb, Równoległobok
Równanie algebry Boole’a opisujące grupę równoległoboków:
Grupa równoległoboków = Kwadrat $ Prostokąt $ Romb $ Równoległobok
GR = (KR*BR) $ (KR*~BR) $ (~KR*BR) $ (PBPRiR * ~KR*~BR)
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Na mocy szczegółowych definicji wszystkie te czworokąty to zbiory rozłączne, zatem obowiązuje prawo Hipcia na mocy którego żaden z tych czworokątów nie może być równocześnie dowolnym innym.
Pani:
Jasiu wymień wszystkie równoległoboki należące do grupy równoległoboków
Jaś:
Kwadrat, Prostokąt, Romb, Równoległobok
Pani:
Narysuj dowolny czworokąt z tej grupy
Jaś:
Tu Jaś może rzucać monetą i narysować którykolwiek z wyżej wymienionych czworokątów
Pani:
Jasiu narysuj równoległobok
Jaś:
Jaś nie ma wyjścia i musi narysować precyzyjnie zdefiniowany równoległobok
PBPRiR * ~KR*~BR
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
Znów mamy piękną, jednoznaczną matematykę.
6.5 Grupa trapezów
Definicja:
Trapezami nazywamy czworokąty, które mają przynajmniej jedną parę boków równoległych
Grupa trapezów to:
Kwadrat, Prostokąt, Romb, Równoległobok, Trapez
Równanie logiczne algebry Boole’a opisujące tą grupę:
Grupa trapezów = Kwadrat $ Prostokąt $ Romb $ Równoległobok $ Trapez
GT = (KR*BR) $ (KR*~BR) $ (~KR*BR) $ (PBPRiR * ~KR*~BR) $ (DJPBRiNR*~BR*~KR)
PBPRiR - przeciwległe boki parami równe i równoległe
DJPBRiNR - dokładnie jedna para boków równoległych i nie równych
Na mocy szczegółowych definicji wszystkie wymienione czworokąty są rozłączne. Obowiązuje zatem prawo Hipcia gdzie żaden z tych czworokątów nie może być jednocześnie dowolnym innym
Pani:
Jasiu, wymień czworokąty należące do grupy trapezów
Jaś:
Kwadrat, Prostokąt, Romb, Równoległobok, Trapez
Pani:
Jasiu, narysuj dowolny z tych czworokątów
Jaś:
Jas rzuca monetą i rysuje romb
Pani:
Jasiu, narysuj trapez
Jaś:
Tu Jaś nie ma wyjścia i musi narysować precyzyjnie zdefiniowany trapez
Trapez = DJPBRiNR*~BR*~KR
DJPBRiNR - dokładnie jedna para boków równoległych i nie równych
Matematyka musi być ZAWSZE w 100% jednoznaczna, taka jest algebra Kubusia!
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 19:43, 30 Sty 2013, w całości zmieniany 55 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35365
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 15:21, 11 Wrz 2012 Temat postu: |
|
|
Fiklicie, na twój post odpowiem za chwilę … na razie teoria.
Dodatek B
Prawo Hipcia
Jeśli ludzie załapią algebrę Kubusia zapewne wielu uzna ją za największe odkrycie w historii ludzkości.
Najważniejszy przełom w historii 7-letniej wojny:
algebra Kubusia vs logika „matematyczna” Ziemian
Dlaczego najważniejszy?
Bo prawa Hipcia i technikę wypełniania tabel zero-jedynkowych dla zbiorów rozłącznych może nie zrozumieć wyłącznie matematyczny ignorant … kto zrozumie i zaakceptuje, to musi zaakceptować całą AK!
Wykłady z algebry Kubusia
Temat:
Prawo Hipcia
Budowa tabel zero jedynkowych dla zbiorów rozłącznych (przełom w AK!)
Spis treści:
1.0 Wstęp
2.0 Prawa implikacyjne znane Ziemianom
3.0 Prawo Hipcia
3.1 Pseudo operator Hipcia
4.0 Prawo Hipcia w implikacji
5.0 Prawo Hipcia w równoważności
5.1 Problem kwadratu i prostokąta
6.0 Samodzielny warunek wystarczający
7.0 Prawo Orła
1.0 Wstęp
Definicje warunków wystarczających => i koniecznych ~> podano w tym poście:
[link widoczny dla zalogowanych]
Związek między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~> opisują prawa Kubusia:
p=>q = p~>~q - definicja implikacji prostej
p~>q = ~p=>~q - definicja implikacji odwrotnej
Prawa Kubusia to prawa matematyczne obowiązujące w naszym Wszechświecie.
Prawa Kubusia to po prostu definicje implikacji prostej i odwrotnej zapisane w równaniach algebry Boole’a.
Definicja warunku wystarczającego =>:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q w całym obszarze matematyki
Ogólna definicja znaczka =>:
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
p=>q
Każdy element zbioru p musi zawierać się w zbiorze q
Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” (rzucanie monetą) między p i q:
Ogólna definicja znaczka ~>:
Zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
p~>q
Zabieram zbiór p i musi zniknąć zbiór q
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zaistnienia.
Algebra Kubusia to algebra zbiorów opisana zaledwie 16 operatorami logicznymi. Logika Ziemian jest do bani bo błędnie widzi relację między zbiorami w absolutnie wszystkich operatorach logicznych. Ziemianie po prostu nie znają poprawnej budowy w zbiorach ani jednego operatora logicznego.
Operator logiczny to zawsze złożenie spójnika logicznego w logice dodatniej ze spójnikiem przeciwnym w logice ujemnej.
Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie siedem spójników logicznych.
Operatory AND, OR i XOR:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
$ - spójnik „albo” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
Kubusiowa teoria zbiorów to definicje wszystkich możliwych operatorów logicznych w zbiorach, z których najważniejsze to:
OR:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p+q
~Y=~p*~q
AND:
Zbiory p i q muszą mieć część wspólną i żaden z nich nie może zawierać się w drugim.
Y=p*q
~Y=~p+~q
Implikacja prosta:
Zbiór p musi zawierać się w całości w zbiorze q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p=>q = ~p=>~q
Implikacja odwrotna:
Zbiór p musi zawierać w sobie zbiór q i nie być tożsamym ze zbiorem q
p~>q = ~p=>~q
Równoważność:
Zbiór p musi być tożsamy ze zbiorem q, co wymusza tożsamość zbiorów ~p i ~q
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
XOR
Zbiór p musi być rozłączny ze zbiorem q
Y = p*~q + ~p*q
Algebra Kubusia to matematyczny opis naszego Wszechświata, w tym nieznanego.
2.0 Prawa implikacyjne znane Ziemianom
Prawa implikacyjne znane Ziemianom, podobne do prawa Hipcia, to prawa dla zbiorów mających część wspólną i nie zawierających się jeden w drugim.
Prawa algebry Boole’a :
I.
p+q=>r = (p=>r)*(q=>r)
Definicja znaczka => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
p=>q = ~p+q
Dowód:
Lewa strona A:
p+q=>r = ~(p+q)=>r = ~p*~q+r
bo prawo De Morgana:
~(p+q) = ~p*~q
Prawa strona A:
(p=>r)*(q=>r) = (~p+r)*(~q+r) = ~p*~q + ~p*r + ~q*r + r*r = ~p*~q + r*(~p+~q+1) = ~p*~q +r
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
Mnożenie wielomianów
r*r=r
r = r*1
1+x = 1
r*1=r
L=P
cnd
IA.
p+q=>r # (p=>r)+ (p=>r)
Dowód:
Lewa strona:
p+q=>r = ~(p+q)+r = ~p*~q + r
Prawa strona:
(p=>r) + (q=>r) = ~p+r + ~q+r = ~p+~q +r
L#P
cnd
II
(p*q=>r) = (p=>r) + (q=>r)
Lewa strona:
~(p*q)+r = ~p+~q +r
Prawa strona:
(p=>r)+(q=>r) = ~p+r + ~q+r = ~p+~q +r
L=P
cnd
IIA.
(p*q=>r) # (p=>r)*(q=>r)
Lewa strona:
~(p*q)+r = ~p+~q +r
Prawa strona:
(p=>r)*(q=>r) = (~p+r)*(~q+r) = ~p*~q + ~p*r + ~q*r + r*r = ~p*~q + r(~p+~q+1) = ~p*~q +r
L#P
cnd
3.0 Prawo Hipcia
Prawo Hipcia obowiązuje dla zbiorów rozłącznych
Definicja spójnika „albo’($):
(A1$A2$...An) = A1$A2$...An
co matematycznie oznacza:
(A1$A2$...An)=1 <=> A1=1 albo A2=1 albo … An=1
czyli:
(A1$A2$...An)=1 wtedy i tylko wtedy gdy wyłącznie jedna ze zmiennych A1, A2…An jest równa 1
gdzie:
$ - symbol spójnika „albo”($)
Definicja spójnika „albo”($):
| Kod: |
p q Y=p$q | ~p ~q Y=~p$~q | q$p
A: 1 1 =0 | 0 0 =0 | =0
B: 1 0 =1 /p$q=p*~q | 0 1 =1 /~p$~q=p*~q | =1
C: 0 1 =1 /p$q=~p*q | 1 0 =1 /~p$~q=~p*q | =1
|
Definicja dwuargumentowego operatora XOR:
| Kod: |
p q Y=p$q | ~p ~q Y=~p$~q | q$p
A: 1 1 =0 | 0 0 =0 | =0
B: 1 0 =1 /p$q=p*~q | 0 1 =1 /~p$~q=p*~q | =1
C: 0 1 =1 /p$q=~p*q | 1 0 =1 /~p$~q=~p*q | =1
D: 0 0 =0 | 1 1 =0 | =0
|
Definicja spójnika „albo”($) dla dwóch argumentów w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
p$q = p*~q + ~p*q
Właściwości spójnika „albo”($):
1.
Argumenty są przemienne
p$q = q$p
2.
Zachodzi tożsamość matematyczna
p$q = ~p$~q
Oznacza to, że wszystko jedno czy zbiory rozłączne nazwiemy p i q, czy też ~p i ~q
gdzie:
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka
Definicje:
U - Uniwersum - wszelkie pojęcia zrozumiałe dla człowieka
[] - Zbiór pusty - zbiór zawierający zero elementów
Właściwości zbioru pustego i Uniwersum:
~[] = U - zaprzeczenie zbioru pustego [] to Uniwersum
~U = [] - zaprzeczenie Uniwersum to zbiór pusty []
Dla zbiorów rozłącznych spójnik „albo”($) opisany jest wyłącznie liniami A, B, C powyższej tabeli
bo:
Na mocy definicji spójnika „albo” zbiory p i q muszą być rozłączne.
Wartość logiczna zbiorów p i q to:
p=1 - istnieją elementy zbioru p
~p = U-p =1 - Uniwersum minus elementy zbioru p (zbiór niepusty nie będący Uniwersum)
q=1 - istnieją elementy zbioru q
~q = U-q =1 - Uniwersum minus elementy zbioru q (zbiór niepusty nie będący Uniwersum)
Komentarz:
Zauważmy, że zbiory ~p i ~q mają część wspólną, zatem nie podlegają pod definicję spójnika „albo”($).
W definicji operatora XOR spójnik „albo” opisany jest zatem wyłącznie liniami A, B i C.
Dla n argumentów w definicji spójnika „albo” wykluczamy linię z samymi zerami po stronie wejścia operatora XOR (bramki XOR).
Definicja dwuargumentowego spójnika „albo”($) w zbiorach:
| Kod: |
p q Y=p$q
A: 1 1 =0 /~Y= p* q=1*1=0 - zbiory rozłączne
B: 1 0 =1 / Y= p*~q=1*1=1 (=p)
C: 0 1 =1 / Y=~p* q=1*1=1 (=q)
|
Definicja trzyargumentowego spójnika „albo”($) w zbiorach:
| Kod: |
p q r Y=p$q$r
A: 1 1 1 =0 /Y= p* q* r=1*1*x=0
B: 1 1 0 =0 /Y= p* q*~r=1*1*x=0
C: 1 0 1 =0 /Y= p*~q* r=1*x*1=0
D: 1 0 0 =1 /Y= p*~q*~r=1*x*x=1 (=p)
E: 0 1 1 =0 /Y=~p* q* r=x*1*1=0
F: 0 1 0 =1 /Y=~p* q*~r=x*1*x=1 (=q)
G: 0 0 1 =1 /Y=~p*~q* r=x*x*1=1 (=r)
|
Legenda:
x - znaczek oznaczający, że na tej pozycji nie ma jedynki lub jest jedynka trzecia i dalsza
W dowolnej linii szukamy dwóch jedynek.
Jeśli takie istnieją to w wyniku zapisujemy 0, inaczej 1.
Uzasadnienie:
p*q=1*1=0
Zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty).
Iloczyn logiczny zbioru pustego z dowolną ilością zbiorów niepustych daje w wyniku 0 (zbiór pusty).
Zauważmy, że żaden ze zbiorów zanegowanych nie jest równy Uniwersum bo:
Zbiór p istnieje i jest niepusty:
p=1
Zaprzeczenie zbioru niepustego to Uniwersum pomniejszone o elementy tego zbioru:
~p = U-p =1 - zbiór niepusty, nie będący Uniwersum
Diagram działania spójnika „albo” dla dwóch argumentów:
Diagram działania spójnika „albo” dla trzech argumentów
Prawo Hipcia:
Prawo dopełnienia do dziedziny dla n argumentów.
Jeśli zbiory A1,A2 … An są rozłączne:
A1$A2$ … An
oraz zachodzi:
A1+A2+…An = r
to:
[(A1$A2$ …An)=>r] = [(A1=>r) + (A2=>r) + … (An=>r)] = [r=>r]
Prawo Hipcia dla dwóch argumentów:
Jeśli zbiory p i q są rozłączne:
p$q
oraz zachodzi:
p+q=r
to:
(p$q=>r) = [(p=>r) + (q=>r)] = (r=>r)
Diagram w zbiorach:
Definicja spójnika „albo”($):
(A1$A2$..An) = A1$A2$… An
co matematycznie oznacza:
(A1$A2$.. An)=1 <=> A1=1 albo A2=1 albo … An=1
(A1$A2$.. An)=1 <=> dokładnie jedna zmienna jest równa 1
Prawo Hipcia:
(p$q=>r) = [(p=>r) + (q=>r)] = (r=>r)
Założenia:
p$q - zbiór p jest rozłączny ze zbiorem q
p+q=r - zbiór r jest suma logiczną zbiorów p i q
| Kod: |
p q p$q p+q=r p$q=>r p=>r q=>r p=>r+q=>r r=>r
1 1 0 1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1 1
|
Prawo Hipcia dla trzech argumentów:
[(p$q$s)=>r] = [(p=>r) + (q=>r) + (s=>r)] = (r=>r)
Założenia:
p$q$s - zbiory rozłączne
p+q+s =r - zbiór r jest sumą logiczną zbiorów p, q i s
| Kod: |
A B C
p q s p$q$s p+q+s=r p$q$s=>r p=>r q=>r s=>r (A+B+C) r=>r
1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1
|
[(p$q$s)=>r] = [(p=>r) + (q=>r) + (s=>r)] = (r=>r)
cnd
Prawo Hipcia dla n argumentów:
Jeśli zbiory A1,A2 … An są rozłączne:
A1$A2$ … An
oraz zachodzi:
A1+A2+…An = r
to:
[(A1$A2$ …An)=>r] = [(A1=>r) + (A2=>r) + … (An=>r)] = [r=>r]
Wniosek z prawa Hipcia:
Jeśli zbiory są rozłączne to jedynym poprawnym spójnikiem łączącym te zbiory jest spójnik „albo”($).
Y=A1$A2$...An
Nie ma tu fizycznej możliwości aby obiekt Ax mógł być jednocześnie którymkolwiek obiektem Ay, bo wszystkie zbiory są rozłączne z założenia.
Przykład:
Robimy podział kobiet ze względu na kolor włosów:
Dziedzina: blondynki, brunetki, pozostałe
Prawo Hipcia:
Wszystkie kobiety = blondynki $ brunetki $ pozostałe
WK = BL $ BR $ PZ
Oczywiście możemy wyodrębnić dalsze kolory np.
Dziedzina: blondynki, brunetki, rude, pozostałe
Prawo Hipcia:
Wszystkie kobiety = blondynki $ brunetki $ rude $ pozostałe
WK = BL $ BR $ RD $ PZ
Najcenniejszy matematycznie jest podział według takiego kryterium gdzie otrzymujemy wyłącznie dwa zbiory niepuste, bowiem wtedy mamy do czynienia z równoważnością. Równoważność to rzadkość w matematyce, a w przyrodzie praktycznie nie występuje.
Przy dokładnie trzech zbiorach niepustych mamy do czynienia z powszechnie występującą w przyrodzie implikacją, będzie o tym za chwilę.
3.1 Pseudo operator Hipcia
Pseudo operator Hipcia umożliwia matematyczny opis figury geometrycznej X przy pomocy definicji figury Y. Pseudo operator Hipcia to odpowiednik makro rozkazu w języku asemblera.
Definicja pseudo operatora Hipcia:
p&p*r = ~p*r
Algorytm działania pseudo operatora Hipcia:
1.
Negujemy zmienne po lewej stronie znaku &, ale tylko te które występują po prawej stronie tego znaku.
2.
Jeśli zmienna widoczna po prawej stronie znaku & nie występuje po jego przeciwnej stronie to dołączamy ją ze spójnikiem „i”(*).
Przykład:
W dziedzinie czworokątów mamy wyłącznie dwa czworokąty o kątach równych, to kwadrat i prostokąt.
Na mocy definicji mamy tu do czynienia z równoważnością gdzie obowiązuje:
KW=~PR
PR=~KW
Kwadrat
Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie kąty i boki równe
KW=KR*BR
Prostokąt
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste, zaś boki nie są równe
PR = KR*~BR
Pseudo operator Hipcia umożliwia, poprawne przekształcenia na definicjach:
KW = KR*BR
PR = KR*~BR
KW = ~(PR) = (KR*~BR)&BR = KR*BR
PR = ~(KW) = (KR*BR)&BR = KR*~BR
4.0 Prawo Hipcia w implikacji
Najciekawsze zależności między dwoma zbiorami są następujące.
I.
Diagram implikacji prostej:
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Przykład:
Dziedzina:
ZLN - zbiór liczb naturalnych
p = [1,2]
q = [1,2,3,4,5,6]
~p = [3->oo]
~q = [7->oo]
Badamy wszystkie możliwe kombinacje zbiorów:
A.
p=>q =1
p*q = [1,2]*[1,2,3,4,5,6] = [1,2]
B.
p~~>~q =0
p*~q = [1,2]*[7->oo] =[] - zbiór pusty!
C.
~p~>~q =1
~p*~q = [3->oo]*[7->oo] = [7->oo]
D.
~p~~>q=1
~p*q = [3->oo]*[1,2,3,4,5,6] = [3,4,5,6]
Mamy trzy zbiory niepuste zatem na mocy definicji zachodzi tu implikacja prosta.
Prawo Hipcia jest oczywiście spełnione:
ZLN = p*q + ~p*~q + ~p*q = [1,2] + [7->oo] + [3,4,5,6]
gdzie:
ZLN - zbiór liczb naturalnych
Oczywiście takie działania na przypadkowych zbiorach liczb to śmieci.
Jednak w przyrodzie jest inaczej, jest genialnie!
Diagram implikacji prostej:
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L =1 bo pies
Definicja znaczka => spełniona bo:
Zbiór pies zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L).
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L=0
… a jak nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura, wąż ..
Definicja znaczka ~> spełniona bo:
Zbiór ~P zawiera w sobie zbiór ~4L
LUB
D.
Jeśli zwierzę nie jest to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo koń, słoń …
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A otrzymujemy zero-jedynkową definicje implikacji prostej:
P=>4L
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
| Kod: |
Zapis |Kodowanie zero-jedynkowe
Symboliczny | P 4L P=>4L
A: P=> 4L =1 | 1 1 =1
B: P~~>~4L=0 | 1 0 =0
C:~P~>~4L =1 | 0 0 =1
D:~P~~>4L =1 | 0 1 =1
|
cnd
Oczywiście spełnione jest prawo Hipcia, czyli zbiory A, C i D są rozłączne, a ich suma to wszystkie zwierzaki!
ZWZ = P*4L (pies) + ~P*~4L (kura, wąż ..) + ~P*4L (koń, słoń ..)
To jest coś pięknego, czyli …
Naturalna logika każdego człowiek opisana matematycznie!
.. od 5-cio latka po profesora.
5.0 Prawo Hipcia w równoważności
Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p)
Równoważność to na mocy definicji dwa i tylko dwa zbiory rozłączne
p=q
oraz
~p=~q
Przykład 1.
p=q
p =[1,2,3,4,5,6]
q = [1,2,3,4,5,6]
~p=~q
~p = [7->oo]
~q = [7->oo]
Dziedzina: zbiór liczb naturalnych
Zachodząca równoważność:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p)
Dowód:
Zbiory: p=q
A.
p=>q =1
p*q = [1,2,3,4,5,6]*[1,2,3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6]
B.
p~~>~q =0
p*~q = [1,2,3,4,5,6]*[7->oo] = [] - zbiór pusty
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Zbiory: ~p=~q
C.
~p=>~q=1
~p*~q = [7->oo]*[7->oo] = [7->oo]
D.
~p~~>q =0
~p*q = [7->oo]*[1,2,3,4,5,6] =[] - zbiór pusty
Przykład wyżej to operacje na śmieciach w przeciwieństwie do czegoś genialnego niżej.
Twierdzenie Pitagorasa
Przykład 2.
Dziedzina:
ZT - zbiór trójkątów prostokątnych i nie prostokątnych, są tylko dwa takie zbiory.
ZT = ZTP $ ZTNP
W tej dziedzinie obowiązuje twierdzenie Pitagorasa:
AR.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) = (TP=>SK)*(SK=>TP)
Zachodzi tożsamość zbiorów:
TP=SK
oraz:
~TP=~SK
Wszelkie inne trójkąty wrzucamy do pudełka z napisem: trójkąt nie prostokątny
Nie interesują nas tu szczegóły typu: trójkąt równoboczny, rozwartokątny ..
Dowód:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP<=>~SK)
Zachodzi tożsamość zbiorów:
TP=SK
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
Zbiory: TP*SK = 1
Z powodu tożsamości zbiorów TP=SK spełniona jest definicja znaczka =>:
Wymuszam dowolny TP i musi pojawić się SK.
B.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~> nie zachodzić suma kwadratów
TP~~>~SK =0
Zbiory: TP*~SK =[] - zbiór pusty
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)(TP=>SK)
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~TP=~SK
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1
Zbiory: ~TP*~SK =1
Z powodu tożsamości zbiorów ~TP=~SK spełniona jest definicja znaczka =>:
Wymuszam dowolny ~TP i musi pojawić się ~SK.
D.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
~TP~~>SK =0
~TP*SK = [] - zbiór pusty
Dwa zbiory niepuste, zatem na mocy definicji to jest równoważność.
Prawo Hipcia:
ZT = TP*SK $ ~TP*~SK
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem AR otrzymujemy definicję równoważności:
TP<=>SK
TP=1, ~TP=0
SK=1, ~SK=0
| Kod: |
Zapis
Symboliczny | TP SK TP<=>SK=(TP=>SK)*(~TP=>~SK)
A: TP=> SK =1 | 1 1 =1
B: TP~~>~SK=0 | 1 0 =0
C:~TP=>~SK =1 | 0 0 =1
D:~TP~~>SK =0 | 0 1 =0
|
cnd
Zauważmy że w równoważności zachodzi tożsamość zbiorów:
TP=SK
~TP=~SK
W równoważności zachodzą też następujące relacje tożsamościowe:
1.
TP=~(~SK)
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy nie jest prawdą ~(…) że nie zachodzi w nim suma kwadratów.
TP <=> ~(~SK)
2.
~TP=~(SK)
Trójkąt nie jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy nie jest prawdą, że zachodzi w nim suma kwadratów
~TP<=>~(SK)
5.1 Problem kwadratu i prostokąta
Definicje podstawowe.
Definicja czworokąta:
Czworokąt to wielokąt o czterech bokach i o czterech kątach wewnętrznych
CZ=4B*KW
Rodzaje czworokątów:
Kwadrat, Prostokąt, Romb, Równoległobok, Trapez, Deltoid
Kwadrat
Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie kąty i boki równe
KW=KR*BR
Prostokąt
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste, zaś boki nie są równe
PR = KR*~BR
Dziedzina:
CKR - zbiór czworokątów o równych kątach
W naszej dziedzinie CKR istnieją wyłącznie dwa takie czworokąty, kwadrat i prostokąt, zatem na mocy definicji to jest ewidentna równoważność.
KW - kwadrat
~KW - nie kwadrat
PR - prostokąt
~PR - nie prostokąt
BR - boki równe
~BR - boki nie równe
Na czym polega problem kwadratu i prostokąta?
Zapomnijmy na chwilę o nazwach kwadrat i prostokąt, nie ma tego!
Nadzbiór:
CKR = zbiór wszystkich czworokątów o kątach prostych
Podzbiory:
CKRBR = czworokąt o kątach prostych i bokach równych
CKRBR = KR*BR
CKRNBR = czworokąt o kątach prostych i bokach nierównych
CKRNBR = KR*~BR
Tych definicji nikt nie ma prawa zakwestionować. Wśród wszystkich czworokątów mamy wyłącznie dwa czworokąty o równych kątach zdefiniowane wyżej precyzyjnie równaniami algebry Boole’a jak wyżej. Zbiory czworokątów CKRBR i CKRNBR są rozłączne.
Dowód:
Badamy czy istnieje wspólna część zbiorów CKRBR i CKRNBR
CKRBR * CKRNBR = (KR*BR)*(KR*~BR) = KR*BR*KR*~BR = KR*BR*~BR = KR*0 =0
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p*p=p
p*~p=0
p*0=0
Brak wspólnej części zbiorów jest dowodem, iż zbiory CKRBR i CKRNBR są rozłączne.
Nie ma więcej czworokątów o równych kątach.
Obowiązuje więc prawo Hipcia.
Dziedzina:
CKR - zbiór wszystkich czworokątów o równych kątach
Prawo Hipcia:
CKR = CKRBR $ CKRNBR
Na mocy prawa Hipcia nic co jest CKRBR nie ma prawa być CKRNBR i odwrotnie. Oznacza to że człowiek nie jest w stanie narysować takiego czworokąta który byłby równocześnie CKRBR i CKRNBR.
KONIEC!
Teraz człowiek może sobie robić dowolne fiku-miku. Nie może być tak, że przez nadanie dowolnych nazw dla CKBRKR i CKNBR człowiek zmieni fizyczną rzeczywistość.
… a takie fiku-miku ludzie jednak robią.
Fiku-miku Ziemian:
Każdy kwadrat jest prostokątem
czyli:
Czworokąt = kwadrat, zdefiniowany jak niżej:
CKRBR = KR*BR
Jest jednocześnie prostokątem, czyli czworokątem o definicji:
CKRNBR = KR*~BR
Matematyka ścisła, prawo Hipcia, leży w tym momencie w gruzach. Nawet bez prawa Hipcia to błąd czysto matematyczny, wystarczyło pomyśleć.
Skoro zgadzam się że zbiór:
CKRBR = KR*BR
Jest rozłączny ze zbiorem:
CKNBR = KR*~BR
Czyli nie można narysować czworokąta spełniającego i jedno i drugie, to żadne gierki słowne nie mają prawa zmienić tego faktu.
Wróćmy zatem do jedynych poprawnych definicji kwadratu i prostokąta.
Kwadrat
Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie kąty i boki równe
KW=KR*BR
Prostokąt
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste, zaś boki nie są równe
PR = KR*~BR
Jest oczywistym, ze aby rozstrzygnąć czy czworokąt jest kwadratem czy prostokątem musimy sprawdzić dwa parametry: KR i BR
KW=KR*BR
PR=KR*~BR
Drabinka Ziemian jest następująca:
Nadzbiór:
A: ZWP - zbiór wszystkich prostokątów
ZWP=KR
Podzbiory:
B: Kwadrat o definicji:
KW=KR*BR
C: czworokąt nie będący kwadratem
… ale czworokątów mających kąty równe jest dokładnie dwa: kwadrat i prostokąt, czyli tym czworokątem C musi być prostokąt!
Aktualna drabinka:
Nadzbiór:
A: ZWP - zbiór wszystkich prostokątów
ZWP = KR
Podzbiory:
B: Kwadrat o definicji:
KW=KR*BR
C: Prostokąt o definicji:
PR = KR ~BR
Oczywiście definicja prostokąta musi być różna od kwadratu, zatem jedyna możliwość to:
PR = KR*~BR
cnd
Matematycznie wszystko się tu zgadza:
Nadzbiór:
A: ZWP - zbiór wszystkich prostokątów:
ZWP = KR = KR*1 = KR*(BR $ ~BR) = KR*BR $ KR*~BR
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p = p*1
p+~p=1
Mnożenie stałej przez wielomian
ZWP = KR*BR $ KR*~BR - prawo Hipcia
Podzbiory:
B: Kwadrat o definicji:
KW = KR*BR
C: Prostokąt o definicji:
PR = KR ~BR
Jak widzimy matematycznie wszystko pasuje GENIALNIE!
Czego więcej chcieć?
Definicja równoważności w zbiorach:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Równoważność to na mocy definicji dwa i tylko dwa zbiory rozłączne
p=q
oraz
~p=~q
Przekładając to na nasz przykład mamy:
KW=KW
KW=KR*BR
~KW=~KW
~KW=KR*~BR
Twierdzenie:
Każdy zbiór jest tożsamy z sobą samym
Oczywiście nie jest to definicja czegokolwiek ale prawo matematyczne!
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
stąd dla naszego przykładu:
AR.
Czworokąt jest kwadratem wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe i boki równe
KW<=>KR*BR = (KW=>KR*BR)*[~KW=>~(KR*BR)] = (KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
bo prawo De Morgana:
~(p*q) = ~p+~q
KW<=>KR*BR = (KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
Prawo algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q
stąd:
~KW<=>~(KR*BR)
~KW<=>(~KR+~BR) = [~KW=>(~KR+~BR)]*(KW=>KR*BR)
Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
AR.
KW<=>KR*BR = (KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
A.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to na pewno => ma kąty równe i boki równe
KW=>KR*BR =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
KW = KR*BR
Wymuszam dowolne KW i pojawia mi się KR*BR
Zgodne z KW:
KW=1 => KR*BR
KW: KR=1, BR=1 =>1*1=1
Niezgodne z KW:
PR: KR=1, BR=0 => 1*0=0
ROMB: KR=0, BR=1=>0*1=0
INNE: KR=0, BR=0 =>0*0 =0
B.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to może ~~> nie mieć kątów równych lub nie mieć boków równych
KW~~>(~KR+~BR) =0
Zgodne z KW:
KW=1 ~~> ~KR+~BR
KW: ~KR=0, ~BR=0 =>0+0=0
Niezgodne z KW:
PR: ~KR=0, ~BR=1 =>0+1=1
ROMB: ~KR=1, ~BR=0 => 1+0=1
INNE: ~KR=1, ~BR=1 =>1+1=1
… a jeśli czworokąt nie jest kwadratem?
~KW<=>(~KR+~BR) = [~KW=>(~KR+~BR)]*(KW=>KR*BR)
C.
~KW=>(~KR+~BR)
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem (jest prostokątem) to na pewno => nie ma kątów równych lub nie ma boków równych
~KW=>(~KR+~BR) =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
~KW = (~KR+~BR)
Zgodnie z ~KW:
~KW=1 => ~KR+~BR
PR: ~KR=0, ~BR=1 =>0+1 =1
ROMB: ~KR=1, ~BR=0 => 1+0 =1
INNE: ~KR=1, ~BR=1 =>1+1=1
Niezgodne z ~KW:
KW: ~KR=0, ~BR=0 =>0+0=0
D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to może ~> mieć kąty równe i boki równe
~KW~~>(KR*BR) =0
Zgodne z ~KW:
~KW=1 ~~> KR* BR
PR: KR=1, BR=0 => 1*0 =0
ROMB: KR=0, BR=1 => 0*1=0
INNE: KR=0, BR=0 => 0*0 =0
Niezgodne z ~KW:
KW: KR=1, BR=1 =>1*1=1
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem AR otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności:
KW<=>KR*BR
KW=1, ~KW=0
KR*BR=1, (~KR+~BR)=0
| Kod: |
Zapis
Symboliczny | KW KR*BR KW<=>KR*BR=(KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
A: KW=> (KR*BR) =1 | 1 1 =1
B: KW~~>(~KR+~BR)=0 | 1 0 =0
C:~KW=> (~KR+~BR)=1 | 0 0 =1
D:~KW~~>(KR*BR) =0 | 0 1 =0
|
cnd
W równoważności zachodzą prawa tożsamościowe:
KW=~PR
PR=~KW
Pseudo operator Hipcia umożliwia poprawne przekształcenia na definicjach:
KW = KR*BR
PR = KR*~BR
KW = ~(PR) = (KR*~BR)&BR = KR*BR
PR = ~(KW) = (KR*BR)&BR = KR*~BR
Analogiczna równoważność zachodzi dla prostokąta:
PR<=>KR*~BR = (PR=>KR*~BR)*[PR=>(~KR+BR)]
Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
AR.
PR<=>KR*~BR = (PR=>KR*~BR)*[~PR=>(~KR+BR)]
A.
Jeśli czworokąt jest prostokątem to na pewno => ma kąty równe i boki nie równe
PR=>KR*~BR =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
PR = KR*~BR
Wymuszam dowolne PR i pojawia mi się KR*~BR
Zgodne z PR:
PR=1 => KR*~BR
PR: KR=1, ~BR=1 => 1*1=1
Niezgodne z PR:
KW: KR=1, ~BR=0 => 1*0 =0
ROMB: KR=0, ~BR=0 =>0*0=0
INNE: KR=0, ~BR=1 => 0*1 =0
B.
Jeśli czworokąt jest prostokątem to może ~~> nie mieć kątów równych lub mieć boki równe
PR~~>(~KR + BR) =0
Zgodne z PR:
PR=1 ~~>~KR+BR
PR: ~KR=0, BR=0 => 0+0=0
Niezgodne z PR:
KW: ~KR=0, BR=1 => 0+1=1
ROMB: ~KR=1, BR=1 =>1+1=1
INNE: ~KR=1, BR=0 => 1+0 =1
… a jeśli czworokąt nie jest prostokątem?
~PR<=>(~KR+BR) = [~PR=>(~KR+BR)]*(PR=>KR*~BR)
C.
~PR=>(~KR+BR)
Jeśli czworokąt nie jest prostokątem to na pewno => nie ma kątów równych lub ma boki równe
~PR =>(~KR+BR) =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
~PR = (~KR+BR)
Zabieram ~PR i znika mi (~KR+BR)
Zgodne z ~PR:
~PR=1 => ~KR+BR
KW: ~KR=0, BR=1 => 0+1=1
ROMB: ~KR=1, BR=1 => 1+1=1
INNE: ~KR=1, BR=0 => 1+0=1
Niezgodne z ~PR:
PR: ~KR=0, BR=0 => 0+0 =0
D.
Jeśli czworokąt nie jest prostokątem to może ~> mieć kąty równe i boki nie równe
~PR~~>(KR*~BR) =0
Zgodne z ~PR:
~PR=1 ~~> KR*~BR
KW: KR=1, ~BR=0 =>1*0=0
ROMB: KR=0, ~BR=0 => 0*0=0
INNE: KR=0, ~BR=1 => 0*1=0
Niezgodne z ~PR:
PR: KR=1, ~BR=1 => 1*1=1
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem AR otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności:
PR<=>KR*~BR
PR=1, ~PR=0
KR*~BR=1, (~KR+BR)=0
| Kod: |
Zapis
Symboliczny | PR KR*~BR PR<=>KR*~BR=(PR=>KR*~BR)*[~PR=>(~KR+~BR)]
A: PR=> (KR*~BR) =1 | 1 1 =1
B: PR~~>(~KR+BR) =0 | 1 0 =0
C:~PR=> (~KR+BR) =1 | 0 0 =1
D:~PR~~>(KR*~BR) =0 | 0 1 =0
|
cnd
Impresje na temat kwadratu i prostokata
A.
Czworokąt jest kwadratem wtedy i tylko wtedy gdy jest kwadratem
KW<=>KW
Zbiory tożsame to:
(p=q) = [zbiór kwadratów]
oraz:
(~p=~q) = [zbiór prostokątów = nie kwadratów]
Symbolicznie powyższa równoważność zapisujemy tak:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p)
na mocy definicji zachodzi tożsamość zbiorów:
p=q czyli KW=KW
~p=~q czyli ~KW=~KW
Ponieważ mamy do czynienia z ewidentną równoważnością to zachodzą relacje:
~KW = PR (prostokąt)
~PR = KW (kwadrat)
czyli:
PR = ~KW
KW=~PR
W równoważności zachodzi prawo algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q
Które oznacza, że jest obojętne którą stronę tożsamości będziemy udowadniać, jak udowodnimy lewą stronę to automatycznie udowodnimy prawą i odwrotnie.
Zdanie dla prawej strony tożsamości przyjmuje postać:
C.
Czworokąt nie jest kwadratem wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kwadratem
~KW<=>~KW
Podstawiając:
~KW = PR
mamy zdanie tożsame do C.
D.
Czworokąt jest prostokątem wtedy i tylko wtedy gdy jest prostokątem
PR<=>PR
W tej równoważności tożsame są zbiory:
PR=PR
~PR=~PR
Matematycznie zachodzi fundament algebry Boole’a:
PR ## ~PR
Podstawiając:
KW=~PR
Mamy spełniony fundament algebry Boole’a w innej formie:
PR # KW
Nic co jest prostokątem nie ma prawa być kwadratem i odwrotnie.
Nie jest zatem możliwe aby czworokąt był i kwadratem i prostokątem.
Czworokąt może być wyłącznie albo kwadratem, albo prostokątem.
Prawo Hipcia działa genialnie!
cnd
Oczywiście szczegółowe definicje kwadratu i prostokąta zapisane w równaniach algebry Boole’a są następujące.
Kwadrat
Kwadratem nazywamy taki czworokąt, który ma wszystkie kąty i boki równe
KW=KR*BR
Prostokąt
Prostokątem nazywamy czworokąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne to kąty proste, zaś boki nie są równe
PR = KR*~BR
6.0 Samodzielny warunek wystarczający
Twierdzenie:
Jeśli w zdaniu p=>q wartość logiczna q jest znana z góry to zdanie p=>q jest samodzielnym warunkiem wystarczającym.
Diagram implikacji prostej:
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Rozważmy zdanie:
A.
p=>(q+~q) =1
Prawo algebry Boole’a:
(q+~q) =1 - wartość logiczna następnika jest znana z góry
Definicja znaczka => spełniona bo zbiór p zawiera się w zbiorze q+~q
B.
p~~>q*~q =0
Zbiory:
p*(~q*q) = p*0 =0
Definicja warunku wystarczającego w A i B spełniona
… a jeśli zajdzie ~p?
W zdaniu A negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne.
To jest prawo Kubusia na skróty:
p=>(q+~q) = ~p~>~q*q
C.
~p~>~q*q =0
Zbiory:
~p*(~q*q) = ~p*0 =0
Nie ma w tabeli zero-jedynkowej sekwencji 0 0 =0, zatem implikacja prosta jest tu wykluczona.
Tabela zero-jedynkowa dla zdania A:
p=>(q+~q)
p=1, ~p=0
q+~q=1, ~q*q=0
| Kod: |
Analiza
Symboliczna | p (q+~q) p=>(q+~q)
A: p=> (q+~q) =1 | 1 1 =1
B: p~~>(~q*q) =0 | 1 0 =0
C:~p~> (q*~q) =0 | 0 0 =0
D: x =x | x x x
|
Linie C wyklucza zarówno implikację prostą:
p=>q = ~p~>~q
bo:
C: ~p~>~q =0
Jak i równoważność:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
bo:
C: ~p=>~q =0
Zdanie A to tylko i wyłącznie samodzielny warunek wystarczający mogący istnieć samodzielnie.
7.0 Prawo Orła
Jeśli definiujemy cokolwiek to używamy wyłącznie spójnika „i”(*).
„i”(*) - spójnik wiedzy
„lub”(+) - spójnik nieznanego
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na pewno => ma cztery łapy, ogon i nie ćwierka
P+K => 4L*O*~C
co matematycznie oznacza:
P=1 lub K=1 => 4L=1 i O=1 i ~C=1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P+K zawiera się w zbiorze zwierząt 4L*O*~C
.. a jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników.
~P*~K ~> ~4L + ~O + C
To jest prawo Kubusia uzyskane metodą „na skróty”
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem i nie jest kotem to na pewno => nie ma czterech łap lub nie ma ogona lub ćwierka
~P*~K ~> ~4L + ~O + C
co matematycznie oznacza:
(~P*~K)=1 ~> ~4L=1 lub ~O=1 lub C=1
Jak działa algebra Kubusia!
1.
Losujemy zwierzaka, sprawdzamy:
Nie ma ogona:
~O=1
i już wiemy że to zwierzę nie jest ani psem, ani kotem
2.
Losujemy zwierzaka, sprawdzamy:
ćwierka
C=1
i już wiemy że to zwierzę nie jest ani psem, ani kotem
itd.
.. a jak brzmi zdanie odwrotne do A?
Prawo odwracalności warunku wystarczającego =>:
Jeśli zdanie p=>q spełnia warunek wystarczający => to po zamianie argumentów na pewno => będzie spełniało warunek konieczny ~> (i odwrotnie).
stąd:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy, ogon i nie ćwierka to może ~> być psem lub kotem
4L*O*~C ~> P+K
co matematycznie oznacza:
4L=1 i O=1 i ~C=1 ~> P=1 lub K=1
Losujemy zwierzaka, ma wszystkie cechy po lewej stronie
Wniosek: to może ~> być pies lub koń
… a jeśli zwierzę ma cztery łapy lub ogon lub ćwierka?
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki w zdaniu A (prawo Kubusia na skróty):
~4L+~O + C => ~P*~K
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap lub nie ma ogona lub ćwierka to na pewno => nie jest ani psem ani kotem
~4L+~O + C => ~P*~K
co matematycznie oznacza:
~4L=1 lub ~O=1 lub C=1 => (~P*~K)=1
Jak to działa?
Losujemy zwierzaka, stwierdzamy:
ćwierka!
C=1
Reszty zmiennych nie musimy sprawdzać, to na pewno nie jest ani pies, ani koń
itd.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 19:39, 30 Sty 2013, w całości zmieniany 22 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35365
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 18:20, 18 Wrz 2012 Temat postu: |
|
|
Dodatek C
Koniec!
Wykłady z algebry Kubusia
Temat:
Dowód poprawności definicji operatora logicznego i prawa Sowy w AK
To kolejny wielki przełom w algebrze Kubusia - to wszystko jest NIEPRAWDOPODOBNIE proste!
Symboliczna definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q
Prawo Sowy:
W świecie totalnie zdeterminowanym, gdzie znamy z góry wartości logiczne p i q, dowolny operator logiczny ulega redukcji do operatora AND.
Prawo Sowy wynika bezpośrednio z symbolicznej definicji operatora logicznego.
Definicje operatorów logicznych zapisane są dla świata totalnie niezdeterminowanego, gdzie nie znamy z góry wartości logicznej ani p, ani też q. Wynika to bezpośrednio definicji operatora i prawa Sowy.
W ostatnim poście padła ta historyczna analiza równoważności!
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
stąd dla naszego przykładu:
AR.
Czworokąt jest kwadratem wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe i boki równe
KW<=>KR*BR = (KW=>KR*BR)*[~KW=>~(KR*BR)] = (KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
bo prawo De Morgana:
~(p*q) = ~p+~q
KW<=>KR*BR = (KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
Prawo algebry Boole’a:
p<=>q = ~p<=>~q
stąd:
~KW<=>~(KR*BR)
~KW<=>(~KR+~BR) = [~KW=>(~KR+~BR)]*(KW=>KR*BR)
Analiza matematyczna przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
AR.
KW<=>KR*BR = (KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
Zbiory tożsame: KW = KR*BR
A.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to na pewno => ma kąty równe i boki równe
KW=>KR*BR =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
KW = KR*BR
Wymuszam dowolne KW i pojawia mi się KR*BR
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z KW:
KW=1 => KR*BR
KW: KR=1, BR=1 =>1*1=1
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z KW:
PR: KR=1, BR=0 => 1*0=0
ROMB: KR=0, BR=1=>0*1=0
INNE: KR=0, BR=0 =>0*0 =0
B.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to może ~~> nie mieć kątów równych lub nie mieć boków równych
KW~~>(~KR+~BR) =0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z KW:
KW=1 ~~> ~KR+~BR
KW: ~KR=0, ~BR=0 =>0+0=0
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z KW:
PR: ~KR=0, ~BR=1 =>0+1=1
ROMB: ~KR=1, ~BR=0 => 1+0=1
INNE: ~KR=1, ~BR=1 =>1+1=1
… a jeśli czworokąt nie jest kwadratem?
~KW<=>(~KR+~BR) = [~KW=>(~KR+~BR)]*(KW=>KR*BR)
Zbiory tożsame: ~KW = ~KR+~BR
C.
~KW=>(~KR+~BR)
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to na pewno => nie ma kątów równych lub nie ma boków równych
~KW=>(~KR+~BR) =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
~KW = (~KR+~BR)
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~KW:
~KW=1 => ~KR+~BR
PR: ~KR=0, ~BR=1 =>0+1 =1
ROMB: ~KR=1, ~BR=0 => 1+0 =1
INNE: ~KR=1, ~BR=1 =>1+1=1
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z ~KW:
KW: ~KR=0, ~BR=0 =>0+0=0
D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to może ~> mieć kąty równe i boki równe
~KW~~>(KR*BR) =0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~KW:
~KW=1 ~~> KR* BR
PR: KR=1, BR=0 => 1*0 =0
ROMB: KR=0, BR=1 => 0*1=0
INNE: KR=0, BR=0 => 0*0 =0
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z ~KW:
KW: KR=1, BR=1 =>1*1=1
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem AR otrzymujemy zero-jedynkową definicję równoważności:
KW<=>KR*BR
KW=1, ~KW=0
KR*BR=1, (~KR+~BR)=0
| Kod: |
Zapis
Symboliczny | KW KR*BR KW<=>KR*BR=(KW=>KR*BR)*[~KW=>(~KR+~BR)]
A: KW=> (KR*BR) =1 | 1 1 =1
B: KW~~>(~KR+~BR)=0 | 1 0 =0
C:~KW=> (~KR+~BR)=1 | 0 0 =1
D:~KW~~>(KR*BR) =0 | 0 1 =0
|
cnd
Zdania będące ze sobą w matematycznym związku to na podstawie prawa Kubusia to zdania A i C!
A.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to na pewno => ma kąty równe i boki równe
KW=>KR*BR =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
KW = KR*BR
Wymuszam dowolne KW i pojawia mi się KR*BR
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z KW:
KW=1 => KR*BR
KW: KR=1, BR=1 =>1*1=1
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z KW:
PR: KR=1, BR=0 => 1*0=0
ROMB: KR=0, BR=1=>0*1=0
INNE: KR=0, BR=0 =>0*0 =0
… a jeśli czworokąt nie jest kwadratem?
~KW<=>(~KR+~BR) = [~KW=>(~KR+~BR)]*(KW=>KR*BR)
Zbiory tożsame: ~KW = ~KR+~BR
C.
~KW=>(~KR+~BR)
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to na pewno => nie ma kątów równych lub nie ma boków równych
~KW=>(~KR+~BR) =1
Definicja znaczka => spełniona z powodu tożsamości zbiorów:
~KW = (~KR+~BR)
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~KW:
~KW=1 => ~KR+~BR
PR: ~KR=0, ~BR=1 =>0+1 =1
ROMB: ~KR=1, ~BR=0 => 1+0 =1
INNE: ~KR=1, ~BR=1 =>1+1=1
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z ~KW:
KW: ~KR=0, ~BR=0 =>0+0=0
Doskonale tu widać po pierwsze skąd biorą się wynikowe jedynki - pracują wyłącznie obszary czerwone!
Świetnie też widać działanie prawa Sowy:
Kwadrat:
prawdziwe A - fałszywe C
Nie kwadrat = pozostałe figury:
Prawdziwe C - fałszywe A
W nieformalnym związku są ze sobą również zdania B i D!
B.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to może ~~> nie mieć kątów równych lub nie mieć boków równych
KW~~>(~KR+~BR) =0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z KW:
KW=1 ~~> ~KR+~BR
KW: ~KR=0, ~BR=0 =>0+0=0
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z KW:
PR: ~KR=0, ~BR=1 =>0+1=1
ROMB: ~KR=1, ~BR=0 => 1+0=1
INNE: ~KR=1, ~BR=1 =>1+1=1
D.
Jeśli czworokąt nie jest kwadratem to może ~> mieć kąty równe i boki równe
~KW~~>(KR*BR) =0
Kodowanie zero-jedynkowe zgodne z ~KW:
~KW=1 ~~> KR* BR
PR: KR=1, BR=0 => 1*0 =0
ROMB: KR=0, BR=1 => 0*1=0
INNE: KR=0, BR=0 => 0*0 =0
Kodowanie zero-jedynkowe niezgodne z ~KW:
KW: KR=1, BR=1 =>1*1=1
W tych zdaniach aktywny jest wyłącznie kolor niebieski!
Kwadrat:
Zdanie B jest fałszywe, bo aktywna jest wyłącznie jedna niebieska linia
Nie kwadrat = pozostałe figury:
Dla figur innych niż kwadrat fałszywy jest obszar niebieski w zdaniu D!
Jak widzimy, zdania B i D są ZAWSZE fałszywe!
Podsumowując:
Dwa ostatnie posty to nieprawdopodobny przełom w algebrze Kubusia!
Wielkie dzięki Fiklicie za wytrwałość - bez Ciebie dwa ostatnie posty nigdy by nie powstały.
P.S.
Z ostatniej chwili!
Nie trzeba zakładać rozłączności zbiorów w prawie Hipcia w sensie bezwzględnym, zbiory mogą mieć części wspólne np. człowiek i szympans mają wspólne części na poziomie 98% 
Rozłączność zbioru na poziomie logicznym gwarantuje różnica w jednym szczególe, czyli musimy zlokalizować jedno!
p i ~p !
W prawie Hipcia wystarczy założenie:
p+q=r
Prawo Hipcia dla dwóch argumentów:
Jeśli zachodzi:
p+q=r
to:
(p+q=>r) = [(p=>r) + (q=>r)] = (r=>r)
Zauważmy, że bez założenia jak wyżej, nie zachodzi prawo ogólne:
p+q=>r # (p=>r)+ (q=>r)
Dowód:
Lewa strona:
p+q=>r = ~(p+q)+r = ~p*~q + r
Prawa strona:
(p=>r) + (q=>r) = ~p+r + ~q+r = ~p+~q +r
L#P
cnd
Prawo Hipcia:
(p+q=>r) = [(p=>r) + (q=>r)] = (r=>r)
Założenie:
p+q=r - zbiór r jest suma logiczną zbiorów p i q
| Kod: |
p q p+q p+q=r p+q=>r p=>r q=>r (p=>r)+(q=>r) r=>r
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 1 1 1 1
|
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 19:49, 30 Sty 2013, w całości zmieniany 11 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35365
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 18:24, 18 Wrz 2012 Temat postu: |
|
|
|
.....
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35365
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 19:58, 18 Wrz 2012 Temat postu: |
|
|
|
..
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35365
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 15:58, 24 Wrz 2012 Temat postu: |
|
|
|
....
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
