ŚFiNiA

[rafal3006]

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

[link widoczny dla zalogowanych]

Algebra Kubusia
Matematyka przedszkolaków

Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję

Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.

Podręcznik w oryginale:
Algebra Kubusia
Zastosowanie algebry Kubusia:
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki

W pracach nad podręcznikiem nowej matematyki bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Barah (sfinia), Barycki (śfinia), Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Gavrila_Ardalionovitch (ateista.pl), HeHe (ateista.pl), Idiota (ateista.pl), Incognito (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Jeremiasz Szary (sfinia), Krowa (śfinia), Krystkon (śfinia), Makaron czterojajeczny (sfinia), Macjan (sfinia), Marcin Kotasiński (śfinia), Michał Dyszyński (śfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Paloma (ateista.pl), Quebaab (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rexerex (ateista.pl), Rogal (matematyka.pl), Sogors (ateista.pl), Słupek (ateista.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), Windziarz (ateista.pl), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl), zbigniewmiller (sfinia) i inni

Szczególne podziękowania dla:
Wuja Zbója – znakomitego nauczyciela małego Kubusia, dzięki któremu Kubuś nauczył się poprawnie patrzeć na algebrę Boole’a od strony matematycznej.
Volratha – za decydującą o wszystkim dyskusję
Macajna – za ciekawą dyskusję podczas której jako jedyny Ziemianin podał poprawną, matematyczną definicję warunku wystarczającego.
Fizyka, Windziarza i Sogorsa – za fantastyczną dyskusję na ateiście.pl
Idioty – za zdopingowanie Kubusia do zapisania całej algebry Kubusia na zaledwie dwóch stronach A4
Incognito – za podsunięcie pomysłu zapisania całej algebry Kubusia w zbiorach
Palomy i Quebaaba – za finałową dyskusję


Wstęp:

Pięć lat temu Kubuś, przybysz z innego Wszechświata zauważył na forum śfinia Wuja Zbója iż ziemscy matematycy, eksperci Klasycznego Rachunku Zdań, robią z człowieka idiotę każąc mu uznawać za prawdziwe zdania typu:
Jeśli kura jest psem to człowiek ma dwie nogi
KP=>2N
Najśmieszniejszy dowód prawdziwości tego zdania z jakim Kubuś się spotkał jest taki.
Udowodnij że to zdanie jest fałszywe w innym Wszechświecie!
… a widzisz ?
Nie potrafisz, dlatego to zdanie jest prawdziwe.

W tym momencie dla Kubusia stało się jasne, że Klasyczny Rachunek Zdań to matematyka Szatana, którego wkrótce zlokalizował w postaci definicji „implikacji materialnej”. „Implikacja materialna”, to stara znajoma Kubusia którą ściga od nieskończoności po wszystkich możliwych Wszechświatach.

Wojna Kubusia z Klasycznym Rachunkiem Zdań trwała pięć lat zanim ta bestia, „implikacja materialna”, zgodziła się w ciągu kilku lat opuścić nasz Wszechświat.

Każdy człowiek, od 5-cio latka po profesora, doskonale zna algebrę Kubusia i posługuje się nią na co dzień w naturalnym języku mówionym.

Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia = Algebra zbiorów => Definicje spójników logicznych => Definicje operatorów logicznych => Algebra bramek logicznych
Definicje spójników logicznych => Algebra naturalnego języka mówionego => Logika człowieka

Fundamentem algebry Kubusia jest teoria zbiorów i wynikające z niej definicje spójników logicznych.
Z algebry zbiorów wynikają definicje operatorów logicznych i bramek logicznych, to sprzętowy fundament komputerów.

Algebra naturalnego języka mówionego to zaledwie pięć spójników logicznych, będących fundamentem najważniejszych operatorów logicznych.

Algebra Kubusia jest w 100% zgodna z teorią i praktyką bramek logicznych, jest więc weryfikowalna doświadczalnie!


1.0 Notacja

1 - prawda
0 -fałsz
~ - symbol przeczenia NIE
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Przykład:
Jestem uczciwy = Nieprawdą jest ~(…), że jestem nieuczciwy
U = ~(~U)

Spójniki logiczne
W całej matematyce mamy zaledwie pięć spójników logicznych:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
=> - warunek wystarczający, spójnik „musi” między p i q w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, w implikacji spójnik „może” między p i q, natomiast w równoważności brak odpowiednika z naturalnego języka mówionego (~> = spójnik wirtualny).
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy znaleźć jeden przypadek prawdziwy, wystarczy sama możliwość zajścia.

Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia = Algebra zbiorów => Definicje spójników logicznych => Definicje operatorów logicznych => Algebra bramek logicznych => Algebra naturalnego języka mówionego => Logika człowieka

Fundamentem algebry Kubusia jest teoria zbiorów i wynikające z niej definicje spójników logicznych.
Z algebry zbiorów wynikają definicje operatorów logicznych i bramek logicznych, to sprzętowy fundament komputerów.

Algebra naturalnego języka mówionego to zaledwie pięć spójników logicznych, będących fundamentem najważniejszych operatorów logicznych.

Spójniki logiczne
„i”(*)
„lub”(+)
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
~~> - naturalny spójnik „może”

Operator logiczny to zawsze złożenie spójnika w logice dodatniej ze spójnikiem przeciwnym w logice ujemnej. Oczywiście matematycznie operator logiczny to fundamentalnie co innego niż spójnik logiczny.

Poprawne definicje operatorów logicznych w równaniach algebry Boole’a są takie.

Definicja transmitera:
Y = p = ~(~p) – w dowolną linię sygnałową można wstawić dwie negacje, prawo podwójnego przeczenia
Stąd mamy układ równań logicznych:
Y=p – dotrzymam słowa (bo Y)
~Y=~p – skłamię (bo ~Y)

Definicja negatora:
Y=~p = ~[~(~p)] - – w dowolną linię sygnałową można wstawić dwie negacje, prawo podwójnego przeczenia
stąd mamy układ równań logicznych:
Y=~p – dotrzymam słowa (bo Y)
~Y=~(~p) = p – skłamię (bo ~Y)

Na mocy definicji transmitera i negatora zachodzi równanie ogólne:
Y=p = ~(~p) ## Y=~p = ~[~(~p)]
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja operatora OR:
Y=p+q = ~(~p*~q) – prawo de’Morgana
stąd mamy układ równań logicznych:
Y=p+q – dotrzymam słowa (bo Y)
~Y=~p*~q – skłamię (bo ~Y)

Definicja operatora AND:
Y=p*q = ~(~p+~q) – prawo de’Morgana
stąd mamy układ równań logicznych:
Y=p*q – dotrzymam słowa (bo Y)
~Y=~p+~q – skłamię (bo ~Y)

Oczywiście na mocy definicji zachodzi równanie ogólne dla operatorów AND i OR:
Y = p+q = ~(~p*~q) ## Y = p*q = ~(~p+~q)
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja operatora implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p~>~q – prawo Kubusia

Definicja operatora implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q – prawo Kubusia

Oczywiście na mocy definicji zachodzi równanie ogólne dla operatorów implikacji:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Operator implikacji prostej wyrażony w spójniku „i”:
p=>q = ~(p*~q)
Nie może się zdarzyć ~(…) że zajdzie p i nie zajdzie q

Operator implikacji odwrotnej wyrażony w spójniku „i”:
p~>q = ~(~p*q)
Nie może się zdarzyć ~(…), że zajdzie ~p i zajdzie q

KONIEC !
To co wyżej to kompletna algebra Kubusia zapisana w równaniach algebry Boole’a.

Zdanie w algebrze Kubusia
W algebrze Kubusia zdanie to poprawne lingwistycznie zdanie sensowne.
Zdanie musi mieć sens w danym języku.

Zdanie warunkowe:
Jeśli p to q
gdzie:
p – poprzednik
q – następnik
W algebrze Kubusia w zdaniu „Jeśli p to q” poprzednik musi być powiązany z następnikiem warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> albo naturalnym spójnikiem „może” ~~>, wystarczy sama możliwość zajścia. Wszelkie sensowne zdania „Jeśli…to…” w naturalnym języku mówionym spełniają ten warunek, Absolutnie nikt, począwszy od 5-cio latka po profesora nie wymawia zdań „Jeśli…to…” w których p i q są ze sobą bez związku lub mają z góry znane wartości logiczne.

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 1 albo 0

Przykłady zmiennych binarnych:
p, q, A, B … 4L, PIES, …

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) oraz „lub”(+).
Y=p*q + p*~q + ~p*q – funkcja logiczna wielu zmiennych
Y=~p – funkcja logiczna jednej zmiennej

W zdaniach wypowiedzianych mamy do czynienia wyłącznie ze spójnikami logicznymi, nigdy z operatorami logicznymi.

Prawo przejścia do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki logiczne na przeciwne

Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Matematycznie oznacza to:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=1 <=> K=1 lub T=1
czyli:
Dotrzymam słowa (Y=1), gdy którakolwiek zmienna po prawej stronie zostanie ustawiona na 1, stan drugiej zmiennej jest nieistotny.

… a kiedy skłamię ?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
czyli:
Prawdą będzie (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy obie zmienne zostaną ustawione na 1 czyli:
~K=1 – nie pójdę do kina
„i”(*)
~T=1 – nie pójdę do teatru

Ogólnie:
Logika dodatnia (bo Y):
Y=1
Prawdą jest (=1) że dotrzymałem słowa (bo Y) bo byłem w kinie (przykład wyżej)
Logika ujemna (bo ~Y):
~Y=1
Prawdą jest (=1) że skłamałem (bo ~Y) bo nie byłem w kinie (~K-1) i nie byłem w teatrze (~T=1).


2.0 Teoria zbiorów w algebrze Kubusia

Wszelkie prawa logiczne w algebrze Kubusia są zgodne z rachunkiem zero-jedynkowym w algebrze Boole’a. Fundamentalna różnica polega na tym, że algebra Kubusia poprawnie te zera i jedynki interpretuje oraz rozpoznaje logikę dodatnią i ujemną sprowadzając całą logikę matematyczną do poziomu 5-cio latka, naturalnego jej eksperta.


2.1 Równoważność czy implikacja

Definicja warunku wystarczającego to jedna z najważniejszych definicji w matematyce bowiem precyzyjnie, wszelkie twierdzenia matematyczne wyrażone w formie zdania warunkowego:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
to tylko i wyłącznie warunki wystarczające, absolutnie nic więcej.

Jeśli udowodnimy warunek wystarczający to twierdzenie matematyczne może dodatkowo spełniać albo definicję równoważności (twierdzenie jest równoważnością), albo też definicję implikacji prostej (twierdzenie jest implikacją), ale to trzeba dopiero matematycznie udowodnić, sam warunek wystarczający nic o tym nie mówi.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q)