ŚFiNiA

[rafal3006]

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

Algebra Kubusia - nowa teoria zbiorów
Autorzy: Kubuś i Przyjaciele

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Podręcznik w oryginale:
Algebra Kubusia
Najważniejsze definicje:
Kompendium algebry Kubusia
Podręcznik w wersji skróconej zawierający wyłącznie część I:
Algebra Kubusia - nowa teoria zbiorów

Algebra Kubusia to końcowy efekt siedmioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, [link widoczny dla zalogowanych], [link widoczny dla zalogowanych] i [link widoczny dla zalogowanych]. Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do jej powstania. Szczególne podziękowania dla: Rafała3006(medium), Wuja Zbója, Voratha, Macjana, Quebaba, Windziarza, Fizyka, Sogorsa, Fiklita i Yorgina.


Wstęp.

Fundamentem algebry Kubusia jest nowa teoria zbiorów. Algebra Kubusia w rozszerzonej wersji zawiera dodatkowo techniczną algebrę Boole’a oraz algebrę Kubusia w służbie lingwistyki.

Algebra Kubusia to matematyka pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy, człowiek nie jest tu wyjątkiem. Z punktu widzenia logiki teoria zbiorów to zaledwie dwa zbiory p i q we wszystkich możliwych wzajemnych położeniach z których wynikają zero-jedynkowe definicje znanych człowiekowi operatorów logicznych.

Aksjomat to założenie które przyjmuje się bez dowodu.

W świecie techniki inżynierowie przyjmują za aksjomat zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych plus banalny rachunek zero-jedynkowy z którego wynikają wszelkie prawa logiczne.
Takie podejście jest poprawne jeśli interesuje nas fizyczne zbudowanie komputera (hardware), jednak sprzęt bez oprogramowania (software) to tylko bezużyteczna kupa złomu. Software (naturalna logika człowieka) to zupełnie co innego niż hardware, mimo że w obu przypadkach fundamentem jest ta sama, symboliczna algebra Boole’a (algebra Kubusia).

Jest oczywistym, że jeśli istnieje matematyka pod którą podlega człowiek, to musi być ona absolutnie banalna, na poziomie 5-cio latka. Ta maksyma przyświecała Kubusiowi od samego początku walki o rozszyfrowanie matematycznych podstaw naturalnej logiki człowieka.

W nowej teorii zbiorów znaczenie zer i jedynek wewnątrz operatorów logicznych jest inne niż w aktualnej logice matematycznej. Algebra Kubusia jest totalnie odwrotna w stosunku do logiki matematycznej Ziemian. Z tego powodu praktycznie niemożliwa jest dyskusja na rzeczowe argumenty. Warunkiem koniecznym zrozumienia nowej teorii zbiorów i algebry Kubusia jest odłożenie na półkę wszelkiej wiedzy z logiki matematycznej uczonej w ziemskich szkołach i zaczęcie wszystkiego od zera.

Nowa teoria zbiorów jest banalna bo tu nigdy nie wychodzimy poza trzy podstawowe operacje na zbiorach, alternatywę zbiorów, koniunkcję zbiorów i różnicę zbiorów. Naturalna logika człowieka to tyko i wyłącznie to, absolutnie nic więcej.

Techniczna algebra Boole’a to już zupełnie inna bajka, tu trzeba czuć dwuelementową algebrę Boole’a a to jest bardzo trudne dla matematyka przyzwyczajonego do funkcji liniowych, kwadratowych etc. Oczywistym szokiem dla przeciętnego matematyka będzie zabranie mu tych nieskończonych zbiorów i pozostawienie zaledwie dwu cyferek 0 i 1. Na szczęście techniczna algebra Boole’a to w obecnej chwili czasy epoki kamiennej, nie jest potrzebna nikomu, ani matematykom, ani inżynierom. Ci ostatni w dniu dzisiejszym operują wyłącznie w technice mikroprocesorowej gdzie nie ma śladu fizycznych bramek logicznych. Tak więc techniczną algebrę Boole’a można traktować jako ciekawostkę. Polecam ją czytelnikom których pasjonuje matematyka, mam nadzieję, że napisana jest prostym i łatwym do zrozumienia językiem.

Najśmieszniejsze sytuacje w historii 7-letniej walki o rozszyfrowanie matematycznych fundamentów naturalnej logiki człowieka to te, w których bardzo dobrzy ziemscy matematycy próbowali udowadniać Kubusiowi iż się myli, powołując się na analogię do klasycznych funkcji operujących na nieskończonych zbiorach liczb. Problem w tym, że tu nie ma żadnej analogii.
Matematyka klasyczna to fundamentalnie co innego niż algebra Boole’a. Fundamentalnie inna jest wizualizacja funkcji logicznych. W matematyce klasycznej mamy układ kartezjański który w algebrze Boole’a jest najzwyklejszym idiotyzmem. Wykresy funkcji logicznych w algebrze Boole’a to fundamentalnie co innego, to zmiany zmiennych binarnych w funkcji czasu. Przykładowe, piękne wykresy czasowe mamy w tym [link widoczny dla zalogowanych] Aby zrozumieć symboliczną algebrę Boole’a (algebrę Kubusia) trzeba szukać analogii do naturalnej logiki 5-cio Latków, a nie do matematyki klasycznej, co Kubuś przez te lata czynił.

Jakie jest największe marzenie Kubusia?
Mam nadzieję że kiedyś będzie to podstawowy podręcznik logiki matematycznej w I klasach LO.
Nie może być tak jak to jest w dniu dzisiejszym, iż niewinnym dzieciom pierze się mózgi z naturalnej logiki człowieka zdaniami prawdziwymi typu.

[link widoczny dla zalogowanych]
Jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi
Zdanie prawdziwe w dzisiejszej „matematyce”.

Pisząc ten podręcznik starałem się aby zupełnie nowa wiedza, jaką jest algebra Kubusia, została podana po równi pochyłej od najprostszych pojęć poczynając. Proszę o sygnały w którym miejscu są ewentualne schody, będziemy je wspólnie likwidować.


Spis treści:

Część I
Nowa teoria zbiorów

1.0 Notacja

2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia
2.1 Techniczna algebra Boole’a
2.2 Definicje operatorów logicznych w zbiorach

3.0 Nowa teoria zbiorów
3.1 Podstawowe operacje na zbiorach
3.2 Prawo podwójnego przeczenia
3.3 Zdanie w algebrze Kubusia
3.4 Czym różni się zdanie twierdzące od zdania warunkowego?

4.0 Operatory jednoargumentowe
4.1 Abstrakcyjna budowa operatora logicznego
4.2 Operator transmisji w zbiorach
4.3 Operator negacji w zbiorach

5.0 Operatory implikacji i równoważności
5.1 Operator chaosu w zbiorach
5.2 Implikacja prosta w zbiorach
5.3 Najważniejsze prawa algebry Kubusia
5.3.1 Prawa Prosiaczka
5.3.2 Geneza praw Prosiaczka
5.3.3 Zastosowanie praw Prosiaczka
5.3.4 Czym różni się tożsamość od równoważności?
5.3.5 Budowa tabeli prawdy w algebrze Kubusia
5.4 Implikacja odwrotna w zbiorach
5.5 Równoważność w zbiorach
5.6 Prawa kontrapozycji w implikacji na gruncie NTZ
5.7 Alternatywne definicje implikacji i równoważności
5.8 Równania Fiklita
5.9 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata

6.0 Operatory OR i AND
6.1 Operator OR w zbiorach
6.2 Operator AND w zbiorach
6.3 Prawo przejścia do logiki przeciwnej
6.4 Operator XOR
6.5 Nietypowa równoważność
6.6 Nietypowa implikacja prosta
6.7 Samodzielny warunek wystarczający
6.8 Pseudo-operator Słonia
6.9 Obietnice i groźby

Cześć II
Techniczna algebra Boole’a

Część III
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki

Część IV
Kompendium algebry Kubusia

Część V
Definicje czworokątów w algebrze Kubusia


Część I
Nowa teoria zbiorów


1.0 Notacja

Zera i jedynki w nowej teorii zbiorów (NTZ) oznaczają:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje)
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje)

~ - symbol negacji

= - tożsamość
Zbiory:
p=q - zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q
Rachunek zero-jedynkowy:
Kolumny wynikowe w tabeli zero-jedynkowej są tożsame (identyczne)
p<=>q = ~p<=>~q

# - różne
Zbiory:
p#q - zbiór p jest różny od zbioru q
Rachunek zero-jedynkowy:
Kolumny wynikowe w tabeli zero-jedynkowej są różne
p=>q = ~p~>~q =1 # p~>q = ~p=>~q =0
Po obu stronach znaku # musimy mieć to samo p i q

## - różne na mocy definicji
Implikacja prosta ## Implikacja odwrotna
p=>q = ~p~>~q =1 ## p~>q = ~p=>~q =1
Po obu stronach znaku ## możemy mieć dowolne p i q
W przypadku implikacji zdanie po drugiej stronie znaku ## będzie prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy zamienimy miejscami p i q.

Spójniki logiczne w algebrze Kubusia:
Operatory OR i AND:
* - spójnik „i” w mowie potocznej
+ - spójnik „lub” w mowie potocznej
Operatory implikacji i równoważności:
=> - warunek wystarczający, spójnik „na pewno” w całym obszarze matematyki
~> - warunek konieczny, spójnik „może” w implikacji
[~>] - wirtualny warunek konieczny w równoważności, nie jest to spójnik „może”
~~> - naturalny spójnik „może” wystarczy pokazać jeden przypadek prawdziwy
<=> - wtedy i tylko wtedy
$ - spójnik „albo” z naturalnej logiki człowieka

Matematyczny fundament nowej teorii zbiorów:

Definicja znaczka ~~> (naturalny spójnik „może”)
~~> - zbiór na podstawie wektora ~~> musi mieć co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem wskazywanym przez strzałkę wektora ~~>

Definicja znaczka => (warunek wystarczający):
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>

Definicja znaczka ~> (warunek konieczny):
~> - zbiór na podstawie wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywany przez strzałkę wektora ~>


2.0 Aksjomatyka algebry Kubusia

Aksjomat to założenie które przyjmuje się bez dowodu.

Aksjomatyka algebry Kubusia to zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych plus banalne zasady rachunku zero-jedynkowego. Symboliczna algebra Boole’a (algebra Kubusia) to zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych zapisane w równaniach algebry Boole’a (nowa teoria zbiorów).

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady: p, q, r

~ - symbol przeczenia NIE
Fundament algebry Kubusia:
1=~0
0=~1

Prawa Prosiaczka:
I. p=0 <=> ~p=1
II. p=1 <=> ~p=0
stąd:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli ~p=0 to p=1
<=> - wtedy i tylko wtedy
Prawa Prosiaczka umożliwiają:
A.
Utworzenie równania algebry Boole’a z dowolnej tabeli zero-jedynkowej
B.
Utworzenie tabeli zero-jedynkowej z dowolnego równania algebry Boole’a

Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)

Przykład:
A: Jestem uczciwy
A: U
B: Jestem nieuczciwy
B: ~U
C: Nieprawdą jest ~(…) że jestem nieuczciwy
C: ~(~U) = A: U
Zdania A i C znaczą dokładnie to samo
cnd

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna (Y - wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q

Aksjomatyczne, zero-jedynkowe definicje operatorów logicznych to pełna teoria zbiorów w algebrze Kubusia, uwzględniająca wszystkie możliwe przypadki wzajemnego położenia zbiorów.

Znaczenie 0 i 1 w nowej teorii zbiorów:
1 - zbiór niepusty (zbiór istnieje)
0 - zbiór pusty (zbiór nie istnieje)

W tabelach zero-jedynkowych operatorów logicznych po stronie wejścia p i q mamy:
1 - zmienna z nagłówka tabeli niezanegowana
0 - zmienna z nagłówka tabeli zanegowana

Korzystając z prawa Prosiaczka:
Jeśli p=0 to ~p=1
Jeśli q=0 to ~q=1
sprowadzamy zmienne p i q do jedynek, czyli do teorii zbiorów.

[rafal3006]

Zauważmy, iż na powyższym diagramie definicja znaczka => spełniona jest wyłącznie w linii A, zatem tu i tylko tu mamy go prawo użyć:
A: p=>q = p*q = p =1
Podobnie, definicja znaczka ~> spełniona jest wyłącznie w linii C, zatem tu i tylko tu mamy prawo go użyć:
C: ~p~>~q = ~p*~q = ~q =1
W pozostałych przypadkach (linie B i D) musimy użyć znaczka ~~> bo nic innego nie mamy już do dyspozycji:
B: p~~>~q = p*~q =1*1 =0 - bo zbiory p i ~q istnieją, ale są rozłączne
D: ~p~~>q = ~p*q =1*1 =1 - wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów ~p i q.

Definicja warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q = p*q = p =1
B: p~~>~q = p*~q =0

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A mamy zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego w logice dodatniej (bo q):
A: p=>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

[rafal3006]

Definicja warunku koniecznego ~> w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q
Zamiast dowodzić trudny w dowodzeniu warunek konieczny p~>q możemy udowodnić łatwy w dowodzeniu warunek wystarczający ~p=>~q. Prawdziwość prawej strony tożsamości gwarantuje prawdziwość lewej strony tożsamości. Warunek wystarczający => dowodzi się dużo prościej ze względu na kontrprzykład.

Definicja warunku wystarczającego => w logice ujemnej (bo ~q):
C: ~p=>~q= ~p*~q = ~p =1 - zbiory ~p i ~q mają część wspólną (~q)
D: ~p~~>q= ~p*q = 1*1 =0 - zbiory ~p i q istnieją, ale są rozłączne co wymusza w wyniku 0

~p=>~q
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
Z czego wynika że zbiór ~p musi zawierać się w zbiorze ~q

Metodyka dowodzenia warunku wystarczającego w logice ujemnej (bo ~q):
1.
C: ~p=>~q
Sprawdzamy czy każdy element zbioru ~p zawiera się w zbiorze ~q
Jeśli tak to:
~p=>~q= ~p*~q = ~p =1
cnd
2.
Szukamy kontrprzykładu czyli jednego elementu należącego do zbiorów ~p i q:
D: ~p~~>q= ~p*q = 1*1 =1
Kontrprzykład znaleziony to:
C: ~p=>~q =0
cnd
Kontrprzykład wykluczony to:
C: ~p=>~q =1
cnd


Prosty przykład implikacji odwrotnej w zbiorach:

Rozważmy dwa zbiory:
p=[1,2,3,4]]
q=[1,2]
Ustalmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6]
Stąd otrzymujemy:
~p=[5,6]
~q=[3,4,5,6]

Zbiór p zawiera w sobie zbiór q i nie jest tożsamy ze zbiorem q.
Na mocy definicji musi to być implikacja odwrotna.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe przeczenia p i q

Analiza naszego przykładu:
A.
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p~>q
Zbiory:
p~>q = p*q = [1,2,3,4]*[1,2] =[1,2] =p
p~>q = p*q = 1*1 =1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
[1,2,3,4]~>[1,2] =1
Zbiór p zawiera w sobie zbiór q.

Ogólna definicja znaczka ~> (warunku koniecznego) jest następująca:
p~>q
~> - zbiór wskazywany przez podstawę wektora ~> musi zawierać w sobie zbiór wskazywanym przez strzałkę wektora ~>.
p~>q
[1,2,3,4]~>[1,2]
Doskonale widać, iż definicja warunku koniecznego w zdaniu A jest spełniona.
Zajście p jest konieczne dla zajścia q
Zabieram p i musi zniknąć q
Jeśli dodatkowo zbiór p nie jest tożsamy ze zbiorem q to na mocy definicji mamy do czynienia z implikacją odwrotną - nasz przykład.

B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q =1
Zbiory:
p~~>~q = p*~q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6]= [3,4] =1
p~~>~q = p*~q=1*1=1
Oba zbiory istnieją (p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1
p~~>~q
[1,2,3,4]~~>[3,4,5,6]
Doskonale widać, ze zbiór p nie zawiera w sobie zbioru q, zatem nie zachodzi warunek konieczny ~> w zdaniu B
p~>~q =0
Zdanie B jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy znaleźć jeden wspólny element zbiorów p i ~q.

… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - będące jednocześnie definicją implikacji odwrotnej
C.
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zbiory:
~p=>~q = ~p*~q = [5,6]*[3,4,5,6] = [5,6]= 1
~p=>~q = ~p*~q=1*1=1
Oba zbiory istnieją (~p=1 i ~q=1) i mają część wspólną, co wymusza w wyniku 1

Ogólna definicja znaczka => (warunku wystarczającego):
p=>q
=> - zbiór na podstawie wektora => musi zawierać się w zbiorze wskazywanym przez strzałkę wektora =>.

W zdaniu C warunek wystarczający jest spełniony:
~p=>~q
[5,6]=>[3,4,5,6]
Zbiór ~p zawiera się w zbiorze ~q
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym dla zajścia ~q.
Dodatkowo widzimy iż zbiór ~p nie jest tożsamy ze zbiorem ~q, co na mocy definicji wymusza nam implikację prostą w logice ujemnej (bo ~q), jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy zdanie C.
C: ~p=>~q = p~>q

Ostatnia możliwość przeczeń p i q to:
D.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =0
Zbiory:
~p~~>q = ~p*q = [5,6]*[1,2] = [] =0
~p~~>q = ~p*q = 1*1=0
Oba zbiory istnieją (~p=1 i q=1) ale są rozłączne, co wymusza w wyniku 0

Dla punktu odniesienia ustawionym na zdaniu A otrzymujemy zero-jedynkową definicję operatora implikacji odwrotnej w logice dodatniej (bo q).
A: p~>q
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

[rafal3006]

5.9 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata

... z przymrużeniem oka, czyli prosty sposób na zapamiętanie najważniejszych definicji operatorów logicznych.

Na początku było:

[rafal3006]

.

[rafal3006]

..