 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35357
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pon 16:35, 25 Paź 2010 Temat postu: Algebra Kubusia v.Beta A |
|
|
Credo algebry Kubusia
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~> lub ~~>).
Nowa teoria implikacji
Matematyka języka mówionego
Algebra Kubusia
Część I
Operatory OR i AND
Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję
W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Gavrila_Ardalionovitch (ateista.pl), HeHe (ateista.pl), Idiota (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Makaron czterojajeczny (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rexerex (ateista.pl), Rogal (matematyka.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), Windziarz (ateista.pl), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl) i inni
Wielkie dzięki, Kubuś !
Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem, Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję oraz Fizykowi i Windziarzowi za inspirację do napisania końcowej wersji algebry Kubusia.
Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.
Podpis jest pracą zespołową, Kubuś nigdy by się nie urodził bez przyjaciół którzy pomogli mu w jego ziemskim zadaniu.
Literatura uzupełniająca:
Część I NTI - Operatory AND i OR
Część II Nowa teoria implikacji
Spis treści:
1.0 Notacja
2.0 Algebra Kubusia w telegraficznym skrócie
2.1 Operatory OR i AND
2.2 Operatory implikacji
2.3 Operator równoważności
2.4 Znaczenie zdania „Jeśli…to…” w algebrze Kubusia
2.5 Algebra Kubusia w praktyce
3.0 Algebra Boole’a
3.1 Podstawowe definicje i prawa algebry Boole’a
3.2 Prawa wynikające z definicji iloczynu logicznego
3.3 Prawa wynikające z definicji sumy logicznej
3.4 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
4.0 Algebra Kubusia
4.1 Definicja algebry Kubusia
4.2 Parametry formalne i aktualne
4.3 Logika dodania i ujemna
4.4 Równania algebry Boole’a
4.5 Operatory logiczne OR i AND
4.6 Operatory OR i AND w technice bramek logicznych
4.7 Operator OR w naturalnej logice człowieka
4.8 Operator AND w naturalnej logice człowieka
4.9 Operatory OR i AND w obsłudze determinizmu
Wstęp:
W naturalnym języku mówionym każdy człowiek, od 5-cio latka po starca, biegle posługuje się matematyką ścisłą, algebrą Kubusia. To jest matematyka pod którą człowiek podlega a nie którą tworzy. Dzięki niej język człowieka nie jest chaotyczny, człowiek z człowiekiem może się porozumieć. Algebra Kubusia jest nieprawdopodobnie prosta, jej naturalnymi ekspertami są wszystkie dzieci w przedszkolu. Cała filozofia prostoty to akceptacja przez matematyków banalnej logiki dodatniej i ujemnej w algebrze Boole’a … o której jak na razie nie mają bladego pojęcia.
W operatorach OR i AND mamy zdania ze spójnikiem „lub” oraz zdania ze spójnikiem „i” w logice dodatniej albo ujemnej. Operator OR to złożenie zdania twierdzącego ze spójnikiem „lub” w logice dodatniej i zdania ze spójnikiem „i” w logice ujemnej. Operator AND to złożenie zdania twierdzącego ze spójnikiem „i” w logice dodatniej i zdania ze spójnikiem „lub” w logice ujemnej.
Identycznie jest w implikacji i równoważności.
Fundamentem implikacji i równoważności są warunki wystarczające i konieczne mogące występować w logice dodatniej albo ujemnej. Operatory logiczne implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz równoważności <=> to złożenie odpowiednich warunków wystarczających => i koniecznych ~>, zawsze jeden w logice dodatniej a drugi w logice ujemnej.
Implikacja prosta =>:
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q
Warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Implikacja odwrotna ~>:
Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
p~>q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Równoważność <=>:
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunki wystarczające i konieczne definiowane są zaledwie dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej co jest twardym dowodem, że w implikacji oraz równoważności człowiek nigdy nie wychodzi poza dwuelementową algebrę Boole’a !
Algebra Kubusia jest odpowiednikiem języka asemblera ze świata mikroprocesorów, operuje na zmiennych binarnych i stałych w zapisie symbolicznym a nie na zerach i jedynkach, jak to jest w dzisiejszej logice.
1.0 Notacja
1 = prawda
0 = fałsz
# - różne
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND(*), OR(+), =>, ~>
A = ~(~A) - prawo podwójnego przeczenia
Funkcja logiczna
Funkcja logiczna Y to funkcja zmiennych binarnych mogących przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 1 (prawda) albo 0 (fałsz).
Przykład:
Y=A+B*~C
gdzie:
Y - funkcja logiczna
A, B, ~C - zmienne binarne
Definicja logiki dodatniej i ujemnej dla operatorów AND i OR:
Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz).
gdzie:
Y - funkcja logiczna w logice dodatniej (brak przeczenia)
~Y - funkcja logiczna w logice ujemnej (jest przeczenie)
Związek logiki dodatniej z logiką ujemną opisuje równanie:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Zmienna binarna:
Jutro pójdę do kina
Y=K
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1
Y=1 - dotrzymam słowa
Y=0 - skłamię
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów (tu ich nie ma):
~Y=~K
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=1 <=> ~K=1
~Y=1 - skłamię
~Y=0 - dotrzymam słowa
Jak widzimy w przyszłości zmienna może przyjąć dowolną wartość (brak determinizmu).
Stała w zapisie symbolicznym
1.
To jest pies (pokazuję na psa)
Y=P
Y=1 <=> P=1
2.
To nie jest pies (pokazuję na osła)
~Y=~P
~Y=1 <=> ~P=1
W tym przypadku może wystąpić wyłącznie 1 albo 2 czyli mamy 100% determinizm, bo żaden pies nie może stać się osłem i odwrotnie.
Przejście z tabeli zero-jedynkowej do tabeli operatorowej na przykładzie OR
Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
| Kod: |
p q Y=p+q
Dotrzymam słowa (logika dodatnia bo Y)
Y=p+q= p*q+p*~q+~p*q
1 1 =1 /Y=p*q
1 0 =1 /Y=p*~q
0 1 =1 /Y=~p*q
Skłamię (logika ujemna bo ~Y)
0 0 =0 /~Y=~p*~q
|
Algorytm tworzenia zapisu operatorowego po znak „/” jest banalny:
1.
Jeśli w tabeli jest jedynka to przepisujemy nagłówek:
1->p
2.
Jeśli w tabeli jest zero to przepisujemy zanegowany nagłówek:
0->~p
Podstawa matematyczna:
Jeśli p=0 to ~p=1 (dwustronna negacja)
Uwaga:
W ten oto sposób w przyszłości będziemy operować zmiennymi binarnymi a nie idiotycznymi zerami i jedynkami. Tylko i wyłącznie dla tabeli operatorowej jak po znaku „/” możemy korzystać z praw matematycznych w postaci symbolicznej np. przejście do logiki przeciwnej, prawa de’Morgana, prawa Kubusia itd.
3.
Dane wejściowe p i q łączymy spójnikiem „i”(*).
4.
Wyjścia o identycznej polaryzacji możemy zapisać w postaci sumy logicznej poszczególnych wierszy:
Y=p*q+p*~q+~p*q
5.
Z ostatniej linii mamy:
~Y=~p*~q
Przejście do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów:
Y=p+q
… i to jest najprostsza definicja sumy logicznej z nagłówka definicji:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Oczywiście zachodzi tożsamość:
Y=p+q= p*q+p*~q+~p*q
Na podstawie definicji zapisujemy:
Y=p+q
oraz:
~Y=~p*~q
Oczywisty związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd otrzymujemy prawo de’Morgana dla sumy logicznej:
p+q = ~(~p*~q)
2.0 Algebra Kubusia w telegraficznym skrócie
Ten punkt zawiera wszystko co najważniejsze w algebrze Kubusia, to streszczenie całości, zatem przy pierwszym czytaniu na pewno nie wszystko będzie tu zrozumiałe.
2.1 Operatory OR i AND
Definicja logiki dodatniej i ujemnej dla operatorów AND i OR:
Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz).
gdzie:
Y - funkcja logiczna w logice dodatniej (brak przeczenia)
~Y - funkcja logiczna w logice ujemnej (jest przeczenie)
Związek logiki dodatniej z logiką ujemną opisuje równanie:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
W operatorach OR i AND mamy zdania ze spójnikiem „lub” i „i” w logice dodatniej i ujemnej. Operator OR to złożenie zdania twierdzącego ze spójnikiem „lub” w logice dodatniej i zdania ze spójnikiem „i” w logice ujemnej. Operator AND to złożenie zdania twierdzącego ze spójnikiem „i” w logice dodatniej i zdania ze spójnikiem „lub” w logice ujemnej.
Operator OR(+):
Zdanie ze spójnikiem „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
Y=p+q
Zdanie ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~p*~q
Oczywisty związek logik:
Y=~(~Y)
Stąd mamy prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
Operator AND(*):
Zdanie ze spójnikiem „i” w logice dodatniej (bo Y)
Y=p*q
Zdanie ze spójnikiem „lub” w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~p+~q
Oczywisty związek logik:
Y=~(~Y)
stąd prawo de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q)
Zero-jedynkowa definicja operatora OR:
| Kod: |
p q Y=p+q
Dotrzymam słowa (logika dodatnia bo Y)
Y=p+q= p*q+p*~q+~p*q
1 1 =1 /Y=p*q
1 0 =1 /Y=p*~q
0 1 =1 /Y=~p*q
Skłamię (logika ujemna bo ~Y)
0 0 =0 /~Y=~p*~q
|
Algorytm tworzenia zapisu operatorowego po znak „/” jest banalny:
1.
Jeśli w tabeli jest jedynka to przepisujemy nagłówek:
1->p
2.
Jeśli w tabeli jest zero to przepisujemy zanegowany nagłówek:
0->~p
Podstawa matematyczna:
Jeśli p=0 to ~p=1 (dwustronna negacja)
Uwaga:
W ten oto sposób w przyszłości będziemy operować zmiennymi binarnymi a nie idiotycznymi zerami i jedynkami. Tylko i wyłącznie dla tabeli operatorowej jak po znaku „/” możemy korzystać z praw matematycznych w postaci symbolicznej np. przejście do logiki przeciwnej, prawa de’Morgana, prawa Kubusia itd.
3.
Dane wejściowe p i q łączymy spójnikiem „i”(*).
4.
Wyjścia o identycznej polaryzacji możemy zapisać w postaci sumy logicznej poszczególnych wierszy:
Y=p*q+p*~q+~p*q
5.
Z ostatniej linii mamy:
~Y=~p*~q
Przejście do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów:
Y=p+q
… i to jest najprostsza definicja sumy logicznej z nagłówka definicji:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Oczywiście zachodzi tożsamość:
Y=p+q= p*q+p*~q+~p*q
Na podstawie definicji zapisujemy:
Y=p+q
oraz:
~Y=~p*~q
Oczywisty związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd otrzymujemy prawo de’Morgana dla sumy logicznej:
p+q = ~(~p*~q)
Zero-jedynkowa definicja operatora AND:
| Kod: |
p q Y=p*q
Dotrzymam słowa (logika dodatnia bo Y)
1 1 =1 /y=p*q
Skłamię (logika ujemna bo ~Y)
~Y = ~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
0 0 =0 /~Y=~p*~q
0 1 =0 /~Y=~p*q
1 0 =0 /~Y=p*~q
|
Na podstawie definicji zapisujemy:
Y=p*q
oraz:
~Y=~p+~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
stąd mamy prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego:
p+q = ~(~p+~q)
Po znaku „/” zapisano definicje operatorów OR i AND w wersji operatorowej, używanej w naturalnym języku mówionym.
Prawo przedszkolaka:
W dowolnej funkcji logicznej Y algebry Boole’a z operatorami AND i OR przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
Przykładowa funkcja logiczna:
A.
Y=A+(B*~C)
Przejście do logiki przeciwnej:
B.
~Y=~A*(~B+C)
Oczywiście:
C.
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B do C mamy prawo de’Morgana:
A+(B*~C) = ~A*(~B+C)
Prawa de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+)
p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*)
Operatorowa definicja operatora OR:
| Kod: |
p q Y=p+q
Dotrzymam słowa (Y=1 - wystąpi prawda):
Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q - spójnik LUB(+) w logice dodatniej bo (Y)!
p*q =Y
1 1 =1
lub
p*~q=Y
1 0 =1
lub
~p*q=Y
0 1 =1
… a kiedy skłamię (~Y=1 - wystąpi fałsz) ?
~p*~q=~Y - spójnik AND(*) w logice ujemnej (bo ~Y) !
0 0 =0
|
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową operatora OR dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0
Twierdzenie Tygryska:
Zera i jedynki w tabelach operatorów logicznych AND, OR, implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> i równoważności <=> oznaczają:
1 = zgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy nagłówek.
0 = niezgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy zanegowany nagłówek.
Przykład:
Y=1 - dotrzymam słowa
Y=0 - skłamię
~Y=1 - skłamię
~Y=0 - dotrzymam słowa
Oczywiście:
Y#~Y
Zatem mamy tu dwa różne zdania Y i ~Y w jednej tabeli zero-jedynkowej !
Z powyższego wynika, że operator OR to złożenie spójnika „lub” w logice dodatniej oraz spójnika „i” w logice ujemnej, zatem operator OR to fundamentalnie co innego niż spójnik „lub” (OR). Spójnik „lub” to tylko i wyłącznie trzy pierwsze linie z powyższej tabeli.
Na podstawie powyższej tabeli mamy:
Y=p+q
oraz:
~Y=~p*~q
Oczywisty związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y#~Y
Stąd otrzymujemy prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
Zauważmy, że prawo de’Morgana obowiązuje w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej, zatem operator OR (+) nie może istnieć bez operatora AND (*).
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
czyli:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek zmienna zostanie ustawiona na jeden (K=1 lub T=1)
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
Mamy:
Y=K+T
stąd:
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy obie zmienne zostaną ustawione na 1.
Innymi słowy:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy ~K=1 i ~T=1
Twierdzenie:
Zdanie jest operatorem OR wtedy i tylko wtedy gdy spełnia operatorową definicję tego operatora.
Wszystkie bezwarunkowe obietnice jak wyżej spełniają powyższe twierdzenie obligatoryjnie.
W świecie zdeterminowanym, o z góry znanych wartościach logicznych człowiek nie używa spójnika „lub” .
Kwadrat ma wszystkie boki równe lub kąty równe.
KW<=>BR+KR = 0 !
Kwadrat ma wszystkie boki równe i kąty równe
KW<=>BR*KR =1 !
Pies ma cztery łapy lub miauczy
P=4L+M
P=1 <=> 4L=1 lub M=0
Oczywiście nikt tak nie powie, bo po prawej stronie mamy tu mieszanie prawdy z fałszem, poza tym jeśli składniki są zdeterminowane to właściwym spójnikiem jest „i”
Pies ma cztery łapy i nie miauczy
P=4L*~M
P=1 <=> 4L=1 i ~M=1
Wszystkie zmienne sprowadzone zostały do 1, zatem musimy użyć spójnika „i”, to jest warunek, abyśmy mogli stosować prawa algebry Boole’a np. prawa de’Morgana.
… a kiedy zdanie będzie fałszem ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów:
Mamy:
P=4L*~M
stąd:
~P=~4L+M
czyli:
~P<=> ~4L=1 lub M=1
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) lub miauczy (M=1) to na pewno nie jest psem (~P=1).
~4L+M=~P
Operatorowa definicja operatora AND:
| Kod: |
p q Y=p*q
Dotrzymam słowa (Y=1 - wystąpi prawda):
p*q =Y - spójnik „i” w logice dodatniej (bo Y)
1 1 =1
… a kiedy skłamię (~Y=1 - wystąpi fałsz)?
~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q - spójnik „lub” w logice ujemnej (bo ~Y)
Skłamię, wtedy i tylko wtedy gdy:
~p*~q =~Y
0 0 =0
~p*q =~Y
0 1 =0
p*~q =~Y
1 0 =0
|
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową operatora AND dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Y=1, ~Y=0
Twierdzenie Tygryska:
Zera i jedynki w tabelach operatorów logicznych AND, OR, implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> i równoważności <=> oznaczają:
1 = zgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy nagłówek.
0 = niezgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy zanegowany nagłówek.
Z powyższego wynika, że operator AND to złożenie spójnika „i” w logice dodatniej oraz spójnika „lub” w logice ujemnej, zatem operator AND to fundamentalnie co innego niż spójnik „i”. Spójnik „i” to tylko i wyłącznie pierwsza linia w powyższej tabeli.
Na podstawie powyższej tabeli mamy:
Y=p*q
oraz:
~Y=~p+~q
Oczywisty związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y#~Y
Stąd otrzymujemy prawo de’Morgana dla iloczynu logicznego:
p*q = ~(~p+~q)
Zauważmy, że prawo de’Morgana obowiązuje w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej, zatem operator AND(*) nie może istnieć bez operatora OR(+).
Przykład:
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
czyli:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy obie zmienne zostaną ustawione na jeden (K=1 i T=1)
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
Mamy:
Y=K*T
stąd:
~Y=~K+~T
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy którakolwiek ze zmiennych zostanie ustawiona na 1 (~K=1 i ~T=1).
Innymi słowy:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy, gdy ~K=1 lub ~T=1
Twierdzenie:
Zdanie jest operatorem AND wtedy i tylko wtedy gdy spełnia operatorową definicję tego operatora.
Wszystkie bezwarunkowe obietnice jak wyżej spełniają powyższe twierdzenie obligatoryjnie.
W świecie zdeterminowanym, o z góry znanych wartościach logicznych człowiek używa spójnika „i” sprowadzając wszystkie stałe do prawdy.
Pies ma cztery łapy i miauczy
P=4L*M
P=1 <=> 4L=1 i M=0
czyli:
P=1 <=> 4L*M =0
Oczywiście takie zdanie jest fałszywe na mocy definicji operatora AND, poprawne jest niżej.
Pies ma cztery łapy i nie miauczy
P=4L*~M
P=1 <=> 4L=1 i ~M=1
P=1<=>4L*~M=1
Wszystkie zmienne sprowadzone zostały do 1 zatem musimy użyć spójnika „i”, to jest warunek, abyśmy mogli stosować prawa algebry Boole’a.
… a kiedy zdanie będzie fałszem ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów:
Mamy:
P=4L*~M
stąd:
~P=~4L+M
czyli:
~P<=> ~4L=1 lub M=1
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) lub miauczy (M=1) to na pewno nie jest psem (~P=1).
~4L+M=~P
2.2 Operatory implikacji
Fundamentem implikacji i równoważności są warunki wystarczające i konieczne mogące występować w logice dodatniej albo ujemnej. Operatory logiczne implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz równoważności <=> to złożenie odpowiednich warunków wystarczających => i koniecznych ~>, zawsze jeden w logice dodatniej a drugi w logice ujemnej.
Implikacja prosta =>:
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q
Warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
~p~>~q
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Implikacja odwrotna ~>:
Warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
p~>q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Równoważność <=>:
Warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
p=>q
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
~p=>~q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunki wystarczające i konieczne definiowane są zaledwie dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej co jest twardym dowodem, że w implikacji oraz równoważności człowiek nigdy nie wychodzi poza dwuelementową algebrę Boole’a !
Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej =>:
| Kod: |
p q Y=p=>q
1 1 =1 /p=>q =1 - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
1 0 =0 /p=>~q =0
… a jeśli nie zajdzie p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
0 0 =1 /~p~>~q =1 - warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
0 1 =1 /~p~~>q =1
|
Definicja słowna implikacji prostej =>:
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q
Dodatkowo musi być spełnione prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
… bowiem identyczny warunek wystarczający p=>q występuje w równoważności.
Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej ~>:
| Kod: |
p q Y=p~>q
1 1 =1 /p~>q =1 - warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
1 0 =1 /p~~>~q =1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
0 0 =1 /~p=>~q =1 - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
0 1 =0 /~p=>q =0
|
Definicja słowna implikacji odwrotnej:
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
p musi być konieczne dla q
Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji, prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Po znaku „/” zapisano operatorowe definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~>, którymi każdy 5-cio latek biegle się posługuje.
Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą =>
Logika dodatnia i ujemna dla operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~>:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną (patrz prawa Kubusia).
Z praw Kubusia wynika, że implikacja prosta => w logice dodatniej jest równoważna implikacji odwrotnej ~> w logice ujemnej i odwrotnie, czyli implikacja odwrotna ~> w logice dodatniej jest równoważna implikacji prostej => w logice ujemnej.
Warunki wystarczający i konieczny należy rozumieć w sposób naturalny, dokładnie tak jak to rozumieją dzieci w przedszkolu.
W naturalnym języku mówionym wypowiadając zdanie „Jeśli…to…” człowiek rozstrzyga tylko i wyłącznie czy użyć spójnika „musi” czy też „może”, nie ma więc tu wyjścia poza dwuelementową algebrę Boole’a. Zdanie „Jeśli…to…” może mieć tylko i wyłącznie pięć różnych znaczeń o których na końcu tego rozdziału.
Operatorowa definicja implikacji prostej z podkładem zero-jedynkowym
| Kod: |
p q p=>q
p=> q =1 /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
1 1 =1
p=>~q =0
1 0 =0
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo kubusia:
p=>q = ~p~>~q
~p~>~q =1 /warunek konieczny w logice ujemnej (bo ~q)
0 0 =1
~p~~>q =1
0 1 =1
|
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Twierdzenie Tygryska:
Zera i jedynki w tabelach operatorów logicznych AND, OR, implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> i równoważności <=> oznaczają:
1 = zgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy nagłówek.
0 = niezgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy zanegowany nagłówek.
Jak widzimy implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego w logice dodatniej (q) i warunku koniecznego w logice ujemnej (~q).
Oczywiście zdanie wypowiedziane musi spełniać definicję implikacji prostej.
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
p musi być wystarczające dla q
Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji, prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
bowiem identyczny warunek wystarczający p=>q jest w równoważności, to jest nie do odróżnienia bez analizy zdania przez definicję zero-jedynkową jak wyżej. Oczywiście zakładamy że wypowiedziane zdanie jest implikacją prostą p=>q.
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1 - bo pies. Gwarancja matematyczna
1 1 =1
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym aby mieć cztery łapy.
Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna jak wyżej, poza nią wszystko może się zdarzyć, czyli jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap, albo mieć cztery łapy (rzucanie monetą).
stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to nie ma czterech łapy
P=>~4L=0
1 0 =0
… a jeśli zwierzę nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
C.
jeśli zwierze nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
0 0 =1
LUB
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo słoń
0 1 =1
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej => dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
Zdanie D nie jest implikacją odwrotną ~>.
Dowód nie wprost.
Zakładamy że zdanie D jest implikacja odwrotną i stosujemy prawo Kubusia:
D: ~P~>4L = B: P=>4L =0
Prawa strona tożsamości Kubusia to oczywisty fałsz (zdanie B), zatem zdanie D nie może być implikacja odwrotną prawdziwą, zatem warunek konieczny tu nie zachodzi.
CND
Prawdziwość zdania D opisuje równanie:
(~P~>4L)+(~P~~>4L) = 0+1 =1
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego „może” ~~>, wystarczy jedna prawda np. słoń
Operatorowa definicja implikacji odwrotnej z podkładem zero-jedynkowym:
| Kod: |
p q p~>q
p~> q =1 /warunek konieczny w logice dodatniej (bo q)
1 1 =1
p~~>~q =1
1 0 =1
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p=> ~q =1 /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
0 0 =1
~p=> q =0
0 1 =0
|
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Twierdzenie Tygryska:
Zera i jedynki w tabelach operatorów logicznych AND, OR, implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> i równoważności <=> oznaczają:
1 = zgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy nagłówek.
0 = niezgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy zanegowany nagłówek.
W tabeli widać, że implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego w logice dodatniej (q) i warunku wystarczającego w logice ujemnej (~q).
Oczywiście zdanie wypowiedziane musi spełniać warunek konieczny.
p~>q
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
W przypadku implikacji odwrotnej udowodnienie warunku koniecznego p~>q gwarantuje implikację odwrotna prawdziwą.
Dlaczego ?
Jeśli p jest konieczne dla q, to zajście ~p gwarantuje zajście ~q
W sposób naturalny odkryliśmy tu wyrocznię implikacji, prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
które jest tu obligatoryjnie spełnione.
Przykład:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1 bo pies
1 1 =1
Cztery łapy są konieczne aby być psem, zatem implikacja odwrotna prawdziwa
LUB
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P =1 bo słoń
1 0 =1
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
czyli:
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 np. kura. Gwarancja matematyczna
Poza powyższą gwarancja wszystko może się zdarzyć, czyli jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem albo nie być psem (rzucanie monetą).
W implikacji odwrotnej p~>q gwarancja matematyczna wynika z prawa Kubusia jak wyżej.
stąd:
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P =0
0 1 =0
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1=1 czyli:
4L=1, ~4L=0
P=1, ~P=0
Zdanie B nie jest implikacją odwrotną.
Dowód nie wprost.
Załóżmy że zdanie B to implikacja odwrotna i zastosujmy prawo Kubusia:
B: 4L~>~P = D: ~4L=>P =0
Zdanie D to oczywisty fałsz, zatem B nie może być implikacją odwrotną, warunek konieczny tu nie zachodzi.
Prawdziwość zdania B opisuje równanie:
(4L~>~P)+(4L~~>~P) = 0+1=1
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego może ~~>, wystarczy jedna prawda np. kura.
CND
2.3 Operator równoważności
Operatorowa definicja równoważności z podkładem zero-jedynkowym:
| Kod: |
p q p<=>q
p=> q =1 /warunek wystarczający w logice dodatniej (bo q)
1 1 =1
p=>~q =0
1 0 =0
~p=>~q =1 /warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q)
0 0 =1
~p=> q =0
0 1 =0
|
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=1
Twierdzenie Tygryska:
Zera i jedynki w tabelach operatorów logicznych AND, OR, implikacji prostej => i implikacji odwrotnej ~> i równoważności <=> oznaczają:
1 = zgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy nagłówek.
0 = niezgodność logiki ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1, przepisujemy zanegowany nagłówek.
Definicje operatorowe równoważności:
A.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - na podstawie definicji operatorowej
Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
~p=>~q = q=>p
stąd odprysk definicji równoważności:
B.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Zauważmy, że w powyższej tabeli zero-jedynkowej nie ma śladu ani warunku koniecznego ~> ani praw Kubusia. Równoważność to złożenie dwóch warunków wystarczających, jednego w logice dodatniej (q) i drugiego w logice ujemnej (~q) co widać w powyższej tabeli.
Wniosek:
Równoważność i implikacja to dwa rozdzielne świat matematyczne. Jeśli cokolwiek jest równoważnością to nie może być implikacją i odwrotnie.
Definicje równoważności A i B są tożsame matematycznie, czyli udowodnienie jednej pociąga za sobą udowodnienie drugiej i odwrotnie.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p)
Z prawej strony mamy do czynienia tylko i wyłącznie z warunkami wystarczającymi w kierunku p=>q, ~p=>~q i q=>p, to nie są implikacje bo nie spełniają definicji implikacji, co widać w definicji zero-jedynkowej wyżej.
Przykład:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR=1 - warunek wystarczający w logice dodatniej (bo KR)
1 1 =0
stąd:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno =. nie ma kątów równych
TR=>~KR=0
1 0 =0
… a jeśli trójkąt nie jest równoboczny ?
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => nie ma kątów równych
~TR=>~KR =1 - warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~Y)
0 0 =1
stąd:
Jeśli trójkąt nie jest równoboczny to na pewno => ma kąty równe
~TR=>KR =0
0 1 =0
Doskonale widać tabele zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
TR=1, ~TR=0
KR=1, ~KR=0
Z powyższego mamy definicję równoważności:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)
Oczywiście po prawej stronie zdania TR=>KR i ~TR=>~KR to tylko i wyłącznie warunki wystarczające definiowane dwoma liniami tabeli zero-jedynkowej. To nie są implikacje proste bo nie ma tu szans na zaistnienia prawa Kubusia.
2.4 Znaczenie zdania „Jeśli…to…” w algebrze Kubusia
Człowiek używa zdań „Jeśli…to…” tylko i wyłącznie w pięciu różnych znaczeniach. Poprawna matematyka która rości sobie prawo do opisu matematycznego naturalnego języka mówionego musi umieć rozpoznawać wszystkie takie zdania. Jedyną znaną człowiekowi logiką która to robi jest Nowa Teoria Implikacji.
1.
Implikacja prosta:
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
p musi być wystarczające dla q
Dodatkowo musi być spełniona wyrocznia implikacji prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
2.
Tylko warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Warunek wystarczający w równoważności p=>q jest identyczny jak w implikacji prostej wyżej p=>q, to jest nie do rozpoznania. Prawa strona definicji równoważności to tylko i wyłącznie warunki wystarczające, nie są to implikacje proste bo nie spełniają definicji zero-jedynkowej implikacji prostej =>.
Przykład:
Jeśli trójkąt jest równoboczny to ma kąty równe
TR=>KR
To jest tylko i wyłącznie warunek wystarczający wchodzący w skład definicji równoważności:
Trójkąt jest równoboczny wtedy i tylko wtedy gdy ma kąty równe
TR<=>KR = (TR=>KR)*(~TR=>~KR)
3.
Implikacja odwrotna:
p~>q
jeśli zajdzie p to może zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
Warunek konieczny wymusza implikację odwrotną bo:
Jeśli p jest konieczne dla q to zajście ~p gwarantuje zajście ~q
W sposób naturalny odkryliśmy prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
4.
Zdaniem prawdziwym na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda, warunek konieczny tu nie zachodzi.
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8 =1 bo 24
P3 nie jest konieczne dla P8 bo 8, zatem implikacja odwrotna P3~>P8 jest fałszywa
5.
Zdaniem fałszywym, nie spełniającym któregokolwiek z powyższych przypadków.
2.5 Algebra Kubusia w praktyce
Dzisiejsza algebra Boole’a jest poprawna w technice komputerowej i fatalna w obsłudze naturalnej logiki człowieka. W komputerach jest wszystko dobrze bo nie ma tu najmniejszego śladu implikacji.
Implikacja zarówno prosta => jak i odwrotna ~> to w jednej połówce zawsze "rzucanie monetą" czyli matematyczna „wolna wola”. Z tego powodu implikacja w świecie techniki jest bezsensem i nigdy nie znajdzie tu zastosowania.
W technice cyfrowej znana jest logika dodatnia i ujemna w algebrze Boole'a !
Odwrócenie logiki można uzyskać na dwa sposoby.
Załóżmy że mamy układ cyfrowy realizujący równanie:
A.
Y=A*(B+~C)
Sposób I
Negujemy dwustronnie:
~Y = ~[A*(B+~C)]
Ten sposób wymaga użycia tylko jednego negatora i nie ingeruje w układ fizyczny. Z tego powodu jest powszechnie wykorzystywany w technice cyfrowej.
Sposób II
Przechodzimy z równaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y = ~A+(~B*C)
Ten sposób wymaga ingerencji w budowę całego układu, praktycznie wszystko trzeba budować od nowa dlatego w technice cyfrowej jest to bez sensu.
Mózg człowieka działa w tym zakresie fundamentalnie inaczej, tu podstawą wszystkiego jest sposób II.
Przykłady:
1.
Przejście z logiki dodatniej do ujemnej w zdaniach twierdzących.
2.
Prawa Kubusia w implikacji
3.
Kompletne nie korzystanie z praw de'Morgana w naturalnym języku mówionym.
Prawa de’Morgana są powszechnie wykorzystywane w technice cyfrowej np. do minimalizacji układu.
Przykład 1.
Przejście z logiki dodatniej do ujemnej w zdaniach twierdzących.
Jutro pójdę do kina lub do teatru.
Y=K+T - logika dodania bo Y (niezanegowane)
Y=1 <=> K=1 lub T=1
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
~Y=~K*~T - logika ujemna bo ~Y (zanegowane)
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Przykład 2.
Prawa Kubusia w implikacji
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P - logika dodatnia bo P (następnik niezanegowany)
Chmury sa warunkiem koniecznym dla deszczu, implikacja odwrotna prawdziwa.
… a jeśli jutro nie będzie pochmurno ?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P - logika ujemne bo ~P (następnik zanegowany)
Przykład 3.
Kompletne nie korzystanie z praw de'Morgana w naturalnym języku mówionym.
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru.
Y=K+T
… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y=~K*~T
B.
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdę do kina i nie pójdę do teatru
~Y=~K*~T
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
K+T = ~(~K*~T)
czyli:
C.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina (~K) i nie pójdę do teatru (~T)
Y=~(~K*~T)
Oczywistym jest, że każdy człowiek mając do wyboru dwa równoważne matematycznie zdania A lub C wybierze A bo to jest zdecydowanie prostsze, co nie znaczy że będzie miał jakiekolwiek kłopoty ze zrozumieniem C.
Cytat z:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Słupek napisał: |
Jeśli ktoś jest kobietą albo pochodzi ze Szkocji to nosi spódniczki.
|
To jest przykład zdania na którym dzisiejsza logika łamie sobie zęby … bo nie akceptuje równych praw implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz nie ma pojęcia jak używać praw Kubusia poprawnych w KRZ (sic !).
Zauważmy, że KRZ nigdy nie uzna praw Kubusia bo prawa te mówią o możliwości zamiany implikacji prostej => równoważną matematycznie implikacja odwrotną ~>.
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Uznanie równych praw implikacji prostej => i odwrotnej ~> to oczywiste samobójstwo KRZ i jej IDIOTYCZNEGO fundamentu w postaci implikacji materialnej. Tu nie ma możliwości jakiegokolwiek kompromisu, miejsce wszelkich dzisiejszych logik opartych na implikacji materialnej jest w koszu na śmieci … czyli koniec świata gwarantowany.
Pewne jest że wcześniej czy później człowiek musi zaakceptować nowe definicje implikacji z NTI i prawa Kubusia, gwarantują to kosmiczne Misie których wysłannikiem jest Kubuś !
W algebrze Kubusia tego typu zdania to matematyczne banały !
Trzeba tu rozróżnić trzy przypadki:
Przypadek 1
Wszystko zależy od człowieka czyli typowa, bezwarunkowa obietnica lub groźba
Przykład:
A.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
B.
Juro pójdę do kina albo do teatru
T=K ALBO T
W przypadku B jeśli pójdziemy do kina i do teatru to kłamiemy. Zdanie A zawiera w sobie zdanie B i jest bezpieczniejsze bo możemy wszystko, także iść do kina i do teatru.
W mowie potocznej spójnik LUB jest prawie zawsze używany w znaczeniu ALBO, bo gdybyśmy chcieli iść do kina i do teatru to użyjemy zupełnie innego spójnika „i” (AND)
Jutro pójdę do kina i do teatru
Y=K*T
Przypadek 2
To obietnice na styku przyroda martwa-człowiek.
Przykład:
Jeśli będzie padało to otworzę parasolkę
P=>O
Padanie jest warunkiem wystarczającym, abym otworzył parasolkę.
Piękna implikacja prosta, ale ….
Prawo kontrapozycji:
p=>q # ~q=>~p
czyli:
Jeśli nie otworzę parasolki to nie będzie padało
~O=>~P =0
W czasie przyszłym ta implikacja jest fałszywa, prawdziwa jest w czasie przeszłym:
Jeśli nie otworzyłem parasoli to na pewno nie padało
~O=>~P =1
Oczywiście:
przyszłość # przeszłość (tu wszystko jest zdeterminowane)
Dlatego w NTI obowiązuje jedynie prawdziwe prawo kontrapozycji:
p=>q # ~q=>~p
Matematycznie te zdania nie są równoważne bo wypowiedziane w przeciwnych logikach.
Prawdziwość zdania po lewej stronie wymusza prawdziwość zdania po prawej stronie z tym, że w implikacjach czasowych (jak wyżej) zdanie po prawej stronie będzie prawdziwe i sensowne w czasie przeszłym.
… poza tym w NTI obowiązuje jeszcze inne prawo kontrapozycji o którym KRZ nie ma pojęcia:
p~>q # ~q~>~p
Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Groźba, zatem na mocy definicji groźby z NTI implikacja odwrotna ~>.
Prawo kontrapozycji w czasie przyszłym jest tu bez sensu:
B~>L # ~L~>~B
Jeśli nie dostaniesz lania to może ~> nie ubrudzisz spodni
~L~>~B=0
… ale w czasie przeszłym jest OK.
Jeśli nie dostałeś lania to mogłeś ~> nie ubrudzić spodni
~L~>~B =1
Przypadek 3
To świat fizyczny istniejący niezależnie od człowieka.
Przykład:
Jeśli ktoś jest kobietą albo pochodzi ze Szkocji to nosi spódniczki.
Oczywiście, cokolwiek byśmy nie powiedzieli to nie zmusimy Szkotów do zaprzestania noszenia swoich spódniczek.
Całe zdanie jest w języku potocznym poprawne, choć mało precyzyjne. Sformułowanie „pochodzi ze Szkocji” oznacza tu zarówno Szkota jak i Szkotkę, nie są to więc stany „rozłączne” i spójnik „albo” nie jest tu matematycznie precyzyjny bo:
Kobieta i mężczyzna pochodzący ze Szkocji mogą nosić spódniczki
Y=K*SZ =1 - oboje mogą nosić spódniczki
Poza tym to jest implikacja odwrotna „może” ~> a nie prosta „musi”=> (ten spójnik jest domyślny i nie musi być używany). To też jest bez znaczenia bo kręgosłup logiki człowieka jest w tym przypadku taki.
Jeśli ktoś jest kobietą lub pochodzi ze Szkocji to może ~> nosić spódniczkę
K+SZ~>S
Bycie kobietą lub bycie Szkotem jest warunkiem koniecznym dla noszenia spodniczki, zatem implikacja odwrotna prawdziwa.
Właśnie dzięki temu że człowiek podlega pod banalnie prostą algebrę Kubusia a nie ją tworzy, możemy mówić mało precyzyjnie np. źle używać spójniki jak w powyższym przypadku, opowiadać kawały i dowcipy, mówić z niedomówieniami itp.
Analiza:
A.
Jeśli ktoś jest kobietą lub pochodzi ze Szkocji to może ~> nosić spódniczkę
(K+SZ)~>S =1 bo kobieta lub Szkot mogą nosić spódniczki
1 1 =1
LUB
B.
Jeśli ktoś jest kobietą lub pochodzi ze Szkocji to może ~~> nie nosić spódniczki
(K+SZ)~~>~S =1 - ani kobiety, ani mężczyźni nie muszą nosić spódniczek
1 0 =1
… a jeśli nie jest kobietą i nie pochodzi ze Szkocji ?
Prawo Kubusia:
(K+SZ)~>S = ~(K+SZ)=>~S
stąd na podstawie prawa de’Morgana:
(K+SZ)~>S = (~K*~SZ)~>~S
stąd:
C.
Jeśli ktoś nie jest kobietą i nie jest Szkotem to na pewno nie nosi spódniczki
(~K*~SZ)=>~S=1
0 0 =1
stąd:
D.
Jeśli ktoś nie jest kobietą i nie jest Szkotem to na pewno nosi spódniczki
(~K*~SZ)=>S =0 bo Polak
0 1 =0
Doskonale widać tabelę implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
(K+SZ) =`1, ~(K+SZ)= ~K*~SZ =0
S=1, ~S=0
CND
3.0 Algebra Boole’a
Dwuelementowa algebra Boole’a (wyłącznie cyfry 0 i 1) to fundament działania wszystkiego w naszym Wszechświecie. W dniu dzisiejszym algebra ta jest poprawna w obszarze techniki gdzie wykorzystywane są wyłącznie operatory logiczne AND, OR, XOR i <=>.
W świecie rzeczywistym, poza matematyką i techniką króluje implikacja, której współczesny człowiek kompletnie nie rozumie. Fałszywy jest fundament wszelkich dzisiejszych logik jakoby operator implikacji odwrotnej ~> był w logice zbędny, katastrofalna jest jedyna znana człowiekowi definicja implikacji materialnej itd.
3.1 Podstawowe definicje i prawa algebry Boole’a
Definicja iloczynu logicznego (logika dodatnia):
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Y=A1*A2* … *An =1 <=> A1=1, A2=1 … An=1
Definicja równoważna (logika ujemna):
Iloczyn logiczny jest równy zeru jeśli którakolwiek zmienna jest równa zeru.
Y=1*1*1*0*1 =0
Definicja sumy logicznej (logika ujemna):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Y = A1+A2+… An =0 <=> A1=0, A2=0 …An=0
Definicja równoważna (logika dodania):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa jeden gdy którakolwiek ze zmiennych jest równa jeden.
Y=1+1+1+0+1 =1
W naturalnej logice człowieka wszystkie zmienne binarne sprowadzamy do jedynek, stąd w powyższych definicjach pojęcie logiki dodatniej i ujemnej.
Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna, mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna Y to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych operatorami AND(*) lub OR(+).
Przykład:
Y = A+(B*C) ….
Prawo podwójnego przeczenia
A= ~(~A)
Dowód metodą zero-jedynkową (sprawdzamy wszystkie możliwe przypadki):
| Kod: |
A ~A ~(~A)
0 1 0
1 0 1
|
Równość kolumn pierwszej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa podwójnego przeczenia.
Przykład:
Jestem uczciwy
U
Nie jestem uczciwy
~U
Jestem uczciwy = Nieprawdą jest, że jestem nieuczciwy
U = ~(~U)
Definicja logiki dodatniej i ujemnej dla operatorów AND i OR:
Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz).
gdzie:
Y - funkcja logiczna w logice dodatniej (brak przeczenia)
~Y - funkcja logiczna w logice ujemnej (jest przeczenie)
Związek logiki dodatniej z logiką ujemną opisuje równanie:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Prawo przedszkolaka:
W dowolnej funkcji logicznej Y algebry Boole’a z operatorami AND i OR przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
Przykładowa funkcja logiczna:
A.
Y=A+(B*~C)
Przejście do logiki przeciwnej:
B.
~Y=~A*(~B+C)
Oczywiście:
C.
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B do C mamy prawo de’Morgana:
A+(B*~C) = ~A*(~B+C)
Prawa de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+)
p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*)
3.2 Prawa wynikające z definicji iloczynu logicznego
Definicja iloczynu logicznego (logika dodatnia):
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Y=A*B
Y=1<=> A=1 i B=1
W naturalnej logice człowieka wszystkie zmienne sprowadzane są do jedynek, stąd „logika dodatnia”.
Definicja równoważna (logika ujemna):
Iloczyn logiczny jest równy zeru gdy którakolwiek zmienna jest równa zeru.
Y=A*B
Y=0 <=> A=0 lub B=0
Prawa wynikające bezpośrednio z definicji:
1*0=0
1*1=1
A*0=0
A*1=A
A*A=A
A*~A=0
W języku mówionym powyższe prawa nie są używane, przydają się jedynie w technice cyfrowej.
3.3 Prawa wynikające z definicji sumy logicznej
Definicja sumy logicznej (logika ujemna):
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe zeru.
Y=A+B
Y=0 <=> A=0 i B=0
Definicja równoważna (logika dodatnia):
Suma logiczna jest równa jeden gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=A+B
Y=1 <=> A=1 lub B=1
Prawa wynikające bezpośrednio z definicji:
1+0=1
0+0=0
A+1=1
A+0=A
A+A=A
A+~A=1
W języku mówionym powyższe prawa nie są używane, przydają się jedynie w technice cyfrowej.
3.4 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
W języku mówionym prawa łączności i przemienności to oczywistość, natomiast absorpcja, rozdzielność i pochłanianie są przydatne jedynie w technice cyfrowej.
Łączność:
A+(B+C) = (A+B)+C
A*(B*C)=(A*B)*C
Przemienność:
A+B=B+C
A*B=B*C
Absorbcja:
A+(A*B)=A
Dowód:
Jeśli A=1 to A+(A*B)=1+(A*B)=1
Jeśli A=0 to A+(A*B)=0+(0*B)=0+0=0
niezależnie od wartości B
CND
A*(A+B)=A
Dowód:
Jeśli A=1 to A*(A+B)= 1*(1+B)=1*1=1
Jeśli A=0 to A*(A+B)=0*(A+B)=0
niezależnie od wartości B.
CND
Zauważmy, że w powyższym równaniu B może być dowolnie wielką funkcja logiczną z dowolnie dużą ilością zmiennych.
Przykład:
B = C*(C+~D)+H*I….
Rozdzielność:
A+(B*C) = (A+B)*(A+C)
A*(B+C)=(A*B)+(B*C)
Pochłanianie:
A*~A=0
A+~A=1
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35357
Przeczytał: 24 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 16:36, 25 Paź 2010 Temat postu: |
|
|
4.0 Algebra Kubusia
4.1 Definicja algebry Kubusia
Definicja algebry Boole’a według Kubusia:
Dwuelementowa algebra Boole’a (wyłącznie cyfry 0 i 1) to algebra bramek logicznych
Poprawna algebra Boole’a musi być zgodna z teorią i praktyką bramek logicznych, wtedy:
Algebra Boole’a = Algebra Kubusia
Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia to matematyka naturalnego języka mówionego
4.2 Parametry formalne i aktualne
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
W matematyce operujemy na zmiennych formalnych oznaczanych zwykle literkami p i q.
W zapisie ogólnym powyższe zdanie przybierze postać:
Y=p+q
Dla konkretnego przykładu pod parametry formalne p i q podstawiamy wartości aktualne.
Dla naszego zdania mamy:
p=K
q=T
stąd:
Y=K+T - zapis matematyczny dla konkretnego przykładu
4.3 Logika dodania i ujemna
W logice występują tylko i wyłącznie dwa stany:
1 = prawda
0 = fałsz
Z tego powodu nie da się poprawnie matematycznie obsłużyć naturalnej logiki człowieka bez akceptacji logiki dodatniej i ujemnej.
Zobaczmy na przykładzie gdzie leży problem.
Jutro pójdę do kina
Y=K
Matematycznie oznacza to:
A.
Dotrzymam słowa (Y) jeśli jutro pójdę do kina (K)
Y=1 <=> K=1
Znaczenie zmiennych w logice dodatniej (bo Y):
Y=1 - dotrzymam słowa
Y=0 - skłamię
K=1 - jutro pójdę do kina
K=0 - jutro nie pójdę do kina
… a kiedy skłamię ?
Przechodzimy do logiki ujemnej negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne (tu ich nie ma).
~Y=~K
B.
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K)
~Y=~K
~Y=1 <=> ~K=1
Znaczenie zmiennych w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=1 - skłamię
~Y=0 - dotrzymam słowa
~K=1 - jutro nie pójdę do kina
~K=0 - jutro pójdę do kina
Matematyczny związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy:
K = ~(~K) = K - na mocy prawa podwójnego przeczenia
… czyli wszystko się zgadza.
Zauważmy, że dzięki logice dodatniej i ujemnej opisaliśmy aż cztery różne przypadki:
dotrzymam słowa (Y) # skłamię (~Y)
czyli:
Y=1 - dotrzymam słowa
Y=0 - skłamię
~Y=1 - skłamię (prawdą jest że skłamałem)
~Y=0 - dotrzymam słowa
Inny przykład:
Stawiam na stole psa i mówię:
To jest pies
czyli:
P=1 - prawda, to jest pies
P=0 - to nie jest pies
a teraz stawiam na stole osła i mówię:
To nie jest pies
czyli:
~P=1 - prawda, to nie jest pies
~P=0 - to jest pies
Logika która nie akceptuje logiki dodatniej i ujemnej nie odróżnia psa od osła.
Zauważmy, że informację w jakiej logice zakodowana jest zmienna binarna mamy zapisaną w nazwie zmiennej:
P=1 - logika dodatnia (brak przeczenia)
~P=1 - logika ujemna (jest przeczenie)
4.4 Równania algebry Boole’a
Prawo Prosiaczka:
Równania algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej n-elementowej tworzymy na podstawie linii z tą samą wartością logiczną w wyniku. Wszelkie nie opisane równaniami linie przyjmą wartości przeciwne do linii opisanych.
Przykład:
Definicja implikacji prostej =>.
| Kod: |
p q Y=p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1
|
Najprostsze równanie uzyskamy z linii drugiej bowiem w wyniku mamy tu samotne zero.
Z tabeli widzimy że:
A.
Y=0 <=> p=1 i q=0
Przejście z takiego zapisu do równań algebry Boole’a jest banalne. Należy skorzystać z definicji iloczynu logicznego sprowadzając wszystkie zmienne do jedynki albo z definicji sumy logicznej sprowadzając wszystkie zmienne do zera.
Sposób I
Sprowadzamy wszystkie zmienne w równaniu A do jedynki:
B.
Y=0 czyli ~Y=1
p=1
q=0 czyli ~q=1
Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Korzystając z A i B na podstawie tej definicji mamy:
~Y = p*~q
Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka:
Y=~p+q
czyli:
p=>q = ~p+q
Sposób II
A.
Y=0 <=> p=1 i q=0
Sprowadzamy wszystkie zmienne do zera i stosujemy definicję sumy logicznej.
Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Na podstawie równania A mamy:
C.
Y=0
p=1 czyli ~p=0
q=0
Korzystając z A i C na podstawie definicji sumy logicznej mamy:
D.
Y=~p+q
czyli:
p=>q = ~p+q
Zauważmy, że sposób II nie jest zgodny z naturalną logiką człowieka bowiem w opisie słownym (A) mamy spójnik „i” (*) natomiast w równaniu (D) spójnik „lub” (+). Z tego powodu sposób II należy traktować jako ciekawostkę, nie będziemy z tego korzystać.
Powyżej ułożyliśmy równanie wyłącznie dla drugiej linii tabeli gdzie w wyniku było zero, wszelkie pozostałe linie, zgodnie z prawem Prosiaczka muszą być jedynkami niezależnie od chciejstwa człowieka … bo to jest matematyka przecież.
Dla powyższej tabeli możemy ułożyć matematycznie równoważne równanie dla jedynek.
Definicja implikacji prostej =>.
| Kod: |
p q Y=p=>q
1 1 =1 /Y=p*q
1 0 =0
0 0 =1 /Y=~p*~q
0 1 =1 /Y=~p*q
|
W komentarzu (po ” /”) mamy zapisane linie z jedynkami w wyniku (Y=1) w równaniach algebry Boole’a.
Technika tworzenia równań algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej:
1.
Możemy utworzyć dwa równoważne równania, jedno dla wszystkich wynikowych zer (przykład wyżej) i drugie dla wszystkich wynikowych jedynek. Oczywiście im mniej linii z jedynkami lub zerami tym prostsze będzie równanie.
2.
W liniach stosujemy operator AND sprowadzając wszystkie zmienne do jedynek czyli:
Jeśli w tabeli mamy zero to negujemy zmienną z nagłówka tabeli.
Jeśli w tabeli mamy jeden to przepisujemy zmienną z nagłówka tabeli
3.
W liniach stosujemy operator AND natomiast w pionie operator OR, bowiem funkcja logiczna Y przybierze wartość 1 gdy którakolwiek linia opisana jedynkami przybierze wartość 1.
Stąd równanie równoważne dla powyższej tabeli:
A.
Y = (p*q)+(~p*~q)+(~p*q)
Przechodzimy do logiki ujemnej negując zmienne i odwracając operatory.
B.
~Y = (~p+~q)*(p+q)*(p+~q)
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B otrzymujemy prawo de’Morgana:
(p*q)+(~p*~q)+(~p*q) = ~[(~p+~q)*(p+q)*(p+~q)]
Oczywiście nie wszystkie tego typu równania będą zrozumiałe dla człowieka, bowiem myśli on wyłącznie w logice dodatniej sprowadzając zmienne do jedynek. W przypadku implikacji jedynym sensownym równaniem bez problemu zrozumiałym dla 5-cio latka jest:
p=>q = ~p+q = ~(p*~q) - na podstawie prawa de’Morgana
Przykład:
Jeśli będziesz grzeczny to na pewno => dostaniesz czekoladę
G=>C = ~(G*~C)
Zdanie równoważne matematycznie:
Nie może się zdarzyć ~(…), że będziesz grzeczny (G) i nie dostaniesz czekolady (~C)
~(G*~C)
4.5 Operatory logiczne OR i AND
Najważniejsze prawa logiczne w algebrze Boole’a to prawa de’Morgana w operatorach OR(+) i AND(*) oraz prawa Kubusia w operatorach implikacji prostej => i odwrotnej ~>, mówiące o możliwości zastąpienia jednego operatora drugim.
Prawa de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) operatorem AND(*)
p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) operatorem OR(+)
Prawa de’Morgana mówią o matematycznych związkach miedzy logiką dodatnią (Y) i ujemną (~Y) w algebrze Boole’a, zobaczmy to na przykładzie.
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie oznacza to:
A.
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Dotrzymam słowa gdy którakolwiek zmienna (K lub T) zostanie ustawiona na jeden.
… a kiedy skłamię ?
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
Mamy:
Y=K+T
stąd:
~Y=~K*~T
czyli:
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Skłamię, gdy obie zmienne (~K i ~T) zostaną ustawione na jeden.
Oczywisty związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i B otrzymujemy prawo de’Morgana:
K+T = ~(~K*~T)
W zapisie ogólnym:
p+q = ~(~p*~q)
Stąd zdanie równoważne do A:
C.
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
Y= ~(~K*~T)
W praktyce języka mówionego człowiek mając do wyboru dwa równoważne zdania A albo C zawsze wybierze A bo to jest prostsze. Wynika z tego, że z prawa de’Morgana nasz mózg praktycznie nigdy nie korzysta, natomiast logika dodatnia (Y) i ujemna (~Y) to oczywistość dla każdego 5-cio latka z której korzystamy milion razy na dobę.
Koniec, to jest cała banalna logika wszystkich 5-cio latków, naturalnych ekspertów algebry Kubusia.
Definicja zero-jedynkowa sumy logicznej:
| Kod: |
Tabela A
p q Y=p+q
1 1 =1
1 0 =1
0 1 =1
0 0 =0
|
Mamy:
Y=p+q - dotrzymam słowa (Y)
… a kiedy skłamię ?
Przechodzimy do logiki ujemnej metodą przedszkolaka negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne:
~Y = ~p*~q - skłamię (~Y)
Widać, że aby otrzymać zero-jedynkową tabelę prawdy dla logiki ujemnej należy zanegować zmienne w tabeli A i zastosować definicję iloczynu logicznego.
Definicja zero-jedynkowa iloczynu logicznego:
| Kod: |
Tabela B
p q Y=p*q
1 1 =1
1 0 =0
0 1 =0
0 0 =0
|
Na podstawie powyższego tworzymy kompletną tabelę prawdy dla logiki dodatniej i ujemnej dla dwu zmiennych p i q.
| Kod: |
Tabela C
p q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q Y=~(~p*~q)=p+q
1 1 =1 0 0 0 0 1
1 0 =1 0 0 1 0 1
0 1 =1 0 1 0 0 1
0 0 =0 1 1 1 1 0
|
Oczywiście zachodzi:
Y#~Y
oraz:
Y=~(~Y)
co widać jak na dłoni.
Z powyższej tabeli mamy:
Y=Y
czyli:
p+q = ~(~p*~q) - prawo de’Morgana wynikłe z równości operatorów w logice dodatniej (Y)
~Y=~Y
czyli:
~(p+q) = ~p*~q - prawo de’Morgana wynikłe z równości operatorów w logice ujemnej (~Y)
Zauważmy, że w powyższej tabeli mamy pełną zgodność z definicją logiki dodatniej i ujemnej.
W logice dodatniej (Y=1) mamy odpowiedź na pytanie kiedy wystąpi prawda (dotrzymam słowa), zaś w logice ujemnej (~Y=1) mamy odpowiedź na pytanie kiedy wystąpi fałsz (skłamię).
W tabeli widać też znaczenie kolumny wynikowej w logice dodatniej (Y):
Y=1 - dotrzymam słowa
Y=0 - skłamię
Znaczenie kolumny wynikowej w logice ujemnej (~Y):
~Y=1 - skłamię
~Y=0 - dotrzymam słowa
gdzie:
skłamię = fałsz = nie dotrzymam słowa
Dotrzymam słowa = prawda
Matematycznie wszystko musi się zgadzać czyli:
Logika ujemna:
~Y=1 - skłamię
~Y=0 - dotrzymam słowa
Odpowiednik w logice dodatniej:
Y=~(~Y) =~(~Y=0) =~(0)=1 - dotrzymam słowa w logice dodatniej
Y=~(~Y)=~(~Y=1)=~(1)=0 - skłamię w logice dodatniej
Matematycznie zachodzi:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
oraz:
Y=1 # ~Y=1
czyli jedynka w logice dodatniej (Y=1) to zupełnie co innego niż jedynka w logice ujemnej (~Y=1).
Z powyższego powodu operowanie w logice bezwzględnymi zerami i jedynkami jest bez sensu. Poprawna logika matematyczna powinna być niezależna od idiotycznych zer i jedynek.
Dokładnie tak samo postępujemy z operatorem iloczynu logicznego AND(*).
Zero jedynkowa definicja iloczynu logicznego:
| Kod: |
Tabela A
p q Y=p*q
1 1 =1
1 0 =0
0 1 =0
0 0 =0
|
Mamy:
Y=p*q - dotrzymam słowa (Y)
… a kiedy skłamię ?
Przechodzimy do logiki ujemnej metodą przedszkolaka negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne:
~Y = ~p+~q - skłamię (~Y)
Widać, że aby otrzymać zero-jedynkową tabelę prawdy dla logiki ujemnej (~Y) należy zanegować zmienne w tabeli A i zastosować definicję sumy logicznej. Uzupełnijmy zatem powyższą tabelkę.
| Kod: |
Tabela B
p q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p ~q ~Y=~p+~q Y=~(~p+~q)=p*q
1 1 =1 0 0 0 0 1
1 0 =0 1 0 1 1 0
0 1 =0 1 1 0 1 0
0 0 =0 1 1 1 1 0
|
Oczywiście zachodzi:
Y#~Y
oraz:
Y=~(~Y)
co widać jak na dłoni.
Z powyższej tabeli mamy:
Y=Y
czyli:
p*q = ~(~p+~q) - prawo de’Morgana wynikłe z równości operatorów w logice dodatniej (Y)
oraz:
~Y=~Y
~(p*q) = ~p+~q - prawo de’Morgana wynikłe z równości operatorów w logice ujemnej (~Y)
Zauważmy, że w powyższej tabeli mamy pełną zgodność z definicją logiki dodatniej i ujemnej.
W logice dodatniej (Y=1) mamy odpowiedź na pytanie kiedy wystąpi prawda (dotrzymam słowa), zaś w logice ujemnej (~Y=1) mamy odpowiedź na pytanie kiedy wystąpi fałsz (skłamię).
W tabeli widać też znaczenie kolumny wynikowej w logice dodatniej (Y):
Y=1 - dotrzymam słowa
Y=0 - skłamię
Znaczenie kolumny wynikowej w logice ujemnej (~Y):
~Y=1 - skłamię
~Y=0 - dotrzymam słowa
gdzie:
skłamię = fałsz = nie dotrzymam słowa
Dotrzymam słowa = prawda
Matematycznie wszystko musi się zgadzać czyli:
Y=~(~Y) =~(0)=1 - dotrzymam słowa w logice dodatniej
Y=~(~Y)=~(1) = 0 - skłamię w logice dodatniej
Matematycznie zachodzi:
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
oraz:
Y=1 # ~Y=1
czyli jedynka w logice dodatniej (Y=1) to zupełnie co innego niż jedynka w logice ujemnej (~Y=1).
Z powyższego powodu operowanie w logice bezwzględnymi zerami i jedynkami jest bez sensu. Poprawna logika matematyczna powinna być niezależna od idiotycznych zer i jedynek
4.6 Operatory OR i AND w technice bramek logicznych
Dwuelementowa algebra Boole’a to technika bramek logicznych. Wszelkie prawa tej algebry można fizycznie dotknąć w laboratorium techniki cyfrowej, nie jest to więc czysto matematyczna abstrakcja. Dzięki temu można łatwo udowodnić totalną porażkę dzisiejszej logiki w obszarze operatorów implikacji prostej => i odwrotnej ~>, o czym za chwilę.
Fizyczna realizacja operatora OR w bramkach logicznych:
| Kod: |
p q
| |
| x-----------------------x
| | |
x-----------------------x |
| | | |
| | O O
| | |~p |~q
---------Tabela A --------- Tabela B
| |Dotrzymam | |
| |słowa (Y) | |
| | p* q= Y | | p* q= Y
| | 1 1 =1 | | 0 0 =0
|A | p*~q= Y |B | p*~q= Y
|OR | 1 0 =1 |AND | 0 1 =0
| |~p* q= Y | |~p* q= Y
| | 0 1 =1 | | 1 0 =0
| | | |Skłamię (~Y)
| |~p*~q=~Y | |~p*~q=~Y
| | 0 0 =0 | | 1 1 =1
--------- ---------
|Dotrzymam słowa (Y) |Skłamię (~Y)
|Y=p+q=p*q+p*~q+~p*q |~Y=~p*~q
| O
| |Y=~(~p*~q) /Dotrzymam słowa (Y)
x-----------x-----------x
|
|
Y= p+q = ~(~p*~q)
|
W technice cyfrowej symbolem negacji jest kółko „O”.
Wnioski:
1.
Na wejście bramki A (OR) docierają sygnały p i q ze świata zewnętrznego o tabeli zero-jedynkowej jak przy bramce A, wyjście Y przyjmuje tu wartości zgodne z definicją operatora OR. Na wejściu bramki B (AND) mamy sygnały ~p i ~q po negatorach, czyli wejściowe zera i jedynki są odwrócone w stosunku do A, natomiast wyjście ~Y przyjmuje wartości zgodnie z definicją operatora AND (bramka B).
2.
Jak widzimy, aby odpowiedzieć na pytanie „Kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda)” korzystamy z bramki OR po lewej stronie:
Y=p+q
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1) lub zajdzie q (q=1)
Y=p+q
Y=1 <=> p=1 lub q=1
czyli po szczegółowej rozpisce logicznej:
Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
Y=1 <=> (p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1)
Dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy którykolwiek ze składników sumy logicznej zostanie ustawiony na jeden.
3.
Aby odpowiedzieć na pytanie „Kiedy skłamię (wystąpi fałsz)” korzystamy z bramki AND po prawej stronie:
~Y = ~p*~q
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zajdzie p (~p=1) i nie zajdzie q (~q=1).
~Y = ~p*~q
~Y=1 <=> (~p=1) i (~q=1)
4.
Operator logiczny OR (bramka A) to złożenie spójnika „lub” OR(+) w logice dodatniej (Y=1 - trzy pierwsze linie w bramce A) i spójnika „i” AND(*) w logice ujemnej (~Y=1 - ostatnia linia w bramce A)
Y=p+q - dotrzymam słowa (Y=1)
~Y=~p*~q - skłamię (~Y=1)
Wynika z tego, że spójnik zdaniowy „lub” OR(+) to fundamentalnie co innego niż operator logiczny OR(+). Operator logiczny OR zawiera w sobie odpowiedź na dwa fundamentalne pytania jak wyżej, to dwa różne zdania bowiem matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
W naturalnym języku mówionym zawsze wymawiamy spójnik „lub” w logice dodatniej (Y=1), bowiem nikt normalny nie rozpoczyna rozmowy mówiąc „Skłamię (~Y=1) gdy …”, co więcej, w praktyce wymawiamy wyłącznie zdania w logice dodatniej !
Dlaczego ?
Bowiem odpowiedź na pytanie „Kiedy skłamię (~Y=1)” wbudowaną w operatora OR zna każde 5-cio letnie dziecko i nie ma potrzeby zadawania głupich pytań. Wyjątkiem są tu 3-latki, które dopiero uczą się języka.
5.
Z punktu widzenia świata zewnętrznego bramka B (AND) jest totalnie nierozpoznawalna, czyli dla dowolnych sygnałów wejściowych p i q na wyjściu Y zawsze będziemy widzieć tylko i wyłącznie bramkę A (OR).
6.
Z powyższego wynika, że prawo de’Morgana zachodzi w obrębie jednej i tej samej definicji operatora OR, czyli operator OR (bramka A) nie może istnieć bez operatora AND (bramka B) i odwrotnie.
Fizyczna realizacja operatora AND w bramkach logicznych:
| Kod: |
p q
| |
| x-----------------------x
| | |
x-----------------------x |
| | | |
| | O O
| | |~p |~q
---------Tabela A --------- Tabela B
| |Dotrzymam | |
| |słowa (Y) | |
| | p* q= Y | | p* q= Y
| | 1 1 =1 | | 0 0 =0
| | | |Skłamię (~Y)
| | | |~Y=~p+~q = ~p*~q+~p*q+p*~q
|A | p*~q=~Y |B | p*~q=~Y
|AND | 1 0 =0 |OR | 0 1 =1
| |~p* q=~Y | |~p*q =~Y
| | 0 1 =0 | | 1 0 =1
| |~p*~q=~Y | |~p*~q=~Y
| | 0 0 =0 | | 1 1 =1
--------- ---------
|Dotrzymam słowa (Y) |Skłamię (~Y)
|Y=p*q |~Y=~p+~q=~p*~q+~p*q+p*~q
| O
| |Y=~(~p+~q) /Dotrzymam słowa (Y)
x-----------x-----------x
|
|
Y= p+q = ~(~p*~q)
|
Wnioski:
1.
Na wejście bramki A (AND) docierają sygnały p i q ze świata zewnętrznego o tabeli zero-jedynkowej jak przy bramce A, wyjście Y przyjmuje tu wartości zgodne z definicja operatora AND. Na wejściu bramki B (OR) mamy sygnały ~p i ~q po negatorach, czyli wejściowe zera i jedynki są odwrócone w stosunku do A, natomiast wyjście ~Y przyjmuje wartości zgodnie z definicją operatora OR (bramka B).
2.
Jak widzimy, aby odpowiedzieć na pytanie „Kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda)” korzystamy z bramki AND po lewej stronie:
Y=p*q
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1) i zajdzie q (q=1)
Y=p*q
Y=1 <=> p=1 i q=1
3.
Aby odpowiedzieć na pytanie „Kiedy skłamię (wystąpi fałsz)” korzystamy z bramki OR po prawej stronie:
~Y = ~p+~q
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zajdzie p (~p=1) lub nie zajdzie q (~q=1).
~Y = ~p+~q
~Y=1 <=> (~p=1) lub (~q=1)
czyli po szczegółowej rozpisce logicznej:
~Y=~p+~q=~p*~q+~p*q+p*~q
~Y=1 <=> (~p=1 i ~q=1) lub (~p=1 i q=1) lub (p=1 i ~q=1)
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy którykolwiek ze składników powyższej sumy logicznej zostanie ustawiony na jeden.
4.
Operator logiczny AND (bramka A) to złożenie spójnika „i” AND(*) w logice dodatniej (Y=1 - pierwsza linia w bramce A) i spójnika „lub” OR(+) w logice ujemnej (~Y=1 - ostatnie trzy linie w bramce A)
Y=p*q - dotrzymam słowa (Y=1)
~Y=~p+~q - skłamię (~Y=1)
Wynika z tego, że spójnik zdaniowy „i” AND(*) to fundamentalnie co innego niż operator logiczny AND(*). Operator logiczny AND zawiera w sobie odpowiedź na dwa fundamentalne pytania jak wyżej, to dwa różne zdania bowiem matematycznie zachodzi:
Y # ~Y
W naturalnym języku mówionym zawsze wymawiamy spójnik „i” w logice dodatniej (Y=1), bowiem nikt normalny nie rozpoczyna rozmowy mówiąc „Skłamię (~Y=1) gdy …”, co więcej, w praktyce wymawiamy wyłącznie zdania w logice dodatniej !
Dlaczego ?
Bowiem odpowiedź na pytanie „Kiedy skłamię (~Y=1)” wbudowaną w operatora AND zna każde 5-cio letnie dziecko i nie ma potrzeby zadawania głupich pytań. Wyjątkiem są tu 3-latki, które dopiero uczą się języka.
5.
Z punktu widzenia świata zewnętrznego bramka B (OR) jest totalnie nierozpoznawalna, czyli dla dowolnych sygnałów wejściowych p i q na wyjściu Y zawsze będziemy widzieć tylko i wyłącznie bramkę A (AND).
6.
Z powyższego wynika, że prawo de’Morgana zachodzi w obrębie jednej i tej samej definicji operatora AND, czyli operator AND (bramka A) nie może istnieć bez operatora OR (bramka B) i odwrotnie.
4.7 Operator OR w naturalnej logice człowieka
Definicja operatora OR:
| Kod: |
p q Y=p+q
1 1 =1 /Y=p*q
1 0 =1 /Y=p*~q
0 1 =1 /Y=~p*q
0 0 =0 /~Y=~p*~q
|
W komentarzu (po „/”) zapisano poszczególne linie w równaniach algebry Boole’a, sprowadzając wszystkie zmienne do jedynek.
Linie z tą samą wartością w wyniku można zapisać w jednym równaniu stosując spójnik OR.
| Kod: |
p q Y=p+q
1 1 =1 /Y=p+q = p*q+p*~q+~p*q
1 0 =1
0 1 =1
0 0 =0 /~Y=~p*~q
|
Pierwsze trzy linie to definicja spójnika „lub” natomiast ostatnia linia to świat z innej bajki, czyli spójnik „i” zakodowany w logice ujemnej.
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Stąd na podstawie powyższej tabeli otrzymujemy prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
Wnioski:
1.
Prawo de’Morgana obowiązuje w obrębie jednej i tej samej definicji operatora OR.
2.
Spójnik „lub” to tylko część definicji operatora OR (pierwsze trzy linie) czyli spójnik OR to nie to samo co operator OR !
3.
Wynika z tego, że operator OR to złożenie spójnika „lub” w logice dodatniej i spójnika „i” w logice ujemnej.
Kubuś do Juniora (lat 5):
A.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
Junior:
Tata a kiedy skłamiesz ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y=~K*~T
czyli:
D.
Skłamię, jeśli jutro nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru
~Y=~K*~T
Koniec, to jest cała genialna matematyka 5-cio latka w obszarze operatora OR.
Matematycznie:
A.
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
czyli:
Y=1 <=> (K=1) lub (T=1)
Dotrzymam słowa jeśli którakolwiek ze zmiennych K lub T zostanie ustawiona na 1
Stąd mamy zapis równoważny:
Y=K+T = K*T+K*~T+~K*T
czyli:
Y=1 <=> K*T=1 lub K*~T=1 lub ~K*T =1
… tata, a kiedy skłamiesz ?
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
czyli:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Skłamię jeśli obie zmienne ~K i ~T zostaną ustawione na 1
Tabela symboliczna dla naszego przykładu:
| Kod: |
K T = Y=K+T
A.
K T = Y /Y=K*T+K*~T+~K*T
K ~T = Y
~K T = Y
B.
~K ~T =~Y /~Y=~K*~T
|
Tabela zero-jedynkowa dla punktu odniesienia zgodnego ze zdaniem A czyli:
K=1, ~K=0
T=1, ~T=0
Y=1, ~Y=0
stąd:
| Kod: |
K T =Y=K+T
A.
1 1 =1 /Y=K*T+K*~T+~K*T
1 0 =1
0 1 =1
B.
0 0 =0 /~Y=~K*~T
|
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową operatora OR.
Oczywiście, jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie B to musimy otrzymać tabelę operatora AND.
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
Tabela symboliczna dla naszego przykładu:
| Kod: |
~K ~T =~Y=~K*~T
B.
~K ~T =~Y /~Y=~K*~T
A.
K T = Y /Y=K*T+K*~T+~K*T
K ~T = Y
~K T = Y
|
Tabela zero-jedynkowa dla punktu odniesienia zgodnego ze zdaniem B czyli:
~K=1, K=0
~T=1, T=0
~Y=1, Y=0
stąd:
| Kod: |
~K ~T =~Y=~K*~T
B.
1 1 = 1 /~Y=~K*~T
A.
0 0 = 0 /Y=K*T+K*~T+~K*T
0 1 = 0
1 0 = 0
|
Powyższa tabela zero-jedynkowa to definicja operatora AND w logice ujemnej (bo ~Y).
Z powyższego wynika, że jeśli za punk odniesienia przyjmiemy zdanie A to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR, natomiast jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie B to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND.
Zauważmy, że w języku mówionym nikt nie rozpoczyna rozmowy zdaniem w logice ujemnej (B). Po wypowiedzeniu zdania w logice dodatniej (A) nikt nie pyta „Tata a kiedy skłamiesz ?” bowiem wszyscy z wyjątkiem dzieciaków poznających język doskonale o tym wiedzą. Nie ma potrzeby zadawania głupich pytań na które odpowiedź zna każde 5-cio letnie dziecko.
Dlaczego wszyscy znają odpowiedź ?
Bo człowiek podlega pod matematykę ścisłą, algebrę Kubusia.
4.8 Operator AND w naturalnej logice człowieka
Definicja operatora AND:
| Kod: |
p q Y=p*q
1 1 =1 /Y=p*q
1 0 =0 /~Y=p*~q
0 1 =0 /~Y=~p*q
0 0 =0 /~Y=~p*~q
|
W komentarzu (po „/”) zapisano poszczególne linie w równaniach algebry Boole’a, sprowadzając wszystkie zmienne do jedynek.
Linie z tą samą wartością w wyniku można zapisać w jednym równaniu stosując spójnik OR.
| Kod: |
p q Y=p*q
1 1 =1 /Y=p*q
1 0 =0 /~Y=~p+~q = p*~q+~p*q+~p*~q
0 1 =0
0 0 =0
|
Pierwsza linia to definicja spójnika „i” w logice dodatniej, trzy kolejne linie to definicja spójnika „lub” w logice ujemnej.
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Stąd na podstawie powyższej tabeli otrzymujemy prawo de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q)
Wnioski:
1.
Prawo de’Morgana obowiązuje w obrębie jednej i tej samej definicji operatora AND.
2.
Spójnik „i” to tylko część definicji operatora AND (pierwsza linia) czyli spójnik AND(*) to nie to samo co operator AND !
3.
Wynika z tego, że operator AND to złożenie spójnika „i” w logice dodatniej i spójnika „lub” w logice ujemnej.
Kubuś do Juniora (lat 5):
A.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
Junior:
Tata a kiedy skłamiesz ?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne:
~Y=~K+~T
czyli:
D.
Skłamię, jeśli jutro nie pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do teatru
~Y=~K+~T
Koniec, to jest cała genialna matematyka 5-cio latka w obszarze operatora AND.
Matematycznie:
A.
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=K*T
czyli:
Y=1 <=> (K=1) i (T=1)
Dotrzymam słowa jeśli obie zmienne K i T zostaną ustawione na 1.
… tata, a kiedy skłamiesz ?
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
czyli:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Skłamię, gdy dowolna ze zmiennych ~K lub ~T zostanie ustawiona na 1.
Stąd mamy zapis równoważny:
~Y=~K*~T+~K*T+K*~T
czyli:
~Y=1 <=> ~K*~T=1 lub ~K*T=1 lub K*~T=1
Skłamię, gdy którykolwiek składnik sumy logicznej przybierze wartość 1.
Tabela symboliczna dla naszego przykładu:
| Kod: |
K T = Y=K*T
A.
K T = Y /Y=K*T
B.
K ~T =~Y /~Y=~K+~T = K*~T+~K*T+~K*~T
~K T =~Y
~K ~T =~Y
|
Tabela zero-jedynkowa dla punktu odniesienia zgodnego ze zdaniem A czyli:
K=1, ~K=0
T=1, ~T=0
Y=1, ~Y=0
stąd:
| Kod: |
K T =Y=K*T
A.
1 1 =1 /Y=K*T
B.
1 0 =0 /~Y=~K+~T = K*~T+~K*T+~K*~T
0 1 =0
0 0 =0
|
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową operatora AND.
Oczywiście, jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie B to musimy otrzymać tabelę operatora OR.
B.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
Tabela symboliczna dla naszego przykładu:
| Kod: |
~K ~T =~Y=~K+~T
B.
~K ~T =~Y /~Y=~K+~T = ~K*~T+K*~T+~K+T
K ~T =~Y
~K T =~Y
A.
K T = Y /Y=K*T
|
Tabela zero-jedynkowa dla punktu odniesienia zgodnego ze zdaniem B czyli:
~K=1, K=0
~T=1, T=0
~Y=1, Y=0
stąd:
| Kod: |
~K ~T =~Y=~K+~T
B.
1 1 = 1 /~Y=~K+~T = ~K*~T+K*~T+~K+T
0 1 = 0
1 0 = 0
A.
0 0 = 0 /Y=K*T
|
Powyższa tabela zero-jedynkowa to definicja operatora OR w logice ujemnej (bo ~Y).
Z powyższego wynika, że jeśli za punk odniesienia przyjmiemy zdanie A to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora AND, natomiast jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie B to otrzymamy tabelę zero-jedynkową operatora OR.
Zauważmy, że w języku mówionym nikt nie rozpoczyna rozmowy zdaniem w logice ujemnej (B). Po wypowiedzeniu zdania w logice dodatniej (A) nikt nie pyta „Tata a kiedy skłamiesz ?” bowiem wszyscy z wyjątkiem dzieciaków poznających język doskonale o tym wiedzą. Nie ma potrzeby zadawania głupich pytań na które odpowiedź zna każde 5-cio letnie dziecko.
Dlaczego wszyscy znają odpowiedź ?
Bo człowiek podlega pod matematykę ścisłą, algebrę Kubusia.
4.9 Operatory OR i AND w obsłudze determinizmu
W przykładzie omawianym wyżej:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Zmienne K i T mogą w przyszłości przyjąć dowolne wartości, tu wszystko zależy od człowieka.
Na drugim końcu jest determinizm, gdzie nic nie zależy od człowieka.
Twierdzenie Kubusia:
Równania algebry Boole’a wolno stosować wyłącznie do zmiennych lub stałych sprowadzonych do tej samej wartości logicznej. Jeśli sprowadzimy stałe lub zmienne do jedynek to stosujemy definicję operatora AND, jeśli do zera to stosujemy definicję operatora OR.
Sposób I
Jeśli sprowadzamy stałe do jedynek to musimy użyć operatora AND.
Nasz przykład:
Pies ma cztery łapy lub miauczy
Oczywiście:
P=4L =1
P=M =0
Jeśli M=0 to ~M=1
Poprawne zdanie jest więc takie:
Pies ma cztery łapy i nie miauczy
P=4L*~M =1
P=1 <=> 4L=1 i ~M=1 - oczywista prawda
… kiedy zdanie będzie fałszywe ?
Przejście do logiki ujemnej:
~P=~4L+M
~P=1 <=> ~4L=1 lub M=1
Jeśli dowolne zwierzę nie będzie miało czterech łap (~4L=1) lub będzie miauczeć (M=1) to na pewno nie będzie psem (~P=1).
Sposób II
Jeśli sprowadzamy stałe do zera (fałszu) to musimy użyć operatora OR.
Nasz przykład:
Pies ma cztery łapy lub miauczy
Oczywiście:
P=4L =1
P=M =0
Jeśli 4L=1 to ~4L=0 (fałsz)
Jeśli P=1 to ~P=0
Suma logiczna jest równa zeru gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru.
~P=~4L+M
Zauważmy teraz że zapis:
~P=0 <=> ~4L=0 lub M=0
jest w logice człowieka bez sensu bo nie ma takiego układu scalonego OR, jest natomiast taki układ:
~P=1 <=> ~4L=1 lub M=1
Tym sposobem wróciliśmy z obcego nam świata do rzeczywistości gdzie mamy:
1=prawda
0=fałsz
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) lub miauczy (M=1) to na pewno nie jest psem (~P=1)
~P=~4L+M
~P=1 <=> ~4L=1 lub M=1
… a jeśli zwierzę jest psem ?
Przechodzimy do logiki przeciwnej poprzez negacje zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
P=4L*~M
czyli:
Pies ma cztery łapy i nie miauczy
P=4L*~M
P=1 <=> 4L=1 i ~M=1 - oczywista prawda
Jak widać wyżej sposób I i II jest równoważny, jednak zdecydowanie przyjemniejszy dla człowieka jest sposób I.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
