ŚFiNiA

lucek

Trochę Kubuś mieszasz dydaktykę matematyki, z matematyką.

rafal3006

Jednak debilne (bo nie jednoznaczne) definicje czworokątów istnieją w matematyce:
[link widoczny dla zalogowanych]

Oczywiście w praktyce każdy nauczyciel matematyki je olewa, używając wyłącznie definicji JEDNOZNACZNYCH (równoważnościowych) gdzie:
Trapez to trapez, kwadrat to kwadrat, prostokąt to prostokąt, romb to romb etc

W praktyce zatem te gówniane definicje niczemu nie przeszkadzają, co więcej uczniowie nawet nie wiedzą o ich istnieniu, czego przykładem jest Kubuś który dowiedział się o ich istnieniu z powyższego linku w dyskusji z Fiklitem ... a przecież skończył elektronikę na PW-wa.

lucek

rafal3006

Definicja równoważnościowa, czyli unikalna w całym Uniwersum.

Jeśli pani powie:
Jasiu narysuj prostokąt.
To normalnemu Jasiowi nawet przez myśl nie przejdzie, aby rysować kwadrat.

Jeśli pani powie:
Jasiu narysuj czworokąt należący do grupy prostokątów.

To dopiero tu Jaś może sobie rzucić monetą i narysować cokolwiek, prostokąt lub kwadrat.

Definicja równoważnościowa:
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty równe i boki nie równe.

Definicja niejednoznaczna (dzisiejsza):
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste.
... czyli prostokąt lub kwadrat.

W matematyce praktycznej każdy normalny człowiek rozumie dzisiejszą definicję prostokąta jednoznacznie.
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste (i domyślnie boki nie równe).

... a matematycy formaliści mogą sobie twierdzić co im się podoba, czyli że prostokąt to prostokąt lub kwadrat.

lucek

Nadal nie bardzo rozumiem ... "równoważnościowa" - co jest równoważne z czym?

Kwadrat jest szczególnym przypadkiem prostokąta, tak jak sosna jest szczególnym przypadkiem drzewa - gdzie widzisz problem?

Jasiu narysuj drzewo.
To normalnemu Jasiowi nawet przez myśl nie przejdzie, aby rysować sosnę ?

Kwadrat, prostokąt,... to szczególne przypadki czworokąta, ze względu na pewne, zdefiniowane właściwości. Podobnie w dendrologii i każdej innej dziedzinie, choć za względu na naturę przedmiotu, w matematyce właściwość może być ściśle zdefiniowana, bo jest dokładnie tym, co jej definicja.

rafal3006

Analogie są takie:
drzewo - to jest definicja równoważnościowa, unikalna w Uniwersum
sosna - to jest szczególny przypadek drzewa, ta definicja jest równoważnościowa, unikalna w Uniwersum

Podzbiorem drzew są drzewa iglaste do których należy:
sosna, świerk, modrzew etc

Wszystkie te nazwy muszą być równoważnościowe, czyli unikalne w Uniwersum. Nigdy nie może być że np. sosna jest jednocześnie modrzewiem, a taką sytuacją mamy w dzisiejszej matematyce, gdzie prostokątem może być zarówno prostokąt jak i kwadrat.

Czworokąt - ta definicja jest równoważnościowa, unikalna w Uniwersum
Kwadrat - to szczególny przypadek czworokąta, to jedyna definicja poprawna w matematyce Ziemian, to jest definicja równoważnościowa, unikalna w Uniwersum

Obecna definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt który ma kąty równe i boki równe

Definicja prostokąta:
Prostokąt to czworokąt o kątach prostych
Ta definicja nie jest Unikalna w całym uniwersum, bo kwadrat jest tu w kolizji.

Zauważ że z czworokątem i kwadratem jest wszystko dobrze mimo że kwadrat to szczególny przypadek czworokąta.

Jaś nie ma szans aby poproszony o narysowanie kwadratu, narysował jakikolwiek inny czworokąt.

Z prostokątem i kwadratem jest do bani, bo Jaś poproszony o narysowanie prostokąta zgłupieje.

Prosę Pani co mam narysować?

Prostokąt który ma boki równe (kwadrat), czy prostokąt (prostokąt) który ma boki nie równe?

Najgorsze że ma prawo na mocy dzisiejszych definicji narysować kwadrat i na tej podstawie opisywać cechy prostokąta:
Przekątne w prostokącie przecinają się pod katem prostym
etc

Czy widzisz problem?

Lucek - nauczyciel matematyki w szkole podstawowej testuje wiedzę swoich uczniów.

Zadanie:
Opisz cechy prostokąta

Jaś oddaje kartkówkę gdzie narysował sobie prostokąt o równych bokach z opisem:
1.
Przekątne w prostokącie przecinają się pod katem prostym
2.
Prostokąt ma wszystkie boki równe
3.
Pole prostokąta: a*a
4.
Obwód prostokąta: 4*a

Lucek postawił pałę.

Sprytny Jaś pokazuje mu obwiązującą definicję prostokąta:

Prostokąt to czworokąt który ma wszystkie katy proste

... i mówi do Lucka.

Czy wedle tej definicji figura która narysowałem (narysował kwadrat) jest prostokątem?

Lucek,
Jest ale nie to miałem na myśli...

Jaś:
... a skąd ja mogłem wiedzieć co Pan ma na myśli?

Zadanie w myśl oficjalnej definicji prostokąta rozwiązałem prawidłowo a Pan jesteś głupcem stawiając mi pałę - zaraz napiszę do rzecznika praw dziecka.

mar3x

fiklit

Kubusiu, czy wg Twoich definicji (nie tych gównianych) mając narysować czworokąt, mogę narysować kwadrat?

rafal3006

mar3x - witamy na śfinii :szacunek:

Wykłady z algebry Kubusia

Temat:
Badziewne definicje Ziemian
… z dedykacją dla mar3x

Lucek - nauczyciel matematyki w szkole podstawowej testuje wiedzę swoich uczniów.

Zadanie:
Opisz cechy prostokąta

Jaś oddaje kartkówkę gdzie narysował sobie prostokąt o równych bokach z opisem:
1. Przekątne w prostokącie przecinają się pod katem prostym
2. Prostokąt ma wszystkie boki równe
3. Pole prostokąta: a*a
4. Obwód prostokąta: 4*a

Lucek postawił pałę.

Sprytny Jaś pokazuje mu obwiązującą w matematyce Ziemian definicję prostokąta:
Prostokąt to czworokąt który ma wszystkie kąty proste

... i mówi do Lucka.
Czy wedle tej definicji figura która narysowałem (narysował kwadrat) jest prostokątem?
Lucek:
Jest ale nie to miałem na myśli...
Jaś:
... a skąd ja mogłem wiedzieć co Pan ma na myśli?

Zadanie w myśl oficjalnej definicji prostokąta rozwiązałem prawidłowo a Pan jesteś nieuk stawiając mi pałę - zaraz napiszę do rzecznika praw dziecka.

Rozważmy na początek matematyczne relacje między pojęciami: człowiek, kobieta, mężczyzna, zwierzę.
Pojęcia te są jasne i jednoznaczne dla każdego 3-latka który nigdy nie pomyli mamy z tatą, czy też ze zwierzęciem. Aby opisać matematycznie te pojęcia wcale nie trzeba jakiejś skomplikowanej matematyki, w stylu sięgnięcie po DNA, gdzie różnice między tymi pojęciami są minimalne.

[link widoczny dla zalogowanych]
Naukowcy od wielu lat poszukują przyczyn tak znacznych, zewnętrznych różnic między człowiekiem i szympansem. Już na pierwszy rzut oka widać jak bardzo się różnimy w wyglądzie, zachowaniu czy zdolnościach budowy narzędzi, mowy. Wszystko to jest zadziwiające jeśli uzmysłowimy sobie, że różnice w budowie DNA między szympansem i człowiekiem to zaledwie 1-2%. Różnice pomiędzy ludźmi wynoszą około 0,1-0,5%.

Matematycznie wystarczy znaleźć jedną (słownie jedną) istotną cechę decydującą o przynależności do danego pojęcia.
1.
Definicja mężczyzny:
Istota żywa mająca trąbkę i posługująca się ludzkim językiem
M = IŻ*TR*LJ
2.
Definicja kobiety:
Istota żywa nie mająca trąbki i posługująca się ludzkim językiem
K = IŻ*~TR*LJ
3.
Definicja zwierzęcia:
Istota żywa nie posługująca się ludzkim językiem
Z = IŻ*~LJ

Definicja człowieka:
4.
Człowiek to mężczyzna lub kobieta
C = M+K
Podstawiając 1 i 2 mamy:
C = IŻ*TR*LJ + IŻ*~TR*LJ
C = IŻ*LJ*(TR+~TR)
;Prawa algebry Boole'a
;a+~a=1
;1*x=x
C=IŻ*LJ
Stąd mamy definicję człowieka:
5.
Człowiek to istota żywa posługująca się ludzkim językiem
C=IŻ*LJ

Doskonale widać że na mocy definicji matematycznie zachodzi:
C ## M ## K ## Z
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd dla opisu poprawnych relacji między tymi pojęciami konieczne i wystarczające są cztery pojęcia: człowiek, kobieta, mężczyzna, zwierzę.
Na mocy definicji żadnego z nich nie da się wyrugować, bo to są cztery, rożne na mocy definicji funkcje logiczne.

Analogia do naszego słynnego kwadratu i prostokąta jest taka:
1.
Definicja mężczyzny:
Istota żywa mająca trąbkę i posługująca się ludzkim językiem
M = IŻ*TR*LJ
2.
Definicja kobiety:
Istota żywa nie mająca trąbki i posługująca się ludzkim językiem
K = IŻ*~TR*LJ
5.
Człowiek to istota żywa posługująca się ludzkim językiem
C=IŻ*LJ
Matematycznie zachodzi:
C ## M ## K
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Funkcje logiczne M, K i C są różne na mocy definicji, zatem do ich opisu konieczne i wystarczające są trzy pojęcia: mężczyzna, kobieta i człowiek.

Na czym polega tragedia ziemskiej logiki?

„Logika” Ziemian:
Prostokąt to kwadrat lub prostokąt

Co jest odpowiednikiem z naszych rozważań:
Człowiek to mężczyzna lub człowiek

Oczywistym jest że ostatnie zdanie to bełkot, dokładnie taka jest „matematyka” Ziemian.
Jak widzimy, od strony czysto matematycznej definicje prostokąta i kwadratu w matematyce Ziemian są tragiczne, to zdecydowanie badziewne definicje.

Jak wygląda problem kwadratu i prostokąta w algebrze Kubusia?

Oczywiście identycznie jak relacje między: człowiekiem, mężczyzną i kobietą.

Odpowiedniki:
Człowiek = grupa prostokątów
Mężczyzna = kwadrat
Kobieta = prostokąt

Definicja kwadratu w algebrze Kubusia:
1.
Kwadrat to czworokąt mający kąty proste i boki równe
KW=CZ*KP*BR

Definicja prostokąta w algebrze Kubusia:
2.
Prostokąt to czworokąt mający kąty proste i boki nie równe
PR = CZ*KP*~BR

Analogicznie do człowieka, istnieją wyłącznie dwie figury mające kąty proste, to kwadrat i prostokąt o definicjach wyżej.

Definicja:
3.
Grupa prostokątów to kwadrat lub prostokąt
GP = KW + PR

Podstawiając 1 i 2 mamy:
GP = CZ*KP*BR + CZ*KP*~BR
GP = CZ*KP*(BR+~BR)
;Prawa algebry Boole'a
;a+~a =1
;1*x =1
GP = CZ*KP
stąd mamy tożsamą definicję grupy prostokątów:
4.
Grupa prostokątów to czworokąty o kątach prostych
GP = CZ*KP

Oczywiście matematycznie zachodzi:
KW ## PR ## GP
gdzie:
## - funkcje logiczne różne na mocy definicji

To są trzy różne definicje zatem do opisu relacji miedzy nimi potrzebne i wystarczające są trzy pojęcia: grupa prostokątów, kwadrat, prostokąt

To jest poprawna definicja:
3.
Grupa prostokątów to kwadrat lub prostokąt
GP = KW + PR

… a to jest definicja badziewna, czyli bełkot, rodem z „matematyki” Ziemian:
Prostokąt to kwadrat lub prostokąt

fiklit

lucek

fiklit

Co do rzucania monetą - dalej nie mam pojęcie o co Tobie chodzi.
Mamy P=>Q, przekształcamy do P*Q + ~P*Q + ~P*~Q.
I teraz pytanie na czym polega twardość/miękkość prawdy, dlaczego w powyższym zdaniu akurat człony ~P*Q i ~P*~Q są miękką prawdą, a P*Q prawdą twardą.
Co sprawia że akurat tak dzielisz możliwe przypadki? Dlaczego akurat "rzucanie monetą" jest w tych przpapadkach gdzie jest ~P, dlaczego nie mówisz o rzucaniu monetą pomiędzy przypadkami P*Q i ~P*Q gdzie w obu jest wspólne niezanegowane Q?

rafal3006

Relacje operatorowe między zbiorami w czworokątach

fiklit

Czy ja dobrze rozumiem, że wg Twoich definicji:
1. Kwadrat jest czworokątem
2. Kwadrat nie jest trapezem
3. Kwadrat nie jest prostokątem
?

rafal3006

Algebra Kubusia w służbie matematyki - definicje czworokątów

W dniu 21-04-2014 nad ranem, Kubuś dopisał ostatni rozdział „Matematycznej Biblii naszego Wszechświata - algebry Kubusia” stawiający kropkę nad „i”:
10.0 Algebra Kubusia w służbie matematyki - definicje czworokątów

Koniec

10.0 Algebra Kubusia w służbie matematyki - definicje czworokątów

Twierdzenie:
Definicja matematyczna czegokolwiek musi być matematycznie jednoznaczna w całym Uniwersum
gdzie:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe przez człowieka

Przykłady jednoznacznych definicji:
pies, młotek, samolot - te pojęcia są jednoznaczne w całym Uniwersum.
Trójkąt, czworokąt, kwadrat - te pojęcia są jednoznaczne w całym Uniwersum
Definicja kwadratu w matematyce Ziemian:
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty proste i boki równe
KW=KP*BR

Przykład niejednoznacznej definicji w matematyce Ziemian:
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste
PR=KP

Dlaczego w matematyce Ziemian definicja prostokąta nie jest jednoznaczna?
Bo uczeń poproszony o narysowanie prostokąta może sobie rzucić monetą i narysować cokolwiek: kwadrat lub prostokąt.

10.1 Fundamenty matematyczne

Fundament algebry Kubusia w operatorach implikacji i równoważności to zaledwie trzy definicje znaczków: =>, ~> i ~~>.

Najważniejsze operatory dwuargumentowe algebry Boole'a to:

rafal3006

rafal3006

Gościnnie z Yrizony:

[link widoczny dla zalogowanych]

fiklit

Czyli kwadrat jest czworokątem ale nie jest prostokątem.
Czyli mając narysować czworokąt mogę w szczególności narysować kwadrat, ale mając narysować prostokąt nie mogę narysować kwadratu.

Czy nie wydaje Ci się, że w pierwszym przypadku stosując Twoją argumentację, mogę wyciągnąć wniosek, że czworokąty mają równe boki?

rafal3006

fiklit

Mam kwadrat, czy nie jest on czworokątem? Czy zatem definicja kwadratu jest "równoważnościowa"? Nie sądzę. Czy każdy czworokąt nie jest wielokątem oraz figurą płaską? Nie rozumiem w ogóle w czym widzisz problem w kwadracie który jest prostokątem.

Nie widzę różnicy w relacjach między pojęciami czworokąt - kwadrat a prostokąt - kwadrat. Czemu niby służy wprowadzanie akurat w tym drugim przypadku jakiegoś innego schematu?

Jeśli nie mogę na przykładzie narysowanego kwadratu opisywać właściwości czworokąta, to dlaczego przytoczyłeś problem, że ktoś opisze właściwości prostokąta na podstawie kwadratu? Jesteś strasznie niekonsekwentny.

Dodam jeszcze, że od razu widać, że zabierasz się za zmiany czegoś czego nie rozumiesz i nie używałeś za bardzo w praktyce. Otóż nadawanie nazw figurom ma znaczenie praktyczne, ale można by się bez tego obejść i posługiwać jedynie opisami cech. I to jest tak, że to cechy są ważne, bo pewne cechy implikują inne cechy. Np. w przypadku czworokąta o wszytkich kątach prosty pole można obliczyć mnożąc długości 2 sąsiednich boków. Oczywiście masz prawo w swojej teoryjce nazywać rzeczy inaczej, ale nie zdziw się, gdy ludzie który naprawdę tego używają jedynie uśmiechną się z politowaniem.

Przykład: często jest tak, że nie wiemy wszystkiego o badanym obiekcie, albo badamy przypadek ogólny.
Np. wiemy, że mamy czworokąt w którym przynajmniej dwa przeciwległe boki są równoległe. W normalnej terminologii po prostu nazywamy taki obiekt trapezem. W Twojej, musimy ciągle operować albo pełnym opisem "czworokąt w którym przynajmniej dwa przeciwległe boki są równoległe" albo "trapez lub równoległobok lub prostokąt lub kwadrat lub rąb".
Doprawdy - wspaniałe udogodnienie.

Właściwie jedyny argument jaki podajesz za takim nazewnictwem jakie proponujesz jest taki, że ktoś nie wyciągnie błędnych ogólnych wniosków o prostokącie na podstawie kwadratu. Jednak popełniasz w tej argumentacji dwa błędy:
1. Takie wnioskowanie byłoby rozumowaniem indukcyjnym enumeracyjnym (1 element) niezupełnym. Jest to rozumowanie zawodne i nie stosuje się go w takich przypadkach.
2. Problem rozwiązujesz jedynie w wybranych przypadkach (np. kwadrat-prostokąt), ale pozostaje on w wielu innych (kwadrat-czworokąt).

Bilans zalet i wad Twojego rozwiązania przemawia zdecydowanie przeciwko niemu.

rafal3006

… nowość w podpisie:

8.9 Matematyczna historia powstania naszego wszechświata
… czyli algebra operatorów implikacji i równoważności w pigułce

Matematyczne fundamenty algebry Kubusia:
I.
=> - warunek wystarczający
p=>q = p*q =p =1
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
II.
~> - warunek konieczny
p~>q = p*q =q =1
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
W implikacji, gdzie zbiory p i q są różne warunek konieczny ~> to spójnik „może”.
III.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
p~~>q = p*q =1
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q

Na mocy definicji zachodzi:
Implikacja prosta ## implikacja odwrotna ## równoważność
p=>q=~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q ## p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja kontrprzykładu:

Kontrprzykładem dla zdania:
p=>q = p*q =p
Jest zdanie prawdziwe:
p~~>~q = p*~q =1

Kontrprzykład istnieje to:
p=>q=0
Brak kontrprzykładu jest dowodem:
p=>q=1

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 3
P8=>P3 =?
Na mocy definicji kontrprzykładu mamy:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8
Stąd mamy:
P8=>P3=0

Nieznane prawa algebry Boole’a

Prawo rozdzielności warunku wystarczającego => względem alternatywy:
p=>q+r = p=>q + p=>r
Dowód:
p=>q+r = ~p+(q+r) = ~p+~p +q +r = (~p+q) + (~p+r)
;~p=~p+~p
p=>q+r = p=>q + p=>r

Nie zachodzi rozdzielność w poprzedniku:
p+q=>r # p=>r + q=>r
Dowód:
p+q =>r = ~(p+q)+r = ~p*~q +r
gdzie:
# - różne, w znaczeniu kolumny wynikowe w tabeli zero-jedynkowej są różne

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem lub kurą to na pewno => ma cztery łapy lub dwie łapy
P+K =>4L+2L
Matematycznie zachodzi:
(P+K=>4L+2L) = (P+K=>4L) + (P+K=>2L)
Przykłady analizy szczegółowej:
1.
P+K=>4L = (P+K)*(4L) = P*4L + K*4L := P*4L =P = P=>4L
2.
P+K=>2L = (P+K)*(2L) = P*2L + K*2L : K*2L = K = K=>2L
gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy nowej teorii zbiorów

Prawo rozdzielności warunku koniecznego ~> względem alternatywy:
p+q~>r = p~>r + q~>r
Dowód:
p+q~>r = (p+q) + ~r = p+q+~r+~r = (p+~r) + (q+~r) = p~>r + q~>r

Nie zachodzi rozdzielność w następniku:
p~>q+r # p~>q + p~>r
Dowód:
p~>q+r = p+~(q+r) = p+~q*~r
gdzie:
# - różne, w znaczeniu kolumny wynikowe w tabeli zero-jedynkowej są różne

Przykład:
AO:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy lub dwie łapy to może ~> być psem lub kurą
4L+2L ~> P+K
Matematycznie zachodzi:
(4L+2L ~> P+K) = (4L~>P+K) + (2L~>P+K)
Przykłady analizy szczegółowej:
1.
4L~>P+K = (4L)*(P+K) = 4L*P + 4L*K := 4L*P =P = 4L~>P
2.
2L~>P+K = (2L)*(P+K) = 2L*P + 2L*K := 2L*K =K =2L~>K
gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy nowej teorii zbiorów

Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata

Na początku nie było ani początku, ani końca:
1.
Stan naszego Wszechświata przed jego powstaniem
0=0
NIC=NIC

… i stał się cud.
2.
1=1
3.
1=>1 = 1

Matematycznie zachodzi:
p+~p=1
Stąd:
4.
p+~p => q+~q
Matematycznie zachodzi brak rozdzielności warunku wystarczającego względem alternatywy w poprzedniku.
p+q=>r # p=>q + q=>r

Ale!

Rozbijamy 4 na dwa niezależne równania pomiędzy którymi nie ma, póki co, żadnego związku:
5.
p=>q+~q
~p=>q+~q
Dziedzina dla poprzednika w tych równaniach to:
p+~p=1
p*~p=0

8.9.1 Historia powstania operatora chaosu

Stworzenie świata - dzień pierwszy:
... na początku był chaos (Bóg stworzył chaos)

P8 =1 - zbiór liczb podzielnych przez 8
~P8=1 - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
P3=1 - zbiór liczb podzielnych przez 3
~P3=1 - zbiór liczb niepodzielnych przez 3

1=>1
P8+~P8 => P3+~P3
Nasze dwa niezależne równania to:
A1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez P3 lub ~P3
P8=>P3+~P3
C1.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez P3 lub ~P3
~P8=>P3+~P3
Dziedzina dla A i C:
Zbiór liczb naturalnych:
P8+~P8=1
P8*~P8=0

Korzystając z prawa rozdzielności warunku wystarczającego => względem alternatywy rozbijamy A1 i C1 na dwa równania:
A1.
A2: P8=>P3
B2: P8=>~P3
C1.
C2: ~P8=>~P3
D2: ~P8=>P3

A2.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez P3
P8=>P3 = P8*P3 =0 bo kontrprzykład:24
Jednak istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów P8*P3 (24)
stąd mamy:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
p~~>q =p*q=1

W analogiczny sposób wyprowadzamy równania B, C i D.
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
P8~~>~P3 = P8*~P3 = 1 bo 8
p~~>~q =p*~q =1
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 3
~P8~~>~P3 =~P8*~P3 =1 bo 5
~p~~>~q = ~p*~q =1
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo 3
~p~~>q = ~p*q =1

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A otrzymujemy tabelę zero-jedynkową operatora chaosu.
A: p~~>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

rafal3006

Dopisałem w podpisie "AK w pigułce", punkt 8.9 (wyżej lub w podpisie).

rafal3006

Fiklicie, darujmy sobie czworokąty, z punktu widzenia algebry Kubusia to kropelka w morzu, bez żadnego istotnego znaczenia. Algebra Kubusia to matematyczny opis naturalnej logiki człowieka, to jest tu najważniejsze i jednocześnie absolutnie trywialne. Nie popełnimy błędu matematycznego gdy w naturalnych zdaniach "Jeśli p to q" wszędzie gdzie jest spójnik "na pewno" użyjemy znaczka =>, a tam gdzie jest spójnik "może" użyjemy znaczka ~~> ... ot i cała logika matematyczna człowieka, w 100% zgodna z jego naturalnym językiem mówionym. Oczywiście spójnik "na pewno" => jest w logice człowieka domyślny i nie musi być wypowiedziany.

Wektorowość operatorów implikacji
Spójrzmy na diagram implikacji prostej i odwrotnej w ujęciu wektorowym.

Matematyczne fundamenty algebry Kubusia:
I.
=> - warunek wystarczający
p=>q = p*q =p =1
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
II.
~> - warunek konieczny
p~>q = p*q =q =1
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
W implikacji, gdzie zbiory p i q są różne warunek konieczny ~> to spójnik „może”.
III.
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
p~~>q = p*q =1
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q

Na mocy definicji zachodzi:
Implikacja prosta ## implikacja odwrotna ## równoważność
p=>q=~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q ## p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Rozważmy implikację prostą na przykładzie:

Wprowadźmy definicję warunku wystarczającego =>:
=> - warunek wystarczający
P=>4L = P*4L =P =1
p=>q =p*q=p=1
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

P=>4L
Zauważmy, że dowodząc iż zbiór P zawiera się w zbiorze 4L i nie jest tożsamy ze zbiorem 4L, co widać na obrazku, udowodnimy poprawnie budowę diagramu logicznego w zbiorach dokładnie jak wyżej.

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
p=>q
Zdanie A w zbiorach:
P=>4L = P*4L = P =1
p=>q = p*q =p =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P (pies) zawiera się w zbiorze 4L (pies, słoń ..)
Zbiór jednoelementowy P jest warunkiem wystarczającym => dla zbioru 4L bo wymuszam P i pojawia mi się 4L
Dodatkowo zbiory P i 4L nie są tożsame, co determinuje nam sytuację dokładnie jak na powyższym diagramie. Dowód prawdziwości zdania A plus wykazanie że zbiory P i 4L nie są tożsame determinuje budowę powyższego diagramu w 100%.

Przyjmijmy w nazwach sztywny punkt odniesienia ustalony na zdaniu A, czyli w naszych rozważaniach zawsze będzie:
p=P
q=4L

Zauważmy, że jeśli zamienimy miejscami p i q to dostaniemy zdanie odwrotne:
AO.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to na pewno => jest psem
4L=>P
q=>p
Zdanie AO w zbiorach:
4L=>P = 4L*P =P =0
q=>p = q*p =p =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest tu spełniona bo zbiór na podstawie wektora => 4L (pies, słoń..) nie zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora => P (pies)

Zauważmy że w zbiorach dostajemy tu identyczny wynik jak w zdaniu A!
A: P=>4L = P*4L =P
AO: 4L=>P = 4L*P =P

Co z tego że wynik działania w zbiorach mamy identyczny, to ten sam zbiór P (pies), skoro matematycznie zachodzi:
A: P=>4L = P*4L=P
A: P=>4L = P*4L = 1*1 =1
Oba zbiory istnieją (P=1 i 4L=1) i zbiór P (pies) zawiera się w zbiorze 4L (pies, słoń…) stąd prawdziwość zdania ze znaczkiem =>.

AO: 4L=>P = 4L*P =P
AO: 4L=>P = 4L*P =1*1 =0
Oba zbiory istnieją (4L=1 i P=1) ale doskonale widać że w tym przypadku zbiór 4L (pies, słoń..) nie zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora => P (pies), stąd w wyniku mamy 0 mimo iż zbiór wynikowy nie jest pusty!

Historyczny wniosek:
Znaczek warunku wystarczającego => nie nadaje się do opisu implikacji odwrotnej bo:
AO: 4L=>P = 4L*P =P =0
Zauważmy, że mamy tu sprzeczność czysto matematyczną, bo wynik działania w zbiorach to zbiór niepusty P (pies) czyli w wyniku powinno tu być 1 … a jest 0!

Z powyższego wynika matematyczna konieczność wprowadzenia definicji warunku koniecznego ~>.

Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - warunek konieczny
p~>q = p*q =q =1
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
W implikacji, gdzie zbiory p i q są różne warunek konieczny ~> to spójnik „może”.

Dopiero po wprowadzeniu znaczka warunku koniecznego ~> uzyskujemy poprawny opis naszego diagramu w kierunku odwrotnym.

AO.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P
Zdanie AO w zbiorach:
4L~>P = 4L*P =P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór 4L (pies, słoń..) zawiera w sobie zbiór P (pies)
Zbiór 4L jest warunkiem koniecznym ~> dla zbioru P, bo zapieram zbiór 4L i znika mi zbiór P

Oczywiście doskonale widać, że w tym kierunku istnieją zwierzęta które maja cztery łapy i nie są psami (słoń, krowa..), stąd w zdaniu AO mamy wymuszony spójnik „może” między p i q.

Pokłosiem tego faktu jest prawdziwe zdanie BO w postaci:
BO.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy może ~~> nie być psem
4L~~>~P = 4L*~P =1
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest tu spełniona bo zbiór 4L nie zawiera w sobie zbioru ~P.
Najprostszy dowód iż zbiór 4L nie zawiera w sobie zbioru ~P to skorzystanie z prawa Kubusia:
4L~>~P = P=>~4L =0
Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu BO nie może zachodzić warunek konieczny ~>
cnd

Stąd konieczność wprowadzenia do logiki naturalnego spójnika „może” ~~>.

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy.
p~~>q = p*q =1
Zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~~> ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>.

Dopiero dysponując trzema znaczkami =>, ~>, ~~> o definicjach w zbiorach jak wyżej, opiszemy prawidłowo wszelkie zbiory istniejące na powyższym diagramie znaczkami implikacyjnymi =>, ~> i ~~>

Implikacja prosta w ujęciu wektorowym

Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Rozważmy implikację prostą na przykładzie:

Wprowadźmy definicję warunku wystarczającego =>:
=> - warunek wystarczający
P=>4L = P*4L =P =1
p=>q =p*q=p=1
Zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

W implikacji prostej obserwujemy otaczającą nas rzeczywistość stojąc na podstawie wektora warunku wystarczającego =>, czyli stoimy w polu brązowym na powyższym diagramie.
Z tego miejsca nie wolno nam się ruszyć!

Opisujemy nasz przykład widziany z tego punktu odniesienia:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = P*4L = P =1
p=>q =p*q = p =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P (pies) zawiera się w zbiorze 4L (pies, słoń..)
Dodatkowo zbiory P i 4L są różne, co wymusza definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo 4L):
P=>4L = ~P~>~4L
p=>q = ~p~>~q
Z prawdziwości zdania A wynika prawdziwość zdania B co doskonale widać na diagramie.

B.
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4L = P*~4L =0
p~~>~q = p*~q =0
Bo zbiory P (pies) i ~4L (kura, wąż..) są rozłączne co wymusza w wyniku 0 (zbiór pusty)
Zdanie B to kontrprzykład dla zdania A. Udowodnienie braku kontrprzykładu B jest wystarczającym dowodem prawdziwości zdania A.

… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L = ~P*~4L = ~4L =1
~p~>~q = ~p*~q = ~q =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór ~P (słoń, kura, wąż..) zawiera w sobie zbiór ~4L (kura, waż..)
Dodatkowo zbiory ~P i ~4L są różne co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~4L):
~P~>~4L = P=>4L
~p~>~q = p=>q
Z prawdziwości zdania C wynika prawdziwość zdania D co doskonale widać na diagramie.
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L = ~P*4L =1 bo słoń
~p~~>q = ~p*q =1
Zbiór ~P (słoń, kura, wąż ..) ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem 4L (słoń, koń..)
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
~P~>4L = P=>~4L =0
Prawa strona jest fałszem, zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>.

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=1

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem C otrzymujemy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p~>~q
~p=1, p=0
~q=1, q=1