ŚFiNiA

[rafal3006]

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów to wyłącznie I, II i III:

I.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
p~~>q
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q = 1*1 =1
Wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p i q, wystarczy samo prawdopodobieństwo zajścia i już zdanie ze znaczkiem ~~> jest prawdziwe, niczego innego nie musimy dowodzić.

Naturalny spójnik „może” ~~> to nic innego jak kwantyfikator mały:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, że jeśli zajdzie p(x) to może ~~> zajść q(x)

Tożsama definicja kwantyfikatora małego:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)

Wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p(x) i q(x), wystarczy samo prawdopodobieństwo zajścia i już zdanie pod kwantyfikatorem małym jest prawdziwe.
Przykłady:
1
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1
Zbiory (stany):
CH~~>~P = CH*~P=1*1=1
Możliwe jest jednoczesne zajście stanów „chmury” i „nie pada” dlatego to zdanie jest prawdziwe.
2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P =0
Zbiory (stany)
~CH~~>P = ~CH*P =1*1=0
Oba stany są możliwe (~CH=1 i P=1), ale ich jednoczesne wystąpienie nie jest możliwe, dlatego to zdanie jest fałszywe.
3.
Prawdziwe są nawet takie zdania:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
TP~~>SK =1
Zbiory:
TP~~>SK = TP*SK=1*1=1
Oba zbiory istnieją (TP=1 i SK=1) i mają co najmniej jeden element wspólny, dlatego to zdanie spełnia definicję naturalnego spójnika „może” ~~>. Wystarczy, że pokażemy jeden taki trójkąt. Oczywiście wiemy, że w każdym trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów, ale ta wiedza nie jest potrzebna dla dowodu prawdziwości powyższego zdania z naturalnym spójnikiem „może” ~~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):
p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q = p*q = p
Znaczek => to spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki.

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są różne to mamy do czynienia z implikacją prostą w logice dodatniej (bo q) o definicji:
p=>q = ~p~>~q
Znaczek ~> to w implikacji spójnik „może” („rzucanie monetą”).

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są tożsame p=q co wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q to mamy do czynienia z równoważnością o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(p[~>]q)
W równoważności znaczek [~>] to wirtualny warunek konieczny. Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja znaczka [~>] jest spełniona, ale nie ma tu mowy o „rzucaniu monetą”, charakterystycznym dla implikacji.

Warunek wystarczający =>, w mowie potocznej spójnik „na pewno”=>, to nic innego jak kwantyfikator duży:
/\x p(x) => q(x) = p(x)*q(x) = p(x) =1
Dla każdego x, jeśli zajdzie p(x) to na pewno => zajdzie q(x)
Na mocy definicji warunku wystarczającego => zbiór p(x) musi zawierać się w zbiorze q(x).
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona, bo zbiór pies (P=pies) zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń ..)
Wymuszam dowolne P i musi pojawić się 4L, zajście P wystarcza => dla zajścia 4L
Dodatkowo zbiory P i 4L nie są tożsame co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji:
P=>4L = ~P~>~4L

III.
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q = p*q = q

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są różne to mamy do czynienia z implikacją odwrotną w logice dodatniej (bo q) o definicji:
p~>q = ~p=>~q
Znaczek ~> to w implikacji spójnik „może” (rzucanie monetą).

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są tożsame p=q co wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q to mamy do czynienia z równoważnością o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(p[~>]q)
W równoważności znaczek [~>] to wirtualny warunek konieczny. Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja znaczka [~>] jest spełniona, ale nie ma tu mowy o „rzucaniu monetą”, charakterystycznym dla implikacji.

Zauważmy, że warunku koniecznego ~> nie da się opisać ani kwantyfikatorem małym, ani kwantyfikatorem dużym, ani też jakąkolwiek kombinacją tych kwantyfikatorów.
Bez warunku koniecznego ~> nie ma mowy o jakiejkolwiek sensownej logice matematycznej zgodnej z naturalną logiką człowieka, o matematycznym opisie naturalnej logiki człowieka możemy sobie wyłącznie pomarzyć.

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..) zawiera w sobie zbiór psów (P=pies)
Zabieram zbiór 4L i musi zniknąć zbiór P, zbiór 4L jest konieczny ~> dla zbioru P
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P):
4L~>P = ~4L=>~P

[fiklit]

To jeśli AK jest dwuwartościowa, tymi wartościami są "może" i "na pewno", to jakią wartość logiczną ma zdanie P2=>~P2

[rafal3006]

Twierdzenie Lwa

Definicja logiki matematycznej:
Logika to matematyczny opis nieznanego, czyli przyszłości lub nieznanej przeszłości.

Wbrew pozorom przeszłośc nie musi być znana np. poszukiwanie mordercy

Twierdzenie Lwa:
Dowolne zdanie prawdziwe „Jeśli p to q” na pewno wchodzi w skład operatora chaosu, implikacji prostej, implikacji odwrotnej, równoważności, samodzielnego warunku wystarczającego albo samodzielnego warunku koniecznego. Dowolne zdanie fałszywe może wchodzić w skład jednego z wyżej wymienionych operatorów, ale nie musi.

Logika matematyczna to nie tylko rozstrzyganie prawdziwości/fałszywości zdań, ale również rozstrzyganie w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane, także fałszywe.

Definicje dla potrzeb twierdzenia Lwa:

Implikacja prosta:
Definicja znaczka => (warunek wystarczający):
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q
KONIEC definicji
Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
To wytłuszczone zastrzeżenie to właściwość implikacji
Brak tożsamości zbiorów p#q wymusza brak tożsamości zbiorów ~p#~q

Implikacja odwrotna:
Definicja znaczka ~> (warunku koniecznego):
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
KONIEC definicji
Definicja implikacji odwrotnej w zbiorach:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
To wytłuszczone zastrzeżenie to właściwość implikacji
brak tożsamości zbiorów p#q wymusza brak tożsamości zbiorów ~p#~q

Równoważność:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
To wytłuszczone zastrzeżenie to właściwość równoważności
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q
Nie oznacza to oczywiście że zbiory p i ~p są tożsame:
p## ~p
## - różne na mocy definicji

W równoważności zachodzi tożsamość:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Negujemy wszystkie sygnały p i q:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Prawe strony są tożsame co kończy dowód:
p<=>q = ~p<=>~q

Co oznacza tożsamość:
p<=>q = ~p<=>~q
Oznacza tylko tyle, że dowodząc jednej strony tożsamości automatycznie dowodzimy drugiej strony.
Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)

Definicja tożsamości zbiorów TP=SK:
Każdy element zbioru TP zawiera się => w zbiorze SK i każdy element zbioru SK zawiera się => w zbiorze TP.
TP<=>SK = (TP=>SK)*(SK=>TP)
Tożsamość zbiorów TP=SK wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK
Na mocy definicji zachodzi:
TP=SK ## ~TP=~SK
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja tożsamości zbiorów ~TP=~SK:
Każdy element zbioru ~TP zawiera się => w zbiorze ~SK i każdy element zbioru ~SK zawiera się => w zbiorze ~TP.
~TP<=>~SK = (~TP=>~SK)*(~SK=>~TP)
Tożsamość zbiorów ~TP=~SK wymusza tożsamość zbiorów TP=SK
Na mocy definicji zachodzi:
~TP=~SK ## TP=SK
gdzie:
## - różna na mocy definicji

Co oznacza tożsamość:
p=>q = ~p~>~q

Lewa strona oznacza że zbiór p zawiera się => w zbiorze q
Prawa strona oznacza że zbiór ~p zawiera w sobie ~> zbiór ~q
W implikacji zbiory p i q są różne co wymusza różność zbiorów ~p i ~q
Znaczek ~> oznacza tu najzwyklejsze rzucanie monetą po stronie ~p

p=>q = ~p~>~q
Udowadniając iż lewa strona tożsamości wchodzi w skład definicji implikacji prostej w logice dodatniej (bo q), czyli:
p=>q
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i zbiory p i q nie są tożsame
automatycznie dowodzimy prawdziwości prawej strony tożsamości:
~p~>~q

i odwrotnie:

~p~>~q = p=>q
Udowadniając iż lewa strona tożsamości wchodzi w skład definicji implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q), czyli:
~p~>~q
Zbiór ~p zawiera w sobie ~> zbiór ~q i zbiory ~p i ~q nie są tożsame
automatycznie dowodzimy prawdziwości prawej strony tożsamości:
p=>q

Zauważmy że:
Niemożliwa jest poprawna definicja implikacji prostej bez znaczka ~>, bo sam zapis:
p=>q
Oznacza tylko tyle, że zbiór p zawiera się w zbiorze q, co jest spełnione także w równoważności.
Równoważność (zbiory p i q tożsame = brak „rzucania monetą”) to fundamentalnie co innego niż definicja implikacji gdzie rzucanie monetą występuje na mocy definicji (zbiory p i q różne = „rzucanie monetą”)

W równoważności zachodzi tożsamość:
p=>q = ~p[~>]~q

Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólne definicje znaczków => i ~> nadal są spełnione ale nie ma tu mowy o rzucaniu monetą po stronie ~p jak to jest w implikacji prostej.
Spójnik „może” ~> (rzucanie monetą) charakterystyczny dla implikacji, nie występuje w równoważności.

Dlatego w równoważności ten znaczek ~> musi mieć inny symbol i nazwę.
Algebra Kubusia:
[~>] - wirtualny warunek konieczny występujący wyłącznie w równoważności
Ogólna definicja znaczka ~> jest tu spełniona:
p[~>]q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q
~p[~>]~q
Zbiór ~p zawiera w sobie zbiór ~q
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów p=q która wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q
ale!
nie jest to spójnik „może” ~> (rzucanie monetą) znany z implikacji.

Operator chaosu:
Zbiór p ma część wspólna ze zbiorem q i żaden z tych zbiorów nie zawiera się w drugim
p~~>q =1
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
Z definicji operatora chaosu wynika, że istnieje cześć wspólna wszelkich możliwych zbiorów p, q, ~p i ~q.

Definicja samodzielnego warunku wystarczającego =>:
Następnik jest tu zanegowanym zbiorem pustym
p=>~q
Definicja warunku wystarczającego => spełniona:
Zbiór p zawiera się w zbiorze ~q, ale nie jest spełniona zero-jedynkowa definicja ani implikacji, ani też równoważności.

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno nie ma miliona łap
P=>~ML
Dziedzina:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ML=[] =0 - zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym
~ML=~[] = ~0 = [ZWZ] =1
Negacja zbioru pustego to dziedzina na której operujemy.
Zdanie A w zbiorach:
A: P=>~ML = P*~ML = P*[ZWZ] =P =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P [pies] zawiera się w zbiorze wszystkich zwierząt [ZWZ]
Prawo Kubusia tu niezachodni:
P=>~ML = ~P~>ML
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć milion łap
~P~>ML
Zdanie C w zbiorach:
~P~>ML = ~P*ML = ~P*[] =[] =0
Prawa strona równania Kubusia jest fałszem, zatem z lewej strony mamy do czynienia z samodzielnym warunkiem wystarczającym nie wchodzącym w skład implikacji prostej.


Definicja samodzielnego warunku koniecznego ~>:
Poprzednik jest tu zanegowanym zbiorem pustym
~p~>q
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona:
Zbiór ~p zawiera w sobie zbiór q, ale nie jest spełniona zero-jedynkowa definicja ani implikacji, ani też równoważności.

Przykład:
A.
Jeśli zwierzę nie ma miliona łap to może być psem
~ML~>P
Dziedzina:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ML=[] =0 - zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym
~ML=~[] = ~0 = [ZWZ] =1
Negacja zbioru pustego to dziedzina na której operujemy.
Zdanie A w zbiorach:
A: ~ML~>P = ~ML*P = [ZWZ]*P =P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór wszystkich zwierząt [ZWZ] zawiera w sobie zbiór P [pies].
Prawo Kubusia tu nie zachodzi:
~ML~>P = ML=>~P
C.
Jeśli zwierzę ma milion łap to na pewno => nie jest psem
ML=>~P
Zdanie C w zbiorach:
ML=>~P = ML*~P = []*~P = 0*~P =0
bo:
ML=0 - zbiór zwierząt mających milion łap jest zbiorem pustym

Prawa strona równania Kubusia jest fałszem, zatem z lewej strony mamy do czynienia z samodzielnym warunkiem koniecznym ~> nie wchodzącym w skład implikacji odwrotnej.

[fiklit]

Odpowiedziałeś na moje pytanie?

[rafal3006]

[fiklit]

Dalej nie mogę doszukać się odpowiedzi na moje pytanie. Ale zauważyłem fragment " "wartość logiczna zdania jest równa 1". To jak trzeba liczyć te wartości logiczne żeby wyszło, że są dwie?

[rafal3006]

Kompletna algebra Kubusia w definicjach dla zdań twierdzących oraz „Jeśli p to q”

Operatory implikacji i równoważności:

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów to wyłącznie I, II i III:

I.
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
p~~>q
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q = 1*1 =1
Wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p i q, wystarczy samo prawdopodobieństwo zajścia i już zdanie ze znaczkiem ~~> jest prawdziwe, niczego innego nie musimy dowodzić.

Naturalny spójnik „może” ~~> to nic innego jak kwantyfikator mały:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, że jeśli zajdzie p(x) to może ~~> zajść q(x)

Tożsama definicja kwantyfikatora małego:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x) =1
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)

Wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p(x) i q(x), wystarczy samo prawdopodobieństwo zajścia i już zdanie pod kwantyfikatorem małym jest prawdziwe.
Przykłady:
1
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=1
Zbiory (stany):
CH~~>~P = CH*~P=1*1=1
Możliwe jest jednoczesne zajście stanów „chmury” i „nie pada” dlatego to zdanie jest prawdziwe.
2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P =0
Zbiory (stany)
~CH~~>P = ~CH*P =1*1=0
Oba stany są możliwe (~CH=1 i P=1), ale ich jednoczesne wystąpienie nie jest możliwe, dlatego to zdanie jest fałszywe.
3.
Prawdziwe są nawet takie zdania:
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić suma kwadratów
TP~~>SK =1
Zbiory:
TP~~>SK = TP*SK=1*1=1
Oba zbiory istnieją (TP=1 i SK=1) i mają co najmniej jeden element wspólny, dlatego to zdanie spełnia definicję naturalnego spójnika „może” ~~>. Wystarczy, że pokażemy jeden taki trójkąt. Oczywiście wiemy, że w każdym trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów, ale ta wiedza nie jest potrzebna dla dowodu prawdziwości powyższego zdania z naturalnym spójnikiem „może” ~~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):
p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q = p*q = p
Znaczek => to spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki.

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są różne to mamy do czynienia z implikacją prostą w logice dodatniej (bo q) o definicji:
p=>q = ~p~>~q
Znaczek ~> to w implikacji spójnik „może” („rzucanie monetą”).

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są tożsame p=q co wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q to mamy do czynienia z równoważnością o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(p[~>]q)
W równoważności znaczek [~>] to wirtualny warunek konieczny. Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja znaczka [~>] jest spełniona, ale nie ma tu mowy o „rzucaniu monetą”, charakterystycznym dla implikacji.

Warunek wystarczający =>, w mowie potocznej spójnik „na pewno”=>, to nic innego jak kwantyfikator duży:
/\x p(x) => q(x) = p(x)*q(x) = p(x) =1
Dla każdego x, jeśli zajdzie p(x) to na pewno => zajdzie q(x)
Na mocy definicji warunku wystarczającego => zbiór p(x) musi zawierać się w zbiorze q(x).
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona, bo zbiór pies (P=pies) zawiera się w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń ..)
Wymuszam dowolne P i musi pojawić się 4L, zajście P wystarcza => dla zajścia 4L
Dodatkowo zbiory P i 4L nie są tożsame co wymusza implikację prostą w logice dodatniej (bo 4L) o definicji:
P=>4L = ~P~>~4L

III.
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q = p*q = q

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są różne to mamy do czynienia z implikacją odwrotną w logice dodatniej (bo q) o definicji:
p~>q = ~p=>~q
Znaczek ~> to w implikacji spójnik „może” (rzucanie monetą).

Jeśli dodatkowo zbiory p i q są tożsame p=q co wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q to mamy do czynienia z równoważnością o definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(p[~>]q)
W równoważności znaczek [~>] to wirtualny warunek konieczny. Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja znaczka [~>] jest spełniona, ale nie ma tu mowy o „rzucaniu monetą”, charakterystycznym dla implikacji.

Zauważmy, że warunku koniecznego ~> nie da się opisać ani kwantyfikatorem małym, ani kwantyfikatorem dużym, ani też jakąkolwiek kombinacją tych kwantyfikatorów.
Bez warunku koniecznego ~> nie ma mowy o jakiejkolwiek sensownej logice matematycznej zgodnej z naturalną logiką człowieka, o matematycznym opisie naturalnej logiki człowieka możemy sobie wyłącznie pomarzyć.

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..) zawiera w sobie zbiór psów (P=pies)
Zabieram zbiór 4L i musi zniknąć zbiór P, zbiór 4L jest konieczny ~> dla zbioru P
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P):
4L~>P = ~4L=>~P

Logika dodatnia i ujemna w operatorach implikacji i równoważności:
p=>q = ~p~>~q - definicje implikacji prostej w logice dodatniej (bo q)
~p~>~q = p=>q - definicja implikacji odwrotnej w logice ujemnej (bo ~q)
p<=>q = ~p<=>~q - równoważność w logice dodatniej gdy q

Definicja operatora chaosu:
p~~>q
Zbiór p ma część wspólna ze zbiorem q i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Zdanie p~~>q jest prawdziwe we wszystkich możliwych przeczeniach p i q
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3
Dowód:
P8~~>P3 =1 bo 24
P8~~>~P3=1 bo 8
~P8~~>~P3 =1 bo 5
~P8~~>P3 =1 bo 3

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p~>~q
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L = 1 bo pies
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
P=>4L = P*4L =P
Zbiór pies (P=pies) zawiera się => w zbiorze zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..)
Dodatkowo zbiory P i 4L są różne co wymusza definicję implikacji prostej w logice dodatniej (bo 4L):
P=>4L = ~P~>~4L

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = ~p=>~q
p~>q
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Po obu stronach tożsamości p i q muszą być tymi samymi parametrami
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P = 1 bo pies
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
4L~>P = 4L*P = P
Zbiór zwierząt z czterema łapami (4L=pies, słoń..) zawiera w sobie ~> zbiór psów (P=pies)
Dodatkowo zbiory 4L i P są różne co wymusza definicję implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo P):
4L~>P = ~4L=>~P

Równanie ogólne dla operatorów implikacji:
Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
W tożsamościach „=” musimy mieć to samo p i q.
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki tożsamościowe. Parametry p i q po obu stronach znaku ## mogą być absolutnie dowolne, w szczególności mogą być zamienione miejscami.

Definicje implikacji prostej i odwrotnej to jednocześnie prawa Kubusia.
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p=>q
Zbiór p zawiera się w zbiorze q i jest tożsamy ze zbiorem q
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q

W równoważności zachodzą prawa Kubusia:
p=>q = ~p[~>]~q
p[~>]q = ~p=>~q
gdzie:
Wirtualny warunek konieczny [~>] o definicji:
Zbiór na podstawie wektora [~>] zawiera w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora [~>]
Z powodu tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q ogólna definicja warunku koniecznego ~> znanego z implikacji jest tu spełniona, nie ma jednak mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” charakterystycznym dla implikacji.

Stąd popularna definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p[~>]q)
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego [~>] i wystarczającego => między p i q
Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(TP[~>]SK)
Aby trójkąt był prostokątny potrzeba [~>] i wystarcza => aby zachodziła w nim suma kwadratów.

W równoważności zachodzą prawa kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
p=>q = ~q=>~p
Stąd mamy najpopularniejszą definicję równoważności
Równoważność to warunek wystarczający zachodzący w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)

Przykład:
Równoważność w równaniu aksjomatycznym, wynikającym z tabeli zero-jedynkowej równoważności:
RA.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK)
Równoważności nie da się udowodnić w sposób bezpośredni, możliwy jest wyłącznie dowód pośredni poprzez dowód prawdziwości dwóch niezależnych zdań:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
C.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to na pewno => nie zachodzi suma kwadratów
~TP=>~SK =1

Dokładnie ta sama równoważność w wersji uwielbianej przez matematyków.
Definicja:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
RM.
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(SK=>TP)
Równoważności nie da się udowodnić w sposób bezpośredni, możliwy jest wyłącznie dowód pośredni poprzez dowód prawdziwości dwóch niezależnych zdań:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
B.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów to na pewno => jest prostokątny
SK=>TP =1

[fiklit]

[rafal3006]

[fiklit]

[rafal3006]

Kompletna teoria implikacji prostej i odwrotnej w AK i co z niej wynika

[fiklit]

[rafal3006]

[fiklit]

W tych definicjach używasz znaczków => i ~> których definicji nie mogę zrozumieć. Tzn. coś jest nie tak. Bo z jednej strony piszesz, że są znacząco różne, że bezsensem jest brak jednego z nich. Ale z drugiej strony z tego jak rozumiem te definicje to one znaczą to samo tylko mają inną kolejność argumentów. To trochę tak jakby w arytmetyce upierać się przy konieczności zdefiniowana drugiego odejmowania gdzie pierwszy argument odejmuję od drugiego (np 2_5=3).

Nie mogę analizować pozostałych definicji nierozumiejąc tych podstawowych.

[rafal3006]

[fiklit]

To o czym pisałem poprzednio nie opiera się na ~~>. Nie idz do przodu i nie rób mi powtórki materiału. Jest tam tylko kilka prostych terminów. Definicja => wyrażona przez zawieranie się odpowiednich zbiorów i definicja ~> również wyrażona w terminach zawierania sie zbiorów. Nie ma w tych definicjach odniesień do innych operatorów, znaczków ani nic. Wyciągasz tam wniosek moim zdaniem zupełnie nieuprawniony. Dlaczego? Skup się na tym co napisałem. Nie zamierzam skakać za Tobą po tematach. Piszę Ci że coś jest nie tak, to usiłujesz zmienić temat, to droga do nikąd. W ten sposób nie ukryjesz tego że jednak AK się kupy nie trzyma.

[rafal3006]

[fiklit]

No i ciągle piszesz coś niespójnego z tym co napisałeś wcześniej:

[rafal3006]

[fiklit]

Skoro twierdzisz, że nie możesz ich wywalić to masz kolejną sprzeczność w AK.

[rafal3006]

[fiklit]

Znowu odchodzisz od problemu.

[rafal3006]

[fiklit]

No i wciąż klepiesz to samo, bez jakiegokolwiek odniesienia się do meritum.
Jeśli zbiór A który zawiera się w zbiorze B,
to zbiór B zwiera w sobie zbiór A
Jeśli zbiór B zawiera w sobie zbiór A,
to zbiór A zawiera się w zbiorze B.
To jest to samo, ta sama sytuacja.
Zgodnie z definicją mogę tę sytuację opisać
A=>B, ale równie dobrze mogę zamiast ego napisać B~>A.
Mogę napisać B~>A ale równie dobrze A=>B.
Oba te napisy wg definicji wyrażają dokładnie to samo.

Przy takich definicjach A=>B jest tożsame z B~>A. Mogą się wzajemnie zastępować. Więc jeden z nich jest zbędny. Nie znaczy to, że jest nieprzydatny, ale nie jest niezbędny, jak piszesz.

[rafal3006]