ŚFiNiA

[rafal3006]

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Matematyczny Raj: 2021-04-05
Brudnopis

Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Z dedykacją dla naszych wnuków, aby nikt, nigdy więcej, nie prał im mózgów gównem zwanym „implikacja materialna”

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka i inni.

Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?
Finałowa dyskusja z Irbisolem!
5.
MaluśnaOwieczka - końcowy uczestnik dyskusji o algebrze Kubusia w trakcie której wiele definicji zostało doprecyzowanych.

Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2021
Niniejszy podręcznik jest końcowym efektem 15-letniej dyskusji na forach śfinia, ateista.pl i yrizona - to około 30 tys postów, średnio 5 postów dziennie wyłącznie na temat logiki matematycznej.



Części:

Wstęp do algebry Kubusia:
1.0 Algebra Boole’a
2.0 Nieznana algebra Boole’a
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Algebra Kubusia - wykład podstawowy:
4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
5.0 Operator implikacji prostej p||=>q
5.2 Przykłady operatorów implikacji prostej p||=>q
6.0 Operator implikacji odwrotnej p||~>q
6.2 Przykłady operatorów implikacji odwrotnej p||~>q
7.0 Operator równoważności p|<=>q
7.2 Przykłady operatorów równoważności p|<=>q
8.0 Operator albo p|$q
8.2 Przykłady operatorów albo p|$q
9.0 Operator chaosu p||~~>q
9.2 Przykłady operatorów chaosu p||~~>q

Obietnice i groźby:
10.0 Obietnice i groźby
10.1 Obietnica
10.2 Groźba
10.3 Analiza obietnicy E=>K z różnych punktów odniesienia
10.4 Kto wierzy we mnie będzie zbawiony


Wstęp

Dlaczego od 15 lat zajmuję się logiką matematyczną?

1.
Jestem absolwentem elektroniki (instytut automatyki) na Politechnice Warszawskiej (1980r).
Z racji wykształcenia techniczną algebrę Boole’a znam perfekcyjnie od czasów studiów i wiem, że złożone automaty cyfrowe w bramkach logicznych projektuje się w naturalnej logice matematycznej człowieka tzn. opisanej równaniami algebry Boole’a - nigdy tabelami zero-jedynkowymi!

2.
Pojęcie „Klasyczny Rachunek Zdań” usłyszałem po raz pierwszy w życiu 26 lat po skończeniu studiów (2006r) od Wuja Zbója na forum śfinia.
Gdy usłyszałem zdania prawdziwe w KRZ to się we mnie zagotowało.
Przykładowe zdania prawdziwe w KRZ:
1. Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
2. Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
3. Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Dowód (na serio!) prawdziwości zdania 3 na gruncie Klasycznego Rachunku Zdań jest tu:
[link widoczny dla zalogowanych]

… a tu bloger Gżdacz potwornie szydzi (i słusznie) zarówno z logiki formalnej ziemian (Cytat pierwszy) jak i z samego dowodu Russella (cytat drugi):
[link widoczny dla zalogowanych]

[rafal3006]

Wstęp do algebry Kubusia
1.0 Algebra Boole’a

Część I

Spis treści
1.0 Algebra Boole’a 1
1.1 Zmienna binarna i stała binarna 2
1.2 Zapis formalny i aktualny w logice matematycznej 4
1.3 Prawa Prosiaczka 5
1.3.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 6
1.3.2 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka 7
1.3.2 Wyprowadzenie logiki symbolicznej 8
1.4 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a 9
1.5 Algorytm Wuja Zbója 13
1.5.1 Prawo Małpki 14
1.5.2 Alternatywne przejście do logiki przeciwnej 16


1.0 Algebra Boole’a

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem tylko z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a.

Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Dlaczego ten rozdział nosi nazwę nieznanej algebry Boole’a?

Dwa główne powody to:
1.
Klasyczna algebra Boole’a nie zna pojęcia logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
2.
Klasyczna algebra Boole’a nie odróżnia definicji spójnika „i”(*) od definicji operatora logicznego AND(*) jak również nie odróżnia definicji spójnika „lub”(+) od definicji operatora OR(|+).

Definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy (zwykle {1,0}) o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
oraz trzy spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

1.1 Zmienna binarna i stała binarna

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.
Gdzie:
1 = prawda
0 = fałsz

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona
Przykład:
Y=1 - pani dotrzyma słowa (Y)
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)

Definicja zmiennej binarnej w logice ujemnej (bo ~p)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice ujemnej (bo ~p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona
Przykład:
~Y=1 - pani nie (~) dotrzyma słowa (Y)
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)

Wróćmy do definicji podstawowej zmiennej binarnej.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.

W programach komputerowych są to wszystkie zmienne jednobitowe na przykład wskaźnik przeniesienia CY.
Zdefiniujmy następującą operację dodawania dwóch liczb binarnych 8-bitowych:
A:=A+B - do liczby A dodaj liczbę B i zapisz wynik w A
Wskaźnik przeniesienia CY oznacza tu co następuje:
CY=1 - wystąpiło przepełnienie 8-bitowego rejestru A
CY=0 - przepełnienie nie wystąpiło

Zapiszmy sensowny program z wykorzystaniem zmiennej binarnej CY.

Program dodawania:

[rafal3006]

Wstęp do algebry Kubusia
1.6 Algebra Boole’a

Część II


Spis treści
1.6 Operator OR(|+) w języku potocznym w logice dodatniej 1
1.6.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „lub”(+) 3
1.6.2 Definicja operatora logicznego OR(|+) 5
1.7 Operator AND(|*) w języku potocznym w logice dodatniej 7
1.7.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „i”(*) 9
1.7.2 Definicja operatora logicznego AND(|*) 12
1.8 Matematyczne związki operatora OR(|+) z operatorem AND(|*) 14
1.9 logika dodatnia i ujemna w języku potocznym 15
1.9.1 Definicja logiki dodatniej w języku potocznym 15
1.9.2 Definicja logiki ujemnej w języku potocznym 16
1.9.3 Logika dodatnia vs logika ujemna na poziomie sprzętu 17
1.10 Opis tabeli zero-jedynkowej równaniami algebry Boole’a 19
1.10.1 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek 20
1.10.2 Opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer 20
1.10.3 Związek opisu tabel zero-jedynkowych w logice jedynek i zer 21
1.10.4 Dowód prawa Małpki bez tabel zero-jedynkowych 22
1.11 Definicje wszystkich możliwych spójników logicznych 23
1.12 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## 24
1.12.1 Definicje znaczków # i ## na przykładzie 25


1.6 Operator OR(|+) w języku potocznym w logice dodatniej

Definicja logiki dodatniej w języku potocznym:
Z logiką dodatnią w języku potocznym mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach aktualnych tzn. związanych z wypowiadanym zdaniem, słówko NIE będzie kodowane symbolem przeczenia (~).

Przykład kodowania w logice dodatniej:
K=1 - idziemy do kina
~K=1 - nie idziemy do kina
T=1 - idziemy do teatru
~T=1 - nie idziemy do teatru
Y=1 - pani dotrzyma słowa
~Y=1 - pani skłamie (= pani nie (~) dotrzyma słowa Y)

Rozważmy zdanie pani przedszkolanki:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

Matematycznie oznacza to że pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa, czyli:
ABC:
Y=A: K*T + B: K*~T + C:~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
B: Yb=K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: Yc=~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Matematycznie musi zachodzić tożsamość funkcji logicznych:
Y = Ya+Yb+Yc
Gdzie:
Ya, Yb, Yc - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji Y

Dowód iż tak jest w istocie w zapisach formalnych.
Przejdźmy na zapisy formalne podstawiając:
K=p
T=q
stąd:
Y = Ya+Yb+Yc = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
minimalizujemy funkcję logiczną Y:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p+~q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
cnd

Matematycznie zachodzi:
Y=Y
stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych ABC którą warto zapamiętać:
p+q = p*q + p*~q +~p*q

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie ABC (Y) dwustronnie:
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
D.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

1.6.1 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji spójnika „lub”(+)

Przejdźmy z powyższym dialogiem na poziomie 5-cio latka na zapisy formalne (niezależne od wypowiadanego zdania) podstawiając:
p=K
q=T

Zapiszmy zdania ABCD wchodzące w skład powyższego dialogu w języku potocznym w tabeli prawdy
z kodowaniem zero-jedynkowym dla punktu odniesienia:
ABC: Y=p+q
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam w tym celu potrzebne to:
(~x=1) = (x=0) - sprowadzenie wszystkich zmiennych binarnych do logiki dodatniej (bez przeczeń)

[rafal3006]

Wstęp do algebry Kubusia
2.0 Nieznana algebra Boole’a

Spis treści
2.0 Nieznana algebra Boole’a 1
2.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## 2
2.1.1 Definicje znaczków # i ## na przykładzie 4
2.2 Fizyczne realizacje wszystkich 16 funkcji logicznych 7
2.2.1 Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) 7
2.2.2 Grupa spójników implikacyjnych 13
2.2.3 Grupa spójników jednoargumentowych 21
2.3 Jak uczyć algebry Boole’a? 24
2.3.1 Operator AND(|*) 25
2.3.2 Operator OR(|+) 28



2.0 Nieznana algebra Boole’a

Dlaczego nieznana?
W tabeli spójników TS po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja

Definicja funkcji logicznej dwóch zmiennych binarnych:
Funkcja logiczna Y dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
binarny = dwuelementowy

Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q to:

[rafal3006]

Wstęp do algebry Kubusia
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Część I

Spis treści
3.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
3.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach 2
3.1.1 Suma logiczna zbiorów 2
3.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów 2
3.1.3 Różnica (-) zbiorów 3
3.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów 3
3.3 Dziedzina 5
3.3.1 Zaprzeczenie zbioru 6
3.3.2 Nazwa własna zbioru 6
3.3.3 Dziedzina użyteczna 7
3.3.4 Dlaczego Uniwersum nie jest dziedziną użyteczną? 7
3.4 Algebra Kubusia dla przedszkolaków 9
3.4.1 Relacje podzbioru => i nadzbioru ~> 9
3.5 Teoria algebry Kubusia w zbiorach dla 5-cio latków 10
3.5.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 12
3.5.2 Prawa Kubusia 12
3.5.3 Prawo przedszkolaka 12
3.6 Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach 12
3.6.1 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q 17


3.0 Kubusiowa teoria zbiorów

Kubusiowa teoria zbiorów to nieznana ziemianom teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej, algebry Kubusia.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek. zbór wszystkich zwierząt ...]

Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz
pies=1 - bo prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie pies
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=1 - prawdą jest (=1), iż wiem co znaczy pojęcie „zbiór wszystkich zwierząt”

ALE!
agstd=0 - bo fałszem jest (=0) iż wiem co znaczy pojęcie „agstd”

Prawo Kłapouchego:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.

3.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach

Elementarne działania na zbiorach to:
(+) - suma logiczna zbiorów
(*) - iloczyn logiczny zbiorów
(-) - różnica logiczna zbiorów

3.1.1 Suma logiczna zbiorów

Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zdefiniujmy dwa zbiory p i q:
p=[K, T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T, P] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[K,T]+[T,P]=[K,T,T,P] = [K+T+T+P] = [K+T+P] = [K,T,P] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Bo prawo Algebry Boole’a:
p+p =p
Uwaga:
Przecinek przy wyliczaniu elementów zbioru jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) z algebry Boole’a co pokazano i udowodniono wyżej.

3.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów

Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny (zbiór wynikowy jest niepusty)
Y = p*q =0 - gdy zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego (są rozłączne)

Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
S - Słoń
Zdefiniujmy zbiory p, q, r:
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T,P] =1 - bo zbiór niepusty
r=[P,S] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[K,T]*[T,P]=[T] =1 - zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny
Y=p*r=[K,T]*[P,S] =[] =0 - zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego

Powyższe wyniki można uzyskać poprzez wymnażanie logiczne zbiorów.
Przykład:
p*q = [K+T]*[T+P] = K*T + K*P + T*T + T*P =[] + [] + T + [] = T
bo:
K*T+ K*P + T*P =[]+[]+[] =0+0+0 =0 - iloczyn logiczny „*” zbiorów (pojęć) rozłącznych jest zbiorem pustym
T*T =1
bo prawo algebry Boole’a:
p*p =p
Jak widzimy, przy wyliczaniu elementów zbioru przecinek jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) rodem z algebry Boole’a.

3.1.3 Różnica (-) zbiorów

Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q

Oznaczmy:
K - Kubuś
T - Tygrysek
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T] =1 - bo zbiór niepusty
Stąd:
Y=p-q = [K,T]-[T] =[K] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[K]-[K,T]=[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty

3.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów

Przypomnijmy znane już definicje podstawowe.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek. ZWZ, LN ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda
0 = fałsz
pies=1 - bo prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie pies
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=1 - prawdą jest (=1), iż wiem co znaczy pojęcie „zbiór wszystkich zwierząt”
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]=1 - prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie „zbiór liczb naturalnych”

ALE!
agstd=0 - bo fałszem jest (=0) iż wiem co znaczy pojęcie „agstd”

Prawo Kłapouchego:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)

Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum. Zauważmy, że zaledwie 40 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na Ziemi.

Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z Uniwersum na mocy definicji Uniwersum.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)

Definicja dziedziny absolutnej DA:
Dziedzina absolutna DA to zbiór wszelkich pojęć możliwych do zdefiniowania w naszym Wszechświecie.

Definicja Uniwersum:
Uniwersum U to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.

Zbiór pusty zawiera nieskończenie wiele pojęć niezrozumiałych dla człowieka, jeszcze nie zdefiniowanych. Definiować elementy w naszym Wszechświecie może wyłącznie człowiek, świat martwy sam sobie nic nie definiuje.

Przed pojawieniem się człowieka na ziemi zawartość zbioru pustego była taka:
[] - wszystkie elementy naszego Wszechświata w sensie absolutnym, nie ma jeszcze człowieka który by cokolwiek definiował.

W dniu dzisiejszym sytuacja jest inna, taka:

[rafal3006]

Wstęp do algebry Kubusia
3.7 Kubusiowa teoria zbiorów

Część II

Spis treści
3.7 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach 1
3.7.1 Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q 5
3.8 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach 9
3.8.1 Definicja operatora równoważności p|<=>q 13
3.9 Chaos p|~~>q w zbiorach 17
3.9.1 Operator chaosu p||~~>q 21
3.10 Relacje matematyczne między operatorami implikacyjnymi 23
3.11 Logika symboliczna 26
3.11.1 Przykład kodowania zgodnego z logiką człowieka 26
3.11.1 Przykład kodowania niezgodnego z logiką człowieka 27
3.11.2 Kodowanie mieszane 27


3.7 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach

Przypomnijmy sobie najważniejsze definicje dotyczące zbiorów:

Na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> mamy:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór ~> = relacja nadzbioru ~>
bowiem logika matematyczna nie zajmuje się liczeniem elementów w zbiorach, lecz tylko i wyłącznie badaniem czy relacja podzbioru => czy też nadzbioru ~> jest spełniona (=1), czy też niespełniona (=0).

W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzący wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Implikacja odwrotna p|~>q w równaniu logicznym:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1

Prawa Kubusia:
A1: A1: p=>q = A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2:~p=>~q =1

Definicja tożsamości logicznej „=”:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Wynika z tego, że po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego koniecznego B1: p~>q =1 nie musimy dowodzić prawdziwości warunku wystarczającego B2:~p=>~q bowiem mamy pewność absolutną tej prawdziwości na mocy prawa Kubusia (albo odwrotnie).

Zapiszmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w tabeli prawdy z uwzględnieniem praw Kubusia.

[rafal3006]

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Spis treści
4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
4.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 2
4.1.2 Prawa Kobry dla zbiorów 3
4.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
4.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 4
4.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 4
4.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 4
4.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 8
4.5 Porównanie implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q 10
4.5.1 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiej algebry Boole’a 13
4.6 Prawo śfinii 15
4.7 Skrócone definicje operatorów implikacyjnych 15



4.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

4.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q.

I.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory p i q są rozłączne i nieskończone to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

4.1.2 Prawa Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie:
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].

Zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dowolnego zbioru niepustego.
Wynika to z definicji zbioru pustego [] w algebrze Kubusia (pkt. 3.0)


4.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

4.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

4.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)


4.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja znaczka różne # dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem (~) drugiej
Przykład:
A1: Y=(p=>q)=~p*q # A1N: ~Y=~(p=>q)=p+~q

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej (szczegóły w pkt. 2.1)

Weźmy nasze funkcje logiczne A1 i B1:

[rafal3006]

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
5.0 Operator implikacji prostej p||=>q


Spis treści
5.0 Operator implikacji prostej p||=>q 1
5.1 Elementarz algebry Kubusia 2
5.1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 2
5.1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
5.1.3 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 4
5.2 Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q 6
5.2.1 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a 10
5.2.2 Definicja operatora implikacji prostej p||=>q 11
5.2.3 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => 13
5.2.4 Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q 17
5.3 Algorytm analizy zdań warunkowych „Jeśli p to q” 17
5.4 Sprawdzanie algorytmu analizy zdań w operatorze implikacji prostej P||=>CH 19
5.4.1 Zdanie bazowe P~~>CH 20
5.4.2 Zdanie bazowe P~~>~CH 22
5.4.3 Zdanie bazowe ~P~~>~CH 23
5.4.4 Zdanie bazowe ~P~~>CH 24
5.5 Tabela prawdy implikacji prostej P|=>CH 25
5.5.1 Operator implikacji prostej P||=>CH 25



5.0 Operator implikacji prostej p||=>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery podstawowe operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja operatora równoważności:
p|$q - operator „albo”($)

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

5.1 Elementarz algebry Kubusia

Przypomnijmy sobie elementarz algebry Kubusia.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

5.1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q.

I.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

5.1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q

I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

5.1.3 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

[rafal3006]

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
5.6 Przykłady analizy operatorów implikacji prostej p||=>q

Spis treści
5.6 Przykład operatora implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach 1
5.6.1 Wisienka na torcie w operatorze implikacji prostej A||=>S 5
5.7 Przykład operatora implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 7
5.8 Diagram operatora implikacji prostej p||=>q w zbiorach 11
5.8.1 Odtworzenie definicji operatora implikacji prostej p||=>q z definicji ~~> 14
5.8.2 Najmniejsza możliwa liczba elementów w operatorze p||=>q 20


5.6 Przykład operatora implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach

Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.

Niech będzie dany schemat elektryczny:

[rafal3006]

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
6.0 Operator implikacji odwrotnej p||~>q

Spis treści
6.0 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 1
6.1 Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q 1
6.1.1 Pogrom ziemskiej algebry Boole’a 4
6.1.2 Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q 5
6.1.2 Skrócona definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q 7


6.0 Operator implikacji odwrotnej p||~>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

6.1 Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunku konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:

[rafal3006]

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
6.2 Przykłady operatorów implikacji odwrotnej p||~>q

Spis treści
6.2 Przykład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach 1
6.2.1 Perła w koronie operatora implikacji odwrotnej CH||~>P 5
6.3 Przykład operatora implikacji odwrotnej A||~>S w zdarzeniach 12
6.3.1 Wisienka na torcie w operatorze implikacji odwrotnej A||~>S 16
6.4 Przykład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach 17




6.2 Przykład operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach

Przypomnijmy sobie elementarz algebry Kubusia.

Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach to:
1.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0 - gdy nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p wymusza => zajście zdarzenia q
p=>q =1
inaczej:
p=>q =0
3.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q.
p~>q =1
Inaczej:
p~>q =0

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q.

Zadanie matematyczne w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Dane jest zdanie:
W.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
Polecenia:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi to zdanie.
Zapisz analizę szczegółową zlokalizowanego operatora logicznego.

Rozwiązanie Jasia (I klasa LO):

[rafal3006]

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
7.0 Operator równoważności p|<=>q


Spis treści
7.0 Operator równoważności p|<=>q 1
7.1 Definicja podstawowa równoważności p<=>q 1
7.1.1 Równoważność w logice dodatniej p<=>q i ujemnej ~p<=>~q 3
7.2 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć 6
7.2.1 Alternatywne dowody tożsamości zbiorów/pojęć p=q 8
7.2.2 Alternatywne dowody tożsamości zbiorów/pojęć ~p=~q 10
7.3 Definicja operatora równoważności p|<=>q 12
7.3.1 Skrócona definicja operatora równoważności p|<=>q 16


7.0 Operator równoważności p|<=>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p$q - spójnik „albo”($) to nietypowa równoważność p$q = ~(p<=>q) = p<=>~q
p||~~>q - operator chaosu

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

7.1 Definicja podstawowa równoważności p<=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:

[rafal3006]

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
7.4 Przykłady operatorów równoważności p<=>q

Spis treści
7.4 Równoważność TP<=>SK w zbiorach 1
7.4.1 Definicja operatora równoważności TP|<=>SK 2
7.4.2 Definicja operatora równoważności SK|<=>TP 7
7.5 Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach 9
7.5.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach 13
7.5.2 Operator równoważności S|<=>A w zdarzeniach 18



7.4 Równoważność TP<=>SK w zbiorach

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja równoważności matematycznej p<=>q:
Równoważność matematyczna p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Prawo śfinii:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q.

Zadnia w I klasie LO w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
A1: TP=>SK =1
to samo w zapisie formalnym
A1: p=>q =1 - na mocy prawa śfinii
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
q=SK (zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów)
Twierdzenie proste TP=>SK Pitagorasa udowodniono wieki temu.
Ten dowód oznacza że:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1) bo zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK=1)

W świecie matematyki domyślnym twierdzeniem Pitagorasa jest twierdzenie proste Pitagorasa (A1: p=>q), zatem możemy mówić „twierdzenie Pitagorasa” bez słówka „proste”.
Oczywiście jeśli chcemy zaznaczyć, ż chodzi nam o twierdzenie odwrotne Pitagorasa to musimy to jawnie zapisać jako „twierdzenie odwrotne Pitagorasa” (B3: q=>p)

Badamy twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP=1)
B3: SK=>TP =1
to samo w zapisie formalnym
B3: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne q=>p Pitagorasa udowodniono wieki temu.
Ten dowód oznacza że:
Bycie trójkątem w którym spełniona jest (=1) suma kwadratów (SK=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1) bo zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP=1)

Wniosek:
Twierdzenie proste Pitagorasa i twierdzenie odwrotne Pitagorasa są częścią definicji równoważności dla trójkątów prostokątnych TP<=>SK.

Definicja równoważności matematycznej p<=>q:
Równoważność matematyczna p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Równoważność matematyczna Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q

stąd mamy:
Definicja równoważności podstawowej p<=>q:
Równoważność podstawowa p<=>q to jednocześnie spełniony warunek konieczny ~> i wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Równoważność podstawowa Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Równoważność podstawowa Pitagorasa (TP<=>SK) to jednocześnie spełniony warunek konieczny ~> i wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Innymi słowy:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: B1: TP~>SK) =1*1 =1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy (tożsama wersja twierdzenia Pitagorasa):
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: B1: TP~>SK) =1*1 =1

7.4.1 Definicja operatora równoważności TP|<=>SK

Nanieśmy nasz przykład do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
TR
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)

[rafal3006]

Algebra Kubusia - wykład podstawowy
8.0 Spójnik „albo”($) p$q i operator „albo”(|$) p|$q


Spis treści
8.0 Spójnik „albo”($) p$q i operator „albo”(|$) p|$q 1
8.1 Armagedon ziemskiej algebry Boole’a w temacie spójników „albo”($) i p<=>q 5
8.2 Spójnik „albo” p$q 7
8.2.1 Spójnik „albo”($) w logice dodatniej p$q i ujemnej ~p$~q 9
8.2.2 Spójnik „albo” p$q jako negacja zbiorów/pojęć 14
8.3 Operator „albo” p|$q 18
8.4 Operator „albo” q|$p 21
8.5 Skąd bierze się zero-jedynkowa definicja spójnika „albo” p$q? 23


8.0 Spójnik „albo”($) p$q i operator „albo”(|$) p|$q

Spójnik „albo”($) to spójnik kompletnie przez ziemskich matematyków nierozumiany.

Dowód:
Który z ziemskich matematyków wie, że spójnik „albo”($) to szczególny rodzaj równoważności o definicji:
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Definicja spójnika równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zajście warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame (p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q

Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów (p=q), natomiast przedstawiona niżej definicja spójnika „albo”($) definiuje negację zbiorów (p=~q) - różnica jest więc fundamentalna.

Definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) to jednoczesne zajście warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku przy zanegowanym q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Definicja negacji zbiorów p=~q:
Zbiór p jest negacją zbioru q (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest definicja spójnika „albo” p$q:
p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p) = p$q

Lewą stronę spójnika „albo”($) czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Przykład 1:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) albo kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1

Natomiast matematycznie tożsamą:
Prawą stronę definicji spójnika „albo”($) czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
p$q = ~(p<=>q) = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Przykład 2:
Bycie mężczyzną (M=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, aby nie być kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1

Oczywistym jest, że powyższe przykłady 1 i 2 są poprawne w dziedzinie:
C (człowiek) = M (mężczyzna) + K (kobieta)
Innymi słowy:
Zbiór wszystkich ludzi C (człowiek) jest sumą logiczną (+) zbiorów mężczyzn M i kobiet K.
C = M+K
Obliczenie przeczeń zbiorów rozumianych jako ich uzupełnień do dziedziny
~M = [C-M] = [M+K-M] =K
~K = [C-K] = [M+K-K] =M
Stąd mamy następujące tożsamości zbiorów:
M=~(K) - zbiór mężczyzn (M) to zaprzeczenie (~) zbioru kobiet (K) w dziedzinie C
K = ~(M) - zbiór kobiet (K) to zaprzeczenie (~) zbioru mężczyzn (M) w dziedzinie C

Graficzne związki matematyczne między zbiorami M (mężczyzna) i K (kobieta) można przedstawić następująco:

[rafal3006]

Algebra Kubusia
5.3 Przykłady operatorów implikacji odwrotnej p||~>q

Spis treści
5.3 Implikacja odwrotna A||~>S w zdarzeniach 1
5.3.1 Operator implikacji odwrotnej A||~>S 4
5.3.2 Wisienka na torcie w operatorze implikacji odwrotnej A||~>S 6
5.4 Implikacja odwrotna P2|~>P8 w zbiorach 7
5.4.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach 11
5.5 Implikacja odwrotna 4L|~>P w zbiorach w przedszkolu 13
5.5.1 Operator implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach w przedszkolu 16
5.6 Alternatywne dojście do operatora implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach 18
5.6.1 Implikacja odwrotna 4L|~>P w zbiorach 20
5.6.2 Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach 21



Przykłady zawarte w niniejszym punkcie to poziom 5-cio latka:
4L||~>P
oraz poziom ucznia I lasy LO:
A||~>S i P2||~>P8


5.3 Implikacja odwrotna A||~>S w zdarzeniach

[rafal3006]

Algebra Kubusia
5.8 Zdania bazowe w operatorze implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach

Spis treści
5.7 Zdanie bazowe 2
5.7.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q” 3
5.7.2 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 5
5.8 Zdania bazowe w operatorze implikacji odwrotnej CH||~>P w zdarzeniach 6
5.8.1 Zdanie bazowe CH~~>P 7
5.8.2 Zdanie bazowe CH~~>~P 10
5.8.3 Zdanie bazowe ~CH~~>~P 12
5.8.4 Zdanie bazowe ~CH~~>P 14
5.9 Tabela prawdy implikacji odwrotnej CH|~>P 16
5.9.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P 18

Wstęp:
Wiedza zawarta w niniejszym punkcie nie jest potrzebna do obsługi języka potocznego.
Problem obsługi operatora implikacji odwrotnej CH|~>P to wiedza na poziomie 5-cio latka tzn. każde ze zdań warunkowych „Jeśli p to q” wchodzących w skład operatora implikacji odwrotnej CH|~>P będzie doskonale przez niego rozumiane.

Czy znajomość trudnej gramatyki języka polskiego jest potrzebna 5-cio letniemu Polakowi do komunikacji w języku ojczystym z otoczeniem?
Oczywiście NIE!
Osobiście nigdy gramatyki j. polskiego nie znałem i do tej pory nie znam tzn. nie wiem co to jest jakiś tam podmiot, orzeczenie, przysłówek, dupówek etc.

W praktyce wiedza czysto matematyczna w skład jakiego operatora logicznego wchodzi dowolne prawdziwe zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest do niczego potrzebna. Każdy człowiek od 5-cio latka poczynając non stop stosuje tu poniższe prawa logiki matematycznej nie mając najmniejszego pojęcia co to jest operator logiczny np. CH||~>P.

W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> lub element wspólny zbiorów ~~>
Zdarzenia:
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
Zbiory:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0

[rafal3006]

Algebra Kubusia
5.11 Zdania bazowe w operatorze implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach

Spis treści
5.10 Zdanie bazowe 2
5.10.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q” 3
5.10.2 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 5
5.11 Zdania bazowe w operatorze implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach 6
5.11.1 Zdanie bazowe P2~~>P8 7
5.11.2 Zdanie bazowe P2~~>~P8 11
5.11.3 Zdanie bazowe ~P2~~>~P8 13
5.11.4 Zdanie bazowe ~P2~~>P8 16
5.12 Tabela prawdy implikacji prostej odwrotnej P2|~>P8 18
5.12.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach 19


Wstęp:
Problem budowy operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8 to matematyczny poziom ucznia I klasy LO.
W praktyce wiedza czysto matematyczna w skład jakiego operatora logicznego wchodzi dowolne prawdziwe zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest do niczego potrzebna. Każdy człowiek od 5-cio latka poczynając non stop stosuje tu poniższe prawa logiki matematycznej nie mając najmniejszego pojęcia co to jest operator logiczny np. P2||~>P8.

W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> lub element wspólny zbiorów ~~>
Zdarzenia:
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
Zbiory:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0

[rafal3006]

Algebra Kubusia - wykład rozszerzony
6.0 Operatory implikacyjne - równoważność p|<=>q


Spis treści
6.0 Operatory implikacyjne - równoważność p|<=>q 1
6.1. Definicja podstawowa równoważności p<=>q 3
6.1.1 Armagedon ziemskiej logiki matematycznej 4
6.2 Tabela prawdy równoważności p<=>q 5
6.2.1 Równoważność p<=>q jako tożsamość zbiorów/pojęć 10
6.2.2 Diagram równoważności w zbiorach 12
6.3 Definicja równoważności p<=>q 15
6.3.1 Definicja operatora równoważności p|<=>q 16
6.3.2 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q 18
6.4 Odtworzenie definicji operatora równoważności p|<=>q z definicji ~~> 21

Dlaczego to jest wykład rozszerzony?
Wiedza podstawowa w niniejszym rozdziale w temacie operatora równoważności p|<=>q jest kopią rozdziału 3.3 który już przerobiliśmy. Jedyna różnica polega na wzbogaceniu znanego nam już operatora równoważności p|<=>q o jego związki ze spójnikami „i”(*) i „lub”(+).
W języku potocznym żaden człowiek nie przechodzi z operatora równoważności p<=>q opisanego zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” do równoważności wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+).
Z opisanego wyżej powodu niniejszy rozdział trafia do rozszerzonej algebry Kubusia.


6.0 Operatory implikacyjne - równoważność p|<=>q

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”

W logice matematycznej rozróżniamy cztery podstawowe operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator to mutacja operatora równoważności:
p|$q - operator „albo”($)

Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>

W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> lub element wspólny zbiorów ~~>
Zdarzenia:
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
Zbiory:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0

[rafal3006]

Algebra Kubusia
6.5 Przykłady operatorów równoważności p|<=>q

Spis treści
6.5 Równoważność TP<=>SK w zbiorach 1
6.5.1 Definicja operatora równoważności TP|<=>SK 5
6.5.2 Diagram równoważności Pitagorasa TP<=>SK i ~TP<=>~SK 8
6.5.3 Definicja operatora równoważności SK|<=>TP 10
6.6 Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach 12
6.6.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach 16
6.6.2 Operator równoważności S|<=>A w zdarzeniach 21



6.5 Równoważność TP<=>SK w zbiorach

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

[rafal3006]

Algebra Kubusia
6.8 Zdania bazowe w operatorze równoważności TP|<=>SK w zbiorach

Spis treści
6.7 Zdanie bazowe 2
6.7.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q” 3
6.7.2 Operator równoważności p|<=>q 5
6.8 Zdania bazowe w operatorze równoważności TP|<=>SK w zbiorach 6
6.8.1 Zdanie bazowe TP~~>SK 7
6.8.2 Zdanie bazowe TP~~>~SK 10
6.8.3 Zdanie bazowe ~TP~~>~SK 12
6.8.4 Zdanie bazowe ~TP~~>SK 15
6.9 Definicja podstawowa równoważności TP<=>SK 17
6.9.1 Operator równoważności TP|<=>SK 18


Wstęp:
Problem budowy operatora równoważności p|<=>q to matematyczny poziom ucznia I klasy LO.
W praktyce wiedza czysto matematyczna w skład jakiego operatora logicznego wchodzi dowolne prawdziwe zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest do niczego potrzebna. Każdy człowiek od 5-cio latka poczynając non stop stosuje tu poniższe prawa logiki matematycznej nie mając najmniejszego pojęcia co to jest operator logiczny np. p|<=>q

W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> lub element wspólny zbiorów ~~>
Zdarzenia:
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
Zbiory:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0

[rafal3006]

Algebra Kubusia
6.11 Zdania bazowe w operatorze równoważności A|<=>S w zdarzeniach

Spis treści
6.10 Zdania bazowe w operatorze równoważności A|<=>S 2
6.10.1 Algorytm analizy zdania bazowego „Jeśli p to q” 3
6.10.2 Operator równoważności p|<=>q 5
6.11 Zdania bazowe w operatorze równoważności A|<=>S w zdarzeniach 6
6.11.1 Zdanie bazowe A~~>S 7
6.11.2 Zdanie bazowe A~~>~S 9
6.11.3 Zdanie bazowe ~A~~>~S 11
6.11.4 Zdanie bazowe ~A~~>S 13
6.12 Tabela prawdy równoważności A<=>S 15
6.12.1 Operator równoważności A|<=>S 16


Wstęp:
Problem budowy operatora równoważności p|<=>q to matematyczny poziom ucznia I klasy LO.
W praktyce wiedza czysto matematyczna w skład jakiego operatora logicznego wchodzi dowolne prawdziwe zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest do niczego potrzebna. Każdy człowiek od 5-cio latka poczynając non stop stosuje tu poniższe prawa logiki matematycznej nie mając najmniejszego pojęcia co to jest operator logiczny np. p|<=>q

W algebrze Kubusia mamy zaledwie trzy znaczki (=>, ~> i ~~>) na których zbudowana jest kompletna algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - gdy zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 0 gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> lub element wspólny zbiorów ~~>
Zdarzenia:
Definicja zdarzenia możliwego ~~> w zdarzeniach:
p~~>q = p*q =1 - gdy możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
Zbiory:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>:
p~~>q = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) element wspólny
Inaczej:
p~~>q = p*q=0