ŚFiNiA

[rafal3006]

Algebra Kubusia
Nowa Teoria Zbiorów dla Liceum

2014-11-01

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Gdzie powstawała algebra Kubusia?
Forum śfinia.fora.pl to hlefik Kubusia, zawierający pełną historię powstawania AK:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
Forum ateista.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum yrizona.freeforums.org:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum matematyka.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]

Algebra Kubusia to końcowy efekt ośmioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, ateista.pl, yrizona.freeforums.org i matematyka.pl. Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do jej powstania.

Szczególne podziękowania dla: Rafała3006(medium), Wuja Zbója, Volratha, Macjana, Quebaba, Windziarza, Fizyka, Sogorsa, Fiklita, Yorgina, Pana Baryckiego, Zbigniewamillera, mar3x.
Specjalne podziękowania dla dzieci z przedszkola Nr.1 w 100-milowym lesie od których Kubuś nauczył się logiki matematycznej. Zawsze, gdy nie był pewien czy dobrze rozumuje udawał się do przedszkola i otrzymywał odpowiedź, maluchy nigdy go nie zawiodły.

Algebrę Kobusia doskonale znają w praktyce wszelkie istoty żywe, bo wszelkie istoty żywe pod nią podlegają. Algebra Kubusia rządzi również światem martwym, czyli w sumie, wszystkim w naszym Wszechświecie.

Algebra Kubusia to matematyka naszego Wszechświata.


Spis treści
1.0 Notacja 5
2.0 Algebra Kubusia - definicje podstawowe 8
2.1 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów 8
2.2 Definicja definicji 9
2.3 Definicja minimalna 10
2.4 Podstawowe operacje na zbiorach 10
2.5 Pojęcie rozpoznawalne 12
2.6 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego 13
2.7 Prawa Prosiaczka 16
3.0 Operatory jednoargumentowe w zbiorach 20
3.1 Definicja operatora logicznego 20
3.2 Operator transmisji 21
3.3 Operator negacji 23
3.4 Równanie ogólne dla operatorów transmisji i negacji 26
4.0 Operatory OR i AND 28
4.1 Operator AND 29
4.2 Operator OR 36
4.3 Równanie ogólne dla operatorów OR i AND 43
5.0 Implikacja i równoważność 45
5.1 Implikacja i równoważność w definicjach obliczeniowych 45
5.2 Operator chaosu 48
5.3 Implikacja prosta 51
5.4 Implikacja odwrotna 57
5.5 Równoważność 63
5.6 Implikacja - diagram ogólny 72
5.7 Równoważność - diagram ogólny 76


1.0 Notacja

Znaczenie ogólne 0 i 1:
=1 - prawda
=0 - fałsz

W algebrze Kubusia ograniczonej wyłącznie do spójników „lub”(+) i „i”(*) zbiory mają wartości logiczne:
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> zbiór na podstawie wektora ma ~~> co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
p~~>q = p*q =1 - zbiór niepusty (istnieje, zawiera co najmniej jeden element)
p~~>q = p*q =0 - zbiór pusty (nie istnieje, nie zawiera żadnych elementów)

W algebrze Kubusia rozszerzonej o spójniki implikacyjne 0 i 1 oznacza:

Definicja warunku wystarczającego =>:
=> - zbiór na podstawie wektora zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora
p=>q =1 - zbiór p zawiera się => w zbiorze q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora zawiera w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora
mamy inne znaczenie logicznego zera (=0) i logicznej jedynki (=1)
p~>q =1 zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q
Inaczej:
p~>q =0

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia:
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), spójniki implikacyjne (=>, ~>, ~~>)

Inne symbole używane w algebrze Kubusia:

~ - negacja
Prawo podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)

Spójniki przeciwne:
1.
Spójnik „i”(*) jest spójnikiem przeciwnym do spójnika „lub”(+)
2.
Warunek wystarczający => (spójnik „na pewno”) jest spójnikiem przeciwnym do warunku koniecznego ~> (w implikacji spójnik „może”)

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Y=p+q - logika dodatnia (bo Y)
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*~q - logika ujemna (bo ~Y)

Przykład:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y=K+T
gdzie:
Y = dotrzymam słowa
… tata, a kiedy skłamiesz?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K*~T
~Y - skłamię

# - różne w znaczeniu:
p=>q # q=>p
Jeśli zdanie po jednej stronie znaku # jest prawdziwe to na pewno zdanie po drugiej stronie jest fałszywe i odwrotnie

## - różne na mocy definicji

Przykład:
Równanie ogólne operatorów OR i AND:
Operator OR ## Operator AND
Y=p+q # ~Y=~p*~q ## Y=p*q # ~Y=~p+~q

Zdanie po jednej stronie znaku ## nie ma żadnego związku ze zdaniem po drugiej stronie znaku ##

Znaczenia symbolu „=” w algebrze Kubusia.


Definicja warunku wystarczającego =>:
Diagram: A: p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora musi zawierać się => w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora

Definicja warunku koniecznego ~>:
Diagram: C: ~p~>~q
~> - zbiór na podstawie wektora musi zawierać w sobie ~> zbiór wskazywany przez strzałkę wektora

Definicja naturalnego spójnika może ~~>:
Diagram: D: ~p~~>q
~~> zbiór na podstawie wektora musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora

Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p|=>q = (p=>q=~p~>~q)
Definicja tożsama:
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja obliczeniowa implikacji prostej:
p|=>q = (p=>q)*~[p=q] =[p*q=p]*~[p=q] =1
gdzie:
Implikacja prosta:
p|=>q
to warunek wystarczający => zachodzący wyłącznie w jedną stronę bo ~[p=q]=1
p=>q = [p*q=p] - definicja obliczeniowa warunku wystarczającego
Jeśli zbiór p zawiera się w zbiorze q to iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy p
[p*q=p]=[p=p]

Rodzaje tożsamości w algebrze Kubusia:
1.
Tożsamość logiczna:
p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość zdania po jednej stronie znaku „=” wymusza prawdziwość zdania po drugiej stronie
Fałszywość zdania po jednej stronie znaku „=” wymusza fałszywość zdania po drugiej stronie
2.
Makrorozkaz tożsamości zbiorów:
[p=q]
gdzie:
= - oznacza tożsamość zbiorów
Jeśli zbiory p i q są tożsame to:
[p=q] =1
inaczej:
[p=q] =0
3.
Tożsamość wartościująca:
=1 - zdanie prawdziwe
=0 - zdanie fałszywe
4.
Tożsamość definicyjna:
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Doskonale widać że w algebrze Kubusia znak tożsamości „=” występuje w czterech znaczeniach.
Nie ma sensu wprowadzania czterech różnych znaczków bo mózg człowieka to nie komputer.


2.0 Algebra Kubusia - definicje podstawowe

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów:

Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Definicja warunku wystarczającego => (gwarancja matematyczna):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>


2.1 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe przez człowieka

Definicja dziedziny:
Dziedzina to Uniwersum lub dowolny podzbiór Uniwersum.

Uniwersum to najszersza możliwa dziedzina, to zbiór wszystkich zbiorów.
Człowiek może tworzyć dowolne dziedziny w obszarze Uniwersum np. zbiór zwierząt, zbiór gwiazd, zbiór spójników logicznych, zbiór polityków, zbiór czworokątów, zbiór pojęć abstrakcyjnych … itp.

Dziedzinę możemy ustalać absolutnie dowolnie zawężając Uniwersum do interesującego nas zbioru natomiast z Uniwersum, na mocy definicji nic nie możemy zrobić. Uniwersum jest dynamiczne, może się poszerzać (gdy się uczymy) lub zwężać (gdy czegoś zapominamy) ale dla logiki to bez znaczenia.
W Uniwersum możemy wyróżnić pojęcia konieczne do komunikacji człowieka z człowiekiem których zdrowy człowieka nigdy nie zapomina czyli konkretny język (np. Chiński) plus zbiór pojęć podstawowych oczywistych dla każdego 5-cio latka np. mama, tata, pies, krasnoludek etc.

Definicja podzbioru:
Wszelkie zbiory tworzone w wybranej dziedzinie są podzbiorami w obrębie tej dziedziny

Definicja zbioru niepustego:
Zbiór niepusty to zbiór zawierający co najmniej jeden element
W logice zbiór niepusty utożsamiany jest z logiczną jedynką

Definicja zbioru pustego:
Zbiór pusty to zbiór który nie zawiera żadnych elementów
W logice zbiór pusty jest utożsamiany jest z logicznym zerem

W nowej teorii zbiorów (NTZ) zbiory mają wartość logiczną.
Zera i jedynki w NTZ oznaczają:
1 - zbiór niepusty (istnieje = zawiera co najmniej jeden element)
0 - zbiór pusty (nie istnieje = nie zawiera żadnych elementów)

Na mocy definicji możliwe są wyłącznie dwie wartości logiczne zbiorów 0 i 1.

Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
p=[1,2,3,4]
Wartość logiczną zbioru zapisujemy bez nawiasów:
p=[1,2,3,4]=1
Pierwsza tożsamość (p=[1,2,3,4]) to tożsamość definicyjna, natomiast druga tożsamość (=1) to tożsamość wartościująca, nadająca zbiorowi konkretną wartość logiczną (tu 1)

Zbiór pusty nie zawiera żadnych elementów:
p=[] =0 - zbiór pusty
Pierwsza tożsamość (p=[]) to tożsamość definicyjna, natomiast druga tożsamość (=0) to tożsamość wartościująca, nadająca zbiorowi konkretną wartość logiczną (tu 0)

Tożsamość zbiorów:
Zbiory tożsame to zbiory identyczne

A=[pies, kura]
B=[pies, kura]
stąd:
A=B
Trzecie, podstawowe znaczenie znaczka „=” to tożsamość zbiorów wyjaśniona wyżej (A=B).


2.2 Definicja definicji

Definicja definicji:
Pojęcie definiowane = właściwa definicja pojęcia definiowanego

Definicja psa:
Pies = zwierzę domowe, mające cztery łapy, szczekające
… a nawet.
Pies = zwierzę domowe, szczekające
gdzie:
„=” - tożsamość definicyjna

Dla każdego człowieka ta definicja jest wystarczająca.
Lewa strona znaku „=” to pojęcie definiowane.
Właściwa definicja pojęcia definiowanego to wyłącznie prawa strona.
Na mocy tej definicji (prawa strona) każdy człowiek jednoznacznie rozpozna tu psa, od 5-cio latka poczynając.

Przykład błędnej definicji:
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisłą, podać jego odgłos.
http://youtu.be/K0uwEbIxhQw

Ta definicja definicji obowiązuje także w matematycznych

2.3 Definicja minimalna

Definicja „pojęcia”:
Dowolne „pojęcie” w naszym Wszechświecie definiowane jest iloczynem logicznym zmiennych binarnych.

Definicja definicji minimalnej w naszym Wszechświecie:
Definicja jest definicją minimalną, jeśli usunięcie dowolnego członu w definicji powoduje matematyczną niejednoznaczność, czyli kolizję z innym „pojęciem”.

Definicja wystarczająco jednoznaczna:
Definicja wystarczająco jednoznaczna to definicja zrozumiała dla drugiego człowieka

Przykład:
Zwierzę domowe, szczekające, przyjaciel człowieka

Oczywiście nikt tu nie ma wątpliwości że chodzi o psa.

Można nawet przyjąć taką definicję minimalną:
Zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
Tu również nikt nie ma wątpliwości że chodzi o psa.
Zauważmy, że zabierając jedno pojecie lądujemy w niejednoznaczności, zatem ta definicja złożona zaledwie z dwóch elementów jest definicją minimalną.

Przykład definicji nadmiarowej sprowadzonej do absurdu:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka, nie będący słoniem, nie będący drzewem, nie będący galaktyką … etc
P=>ZS*PC*~S*~D*~G …
W iloczynie logicznym, definiującym pojęcie „pies” łatwo można dodać nieskończoną ilość pojęć będących zaprzeczeniem fałszu:
Pies to nie słoń
Pies to nie drzewo
Pies to nie galaktyka
etc


2.4 Podstawowe operacje na zbiorach

Do obsługi całej algebry Kubusia w zbiorach wystarczą nam trzy podstawowe operacje na zbiorach plus pojęcie uzupełnienia zbioru do wybranej dziedziny.

1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q= [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4]

2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] =[1,2,3,4,5,6]

3.
Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p z wykluczeniem elementów zbioru q
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
p-q = [1,2,3,4]-[3,4,5,6] =[1,2]
q-p = [3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6]

4.
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny

W nowej teorii zbiorów (NTZ) zachodzi tożsamość:
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny = negacja zbioru = zaprzeczenie zbioru

„~” - symbol przeczenia, w naturalnej logice człowieka przedrostek „NIE”

Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=~[1,2] =[3,4]
Alternatywnie:
~p = D-p = [1,2,3,4]-[1,2] = [3,4]
Gdzie:
~ - symbol przeczenia

Komentarz słowny w naturalnej logice człowieka:
Jeśli przyjmiemy zbiór p=[1,2] oraz wybierzemy dziedzinę D=[1,2,3,4] to zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p=[3,4]

Definicja dziedziny:
p+~p=1
p*~p=0
p+~p=[1,2]+[3,4]=[1,2,3,4]=1 =D
p*~p=[1,2]*[3,4]=[] =0

Na mocy definicji zachodzi:
[] =0 - dowolny zbiór pusty ma wartość logiczną 0
D =1 - dowolny zbiór niepusty ma wartość logiczną równą 1 (w szczególności Dziedzina)

Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~[] = D (~0=1)
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty:
~D = [] (~1=0)

Stąd mamy fundament dwuelementowej algebry Kubusia:
I. ~0=1
II. ~1=0

W skrajnym przypadku dziedziną może być Uniwersum

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka

Zauważmy, że jeśli za dziedzinę przyjmiemy Uniwersum to mamy ograniczenie fizyczne, na mocy definicji nie możemy wyjść poza Uniwersum. Jeśli za dziedzinę przyjmiemy dowolny inny zbiór to mamy ograniczenie dobrowolne, nie chcemy rozpatrywać przypadków spoza tej dziedziny, co nie oznacza że nie jesteśmy w stanie.

Dowolne pojęcie dobrze zdefiniowane musi mieć swoją unikalną nazwę zarówno w obrębie wybranej dziedziny jak i w obrębie Uniwersum.

W algebrze Kubusia szczególnym przypadkiem zbioru jednoelementowego jest dowolne pojęcie z palety Uniwersum.

Definicja:
Każde pojęcie zrozumiałe przez człowieka, czyli należące do jego uniwersum ma wartość logiczną jeden.


2.5 Pojęcie rozpoznawalne

Notacja:
[x] - zbiór niepusty, mający co najmniej jeden element
[] - zbiór pusty, nie zawierający żadnych elementów

W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
[x] =1
[] =0

W algebrze Kubusia zbiór pusty [] może zaistnieć wyłącznie jako wynik operacji na zbiorach, co wynika z definicji pojęcia rozpoznawalnego.

Definicja pojęcia rozpoznawalnego:
Pojęcie x jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest zaprzeczenia tego pojęcia (~x)

Przykład:
[pies] =1 - wartość logiczna pojęcia pies jest równa 1 bo jest to pojęcie rozpoznawalne w uniwersum
Przyjmijmy rozsądną dziedzinę dla tego pojęcia:
D = ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Bez żadnego trudu jesteśmy w stanie podać definicję wystarczającą tego pojęcia:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P=>S*PC
Oczywiście bez problemu rozumiemy pojęcie nie pies (~P):
~P to dowolne zwierzę nie będące psem
Ogólnie:
~P=[ZWZ-pies]
Nie pies to zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa.

Spełniona jest tu definicja dziedziny:
P+~P = [pies]+[ZWZ-pies] = [ZWZ] =1
P*~P = [pies]*[ZWZ-pies] = [] =0

Weźmy teraz pojecie:
Tuptuś =?
Nie ma tego pojęcia w naszym uniwersum, nie jesteśmy w stanie zdefiniować co to znaczy, z czego wynika że nie wiemy również co to jest NIE tuptuś (~tuptuś).
Oczywiście może się zdarzyć, że ktoś nam wytłumaczy co to jest „tuptuś”. Jeśli to zrozumiemy i zaakceptujemy to wprowadzamy to pojęcie do naszego uniwersum i od tej pory należy ono do naszego uniwersum. Często takie nazwy importujemy ze świata dzieci które mówią coś śmiesznego a my to zapamiętujemy i przekazujemy naszym przyjaciołom … na przykład ten „tuptuś” to żartobliwa nazwa córeczki mojego przyjaciela, Tygryska, bo miała ubranko z takim napisem.


2.6 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego

Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego:
Prawo podwójnego przeczenia
p=~(~p)

Fundament algebry Kubusia.
p+~p=1
p*~p=0

Zero-jedynkowy fundament algebry Boole’a
1=~0
0=~1

Zero - element neutralny w alternatywie
p+0 =p
p+1 =1

Jeden - element neutralny w koniunkcji
p*1 =p
p*0 =0

Prawa pochłaniania w algebrze Boole’a:
p+p =p
p*p =p

W algebrze Boole’a nie chodzi o dodawanie czy mnożenie obiektów lecz o ich rozpoznawalność.
Zbiór:
K=[krowa, krowa, krowa …]
Redukujemy do zbioru:
K=[krowa]
bo w logice chodzi o rozpoznawalność obiektu [krowa] a nie o dodawanie czy mnożenie krów.

Prawa maszynowe rachunku zero-jedynkowego w zbiorach

Alternatywa:
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0

Koniunkcja:
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0

Dowody:

Rozważmy zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
Stąd mamy zbiór ~p będący dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
~p=[3,4]

Prawo podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)
Dowód na naszym przykładzie:
p=[1,2]
~(~p) = ~[3,4] = [1,2]
Dopełnieniem do dziedziny dla zbioru [3,4] jest zbiór [1,2]

Definicja dziedziny (fundament algebry Kubusia):
1. p+~p=1 - zbiór ~p musi być dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
2. p*~p=0 - zbiór ~p musi być rozłączny ze zbiorem p
Dowód na naszym przykładzie:
Ad.1. p+~p = [1,2]+[3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
Ad.2. p*~p = [1,2]*[3,4] = [] =0 (zbiór pusty, brak elementów wspólnych p i ~p)
stąd mamy fundament algebry Kubusia (i Boole’a):
0=~1 - zbiór pusty to zaprzeczenie dziedziny
1= ~0 - zbiór pełny (dziedzina) to zaprzeczenia zbioru pustego
Wynika z tego że:
W dowolnym równaniu logicznym jedynka oznacza zbiór pełny (dziedzinę), natomiast zero oznacza zbiór pusty.

Dowód na przykładach mamy w kolejnych punktach:
3. p+0 =p
4. p+1 =1
Dowód na naszym przykładzie:
Ad.3. p+0 = [1,2]+[] = [1,2] = p =1 (zbiór niepusty)
Stąd:
0 -element neutralny dla sumy logicznej
Ad.4. p+1 = [1,2] +[1,2,3,4] =[1,2,3,4] = 1 (dziedzina)

4. p*1=p
5. p*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
Ad.4. p*1 = [1,2]*[1,2,3,4] = [1,2] = p =1 (zbiór niepusty)
Stąd:
1 - element neutralny dla iloczynu logicznego.
Ad.5. p*0 = [1,2]*[] = [] =0 (zbiór pusty)

Prawa maszynowe rachunku zero-jedynkowego w zbiorach.
Suma logiczna zbiorów:
6.
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
Ad.6.
1+1 = [1,2,3,4]+[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1+0 = [1,2,3,4]+[] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+1 = [] + [1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+0 = []+[]= [] =0 (zbiór pusty)

Iloczyn logiczny zbiorów:
7.
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
Ad.7.
1*1 = [1,2,3,4]*[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1*0 = [1,2,3,4]*[] = [] =0 (zbiór pusty)
0*1 = []*[1,2,3,4] = [] =0 (zbiór pusty)
0*0 = []*[] = [] =0 (zbiór pusty)

8. 1=~0
9. 0=~1
Dowód na naszym przykładzie:
Ad.8.
1 =[1,2,3,4] - dziedzina
~0 = ~[] =1 = [1,2,3,4] - zaprzeczeniem zbioru pustego jest dziedzina
Ad.9.
0=[] - zbiór pusty
~1 =~[1,2,3,4] = [] =0 - zaprzeczeniem dziedziny jest zbiór pusty

Prawa pochłaniania:
10. p+p =p
11. p*p=p
Dowód na naszym przykładzie:
Ad.10. p+p = [1,2]+[1,2] = [1,2] =p =1 (zbiór niepusty)
Ad.11. p*p = [1,2]*[1,2] = [1,2] =p =1 (zbiór niepusty)


2.7 Prawa Prosiaczka

Prawa Prosiaczka:
I.
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
II
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1)=(p=0)

Zauważmy, że niezależnie czy jesteśmy w logice dodatniej (p), czy ujemnej (~p) znaczenie zera i jedynki jest identyczne:
1 = prawda
0 = fałsz
W algebrze Kubusia logika zaszyta jest w symbolach (p, ~p) a nie w zerach i jedynkach.

Dowód praw Prosiaczka:
Udajmy się w tym celu do przedszkola, to jest właściwe miejsce dla dowodu poprawności matematycznej praw Prosiaczka (początki nauki języka).

Oznaczmy symbolicznie:
P = [pies] =1
Przyjmijmy dziedzinę:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy definicję pojęcia ~P, jako zbioru będącego uzupełnieniem pojęcia „pies” do dziedziny.
~P=[ZWZ-pies] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
W szczególności:
~P = [koza] =1

Scenka:
Tata w ZOO na spacerze ze swoim 3-letnim synkiem, Jasiem.

Jaś pokazuje paluszkiem psa i mówi:
A1.
To jest pies
P=1
co matematycznie oznacza:
Prawdą jest (=1) że to jest pies (P)

Tata:
… a może to nie pies?
Jaś:
A2.
Fałszem jest że to nie jest pies!
~P=0
co matematycznie oznacza:
Fałszem jest (=0) że to nie jest pies (~P)

Doskonale widać że zdania A1 i A2 są tożsame:
A1=A2
Stąd mamy I prawo Prosiaczka:
(P=1) = (~P=0)

Następnie Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
Patrz tata i ucz się!
B1.
To nie jest pies
~P=1
co matematycznie oznacza:
Prawdą jest (=1) że to nie jest pies (~P)

Tata:
… a może to jednak pies?

Jaś:
Tata, aleś ty głupi.
B2.
Fałszem jest że to jest pies!
P=0
co matematycznie oznacza:
Fałszem jest (=0) że to jest pies (P)

Doskonale widać że zdania B1 i B2 są tożsame:
B1=B2

Stąd mamy II prawo Prosiaczka:
(~P=1) = (P=0)

Matematycznie zachodzi:
A1=A2 # B1=B2
gdzie:
# - różne
Związek logiki dodatniej (bo P) i ujemnej (bo ~P):
P = ~(~P)
Dowód:
Prawo Prosiaczka:
(P=1) = (~P=0)
Stąd:
1 = ~(0) =1
cnd

Doskonale widać że prawo Prosiaczka działa w świecie zdeterminowanym, gdzie wszystko jest w 100% wiadome.
W świecie zdeterminowanym jeśli Jaś pokazuje psa to nie ma wyboru, musi ustawić symbol P na wartość logiczną 1.
P=1 - prawdą jest (=1) że widzę psa
Jaś nie może tu ustawić:
P=0 - fałszem jest (=0) że widzę psa
W logice symbol P jest stałą symboliczną, której wartości logicznej nie możemy zmienić.

Definicja:
Stała symboliczna to nazwa (np. pies) której wartość logiczna jest znana z góry i której to wartości logicznej nie jesteśmy w stanie zmienić.

Oczywistym jest, że jeśli nie jesteśmy w stanie zmienić wartości logicznej stałej symbolicznej to nie ma tu żadnej logiki matematycznej … ta po prostu leży i kwiczy.

Sprawdźmy czy prawa Prosiaczka działają także w świecie totalnie niezdeterminowanym gdzie nic nie jest z góry przesądzone, czyli nie znamy z góry wartości logicznych zmiennych binarnych. Oczywisty brak determinizmu to zdania w czasie przyszłym.

Oznaczmy symbolicznie:
Y - dotrzymam słowa (logika dodatnia bo Y)
~Y - skłamię (logika ujemna bo ~Y)

Rozważmy zdanie:
A1.
Jutro pójdę do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
A2.
Prawdą będzie (=1) że dotrzymam słowa (Y) jeśli jutro pójdę do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1
Zdanie matematycznie tożsame:
A3.
Fałszem będzie (=0) że skłamię (~Y) jeśli jutro pójdę do kina (K=1)
~Y=0 <=> K=1
Doskonale widać tożsamość matematyczną zdań:
A1=A2=A3
Stąd mamy I prawo Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)

… a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem A1 do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma)
B1: ~Y=~K
stąd:
B1.
Skłamię (~Y) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
B2.
Prawdą będzie (=1) że skłamię (~Y), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=1 <=> ~K=1
Zdanie tożsame:
B3.
Fałszem będzie (=0) że dotrzymam słowa (Y), jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Y=0 <=> ~K=1

Doskonale widać tożsamość matematyczną zdań:
B1=B2=B3
Stąd mamy II prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)

Matematycznie zachodzi:
A1=A2=A3 # B1=B2=B3
gdzie:
# - różne
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Podstawiając A1 i B1 mamy prawo podwójnego przeczenia:
Y = K = ~(~K)

Mamy tu sytuację fundamentalnie różną niż w przypadku Jasia w ZOO, bo operujemy zmiennymi binarnymi a nie bezwzględnymi zerami i jedynkami.

W przyszłości może zajść:
A1.
Jutro pójdę do kina
(K=1)=(~K=0)
stąd:
(Y = 1) = (~Y=0)
Y=1 - dotrzymam słowa w logice dodatniej (bo Y)
~Y=0 - dotrzymam słowa w logice ujemnej (bo ~Y)
… ale równie dobrze może zajść:
Jutro nie pójdę do kina
(~K=1) = (K=0)
Stąd:
(~Y = 1) = ( Y=0)
~Y=1 - skłamię w logice ujemnej (bo ~Y
Y=0 - skłamię w logice dodatniej (bo Y)

W zdaniu A1 nic nie jest zdeterminowane, wszystko może się zdarzyć.

Doskonale widać że prawo Prosiaczka działa w świecie niezdeterminowanym, gdzie wszystko może się zdarzyć.
W świecie niezdeterminowanym, jeśli wypowiemy zdanie:
A.
Jutro pójdę do kina
Y=K
To wartość logiczna zmiennych Y i K nie jest nam znana z góry.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to zmienna której wartości logicznej nie znamy z góry

Pojutrze może zajść cokolwiek:
Wczoraj byłem w kinie
(K=1) = (~K=0) - prawo Prosiaczka w świecie zdeterminowanym
lub
Wczoraj nie byłem w kinie
(~K=1) = (K=0) - prawo Prosiaczka w świecie zdeterminowanym




Podsumowując:
Prawa Prosiaczka działają genialnie zarówno w świecie zdeterminowanym, jak i niezdeterminowanym, możemy je zatem stosować w całej logice matematycznej bez żadnych ograniczeń, działają wszędzie.


3.0 Operatory jednoargumentowe w zbiorach

Prawo rozpoznawalności „pojęcia” w naszym wszechświecie:
Dowolne „pojęcie” p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy znamy jego zaprzeczenia ~p

Dowód na przykładzie abstrakcyjnym:
Wyobraźmy sobie ludzi żyjących i rozmnażających się w inkubatorze o idealnie stałej temperaturze:
T=const = 36,6 stopnia
W takim inkubatorze pojęcie ciepło-zimno nie istnieje bo nie sposób zmierzyć najmniejszej choćby różnicy temperatur.
Wniosek:
Nie jest możliwa znajomość pojęcia c (ciepło) bez znajomości pojęcia ~c (nie ciepło = zimno)


3.1 Definicja operatora logicznego

Prawo rozpoznawalności „pojęcia” w naszym Wszechświecie:
Dowolne „pojęcie” p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy znamy jego zaprzeczenie ~p

Na mocy powyższej definicji nie jest możliwe istnienie pojęć p i ~p, które byłoby zbiorem pustym (nierozpoznawalnym).

Przedstawmy zbiór jednoelementowy na diagramie:



Na mocy prawa rozpoznawalności pojęcia zbiory (pojęcia) p i ~p muszą istnieć, czyli ich wartość logiczna to 1.
p=1, ~p=1
Zbiory (pojęcia) p i ~p są rozłączne.

Definicja operatora logicznego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny to przyporządkowanie funkcji logicznej Y i ~Y zbiorom niepustym w taki sposób, aby pokryte zostały wszystkie rozłączne zbiory diagramu.

Dla powyższego diagramu możliwe są cztery przyporządkowania:

1.
Operator transmisji:
Y=p
~Y=~p
2.
Operator negacji:
Y=~p
~Y=p
3.
Operator chaosu:
Y =1
4.
Operator śmierci:
Y=0

Zauważmy, że definicyjne przyporządkowanie Y nie może dotyczyć wszystkich rozłącznych obszarów bo dostaniemy matematyczną sprzeczność.
Y=p
Y=~p
Y=Y
stąd mamy sprzeczność czysto matematyczną:
p=~p
cnd

Wynika z tego konieczność wprowadzenia do logiki kluczowych pojęć:
Y - logika dodania bo Y
~Y - logika ujemna bo ~Y


3.2 Operator transmisji

Definicja operatora transmisji w zbiorach:



Definicja operatora transmisji:
Operator transmisji to układ dwóch równań logicznych jednoznacznie opisujący wszystkie rozłączne zbiory na diagramie.
A: Y=p
B: ~Y=~p

Opis szczegółowy:
A.
Y= p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z równaniem A do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników (tu ich nie ma)
B.
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1

Związki logiki dodatniej i ujemnej:

Logika dodatnia (Y) to zanegowana logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo podwójnego przeczenia:
Y= p= ~(~p)

Logika ujemna (~Y) to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając A i B mamy:
~Y = ~p = ~(p) =~p

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem A otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora transmisji w logice dodatniej (bo Y):
A: Y=p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
Prawo Prosiaczka:
(Y=1) = (~Y=0)
(p=1) = (~p=0)

Dla kodowania zgodnego ze zdaniem B otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora transmisji w logice ujemnej (bo ~Y):
B: ~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
(~p=1) = (p=0)

[rafal3006]

4.3 Równanie ogólne dla operatorów OR i AND

Równanie ogólne dla operatorów OR i AND:

[rafal3006]

5.6 Implikacja - diagram ogólny



Definicja logiki matematycznej w algebrze Kubusia:
Logika to matematyczny opis nieznanego czyli nieznanej przyszłości lub nieznanej przeszłości.

Wbrew pozorom przeszłość nie musi być znana np. poszukiwanie mordercy.

Matematycznie tożsame logicznie są wszystkie linie w identycznych kolorach.

Naturalny spójnik „może” ~~> jest przemienny więc tu zdanie jest prawdziwe albo fałszywe zawsze, niezależnie od zamiany argumentów.

Zdania będące implikacjami to wyłącznie zdania z warunkiem wystarczającym => albo koniecznym ~>.

Matematyczna i potoczna definicja implikacji:
Implikacja to wynikanie (warunek wystarczający =>) zachodzący wyłącznie w jedną stronę.

Twierdzenie:
Argumenty zarówno w implikacji prostej jak i odwrotnej nie są przemienne wtedy i tylko wtedy gdy opisujemy wyłącznie przyszłość albo wyłącznie przeszłość.

Jeśli opisujemy przyszłość to matematycznie zachodzi:
A: p=>q = C: ~p~>~q (przyszłość - obszar żółty) ## I: p~>q = K: ~p=>~q (przyszłość - obszar zielony)
Jeśli opisujemy przeszłość to matematycznie zachodzi:
E: q~>p = G: ~q=>~p (przeszłość - obszar żółty) ## M: q=>p = O: ~q~>~p (przeszłość - obszar zielony)
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Twierdzenie czasowe 1.
Dowolna implikacja prosta w czasie przyszłym po zamianie argumentów przechodzi w implikację odwrotną w czasie przeszłym.
A: p=>q = ~p~>~q (przyszłość - obszar żółty) = E: q~>p = ~q=>~p (przeszłość - obszar żółty)
Zdanie prawdziwe opisujące przyszłość po zamianie argumentów i wymianie spójnika logicznego na przeciwny wymusza (=) zdanie prawdziwe opisujące przeszłość.
Zdanie prawdziwe opisujące przeszłość po zamianie argumentów i wymianie spójnika logicznego na przeciwny wymusza (=) zdanie prawdziwe opisujące przyszłość.
Dokładnie to samo obowiązuje dla zdań fałszywych.

Twierdzenie czasowe 2.
Dowolna implikacja odwrotna w czasie przyszłym po zamianie argumentów przechodzi w implikację prostą w czasie przeszłym.
I: p~>q = ~p=>~q (przyszłość - obszar zielony) = M: q=>p = ~q~>~p (przeszłość - obszar zielony)
Zdanie prawdziwe opisujące przyszłość po zamianie argumentów i wymianie spójnika logicznego na przeciwny wymusza (=) zdanie prawdziwe opisujące przeszłość.
Zdanie prawdziwe opisujące przeszłość po zamianie argumentów i wymianie spójnika logicznego na przeciwny wymusza (=) zdanie prawdziwe opisujące przyszłość.
Dokładnie to samo obowiązuje dla zdań fałszywych.

Stąd mamy kolejne znaczenie znaku „=”:
= - znak tożsamości logicznej wymuszający prawdziwość/fałszywość zdania po obu stronach znaku „=”

Wyjaśnienie:
A: p=>q (przyszłość - obszar żółty) = E: q~>p (przeszłość - obszar żółty)
Jeśli zdanie A: p=>q (przyszłość) jest prawdziwe to na pewno => prawdziwe jest zdanie E: q~>p (przeszłość)
Zachodzi też odwrotnie:
Jeśli zdanie E: q~>p (przeszłość) jest prawdziwe to na pewno => prawdziwe jest zdanie A: p=>q (przyszłość)
stąd matematyczna tożsamość logiczna

Zauważmy, ze w diagramie ogólnym implikacji nie zachodzą tożsamości matematyczne po przekątnych:
A: p=>q = C: ~p~>~q (przyszłość - obszar żółty) # M: q=>p = O: ~q~>~p (przeszłość - obszar zielony)
I: p~>q = K: ~p=>~q (przyszłość - obszar zielony) # E: q~>p = G: ~q=>~p (przeszłość - obszar żółty)
# - różne w znaczeniu
Jeśli jedna strona znaku # jest prawdziwa to druga strona znaku # na pewno jest fałszywa i odwrotnie

Przykład:
A.
p=>q
Jeśli w przyszłości wylosujemy liczbę podzielną przez 8 to na pewno => będzie ona podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8 zawiera się w zbiorze P2

Zamieniamy p i q oraz spójnik logiczny sprawdzając prawdziwość tego zdania w czasie przeszłym:
E.
q~>p
Jeśli w przeszłości wylosowaliśmy liczbę podzielną przez 2 to mogła ~> być ona podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo:
Zbiór P2 zawiera w sobie ~> zbiór P8

Doskonale widać, że zdanie prawdziwe opisujące przyszłość przeszło w zdanie prawdziwe opisujące przeszłość.

Sprawdźmy to samo na zdaniu fałszywym opisującym przyszłość zamieniając w zdaniu A p i q bez zmiany spójnika logicznego. Zdanie AF traktujemy tu jako nowe zdanie A sygnowane p=>q. Na mocy definicji wolno nam bowiem wypowiedzieć zdanie A jako prawdziwe albo fałszywe. Zdanie fałszywe uzyskamy wyłącznie poprzez zamianę p i q bez wymiany spójnika.
AF.
p=>q
Jeśli w przyszłości wylosujemy liczbę podzielną przez 2 to na pewno => będzie ona podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest tu spełniona bo:
Zbiór P2 nie zawiera się => w zbiorze P8
stąd zdanie AF jest fałszywe

Zbadajmy czy zdanie fałszywe AF opisujące przyszłość przejdzie w zdanie fałszywe opisujące przeszłość zamieniając p i q oraz wymieniając spójnik logiczny.

EF.
q~>p
Jeśli w przeszłości wylosowaliśmy liczbę podzielną przez 8 to mogła ~> być ona podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest tu spełniona bo:
Zbiór P8 nie zawiera w sobie ~> zbioru P2
stąd zdanie EF jest fałszywe

Ale!
Zdanie EF jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, gdzie wystarczy znaleźć jeden element wspólny zbiorów wskazywanych przez podstawę i strzałkę wektora ~~>.
EF1.
q~~>p
Jeśli w przeszłości wylosowaliśmy liczbę podzielną przez 8 to mogła ~~> być ona podzielna przez 2
P8~~>P2 = P8*P2 =1 bo 8
Znaleźliśmy jeden element wspólny zbiorów P8 i P2, zdanie EF1 jest prawdziwe, koniec dowodu.

Doskonale tu widać fundamentalną różnicę między znaczkami ~> i ~~>

Zauważmy, ze w diagramie ogólnym implikacji nie zachodzą tożsamości matematyczne po przekątnych:
A: p=>q = C: ~p~>~q (przyszłość - obszar żółty) # M: q=>p = O: ~q~>~p (przeszłość - obszar zielony)
I: p~>q = K: ~p=>~q (przyszłość - obszar zielony) # E: q~>p = G: ~q=>~p (przeszłość - obszar żółty)
# - różne w znaczeniu
Jeśli lewa strona znaku # jest prawdziwa to druga strona znaku # na pewno jest fałszywa i odwrotnie

Nasz przykład:
A.
p=>q
Jeśli w przyszłości wylosujemy liczbę podzielną przez 8 to na pewno => będzie ona podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo:
Zbiór P8 zawiera się w => zbiorze P2
stąd zdanie prawdziwe.
Opisujemy przeszłość w stosunku do zdania A zamieniając p i q bez wymiany spójnika logicznego.
M.
q=>p
Jeśli w przeszłości wylosowaliśmy liczbę podzielną przez 2 to na pewno => była ona podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo:
Zbiór P2 nie zawiera się => w zbiorze P8
stąd zdanie fałszywe
I.
p~>q
Jeśli w przyszłości wylosujemy liczbę podzielną przez 2 to może ~> być ona podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego spełniona bo:
Zbiór P2 zawiera w sobie ~> P8
stąd zdanie prawdziwe
Opisujemy przeszłość w stosunku do zdania I zamieniając p i q bez wymiany spójnika logicznego.
E.
q~>p
Jeśli w przeszłości wylosowaliśmy liczbę podzielną przez 8 to może ~> być ona podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo:
Zbiór P8 nie zawiera w sobie ~> zbioru P2
stąd zdanie fałszywe

Ale!
Zdanie E jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, gdzie wystarczy znaleźć jeden element wspólny zbiorów wskazywanych przez podstawę i strzałkę wektora ~~>.
E1.
q~~>p
Jeśli w przeszłości wylosowaliśmy liczbę podzielną przez 8 to mogła ~~> być ona podzielna przez 2
P8~~>P2 = P8*P2 =1 bo 8
Znaleźliśmy jeden element wspólny zbiorów P8 i P2, zdanie E1 jest prawdziwe, koniec dowodu.

Doskonale tu widać fundamentalną różnicę między znaczkami ~> i ~~>


5.7 Równoważność - diagram ogólny

Zacznijmy od diagramu ogólnego implikacji prostej


Z diagramu ogólnego implikacji doskonale widać, że jeśli wymnożymy logicznie dowolny blok żółty z dowolnym blokiem zielonym to wyzerujemy wszelkie zdania z naturalnym spójnikiem „może” ~>, bowiem mnożenie logiczne bloków odpowiada mnożeniu logicznemu odpowiednich linii.

Wtedy i tylko wtedy diagram ogólny implikacji przejdzie w diagram ogólny równoważności jak niżej.

Doskonale widać, że w implikacji rzeczywistej zawsze mamy do czynienia w jednej połówce z warunkiem wystarczającym => (100% pewnością zajścia), natomiast w drugiej połówce zawsze mamy do czynienia z najzwyklejszym „rzucaniem monetą”, warunkiem koniecznym ~> (brakiem 100% pewności zajścia).

Dla przykładu weźmy blok I.
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dal zajścia q, nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą”
Prawdziwość zdania A wymusza fałszywość kontrprzykładu B
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość zdania A zapisanego warunkiem wystarczającym =>.

„Rzucanie monetą” mamy w drugiej części definicji implikacji prostej:
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
W implikacji zbiór p zawiera się => w zbiorze q (zdanie A) oraz zbiory p i q nie są tożsame p#q, co wymusza brak tożsamości zbiorów ~p#~q.
Powoduje to prawdziwość zdania D, decydującego o „rzucaniu monetą” w każdej implikacji rzeczywistej:
p=>q = ~p~>~q
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Prawdziwość kontrprzykładu D wymusza fałszywość zdania C zapisanego warunkiem wystarczającym:
C1: ~p=>~q =0



Doskonale widać, że w równoważności nie ma mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” znanym z implikacji o czym decydowały jedynki w zdaniach z naturalnym spójnikiem „może” ~~>.
W równoważności zachodzi przemienność argumentów, stąd wszystko jedno co tu nazwiemy p a co q.

Definicja implikacji prostej urojonej:
Implikacja prosta urojona to implikacja w której „rzucanie monetą” po stronie ~p jest wycinane przez definicję równoważności i nie jest dostępne w naszym Wszechświecie.
A: p=>q = C: ~p~>~q

Definicja implikacji odwrotnej urojonej:
Implikacja odwrotna urojona to implikacja w której „rzucanie monetą” po stronie p jest wycinane przez definicję równoważności i nie jest dostępne w naszym Wszechświecie.
I: p~>q = K: ~p=>~q

Wszystkie możliwe definicje równoważności są tu następujące.

Blok I-III
p<=>q = (p=>q=~p~>~q)*(p~>q=~p=>~q)

Z powyższego równanie dostajemy cztery tożsame definicje równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p<=>q = (p~>q)*(~p~>~q)
p<=>q = (~p=>~q)*(~p~>~q)

Blok I-IV
p<=>q = (p=>q=~p~>~q)*(q=>p=~q~>~p)

Z tego równania dostajemy kolejne cztery definicje równoważności
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
p<=>q = (p=>q)*(~q~>~p)
p<=>q = (~p~>~q)*(q=>p)
p<=>q = (~p~>~q)*(~q~>~p)

Blok III-II
p<=>q = (p~>q=~p=>~q)*(q~>p=~q=>~p)

Stąd mamy kolejne cztery tożsame definicje równoważności:

p<=>q = (p~>q)*(q~>p)
p<=>q = (p~>q)*(~q=>~p)
p<=>q = (~p=>~q)*(q~>p)
p<=>q = (~p=>~q)*(~q=>~p)

Blok IV-II
p<=>q = (q=>p=~q~>~p)*(q~>p=~q=>~p)

Stąd otrzymujemy ostatnie możliwe, cztery definicje równoważności

p<=>q = (q=>p)*(q~>p)
p<=>q = (q=>p)*(~q=>~p)
p<=>q = (q~>p)*(~q~>~p)
p<=>q = (~q=>~p)*(~q=>~p)

Zauważmy że bloki I-III i IV-II są tożsame.
Dowód:
Blok I-III
p<=>q = (p=>q=~p~>~q)*(p~>q=~p=>~q)
Blok IV-II
p<=>q = (q=>p=~q~>~p)*(q~>p=~q=>~p)

Argumenty w równoważności są przemienne.
Zamieniamy w równaniu IV-II wszystkie p i q
Blok IV-II_A
q<=>p = (p=>q=~p~>~q)*(p~>q=~p=>~q)
Doskonale widać tożsamość bloków I-III i IV-II
cnd

Twierdzenie:
W algebrze Kubusia możliwych jest 12 tożsamych i różnych definicji równoważności
Dowód wyżej.

[rafal3006]

...

[rafal3006]

..

[rafal3006]

Wykłady z algebry Kubusia

Temat:
Czy zbiór pusty zawiera się w każdym zbiorze?

Oczywiście NIE!
Jeden z dowodów niżej.
Podoba mi się wstęp do nowego podpisu zaledwie 3 strony i jest w nim wszystko co najważniejsze, algebra Kubusia w pigułce.
Wczoraj opublikowałem najnowsze odkrycie:
Diagramy ogólne implikacji i równoważności, moim zdaniem to rewelacja, choć widzę że muszę lepiej to dopracować aby Ziemianie bez trudu zrozumieli.
Najnowszą notację zamieszczam w tym poście a bezpośrednio po nią dowód iż zbiór pusty nie zawiera się w każdym zbiorze.

Zaczynamy:

1.0 Notacja

Znaczenie ogólne 0 i 1:
=1 - prawda
=0 - fałsz

W algebrze Kubusia ograniczonej wyłącznie do spójników „lub”(+) i „i”(*) zbiory mają wartości logiczne:
Definicja naturalnego spójnika „może” ~~>:
~~> zbiór na podstawie wektora ma ~~> co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>
p~~>q = p*q =1 - zbiór niepusty (istnieje, zawiera co najmniej jeden element)
p~~>q = p*q =0 - zbiór pusty (nie istnieje, nie zawiera żadnych elementów)

W algebrze Kubusia rozszerzonej o spójniki implikacyjne => i ~> 0 i 1 oznacza:

Definicja warunku wystarczającego =>:
=> - zbiór na podstawie wektora zawiera się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora
p=>q =1 - zbiór p zawiera się => w zbiorze q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora zawiera w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora
mamy inne znaczenie logicznego zera (=0) i logicznej jedynki (=1)
p~>q =1 zbiór p zawiera w sobie ~> zbiór q
Inaczej:
p~>q =0

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia:
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka

Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), spójniki implikacyjne (=>, ~>, ~~>)

Inne symbole używane w algebrze Kubusia:

~ - negacja
Prawo podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)

Spójniki przeciwne:
1.
Spójnik „i”(*) jest spójnikiem przeciwnym do spójnika „lub”(+)
2.
Warunek wystarczający => (spójnik „na pewno”) jest spójnikiem przeciwnym do warunku koniecznego ~> (w implikacji spójnik „może”)

Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Y=p+q - logika dodatnia (bo Y)
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*~q - logika ujemna (bo ~Y)

Przykład:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y=K+T
gdzie:
Y = dotrzymam słowa
… tata, a kiedy skłamiesz?
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
Skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
~Y=~K*~T
~Y - skłamię

# - różne w znaczeniu:
p=>q # q=>p
Jeśli zdanie po jednej stronie znaku # jest prawdziwe to na pewno zdanie po drugiej stronie jest fałszywe i odwrotnie

## - różne na mocy definicji

Przykład:
Równanie ogólne operatorów OR i AND:
Operator OR ## Operator AND
Y=p+q # ~Y=~p*~q ## Y=p*q # ~Y=~p+~q

Zdanie po jednej stronie znaku ## nie ma żadnego związku ze zdaniem po drugiej stronie znaku ##

Znaczenia symbolu „=” w algebrze Kubusia.


Definicja warunku wystarczającego =>:
Diagram: A: p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora musi zawierać się => w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora

Definicja warunku koniecznego ~>:
Diagram: C: ~p~>~q
~> - zbiór na podstawie wektora musi zawierać w sobie ~> zbiór wskazywany przez strzałkę wektora

Definicja naturalnego spójnika może ~~>:
Diagram: D: ~p~~>q
~~> zbiór na podstawie wektora musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora

Definicja implikacji prostej w zbiorach:
p|=>q = (p=>q=~p~>~q)
Definicja tożsama:
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Definicja obliczeniowa implikacji prostej:
p|=>q = (p=>q)*~[p=q] =[p*q=p]*~[p=q] =1
gdzie:
Implikacja prosta:
p|=>q
to warunek wystarczający => zachodzący wyłącznie w jedną stronę bo ~[p=q]=1
p=>q = [p*q=p] - definicja obliczeniowa warunku wystarczającego
Jeśli zbiór p zawiera się w zbiorze q to iloczyn logiczny tych zbiorów jest równy p
[p*q=p]=[p=p]

Rodzaje tożsamości w algebrze Kubusia:
1.
Tożsamość logiczna:
p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość zdania po jednej stronie znaku „=” wymusza prawdziwość zdania po drugiej stronie
Fałszywość zdania po jednej stronie znaku „=” wymusza fałszywość zdania po drugiej stronie
2.
Makrorozkaz tożsamości zbiorów:
[p=q]
gdzie:
= - oznacza tożsamość zbiorów
Jeśli zbiory p i q są tożsame to:
[p=q] =1
inaczej:
[p=q] =0
3.
Tożsamość wartościująca:
=1 - zdanie prawdziwe
=0 - zdanie fałszywe
4.
Tożsamość definicyjna:
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Zbiór p zawiera się => w zbiorze q i nie jest tożsamy ze zbiorem q

Doskonale widać że w algebrze Kubusia znak tożsamości „=” występuje w czterech znaczeniach.
Nie ma sensu wprowadzania czterech różnych znaczków bo mózg człowieka to nie komputer.

Koniec wstępu.

Skupmy się na diagramie wyżej i na tym co jest pod nim zapisane.

Rozważmy zdanie:
A.
Jeśli kura jest psem to na pewno => pies ma cztery łapy
K*P=>P*4L

Zdanie A w zbiorach:
K*P=>P4L = [(K*P)=(P*4L)] = [[] = P] =0
Wyjaśnienia:
Zbiory kura i pies są rozłączne, stad:
K*P = [] =0
Iloczyn logiczny zbiorów P*4L to oczywiście P (pies)

Stąd w makrorozkazie tożsamości zbiorów mamy:
[[]=P] =0
Zbiory po obu stronach znaku „=” są rożne, stąd fałszywość całego zdania.

Zauważmy, że nawet jakby z Ziemianami przyjąć iż zbiór pusty zawiera się w każdym zbiorze to sytuacja nie zostanie uratowana!

Dlaczego?
W dowolnym zbiorze elementy połączone są spójnikiem „lub”(+) np.
4L ~> [pies, słoń, hipcio]
Symbolicznie:
4L ~> [P,S,H]
co matematycznie oznacza:
4L~>P+S+H
Czytamy:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem lub słoniem lub hipciem
4L~> P+S+H
Posiadanie czterech łap jest warunkiem koniecznym ~> aby być psem lub słoniem lub hipciem
Dodatkowo zbiory 4L i [P+S+H] nie są tożsame co wymusza definicję implikacji odwrotnej:
4L~>P = ~4L=>~[ P+S+H]

Wracając do naszego przykładu obalającego tezę że każdy zbiór zawiera w sobie zbiór pusty.
Cytuję powyższe:
Stąd w makrorozkazie tożsamości zbiorów mamy:
[[]=P] =0
Zbiory po obu stronach znaku „=” są rożne, stąd fałszywość całego zdania.

Co nam da ze do zbioru P wciśniemy na siłę zbiór pusty?
[[] = P+[]+[]+[]] =0

Oczywiście nic to nie pomoże!
Możemy sobie takich zbiorów pustych do psa dołożyć nieskończenie wiele, to nic nie pomoże!

Zdanie wejściowe:
A.
Jeśli kura jest psem to na pewno => pies ma cztery łapy
K*P=>P*4L =0
Pozostanie fałszywe na wieki wieków,
Amen.

[Andy72]

Zbiór pusty zawiera się w każdym zbiorze, bo z każdego niepustego zbioru mozemy wybrać 0 elementów i mieć zbiór pusty.

[rafal3006]

[Andy72]

Trochę notacja myli, ale chodzi o to że gdy zawiera się to iloczyn, część wspólna p i q równa się p? Przyznaję że wydaje mi się że tak jest.
I zgadza się do zbioru pustego bo część wspólna zbioru i zbioru pustego jest zbiorem pustym!

[rafal3006]

[rafal3006]

Dobijanie "logiki matematycznej" Ziemian, bo tylko śmierć jest dla niej wybawieniem.

Dowód ekstra iż logika matematyczna Ziemian jest do bani.

Definicja warunku koniecznego ~>:
~> - zbiór na podstawie wektora zawiera w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora

Twierdzenie:
Jeśli zbiór p zawiera w sobie zbiór q to iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem q
p~>q = [p*q=q]

Załóżmy że poprzednik p jest zbiorem pustym, natomiast q jest zbiorem niepustym.

Mamy wówczas:
p~>q = [[]*q=q] = [[]=q] =[0=q] =0
bo zbiory po obu stronach makrorozkazu tożsamości zbiorów „=” nie są identyczne.

.. no i posypał się dogmat Ziemian jakoby z „fałszu mogło wynikać wszystko”.

Logika Ziemian ewidentnie leży tu i kwiczy

[Andy72]

Ale wszystko się zgadza. p jest podzbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy część wspólna p i q to p. Gdy za p podstawiamy zbiór pusty otrzymujemy: część wspólna jakiegoś zbioru i pustego to zbiór pusty, zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru.

[rafal3006]

[Andy72]

To to samo, skoro jeden jest nadzbiorem to drugi podzbiorem

[rafal3006]

[Andy72]

[rafal3006]

To jeszcze jedno pytanie ...

Czy zdanie niżej jest prawdziwe:
Zachodzi tożsamość zbiorów p i q (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy p jest podzbiorem => q i q jest podzbiorem => p.
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)

Na mocy definicji znaczka => wyżej mamy:
p=>q = [p*q=p]
q=>p = [q*p=q]

TAK/NIE

[Andy72]

To chyba to samo co mówiłem - jeśli jest jednocześnie podzbiorem i nadzbiorem to jest tym samym

[rafal3006]

Przeczytaj jeszcze raz bo nie zrozumiałeś, i odpowiedz:
Czy definicja wyżej jest poprawną definicją tożsamości zbiorów p=q?

Podpowiedź:
Patrz twierdzenie Pitagorasa.

Czy zbiory: TP i SK są tożsame?
TP=SK

[Andy72]

To nie definicja ale twierdzenie. Co to za zbiory TP i SK ??

[rafal3006]

...

[rafal3006]

[Andy72]

Na pewno w trójkącie prostokątnym zachodzi suma kwadratów, czy gdy nie jest prostokątny to może zachodzić? nie jestem 100% pewny ale przyjmijmy że tak. Do czego prowadzą te pytania?

[rafal3006]

Wykłady z algebry Kubusia

Temat:
Naturalna logika człowieka

Wszystkie zdania niżej to naturalna logika człowieka.
W naturalnej logice człowieka zdanie AO wypowiedziane przez Jasia (lat 5) jest prawdziwe.

Twierdzenie:
Logika Ziemian stanie się zgodna z naturalną logiką człowieka wtedy i tylko wtedy gdy uzna matematyczną prawdziwość zdań „Jeśli p to q” ze spójnikiem „może”:
Jeśli zajdzie p to może zajść q

Jeśli tego nie zrobi to na wieki pozostanie wariatkowem dokładnie takim samym jak dzisiaj, czyli będzie w 100% sprzeczności z naturalną logiką człowieka bo …

Żaden normalny człowiek nigdy nie uzna prawdziwości zdania „Jeśli p to q” gdzie p i q to dwa niezależne zdania jak to jest w aktualnej, debilnej do potęgi nieskończonej logice Ziemskich „matematyków”.

Dowód:
Niech no który „matematyk” na maturze z języka polskiego napisze choć jedno zdanie w którym p i q to dwa niezależne zdania np.
Jeśli Mickiewiecz był Niemcem to pies ma cztery łapy
Zadnie prawdziwe zdaniem dzisiejszego „matematyka”
Pala gwarantowana - ma kto jakie wątpliwości?

[rafal3006]

Jako pierwszy na powyższy post "odpowiedział" Zefciu z wiara.pl

[link widoczny dla zalogowanych]