ŚFiNiA

[rafal3006]

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12

[link widoczny dla zalogowanych]

Algebra Kubusia
Nowa teoria implikacji


Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję

Zastosowanie algebry Kubusia:
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Barah (sfinia), Barycki (śfinia), Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Gavrila_Ardalionovitch (ateista.pl), HeHe (ateista.pl), Idiota (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Krowa (śfinia), Makaron czterojajeczny (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rexerex (ateista.pl), Rogal (matematyka.pl), Sogors (ateista.pl), Słupek (ateista.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), Windziarz (ateista.pl), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl), zbigniewmiller (sfinia) i inni
Wielkie dzięki, Kubuś !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem, Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję, Fizykowi i Windziarzowi za inspirację do napisania końcowej wersji algebry Kubusia oraz Sogorsowi za postawienie kropki nad „i”.

Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.


Spis treści:

1.0 Notacja
1.1 Implikacja i równoważność w kilku zdaniach

2.0 Twierdzenie ŚFINII
2.1 Rozstrzygnięcia o implikacji odwrotnej
2.2 Rozstrzygnięcia o implikacji prostej
2.3 Rozstrzygnięcia o równoważności

3.0 Operatory logiczne
3.1 Definicja implikacji prostej
3.2 Definicja implikacji odwrotnej
3.3 Prawa Kubusia, logika dodatnia i ujemna w implikacji
3.4 Równanie ogólne implikacji
3.5 Równoważność
3.6 Znaczenie zdania „Jeśli…to…” w logice

4.0 Algebra Kubusia - OR i AND
4.1 Spójnik OR(+) i operator OR (+)
4.2 Spójnik AND(*) i operator AND(*)
4.3 Równanie ogólne dla operatorów OR i AND
4.4 Prawo prosiaczka
4.5 Związek operatorów OR i AND z operatorami implikacji

5.0 Algebra Kubusia w służbie lingwistyki
5.1 Obietnica
5.2 Groźba

6.0 Dowody formalne
6.1 Podstawowe prawa algebry Boole’a
6.2 Dowody formalne praw de’Morgana
6.3 Dowody formalne praw Kubusia
6.4 Prawo braku przemienności argumentów w implikacji
6.5 Metody dowodzenia twierdzeń matematycznych

7.0 Fundamenty algebry Kubusia
7.1 Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych
7.2 Abstrakcyjny model operatora logicznego
7.3 Operatory logiczne FILL i NOP
7.4 Operatory P i Q
7.5 Operatory negacji NP i NQ

8.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych
8.1 Operatory implikacja i równoważności
8.2 Operatory OR i AND

9.0 Algebra Kubusia w zbiorach
9.1 Podstawowe definicje z teorii zbiorów w NTI
9.2 Implikacja prosta w zbiorach
9.3 implikacja odwrotna w zbiorach
9.4 Równoważność w zbiorach
9.5 Naturalny spójnik „może’ ~~> w zbiorach

10.0 Algebra Kubusia w pigułce


Wstęp.

Algebra Kubusia jest jednocześnie trywialna, bo posługują się nią w praktyce wszyscy od 5-cio latka po starca i trudno zrozumiała jeśli patrzy się na nią poprzez pryzmat zer i jedynek.

W algebrze Kubusia występują zaledwie dwie cyferki o znaczeniu jak niżej:
1 = prawda
0 = fałsz
nie mające nic wspólnego z liczbami całkowitymi 0 i 1 które wszyscy doskonale znamy.

Człowiek podlega pod matematykę ścisłą, algebrę Kubusia, a nie ja tworzy. Gdyby mózg człowieka nie podlegał pod algebrę Kubusia, nie byłoby komputerów ... nie byłoby nas, nie byłoby naszego Wszechświata.

Wbrew powszechnemu wśród matematyków przekonaniu, to naturalna logika człowieka generuje tabele zero-jedynkowe odpowiednich operatorów logicznych. Z tego powodu podejdziemy do logiki z zupełnie innej strony, pokażemy jak naturalny język człowieka generuje tabele zero-jedynkowe operatorów logicznych, zapisując je na końcu w postaci tabel zero-jedynkowych.

Wykład algebry Kubusia zaczynamy od implikacji i równoważności. Dla ułatwienia pominiemy tu operatory AND(*) i OR(+) jako zbędne, mogące jedynie zaciemnić obraz trywialnej logiki 5-cio latka. W praktyce języka mówionego człowiek miesza wszystkie operatory, jednak w 95% w implikacji i równoważności nikt nie używa operatorów AND(*) i OR(+).

W algebrze Kubusia, po raz pierwszy w historii ludzkości zostały poprawnie zinterpretowane wszystkie możliwe definicje równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
... a to oznacza, że algebra Kubusia jest kompletna, zupełna i niesprzeczna.

Algebra Kubusia to matematyka naszego Wszechświata, zarówno żywego jak i martwego.

W podręczniku będziemy używać zamiennie:
Algebra Kubusia = Nowa teoria implikacji


1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
~ - symbol przeczenia NIE(~)
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND(*), OR(+), =>, ~>

=> - spójnik „musi” między p i q, warunek wystarczający
~> - spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może” ~~>, wystarczy jedna prawda

# - różne w znaczeniu jak niżej
Fundament logiki:
1 = prawda
0 = fałsz
1# 0
prawda # fałsz
0 # 1
fałsz # prawda
A – zmienna binarna mogąca przyjmować wartości wyłącznie 0 albo 1
A#~A
Jeśli A=1 to ~A=0
Jeśli ~A=1 to A=0

## - różne funkcje logiczne
Równanie ogólne dla operatorów AND i OR:
p+q = ~(~p*~q) ## p*q = ~(~p+~q) – prawa de’Morgana
Równanie ogólne dla operatorów implikacji:
p=>q = ~p~>~q ## p~>q = ~p=>~q – prawa Kubusia

Jedno z kluczowych praw algebry Boole’a:
A=~(~A) – prawo podwójnego przeczenia
Przykład:
Jestem uczciwy
U
Zaprzeczenie:
Nie jestem uczciwy
~U
Podwójne zaprzeczenie:
Nieprawdą jest, że jestem nieuczciwy = jestem uczciwy
~(~U) = U


1.1 Implikacja i równoważność w kilku zdaniach

Algebra Kubusia w pigułce – pkt.10.0

Symboliczna definicja implikacji prostej:

[rafal3006]

4.3 Równanie ogólne dla operatorów OR i AND

Mamy tu sytuację identyczną jak w operatorach implikacji prostej => i odwrotnej ~>.

Na mocy definicji zachodzi:
p+q = ~(~p*~q)=1 ## p*q = ~(~p+~q) =1

Po lewej stronie mamy definicję operatora OR zapisaną w równaniu algebry Kubusia.
Po prawej stronie mamy definicję operatora AND zapisaną w równaniu algebry Kubusia

To dwa rozłączne układy logiczne pomiędzy którymi nie zachodzą żadne związki matematyczna.

Prawa strona powyższego równania nie ma nic wspólnego z lewą stroną, czyli pod parametry formalne p i q po obu stronach równania możemy podstawiać cokolwiek.

Przykład:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru ## Jutro pójdziemy do teatru i do kina
K+T=1 ## T*K=1
gdzie:
## - różne funkcje logiczne

Oczywiście na mocy praw de’Morgana mamy:
K+T = ~(~K*~T) =1 ## T*K = ~(~T+~K) =1

Nie ma najmniejszych szans aby kiedykolwiek zdania po obu stronach znaku ## były tożsame matematycznie.


4.4 Prawo Prosiaczka

Dowolną tabelę zero-jedynkową możemy opisać jednoznacznie równaniem algebry Boole’a i odwrotnie, czyli na podstawie dowolnego równania algebry Boole’a możemy wygenerować jednoznaczną tabelę zero- jedynkową.

W tym przypadku:
Równania algebry Boole’a = Równania algebry Kubusia

Prawo Prosiaczka mówi o sposobie przejścia z tabeli zero-jedynkowej n-elementowej do równania algebry Boole’a opisującego tą tabelę.

Definicja zero-jedynkowa sumy logicznej:

[rafal3006]

9.0 Algebra Kubusia w zbiorach

Działanie operatorów implikacji i równoważności można bardzo ładnie zilustrować przy pomocy zbiorów.


9.1 Podstawowe definicje z teorii zbiorów w NTI

Pojęcie zbioru jako zbioru przypadkowych elementów jest matematycznie bez sensu.

Jednorodność zbioru:
Zbiór musi być jednorodny w określonej dziedzinie

Oznacza to, że dla dowolnego zbioru A musi istnieć zbiór ~A będący dopełnieniem zbioru A do określonej dziedziny.

Przykład 1
P – zbiór wszystkich psów
Dziedzina:
ZWZ = zbiór wszystkich zwierząt
Dopełnienie ~P:
~P = wszystkie inne zwierzęta za wyjątkiem psów

Oczywiście matematycznie zachodzi:
ZWZ=P+~P
oraz:
P+~P=1
P*~P=0

Przykład 2
P2 – zbiór liczb podzielnych przez 2
Dziedzina:
LN = zbiór liczb naturalnych
Dopełnienie ~P2:
~P2 – zbiór liczb naturalnych niepodzielnych przez 2

Oczywiście matematycznie zachodzi:
LN=P2+~P2
P2+~P2=1
P2*~P2=0

W implikacji prostej => w NTI p musi być podzbiorem q np.
Jeśli zwierze jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Zbiór psów jest tu tylko podzbiorem zwierząt mających cztery łapy.

Z punktu odniesienia NTI fałszywe są idiotyzmy rodem z KRZ w stylu:
Jeśli pies ma cztery łapy to księżyc krąży wokół ziemi
4L=>KK
Poprzednik ma się tu nijak w stosunku do następnika.
Implikacja prawdziwa w wariatkowie … czyli KRZ

W NTI interesuje nas pojęcie zbioru i operacje na zbiorach w odniesieniu do implikacji i równoważności.

Podstawowe definicje:

Dziedzina:

Implikacja:
p=>q
Jeśli p to q
Równoważność
p<=>q
p wtedy i tylko wtedy gdy q

Dziedzina to kompletny zbiór na którym operuje implikacja lub równoważność
W NTI musi być spełnione:
p+~p=1 – dziedzina po stronie p
q+~q=1 – dziedzina po stronie q

Zbiór bieżący (aktualny):
Zbiór bieżący (aktualny) to zbiór na którym aktualnie pracujemy, zdefiniowany szczegółowo w poprzedniku zdania „Jeśli…to…”


Operacje na zbiorach dla potrzeb NTI:

1.
Zbiory tożsame = identyczne
TR = zbiór trójkątów równobocznych
KR = zbiór trójkątów o równych kątach
Oczywiście zachodzi tożsamość:
Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach
Zbiór TR = Zbiór KR

2.
Iloczyn zbiorów = wspólna cześć zbiorów bez powtórzeń (operacja AND)
Y=A*B
A=[1,2], B=[1,2,3,4]
Y=A*B=[1,2]

3.
Suma logiczna zbiorów = wszystkie elementy zbiorów bez powtórzeń (operacja OR)
Y=A+B
A=[1,2], B=[1,2,3,4]
Y=A+B = [1,2,3,4]

4.
Różnica zbiorów A-B = elementy zbioru A pomniejszone o cześć wspólna zbiorów A i B
Y=A-B
A=[1,2,3,4], B=[1,2]
Y=A-B = [3,4]
Y=B-A = 0 – zbiór pusty !

5.
Zbiór pusty = brak wspólnej części zbiorów w operacji AND, albo różnica zbiorów pusta jak wyżej
Y=A*B=0
A=[1,2], B=[3,4]
Y=A*B =0 – brak części wspólnej, zbiór pusty !

Twierdzenie – jedno z najważniejszych w NTI:
Przy określaniu prawdziwości konkretnego zdania zawsze iterujemy po zbiorze bieżącym, zdefiniowanym w poprzedniku zdania „Jeśli…to…”.

Iterowanie po całej dziedzinie jest bez sensu bowiem nie ma to nic wspólnego z prawdziwością analizowanego zdania. Co więcej, dla zdań spoza zbioru bieżącego analizowane zdanie jest po prostu FAŁSZYWE !

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24
Dziedzina = zbiór wszystkich liczb naturalnych
P3 = zbiór bieżący (aktualny) zdefiniowany w poprzedniku
P3 = [3,6,9…] - zbiór liczb podzielnych przez 3

Uwaga:
Powyższe zdanie dla zbioru ~P3 po stronie p jest fałszywe - sprzeczność z założeniem „Jeśli liczba jest podzielna przez 3…”

Przykład implikacji prostej:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to (na pewno) jest podzielna przez 2
P8=>P2
Spójnik "na pewno" jest w logice domyślny
Dziedzina = zbiór liczb naturalnych
Zbiór bieżący na którym pracujemy w tym zdaniu definiuje poprzednik implikacji:
P8 = [8,16,24…] – zbiór liczb podzielnych przez 8
Powyższe zdanie jest fałszywe dla zbioru liczb ~P8 po stronie p - sprzeczność z założeniem „Jeśli liczba jest podzielna przez 8…”


9.2 Implikacja prosta w zbiorach




Z rysunku widzimy, że warunkiem zaistnienia implikacji prostej => jest aby zbiór p był podzbiorem zbioru q bowiem wtedy i tylko wtedy zdanie będzie implikacja prostą.

Dziedzina w której operuje powyższy schemat:
Dziedzina = p+~p = q+~q
co doskonale widać na rysunku.

Wynika z tego, że zbiory p i q musza należeć do tej samej dziedziny.

Definicja operatorowa implikacji prostej:

[krystkon]

Ja już to Kubusiowi tłumaczyłem ale Kubuś jest odporny.

Implikacja prosta opiera się na operatorze AND w którym 1 skutek ma 2 przyczyny i jest wnioskowaniem od skutku do przyczyny.

Jeśli następuje skutek to na pewno wystąpiła każda z dwóch przyczyn.
Jeśli woda płynie z kranu to na pewno jest ciśnienie w rurociągu i jest odkręcony zawór.

Implikacja odwrotna jest głupią próbą wnioskowania opartego również na operatorze AND w którym 1 skutek ma 2 przyczyny i jest absurdalnym wnioskowaniem od przyczyny do skutku.

Czyli próbą wnioskowania w ten sposób.

Jeśli w rurociągu jest ciśnienie - to może z kranu płynie woda.
Jeśli zawór jest odkręcony - to może z krany płynie woda.

Takie wnioskowanie jest do dupy bo za podstawę wniosku przyjmuje się tylko jedną z dwóch przyczyn prowadzących do skutku.

Z tego nie wynika bynajmniej żadna wolna wola.
Z tego wynika tylko tyle - że wniosek o skutku na podstawie tylko jednej z dwóch przyczyn jest do dupy.