ŚFiNiA

[rafal3006]

… wszystko co chcecie, żeby ludzie wam czynili, wy też im podobnie czyńcie …
Ewangelia Mateusza 7:12


Algebra Kubusia
Nowa Teoria Implikacji

Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję

Najważniejsze zastosowanie algebry Kubusia:
Algebra Kubusia w służbie lingwistyki

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Barycki (śfinia), Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Gavrila_Ardalionovitch (ateista.pl), HeHe (ateista.pl), Idiota (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Krowa (śfinia), Makaron czterojajeczny (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rexerex (ateista.pl), Rogal (matematyka.pl), Sogors (ateista.pl), Słupek (ateista.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), Windziarz (ateista.pl), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl), zbigniewmiller (sfinia) i inni
Wielkie dzięki, Kubuś !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem, Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję, Fizykowi i Windziarzowi za inspirację do napisania końcowej wersji algebry Kubusia oraz Sogorsowi za postawienie kropki nad „i”.

Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.


Wstęp:

W naturalnym języku mówionym każdy człowiek, od 5-cio latka po starca, biegle posługuje się matematyką ścisłą, algebrą Kubusia. To jest matematyka pod którą człowiek podlega a nie którą tworzy. Dzięki niej język człowieka nie jest chaotyczny, człowiek z człowiekiem może się porozumieć. Algebra Kubusia jest nieprawdopodobnie prosta, jej naturalnymi ekspertami są wszystkie dzieci w przedszkolu. Cała filozofia prostoty to akceptacja przez matematyków banalnej logiki dodatniej i ujemnej w algebrze Boole’a.

Algebra Kubusia jest odpowiednikiem języka asemblera ze świata mikroprocesorów, operuje na równaniach algebry Boole’a, zmiennych binarnych i stałych w zapisie symbolicznym a nie na zerach i jedynkach, jak to jest w dzisiejszej logice.

W całej publikacji będziemy używać zamiennie:
Nowa Teoria Implikacji = algebra Kubusia


Spis treści:

1.0 Notacja
1.1 Definicje algebry Kubusia = pełna lista legalnych operatorów logicznych
1.2 Operatory OR i AND
1.3 Definicje implikacji i równoważności

2.0 Nowa Teoria Implikacji w pigułce
2.1 Algebra Kubusia w przedszkolu
2.2 Prawo Prosiaczka
2.3 Operatory OR i AND
2.4 Równanie ogólne dla operatorów AND i OR
2.5 Operatory implikacji i równoważności
2.6 Równanie ogólne dla operatorów implikacji
2.7 Nieznane definicje implikacji i równoważności, wynikające z NTI
2.8 Znaczenie zdania „Jeśli…to…” w logice

3.0 Zero-jedynkowa algebra Boole’a
3.1 Prawa wynikające z definicji iloczynu logicznego
3.2 Prawa wynikające z definicji sumy logicznej
3.3 Najważniejsze prawa algebry Boole’a
3.4 Fundamenty algebry Boole’a
3.5 Aksjomatyczne definicje operatorów logicznych w algebrze Boole’a i NTI
3.6 Abstrakcyjny model operatora logicznego
3.7 operatory logiczne FILL i NOP
3.8 Operatory P i Q
3.9 Operatory negacji NP i NQ

4.0 Algebra Kubusia w tabelach zero-jedynkowych
4.1 Suma logiczna OR
4.2 Iloczyn logiczny AND
4.3 Operatory implikacji
4.4 Definicje implikacji w NTI
4.5 Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ dla zdania wypowiedzianego p=>q
4.6 Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ dla zdania wypowiedzianego p~>q
4.7 Podsumowanie dowodu wewnętrznej sprzeczności KRZ

5.0 Fantastycznie prosta algebra Kubusia
5.1 Rzeczywista budowa operatorów OR i AND
5.2 Definicje zero-jedynkowe spójników w implikacji
5.3 Rzeczywista budowa operatorów implikacji i równoważności

6.0 Algebra Kubusia w zbiorach
6.1 Podstawowe definicje z teorii zbiorów w NTI
6.2 Implikacja prosta w zbiorach
6.3 implikacja odwrotna w zbiorach
6.4 Równoważność w zbiorach
6.5 Naturalny spójnik „może’ ~~> w zbiorach

7.0 Błędne użycie symboli „=” i <=> w KRZ


1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(...) - w mowie potocznej "nie może się zdarzyć że ...", "nie prawdą jest że ..."
<=> - symbol równoważności
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, AND(*), OR(+), =>, ~>

W algebrze Kubusia mamy do dyspozycji zaledwie dwie cyferki o znaczeniu jak niżej:
1 = prawda
0 = fałsz
To zero i jeden ty tylko symbole o znaczeniu jak wyżej, nie mające nic wspólnego z liczbami całkowitymi 0 i 1 w rozumieniu klasycznej matematyki.
1+1=2 – klasyka, która rozumieją wszyscy
1+1=1 – logika, zaprzeczenie klasycznej matematyki
Poza powyższym wyjątkiem wszystko inne pokrywa się z intuicyjnym rozumieniem działań w matematyce klasycznej:
0+0=0
0+1=1
0*0=0
0*1=1
1*1=1
Z powyższego powodu w tej publikacji będziemy używać notacji zaczerpniętej z teorii układów cyfrowych.
+ - suma logiczna OR(+), spójnik „lub” z naturalnego języka mówionego
* - iloczyn logiczny AND(*), spójnika „i” z naturalnego języka mówionego

Definicja negacji:
1=~0
0=~1

Zmienna binarna
Zmienna binarna to zmienna, mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.
Nazwa zmiennej binarnej to dowolny symbol (litera alfabetu lub słowo) z wyjątkiem litery Y zwyczajowo zarezerwowanej dla funkcji logicznej.

Funkcja logiczna
Funkcja logiczna Y to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych operatorami AND(*) lub OR(+).
Przykład:
Y = A*(B+C)

Symboliczna definicja negacji:
Y=~A
gdzie:
A - zmienna binarna
Y - funkcja logiczna

# - różne
Fundament algebry Boole’a w teorii zero-jedynkowej:
1=prawda
0=falsz
A.
1#0
Prawda # fałsz

Fundament symbolicznej algebry Boole’a (algebry Kubusia) w zmiennych binarnych:
Y=prawda
~Y=fałsz
B.
Y # ~Y
prawda # fałsz
co matematycznie oznacza:
C.
Y=1 # ~Y=1
Zauważmy, że to jedyny poprawny sposób zapisania B w taki sposób, aby było widać zmienne Y i ~Y po obu stronach znaku #.
Oczywiście równanie C możemy zapisać tak:
Jeśli ~Y=1 to Y=0
stąd:
D.
Y=1 # ~Y=1 = Y=0
czyli:
E.
Y=1 # Y=0
gdzie:
1=prawda
0=fałsz
Zauważmy jednak, że de facto wylądowaliśmy w zero-jedynkowej algebrze Boole’a (A) a nie symbolicznej algebrze Boole’a (C), że tych zer i jedynek z równania E nie sposób się pozbyć.

Zauważmy, że wszelkie prawa algebry Boole’a podawane są w równaniach algebry Boole’a gdzie nie ma najmniejszego śladu bezwzględnych zer i jedynek np.
A.
Y=p+q
Matematycznie:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Przejście do logiki przeciwnej poprzez wymianę operatorów i negację zmiennych
B.
~Y=~p*~q
Matematycznie:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
Y – funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y – brak przeczenia)
~Y – funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y – jest przeczenie)
Oczywiście matematycznie zachodzi:
Y=1 # ~Y=1
Y # ~Y
bo to dwie przeciwne logiki

Matematyczny związek logiki dodatniej i ujemnej:
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo de’Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
Co matematycznie oznacza:
p=1 lub q=1 = ~(~p=1 i ~q=1)

Przykład:
Jutro pójdę do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Dotrzymam słowa (Y=1) <=> pójdę do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
czyli:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Prawo de’Morgana:
Y = K+T = ~(~K*~T)
Stąd zdanie równoważne:
Nie może się zdarzyć ~(…), że jutro nie pójdę do kina (~K=1) i nie pójdę do teatru (~T=1)
Y=~(~K*~T)
czyli:
Y=1 <=> ~(~K=1 i ~T=1)

Świętość algebry Kubusia:
1 = prawda
0 = fałsz
Zawsze i wszędzie, niezależnie od tego czy jest to logika dodatnia czy też ujemna

Przykład użycia zmiennych binarnych w przeciwnych logikach w równaniu algebry Boole’a:
Y=A+~A*B
Matematycznie oznacza to::
Y=1 <=> A=1 lub (~A=1 i B=1)

## - różne na mocy definicji
A.
Na mocy definicji zero-jedynkowych implikacji prostej => i odwrotnej ~> mamy:
p=>q=~p~>~q=1 ## p~>q=~p=>~q=1
bo to dwie fundamentalnie inne tabele zero-jedynkowe.
B.
Na mocy definicji zero-jedynkowych operatorów OR(+) i AND(*) mamy:
p+q=~(~p*~q)=1 ## p*q=~(~p+~q)=1
bo to dwie fundamentalnie inne tabele zero-jedynkowe.

W tym przypadku parametry formalne p i q po lewej stronie nie mają żadnego związku matematycznego z parametrami formalnymi p i q po prawej stronie.
Po obu stronach znaku ## pod parametry formalne możemy podstawić cokolwiek.
W implikacji mamy zatem taki przypadek:
P8=>P2=~P8~>~P2=1 ## P2~>P8=~P2=>~P8=1


1.1 Definicje algebry Kubusia = pełna lista legalnych operatorów logicznych

Zero-jedynkowo wszystkie operatory logiczne znane są człowiekowi od około 200 lat, jednak nie wszystkie zostały poprawnie zinterpretowane.

Pełna lista dwuargumentowych operatorów logicznych.

[rafal3006]

3.0 Zero-jedynkowa algebra Boole’a

Klasyczna, zero-jedynkowa algebra Boole’a to w dniu dzisiejszym zabytek klasy zerowej. Algebra ta jest co prawda fundamentem działania wszelkich komputerów (i całego naszego Wszechświata) ale człowiek myślał w zerach i jedynkach zaledwie przez mgnienie oka. Natychmiast wynalazł język symboliczny zwany asemblerem izolując się od kodu maszynowego … czyli skopiował działanie własnego mózgu.

W technice bramek logicznych znane jest pojęcie logiki dodatniej i ujemnej w algebrze Boole’a, jednak problem sprowadzony jest tu do banału „zgodności sygnałów logicznych”.
Jeśli sygnały cyfrowe w dowolnym układzie logicznym są przeciwnych logikach to używamy banalnego negatora aby doprowadzić do zgodności sygnałów.

W naszym Wszechświecie oraz naturalnym języku mówionym człowieka króluje logika dodatnia i ujemna w algebrze Boole’a uzyskiwana w inny, równoważny sposób.

Dana jest funkcja logiczna
A.
Y=A*B
Logika dodatnia bo Y (brak negacji funkcji logicznej)
B.
Przejście do logiki ujemnej w świecie techniki.
Negujemy dwustronnie powyższe równanie:
~Y=~(A*B)
Logika ujemna bo ~Y (jest negacja funkcji logicznej)
W tym przypadku wystarczy prosty negator bez ingerencji w budowę układu logicznego
C.
Równoważne przejście do logiki ujemnej, powszechne w naszym Wszechświecie.
W równaniu A negujemy sygnały i wymieniamy operatory na przeciwne:
~Y=~A+~B
W świecie techniki ten sposób przejścia do logiki ujemnej jest bezsensem bo wymaga totalnej przebudowy całego układu logicznego.


3.1 Prawa wynikające z definicji iloczynu logicznego

Definicja iloczynu logicznego w logice dodatniej:
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Y=A*B
Y=1 <=> A=1 i B=1

Definicja równoważna w logice ujemnej:
Iloczyn logiczny jest równy zeru gdy którakolwiek zmienna jest równa zeru.
Y=A*B
Y=0 <=> A=0 lub B=0
Zauważmy, że mamy tu niezgodność z naturalną logiką człowieka. W zapisie matematycznym mamy spójnik „i”(*) a w rozwinięciu szczegółowym używamy spójnika „lub” – dlatego to jest logika ujemna.

Prawa wynikające bezpośrednio z definicji:
1*0=0
1*1=1
A*0=0
A*1=A
A*A=A
A*~A=0
W języku mówionym powyższe prawa nie są używane, przydają się jedynie w technice cyfrowej.


3.2 Prawa wynikające z definicji sumy logicznej

Definicja sumy logicznej w logice dodatniej:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa jeden gdy którakolwiek zmienna jest równa 1
Y=A+B
Y=1 <=> A=1 lub B=1

Definicja równoważna w logice ujemnej:
Suma logiczna n-zminnych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe zeru.
Y=A+B
Y=0 <=> A=0 i B=0
Zauważmy, że mamy tu niezgodność z naturalną logiką człowieka. W zapisie matematycznym mamy spójnik „lub”(+) a w rozwinięciu szczegółowym używamy spójnika „i” – dlatego to jest logika ujemna.

Prawa wynikające bezpośrednio z definicji:
1+0=1
0+0=0
A+1=1
A+0=A
A+A=A
A+~A=1
W języku mówionym powyższe prawa nie są używane, przydają się jedynie w technice cyfrowej.


3.3 Najważniejsze prawa algebry Boole’a

W języku mówionym prawa łączności i przemienności to oczywistość, natomiast absorpcja, rozdzielność i pochłanianie są przydatne jedynie w technice cyfrowej.

Łączność:
A+(B+C) = (A+B)+C
A*(B*C)=(A*B)*C

Przemienność:
A+B=B+C
A*B=B*C

Absorbcja:
A+(A*B)=A
Dowód:
Jeśli A=1 to A+(A*B)=1+(A*B)=1
Jeśli A=0 to A+(A*B)=0+(0*B)=0+0=0
niezależnie od wartości B
CND

A*(A+B)=A
Dowód:
Jeśli A=1 to A*(A+B)= 1*(1+B)=1*1=1
Jeśli A=0 to A*(A+B)=0*(A+B)=0
niezależnie od wartości B.
CND

Rozdzielność:
A+(B*C) = (A+B)*(A+C)
A*(B+C)=(A*B)+(B*C)

Pochłanianie:
A*~A=0
A+~A=1


3.4 Fundamenty algebry Boole’a

Matematycznym fundamentem dwuelementowej algebry Boole’a jest definicja iloczynu kartezjańskiego i pojęcie funkcji.

W algebrze Boole’a znane są wyłącznie cyfry 0 i 1. Mamy tu dwa zbiory p=(0,1) i q=(0,1) bo inne cyfry są nielegalne. Iloczyn kartezjański tych zbiorów to zbiór [p,q]=[(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)].

Definicja funkcji logicznej:
Funkcja logiczna w algebrze Boole’a to jednoznaczne odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego [p,q]=[(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)] w zbiór Y zwany funkcja logiczną.

W technice cyfrowej p i q zwane są sygnałami wejściowymi bramki logicznej, natomiast funkcja logiczna Y to wyjście cyfrowe.

[rafal3006]

6.0 Algebra Kubusia w zbiorach

Działanie operatorów implikacji i równoważności można bardzo ładnie zilustrować przy pomocy zbiorów.


6.1 Podstawowe definicje z teorii zbiorów w NTI

Pojęcie zbioru jako zbioru przypadkowych elementów jest matematycznie bez sensu.

Jednorodność zbioru:
Zbiór musi być jednorodny w określonej dziedzinie

Oznacza to, że dla dowolnego zbioru A musi istnieć zbiór ~A będący dopełnieniem zbioru A do określonej dziedziny.

Przykład 1
P – zbiór wszystkich psów
Dziedzina:
ZWZ = zbiór wszystkich zwierząt
Dopełnienie ~P:
~P = wszystkie inne zwierzęta za wyjątkiem psów

Oczywiście matematycznie zachodzi:
ZWZ=P+~P
oraz:
P+~P=1
P*~P=0

Przykład 2
P2 – zbiór liczb podzielnych przez 2
Dziedzina:
LN = zbiór liczb naturalnych
Dopełnienie ~P2:
~P2 – zbiór liczb naturalnych niepodzielnych przez 2

Oczywiście matematycznie zachodzi:
LN=P2+~P2
P2+~P2=1
P2*~P2=0

W implikacji prostej => w NTI p musi być podzbiorem q np.
Jeśli zwierze jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Zbiór psów jest tu tylko podzbiorem zwierząt mających cztery łapy.

Z punktu odniesienia NTI fałszywe są idiotyzmy rodem z KRZ w stylu:
Jeśli pies ma cztery łapy to księżyc krąży wokół ziemi
4L=>KK
Implikacja prawdziwa w wariatkowie … czyli KRZ

W NTI interesuje nas pojęcie zbioru i operacje na zbiorach w odniesieniu do implikacji i równoważności.

Podstawowe definicje:

Dziedzina:

Implikacja:
p=>q
Jeśli p to q
Równoważność
p<=>q
p wtedy i tylko wtedy gdy q

Dziedzina to kompletny zbiór na którym operuje implikacja lub równoważność
W NTI musi być spełnione:
p+~p=1 – dziedzina po stronie p
q+~q=1 – dziedzina po stronie q

Zbiór bieżący (aktualny):
Zbiór bieżący (aktualny) to zbiór na którym aktualnie pracujemy, zdefiniowany szczegółowo w poprzedniku zdania „Jeśli…to…”


Operacje na zbiorach dla potrzeb NTI:

1.
Zbiory tożsame = identyczne
TR = zbiór trójkątów równobocznych
KR = zbiór trójkątów o równych kątach
Oczywiście zachodzi tożsamość:
Zbiór trójkątów równobocznych = Zbiór trójkątów o równych kątach
Zbiór TR = Zbiór KR

2.
Iloczyn zbiorów = wspólna cześć zbiorów bez powtórzeń (operacja AND)
Y=A*B
A=[1,2], B=[1,2,3,4]
Y=A*B=[1,2]

3.
Suma logiczna zbiorów = wszystkie elementy zbiorów bez powtórzeń (operacja OR)
Y=A+B
A=[1,2], B=[1,2,3,4]
Y=A+B = [1,2,3,4]

4.
Różnica zbiorów A-B = elementy zbioru A pomniejszone o cześć wspólna zbiorów A i B
Y=A-B
A=[1,2,3,4], B=[1,2]
Y=A-B = [3,4]
Y=B-A = 0 – zbiór pusty !

5.
Zbiór pusty = brak wspólnej części zbiorów w operacji AND, albo różnica zbiorów pusta jak wyżej
Y=A*B=0
A=[1,2], B=[3,4]
Y=A*B =0 – brak części wspólnej, zbiór pusty !

Twierdzenie – jedno z najważniejszych w NTI:
Przy określaniu prawdziwości konkretnego zdania zawsze iterujemy po zbiorze bieżącym, zdefiniowanym w poprzedniku zdania „Jeśli…to…”.

Iterowanie po całej dziedzinie jest bez sensu bowiem nie ma to nic wspólnego z prawdziwością analizowanego zdania. Co więcej, dla zdań spoza zbioru bieżącego analizowane zdanie jest po prostu FAŁSZYWE !

Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24
Dziedzina = zbiór wszystkich liczb naturalnych
P3 = zbiór bieżący (aktualny) zdefiniowany w poprzedniku
P3 = [3,6,9…] - zbiór liczb podzielnych przez 3

Uwaga:
Powyższe zdanie dla zbioru ~P3 po stronie p jest fałszywe.

Przykład implikacji prostej:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to (na pewno) jest podzielna przez 2
P8=>P2
Spójnik "na pewno" jest w logice domyślny
Dziedzina = zbiór liczb naturalnych
Zbiór bieżący na którym pracujemy w tym zdaniu definiuje poprzednik implikacji:
P8 = [8,16,24…] – zbiór liczb podzielnych przez 8
Powyższe zdanie jest fałszywe dla zbioru liczb ~P8 po stronie p.


6.2 Implikacja prosta w zbiorach




Z rysunku widzimy, że warunkiem zaistnienia implikacji prostej => jest aby zbiór p był podzbiorem zbioru q bowiem wtedy i tylko wtedy zdanie będzie implikacja prostą.

Dziedzina w której operuje powyższy schemat:
Dziedzina = p+~p = q+~q
co doskonale widać na rysunku.

Wynika z tego, że zbiory p i q musza należeć do tej samej dziedziny.

Definicja operatorowa implikacji prostej:

[rafal3006]

R1