 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35365
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pon 11:44, 28 Mar 2016 Temat postu: Algebra Kubusia - Nowa Teoria Zbiorów Beta 1.0 |
|
|
Algebra Kubusia
Nowa Teoria Zbiorów
Część I
Autorzy:
Kubuś i przyjaciele
Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.
Gdzie powstawała algebra Kubusia?
Forum śfinia.fora.pl to hlefik Kubusia, zawierający pełną historię powstawania AK:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
Forum ateista.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum yrizzona.freeforums.org:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum matematyka.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]
Algebra Kubusia to końcowy efekt dziesięcioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, ateista.pl, yrizona.freeforums.org i matematyka.pl. Warunkiem koniecznym powstania algebry Kubusia było wolne od wszelkiej cenzury forum śfinia oraz kluczowe dyskusje z Rafalem3006, Wujem Zbójem i Fiklitem. Śfinia to hlefik Kubusia z zapisem pełnej historii narodzin algebry Kubusia.
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do powstania algebry Kubusia:
Rafał3006(medium), Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek i inni.
Kubuś
Dodatek A
Dowód wewnętrznej sprzeczności logiki matematycznej ziemian
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/dodatek-a-dowod-wewnetrznej-sprzecznosci-logiki-ziemian,8576.html#274716
Spis treści
1.0 Dekalog Nowej Teorii Zbiorów 1
1.0 Dekalog Nowej Teorii Zbiorów
1.
Symbole
„~” - symbol negacji (przeczenia), słówko „NIE” z naturalnego języka mówionego człowieka
„i”(*) - symbol iloczynu logicznego zbiorów p*q, spójnik „i”(*) w naturalnej logice człowieka
Y=p*q - wspólna część zbiorów p*q
„lub”(+) - symbol sumy logicznej zbiorów p+q, spójnik „lub”(+) w naturalnej logice człowieka
Y=p+q - wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
„-„ - różnica zbiorów p-q
Y=p-q - wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz
Definicja zbioru niepustego i pustego:
[x] - zbiór jest niepusty gdy zawiera co najmniej jeden element
[] - zbiór jest pusty gdy nie zawiera żadnych elementów
Zbiory mają wartości logiczne:
p =[x] =1 - zbiór niepusty
p =[] =0 - zbiór pusty
Gdzie:
p - nazwa zbioru
[pies, kot …] - zawartość zbioru, wypisujemy elementy zbioru
p =[x] =1
Pierwsza tożsamość (=[x]) definiuje zbiór, (tożsamość definiująca) natomiast druga (=1) przypisuje temu zbiorowi wartość logiczną (tożsamość wartościująca).
2.
Podstawowe definicje i działania na zbiorach
Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolny zbiór na którym operujemy, nic spoza dziedziny nas nie interesuje
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4,5,6] =1 - zbiór pełny
Definicja zaprzeczenia zbioru:
Zaprzeczenie zbioru to różnica dziedziny D i dowolnego zbioru x wewnątrz dziedziny (w tym D)
Oznaczmy:
D - dziedzina
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty []:
~D=[D-D] =[] =0 - zbiór pusty
Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~[] = D =1 - zbiór pełny (dziedzina)
Różnica zbiorów p-q:
Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Zdefiniujmy zbiory p i q:
p=[1,2,3,4] =1 - zbiór wejściowy niepusty
q=[3,4,5,6]
~p =[D-p] =[1,2,3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6] =1 - zbiór wynikowy niepusty
~q =[D-q] =[1,2,3,4,5,6]-[3,4,5,6] =[1,2]
Iloczyn logiczny zbiorów:
Iloczyn logiczny zbiorów p*q to wspólna część tych zbiorów
Y = p*q = [1,2,3,4]*[3,4,5,6] = [3,4] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Suma logiczna zbiorów:
Suma logiczna zbiorów p+q to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] = [1,2,3,4,5,6] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
3.
Podzbiór => i Nadzbiór ~>
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q
p=>q - zbiór p jest podzbiorem => q
p=>q =1 - prawda (=1), gdy rzeczywiście p jest podzbiorem q (inaczej: fałsz =0)
Konsekwencje w zbiorach:
p=>q = [p*q =p]
Definicja nadzbioru ~>
Zbiór p jest nadzbiorem zbioru q gdy zawiera w sobie wszystkie elementy zbioru q
p~>q - zbiór p jest nadzbiorem ~> q
p~>q =1 - prawda (=1), gdy rzeczywiście p jest nadzbiorem ~> q (Inaczej: fałsz =0)
Konsekwencje w zbiorach:
p~>q = [p*q=q]
Przykład:
D=[1,2,3,4,5,6] - dziedzina
p=[1,2] - zbiór p
q=[1,2,3,4] - zbiór q
Podzbiór => vs nadzbiór ~>:
p=>q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p~>q =0 - bo zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
Nadzbiór ~> vs podzbiór =>:
q~>p =1 - bo zbiór q jest nadzbiorem ~> zbioru p
q=>p =0 - bo zbiór q nie jest podzbiorem => zbioru p
4.
Zbiory tożsame
p=q
Zbiory p i q nazywamy tożsamymi wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru p należy => do zbioru q i każdy element zbioru q należy => do zbioru p
Innymi słowy:
Zbiory p i q nazywamy tożsamymi wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru p jest podzbiorem => zbioru q i każdy element zbioru q jest podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (p=>q)*(q=>p)
Matematycznie zachodzi tożsamość:
należy => do zbioru p = jest podzbiorem => zbioru p
5.
Kwantyfikator mały p~~>q
Definicja kwantyfikatora małego w zbiorach:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x)
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)
Kwantyfikator mały ~~> jest tożsamy z iloczynem logicznym zbiorów p*q
p~~>q = p*q =1 - prawda (=1), gdy zbiór p ma wspólny element ze zbiorem q (Inaczej: Fałsz =0)
Definicja kwantyfikatora małego ~~> w zdarzeniach:
Możliwe jest ~~> (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q (inaczej =0)
Przykład:
P~~>CH =P*CH =1 - „Pada” i „są chmury” zdarzenie możliwe (=1)
P~~>~CH =P*~CH =0 - „Pada” i „nie ma chmur” - zdarzenie niemożliwe (=0)
6.
Warunek wystarczający =>
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
p=>q - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
p=[1,2]
q=[1,2,3,4]
Mówimy że p jest wystarczające => dla q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q.
Wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru p jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ta liczba należała do zbioru q
Wylosowanie dowolnej liczby ze zbioru p daje nam gwarancję matematyczną => przynależności tej liczby do zbioru q
Wymuszam dowolne p i musi => pojawić się q.
Warunek wystarczający => dotyczy zarówno dowolnych elementów zbiorów p i q jak i kompletnych zbiorów.
Wymuszam kompletny zbiór p i mam gwarancję matematyczną, że ten zbiór jest podzbiorem => zbioru q
Matematycznie zachodzi:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = podzbiór => p w obrębie zbioru q
Definicja kwantyfikatora dużego w zbiorach:
/\x p(x) => q(x)
Dla każdego elementu x, jeśli element x należy do zbiory p(x) to mamy gwarancję matematyczną => iż element x należy do zbioru q(x)
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
p=>q - zajście zdarzenia p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia q
Przykład:
P=>CH - zdarzenie „pada” jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia „chmur”
7.
Warunek konieczny ~>
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
p~>q - zbiór p jest nadzbiorem ~> dla zbioru q
p=[1,2,3,4]
q=[1,2]
Mówimy że p jest konieczne ~> dla q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera w sobie wszystkie elementy zbioru q
Zabieram wszystkie elementy zbioru p i znika mi zbiór q
Zabieram kompletny zbiór p i znika mi zbiór q
Zauważmy, że warunek konieczny ~> to fundamentalnie co innego niż warunek wystarczający =>.
Dowód:
Jeśli wylosuję dowolny element zbioru p to nie mam żadnej gwarancji matematycznej => iż ten element będzie należał do zbioru q
Przykład: liczba 3 należy do zbioru p i nie należy do zbioru q.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
p~>q - zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zaistnienia zdarzenia q
Przykład:
CH~>P - istnienie „chmur” jest konieczne ~> do tego, by „padało”
Zabieram chmury wykluczając możliwość padania.
8.
Zdanie warunkowe „Jeśli p to q”
Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Jeśli p to q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zbiorach opisuje wzajemną relację zbiorów p i q
Zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w zdarzeniach opisuje wzajemną relację zdarzeń p i q
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Warunek wystarczający p=>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (Inaczej: p=>q =0)
Warunek wystarczający można zapisać w sposób tożsamy przy pomocy kwantyfikatora dużego:
/\x p(x)=>q(x)
Dla każdego elementu x, jeśli element x należy do zbioru p(x) to mamy gwarancję matematyczną => iż ten sam element należy do zbioru q(x)
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Warunek wystarczający => jest spełniony wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p wymusza zajście zdarzenia q.
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
A.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q
Warunek konieczny p~>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (Inaczej: p~>q =0)
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zabieram chmury wykluczając padanie.
Definicja kwantyfikatora małego ~~>
A.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q
Kwantyfikator mały p~~>q =1 jest spełniony (=1) gdy istnieje wspólny element zbiorów p*q (Inaczej: p~~>q =0)
Zapis tożsamy:
\/x p(x)~~>q(x) = p(x)*q(x)
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p(x) i q(x)
Przykład:
Zbiory:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 =P8*P2 =1 bo 8 - istnieje wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8 ..]
Zdarzenia:
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1 - możliwa jest (=1) sytuacja „pada” i „są chmury”
9.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q
Warunek wystarczający p=>q =1 jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (Inaczej: p=>q =0)
Prawdziwość warunku wystarczającego A gwarantuje fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q
Kwantyfikator mały p~~>~q =1 jest spełniony (=1) gdy istnieje wspólny element zbiorów p*~q (Inaczej: p~~>~q =0)
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym p~~>~q =p*~q
Rozstrzygnięcia:
9-1.
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =1 daje nam gwarancję matematyczną fałszywości zdania kodowanego warunkiem wystarczającym p=>q =0 (i odwrotnie)
9-2.
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q =p*~q =0 daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości warunku wystarczającego p=>q=1 (i odwrotnie)
10.
Podstawowe prawa logiczne
10-1
Prawa Prosiaczka:
Prawa Prosiaczka to jedne z najważniejszy praw logicznych, bez nich komputery nigdy by nie zaistniały. Prawa Prosiaczka umożliwiają przejście z logiki zero-jedynkowej (rachunku zero-jedynkowego) to logiki równań algebry Boole’a i odwrotnie.
I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)
II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.
Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO
Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)
Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0
Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)
Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń
Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)
10-2
Prawo rozpoznawalności pojęcia p (prawo tożsamości wiedzy)
Prawo rozpoznawalności pojęcia p (prawo tożsamości wiedzy):
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie ~p
p<=>~p = (A: p=>~p)*(C: ~p=>p)
Prawo tożsamości wiedzy:
A.
Jeśli wiem co to jest pojęcie p to na pewno => wiem co to jest pojęcie ~p
p=>~p =1
Wiedza co to jest pojęcie p jest warunkiem wystarczającym => do tego by wiedzieć co to jest pojęcie ~p.
Dla prawdziwości zdania A wystarczy znajomość dwóch pojęć p i ~p
C.
Jeśli wiem co to jest pojęcie ~p to na pewno => wiem co to jest pojęcie p
~p=>p =1
Wiedza co to jest pojęcie ~p jest warunkiem wystarczającym => do tego by wiedzieć co to jest pojęcie p.
Dla prawdziwości zdania C wystarczy znajomość dwóch pojęć ~p i p
Prawo rozpoznawalności pojęcia p (tożsamości wiedzy) jest równoważnością,
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Podstawiamy:
q=~p
stąd mamy prawo rozpoznawalności pojęcia p:
p<=>~p = (A: p=>~p)*(C: ~p=>p)
Prawo tożsamości wiedzy dla dowolnej funkcji logicznej Y:
RA:
Znam funkcję logiczną Y wtedy i tylko wtedy gdy znam funkcję logiczną ~Y i odwrotnie
Y<=>~Y = (A: Y=>~Y)*(C: ~Y=>Y)
A.
Jeśli znam funkcję logiczną Y to na pewno => znam funkcję logiczną ~Y
Y=>~Y =1
Znajomość funkcji logicznej Y jest warunkiem wystarczającym => do tego by znać funkcję ~Y
C.
Jeśli znam funkcję logiczną ~Y to na pewno => znam funkcję logiczną Y
~Y=>Y =1
Znajomość funkcji logicznej ~Y jest warunkiem wystarczającym => do tego by znać funkcję Y
Przykład 1.
Dana jest funkcja logiczna Y:
Y=p+q
Negujemy stronami:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q
bo prawo De Morgana:
~(p+q) = ~p*~q
Doskonale widać że:
Jeśli nie znam funkcji logicznej Y:
Y = ?
To nie znam funkcji logicznej ~Y:
~Y=~(?)
Przykład 2.
Prawo tożsamości wiedzy:
RA:
Wiem co to jest kolor biały (B=1) wtedy i tylko wtedy gdy wiem co to jest kolor nie biały (~B=1) i odwrotnie.
B<=>~B = (A: B=>~B)*(C: ~B=>B)
A.
Jeśli wiem co to jest kolor biały (B=1) to na pewno => wiem co to jest kolor nie biały (~B=1)
B=>~B=1
Wiedza co to jest kolor „biały” jest warunkiem wystarczającym => do tego by wiedzieć co to jest kolor „nie biały”
Dla prawdziwości zdania A wystarczy pokazać kolor biały i jeden kolor różny od białego np. niebieski (w szczególnym przypadku może to być kolor czarny)
C.
Jeśli wiem co to jest kolor nie biały (~B=1) to na pewno => wiem co to jest kolor biały (B=1)
~B=>B =1
Wiedza co to jest kolor „nie biały” jest warunkiem wystarczającym => do tego by wiedzieć co to jest kolor „biały”
Dla prawdziwości tego zdania wystarczy istnienie dwóch kolorów: nie białego (~B=1) i białego (B=1)
10-3
Dziedzina w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q”
Z prawa rozpoznawalności pojęcia p wynika, że w dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” poprzednik i następnik nie może być ani zbiorem pustym, ani też zbiorem pełnym (dziedziną).
Dziedzinę dla zdania warunkowego „Jeśli p to q” możemy przyjąć dowolną, byleby była szersza zarówno od poprzednika, jak i następnika.
Przykład:
A.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów TP=SK.
Dziedzina minimalna:
ZWT - zbiór wszystkich możliwych trójkątów
Zarówno zbiór TP, jak i zbiór SK jest podzbiorem ZWT i nie są tożsame z ZWT.
Przyjęta dziedzina jest zatem poprawna.
cnd
Nic nie stoi na przeszkodzie, aby tą dziedzinę dowolnie rozszerzyć np.
Dziedzina = ZWT plus zbiór samochodów plus zbiór pojęć abstrakcyjnych plus zbiór zwierząt etc
W skrajnym przypadku poprawną dziedziną dla twierdzenia Pitagorasa jest:
U - uniwersum, zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka
Zauważmy, że przyjęcie za dziedzinę w twierdzeniu Pitagoras Uniwersum zmusza nas do rozpatrywania śmieci typu: koło, krasnoludek, miłość, galaktyka etc - jest więc zdecydowanie niewskazane.
10-4
Prawo Kobry:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” ma szansę być prawdziwe wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest to samo zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~>.
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 = P8*P2 =1 bo 8
Pokazałem jeden wspólny element zbiorów P8=[8,1,6,24..] i P2=[2,4,6,8..], co kończy dowód prawdziwości zdania A
Przykład negatywny zaczerpnięty z podręcznika „matematyki” dla I klasy LO ziemian:
[link widoczny dla zalogowanych]
A1.
Jeśli pies ma osiem łap, to Księżyc krąży wokół Ziemi
P8L=>KK =0 (fałsz!)
Dowód:
Na mocy prawa Kobry zapisujemy:
A2.
Jeśli pies ma 8 łap to może ~~> się zdarzyć że księżyc krąży wokół ziemi
P8L~~>KK = P8L*KK = [] =0
Ilość łap u psa nie ma nic wspólnego z faktem że Księżyc krąży wokół Ziemi.
Poprzednik P8L jest rozłączny z następnikiem KK co oznacza, że zdanie A2 pod kwantyfikatorem małym ~~> jest fałszywe.
Na mocy prawa Kobry fałszywość zdania A2 wymusza fałszywość zdania A1.
Dowód tożsamy:
A2: []~~>KK = []*KK = [] =0
Poprzednik jest zbiorem pustym co wymusza fałszywość zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> (A2) a tym samym, na mocy prawa Kobry, fałszywość zdania A1.
10-5
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Prawa Kubusia mówią o matematycznym związku warunku wystarczającego => i koniecznego ~>. Obowiązują w całym zakresie zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór ~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem zbioru ~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
Prawdziwość zdania C można udowodnić prościej korzystając z prawa Kubusia:
C: ~P8~>~P2 = A: P8=>P2 =1
Prawa strona jest prawdą, co udowodniliśmy w zdaniu A: P8=>P2. Prawo Kubusia wymusza tu prawdziwość warunku wystarczającego C: ~P8~>~P2, czyli nie musimy dowodzić prawdziwości zdania C w sposób bezpośredni.
10-6
Rodzaje tożsamości w algebrze Kubusia
W algebrze Kubusia rozróżniamy:
a) tożsamość definiującą (definiuje zbiór)
b) tożsamość wartościującą (przypisuje zbiorowi wartość logiczną)
c) tożsamość kompletnych kolumn wynikowych wynikających z rachunku zero-jedynkowego
Wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz
Definicja zbioru niepustego i pustego:
Zbiór jest niepusty gdy zawiera co najmniej jeden element
Zbiór jest pusty gdy nie zawiera żadnych elementów
Zbiory mają wartości logiczne:
p =[x] =1 - zbiór niepusty
p =[] =0 - zbiór pusty
Gdzie:
p - nazwa zbioru
[pies, kot …] - zawartość zbioru, wypisujemy elementy zbioru
p =[x] =1
Pierwsza tożsamość (=[x]) definiuje zbiór, (tożsamość definiująca) natomiast druga (=1) przypisuje temu zbiorowi wartość logiczną (tożsamość wartościująca).
Przykład tożsamości logicznej wynikającej z tożsamości kompletnych kolumn wynikowych w rachunku zero-jedynkowym.
| Kod: |
p q ~p ~q p|=>q p|~>q ~p|~>~q ~p|=>~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =0 =1 =0 =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =1 =0 =1 =0
1 2 3 4 5 6 7 8
|
Kolumna 5 to zero-jedynkowa definicja implikacji prostej p|=>q względem sygnałów odniesienia p i q.
Kolumna 6 to zerojedynkowa definicja implikacji odwrotnej p|~>q względem sygnałów odniesienia p i q.
A.
Brak tożsamości kolumn 5 i 6 oznacza iż:
p|=>q ## p|~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji.
B.
Tożsamość kolumn wynikowych 5 i 7 jest dowodem formalnym I prawa Kubusia na poziomie zero-jedynkowych definicji operatorów logicznych:
p|=>q = ~p|~>~q
C.
Podobnie, tożsamość kolumn wynikowych 6 i 8 jest dowodem formalnym II prawa Kubusia na poziomie zero-jedynkowych definicji operatorów logicznych:
p|~>q = ~p|=>~q
Podstawiając prawa Kubusia do A otrzymujemy równanie ogólne dla operatorów implikacji:
| Kod: |
I prawo Kubusia ## II prawo Kubusia
p|=>q = ~p|~>~q ## p|~>q = ~p|=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji |
Symbol ## zwalnia nas z obowiązku tożsamości p i q po obu stronach znaku ##, czyli po obu stronach znaku ## mogą być te same p i q ale nie muszą. W szczególności po obu stronach znaku ## symbole p i q mogą być zamienione miejscami.
Prawo Puchacza:
W dowolnym operatorze logicznym tożsamości z poziomu operatorów zero-jedynkowych przenoszą się na poziom spójników logicznych.
Stąd mamy prawa Kubusia zachodzące na poziomie spójników logicznych:
p=>q - warunek wystarczający =>, wymuszam dowolne p i pojawia się q
p~>q - warunek konieczny ~>, zabieram wszystkie p i znika mi q
| Kod: |
I prawo Kubusia ## II prawo Kubusia
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji |
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 19:46, 03 Maj 2016, w całości zmieniany 6 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35365
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 11:48, 28 Mar 2016 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia
Nowa Teoria Zbiorów
Część II
Spis treści
2.0 Algebra Kubusia w przedszkolu 1
2.1 Program komputerowy 1
2.2 Logika matematyczna przedszkolaków 4
2.3 Czym rożni się algebra klasyczna od logiki matematycznej? 5
3.0 Nowa Teoria Zbiorów 6
3.1 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów 6
3.2 Definicja definicji 8
3.3 Definicja minimalna 8
3.4 Podstawowe operacje na zbiorach 9
3.5 Prawo rozpoznawalności pojęcia 11
3.6 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego 13
2.0 Algebra Kubusia w przedszkolu
Naturalna logika człowieka musi podlegać pod matematykę ścisłą. Nie jest bowiem możliwe wzajemne porozumienie się dowolnych istot żywych (w tym człowieka) na bazie chaosu, bez jakiejkolwiek matematyki. Także w naszym Wszechświatem musi rządzić matematyka ścisła, inaczej by się po prostu zawalił. Poczynania wszelkich istot żywych (człowiek nie jest tu wyjątkiem) muszą podlegać pod matematykę ścisłą, z czego wniosek iż najbardziej odpowiednim miejscem do jej poznawania będzie przedszkole. Pewne jest bowiem, że 5-cio latki muszą być naturalnymi ekspertami logiki matematycznej, nazwijmy ją, algebrą Kubusia.
2.1 Program komputerowy
Program komputerowy, to napisany przez człowieka ciąg rozkazów dla komputera.
Komputer wykonuje te rozkazy (rozkaz po rozkazie) realizując ściśle określony algorytm działania wymyślony przez człowieka.
Zobaczmy na przykładzie czym jest algorytm działania.
Załóżmy, że nagle zapragnęliśmy pójść do kina na film pt. „Seksmisja”. Z gazety codziennej dowiadujemy się, że film wyświetlany jest tylko w dwóch kinach „Relax” i „Skarpa”.
Masz ogólny algorytm działania może być następujący.
Rys. 2.1 Algorytm działania człowieka
Blok funkcjonalny to blok w którym żadnych istotnych decyzji nie podejmujemy, to „program tła”, czyli zwyczajne czynności prowadzące nas do celu jakim jest obejrzenie filmu.
Wykonując powyższy algorytm stajemy się podobni do komputera. Różnica jest zasadnicza. Człowiek może modyfikować powyższy algorytm w trakcie jego wykonywania (np. w przypadku braku biletów pójść do teatru), komputer natomiast wykonuje program ściśle wg algorytmu który wymyślił człowiek. Przeciętny człowiek obserwując dzisiejsze komputery jest zafascynowany ich możliwościami. Widzi że potrafią one pisać, malować, rysować … sterować fabryką bez ludzi itp.
Nie wie natomiast że …
Rys. 2.2 Podstawowe prawo komputerowe
Co to są liczby binarne?
Gdyby nasi przodkowie nie wymyślali cyfr [2,3,4,5,6,7,8,9] a znali tylko cyfry [0,1] to z pewnością znakomicie posługiwalibyśmy się liczbami binarnymi i mielibyśmy naturalny, wspólny z komputerami język. Zapis ogólny liczby binarnej przedstawiono na rysunku.
Przejście z binarnego systemu liczenia na dziesiętny jest banalne.
Z zapisu ogólnego wynika, że istotna jest tu kolejność [b2,b1,b0] cyfr binarnych [0,1] oraz wagi (W) tych cyfr na poszczególnych pozycjach.
b2*W2=b2*4
b1*W1=b1*2
b0*W0=b0*1
Dla b2=1 mamy: b2*4 = 1*4 =4
Dla b2=0 mamy: b2*4 = 0*4 =0
Dla b1=1 mamy: b1*2 = 1*2 =2
Dla b1=0 mamy: b1*2 = 0*2 =0
Dla b0=1 mamy: b0*1 = 1*1 =1
Dla b0=0 mamy: b0*1 = 0*1 =0
Przeliczmy pierwsze osiem liczb binarnych [000-111] na system dziesiętny.
| Kod: |
000 = 0+0+0 =0
001 = 0+0+1 =1
010 = 0+2+0 =2
011 = 0+2+1 =3
100 = 4+0+0 =4
101 = 4+0+1 =5
110 = 4+2+0 =6
111 = 4+2+1 =7
itd
|
Prawda że proste?
W logice matematycznej ani liczby binarne, ani też liczby dziesiętne kompletnie nas nie interesują.
Co nas interesuje w logice?
TAK = prawda
NIE = fałsz
TAK, TAK, NIE, NIE, TAK, TAK, TAK …
2.2 Logika matematyczna przedszkolaków
Spójrzmy na nasz pierwszy w życiu, samodzielnie napisany program komputerowy „Pójście na film Seksmisja”. Logika matematyczna w tym algorytmie to wyłącznie bloki warunkowe w których rozstrzygamy na TAK albo NIE i w zależności od wyniku podejmujemy dalsze działania.
TAK = prawda
NIE = fałsz
Przykłady logiki matematycznej z przedszkola:
A.
Czy Kubuś jest misiem?
TAK
B.
Czy Prosiaczek jest świnką?
TAK
C.
Czy kura ma cztery łapy?
NIE
D.
Czy może się zdarzyć że są chmury i nie pada?
TAK
E.
Czy może się zdarzyć że nie ma chmur i pada?
NIE
KONIEC!
Dokładnie tym jest logika matematyczna, nie ma w niej nic ponad: TAK, TAK, NIE, NIE, TAK, TAK, TAK …
Prawda, że ładna melodia?
https://www.youtube.com/watch?v=Czujclci6uA
W matematyce zachodzi tożsamość:
TAK = prawda (=1)
NIE = fałsz (=0)
Cyferki 1 i 0 znaczą w logice matematycznej:
1 - prawda
0 - fałsz
Uwaga:
Znaczków 0 i 1 nie należy mylić ani z cyframi binarnymi, ani też z cyframi dziesiętnymi, to zupełnie co innego, to prawda (=1) i fałsz (=0).
Wprowadźmy dwa nowe symbole matematyczne:
„~” - symbol przeczenia, słówko NIE w naturalnej logice 5-cio latka
„i”(*) - spójnik „i” w naturalnej logice 5-cio latka
Zakodujmy matematycznie zadania wyżej przy pomocy tych symboli:
A.
Czy Kubuś jest misiem?
K*M =1
Prawdą jest (=1), że Kubuś jest misiem
B.
Czy Prosiaczek jest świnką?
P*S =1
Prawdą jest (=1), że Prosiaczek jest świnką
C.
Czy kura ma cztery łapy?
K*4L =0
Fałszem jest (=0), że kura ma cztery łapy
D.
Czy może się zdarzyć że są chmury i nie pada?
CH*~P =1
Prawdą jest (=1), że może się zdarzyć iż są chmury i nie pada
E.
Czy może się zdarzyć że nie ma chmur i pada?
~CH*P =0
Fałszem jest (=0), że zajdzie zdarzenie nie ma chmur i pada
W ten oto sposób zaliczyliśmy pierwsze w życiu poprawne kodowanie matematycznie zdań z naturalnego języka mówionego.
2.3 Czym rożni się algebra klasyczna od logiki matematycznej?
Najprostsza odpowiedź: wszystkim!
Algebra klasyczna zajmuje się liczeniem np.
2+2+2 =6
„+” - suma algebraiczna
Logika matematyczna zajmuje się rozpoznawaniem pojęć:
[2]+[2]+[2] =[2]
Bo pojęcia [2] po lewej stronie są tożsame
„+” - suma logiczna (alternatywa), spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Algebra klasyczna zajmuje się mnożeniem:
1*2*3 = 6
„*” - iloczyn algebraiczny
Logika klasyczna zajmuje się definiowaniem pojęć np.
Pies jest przyjacielem człowieka (PC=1), szczeka (S=1) i nie jest kotem (~K=1)
P=>PC*S*~K = 1*1*1 =1
To samo zdanie tożsame ujęte w spójnik „Jeśli p to q”:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => jest przyjacielem człowieka (PC=1), szczeka (S=1) i nie jest kotem (~K=1)
P=>PC*S*~K = 1*1*1 =1
Co matematycznie oznacza:
(P=1) => (PC=1) i (S=1) i (~K=1)
„*” - iloczyn logiczny (koniunkcja), spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Wystarczy że do iloczynu logicznego definiującego psa dodamy jeden fałsz i już pracowicie budowana definicja psa jest fałszem np.
Pies jest przyjacielem człowieka (PC=1), szczeka (S=1), nie jest kotem (~K=1) i ma skrzydła (SK=0)
P=>PC*S*~K *SK= 1*1*1*0 =0
Ewidentna kolizja znaczków „+” i „*” w algebrze klasycznej i logice matematycznej niczemu nie przeszkadza bo to są dwa, totalnie izolowane działy matematyki, jeden z drugim nie ma nic wspólnego. Nie wolno tych działów porównywać i wyciągać z tych porównań jakichkolwiek wniosków, co jest często spotykanym błędem matematyków.
Znaczki używane w algebrze Kubusia są legalnym systemem znaczków, stosowanym powszechnie w technice cyfrowej.
„+” - suma logiczna (alternatywa), spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
„i*” - iloczyn logiczny (koniunkcja), spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
3.0 Nowa Teoria Zbiorów
Nowa teoria zbiorów to wszystkie możliwe wzajemne położenia dwóch zbiorów p i q opisane zero-jedynkową tabelą operatorów logicznych oraz prawa logiczne z tego faktu wynikające.
3.1 Podstawowe definicje nowej teorii zbiorów
Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych przez człowieka
Przykład zbioru:
p =[LN (zbiór liczb naturalnych), krasnoludek, egzamin, komputer, miłość, galaktyka, marzenia …]
Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
4L=[pies, słoń, koń ..]
Gdzie:
4L = nazwa zbioru (zbiór zwierząt z czterema łapami)
[pies, słoń, koń ..] - elementy zbioru o nazwie 4L
W logice matematycznej chodzi o rozpoznawalność pojęć, a nie o algebraiczne liczenie pojęć.
Redukcja zbioru:
Pojęcia powtarzające się w obrębie zbioru można zredukować do jednego pojęcia.
Oczywiście nie musimy tego robić.
Tożsamość zbiorów:
Zbiory tożsame to zbiory identyczne
LN - zbiór liczb naturalnych
LN=[1,2,3,4,5,6..]
p=[krowa, krowa, krowa, 2, 5, 5, LN]
q=[krowa, 2, 5, LN]
r=[krowa, LN]
Zachodzi matematyczna tożsamość zbiorów:
p=q=r
Wciągnięcie liczb 2 i 5 do zbioru LN jest dozwolone na mocy definicji liczby naturalnej.
Zbiór może być uporządkowany lub nie uporządkowany, to bez znaczenia.
p=[1,2,3,4,5]
q=[4,3,2,5,1]
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
p=q
Dowolny element zbioru to także samodzielny zbiór jednoelementowy lub wieloelementowy.
W algebrze Kubusia istnieje nie tylko definicja zbioru jak wyżej ale również definicja zbioru wszystkich zbiorów, to Uniwersum.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka
Na mocy definicji żaden człowiek nie ma szans wyskoczyć poza Uniwersum, które jest dynamiczne, zmienia się w czasie.
Definicja dziedziny
Dziedzina to dowolny zbiór na którym operujemy, nic spoza tego zbioru nas nie interesuje.
Uniwersum to najszersza możliwa dziedzina, to zbiór wszystkich zbiorów.
Człowiek może tworzyć dowolne dziedziny w obszarze Uniwersum np. zbiór zwierząt, zbiór gwiazd, zbiór spójników logicznych, zbiór polityków, zbiór czworokątów, zbiór pojęć abstrakcyjnych … itp.
Dziedzinę możemy ustalać absolutnie dowolnie, możemy ją poszerzać lub zawężać. Jeśli za dziedzinę przyjmiemy Uniwersum, to na mocy definicji nic z tym możemy zrobić. Uniwersum jest dynamiczne, może się poszerzać (gdy się uczymy) lub zwężać (gdy czegoś zapominamy), dla logiki to bez znaczenia.
W Uniwersum możemy wyróżnić pojęcia konieczne do komunikacji człowieka z człowiekiem których zdrowy człowieka nigdy nie zapomina czyli konkretny język (np. Chiński) plus zbiór pojęć podstawowych oczywistych dla każdego 5-cio latka np. mama, tata, pies, krasnoludek etc.
Definicja podzbioru:
Wszelkie zbiory tworzone w wybranej dziedzinie są podzbiorami w obrębie tej dziedziny
Definicja zbioru niepustego i pustego:
[x] - zbiór jest niepusty gdy zawiera co najmniej jeden element
[] - zbiór jest pusty gdy nie zawiera żadnych elementów
Zbiory mają wartości logiczne:
p =[x] =1 - zbiór niepusty
p =[] =0 - zbiór pusty
Gdzie:
p - nazwa zbioru
[pies, kot …] - zawartość zbioru, wypisujemy elementy zbioru
p =[x] =1
Pierwsza tożsamość (=[x]) definiuje zbiór, (tożsamość definiująca) natomiast druga (=1) przypisuje temu zbiorowi wartość logiczną (tożsamość wartościująca).
Przykład:
Elementy zbioru wypisujemy w nawiasach kwadratowych:
4L=[pies, słoń, koń ..]
Gdzie:
4L - nazwa zbioru (zbiór zwierząt z czterema łapami)
[pies, słoń, koń ..] - elementy zbioru o nazwie 4L
Wartość logiczną zbioru (=1) zapisujemy bez nawiasów:
4L=[pies, słoń, koń ..] =1
Znaczenie tożsamości „=” w Nowej Teorii Zbiorów:
4L=[pies, słoń, koń ..] =1
Pierwsza tożsamość to tożsamość definicyjna (4L=), natomiast druga tożsamość (4L=1) to tożsamość wartościująca, nadająca zbiorowi 4L konkretną wartość logiczną (tu 1)
Znaczenie tożsamości "=" wynika tu z kontekstu, nie ma potrzeby wprowadzania dwóch różnych znaczków.
3.2 Definicja definicji
Definicja definicji:
Pojęcie definiowane = właściwa definicja pojęcia definiowanego
Definicja psa:
Pies = zwierzę domowe, mające cztery łapy, szczekające
… a nawet.
Pies = zwierzę domowe, szczekające
gdzie:
„=” - tożsamość definicyjna
Dla każdego człowieka ta definicja jest wystarczająca.
Lewa strona znaku „=” to pojęcie definiowane.
Właściwa definicja pojęcia definiowanego to wyłącznie prawa strona.
Na mocy tej definicji (prawa strona) każdy człowiek jednoznacznie rozpozna tu psa, od 5-cio latka poczynając. Ta definicja definicji obowiązuje także w matematyce.
Przykład błędnej definicji:
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisłą, podać jego odgłos.
http://youtu.be/K0uwEbIxhQw
3.3 Definicja minimalna
Definicja psa:
A.
Pies to zwierzę domowe, szczekające, przyjaciel człowieka
P = ZD*S*PC =1
Pojęcia ZD, S i PC to stałe symboliczne których wartość logiczna w odniesieniu do psa jest nam znana, w naszym przypadku wartość logiczna tych stałych symbolicznych to 1 (wszystkie pasują do psa).
Czy pies jest zwierzęciem domowym?
TAK (ZD =1)
Czy pies szczeka?
TAK (S =1)
Czy pies jest przyjacielem człowieka?
TAK (PC=1)
Definicja stałej symbolicznej:
Stała symboliczna to nazwa symboliczna której wartość logiczna jest nam z góry znana i której nie jesteśmy w stanie zmienić.
Definicja „pojęcia”:
Dowolne „pojęcie” w naszym Wszechświecie definiowane jest iloczynem logicznym stałych symbolicznych o wartości logicznej równej 1.
Definicja definicji minimalnej:
Definicja jest definicją minimalną, jeśli usunięcie dowolnego członu w definicji powoduje matematyczną niejednoznaczność, czyli kolizję z innym „pojęciem”.
Definicja wystarczająco jednoznaczna:
Definicja wystarczająco jednoznaczna to definicja zrozumiała dla drugiego człowieka
Zauważmy, że można przyjąć nawet taką definicję minimalną psa:
B.
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P = S*PC =1*1 =1
Tu również nikt nie ma wątpliwości że chodzi o psa.
Zauważmy, że zabierając jedno pojecie lądujemy w niejednoznaczności, zatem ta definicja złożona zaledwie z dwóch elementów jest definicją minimalną.
Przykład definicji nadmiarowej sprowadzonej do absurdu:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka, nie będące kurą, nie będące drzewem, nie będące galaktyką … etc
P = S*PC*~K*~D*~G … =1
W iloczynie logicznym, definiującym pojęcie „pies” łatwo można dodać nieskończoną ilość pojęć prawdziwych w stosunku do psa, będących zaprzeczeniem fałszu:
Pies to nie kura
TAK (P*~K =1)
Pies to nie drzewo
TAK (P*~D =1)
etc
3.4 Podstawowe operacje na zbiorach
Do obsługi całej algebry Kubusia w zbiorach wystarczą nam trzy podstawowe operacje na zbiorach plus pojęcie uzupełnienia zbioru do wybranej dziedziny.
1.
Iloczyn logiczny zbiorów (koniunkcja) to wspólna cześć zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p*q
gdzie:
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p*q= [1,2,3,4]*[3,4,5,6] =[3,4]
2.
Suma logiczna zbiorów (alternatywa) to wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y=p+q
gdzie:
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Przykład:
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
Y=p+q = [1,2,3,4]+[3,4,5,6] =[1,2,3,4,5,6]
3.
Różnica zbiorów p-q to wszystkie elementy zbioru p z wykluczeniem elementów zbioru q
p=[1,2,3,4], q=[3,4,5,6]
p-q = [1,2,3,4]-[3,4,5,6] =[1,2]
q-p = [3,4,5,6]-[1,2,3,4] =[5,6]
4.
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny
W nowej teorii zbiorów (NTZ) zachodzi tożsamość:
Uzupełnienie zbioru do wybranej dziedziny = negacja zbioru = zaprzeczenie zbioru
„~” - symbol przeczenia, w naturalnej logice człowieka przedrostek „NIE”
Przykład:
Dany jest zbiór:
p=[1,2]
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
stąd:
~p=~[1,2] =[3,4]
Alternatywnie:
~p = D-p = [1,2,3,4]-[1,2] = [3,4]
Gdzie:
~ - symbol przeczenia
Komentarz słowny w naturalnej logice człowieka:
Jeśli przyjmiemy zbiór p=[1,2] oraz wybierzemy dziedzinę D=[1,2,3,4] to zaprzeczeniem zbioru p jest zbiór ~p=[3,4]
Definicja dziedziny:
Zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p+~p=1
Oraz:
Iloczyn logiczny zbiorów p i ~q jest zbiorem pustym, bo zbiory te są rozłączne na mocy definicji
p*~p=0
Dowód na naszym przykładzie:
p+~p=[1,2]+[3,4]=[1,2,3,4]=1 =D
p*~p=[1,2]*[3,4]=[] =0
Na mocy definicji zachodzi:
[] =0 - dowolny zbiór pusty ma wartość logiczną 0
D =1 - dowolny zbiór niepusty ma wartość logiczną równą 1 (w szczególności Dziedzina)
Zaprzeczenie zbioru pustego to dziedzina:
~[] = D (~0=1)
Zaprzeczenie dziedziny to zbiór pusty:
~D = [] (~1=0)
Stąd mamy fundament dwuelementowej algebry Kubusia (i Boole’a):
I. ~0=1
II. ~1=0
W skrajnym przypadku dziedziną może być Uniwersum
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to wszelkie możliwe pojęcia zrozumiałe dla człowieka
Zauważmy, że jeśli za dziedzinę przyjmiemy Uniwersum to mamy ograniczenie fizyczne, na mocy definicji nie możemy wyjść poza Uniwersum. Jeśli za dziedzinę przyjmiemy dowolny inny zbiór to mamy ograniczenie dobrowolne, nie chcemy rozpatrywać przypadków spoza tej dziedziny, co nie oznacza że nie jesteśmy w stanie.
Dowolne pojęcie dobrze zdefiniowane musi mieć swoją unikalną nazwę zarówno w obrębie wybranej dziedziny jak i w obrębie Uniwersum. W algebrze Kubusia szczególnym przypadkiem zbioru jednoelementowego jest dowolne pojęcie z palety Uniwersum.
Twierdzenie o wartości logicznej „pojęcia”:
Każde pojęcie zrozumiałe przez człowieka, czyli należące do jego Uniwersum ma wartość logiczną jeden.
Przykłady:
[pies] =1
[rower]=1
[miłość] =1
Te pojęcia są jednoznaczne i zrozumiałe w zbiorze Uniwersum każdego człowieka.
3.5 Prawo rozpoznawalności pojęcia (tożsamości wiedzy)
Wyobraźmy sobie, że urodziliśmy się i żyjemy w inkubatorze trzymającym idealną temperaturę:
t = const = 36,6 stopnia
Jest oczywistym, że dla nas pojecie ciepło/zimno nie istnieje bo nie jesteśmy w stanie zmierzyć choćby najmniejszej różnicy temperatur, co więcej, nawet na poziomie abstrakcyjnym nie jesteśmy w stanie zrozumieć (zdefiniować) pojęć ciepło/zimno - to są pojęcia nie z naszego Wszechświata (inkubatora).
Tak więc aby zrozumieć pojęcie „ciepło” musimy rozumieć co to jest „zimno = nie ciepło”.
Dokładnie o tym jest prawo rozpoznawalności dowolnego pojęcia p w naszym Wszechświecie.
Prawo rozpoznawalności pojęcia p (prawo tożsamości wiedzy)
Prawo rozpoznawalności pojęcia p (prawo tożsamości wiedzy):
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest jego zaprzeczenie ~p
p<=>~p = (A: p=>~p)*(C: ~p=>p)
Prawo tożsamości wiedzy:
A.
Jeśli wiem co to jest pojęcie p to na pewno => wiem co to jest pojęcie ~p
p=>~p =1
Wiedza co to jest pojęcie p jest warunkiem wystarczającym => do tego by wiedzieć co to jest pojęcie ~p.
Dla prawdziwości zdania A wystarczy znajomość dwóch pojęć p i ~p
C.
Jeśli wiem co to jest pojęcie ~p to na pewno => wiem co to jest pojęcie p
~p=>p =1
Wiedza co to jest pojęcie ~p jest warunkiem wystarczającym => do tego by wiedzieć co to jest pojęcie p.
Dla prawdziwości zdania C wystarczy znajomość dwóch pojęć ~p i p
Prawo rozpoznawalności pojęcia p (tożsamości wiedzy) jest równoważnością.
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Podstawiamy:
q=~p
stąd mamy prawo rozpoznawalności pojęcia p:
p<=>~p = (A: p=>~p)*(C: ~p=>p)
Prawo tożsamości wiedzy dla dowolnej funkcji logicznej Y:
RA:
Znam funkcję logiczną Y wtedy i tylko wtedy gdy znam funkcję logiczną ~Y i odwrotnie
Y<=>~Y = (A: Y=>~Y)*(C: ~Y=>Y)
A.
Jeśli znam funkcję logiczną Y to na pewno => znam funkcję logiczną ~Y
Y=>~Y =1
Znajomość funkcji logicznej Y jest warunkiem wystarczającym => do tego by znać funkcję ~Y
C.
Jeśli znam funkcję logiczną ~Y to na pewno => znam funkcję logiczną Y
~Y=>Y =1
Znajomość funkcji logicznej ~Y jest warunkiem wystarczającym => do tego by znać funkcję Y
Przykład 1.
Dana jest funkcja logiczna Y:
Y=p+q
Negujemy stronami:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q
bo prawo De Morgana:
~(p+q) = ~p*~q
Doskonale widać że:
Jeśli nie znam funkcji logicznej Y:
Y = ?
To nie znam funkcji logicznej ~Y:
~Y=~(?)
Przykład 2.
Prawo tożsamości wiedzy:
RA:
Wiem co to jest kolor biały (B=1) wtedy i tylko wtedy gdy wiem co to jest kolor nie biały (~B=1) i odwrotnie.
B<=>~B = (A: B=>~B)*(C: ~B=>B)
A.
Jeśli wiem co to jest kolor biały (B=1) to na pewno => wiem co to jest kolor nie biały (~B=1)
B=>~B=1
Wiedza co to jest kolor „biały” jest warunkiem wystarczającym => do tego by wiedzieć co to jest kolor „nie biały”
Dla prawdziwości zdania A wystarczy pokazać kolor biały i jeden kolor różny od białego np. niebieski (w szczególnym przypadku może to być kolor czarny)
C.
Jeśli wiem co to jest kolor nie biały (~B=1) to na pewno => wiem co to jest kolor biały (B=1)
~B=>B =1
Wiedza co to jest kolor „nie biały” jest warunkiem wystarczającym => do tego by wiedzieć co to jest kolor „biały”
Dla prawdziwości tego zdania wystarczy istnienie dwóch kolorów: nie białego (~B=1) i białego (B=1)
Przykład 3
[pies] =1 - wartość logiczna pojęcia „pies” jest równa 1 bo jest to pojęcie rozpoznawalne w Uniwersum
Przyjmijmy rozsądną dziedzinę dla tego pojęcia:
D = ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Bez żadnego trudu jesteśmy w stanie podać definicję wystarczającą tego pojęcia:
Pies to zwierzę szczekające, przyjaciel człowieka
P=S*PC
Oczywiście bez problemu rozumiemy pojęcie „nie pies” (~P):
~P to dowolne zwierzę nie będące psem
Ogólnie:
~P=[ZWZ-pies]
Nie pies (~P) to zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa.
Spełniona jest tu definicja dziedziny:
P+~P = [pies]+[ZWZ-pies] = [ZWZ] =1
P*~P = [pies]*[ZWZ-pies] = [] =0
Weźmy teraz pojecie:
Tuptuś =?
Nie ma tego pojęcia w naszym Uniwersum, nie jesteśmy w stanie zdefiniować co to znaczy, z czego wynika że nie wiemy również co to jest NIE tuptuś (~tuptuś).
Oczywiście może się zdarzyć, że ktoś nam wytłumaczy co to jest „tuptuś”. Jeśli to zrozumiemy i zaakceptujemy to wprowadzamy to pojęcie do naszego Uniwersum i od tej pory należy ono do naszego Uniwersum. Często takie nazwy importujemy ze świata dzieci które mówią coś śmiesznego a my to zapamiętujemy i przekazujemy naszym przyjaciołom. Przykładowo ten „tuptuś” to żartobliwa nazwa córeczki mojego przyjaciela, Tygryska, bo miała ubranko z takim napisem.
Definicja wnioskowania:
Wnioskowanie to wyciągnięcie wniosków ze znanych faktów.
Zuzia (lat 5) do Jasia (lat 5).
Jasiu, czy masz pieska?
Jaś:
Tak
Zuzia:
Z faktu że masz pieska wnioskuję, iż twój piesek ma cztery łapy.
Jaś:
Nie ma czterech łap bo wilk mu odgryzł jedną łapkę
W tym momencie matematyczne wnioskowanie Zuzi szlag trafił. Oczywiście wiemy, że pies kaleki to też pies, ale z logiki musimy go usunąć z przyczyn podanych w dialogu.
Z tego samego powodu w logice zakładamy iż wszyscy ludzie mówią prawdę. Oczywiście wiemy że człowiek może kłamać do woli, logika jest po to by wykryć wszelkie kłamstwa.
3.6 Prawa rachunku zbiorów dla zbioru jednoelementowego
Rozważmy zbiór jednoelementowy p:
p=[1,2]
Prawo rozpoznawalności pojęcia:
Pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest zaprzeczenia tego pojęcia (~p)
Na mocy tego prawa dziedzina musi być zbiorem szerszym od zbioru p.
Przyjmijmy dziedzinę:
D=[1,2,3,4] =1 (zbiór pełny)
Stąd mamy zbiór ~p będący dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
~p=[3,4]
I.
Prawo redukcji elementów zbioru
Zbiór:
K=[krowa, krowa, krowa …]
Redukujemy do zbioru:
K=[krowa]
bo w logice chodzi o rozpoznawalność obiektu [krowa] a nie o dodawanie czy mnożenie krów.
II.
Zero jedynkowy fundament algebry Kubusia:
~D=[] - zaprzeczeniem dziedziny D jest zbiór pusty []
~[]=D - zaprzeczeniem zbioru pustego [] jest dziedzina D
D=1 - dziedzina
[] =0 - zbiór pusty
stąd mamy:
1=~0
0=~1
Dowód na naszym przykładzie:
1 =[1,2,3,4] - dziedzina
~0 = ~[] = [1,2,3,4] =1 - zaprzeczeniem zbioru pustego jest dziedzina
0=[] - zbiór pusty
~1 =~[1,2,3,4] = [] =0 - zaprzeczeniem dziedziny jest zbiór pusty
III.
Prawo podwójnego przeczenia
p=~(~p)
Dowód:
p=[1,2]
~(~p) = ~[3,4] = [1,2]
stąd:
p=~(~p)
Dopełnieniem do dziedziny dla zbioru [3,4] jest zbiór [1,2]
II.
Fundament algebry Kubusia:
p+~p=1 - zbiór ~p musi być dopełnieniem do dziedziny dla zbioru p
p*~p=0 - zbiór ~p musi być rozłączny ze zbiorem p
Dowód na naszym przykładzie:
p+~p = [1,2]+[3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
p*~p = [1,2]*[3,4] = [] =0 (zbiór pusty, brak elementów wspólnych p i ~p)
III.
Zero to element neutralny w alternatywie (sumie logicznej)
p+0 =p
p+1 =1
Dowód na naszym przykładzie:
p+0 = [1,2]+[] = [1,2] = p
Stąd: 0 - element neutralny dla sumy logicznej
p+1 = [1,2] +[1,2,3,4] =[1,2,3,4] = 1 (dziedzina)
IV.
Jeden to element neutralny w koniunkcji (iloczynie logicznym)
p*1=p
p*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
p*1 = [1,2]*[1,2,3,4] = [1,2] = p
Stąd: 1 - element neutralny dla iloczynu logicznego.
p*0 = [1,2]*[] =0
V.
Prawa pochłaniania:
p+p =p
p*p =p
Dowód na naszym przykładzie:
p+p = [1,2]+[1,2] = [1,2] =p
p*p = [1,2]*[1,2] = [1,2] =p
Prawa maszynowe (zero-jedynkowe) w zbiorach.
VI
Suma logiczna (alternatywa) zbiorów:
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
1+1 = [1,2,3,4]+[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1+0 = [1,2,3,4]+[] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+1 = [] + [1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
0+0 = []+[]= [] =0 (zbiór pusty)
VII
Iloczyn logiczny (koniunkcja) zbiorów:
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0
Dowód na naszym przykładzie:
1*1 = [1,2,3,4]*[1,2,3,4] = [1,2,3,4] =1 (dziedzina)
1*0 = [1,2,3,4]*[] = [] =0 (zbiór pusty)
0*1 = []*[1,2,3,4] = [] =0 (zbiór pusty)
0*0 = []*[] = [] =0 (zbiór pusty)
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 15:57, 28 Mar 2016, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35365
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 11:49, 28 Mar 2016 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia
Nowa Teoria Zbiorów
Część III
Spis treści
4.0 Operatory jednoargumentowe 1
4.1 Prawo tożsamości wiedzy - definicja zero-jedynkowa 2
4.2 Prawa Prosiaczka - definicja zero-jedynkowa 3
4.3 Definicja operatora transmisji: 4
4.2 Definicja operatora negacji 7
4.5 Definicja operatora chaosu 8
4.6 Definicja operatora śmierci 11
4.7 Rachunek zero-jedynkowy dla operatorów jednoargumentowych 13
4.0 Operatory jednoargumentowe
W logice matematycznej mamy do czynienia wyłącznie z „prawdą” i „fałszem”.
Te dwa pojęcia oznaczamy zwyczajowo cyferkami:
1 - prawda
0 - fałsz
W technice cyfrowej często używa się literek:
1 = H - prawda
0 = L - fałsz
To bez znaczenia.
Wniosek:
Znaczki 0 i 1 to nie są cyfry znane każdemu człowiekowi!
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to nazwa symboliczna mogąca przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu w logice dodatniej (bo Y) oraz ujemnej (bo ~Y) na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q układu.
W operatorach jednoargumentowych mamy jedno wejście oznaczane zwykle literką „p” oraz jedno wyjście, zwyczajowo oznaczane dużą literą „Y”.
Możliwe są cztery jednoargumentowe operatory logiczne.
| Kod: |
|Operator |Operator |Operator |Operator
|transmisji |negacji |chaosu |śmierci
|W: Y= p |W: Y=~p |W: Y=1 |W: Y=0
|U:~Y=~p |U:~Y= p |U:~Y=0 |U:~Y=1
p ~p | Y=p ~Y=~p | Y=~p ~Y=p | Y=1 ~Y=0 | Y=0 ~Y=1
A: 1 0 | =1 =0 | =0 =1 | =1 =0 | =0 =1
B: 0 1 | =0 =1 | =1 =0 | =1 =0 | =0 =1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
|
Zauważmy, że jeśli znamy definicję operatora w logice dodatniej (Y) to automatycznie znamy definicję operatora w logice ujemnej (bo ~Y), to prostu zanegowane kolumny Y.
Stąd mamy:
Definicje operatorów w równaniach algebry Kubusia (i Boole’a):
Dowolny operator logiczny to złożenie funkcji logicznej W:Y=.. w logice dodatniej (bo Y) z funkcją logiczną U:~Y=.. w logice ujemnej (bo ~Y) - i odwrotnie.
Stąd:
Dowolny operator logiczny to układ równań logicznych:
W: Y = …
U: ~Y = …
Prawo rozpoznawalności pojęcia p:
Jeśli znane nam jest pojęcie p w logice dodatniej (bo p) to na pewno znane mam jest pojęcie ~p w logice ujemnej (bo ~p) - i odwrotnie.
Przykład:
Jeśli znam pojęcie „pies” to automatycznie znam pojęcie „nie pies”
p=[pies] - zbiór jednoelementowy pies (logika dodatnia bo p)
Przyjmijmy sensowną tu dziedzinę:
ZWZ = [pies, słoń, kura, wąż ..] - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy:
~p = [ZWZ-p] = [słoń, kura, wąż ..] - logika ujemna bo ~p
„Nie pies” to dowolne zwierzę z wykluczeniem psa
Definicja zbioru niepustego i pustego:
[x] - zbiór niepusty, zawiera co najmniej jeden element (istnieje)
[] - zbiór pusty, nie zawiera żadnego elementu (nie istnieje)
W algebrze Kubusia zbiory mają wartość logiczną:
[x] =1
[] =0
4.1 Prawo tożsamości wiedzy - definicja zero-jedynkowa
Przyjrzyjmy się operatorom transmisji i negacji:
| Kod: |
|Operator |Operator
|transmisji |negacji
|W: Y= p |W: Y=~p
|U:~Y=~p |U:~Y= p
p ~p | Y=p ~Y=~p | Y=~p ~Y=p
A: 1 0 | =1 =0 | =0 =1
B: 0 1 | =0 =1 | =1 =0
1 2 3 4 5 6
|
Zauważmy, że jeśli z powyższego opisu usuniemy pojęcie funkcji logicznej Y i ~Y (błąd czysto matematyczny popełniany przez ziemian), operując wyłącznie na zmiennych wejściowych p i ~p to dostaniemy same matematyczne bzdury jakoby kolumna 3 była tożsama z kolumną 6 etc.
Symbole p, ~p, Y, ~Y z operatora transmisji mają zero wspólnego z symbolami p, ~p, Y, ~Y operatora negacji etc.
Matematycznie zachodzi tożsamość wiedzy będąca równoważnością <=> wewnątrz dowolnego operatora logicznego:
A.
Jeśli znam funkcję logiczną Y to na pewno => znam funkcje logiczną ~Y
Y=>~Y =1
Znajomość funkcji logicznej Y jest warunkiem wystarczającym => dla znajomości funkcji logicznej ~Y
Jeśli znam kolumnę Y to wystarczy ją zanegować by otrzymać kolumnę ~Y
Zachodzi też twierdzenie odwrotne:
C.
Jeśli znam funkcję logiczną ~Y to na pewno => znam funkcję logiczną Y
~Y => Y=1
Znajomość funkcji logicznej ~Y jest warunkiem wystarczającym => dla znajomości funkcji logicznej Y
Jeśli znam kolumnę ~Y to wystarczy ją zanegować by otrzymać kolumnę Y
Definicja równoważności:
Równoważność to warunki wystarczające => zachodzące w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Podstawiając nasze zdania A i C mamy prawo tożsamości wiedzy:
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
4.2 Prawa Prosiaczka - definicja zero-jedynkowa
Jednoargumentowe operatory chaosu i śmierci to powszechnie znane wśród 3-latków prawa Prosiaczka.
| Kod: |
|Operator |Operator
|chaosu |śmierci
|W: Y=1 |W: Y=0
|U:~Y=0 |U:~Y=1
p ~p | Y=1 ~Y=0 | Y=0 ~Y=1
A: 1 0 | =1 =0 | =0 =1
B: 0 1 | =1 =0 | =0 =1
|
Stąd mamy prawo tożsamości wiedzy, w tym przypadku prawa Prosiaczka.
Prawa Prosiaczka:
I. W: (Y=1) <=> U: (~Y=0)
II. W: (Y=0) <=> U: (~Y=1)
W logice matematycznej funkcjonuje pojęcie tożsamości logicznej „=” będącej de facto równoważnością <=>. Równoważność zachowuje się identycznie jak tożsamość klasyczna „=”.
I prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~q)
(p=1) = (~p=0)
II prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.
Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO
Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)
Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0
Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)
Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń
Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)
4.3 Definicja operatora transmisji:
Zero-jedynkowa definicja operatora transmisji:
| Kod: |
|Operator
|transmisji
|W: Y= p
|U:~Y=~p
p ~p | Y=p ~Y=~p
A: 1 0 | =1 =0
B: 0 1 | =0 =1
1 2 3 4
|
Definicja operatora transmisji w równaniach logicznych W i U:
W.
Y = p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
U.
~Y=~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=>~p=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej operatora transmisji.
Prawo śfinii:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.
Alternatywne wyprowadzenie równań definiujących operator transmisji możliwe jest w oparciu o prawo śfinii.
Tworzenie równania logicznego opisującego tabelę AB123:
Krok 1
W tabeli zero-jedynkowej AB123 spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy:
Y=1 <=> p=1
Krok 2
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je wykopać w kosmos nic nie tracąc na jednoznaczności.
W ten sposób otrzymujemy równanie logiczne:
Y = p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1
Tworzenie równania logicznego opisującego tabelę AB124:
Krok 1
W tabeli zero-jedynkowej AB124 spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy:
~Y=1 <=> ~p=1
Krok 2
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je wykopać w kosmos nic nie tracąc na jednoznaczności.
W ten sposób otrzymujemy równanie logiczne:
~Y = ~p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1
Zauważmy, że kolumna Y to zanegowana kolumna ~Y.
Stąd mamy:
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y).
Y = p = ~(~p)
To jest powszechnie znane w logice prawo podwójnego przeczenia.
W.
Jutro pójdę do kina
K=1
Nie może się zdarzyć (~) że jutro nie pójdę do kina
~(~K) = K
cnd
Zauważmy, że kolumna ~Y to zanegowana kolumna Y
Stąd mamy:
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p = ~(p)
Operator transmisji jest powszechnie znany każdemu 5-cio latkowi.
Przykład:
W.
Jutro pójdę do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1)
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
… a kiedy skłamię?
Negujemy równanie W stronami:
U.
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Znaczenie symboli:
Y - dotrzymam słowa (logika dodatnia bo Y)
~Y - skłamię (logika ujemna bo ~Y)
4.2 Definicja operatora negacji
Zero-jedynkowa definicja operatora negacji:
| Kod: |
|Operator
|negacji
|W: Y=~p
|U:~Y= p
p ~p | Y=~p ~Y=p
A: 1 0 | =0 =1
B: 0 1 | =1 =0
1 2 3 4
|
Definicja operatora negacji w równaniach logicznych W i U
W.
Y =~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
U.
~Y= p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej operatora negacji.
Prawo śfinii:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.
Alternatywne wyprowadzenie równań definiujących operator negacji możliwe jest w oparciu o prawo śfinii.
Tworzenie równania logicznego opisującego tabelę AB123:
Krok 1
W tabeli zero-jedynkowej AB123 spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy:
Y=1 <=> ~p=1
Krok 2
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je wykopać w kosmos nic nie tracąc na jednoznaczności.
W ten sposób otrzymujemy równanie logiczne:
Y = ~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
Tworzenie równania logicznego opisującego tabelę AB124:
Krok 1
W tabeli zero-jedynkowej AB124 spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy:
~Y=1 <=> p=1
Krok 2
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je wykopać w kosmos nic nie tracąc na jednoznaczności.
W ten sposób otrzymujemy równanie logiczne:
~Y = p
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1
Zauważmy, że kolumna Y to zanegowana kolumna ~Y
Stąd mamy:
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y).
Y = ~p = ~(p)
Zauważmy, że kolumna ~Y to zanegowana kolumna Y
Stąd mamy:
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając W i U mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = p = ~(~p)
Operator negacji jest powszechnie znany każdemu 5-cio latkowi.
Przykład:
W.
Jutro nie pójdę do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1)
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
… a kiedy skłamię?
Negujemy równanie W stronami:
U.
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (~K=1)
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Znaczenie symboli:
Y - dotrzymam słowa (logika dodatnia bo Y)
~Y - skłamię (logika ujemna bo ~Y)
4.5 Definicja operatora chaosu
Oznaczmy:
+ - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, znany każdemu 5-cio latkowi
* - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, znany każdemu 5-cio latkowi
Zero-jedynkowa definicja operatora chaosu:
| Kod: |
|Operator
|chaosu
|W: Y=p+~p=1
|U:~Y=~p*p=0
p ~p | Y=1 ~Y=0
A: 1 0 | =1 =0
B: 0 1 | =1 =0
1 2 3 4
|
Z definicji operatora chaosu widzimy, że funkcja logiczna Y zawsze przyjmuje wartość logiczną 1 (zdanie zawsze prawdziwe), natomiast funkcja logiczna ~Y zawsze przyjmuje wartość logiczną 0 (zdanie zawsze fałszywe).
Jak opisać równaniami logicznymi operator chaosu?
Prawo śfinii:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.
Wyprowadzenie równań definiujących operator chaosu możliwe jest w oparciu o prawo śfinii.
Krok 1
Z tabeli zero-jedynkowej AB123 spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy:
Y=1 <=> A: p=1 lub B: ~p=1
Krok 2
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je wykopać w kosmos nic nie tracąc na jednoznaczności.
W ten sposób otrzymujemy równanie logiczne opisujące tabelę AB123:
Y = p+~p
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~p=1
Zauważmy, że dla tabeli AB124 nie możemy skorzystać z prawa śfinii, bowiem w kolumnie wynikowej ~Y nie mamy ani jednej jedynki.
Jak sobie z tym poradzić?
Równanie opisujące tabelę AB123 jest następujące:
W: Y = p+~p =1
Mamy tu twardą prawdę (zdanie zawsze prawdziwe) bowiem w kolumnie wynikowej mamy same jedynki.
Związek logiki ujemnej i dodatniej:
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodania (bo Y)
U: ~Y = ~(Y)
W tabeli doskonale widać, że kolumna ~Y to zanegowana kolumna Y
Podstawiając żywcem równanie W otrzymujemy równanie logiczne opisujące funkcję logiczną ~Y, czyli tabelę zero-jedynkową AB124.
~Y = ~(Y=p+~p=1)
~Y = ~Y = ~(p+~p) =0
Prawo De Morgana (poznamy w przyszłości):
~(p+q) = ~p*~q
stąd:
~Y = ~(p+~p) = ~p*p = p*~p =0
Stąd mamy końcowe równanie opisujące tabelę AB124:
U: ~Y = p*~p =0
Zauważmy, że zdanie U jest zawsze fałszywe w logice ujemnej (bo ~Y).
Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
W: (Y=1) = U: (~Y=0)
Wyprowadziliśmy w ten sposób dwa bardzo ważne prawa algebry Kubusia (i Boole’a):
W: p+~p=1
U: p*~p =0
Przykład:
W.
Jutro pójdę do kina (K=1) lub nie pójdę do kona (~K=1)
Y = K+~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub nie pójdę do kina (~K=1).
Y=K+~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
To jest zdanie zawsze prawdziwe, twarda prawda.
Nie ma tu żadnych szans abym w przyszłości skłamał.
Dowód:
.. a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y= K*~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~K=1
U.
Prawdą jest (=1), że skłamię (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do kina (~K=1)
~Y= K*~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~K=1
Gdzie:
Y - dotrzymam słowa (logika dodatnia bo Y)
~Y - skłamię (logika ujemna bo ~Y)
Doskonale widać, że nie ma tu żadnych szans abym jutro skłamał (~Y=1), bo prawo algebry Kubusia (i Boole’a):
K*~K =0
To zdanie jest wewnętrznie sprzeczne, zatem jest fałszywe.
W logice ujemnej (bo ~Y) mamy zatem twardy fałsz:
~Y = K*~K=0
Oznacza to, że nie jesteśmy w stanie kiedykolwiek skłamać (~Y), czyli ustawić w powyższym równaniu jedynkę, taka sytuacja jest niemożliwa.
4.6 Definicja operatora śmierci
Zero-jedynkowa definicja operatora śmierci:
| Kod: |
|Operator
|śmierci
|W: Y=0
|U:~Y=1
p ~p | Y=0 ~Y=1
A: 1 0 | =0 =1
B: 0 1 | =0 =1
1 2 3 4
|
Z definicji operatora śmierci widzimy, że funkcja logiczna Y zawsze przyjmuje wartość logiczną 0, natomiast funkcja logiczna ~Y zawsze przyjmuje wartość logiczną 1.
Jak opisać równaniem logicznym operator chaosu?
Prawo śfinii:
Nagłówek dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.
Doskonale widać, że w stosunku do tabeli AB123 nie możemy skorzystać z prawa świni w sposób bezpośredni bowiem w kolumnie Y nie ma ani jednej jedynki.
Do równania logicznego opisującego funkcję logiczną Y bez problemu możemy dojść w sposób pośredni opisując równaniem logicznym kolumnę ~Y.
Uzasadnienie:
Kolumna Y to zanegowana kolumna ~Y
Y = ~(~Y)
Wyprowadzenie równań definiujących operator śmierci możliwe jest w oparciu o prawo śfinii.
Krok 1
Z tabeli zero-jedynkowej AB124 spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy:
~Y=1 <=> A: p=1 lub B: ~p=1
Krok 2
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je wykopać w kosmos nic nie tracąc na jednoznaczności.
W ten sposób otrzymujemy równanie logiczne opisujące tabelę AB124:
U: ~Y = p+~p
co matematycznie oznacza:
U: ~Y=1 <=> p=1 lub ~p=1
Równanie opisujące tabelę AB124 jest następujące:
U: ~Y = p+~p =1
Mamy tu twardą prawdę (zdanie zawsze prawdziwe w logice ujemnej) bowiem w kolumnie wynikowej ~Y mamy same jedynki.
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
W tabeli doskonale widać, że kolumna Y to zanegowana kolumna ~Y
Podstawiając żywcem równanie U otrzymujemy równanie logiczne opisujące funkcję logiczną Y, czyli tabelę zero-jedynkową AB123.
Y = ~(~Y=p+~p=1)
Y = Y = ~(p+~p) =0
Prawo De Morgana (poznamy w przyszłości):
~(p+q) = ~p*~q
stąd:
W: Y = ~(p+~p) = ~p*p = p*~p =0
Stąd mamy końcowe równanie opisujące tabelę AB123:
W: Y = p*~p =0
Zauważmy, że zdanie W jest zawsze fałszywe w logice dodatniej (bo Y).
Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
W: (Y=0) = U: (~Y=1)
Przykład:
W.
Jutro pójdę do kina i nie pójdę do kina
Y=K*~K =0
bo prawo algebry Kubusia:
p*~p=0
Zdanie W jest zdaniem zawsze fałszywym.
Odpowiednikiem zdania zawsze fałszywego (=0) w logice dodatniej jest zdanie zawsze prawdziwe (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
… a kiedy skłamię?
Negujemy zdanie W stronami:
~Y = ~(K*~K) =0
Prawo De Morgana:
~(p*~q) =~p+q
Stąd mamy:
U: ~Y = K+~K =1
co matematycznie oznacza:
U: ~Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Pojęcia K i ~K są wzajemnie rozłączne i uzupełniają się do dziedziny.
Gdzie:
Dziedzina: wszystkie możliwe sytuacja jakie jutro mogą się zdarzyć.
Doskonale widać, że cokolwiek jutro nie zrobię to na 100% ustawię:
~Y=1
Jak zatem brzmi zdanie zawsze prawdziwe?
Odczytujemy:
U.
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę do kina (K=1) lub nie pójdę do kina (~K=1)
~Y = K+~K =1
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Gdzie:
Y - dotrzymam słowa (logika dodatnia bo Y)
~Y - skłamię (logika ujemna bo ~Y)
Doskonale widać, że nie ma tu żadnych szans abym jutro dotrzymał słowa (Y=1), bo prawo algebry Kubusia (i Boole’a):
K*~K =0
To zdanie jest wewnętrznie sprzeczne, zatem jest fałszywe.
W logice dodatniej (bo Y) mamy tu twardy fałsz:
Y = K*~K=0
Oznacza to, że nie jesteśmy w stanie kiedykolwiek dotrzymać słowa (Y=1), taka sytuacja jest niemożliwa.
4.7 Rachunek zero-jedynkowy dla operatorów jednoargumentowych
Możliwe są cztery jednoargumentowe operatory logiczne.
| Kod: |
|Operator |Operator |Operator |Operator
|transmisji |negacji |chaosu |śmierci
|W: Y= p |W: Y=~p |W: Y=1 |W: Y=0
|U:~Y=~p |U:~Y= p |U:~Y=0 |U:~Y=1
p ~p | Y=p ~Y=~p | Y=~p ~Y=p | Y=1 ~Y=0 | Y=0 ~Y=1
A: 1 0 | =1 =0 | =0 =1 | =1 =0 | =0 =1
B: 0 1 | =0 =1 | =1 =0 | =1 =0 | =0 =1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
|
Matematycznie te cztery operatory są rozłączne, żaden z nich nie ma nic wspólnego z drugim, czyli symboli p, ~p, Y, ~Y z jednego operatora nie wolno mieszać z symbolami p, ~p, Y, ~Y jakiegokolwiek drugiego operatora.
Zajmijmy się wyłącznie operatorem transmisji:
| Kod: |
|Operator
|transmisji
|W: Y= p
|U:~Y=~p
p ~p | Y=p ~Y=~p |~(~Y)=~(~p)
A: 1 0 | =1 =0 | =1
B: 0 1 | =0 =1 | =0
1 2 3 4 5
|
Tożsamość kolumn 3 i 5 jest dowodem formalnym prawa podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
p=~(~p)
Tylko i wyłącznie w tym przypadku, gdy operujemy wewnątrz operatora, symbole p, ~p, Y i ~Y są dokładnie tymi samymi symbolami.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35365
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 11:50, 28 Mar 2016 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia
Nowa Teoria Zbiorów
Część IV
Spis treści
5.0 Operatory OR i AND 1
5.1 Definicje spójników „lub”(+) i „i”(*) 3
5.2 Definicja operatora OR(|+) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*): 4
5.3 Definicja operatora AND(|*) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) 10
5.4 Równanie ogólne dla operatorów OR(|+) i AND(|*) 14
5.5 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków 15
5.0 Operatory OR i AND
W logice matematycznej mamy do czynienia wyłącznie z „prawdą” i „fałszem”.
Te dwa pojęcia oznaczamy zwyczajowo cyferkami:
1 - prawda
0 - fałsz
W technice cyfrowej często używa się literek:
1 = H - prawda
0 = L - fałsz
To bez znaczenia.
Wniosek:
Znaczki 0 i 1 to nie są cyfry znane każdemu człowiekowi!
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to nazwa symboliczna mogąca przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.
Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny to odpowiedź układu w logice dodatniej (bo Y) oraz ujemnej (bo ~Y) na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q układu.
W operatorach dwuargumentowych mamy dwa wejście oznaczane zwykle literkami „p” i „q” oraz jedno wyjście, zwyczajowo oznaczane dużą literą „Y”.
Wszystkich możliwych operatorów logicznych dwuargumentowych jest 16.
Podstawowe definicje operatorów logicznych:
| Kod: |
OR AND p|=>q p|~>q
N0 N1 N2 N4 N4 N5 N6 N7
Y= ~Y= Y= ~Y= Y= ~Y= Y= ~Y=
p q ~p ~q (p|+q) ~(p|+q) (p|*q) ~(p|*q) p|=>q ~(p|=>q) p|~>q ~(p|~>q)
A: 1 1 0 0 =1 =0 =1 =0 =1 =0 =1 =0
B: 1 0 0 1 =1 =0 =0 =1 =0 =1 =1 =0
C: 0 0 1 1 =0 =1 =0 =1 =1 =0 =1 =0
D: 0 1 1 0 =1 =0 =0 =1 =1 =0 =0 =1
|
| Kod: |
p<=>q p|~~>q pPq pQq
N8 N9 N10 N11 N12 N13 N14 N15
Y= ~Y= Y= ~Y= Y= ~Y= Y= ~Y=
p q ~p ~q (p<=>q) ~(p<=>q) (p|~~>q) ~(p|~~>q) pPq ~(pPq) pQq ~(pQq)
A: 1 1 0 0 =1 =0 =1 =0 =1 =0 =1 =0
B: 1 0 0 1 =0 =1 =1 =0 =1 =0 =0 =1
C: 0 0 1 1 =1 =0 =1 =0 =0 =1 =0 =1
D: 0 1 1 0 =0 =1 =1 =0 =0 =1 =1 =0
|
Klasyczna definicja operatora logicznego to kompletna kolumna wynikowa Y albo ~Y w odniesieniu do sygnałów p i q. Zauważmy, że operatory nieparzyste ~Y to zanegowane operator parzyste ~(Y).
Prawo tożsamości wiedzy:
Jeśli znam funkcję logiczną Y to na pewno => znam funkcje logiczną ~Y
Y=>~Y
Dowód:
~Y = ~(Y) - wystarczy zanegować funkcję Y
Zachodzi również twierdzenie odwrotne:
Jeśli znam funkcję logiczną ~Y to na pewno => znam funkcję logiczną Y
~Y=>Y
Dowód:
Y=~(~Y) - wystarczy zanegować funkcję ~Y
To jest automatyczny dowód prawa podwójnego przeczenia.
Wniosek:
Prawo tożsamości wiedzy to ewidentna równoważność:
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
po podstawieniu:
p=Y
q=~Y
mamy definicję równoważności, czyli pewne wynikanie => w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Z prawa tożsamości wiedzy wynika, ze zarówno w logice matematycznej człowieka, jak i w matematyce operatory nieparzyste ~Y są zbędne, bo można je łatwo zbudować mając do dyspozycji operatory parzyste Y plus negator.
Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y = ~(~Y)
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Bardzo ważne:
Matematyczne związki zachodzą wyłącznie między funkcjami parzystymi Y i nieparzystymi ~Y wyłącznie w obrębie konkretnego operatora logicznego Y.
Wynika z tego, że dowolny operator Y jest unikalny i nie do zastąpienia przez jakikolwiek inny operator Y.
Matematycznie na mocy definicji zachodzi:
N0: Y=p|+q ## N2: Y=p|*q ## N4: Y=p|=>q ## N6: Y=p|~>q ## N8: Y=p<=>q ## N10: Y=p|~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowód:
W odpowiedzi na identyczne wymuszenia zero-jedynkowe na wejściach p i q kolumny wynikowe Y są różne.
Oczywiście wynika z tego że przykładowe Y z funkcji logicznej:
Y=p|=>q
nie ma nic wspólnego z jakimkolwiek innym Y.
W rachunku zero-jedynkowym przy opisie dowolnego operatora Y możemy używać dowolnych innych operatorów, ale unikalność operatora Y musi zostać zachowana, inaczej gwałcimy matematykę ścisłą, czyli ten znak:
## - różne na mocy definicji
Z ideą rachunku zero-jedynkowego zapoznamy się za chwilę.
5.1 Definicje spójników „lub”(+) i „i”(*)
Definicja spójnika „lub”(+):
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
| Kod: |
p q Y=p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
-----------
D: 0 0 =0
1 2 3
|
Definicja spójnika „lub”(+) to wyłącznie obszar ABC123, co doskonale widać w tabeli:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Linia D123 nie bierze udziału w logice matematycznej człowieka, uzupełniamy ją wynikowym zerem do pełnej definicji operatora OR(|+) wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Definicja operatora OR(|+):
| Kod: |
p q Y=p|+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
1 2 3
|
Definicja spójnika „i”(*):
Y=p*q
co matematycznie oznacza
Y=1 <=> p=1 i q=1
Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
| Kod: |
p q Y=p*q
A: 1 1 =1
-----------
B: 1 0 =0
C: 0 1 =0
D: 0 0 =0
1 2 3
|
Definicja spójnika „i”(*) to wyłącznie linia A123, co doskonale widać w tabeli:
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Pozostałe linie BCD123 nie biorą udziału w logice matematycznej człowieka, uzupełniamy je wynikowymi zerami do pełnej definicji operatora AND(|*) wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Definicja operatora AND(|*):
| Kod: |
p q Y=p|*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 1 =0
D: 0 0 =0
1 2 3
|
5.2 Definicja operatora OR(|+) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Definicja zero-jedynkowa operatora OR(|+):
| Kod: |
Matryca |Rachunek zero-jedynkowy
Zero-jedynkowa|
p q ~p ~q |Y=p+q ~Y=~p*~q ~Y=~(p+q) Y=~(~p*~q)
A: 1 1 0 0 | =1 =0 =0 =1
B: 1 0 0 1 | =1 =0 =0 =1
C: 0 1 1 0 | =1 =0 =0 =1
-------------------------------------------
D: 0 0 1 1 | =0 =1 =1 =0
1 2 3 4 5 6 7 8
|
Wynikowe jedynki i zera w tabeli ABCD125 generuje nam definicja operatora OR(|+).
Wynikowe jedynki i zera w tabeli ABCD346 generuje nam definicja operatora AND(|*).
Kolumna 7 to zanegowana kolumna 5, natomiast kolumna 8 to zanegowana kolumna 6.
Tożsamość kolumn wynikowych 5 i 7 to dowód prawa De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = ~(~p*~q)
Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 7 to dowód prawa De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p*~q = ~(p+q)
Definicja zero-jedynkowa i symboliczna operatora OR(|+):
| Kod: |
Matryca | |Operator OR(|+)|Co matematycznie
zero-jedynkowa| |w równaniach |oznacza
na wejściu | |cząstkowych |
p q ~p ~q |Y=p+q ~Y=~p*~q| |
A: 1 1 0 0 | =1 =0 | p* q = Ya | Ya=1<=> p=1 i q=1
B: 1 0 0 1 | =1 =0 | p*~q = Yb | Yb=1<=> p=1 i ~q=1
C: 0 1 1 0 | =1 =0 |~p* q = Yc | Yc=1<=>~p=1 i q=1
-----------------------------------------------------------------
D: 0 0 1 1 | =0 =1 |~p*~q =~Yd |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) nagłówek w kolumnie wynikowej Y opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.
Prawo Sowy jest tu spełnione bo:
Nagłówek Y=p+q dotyczy tabeli zero-jedynkowej ABCD125
Nagłówek ~Y=~p*~q dotyczy tabeli zero-jedynkowej ABCD346
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Y=p+q - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
~Y=~p*~q - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)
Rozróżniamy dwa podstawowe algorytmy tworzenia równań cząstkowych w naturalnej logice matematycznej człowieka.
I Sposób:
1.
W wejściowej matrycy zero-jedynkowej muszą być uwidocznione wszystkie zmienne w postaci niezanegowanej (p, q) i zanegowanej (~p, ~q)
2.
W poszczególnych liniach opisujemy wyłącznie wynikowe jedynki z wejściowej matrycy zero-jedynkowej (p, ~p, q, ~q) łącząc je spójnikiem „i”(*).
3.
Cząstkową kolumnę wynikową zapisujemy w logice dodatniej (bo Y) wtedy i tylko wtedy gdy jedynka należy do funkcji logicznej Y.
Cząstkową kolumnę wynikową zapisujemy w logice ujemnej (bo ~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jedynka należy do funkcji logicznej ~Y.
4.
Definicję operatora OR(|+) opisuje układ równań W i U:
W1.
Równanie w logice dodatniej (bo Y):
Y=Ya+Yb+Yc
Po podstawieniu otrzymujemy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
U1.
Równanie w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~Yd
Po podstawieniu otrzymujemy:
~Y=~p*~q
Co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Powyższy algorytm działa zawsze, niezależnie od wielkości i rodzaju tabeli zero-jedynkowej.
II sposób:
Posługujemy się wyłącznie podstawową tabelą zero-jedynkową, gdzie uwidocznione są sygnały bezpośrednio widoczne na wejściu oraz znana jest funkcja wyjściowa Y.
| Kod: |
Definicja |Operator OR(|+)|Co matematycznie
zero-jedynkowa |w równaniach |oznacza
operatora OR(|+) |cząstkowych |
p q Y=p+q | |
A: 1 1 =1 | p* q = Ya | Ya=1<=> p=1 i q=1
B: 1 0 =1 | p*~q = Yb | Yb=1<=> p=1 i ~q=1
C: 0 1 =1 |~p* q = Yc | Yc=1<=>~p=1 i q=1
D: 0 0 =0 |~p*~q =~Yd |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1
1 2 5 7 8 9
|
Algorytm tworzenia równań logicznych opisujących dowolną tabelę zero-jedynkową gdzie znana jest funkcja wyjściowa Y.
1.
W tabeli ABCD125 spisujemy w naturalnej logice matematycznej człowieka dokładnie to co widzimy dla wynikowych jedynek (Y=1):
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i q=0 lub C: p=0 i q=1
2.
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek.
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
3.
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je wykopać w kosmos otrzymując równanie algebry Boole’a opisujące wynikowe jedynki w naszej tabeli ABCD125.
W1.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
W identyczny sposób tworzymy równanie algebry Boole’a opisujący wynikowe zera w tabeli ABCD125:
1.
W tabeli ABCD125 spisujemy w naturalnej logice matematycznej człowieka dokładnie to co widzimy dla wynikowych zer (Y=0):
Y=0 <=> D: p=0 i q=0
2.
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek.
~Y=1 <=> D: ~p=1 i ~q=1
3.
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je wykopać w kosmos otrzymując równanie algebry Boole’a opisujące wynikowe zera w naszej tabeli ABCD125.
U1.
~Y = D: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i ~q=1
Powyższy algorytm działa zawsze, niezależnie od wielkości i rodzaju tabeli zero-jedynkowej.
Równania W1 i U1 to jedno z najważniejszych praw w logice matematycznej.
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne.
Mamy:
W1: Y=p+q - logika dodatnia (bo Y)
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U1: ~Y=~p*~q - logika ujemna (bo ~Y)
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y= ~(~Y)
Podstawiając W1 i U1 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = ~(~p*~q)
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemne to zanegowana logika dodatnia
~Y= ~(Y)
Podstawiając U1 i W1 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p*~q = ~(p+q)
Bezpośrednio z tabeli zero-jedynkowej ABCD125 możemy odczytać najprostszą funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) opisującą wynikowe jedynki w tej tabeli.
1.
Y=1 <=> p=1 lub q=1
3.
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je wykopać w kosmos nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy równanie minimalne opisujące naszą tabelę:
W2.
Y= p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Matematycznie zachodzi:
W1=W2
Stąd mamy szczegółową definicję spójnika „lub”(+) w naturalnej logice człowieka:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Szczegółową definicję spójnika „lub”(+), wynikłą bezpośrednio z definicji operatora OR należy zapamiętać gdyż jest ona często wykorzystywana w naturalnej logice matematycznej człowieka, od 5-cio latka poczynając, na prof. matematyki kończąc.
Dowód na przykładzie:
W1.
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że dotrzymam słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdę to kina (K=1) i do teatru (T=1)
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Wystarczy że pójdę w jedno miejsce i już dotrzymam słowa.
… a kiedy skłamię?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U1.
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że skłamię (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
Symboliczne znaczenie zmiennych:
Y - dotrzymam słowa (logika dodatnia bo Y)
~Y - skłamię (logika ujemna bo ~Y)
Szczegółowa definicja spójnika „lub”(+):
W1=W2
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Podstawiając nasz przykład otrzymujemy szczegółową rozpiskę wszystkich zdarzeń w dniu jutrzejszym w których dotrzymam słowa.
W1=W2.
Y = K+T = K*T + K*~T + ~K*T
stąd mamy:
W2.
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T = 1*1 =1 - jutro pójdę do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1 =1 - jutro pójdę do kina (K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T = 1*1 =1 - jutro nie pójdę do kina (~K=1) i pójdę do teatru (T=1)
Zapiszmy tabelę operatora OR(|+) trochę inaczej:
| Kod: |
ABC123: |D456: |Operator OR(|+)|Co matematycznie
Spójnik „lub”(+)|Spójnik „i”(*) |w równaniach |oznacza
W: Y=p+q |U:~Y=~p*~q |cząstkowych |
p q Y=p+q |~p ~q ~Y=~p*~q | |
A: 1 1 =1 | 0 0 =0 | p* q = Ya | Ya=1<=> p=1 i q=1
B: 1 0 =1 | 0 1 =0 | p*~q = Yb | Yb=1<=> p=1 i ~q=1
C: 0 1 =1 | 1 0 =0 |~p* q = Yc | Yc=1<=>~p=1 i q=1
--------------------------------------------------------------------
D: 0 0 =0 | 1 1 =1 |~p*~q =~Yd |~Yd=1<=>~p=1 i ~q=1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) nagłówek w kolumnie wynikowej Y opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.
Tabela ABCD123:
Na mocy prawa Sowy definicja spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) to wyłącznie obszar ABC123:
W: Y=p+q
co matematycznie oznacza:
W: Y=1 <=> p=1 lub q=1
W ostatniej linii D123 mamy w wyniku zero na mocy definicji operatora OR(|+), czyli kolumny wynikowej Y.
Tabela ABCD456:
Na mocy prawa Sowy definicja spójnika „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y) to wyłącznie linia D456.
U: ~Y = ~p*~q
co matematycznie oznacza:
U: ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
W pozostałych liniach ABC456 mamy w wyniku zero na mocy definicji funkcji logicznej ~Y którą otrzymujemy poprzez zanegowanie funkcji Y.
Definicja operatora logicznego OR(|+):
Operator logiczny OR(|+) to złożenie spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y) ze spójnikiem „i”(*) w logice ujemnej (bo ~Y):
W: Y=p+q
U: ~Y=~p*~q
Wniosek:
Operator OR(|+) to wszystkie cztery linie ABCD123, natomiast spójnik „lub”(+) to na mocy prawa Sowy tylko i wyłącznie obszar ABC123.
Zauważmy, że zależność między tabelami ABCD123 i ABCD456 ma charakter równoważnościowy.
Definicja równoważności:
Równoważność <=> to pewne wynikanie => w dwie strony:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Prawo rozpoznawalności pojęcia:
Znam dowolną funkcję logiczną Y w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) wtedy i tylko wtedy gdy znam funkcję logiczną ~Y
Y<=>~Y = (Y=>~Y)*(~Y=>Y)
Dowód:
Twierdzenie proste:
W.
Jeśli znam funkcję logiczną Y w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) opisującą dowolną tabelę zero-jedynkową to na pewno => znam funkcję logiczną ~Y
Y=>~Y
Dowód:
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Założenie: Y=p+q
Teza: ~Y=~p*~q
Prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne:
U.
Jeśli znam funkcję logiczną ~Y w spójniach „lub”(+) i „i”(*) to na pewno znam funkcję logiczną Y
~Y=>Y
Dowód:
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Założenie: ~Y=~p*~q
Teza: Y=p+q
Prawdziwość W i U wymusza równoważność.
Podsumowując:
Na mocy prawa rozpoznawalności pojęcia poprawny jest opis wszelkich tabel zero-jedynkowych wyłącznie spójnikami „lub”(+) i „i”(*) z naturalnej logiki człowieka, bo jest matematycznie jednoznaczny.
5.3 Definicja operatora AND(|*) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
Definicja zero-jedynkowa operatora AND(|*):
| Kod: |
Matryca |Rachunek zero-jedynkowy
Zero-jedynkowa|
p q ~p ~q |Y=p*q ~Y=~p+~q ~Y=~(p*q) Y=~(~p+~q)
A: 1 1 0 0 | =1 =0 =0 =1
-------------------------------------------
B: 0 0 1 1 | =0 =1 =1 =0
C: 0 1 1 0 | =0 =1 =1 =0
D: 1 0 0 1 | =0 =1 =1 =0
1 2 3 4 5 6 7 8
|
Wynikowe jedynki i zera w tabeli ABCD125 generuje nam definicja operatora AND(|*).
Wynikowe jedynki i zera w tabeli ABCD346 generuje nam definicja operatora OR(|+).
Kolumna 7 to zanegowana kolumna 5, natomiast kolumna 8 to zanegowana kolumna 6.
Tożsamość kolumn wynikowych 5 i 7 to dowód prawa De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q = ~(~p+~q)
Tożsamość kolumn wynikowych 6 i 7 to dowód prawa De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~(p*q)
Zero-jedynkowa i symboliczna definicja operatora AND(|*):
| Kod: |
Definicja zero-jedynkowa |Definicja |Co matematycznie
operatora AND(|*) |w spójnikach |oznacza
|”lub”(+) i „i”(*)|
p q ~p ~q Y=p*q ~Y=~p+~q | |
A: 1 1 0 0 =1 =0 | p* q= Ya | Ya=1<=> p=1 i q=1
----------------------------------------------------------------------
B: 0 0 1 1 =0 =1 |~p*~q=~Yb |~Yb=1<=>~p=1 i ~q=1
C: 0 1 1 0 =0 =1 |~p* q=~Yc |~Yc=1<=>~p=1 i q=1
D: 1 0 0 1 =0 =1 | p*~q=~Yd |~Yd=1<=> p=1 i ~q=1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 a b c
|
Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „lub”(+) i „i”(*) nagłówek w kolumnie wynikowej Y opisuje wyłącznie wynikowe jedynki w tej tabeli.
Prawo Sowy jest tu spełnione bo:
Nagłówek Y=p*q dotyczy tabeli zero-jedynkowej ABCD125
Nagłówek ~Y=~p+~q dotyczy tabeli zero-jedynkowej ABCD346
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Y=p*q - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
~Y=~p*+~q - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)
Rozróżniamy dwa podstawowe algorytmy tworzenia równań cząstkowych w naturalnej logice matematycznej człowieka.
I Sposób:
1.
W wejściowej matrycy zero-jedynkowej muszą być uwidocznione wszystkie zmienne w postaci niezanegowanej (p, q) i zanegowanej (~p, ~q)
2.
W poszczególnych liniach opisujemy wyłącznie wynikowe jedynki z wejściowej matrycy zero-jedynkowej (p, ~p, q, ~q) łącząc je spójnikiem „i”(*).
3.
Cząstkową kolumnę wynikową zapisujemy w logice dodatniej (bo Y) wtedy i tylko wtedy gdy jedynka należy do funkcji logicznej Y.
Cząstkową kolumnę wynikową zapisujemy w logice ujemnej (bo ~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jedynka należy do funkcji logicznej ~Y.
4.
Definicję operatora AND(|*) opisuje układ równań W i U:
W1.
Równanie w logice dodatniej (bo Y):
Y=Ya
Po podstawieniu otrzymujemy:
Y = A: p*q
Co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1
U1.
Równanie w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
Po podstawieniu otrzymujemy:
~Y=B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q
Co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: p=1 i ~q=1
Powyższy algorytm działa zawsze, niezależnie od wielkości i rodzaju tabeli zero-jedynkowej.
II sposób:
Posługujemy się wyłącznie podstawową tabelą zero-jedynkową, gdzie uwidocznione są sygnały bezpośrednio widoczne na wejściu oraz znana jest funkcja wyjściowa Y.
| Kod: |
Definicja |Definicja |Co matematycznie
zero-jedynkowa |w spójnikach |oznacza
operatora AND(|*)|”lub”(+) i „i”(*)|
p q Y=p*q | |
A: 1 1 =1 | p* q= Ya | Ya=1<=> p=1 i q=1
-------------------------------------------------------
B: 0 0 =0 |~p*~q=~Yb |~Yb=1<=>~p=1 i ~q=1
C: 0 1 =0 |~p* q=~Yc |~Yc=1<=>~p=1 i q=1
D: 1 0 =0 | p*~q=~Yd |~Yd=1<=> p=1 i ~q=1
1 2 5 7 8 9 a b c
|
Algorytm tworzenia równań logicznych opisujących dowolną tabelę zero-jedynkową gdzie znana jest funkcja wyjściowa Y.
1.
W tabeli ABCD125 spisujemy w naturalnej logice matematycznej człowieka dokładnie to co widzimy dla wynikowych jedynek (Y=1):
Y=1 <=> A: p=1 i q=1
2.
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek.
W tym przypadku nic nie robimy, bowiem wszystkie zmienne mamy sprowadzone do jedynek.
3.
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je wykopać w kosmos otrzymując równanie algebry Boole’a opisujące wynikowe jedynki w naszej tabeli ABCD125.
W1.
Y = A: p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1
W identyczny sposób tworzymy równanie algebry Boole’a opisujący wynikowe zera w tabeli ABCD125:
1.
W tabeli ABCD125 spisujemy w naturalnej logice matematycznej człowieka dokładnie to co widzimy dla wynikowych zer (Y=0):
Y=0 <=> B: p=0 i q=0 lub C: p=0 i q=1 lub D: p=1 i q=0
2.
Korzystając z prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek.
~Y=1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: p=1 i ~q=1
3.
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, możemy je wykopać w kosmos otrzymując równanie algebry Boole’a opisujące wynikowe zera w naszej tabeli ABCD125.
U2.
~Y = B: ~p*~q + C: ~p*~q + D: p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: p=1 i ~q=1
Zastosujmy do równania W1 prawo przejścia do logiki przeciwnej.
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne.
Mamy:
W1: Y=p*q – logika dodatnia (bo Y)
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U1: ~Y=~p+~q - logika ujemna (bo ~Y)
Matematycznie zachodzi:
U1=U2
stąd otrzymujemy szczegółową definicję spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q
Alternatywny sposób dotarcia do równania wyżej to skorzystanie ze szczegółowej definicji spójnika „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q - logika dodatnia (bo Y)
Podstawiając U2 mamy szczegółową definicję spójnika „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y = ~p+~q = (~p)*(~q) + (~p)*~(~q) + ~(~p)*(~q)
Po skorzystaniu z prawa podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
mamy:
~Y= ~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
cnd
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia to zanegowana logika ujemna
Y= ~(~Y)
Podstawiając W1 i U1 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q = ~(~p+~q)
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemne to zanegowana logika dodatnia
~Y= ~(Y)
Podstawiając U1 i W1 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y = ~p+~q = ~(p*q)
Przykład:
Właściwym miejscem do poznawania logiki matematycznej w praktyce jest przedszkole.
Pani:
W.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Odczytujemy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Zuzia do Jasia (lat 5):
… a kiedy pani skłamie?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
Jaś:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Odczytujemy:
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1).
5.4 Równanie ogólne dla operatorów OR(|+) i AND(|*)
Równanie ogólne dla operatorów OR(|+) i AND(|*):
| Kod: |
Operator OR(|+) ## Operator AND(|*)
Definicja symboliczna operatora OR ## Definicja symboliczna operatora AND
W1: Y=p+q ## W2: Y=p*q
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) ## Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y)
U1: ~Y=~p*~q ## U2: ~Y=~p+~q |
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Po obu stronach znaku ## mamy do czynienia z dwoma niezależnymi układami logicznymi pomiędzy którymi nie zachodzą żadne tożsamości matematyczne. Wszelkie znaczki z lewej strony znaku ## (Y,p,q) nie mają nic wspólnego ze znaczkami z prawej strony znaku ## (Y,p,q)
Pod parametry formalne p i q po obu stronach znaku ## możemy podstawiać co nam się podoba, w szczególności identyczne parametry aktualne.
Definicje.
1.
Parametry formalne:
Parametry formalne to ogólne nazwy zmiennych binarnych wejściowych (w logice zwykle p, q, r) wynikające z rachunku zero-jedynkowego bez związku ze światem fizycznym.
Przykład:
Y=p+q
Parametry formalne to:
p, q
2.
Parametry aktualne:
Parametry aktualne to podstawione w miejsce parametrów formalnych zmienne ze świata fizycznego
Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
Parametry aktualne to:
K = Kino
T=Teatr
5.5 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków
Poprawna logika matematyczna to naturalna logika każdego człowieka, od 5-cio latka poczynając. Wynika z tego że dowolne logiczne myślenie człowieka musi mieć przełożenie 1:1 na matematykę, co można łatwo udowodnić udając się do przedszkola gdzie 5-cio latki bez problemu zaprojektują nam najprawdziwsze sterowanie windą dwoma równoważnymi metodami, posługując się logiką dodatnią i ujemną.
Zacznijmy zatem od wizyty w przedszkolu, w 100-milowym lesie:
Pani:
Powiedzcie mi dzieci co trzeba zrobić aby, jechać windą?
Jaś:
A.
Aby jechać windą (J=1) trzeba wejść do windy, zamknąć drzwi (D=1) i nacisnąć przycisk piętro (P=1)
J = D * P
co matematycznie oznacza:
J=1 <=> D=1 i P=1
Pani:
Brawo Jasiu!
Zatem winda pojedzie (J=1) tylko wtedy, gdy zamkniemy drzwi (D=1) i wciśniemy przycisk piętro (P=1)
Powiedzcie mi teraz dzieci kiedy winda na pewno nie pojedzie?
Zuzia:
B.
Winda na pewno nie pojedzie (~J=1) gdy nie zamkniemy drzwi (~D=1) lub nie wciśniemy przycisku piętro (~P=1)
~J = ~D+~P
co matematycznie oznacza:
~J=1 <=> ~D=1 lub ~P=1
Zauważmy, że między rozumowaniem Jasia i Zuzi zachodzi prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki
Jaś:
J=D*P
Zuzia:
~J=~D+~P
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
J = ~(~J)
Podstawiając A i B mamy tożsamość matematyczną, prawo de Morgana:
J = D*P = ~(~D+~P)
Fizyczna realizacja sterowania Jasia to banalna bramka AND(*) o definicji:
Y = p*q
Tożsama, fizyczna realizacja sterowania Zuzi to trzy negatory „~” plus bramka OR(+):
Y = ~(~p+~q)
Jak widzimy, Jaś zaprojektował sterowanie windą w logice dodatniej (bo J), natomiast Zuzia zaprojektowała sterowania windą w logice ujemnej (bo ~J).
Dokładnie w tak banalny sposób elektronicy praktycy projektują wszelkie sterowania w naturalnej logice człowieka, w logice bramek logicznych:
1.
Zawsze kiedy w naturalnej logice człowieka mówimy „i”(*) używamy bramki AND(*)
2.
Zawsze kiedy w naturalnej logice człowieka mówimy „lub”(+) używamy bramki OR(+)
To jest cała filozofia projektowania układów logicznych w naturalnej logice człowieka.
Zauważmy, że Jasia kompletnie nie interesuje sytuacja ~J, natomiast Zuzi nie interesuje sytuacja J.
Zobaczmy to wszystko w tabeli zero-jedynkowej:
| Kod: |
D P J=D*P ~D ~P ~J=~D+~P
A: 1 1 =1 0 0 =0
B: 1 0 =0 0 1 =1
C: 0 1 =0 1 0 =1
D: 0 0 =0 1 1 =1
1 2 3 4 5 6 |
Jaś:
Aby jechać windą (J=1) trzeba wejść do windy, zamknąć drzwi (D=1) i nacisnąć przycisk piętro (P=1)
J = D * P
co matematycznie oznacza:
J=1 <=> D=1 i P=1
Zuzia:
Winda na pewno nie pojedzie (~J=1) gdy nie zamkniemy drzwi (~D=1) lub nie wciśniemy przycisku piętro (~P=1)
~J = ~D+~P
co matematycznie oznacza:
~J=1 <=> ~D=1 lub ~P=1
Doskonale widać, że:
1.
Jasia interesuje tylko i wyłącznie spójnik „i”(*) w tabeli zero-jedynkowej ABCD123, czyli wynikowa jedynka w tabeli operatora AND (linia A123).
2.
Zuzię interesuje tylko i wyłącznie spójnik „lub”(+) w tabeli zero-jedynkowej ABCD456, czyli wynikowe jedynki w tabeli operatora OR (obszar BCD456).
Prawo Sowy:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej opisanej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nagłówek tabeli opisuje wyłącznie linie z jedynkami w wyniku
Jak widzimy prawem Sowy perfekcyjnie posługuje się każdy 5-cio latek:
Symboliczna definicja spójnika „i”(*) to zaledwie jedna linia w tabeli zero-jedynkowej operatora AND (A123):
J=D*P
co matematycznie oznacza:
J=1 <=> J=1 i P=1
Symboliczna definicja spójnika „lub”(+) to wyłącznie trzy linie w tabeli zero-jedynkowej operatora OR (BCD456):
~J = ~D+~P
co matematycznie oznacza:
~J=1 <=> ~D=1 lub ~P=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej Jasia i Zuzi.
Definicje symboliczne spójników „i”(*) i „lub”(+) są tu kluczowe.
Definicje maszynowe tych spójników to kompletne tabele zero-jedynkowe jak w tabelach wyżej (operatory logiczne). Linie z zerami w wyniku są martwe i nie biorą udziału w logice, potrzebne są wyłącznie dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35365
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 11:53, 28 Mar 2016 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia
Nowa Teoria Zbiorów
Część V
Spis treści
6.0 Klasyczny rachunek zero-jedynkowy 1
6.1 Prawa De Morgana 2
6.2 Najważniejsze prawa algebry Boole’a 4
6.3 Prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym 7
6.4 Tworzenie równań logicznych z tabeli zero-jedynkowej 9
6.5 Metody tworzenia równań logicznych z tabel zero-jedynkowych 11
6.6 Logika człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) 17
6.7 Zastosowanie definicji spójników „lub”(+) i „i”(*) w praktyce 19
6.0 Klasyczny rachunek zero-jedynkowy
Definicje podstawowe.
Zmienna binarna (techniczna algebra Boole’a):
Zmienna mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1
Przykłady:
p, q, ~r
Funkcja logiczna (techniczna algebra Boole’a):
Funkcja przyjmująca w osi czasu wyłącznie dwie wartości 0 albo 1 w zależności od aktualnego stanu zmiennych binarnych i użytego operatora logicznego.
Przykłady funkcji logicznych:
Y=p*q+~r
p=>q
gdzie:
„*”, „+”, => - spójniki logiczne
Funkcja logiczna opisana spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Funkcja logiczna Y (wyjście cyfrowe w układzie logicznym) to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) albo „lub”(+) mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie 0 albo 1 w zależności od aktualnej wartości wejściowych zmiennych binarnych.
Y - funkcja logiczna
Przykład:
Y=p*q+p*~q+~p*q
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach OR i AND:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Y=p+q - logika dodatnia bo Y
~Y=~p*~q - logika ujemna bo ~Y
| Kod: |
Definicja operatora OR dla potrzeb klasycznego rachunku zero-jedynkowego
p q Y=p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
1 2 3
|
| Kod: |
Definicja operatora AND dla potrzeb klasycznego rachunku zero-jedynkowego
p q Y=p*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 1 =0
D: 0 0 =0
1 2 3
|
Algebra Boole’a to technika bramek logicznych.
Znaczenie symboli:
p, q - wejścia układu
Y - wyjście układu, kompletna kolumna wynikowa
W klasycznym rachunku zero-jedynkowym nie interesuje nas wewnętrzna budowa operatora logicznego, czyli nie interesują nas cząstkowe równania logiczne opisujące poszczególne linie operatora, które do tej pory poznaliśmy.
Klasyczny rachunek zero-jedynkowy to komputerowe (czyli bezmyślne) przemiatanie zer i jedynek na wszelkie możliwe sposoby, gdzie tożsamość kolumn wynikowych jest dowodem formalnym zachodzącego prawa logicznego. To przemiatanie jest poprawne i ma sens wtedy i tylko wtedy gdy poprawnie matematycznie opisujemy wynikające z tego równania matematyczne, czego ziemscy matematycy niestety nie potrafią, bowiem nie znają absolutnie kluczowych pojęć w logice matematycznej, logiki dodatniej (bo Y) i logiki ujemnej (bo ~Y).
Maszynowa definicja operatora logicznego (techniczna algebra Boole’a):
Operator logiczny to odpowiedź układu na wszystkie możliwe stany 0 i 1 na wejściach p i q
Operator logiczny to kompletna kolumna wynikowa Y będąca odpowiedzią na wszystkie możliwe wymuszenia 0 i 1 na wejściu układu. Pojedyńcze linie tabeli zero-jedynkowej nie są operatorami logicznymi.
Abstrakcyjnie maszynowy operator logiczny to czarna skrzynka o dwóch kabelkach wejściowych p i q oraz jednym wyjściu Y. Fizyczna budowa operatora logicznego jest nieistotna, w skrajnym przypadku może to być dowolna ilość układów cyfrowych np. milion. Aby zbadać z jakim operatorem logicznym mamy do czynienia nie musimy wnikać w wewnętrzną budowę układu logicznego. Wystarczy że wykonamy zaledwie cztery kroki A, B, C i D podając na wejścia p i q wszystkie możliwe kombinacje 0 i 1 i zapisując odpowiedzi układu na wyjściu Y.
Kolejność wierszy w tabeli zero-jedynkowej nie ma żadnego znaczenia, możemy je dowolnie przestawiać. Istotne jest aby dowolnemu, uporządkowanemu wymuszeniu na wejściach p i q odpowiadała zawsze ta sama cyferka 0 albo 1.
W najpopularniejszej technice TTL cyfry 0 i 1 to po prostu napięcia które łatwo zmierzyć woltomierzem o znaczeniu:
0 = 0,0V-0,4V
1 = 2,4V-5.0V
Możliwe są też bramki świetlne, biologiczne, mechaniczne etc. Z punktu widzenia matematyki to kompletnie bez znaczenia.
6.1 Prawa De Morgana
Prawo De Morgana dla spójnika „lub”(+):
Y = p+q = ~(~p*~q)
Dowód formalny w rachunku zero-jedynkowym:
| Kod: |
p q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~p ~q ~Y=~p*~q Y=~(~p*~q)
A: 1 1 =1 =0 0 0 =0 =1
B: 1 0 =1 =0 0 1 =0 =1
C: 0 1 =1 =0 1 0 =0 =1
D: 0 0 =0 =1 1 1 =1 =0
1 2 3 4 5 6 7 8 |
Prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
A1.
Y = p+q = ~(~p*~q)
Identyczne kolumny wynikowe 3 i 8
cnd
Prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
A2.
~Y = ~(p+q) = ~p*~q
Identyczne kolumny wynikowe 4 i 7
cnd
Z powyższego wynika, że tożsamości w równaniach logicznych możemy wyłącznie dwustronnie negować i korzystać z prawa podwójnego przeczenia. Nie ma tu czegoś takiego jak przeniesienie zmiennej na drugą stronę z przeciwnym znakiem, znane nam z matematyki klasycznej.
Bezpośrednio z A1 i A2 wynika prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
A1: Y=p+q - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne:
A2: ~Y=~p*~q - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)
Prawo De Morgana dla spójnika „i”(*):
Y = p*q = ~(~p+~q)
Dowód formalny w rachunku zero-jedynkowym:
| Kod: |
p q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~p ~q ~Y=~p+~q Y=~(~p+~q)
A: 1 1 =1 =0 0 0 =0 =1
B: 1 0 =0 =1 0 1 =1 =0
C: 0 1 =0 =1 1 0 =1 =0
D: 0 0 =0 =1 1 1 =1 =0
1 2 3 4 5 6 7 8 |
Prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
B1.
Y = p*q = ~(~p+~q)
Identyczne kolumny wynikowe ABCD3 i ABCD8
cnd
Prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
B2.
~Y = ~(p*q) = ~p+~q
Identyczne kolumny wynikowe ABCD4 i ABCD7
cnd
Z powyższego wynika, że tożsamości w równaniach logicznych możemy wyłącznie dwustronnie negować i korzystać z prawa podwójnego przeczenia. Nie ma tu czegoś takiego jak przeniesienie zmiennej na drugą stronę z przeciwnym znakiem, znane nam z matematyki klasycznej.
Bezpośrednio z powyższego wynika prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
B1: Y=p*q - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki
B2: ~Y=~p+~q - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y)
6.2 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
Definicja zero-jedynkowa (maszynowa) operatora OR:
| Kod: |
p q Y=p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
1 2 3 |
Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora OR:
1+1 =1
1+0 =1
0+1 =1
0+0 =0
Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora OR:
p+0 =p
p+1 =1
p+p =p
p+~p =1
Dowody formalne:
| Kod: |
p ~p 1 0 p+1 p+0 p+~p
A: 1 0 1 0 1 1 1
B: 0 1 1 0 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 |
Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p+0=p
czego dowodem jest tożsamość kolumn 1 i 6.
Definicja zero-jedynkowa (maszynowa) operatora AND:
| Kod: |
p q Y=p*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 1 =0
D: 0 0 =0
1 2 3 |
Prawa zero-jedynkowe wynikające z definicji operatora AND:
1*1 =1
1*0 =0
0*1 =0
0*0 =0
Prawa algebry Boole’a wynikające z definicji operatora AND:
p*1 =p
p*0 =0
p*p =p
p*~p=0
Dowody formalne:
| Kod: |
p ~p 1 0 p*1 p*0 p*~p
A: 1 0 1 0 1 0 0
B: 0 1 1 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7 |
Poprawność wszystkich praw algebry Boole’a widać jak na dłoni.
W szczególności:
p*1=p
czego dowodem jest tożsamość kolumn 1 i 5.
Fundament algebry Boole’a:
p*~p =0
p+~p =1
Przydatne prawa dodatkowe
Łączność:
p+(q+r) = (p+q)+r
p*(q*r)=(p*q)*r
Przemienność:
p+q=q+r
p*q=q*r
Mnożenie logiczne wielomianów:
(p+q)*(r+s) = p*r+p*s+q*r+q*s
Wyciąganie zmiennej przed nawias:
p*q+p*r = p*(q+r)
Najważniejszym prawem algebry Boole’a jest prawo przejścia do logiki przeciwnej.
Prawo przejścia do logiki przeciwnej:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Przykład:
Y=p+q(r+~s)
Algorytm Wuja Zbója:
A.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki
Y = p+[q*(r+~s)]
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub [q=1 i (r=1 lub ~s=1)]
B.
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne, „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie
~Y = ~p*[~q+(~r*s)]
C.
Opuszczamy zbędne nawiasy
~Y = ~p*(~q+~r*s)
Powyższe równanie to postać koniunkcyjno-alternatywna, sprzeczna z naturalną logiką człowieka, co wkrótce udowodnimy. Mnożąc zmienną ~p przez wielomian otrzymamy postać alternatywno-koniunkcyjną, zgodną z naturalną logiką człowieka.
D.
~Y = ~p*~q + ~p*~r*s
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~p*~q)=1 lub (~p*~r*s)=1
Kolejność wykonywania działań zarówno w logice dodatniej jak i ujemnej:
Nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
Związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y=~(~Y)
Podstawiając A i C mamy prawo De Morgana dla naszej funkcji logicznej A.
Y = p+q*(r+~s) = ~[~p*(~q+~r*s)]
Przykład minimalizacji funkcji logicznej:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód tożsamości:
0. Y = p*q + p*~q + ~p*q
1. Y = p(q+~q) + ~p*q
2. Y = p*1 + ~p*q
3. Y = p+~p*q
Wykorzystane prawa:
1. Wyciągniecie zmiennej p przed nawias
2. q+~q=1
3. p*1=p
Mamy:
3. Y=p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negacje zmiennych i wymianę spójników:
4. ~Y = ~p*(p+~q)
5. ~Y = p*~p + ~p*~q
6. ~Y = 0 + ~p*~q
7. ~Y = ~p*~q
Wykorzystane prawa
4. Przejście do logiki ujemnej
5. Mnożenie zmiennej ~p przez wielomian
6. p*~p=0
7. 0+x=x
Mamy funkcję minimalną w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q
Przechodząc do logiki przeciwnej mamy funkcje minimalną w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q
cnd
Układ równań minimalnych:
Y=p+q
~Y=~p*~q
to nic innego jak definicja operatora OR w algebrze Kubusia.
Twierdzenie przydatne w minimalizacji równań logicznych.
Twierdzenie:
Dowolny fragment funkcji logicznej wolno nam wydzielić i zapisać jako niezależną funkcję logiczną, którą po minimalizacji możemy z powrotem wstawić do układu.
Przydatność tego twierdzenia poznamy na przykładzie:
Zminimalizuj funkcję logiczną Y metodą równań algebry Boole’a:
A: Y = ~p*q*~r + ~p*~q*r + ~p*~q*~r
Rozwiązanie:
Y = ~p*q*~r + ~p*~q(r+~r) /wyciągnięcie ~p*~q przed nawias
Y = ~p*q*~r + ~p*~q /r+~r=1; ~p*~q*1 =~p*~q
Y = ~p(q*~r+~q) /wyciągnięcie ~p przed nawias
B: Y = ~p*(z) / Podstawienie: z=q*~r+~q
------------------------------------------------------
z=(q*~r) + ~q
Przejście do logiki ujemnej (bo ~z) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~z = (~q+r)*q
~z = ~q*q + r*q /po wymnożeniu wielomianu
~z = r*q /~q*q=0; 0+r*p = r*p
~z = q*r
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
z = ~q + ~r / Funkcja logiczna „z” po minimalizacji
------------------------------------------------------------------
B: Y = ~p*(z) /Przepisanie równania B
C: Y = ~p*(~q + ~r) / Podstawienie zminimalizowanej funkcji „z”
Po wymnożeniu zmiennej przez wielomian mamy:
D: Y = ~p*~q + ~p*~r
Funkcje C i D to funkcje minimalne, których nie da się dalej minimalizować.
6.3 Prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym
Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja implikacji prostej |=>:
| Kod: |
p q p|=>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1 |
Maszynowa (zero-jedynkowa) definicja implikacji odwrotnej |~>:
| Kod: |
p q p|~>q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0 |
I prawo Kubusia:
Implikacja prosta |=> w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją odwrotną |~> w logice ujemnej (bo ~q)
p|=>q = ~p|~>~q
Dowód formalny I prawa Kubusia:
| Kod: |
p q p|=>q ~p ~q ~p|~>~q
A: 1 1 =1 0 0 =1
B: 1 0 =0 0 1 =0
C: 0 0 =1 1 1 =1
D: 0 1 =1 1 0 =1
1 2 3 4 5 6 |
Tożsamość kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym I prawa Kubusia:
p|=>q = ~p|~>~q
W tym przypadku parametry formalne p i q muszą być tymi samymi parametrami.
Tabela zero-jedynkowa ABCD123 to definicja implikacji prostej |=> w logice dodatniej (bo q):
Na wyjściu p|=>q mamy zero wtedy i tylko wtedy gdy p=1 i q=0, inaczej p|=>q=1
Tabela zero-jedynkowa ABCD456 to definicja implikacji odwrotnej |~> w logice ujemnej (bo ~q):
Na wyjściu ~p|~>~q mamy zero wtedy i tylko wtedy gdy ~p=0 i ~q=1, inaczej ~p|~>~q=1
II prawo Kubusia:
Implikacja odwrotna |~> w logice dodatniej (bo q) jest tożsama z implikacją prostą |=> w logice ujemnej (bo ~q)
p|~>q = ~p|=>~q
Dowód formalny II prawa Kubusia:
| Kod: |
p q p|~>q ~p ~q ~p|=>~q
A: 1 1 =1 0 0 =1
B: 1 0 =1 0 1 =1
C: 0 0 =1 1 1 =1
D: 0 1 =0 1 0 =0
1 2 3 4 5 6 |
Tożsamość kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym II prawa Kubusia:
p|~>q = ~p|=>~q
W tym przypadku parametry formalne p i q muszą być tymi samymi parametrami.
Tabela zero-jedynkowa ABCD123 to definicja implikacji odwrotnej |~> w logice dodatniej (bo q):
Na wyjściu p|~>q mamy zero wtedy i tylko wtedy gdy p=0 i q=1, inaczej p|~>q=1
Tabela zero-jedynkowa ABCD456 to definicja implikacji prostej |=> w logice ujemnej (bo ~q):
Na wyjściu ~p|=>~q mamy zero wtedy i tylko wtedy gdy ~p=1 i ~q=0, inaczej ~p=>~q=1
Matematycznie zachodzi równanie ogólne implikacji:
L: p|=>q = ~p|~>~q ## P: p|~>q = ~p|=>~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Tu sprawa jest bezdyskusyjna bowiem w definicjach implikacji prostej |=> i odwrotnej |~> na wejściach p i q mamy identyczną matrycę zero-jedynkowych wymuszeń i inne kolumny wynikowe, zatem znaku tożsamości matematycznej [=] absolutnie tu nie możemy postawić.
W implikacji nie zachodzi przemienność argumentów.
Dowód formalny:
| Kod: |
p q p|=>q q p q|=>p
A: 1 1 =1 1 1 =1
B: 1 0 =0 0 1 =1
C: 0 0 =1 0 0 =1
D: 0 1 =1 1 0 =0
1 2 3 4 5 6 |
Brak tożsamości kolumn 3 i 6 jest dowodem formalnym braku przemienności argumentów w implikacji prostej.
p|=>q # q|=>p
gdzie:
# - różne (w znaczeniu kolumny wynikowe są różne)
Po obu stronach znaku # mamy to samo p i q.
Oznacza to że jeśli zdanie p|=>q jest prawdziwe to zdanie q|=>p będzie fałszywe (odwrotnie nie zachodzi).
Praca domowa:
Udowodnij, że nie zachodzi przemienność argumentów w implikacji odwrotnej p|~>q.
6.4 Tworzenie równań logicznych z tabeli zero-jedynkowej
Dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej możliwe jest utworzenie dwóch równań logicznych:
Y=? - równanie w logice dodatniej (bo Y) opisujące wynikowe jedynki
~Y=? - równanie w logice ujemnej (bo ~Y) opisujące wynikowe zera
Zobaczmy to na przykładzie operatora równoważności:
| Kod: |
Definicja |Sprowadzenie
zero-jedynkowa |zmiennych do
|jedynek
p q Y |
A: 1 1 =1 | p* q = Ya
B: 1 0 =0 | p*~q =~Yb
C: 0 0 =1 |~p*~q = Yc
D: 0 1 =0 |~p* q =~Yd
1 2 3 4 5 6
|
I.
Równanie opisujące wynikowe jedynki w tabeli zero-jedynkowej ABCD123 tworzymy w trzech krokach.
Krok 1
Spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: p=0 i q=0
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek
Prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Stąd:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Krok 3
Wspólnym punktem odniesienia dla wszystkich równań logicznych jest jedynka, stąd pomijamy wszystkie jedynki otrzymując równanie algebry Boole’a.
Y = A: p*q + C: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
II.
Równanie opisujące wynikowe zera w tabeli zero-jedynkowej ABCD123 również tworzymy w trzech krokach.
Krok 1
Spisujemy w naturalnej logice człowieka dokładnie to co widzimy:
Y=0 <=> B: p=1 i q=0 lub D: p=0 i q=1
Krok 2
Korzystając z prawa Prosiaczka sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynek.
Prawa Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Stąd:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Krok 3
Wspólnym punktem odniesienia dla wszystkich równań logicznych jest jedynka, stąd pomijamy wszystkie jedynki otrzymując równanie algebry Boole’a.
~Y = B: p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Wniosek:
Tabelę zero-jedynkową równoważności opisuje układ równań logicznych w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
I. Y = p*q + ~p*~q
II. ~Y = p*~q + ~p*q
Przechodzimy z równaniem II do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
II. ~Y = (p*~q) + (~p*q)
Negacja zmiennych i wymiana spójników:
III. Y = (~p+q)*(p+~q)
Przechodzimy z równaniem I do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
I. Y = (p*q) + (~p*~q)
Negacja zmiennych i wymiana spójników:
IV. ~Y = (~p+~q)*(p+q)
Matematycznie zachodzi:
I. Y = III. Y
stąd:
I. Y = p*q + ~p*~q = III. (~p+q)*(p+~q)
Matematycznie zachodzi również:
II. ~Y = IV. ~Y
stąd:
II. ~Y = p*~q + ~p*q = IV. (~p+~q)*(p+q)
Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
Funkcja logiczna typu I nosi nazwę funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
I. Y = p*q + ~p*~q - alternatywa koniunkcji
Definicja funkcji koniunkcyjno-alternatywnej:
Funkcja logiczna typu III nosi nazwę funkcji koniunkcyjno-alternatywnej:
III. Y = (~p+q)*(p+~q) - koniunkcja alternatyw
Stąd mamy znane w matematyce twierdzenie:
Jeśli w tabeli zero-jedynkowej mamy więcej niż jedną wynikową jedynkę i więcej niż jedno wynikowe zero to dla tej tabeli możemy zapisać dwie funkcje alternatywno-koniunkcyjne (I i II) oraz tożsame z nimi dwie funkcje koniunkcyjno-alternatywna (I=III i II=IV).
Dowód tożsamości I=III:
I. Y = p*q + ~p*~q = III. (~p+q)*(p+~q)
Mnożymy wielomian z prawej strony:
Y = (~p*q)*(p+~q)
Y = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q
;p*~p=0
;p+x=0
stąd:
Y = ~p*q + q*p
Y = p*q + ~p*~q
cnd
Dowód tożsamości II=IV pozostawiam czytelnikowi.
6.5 Metody tworzenia równań logicznych z tabel zero-jedynkowych
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej zmienne z nagłówka tabeli możemy sprowadzać do jedynek otrzymując równania alternatywno-koniunkcyjne, albo do zera otrzymując równania koniunkcyjno-alternatywne.
Zobaczmy to na przykładzie tabeli zero-jedynkowej równoważności:
| Kod: |
Definicja |Sprowadzenie |Sprowadzenie |Sprawdzenie poprzez
zero-jedynkowa |zmiennych do |zmiennych do |przejście z tabelą ABCD456
równoważności |jedynek |zera |do logiki przeciwnej: Negujemy
| | |zmienne i wymieniamy spójniki
p q Y | | |
A: 1 1 =1 | p* q = Ya |~p+~q =~Ya | p* q = Ya
B: 1 0 =0 | p*~q =~Yb |~p+ q = Yb | p*~q =~Yb
C: 0 0 =1 |~p*~q = Yc | p+ q =~Yc |~p*~q = Yc
D: 0 1 =0 |~p* q =~Yd | p+~q = Yd |~p* q =~Yd
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Twierdzenie o tworzeniu równań algebry Boole’a z dowolnych tabel zero-jedynkowych:
1.
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy sprowadzać wszystkie zmienne do jedynek stosując spójnik „i”(*) w wierszach i spójnik „lub”(+) w kolumnach, co pokazano w tabeli ABCD123:
I.
Y=Ya+Yc
Y= A: p*q + C: ~p*~q
II.
~Y= ~Yb+~Yd
~Y = B: p*~q + D: ~p*q
Alternatywnie:
2.
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej możemy sprowadzać wszystkie zmienne do zera stosując spójnik „lub”(+) w wierszach i spójnik „i”(+) w kolumnach, co pokazano w tabeli ABCD456
III.
Y = Yb*Yd
Y = B: (~p+q)* D: (p+~q)
IV.
~Y=~Ya*~Yc
~Y = A: (~p+~q)*C: (p+q)
Przy tworzeniu równań cząstkowych dla każdej linii korzystamy z praw Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
(~p=1) = (p=0)
Przykład dla ABCD123 (sprowadzanie zmiennych do jedynek):
W tabeli ABCDabc mamy:
Ba: p=1
stąd w tabeli ABCD123 tylko przepisujemy zmienną p:
B1: p=1
W tabeli ABCDabc mamy:
Bb: q=0
stąd w tabeli ABCD123 korzystamy z prawa Prosiaczka:
B2: ~q=1
Przykład dla ABCD456 (sprowadzanie zmiennych do zera):
W tabeli ABCDabc mamy:
Ba: p=1
stąd w tabeli ABCD456 korzystamy z prawa Prosiaczka:
B4: ~p=0
W tabeli ABCDabc mamy:
Bb: q=0
stąd w tabeli ABCD456 tylko przepisujemy zmienną q:
B5: q=0
Tożsamość tabel ABCD123 i ABCD789 jest dowodem, iż nie ma znaczenia czy zmienne będziemy sprowadzać do jedynek (tabela ABCD123) czy też do zera (tabela ABCD456).
Tabelę ABCD123 opisuje układ równań logicznych:
I.
Y = Ya+Yc
Y = A: p*q + C: ~p*~q
II.
~Y=~Yb+~Yd
~Y = B: p*~q + D: ~p*q
Tabelę ABCD456 opisuje układ równań logicznych:
III.
Y = Yb*Yd
Y = B: (~p+q)* D: (p+~q)
IV.
~Y=~Ya*~Yc
~Y = A: (~p+~q)*C: (p+q)
Matematycznie zachodzi:
I. Y = III. Y
stąd:
Y = I. p*q + ~p*~q = III. (~p+q)*(p+~q)
Matematycznie zachodzi:
II. ~Y = IV. ~Y
~Y= II. p*~q + ~p*q = IV. (~p+~q)*(p+q)
Sprawdzenie w rachunku zero-jedynkowym tożsamości:
I. Y =III. Y
stąd:
Y = I. p*q + ~p*~q = III. (~p+q)*(p+~q)
Ad I.
Y = Ya+Yc
Y = A: p*q + C: ~p*~q
Sprawdzenie w rachunku zero-jedynkowym:
Y= A: p*q+ C: ~p*~q
| Kod: |
p q ~p ~q A:Ya=p*q C:Yc=~p*~q Y=Ya+Yc | p q Y=Ya+Yc
A: 1 1 0 0 =1 =0 =1 | 1 1 =1
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 | 1 0 =0
C: 0 0 1 1 =0 =1 =1 | 0 0 =1
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 | 0 1 =0
1 2 3 4 5 6 7 | 1 2 7
|
Doskonale widać, że w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek.
Y = p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Ad III.
Y = Yb*Yd
Y = B: (~p+q)* D: (p+~q)
Sprawdzenie w rachunku zero-jedynkowym:
Y = B: (~p+q)* D: (p+~q)
| Kod: |
p q ~p ~q B:Ya=~p+q D:Yc= p+~q Y=Yb*Yd | p q Y=Yb*Yd
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 | 1 1 =1
B: 1 0 0 1 =0 =1 =0 | 1 0 =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 | 0 0 =1
D: 0 1 1 0 =1 =0 =0 | 0 1 =0
1 2 3 4 5 6 7 1 2 7
|
Doskonale widać, że w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek.
Y = (~p+q)*(p+~q)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (~p=1 lub q=1) i (p=1 lub ~q=1)
Tożsamość kolumn wynikowych 7 w funkcjach logicznych I i III jest dowodem formalnym zachodzącej tożsamości:
I. Y = III. Y
stąd:
Y = I. p*q + ~p*~q = III. (~p+q)*(p+~q)
Przejdźmy z funkcją III na postać alternatywno-koniunkcyjną poprzez wymnożenie wielomianów.
Y = (~p+q)*(p+~q)
Y = ~p*p + ~p*~q + p*q + q*~q
Y = p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Doskonale widać, że funkcja III jest identyczna jak funkcja I wyżej.
cnd
Sprawdzenie w rachunku zero-jedynkowym tożsamości:
II. ~Y = IV. ~Y
~Y=II. p*~q + ~p*q = IV. (~p+~q)*(p+q)
Ad II.
Sprawdzenie rachunkiem zero-jedynkowym:
~Y = ~Yb+~Yd
~Y = B: p*~q + D: ~p*q
| Kod: |
p q ~p ~q B:~Yb=p*~q D:~Yd=~p*q ~Y=~Yb+~Yd | p q ~Y=~Yb+~Yd
A: 1 1 0 0 =0 =0 =0 | 1 1 =0
B: 1 0 0 1 =1 =0 =1 | 1 0 =1
C: 0 0 1 1 =0 =0 =0 | 0 0 =0
D: 0 1 1 0 =0 =1 =1 | 0 1 =1
1 2 3 4 5 6 7 1 2 7
|
Doskonale widać, że w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek.
~Y = p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Ad IV.
Sprawdzenie w rachunku zero-jedynkowym:
~Y = A: (~p+~q)*C: (p+q)
| Kod: |
p q ~p ~q A:~Ya=~p+~q C:~Yc=p+q ~Y=~Ya*~Yc | p q ~Y=~Ya*~Yc
A: 1 1 0 0 =0 =1 =0 | 1 1 =0
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 | 1 0 =1
C: 0 0 1 1 =1 =0 =0 | 0 0 =0
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 | 0 1 =1
1 2 3 4 5 6 7 1 2 7
|
Doskonale widać, że w spójnikach „lub”(+) i „i”(*) mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek.
~Y = (~p+~q)*(p+q)
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~p=1 lub ~q=1) i (p=1 lub q=1)
Tożsamość kolumn wynikowych 7 w funkcjach logicznych II i IV jest dowodem formalnym zachodzącej tożsamości:
II. ~Y = IV. ~Y
stąd:
~Y=II. p*~q + ~p*q = IV. (~p+~q)*(p+q)
Przejdźmy z funkcją logiczną IV do postaci alternatywno-koniunkcyjnej poprzez wymnożenie wielomianów:
~Y = (~p+~q)*(p+q)
~Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q
~Y = p*~q + ~p*q
Doskonale widać, że funkcja IV jest identyczna jak funkcja II.
cnd
Tożsamości matematyczne I=III oraz II=IV oznaczają, że w logice istotna jest jedna tabela zero-jedynkowa i dwie funkcje postaci alternatywno-koniunkcyjne.
| Kod: |
Definicja |Sprowadzenie
zero-jedynkowa |zmiennych do
równoważności |jedynek
p q Y |
A: 1 1 =1 | p* q = Ya
B: 1 0 =0 | p*~q =~Yb
C: 0 0 =1 |~p*~q = Yc
D: 0 1 =0 |~p* q =~Yd
a b c 1 2 3
|
Tabelę zero-jedynkową ABCD123 opisuje układ równań logicznych:
W.
Y = Ya+Yc
Y = A: p*q + C: ~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
U.
~Y=~Yb+~Yd
~Y = B: p*~q + D: ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Zapiszmy funkcję logiczną W w tabeli zero-jedynkowej:
W: Y = A: p*q + C: ~p*~q
| Kod: |
p q ~p ~q A:Ya=p*q C:Yc=~p*~q Y=Ya+Yc | ~Y=~(Y)=~(p*q+~p*~q)
A: 1 1 0 0 =1 =0 =1 | =0
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 | =1
C: 0 0 1 1 =0 =1 =1 | =0
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 | =1
1 2 3 4 5 6 7 | 8
|
Doskonale widać, że w równaniu W mamy wszystkie zmienne sprowadzone do jedynek.
W. Y = p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
W. Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y).
Logika ujemna to zanegowana logika dodatnia:
U: ~Y = ~(Y)
Podstawiając W mamy:
W. ~Y = ~(Y) = ~(p*q+~p*~q)
Z równania widać, że zmienne w nawiasie sprowadzone są do jedynek względem Y a nie względem ~Y.
Czyli najpierw budujemy funkcję logiczną:
Y=p*q+~p*~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
.. a dopiero na końcu negujemy funkcję Y co pokazano w kolumnie 8
Zauważmy, że w funkcji logicznej opisanej kolumną 8 nie mamy wszystkich zmiennych sprowadzonych do jedynek:
~Y = ~(p*q+~p*~q)
Jak poradzić sobie z tym problemem?
Sposób 1.
Najprościej przekształcić prawą stronę korzystając z prawa De Morgana:
IV. ~Y = (~p+~q)*(p+q)
co matematycznie oznacza:
IV. ~Y=1 <=> (~p=1 lub ~q=1) i (p=1 lub q=1)
Dowód:
Tabela zero-jedynkowa IV wyżej.
Sposób 2.
Mnożymy wielomian IV otrzymując postać alternatywno-koniunkcyjną II:
~Y= (p+q)*(~p+~q)
~Y=p*~p+p*~q + q*~p + q*~q
;p*~p=0
;0+x=x
II. ~Y = p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
II. ~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Dowód:
Tabela zero-jedynkowa II wyżej.
6.6 Logika człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
Definicja naturalnej logiki człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Naturalną logiką człowieka są postaci: alternatywna, koniunkcyjna, alternatywno-koniunkcyjna
Postać alternatywna:
Y = A1+A2+ … An
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A1=1 lub A2=1 lub … An=1
Postać koniunkcyjna:
Y = A1*A2* … An
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A1=1 i A2=1 i … An=1
Postać alternatywno-koniunkcyjna to suma logiczna iloczynów cząstkowych:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p*q)=1 lub (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
Aksjomat:
W naturalnej logice człowieka domyśla kolejność spójników to:
„i”(*), „lub”(+)
Definicja logiki sprzecznej z naturalną logiką człowieka w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):
Logiką sprzeczną z naturalną logiką człowieka jest postać koniunkcyjno-alternatywna.
Postać koniunkcyjno-alternatywna to iloczyny logiczne sum cząstkowych:
Y = (p+q)*(r+~q)
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (p+q)=1 i (r+~q)=1
Twierdzenie:
Przejście z postaci koniunkcyjno-alternatywnej do postaci alternatywno-koniunkcyjnej (logiki człowieka) to po prostu wymnożenie wielomianów.
Przykład:
Y = (p+q)*(r+~q)
Y = p*r + p*~q + q*r + q*~q
;q*~q=0
;0+x=x
Y = p*r + p*~q + q*r
Dowód sprzeczności postaci koniunkcyjno-alternatywnej z naturalną logiką człowieka poprzez znalezienie kontrprzykładu.
Rozważmy zdanie:
W.
Jutro pójdę do kina lub na basen i do parku
Y = K+B*P
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub (B*P)=1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej zostanie ustawiony na jeden i już dotrzymałem słowa, wartości logicznej drugiego składnika nie musimy sprawdzać.
… a kiedy skłamię?
Przechodzimy ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników otrzymując postać koniunkcyjno-alternatywną:
U1.
~Y = ~K*(~B+~P)
Mnożymy zmienną przez wielomian:
~Y = ~K*~B + ~K*~P
Ostatnie równanie to postać alternatywno-koniunkcyjna, naturalna logika człowieka.
Stąd:
U.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina i nie pójdę na basem lub nie pójdę do kina i nie pójdę do parku
~Y = ~K*~B + ~K*~P
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~K*~B)=1 lub (~K*~P)=1
Wystarczy że którykolwiek składnik sumy logicznej zostanie ustawiony na jeden i już skłamałem (~Y=1), drugiego składnika nie musimy sprawdzać.
Załóżmy że jest pojutrze i zaszło:
~Y = ~K*~B = 1*1 =1 - nie byłem w kinie (~K=1) i nie byłem na basenie (~B=1)
czyli:
Skłamałem (~Y=1), drugiego członu alternatywy nie muszę sprawdzać
Natomiast postać koniunkcyjno-alternatywna, mimo że prosta, dla normalnego człowieka będzie niezrozumiała.
U1.
~Y=~K*(~B+~P)
Dowód:
U2.
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę na basen (~B=1) lub nie pójdę do parku (~P=1)
W naturalnej logice człowieka domyśla kolejność spójników to:
„i”(*), „lub”(+)
Każdy normalny człowiek słysząc zdanie U2 zrozumie i zapisze je jako:
~Y=~K*~B + ~P
Dostaliśmy zapis kompletnie inny niż w równaniu U1, co jest dowodem sprzeczności postaci koniunkcyjno-alternatywnej z naturalną logiką człowieka.
cnd
Nawet jak wstawimy tu nawiasy kwadratowe:
U2.
Skłamię (~Y=1) jeśli jutro nie pójdę do kina (~K=1) i [nie pójdę na basen lub nie pójdę do parku (~B+~P)=1]
~Y = ~K*[~B+~P]
… to i tak żaden normalny człowiek tego nie zrozumie, mimo że funkcja jest banalnie prosta.
Jeśli zdanie U2 przekształcimy do postaci U poprzez wymnożenie zmiennej przez wielomian to zrozumie je każdy 5-cio latek.
6.7 Zastosowanie definicji spójników „lub”(+) i „i”(*) w praktyce
Przykład 6.7.1
Rozważmy zdanie wypowiedziane:
W.
Jutro pójdę do Asi lub Basi lub Czesi
Y=A+B+C
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A=1 lub B=1 lub C=1
… a kiedy skłamię?
Przejście ze zdaniem W do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
U.
~Y=~A*~B*~C
Stąd mamy odpowiedź:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdę ani do Asi (~A=1), ani do Basi (~B=1), ani też do Czesi (~C=1)
~Y=~A*~B*~C
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~A=1 i ~B=1 i ~C=1
Ze zdania U wynika, że skłamię w jednym jedynym przypadku, gdy jutro nie pójdę do żadnej z dziewczyn. W przeciwnym razie dotrzymam słowa.
Dla trzech zmiennych binarnych możliwych jest osiem różnych przypadków (2^3=8), wynika z tego że dotrzymać słowa mogę aż na 7 możliwych sposobów, natomiast skłamać wyłącznie na jeden sposób. W ogólnym przypadku dotrzymanie słowa (Y=1) i skłamanie (~Y=1) możliwe jest na wiele różnych sposobów, matematycznie to bez znaczenia, logika matematyczna superprecyzyjnie i w 100% pewnie odpowiada na pytanie w jakich przypadkach jutro dotrzymam słowa, a w jakich skłamię.
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol którego wartość logiczna nie jest znana
Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol którego wartość logiczna jest znana
W dniu dzisiejszym nasze symbole A, B i C na pewno nie są stałymi binarnymi, bowiem nie znamy ich wartości logicznej (nikt nie zna przyszłości). Skoro nie są stałymi binarnymi to muszą być zmiennymi binarnymi, innej możliwości matematycznej nie ma. Oczywiście możemy się abstrakcyjnie przenieść do pojutrze i symulować różne warianty, co nie zmienia faktu że w dniu dzisiejszym mamy do czynienia ze zmiennymi binarnymi A, B i C o nieznanej wartości logicznej.
Zauważmy, że istotna jest tu informacja kiedy jutro skłamię natychmiast po wypowiedzeniu zdania:
A.
Jutro pójdę do Asi lub Basi lub Czesi
… by tego kłamstwa uniknąć!
Informacja „kiedy skłamałem”, czyli pojutrze, jest musztardą po obiedzie.
Wynika z tego że istotna jest logika operująca na zmiennych binarnych, których wartości logicznej nie znamy.
Definicja logiki matematycznej w algebrze Kubusia:
Logika to matematyczny opis nieznanego
Załóżmy że jest jutro i w naszym przykładzie przed południem byliśmy już u Asi, ale nie byliśmy jeszcze u Basi i Czesi.
Nasze równanie przyjmuje postać:
Y = A+B+C = 1+B+C =1
Oczywiście w tym momencie dotrzymaliśmy słowa, dalsze nasze działania są kompletnie bez znaczenia. Nieistotne są nasze nocne wycieczki do Basi, czy też Czesi.
Tuz po wizycie u Asi rozkład zmiennych i stałych w naszym równaniu jest następujący:
A=1 - byliśmy u Asi, to jest stała symboliczna o wartości logicznej jeden
B=x, C=x - to są zmienne binarne o jeszcze nie znanej wartości logicznej.
Załóżmy że nigdzie więcej nie poszliśmy.
Zauważmy że równo z północą zmienne binarne A i C automatycznie przyjmują wartość logiczną zero.
B=0 - wczoraj nie byliśmy u Basi
C=0 - wczoraj nie byliśmy u Czesi
Po jutrze wszystko jest zdeterminowane, wiemy wszystko:
Y = A+B+C = 1+0+0 =1 - dotrzymaliśmy słowa
W powyższym przykładzie logika matematyczna operuje wyłącznie na nieznanych zmiennych binarnych.
Rozważmy kolejny ciekawy przykład.
Przykład 6.7.2
Poszukujemy mordercę, morderstwa dokonano w Warszawie, mamy 5 podejrzanych, w śledztwie ustalamy że tylko A i B byli w dniu morderstwa w Warszawie.
W tym momencie mamy następujący rozkład zmiennych i stałych binarnych.
A=1, B=1, C=0, D=0, E=0
Oczywiście zmienne A i B dalej są zmiennymi binarnym, bo zarówno A jak i B może być mordercą.
Natomiast C, D i E są stałymi binarnymi na które nie mamy wpływu, czasu nie da się cofnąć i zmusić C do bycia w Warszawie w dniu morderstwa.
W tym momencie wykopujemy stałe binarne C=0, D=0 i E=0 w kosmos. Kontynuujemy śledztwo w trakcie którego ustalamy iż to A jest mordercą, pod ciężarem dowodów A przyznaje się do morderstwa i tłumaczy na wizji lokalnej jak to zrobił.
KONIEC śledztwa!
Wszystkie zmienne binarne przeszły nam w stałe binarne:
A=1, B=0, C=0, D=0, E=0
Fundamentalne pytanie:
Po co komu tu dalsza logika?
Czy jest sens zastanawiać się że wszyscy początkowi podejrzani A, B, C, D i E mogli być mordercami, zatem dlaczego zabił A?
Wniosek:
W tym przypadku logika operująca na stałych binarnych jest kompletnie bez sensu
… ale uwaga!
Algebra Kubusia operuje na stałych, o ile te stałe służą do rozwiązania problemu.
Przykład 6.7.3
Weźmy katastrofę samolotu rządowego RP w Smoleńsku.
Najważniejsze przyczyny tej katastrofy to:
Czy była mgła?
Tak, M=1
Dopiero po „tak” zmienna binarna M=x przechodzi w stałą binarną M=1
Czy samolot leciał zbyt nisko?
Tak, N=1
Dopiero po „tak” zmienna binarna N=x przechodzi w stalą binarną N=1
To są stałe binarne które nie znikną po zakończeniu śledztwa, będą w związku z katastrofą na zawsze.
Oczywistym jest że wyłącznie idiota będzie tu rozważał przypadki co by było gdyby:
Gdyby nie było mgły?
M=0
Gdyby samolot nie leciał zbyt nisko?
N=0
etc
To po prostu nie ma sensu, podobnie jak nie mają sensu rozważania co by było gdyby Hitler zginął w zamachu w 1933r, czy też pisanie historii naszego świata przy założeniu iż nie było Aleksandra Wielkiego, Kopernika, Newtona etc.
Definicja logiki w algebrze Kubusia.
Logika to matematyczny opis nieznanego
Wnioski:
Z logiki usuwamy wszelkie zmienne które w trakcie rozwiązywania nieznanego przeszły w stałe binarne o wartości logicznej fałsz (=0) np. szukanie mordercy wyżej.
AK zajmuje się stałymi binarnymi o wartości logicznej prawda (=1) o ile mają one związek z rozwiązywaniem nieznanego np. katastrofa Smoleńska
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
