ŚFiNiA

[rafal3006]

Kwintesencja algebry Kubusia
Algebra Kubusia: Czy podbije serca ziemskich matematyków?

2024-09-14 Premiera

Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu




I.
Link do „Kwintesencji algebry Kubusia” w pdf (Stron: 219)
[link widoczny dla zalogowanych]

[rafal3006]

Kwintesencja algebry Kubusia
Część I Operatory jednoargumentowe

Spis treści
1.0 Nowa algebra Boole’a 2
1.1 Definicje elementarne algebry Boole'a 2
1.1.1 Definicja negacji 3
1.1.2 Negator dwukierunkowy w bramkach logicznych 4
1.2 Fundamenty algebry Boole'a 5
1.2.1 Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a 5
1.2.2 Prawo negacji funkcji logicznej Y 7
1.2.3 Ogólna definicja logiki matematycznej 7
1.3 Definicja funkcji logicznej jednoargumentowej Y=x 8
1.3.1 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=x 8
1.3.2 Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych 8
1.4 Prawa Prosiaczka 9
1.4.1 Przykład działania praw Prosiaczka na gruncie fizyki 10
1.4.2 Zasady kodowania zdań twierdzących w świecie żywym 11
1.4.3 Zasady kodowania zdań twierdzących w świecie martwym 12
1.5 Funkcje Y=x i operatory Y|=x jednoargumentowe 12
1.5.1 Definicja funkcji transmisji Y=p i operatora transmisji Y|=p 12
1.5.2 Definicja funkcji negacji Y=~p i operatora negacji Y|=~p 13
1.5.3 Relacja matematyczna między operatorami Y|=p a Y|=~p 14
1.5.4 Prawo Grzechotnika dla funkcji jednoargumentowych 16
1.5.5 Prawo Sokoła 16
1.6 Prawo Grzechotnika na przykładzie zrozumiałym dla 5-cio latka 16
1.6.1 Dowód prawa Grzechotnika na poziomie przedszkola 20
1.6.2 Prawo Sokoła 21
1.6.3 Funkcja logiczna Y zmiennej binarnej p 21
1.6.4 Funkcja logiczna Y stałej binarnej p 21
1.7 Prawo Puchacza dla zdań twierdzących jednoargumentowych 21
1.7.1 Jak działa prawo Puchacza? 22



Wstęp.

Operatory jednoargumentowe to kwintesencja działania wszelkich operatorów logicznych definiowanych spójnikami „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego 5-cio latka.
Zrozumienie istoty działania operatorów jednoargumentowych jest warunkiem koniecznym dla zrozumienia istoty działania wszelkich operatorów logicznych n-argumentowych definiowanych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Operatory jednoargumentowy to zaledwie cztery operatory różne na mocy definicji ## (pkt.1.3.2)
Przy dwóch argumentach mamy już 16 różnych na mocy definicji ## operatorów (pkt. 1.16)

1.0 Nowa algebra Boole’a

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki).

Algebra Kubusia zawiera w sobie nową algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Aktualna algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.

Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Dowód tego faktu na poziomie 5-cio latka znajdziemy w punkcie 1.9 (sterowanie windą).
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo p) i logika ujemna (bo ~p). Definicję znajdziemy w pkt. 1.1.1
3.
Stara algebra Boole'a jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y), co udowodnimy za chwilkę (pkt. 1.5.4 i 1.7)

1.1 Definicje elementarne algebry Boole'a

1 = prawda
0 = fałsz

Gdzie:
1##0
Prawda (1) jest różna na mocy definicji ## od fałszu (0)

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Innymi słowy:
Prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu (0)
Fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy (1)

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną (0 albo 1)

Pani w przedszkolu:
Pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K+~K =1 - zdanie zawsze prawdziwe
Pójdziemy do kina (K) i nie pójdziemy do kina (~K)
Y = K*~K =0 - zdanie zawsze fałszywe
Gdzie:
Y - stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa

1.1.1 Definicja negacji

Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.

W szczególnym przypadku symbol w nagłówku kolumny może być stałą binarną gdy w kolumnie są same jedynki albo same zera.

[rafal3006]

Kwintesencja algebry Kubusia
Część II Tajemnice operatorów jednoargumentowych

Spis treści
20.0 Tajemnice operatorów jednoargumentowych 1
20.1 Prawa Prosiaczka 2
20.1.1 Wyprowadzenie I prawa Prosiaczka 3
20.1.2 Wyprowadzenie II prawa Prosiaczka 4
20.1.3 Prawa Prosiaczka w bramkach logicznych 6
20.1.4 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka 6
20.2 Stałe binarne w logice matematycznej 7
20.2.1 Stałe binarne w wieku niemowlęcym 8
20.2.2 Stałe binarne w wieku 9 miesięcy 9
20.3 Stałe binarne w pierwszej klasie LO na lekcji logiki matematycznej 9
20.3.1 Prawo Grzechotnika dla stałych binarnych 12
20.3.2 Prawo Sokoła dla stałych binarnych 13
20.3.3 Pułapki w operatorach jednoargumentowych 13
20.4 Operatory jednoargumentowe w tabeli prawdy 15
20.4.1 Operatory jednoargumentowe w tabelach zero-jedynkowych 16
20.4.2 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 18
20.5 Operator transmisji A0: Y|=p w rachunku zero-jedynkowym 19
20.5.1 Przykład operatora transmisji A0: Y|=K 20
20.6 Operator negacji A1: Y|=~p 21
20.6.1 Przykład operatora negacji A1: Y|=~K 22
20.7 Operator zdania zawsze prawdziwego A2: Y|=p+~p 23
20.7.1 Przykład operatora zdania zawsze prawdziwego A2: Y|=K+~K 24
20.8 Operator zdania zawsze fałszywego A3: Y|=p*~p 26
20.8.1 Przykład operatora zdania zawsze fałszywego A3: Y|=K*~K 27
20.9 Podsumowanie operatorów jednoargumentowych Y|=f(x) 28



20.0 Tajemnice operatorów jednoargumentowych

Niniejszy rozdział to matematyka rozszerzona, której znajomość nie jest konieczna dla biegłego posługiwania się operatorami jednoargumentowymi, tą umiejętność wyssaliśmy z mlekiem matki.
Nie ma tu nic takiego co byłoby niezrozumiałe dla człowiek myślącego, ucznia I klasy LO.

Tabela prawdy operatorów jednoargumentowych wyprowadzona w punkcie 1.3.2.

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Część III Operator dwuargumentowe

Spis treści
1.8 Aksjomatyka algebry Boole’a 1
1.8.1 Aksjomatyka minimalna algebry Boole'a 3
1.9 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków 6
1.10 Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej 9
1.10.1 Prawo Małpki 9
1.11 Równoważność K<=>T w świecie żywym 10
1.12 Definicja spójnika „lub”(+) 12
1.12.1 Definicja operatora „lub”(+) 12
1.12.2 Diagram operatora „lub"(|+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych 12
1.12.3 Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych 14
1.12.4 Przykład operatora „lub"(|+) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych 14
1.13 Definicja spójnika „i”(*) 16
1.13.1 Definicja operatora „i”(|*) 16
1.13.2 Diagram operatora „i”(|*) w zdarzeniach niepustych i rozłącznych 17
1.13.3 Przykład operatora „i”(|*) w zdarzeniach 18
1.14 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 19
1.14.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 20
1.14.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer 22
1.15 Związek opisu tabel zero-jedynkowych w logice jedynek i w logice zer 23
1.15.1 Prawo Małpki 24
1.15.2 Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej 25
1.15.3 Tworzenie tabeli zero-jedynkowej dla funkcji logicznej Y 25
1.16 Funkcje logiczne dwuargumentowe 26
1.16.1 Tabela wszystkich możliwych funkcji dwuargumentowych 27
1.17 Definicja spójników zupełnych w języku potocznym 30
1.17.1 Prawo Puchacza dla spójników zupełnych w języku potocznym 30
1.17.2 Startowa funkcja logiczna 31




1.8 Aksjomatyka algebry Boole’a

Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.

Definicja minimalnej aksjomatyki algebry Boole’a:
Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw definicji i praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do minimalizacji równań algebry Boole’a.

Należy zaznaczyć, że nasz mózg prezentuje w tym zakresie mistrzostwo świata tzn. z reguły operuje minimalnymi równaniami algebry Boole'a których nie da się minimalizować.

Definicja znaczka w logice matematycznej:
Znaczek w logice matematycznej to symbol zdefiniowany odpowiednią tabelą zero-jedynkową

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Dowód w pkt. 1.9

Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+):

I.
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(*) - znaczek koniunkcji
Znaczek tożsamy w technice:
(*) - bramka logiczna AND

Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):

[rafal3006]

Kwintesencja algebry Kubusia
Część IV Kompendium algebry Kubusia. Część I

Spis treści
2.0 Kompendium algebry Kubusia 2
2.1 Skorowidz definicji implikacyjnych algebry Kubusia 2
2.2 Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach 2
2.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 2
2.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach 3
2.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 4
2.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 6
2.3 Elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach 6
2.3.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 7
2.3.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 7
2.3.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 8
2.3.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 9
2.4 Rachunek zero-jedynkowy warunków wystarczających => i koniecznych ~> 10
2.5 Prawa algebry Kubusia wynikłe z rachunku zero-jedynkowego 13
2.5.1 Definicje znaczków # i ## 15
2.6 Fundamentalne definicje i prawa algebry Kubusia 16
2.6.1 Prawa Sowy 16
2.6.2 Definicja tożsamości logicznej 16
2.6.3 Definicja dowodu "nie wprost" w algebrze Kubusia 17
2.6.4 Prawa Prosiaczka 17
2.7 Prawo Kłapouchego - kluczowe prawo logiki matematycznej 17
2.7.1 Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego 17
2.7.2 Prawo Kłapouchego i prawo Kameleona w implikacji prostej p|=>q 18
2.7.3 Prawo Kłapouchego w implikacji odwrotnej p|~>q 20
2.7.4 Nietrywialny błąd podstawienia ### 21
2.8 Prawa Słonia 22
2.8.1 Prawo Słonia dla zbiorów 23
2.8.2 Prawo Słonia dla zdarzeń 25
2.9 Prawo Irbisa 26
2.9.1 Prawo Irbisa dla zbiorów 26
2.9.2 Prawo Irbisa dla zdarzeń 28


2.0 Kompendium algebry Kubusia

Niniejszy punkt to kompendium algebry Kubusia zawierające wszystkie potrzebne definicje i prawa algebry Kubusia konieczne i wystarczające do zrozumienia matematycznej obsługi zdań warunkowych "Jeśli p to q" zarówno na gruncie teorii zdarzeń, jak i na gruncie teorii zbiorów.

2.1 Skorowidz definicji implikacyjnych algebry Kubusia

Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego:
Podstawowy spójnik implikacyjny to spójnik związany w obsługą zdań warunkowych "Jeśli p to q" definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

Definicje spójników implikacyjnych w algebrze Kubusia mają układ trzypoziomowy {1=>2=>3}:
1.
Elementarne spójniki logiczne w zdarzeniach:
~~> - spójnik zdarzenia możliwego (2.2.1)
=> - warunek wystarczający (2.2.2)
~> - warunek konieczny (2.2.3)
Elementarne spójniki logiczne w zbiorach:
~~> - element wspólny zbiorów (2.3.1)
=> - warunek wystarczający tożsamy z relacją podzbioru =>(2.3.2)
~> - warunek konieczny tożsamy z relacją nadzbioru ~>(2.3.3)
2.
Podstawowe spójniki implikacyjne definiowane spójnikami elementarnymi:
|=> - implikacja prosta (2.12)
|~> - implikacja odwrotna (2.13)
<=> - równoważność (2.14)
|~~> - chaos (2.15)
3.
Operatory implikacyjne definiowane podstawowymi spójnikami implikacyjnymi
||=> - operator implikacji prostej (2.12.1)
||~> - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
|<=> - operator równoważności (2.14.1)
||~~> - operator chaosu (2.15.1)

2.2 Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech elementarnych znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń/zbiorów p i q

2.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

[rafal3006]

Kwintesencja algebry Kubusia
Część IV Kompendium algebry Kubusia. Część II

Spis treści
2.10 Podstawowe spójniki implikacyjne 1
2.10.1 Prawo Puchacza 4
2.11 Algorytm Puchacza 6
2.11.1 Przykłady zdań niespełniających algorytmu Puchacza 7
2.11.2 Przypadek szczególny prawdziwości zdań warunkowych „Jeśli p to q” 8
2.12 Implikacja prosta p|=>q 9
2.12.1 Operator implikacji prostej p||=>q 10
2.13 Implikacja odwrotna p|~>q 12
2.13.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 13
2.14 Równoważność p<=>q 15
2.14.1 Operator równoważności p|<=>q 16
2.15 Chaos p|~~>q 18
2.15.1 Operator chaosu p||~~>q 20
2.16 Sztandarowy przykład implikacji prostej P|=>CH 21
2.16.1 Prawo Kameleona 22
2.16.2 Operator implikacji prostej P||=>CH 23
2.16.3 Twarde i miękkie zera i jedynki 26
2.17 Tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q 26
2.17.1 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q 27


2.10 Podstawowe spójniki implikacyjne

[rafal3006]

Kwintesencja algebry Kubusia
Część V Algebra Kubusia w bramkach logicznych

Spis treści
11.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych 1
11.1 Negator dwukierunkowy w bramkach logicznych 2
11.2 Operatory logiczne jednoargumentowe w bramkach logicznych 3
11.2.1 Realizacja zdania zawsze prawdziwego ZP w bramkach logicznych 4
11.2.2 Realizacja zdania zawsze fałszywego ZF w bramkach logicznych 4
11.3 Definicja funkcji transmisji Y=p i operatora transmisji Y|=p 5
11.3.1 Realizacja operatora transmisji Y|=p w bramkach logicznych 6
11.4 Definicja funkcji negacji Y=~p i operatora negacji Y|=~p 7
11.4.1 Realizacja operatora negacji Y|=~p w bramkach logicznych 8
11.5 Definicje spójników logicznych w bramkach logicznych 9
11.5.1 Definicja spójnika „i”(*) i operatora „i”(|*) w bramkach logicznych 10
11.5.2 Definicja spójnika „lub”(+) i operatora „lub”(|+) w bramkach logicznych 11
11.6 Spójniki związane z obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” 12
11.6.1 Definicja warunku wystarczającego => w bramkach logicznych 12
11.6.2 Definicja warunku koniecznego ~> w bramkach logicznych 13
11.7 Definicje spójników implikacyjnych p|?q w logice dodatniej (bo q) 14
11.7.1 Implikacja prosta p|=>q w bramkach logicznych 16
11.7.2 Implikacja odwrotna p|~>q w bramkach logicznych 17
11.7.3 Równoważność p<=>q w bramkach logicznych 18
11.7.4 Spójnik „albo”($) w bramkach logicznych 20
11.7.5 Definicja „chaosu” (|~~>) w bramkach logicznych 23
11.7.6 Zero-jedynkowa interpretacja znaczka różne na mocy definicji ## 24
11.8 Dowód poprawności algebry Kubusia w funkcjach logicznych 25
11.8.1 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 27


11.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych

Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Dowód tego faktu na poziomie 5-cio latka znajdziemy w punkcie 1.9 (sterowanie windą).
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo p) i logika ujemna (bo ~p). Definicję znajdziemy w pkt. 1.1.1
3.
Stara algebra Boole'a jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y), co udowodniliśmy w pkt. 1.5.4 i 1.7

11.1 Negator dwukierunkowy w bramkach logicznych

Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.

W szczególnym przypadku symbol w nagłówku kolumny może być stałą binarną gdy w kolumnie są same jedynki albo same zera.