ŚFiNiA

[rafal3006]

Wersja końcowa algebry Kubusia:
BIBLIA: Algebra Kubusia - logika naszego Wszechświata


… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

Przyjaciele Kubusia to wszyscy interlokutorzy biorący udział w 6 letniej dyskusji.

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Podręcznik w oryginale:
BIBLIA: Algebra Kubusia - matematyka języka mówionego
Podręcznik dla liceum:
Algebra Kubusia dla liceum

Szczególne podziękowania dla:
www.sfinia.fora.pl
Wuja Zbója - znakomitego nauczyciela małego Kubusia, dzięki któremu Kubuś nauczył się poprawnie patrzeć na algebrę Boole’a od strony matematycznej.
Volratha - za decydującą o wszystkim dyskusję
Macajna - za ciekawą dyskusję podczas której jako jedyny Ziemianin podał poprawną, matematyczną definicję warunku wystarczającego.
[link widoczny dla zalogowanych]
Fizyka, Windziarza i Sogorsa - za długą i ciekawą dyskusję
Quebaba - za fantastyczną, finałową dyskusję


Wstęp

Każdy człowiek, od 5-cio latka po profesora, doskonale zna algebrę Kubusia i posługuje się nią na co dzień w naturalnym języku mówionym.
Algebra Kubusia obowiązuje w całym naszym Wszechświecie, zarówno martwym, jak i żywym, dlatego to jest matematyka naszego Wszechświata.
Nie ma żadnych wyjątków, algebra Kubusia opisuje naturalny język mówiony człowieka i jego logikę, działa doskonale także w obszarze matematyki.
W wersji dla liceum zrezygnowano z zaawansowanej algebry Boole’a np. minimalizacji funkcji logicznych.

Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia = Algebra zbiorów => Definicje spójników logicznych => Definicje operatorów logicznych => Algebra bramek logicznych
Definicje spójników logicznych => Algebra naturalnego języka mówionego => Logika człowieka

Fundamentem algebry Kubusia jest pełna, zero-jedynkowa lista operatorów logicznych zapisana w formie równań algebry Kubusia (Boole’a!). Równania te wyprowadzone zostały z aksjomatycznych, zero-jedynkowych definicji operatorów logicznych, oraz niezależnie z nowej teorii zbiorów. Nowa teoria zbiorów jest w 100% zgodna z aksjomatycznymi, zero-jedynkowymi definicjami operatorów logicznych. Nowa teoria zbiorów to fundamentalnie inne diagramy graficzne niż obowiązujące diagramy Venna.

Algebra Kubusia jest zgodna z teorią i praktyką bramek logicznych, jest więc weryfikowalna doświadczalnie.


Spis treści:


Część I
Algebra Kubusia dla liceum

1.0 Notacja
2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia
2.1 Podstawowe definicje algebry Kubusia

3.0 Nowa teoria zbiorów
3.1 Podstawowe działania na zbiorach
3.2 Nowa teoria zbiorów w operatorach logicznych

4.0 Warunki wystarczający i konieczny
5.0 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata
5.1 Równoważność
5.2 Implikacja prosta
5.3 Implikacja odwrotna
5.4 Operator chaosu
5.5 Operator śmierci
5.6 Wszystkie możliwe definicje równoważności i implikacji

6.0 Operatory OR i AND
6.1 Operator OR
6.2 Operator AND

7.0 Dowodzenie twierdzeń matematycznych
7.1 Schemat dowodzenia twierdzeń matematycznych
7.2 Dowodzenie warunku wystarczającego
7.3 Dowodzenie warunku koniecznego

8.0 Świat zdeterminowany

9.0 Obietnice i groźby
9.1 Obietnica
9.2 Groźba


Część II
Algebra Kubusia - wersja rozszerzona

10.0 Matematyczne fundamenty algebry Kubusia
10.1 Spójniki „i”(*) i „lub”(+)
10.2 Metody minimalizacji funkcji logicznej
10.3 Równania logiczne dla operatora OR
10.3.1 Osiem równań opisujących operator OR
10.4 Równania logiczne dla operatora AND
10.4.1 Osiem równań opisujących operator AND
10.5 Logika zero

11.0 Operatory OR i AND
11.1 Właściwości operatorów OR i AND
11.2 Operator OR w zbiorach
11.3 Operator AND w zbiorach

12.0 Operatory implikacji i równoważności
12.1 Właściwości implikacji
12.2 Operator implikacji prostej w zbiorach
12.3 Operator implikacji odwrotnej w zbiorach
12.4 Równoważność w zbiorach
12.5 Warunek konieczny i wystarczający w równoważności
12.6 Kwadrat logiczny równoważności
12.7 Kwadrat logiczny implikacji
12.8 ŚFIŃSKIE definicje implikacji i równoważności
12.9 Gimnazjalne definicje implikacji i równoważności
12.10 Licealne definicje implikacji i równoważności
12.11 Definicje równoważności i implikacji w zbiorach
12.12 Prawa kontrapozycji
12.12.1 Prawo kontrapozycji w równoważności
12.12.2 Prawo kontrapozycji w implikacji
12.13 Implikacja, matematyczny opis nieznanego

13.0 Implikacja i równoważność w spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+)
13.1 Implikacja prosta
13.2 Implikacja odwrotna
13.3 Równoważność

14.0 Pozostałe operatory algebry Kubusia
14.1 Abstrakcyjny model operatora logicznego
14.2 Operatory logiczne ~~> i N(~~>)
14.3 Operatory transmisji P i Q
14.4 Operatory negacji NP i NQ

15.0 Algebra zbiorów rozłącznych
15.1 Operator XOR
15.2 Zbiory minimalne w implikacji i równoważności


Część III
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki

16.0 Złożone zdania naturalnego języka mówionego
16.1 Zdanie złożone ze spójnikiem „lub”(+)
16.2 Złożona implikacja prosta
16.3 Złożona implikacja odwrotna
16.4 Zdania złożone typu p+(q*r)
16.5 Zdania złożone typu p*(q+r)

17.0 Obietnice i groźby
17.1 Obietnica
17.2 Groźba
17.3 Obietnica w równaniach logicznych
17.4 Groźba w równaniach logicznych
17.5 Analiza złożonej obietnicy
17.6 Analiza złożonej groźby
17.7 Obietnice i groźby w ujęciu filozoficznym
17.8 Rodzaje obietnic


1.0 Notacja

~ - symbol przeczenia NIE

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Zera i jedynki w dowolnym operatorze logicznym oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje, sytuacja możliwa), zdanie prawdziwe
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje, sytuacja niemożliwa), zdanie fałszywe

# - różne
Prawda # Fałsz
1 # 0

## - różne na mocy definicji

Prawa de’Morgana:
Prawa de’Morgana to pełne definicje operatorów OR i AND zapisane w równaniach algebry Boole’a.
p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q)
Definicja operatora OR ## Definicja operatora AND

Prawa Kubusia:
Prawa Kubusia to pełne definicje operatorów implikacji prostej i odwrotnej zapisane w równaniach algebry Boole’a.
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
Definicja operatora implikacji prostej ## Definicja operatora implikacji odwrotnej

Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z izolowanymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne.

:= - symbol redukcji do funkcji minimalnej
Dla zbiorów rozłącznych p i q zachodzi:
p*~q := p

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia
W całej matematyce mamy zaledwie sześć spójników logicznych.
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), =>, ~>, ~~>
W spójnikach =>, ~>, ~~> kolejność nie ma znaczenia bo są to operatory wyłącznie dwuargumentowe, czyli po lewej i prawej stronie tego znaku może być wyłącznie funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+)

Zdanie:
Zdanie w algebrze Kubusia to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne któremu można przypisać wartość fałsz lub prawda, zrozumiałe dla człowieka.

Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>, wystarczy jedna prawda. Inaczej zdanie jest fałszywe.

W BIBLII: Algebra Kubusia - matematyka języka mówionego w pkt.12.12.2 jest obalenie prawa KRZ:
p=>q ## q~>p
co jest równoważne obaleniu prawa kontrapozycji w implikacji:
p=>q ## ~q=>~p
bo prawo Kubusia:
~q=>~p = q~>p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
To samo jest w pkt. 12.1, 12.6, 12.7 i 12.11
Znane matematykom prawo kontrapozycji jest poprawne wyłącznie w równoważności (pkt.12.12)


2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia

Aksjomatyka algebry Kubusia to wszystkie możliwe zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, znane ludziom od ponad 100 lat.

2.0.1
Fundament matematyczny:
Iloczyn kartezjański dla dwóch zmiennych binarnych p i q
[p,q] = (1,1), (1,0), (0,1), (0,0)

Funkcja to jednoznaczne przyporządkowanie wyjścia Y dla wejścia p i q

[rafal3006]

6.0 Operatory OR i AND

Definicje zero-jedynkowe operatorów OR i AND najłatwiej zapamiętać odwracając kota ogonem, czyli zaczynamy od definicji zero-jedynkowych.

Na pamięć trzeba znać definicje zaledwie dwóch spójników z naturalnej logiki człowieka „lub”(+) oraz „i”(*). Reszta to logiczne myślenie.

6.0.1
Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy:
Suma logiczna (spójnik „lub”(+)) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1.
A1+A2+...An=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub ... An=1
Dla dwóch zmiennych binarnych p i q:
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1

6.0.2
Definicja spójnika „i”(*) - koniunkcji:
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) n zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1.
A1*A2*...An=1 <=> A1=1 i A2=1 i ... An=1
Dla dwóch zmiennych binarnych p I q:
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1

To jest algebra Boole’a, zatem pozostałe przypadki musimy uzupełnić zerami w wyniku.


6.1 Operator OR

6.1.1
Definicja zero-jedynkowa operatora OR:

[rafal3006]

10.0 Matematyczne fundamenty algebry Kubusia

Każdy człowiek w swoim naturalnym języku mówionym posługuje się równaniami algebry Kubusia, nigdy tabelami zero-jedynkowymi.
Dowolną tabelę zero-jedynkową można opisać równoważnymi równaniami algebry Kubusia.
Z dowolnego równania algebry Kubusia można wygenerować odpowiadającą mu, jednoznaczną tabelę zero-jedynkową.
Dowolną tabelę zero-jedynkową opisuje osiem i tylko osiem równań algebry Kubusia w spójnikach „lub”(+) i „i”(*), cztery równoważne w logice dodatniej i cztery równoważne w logice ujemnej.
W tym rozdziale poznamy banalną technikę tworzenia tych równań.


10.1 Spójniki „i”(*) i „lub”(+)

10.1.1
Definicja spójnika „i” (*) - koniunkcji.
Iloczyn logiczny (spójnik „i”(*) ) n-zmiennych binarnych jest równy 1 wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe 1
Y=p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
1*1*1…*1 =1
1*0*1…*1 =0
Zauważmy że mamy tu 100% analogię do mnożenia znanego ze szkoły podstawowej, stąd nazwa „iloczyn logiczny”. Oczywiście znaczek „*” nie ma nic wspólnego z mnożeniem, to po prostu symbol spójnika „i” z naturalnego języka mówionego.

10.1.2
Definicja spójnika „lub”(+) - alternatywy
Suma logiczna (spójnik „lub”(+) ) n-zmiennych binarnych jest równa 1 wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=p+q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Analogia w celu łatwego zapamiętania:
0+0+0….+0 =0
1+1+0….+0 =1
Mamy tu „drobną” różnicę w stosunku do dodawania znanego ze szkoły podstawowej. Oczywiście znaczek „+” nie ma nic wspólnego z dodawaniem, to spójnik „lub”(+) z naturalnego języka mówionego.

10.1.3
Najważniejsze prawa algebry Kubusia wynikające z powyższych definicji

Spójnik „i”(*):
1*1 =1
1*0 =0
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0

Spójnik „lub”(+):
1+1 =1
1+0 =1
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p = 1

Fundament algebry Kubusia:
p*~p =0
p+~p =1

10.1.4
Przydatne prawa dodatkowe

Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r

Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r

Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s

Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)

Powyższe prawa plus prawo przejścia do logiki przeciwnej są wystarczające do minimalizacji wszelkich funkcji logicznych.

10.1.5
Zmienna binarna:
Zmienna binarna (wejście cyfrowe w układzie logicznym) to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1.
Przykłady zmiennych binarnych:
p, q

10.1.6
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.

Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

10.1.7
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Funkcja logiczna ze spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+) zapisana jest w logice dodatniej, gdy nie jest zanegowana
Y - logika dodatnia, dotrzymam słowa (wystąpi prawda)
~Y - logika ujemna, skłamię (wystąpi fałsz)

10.1.8
Prawo przejścia do logiki przeciwnej (prawo przedszkolaka):
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne
Przykład:
Y=p+q(r*s)
Uzupełniamy nawiasy i operatory:
Y=p+[q*(r+s)] - logika dodatnia bo Y
Przejście do logiki ujemnej:
~Y=~p*[~q+(~r*~s)] - logika ujemna bo ~Y

Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
Y = p*q + p*~q + ~p*q = p(q+~q) + ~p*q = p*1 + ~p*q = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=p
Mamy:
Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q) = p*~p + ~p*~q = 0 + ~p*~q = ~p*~q
Wykorzystane prawa
1. Przejście do logiki ujemnej
2. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
3. p*~p=0
4. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd
Oczywiście układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR.


10.2 Metody minimalizacji funkcji logicznej

W tym rozdziale udowodnimy, iż nie warto zapamiętywać dziwnego dla człowieka prawa absorpcji i wszelkich innych praw logicznych poza wyżej poznanymi.

Absorpcja:
p*(p+q)=p

10.2.1
1.
Dowód z wykorzystaniem najprostszych praw logiki:
Y=p*(p+q)=p
Y=p*p+p*q = p+p*q = p*1 + p*q = p(1+q)=p*1 = p
Wykorzystane prawa:
Mnożenie wielomianu przez zmienną p
p*p=p
p=p*1
Wyciagnięcie zmiennej p przed nawias
1+q=1
p*1=p
cnd

10.2.2
2.
Dowód metodą rachunku zero-jedynkowego:
p*(p+q)=p

[rafal3006]

12.1 Operator implikacji prostej w zbiorach

12.1.1
Definicja operatora implikacji prostej:
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q
gdzie:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” między p i q o definicji wyłącznie w liniach A i B niżej
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” miedzy p i q o definicji ogólnej:
Warunek konieczny ~> miedzy p i q zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy z zanegowanego poprzednika wynika => zanegowany następnik
~p~>~q = p=>q

12.1.2
Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):


Z wykresu odczytujemy:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q=1 - twarda prawda, gwarancja matematyczna
Zbiory:
p*q=1*1=1
Oba zbiory p i q istnieją (p=1 i q=1) i mają część wspólną co wymusza w wyniku jeden.
stąd:
B.
Jeśli zajdzie p to na pewno => nie zajdzie q
p=>~q=0 - twardy fałsz, wynikły tylko i wyłącznie ze zdania A
Zbiory:
p*~q=1*1=0
Zbiory p i ~q istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).
Uwaga:
p*~q=0 - ta i tylko ta relacja zbiorów wymusza zawieranie się zbioru p w zbiorze q!
W implikacji zbiór p nie jest tożsamy ze zbiorem q, natomiast w równoważności zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q.
Implikacja to fundamentalnie co innego niż równoważność, nic co jest implikacją nie ma prawa być równoważnością i odwrotnie, to fizycznie niemożliwe na mocy definicji zero-jedynkowych.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):

[rafal3006]

12.9 Gimnazjalne definicje implikacji i równoważności

Podstawa matematyczna

Dowód formalny braku przemienności argumentów w implikacji:

[rafal3006]

Ciekawy jest wyjątek gdzie q jest zbiorem pustym:
A.
Jeśli zwierze jest psem to na pewno => nie ma miliona łap
Pies nie ma miliona łap
P=>~ML=1
Bycie psem wystarcza aby nie mieć miliona łap
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma milion łap
P=>ML=0
Zbiory:
P*ML=1*0=0
Zdanie B jest fałszywe bo zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym (ML=0).
Poza tym zbiory te są z założenia rozłączne, co również wymusza w wyniku zero.

... a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>~ML= ~P~>ML
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> mieć milion łap
~P~>ML=0
bo zbiory:
~P*ML=1*0=0
Zbiór ~P istnieje (~P=1), natomiast zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym (ML=0), co wymusza w wyniku zero (zbiór pusty).

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A mamy taką sekwencje zer i jedynek: