ŚFiNiA

[rafal3006]

Algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”

Autor rzeczywisty:
Kubuś - stwórca naszego Wszechświata

Zachodzi matematyczna tożsamość:
Kubuś, stwórca naszego Wszechświata = algebra Kubusia pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.
Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuje w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006 - medium
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej, której nie ma na studiach technicznych (elektronika na PW-wa).
Prawa Kubusia to efekt dyskusji w Wujem Zbójem:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Wuj jako pierwszy ziemianin potwierdził matematyczną poprawność tych praw
3.
Fiklit - który poświęcił 7 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - kluczowy tester wypracowanej w dyskusji z Fiklitem końcowej wersji algebry Kubusia

Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2019


Spis treści
1.0 Algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” 1
1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 2
1.1.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 2
1.1.2 Definicja dowodu „nie wprost” 3
1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 3
1.2.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 4
1.2.2 Definicja dowodu „nie wprost” 4
1.3 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 5
1.3.1 Prawa Kubusia 5
1.3.2 Prawa Tygryska 6
1.3.3 Prawa kontrapozycji 6
2.0 Operatory implikacyjne 6
2.1 Równoważność p<=>q 7
2.2 Implikacja prosta p|=>q 10
2.3 Implikacja odwrotna p|~>q 13
2.4 Operator chaosu p|~~>q 16
2.5 Matematyczne relacje między spójnikami i operatorami implikacyjnymi 18



1.0 Algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to dowodzenie prawdziwości/fałszywości zdań wypowiadanych przez człowieka.

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>

Definicje elementarne w algebrze Kubusia to:
p~~>q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> (zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach)
p=>q - definicja warunku wystarczającego
p~>q - definicja warunku koniecznego

Logika matematyczne to przede wszystkim matematyczna obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” to podstawowe definicje znaczków ~~>, =>, ~> plus definicja kontrprzykładu.

1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

1.1.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0

Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

1.1.2 Definicja dowodu „nie wprost”

Dowolne twierdzenie matematyczne do zdanie warunkowe „Jeśli p to q” tożsame z warunkiem wystarczającym p=>q.
Dowód „nie wprost” dowolnego twierdzenia matematycznego wynika z definicji kontrprzykładu, a nie jak błędnie sądzą ziemscy matematycy z prawa kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
Wyjaśniłem to w tym poście:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/definicje-operatorow-implikacyjnych-w-ukladzie-przelacznikow,14719-250.html#492207

Definicja dowodu „nie wprost”:
1.
Wszelkie twierdzenia matematyki klasycznej wyrażone spójnikiem „Jeśli p to q” to po prostu warunki wystarczające p=>q
2.
Dowód „nie wprost” dotyczy wyłącznie warunku wystarczającego => bo tylko tu obowiązuje definicja kontrprzykładu z której bezpośrednio wynika dowód „nie wprost”
3.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to dowodzenie prawdziwości/fałszywości zdań wypowiadanych przez człowieka.

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik (fragment zdania po „Jeśli ..”)
q - następnik (fragment zdania po „to ..”)

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach =>, ~>, ~~>

Definicje elementarne w algebrze Kubusia to:
p~~>q - definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> (zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach)
p=>q - definicja warunku wystarczającego
p~>q - definicja warunku koniecznego
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” to podstawowe definicje znaczków ~~>, =>, ~> plus definicja kontrprzykładu.

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q=p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

1.2.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Inaczej:
p~~>~q = p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)


1.2.2 Definicja dowodu „nie wprost”

Dowolne twierdzenie matematyczne do zdanie warunkowe „Jeśli p to q” tożsame z warunkiem wystarczającym p=>q.
Dowód „nie wprost” dowolnego twierdzenia matematycznego wynika z definicji kontrprzykładu, a nie jak błędnie sądzą ziemscy matematycy z prawa kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
Wyjaśniłem to w tym poście:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/definicje-operatorow-implikacyjnych-w-ukladzie-przelacznikow,14719-250.html#492207

Definicja dowodu „nie wprost”:
1.
Wszelkie twierdzenia matematyki klasycznej wyrażone spójnikiem „Jeśli p to q” to po prostu warunki wystarczające p=>q
2.
Dowód „nie wprost” dotyczy wyłącznie warunku wystarczającego => bo tylko tu obowiązuje definicja kontrprzykładu z której bezpośrednio wynika dowód „nie wprost”
3.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i ~q
Inaczej:
p~~>~q = p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)

Definicja kontrprzykładu wyżej przedstawiona jest szczególnie użyteczna przy dowodzeniu fałszywości warunku wystarczającego.

Dowód na przykładzie:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8=0 bo kontrprzykład 2
To jest najczęstszy dowód czysto matematyczny fałszywości warunku wystarczającego P2=>P8 wykorzystywany przez ziemskich matematyków.
Ziemscy matematycy nie znają powyższej definicji kontrprzykładu dlatego nie wiedzą iż to jest „dowód nie wprost” fałszywości dowolnego twierdzenia matematycznego.
Kontrprzykład dla twierdzenia A brzmi bowiem:
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1 bo 2
Dowód:
P2=[2,4,6,8..]
P8=[8,16,24..]
Przyjmujemy dziedzinę:
LN=1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
stąd:
~P8=[LN-P8] =[1,2,3,4,5,6,7..9..]
W dowodzie kontrprzykładu B wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] na przykład 2
Fałszywość kontrprzykładu B: P2~~>~P8=1, na mocy definicji kontrprzykładu, wymusza fałszywość warunku wystarczającego A: P2=>P8 =0
cnd


1.3 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i’(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> na gruncie rachunku zero-jedynkowego:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zmienne p i q muszą być wszędzie tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia

Możemy tu wyodrębnić poniższe prawa rachunku zero-jedynkowego

1.3.1 Prawa Kubusia

Prawa Kubusia
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne

Interpretacja dowolnego prawa logicznego
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

1.3.2 Prawa Tygryska

Prawa Tygryska:
Prawa Tygryska wiążą warunek wystarczający => i konieczny ~> z zamianą p i q
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p

Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy zmienne p i q wymieniając spójniki => i ~> na przeciwne

1.3.3 Prawa kontrapozycji

Prawa kontrapozycji:
W prawach kontrapozycji negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami.
Spójnik logiczny (=> lub ~>) pozostaje bez zmian.

Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~q=>~q
q=>p = ~p=>~q
Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
p~>q = ~q~>~p
q~>p = ~p~>~q

Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne p i q zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego => lub ~>.


2.0 Operatory implikacyjne

Definicja operatora implikacyjnego:
Operatory implikacyjne to operatory zbudowane ze zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

W skład dowolnego operatora implikacyjnego wchodzą cztery i tylko cztery zdania warunkowe „Jeśli p to q” obsługujące wszystkie możliwe przeczenia p i q w tym samym kierunku.

Do operatorów implikacyjnych zaliczamy:
1.
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy definicję równoważności w równaniu logicznym:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1

2.
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1

3.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1

4.
Definicja operatora chaosu p|~~>q:
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1


2.1 Równoważność p<=>q

Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy definicję równoważności w równaniu logicznym:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1

Na mocy matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> mamy pełną definicję równoważności:
A 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wnioski:
A.
Aby udowodnić iż mamy do czynienia z równoważnością potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
B.
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q =1*1 =1
W miejsce A1 możemy podstawić dowolne zdanie serii Ax zaś w miejsce B1 dowolne zdanie serii Bx.
Wynika z tego że matematycznie mamy dostępnych 16 tożsamych definicji równoważności z których najpopularniejsze to:
1.
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło p
p<=>q = (B1: p~>q)* (A1: p=>q) =1*1 =1
2.
Najpopularniejsza definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to zachodzący warunek wystarczający => w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*( B3: q=>p) =1*1 =1
3.
Aksjomatyczna definicja równoważności z której wynika tabela zero-jedynkowa równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1

Uproszczone zasady tworzenia zero-jedynkowych definicji spójników implikacyjnych <=>, =>, ~>, ~~>:
1.
W definicjach wszystkich spójników implikacyjnych mamy frazę:
„między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku”
bowiem warunki wystarczający => i konieczny ~> nie są przemienne.
2.
Powyższa fraza umożliwia budowanie definicji aksjomatycznych z których wynikają tabele zero-jedynkowe spójników implikacyjnych.
Symboliczna tabela dowolnego spójnika implikacyjnego to seria czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” zawierająca wszystkie możliwe przeczenia p i q zachodzące w tym samym kierunku.
3.
Tabelę zero-jedynkową spójnika logicznego otrzymujemy podstawiając w otrzymanej wyżej definicji symbolicznej
p=1, q=1
~p=0, ~q=0
Podstawa matematyczna to prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)

Zobaczmy to na przykładzie równoważności.
Najpopularniejsza definicja równoważności to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony:
p<=>q = (A1: p=>q)*( B3: q=>p) =1*1 =1
Dla B3 korzystamy tu z prawa kontrapozycji:
B3: q=>p = B2: ~p=>~q
otrzymując definicję aksjomatyczną:
p<=>q =(A1: p=>q)*( B2: ~p=>~q)
Umieśćmy tą definicję w tabeli symbolicznej: