 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Nie 9:05, 19 Kwi 2015 Temat postu: Algebra Kubusia - Restart! (2015-04-19) |
|
|
Algebra Kubusia
Logika matematyczna człowieka
Spis treści
1.0 Notacja 1
2.0 Algebra Kubusia w przedszkolu 2
2.1 Program komputerowy 2
2.2 Logika matematyczna przedszkolaków 4
2.3 Czym rożni się algebra klasyczna od logiki matematycznej? 5
3.0 Nowa teoria zbiorów 6
3.1 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów 6
3.2 Definicja definicji 8
3.3 Definicja minimalna 9
3.4 Podstawowe operacje na zbiorach 10
3.5 Pojęcie rozpoznawalne 11
3.7 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego 13
4.0 Operatory jednoargumentowe 15
4.1 Prawa Prosiaczka 15
4.2 Operator transmisji 20
4.3 Operator negacji 25
4.4 Równanie ogólne operatorów transmisji i negacji 26
4.5 Operator chaosu 27
4.6 Operator śmierci 28
4.7 Związek Nowej Teorii Zbiorów w teorią bramek logicznych 28
1.0 Notacja
W tym podręczniku nie będzie klasycznej notacji, ponieważ z założenia jest to publikacja dla licealistów, którzy z pojęciem „Logika matematyczna” spotykają się po raz pierwszy w życiu. Pisząc „Algebrę Kubusia” starałem się, aby każde nowe pojęcie było poprawnie zdefiniowane, aby czytelnik nigdzie nie napotkał betonowej ściany nie do przeskoczenia.
Jak czytać algebrę Kubusia?
Oczywiście krok po kroku starając się wszystko zrozumieć. Jeśli w trakcie czytania napotkamy na pojęcie niezrozumiałe, to zajrzymy do skorowidzu na końcu podręcznika, gdzie znajdziemy odsyłacz do odpowiedniego wyjaśnienia.
2.0 Algebra Kubusia w przedszkolu
Naturalna logika człowieka musi podlegać pod matematykę ścisłą. Nie jest bowiem możliwe wzajemne porozumienie się dowolnych istot żywych (w tym człowieka) na bazie chaosu, bez jakiejkolwiek matematyki. Także w naszym Wszechświatem musi rządzić matematyka ścisła, inaczej by się po prostu zawalił. Poczynania wszelkich istot żywych (człowiek nie jest tu wyjątkiem) muszą podlegać pod matematykę ścisłą, z czego wniosek iż najbardziej odpowiednim miejscem do jej poznawania będzie przedszkole. Pewne jest bowiem, że 5-cio latki muszą być naturalnymi ekspertami logiki matematycznej, nazwijmy ją algebrą Kubusia.
Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia to naturalna logika matematyczna wszystkich 5-cio latków i humanistów.
2.1 Program komputerowy
Program komputerowy, to napisany przez człowieka ciąg rozkazów dla komputera.
Komputer wykonuje te rozkazy (rozkaz po rozkazie) realizując ściśle określony algorytm działania wymyślony przez człowieka.
Zobaczmy na przykładzie czym jest algorytm działania.
Załóżmy, że nagle zapragnęliśmy pójść do kina na film pt. „Seksmisja”. Z gazety codziennej dowiadujemy się, że film wyświetlany jest tylko w dwóch kinach „Relax” i „Skarpa”.
Masz ogólny algorytm działania może być następujący.
Rys. 2.1 Algorytm działania człowieka
Blok funkcjonalny to blok w którym żadnych istotnych decyzji nie podejmujemy, to „program tła”, czyli zwyczajne czynności prowadzące nas do celu jakim jest obejrzenie filmu.
Wykonując powyższy algorytm stajemy się podobni do komputera. Różnica jest zasadnicza. Człowiek może modyfikować powyższy algorytm w trakcie jego wykonywania (np. w przypadku braku biletów pójść do teatru), komputer natomiast wykonuje program ściśle wg algorytmu który wymyślił człowiek. Przeciętny człowiek obserwując dzisiejsze komputery jest zafascynowany ich możliwościami. Widzi że potrafią one pisać, malować, rysować … sterować fabryką bez ludzi itp.
Nie wie natomiast że …
Rys. 2.2 Podstawowe prawo komputerowe
Co to są liczby binarne?
Gdyby nasi przodkowie nie wymyślali cyfr [2,3,4,5,6,7,8,9] a znali tylko cyfry [0,1] to z pewnością znakomicie posługiwalibyśmy się liczbami binarnymi i mielibyśmy naturalny, wspólny z komputerami język. Zapis ogólny liczby binarnej przedstawiono na rysunku.
Przejście z binarnego systemu liczenia na dziesiętny jest banalne.
Z zapisu ogólnego wynika, że istotna jest tu kolejność [b2,b1,b0] cyfr binarnych [0,1] oraz wagi (W) tych cyfr na poszczególnych pozycjach.
b2*W2=b2*4
b1*W1=b1*2
b0*W0=b0*1
Dla b2=1 mamy: b2*4 = 1*4 =4
Dla b2=0 mamy: b2*4 = 0*4 =0
Dla b1=1 mamy: b1*2 = 1*2 =2
Dla b1=0 mamy: b1*2 = 0*2 =0
Dla b0=1 mamy: b0*1 = 1*1 =1
Dla b0=0 mamy: b0*1 = 0*1 =0
Przeliczmy pierwsze osiem liczb binarnych [000-111] na system dziesiętny.
| Kod: |
000 = 0+0+0 =0
001 = 0+0+1 =1
010 = 0+2+0 =2
011 = 0+2+1 =3
100 = 4+0+0 =4
101 = 4+0+1 =5
110 = 4+2+0 =6
111 = 4+2+1 =7
itd
|
Prawda że proste?
W logice matematycznej ani liczby binarne, ani też liczby dziesiętne kompletnie nas nie interesują.
Co nas interesuje w logice?
TAK, TAK, NIE, NIE, TAK, TAK, TAK …
2.2 Logika matematyczna przedszkolaków
Spójrzmy na nasz pierwszy w życiu, samodzielnie napisany program komputerowy „Pójście na film Seksmisja”. Logika matematyczna w tym algorytmie to wyłącznie bloki warunkowe w których rozstrzygamy na TAK albo NIE i w zależności od wyniku podejmujemy dalsze działania.
Przykłady logiki matematycznej z przedszkola:
A.
Czy Kubuś jest misiem?
TAK
B.
Czy Prosiaczek jest świnką?
TAK
C.
Czy kura ma cztery łapy?
NIE
D.
Czy może się zdarzyć że są chmury i nie pada?
TAK
E.
Czy może się zdarzyć że nie ma chmur i pada?
NIE
KONIEC!
Dokładnie tym jest logika matematyczna, nie ma w niej nic ponad: TAK, TAK, NIE, NIE, TAK, TAK, TAK …
Prawda, że ładna melodia?
https://www.youtube.com/watch?v=Czujclci6uA
W matematyce zachodzi tożsamość:
TAK = prawda (=1)
NIE = fałsz (=0)
Cyferki 1 i 0 znaczą w logice matematycznej:
1 - prawda
0 - fałsz
Uwaga:
Znaczków 0 i 1 nie należy mylić ani z cyframi binarnymi, ani też z cyframi dziesiętnymi, to zupełnie co innego, to prawda (=1) i fałsz (=0).
Wprowadźmy dwa nowe symbole matematyczne:
„~” - symbol przeczenia, słówko NIE w naturalnej logice 5-cio latka
„i”(*) - spójnik „i” w naturalnej logice 5-cio latka
Zakodujmy matematycznie zadania wyżej przy pomocy tych symboli:
A.
Czy Kubuś jest misiem?
K*M =1
Prawdą jest (=1), że Kubuś jest misiem
B.
Czy Prosiaczek jest świnką?
P*S =1
Prawdą jest (=1), że Prosiaczek jest świnką
C.
Czy kura ma cztery łapy?
K*4L =0
Fałszem jest (=0), że kura ma cztery łapy
D.
Czy może się zdarzyć że są chmury i nie pada?
CH*~P =1
Prawdą jest (=1), że może się zdarzyć iż są chmury i nie pada
E.
Czy może się zdarzyć że nie ma chmur i pada?
~CH*P =0
Fałszem jest (=0), że zajdzie zdarzenie nie ma chmur i pada
W ten oto sposób zaliczyliśmy pierwsze w życiu poprawne kodowanie matematycznie zdań z naturalnego języka mówionego.
2.3 Czym rożni się algebra klasyczna od logiki matematycznej?
Najprostsza odpowiedź: wszystkim
Algebra klasyczna zajmuje się liczeniem np.
2+2+2 =6
„+” - suma algebraiczna
Logika matematyczna zajmuje się rozpoznawaniem pojęć:
[2]+[2]+[2] =[2]
Bo pojęcia [2] po lewej stronie są tożsame
„+” - suma logiczna (alternatywa), spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Algebra klasyczna zajmuje się mnożeniem:
1*2*3 = 6
„*” - iloczyn algebraiczny
Logika klasyczna zajmuje się definiowaniem pojęć np.
Pies jest przyjacielem człowieka (PC=1), szczeka (S=1) i nie jest kotem (~K=1)
P=>PC*S*~K = 1*1*1 =1
To samo zdanie tożsame ujęte w spójnik „Jeśli p to q”:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => jest przyjacielem człowieka (PC=1), szczeka (S=1) i nie jest kotem (~K=1)
P=>PC*S*~K = 1*1*1 =1
Co matematycznie oznacza:
(P=1) => (PC=1) i (S=1) i (~K=1)
„*” - iloczyn logiczny (koniunkcja), spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Wystarczy że do iloczynu logicznego definiującego psa dodamy jeden fałsz i już pracowicie budowana definicja psa jest fałszem np.
Pies jest przyjacielem człowieka (PC=1), szczeka (S=1), nie jest kotem (~K=1) i ma skrzydła (SK=0)
P=>PC*S*~K *SK= 1*1*1*0 =0
Ewidentna kolizja znaczków „+” i „*” w algebrze klasycznej i logice matematycznej niczemu nie przeszkadza bo to są dwa, totalnie izolowane działy matematyki, jeden z drugim nie ma nic wspólnego. Nie wolno tych działów porównywać i wyciągać z tych porównań jakichkolwiek wniosków, co jest często spotykanym błędem matematyków.
Znaczki używane w algebrze Kubusia są legalnym systemem znaczków, stosowanym powszechnie w technice cyfrowej.
„lub”(+) - suma logiczna (alternatywa), spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
„i”(*) - iloczyn logiczny (koniunkcja), spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
3.0 Nowa teoria zbiorów
Nowa teoria zbiorów to wszystkie możliwe wzajemne położenia dwóch zbiorów p i q opisane zero-jedynkową tabelą operatorów logicznych oraz prawa logiczne z tego faktu wynikające.
3.1 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów
Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych przez człowieka
Przykłady zbiorów:
p =[LN (zbiór liczb naturalnych), krasnoludek, egzamin, komputer, miłość, galaktyka, marzenia …]
Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
4L=[pies, słoń, koń ..]
Gdzie:
4L = nazwa zbioru (zbiór zwierząt z czterema łapami)
[pies, słoń, koń ..] - elementy zbioru o nazwie 4L
W logice matematycznej chodzi o rozpoznawalność pojęć, a nie o algebraiczne liczenie pojęć.
Redukcja zbioru:
Pojęcia powtarzające się w obrębie zbioru można zredukować do jednego pojęcia.
Oczywiście nie musimy tego robić.
Tożsamość zbiorów:
Zbiory tożsame to zbiory identyczne
LN - zbiór liczb naturalnych
LN=[1,2,3,4,5,6..]
p=[krowa, krowa, krowa, 2, 5, 5, LN]
q=[krowa, 2, 5, LN]
q=[krowa, LN]
Zachodzi matematyczna tożsamość zbiorów:
p=q=r
Wciągnięcie liczb 2,5 do zbioru LN jest dozwolone na mocy definicji liczby naturalnej.
Zbiór może być uporządkowany lub nie uporządkowany, to bez znaczenia.
p=[1,2,3,4,5]
q=[4,3,2,5,1]
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
p=q
Dowolny element zbioru to także samodzielny zbiór jednoelementowy lub wieloelementowy.
W algebrze Kubusia istnieje nie tylko definicja zbioru jak wyżej ale również definicja zbioru wszystkich zbiorów, to Uniwersum.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka
Na mocy definicji żaden człowiek nie ma szans wyskoczyć poza Uniwersum, które jest dynamiczne, zmienia się w czasie.
Definicja dziedziny
Dziedzina to dowolny podzbiór Uniwersum na którym operujemy
Uniwersum to najszersza możliwa dziedzina, to zbiór wszystkich zbiorów.
Człowiek może tworzyć dowolne dziedziny w obszarze Uniwersum np. zbiór zwierząt, zbiór gwiazd, zbiór spójników logicznych, zbiór polityków, zbiór czworokątów, zbiór pojęć abstrakcyjnych … itp.
Dziedzinę możemy ustalać absolutnie dowolnie zawężając Uniwersum do interesującego nas zbioru natomiast z Uniwersum, na mocy definicji nic nie możemy zrobić. Uniwersum jest dynamiczne, może się poszerzać (gdy się uczymy) lub zwężać (gdy czegoś zapominamy, dla logiki to bez znaczenia.
W Uniwersum możemy wyróżnić pojęcia konieczne do komunikacji człowieka z człowiekiem których zdrowy człowieka nigdy nie zapomina czyli konkretny język (np. Chiński) plus zbiór pojęć podstawowych oczywistych dla każdego 5-cio latka np. mama, tata, pies, krasnoludek etc.
Definicja podzbioru:
Wszelkie zbiory tworzone w wybranej dziedzinie są podzbiorami w obrębie tej dziedziny
Definicja zbioru niepustego:
Zbiór niepusty to zbiór zawierający co najmniej jeden element
W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką
Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów
W logice zbiór pusty jest utożsamiany jest z logicznym zerem
W nowej teorii zbiorów (NTZ) zbiory mają wartość logiczną.
1 - zbiór niepusty (istnieje = zawiera co najmniej jeden element)
0 - zbiór pusty (nie istnieje = nie zawiera ani jednego elementu)
Na mocy definicji możliwe są wyłącznie dwie wartości logiczne zbiorów 0 i 1.
Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
4L=[pies, słoń, koń ..]
Gdzie:
4L = nazwa zbioru (zbiór zwierząt z czterema łapami)
[pies, słoń, koń ..] - elementy zbioru o nazwie 4L
Wartość logiczną zbioru (=1) zapisujemy bez nawiasów:
4L=[pies, słoń, koń ..] =1
Znaczenie tożsamości „=” w NTZ:
Pierwsza tożsamość to tożsamość definicyjna (4L=), natomiast druga tożsamość (4L=1) to tożsamość wartościująca, nadająca zbiorowi 4L konkretną wartość logiczną (tu 1)
Znaczenie tożsamości "=" wynika tu z kontekstu, nie ma potrzeby wprowadzania dwóch różnych znaczków.
3.2 Definicja definicji
Definicja definicji:
Pojęcie definiowane = właściwa definicja pojęcia definiowanego
Definicja psa:
Pies = zwierzę domowe, mające cztery łapy, szczekające
… a nawet.
Pies = zwierzę domowe, szczekające
gdzie:
„=” - tożsamość definicyjna
Dla każdego człowieka ta definicja jest wystarczająca.
Lewa strona znaku „=” to pojęcie definiowane.
Właściwa definicja pojęcia definiowanego to wyłącznie prawa strona.
Na mocy tej definicji (prawa strona) każdy człowiek jednoznacznie rozpozna tu psa, od 5-cio latka poczynając.
Ta definicja definicji obowiązuje także w matematyce.
Przykład błędnej definicji:
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisłą, podać jego odgłos.
http://youtu.be/K0uwEbIxhQw
3.3 Definicja minimalna
Definicja psa:
A.
Pies to zwierzę domowe, szczekające, przyjaciel człowieka
P = ZD*S*PC =1
Pojęcia ZD, S i PC to stałe symboliczne których wartość logiczna w odniesieniu do psa jest nam znana, w naszym przypadku wartość logiczna tych stałych symbolicznych to 1 (wszystkie pasują do psa).
Czy pies jest zwierzęciem domowym?
TAK (ZD =1)
Czy pies szczeka?
TAK (S =1)
Czy pies jest kurą?
NIE (K =0)
Definicja stałej symbolicznej:
Stała symboliczna to nazwa symboliczna której wartość logiczna jest nam z góry znana i której nie jesteśmy w stanie zmienić.
Definicja „pojęcia”:
Dowolne „pojęcie” w naszym Wszechświecie definiowane jest iloczynem logicznym stałych symbolicznych o wartości logicznej równej 1.
Definicja definicji minimalnej w naszym Wszechświecie:
Definicja jest definicją minimalną, jeśli usunięcie dowolnego członu w definicji powoduje matematyczną niejednoznaczność, czyli kolizję z innym „pojęciem”.
Definicja wystarczająco jednoznaczna:
Definicja wystarczająco jednoznaczna to definicja zrozumiała dla drugiego człowieka
Zauważmy, że można przyjąć nawet taką definicję minimalną psa:
B.
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P = S*PC =1*1 =1
Tu również nikt nie ma wątpliwości że chodzi o psa.
Zauważmy, że zabierając jedno pojecie lądujemy w niejednoznaczności, zatem ta definicja złożona zaledwie z dwóch elementów jest definicją minimalną.
Przykład definicji nadmiarowej sprowadzonej do absurdu:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka, nie będące kurą, nie będące drzewem, nie będące galaktyką … etc
P = S*PC*~K*~D*~G … =1
W iloczynie logicznym, definiującym pojęcie „pies” łatwo można dodać nieskończoną ilość pojęć prawdziwych w stosunku do psa, będących zaprzeczeniem fałszu:
Pies to nie kura
TAK (P*~K =1)
Pies to nie drzewo
TAK (P*~D =1
etc
3.4 Podstawowe operacje na zbiorach
Do obsługi całej algebry Kubusia w zbiorach wystarczą nam trzy podstawowe operacje na zbiorach plus pojęcie uzupełnienia zbioru do wybranej dziedziny.
1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q= [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4]
2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] =[1,2,3,4,5,6]
3.
Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p z wykluczeniem elementów zbioru q
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
p-q = [1,2,3,4]-[3,4,5,6] =[1,2]
q-p = [3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6]
4.
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny
W nowej teorii zbiorów (NTZ) zachodzi tożsamość:
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny = negacja zbioru = zaprzeczenie zbioru
„~” - symbol przeczenia, w naturalnej logice człowieka przedrostek „NIE”
Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=~[1,2] =[3,4]
Alternatywnie:
~p = D-p = [1,2,3,4]-[1,2] = [3,4]
Gdzie:
~ - symbol przeczenia
Komentarz słowny w naturalnej logice człowieka:
Jeśli przyjmiemy zbiór p=[1,2] oraz wybierzemy dziedzinę D=[1,2,3,4] to zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p=[3,4]
Definicja dziedziny:
Zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p+~p=1
Iloczyn logiczny zbiorów p i ~q jest zbiorem pustym, bo zbiory te są rozłączne na mocy definicji
p*~p=0
Dowód na naszym przykładzie:
p+~p=[1,2]+[3,4]=[1,2,3,4]=1 =D
p*~p=[1,2]*[3,4]=[] =0
Na mocy definicji zachodzi:
[] =0 - dowolny zbiór pusty ma wartość logiczną 0
D =1 - dowolny zbiór niepusty ma wartość logiczną równą 1 (w szczególności Dziedzina)
Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~[] = D (~0=1)
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty:
~D = [] (~1=0)
Stąd mamy fundament dwuelementowej algebry Boole’a i Kubusia:
I. ~0=1
II. ~1=0
W skrajnym przypadku dziedziną może być Uniwersum
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka
Zauważmy, że jeśli za dziedzinę przyjmiemy Uniwersum to mamy ograniczenie fizyczne, na mocy definicji nie możemy wyjść poza Uniwersum. Jeśli za dziedzinę przyjmiemy dowolny inny zbiór to mamy ograniczenie dobrowolne, nie chcemy rozpatrywać przypadków spoza tej dziedziny, co nie oznacza że nie jesteśmy w stanie.
Dowolne pojęcie dobrze zdefiniowane musi mieć swoją unikalną nazwę zarówno w obrębie wybranej dziedziny jak i w obrębie Uniwersum. W algebrze Kubusia szczególnym przypadkiem zbioru jednoelementowego jest dowolne pojęcie z palety Uniwersum.
Twierdzenie o wartości logicznej „pojęcia”:
Każde pojęcie zrozumiałe przez człowieka, czyli należące do jego Uniwersum ma wartość logiczną jeden.
Przykłady:
[pies] =1
[rower]=1
[miłość] =1
Te pojęcia są jednoznaczne i zrozumiałe w zbiorze Uniwersum każdego człowieka.
3.5 Pojęcie rozpoznawalne
Notacja:
[x] - zbiór niepusty, mający co najmniej jeden element
[] - zbiór pusty, nie zawierający żadnych elementów
W nowej teorii zbiorów NTZ zbiór pusty [] może zaistnieć wyłącznie jako wynik operacji na zbiorach, co wynika z definicji pojęcia rozpoznawalnego.
Definicja pojęcia rozpoznawalnego:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest zaprzeczenia tego pojęcia (~p)
Przykład:
[pies] =1 - wartość logiczna pojęcia pies jest równa 1 bo jest to pojęcie rozpoznawalne w Uniwersum
Przyjmijmy rozsądną dziedzinę dla tego pojęcia:
D = ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Bez żadnego trudu jesteśmy w stanie podać definicję wystarczającą tego pojęcia:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P=S*PC
Oczywiście bez problemu rozumiemy pojęcie nie pies (~P):
~P to dowolne zwierzę nie będące psem
Ogólnie:
~P=[ZWZ-pies]
Nie pies (~P) to zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa.
Spełniona jest tu definicja dziedziny:
P+~P = [pies]+[ZWZ-pies] = [ZWZ] =1
P*~P = [pies]*[ZWZ-pies] = [] =0
Weźmy teraz pojecie:
Tuptuś =?
Nie ma tego pojęcia w naszym Uniwersum, nie jesteśmy w stanie zdefiniować co to znaczy, z czego wynika że nie wiemy również co to jest NIE tuptuś (~tuptuś).
Oczywiście może się zdarzyć, że ktoś nam wytłumaczy co to jest „tuptuś”. Jeśli to zrozumiemy i zaakceptujemy to wprowadzamy to pojęcie do naszego Uniwersum i od tej pory należy ono do naszego Uniwersum. Często takie nazwy importujemy ze świata dzieci które mówią coś śmiesznego a my to zapamiętujemy i przekazujemy naszym przyjaciołom. Przykładowo ten „tuptuś” to żartobliwa nazwa córeczki mojego przyjaciela, Tygryska, bo miała ubranko z takim napisem.
Definicja wnioskowania:
Wnioskowanie to wyciągnięcie wniosków ze znanych faktów.
Zuzia (lat 5) do Jasia (lat 5).
Jasiu, czy masz pieska?
Jaś:
Tak
Zuzia:
Z faktu że masz pieska wnioskuję, iż twój piesek ma cztery łapy.
Jaś:
Nie ma czterech łap bo wilk mu odgryzł jedną łapkę
W tym momencie wnioskowanie Zuzi szlag trafił. Oczywiście wiemy że pies kaleki to też pies, ale z logiki musimy go usunąć z przyczyn podanych w dialogu.
Z tego samego powodu w logice zakładamy iż wszyscy ludzie mówią prawdę. Oczywiście wiemy że człowiek może kłamać do woli, logika jest po to by wykryć wszelkie kłamstwa.
3.7 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego
Przykład:
Rozważmy zbiór jednoelementowy p:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4] =1 (zbiór pełny)
Stąd mamy zbiór ~p będący dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
~p=[3,4]
I.
Prawo redukcji elementów zbioru
Zbiór:
K=[krowa, krowa, krowa …]
Redukujemy do zbioru:
K=[krowa]
bo w logice chodzi o rozpoznawalność obiektu [krowa] a nie o dodawanie czy mnożenie krów.
II.
Zero jedynkowy fundament algebry Kubusia (i Boole’a)
~D=[] - zaprzeczeniem dziedziny D jest zbiór pusty []
~[]=D - zaprzeczeniem zbioru pustego [] jest dziedzina D
D=1 - dziedzina
[] =0 - zbiór pusty
stąd mamy:
1=~0
0=~1
Dowód na naszym przykładzie:
1 =[1,2,3,4] - dziedzina
~0 = ~[] = [1,2,3,4] =1 - zaprzeczeniem zbioru pustego jest dziedzina
0=[] - zbiór pusty
~1 =~[1,2,3,4] = [] =0 - zaprzeczeniem dziedziny jest zbiór pusty
III.
Prawo podwójnego przeczenia
p=~(~p)
Dowód:
p=[1,2]
~(~p) = ~[3,4] = [1,2]
stąd:
p=~(~p)
Dopełnieniem do dziedziny dla zbioru [3,4] jest zbiór [1,2]
II.
Fundament algebry Kubusia (i Boole’a):
p+~p=1 - zbiór ~p musi być dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p*~p=0 - zbiór ~p musi być rozłączny ze zbiorem p
Dowód na naszym przykładzie:
p+~p = [1,2]+[3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
p*~p = [1,2]*[3,4] = [] =0 (zbiór pusty, brak elementów wspólnych p i ~p)
III.
Zero to element neutralny w alternatywie (sumie logicznej)
p+0 =p
p+1 =1
Dowód na naszym przykładzie:
p+0 = [1,2]+[] = [1,2] = p
Stąd: 0 - element neutralny dla sumy logicznej
p+1 = [1,2] +[1,2,3,4] =[1,2,3,4] = 1 (dziedzina)
IV.
Jeden to element neutralny w koniunkcji (iloczynie logicznym)
p*1=p
p*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
p*1 = [1,2]*[1,2,3,4] = [1,2] = p
Stąd: 1 - element neutralny dla iloczynu logicznego.
p*0 = [1,2]*[] =0
V.
Prawa pochłaniania w algebrze Kubusia (i Boole’a):
p+p =p
p*p =p
Dowód na naszym przykładzie:
p+p = [1,2]+[1,2] = [1,2] =p
p*p = [1,2]*[1,2] = [1,2] =p
Prawa maszynowe (zero-jedynkowe) w zbiorach.
VI
Suma logiczna (alternatywa) zbiorów:
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
1+1 = [1,2,3,4]+[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1+0 = [1,2,3,4]+[] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+1 = [] + [1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+0 = []+[]= [] =0 (zbiór pusty)
VII
Iloczyn logiczny (koniunkcja) zbiorów:
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
1*1 = [1,2,3,4]*[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1*0 = [1,2,3,4]*[] = [] =0 (zbiór pusty)
0*1 = []*[1,2,3,4] = [] =0 (zbiór pusty)
0*0 = []*[] = [] =0 (zbiór pusty)
4.0 Operatory jednoargumentowe
Matematyczne zależności między prawdą (=1) i fałszem (=0):
Prawda to zaprzeczenie fałszu:
prawda = ~fałsz
1=~0
Fałsz to zaprzeczenie prawdy:
fałsz = ~prawda
0=~1
Definicja aksjomatu:
Aksjomat to definicja powszechnie rozumiana i stosowana, nie budząca niczyich wątpliwości
Prawa Prosiaczka (o których za chwilę) doskonale znają w praktyce wszystkie 5-cio latki.
Czy jest lepszy argument dla uznania ich poprawności matematycznej?
Aksjomatyka algebry Kubusia
Aksjomatyka algebry Kubusia to naturalna logika matematyczna 5-cio latków
Trudno sobie wyobrazić człowieka (w tym matematyka), który by nie rozumiał co do niego mówi 5-cio letnie dziecko, dlatego ta aksjomatyka jest zdecydowanie najlepsza z możliwych.
Aksjomatyki tożsame na których można zbudować algebrę Kubusia to:
1.
Nowa Teoria Zbiorów z której da się wyprowadzić wszystkie zero-jedynkowe operatory algebry Boole’a, jedno i dwuargumentowe
2.
Zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych jedno i dwuargumentowych, z których da się wyprowadzić Nową Teorię Zbiorów
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściu układu
W operatorze jednoargumentowym mamy jedno wejście „p” na którym możemy wymuszać wyłącznie dwa stany 0 i 1, zapisując odpowiedź układu na wyjściu Y oraz wyjściu ~Y
Wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych jest cztery.
| Kod: |
Operator transmisji
p ~p Y=p ~Y=~p
A: 1 0 =1 =0
B: 0 1 =0 =1
|
| Kod: |
Operator negacji
p ~p Y=~p ~Y=p
A: 1 0 =0 =1
B: 0 1 =1 =0
|
| Kod: |
Operator chaosu
p ~p Y=1 ~Y=~[1]=0
A: 1 0 =1 =0
B: 0 1 =1 =0
|
| Kod: |
Operator śmierci
p ~p Y=0 ~Y=~[0]=1
A: 1 0 =0 =1
B: 0 1 =0 =1
|
Zacznijmy od jednego z najważniejszych aksjomatów w logice matematycznej każdego 5-cio latka, od praw Prosiaczka.
4.1 Prawa Prosiaczka
Definicja logiki dodatniej i ujemnej:
p - logika dodatnia bo brak przeczenia „~”
~p - logika ujemna bo jest przeczenie „~”
Prawa Prosiaczka to matematyczny związek między logiką dodatnią (bo p) i logiką ujemną (bo ~p).
Prawa Prosiaczka:
I.
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
II
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1)=(p=0)
Zauważmy, że niezależnie czy jesteśmy w logice dodatniej (p), czy ujemnej (~p) znaczenie zera i jedynki jest identyczne:
1 = prawda
0 = fałsz
W algebrze Kubusia logika zaszyta jest w symbolach (p, ~p) a nie w zerach i jedynkach.
Dowód praw Prosiaczka:
Udajmy się w tym celu do przedszkola, to jest właściwe miejsce dla dowodu poprawności matematycznej praw Prosiaczka (początki nauki języka).
Oznaczmy symbolicznie:
P = [pies] =1
Przyjmijmy dziedzinę:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy definicję pojęcia ~P, jako zbioru będącego uzupełnieniem pojęcia „pies” do dziedziny.
~P=[ZWZ-pies] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
W szczególności:
~P = [koza] =1
Scenka:
Tata w ZOO na spacerze ze swoim 3-letnim synkiem, Jasiem.
Jaś pokazuje paluszkiem psa i mówi:
A1.
To jest pies
P=1
co matematycznie oznacza:
Prawdą jest (=1) że to jest pies (P)
Tata:
… a może to nie pies?
Jaś:
A2.
Fałszem jest że to nie jest pies.
~P=0
co matematycznie oznacza:
Fałszem jest (=0) że to nie jest pies (~P)
Doskonale widać że zdania A1 i A2 są tożsame:
A1=A2
Stąd mamy I prawo Prosiaczka:
(P=1) = (~P=0)
Następnie Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
Patrz tata!
B1.
To nie jest pies
~P=1
co matematycznie oznacza:
Prawdą jest (=1) że to nie jest pies (~P)
Tata:
… a może to jednak pies?
B2.
Tata!
Fałszem jest że to jest pies!
P=0
co matematycznie oznacza:
Fałszem jest (=0) że to jest pies (P)
Doskonale widać że zdania B1 i B2 są tożsame:
B1=B2
Stąd mamy II prawo Prosiaczka:
(~P=1) = (P=0)
Matematycznie zachodzi:
A1=A2 # B1=B2
gdzie:
# - różne
Związek logiki dodatniej (bo P) i ujemnej (bo ~P):
P = ~(~P)
Dowód:
Prawo Prosiaczka:
(P=1) = (~P=0)
Stąd:
1 = ~(0) =1
cnd
Doskonale widać, że prawo Prosiaczka działa w świecie zdeterminowanym, gdzie wszystko jest w 100% wiadome. W świecie zdeterminowanym jeśli Jaś pokazuje psa to nie ma wyboru, musi ustawić symbol P na wartość logiczną 1.
P=1 - prawdą jest (=1) że widzę psa
Jaś nie może tu ustawić:
P=0 - fałszem jest (=0) że widzę psa
W logice symbol P jest stałą symboliczną, której wartości logicznej nie możemy zmienić.
Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol (np. P - pies) którego wartość logiczna jest znana z góry i której to wartości logicznej nie jesteśmy w stanie zmienić.
Sprawdźmy czy prawa Prosiaczka działają także w świecie niezdeterminowanym gdzie nic nie jest z góry przesądzone, czyli nie znamy z góry wartości logicznych zmiennych binarnych. Oczywisty brak determinizmu to zdania w czasie przyszłym.
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol (np. K - jutro pójdę do kina) którego wartość logiczna jest nieznana w chwili wypowiadania zdania.
Oznaczmy symbolicznie:
Y - dotrzymam słowa (logika dodatnia bo Y)
~Y - skłamię (logika ujemna bo ~Y)
Rozważmy zdanie wypowiedziane:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
A1.
Prawdą będzie (=1) że dotrzymam słowa (Y) jeśli jutro pójdę do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1
Zdanie matematycznie tożsame:
A2.
Fałszem będzie (=0) że skłamię (~Y) jeśli jutro pójdę do kina (K=1)
~Y=0 <=> K=1
Doskonale widać tożsamość matematyczną zdań:
A=A1=A2
Stąd mamy I prawo Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)
… a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma)
B: ~Y=~K
stąd mamy:
B.
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
B1.
Prawdą będzie (=1) że skłamię (~Y), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=1 <=> ~K=1
Zdanie tożsame:
B2.
Fałszem będzie (=0) że dotrzymam słowa (Y), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Y=0 <=> ~K=1
Doskonale widać tożsamość matematyczną zdań:
B=B1=B2
Stąd mamy II prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Matematycznie zachodzi:
A=A1=A2 # B=B1=B2
A: Y=K
B: ~Y=~K
gdzie:
# - różne
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo podwójnego przeczenia:
Y = K = ~(~K)
Mamy tu sytuację fundamentalnie różną niż w przypadku Jasia w ZOO, bo operujemy zmiennymi binarnymi a nie bezwzględnymi zerami i jedynkami.
Doskonale widać że prawa Prosiaczka działają w świecie niezdeterminowanym, gdzie wszystko może się zdarzyć.
I.
W świecie niezdeterminowanym, jeśli wypowiemy zdanie:
W1.
Jutro pójdę do kina
Y=K
To wartość logiczna zmiennych Y i K nie jest nam znana z góry.
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol (np. Y - jutro pójdę do kina) którego wartość logiczna jest nieznana w chwili wypowiadania zdania.
Pojutrze może zajść cokolwiek scenariusz A albo scenariusz B.
Scenariusz A:
A.
Wczoraj byłem w kinie
Y=K
co matematycznie oznacza:
A1.
Prawdą jest (=1) że dotrzymałem słowa bo wczoraj byłem w kinie (K=1)
Y=1 <=> K=1
Zdanie tożsame:
A2.
Fałszem jest (=0) że skłamałem, bo wczoraj byłem w kinie:
Y=0 <=> K=1
Matematycznie zachodzi tożsamość zdań:
A=A1=A2
Stąd mamy prawo Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)
albo
Pojutrze możemy stwierdzić coś fundamentalnie innego.
Scenariusz B:
B.
Skłamałem (~Y=1) bo wczoraj nie byłem w kinie (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
B1.
Prawdą jest (=1) że skłamałem (~Y) bo wczoraj nie byłem w kinie (~K=1
~Y=1 <=> ~K=1
Zdanie tożsame:
B2.
Fałszem jest (=0) że dotrzymałem słowa (Y) bo wczoraj nie byłem w kinie (~K=1)
Y=0 <=> ~K=1
Matematycznie zachodzi tożsamość zdań:
B=B1=B2
Stąd mamy prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
II.
W świecie niezdeterminowanym równie dobrze możemy wypowiedzieć zdanie:
W2.
Jutro nie pójdę do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Zadanie domowe:
Wzorując się na zdaniu W1 rozpisać wszystkie możliwe scenariusze przyszłości, scenariusz A albo scenariusz B.
Podsumowując:
Prawa Prosiaczka działają genialnie zarówno w świecie zdeterminowanym, jak i niezdeterminowanym, możemy je zatem stosować w całej logice matematycznej bez żadnych ograniczeń, działają wszędzie.
4.2 Operator transmisji
Udajmy się do przedszkola, to jest właściwe miejsce poznawania naturalnej logiki matematycznej człowieka.
Pani:
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y), wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1).
Zuzia do Jasia (oboje 5 lat):
… a kiedy Pani skłamie?
Jaś:
Pani skłamie (~Y=1) gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
czytamy:
Prawdą jest (=1) że Pani skłamie (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=1 <=> ~K=1
Symboliczna definicja operatora transmisji:
| Kod: |
Definicja |Znaczenie
symboliczna |
A: Y= K | Y=1<=> K=1
B:~Y=~K | ~Y=1<=>~K=1
|
W logice nie operujemy na konkretnych przykładach (K,Y) lecz na parametrach formalnych (zwykle p,q,Y) niezależnych od jakichkolwiek przykładów. Wszelkie prawa logiczne podawane są w postaci formalnej, pasującej w wszelkich parametrów aktualnych a nie tylko do jednego przykładu np. jak wyżej.
Definicja parametrów formalnych:
Parametry formalne to matematyczny zapis praw logicznych pasujący do dowolnych przykładów z naturalnego języka człowieka.
W logice zwyczajowo są to literki (p,q,Y)
Definicja parametrów aktualnych:
Parametry aktualne to symbole z konkretnego zdania podstawione w miejsce parametrów formalnych.
Logika matematyczna jest w tej szczęśliwej sytuacji, że ma przełożenie 1:1 na naturalną logikę 5-cio latków.
Podstawmy:
p=K
… i już mamy formalną definicję negatora w zapisach formalnych (p,Y) niezależną od jakiegokolwiek przykładu.
Symboliczna definicja operatora transmisji:
| Kod: |
Definicja |Znaczenie |Kodowanie |Kodowanie
symboliczna |zmiennych Y i p |zero-jedynkowe |zero-jedynkowe
|dla A: Y=p |dla B: ~Y=~p
| | p Y=p | ~p ~Y=~p
A: Y= p | ( Y=1)<=>( p=1) | 1 =1 | 0 =0
B:~Y=~p | (~Y=1)<=>(~p=1) | 0 =0 | 1 =1
1 2 3 4 5 6 7 8
|
Doskonale widać, że w naturalnej logice 5-cio latka mamy wszystkie zmienne (p i Y) sprowadzone do prawdy (=1), że w zerach i jedynkach nie ma tu żadnej logiki.
Jak zatem stworzyć zero-jedynkową definicję operatora transmisji?
Nie da się tego zrobić bez skorzystania w praw Prosiaczka, które już znamy.
Prawa Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
(~p=1) = (p=0)
Definicja punktu odniesienia:
Punkt odniesienia w logice matematycznej to zdanie względem którego tworzymy tabelę zero-jedynkową z wykorzystaniem praw Prosiaczka.
W naszej tabeli symbolicznej mamy dwa możliwe punkty odniesienia, to zdania A albo B.
Jak tworzymy tabele zero-jedynkowe?
Linia A:
Wejście p:
Punkty: A4=A5
(p=1) = (p=1) - stąd w miejsce A5 wstawiamy 1
Punkty: A4=A7
(p=1) = (~p=0) - stąd w miejsce A7 wstawiamy 0
Wyjście Y:
Punkty: A3=A6
(Y=1) = (Y=1) - stąd w miejsce A6 wstawiamy 1
Punkty: A3=A8
(Y=1) = (~Y=0) - stąd w miejsce A8 wstawiamy 0
Linia B
Wejście p:
Punkty: B4=B5
(~p=1) = (p=0) - stąd w miejsce B5 wstawiamy 0
Punkty: B4=B7
(~p=1) = (~p=1) - stąd w miejsce B7 wstawiamy 1
Wyjście Y:
Punkty: B3=B6
(~Y=1) = (Y=0) - stąd w miejsce B6 wstawiamy 0
Punkty: B3=B8
(~Y=1) = (~Y=1) - stąd w miejsce B8 wstawiamy 1
Łatwo zauważyć, iż prawami Prosiaczka wystarczy zakodować tabelę zero-jedynkową AB56.
Dalej negujemy kompletne kolumny zero-jedynkowe z tabeli AB56:
p (AB56) przechodzi w ~p (AB78)
Y (AB56) przechodzi w ~Y (AB78)
Zaprezentowany tu algorytm kodowania tabel zero-jedynkowych obowiązuje w całej algebrze Kubusia, niezależnie od ilości parametrów formalnych w zapisie symbolicznym. Musimy go zatem rozumieć, będzie to podstawa naszych przyszłych kodowań zero-jedynkowych.
Zauważmy, że w naturalnej logice człowieka wszystkie zmienne (p i Y) sprowadzone są do wartości logicznej 1 (do prawdy), w zerach i jedynkach nie ma tu żadnej logiki bo nie istnieją tu tabele zero-jedynkowe.
Wnioski:
1.
Obszary żywe (aktywne) w tabeli zero-jedynkowej biorące udział w logice to linie A56 i B78, natomiast obszary martwe (nieaktywne) nie biorące udziału w logice to linie B56 i B78.
2.
W tabeli zero-jedynkowej AB56 nagłówek tabeli Y opisuje wyłącznie linię żywą A56 (jedynkę w wyniku)
W tabeli zero-jedynkowej AB78 nagłówek tabeli ~Y opisuje wyłącznie linię żywą B78 (jedynkę w wyniku)
Definicja budowy dowolnej tabeli symbolicznej:
W dowolnej tabeli symbolicznej możemy mieć n wejść i tylko jedno wyjście Y
gdzie:
n - dowolna liczba wejść (w szczególności nieskończoność)
W operatorach logicznych mamy do czynienia z jednym wejściem p (operatory jednoargumentowe), albo z dwoma wejściami p i q (operatory dwuargumentowe).
Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej wyrażonej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie wynikowe jedynki (obszary żywe).
W operatorach jednoargumentowych, o których tu mówimy, spójniki „lub”(+) i „i”(*) nie występują.
Obszar żywy (aktywny) w tabeli zero-jedynkowej AB56 to linia A56, bo tylko tu jest jedynka w wyniku.
Obszar martwy to linia B56.
Obszar żywy (aktywny) w tabeli zero-jedynkowej AB78 to linia B78, bo tylko tu jest jedynka w wyniku.
Obszar martwy to linia A78
Obszary żywe i martwe można ładnie przedstawić na kolorowym diagramie.
Rys. 4.2 Diagram operatora transmisji
W diagramie operatora transmisji wolno nam się poruszać wyłącznie po obszarach żywych (zielonych), obszary martwe (brązowe) są wyłącznie uzupełnieniem tabeli zero-jedynkowej do pełnego operatora logicznego, nie biorą udziału w logice.
Z naszych rozważań możemy wywnioskować prosty algorytm odtworzenia definicji symbolicznej z dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Przykład:
Zbudować kompletny zapis symboliczny dla tabeli operatora transmisji:
Twierdzenie:
Dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy zbudować tylko i wyłącznie dwa równania logiczne, jedno opisujące wynikowe jedynki (Y) i drugie, opisujące wynikowe zera (~Y).
Równanie opisujące wynikowe jedynki:
Krok 1
Spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy dla wynikowych jedynek:
Y =1 <=> p=1
Krok 2
Na mocy prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek, tu nie mamy nic do roboty
Y =1 <=> p=1
Krok 3
W logice matematycznej jedynka jest wspólnym punktem odniesienia dla dowolnych równań logicznych, możemy ją pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności. Stąd mamy równanie algebry Boole’a dla naszej tabeli zero-jedynkowej utworzone dla wynikowych jedynek.
Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
Powyższa procedurę powtarzamy dla wynikowych zer w dowolnej tabeli zero-jedynkowej.
Równanie opisujące wynikowe zera:
Krok 1
Spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy dla wynikowych jedynek:
Y =0 <=> p=0
Krok 2
Na mocy prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek, tu nie mamy nic do roboty
~Y =1 <=> ~p=1
Krok 3
W logice matematycznej jedynka jest wspólnym punktem odniesienia dla dowolnych równań logicznych, możemy ją pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności. Stąd mamy równanie algebry Boole’a dla naszej tabeli zero-jedynkowej utworzone dla wynikowych zer.
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
Nasza tabela zero-jedynkowa z kompletem równań cząstkowych opisujących poszczególne linie przybierze postać.
| Kod: |
Tabela |Równania cząstkowe |Co matematycznie
zero-jedynkowa |dla poszczególnych linii |oznacza
p Y | |
A: 1 =1 | p = Y | Y=1<=> p=1
B: 0 =0 |~p =~Y |~Y=1<=>~p=1
|
Doskonale widać, że jeśli chodzi o budowę tabel zero-jedynkowych to prawa Prosiaczka są w logice matematycznej kluczowe i najważniejsze. W naturalnej logice matematycznej prawa Prosiaczka nie mają większego znaczenia bo tu nie ma tabel zero-jedynkowych, co nie oznacza, że 5-cio latek nie potrafi się doskonale nimi posługiwać. Oczywiście potrafi, przecież prawa Prosiaczka wyprowadziliśmy z naturalnej logiki matematycznej 3-latka, obserwując jego reakcję w trakcie wycieczki do ZOO (pkt. 4.1).
4.3 Operator negacji
Operator negacji to operator symetryczny do operatora transmisji.
Pani:
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y), wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1).
Zuzia do Jasia:
… a kiedy Pani skłamie?
Jaś:
Pani skłamie (~Y=1) gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1
czytamy:
Prawdą jest (=1) że Pani skłamie (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
~Y=1 <=> ~K=1
Przechodzimy na parametry formalne podstawiając:
p=K
Symboliczna definicja operatora negacji z kodowaniem zero-jedynkowym:
| Kod: |
Definicja |Znaczenie |Kodowanie |Kodowanie
symboliczna |zmiennych Y i p |zero-jedynkowe |zero-jedynkowe
|dla A: Y=~p |dla B: ~Y=p
| |~p Y=~p | p ~Y=~(~p)=p
A: Y=~p | ( Y=1)<=>(~p=1) | 1 =1 | 0 =0
B:~Y= p | (~Y=1)<=>( p=1) | 0 =0 | 1 =1
1 2 3 4 5 6 7 8
|
Doskonale widać, że w naturalnej logice 5-cio latka (definicja symboliczna) mamy wszystkie zmienne (p i Y) sprowadzone do prawdy (=1), że w zerach i jedynkach nie ma tu żadnej logiki.
Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej nagłówek tabeli opisuje wyłącznie wynikowe jedynki (obszary żywe).
Obszar żywy (aktywny) w tabeli zero-jedynkowej AB56 to linia A56, bo tylko tu jest jedynka w wyniku.
Obszar martwy to linia B56.
Obszar żywy (aktywny) w tabeli zero-jedynkowej AB78 to linia B78, bo tylko tu jest jedynka w wyniku.
Obszar martwy to linia A78
Obszary żywe i martwe można ładnie przedstawić na kolorowym diagramie.
Rys. 4.3 Diagram operatora negacji
W diagramie operatora negacji wolno nam się poruszać wyłącznie po obszarach żywych (zielonych), obszary martwe (brązowe) są wyłącznie uzupełnieniem tabeli zero-jedynkowej do pełnego operatora logicznego, nie biorą udziału w logice.
4.4 Równanie ogólne operatorów transmisji i negacji
Na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Operator transmisji: ## Operator negacji:
A: Y= p ## C: Y=~p
B:~Y=~p ## D:~Y= p
gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Uwaga:
Znaczek różne na mocy definicji (##) oznacza, że parametry formalne p i Y z jednej strony znaku ## nie mają nic wspólnego z parametrami formalnymi p i Y z drugiej strony znaku ##.
Szczegółowa budowa równania ogólnego operatorów transmisji i negacji:
| Kod: |
Definicja operatora transmisji ## Definicja operatora negacji
A: Y=p ## C: Y=~p
co matematycznie oznacza: ## co matematycznie oznacza:
A: Y=1 <=> p=1 ## C: Y=1 <=> ~p=1
… a kiedy zajdzie ~Y? ## a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie ## Negujemy dwustronnie
B: ~Y=~p ## D: ~Y=p
co matematycznie oznacza: ## co matematycznie oznacza:
B: ~Y=1 <=> ~p=1 ## D: ~Y=1 <=> p=1
Y - logika dodatnia (bo Y) ## Y - logika dodatnia (bo Y)
~Y - logika ujemna (bo ~Y) ## ~Y - logika ujemna (bo ~Y)
Związek logiki dodatniej i ujemnej: ## Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) ## Y=~(~Y)
Podstawiając A i B mamy: ## Podstawiając C i D mamy:
Y=p = ~(~p) ## Y=~p = ~(p) = ~p
Związek logiki ujemnej i dodatniej ## Związek logiki ujemnej i dodatniej:
~Y = ~(Y) ## ~Y=~(Y)
Podstawiając A i B mamy: ## Podstawiając C i D mamy:
~Y=~p = ~(p) = ~p ## ~Y=p = ~(~p) =p
gdzie:
## - różne na mocy definiji
|
4.5 Operator chaosu
Pani w przedszkolu:
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y=K+~K =1
Zdanie tożsame:
Jutro nie pójdziemy do kina lub pójdziemy do kina
Y=~K+K =1
Spójnik „lub”(+) jest przemienny tzn. możemy zamieniać K i ~K miejscami nie tracąc na jednoznaczności.
Zauważmy, że cokolwiek jutro Pani nie zrobi to dotrzyma słowa, nie ma tu żadnych szans na kłamstwo, bo!
Zuzia do Jasia:
… a kiedy pani skłamie?
Jaś:
Przechodzimy do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójnika:
~Y=K*~K =0
Jak widzisz Zuzia, pani nie ma najmniejszych szans na kłamstwo bo nie może ustawić:
~Y=1 - jutro skłamię
Przechodząc na parametry formalne p i Y mamy definicję operatora chaosu
| Kod: |
Definicja operatora chaosu:
p ~p Y=p+~p=1 ~Y=~p*p=0
A: 1 0 =1 =0
B: 0 1 =1 =0
1 2 3 4
|
Tworzymy równanie algebry Boole’a dla wynikowych jedynek (tabela AB123).
Krok 1
Z tabeli zero-jedynkowej odczytujemy w naturalnej logice człowieka:
Y=1 <=> p=1 i ~p=0 lub p=0 i ~p=1
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek.
Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Stąd:
Y=1 <=> p=1 i p=1 lub ~p=1 i ~p=1
Krok 3.
Prawda jest w logice domyślna, stąd możemy pominąć jedynki uzyskując równanie algebry Boole’a dla tabeli AB123
Y=p*p+~p*~p
Y=p+~p=1
Powyższe równanie opisuje kolumnę 3.
Równanie opisujące kolumnę 4 otrzymamy negując dwustronnie powyższe równanie.
~Y=~(p+~p) = ~p*p =0
Zauważmy, że wszystko jest tu genialnie zgodne z prawem Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
Pani dotrzymuje tu słowa zarówno w logice dodatniej (Y) jak i w logice ujemnej (~Y)
Podsumowując:
Operator chaosu = zdanie zawsze prawdziwe
4.6 Operator śmierci
Pani w przedszkolu:
A.
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y=K*~K =0
Zdanie tożsame:
Jutro nie pójdziemy do kina i pójdziemy do kina
Y=~K*K =0
Spójnik „i”(*) jest przemienny tzn. możemy zamieniać K i ~K miejscami nie tracąc na jednoznaczności.
Zauważmy, że to zdanie jest wewnętrznie sprzeczne, zatem jest fałszywe, stąd w wyniku 0 (fałsz).
Nadawca jest tu ewidentnym kłamcą (Y=0)
Zuzia do Jasia:
… a kiedy pani dotrzyma słowa?
Jaś:
Przechodzimy do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójnika:
~Y=K+~K =1
B.
Pani skłamie, jeśli jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
~Y=K+~K =1
Jak widzisz Zuzia pani dalej jest kłamcą bo mamy wymuszenie matematyczne:
~Y=1 - pani skłamie
W zdaniu A pani jest kłamczuchą, w zdaniu B także, nie ma tu miejsca na dotrzymanie słowa.
Przechodząc na parametry formalne p i Y mamy definicję operatora chaosu
| Kod: |
Definicja operatora śmierci:
p ~p Y=p*~p=0 ~Y=p+~p=1
A: 1 0 =0 =1
B: 0 1 =0 =1
1 2 3 4
|
Skąd wzięło się równanie w nagłówku tabeli operatora śmierci?
Krok 1
Dla tabeli zero-jedynkowej AB123 spisujemy dokładnie to co widzimy.
Y=0 <=> p=1 i ~p=0 lub p=0 i ~p=1
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek:
~Y=1 <=> p=1 i p=1 lub ~p=1 i ~p=1
Krok 3
Jedynki są w logice domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności, w ten sposób dostajemy równanie logiczne opisujące tabelę operatora śmierci.
~Y=p*p +~p*~p
~Y=p+~p=1
Doskonale widać, że to jest opis kolumny 4 a nie kolumny 3.
Opis kolumny 3 otrzymamy negując dwustronnie powyższe równanie:
Y = ~p*p =0
Zauważmy, że wszystko jest tu genialnie zgodne z prawem Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Pani jest tu kłamcą zarówno w logice dodatniej (Y=0) jak i w logice ujemnej (~Y=1)
Podsumowując:
Operator śmierci = zdanie zawsze fałszywe
4.7 Związek Nowej Teorii Zbiorów w teorią bramek logicznych
Związek Nowej Teorii Zbiorów z teorią i praktyką bramek logicznych jest 100%.
W technice bramek logicznych rozumujemy w naturalnej logice człowieka przekładając to rozumowanie na matematykę w przełożeniu 1:1.
Przykład:
A.
Lampka świeci się (S=1) jest wciśnięty przycisk p (p=1)
S=p
co matematycznie oznacza:
S=1 <=> p=1
… a kiedy lampka zgaśnie?
Negujemy stronami zdanie A
~L=~p
B.
Lampka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie wciśnięty przycisk p (~p=1)
~S=~p
co matematycznie oznacza:
~S=1 <=> ~p=1
Jest oczywistym że powyższe sterowanie lampką to operator transmisji o symbolicznej definicji w zdaniach A i B:
A: S=p
B: ~S=~p
Zadanie domowe:
Założyć i opisać sterowanie lampką na mocy definicji negatora:
A: S=~p
B: ~S=p
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 7:23, 13 Sie 2015, w całości zmieniany 16 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 17:23, 19 Kwi 2015 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia
Restart!
Spis treści
5.0 Operatory dwuargumentowe 1
5.1 Operator OR 2
5.2 Operator AND 7
6.0 Rachunek zero-jedynkowy 12
6.1 Prawa De Morgana 13
6.2 Równanie ogólne dla operatorów OR i AND 15
6.3 Najważniejsze prawa algebry Boole’a 16
6.4 Prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym 19
6.5 Tworzenie równań logicznych z tabeli zero-jedynkowej 21
6.6 Sprowadzanie zmiennych binarnych do jedynek 23
6.7 Tworzenie tabel zero-jedynkowych z równań logicznych 25
6.8 Logika człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) 30
5.0 Operatory dwuargumentowe
Algebra Boole’a to zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych, rachunek zero-jedynkowy oraz równania algebry Boole’a wynikające z rachunku zero-jedynkowego.
Człowiek w swojej naturalnej logice matematycznej posługuje się wyłącznie równaniami algebry Boole’a, zgodnymi z naturalną logiką każdego 5-cio latka.
Poprawność dowolnego równania logicznego najprościej sprawdzić rachunkiem zero-jedynkowym dlatego poznanie tej techniki, jak i podstawowych praw algebry Boole’a jest ważne.
Wszystkie możliwe definicje operatorów logicznych w algebrze Boole’a (dwuargumentowe):
| Kod: |
OR ~(OR) AND ~(AND)
p q + ~(+) * ~(*)
1 1 1 0 1 0
1 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 1
0 1 1 0 0 1
|
| Kod: |
p q <=> ~(<=>) |=> ~(|=>) |~> ~(|~>) |~~> ~(|~~>) P ~P Q ~Q
1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0
1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1
0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1
0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0
|
Algebra Boole’a to technika bramek logicznych.
Znaczenie symboli:
p, q - wejścia układu
Y - wyjście układu, kompletna kolumna wynikowa (<=>, => etc)
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to jednoznaczna odpowiedź układu na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach tego układu
Ta definicja jest niezależna od tego czy mówimy o technice cyfrowej czy też o dowodzeniu twierdzeń matematycznych.
Na początek udajmy się do przedszkola, by udowodnić ze 5-cio latki doskonale posługują się w praktyce algebrą Boole’a.
5.1 Operator OR
Twierdzenie 5-cio latka:
Algebra Boole’a zapisana w postaci równań algebry Boole’a (algebra Kubusia) to naturalna logika matematyczna każdego 5-cio latka.
Wynika z tego, że właściwym miejscem poznania poprawnej algebry Boole’a jest przedszkole.
Udajmy się zatem do przedszkola Nr.1 w 100-milowym lesie
Pani:
Zdanie wypowiedziane:
W:
Drogie dzieci, jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Jasiu, kiedy Pani skłamie?
Jaś:
Oj ty goopia babo, takich banałów matematycznych nie wiesz?
Panie skłamie gdy jutro nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru
U: ~Y = ~K*~T
gdzie:
Y - pani dotrzyma słowa (logika dodatnia bo Y)
~Y - pani skłamie (logika ujemna bo ~Y)
Zuzia:
… to powiedz mądralo, kiedy Pani dotrzyma słowa.
Jaś:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) gdy pójdziemy przynajmniej w jedno miejsce, czyli pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Zuzia:
Acha!
Czyli Pani dotrzyma (Y) słowa gdy jutro:
A: Ya= K*T = 1*1 =1 - pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
B: Yb= K*~T = 1*1 =1 - pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: Yc= ~K*T = 1*1 =1 - nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Czy dobrze?
Jaś:
Brawo Zuzia, pięknie to załapałaś.
Przepraszam, nie jesteś goopia, jesteś tak samo mądra matematycznie jak ja.
Zuzia:
… ale skąd my znamy matematykę ścisłą, algebrę Kubusia?
Jaś:
Wyssaliśmy ją z mlekiem matki, na pewno także dzięki niej wiedzieliśmy co trzeba robić aby dostać mamy mleczko, wiedzieliśmy jak domagać się jedzenia już kilka godzin po narodzeniu.
Zuzia:
Jasiu, czy to też jest matematyka ścisła?
Jaś:
Tak, to jest właśnie algebra Kubusia, która rządzi naszym Wszechświatem.
Wróćmy teraz z przedszkola do liceum w 100-milowym lesie…
W.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T - logika dodatnia (bo Y)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
… a kiedy Pani skłamie?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
U.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do teatru (~T=1) i nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że Pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do teatru (~T=1) i nie pójdziemy do kina (~K=1)
Zapiszmy dialog pięciolatków w postaci tabeli symbolicznej.
| Kod: |
Logia dodatnia: Y |W naturalnej logice człowieka
Logika ujemna: ~Y |wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek
W: Y=K+T |Patrz dialogi 5-cio latków wyżej
Pani dotrzyma słowa gdy: |
A: K* T = Ya |A: ( K=1)*( T=1) =( Ya=1)
B: K*~T = Yb |B: ( K=1)*(~T=1) =( Yb=1)
C:~K* T = Yc |C: (~K=1)*( T=1) =( Yc=1)
… a kiedy Pani skłamie? |
Przejście ze zdaniem W |
do logiki ujemnej |
U: ~Y=~K*~T |
D:~K*~T =~Yd |D: (~K=1)*(~T=1) =(~Yd=1)
|
Matematyka operuje parametrami formalnym (zwykle p, q, Y) niezależnymi od konkretnego zdania.
Jak przejść z naszym zdaniem na parametry formalne?
Podstawiamy:
p=K
q=T
Stąd mamy symboliczną definicję operatora OR.
| Kod: |
Definicja symboliczna |W dowolnej tabeli symbolicznej
operatora OR |wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek
W: Y=p+q |
A: p* q = Ya |A: ( p=1)*( q=1) =( Ya=1)
B: p*~q = Yb |B: ( p=1)*(~q=1) =( Yb=1)
C:~p* q = Yc |C: (~p=1)*( q=1) =( Yc=1)
U:~Y=~p*~q |
D:~p*~q =~Yd |D: (~p=1)*(~q=1) =(~Yd=1)
|
Prawa Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
(~p=1)=(p=0)
Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z definicji symbolicznej do tabeli zero-jedynkowej i odwrotnie. W sensownym kodowaniu przyjmujemy dowolną linię za punkt odniesienia.
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora OR w logice dodatniej (bo Y):
W: Y=p+q
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem U otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora AND w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y=~p*~q
Kodowanie zero-jedynkowe dowolnej tabeli symbolicznej jest możliwe tylko i wyłącznie dzięki prawom Prosiaczka.
| Kod: |
Definicja |Definicja |Definicja |
symboliczna |zero-jedynkowa |zero-jedynkowa |
operatora OR |operatora OR |operatora AND | Y=p+q=~(~p*~q)
W: Y=p+q | p q Y=p+q |~p ~q ~Y=~p*~q | Y=~(~Y)
A: p* q = Ya | 1 1 =1 | 0 0 =0 | =1
B: p*~q = Yb | 1 0 =1 | 0 1 =0 | =1
C:~p* q = Yc | 0 1 =1 | 1 0 =0 | =1
U:~Y=~p*~q | | |
D:~p*~q =~Yd | 0 0 =0 | 1 1 =1 | =0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
|
Przejście z definicji symbolicznej ABCD123 to tabeli zero-jedynkowej ABCD456 umożliwiają prawa Prosiaczka, bez praw Prosiaczka nie byłoby to możliwe.
W tabeli symbolicznej wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek, stąd mamy:
Tabela ABCD456:
Punkt: B1=B4
(p=1) = (p=1) - wstawiamy do B4 jeden
Punkt: B2=B5
(~q=1) = (q=0) - wstawiamy do B5 zero
Punkt: B3=B6
(Yb=1) = (Yb=1) - wstawiamy do B6 jeden
Tabela ABCD789:
Punkt: B1=B7
(p=1) = (~p=0) - wstawiamy do B7 zero
Punkt: B2=B8
(~q=1) = (~q=1) - wstawiamy do B8 jeden
Punkt: B3=B9
(Yb=1) = (~Yb=0) - wstawiamy do B9 zero
Łatwo zauważyć, że po wypełnieniu tabeli ABCD456 kolumny w tabeli ABCD678 najprościej utworzyć negując całe kolumny z tabeli ABCD456.
Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 0 jest dowodem formalnym prawa De Morgana dla sumy logicznej:
Y = p+q = ~(~p*~q)
Prawo De Morgana możemy też łatwo wyprowadzić z definicji symbolicznej operatora OR, bez tabeli zero-jedynkowej.
Z definicji symbolicznej mamy:
W: Y=p+q
U: ~Y=~p*~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej.
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y)
Y=~(~Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y=p+q = ~(~p*~q)
Związek logiki ujemnej i dodatniej.
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y):
~Y=~(Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q = ~(p+q)
Rozważmy po raz ostatni nasze zdanie:
W.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T - logika dodatnia (bo Y)
… a kiedy Pani skłamie?
U.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do teatru (~T=1) i nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=~K*~T
Zapiszmy zdanie U w kodowaniu zero-jedynkowym D456 zgodnym z tabelą zero-jedynkową operatora OR (ABCD456):
Y=0 <=> p=0 i q=0
Nasz przykład:
Y=0 <=> K=0 i T=0
Odczytujemy:
U1.
Fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Y) gdy fałszem będzie (=0) że jutro pójdziemy do teatru (T) i fałszem będzie (=0) że jutro pójdziemy do kina (K)
Doskonale widać, że zdania U i U1 są matematycznie tożsame (na mocy prawa Prosiaczka), jest jednak oczywistym, że praktycznie niemożliwe jest porozumiewanie się człowieka z człowiekiem przy pomocy debilnych zer i jedynek.
Prawo Sowy:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki (obszar żywy)
Zauważmy że:
Na mocy prawa Sowy spójnik „lub”(+) w tabeli zero-jedynkowej ABCD456 to wyłącznie obszar z jedynkami w wyniku (ABC456). Linia D456 to obszar martwy, nie biorący udziału w logice.
Podobnie na mocy prawa Sowy obszar aktywny w tabeli ABCD789 to wyłącznie linia D789, bo tylko tu mamy w wyniku jedynkę. Obszar martwy to linie ABC789 z zerami w wyniku.
Definicje obszaru aktywnego i martwego w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) obszar aktywny, biorący udział w logice, to suma logiczna linii z jedynkami w wyniku, natomiast obszar martwy, nie biorący udziału w logice, to obszar opisany wynikowymi zerami. Obszar martwy jest wyłącznie uzupełnieniem obszaru aktywnego do pełnego operatora.
Można to ładnie przedstawić na kolorowym diagramie.
Rys. 5.1 Symboliczna i zero-jedynkowa definicja operatora OR
W definicji symbolicznej operatora OR wolno się poruszać wyłącznie po obszarach zielonych, żywych (aktywnych) w logice matematycznej.
Doskonale widać, że równania cząstkowe dla wszystkich linii w symbolicznej definicji operatora OR są identyczne, zarówno dla funkcji logicznej:
W: Y=p+q
jak i dla funkcji logicznej:
U: ~Y=~p*~q
Z kodowania zero-jedynkowego widzimy że:
Y#~Y
gdzie # w znaczeniu:
Y=1#~Y=1
Po skorzystaniu dla prawej strony z prawa Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Otrzymujemy znaczenie symbolu # w logice dodatniej (bo Y)
Y=1 # Y=0
czyli:
prawda (=1) jest różna # od fałszu (=0)
W powyższym diagramie zachodzi tożsamość wiedzy w spójnikach „lub”(+) i „i”(*).
Prawo tożsamości wiedzy w dowolnej tabeli zero-jedynkowej:
Jeśli wiemy kiedy zajdzie Y=1 (ABC456) to na pewno => wiemy kiedy zajdzie ~Y=1 (D789)
Zachodzi też odwrotnie:
Jeśli wiemy kiedy zajdzie ~Y=1 (D789) to na pewno => wiemy kiedy zajdzie Y=1 (ABC456)
Mamy pewne wynikanie w dwie strony, zatem to jest równoważność o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Podstawiając:
p=Y
q=~Y
Mamy:
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y) = 1*1 =1
Tego typu równoważność nosi nazwę „tożsamości wiedzy”
Prawo Sowy i wynikająca z niego tożsamość wiedzy w dowolnej tabeli zero-jedynkowej, jest powodem iż w równaniu logicznym opisującym nagłówek tabeli mogą być użyte spójniki „lub”(+) i „i”(*) mimo iż opisują one wyłącznie „połówkę” tabeli zero-jedynkowej, czyli wyłącznie wynikowe jedynki.
Oczywistym jest, że prawo tożsamości wiedzy w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) obowiązuje też w definicji symbolicznej.
Prawo tożsamości wiedzy w dowolnym zapisie symbolicznym:
Jeśli wiemy kiedy zajdzie Y=1 (ABC456) to na pewno => wiemy kiedy zajdzie ~Y=1 (D123)
Zachodzi też odwrotnie:
Jeśli wiemy kiedy zajdzie ~Y=1 (123) to na pewno => wiemy kiedy zajdzie Y=1 (ABC123)
5.2 Operator AND
Operator AND to operator symetryczny do operatora OR.
Ponownie udajmy się do przedszkola Nr.1 w 100-milowym lesie podglądając jak 5-cio letni inżynierowie Jaś i Zuzia projektują najprawdziwsze sterowanie windą.
Pani:
Powiedzcie mi dzieci co trzeba zrobić aby, jechać windą?
Jaś:
Aby jechać windą (J=1) trzeba wejść do windy, zamknąć drzwi (D=1) i nacisnąć przycisk piętro (P=1)
Ja = D * P
co matematycznie oznacza:
J=1 <=> D=1 i P=1
Pani:
Brawo Jasiu!
W.
Zatem winda pojedzie (J=1) tylko wtedy, gdy zamkniemy drzwi (D=1) i wciśniemy przycisk piętro (P=1)
Ja = D * P
co matematycznie oznacza:
Ja=1 <=> D=1 i P=1
Powiedzcie mi teraz dzieci kiedy winda na pewno nie pojedzie?
Zuzia:
U.
Winda na pewno nie pojedzie (~J=1) gdy nie zamkniemy drzwi (~D=1) lub nie wciśniemy przycisku piętro (~P=1)
~J = ~D+~P
co matematycznie oznacza:
~J=1 <=> ~D=1 lub ~P=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że winda nie pojedzie (~J) gdy nie zamkniemy drzwi (~D=1) lub nie wciśniemy przycisku piętro (~P=1)
Pani:
Czy potrafisz rozpisać szczegółowo wszystkie przypadki kiedy winda nie pojedzie?
Zuzia:
Winda nie pojedzie (~J=1) gdy:
B: ~Jb=~D*~P =1*1=1 - nie zamkniemy drzwi (~D=1) i nie wciśniemy piętra (~P=1)
lub
C: ~Jc=~D*P=1*1=1 - nie zamkniemy drzwi (~D=1) i wciśniemy piętro (P=1)
lub
D: ~Jd= D*~P =1*1=1 - zamkniemy drzwi (D=1) i nie wciśniemy piętro (~P=1)
Zauważmy, że między rozumowaniem Jasia i Zuzi zachodzi prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki
Jaś:
A: J=D*P
Zuzia:
B: ~J=~D+~P
Związek logiki dodatniej (bo J) i ujemnej (bo ~J).
Logika dodatnia (J) to zanegowana logika ujemna (~J):
J = ~(~J)
Podstawiając A i B mamy tożsamość logiczną, prawo de Morgana:
J = D*P = ~(~D+~P)
Fizyczna realizacja sterowania Jasia to banalna bramka AND(*) o definicji:
Y = p*q
Tożsama, fizyczna realizacja sterowania Zuzi to trzy negatory „~” plus bramka OR(+):
Y = ~(~p+~q)
Jak widzimy, Jaś zaprojektował sterowanie windą w logice dodatniej (bo J), natomiast Zuzia zaprojektowała sterowania windą w logice ujemnej (bo ~J).
Dokładnie w tak banalny sposób elektronicy praktycy projektują wszelkie sterowania w naturalnej logice człowieka, w logice bramek logicznych:
1.
Zawsze kiedy w naturalnej logice człowieka mówimy „i”(*) używamy bramki AND(*)
2.
Zawsze kiedy w naturalnej logice człowieka mówimy „lub”(+) używamy bramki OR(+)
To jest cała filozofia projektowania układów logicznych w naturalnej logice człowieka.
Zauważmy, że Jasia kompletnie nie interesuje sytuacja ~J, natomiast Zuzi nie interesuje sytuacja J.
Zapiszmy wszystkie zdania Jasia i Zuzi jedno pod drugim:
| Kod: |
Symboliczna definicja operatora AND
W: J=B*P
A: D* P = Ja
... a kiedy winda nie pojedzie?
Prawo przejścia do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez
negację zmiennych i wymianę spójników „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie
U:~J=~D+~P
B:~D*~P =~Jb
C:~D* P =~Jc
D: D*~P =~Jd
|
W logice nie operujemy parametrami aktualnymi (D, P, J) związanymi z konkretnym zadaniem, lecz parametrami formalnymi (zwykle symbole p, q i Y) niezależnymi do jakimkolwiek przykładem.
W algebrze Kubusia przejście z przykładu do zapisu formalnego ma przełożenie 1:1, co oznacza iż aby otrzymać zapis formalny operatora AND wystarczy podstawić:
D=p
P=q
J=Y
Symboliczna definicja operatora AND w zapisie formalnym.
| Kod: |
Symboliczna definicja operatora AND
W: Y=p*q
A: p* q = Ya
... a kiedy zajdzie ~Y?
Prawo przejścia do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez
negację zmiennych i wymianę spójników „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie
U:~Y=~p+~q
B:~p*~q =~Yb
C:~p* q =~Yc
D: p*~q =~Yd
|
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym W otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora AND w logice dodatniej (bo Y):
W: Y=p*q
Dla kodowania zgodnego ze zdaniem U otrzymamy zero-jedynkową definicję operatora OR w logice ujemnej (bo ~Y):
U: ~Y=~p+~q
| Kod: |
Definicja |Definicja |Definicja |
symboliczna |zero-jedynkowa |zero-jedynkowa |
operatora OR |operatora AND |operatora OR |
W: Y=p*q | p q Y=p*q |~p ~q ~Y=~p+~q | Y=~(~Y)=~(~p+~q)=p*q
A: p* q = Ya | 1 1 =1 | 0 0 =0 | =1
U:~Y=~p*~q | | |
B:~p*~q =~Yb | 0 0 =0 | 1 1 =1 | =0
C:~p* q =~Yc | 0 1 =0 | 1 0 =1 | =0
D: p*~q =~Yd | 1 0 =0 | 0 1 =1 | =0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
|
Kodowanie zero-jedynkowe dowolnej tabeli symbolicznej jest możliwe tylko i wyłącznie dzięki prawom Prosiaczka.
Prawa Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
(~p=1) = (p=0)
Algorytm zero-jedynkowego kodowania definicji symbolicznej poznaliśmy przy omawianiu definicji operatora OR.
Przypomnijmy w skrócie.
Punkt: D1=D4
(p=1) = (p=1) - wstawiamy do punktu D4 jeden
Punkt: D2=D5
(~q=1) = (q=0) - wstawiamy do punktu D5 zero
Punkt: D3=D6
(~Yd=1) = (Yd=0) - wstawiamy do punktu D6 zero
Po kompletnym zakodowaniu tabeli ABCD456 dalsze kolumny tworzymy poprzez zanegowanie kolumn z tej tabeli, choć można posługiwać się non-stop prawami Prosiaczka do samego końca.
Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 0 jest dowodem formalnym prawa De Morgana dla sumy logicznej:
p*q = ~(~p+~q)
Prawo De Morgana możemy też łatwo wyprowadzić z definicji symbolicznej operatora AND, bez tabeli zero-jedynkowej.
Z definicji symbolicznej mamy:
W: Y=p*q
U: ~Y=~p+~q
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y) - logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y=p*q = ~(~p+~q)
Związek logiki ujemnej i dodatniej:
~Y=~(Y) - logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p+~q = ~(p*q)
Prawo Sowy:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki
Linia A123 w tabeli symbolicznej operatora AND zakodowana jest zero-jedynkowo w linii A456.
Obszar BCD456 tej tabeli jest martwy i nie bierze udziału w logice.
Obszar BCD123 tabeli symbolicznej operatora AND zakodowany jest zero-jedynkowo w obszarze BCD789. Linia A789 w tej tabeli jest martwa i nie bierze udziału w logice.
Zauważmy że:
Na mocy prawa Sowy obszar żywy (spójnik „i”(+)) w tabeli zero-jedynkowej ABCD456 to wyłącznie linia A456. Obszar BCD456 jest martwy i nie bierze udziału w logice.
Podobnie na mocy prawa Sowy obszar żywy w tabeli ABCD789 to obszar BCD789, bo tylko tu widzimy jedynki w wyniku. Linia A789 jest martwa i nie bierze udziału w logice.
Definicje obszaru aktywnego i martwego w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) obszar aktywny, biorący udział w logice, to suma logiczna linii z jedynkami w wyniku, natomiast obszar martwy, nie biorący udziału w logice, to obszar opisany wynikowymi zerami. Obszar martwy jest wyłącznie uzupełnieniem obszaru aktywnego do pełnego operatora.
Można to ładnie przedstawić na kolorowym diagramie.
Rys. 5.2 Symboliczna i zero-jedynkowa definicja operatora AND
W definicji symbolicznej operatora AND wolno się poruszać wyłącznie po obszarach zielonych, aktywnych (żywych) w logice matematycznej.
Doskonale widać że równania cząstkowe dla wszystkich linii w symbolicznej definicji operatora AND są identyczne, zarówno dla funkcji logicznej:
W: Y=p*q
jak i dla funkcji logicznej:
U: ~Y=~p+~q
Z kodowania zero-jedynkowego widzimy że:
Y#~Y
gdzie # w znaczeniu:
Y=1#~Y=1
Po skorzystaniu dla prawej strony z prawa Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Otrzymujemy znaczenie symbolu # w logice dodatniej (bo Y)
Y=1 # Y=0
czyli:
prawda (=1) jest różna # od fałszu (=0)
W powyższym diagramie zachodzi tożsamość wiedzy w tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*).
Definicja tożsamości wiedzy w dowolnej tabeli zero-jedynkowej:
Jeśli wiemy kiedy zajdzie Y=1 (A456) to na pewno => wiemy kiedy zajdzie ~Y=1 (BCD789)
Zachodzi też odwrotnie:
Jeśli wiemy kiedy zajdzie ~Y=1 (BCD789) to na pewno => wiemy kiedy zajdzie Y=1 (A456)
Mamy pewne wynikanie w dwie strony, zatem to jest równoważność o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Podstawiając:
p=Y
q=~Y
Mamy:
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y) = 1*1 =1
Tego typu równoważność nosi nazwę „tożsamości wiedzy”
Prawo Sowy i wynikająca z niego tożsamość wiedzy w dowolnej tabeli zero-jedynkowej, jest powodem iż w równaniu logicznym opisującym nagłówek tabeli mogą być użyte spójniki „lub”(+) i „i”(*) mimo iż opisują one wyłącznie „połówkę” tabeli zero-jedynkowej, czyli wyłącznie wynikowe jedynki.
Oczywistym jest, że prawo tożsamości wiedzy w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) obowiązuje też w definicji symbolicznej.
Prawo tożsamości wiedzy w dowolnym zapisie symbolicznym:
Jeśli wiemy kiedy zajdzie Y=1 (A123) to na pewno => wiemy kiedy zajdzie ~Y=1 (BCD123)
Zachodzi też odwrotnie:
Jeśli wiemy kiedy zajdzie ~Y=1 (BCD123) to na pewno => wiemy kiedy zajdzie Y=1 (A123)
6.0 Rachunek zero-jedynkowy
Definicje podstawowe.
Zmienna binarna (techniczna algebra Boole’a):
Zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady:
p, q, ~r
Funkcja logiczna (techniczna algebra Boole’a):
Funkcja przyjmująca w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1 w zależności od aktualnego stanu zmiennych binarnych i użytego operatora logicznego.
Przykłady funkcji logicznych:
Y=p*q+~r
p=>q
gdzie:
„*”, „+”, => - operatory logiczne
Y, p=>q - funkcje logiczne
Funkcja logiczna opisana spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Funkcja logiczna Y (wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości wejściowych zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p+q - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y
Wszystkie możliwe definicje operatorów logicznych w algebrze Boole’a (dwuargumentowe):
| Kod: |
OR ~(OR) AND ~(AND)
p q + ~(+) * ~(*)
1 1 1 0 1 0
1 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 1
0 1 1 0 0 1
|
Algebra Boole’a to technika bramek logicznych.
Znaczenie symboli:
p, q - wejścia układu
Y - wyjście układu, kompletna kolumna wynikowa (<=>, => etc)
Maszynowa definicja operatora logicznego (techniczna algebra Boole’a):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe stany 0 i 1 na wejściach p i q
Operator logiczny to kompletna kolumna wynikowa Y będąca odpowiedzią na wszystkie możliwe wymuszenia 0 i 1 na wejściu układu. Pojedyńcze linie tabeli zero-jedynkowej nie są operatorami logicznymi.
Abstrakcyjnie maszynowy operator logiczny to czarna skrzynka o dwóch kabelkach wejściowych p i q oraz jednym wyjściu Y. Fizyczna budowa operatora logicznego jest nieistotna, w skrajnym przypadku może to być dowolna ilość układów cyfrowych np. milion. Aby zbadać z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia nie musimy wnikać w wewnętrzną budowę układu logicznego. Wystarczy że wykonamy zaledwie cztery kroki A, B, C i D podając na wejścia p i q wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 i zapisując odpowiedzi układu na wyjściu Y.
Kolejność wierszy w tabeli zero-jedynkowej nie ma żadnego znaczenia, możemy je dowolnie przestawiać. Istotne jest aby dowolnemu, uporządkowanemu wymuszeniu na wejściach p i q odpowiadała zawsze ta sama cyferka 0 albo 1.
W najpopularniejszej technice TTL cyfry 0 i 1 to po prostu napięcia które łatwo zmierzyć woltomierzem o znaczeniu:
0 = 0,0V-0,4V
1 = 2,4V-5.0V
Możliwe są też bramki świetlne, biologiczne, mechaniczne etc. Z punktu widzenia matematyki to kompletnie bez znaczenia.
6.1 Prawa De Morgana
Prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)
Dowód formalny w rachunku zero-jedynkowym:
| Kod: |
p q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q Y=~(~p*~q)
A: 1 1 =1 =0 0 0 =0 =1
B: 1 0 =1 =0 0 1 =0 =1
C: 0 1 =1 =0 1 0 =0 =1
D: 0 0 =0 =1 1 1 =1 =0
1 2 3 4 5 6 7 8 |
Prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
A1.
Y = p+q = ~(~p*~q)
Identyczne kolumny wynikowe 3 i 8
cnd
Prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
A2.
~Y = ~(p+q) = ~p*~q
Identyczne kolumny wynikowe 4 i 7
cnd
Z powyższego wynika, że tożsamości w równaniach logicznych możemy wyłącznie dwustronnie negować i korzystać z prawa podwójnego przeczenia. Nie ma tu czegoś takiego jak przeniesienie zmiennej na drugą stronę z przeciwnym znakiem, znane nam z matematyki klasycznej.
Bezpośrednio z A1 i A2 wynika prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
A1: Y=p+q - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
A2: ~Y=~p*~q - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)
Prawo De Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)
Dowód formalny w rachunku zero-jedynkowym:
| Kod: |
p q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p ~q ~Y=~p+~q Y=~(~p+~q)
A: 1 1 =1 =0 0 0 =0 =1
B: 1 0 =0 =1 0 1 =1 =0
C: 0 1 =0 =1 1 0 =1 =0
D: 0 0 =0 =1 1 1 =1 =0
1 2 3 4 5 6 7 8 |
Prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
B1.
Y = p*q = ~(~p+~q)
Identyczne kolumny wynikowe ABCD3 i ABCD8
cnd
Prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
B2.
~Y = ~(p*q) = ~p+~q
Identyczne kolumny wynikowe ABCD4 i ABCD7
cnd
Z powyższego wynika, że tożsamości w równaniach logicznych możemy wyłącznie dwustronnie negować i korzystać z prawa podwójnego przeczenia. Nie ma tu czegoś takiego jak przeniesienie zmiennej na drugą stronę z przeciwnym znakiem, znane nam z matematyki klasycznej.
Bezpośrednio z powyższego wynika prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
B1: Y=p*q - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki
B2: ~Y=~p+~q - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)
6.2 Równanie ogólne dla operatorów OR i AND
Równanie ogólne dla operatorów OR i AND:
| Kod: |
Operator OR ## Operator AND
Definicja symboliczna operatora OR ## Definicja symboliczna operatora AND
A1: Y=p+q ## B1: Y=p*q
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) ## Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y)
A2: ~Y=~p*~q ## B2: ~Y=~p+~q |
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Wszelkie znaczki z lewej strony znaku ## (Y,p,q) nie mają nic wspólnego ze znaczkami z prawej strony znaku ## (Y,p,q)
Pod parametry formalne p i q po obu stronach znaku ## możemy podstawiać co nam się podoba, w szczególności identyczne parametry aktualne.
Definicje.
1.
Parametry formalne:
Parametry formalne to ogólne nazwy zmiennych binarnych wejściowych (w logice zwykle p, q, r) wynikające z rachunku zero-jedynkowego bez związku ze światem fizycznym.
Przykład:
Y=p+q
Parametry formalne to:
p, q
2.
Parametry aktualne:
Parametry aktualne to podstawione w miejsce parametrów formalnych zmienne ze świata fizycznego
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Parametry aktualne to:
K = Kino
T=Teatr
6.3 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
Definicja zero-jedynkowa (maszynowa) operatora OR:
| Kod: |
p q Y=p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
1 2 3 |
Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora OR:
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0
Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora OR:
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1
Dowody formalne:
| Kod: |
p ~p 1 0 p+1 p+0 p+~p
A: 1 0 1 0 1 1 1
B: 0 1 1 0 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 |
Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p+0=p
czego dowodem jest tożsamość kolumn 1 i 6.
Definicja zero-jedynkowa (maszynowa) operatora AND:
| Kod: |
p q Y=p*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 1 =0
D: 0 0 =0
1 2 3 |
Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora AND:
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0
Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora AND:
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0
Dowody formalne:
| Kod: |
p ~p 1 0 p*1 p*0 p*~p
A: 1 0 1 0 1 0 0
B: 0 1 1 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7 |
Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p*1=p
czego dowodem jest tożsamość kolumn 1 i 5.
Fundament algebry Boole’a:
p*~p =0
p+~p =1
Przydatne prawa dodatkowe
Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r
Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r
Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s
Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)
Najważniejszym prawem algebry Boole’a jest prawo przejścia do logiki przeciwnej.
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Przykład:
Y=p+q(r+~s)
Algorytm Wuja Zbója:
A.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki
Y = p+[q*(r+~s)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub [q=1 i (r=1 lub ~s=1)]
B.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne, „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie
~Y = ~p*[~q+(~r*s)]
C.
Opuszczamy zbędne nawiasy
~Y = ~p*(~q+~r*s)
Powyższe równanie to postać koniunkcyjno-alternatywna, sprzeczna z naturalną logiką człowieka, co wkrótce udowodnimy. Mnożąc zmienną ~p przez wielomian otrzymamy postać alternatywno-koniunkcyjną, zgodną z naturalną logiką człowieka.
D.
~Y = ~p*~q + ~p*~r*s
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~p*~q)=1 lub (~p*~r*s)=1
Kolejność wykonywania działań zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej:
Nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i C mamy prawo De Morgana dla naszej funkcji logicznej A.
Y = p+q*(r+~s) = ~[~p*(~q+~r*s)]
Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
0. Y = p*q + p*~q + ~p*q
1. Y = p(q+~q) + ~p*q
2. Y = p*1 + ~p*q
3. Y = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=p
Mamy:
3. Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
4. ~Y = ~p*(p+~q)
5. ~Y = p*~p + ~p*~q
6. ~Y = 0 + ~p*~q
7. ~Y = ~p*~q
Wykorzystane prawa
4. Przejście do logiki ujemnej
5. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
6. p*~p=0
7. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd
Układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR w algebrze Kubusia.
Twierdzenie przydatne w minimalizacji równań logicznych.
Twierdzenie:
Dowolny fragment funkcji logicznej wolno nam wydzielić i zapisać jako niezależną funkcję logiczną, którą po minimalizacji możemy z powrotem wstawić do układu.
Przydatność tego twierdzenia poznamy na przykładzie:
Zminimalizuj funkcję logiczną Y metodą równań algebry Boole’a:
A: Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r
Rozwiązanie:
Y = ~p*q*~r + ~p*~q(r+~r) /wyciągnięcie ~p*~q przed nawias
Y = ~p*q*~r + ~p*~q /r+~r=1; ~p*~q*1 =~p*~q
Y = ~p(q*~r+~q) /wyciągnięcie ~p przed nawias
B: Y = ~p*(z) / Podstawienie: z=q*~r+~q
------------------------------------------------------
z=(q*~r) + ~q
Przejście do logiki ujemnej (bo ~z) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~z = (~q+r)*q
~z = ~q*q + r*q /po wymnożeniu wielomianu
~z = r*q /~q*q=0; 0+r*p = r*p
~z = q*r
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
z = ~q + ~r / Funkcja logiczna „z” po minimalizacji
------------------------------------------------------------------
B: Y = ~p*(z) /Przepisanie równania B
C: Y = ~p*(~q + ~r) / Podstawienie zminimalizowanej funkcji „z”
Po wymnożeniu zmiennej przez wielomian mamy:
D: Y = ~p*~q + ~p*~r
Funkcje C i D to funkcje minimalne, których nie da się dalej minimalizować.
6.4 Prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym
Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja implikacji prostej:
| Kod: |
p q p|=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1 |
Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
p q p|~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0 |
I prawo Kubusia:
Implikacja prosta |=> w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją odwrotną |~> w logice ujemnej (bo ~q)
p|=>q = ~p|~>~q
Dowód formalny I prawa Kubusia:
| Kod: |
p q p|=>q ~p ~q ~p|~>~q
A: 1 1 =1 0 0 =1
B: 1 0 =0 0 1 =0
C: 0 0 =1 1 1 =1
D: 0 1 =1 1 0 =1
1 2 3 4 5 6 |
Tożsamość kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym I prawa Kubusia:
p|=>q = ~p|~>~q
W tym przypadku parametry formalne p i q muszą być tymi samymi parametrami.
II prawo Kubusia:
Implikacja odwrotna |~> w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją prostą |=> w logice ujemnej (bo ~q)
p|~>q = ~p|=>~q
Dowód formalny II prawa Kubusia:
| Kod: |
p q p|~>q ~p ~q ~p|=>~q
A: 1 1 =1 0 0 =1
B: 1 0 =1 0 1 =1
C: 0 0 =1 1 1 =1
D: 0 1 =0 1 0 =0
1 2 3 4 5 6 |
Tożsamość kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym II prawa Kubusia:
p|~>q = ~p|=>~q
W tym przypadku parametry formalne p i q muszą być tymi samymi parametrami.
W implikacji nie zachodzi przemienność argumentów.
Przemienność argumentów w implikacji prostej:
| Kod: |
p q p|=>q q p q|=>p
A: 1 1 =1 1 1 =1
B: 1 0 =0 0 1 =1
C: 0 0 =1 0 0 =1
D: 0 1 =1 1 0 =0
1 2 3 4 5 6 |
Brak tożsamości kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym braku przemienności argumentów w implikacji prostej.
p|=>q # q|=>p
gdzie:
# - różne (w znaczeniu kolumny wynikowe są różne)
Po obu stronach znaku # mamy to samo p i q.
Oznacza to że jeśli zdanie p|=>q jest prawdziwe to zdanie q|=>p będzie fałszywe (odwrotnie nie zachodzi).
6.5 Tworzenie równań logicznych z tabeli zero-jedynkowej
Dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możliwe jest utworzenie dwóch równań logicznych:
Y=? - równanie w logice dodatniej (bo Y) opisujące wynikowe jedynki
~Y=? - równanie w logice ujemnej (bo ~Y) opisujące wynikowe zera
Zobaczmy to na przykładzie operatora równoważności:
| Kod: |
Definicja |Sprowadzenie
zero-jedynkowa |zmiennych do
|jedynek
p q Y |
A: 1 1 =1 | p* q = Ya
B: 1 0 =0 | p*~q =~Yb
C: 0 0 =1 |~p*~q = Yc
D: 0 1 =0 |~p* q =~Yd
1 2 3 4 5 6
|
I.
Równanie opisujące wynikowe jedynki w tabeli zero-jedynkowej ABCD123 tworzymy w trzech krokach.
Krok 1
Spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: p=0 i q=0
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
Prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Stąd:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Krok 3
Wspólnym punktem odniesienia dla wszystkich równań logicznych jest jedynka, stąd pomijamy wszystkie jedynki otrzymując równanie algebry Boole’a.
1. Y = A: p*q + C: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
1. Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
II.
Równanie opisujące wynikowe zera w tabeli zero-jedynkowej ABCD123 również tworzymy w trzech krokach.
Krok 1
Spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy:
Y=0 <=> B: p=1 i q=0 lub D: p=0 i q=1
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek.
Prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Stąd:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Krok 3
Wspólnym punktem odniesienia dla wszystkich równań logicznych jest jedynka, stąd pomijamy wszystkie jedynki otrzymując równanie algebry Boole’a.
2. ~Y = B: p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
2. ~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Podsumowując mamy dwa równania algebry Boole’a:
1. Y = p*q + ~p*~q
2. ~Y = p*~q + ~p*q
Przechodzimy z równaniem 2 do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
2. ~Y = (p*~q) + (~p*q)
3. Y = (~p+q)*(p+~q)
Przechodzimy z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
1. Y = (p*q) + (~p*~q)
4. ~Y = (~p+~q)*(p+q)
Matematycznie zachodzi:
1=3
stąd:
1. Y = p*q + ~p*~q = (~p+q)*(p+~q)
Matematycznie zachodzi również:
2=4
stąd:
2. ~Y = p*~q + ~p*q = (~p+~q)*(p+q)
Funkcja logiczna typu 1 nosi nazwę funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
1. Y = p*q + ~p*~q - alternatywa koniunkcji
Funkcja logiczna typu 3 nosi nazwę funkcji koniunkcyjno-alternatywnej:
3. Y = (~p+q)*(p+~q) - koniunkcja alternatyw
Stąd mamy znane w matematyce twierdzenie:
Jeśli w tabeli zero-jedynkowej mamy więcej niż jedną wynikową jedynkę i więcej niż jedno wynikowe zero funkcja alternatywno-koniunkcyjna dla tej tabeli ma postać tożsamą koniunkcyjno-alternatywną.
Dowód tożsamości:
1. Y = p*q + ~p*~q = (~p+q)*(p+~q)
Mnożymy wielomian z prawej strony:
Y = (~p*q)*(p+~q)
Y = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q
;p*~p=0
;p+x=0
stąd:
Y = ~p*q + q*p
Y = p*q + ~p*~q
cnd
Dowód tożsamości 2=4 pozostawiam czytelnikowi.
6.6 Sprowadzanie zmiennych binarnych do jedynek
Przykład 1
Rozważmy zdanie wypowiedziane:
W.
Jutro pójdę do Asi lub Basi lub Czesi
Y=A+B+C
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A=1 lub B=1 lub C=1
… a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U.
~Y=~A*~B*~C
Stąd mamy odpowiedź:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę ani do Asi (~A=1), ani do Basi (~B=1), ani też do Czesi (~C=1)
~Y=~A*~B*~C
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~A=1 i ~B=1 i ~C=1
Ze zdania U wynika, że skłamię w jednym jedynym przypadku, gdy jutro nie pójdę do żadnej z dziewczyn. W przeciwnym razie dotrzymam słowa.
Dla trzech zmiennych binarnych możliwych jest osiem różnych przypadków (2^3=8), wynika z tego że dotrzymać słowa mogę aż na 7 możliwych sposobów, natomiast skłamać wyłącznie na jeden sposób. W ogólnym przypadku dotrzymanie słowa (Y=1) i skłamanie (~Y=1) możliwe jest na wiele różnych sposobów, matematycznie to bez znaczenia, logika matematyczna superprecyzyjnie i w 100% pewnie odpowiada na pytanie w jakich przypadkach jutro dotrzymam słowa, a w jakich skłamię.
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol którego wartość logiczna nie jest znana
Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol którego wartość logiczna jest znana
W dniu dzisiejszym nasze symbole A, B i C na pewno nie są stałymi binarnymi, bowiem nie znamy ich wartości logicznej (nikt nie zna przyszłości). Skoro nie są stałymi binarnymi to muszą być zmiennymi binarnymi, innej możliwości matematycznej nie ma. Oczywiście możemy się abstrakcyjnie przenieść do pojutrze i symulować różne warianty, co nie zmienia faktu że w dniu dzisiejszym mamy do czynienia ze zmiennymi binarnymi A, B i C o nieznanej wartości logicznej.
Zauważmy, że istotna jest tu informacja kiedy jutro skłamię natychmiast po wypowiedzeniu zdania:
A.
Jutro pójdę do Asi lub Basi lub Czesi
… by tego kłamstwa uniknąć!
Informacja „kiedy skłamałem”, czyli pojutrze, jest musztardą po obiedzie.
Wynika z tego że istotna jest logika operująca na zmiennych binarnych, których wartości logicznej nie znamy.
Definicja logiki matematycznej w algebrze Kubusia:
Logika to matematyczny opis nieznanego
Załóżmy że jest jutro i w naszym przykładzie przed południem byliśmy już u Asi, ale nie byliśmy jeszcze u Basi i Czesi.
Nasze równanie przyjmuje postać:
Y = A+B+C = 1+B+C =1
Oczywiście w tym momencie dotrzymaliśmy słowa, dalsze nasze działania są kompletnie bez znaczenia. Nieistotne są nasze nocne wycieczki do Basi, czy też Czesi.
Tuz po wizycie u Asi rozkład zmiennych i stałych w naszym równaniu jest następujący:
A=1 - byliśmy u Asi, to jest stała symboliczna o wartości logicznej jeden
B=x, C=x - to są zmienne binarne o jeszcze nie znanej wartości logicznej.
Załóżmy że nigdzie więcej nie poszliśmy.
Zauważmy że równo z północą zmienne binarne A i C automatycznie przyjmują wartość logiczną zero.
B=0 - wczoraj nie byliśmy u Basi
C=0 - wczoraj nie byliśmy u Czesi
Po jutrze wszystko jest zdeterminowane, wiemy wszystko:
Y = A+B+C = 1+0+0 =1 - dotrzymaliśmy słowa
W powyższym przykładzie logika matematyczna operuje wyłącznie na nieznanych zmiennych binarnych.
Rozważmy kolejny ciekawy przykład.
Przykład 2
Poszukujemy mordercę, morderstwa dokonano w Warszawie, mamy 5 podejrzanych, w śledztwie ustalamy że tylko A i B byli w dniu morderstwa w Warszawie.
W tym momencie mamy następujący rozkład zmiennych i stałych binarnych.
A=1, B=1, C=0, D=0, E=0
Oczywiście zmienne A i B dalej są zmiennymi binarnym, bo zarówno A jak i B może być mordercą.
Natomiast C, D i E są stałymi binarnymi na które nie mamy wpływu, czasu nie da się cofnąć i zmusić C do bycia w Warszawie w dniu morderstwa.
W tym momencie wykopujemy stałe binarne C=0, D=0 i E=0 w kosmos. Kontynuujemy śledztwo w trakcie którego ustalamy iż to A jest mordercą, pod ciężarem dowodów A przyznaje się do morderstwa i tłumaczy na wizji lokalnej jak to zrobił.
KONIEC śledztwa!
Wszystkie zmienne binarne przeszły nam w stałe binarne:
A=1, B=0, C=0, D=0, E=0
Fundamentalne pytanie:
Po co komu tu dalsza logika?
Czy jest sens zastanawiać się że wszyscy początkowi podejrzani A, B, C, D i E mogli być mordercami, zatem dlaczego zabił A?
Wniosek:
W tym przypadku logika operująca na stałych binarnych jest kompletnie bez sensu
… ale uwaga!
Algebra Kubusia operuje na stałych, o ile te stałe służą do rozwiązania problemu.
Przykład 3
Weźmy katastrofę samolotu rządowego RP w Smoleńsku.
Najważniejsze przyczyny tej katastrofy to:
Czy była mgła?
Tak, M=1
Dopiero po „tak” zmienna binarna M=x przechodzi w stałą binarną M=1
Czy samolot leciał zbyt nisko?
Tak, N=1
Dopiero po „tak” zmienna binarna N=x przechodzi w stalą binarną N=1
To są stałe binarne które nie znikną po zakończeniu śledztwa, będą w związku z katastrofą na zawsze.
Oczywistym jest że wyłącznie idiota będzie tu rozważał przypadki co by było gdyby:
Gdyby nie było mgły?
M=0
Gdyby samolot nie leciał zbyt nisko?
N=0
etc
Definicja logiki w algebrze Kubusia.
Logika to matematyczny opis nieznanego
Wnioski:
Z logiki usuwamy wszelkie zmienne które w trakcie rozwiązywania nieznanego przeszły w stałe binarne o wartości logicznej fałsz (=0) np. szukanie mordercy wyżej.
AK zajmuje się stałymi binarnymi o wartości logicznej prawda (=1) o ile mają one związek z rozwiązywaniem nieznanego np. katastrofa Smoleńska
6.7 Tworzenie tabel zero-jedynkowych z równań logicznych
Kluczową sprawą jest zaakceptowanie przez Ziemian faktu iż w dowolnym równaniu logicznym mamy do czynienia ze zmiennymi binarnymi sprowadzonymi do jedynek, przykłady wyżej. Poznajmy teraz formalny dowód matematyczny, oderwany od jakichkolwiek przykładów. Przy okazji poznamy technikę tworzenia tabel zero-jedynkowych z równań algebry Boole’a.
Dowód na przykładzie tabeli równoważności w spójnikach „lub”(+) i ‘i”(*)
| Kod: |
Definicja |Sprowadzenie |Sprowadzenie |Sprawdzenie poprzez
zero-jedynkowa |zmiennych do |zmiennych do |przejście z tabelą ABCD456
|jedynek |zera |do logiki przeciwnej
p q Y | | |
A: 1 1 =1 | p* q = Ya |~p+~q =~Ya | p* q = Ya
B: 1 0 =0 | p*~q =~Yb |~p+ q = Yb | p*~q =~Yb
C: 0 0 =1 |~p*~q = Yc | p+ q =~Yc |~p*~q = Yc
D: 0 1 =0 |~p* q =~Yd | p+~q = Yd |~p* q =~Yd
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Tożsamość tabel ABCD123 i ABCD789 jest dowodem, iż nie ma znaczenia czy zmienne będziemy sprowadzać do jedynek (tabela ABCD123) czy też do zera (tabela ABCD456).
Tabelę ABCD123 opisuje układ równań logicznych:
1.
Y = Ya+Yc
Y = A: p*q + C: ~p*~q
2.
~Y=~Yb+~Yd
~Y = B: p*~q + D: ~p*q
Tabelę ABCD456 opisuje układ równań logicznych:
3.
Y = Yb*Yd
Y = B: (~p+q)* D: (p+~q)
4.
~Y=~Ya*~Yc
~Y = A: (~p+~q)*C: (p+q)
Matematycznie zachodzi:
1=3
stąd:
Y = p*q + ~p*~q = (~p+q)*(p+~q)
Matematycznie zachodzi:
2=4
~Y=p*~q + ~p*q = (~p+~q)*(p+q)
I.
Sprawdzenie w rachunku zero-jedynkowym:
1. Y= A: p*q+ C: ~p*~q
| Kod: |
p q Y ~Y | p q Ya= p* q | ~p ~q Yc=~p*~q | Y=Ya+Yc
A: 1 1 =1 =0 | 1 1 =1 | 0 0 =0 | =1
B: 1 0 =0 =1 | 1 0 =0 | 0 1 =0 | =0
C: 0 0 =1 =0 | 0 0 =0 | 1 1 =1 | =1
D: 0 1 =0 =1 | 0 1 =0 | 1 0 =0 | =0
a b c d 1 2 3 4 5 6 7
|
Doskonale widać, że w równaniu 1 mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek.
ABCD1234567:
1. Y = p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
1. Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Oczywiście chodzi tu wyłącznie o obszary żywe (aktywne) mające w wyniku jedynki, opisane nagłówkiem tabeli zero-jedynkowej. Tabele BCD123, ABCD456 oraz Ya+Yc.
III
Sprawdzenie w rachunku zero-jedynkowym:
3. Y = B: (~p+q)* D: (p+~q)
| Kod: |
p q Y ~Y |~p q Yb=~p+ q | p ~q Yd= p+~q | Y=Yb*Yd
A: 1 1 =1 =0 | 0 1 =1 | 1 0 =1 | =1
B: 1 0 =0 =1 | 0 0 =0 | 1 1 =1 | =0
C: 0 0 =1 =0 | 1 0 =1 | 0 1 =1 | =1
D: 0 1 =0 =1 | 1 1 =1 | 0 0 =0 | =0
a b c d 1 2 3 4 5 6 7
|
Doskonale widać, że w równaniu 3 mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek.
3. Y = (~p+q)*(p+~q)
co matematycznie oznacza:
3. Y=1 <=> (~p=1 lub q=1) i (p=1 lub ~q=1)
Oczywiście chodzi tu wyłącznie o obszary żywe (aktywne) mające w wyniku jedynki, opisane nagłówkiem tabeli zero-jedynkowej. Tabele ABCD123, ABCD456 oraz Yb*Yd
Przejdźmy z funkcją III na postać alternatywno-koniunkcyjną poprzez wymnożenie wielomianów.
Y = (~p+q)*(p+~q)
Y = ~p*p + ~p*~q + p*q + q*~q
Y = p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Doskonale widać, że funkcja 3 jest identyczna jak funkcja 1 wyżej.
II.
Sprawdzenie rachunkiem zero-jedynkowym:
2. ~Y = B: p*~q + D: ~p*q
| Kod: |
p q Y ~Y | p ~q ~Yb= p*~q | ~p q ~Yd=~p* q |~Y=~Yb+~Yd
A: 1 1 =1 =0 | 1 0 =0 | 0 1 =0 | =0
B: 1 0 =0 =1 | 1 1 =1 | 0 0 =0 | =1
C: 0 0 =1 =0 | 0 1 =0 | 1 0 =0 | =0
D: 0 1 =0 =1 | 0 0 =0 | 1 1 =1 | =1
a b c d 1 2 3 4 5 6 7
|
Doskonale widać, że w równaniu 2 mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek.
ABCD1234567:
2. ~Y = p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
2. ~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Oczywiście chodzi tu wyłącznie o obszary żywe (aktywne) mające w wyniku jedynki, opisane nagłówkiem tabeli zero-jedynkowej. Tabele ABCD123, ABCD456 oraz ~Yb+~Yd
IV.
Sprawdzenie w rachunku zero-jedynkowym:
4. ~Y = A: (~p+~q)*C: (p+q)
| Kod: |
p q Y ~Y |~p ~q ~Yb=~p+~q | p q ~Yd= p+ q |~Y=~Yb*~Yd
A: 1 1 =1 =0 | 0 0 =0 | 1 1 =1 | =0
B: 1 0 =0 =1 | 0 1 =1 | 1 0 =1 | =1
C: 0 0 =1 =0 | 1 1 =1 | 0 0 =0 | =0
D: 0 1 =0 =1 | 1 0 =1 | 0 1 =1 | =1
a b c d 1 2 3 4 5 6 7
|
Doskonale widać, że w równaniu 4 mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek:
4. ~Y = (~p+~q)*(p+q)
co matematycznie oznacza:
4. ~Y=1 <=> (~p=1 lub ~q=1) i (p=1 lub q=1)
Oczywiście chodzi tu wyłącznie o obszary żywe (aktywne) mające w wyniku jedynki, opisane nagłówkiem tabeli zero-jedynkowej. Tabele ABCD123, ABCD456 oraz ~Yb*~Yd
Przejdźmy do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej poprzez wymnożenie wielomianów:
~Y = (~p+~q)*(p+q)
~Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q
~Y = p*~q + ~p*q
Doskonale widać, że funkcja 4 jest identyczna jak funkcja 2.
Na placu boju pozostały nam wyłącznie funkcje 1 i 2
Oznacza to, że w logice istotna jest jedna tabela zero-jedynkowa i dwie funkcje postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
| Kod: |
Definicja |Sprowadzenie
zero-jedynkowa |zmiennych do
|jedynek
p q Y |
A: 1 1 =1 | p* q = Ya
B: 1 0 =0 | p*~q =~Yb
C: 0 0 =1 |~p*~q = Yc
D: 0 1 =0 |~p* q =~Yd
1 2 3
|
Tabelę ABCD123 opisuje układ równań logicznych:
1.
Y = Ya+Yc
Y = A: p*q + C: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
2.
~Y=~Yb+~Yd
~Y = B: p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Rozważmy funkcję 1
1. Y= A: p*q+ C: ~p*~q
| Kod: |
p q Y ~Y | p q Ya= p* q | ~p ~q Yc=~p*~q | Y=Ya+Yc ~Y=~(Y)
A: 1 1 =1 =0 | 1 1 =1 | 0 0 =0 | =1 =0
B: 1 0 =0 =1 | 1 0 =0 | 0 1 =0 | =0 =1
C: 0 0 =1 =0 | 0 0 =0 | 1 1 =1 | =1 =0
D: 0 1 =0 =1 | 0 1 =0 | 1 0 =0 | =0 =1
a b c d 1 2 3 4 5 6 7 8
|
Doskonale widać, że w równaniu 1 mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek.
ABCD1234567:
1. Y = p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
1. Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y).
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
1U: ~Y = ~(Y)
Podstawiając 1 mamy:
1U. ~Y = ~(Y) = ~(p*q+~p*~q)
Z równania widać, że zmienne w nawiasie sprowadzone są do jedynek względem Y a nie względem ~Y.
Czyli najpierw budujemy funkcję logiczną:
1. Y=p*q+~p*~q
co matematycznie oznacza:
1. Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
.. a dopiero na końcu negujemy funkcję Y co pokazano w kolumnie 8
1U. ~Y = ~(Y)
Jak pozbyć się niedogodności związanej z analizą wewnętrznej budowy funkcji logicznej ~Y?
Wystarczy przejść z funkcją 1U na postać alternatywno-koniunkcyjną:
1U. ~Y = ~(p*q+~p*~q)
~Y = ~(z) =~z
z=(p*q) + (~p*~q)
~z = (~p+~q)*(p+q)
~z = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q
~z = p*~q + ~p*q
1U. ~Y = p*~q +~p*q
co matematycznie oznacza:
1U. ~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Doskonale widać, że matematycznie zachodzi:
1U = 2 - bo prawe strony są identyczne
Rozważmy funkcję 2
2. ~Y = B: p*~q + D: ~p*q
| Kod: |
p q Y ~Y | p ~q ~Yb= p*~q | ~p q ~Yd=~p* q |~Y=~Yb+~Yd Y=~(~Y)
A: 1 1 =1 =0 | 1 0 =0 | 0 1 =0 | =0 =1
B: 1 0 =0 =1 | 1 1 =1 | 0 0 =0 | =1 =0
C: 0 0 =1 =0 | 0 1 =0 | 1 0 =0 | =0 =1
D: 0 1 =0 =1 | 0 0 =0 | 1 1 =1 | =1 =0
a b c d 1 2 3 4 5 6 7 8
|
Doskonale widać, że w równaniu 2 mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek.
ABCD1234567:
2. ~Y = p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
2. ~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo Y).
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y):
2D. Y = ~(~Y)
Podstawiając 2 mamy:
2D. Y = ~(~Y) = ~(p*~q+~p*q)
Z tego równania widać że zmienne w nawiasie sprowadzone są do jedynek ale względem ~Y a nie względem Y.
Czyli najpierw budujemy funkcję logiczną:
2. ~Y=p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
2. ~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
… a dopiero na końcu negujemy kolumnę wynikową:
2D. Y=~(~Y)
Jak to pokazano w tabeli wyżej (kolumna 8).
To jest oczywista niedogodność wnikania w strukturę równania algebry Boole’a.
Jak się tej niedogodności pozbyć?
Bardzo prosto, wystarczy dowolne równanie algebry Boole’a sprowadzić do postaci zgodnej z naturalną logią człowieka, czyli do postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
Zróbmy to z naszym prawem De Morgana:
2D. Y = ~(~Y) = ~(p*~q+~p*q)
Y = ~(z) =~z
z=(p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~z = (~p+q)*(p+~q)
~z = ~p*p + ~p*~q + p*q + q*~q
~z = p*q + ~p*~q
Stąd mamy:
2D: Y = p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
2D: Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Doskonale widać że matematycznie zachodzi:
2D = 1 - bo prawe strony są identyczne
Wniosek:
W dowolnym równaniu alternatywno-koniunkcyjnym mamy 100% pewność iż wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek w przełożeniu 1:1, nie musimy rozważać wewnętrznej struktury równania logicznego.
Stąd mamy superważne twierdzenie.
Twierdzenie o funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
W dowolnej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek.
Twierdzenie o zgodności funkcji alternatywno-koniunkcyjnej z naturalną logiką człowieka:
Postać alternatywno-koniunkcyjna jest zgodna z naturalną logiką człowieka
Postać koniunkcyjno-alternatywna jest sprzeczna z naturalną logiką człowieka
Wynika z tego że jeśli chcemy operować w naturalnej logice człowieka to musimy dowolną funkcję logiczną sprowadzić do postaci alternatywno-koniunkcyjnej, gdzie mamy prostą gwarancję sprowadzenia wszystkich zmiennych do jedynek. Ten problem omówimy w punkcie niżej.
6.8 Logika człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
Definicja naturalnej logiki człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Naturalną logiką człowieka są postaci: alternatywna, koniunkcyjna, alternatywno-koniunkcyjna
Postać alternatywna:
Y = A1+A2+ … An
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub … An=1
Postać koniunkcyjna:
Y = A1*A2* … An
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A1=1 i A2=1 i … An=1
Postać alternatywno-koniunkcyjna to suma logiczna iloczynów cząstkowych:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Aksjomat:
W naturalnej logice człowieka domyśla kolejność spójników to:
„i”(*), „lub”(+)
Definicja logiki sprzecznej z naturalną logiką człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Logiką sprzeczną z naturalną logiką człowieka jest postać koniunkcyjno-alternatywna.
Postać koniunkcyjno-alternatywna to iloczyny logiczne sum cząstkowych:
Y = (p+q)*(r+~q)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p+q)=1 i (r+~q)=1
Twierdzenie:
Przejście z postaci koniunkcyjno-alternatywnej do postaci alternatywno-koniunkcyjnej (logiki człowieka) to po prostu wymnożenie wielomianów.
Przykład:
Y = (p+q)*(r+~q)
Y = p*r + p*~q + q*r + q*~q
Y = p*r + p*~q + q*r
Dowód sprzeczności postaci koniunkcyjno-alternatywnej z naturalną logiką człowieka poprzez znalezienie kontrprzykładu.
Rozważmy zdanie:
W.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y = K+B*P
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub (B*P)=1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej zostanie ustawiony na jeden i już dotrzymałem słowa, wartości logicznej drugiego składnika nie musimy sprawdzać.
… a kiedy skłamię?
Przechodzimy ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników otrzymując postać koniunkcyjno-alternatywną:
U1.
~Y = ~K*(~B+~P)
Mnożymy zmienną przez wielomian:
~Y = ~K*~B + ~K*~P
Ostatnie równanie to postać alternatywno-koniunkcyjna, naturalna logika człowieka.
Stąd:
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina i nie pójdę na basem lub nie pójdę do kina i nie pójdę do parku
~Y = ~K*~B + ~K*~P
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~K*~B)=1 lub (~K*~P)=1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej zostanie ustawiony na jeden i już skłamałem (~Y=1), drugiego składnika nie musimy sprawdzać.
Załóżmy że jest pojutrze i zaszło:
~Y = ~K*~B = 1*1 =1 - nie byłem w kinie (~K=1) i nie byłem na basenie (~B=1)
czyli:
Skłamałem (~Y=1), drugiego członu alternatywy nie muszę sprawdzać
Natomiast postać koniunkcyjno-alternatywna, mimo że prosta, dla normalnego człowieka będzie niezrozumiała.
U1.
~Y=~K*(~B+~P)
Dowód:
U2.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)
W naturalnej logice człowieka domyśla kolejność spójników to:
„i”(*), „lub”(+)
Każdy normalny człowiek słysząc zdanie U2 zrozumie i zapisze je jako:
~Y=~K*~B + ~P
Dostaliśmy zapis kompletnie inny niż w równaniu U1, co jest dowodem sprzeczności postaci koniunkcyjno-alternatywnej z naturalną logiką człowieka.
cnd
Nawet jak wstawimy tu nawiasy kwadratowe:
U2.
Skłamię (~Y=1) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) i [nie pójdę na basen lub nie pójdę do parku (~B+~P)=1]
~Y = ~K*[~B+~P]
… to i tak żaden normalny człowiek tego nie zrozumie, mimo że funkcja jest banalnie prosta.
Jeśli zdanie U2 przekształcimy do postaci U poprzez wymnożenie zmiennej przez wielomian to zrozumie je każdy 5-cio latek.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 7:15, 20 Kwi 2015, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 9:27, 18 Maj 2015 Temat postu: |
|
|
Kluczowa i najważniejsza część algebry Kubusia!
Maksyma I Kubusia:
Każdą teorię, szczególnie absolutnie pionierską w dziejach ludzkości, algebrę Kubusia, można dopracowywać w nieskończoność
Im dłużej się myśli tym teoria jest doskonalsza
Myślenie w nieskończoność nie ma sensu
Kubuś
Maksyma II Kubusia:
Nie da się dostosować człowieka do jakiejkolwiek logiki formalnej, niezgodnej z jego naturalną logiką matematyczną - to paranoja.
Wniosek:
Należy szukać takiej logiki matematycznej, która poprawnie opisuje logikę matematyczną każdego człowieka, od 5-cio latka po prof. matematyki.
Oczywistym jest, że logika matematyczna pod którą człowiek podlega jest autorstwa Stwórcy naszego Wszechświata, człowiek może co najwyżej ją odkrywać, zmienić ani przecinka w niej nie może.
Kubuś
Algebra Kubusia
Logika matematyczna człowieka
Algebrę Kubusia doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na Ziemi, od 5-cio latka po prof. matematyki.
Temat:
Kluczowe części algebry Kubusia
Część III
Implikacja prosta |=>
Prośba do Fiklita, Idioty i Fizyka o uwagi na temat tego postu.
Spis treści
7.0 Implikacja i równoważność 1
7.1 Warunek wystarczający => i konieczny ~> 5
7.2 Implikacja prosta |=> 9
7.2.1 Implikacja prosta |=> w spójnikach implikacyjnych 16
7.2.2 Prawa logiczne implikacji prostej |=> w spójnikach implikacyjnych 20
7.2.3 Prawa logiczne implikacji prostej |=> w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) 23
7.2.4 Porównanie implikacji prostej w spójnikach implikacyjnych oraz w „lub”(+) i „i”(*) 26
7.0 Implikacja i równoważność
Operatory implikacji i równoważności to najważniejsze operatory logiczne naszego Wszechświata.
Królową jest implikacja, równoważność to wyjątki w morzu implikacji.
Twierdzenie o domyślnym spójniku „na pewno”=>:
W zdaniu „Jeśli p to q” spójnik implikacyjny „na pewno” => jest domyślny i zawsze można go wstawić do zdania o ile jawnie nie użyto spójnika implikacyjnego „może” (~> lub ~~>)
Definicja ogólna dania typu „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Zdanie tożsame:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
Terminologia:
p - poprzednik zdania „Jeśli p to q”
q - następnik zdania „Jeśli p to q”
Najpierw musi zajść zdarzenie p, z czego wynika zdarzenie q.
Zdania tożsame:
Jeśli będzie padało to będzie pochmurno
Jeśli będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH
Fundament algebry Kubusia dla zdań typu „Jeśli p to q” to definicje zaledwie trzech znaczków =>, ~> i ~~> oraz cztery precyzyjne definicje operatorów logicznych: |~~>, |=>, |~> i <=>.
Ogólne definicje spójników implikacyjnych:
p=>q - warunek wystarczający =>, wymuszam dowolne p i pojawia się q
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika q
p~~>q - kwantyfikator mały ~~>, możliwe jest jednoczesne zajście p i q
Definicja spójników implikacyjnych w zbiorach:
1.
=> - warunek wystarczający (kwantyfikator duży)
Zbiór na podstawie wektora => jest podzbiorem zbioru wskazywanego przez strzałkę wektora =>
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiór p jest podzbiorem zbioru q z czego wynika że:
Zajście p wystarcza => dla zajścia q
To samo zdanie zapisane kwantyfikatorem dużym:
Dla każdego elementu x, jeśli x należy do zbioru p(x) to na pewno => x należy do zbioru q(x)
/\x p(x)=>q(x)
Przykład:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Przynależność liczby do zbioru P8 daje nam gwarancję matematyczną => iż ta liczba należy także do zbioru P2
2.
~> - warunek konieczny
Zbiór na podstawie wektora ~> jest nadzbiorem zbioru wskazywanego przez strzałkę wektora ~>
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> zajścia q
Zabieram p i znika mi możliwość zajścia q
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Zabieram zbiór P2 i znika mi zbiór P8
3.
~~> - naturalny spójnik „może” ~~> (kwantyfikator mały)
Zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~~>q = p*q
Tu wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p i q co kończy dowód prawdziwości tego zdania.
To samo zdanie zapisane kwantyfikatorem małym:
\/x p(x)*q(x)
Istnieje element x należący jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 = P8*P2 =1 bo 8
Pokazuję jeden wspólny element zbiorów P8 i P2 co kończy dowód zdania zapisanego kwantyfikatorem małym ~~>.
Definicje operatorów logicznych w zbiorach
I.
Definicja operatora implikacji prostej |=>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
II.
Definicja operatora implikacji odwrotnej |~>:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
III.
Definicja równoważności <=>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy [p=q]
p<=>q = (p=>q)*[p=q]
IV.
Definicja operatora chaosu |~~>:
Zbiór p ma cześć wspólną ze zbiorem q i żaden z nich nie jest podzbiorem drugiego
p|~~>q
Zapis matematyczny:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(q=>p)
Prawo złotej rybki:
Dowolne zdanie „Jeśli p to q” to tylko i wyłącznie operacje na zbiorach albo na zdarzeniach.
Definicja zdarzenia:
Zdarzenie to zbiór jednoelementowy
Wszystkie możliwe zdarzenia dla dwóch argumentów p i q to:
| Kod: |
A: p* q =?
B: p*~q =?
C:~p*~q =?
D:~p* q =?
|
Prawo rozpoznawalności pojęcia:
Dowolne pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie ~p
Przykład wynikania => w zdarzeniach (zbiorach jednoelementowych):
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno=> będzie pochmurno
P=>CH
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno
Wymuszam padanie i pojawiają się chmury
Dziedzina:
Wszystkie możliwe sytuacje muszą być niepuste na mocy prawa rozpoznawalności pojęcia
P=1 - pada, sytuacja możliwa (=1)
~P=1 - nie pada sytuacja możliwa (=1)
CH=1 - chmury, sytuacja możliwa (=1)
~CH=1 - nie chmury, sytuacja możliwa (=1)
Przykład wynikania => w zbiorach:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru P8 jest warunkiem wystarczającym => na to, aby ta liczba należała do zbioru P2
Dziedzina:
LN - zbiór liczb naturalnych
Wszystkie możliwe zbiory muszą być niepuste na mocy prawa rozpoznawalności pojęcia
P8=[8,12,24..] =1 - zbiór istnieje (=1)
~P8=[LN-P8] =1 - zbiór istnieje (=1)
P2=[2,4,6,8..] =1 - zbiór istnieje (=1)
~P2=[LN-P2] = [1,3,5,7..] =1 - zbiór istnieje (=1)
Przyjęcie dziedziny szerszej zarówno od poprzednika p jak i następnika q jest naturalne zarówno w logice człowieka jak i w matematyce. W matematyce dziedzinę możemy ustalać dowolnie, możliwe są tu zatem mało istotne (bo w praktyce nie występujące) przypadki szczególne w których poprzednik lub następnik jest tożsamy z dziedziną. Przypadkami tymi zajmiemy się na końcu podręcznika po zapoznaniu się z definicjami operatorów implikacji i równoważności.
Poznajmy dwa twierdzenia dotyczące wspomnianych przypadków szczególnych:
Twierdzenie o warunku koniecznym istnienia implikacji:
Warunkiem koniecznym aby zdanie „Jeśli p to q” wchodziło w skład operatora implikacji jest założenie dziedziny szerszej zarówno od p jak i od q.
Twierdzenie o równoważności
Jeśli w zdaniu „Jeśli p to q” zbiory lub pojęcia p i q są tożsame to mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym wchodzącym w skład operatora równoważności, niezależnie od przyjętej dziedziny.
7.1 Warunek wystarczający => i konieczny ~>
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikpedia napisał: | Warunek wystarczający:
Warunek wystarczający (inaczej warunek dostateczny) - każdy warunek, z którego dany fakt wynika. Jeżeli warunek wystarczający zachodzi (wystarczy, by zachodził), wówczas zachodzi dany fakt.
Na przykład, jeżeli liczba jest podzielna przez 8, to jest podzielna przez 2. Fakt podzielności przez 8 jest warunkiem wystarczającym dla podzielności przez 2, natomiast fakt podzielności przez 2 jest warunkiem koniecznym dla podzielności przez 8. |
Zdania matematycznie tożsame to:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
C.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Matematycznie zachodzi tożsamość zdań:
A = B = C
Matematyczne kodowanie zdań A, B i C jest identyczne:
P8=[8,16,24..]
P2=[2,4,6,8,10..]
P8=>P2
Zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2
Dowód:
Rozważmy zdanie:
D.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 3
P8=>P3
Sprawdzamy losowo wybrane liczby:
24, 32, 40, 48 …
Dla wszystkich tych liczb (zbiór nieskończony!) wychodzi nam że podzielność liczby przez 8 wystarcza dla jej podzielności przez 3
Tylko czy aby na pewno prawdziwe jest zdanie, cytuję za Wikipedią:
Fakt podzielności przez 8 jest warunkiem wystarczającym dla podzielności przez 3
Wniosek:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
W zdaniu z Wikipedii dla określenia czy poprzednik jest wystarczający dla następnika, nie wystarczy sprawdzić czy dla jakichś tam konkretnych liczb ze zbioru P8 spełniony jest warunek wystarczający.
Musimy sprawdzić absolutnie wszystkie liczby ze zbioru P8, co wymusza tożsamość zdań A, B i C.
Zapiszmy zdanie A kwantyfikatorem dużym:
A.
/\x P8(x)=>P2(x)
Dla każdej liczby x, jeżeli liczba x należy do zbioru P8(x) to na pewno => należy do zbioru P2(x)
Warunkiem wystarczającym w zdaniu A jest kompletny zbiór P8(x).
Przynależność liczby x do zbioru P8(x) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby liczba x należała do zbioru P2(x).
Przynależność liczby x do zbioru P8(x) daje nam gwarancję matematyczną => iż liczba x należy do zbioru P2(x).
Wniosek:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że w zdaniu A rozpatrujemy wyłącznie liczby ze zbioru P8=[8,16,24..] bowiem dla liczb spoza tego zbioru nie może być mowy ani o warunku wystarczającym =>, ani też o gwarancji matematycznej =>. Dla liczb spoza zbioru P8 zdanie A jest fałszywe.
Dowód:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Kontrprzykład dla zdania A to prawdziwe zdanie B kodowane kwantyfikatorem małym ~~> z zanegowanym następnikiem.
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7..] są rozłączne.
Zauważmy, że jeśli w kontrprzykładzie B do zbioru P8 dołączmy choćby jedną liczbę ze zbioru ~P2=[1,3,5,7..] to kontrprzykład B będzie prawdziwy, co pociągnie za sobą fałszywość zdania A.
cnd
1.
Warunek wystarczający =>
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Zbiór P8 jest podzbiorem P2, zatem w zbiorach zachodzi:
P8=>P2 = [P8*P2=P8]
Przynależność dowolnej liczby do zbioru P8 jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ta liczba należała do zbioru P2.
Warunkiem wystarczającym => jest tu kompletny zbiór P8.
Oczywistym jest, że w zbiorze P2 może być dowolnie więcej elementów niż w zbiorze P8, to bez znaczenia.
Wymuszam dowolny element ze zbioru P8 i mam gwarancję matematyczną => iż ten element należy do zbioru P2
Zauważmy, że zdanie urwane w połowie:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8
P8=>
Jest kompletnie bez sensu, w tym zdaniu nie wolno nam mówić o jakimkolwiek warunku wystarczającym bo nie znamy następnika.
Dopiero całe zdanie poprawnie definiuje warunek wystarczający =>.
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Najważniejszą częścią tego zdania jest bezdyskusyjnie ten znaczek => informujący o fakcie iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2.
Uwaga!
Dokładnie z tego powodu warunek wystarczający można i należy utożsamiać ze znaczkiem =>, bo on jest tu kluczowy i najważniejszy.
2.
Warunek konieczny ~>
W powyższej definicji zbiór P8 był podzbiorem P2.
Oczywistym jest, że po zamianie p i q w zdaniu „Jeśli p to q” zbiór P2 jest nadzbiorem ~> zbioru P8.
P2=[2,4,6,8..]
P8=[8,16,24..]
Stąd otrzymujemy definicję warunku koniecznego ~>.
AO.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór P2=[2.4.6.8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Zabieram zbiór P2 i znika mi zbiór P8
Zbiór P2 jest nadzbiorem zbioru P8, stąd w zbiorach zachodzi:
P2~>P8 = [P2*P8=P8]
Warunkiem koniecznym ~> jest tu kompletny zbiór P2
Minimalny zbiór P2 przy którym zachodzi warunek konieczny ~> to zbiór P8.
Oczywistym jest, że w zbiorze P2 może być dowolnie więcej elementów, to bez znaczenia.
Zauważmy, że zdanie urwane w połowie:
AO.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2
P2~>
Jest kompletnie bez sensu, w tym zdaniu nie wolno nam mówić o jakimkolwiek warunku koniecznym bo nie znamy następnika.
Dopiero całe zdanie poprawnie definiuje warunek konieczny.
AO.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór P2=[2.4.6.8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Zabieram zbiór P2 i znika mi zbiór P8
Najważniejszą częścią tego zdania jest bezdyskusyjnie ten znaczek ~> informujący o fakcie iż zbiór P2 jest nadzbiorem ~> zbioru P8.
Uwaga!
Dokładnie z tego powodu warunek konieczny można i należy utożsamiać ze znaczkiem ~>, bo on jest tu kluczowy i najważniejszy.
Prawo Kukułki:
Dowolne zdanie „Jeśli p to q” może być prawdzie wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest zdanie w tymi samymi p i q zakodowane naturalnym spójnikiem „może” ~~>.
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 = P8*P2 =1 bo 8
Zbiory P8 i P2 mają część wspólną, wystarczy pokazać jeden element co kończy dowód prawdziwości zdania A
Zauważmy, że prawdziwe jest również zdanie B, czyli zdanie A zakodowane warunkiem wystarczającym =>.
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]
Zdanie B jest prawdziwe tylko i wyłącznie dlatego że zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2, a nie dlatego że zbiór wynikowy [P8*P2=P8] jest zbiorem niepustym.
Między zdaniem A i B różnica jest fundamentalna, jednak warunkiem koniecznym prawdziwości zdania B jest prawdziwość zdania A.
Fałszywe jest zdanie C, czyli zdanie A zakodowane warunkiem koniecznym ~>
C.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> dla zbioru P2=[2,4,6,8..]
D.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0 - bo zbiory P8 i ~P2 są rozłączne
P8 = [8,16,24..]
~P2 = [LN-P2] = [1,3,5,7,9..]
Wykluczone jest aby w zdaniu D zachodził warunek wystarczający => lub konieczny ~> bowiem niemożliwe jest zdarzenie opisane naturalnym spójnikiem „może” ~~>, zbiory P8 i ~P2 są rozłączne.
Prawo Kukułki dla zdarzeń:
Dowolne zdanie „Jeśli p to q” operujące na zdarzeniach (zbiorach jednoelementowych) może być prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest zdanie w tymi samymi p i q zakodowane naturalnym spójnikiem „może” ~~>.
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1 - zdarzenie możliwe
B.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
zawsze gdy pada, są chmury
C.
Jeśli jutro będzie padało to może ~> być pochmurno
P~>CH =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo:
Zabieram opady deszczu nie wykluczając jednak możliwości iż jutro będzie pochmurno
D.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0 - zdarzenie niemożliwe
Wykluczone jest aby w zdaniu D zachodził warunek wystarczający => lub konieczny ~> bowiem niemożliwe jest zdarzenie opisane naturalnym spójnikiem „może” ~~>.
Wniosek z prawa Kukułki:
Dowolne zdanie „Jeśli p to q” ma szansę być prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy nie jest znana z góry wartość logiczna ani poprzednika p, ani też następnika q.
Prawo Kukułki eliminuje z logiki matematycznej wszelkie brednie w stylu:
A.
Jeśli kwadrat jest kołem to trójkąt ma trzy boki
B.
Przykład z podręcznika „matematyki” do I klasy LO:
[link widoczny dla zalogowanych]
Jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi
C.
Przykład autora logiki „matematycznej” Ziemian, Bertrandta Russella
[link widoczny dla zalogowanych]
Jeśli 2+2=5 to jestem Papieżem
Na mocy prawa Kukułki tego typu zdania „Jeśli p to q” są fałszywe bo poprzednik p jest bez związku z następnikiem q.
7.2 Implikacja prosta |=>
Definicja implikacji prostej w zdarzeniach:
A.
Jeśli zajdzie zdarzenie p to na pewno => zajdzie zdarzenie q
p=>q
Zajście p musi być warunkiem wystarczającym => dla zajścia q.
Jeśli dodatkowo pojęcia p i q nie są tożsame, co matematycznie zapisujemy ~[p=q] to warunek wystarczający A wchodzi w skład definicji implikacji prostej:
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Przykład:
W.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => na to, aby jutro było pochmurno
Dodatkowo pojęcia „pada” i „chmury” nie są tożsame bo nie zawsze kiedy są chmury, pada.
Nasze zdanie spełnia więc definicję implikacji prostej |=>:
P|=>CH = (P=>CH)*~[P=CH]
Definicja implikacji prostej w zbiorach:
Rys. 7.2.1 Implikacja prosta |=> w zbiorach
Definicja implikacji prostej |=> w zbiorach:
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
Definicja tożsama:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Pojęcia tożsame:
zawiera się => = jest podzbiorem =>
W tym podręczniku dość konsekwentnie będziemy używać pojęcia podzbiór, mimo że to bez znaczenia.
Definicja podzbioru:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy także do zbioru q
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Dodatkowo zbiory P8 i P2 nie są tożsame, co matematycznie zapisujemy ~[P8=P2]
Stąd spełniona jest definicja implikacji prostej |=> w logice dodatniej (bo P2):
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~[P8=P2]
Symboliczną definicję implikacji prostej |=> odczytujemy bezpośrednio z diagramu:
| Kod: |
p|=>q
A: p=> q =[ p* q= p] =1
B: p~~>~q=[ p*~q ] =0
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q
C:~p~>~q =[~p*~q=~q] =1
D:~p~~>q =[~p* q ] =1
|
Prawo algebry Kubusia:
Implikacja prosta |=> w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją odwrotną |~> w logice ujemnej (bo ~q)
p|=>q = ~p|~>~q
gdzie:
„=” - tożsamość logiczna (nie mylić z klasyczną tożsamością matematyczną)
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Matematycznie tożsamość wiedzy „=” to de facto równoważność.
Dowód formalny:
| Kod: |
Definicja |Definicja zero-jedynkowa |Definicja zero-jedynkowa
symboliczna |implikacji prostej |=> |implikacji odwrotnej |~>
implikacji |w logice dodatniej (bo q) |w logice ujemnej (bo ~q)
prostej p|=>q |W: p|=>q |U: ~p|~>~q
W: p q p|=>q | p q p|=>q |~p ~q ~p|~>~q
A: p=> q =1 | 1 1 =1 | 0 0 =1
B: p~~>~q=0 | 1 0 =0 | 0 1 =0
C:~p~>~q =1 | 0 0 =1 | 1 1 =1
D:~p~~>q =1 | 0 1 =1 | 1 0 =1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Prawo Bociana:
W dowolnej tabeli symbolicznej wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek
Prawo Bociana wynika bezpośrednio z prawa rozpoznawalności pojęcia (pkt. 7.0):
Pojecie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy jest rozpoznawalne pojęcie ~p
Tabele zero-jedynkowe otrzymujemy z definicji symbolicznej dzięki prawom Prosiaczka.
Prawa Prosiaczka:
I. (p=1) = (~p=0)
II. (~p=1) = (p=0)
Dla punktu odniesienia zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A w tabeli symbolicznej otrzymujemy tabelę zero-jedynkową implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q).
A: p=>q
Sygnałami odniesienia w tabeli zero jedynkowej implikacji prostej p|=>q są sygnały p i q.
Stąd mamy:
| Kod: |
Definicja symboliczna |Definicja zero-jedynkowa
operatora |=> |operatora implikacji prostej p|=>q
( p=1) = |( p=1) - przekształcenie bezpośrednie
(~p=1) = |( p=0) - prawo Prosiaczka
( q=1) = |( q=1) - przekształcenie bezpośrednie
(~q=1) = |( q=0) - prawo Prosiaczka
|
Podsumowanie:
W miejsce zmiennej niezanegowanej w tabeli symbolicznej wstawiamy 1, natomiast w miejsce zmiennej zanegowanej wstawiamy 0.
Po takim podstawieniu uzyskujemy tabelę zero-jedynkową zgodną z definicją implikacji prostej |=>.
Dla punktu odniesienia zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym C w tabeli symbolicznej otrzymujemy tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q).
C: ~p~>~q
Sygnałami odniesienia w tabeli zero jedynkowej implikacji odwrotnej ~p|~>~q są sygnały ~p i ~q.
Stąd mamy:
| Kod: |
Definicja symboliczna |Definicja zero-jedynkowa
operatora |=> |operatora implikacji odwrotnej ~p|~>~q
(~p=1) = |(~p=1) - przekształcenie bezpośrednie
( p=1) = |(~p=0) - prawo Prosiaczka
(~q=1) = |(~q=1) - przekształcenie bezpośrednie
( q=1) = |(~q=0) - prawo Prosiaczka
|
Podsumowanie:
W miejsce zmiennej zanegowanej w tabeli symbolicznej wstawiamy 1, natomiast w miejsce zmiennej niezanegowanej wstawiamy 0.
Po takim podstawieniu uzyskujemy tabelę zero-jedynkową zgodną z definicją implikacji odwrotnej |~>.
Łatwo zauważyć prostszy algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ~p|~>~q:
Przepisujemy zanegowane, kompletne kolumny p i q z tabeli p|=>q do tabeli ~p~>~q.
Kolumnę wynikową ~p~>~q tworzymy korzystając z zero-jedynkowej definicji operatora implikacji odwrotnej |~>.
Prawo Sowy:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje tylko i wyłącznie linie z jedynkami w wyniku połączonymi spójnikiem „lub”(+)
Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 9 jest dowodem formalnym prawa algebry Kubusia:
p|=>q = ~p|~>~q
Implikacja prosta |=> w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją odwrotną |~> w logice ujemnej (bo ~q).
Na mocy prawa Sowy mamy definicje operatorów logicznych w spójniku „lub”(+):
p|=>q = A: (p=>q) + C: (~p~>~q) + D: (~p~~>q)
~p|~>~q = A: (p=>q) + C: (~p~>~q) + D: (~p~~>q)
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w implikacji:
Implikacja wyrażona jest w logice dodatniej gdy następnik q nie jest zanegowany (q).
Implikacja wyrażona jest w logice ujemnej gdy następnik q jest zanegowany (~q).
Doskonale widać że:
Zdaniami prostymi „Jeśli p to q” są wyłącznie zdania A, B, C i D wchodzące w skład definicji operatora implikacji prostej |=>.
Operator implikacji prostej |=> to złożenie czterech zdań A, B, C i D wchodzących w skład definicji symbolicznej z których wyłącznie zdanie B jest fałszywe.
Stąd mamy:
Definicja operatora implikacji prostej |=> w spójniku „lub”(+):
Operator implikacji prostej |=> to suma logiczna zdań A, C i D
p|=>q = A: (p=>q) + C: (~p~>~q) + D: (~p~~>q)
co matematycznie na mocy definicji spójnika „lub”(+) oznacza:
(p|=>q)=1 <=> A: (p=>q)=1 lub C: (~p~>~q)=1 lub D: (~p~~>q) =1
bo zdanie B jest fałszywe.
Na mocy definicji spójnika „lub”(+) implikacja p|=>q jest prawdziwa, gdy prawdziwe jest którekolwiek zdanie ujęte w spójniku „lub”(+). Z punktu widzenia dowodów matematycznych tego typu definicje są bezużyteczne, bowiem aby z tego korzystać musimy mieć uprzednio udowodnioną prawdziwość wszystkich zdań składowych A, C i D.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia to tożsamość wiedzy o definicji:
Jeśli wiemy, iż prawdziwe jest zdanie po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” to automatycznie wiemy iż prawdziwe jest zdanie po drugiej stronie.
Jeśli wiemy, iż fałszywe jest zdanie po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” to automatycznie wiemy iż fałszywe jest zdanie po drugiej stronie.
Matematycznie tożsamość wiedzy „=” to de facto równoważność.
Analiza matematyczna symbolicznej definicji implikacji prostej |=>:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Dowolny element zbioru p należy => do zbioru q
Dodatkowo zbiory p i q nie są tożsame co wymusza definicję implikacji prostej |=> w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Twierdzenie:
Jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q to iloczyn logiczny zbiorów p*q jest równy p
Stąd mamy definicję warunku wystarczającego => w zbiorach:
A: p=>q = [p*q=p] =1
Wartość logiczna jeden bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q, a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Bezpośrednio z prawdziwości warunku wystarczającego A wynika fałszywość kontrprzykładu B.
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =[] =0
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zbiór pusty o wartości logicznej 0.
Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego => A:
A: p=>q
Nazywamy zdanie B z zanegowanym następnikiem, kodowane naturalnym spójnikiem „może” ~~>:
B: p~~>~q = p*~q
Prawdziwość kontrprzykładu B wymusza fałszywość warunku wystarczającego A (i odwrotnie)
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A (i odwrotnie)
Zauważmy, że udowodnienie iż żaden element zbioru p nie należy do zbioru ~q determinuje przynależność wszystkich elementów p do zbioru q, widać to doskonale na powyższym diagramie.
Jest to zatem dowód tożsamy do dowodu prawdziwości warunku wystarczającego A wprost, gdzie dowodzimy iż każdy element zbioru p należy do zbioru q.
Zauważmy także, że wystarczy znaleźć jeden element x ze zbioru p który należy do zbioru ~q i już kontrprzykład B jest prawdziwy, co wymusza fałszywość warunku wystarczającego A.
.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór ~p jest nadzbiorem ~> dla zbioru ~q
Zabieram zbiór ~p i znika mi zbiór ~q, co doskonale widać na powyższym diagramie.
Dodatkowo zbiory ~p i ~q nie są tożsame co wymusza definicję implikacji odwrotnej |~> w logice ujemnej (bo ~p):
Zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q i nie jest tożsamy ze zbiorem ~q
~p|~>~q = (~p~>~q)*~[~p=~q]
Twierdzenie:
p~>q
Jeśli zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q to iloczyn logiczny zbiorów p*q jest równy q
Stąd mamy definicję warunku koniecznego ~> w zbiorach:
p~>q = [p*q=q] =1
Wartość logiczna jeden bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q, a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
W przełożeniu na nasze zdanie C mamy:
~p~>~q = [~p*~q=~q] =1
co doskonale widać na diagramie implikacji prostej wyżej.
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
D: ~p~>q = B: p=>~q
Prawa strona tożsamości logicznej jest fałszem (patrz zdanie B), zatem w zdaniu D nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden element wspólny dla zbiorów ~p i q, wystarczy sama możliwość jednoczesnego zajścia sytuacji ~p i q.
Przykład przedszkolaka:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Rys. 7.2.2 Implikacja prosta |=> w zbiorach
Definicja implikacji prostej:
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Nasz przykład spełnia definicję implikacji prostej:
Zbiór P zawiera się w zbiorze 4L i nie jest tożsamy ze zbiorem 4L
P|=>4L = (P=>4L)*~[P=4L]
Definicja logiki w algebrze Kubusia
Logika to matematyczny opis nieznanego.
Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
Jeśli wylosowane w przyszłości zwierzę będzie psem to na pewno => będzie miało cztery łapy
P=>4L =1
Zdanie A w zbiorach:
P=>4L = [P*4L = P] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P=[pies] zawiera się => w zbiorze 4L=[pies, słoń..], a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Dodatkowo zbiory P i 4L są różne co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji:
Zbiór P zawiera się => w zbiorze 4L i nie jest tożsamy ze zbiorem 4L
P|=>4L = (P=>4L)*~[P=4L]
Bezpośrednio z warunku wystarczającego A wynika fałszywość kontrprzykładu B:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
Jeśli wylosowane w przyszłości zwierzę będzie psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L = 0
Zdanie B w zbiorach:
B: P~~>~4L = P*~4L =[] =0
bo zbiory P i ~4L są rozłączne
… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to „może” ~> nie mieć czterech łap
Jeśli wylosowane w przyszłości zwierzę nie będzie psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 bo kura
Zdanie C w zbiorach:
~P~>~4L = [~P*~4L=~4L] =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór ~P=[kura, wąż, słoń ..] zawiera w sobie ~> zbiór ~4L=[kura, wąż..], a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Dodatkowo zbiory ~P i ~4L są różne, co wymusza implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~4L) o definicji:
Zbiór ~P zawiera w sobie ~> zbiór ~4L i nie jest tożsamy ze zbiorem ~4L
~P|~>~4L = (~P~>~4L)*~[~P=~4L]
lub
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
Jeśli wylosowane w przyszłości zwierzę nie będzie psem to może ~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 bo słoń
Zdanie D w zbiorach:
~P~~>4L = ~P*4L =1 bo słoń
Oba zbiory istnieją (~P=1 i 4L=1) i mają część wspólną (np. słoń..) co wymusza w wyniku 1 (zbiór niepusty)
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo zbiór ~P=[kura, wąż, słoń..] nie zawiera w sobie zbioru 4L=[pies, słoń ..] (w zbiorze ~P brakuje „psa”, natomiast w zbiorze 4L jest „pies”)
Najprostszy dowód tożsamy to skorzystanie z prawa Kubusia:
D: ~P~>4L = B: P=>~4L =0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów ~P i 4L (np. słoń).
7.2.1 Implikacja prosta |=> w spójnikach implikacyjnych
W implikacji i równoważności mamy do czynienia z trzema podstawowymi spójnikami implikacyjnymi =>, ~> i ~~>
Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zajście zdarzenia p wymusza => zajście zdarzenia q
Wymuszam dowolne p i pojawia się q
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH
Wymuszam padanie i mam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zajście zdarzenia p jest konieczne ~> aby zaszło q
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Zabieram chmury i znika mi możliwość padania
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Zbiór p ma co najmniej jeden element ze zbiorem q
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1 - sytuacja możliwa
B.
Jeśli jutro będzie padać to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0 - sytuacja niemożliwa
Naturalny spójnik „może” ~~> zwany jest w logice matematycznej kwantyfikatorem małym.
Rys. 7.2.3 Implikacja prosta |=> w spójnikach implikacyjnych =>, ~> i ~~>
Najważniejsze są tu definicje symboliczne, bo to jest naturalna logika matematyczna każdego człowieka. W definicji symbolicznej wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek z czego wynika, iż nie ma tu żadnych tabel zero-jedynkowych. Kodowanie zero-jedynkowe definicji symbolicznych pokazuje 100% zgodność z teorią i praktyką bramek logicznych, czyli z zero-jedynkowymi definicjami operatorów logicznych. Każdą definicję symboliczną kodujemy zero-jedynkowo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia widniejącym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej.
Przejście z definicji symbolicznej do tabeli zero-jedynkowej umożliwiają prawa Prosiaczka.
Prawa Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
(~p=1) = (p=0)
Rysunek R10
Punkt odniesienia ustala tu nagłówek kolumny wynikowej tabeli zero-jedynkowej:
W: p|=>q
Punktem odniesienia są sygnały: p, q
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli symbolicznej umożliwia prawo Prosiaczka:
(~p=1) = (p=0)
| Kod: |
Definicja symboliczna |Definicja zero-jedynkowa
operatora |=> |operatora implikacji prostej p|=>q
( p=1) = |( p=1) - przekształcenie bezpośrednie
(~p=1) = |( p=0) - prawo Prosiaczka
( q=1) = |( q=1) - przekształcenie bezpośrednie
(~q=1) = |( q=0) - prawo Prosiaczka
|
Podsumowanie:
W miejsce zmiennej niezanegowanej w tabeli symbolicznej wstawiamy 1, natomiast w miejsce zmiennej zanegowanej wstawiamy 0.
Po takim podstawieniu uzyskujemy tabelę zero-jedynkową zgodną z definicją implikacji prostej |=>.
Rysunek R11
Punkt odniesienia ustala tu nagłówek kolumny wynikowej tabeli zero-jedynkowej:
U: ~p|~>~q
Punktem odniesienia są sygnały: ~p, ~q
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli symbolicznej umożliwia prawo Prosiaczka:
(p=1) =(~p=0)
| Kod: |
Definicja symboliczna |Definicja zero-jedynkowa
operatora |=> |operatora implikacji odwrotnej ~p|~>~q
(~p=1) = |(~p=1) - przekształcenie bezpośrednie
( p=1) = |(~p=0) - prawo Prosiaczka
(~q=1) = |(~q=1) - przekształcenie bezpośrednie
( q=1) = |(~q=0) - prawo Prosiaczka
|
Podsumowanie:
W miejsce zmiennej zanegowanej w tabeli symbolicznej wstawiamy 1, natomiast w miejsce zmiennej niezanegowanej wstawiamy 0.
Po takim podstawieniu uzyskujemy tabelę zero-jedynkową zgodną z definicją implikacji odwrotnej |~>.
Dokładnie to samo robimy dla rysunków R12 i R13.
1.
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) o definicji w R10AB:
A.
Jeśli zajdzie zdarzenie p to na pewno => zajdzie zdarzenie q
p=>q =1
Zajście zdarzenia p wystarcza => dla zajścia zdarzenia q
B.
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~~> zajść zdarzenie ~q
p~~>~q = p*~q =0
Zdanie B to kontrprzykład dla warunku wystarczającego A.
Prawdziwość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość kontrprzykładu B i odwrotnie.
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
B.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0 - sytuacja niemożliwa
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A.
2.
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej o definicji w R11CD:
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Zajście zdarzenia ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q bo zabieram ~p i znika mi ~q
W implikacji, gdzie zbiory ~p i ~q nie są tożsame warunek konieczny C wymusza prawdziwość zdania D
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1 - zdarzenie możliwe.
Nasz przykład:
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro nie było pochmurno, bo gdy pada to na pewno => są chmury.
Stąd mamy prawo Kubusia:
~P~>~CH = P=>CH
lub
D.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =1 - sytuacja możliwa
Zauważmy, że operator logiczny dwuargumentowy to zawsze cztery linie zawierające zdania ze wszystkimi możliwymi przeczeniami p i q, natomiast spójniki implikacyjne (warunek wystarczający => i konieczny ~>) to zaledwie dwie linie operatora logicznego (pola zielone).
Definicja żywego spójnika logicznego:
Spójnik żywy to spójnik istniejący w wypowiedzianym zdaniu.
Kolor zielony w powyższym diagramie.
Definicja martwego spójnika logicznego:
Spójnik martwy to spójnik nie biorący udziału w logice, to wyłącznie uzupełnienie spójnika żywego do pełnego operatora logicznego.
Kolor brązowy w powyższym diagramie.
Definicja logiki matematycznej w algebrze Kubusia:
Logika matematyczna to matematyczny opis nieznanego
Jest oczywistym, ze jak znamy wartości logiczne wszystkich zmiennych binarnych, to nie ma żadnej logiki, logika na stałych binarnych jest bez sensu.
Przykładowo, każdy wie co zrobił Hitler, czy ma sens logika zakładająca że Hitler zginął w zamachu w 1933 roku?
Oczywiście gdybać każdy może, możliwych jest w tym przypadku nieskończenie wiele scenariuszy naszej współczesnej historii, tyle że nie powstała ani jedna pozycja literatury tak gdybająca, bo to bezsens. Roi się natomiast od powieści opartych na faktach historycznych: Trylogia Sienkiewicza, Przeminęło w Wiatrem, Wojna i Pokój etc.
7.2.2 Prawa logiczne implikacji prostej |=> w spójnikach implikacyjnych
Rys. 7.2.4 Implikacja prosta |=> w spójnikach implikacyjnych =>, ~> i ~~>
Tożsamość kolumn wynikowych na wszystkich rysunkach R10, R11, R12 i R13 jest dowodem prawa algebry Boole’a:
[Przyszłość: (R10: p|=>q = R11:~p|~>~q)] <=> [Przeszłość: (R12: q|~>p) = R13: ~q|=>~p)]
Prawa logiczne typu: (przyszłość) <=> (przyszłość)
R10 (przyszłość) p|=>q <=> R11 (przyszłość) ~p|~>~q
Implikacja prosta w logice dodatniej (bo q) w czasie przyszłym R10: p|=>q przechodzi w implikację odwrotną w logice ujemnej (bo ~q) w czasie przyszłym R11: ~p|~>~q (i odwrotnie)
Prawo Kubusia:
R10A (przyszłość) p=>q <=> R11C (przyszłość) ~p~>~q
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) w czasie przyszłym R10A: p=>q przechodzi w warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q) w czasie przyszłym R11C: ~p~>~q (i odwrotnie)
Przykład:
R10A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
… a jeśli jutro nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
R11C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno bo gdy pada to na pewno => są chmury.
Jak Kubuś doszedł do symbolicznej definicji implikacji prostej |=> w czasie przeszłym?
Pomogły mu w tym dzieci z przedszkola Nr.1 w 100-milowym lesie.
Definicja logiki matematycznej w algebrze Kubusia:
Logika to matematyczny opis nieznanego
Zauważmy, że przeszłość nie musi być nam znana, w tym przypadku logika matematyczna doskonale funkcjonuje. Jeśli nie zamienimy poprzednika z następnikiem to zdania R10A i R11C obowiązują również w czasie przeszłym.
Przeszłość bez zamiany p i q
R10A.
Jeśli wczoraj padało to na pewno => było pochmurno
P=>CH =1
R11C.
Jeśli wczoraj nie padało to mogło ~> nie być pochmurno
~P~>~CH =1
Powyższy fakt sygnalizuje niebieski nagłówek (przeszłość) w tabelach R10 i R11.
Warunek wystarczający => po zamianie p i q
Rozważmy warunek wystarczający => R10A w czasie przyszłym:
R10A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
Zamieniamy p i q w zdaniu R10A i wypowiadamy zdanie prawdziwe w czasie przeszłym:
R12C.
Jeśli wczoraj było pochmurno to mogło ~> padać
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla opadów bo jak nie ma chmur to na pewno => nie pada
R12D.
Jeśli wczoraj było pochmurno to mogło ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1 - sytuacja możliwa
Stąd mamy.
I prawo przemijania:
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo q) w czasie przyszłym R10A: p=>q po zamianie p i q przechodzi w warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo p) w czasie przeszłym R12C: q~>p i odwrotnie.
R10A: p=>q (przyszłość) = R12C: q~>p (przeszłość)
To jest to czego Ziemianie kompletnie nie rozumieją wnioskując z tego o zbędności operatora implikacji odwrotnej |~>.
Zauważmy, że warunku koniecznego ~> w czasie przeszłym R12C: CH~>P nie mogliśmy umieścić w polu R12A: CH=>P bo tu mamy warunek wystarczający => a nie konieczny ~>, stąd pole R12AB zaznaczone jest na brązowo, jako pole martwe, nie biorące udziału w logice matematycznej.
Obszar R12AB to wyłącznie uzupełnienie spójnika żywego R12CD do pełnego operatora zero-jedynkowego, w logice wszystko musi być zgodne także z techniką bramek cyfrowych.
Warunek konieczny ~> po zamianie p i q
Rozważmy warunek konieczny ~> R11C w czasie przyszłym:
R11C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~CH~>~P =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno bo gdy pada to na pewno => są chmury.
Zamieńmy p i q w zdaniu R11C wypowiadając zdanie prawdziwe w czasie przeszłym:
R13A.
Jeśli wczoraj nie było pochmurno to na pewno => nie padało
~CH=>~P =1
Brak chmur jest warunkiem wystarczającym => aby nie padało
R13B.
Jeśli wczoraj nie było pochmurno to mogło ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0 - sytuacja niemożliwa
Stąd mamy:
II prawo przemijania
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q) w czasie przyszłym R11C: ~p~>~q, po zamianie p i q przechodzi w warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~p) w czasie przeszłym R13A: ~q=>~p
R11C: ~p~>~q (przyszłość) = R13A: ~q=>~p (przeszłość)
Zauważmy, że warunku wystarczającego => w czasie przeszłym R13A: ~CH=>~P nie mogliśmy umieścić w polu R13C: CH~>P bo tu mamy warunek konieczny ~> a nie wystarczający =>, stąd pole R13CD zaznaczone jest na brązowo, jako pole martwe, nie biorące udziału w logice matematycznej.
Obszar R13CD to wyłącznie uzupełnienie spójnika żywego R13AB do pełnego operatora zero-jedynkowego, w logice wszystko musi być zgodne także z techniką bramek cyfrowych.
7.2.3 Prawa logiczne implikacji prostej |=> w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
Implikacja prosta |=> wyrażona spójnikami „lub”(*) i „i”(*) poprawnie odpowiada na pytanie o wszystkie możliwe zdarzenia jakie mogą zajść w przyszłości pod warunkiem, że wcześniej udowodnimy iż mamy do czynienia z implikacją prostą |=>.
W implikacji wyrażonej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) nie ma mowy o jakichkolwiek zależnościach czasowych (następstwach czasowych) które są oczywiste w spójnikach implikacyjnych =>, ~>, ~~>, nie może być tu też mowy o istocie każdej implikacji i równoważności, gwarancji matematycznej =>.
Z tego powodu w praktyce komunikacji człowieka z człowiekiem ta wersja implikacji nie jest używana z wyjątkiem specyficznych przykładów.
Zobaczmy jak wygląda tabela prawdy dla implikacji wyrażonej spójnikami „lub”(+) i „i”(*).
Rys. 7.2.5 Implikacja prosta |=> w spójnikach w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
Weźmy klasyka implikacji prostej:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
Definicja warunku wystarczającego spełniona => bo:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Dodatkowo zbiory P8 i P2 nie są tożsame co wymusza definicję implikacji prostej |=>
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~[P8=P2]
Dopiero w tym momencie wolno nam skorzystać z prawa eliminacji implikacji prostej |=> wynikającego z tabeli zero-jedynkowej tego operatora.
p|=>q = Ya+Yc+Yd
p|=>q = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Analiza matematyczna implikacji prostej P8|=>P2 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
Ya = (P8|=>P2)a = P8~~>P2 = P8*P2 =1 bo 8
Wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów P8 i P2 co kończy dowód prawdziwości zdania A
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
~Yb = ~(P8|=>P2)b = P8~~>~P2 = P8*~P2 =0 - bo zbiory P8 i ~P2 są rozłączne
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
Yc=(P8|=>P2)c = ~P8~~>~P2 = ~P8*~P2 =1 bo 5
Wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów ~P8 i ~P2 co kończy dowód prawdziwości zdania C
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
Yd=(P8|=>P2)d = ~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1 bo 2
Wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów ~P8 i P2 co kończy dowód prawdziwości zdania D
Definicja implikacji prostej P8|=>P2 w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) to najprostszy algorytm rozstrzygający czy rzeczywiście mamy do czynienia z implikacją prostą |=>. Wystarczy bowiem pokazać po jednym elemencie wspólnym zbiorów A, C i D oraz wykluczyć przypadek B, co kończy dowód iż mamy do czynienia z implikacją prostą P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2).
Podsumowując:
Doskonale widać, dlaczego w dzisiejszej logice matematycznej nie jest znane pojęcie gwarancji matematycznej => (warunku wystarczającego =>) w implikacji.
W spójnikach „lub”(+) i „i”(*) nie ma mowy o jakimkolwiek warunku wystarczającym => (gwarancji matematycznej =>) w implikacji.
Jedyne prawo matematyczne, jakie zachodzi w implikacji prostej |=> wyrażonej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) to prawo tożsamości wiedzy które dotyczy dowolnej tabeli zero-jedynkowej, w szczególności naszej implikacji prostej |=> wyżej.
Prawo tożsamości wiedzy:
Dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej, o dowolnej ilości zmiennych binarnych, jeśli znane jest równanie logiczne opisujące wynikowe jedynki to automatycznie znane jest równanie logiczne opisujące wynikowe zera (i odwrotnie).
Sprawdźmy to dla zero-jedynkowej tabeli implikacji prostej |=>.
Z tabeli R14 odczytujemy równanie logiczne opisujące wynikowe jedynki. Zauważmy, że w tej tabeli wynikowe jedynki opisują obszar aktywny (kolor zielony), biorący udział w logice matematycznej.
Obszar aktywny (zielony) to szczegółowa odpowiedź na pytanie kiedy funkcja logiczna:
Y = p|=>q
przyjmie w wyniku wartość logiczną 1 (prawda)
Y = (p|=>q) = Ya+Yc+Yd
Y = (p|=>q) = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
(p|=>q)=1 <=> A: (p*q)=1 lub C: (~p*~q)=1 lub D: (~p*q)=1
stąd mamy:
Y = p*q + ~p*~q + ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*q + ~p*(~q+q)
Y = p*q + ~p
Y = ~p + (p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = p*(~p+~q)
~Y = p*~p + p*~q
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Y = ~p+q
Obszar aktywny w tabeli R14 (zielony) opisuje zatem funkcja logiczna po minimalizacji:
Y = ~p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
W tabeli zero-jedynkowej R14 w nagłówku mamy Y, zatem ta tabela jest aktywna dla wszystkich jedynek (Y=1) w kolumnie wynikowej. Zera w tabeli R14 są martwe i nie biorą udziału w logice.
Mówi o tym prawo Sowy:
Nagłówek w dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli
Zauważmy, że po zanegowaniu kolumny wynikowej co zrobiono w tabeli R15, obszar martwy w tabeli R14 (brązowy) automatycznie staje się obszarem aktywnym (zielonym) w tabeli R15.
Aktywną odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie ~Y (~Y=1) mamy więc w tabeli R15, dokładnie w linii R15B.
~Y = ~Yb = p*~q
~Y = p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Matematycznie wszystko musi się zgadzać także w równaniach logicznych.
Tabela R14
W: Y = ~p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Na moc definicji spójnika „lub”(+) wystarczy że zajdzie którykolwiek człon po prawej stronie i już ustawi funkcję logiczną Y na wartość 1, niczego więcej nie musimy dowodzić.
Oczywistym jest że nie jest to żaden dowód iż mamy do czynienia z implikacją prostą |=>:
Y = (p|=>q)
… a kiedy zajdzie ~Y?
Tabela R15
Przechodzimy do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U: ~Y=p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
7.2.4 Porównanie implikacji prostej w spójnikach implikacyjnych oraz w „lub”(+) i „i”(*)
Rys. 7.2.6 Implikacja prosta |=> w spójnikach implikacyjnych =>, ~> i ~~>
Rys. 7.2.7 Implikacja prosta |=> w spójnikach w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
Porównajmy diagram implikacji prostej |=> w spójnikach implikacyjnych =>, ~> i ~~> (Rys. 7.2.6) z diagramem implikacji prostej |=> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) (Rys.7.2.7).
Doskonale widać, że obszary biorące udział w logice matematycznej (kolor zielony) różnią się fundamentalnie.
W implikacji prostej wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nie ma mowy o jakichkolwiek zależnościach czasowych (następstwach czasowych) doskonale widocznych w implikacji prostej wyrażonej spójnikami implikacyjnymi =>, ~> i ~~>.
I.
Implikacja prosta |=> w spójnikach implikacyjnych
Implikacja prosta |=> w spójnikach implikacyjnych =>, ~> i ~~> (Rys. 7.2.6) daje odpowiedź na pytania:
1.
Co się stanie jeśli zajdzie zdarzenie p?
R10A:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zajście p wystarcza => dla zajścia q
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
2.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
R11C:
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
Zabieram ~p i musi zniknąć ~q
II.
Implikacja prosta |=> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Implikacja prosta |=> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) (Rys.7.2.7) daje odpowiedź na fundamentalnie inne pytania.
1.
Kiedy zajdzie Y=(p|=>q)=1 (Rys. R14ACD)?
Y = (p|=>q) = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
2.
Kiedy zajdzie ~Y=~(p|=>q)=1 (Rys. R15B)?
~Y = p*~q
Prawo Sowy:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki
Stąd mamy odpowiedź kiedy implikacja prosta w spójnikach implikacyjnych =>, ~>,~~> będzie prawdziwa.
Odczytujemy z tabeli R10.
p|=>q = Ya: p=>q + Yc: ~p~>~q + Yd: ~p~~>q
co matematycznie oznacza:
(p|=>q)=1 <=> Ya: (p=>q)=1 lub Yc: (~p~>~q)=1 lub Yd: (~p~~>q)=1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej przyjmie wartość 1 i już implikacja jest prawdziwa:
(p|=>q) =1
Identyczną odpowiedź dostajemy w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Odczytujemy z tabeli R14:
p|=>q = Ya: p*q + Yc: ~p*~q + Yd: ~p*q
co matematycznie oznacza:
(p|=>q)=1 <=> Ya: (p*q)=1 lub Yc: (~p*~q)=1 lub Yd: (~p*q) =1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej przyjmie wartość 1 i już implikacja jest prawdziwa:
(p|=>q) =1
Zauważmy, że definicję symboliczną implikacji w spójnikach implikacyjnych widać w tabeli symbolicznej na rys. R14.
Rys. 7.2.8 Implikacja prosta |=> w spójnikach implikacyjnych =>, ~>, ~~>
| Kod: |
R14A: p* q =1
R14B: p*~q =0
R14C:~p*~q =1
R14D:~p* q =1
|
Z linii R14B odczytujemy, iż iloczyn logiczny zbiorów p i ~q jest zbiorem pustym:
R14B: p~~>~q = p*~q =0
Jest to możliwe wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera się => w zbiorze q, mówi o tym linia R14A.
R14A: p=> q =1
Po stronie ~p wszystko może się zdarzyć, czyli istnieją elementy należące do zbioru ~p i zbioru ~q:
R14C: ~p~>~q =1
Jak również istnieją elementy należące ~p i zbioru q
R14D: ~p~~>q = ~p*q =1
Ostatnie dwie linie to dowód iż zbiory p i q nie są tożsame ~[p=q] co wymusza brak tożsamości zbiorów ~[~p=~q].
Całość to oczywiście definicja implikacji prostej =>:
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy zez borem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q].
Łatwo zauważyć najprostszy algorytm udowodnienia czy warunek wystarczający p=>q w logice dodatniej (bo q) wchodzi w skład operatora implikacji prostej p|=>q.
1.
Zbiory:
Wykazujemy po jednym elemencie wspólnym zbiorów p i q w liniach:
A: p*q =1
C: ~p*~q =1
D: ~p*q =1
Zdarzenia = zbiory jednoelementowe:
Wykazujemy możliwość zdarzeń opisanych liniami A, C i D
2.
Zbiory:
Wykazujemy iż zbiory opisane linią B są rozłączne:
B: p*~q = [] =0
Zdarzenia = zbiory jednoelementowe:
Wykazujemy brak możliwości zajścia zdarzenia opisanego linią B.
Udowodnienie 1 i 2 kończy dowód.
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest wystarczające => dla istnienia chmur
B.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0 - przypadek niemożliwy
C.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
~P~>~CH =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno, bo jak pada to zawsze są chmury
D.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~~> być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =1 - sytuacja możliwa
Uwaga!
Załóżmy że jest pojutrze i wczoraj nie padało (~P=1) i było pochmurno (CH=1)
W tym przypadku prawdziwe jest wyłącznie zdanie D, pozostałe zdania A, B i C są fałszywe.
Ale!
Czy implikacja P|=>CH jest prawdziwa?
Tak, bo prawdziwe okazało się jedno ze zdań wchodzące w skład definicji implikacji.
p|=>q = Ya: p=>q + Yc: ~p~>~q + Yd: ~p~~>q
co matematycznie oznacza:
(p|=>q)=1 <=> Ya: (p=>q)=1 lub Yc: (~p~>~q)=1 lub Yd: (~p~~>q)=1
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 17:41, 20 Maj 2015, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35532
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 19:39, 20 Maj 2015 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia
Logika matematyczna człowieka
Algebrę Kubusia doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na Ziemi, od 5-cio latka po prof. matematyki.
Temat:
Kluczowe części algebry Kubusia
Część IV
Implikacja odwrotna |~>
c.d.n
Spis treści
7.3 Implikacja odwrotna |~> 1
7.2.1 Implikacja odwrotna |~> w spójnikach implikacyjnych 8
7.3.2 Prawa logiczne implikacji odwrotnej |~> w spójnikach implikacyjnych 11
7.3.3 Prawa logiczne implikacji odwrotnej |~> w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) 14
7.2.4 Porównanie implikacji odwrotnej w spójnikach implikacyjnych oraz w „lub”(+) i „i”(*) 17
7.3 Implikacja odwrotna |~>
Definicja implikacji odwrotnej |~> w zdarzeniach:
A.
Jeśli zajdzie zdarzenie p to może ~> zajść zdarzenie q
p~>q =1
Zajście p musi być warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q.
Jeśli dodatkowo pojęcia p i q nie są tożsame, co matematycznie zapisujemy ~[p=q] to warunek konieczny A wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej |~>:
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Przykład:
W.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Pochmurne niebo jest warunkiem koniecznym ~> na to aby padało, bo jak nie ma chmur to na pewno => nie pada.
Stąd mamy matematyczną zależność między warunkiem koniecznym ~> a warunkiem wystarczającym => wyprowadzona w naturalnej logice człowieka.
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Dodatkowo pojęcia „pada” i „chmury” nie są tożsame bo nie zawsze kiedy są chmury, pada.
Nasze zdanie spełnia więc definicję implikacji odwrotnej |~>:
CH|~>P = (CH~>P)*~[CH=P]
Definicja implikacji odwrotnej |~> w zbiorach:
Rys. 7.3.1
Definicja implikacji odwrotnej |~> w zbiorach:
Zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
Definicja tożsama:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
Zawiera w sobie ~> = jest nadzbiorem ~>
W podręczniku dość konsekwentnie używane będzie pojęcie „nadzbiór” ~>, chociaż to bez znaczenia
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Zabieram zbiór P2=[2,4,6,8..] i znika mi zbiór P8=[8,16,24..]
Dodatkowo zbiory P2 i P8 nie są tożsame, co matematycznie zapisujemy ~[P2=P8]
Stąd spełniona jest definicja implikacji odwrotnej |~> w logice dodatniej (bo P8):
P2|~>P8 = (P2~>P8)*~[P2=P8]
Symboliczną definicję implikacji odwrotnej |~> odczytujemy bezpośrednio z diagramu:
| Kod: |
p|~>q
A: p~> q =[ p* q= q] =1
B: p~~>~q=[ p*~q ] =1
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
C:~p=>~q =[~p*~q=~p] =1
D:~p~~>q =[~p* q ] =0
|
Prawo algebry Kubusia:
Implikacja odwrotna |~> w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją prostą |=> w logice ujemnej (bo ~q)
p|~>q = ~p|=>~q
gdzie:
„=” - tożsamość logiczna (nie mylić z klasyczną tożsamością matematyczną)
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Matematycznie tożsamość wiedzy „=” to de facto równoważność.
Dowód formalny:
| Kod: |
Definicja |Definicja zero-jedynkowa |Definicja zero-jedynkowa
symboliczna |implikacji odwrotnej |~> |implikacji prostej |=>
implikacji |w logice dodatniej (bo q) |w logice ujemnej (bo ~q)
odwrotnej p|~>q |W: p|~>q |U: ~p|=>~q
W: p q p|~>q | p q p|~>q |~p ~q ~p|=>~q
A: p~> q =1 | 1 1 =1 | 0 0 =1
B: p~~>~q=1 | 1 0 =1 | 0 1 =1
C:~p=>~q =1 | 0 0 =1 | 1 1 =1
D:~p~~>q =0 | 0 1 =0 | 1 0 =0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Prawo Bociana:
W dowolnej tabeli symbolicznej wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek
Prawo Bociana wynika bezpośrednio z prawa rozpoznawalności pojęcia:
Pojecie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy jest rozpoznawalne pojęcie ~p
Tabele zero-jedynkowe otrzymujemy z definicji symbolicznej dzięki prawom Prosiaczka.
Prawa Prosiaczka:
I. (p=1) = (~p=0)
II. (~p=1) = (p=0)
Dla punktu odniesienia zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym A w tabeli symbolicznej otrzymujemy tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej |~> w logice dodatniej (bo q).
A: p~>q
Sygnałami odniesienia w tabeli zero jedynkowej implikacji odwrotnej |~> są sygnały p i q.
Stąd mamy:
| Kod: |
Definicja symboliczna |Definicja zero-jedynkowa
operatora |=> |operatora implikacji prostej p|~>q
( p=1) = |( p=1) - przekształcenie bezpośrednie
(~p=1) = |( p=0) - prawo Prosiaczka
( q=1) = |( q=1) - przekształcenie bezpośrednie
(~q=1) = |( q=0) - prawo Prosiaczka
|
Podsumowanie:
W miejsce zmiennej niezanegowanej w tabeli symbolicznej wstawiamy 1, natomiast w miejsce zmiennej zanegowanej wstawiamy 0.
Po takim podstawieniu uzyskujemy tabelę zero-jedynkową zgodną z definicją implikacji odwrotnej |~>.
Dla punktu odniesienia zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym C w tabeli symbolicznej otrzymujemy tabelę zero-jedynkową implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q).
C: ~p=>~q
Sygnałami odniesienia w tabeli zero jedynkowej implikacji prostej ~p|=>~q są sygnały ~p i ~q.
Stąd mamy:
| Kod: |
Definicja symboliczna |Definicja zero-jedynkowa
operatora |~> |operatora implikacji prostej ~p|=>~q
(~p=1) = |(~p=1) - przekształcenie bezpośrednie
( p=1) = |(~p=0) - prawo Prosiaczka
(~q=1) = |(~q=1) - przekształcenie bezpośrednie
( q=1) = |(~q=0) - prawo Prosiaczka
|
Podsumowanie:
W miejsce zmiennej zanegowanej w tabeli symbolicznej wstawiamy 1, natomiast w miejsce zmiennej niezanegowanej wstawiamy 0.
Po takim podstawieniu uzyskujemy tabelę zero-jedynkową zgodną z definicją implikacji odwrotnej |~>.
Łatwo zauważyć prostszy algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej ~p|=>~q:
Przepisujemy zanegowane, kompletne kolumny p i q z tabeli p|~>q do tabeli ~p=>~q.
Kolumnę wynikową ~p=>~q tworzymy korzystając z zero-jedynkowej definicji operatora implikacji prostej |=>.
Prawo Sowy:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje tylko i wyłącznie linie z jedynkami w wyniku połączonymi spójnikiem „lub”(+)
Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 9 jest dowodem formalnym prawa algebry Kubusia:
p|~>q = ~p|=>~q
Implikacja odwrotna |~> w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją prostą => w logice ujemnej (bo ~q).
Na mocy prawa Sowy mamy definicje operatorów logicznych w spójniku „lub”(+):
p|~>q = A: (p~>q) + B: (p~~>~q) + C: (~p=>~q)
~p|=>~q = A: (p~>q) + B: (p~~>~q) + C: (~p=>~q)
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w implikacji:
Implikacja wyrażona jest w logice dodatniej gdy następnik q nie jest zanegowany (q).
Implikacja wyrażona jest w logice ujemnej gdy następnik q jest zanegowany (~q).
Doskonale widać że:
Zdaniami prostymi „Jeśli p to q” są wyłącznie zdania A, B, C i D wchodzące w skład definicji operatora implikacji odwrotnej |~>.
Operator implikacji odwrotnej |~> to złożenie czterech zdań A, B, C i D wchodzących w skład definicji symbolicznej z których wyłącznie zdanie D jest fałszywe.
Stąd mamy:
Definicja operatora implikacji odwrotnej |~> w spójniku „lub”(+):
Operator implikacji odwrotnej |~> to suma logiczna zdań A, B i C
p|~>q = A: (p~>q) + B: (p~~>~q) + C: (~p=>~q)
co matematycznie na mocy definicji spójnika „lub”(+) oznacza:
(p|~>q)=1 <=> A: (p~>q)=1 lub B: (p~~>~q)=1 lub C: (~p=>~q)=1
bo zdanie D jest fałszywe.
Na mocy definicji spójnika „lub”(+) implikacja p|~>q jest prawdziwa, gdy prawdziwe jest którekolwiek zdanie ujęte w spójniku „lub”(+). Z punktu widzenia dowodów matematycznych tego typu definicje są bezużyteczne, bowiem aby z tego korzystać musimy mieć uprzednio udowodnioną prawdziwość wszystkich zdań składowych A, B i C.
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Prawo Kubusia to tożsamość wiedzy o definicji:
Jeśli wiemy, iż prawdziwe jest zdanie po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” to automatycznie wiemy iż prawdziwe jest zdanie po drugiej stronie.
Jeśli wiemy, iż fałszywe jest zdanie po dowolnej stronie tożsamości logicznej „=” to automatycznie wiemy iż fałszywe jest zdanie po drugiej stronie.
Matematycznie tożsamość wiedzy „=” to de facto równoważność.
Szczegółowa, symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> dla zbioru q
Zabieram zbiór p i znika mi zbiór q
Dodatkowo zbiory p i q nie są tożsame co wymusza definicję implikacji odwrotnej |~> w logice dodatniej (bo p):
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbiory q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Twierdzenie:
p~>q
Jeśli zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q to iloczyn logiczny zbiorów p*q jest równy q
Stąd mamy definicję warunku koniecznego ~> w zbiorach:
p~>q = [p*q=q] =1
Wartość logiczna jeden bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q, a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
W przełożeniu na nasze zdanie A mamy:
p~>q = [p*q=q] =1
co doskonale widać na diagramie implikacji odwrotnej wyżej.
lub
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
B: p~>~q = D: ~p=>q
Prawa strona tożsamości logicznej jest fałszem bo zbiór ~p nie jest podzbiorem => zbioru q, zatem w zdaniu B nie może zachodzić warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden element wspólny dla zbiorów p i ~q, wystarczy sama możliwość jednoczesnego zajścia sytuacji p i ~q.
.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Dowolny element zbioru ~p zawiera się => w zbiorze ~q
Dowolny element zbioru ~p należy => do zbioru ~q
Dodatkowo zbiory ~p i ~q nie są tożsame co wymusza definicję implikacji prostej |=> w logice ujemnej (bo ~q):
Zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q i nie jest tożsamy ze zbiorem ~q, co matematycznie zapisujemy ~[~p=~q]
~p|=>~q = (~p=>~q)*~[~p=~q]
Twierdzenie:
Jeśli zbiór ~p zawiera się => w zbiorze ~q to iloczyn logiczny zbiorów ~p*~q jest równy ~p
Stąd mamy definicję warunku wystarczającego => w zbiorach:
A: ~p=>~q = [~p*~q=~p] =1
Wartość logiczna jeden bo zbiór ~p zawiera się => w zbiorze ~q, a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Bezpośrednio z prawdziwości warunku wystarczającego C wynika fałszywość kontrprzykładu D.
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =[] =0
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku zbiór pusty o wartości logicznej 0.
Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego => C:
C: ~p=>~q
Nazywamy zdanie D z zanegowanym następnikiem, kodowane naturalnym spójnikiem „może” ~~>:
D: ~p~~>q
Prawdziwość kontrprzykładu D wymusza fałszywość warunku wystarczającego C (i odwrotnie)
Fałszywość kontrprzykładu D wymusza prawdziwość warunku wystarczającego C (i odwrotnie)
Zauważmy, że udowodnienie iż żaden element zbioru ~p nie należy do zbioru q determinuje przynależność wszystkich elementów ~p do zbioru ~q, widać to doskonale na powyższym diagramie.
Jest to zatem dowód tożsamy do dowodu prawdziwości warunku wystarczającego C wprost, gdzie dowodzimy iż każdy element zbioru ~p należy do zbioru ~q.
Zauważmy także, że wystarczy znaleźć jeden element x ze zbioru ~p który należy do zbioru q i już kontrprzykład B jest prawdziwy, co wymusza fałszywość warunku wystarczającego C.
Przykład przedszkolaka:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P
Rys. 7.3.2
Definicja implikacji odwrotnej |~>:
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Nasz przykład spełnia definicję implikacji odwrotnej:
Zbiór 4L zawiera w sobie zbiór P i nie jest tożsamy ze zbiorem P
4L|~>P = (4L~>P)*~[4L=P]
Definicja logiki matematycznej w algebrze Kubusia:
Logika to matematyczny opis nieznanego
Analiza matematyczna:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to „może” ~> być psem
Jeśli wylosowane w przyszłości zwierzę będzie miało cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Zdanie A w zbiorach:
4L~>P = [4L*P=P] =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór 4L=[pies, słoń..] zawiera w sobie ~> zbiór P=[pies], a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne, co wymusza implikację odwrotną w logice dodatniej (bo P):
Zbiór 4L zawiera w sobie ~> zbiór P i nie jest tożsamy ze zbiorem P, co matematycznie zapisujemy ~[4L=P]
4L|~>P = (4L~>P)*~[4L=P]
lub
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
Jeśli wylosowane w przyszłości zwierzę będzie miało cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P = 4L*~P =1 bo słoń
Oba zbiory istnieją (4L=[pies, słoń..] i ~P=[kura, wąż, słoń..] i mają część wspólną (np. słoń..) co wymusza w wyniku 1 (zbiór niepusty)
W zdaniu B nie zachodzi warunek konieczny ~> bo zbiór 4L=[pies, słoń..] nie zawiera w sobie zbioru ~P=[kura, wąż, słoń..]
Najprostszy dowód tożsamy to skorzystanie z prawa Kubusia:
B: 4L~>~P = D: ~4L=>P =0
Prawa strona jest fałszem, zatem z lewej strony nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów 4L i ~P (np. słoń).
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
Jeśli wylosowane w przyszłości zwierzę nie będzie miało czterech łapy to na pewno => nie będzie psem
~4L=>~P
Zdanie C w zbiorach:
~4L=>~P = [~4L*~P = ~4L] =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór ~4L=[kura, wąż..] zawiera się => w zbiorze ~P=[słoń, kura, wąż..], a nie że zbiór wynikowy jest niepusty!
Dodatkowo zbiory ~4L i ~P są różne co wymusza definicję implikacji prostej w logice ujemnej (bo ~P):
Zbiór ~4L zawiera się => w zbiorze ~P i nie jest tożsamy ze zbiorem ~P
~4L|=>~P = (~4L=>~P)*~[~4L=~P]
Bezpośrednio z warunku wystarczającego C wynika fałszywość kontrprzykładu D:
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to może ~~> być psem
Jeśli wylosowane w przyszłości zwierzę nie będzie miało czterech łapy to może ~~> być psem
~4L~~>P = ~4L*P =0
bo zbiory ~4L=[kura, wąż..] i P=[pies] są rozłączne
7.2.1 Implikacja odwrotna |~> w spójnikach implikacyjnych
W implikacji i równoważności mamy do czynienia z trzema podstawowymi spójnikami implikacyjnymi =>, ~> i ~~>
Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Zajście zdarzenia p wymusza => zajście zdarzenia q
Wymuszam dowolne p i pojawia się q
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH
Wymuszam padanie i mam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Definicja warunku koniecznego ~>:
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zajście zdarzenia p jest konieczne ~> aby zaszło q
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Zabieram chmury i znika mi możliwość padania
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Zbiór p ma co najmniej jeden element ze zbiorem q
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Definicja ogólna:
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1 - sytuacja możliwa
B.
Jeśli jutro będzie padać to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0 - sytuacja niemożliwa
Naturalny spójnik „może” ~~> zwany jest w logice matematycznej kwantyfikatorem małym.
Rys. 7.3.3 Implikacja odwrotna |~> w spójnikach implikacyjnych =>, ~> i ~~>
Najważniejsze są tu definicje symboliczne, bo to jest naturalna logika matematyczna każdego człowieka. W definicji symbolicznej wszystkie zmienne sprowadzone są do jedynek z czego wynika, iż nie ma tu żadnych tabel zero-jedynkowych. Kodowanie zero-jedynkowe definicji symbolicznych pokazuje 100% zgodność z teorią i praktyką bramek logicznych, czyli z zero-jedynkowymi definicjami operatorów logicznych. Każdą definicję symboliczną kodujemy zero-jedynkowo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia widniejącym w nagłówku tabeli zero-jedynkowej.
Przejście z definicji symbolicznej do tabeli zero-jedynkowej umożliwiają prawa Prosiaczka.
Prawa Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
(~p=1) = (p=0)
Rysunek R20
Punkt odniesienia ustala tu nagłówek kolumny wynikowej tabeli zero-jedynkowej:
W: p|~>q
Punktem odniesienia są tu sygnały: p, q
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli symbolicznej umożliwia prawo Prosiaczka:
(~p=1) = (p=0)
| Kod: |
Definicja symboliczna |Definicja zero-jedynkowa
operatora |~> |operatora |~>
( p=1) = |( p=1) - przekształcenie bezpośrednie
(~p=1) = |( p=0) - prawo Prosiaczka
( q=1) = |( q=1) - przekształcenie bezpośrednie
(~q=1) = |( q=0) - prawo Prosiaczka
|
Podsumowanie:
W miejsce zmiennej niezanegowanej w tabeli symbolicznej wstawiamy 1, natomiast w miejsce zmiennej zanegowanej wstawiamy 0.
Po takim podstawieniu uzyskujemy tabelę zero-jedynkową zgodną z definicją implikacji odwrotnej p|~>q.
Rysunek R21
Punkt odniesienia ustala tu nagłówek kolumny wynikowej tabeli zero-jedynkowej:
U: ~p|=>~q
Punktem odniesienia są tu sygnały: ~p, ~q
Kodowanie zero-jedynkowe tabeli symbolicznej umożliwia prawo Prosiaczka:
(p=1) =(~p=0)
| Kod: |
Definicja symboliczna |Definicja zero-jedynkowa
operatora |~> |operatora implikacji prostej ~p|=>~q
(~p=1) = |(~p=1) - przekształcenie bezpośrednie
( p=1) = |(~p=0) - prawo Prosiaczka
(~q=1) = |(~q=1) - przekształcenie bezpośrednie
( q=1) = |(~q=0) - prawo Prosiaczka
|
Podsumowanie:
W miejsce zmiennej zanegowanej w tabeli symbolicznej wstawiamy 1, natomiast w miejsce zmiennej niezanegowanej wstawiamy 0.
Po takim podstawieniu uzyskujemy tabelę zero-jedynkową zgodną z definicją implikacji prostej ~p|=>~q.
Dokładnie to samo robimy dla rysunków R22 i R23.
1.
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q) o definicji w R20AB:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q =1
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q bo zabieram p i znika mi q
W implikacji, gdzie zbiory p i q nie są tożsame warunek konieczny A wymusza prawdziwość zdania B
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1 - sytuacja możliwa
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Chmury są warunkiem koniecznym ~> aby jutro padało bo jak nie będzie chmur to na pewno => nie będzie padać.
Stąd mamy prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
lub
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~>nie padać
CH~~>~P = CP*~P =1 - sytuacja możliwa
2.
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q) o definicji w R21CD:
C.
Jeśli zajdzie zdarzenie ~p to na pewno => zajdzie zdarzenie ~q
~p=>~q =1
Zajście zdarzenia ~p wystarcza => dla zajścia zdarzenia ~q
D.
Jeśli zajdzie zdarzenie ~p to może ~~> zajść zdarzenie q
~p~~>q = ~p*q =0
Zdanie D to kontrprzykład dla warunku wystarczającego C.
Prawdziwość warunku wystarczającego C wymusza fałszywość kontrprzykładu D i odwrotnie.
Przykład:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => aby nie padało (~P=1)
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0 - sytuacja niemożliwa
Zauważmy, że operator logiczny dwuargumentowy to zawsze cztery linie zawierające zdania ze wszystkimi możliwymi przeczeniami p i q, natomiast spójniki implikacyjne (warunek konieczny ~> i wystarczający =>) to zaledwie dwie linie operatora logicznego (pola zielone).
Definicja żywego spójnika logicznego:
Spójnik żywy to spójnik istniejący w wypowiedzianym zdaniu.
Kolor zielony w powyższym diagramie.
Definicja martwego spójnika logicznego:
Spójnik martwy to spójnik nie biorący udziału w logice, to wyłącznie uzupełnienie spójnika żywego do pełnego operatora logicznego.
Kolor brązowy w powyższym diagramie.
Definicja logiki matematycznej w algebrze Kubusia:
Logika matematyczna to matematyczny opis nieznanego
7.3.2 Prawa logiczne implikacji odwrotnej |~> w spójnikach implikacyjnych
Rys. 7.3.4 Implikacja odwrotna |~> w spójnikach implikacyjnych =>, ~> i ~~>
Tożsamość kolumn wynikowych na wszystkich rysunkach R20, R21, R22 i R23 jest dowodem prawa algebry Boole’a:
[Przyszłość: (R20: p|~>q = R21:~p|=>~q)] <=> [Przeszłość: (R22: q|=>p) = R23: ~q|~>~p)]
Prawa logiczne typu: (przyszłość) <=> (przyszłość)
R20 (przyszłość) p|~>q <=> R21 (przyszłość) ~p|=>~q
Implikacja odwrotna (bo q) w czasie przyszłym R20: p|~>q przechodzi w implikację prostą w logice ujemnej (bo ~q) w czasie przyszłym R21: ~p|=>~q (i odwrotnie)
Prawo Kubusia:
R20A (przyszłość) p~>q <=> R21C (przyszłość) ~p=>~q
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q) w czasie przyszłym R20A: p~>q przechodzi w warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q) w czasie przyszłym R21C: ~p=>~q (i odwrotnie)
Przykład:
R20A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla opadów bo jak nie będzie chmur to na pewno =. nie będzie padać
… a jeśli jutro nie będzie chmur?
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
R21C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P
Brak chmur jest warunkiem wystarczającym => dla braku opadów
Jak Kubuś doszedł do symbolicznej definicji implikacji odwrotnej |~> w czasie przeszłym?
Pomogły mu w tym dzieci z przedszkola Nr.1 w 100-milowym lesie.
Definicja logiki matematycznej w algebrze Kubusia:
Logika to matematyczny opis nieznanego
Zauważmy, że przeszłość nie musi być nam znana, w tym przypadku logika matematyczna doskonale funkcjonuje. Jeśli nie zamienimy poprzednika z następnikiem to zdania R20A i R21C obowiązują również w czasie przeszłym.
Przeszłość bez zamiany p i q
R20A.
Jeśli wczoraj było pochmurno to mogło ~> padać
CH~>P =1
R21C.
Jeśli wczoraj nie było pochmurno to na pewno => nie padało
~CH=>~P =1
Powyższy fakt sygnalizuje niebieski nagłówek (przeszłość) w tabelach R20 i R21.
Warunek konieczny ~> po zamianie p i q
Rozważmy warunek wystarczający => R20A w czasie przyszłym:
R20A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla opadów
Zamieniamy p i q w zdaniu R20A i wypowiadamy zdanie prawdziwe w czasie przeszłym:
R22C.
Jeśli wczoraj padało to na pewno => było pochmurno
P=>CH =1
Deszcz jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
R22D.
Jeśli wczoraj padało to mogło ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0 - sytuacja niemożliwa
Stąd mamy.
I prawo przemijania:
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q) w czasie przyszłym R20A: p~>q po zamianie p i q przechodzi w warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo p) w czasie przeszłym R22C: q=>p i odwrotnie.
R20A: p~>q (przyszłość) = R22C: q=>p (przeszłość)
Zauważmy, że warunku wystarczającego => w czasie przeszłym R22C: P=>CH nie mogliśmy umieścić w polu R22A: ~P~>~CH bo tu mamy warunek konieczny ~> a nie wystarczający =>, stąd pole R22AB zaznaczone jest na brązowo, jako pole martwe, nie biorące udziału w logice matematycznej.
Obszar R22AB to wyłącznie uzupełnienie spójnika żywego R22CD do pełnego operatora zero-jedynkowego, w logice wszystko musi być zgodne także z techniką bramek cyfrowych.
Warunek wystarczający => po zamianie p i q
Rozważmy warunek wystarczający => R21C w czasie przyszłym:
R21C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padało
~CH=>~P =1
Brak chmur jest warunkiem wystarczającym => dla braku opadów
Zamieńmy p i q w zdaniu R21C wypowiadając zdanie prawdziwe w czasie przeszłym:
R23A.
Jeśli wczoraj nie padało to mogło ~> nie być pochmurno
~P~>~CH=1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno bo jak pada to zawsze są chmury.
R23B.
Jeśli wczoraj nie padało to mogło ~~> być pochmurno
~P~~>CH = ~P*CH =1 - sytuacja możliwa
Stąd mamy:
II prawo przemijania
Warunek wystarczający => w logice ujemnej (bo ~q) w czasie przyszłym R21C: ~p=>~q, po zamianie p i q przechodzi w warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~p) w czasie przeszłym R23A: ~q~>~p
R21C: ~p=>~q (przyszłość) = R23A: ~q~>~p (przeszłość)
Zauważmy, że warunku koniecznego ~> w czasie przeszłym R23A: ~P~>~CH nie mogliśmy umieścić w polu R23C: P=>CH bo tu mamy warunek wystarczający => a nie konieczny ~>, stąd pole R23CD zaznaczone jest na brązowo, jako pole martwe, nie biorące udziału w logice matematycznej.
Obszar R23CD to wyłącznie uzupełnienie spójnika żywego R23AB do pełnego operatora zero-jedynkowego, w logice wszystko musi być zgodne także z techniką bramek cyfrowych.
7.3.3 Prawa logiczne implikacji odwrotnej |~> w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
Implikacja odwrotna |~> wyrażona spójnikami „lub”(*) i „i”(*) poprawnie odpowiada na pytanie o wszystkie możliwe zdarzenia jakie mogą zajść w przyszłości pod warunkiem, że wcześniej udowodnimy iż mamy do czynienia z implikacją odwrotną |~>.
W implikacji wyrażonej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) nie ma mowy o jakichkolwiek zależnościach czasowych (następstwach czasowych) które są oczywiste w spójnikach implikacyjnych =>, ~>, ~~>, nie może być tu też mowy o istocie każdej implikacji i równoważności, gwarancji matematycznej =>.
Z tego powodu w praktyce komunikacji człowieka z człowiekiem ta wersja implikacji nie jest używana z wyjątkiem specyficznych przykładów.
Zobaczmy jak wygląda tabela prawdy dla implikacji odwrotnej wyrażona spójnikami „lub”(+) i „i”(*).
Rys. 7.3.5 Implikacja odwrotna w spójnikach w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
Weźmy klasyka implikacji odwrotnej |~>:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
Definicja warunku koniecznego spełniona bo:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Dodatkowo zbiory P2 i P8 nie są tożsame co wymusza definicję implikacji odwrotnej |~>:
P2|~>P8 = (P2~>P8)*~[P2=P8]
Dopiero w tym momencie wolno nam skorzystać z prawa eliminacji implikacji odwrotnej |~> wynikającego z tabeli zero-jedynkowej tego operatora.
p|~>q = Ya+Yb+Yc
p|~>q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
Analiza matematyczna implikacji odwrotnej |~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
P2~~>P8 = P2*P8 =1 bo 8
Wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów P2 i P8 co kończy dowód prawdziwości zdania A
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1 bo 2
Wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów P2 i ~P8 co kończy dowód prawdziwości zdania B
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8
~P2~~>~P8 = ~P2*~P8 =1 bo 5
Wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów ~P2 i ~P8 co kończy dowód prawdziwości zdania C
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =0 bo zbiory ~P2 i P8 są rozłączne
Definicja implikacji odwrotnej |~> w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) to najprostszy algorytm rozstrzygający czy rzeczywiście mamy do czynienia z implikacją odwrotną |~>. Wystarczy bowiem pokazać po jednym elemencie wspólnym zbiorów A, B i C oraz wykluczyć przypadek D, co kończy dowód iż mamy do czynienia z implikacją prostą P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8).
Podsumowując:
Doskonale widać, dlaczego w dzisiejszej logice matematycznej nie jest znane pojęcie gwarancji matematycznej => (warunku wystarczającego =>) w implikacji.
W spójnikach „lub”(+) i „i”(*) nie ma mowy o jakimkolwiek warunku wystarczającym => (gwarancji matematycznej =>) w implikacji.
Jedyne prawo matematyczne, jakie zachodzi w implikacji odwrotnej |~> wyrażonej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) to prawo tożsamości wiedzy które dotyczy dowolnej tabeli zero-jedynkowej, w szczególności naszej implikacji odwrotnej |~> wyżej.
Prawo tożsamości wiedzy:
Dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej, o dowolnej ilości zmiennych binarnych, jeśli znane jest równanie logiczne opisujące wynikowe jedynki to automatycznie znane jest równanie logiczne opisujące wynikowe zera (i odwrotnie).
Sprawdźmy to dla zero-jedynkowej tabeli implikacji odwrotnej |~>.
Z tabeli R24 odczytujemy równanie logiczne opisujące wynikowe jedynki. Zauważmy, że w tej tabeli wynikowe jedynki opisują obszar aktywny (kolor zielony), biorący udział w logice matematycznej.
Obszar aktywny (zielony) to szczegółowa odpowiedź na pytanie kiedy funkcja logiczna:
Y = p|~>q
przyjmie w wyniku wartość logiczną 1 (prawda)
Y = (p|~>q) = Ya+Yb+Yc
Y = (p|~>q) = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
(p|~>q)=1 <=> A: (p*q)=1 lub B: (p*~q)=1 lub C: (~p*~q)=1
stąd mamy:
Y = p*q + p*~q + ~p*~q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*~q
Y = p+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = ~p*(p+q)
~Y =~p*p + ~p*q
~Y = ~p*q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Y = p+~q
Obszar aktywny w tabeli R24 (zielony) opisuje zatem funkcja logiczna po minimalizacji:
Y = p+~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
W tabeli zero-jedynkowej R24 w nagłówku mamy Y, zatem ta tabela jest aktywna dla wszystkich jedynek (Y=1) w kolumnie wynikowej. Zera w tabeli R24 są martwe i nie biorą udziału w logice.
Mówi o tym prawo Sowy:
Nagłówek w dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli
Zauważmy, że po zanegowaniu kolumny wynikowej co zrobiono w tabeli R25, obszar martwy w tabeli R24 (brązowy) automatycznie staje się obszarem aktywnym (zielonym) w tabeli R25.
Aktywną odpowiedź na pytanie kiedy zajdzie ~Y (~Y=1) mamy więc w tabeli R25, dokładnie w linii R25D.
~Y = ~Yb = ~p*q
~Y = ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
Matematycznie wszystko musi się zgadzać także w równaniach logicznych.
Tabela R24
W: Y = p+~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
Na moc definicji spójnika „lub”(+) wystarczy że zajdzie którykolwiek człon po prawej stronie i już ustawi funkcję logiczną Y na wartość 1, niczego więcej nie musimy dowodzić.
Oczywistym jest że nie jest to żaden dowód iż mamy do czynienia z implikacją odwrotną |~>:
Y = (p|~>q)
… a kiedy zajdzie ~Y?
Tabela R25
Przechodzimy do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U: ~Y=~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1
7.2.4 Porównanie implikacji odwrotnej w spójnikach implikacyjnych oraz w „lub”(+) i „i”(*)
Rys. 7.3.6 Implikacja odwrotna |~> w spójnikach implikacyjnych =>, ~> i ~~>
7.3.7 Implikacja odwrotna |~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Porównajmy diagram implikacji odwrotnej |~> w spójnikach implikacyjnych =>, ~> i ~~> (Rys. 7.3.6) z diagramem implikacji odwrotnej |~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) (Rys.7.3.7).
Doskonale widać, że obszary biorące udział w logice matematycznej (kolor zielony) różnią się fundamentalnie.
W implikacji odwrotnej wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nie ma mowy o jakichkolwiek zależnościach czasowych (następstwach czasowych) doskonale widocznych w implikacji odwrotnej wyrażonej spójnikami implikacyjnymi =>, ~> i ~~>.
I.
Implikacja odwrotna |~> w spójnikach implikacyjnych
Implikacja odwrotna w spójnikach implikacyjnych =>, ~> i ~~> (Rys. 7.3.6) daje odpowiedź na pytania:
1.
Co się stanie jeśli zajdzie zdarzenie p?
R20A:
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Zabieram wszystkie p i znika mi q
2.
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
R21C:
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q
Zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Wymuszam dowolne ~p i musi pojawić się ~q
II.
Implikacja odwrotna |~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Implikacja odwrotna |~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) (Rys.7.3.7) daje odpowiedź na fundamentalnie inne pytania.
1.
Kiedy zajdzie Y=(p|~>q)=1 (Rys. R24ABC)?
Y = (p|~>q) = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
2.
Kiedy zajdzie ~Y=(~(p|~>q)=1 (Rys. R25D)?
~Y = ~(p|~>q) = ~p*q
Prawo Sowy:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki
Stąd mamy odpowiedź kiedy implikacja odwrotna |~> w spójnikach implikacyjnych =>, ~>,~~> będzie prawdziwa.
Odczytujemy z tabeli R20:
p|~>q = Ya: p~>q + Yb: p~~>~q + Yc: ~p=>~q
co matematycznie oznacza:
(p|~>q)=1 <=> Ya: (p~>q)=1 lub Yb: (p~~>~q)=1 lub Yc: (~p=>~q)=1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej przyjmie wartość 1 i już implikacja jest prawdziwa:
(p|~>q) =1
Identyczną odpowiedź dostajemy w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Odczytujemy z tabeli R24:
p|~>q = Ya: p*q + Yb: p*~q + Yc: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
(p|~>q)=1 <=> Ya: (p*q)=1 lub Yb: (p*~q)=1 lub Yc: (~p*~q) =1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej przyjmie wartość 1 i już implikacja jest prawdziwa:
(p|~>q) =1
Zauważmy, że definicję symboliczną implikacji w spójnikach implikacyjnych widać w tabeli symbolicznej na rys. R24.
Rys. 7.3.8 Implikacja odwrotna |~> w spójnikach implikacyjnych =>, ~>, ~~>
| Kod: |
R14A: p* q =1
R14B: p*~q =1
R14C:~p*~q =1
R14D:~p* q =0
|
Z linii R14D odczytujemy, iż iloczyn logiczny zbiorów ~p i q jest zbiorem pustym:
R14D: ~p~~>q = ~p*q =0
Jest to możliwe wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p zawiera się => w zbiorze ~q, mówi o tym linia R14C.
R14C: ~p=> ~q =1
Po stronie p wszystko może się zdarzyć, czyli istnieją elementy należące do zbioru p i zbioru q:
R14A: p~>q =1
Jak również istnieją elementy należące p i zbioru ~q
R14B: p~~>~q = p*~q =1
Linie R14A i R14B to dowód iż zbiory p i q nie są tożsame ~[p=q] co wymusza brak tożsamości zbiorów ~[~p=~q].
Całość to oczywiście definicja implikacji odwrotnej:
p|~>q = (p~>q)*~[p=q]
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy zez borem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q].
Łatwo zauważyć najprostszy algorytm udowodnienia czy warunek konieczny p~>q w logice dodatniej (bo q) wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej |~>:
1.
Zbiory:
Wykazujemy po jednym elemencie wspólnym zbiorów p i q w liniach:
A: p*q =1
B: p*~q =1
C: ~p*~q =1
Zdarzenia = zbiory jednoelementowe:
Wykazujemy możliwość zdarzeń opisanych liniami A, B i C
2.
Zbiory:
Wykazujemy iż zbiory opisane linią D są rozłączne:
D: ~p*q = [] =0
Zdarzenia = zbiory jednoelementowe:
Wykazujemy brak możliwości zajścia zdarzenia opisanego linią D.
Udowodnienie 1 i 2 kończy dowód.
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla deszczu
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P = CH*~P =1 - przypadek możliwy
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P =1
Brak chmur wystarcza => aby nie padało
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P = ~CH*P =0 - przypadek niemożliwy
Uwaga!
Załóżmy że jest pojutrze i wczoraj było pochmurno (CH=1) i nie padało (~P=1)
W tym przypadku prawdziwe jest wyłącznie zdanie B, pozostałe zdania A, C i D są fałszywe.
Ale!
Czy implikacja CH|~> jest prawdziwa?
Tak, bo prawdziwe okazało się jedno ze zdań wchodzące w skład definicji implikacji.
p|~>q = Ya: p*q + Yb: p*~q + Yc: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
(p|~>q)=1 <=> Ya: (p*q)=1 lub Yb: (p*~q)=1 lub Yc: (~p*~q) =1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej przyjmie wartość 1 i już implikacja jest prawdziwa:
(p|~>q) =1
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 20:14, 20 Maj 2015, w całości zmieniany 4 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
